8/8/2019 masfak_trece

1/4

III PREDAVANJE

IZVODI I DIFERENCIJALI VI

SEG REDA

Neka funkcija f : D R2 R ima parcijalne izvode na otvorenom skupu D.

Tada suf

xi

f

ytakodje funkcije dve promenljive na D. Ako te funkcije imaju

svoje parcijalne izvode, dobijamo parcijalne izvode drugog reda:

fxx =

x

f

x

=

2f

x2

fyy =

y

f

y

=

2f

y2

fxy =

y

fx

=

2fyx

fyx =

x

f

y

=

2f

xy

Poslednja dva parcijalna izvoda zovu se mesoviti parcijalni izvodi. Ako su onineprekidne funkcije, tada se moze pokazati jednakost:

2f

xy=

2f

yx

PRIMER: Naci druge parcijalne izvode funkcija:a) f(x, y) = x4 + 2y3 + x2y + 2xy2 + 3, x,y R;

b) f(x, y) = x cos y + y3tg x + x2ey + y ln x, x > 0 x = (2k+1)2 ;

c) f(x, y) = x2+y2

xy, x = y,x,y R.

Diferencijal drugog reda funkcije z = f(x, y) definise se kao

d2z = d(dz).

Na osnovu totalnog diferencijala prvog reda, izracunavamo:

d2z =d

f

xdx +

f

ydy

=d

f

x

dx +

f

xd2x + d

f

y

dy +

f

yd2y

Kako je d2x = d2y = 0, na osnovu ovog sledi:

d2z =2f

x2dx2 + 2

2f

xydxdy +

2f

y2dy2

Ovo mozemo simbolicki predstaviti u obliku

d2z =

xdx +

ydy

2f,

1

8/8/2019 masfak_trece

2/4

2

sto omogucava predstavljanje diferencijala ntog reda

dnz =

x

dx +

y

dyn

f.

TEJLOROVA FORMULA

Analogno kao i u slucaju jedne realne promenljive, i realnu funkciju dve nezav-isno promenljive z = f(x, y) moguce je pod nekim uslovima aproksimirati pomocupolinoma

Pn(x, y) =

i+jn

aijxiyj .

Teorema. Neka je realna funkcija z = f(x, y) definisana i neprekidna zajedno sasvim parcijalnim izvodima do reda n + 1 u nekoj okolini tacke (x0, y0). Tada za xi y takve da je

(x)2 + (y)2 <

postoji broj (0, 1) takav da vazi relacija

f(x0+x, y0+y) = f(x0, y0)+n

k=1

1

k!

xx +

yy

(k)f(x0, y0)+Rn(x, y),

gde je ostatak Rn dat sa

Rn(x, y) =1

(n + 1)!

xx +

yy

(n+1)f(x0 + x, y0 + y).

Ova formula poznata je kao Tejlorova formula za realnu funkciju dvepromenljive.

Polinom

f(x0, y0) +

nk=1

1

k!

xx +

yy

(k)f(x0, y0)

zove se Tejlorov polinom funkcije f u tacki (x0, y0). Ako je (x0, y0) = (0, 0),tada dobijamo specijalan slucaj poznat kao Meklorenov polinom:

f(x, y) = f(0, 0) +f

x(0, 0)x +

f

y(0, 0)y + . . .

PRIMER. Naci Meklorenov polinom funkcije f(x, y) = ex+y.

Kako jef

x=

f

y= ex+y i

mf

xiyj= ex+y, dobijamo Meklorenov razvoj

ex+y = 1 + (x + y) +1

2!(x2 + 2xy + y2) + +

1

n!(x + y)n + Rn(x, y).

8/8/2019 masfak_trece

3/4

3

PARCIJALNI IZVODI SLOZENIH FUNKCIJA

Neka je data funkcija w = f(u, v), gde je u = u(x, y) i v = v(x, y). Funkcija f

moze se posmatrati kao slozena funkcija argumenata x i y: w = f(u(x, y), v(x, y)).Potrebno je naci parcijalne izvode funkcije f po x i y.Kako je

df =f

udu +

f

vdv,

gde je

du =u

xdx +

u

ydy,

dv =v

xdx +

v

ydy.

Odatle je

df =

f

u

u

x+

f

v

v

x

dx +

f

u

u

y+

f

v

v

y

dy.

Ukoliko f posmatramo kao funkciju od x i y, tada je

df =f

xdx +

f

ydy.

Poredjenjem sa prethodno dobijenim izrazom, sledi

f

x=

f

u

u

x+

f

v

v

x

fx

= fu

ux

+ fv

vx

PRIMER. Odrediti parcijalne izvode w/x i w/y, ako je w = uv + u + v,u = ex + sin y, v = x2 + y2.

PRIMER. Odrediti parcijalne izvode z/u i z/v, ako je z = yex, x =u2 + v2, y = uv.

PRIMER. Pokazati da za funkciju z = ln(x2 + xy + y2) vazi

xz

x+ y

z

y= 2.

EKSTREMNE VREDNOSTI

Neka je f : D R2 R, gde je D otvoren skup i neka je (x0, y0) D.Funkcija f ima lokalni maksimum (lokalni minimum) u tacki (x0, y0) ako

postoji okolina U(x0, y0) D tacke (x0, y0) takva da je

f(x, y) f(x0, y0) (f(x, y) f(x0, y0)),

za sve (x, y) U(x0, y0).Funkcija f ima globalni maksimum (globalni minimum) u tacki (x0, y0)

ako za sve (x, y) D vazif(x, y) f(x0, y0) (f(x, y) f(x0, y0)).

Pod ekstremnim vrednostima funkcije f podrzumevaju se maksimum i min-imum funkcije.

8/8/2019 masfak_trece

4/4

4

Teorema. Ako funkcija f : D R ima u tacki (x0, y0) D lokalni ekstremum ipostoje parcijalni izvodi f/x i f/y u ovoj tacki, tada je

fx

(x0, y0) = 0, fy

(x0, y0) = 0.

Tacke (x0, y0) u kojima je vrednost parcijalnih izvoda funkcije jednaka nuli zovuse stacionarne tacke funkcije f. Na osnovu prethodne teoreme vidimo da je potre-ban uslov da neka tacka bude ekstremna vrednost da ta tacka bude stacionarna.Dovoljni uslovi definisu se sledecim tvrdjenjem.

Uvedimo oznake za druge parcijalne izvode:

2f

x2= A,

2f

xy= B,

2f

y2= C.

Teorema. Ako su parcijalni izvodi funkcije z = f(x, y) jednaki nuli u tacki M0(x0, y0)i ako je AC B2 > 0, tada funkcija f ima u M0 lokalni ekstremum, i tolokalni maksimum ako je A < 0;lokalni minimum ako je A > 0.Ako je AC B2 < 0, funkcija nema ekstremum i takva tacka zove se sedlasta

tacka.

PRIMER. Odrediti stacionarne tacke funkcije z = x4 2x2y 6x2 + 4y2 iispitati njihovu prirodu.

PRIMER. Da li je tacka (0,0) ekstremna vrednost funkcije z = x2 y2.