Markovy řetězce přechodí – využití v řízení kvality

procesů

Page 2

Úvod-využití metodiky

Využití Markových řetězců je např. pro určení regulačních mezí k řízení kvalitativního znaku potravinové produkce.

Požadavky na regulační meze:

– jednak snížit pravděpodobnost zbytečných výstražných signálů ,

– a naopak takové nastavení mezí, které by při jejich překročení signalizovalo v dostatečném předstihu systémovou divergenci od stability řízení pro vytvoření adekvátního korekčního zásahu.

Page 3

Praktický příklad

Na následujícím obrázku jsou zobrazeny hodnoty sledovaného znaku

z hlediska dodržení určitého počtu mezofilních mikroorganismů v ml po

pasteraci. Přitom byly stanoveny hlavní omezení v použití konvenčních

regulačních diagramů v potravinové produkci:

změna polohy a variability kvalitativních znaků potravin,

autokorelace výstupního znaku jakosti.

Page 4

25

27

29

31

33

35

37

39

41

43

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58

Časové pořadí vzorku (den)

Počet mezofilních mikroorganismů (tis. CPM)

LCL

UCL

CL

Regulační diagram pro individuální hodnot

Page 5

Požadavek autokorelace není součástí tohoto řešení. Problém s příliš

“úzkými” regulačními mezemi, které s sebou přináší nadměrně častý

chybný planý poplach, je možné vyřešit dvěma způsoby.

V prvním případě se na produkci podíváme z pohledu velkých čísel. Na

základě statistických ukazatelů potřebných k regulaci produkce (např.

průměrné hodnoty a rozptylu R) pak určíme rozšířené regulační meze

oproti klasickým Shewartovým diagramům.

Nové nastavení regulačních mezí pro polohu i variabilitu výstupního

znaku produkce) přitom zohledňuje určitou povolenou odchylku (výskyt a

R mimo regulační meze není častější než např. v 0,05 % případů).

Page 6

V druhém případě se na řízení kvality budeme dívat jako na soubor

činností (procesů), při kterém je účelně využívána energie k přeměně

hmoty do požadované formy konečného produktu.

Při takovéto interpretaci řídící úlohy se obecně snažíme najít opakovaně

dosažitelný výstupní limit zvolené technologie – tzv. produkční etalon.

Tento produkční etalon vyjadřuje agregovaný kvalitativní znak

výsledného produktu.

Pomocí srovnání procesu s tímto etalonem můžeme předvídat, zda-li

byl proces dostatečně „jakostně“ zvládnut eventual. zda-li produkce

nezačíná divergovat od svého stabilního stavu

Page 7

V předešlém případě (slide 4) hodnoty mezofilních mikroorganismů překročily hranici LCL u 31 a 32 vzorku (CPM = 40,5 a 40,7 tis/ml). Protože však dle normy celkový počet mikroorganismů nemá překročit 100.000/ml je signál o nestabilitě produkce poskytnutého z tohoto regulačního diagramu chybný.

Centrální přímka byly rovna průměrné hodnotě:

Dolní a horní regulační mez byla určena podle přípustného rizika kvalitativně neshodných produktů. Tyto hodnoty dolní a horní regulačních mezí jsou:

Rozšíření těchto mezí (k zamezení planých poplachů) ilustruje následující postup:

).(73,33 CPMtisnCL

).(25,2716,2373,331 CPMtisunLCL

).(21,4016,2373,331 CPMtisunUCL

Page 8

Nejprve si vymezíme stavy systému jako pásma mezi jednotlivými regulačními mezemi

Šířka pásma c:

Šířka pásma a:

Šířka pásma b:

Šířka pásma d:

V druhém kroku určíme tzv. čtvercovou matici pravděpodobností přechodů P pomocí relativních četností stavů a, b, c, d.

mlCPUtisUCLnormac /.78,5921,40100''

mlCPUtisCLUCLa /.418,673,3321,40

mlCPUtisLCLCLb /.418,625,2773,33

mlCPUtisoptimumLCLd /.25,27025,27''

Page 9

Pravděpodobnost přechodů vyjádřená z relativní četnosti přechodů stavů z produktového etalonu

Obraz Operand

a b c d

Pa’ 3/8 13/33 0 0

b‘ 15/24 19/33 ½ 0

c‘ 0 1/33 ½ 0

d‘ 0 0 0 0

Suma 24/24 33/33 2/2 0Suma

přechodů=59

Page 10

Pokud čteme předešlou tabulku řádkově, můžeme určit z jakých vstupů je každý obraz složen a také s jakou pravděpodobností můžeme očekávat, že nastane určitý obraz při daném operandu.

Rozepíšeme-li řádky z tabulky dostaneme soustavu čtyř rovnic o čtyřech neznámých:

(1)

(2)

(3)

(4)

baa33

13

8

3'

cbab2

1

33

19

24

15'

cbc2

1

33

1'

0'd

Page 11

Dosazením aktuálních stavových hodnot do předešlé soustavy rovnic bychom mohli predikovat následný stav řízení kvality. Naše úloha je zde jiná – máme určit nové (rozšířené) polohy regulačních mezí A’, B’, C’, D’ pro udržení stability produkce. Přitom je třeba se vyvarovat zbytečně častým planým poplachům, ale na druhou stranu zjistit nebezpečí systémové divergence od žádaného stavu v dostatečném předstihu pro adekvátní reakci.

Ve stabilní situaci je nutné přepokládat konstantní šířku pásma pro jednotlivé sekvence měření kvalitativního znaku:

(5)

Dosazením podmínky (5) do rovnic (1), (2), (2) a odečtením vektoru proměnných ležící na pravé straně soustavy dostaneme homogenní soustavu tří lineárních rovnic o třech neznámých. Přitom jsme soustavu anulovali o rovnici (4), která je již vyřešená.

konstcckonstbbkonstaa '''

Page 12

Protože det P = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení:

Proto je nutné doplnit další rovnici (omezující podmínku na nepřekročení hygienické normy, která je CPU=100 tis./ml. Tedy v mezním případě:

0

0

0

2

1

33

10

2

1

33

14

24

15

033

13

8

5

cb

cba

ba

0

2

1

33

10

2

1

33

14

24

15

033

13

8

5

detdet

P

100 cba

Page 13

Doplněním omezující podmínky do soustavy rovnic(14) nám vznikne soustava, která má jednoznačné řešení:

Nové nastavení šířek pásma jednotlivých regulačních mezí je tedy: a‘ = 37,276 tis. CPU/ml; b’ = 59,140 tis. CPU/ml; a c’ = 3,584 tis. CPU/ml.

584,3

140,59

276,37

00

00

00

100

0

0

1112

1

33

14

24

15

033

13

8

5

c

b

a

cba

ba

rref

Výsledky-diskuze

• Při řízení procesů srovnáním s procesním etalonem je možné využít optimalizovaného vzoru (produkčního etalonu), který se s určitou volností stává závazným pro následnou produkci.

• Procesní etalon v sobě zahrnuje reálné informace o dosažitelnosti regulačních mezí (teoreticky zjištěných obvykle statisticky), o udržitelnosti (z nového definování mezí z podmínek stability) a o smysluplnosti plnění těchto mezí.

• Díky tomu, že etalon nepracuje jen s daty (informačně pojatým řízením), ale i s hmotně energetickým projevem produkčního řízení, tak automaticky nastavil již v transformaci z matice přechodů pásmo d’ = 0.

• Dále je při takovémto přístupu možné adaptivně měnit původní hodnoty regulačních mezí, které byly nastaveny dle podmínek stabilní oscilace kolem optimálních hodnot.

Page 15

Srovnání polohy regulačních mezí z metody 'Shewhart' a z

produkčního etalonu (index 2)

0

20

40

60

80

100

120

0 20 40 60 80Sekvence měření znaku

Ho

dn

ota

kva

litat

ivn

ího

zn

aku

(ti

s. C

PU

/ml) CL

LCL

UCL

CL2

LCL2

UCL2