ACADEMIA PRE-ESOFA ARITMETICA

INTRODUCCION

La academia PRE-ESOFA, agradece la voluntad del comando de la ESOFA y saluda la confianza masiva que los estudiantes y padres de familia han depositado en ella.Sabiendo del desarrollo constante de la ciencia y sus diversas aplicaciones, los integrantes de nuestra institucin han elaborado el presente MANUAL DE ARITMETICA, trabajo cuyo rigor acadmico est a la altura de las exigencias de las pruebas de admisin tomadas en la ESOFA.

PROF. TAIPE CAURINO, ILLICH OSCAR PROF. TAIPE SALAZAR, CIPRIANO OSCAR

Los futuros Suboficiales debern resolver los siguientes problemas aplicando los criterios tericos y los procedimientos ensayados en clase, proyectndose poco a poco a nuevos casos que les permita una preparacin integral en el desarrollo de cada tema.

Finalmente, reiteramos nuestro compromiso de seguir bregando para darles una mejor educacin acorde con el advenimiento de los nuevos tiempos.

INDICE

CAPITULOTEMAPAGINA

01CONJUNTOS

02SISTEMA DE NUMERACION

03NUMEROS NATURALES

04NUMEROS ENTEROS

05NUMEROS RACIONALES

06NUMEROS REALES

07RAZONES Y PROPORCIONES

08PROMEDIOS Y MEZCLAS

09MAGNITUDES PROPORCIONALES

10REGLA DE TRES

11PORCENTAJE

12SISTEMA DE UNIDADES

ACADEMIA PRE-ESOFA ARITMETICA

ACADEMIA PRE-ESOFA ARITMETICA

Pgina 2ESCUELA DE SUBOFICIALES DE LA FUERZA AEREA DEL PERU

ESCUELA DE SUBOFICIALES DE LA FUERZA AEREA DEL PERU Pgina 1

CAPITULO 01CONJUNTOSLa idea de conjunto se adquiere en los comienzos de la vida, al manifestarse una de las virtudes primordiales del espritu, la diferenciacin, se empieza a percibir distintamente los objetos del mundo exterior, y a tener conciencia de la propia personalidad, originndose estos conceptos primarios.ConjuntosFinitos Infinitos Nulo o vacoUnitarioNumerable Innumerable

IDEA DE CONJUNTOEn matemtica Conjunto y Elemento, son conceptos primitivos que no se definen y se consideran conceptos fundamentales.Intuitivamente, un Conjunto es una coleccin o agrupacin de objetos llamados Elementos.Ejemplo: El conjunto de vocales estar formado por las letras a, e, i. o y u que se llaman elementos del conjunto de las vocales.Generalmente los conjuntos se denotan por letras maysculas A, B, C, etc. Y los elementos por letras minsculas u otros smbolos, separados por comas y encerrados entre llaves.Ejm: Si llamamos A al conjunto de vocales, entonces:A = a, e, i, o, uRELACIN DE PERTENENCIASi un elemento est en un conjunto o forma parte de l, diremos que pertenece a dicho conjunto y lo denotaremos con el smbolo y en el caso de no pertenecer por .Ejemplo, para el conjunto: A = a, e, i, o, u; diremos:aA : Se lee a pertenece a Ab A : Se lee b no pertenece a ALa pertenencia slo se da entre elemento y conjunto.DETERMINACIN DE CONJUNTOSCuando se sabe con precisin qu elementos pertenecen al conjunto y que elementos no pertenecen al conjunto, existen 2 formas principales para determinar conjuntos.a) Por Extensin: Cuando sus elementos se mencionan en forma completa.Ejm.: A = {7; 8; 9; 10; 11}; Se lee: A es el conjunto cuyos elementos son: 7; 8; 9; 10 y 11.b) Por comprensin: Cuando se enuncia una propiedad comn que caracteriza a los elementos de dicho conjunto.As, por ejemplo, del ejercicio anterior:A = {x/x N; 6 < x < 12}Se lee: A es el conjunto de los elementos x, tal que x es un nmero natural, adems es mayor que 6 pero menor que 12.CARDINAL DE UN CONJUNTOEs el nmero de elementos diferentes que posee un conjunto finito.Ejm: Sea: A = {a, e, i, o, u} Entonces: n(A) = 5Que se lee: El cardinal de A es 5CONJUNTOS ESPECIALESa) Conjunto Vaco o Nulo: Es aquel conjunto que no posee elementos. Se le representa por: { } y se denota por el smbolo:.Es decir: {x/x x} = { } = Ejm.: {x/x N; 5 < x < 6} = { }No existe un x Nque sea mayor que 5 y menor que 6 a la vez.b) Conjunto Unitario: Es aquel que est constituido por un solo elemento.Ejm.:{x/x N; 5 < x < 7} = {6}Puesto que 6 N es el nico comprendido entre 5 y 7.c) Conjunto Universal: Es un conjunto referencial que contiene a todos los conjuntos considerados y se le denota generalmente por U.As por ejemplo, el conjunto U para los siguientes conjuntos:A = {2; 4; 6; 8} y B = {1; 3; 5; 7; 9}U = {x/x N; 1 x 9} U = {x/x N; x < 10}U = {x/x Z}RELACIONES ENTRE CONJUNTOS:a) Inclusin de Conjuntos:A B x A x BSe lee: A est incluido en B, si y slo si, para cualquier x que pertenece a A, ste tambin pertenece a B. Adems: A BA est incluido en BA est contenido en BA es subconjunto de B B AB incluye a AB contiene a AB es superconjunto de A OBS: se lee: para todob) Igualdad de Conjuntos:Si todos los elementos del conjunto A pertenecen al conjunto B, y todos los elementos del conjunto B pertenecen tambin al conjunto A, entonces se dice que estos 2 conjuntos son iguales. Esta igualdad se denota por: A = B.Ejm.: Si: A = {x/x es una letra de la palabra AROMA}B = {x/x es una letra de la palabra MAROMA}Entonces:A = {A, R, O, M}B = {M, A, R, O}Luego: A = Bc) Conjunto Potencia:Sea: A = {a, b}; todos los subconjuntos de este conjunto son: {a}; {b}; {a, b}; Al conjunto cuyos elementos son los subconjuntos anteriores, se le llama tambin conjunto de partes de A y se le denota:P(A) = {, {a}, {b}, {a, b}}En general, el nmero de subconjuntos se halla con la siguiente relacin: 2n; donde n es el nmero de elementos del conjunto.n[P(A)] = 2n(A)

Ejm.: A = {m, a, r}; Entonces:P(A) = { {m} , {a} , {r} , {m, a} , {m, r} , {a, r}, {m, a, r}, }n[P(A)] = 23 = 8 subconjuntos. n[subconjuntos propios de A] = 2 1REPRESENTACIN GRFICA DE LOS CONJUNTOSa) Diagrama de Venn Euler: Es una forma ilustrativa y muy prctica para comprender las relaciones entre conjuntos.Ejm.: A = {2; 3; 5; 7}B = {2; 3; 4; 5; 6}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}Entonces: 2 3 5

7

46A

B

1

8

U

9

La interpretacin sera: {7} slo pertenece a A {2; 3; 5} pertenecen a A y a B {4; 6} slo pertenece a B {1; 8; 9}no pertenecen a los conjuntos A y BEJEMPLOS ILUSTRATIVOS1) A = {x/x es una flor} Rosa A Pedro Alamo A Clavel AGeranio A Cedro A2) Cul de las siguientes proposiciones es falsa?a) a {a, b}b) {a, 5, }c) 7 {5, 8, 11}d) {a} {a, 7, c}e) {a} {{a}, b, m}Sol: a) a {a, b}(verdadero)b) {a, 5, }(verdadero)c) 7 {5, 8, 11}(verdadero)d) {a} {a, 7, c}(falso)e) {a} {{a}, b, m}(verdadero)EJERCICIOS1. Dado el conjunto A = {7; 8; 10; 15}. Indicar verdadero (V) o Falso (F), segn corresponda:I) 7 A( )III) {10} A ( )II) 9 A( )IV) {15} A ( )a) VVFFb) VFFVc) VVFFd) VFFFe) N.A.2. Dado el conjunto A = {5; {7}; 9; 12}. Indicar (V) o (F), segn corresponda:I) {7} A( )IV) {9} A ( )II) 9 A( )V) A ( )III) 7 A( )VI) 10 A ( )a) VFVFVFb) VFFVVFc) VVVFFFd) VVFFFVe) N.A.3. Dado el conjunto M = {a, {b}, {m}, p}. Cuntas proposiciones son falsas?I) {b} MIV) {{b}, p} MII) b MV) {{b}, {m}} MIII) {{m}} MVI) m Ma) 1b) 2c) 3d) 4e) 54. Hallar la suma de elementos de cada conjunto:A = {x/x N; 6 < x < 12}B = {x + 4/ x Z; 5 < x < 10}C = {x2 + 1/ x Z; 3 < x < 8}a) 40; 41 y 50b) 43; 49 y 100c) 45, 46 y 130d) 47; 45 y 129e) N.A.5. Si el conjunto A es unitario, hallar a + b: A = {7- a ; b + 4; 5}a) 3b) 4c) 5d) 6e) 76. Si los conjuntos A y B son unitarios.Hallar a2 + b2A = {a + b; 12} ;B = {4; a - b}a) 79b) 80c) 81d) 82e) 837. Dado: A = {x/x N; 5 < x < 12} . Indicar (V) o (F) segn corresponda:I) {7; 8; 11} A( )II) {8; 10} A( )III) 5 A( )IV) n(A) = 6( )a) VFVFb) VFVVc) VFFVd) FVVFe) FFVV8. Cuntos subconjuntos tiene cada uno de los siguientes conjuntos?

A = {c, o, l, e, g, i, o} ; B = {c, a, m, i, s, a}a) 64 y 32b) 128 y 64c) 64 y 64d) 32 y 64e) 128 y 329. Hallar la suma de elementos del conjunto:A = {3a2 + 5 / a Z; 1 < a < 6}a) 172b) 182c) 148d) 156e) 19210. Dado el conjunto: A = {7; 9; 11; 13; 15; 17}Determinarlo por comprensin:a) A = {x/x N; 6 < x < 18}b) A = {x/x = 2n; n N; 3 < n < 8}c) A = {x/x = n +1; n N; 6 < n < 17}d) A = {x/x = 2n + 1; n N; 2 < n < 9}e) A = {x/x = n + 5; n N; 1 < n < 13}OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS:

Operaciones entre conjuntosUninInterseccinDiferencia ComplementoDiferencia Simtrica A B = {x/x A x B} A B = {x/x A y x B} A - B = {x/x A y x B} B = {x/x A y x B} B = {x/x B}

A B = {x/x (A - B) (B -A)

UNIN O REUNIN DE CONJUNTOS:Dados dos conjuntos A y B, se llama reunin de stos a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos.As por ejemplo; para:A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}Diremos que el conjunto formado por {1; 2; 3; 4; 5} donde estn todos los elementos de A y de B, se llama reunin de A con B y se simboliza: A B, y se lee A unin B.Notacin: A B = {x/x A x B}Representacin Grfica:xxxABConjuntos no disjuntos

xxABConjuntos disjuntos

BConjuntos comparablesxxA

Propiedades fundamentales de la reunin:1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es nica la reunin de ellos.2. Conmutativa: A B = B A3. Asociativa: (A B) C = A (B C)4. Reflexiva: A A = A5. De la inclusin: Si: A B, entonces: A B = B (ver grfico)6. Del elemento neutro:1) A = A2) A U = UINTERSECCCIN ENTRE CONJUNTOS:La interseccin de dos conjuntos cualesquiera A y B es otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y B, es decir, est formado por todos los elementos comunes a A y B.Sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, observamos que los elementos 2y 3 son comunes a ambos conjuntos. El conjunto formado por estos elementos, se escribe:A B y se lee: A interseccin B.Notacin: A B = {x/x A y x B}Representacin Grfica:

xABConjuntos no disjuntos

no hay xABConjuntos disjuntos

BConjuntos comparablesxA

Propiedades fundamentales de la interseccin:1. Uniforme: Dados dos conjuntos, siempre existe y es nica la interseccin de ellos.2. Reflexiva: A A = A3. Conmutativa: A B = B A4. Asociativa: (A B) C = A (B C)5. De la inclusin: Si: A B, entonces: A B = A (ver grfico)6. De la exclusin: Si: A y B son disjuntos entonces: A B = (ver grfico) 7. Del elemento neutro:1) A = 2) A U = AEntre la Reunin y la Interseccin de dos conjuntos A y B, se pueden establecer las siguientes relaciones:Propiedad Distributiva:A (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)Propiedad Absorcin:A (A B) = A, puesto que: (A B) AA (A B) = A, puesto que: A (A B)DIFERENCIA DE CONJUNTOS:La diferencia de los conjuntos A y B es el conjunto de todos los elementos que pertenecen a A, pero que no pertenecen a B. Se denota por: A B, que se lee:A menos B, tambin A diferencia BAs por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}Observamos que el elemento 1 est en el conjunto A pero no est en el conjunto B. Al conjunto formado por 1, se llama diferencia de A con B.Notacin: A B = {x/x A y x B}Representacin Grfica:xABConjuntos no disjuntosABConjuntos disjuntosx

BConjuntos comparablesA

DIFERENCIA SIMTRICA DE CONJUNTOSSe denomina diferencia simtrica de A y B al conjunto formado por la unin de A - B con B - A.Entonces, en A = {1; 2; 3} y B = {2; 3; 4; 5}, se observa que el elemento 1 pertenece al conjunto A pero no pertenece a B y los elementos 4 y 5 pertenecen al conjunto B; pero no pertenecen al conjunto A, entonces, al conjunto formado por 1; 4 y 5 se le llama diferencia simtrica de A y B y se denota por: A B.Notacin: A B = {x/x (A - B) (B - A)}Representacin Grfica:

BConjuntos comparablesxAxABConjuntos no disjuntosxxABConjuntos disjuntosx

COMPLEMENTO ENTRE CONJUNTOSSean los conjuntos A = {a, b, c, d, e} y el conjunto B = {a, c, e}, se observa que B es subconjunto de A y los elementos b y d, pertenecen al conjunto A y no pertenecen al conjunto B.Al conjunto formado por estos elementos: {b, d} se le llama complemento de B con respecto a A y se denota por: BLuego, si B est incluido en A, la diferencia: A - B se llama complemento de B respecto a ANotacin: B = {x/x A y x B} B = {x/x B}Observacin: Si el complemento es respecto al conjunto universal y adems se tiene:B U, entonces:

B = = CB = {x/x U y x B} = {x (U - B)}Representacin Grfica:

Complemento de B respecto a AABComplemento de B respecto a UUBx

Propiedades en la diferencia de conjuntos:1. Reflexiva: A A = A2. Conmutativa: A B = B A3. Asociativa: (A B) C = A (B C)4. De la inclusin: Si: A B, entonces:1. A - B = (ver grfico)2. A B = B A 5. De la exclusin: Si: A y B son disjuntos, entonces: 1. A B = A2. A B = A B6. Del complemento:1. (A) = A2. A A = U3. A A = 4. = U5. U = 7. De la diferencia:1. A B = A B2. A B = B A8. Leyes de Morgan:1. (A B) = A B2. (A B) = A B9. De Absorcin:1. A (A B) = A B2. A (A B) = A BRELACIONES ENTRE LOS CARDINALES DE LOS CONJUNTOS1. Si los conjuntos son disjuntos n(A B) = n(A) + n(B)2. Si los conjuntos no son disjuntos:a) Para dos conjuntos cualesquiera A y B:n(A B) = n(A) + n(B) n(A B)EJERCICIOS1. Dados los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4; 5}B = {2; 4; 6; 8}C = {1; 3; 4; 5; 6}Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:

a) A C = {1; 3; 5; 6}( )b) B A = {6; 8}( )c) B C = {1; 2; 3; 4; 5; 6}( )d) A C = {2; 5}( )e) B C = {4; 6; 8}( )a) FVFVVb) FVVFFc) FVVVFd) FVFFFe) FVVVV2. Dados los conjuntos:A = {1; 2; 3; 4; 5} ; B = {2; 3; 5; 6}U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:a) A = {6; 7; 8}( )b) B = {7; 8}( )c) A B = {6; 7}( )d) B A = {4; 7; 8}( )e) A U = {6; 7; 8}( )a) VFVVFb) VFFFVc) VFFFFd) VFFVFe) VFVFV3. Si:A = {a, b, e, d}B = {x/x es una vocal}.Hallar: A Ba) {a, e}b) {a, i}c) {a, o}d) {a, u}e) {a}4. Si: A = {a, b, m, t}B = {x/x es una vocal de la palabra martes}Hallar: B Aa) {a, e}b) {a, i}c) {a, o}d) {a, u}e) {a}5. Si:U = {x/x N; 0 < x < 10}A = {x/x N; 4 < x < 9}B = {x/x N; 3 < x < 8}Hallar: A Ba) {1}b) {2}c) {3}d) {4}e) {5}6. Dados los diagramas de Venn.AB21 4 5 9 7

8

Hallar: A Ba) {4; 5; 7; 8}d) {4; 5; 9; 7}b) {4; 5; 2; 1}e) {4; 5; 9}c) {4; 5; 9; 7; 8}7. Dados los conjuntos:A = {x/x N; 5 < x < 15}B = {x/x N; 3 < x < 10}Cuntos subconjuntos tiene A B?a) 4b) 8c) 16d) 32e) 648. Dados los conjuntos:A = {x + 2 / x N; 2 < x < 10}B = {3x / x N; x 2}Cuntos subconjuntos tiene A - B?a) 4b) 8c) 16d) 32e) 649. Dados los conjuntos:

A = {2x / x N; 1 < x < 7}

B = { N; / x N; 1 < x < 10}C = {1; 5; 7; 8}Hallar el cardinal de (B C) Aa) 1b) 2c) 3d) 4e) 510. Si: n(A) = 12, n(B) = 18 y n(A B) = 7Hallar: n(A B)a) 12b) 16c) 20d) 31e) 1511. Dados los conjuntos:U = {1; 2; 3; ; 10}A = {x/x N; 4 < x < 10}B = {x/x N; 1 < x < 7} C = {1; 2; 5; 8}Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:I. A B = {2; 3; 4}II. A C = {6; 7; 9}III. (A B) C = {1; 2; 8}a) VFVb) VVFc) FVVd) VVVe) FFV12. La regin sombreada corresponde a:ACB

a) (A B) Cd) A B Cb) (B - C) Ae) A - Bc) (A - C) (B - A)13. Dado los conjuntos:

A = { N / x N; 1 < x < 15}

B = { N / x N; 1 < x < 12}Cuntos subconjuntos tiene: A B?a) 16b) 18c) 8d) 32e) 6414. En un instituto de idiomas estn matriculados 260 alumnos, 120 en ingls, 90 francs y los que estn matriculados en ingls y francs son la tercera parte de los que se matricularon en otros idiomas. Cuntos estn matriculados slo en Francs o Ingls?

a) 160b) 140c) 120d) 150e) 125

15. De 100 alumnos de un colegio se sabe que a 60 no les gusta matemtica a 52 no les gusta Lenguaje. El nmero de alumnos que no les gusta ninguno de los dos cursos mencionados es numricamente igual al nmero de alumnos que slo les gusta matemticas. A cuntos alumnos les gusta slo lenguaje?

a) 10b) 28c) 38d) 34e) 50

16. En el ltimo campeonato nacional de atletismo participaron 98 deportistas, de los cuales 22 hombres venan de provincia y 24 mujeres eran limeas. El nmero de hombres limeos exceda en 20 al nmero de mujeres provincianas. Cuntos participantes fueron de provincia?

a) 22b) 38c) 34d) 28e) 36

17. En una conferencia internacional se observa que 68 banderas empleaban los colores azul, rojo o blanco. Cada una empleaba por lo menos dos colores y 25 de ellas empleaban el rojo y el azul; 15 el rojo y blanco y 36 el blanco y azul. Cuntas banderas empleaban los 3 colores mencionados?

a) 5b) 7c) 4d) 11e) 12

18. En un saln de clases de la Universidad Catlica hay 65 alumnos, de los cuales 30 son hombres, 40 son mayores de edad y 12 seoritas no son mayores de edad. Cuntos hombres no son mayores de edad?

a) 10b) 12c) 13d) 15e) 18

19. En una escuela de 135 alumnos, 90 practican ftbol, 55 bsquetbol y 75 natacin, si 20 alumnos practican los 3 deportes y 10 no practican ninguno. Cuntos practican un deporte y slo uno?

a) 50b) 55c) 60d) 40e) 65

20. A una conferencia internacional asistieron 430 personas. Luego de revisar las fichas de inscripcin se supo que 195 eran americanos, 134 europeos y 165 abogados; de estos ltimos 58 eran americanos y 62 europeos. Cuntos no eran abogados ni europeos?

a) 152b) 136c) 128d) 175e) 193

21. De un grupo de 160 personas que tienen los ojos negros o marrones, se sabe que el nmero de hombres que tienen ojos marrones es la cuarta parte del nmero de mujeres que tienen ojos negros, la sexta parte del nmero de personas que tiene ojos marrones y la sptima parte del nmero de hombres. Cuntas mujeres tienen ojos negros?

a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60

22. De un grupo de deportistas se sabe que todos los que practican natacin tambin practican ftbol, adems:

27 practican bsquet 15 practican ftbol y bsquet 10 practican natacin 7 practican bsquet y natacin 9 practican otros deportes.

Adems los que practican slo bsquet son numricamente iguales a los que practican ftbol pero no natacin. Cuntos deportistas conforman el grupo?

a) 43b) 45c) 72d) 68e) 51

23. Se realiz una encuesta a un grupo de personas y se sabe que 52 de ellos trabajan, 63 son mujeres, de las cuales 12 estudian pero no trabajan. De los varones, 32 trabajan o estudian y 21 no trabajan ni estudian. Cuntas mujeres no estudian ni trabajan, si 36 varones no trabajan?

a) 16b) 20c) 24d) 32e) 38

24. En la seccin de 3ro. B hay 25 alumnos, se sabe que a 12 alumnos les gusta el curso de historia y a 18 el curso de lenguaje. Si a todos les gusta al menos uno de los 2 cursos mencionados, A cuntos les gusta slo historia o slo lenguaje?

a) 15b) 12c) 18d) 23e) 20

25. De un grupo de 43 personas se sabe qu:

26 hablan alemn 10 hablan ingls 15 hablan espaol 2 hablan alemn y espaol 3 hablan ingls y espaol 5 hablan ingls y alemn 1 habla los 3 idiomas mencionados

a) Cuntos hablan espaol o ingls pero no alemn?

b) Cuntos no hablan estos idiomas mencionados?

a) 22 y 8b) 16 y 1c) 20 y 6d) 17 y 1e) N.A.

26. De un grupo de 12 alumnos que asisten a sus clases 3 viajan siempre caminando, 6 usan micro y 7 combi para ir a su colegio. Cuntos vienen algunas veces en micro y otras en combi?

a) 4b) 3c) 2d) 1e) 0

27. De 30 personas que viajan rumbo a Europa, 16 dijeron que visitaran Francia, 16 Inglaterra y 11 Suiza; 5 de los encuestados viajarn a Francia y Suiza, y 3 de ellos visitarn tambin Inglaterra; 5 van a Suiza y 8 slo a Inglaterra. Cuntos van slo a Francia?

a) 2b) 3c) 8d) 5e) 7

28. De 50 personas, se sabe que:

5 mujeres tienen ojos negros 16 mujeres no tienen ojos negros 14 mujeres no tiene ojos azules 10 hombres no tienen ojos negros o azules

Cuntos hombres tienen ojos negros o azules?

a) 19b) 20c) 17d) 18e) 21

CAPITULO 02SISTEMA DE NUMERACION

MAPA CONCEPTUALNUMERACIN

Conceptos Bsicos

S.N.Decimal

Nmero

Numeral

Sistema de Numeracin

Caractersticas

Orden

Valores de una cifra

Descomposicin Polinmica

Relativo

Absoluto

S.N. noDecimal

Base de un S.N.

Principios de los S.N.

D.P. en cualquier S.N.

CONCEPTOS BSICOS

1. Nmero.- Es un ente abstracto, carente de definicin, slo se tiene una idea de l.

2. Numeral.- Es la figura o smbolo que representa o da la idea del nmero, por ejemplo, para el nmero cinco.

IIIII; V ; 3 + 2; 22 + 1; cinco; five; 5

3. Sistema Numeracin.- Es un conjunto de smbolos y leyes que nos permiten representar y expresar correctamente los nmeros. Tenemos diversos sistemas de numeracin, entre los cuales destaca el sistema de numeracin decimal.

4. Sistema de Numeracin Decimal.- Es el sistema cuyo principio fundamental es que la formacin de sus unidades va de diez en diez.

1) CARACTERSTICAS DEL SISTEMA DE NUMERACIN DECIMAL:

I. En el sistema de numeracin decimal existen diez smbolos denominados cifras, que son: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9.

II. Con estas diez cifras se pueden formar todos los nmeros posibles mediante las combinaciones entre ellas.

III. El mnimo valor que puede tener una cifra es cero (cifra no significativa) y el mximo valor es el 9 (una unidad menos que la base diez).

Orden: Es el lugar que ocupa cada cifra empezada a contar de derecha a izquierda. As, por ejemplo, para el nmero 1234, se observa:

1 2 3 41er. orden o unidades2do. orden o decenas3er. orden o centenas4to. orden o unidades de millar.

Valores de una cifra: Toda cifra que forma parte de un nmero, puede tomar dos valores:

I. Valor Relativo o Posicional: Es el valor que representa la cifra por la posicin que ocupa dentro del nmero.

II. Valor Absoluto o por su forma: Es el valor que representa la cifra por la forma que tiene. Ejemplo: Para el nmero 1234, notamos que la cifra 2 por su posicin vale dos decenas, mientras que por su forma vale 2; siendo el primero su valor relativo y el segundo su valor absoluto.

2) DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NUMERAL DEL SISTEMA DECIMAL:

Cualquier nmero se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus cifras. As por ejemplo:

1234 = 1 unidad de millar + 2 centenas + 3 decenas + 4 unidades.

En unidades simples, sera:

1234 = 1000 + 200 + 30 + 4= 1 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 4

Ntese que los exponentes de 10 son el nmero de cifras que estn a la derecha de cada una de las cifras componentes del numeral en general, si representamos a los numerales en forma literal, tendramos:

= Nmero de 3 cifras = {100 ; ; 999}

= a . 102 + b . 10 + c

= Nmero de 4 cifras iguales = {1111; ; 9999}

= m . 103 + m . 102 + m . 10 + m = 1111.m

= Nmero capica de 5 cifras = {10001; 10101; ; 99999}

= a . 104 + b . 103 + c . 102 + b . 10 + a

= 10001 .a + 1010 . b + 100 . c

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS

1. Indicar la suma de la cifra del primer orden ms la cifra del sexto orden de: 42399981301Rpta.: ____________

2. Calcular el valor de A, si 1232 es el doble de .

Rpta.: ____________

OTROS SISTEMAS DE NUMERACIN.

1. Base de un sistema de numeracin:

Es el nmero de unidades de un orden cualquiera que forma una unidad de un orden inmediato superior. Tambin se define como aquella que nos indica el nmero de cifras disponibles en un sistema de numeracin, para escribir o representar cualquier nmero.

Se representa: 33(7) y se lee: 3 grupos de 7 y 3 unidades simples en base 7 tres de la base 7.

Como vera usted, querido alumno, la base se coloca en la parte inferior de la derecha del nmero como subndice y si en caso no aparece se asumir que est en base 10 (ver sistema de numeracin decimal).

Condiciones de la base:

a) Debe ser entero: b Zb) Debe ser positivo: b Z+c) Debe ser mayor o igual a dos: b 2

2. Principios Fundamentales o Reglas Convencionales de los Sistemas de Numeracin:

Toda cifra de un numeral es necesariamente menor que su base y adems es un entero no negativo.

Cifra: {0; 1; 2; 3; ; (b - 1)}

Consecuencia:

Cifra mxima = Base -1 Cifra < Base

Ejemplos:

Hallar el mayor numeral de 3 cifras del sistema de b = 10 : 999

Hallar el menor numeral de 4 cifras diferentes de b = 10 : 1023

Hallar el mayor numeral de 5 cifras diferentes de b = 9 : 87654(9)

Hallar el menor numeral de 4 cifras significativas de b = 2 : 1111(2)

Cifra significativa es aquella cifra diferente de cero (0)

3) En el sistema de numeracin de base con cifras diferentes, se puede formar cualquier numeral en dicha base.

BaseSistema de NumeracinCifras diferentes que se utiliza

23456789101112Binario o dualTernario CuaternarioQuinarioSenarioHeptanarioOctanarioNonarioDecimal o decuplo UndecimalDuodecimal 0, 10; 1; 20; 1; 2; 30; 1; 2; 3; 40; 1; 2; 3; 4; 50; 1; 2; 3; 4; 5; 60; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 70; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 80; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 90; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; ,

Para representar numerales de cifras mayores que 9, se toma en cuenta: = A = 10; B = b = 11; = c = 12; etc.

Existen infinitos sistemas de numeracin, como consecuencia del cuadro antes mencionado.

3. Descomposicin Polinmica de un nmero en cualquier sistema de numeracin:

= a.n4 + b.n3 + c.n2 + d.n + e

EJEMPLOS:

1234(n) = 1.n3 + 2.n2 + 3.n + 4 = 6 . 133 + . 132 + 0.13 +

=

= (n2 + 1)

A esta descomposicin se le llama Descomposicin en bloques.

= a . 92 + a . 9 + a

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS

1) Indicar verdadero (V) o Falso (F) segn corresponda.

I. Existen solo 10 sistemas de numeracin.

II. En el sistema de base 5, se utilizan 5 cifras diferentes.

III. En el sistema de base 7, no existe la cifra 7.

a) FFVb) FVVc) FVVd) VVVe) VFF

2) Completar:

En el sistema octal, existe .... cifras diferentes y la mayor es ..

a) 8 y 8b) 7 y 8c) 7 y 7d) 8 y 7e) 7 y 6

3) Cmo se expresa en base 7 un nmero formado por 48 unidades?

a) 65(7)b) 66(7)c) 56(7)d) 34(7)e) 44(7)

EJERCICIOS

1. Si a un nmero de 3 cifras se le agrega la suma de sus cifras se obtiene 432. Hallar la suma de la cifras del nmero.

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

2. Hallar el mayor nmero de 3 cifras que al restarle 459 d como resultado la suma de sus cifras.

a) 539b) 519c) 499d) 479e) 509

3. Qu sucede con un nmero de 3 cifras si a la primera cifra se le disminuye en 3, a la segunda se le aumenta en 8 y a la tercera se le disminuye en 2?

a) Disminuya en 222b) Aumenta en 222c) Disminuye en 378d) Aumenta en 378e) Faltan datos

4. Calcular la suma de las cifra de un nmero capica de tres cifras que sea igual a 23 veces la suma de sus cifras diferentes.

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

5. Hallar el valor de a, si el nmero es el producto de 4 nmeros enteros consecutivos.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

6. Hallar un nmero de 3 cifras que sea igual a 36 veces la suma de sus cifras. Dar la mayor de sus cifras.

a) 2b) 7c) 3d) 8e) 4

7. Hallar un nmero comprendido entre 200 y 300 tal que ledo al revs y menos uno, resulta el triple del nmero original. Dar la cifra de las decenas.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

8. Hallar a para que se cumpla:

a) 2b) 3c) 5d) 6e) 4

9. Si a , b y c son cifras diferentes entre s, hallar m + p, si se cumple:

a) 10b) 11c) 12d) 14e) 15

10. Calcular a + b + c si se cumple:

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

11. Expresar 48 en base n y dar la suma de sus cifras, si se cumple:

115(n) = 235(6)

a) 7b) 8c) 9d) 10e) 11

12. Hallar a + b + c si se cumple:

a) 5b) 7c) 8d) 6e) 10

TRANSFORMACIN DE SIST. DE NUMERACIN:

TRANSFORMACIN DE SIST. DE NUMERACINDe base 10 a una base diferente de 10Divisiones sucesivas De una base diferente de 10 a base 10De una base diferente de 10 a otra diferente de 10Descompo-sicinpolinmica Descom-posicin Polinmica Divisiones Sucesivas

QUE PUEDE SERPor medio de la usandoutilizando

CONCEPTOS BSICOS

Consiste en transformar un nmero de cierto sistema de numeracin a otro sistema de numeracin, pero sin dejar de poseer estos nmeros, la misma cantidad de unidades.Se presentan 3 casos:

1. De una base diferente de 10 a la base 10: Para este caso, se utiliza el procedimiento de descomposicin polinmica, efectuando la operaciones indicadas.

Ejemplos:

= a . n2 + b . n + c

123(4) = 1 . 42 + 2 . 4 + 3 = 27

16 8

876(9) = 8 . 92 + 7 . 9 + 6 = 717

648 63

2. De base 10 a una base diferente de 10: Se utiliza el mtodo de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el nmero dado entre la base n a la cual se desea convertir, si el cociente es mayor que n se dividir nuevamente y as en forma sucesiva hasta que se llegue a una divisin donde el cociente sea menor que n.

Luego, se toma el ltimo cociente y los residuos de todas las divisiones, desde el ltimo residuo hacia el primero y ese ser el nmero escrito en base n.Ejemplo:Convertir: 100 a base 3

100 3 1 33 3 0 11 3 2 3 3 0 1

Luego:100 = 10201(3)

3. De una base diferente de 10 a otra diferente de 10: Se utilizan en este caso, los 2 mtodos vistos anteriormente, es decir:

1Llevamos el nmero del sistema diferente de 10 a base 10 por descomposicin polinmica.

2Luego llevamos el nmero hallado en el sistema decimal a la base que nos piden por divisiones sucesivas.

base 10 = base 10

D.P. base 10 D.S.

Ejemplo: Convertir: 543(6) a base 4

543(6) = 5 . 62 + 4 . 6 + 3 = 207

180 24207 4 3 51 4 3 12 4 0 3

Luego:543(6) = 207 = 3033(4)

4. Propiedad: Si un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples en dos sistemas de numeracin diferentes, deber cumplirse que donde tenga mayor representacin aparente le corresponde una menor base y viceversa..

N =

Entonces: x > y

EJEMPLOS DEMOSTRATIVOS

1. Dada la igualdad: Cul(es) de las afirmaciones es verdadera?

I. n < 7II. n > 4III. n < 4IV. Rpta.: _____________

2. Hallar a + b + c, si se cumple:

= 246(8)

Rpta.: _____________

EJERCICIOS

1. Si se cumple:

= 1312

Hallar: n

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

2. Si se cumple:

Hallar: a + b + n

a) 15b) 18c) 20d) 24e) 26

3. Si se cumple:

Hallar: a + b + c + n

a) 8 b) 9c) 10 d) 11 e) 12

4. Hallar a + b + c + d + e + n, si se cumple:

211(3) =

a) 4b) 5c) 6d) 8e) 10

5. Hallar a + b + c, si se cumple:

121(n) =

a) 34b) 32c) 27d) 21e) 17

6. Hallar a + b + c + d + e, si:

a) 32 b) 16 c) 20 d) 21 e) 25

7. Un nmero de 3 cifras del sistema de base 7, se escribe en la base 9 con las mismas cifras pero colocados en orden inverso. Expresar el nmero en base decimal y dar la suma de sus cifras.

a) 14b) 15 c) 12 d) 17 e) 9

8. Un nmero escrito en 2 bases que se diferencian en dos unidades est representado por 413 y 231. Hallar dicho nmero en el sistema decimal y dar la suma de sus cifras.

a) 9b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

9. Hallar a + b + c, si se cumple:

= 2553(c) = 1611(a) = 1205(b)

a) 9b) 10c) 12d) 13e) 14

10. Si el numerador 1458(n), se expresa en base (n + 1). Cunto suman sus cifras?

a) 7b) 8c) 9 d) 10 e) 11

11. Sabiendo que: .

Hallar:

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

12. Hallar n en:

a) 20b) 9c) 7d) 6e) 8

13.

Si: y los nmeros: 36(x) y estn bien escritos, hallar:

a) 28b) 56e) 78d) 42e) 63

14. El nmero 1002 de la base 4, en que base se escribe como 123.

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

15. El menor nmeros de 4 cifras de la base n se escribe en base diez como .

Hallar a + b + n y expresar el resultado en base 2.

a) 101(2)b) 110(2)c) 1011(2)d) 1101(2)e) 1111(2)

16. Si se cumple: 122(n) =

Hallar: a + b + c + n

a) 18b) 20c) 24d) 26e) 30

17. Hallar a + b + n, si se cumple:

a) 11b) 12c) 14d) 8e) 9

18. Hallar a + b + c + d + n, si se cumple:

a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

19. Expresar en el sistema senario el menor nmero de tres cifras diferentes de la base 8.

a) 132(6)b) 150(6)c) 133(6)d) 124(6)e) 125(6)

20. El mayor nmero de 3 cifras de la base n se representa en base 5 como 4021. Hallar: n

a) 9b) 7c) 8d) 10e) 12

21. Expresar en base 9 el menor nmero de la base 6 cuya suma de cifras sea 18.

a) 1185(9)b) 1285(9)c) 1153(9)d) 1158(9)e) 1228(9)

CAPITULO 03NUMEROS NATURALES

1. NMEROS PRIMOS

Son aquellos que tienen solo 2 divisores.

Ejemplo:

Nmeros PrimosDivisores

21, 231, 351, 571, 7111, 11131, 13 : :

2. NMEROS COMPUESTO

Son todos aquellos nmeros que tienen ms de 2 divisores.

Ejemplo:

Nro. CompuestoDivisores

41, 2, 4121, 2, 3, 4, 6, 12301, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30251, 5, 25401, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

3. NMEROS PRIMOS ENTRE S (PESI)

Es aquel conjunto de dos o ms nmeros, cuyo nico divisor en comn es la unidad.

Ejemplo:

NmerosDivisores61 , 2, 3, 6151 , 3, 5, 15201 , 2, 4, 5, 10, 20

nico divisor en comn

Para que 2 o + nmero sea PESI solo deben tener en comn a la unidad como divisor.

4. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMTICA

Cualquier nmero compuesto puede ser expresado como la multiplicacin indicada de sus factores primos elevados a exponentes enteros y positivos (Descomposicin Polinmica).

Ejemplo:

Descomponer 1600 cannicamente.

16002 8002 4002 2002Factores primos de 1600 10021600 = 26 x 52 502 255 55 1

5. CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NMERO (CD)

Un mtodo prctico para determinar la cantidad de divisores de un nmero es utilizando su descomposicin cannica.Veamos:

Hallar la cantidad de divisores de 120

1202120 = 2 3 x 3 1 x 5 160230215 3CD(120)= 4 x 2 x 2 55 1 Luego: CD(120) = 16 Para la cantidad total de divisores aumentamos una unidad a cada exponente de su descomposicin cannica

NOTA:

Total de divisores = Div. Primos + Div. Compuestos + 1de un nmero

6. SUMA DE DIVISORES DE UN NMERO (SD)

Para este caso utilizaremos la siguiente frmula:

SD(N) =

EJERCICIOS

1. Qu grupo de nmeros son PESI?

a) 12, 15, 16b) 21, 70, 105c) 7, 13, 39d) 20, 27, 49e) 100, 13, 17

2. Indicar cul de los siguientes nmeros tiene mayor cantidad de divisores.

I. 240II. 72III. 128

a) Solo Ib) Solo IIc) Solo IIId) Solo I y IIe) Solo I y III

3. Indicar la suma de la cantidad de divisores de 24 y 60.

a) 16b) 18c) 20d) 24e) 12

4. Dado el nmero N = 22 x 33 x 51Cuntos divisores tiene?

a) 20b) 22c) 24d) 36e) 30

5. Del problema anterior, Cuntos divisores simples tiene N?

a) 2b) 3c) 8d) 4e) 1

6. Cuntos divisores ms tiene el nmero 360 que el nmero 100?

a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

7. Sea:

A : Cantidad de divisores de 20.B : Cantidad de divisores de 42.

Hallar A + B

a) 18b) 16c) 12 d) 14 e) 10

8. Calcular la suma de divisores compuestos de 36.

a) 80 b) 85 c) 81 d) 79 e) 84

9. La edad de Juanita es la suma de todos los divisores de 36. Cul es la edad de Juanita?

a) 36b) 25c) 91 d) 90 e) 100

10. Sea:

A = Cantidad de divisores de 36B = Cantidad de divisores de 30

Calcular la cantidad de divisores de A + B

a) 3 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6

11. Qu nmero tiene mayor cantidad de divisores?

A = 22 x 33 x 51B = 24 x 32 x 72C = 2400

a) A b) B c) C d) A y B e) A y C

12. Si: A = 2n x 33 x 54 tiene 100 divisores, calcular n

a) 4b) 6 c) 8 d) 9 e) 2

13. Si N = 24 x 3n x 51 x 71 tiene 48 divisores. Calcular el valor de n

a) 1b) 2c) 3 d) 4 e) 5

14. Si M = 23 x 71 x 114n tiene 40 divisores. Hallar n

a) 1b) 2c) 3 d) 4e) 5

15. Si P = 74 x 16 x 9n tiene 171 divisores compuestos.

Calcular n

a) 1 b) 2c) 3 d) 4 e) 6

1. PRINCIPIOS DE DIVISIBILIDAD

La divisibilidad es una parte de la teora de los nmeros que analiza las condiciones que debe tener un nmero para que sea divisible por otro.Y cundo un nmero es divisible por otro?Se dice que A es divisible por B, si al dividir A entre B la divisin resulta exacta (cociente entero y residuo cero).

A es divisible por B

A B0 q cociente entero residuo cero

Ejemplo: 91 es divisible por 7; pues

91 7 0 13

143 es divisible por 11; pues

143 11 33 13 01. Definicin de Divisor

Se dice que B es divisor de A, cuando lo divide en forma entera y exacta.

Es decir:SiA B0 k

Donde:A es un enteroB es un nmero naturalk es un nmero entero

Se lee:B es divisor de A

A es divisible por B

2. Definicin de MLTIPLO

Se dice que A es mltiplo de B, cuando lo contiene un nmero entero y exacto de veces.

Es decir:SiA B0 k

Donde:A es un enteroB es un nmero naturalk es un nmero entero

A = B(k)

A es mltiplo de B.

Notacin: A =

EJERCICIOS

Escribe los 10 primeros mltiplos de:

3 : _________________________2 : _________________________5 : _________________________7 : _________________________13 : _________________________

Escribe los divisores de:

12 : _________________________18 : _________________________20 : _________________________20 : _________________________360 : _________________________

OBSERVACIONES

1. Cero es mltiplos de todos los nmeros naturales.

Ejemplo:0 7 0 = 0(7) 0

2. La unidad es divisor o factor de cualquier nmero entero.

Ejemplo: 12 1 12 = 12(1) 0 12

3. Todo nmero tiene infinitos mltiplos pero finitos divisores.

Ejemplo:

= 12, 2, 36, 48, ., etc.12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12

3. NMEROS NO DIVISIBLES

Sabemos que un nmero es divisible por otro cuando la divisin es entera y exacta. Pero cuando dicha divisin tiene residuo, diremos que el dividendo es mltiplo del divisor ms el residuo.

Es decir: A Br q A = Bq + r

Ejemplo:

43 7 43 = (6) + 1 1 6

43 = + 1

43 7 43 = 7(7) - 66 7

43 = - 6

Ntese:

Por defectoPor exceso

+ 1 = - 6

Suman 7

Un nmero se puede expresar en funcin de su mdulo de 2 maneras por defecto o por exceso.

Ejemplo:

4. OPERACIONES CON MLTIPLOS

4.1.

Ejem:4 + 8 = 12

4.2.

Ejem:27 - 9 = 18

4.3.

Ejem:16 x 4 = 64

4.4.

Ejem:

= 625

4.5.

Ejem:

=

EJERCICIOS

1. Cuntos nmeros de 2 cifras son divisible por 11?

a) 11b) 10c) 9d) 8e) 7

2. El mayor nmero de 2 cifras es un mltiplo de:

a) 2b) 3c) 4d) 5e) 6

3. Relaciona correctamente:

91 es mltiplo de 8154 es mltiplo de 32000 es mltiplo de 131941 es mltiplo de 11

4. Indicar la suma de cifra del mayor nmero que sea .

I. 648II. 1000III. 2008IV. 7580

a) 18b) 1c) 10d) 20e) 9

5. Si el siguiente nmero es divisible por 7, calcular el valor de x.

a) 7b) 6c) 5d) 4e) 3

6. Del 1 al 3000. Cuntos nmeros no son mltiplos de 11?

a) 272 b) 273c) 2727 d) 2728 e) 27267. Del 240 al 1500. Cuntos nmeros son ?

a) 83 b) 84 c) 85 d) 86 e) 82

8. Cuntos mltiplos de 7 estn comprendidos entre 30 y 300?

a) 36 b) 37 c) 38 d) 39 e) 40

9. Cuntos mltiplos de 13, que no terminan en 5, hay entre 800 y 1000?

a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. Cuntos nmeros de 4 cifras mltiplos de 8 que terminan en 6, existen?

a) 220 b) 225 c) 230 d) 250 e) 300

11. Por qu nmero es siempre divisible un nmero de la forma ?

a) 2 b) 7c) 13 d) 11 e) 9

12. Un nmero de la forma es siempre mltiplo de?

a) 41b) 43c) 11 d) 17 e) 9

13. Cuntos nmeros pares de 3 cifras se convierten en mltiplos de 32 al sumarles 20 unidades?

a) 28b) 27 c) 30 d) 32 e) 40

14. Si el nmero es mltiplo de 13 ms 5. Calcular a

a) 8b) 7c) 6 d) 9 e) 11

15. Si el siguiente nmero es divisible por 8. Cul es el valor de a?

a) 5b) 4c) 3 d) 6e) 716. Cuntos nmeros del 1 al 100 son + 3?

a) 9 b) 8c) 7 d) 6e) 10

17. Cuntos nmeros de 3 cifras son divisibles por 14?

a) 61b) 62c) 63 d) 64 e) 65

18. Cuntos nmeros de 3 cifras son divisibles por 7?

a) 127b) 128 c) 129 d) 130 e) 124

2. DIVISIBILIDAD POR: 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11

criterios de divisibilidad

Para saber en forma inmediata si un nmero es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la divisin correspondiente, porque bastar conocer algunas caractersticas de tal situacin de divisibilidad; a estas caractersticas las conocemos como criterios de divisibilidad.

Las caractersticas que deben poseer un nmero para poder ser dividido por otro son llamados CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD.

A. POR UNA POTENCIA DE 2: (2n)

Un nmero es divisible por 2nsi sus n ltimas cifras forman un numero mltiplo de 2n.

Ejm: = e =

= =

= =

Ejemplo:

Qu valor debe asignarle a z para que el numeral sea divisible entre 8?

Solucin:

Como 8 = 23 entonces nos fijaremos en las 3 ltimas cifras del numeral .

Es decir debe ser

8

54 0

B. POR UNA POTENCIA DE 5: (5n)

Un nmero es divisible por 5n si sus n ltimas cifras son ceros (0) o forman un nmero mltiplo de 5n.

= e = 0

= = 00 ,

= = 000 ,

C. POR 3 o 9

Un numeral es divisible por 3 o 9 si y solo s la suma de sus cifras es divisible entre 3 (o entre 9).

= a + b + c + d =

= a + b + c + d =

Ejemplo:

Calcular el valor de x sabiendo que es divisible por 9.

Solucin: =

Entonces:

6 + 7 + x + 4 + 1 + 4 = 22 + x = 9 x = 5

D. POR 11

Un numeral es divisible entre 11 s y solo s la diferencia entre la suma de sus cifras de orden impar y la suma de sus cifras de orden par es divisible entre 11.

+-+-+

= a - b + c - d + e =

Ejemplo:

Cul es el valor que toma y para que el numeral sea divisible entre 11?

Solucin:+-+-+

=

Entonces:1 4 + y 1 + 7 =

3 + y = y = 8

E. POR 7

Un numeral es divisible entre 7 si al multiplicar a cada una de sus cifras de derecha a izquierda por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, y luego efectuar su suma algebraica resulta divisible entre 7.

1231231

+-+

a 2b 3c d + 2e + 3f + g =

Ejemplo:

Cul es el valor de a si el numeral es divisible por 7?

Solucin:231231

+-

2 + 21 + 6 a 9 2 =

18 a = a = 4

EJERCICIOS

1. Cuntos nmeros enteros positivos no mayores que 1000 son mltiplos de 3 y 5?

a) 64b) 65 c) 66 d) 67 e) 68

2. Calcular la suma de los 10 primeros mltiplos positivos de 6.

a) 300 b) 330 c) 360 d) 350 e) 400

3. Calcular la suma de los 20 primeros mltiplos de 5, positivos.

a) 970 b) 578 c) 1 050 d) 4 561 e) N.A.

4. Indicar el menor valor posible de n significativo de tal manera que:

4 . n = ___________________ 3(n + 1) = ___________________

a) 0 b) 7c) 14 d) 21 e) N.A.

5. Un nmero de forma N = es siempre divisible por:

a) 3b) 7 c) 11 d) 17 e) 101

6. Cuntos nmeros de 3 cifras son mltiples de 3 pero no de 2?

a) 120b) 130 c) 140 d) 150 e) 180

7. Cuntos nmeros de 3 cifras son mltiples de 12 y no de 5?

a) 15b) 30 c) 60 d) 75 e) 100

8. Del problema anterior. Cuntos nmeros son mltiplos de 7 y 5 a la vez?

a) 25b) 26 c) 27 d) 28 e) 29

9. Del problema 10. Cuntos nmeros son mltiplos de 7 y terminan en cifra 3?

a) 10b) 11 c) 12 d) 13 e) 14

10. En la siguiente serie:

24(50+ 1); 24(50 + 2); 24(50 +3); 24(50 + 200)

Cuntos trminos son mltiplos de 42?

a) 20b) 40c) 60 d) 80 e) 100

11. Cuntos nmeros capicas de 4 cifras son divisibles entre 12?

a) 6b) 7 c) 8 d) 9 e) 10

12. Cuntos nmeros de 3 cifras, multiplicado por 13 resultan capicas de 4 cifras?

a) 4b) 6c) 7 d) 8 e) 9

13. Cuntos nmeros menores que 800 pero mayor que 600 son mltiplos de 5?

a) 39b) 38c) 40 d) 41 e) 42

14. Cuntos nmeros menores que 1000 pero mayor que 300 son mltiplos de 7?

a) 99b) 100 c) 101 d) 102 e) 103

15. es siempre mltiplo de:

a) (n -1) b) nc) n + 1 d) 3 e) 6

16. Entre 261 y 7214. Cuntos nmeros enteros terminados en 8 son divisible por 7?

a) 70b) 80 c) 99 d) 90 e) 98

17. De la siguiente secuencia: 18, 36, 54, Cuntos trminos de 3 cifras son divisibles por 14?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 11

18. Hallar x en: = 8

a) 2b) 3 c) 4 d) 5e) 6

19. Cuntos mltiplos de 6 terminados en 2, existen entre 120 y 1236?

a) 18b) 19 c) 36 d) 37 e) 38

20. Cuntos nmeros de 4 cifras son divisible por 11?

a) 800b) 809 c) 810 d) 80 e) 820

21. Cuntos nmeros de 3 cifras que terminan en 4 resultan ser mltiples de 7?

a) 72b) 90 c) 29 d) 13 e) 10

22.

Si: CA() + CA() = 13

entonces + es:

a) b)-8 c)-1

d) +8 e)+6

23. Si:

Hallar: a b

a) 2b) 3c) 4 d) 5e) 6

24. Cuntos nmeros de la forma son divisibles entre 28?

a) 1b) 2c) 3 d) 4 e) 5

3. MCD Y MCM

MXIMO COMN DIVISOR (MCD)

El Mximo Comn Divisor de dos o ms expresiones algebraicas es otra expresin algebraica conformada por los factores primos comunes elevadas a los menores exponentes.

Ejemplo

A = (x + 3)3 (x - 2)2(x + 4)5B = (x - 5)2(x + 3)2 (x + 4)6MCD(A, B) = (x + 3)2 (x + 4)5

HALLAR EL MCD

A = (x - 2)3 (x + 3)2 (x - 1)B = (x + 3)3 (x - 2)2MCD(A, B) =

HALLAR EL MCDA = (x - y)3 (x + 2)4 (x - 1)3B = (x - y)2 (x - 1)2 (x + 3)5C = (x - 1)3 (x + 2)3 (x + 5)2MCD(A, B, C) =MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M)

El Mnimo Comn Mltiplo de dos o ms expresiones algebraicas es otra expresin algebraica conformada por todos los factores primos y los comunes se toman los mayores exponentes.

Ejemplo

A = (x + 3)2(x - 2)5(x + 1)2B = (x + 3)3(x + 4)2 (x - 2)2MCM(A, B) = (x + 3)3(x - 2)5(x + 4)2(x + 1)2

HALLAR EL MCDA = (x - 2)3 (x + 3)5 (x - 5)B = (x - 5) (x + 3)2 (x - 2)MCM(A, B) =

HALLAR EL MCDA = (x - 2)3 (x + 3)4 (x - 7)5B = (x + 3)2 (x - 2) (x + 1)C = (x + 1)2 (x + 3) (x - 2)4MCM(A, B, C) =

PROPIEDADES

1. Dada dos expresiones algebraicas A y B el producto de su MCD por su MCM es igual al producto de A x B.

MCD x MCM = A x B

EJERCICIOS

1. Hallar el MCM en:

A = x2 y2B = x2 2xy + y2

a) x yb) x + yc) (x - y)2d) (x - y)2(x + y)e) N.A.

2. Siendo:A = x2 + 3x 10B = x2 25C = x2 10x + 25

Calcular: MCD

a) x + 5b) x 5c) (x - 5)2d) x + 2e) N.A.

3. El MCD de:

A = x2 y2B = x3 + y3C = x2 + 2xy + y2

a) x yb) (x y)2c) x - yd) x 2e) N.A.

4. Siendo el MCM de:

A = 16xn+3ym+2B = 8xn+2ym+4

Igual a: ax5y5Calcular: a .n . m

a) 2b) 24c) 23d) 25e) N.A.

5. Si:A = 2x3 5x2 + 4x 4B = 2x3 3x3 + 3x 2

A)Hallar el MCD

a) (x - 2)d) (x - 1)(2x2 x + 2)b) (x - 1)(x - 2)e) N.A.c) 2x2 x + 2

B)Hallar el MCM

a) (x + 2)(2x2 + x - 1)(2x2 x + 2)b) (x 2)(2x2 x + 1)(2x2 x + 2)c) (x - 2)(2x2 x + 1)(2x2 x - 2)d) (x + 2)(2x2 x + 1)(2x2 x - 2)e) N.A.

6. El producto del MCM por el MCD de dos polinomios es x4 + 7x3 + 12x2 si uno de los polinomios es x3 + 3x2 entonces el otro ser:

a) x + 2b) x + 4c) x2 + 4xd) x2 + 3xe) N.A.

7. El producto del MCM y el MCD de dos polinomios es:

x3 6x2 + 4x 6 y si uno de ellos es x 1.

Calcular el trmino independiente de el otro polinomio.

a) 1b) 2c) -6d) 6e) N.A.

8. El cociente de dos polinomios es 2x y el resto es cero. Adems el producto del MCM con su MCD de dichos polinomios es 2x3(x - y)2 entonces uno de dichos polinomios es:

a) x2 + xyb) x2 xyc) 2x(x + y)d) x + ye) N.A.

9. Encuentra el MCD de los polinomios:

A = x3 7x2 + 14x 8B = x3 10x2 + 29x 20C = x4 3x3 x + 3

a) x2 + x + 1b) x 1c) x + 2d) x 2e) N.A.

CAPITULO 04NUMEROS ENTEROS

Observemos atentamente este ejercicio:

1er. Ejemplo:

8 -

8 -

RECUERDA

Se resuelve primero las operaciones que estn entre parntesis

8 - =

2do. Ejemplo

Observa atentamente este ejemplo:

En este caso primero se efecta la multiplicacin y luego la divisin.

3er. Ejemplo:

No olvides el orden de solucin:

1)Divisin2)Multiplicacin3)Suma4)Resta

y .. si tenemos RADICACIN y POTENCIA el orden sera el siguiente

1) Radicacin2)Potencia3)Divisin4)Multiplicacin5)Suma6)Resta

y con los signos de agrupacin:

1)Parntesis2)Corchete3)Llaves

EJERCICIOS

Efectuar:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. Una fraccin reducida a su mnima expresin es igual a 1/8. Si la suma de sus trminos es 72. Hallar la diferencia entre ellos:

a) 27b) 28 c) 56 d) 112 e) 63

8. Qu parte de 3/5 representa lo que le falta a 1/8 para ser 3/5?

a) 19/21 b) 19/35 c) 19/24 d) 17/24e) N.A.

Resolver:

9.

10.

11.

12.

13.

14. La tercer parte y cuarta parte de una canasta de frutas son naranjas y manzanas respectivamente. Hallar el nmero total de frutas que contiene la canasta si la suma de naranjas y manzanas es 21.

a) 24b) 25c) 72 d) 36 e) N.A.

Efectuar:

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26. Cunto le falta a 3/7 para ser igual a 3/5 de 13/21 de 2/3 de 5/14 de 7?

a) 4/9b) 5/9 c) 4/21 d) 11/9 e) N.A.

27. Si B 3 de cada 5 jvenes de un colegio le gusta la matemtica y el colegio tiene 500 alumnos. B cuntos de ellos no les gusta la matemtica?

a) 300 b) 200 c) 250 d) 500 e) N.A.

28. Si dividimos la edad de Jorge por 1/5 resulta 25 aos. Cul es la edad de Jorgito?

a) 10b) 11 c) 12 d) 5 e) N.A.

29. Si los 3/4 de un nmero es 45. Cunto equivale el doble ms la mitad del mismo nmero?

a) 90b) 100 c) 120 d) 150 e) N.A.

CUATRO OPERACIONES

En este captulo se va a estudiar las 4 operaciones fundamentales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin).

Daremos nfasis al anlisis de los problemas tipo; los cuales sern resueltos empleando solo operaciones bsicas, lo que no descarta que se den como notas adicionales algunos mtodos

I. ADICIN

a + b + c + + n = S

II. SUSTRACCIN

M - S = D

Donde : M + S + D =

NOTA:

Complemento Aritmtico

C.A. = 10 a =

C.A.= =

C.A. ==

C.A. ==

III. MULTIPLICACIN

M . m = P

IV. DIVISIN

V. OPERACIONES COMBINADAS

Conociendo la suma (S) y diferencia (D) de 2 nmeros.

# Mayor =

# Menor =

EJERCICIOS

1. Una persona deja al morir a c/u de sus hijos S/.840. Habiendo fallecido uno de ellos, la herencia de este se reparti entre los dems, recibiendo entonces c/u S/.1120. Cul era la fortuna dejada y cuntos hijos eran?.

a) S/.3360 ; 3 b) 3630 ; 4c) 3603 ; 3d) 3300 ; 4e) N.A.

2. Desde los extremos de una carretera parten 2 ciclistas al encuentro uno del otro con velocidades de 18km. por hora el uno y el otro 12km por hora. Cunto tiempo tardarn en encontrarse s la carretera tiene una longitud a 300 km?.

a) 8 hb) 9c) 10d) 12e) N.A.

3. Una persona quiere rifar un reloj de un precio determinado emitiendo para esto cierto nmero de acciones. Si vende en 2000 soles cada accin perder 30 000 soles y vendiendo en 5000 soles la accin ganar 60 000 soles. Cunto vale el reloj y cuntas son acciones?

a) S/. 10 000; 30 acciones (boletos)b) S/. 80 000 ; 30 acciones c) 120 000 ; 40 acciones d) 160 000 ; 50 acciones e) N.A.

4. A un baile asistieron 52 personas, una primera dama baila con 5 caballeros, una segunda dama baila con 7 y as sucesivamente, hasta que la ltima baila con todos los caballeros. Cuntas damas concurrieron?.

a) 28b) 26c) 24d) 30e) N.A.

5. Si trabaja los lunes, un pen economiza 40 000 soles semanales; en cambio, la semana que no trabaja el da lunes, tiene que retirar 2 000 soles de sus ahorros. Si durante 10 semanas logra economizar S/.220 000. Cuntos lunes dejo de trabajar en estas 10 semanas?.

a) 1b) 9c) 5d) 3e) 7

6. Manuel compr cierto nmero de ovejas por valor de 6 000 dlares. Ha vendido de ellas; por valor de 1800 dlares, a 120 dlares cada oveja, perdiendo en c/u 30 dlares. A cmo debe vender c/u de las restantes para resultar ganando 600 dlares sobre lo pagado en la compra de todas? (o sea para sacar 6 600 dlares en la venta).

a) $180b) 192c) 172d) 1760e) N.A.

7. Miguel y Percy juegan sobre la base de que en cada jugada ganada se ganen 5000 soles. Despus de 20 jugadas Miguel result ganando 40 000 soles. Cuntas jugadas de las veinte gano c/u?.

a) 10 y 10b) 12 y 8c) 14 y 6d) 16 y 4e) N.A.

8. Al trmino de una reunin, hubieron 28 estrechadas de mano, suponiendo que c/u de los participantes fue cortes con c/u de los dems, el nmero de personas presentes fue:

a) 14b) 56c) 28d) 8e) 7

9. Un microbs parte de la plaza 2 de mayo en direccin a comas, llega al paradero final con 53 pasajeros; sabiendo que c/pasajero cuesta S/.3 y se ha recaudado en total S/.195, que en cada paradero bajaba 1 pasajero pero suban 3. Cuntos pasajeros partieron del paradero inicial?.

a) 31b) 25c) 27d) 29e) 33

10. El nmero de 3 cifras que restando de su complemento aritmtico da 286 es:

a) 357b) 753c) 375d) 537e) N.A.

11.

Si se cumple que: x (C.A. () = 7396Determinar el valor de : a x b

a) 2b) 5c) 3d) 4e) 6

12. El doble de un # de 3 cifras excede al triple de su complemento aritmtico en 380. Hallar el #.

a) 575b) 676c) 678d) 576e) N.A.

13. Un comerciante compro 30 lapiceros por 54 soles. Si vendi 6 lapiceros a S/.2.00 c/u. Cmo tendr que vender c/u de los lapiceros restantes para no ganar ni perder?.

a) S/. 1,75b) 1,8c) 1,9d) 1,85e) N.A.14. El residuo de la divisin de un cierto nmero entre 13, es 11; pero si dicho nmero se divide entre 11, el cociente aumenta en 1 y el residuo anterior disminuye en 1 Cul es el nmero?.

a) 65b) 76c) 75d) 78e) 85

15. Con 105 bolas iguales se forma un tringulo equiltero. Cuntas bolas hay en cada lado?.

a) 12b) 13c) 14d) 15e) N.A.

16. 16 personas tienen que pagar por partes iguales S/.75 000; como algunos son insolventes; cada uno de los restantes tiene que poner S/. 2 812,50 para cancelar la deuda. Cuntas son insolventes?

a) 10b) 7c) 6d) 8e) 5

17. El chofer de un mnibus observa de que en su recorrido. Han subido slo adultos pagando c/u S/.22 y cuando bajan 1; suben 3, llegando al paradero final con 56 adultos. Con cuntos inicio su recorrido, si recaud en total S/.1 760.

a) 16b) 32 c) 35d) 40e) N.A.

18. Se han de repartir 160 caramelos entre 45 nios de un saln, dndole 3 caramelos a cada varn y 4 a cada nia. Cuntas nias hay en esta aula?.

a) 32b) 25c) 26d) 28e) 30

19. Pepe ha de multiplicar un #por 50, pero al hacerlo se olvida de poner el cero a la derecha, hallando as un producto que se diferencia del verdadero en 11610. Cul es el nmero?.

a) 528b) 825c) 258d) 321e) N.A.

20. Al multiplicar por 73 un cierto nmero, ste aumenta en 26 280. Cul es el nmero?.

a) 365b) 563c) 635d) 356e) 653

21. Se ha de repartir 180 chocolates entre 50 animales. Cada animal es un mono o un gato. A cada mono le ha de corresponder 3 chocolates y a cada gato 5 chocolates. Cuntos son monos y cuntos son gatos?.

a) 16, 34b) 25, 25c) 35, 15d) 28, 22e) 30, 20

22. En una fiesta a la que asistieron 53 personas; en un momento determinado 8 mujeres no bailan y 15 hombres tampoco bailaban, Cuntas mujeres asistieron a la fiesta?.

a) 21b) 20c) 22d) 23e) 24

23. Entre 2 personas tienen S/.785, si una de ellas diese S/.21 a la otra, la diferencia que hay entre las 2 partes aumentara hasta S/.135. Cunto tiene c/u?.

a) 440 ; 345b) 439 ; 346c) 125 ; 660d) 152 ; 633e) N.A.

24. Natty compra 6 manzanas por S/.4 y vende 4 manzanas por S/.6. Cuntas manzanas tendr que vender para ganar S/.180?.

a) 205b) 302c) 216d) 225e) 242

25. Natty divide la cantidad de dinero que tiene en su cartera entre 100, resultando un nmero entero a. Si da a monedas de S/.10 aun mendigo, an le quedan S/.2160. Cunto tena en su cartera?.

a) 2400b) 2500c) 3000d) 2850e) 2425

26. Para ganar S/.500 en la rifa de un T.V. se hicieron 150 boletos; se vendieron slo 120 boletos originndose de S/.400. Cunto vala la T.V.?

a) 5 000b) 6 000c) 7 000d) 4 000e) 3 000

Cuntos nmeros entre 420 y 2780 dan como resto 16 al ser dividido entre 34?.

a) 80 nmerosb) 60c) 90d) 70e) 50

27. El exceso de C.A. de un nmero de 3 cifras sobre dicho nmero es 632. Hallar el C.A. de la suma de las cifras del nmero?.

a) 90b) 89c) 88d) 87e) 86

28. Si al minuendo le sumamos 140 y le restamos el cudruple de la suma del sustraendo ms la diferencia. Se obtendr como resultado el minuendo. Hallar la diferencia original, si el sustraendo es la mayor posible y la suma de sus cifras es 10.

a) 5b) 6c) 7d) 8e) 9

29. Juana compr mesas a 4 por S/.1300 y las vende a 7 por S/.2 700; si ella debe ganar S/.5 100. Cuntas mesas tiene que vender?.

a) 90b) 35c) 64d) 84e) N.A.

CAPITULO 05NUMEROS RACIONALES

NMEROS RACIONALES

Representa el nmero de partes que se toma del nmero de partes en que se divide el total.

Ejemplo:

# de partes tomadas # de divisores

Luego:

Sea: F = es fraccin

a = numeradorb = denominador donde b 0

Tipos de fracciones importantes

I. PROPIA:

Sea f = Si f < 1 a < b

Ejem:

II. HOMOGNEAS (Iguales denominadores)

III. EQUIVALENTES

Sea

Luego donde k Z+

Ejem:

IV. IRREDUCTIBLES

Sea a y b primos entre s.

V. DECIMAL

Sea b = 1012

Ejem:

NMEROS DECIMALES

Es el desarrollo de una fraccin irreductible.CLASIFICACIN:

DECIMAL EXACTO.- El denominador posee alguna potencia de 10 o algn factor 2 o 5 solamente.

Origen:

= 0,225 = 0,6

= 1,375

DECIMAL PERIDICO PURO.- El denominador no posee alguna potencia de 10 o algn factor 2 o 5.Origen:

= 0,666 = 0,6

= 0,4545 = 0,45

= 0,518518 = 0,518

= 1,242424 = 1,24

DECIMAL PERIDICO MIXTO.- Adems de los factores 2 o 5, tambin se encuentra otros factores como el 3, 7 etc.

Origen:

= 0,5666 = 0,56

= 0,54121212 = 0,5412

= 0,15909090 = 0,1590

= 1,27777 = 1,27

FRACCIN GENERATRIZ.- Es la que determinar el origen de la expresin decimal.

a) Expresin Decimal Exacta.-

ab,cde= 3 ceros

Ejem:

0,25 =

42,9 =

3,17 =

0,003 =

b) Expresin Decimal Peridica Pura

ab, cdecde

ab, cde= 3 nueves

Ejem:

4,5 =

0,37 =

62,7 =

c) Expresin Decimal Peridico Mixta

ab, cdefgefg

ab, cd efg = 3 nueves2 ceros

Ejem:

4,217 =

0,345 =

57,378 =

EJERCICIOS

1. a)Tres personas tiene que hacer una colecta para reunir cierta suma de dinero. Si han colectado respectivamente los 5/24, los 3/10. Qu fraccin todava falta colectar?

Rpta. _____________

b)Una propiedad es de 2 hermanos, la parte del primero es 7/16 y el valor de la parte correspondiente a otro hermano es S/. 63 000. Qu valor tiene la propiedad?a) S/. 120 000b) 150 000c) 140 000d) 112 000e) 108 000

2. a)Cunto le falta a 2/3 para ser igual al cociente de 2/3 entre 3/4?

Rpta. _____________

b)Cunto le falta a 4/11 para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de los 4/9 de los 6/11 de 7?

a) 7/9b) 11/9c) 4/9d) 3/4e) No le falta nada

3. a)Un puente cruza un ro de 760 pies de ancho, en una orilla se sostiene 1/5 del puente y en la otra orilla 1/6. Cul es la longitud del puente?

Rpta. _____________

b)La distancia entre Lima y Trujillo es de 540 km. a los 2/3 de la carretera, a partir de Lima, esta situada la ciudad de Casma, a la quinta parte de la distancia entre Lima y Casma, a partir de Lima se encuentra la ciudad de Chancay. Cul es la distancia entre Chancay y Casma?

a) 288 km.b) 72c) 360d) 432e) 180

4. a)Despus de haber perdido sucesivamente los 3/8 de su fortuna, 1/9 del resto y los 5/12 del nuevo resto, una persona hereda 60 800 soles y de este modo la prdida se halla reducida en la mitad de la fortuna primitiva. Cul era dicha fortuna?

Rpta. _____________

b)Los 3/8 de un poste estn pintados de blanco, los 3/5 del resto de azul y el resto que mide 1,25 de rojo. Cul es la altura del poste y la medida de la parte pintada de blanco?

a) 50 m y 10,75 mb) 5 m y 1,75 mc) 50 m y 24 md) 5 m y 1,875 me) 5 m y 2,4 m

5. a)Sabiendo que perd 2/3 de lo que no perd, luego recupero 1/3 de lo que no recuper y tengo entonces S/. 42. Cunto me quedara luego de perder 1/6 de lo que no logr recuperar?

Rpta. _____________

b)En una reunin los 2/3 son mujeres 3/5 de los varones son casados, mientras que los otros seis son solteros. Cuntas personas asistieron a la reunin?

a) 45b) 36c) 30d) 25e) 15

6. a)Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote se eleva los 2/3 de la altura anterior, si despus del cuarto rebote consecutivo logra elevarse 32 cm. De qu altura cay inicialmente?

Rpta. _____________

b)Una pelotita cae de cierta altura y en cada rebote pierde 1/4 de la altura anterior, si despus de 3 rebotes consecutivos logra elevarse 27/16 dm. De qu altura cay inicialmente?a) 108 dm.b) 60 dm.c) 4 dm.d) 180 dm.e) 40 dm.

7. a)Un comerciante vendi los 2/5 partes de su mercadera perdiendo 1/5 de su precio de costo. Cunto debe ganar en la renta de las partes restantes para recuperar su capital?

Rpta. _____________

b)Durante los 7/9 de un da se consumen los 14/27 de la carga de una batera. En cunto tiempo se consume la mitad de la carga?

a) 1/3 de dad) 1 dab) 3/4 de dae) N.A.c) 2/3 de da

8. a)Jorge al apostar, pierde 1/3 de su dinero; en una segunda apuesta pierde 3/5 de lo que le quedaba y en la tercera apuesta pierde los 4/7 del resto. Qu parte de su dinero inicial le ha quedado?

Rpta. _____________

b)Un cartero dejo 1/5 de las cartas que lleva en una oficina, los 3/8 en un banco, si an le quedan 34 cartas para repartir. Cuntas cartas tena para distribuir?

a) 60b) 70c) 80d) 90e) N.A.

9. a)Si:

A =

B =

Determinar (A + B)

Rpta. _____________

b)Si a los trminos de una fraccin irreductible, se le suma el triple del denominador y al resultado se le resta la fraccin, resulta la misma fraccin. Cunto suman los trminos de la fraccin original?

a) 11b) 8c) 3d) 13e) 10

10. a)Simplificar:

M =

Rpta. _____________

b)Simplificar:

F =

a) 1b) 2c) 10d) 11e) 12

11. a)Simplificar:

E =

Dar el denominador de la fraccin simplificada.

Rpta. _____________

b)Calcular la generatriz de la fraccin decimal peridica.0,34848a) 13/66b) 23/66c) 1/3d) 7/33e) 1/5

12. a)Al simplificar al mximo la expresin:

0,19 - + 0,05 +

Se obtiene la fraccin irreductible .

Hallar: a + b

Rpta. _____________

b)Si:P = 0,5Q = 0,05R = 0,005

Cul de las siguientes expresiones tiene mayor valor?a) p/qb) p + q + rc) p/rd) p x qe) q/r

13. Dado:

0,m1 + 0,m2 + 0,m3 =

Hallar: ma) 5b) 2c) 1d) 4e) 314. Calcular el valor de (a + b) en:

= 1,3

a) 4b) 9c) 11d) 15e) 17

15. Hallar N. Sabiendo que:

= 0, x(x + 1) (2x + 1)

a) 17b) 27c) 18d) 37e) 11

16. Si lo que queda del da es los 2/3 del tiempo transcurrido. Qu hora es?

a) 2 H 24 mind) 14 H 24 minb) 2 H 12 mine) 14 H 36 minc) 14 H 12 min

17. Simplificar:

E =

a) 1b) 2c) 4d) 0,5e) 2,5

18. Un estudiante observa que el precio de un libro es 5 veces el precio de una regla y esta cuesta el doble de un lapicero. Entonces compra dos libros, una regla y un lapicero pagando 1150 nuevos soles. Cul es el precio de un libro?

a) S/. 450b) 500c) 350d) 400e) 300

19. Al dejar caer el suelo una pelota cada vez que rebota se eleva a una altura igual a los 2/3 de la altura de donde cay. Despus de 3 rebotes la pelota se ha elevado 16/27 metros. De qu altura inicial se dej caer la pelota?

a) 2 mb) 9c) 54d) 4e) 8

20. A un alambre de 95 m de longitud se le han dado 2 cortes de tal manera que la longitud de cada trozo sea igual al anterior aumentado en su mitad. Cul es la longitud del trozo ms largo?

a) 25 mb) 30c) 45d) 55e) 40

21. Un padre le pregunta a su hijo: Cunto gasto de los S/. 1800 de propina que le dio?, el hijo le responde:Gast los 3/5 de lo que no gaste? Cunto no gast?

a) S/. 1115b) 1125c) 1130d) 675e) 775

22. Si se aade 5 unidades al denominador de 7/15. La fraccin aumenta o disminuye en cuanto?

a) aumenta en 7/60b) aumenta en 9/60c) disminuye en 1/60d) disminuye en 7/60e) se mantiene igual

23. Calcular un nmero sabiendo que si a la cuarta parte de sus 2/5 se agrega los 2/5 de su 3/8 y se restan de su quinto parte se obtiene 21.

a) 120b) 100c) 144d) 121e) 210

24. Se tiene 15 botellas de 4/3 de litro cada una. Si se vacan los 3/5 de las 15 botellas. Cuntos litros quedan?

a) 8b) 10c) 12d) 9e) 11

25. Una persona recibe viticos por 4 das, el primer da gast la quinta parte; el segundo da gast 1/8 del resto; el tercer da los 5/3 del primer da, el cuarto da el doble del segundo da y an le qued 15 000 soles. Cul fue la cantidad entregada?

a) 50 000b) 75 000c) 150 000d) 90 000e) 45 000

26. Hallar el valor de:

E =

a) 2/3b) 1/15c) 1/5d) 1/45e) 3/5

27. Calcular el valor de n en:

0,n3 + 0,n4 + 0,n7 =

a) 5b) 2c) 3d) 1e) 4

28. Simplificar:

E =

a) 1b) 2c) 9/10d) 10/9e) 1/3

29. Calcular el valor de a:

= 0,73

a) 1b) 2c) 4

d) e) 9

30. Hallar x en:

= 0,x(x+1)

a) 4b) 3c) 1d) 2e) 5

CAPITULO 06NUMEROS REALES

ADICIN EN

Operacin binaria que, dados 2 nmeros reales a y b llamados sumandos hace corresponder un tercer entero S llamado suma.

a + b = S

SumaSumandos

Ejemplo:

Efectuar con aproximacin al milsimo:

S = +

Solucin:

(pi) es un nmero especial o una constante universal, cuyo valor es: 3,14159...es un nmero irracional porque no hay forma de representarla como fraccin.

Luego: S = +

S = 3, 14159... + 2,645751... + 0,629629...

Aproximando a milsimos cada sumando:

S = 3,141 + 2,646 + 0,630

Efectuando la suma:

S = 6,417

Respuesta: La suma pedida con aproximacin a milsimos es 6,417.

PROPIEDADES DE LA ADICIN DE NMEROS REALES

1. Propiedad de Clausura:

La suma de dos o ms nmeros reales es otro nmero real

Si a R y b R entonces (a + b) R

Ejemplo:

-7, 8 R, 5/2 R

Entonces -7,8 + 5/2 = -5,3 R

2. Propiedad Conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma

a + b = b + a

Ejemplo:

3 + 6 = 6 + 3

3. Propiedad Asociativa:

La forma como agrupemos los sumandos no altera la suma

a + (b + c) = (a + b) + c

Ejemplo:

4. Propiedad Elemento Neutro:

Es el cero. Si sumamos un nmero real con CERO, la suma resultante es el mismo nmero

a + 0 = a

Ejemplo:8 + 0 = 8

+ 0 =

5. Propiedad Inverso Aditivo:

Si sumamos un nmero real con su opuesto, obtenemos como resultado CERO

a + (-a) = 0

Ejemplo:

+ + (-) = 0

SUSTRACCIN

La sustraccin de dos nmeros reales es un caso particular de la adicin de los mismos.

Es decir: Efectuar la sustraccin de dos nmeros reales M y S significa sumar M con el opuesto de S.

M S = D es equivalente a M + (-S) = D

Donde: M : es minuendoS : es sustraendoD : diferencia

Ejemplo:

De 7/9 restar con aproximacin a milsimos.

Solucin:

= 0,7777..... 0,778

= 3,316624... 3,317

Luego:

-

Es: 0,778 - 3,317 = -2,539

Respuesta: El resultado de efectuar la sustraccin pedida con aproximacin al milsimo es 2,539.

EJERCICIOS

I. Efectuar las siguientes operaciones de Adicin y Sustraccin de R con aproximacin a centsimo:

1) =

2)

+ 0,256 + =

3)

+ + =

4)

+ =

5) + =

6) =

7) + 0,3682 =

8)

+ 0,925673 + =

9)

+ 0,8668 + =

10) + =

11) De 1/2 restar 0,3542

12) De restar 3/8

13) Restar 0,3245 de

14)

De restar la suma de - 1 con

II. Efectuar los siguientes operaciones de ADICIN y SUSTRACCIN en R con aproximacin al milsimo.

1)

De la suma de + 1 con restar

2)

De restar la suma de ( + 3) con

3)

Restar 2 de la suma con + 1

4)

Restar ( - 1) de ( + 1)

5) De 13/14 restar

6)

+ 5 -

7) +

8) + 0,92573 + 1/11

9) +

10) 1/7 + 0,2568 +

MULTIPLICACIN en

Operacin aritmtica directa que consiste en repetir una cantidad denominada multiplicando tantas veces como la indique otra, llamada multiplicador.

a + n = p

multiplicando

producto

multiplicador

Ejemplo:

Efectuar 7,15 con aproximacin a centsimos.

Solucin:7,15 7,157/5 1.40

1,73

Luego:= 7,15 (1,40 + 1,73)= 7,15 (3,13)= 22,38

Respuesta: El resultado de la operacin dada es 22,38 aproximada a centsimo.

PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIN DE NMEROS REALES:

1. Propiedad de Clausura:

Si multiplicamos dos nmeros reales, el resultado o producto es otro nmero real

Si a R y b R entonces (a ; b) R.

Ejemplo:(8,3) (6,2) = 51,46

2. Propiedad Conmutativa:

El orden de los factores reales no altera el producto

a x b = b x a

Ejemplo:(8,5) (3,2) = (3,2) (8,5)

x () = () x

3. Propiedad Asociativa:

La forma como se agrupan los factores reales no altera el producto

(a . b) . c = a . (b . c)

Ejemplo:

(. ) . = () . (.)

4. Elemento Neutro:

Es el uno (1). Al multiplicar cualquier nmero real por UNO (1) obtenemos el mismo nmero real

a . 1 = a

Ejemplo:(8) (1) = 8

() (1) =

5. Elemento Absorbente:

Cualquier nmero multiplicado por CERO (0) da como producto CERO (O).

a . 0 = 0

Ejemplo:(12,85) (0) = 0

(3,9) (0) = 0

6. Propiedad Distributiva:

Al multiplicar un nmero real con la suma de otros, el resultado es igual a la suma de los productos de dicho nmero con cada sumando

a (b + c) = (ab + ac)

Ejemplo:

= . + . 3

7. Propiedad de Inverso Multiplicativo:

Al multiplicar un nmero real distinto de cero por su inverso, el producto resultante es UNO (1)

a 1/a = 1

Ejemplo:

12 . = 1

= 1

DIVISIN

Dividir dos nmeros reales a y b es lo mismo que multiplicar el dividendo por el inverso del divisor no nulo; es decir:

a : b = q equivale a a x = q

para todo b 0

La divisin de dos nmeros reales a y b, tienen por objeto hallar un tercer nmero llamado cociente (q), de modo que a = bq

Ejemplo:-8 : 2 = - 4 -8 = (2) (-4)

OBSERVACIN

1. La divisin de nmeros reales no es conmutativa. Es decir:

(a : b) (b : a)

2. La divisin de nmeros reales no es asociativa. Es decir:

(a : b) : c (a) : (b : c)

3. La divisin de nmeros reales es distributiva en cuanto al divisor respecto a una suma en el dividendo. Es decir:

(a + b) : c a : c + b : cEJERCICIOS

I. Efectuar las siguientes operaciones de Multiplicacin y Divisin en R con aproximacin a dcimos.

1) (7,12) () =

2) (3,12) () (1,11) =

3) 3,768 (1/2 + ) =

4) (3,75 + 2,148) (5,13 + ) =

5) (1, 108 + 1,73) (5,17) =

6)

( + 1) ( - 1) =

7) ( + 2) ( - 1)

8) (2) ( + 3,8)

9) (3,865) (2,56 + )

10) (7,032) ( + )

I. Efectuar los siguientes operaciones con aproximacin a dcimos.

1) 8 : 4/5

2) 76 : 38/5

3) 23/7 : 32/17

4)

2 : 6

5) 16 : 8/9

6)

3 : 2

7)

16 :

8)

3 : 2

9) 8 : 12

10)

:

II. Efectuar las siguientes operaciones.

1) (-2) x (-3) x (-5)

2) (-3) . (1/3) : (-5) (5-1)

3) (-2) . (1/2) : (-4) . (4-1)4)

. : 2 x 21/2

5) (5,5) (2) : (10) (1)

6) (21/2) (2) : (1) (1-1)

7) 16 : 2-1

8) (8) (-3) (-2)

9) (5) (-2) (-3) (21/2)

10) (-2) (-3) (-7) (-9) (54-1)

POTENCIACIN

Es el producto abreviado de un mismo nmero real mediante una cantidad determinada de veces.As:

an = P

Donde se tiene:a base realn exponente enteroP potencia real

POTENCIA DE BASE REAL Y EXPONENTE NATURAL:

Si an, es una potencia donde n N, tenemos que:

an=

OBSERVACIN:En potenciacin, el exponente natural n nos indica la cantidad de veces que se repite la base a real como factor.

Ejemplo:

1) (-3)2 = (-3) (-3) = 0

2) (-2,5)3 = (-2,5) (-2,5) (-2,5) = -15,625

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIN DE NMERO REALES:

1. Multiplicacin de potencias de bases iguales:am .an = am + n

Ejemplo:

. = =

(-3)8 . (-3)12 = (-3)8 + 12 = (-3)20

2. Divisin de potencias de bases iguales:am .an = am - n

o

= am - n

Casos Particulares:

i) Si m = n, entonces:= am n=a0 = 1

Toda potencia de base real distinta de cero y exponente NULO es igual a 1.

ii) Si m = 0, entonces:

= a0 n = a-n=

3. Potencia de una multiplicacin:(a . b)n = an . bn

Ejemplo:

4. Potencia de una Divisin:

=

Ejemplo:

5. Potencia de potencia:

= am n - p

Ejemplo: = (0,5)6

RADICACIN

Es la operacin inversa a la potenciacin. En ella se conoce la potencia y el exponente, debiendo hallar la base.

Es decir:= r rn = a

Donde:n : es el ndice ; n N ; n 2a : es el subradical o radicando; a R

: es el operador radicalr : es la raz ; r R

Ejemplo:

= -2 (-2)3 = -8

SIGNOS DE RADICACIN:

1) = + r

Ejemplo:= + 3

2) = - r

Ejemplo:= -2

3) = + r

Ejemplo:= 9

4) = R

EJERCICIOS

I. Efectuar las siguientes operaciones de Potenciacin y Radicacin.

1) (-1/2 + 7)-2 + 1050 =

2) + (5/3)-1 + (2/3)-1 =

3) 5/32

4)

(2)2 =

5) =

6) =

7) =

8) =

9) =

10) =11) =

12) =

13) =

14) (0,42)5 (0,42)10 =

15) =

16) + 1 =

17) =

18) =

19) =

20) =

II. Efectuar las siguientes operaciones combinadas en R :

1) =

2) =

3) =

4) =

5) =

6) =

7) (-7)0 - 70

8) (1/2)-2 + - 30

9) (0,2) -2 - =

10)

11) =

12) =

13) =

14) =

15) =

16) =

17) =

18) =

19) =

20) =

III. Efectuar:

1)

a) 1b) 2c) 4d) 6e) 8

2)

a) 1b) 1c) 2d) 3e)

3)

a) 2b) 1c) 1d) 2 e) 3

4) (1/3) 1 + (1/2) 1 + (1/7) 1

a) 7b) 10c) 12d) 15e) 16

5) (1/2) -1 + (1/8) 1 (1/4) 1

a) 2b) 1c) 7d) 6e) 4

6) Simplificar: 2n+5 : 2n

a) 16b) 2c) 8d) 1e) 32

7) Reducir:

a) 1b) 5c) 10d) 25e) 12

8) Dar la mitad de: [3n+1 x 2] : 3n

a) 3b) 1c) 6d) 2e) 9

9) Hallar la raz cuadrada de M si:

M = [10n -2] 1 x 10n

a) 100b) 10c) 8d) 2e) 5

10) Efectuar:

a) 2b) 1c) 10d) 3e) 5

11) Calcular P10 sabiendo que:

P =

a) 2b) 0c) 1d) 1e) 5

12) Cunto debemos aumentar a x para que se anule?

x =

a) 1b) 1c) 2d) 0e) No se puede

13) Efectuar:

a) 1/2b) 0c) 1d) 1e) 2

14) Reducir:

a) 32b) 4c) 28d) 36e) 18

15) Reducir:

a) 3b) 18c) 28d) 56e) 27

16) Efectuar: R =

a) 9b) 2c) 3d) 1e) 81

17) Simplificar:

a) 2b) 1c) 4d) 6e) 8

18) Hallar la sptima parte de:

a) 7b) 2c) 1d) 3e) 5

19) Calcular la mitad de:

a) 6b) 3c) 1d) 1,5e) 8

20) Efectuar:

a) 6b) 5c) 1d) 2e) 1

CAPITULO 07RAZONES Y PROPORCIONES

Las razones y proporciones, tienen una gran aplicacin en diversas disciplinas; por ejemplo en ingeniera se emplean las escalas para realizar pequeas maquetas; en el rea contable, para realizar movimientos financieros y en la vida diaria, para efectuar ciertos operaciones aritmticas.

RAZN

Si observamos dos magnitudes y una es mayor que la otra nos preguntamos en cuntas unidades es mayor? cuntas veces contiene la mayor o la menor?, para responder a estas preguntas comparamos estas dos magnitudes por diferencia o por divisin respectivamente.

RECORDAR:Razn es la comparacin de dos cantidades de una misma magnitud mediante la operacin de diferencia o divisin.

CLASES DE RAZN

Razn Aritmtica

Es la comparacin de dos cantidades mediante la diferencia. Dicha diferencia determina en cuntas unidades excede una magnitud a la otra.Ejemplo:En una reunin asisten 25 varones y 18 mujeres. Cul es la razn aritmtica?Comparando:

25 varones 18 mujeres = 7 varones

Antecedente Consecuente valor de la razn

En general:a b = r

Razn ConsecuenteAntecedente

Razn Geomtrica

Es la comparacin de dos cantidades por medio del cociente o divisin.Ejemplo:La edad de un padre y su hijo son 40 y 5 aos respectivamente.

Comparando:

= 8

Interpretacin:

La edad del padre es 8 veces la edad del hijo. La edad del hijo es la octava parte de la edad del padre.

En general:= k

Donde:a : antecedenteb : consecuentek : valor de la razn geomtrica

PROPORCIN

Es la igualdad de dos razones y puede ser de dos clases:

PROPORCIN ARITMTICA(EQUI - DIFERENCIA)Igualdad de dos o ms razones aritmticos.

a b = c dmediosextremos

PROPIEDAD:

Suma de medios igual a suma de extremosa + d = b + c

Las proporciones aritmticas se dividen en dos tipos:

Proporcin Aritmtica Discreta

Cuando se cumple que sus cuatro trminos son diferentes entre s.a - b = c - d

Observacin:

Al ltimo trmino (d) se le denota Cuarta diferencial de a, b y c.

Proporcin Aritmtica Continua

Cuando los trminos medios son igualesa - b = b - c

Observacin:

A cada trmino igual (b) se le denomina Media diferencial de a y c; y a cada trmino distinto se le llama Tercera Diferencial.

PROPORCIN GEOMTRICA(EQUI - COCIENTE)Igualdad de dos o ms razones geomtricas

=

o tambin:

a : b :: c : d

Donde:a y d son trminos extremos.b y c son trminos medios.

PROPIEDADProducto de medios igual a producto de extremos.a . d = b . c

Las proporciones geomtricas se dividen en dos tipos:

Proporcin Geomtrica Discreta

Cuando se cumple que sus cuatro trminos son diferentes entre s.

=

Observacin:Al ltimo trmino (d) se le denomina Cuarta proporcional de a, b y c.

Proporcin Geomtrica Continua

Cuando los trminos medios son iguales

=

Observacin:A cada trmino igual (b) se le denomina Media Geomtrica o Media Proporcional de a y c; y a cada trmino distinto se le llama Tercera Proporcional.

PROPIEDADES

Si:

1. a . d = b . c

2.

3.

4.

5.

6.

7.

EJERCICIOS

1. Dos nmeros estn en la relacin de 5 a 2 y su suma es 70. Hallar el mayor:

a) 20b) 30c) 40d) 50e) 60

2. Dos nmeros estn en la relacin de 3 a 7 y la diferencia de ellos es 160. hallar el menor:

a) 60b) 120c) 180d) 250e) 280

3. Dos nmeros son entre s como 5 es a 3 y su suma es 120. Hallar el mayor:

a) 60b) 75c) 36d) 48e) 45

4. La suma de dos nmeros es 980 y su razn es 5/9. Hallar el menor:

a) 300b) 320c) 340d) 350e) 360

5. La suma de dos nmeros es 320 y su razn geomtrica es 3/7. Hallar el nmero mayor:

a) 336b) 224c) 188d) 163e) 218

6. Dos nmeros son entre s como 2 es a 5. Si su razn aritmtica es 72. Hallar el nmero mayor:

a) 60b) 82c) 120d) 96e) 86

7. Las edades de Juan y Roberto son 30 y 24 aos respectivamente. Dentro de cuntos aos sus edades estarn en la relacin de 7 a 6?

a) 10b) 18c) 15d) 12e) 20

8. Mario tiene 38 aos y Jessica 24 aos, hace cuntos aos sus edades fueron como 2 a 1?

a) 12b) 8c) 10d) 15e) 6

9. En una caja se tienen 140 bolas, 80 blancas y el resto iguales, cuntos bolas blancas se deben retirar para que existan 5 bolas blancos por cada 6 bolas azules?

a) 10b) 20c) 30d) 40e) 50

10. En una reunin se observ que por cada 5 hombres hay 3 mujeres si llegaron 10 hombre y 8 mujeres la nueva relacin ser de 3 hombres por cada 2 mujeres. Cuntos personas haban inicialmente en la reunin?

a) 48b) 42c) 32d) 38e) 24

11. Hallar la media proporcional de 4 y 9

a) 6b) 7c) 8d) 9e) 10

12. Hallar la media proporcional de 12 y 27

a) 18b) 16c) 12d) 15e) 21

13. Hallar la cuarta proporcional de 15; 20 y 18

a) 36b) 21c) 24d) 28e) 32

14. La media proporcional de a y 27 es b y adems a es la tercera proporcional entre 3 y 27. Hallar (a - b)

a) 81b) 162c) 243d) 54e) 30

15. La cuarta diferencial de a, b y c es 29, la tercia proporcional de a y b es 36 y la media aritmtica de b y c es 39. Hallar la tercera diferencial de a y c.

a) 20b) 21c) 22d) 23e) 24

16. En una razn geomtrica el antecedente es 108 y el consecuente 4. Cul es el valor de la razn?

a) 25b) 27c) 29d) 31e) 33

17. Determinar el consecuente de una razn cuyo valor es 5/8 y el antecedente es 4/9.

a) 32/45b) 45/32c) 18/15d) 6/5e) 8/25

18. En una razn el consecuente es 8 y su valor es 0,375. Determinar el antecedente.

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

19. La razn entre las velocidades de un tren y de un avin es 2 : 3 si la velocidad del tren es de 600 km/h. Cul es la velocidad del avin?

a) 150 km/hb) 300c) 450d) 600e) 900

20. La razn de las longitudes de los lados de un rectngulo es 3 : 4. Si el lado menor mide 15 cm. Cunto mide el permetro del rectngulo?

a) 50 cmb) 60c) 70d) 80e) 90

21. Las edades de Ana y Julia estn en la relacin de 2 : 3. Qu edad tiene la mayor, si la sumas de sus edades es 85 aos?

a) 17b) 34c) 51d) 60e) 75

22. La diferencia entre el peso de dos vehculos es 120 kg. y estn en la relacin de 7 : 4. Calcule el peso del vehculo menos pesado?

a) 40 kgb) 80c) 120d) 160e) 200

23. El permetro de un rectngulo es 256 cm y la razn entre la medida de sus lados es 5 : 3. Calcular el rea.

a) 3840 cmb) 3640c) 3440d) 800e) 400

24. Dos amigos deben repartirse $ 27 000 en la razn de 7 : 2. Cunto dinero recibe el mayor?

a) $ 21000b) 18000c) 9000d) 3000e) 2000

25. El dinero de 2 personas estn en la razn de 12 : 7 y una de ellas tiene $ 850 ms que la otra. Cunto dinero tiene la menor?

a) 1090b) 1190c) 1120d) 1000e) 1990

26. Los ngulos interiores de un tringulo estn en la razn de 5, 8 y 2. Cul es la medida de ngulo mayor?

a) 90b) 96c) 100d) 106e) 160

27. Calcular M si M = T + P + DDonde:

T : media diferencial de 12 y PP : media proporcional de 12 y 3D : tercia proporcional de T y P

a) 10b) 15c) 18d) 19e) 20

28. En la serie:

se cumple: a + b + c - k = 54

Calcule:a b + c

a) 14b) 27c) 21d) 36e) 12

29. En una proporcin geomtrica continua el producto de los extremos es 144. Hallar la media proporcional.

a) 10b) 12c) 18d) 21e) 24

30. En una proporcin geomtrica la suma de antecedentes es 130 y la suma de los consecuentes es 208. Si el producto de los trminos medios es 5400. Hallar el mayor de los trminos.

a) 100b) 75c) 120d) 180e) 240

31.La suma, la diferencia y el producto de dos nmeros estn en la misma relacin que los nmeros 4; 2 y 15. Cul es el mayor de los nmeros?

a)4b)10c)14d)15e)16

32. La razn geomtrica entre la suma y la diferencia de dos nmeros es 5/3. Si la suma del mayor con el triple del menor es 14, hallar la suma de los cuadrados de los nmeros.

a)68b)72c)76d)80e)100

32.A una fiesta asistieron 400 personas entre hombres y mujeres, asistiendo 3 hombres por cada 2 mujeres. Luego de dos horas, por cada 2 hombres hay 1 mujer. Cuntas parejas se retiraron?

a)160b)40c)60d)100e)80

33.Dos motociclistas parten de un mismo punto en direcciones opuestas, transcurridos los primeros 45 minutos la razn de la distancia a su punto de partida es de 3 a 5, y a los 30 minutos siguientes se encuentran distanciados 80 km. Cul es la diferencia de sus velocidades en km/h?

a)20b)12c)18d)16e)24

34.Pedro y Pablo parten simultneamente uno al encuentro del otro de dos puntos A y B que distan 550 m y con velocidades iniciales que son entre s como 4 es a 7 respectivamente. Si inmediatamente despus del cruce la relacin de velocidades cambia; es de 5 a 8; siendo Pablo el ms veloz, calcular la distancia del punto A al punto en el cual luego del cruce Pedro se encuentra separado de Pablo 195 m.

a)225 mb)250c)295d)275e)300

35.A una fiesta asistieron 240 personas, se sabe adems que por cada 38 hombres, hay 10 mujeres. Si por cada 10 personas que beben, 6 son hombres y por cada persona que bebe se consumi 3 botellas de cervezas, cuntas mujeres no bebieron en dicha reunin, si se compraron 10 docenas de cervezas?

a)24b)16c)34d)28e)38

36.Un asunto fue sometido a votacin de 1 200 personas y se perdi, aduciendo fallas en el proceso electoral, nuevamente votan las mismas personas, siendo favorable al asunto. Notndose que el caso fue ganado por el doble de votos por el que se haba perdido la primera vez y la nueva mayora fue con respecto a la anterior como 8 es a 7, cuntas personas cambiaron de opinin?

a)120b)180c)240d)300 e) 21037.En una proporcin aritmtica continua, la media diferencial es igual a 16 y la razn aritmtica de los extremos es 8. Hallar el producto de los extremos.

a)120b)180c)240d)280e)360

38.La suma de la media diferencial de 28 y 12 con la cuarta diferencial de 18; 12 y 10, es igual a:

a)18b)20c)24d)26e)30

39.En una proporcin geomtrica, la suma de los trminos medios es 16 y la razn aritmtica de los mismos es 4. Hallar el producto de los extremos.

a)60b)64c)18d)20e)24

40.Si m es la media proporcional de 9 y 4; y n es la cuarta proporcional de 8; m y 12, hallar m + n.

a)12b)15c)18d)20e)24

41.La suma de los cuadrados de los trminos de una proporcin geomtrica continua es 400. Hallar el mayor trmino, si los extremos se diferencian en 12.

a)2b)16c)8d)10e)12

42.El producto de tres nmeros es 5 832. Si el primero es al segundo como el segundo es al tercero, hallar el segundo nmero.

a)15b)18c)21d)24e)27

43.En una proporcin geomtrica continua