Arit 3ro II Trimestre

COLEGIO PRE

UNIVERSITARIO

Tercer Año

Satélite de comunicaciones SYNCOMEl satélite de comunicaciones Syncom 4 fue lanzado desde la lanzadera espacial Discovery. Los satélites de comunicaciones modernos reciben señales de la Tierra, las amplifican y las retransmiten, suministrando datos por redes de televisión, telefax, teléfono, radio y redes digitales por todo el mundo. El Syncom 4 sigue una órbita geoestacionaria (es decir, gira al mismo tiempo que la Tierra, manteniendo una posición aproximadamente constante sobre la superficie). Este tipo de órbita permite la comunicación ininterrumpida entre estaciones terrestres.

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año

Aritmética Aritmética

IMPRESIONES Y FOTOCOPIADO

V.L.E.B.

DPTO. DE PUBLICACIONES

5 6


TEMA: REGLA DE MEZCLA Y

ALEACIÓN

¿Qué es una mezcla?

Es una reunión de 2 o más sustancias

(ingredientes) en cantidades arbitrarias

conservando cada una de ellas su propia

naturaleza.

¿En qué consiste la regla de mezcla?

La regla de mezcla se origina por el

deseo de los comerciantes en determinar

el precio de venta de una unidad de

medida de la mezcla.

Para ello se vale de algunos

procedimientos aritméticos, lo cual en su

conjunto constituye la “Regla de mezcla”.

Ejemplo inductivo:

Un comerciantes hace el siguiente

pedido a un distribuidor mayorista de

café:

CaféCantidad

en Kg.

Precio

unitario

Extrae (E)

Superior (S)

Corriente (C)

50

20

15

S/. 7

S/. 5

S/. 4

Para venderlos a sus clientes el

comerciante mezcla los tres tipos

de café. ¿A cómo se debe vender

el kg para ganar el 20%?.

Para ello debe saber las siguientes

fórmulas:

* En general para “K” sustancias

Cantidades C1 C2 C3 C4 Ck

Precios unitarios P1 P2 P3 P4 Pk

Se debe cumplir:

I. Precio medio =

=

II.

III.

IV.

Mezcla alcohólica: Es aquella

mezcla en la que interviene

alcohol puro y agua.

Además:

Siendo: V1,V2 ,V3…VK

volúmenes

G1, G2, G3, ... Gk grado

Aleación:

Definición: Es la mezcla de 2

ó más metales mediante el

proceso de fundición. En las

aleaciones por

convencionalismo los metales

se clasifican en:

a) Finos oro, plata,

platino.

b) Ordinarios Cobre, hierro, zinc.

La pureza de una aleación se determina

mediante la relación entre el peso del

metal fino empleado y el peso total de la

aleación, a dicha relación se le conoce

como la ley de la aleación.

En general:

Para la aleación:

Peso metal finoPeso metal

ordinario

I. Ley =

II. Liga =

III. 0 1


7 8


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1) Un comerciante tiene “n” litros de

aceite compuesto y “m” de aceite

vegetal, los cuales lo mezcla para

vender el litro en “m” soles.

¿Cuánto cuesta el litro de aceite

vegetal?. Si el litro de aceite

compuesto 25% menos que el

aceite vegetal?.

Rpta.: ...............

2) Se tiene “n” ingredientes, cuyos

pesos están en la relación de 1, 2,

3,... y de los precios S/.2, S/.3,

S/.4........, respectivamente, la

mezcla de estos ingredientes tiene

un precio medio de S/.14. Calcule

“n”.

Rpta.: ...............

3) Se tiene 3 lingotes de oro,

con leyes: 0,960; 0,760 y

0,93375 respectivamente. Se

desea obtener un lingote de

2,45kg, con ley 0,900. ¿Qué

peso (gramos) es necesario

tomar del segundo lingote si

se impone la condición de

emplear 800 gramos del

tercero?.

Rpta.: ...............

4) Se ha mezclado 3 sustancias

de densidades 2,6g/cm3;

1,8g/cm3 y 2,00g/cm3 y cuyos

pesos fueron 169g, 144g,

170g respectivamente. ¿Qué

densidad tiene la mezcla

obtenida?.

Rpta.: ...............

5) Una persona tenía que

preparar 300 litros de una

bebida mezclando vino y

agua en la proporción de

15 es a 1; pero por error

empleó vino y agua en la

proporción de 5 es a 1.

¿Cuántos litros de vino

deberá agregar a la

mezcla anterior para

obtener la proporción

deseada?.

Rpta.: ...............

6) ¿Cuántos litros de alcohol

de 72º se debe añadir a

432 litros de alcohol de

36º para obtener cierta

cantidad de alcohol de

45º?.

Rpta.: ...............

7) Se hace una mezcla de

vino de S/.75 el litro; S/.60

el litro y agua; la mezcla tiene un

precio de S/.50 el litro. Se sabe que la

cantidad de agua es los 2/5 de la

cantidad de vino de S/.60. ¿En qué

relación está la cantidad de vino de

S/.75 a la cantidad de vino de S/.60?

Rpta.: ...............

8) Se han tomado 3 barras de plata de

0,900; 0,800 y 0,600 de ley y cuyos

pesos respectivos son inversamente

proporcionales a su ley. Obteniéndose

una aleación de 1682 gramos.

Calcular la ley de la aleación

resultante.

Rpta.: ...............

9) Un recipiente contiene los líquidos A,

B y C en la relación de 2, 3 y 7: la

mezcla en la intemperie se evapora,

pero el primero es el más volátil, los

líquidos se pierden en la relación de

8, 5 y 2. Luego de un tiempo. ¿En qué

relación se encuentra los líquidos, si


9 10


se ha evaporado la veinticuatroava

parte del total?.

Rpta.: ...............

10) Se ha mezclado 22 litros de

alcohol de 38 grados con 28 litros

de alcohol. De 42 grados,

pretendiendo obtener alcohol de

40 grados; para conseguir el grado

requerido se ha tenido que dejar la

mezcla al aire, para que se

volatilice el alcohol. Si el alcohol se

volatiliza a razón de 16ml por

minuto. ¿Qué tiempo fue necesario

exponer la mezcla al aire?.

Rpta.: ...............

11) Un yacimiento polimetálico tiene 3

labores en producción, con las

siguientes leyes de Cu, Pb y Zn:

%Cu %Pb %Zn

1º Labor 4 60 20

2º labor 8 50 16

3º labor 6 45 18

La planta concentradora requiere

1500 toneladas diarias de

mineral. Mediante pruebas

metalúrgicas se ha estimado que

la “Ley de cabeza” (Ley de

mineral que entra en la planta).

Es recomendable:

%Cu = 6,6% %Pb = 50,5% y

%Zn = 17,4%

¿Cuántas toneladas se debe

extraer de cada labor?.

Rpta.: ...............

12) Se ha mezclado 240g de

oro con 36g de Cu para

bajar su ley a 800

milésimas. ¿Qué peso de

oro de 980 milésimas es

necesario adicionar a esta

mezcla, para que el otro

retorne su ley primitiva?.

Rpta.: ...............

13) Don lingotes de 520g de

un metal A y 960g de un

metal B, han sido

sumergidos, ambos, en un

recipiente lleno de agua y

han desalojado 500g de

agua. Se toma 91g de

metal A y 48g de B; se

mezclan y se obtiene una

aleación de 2,78g/cm3 de

densidad. Se pide

determinar la densidad de

los metales.

Rpta.: ...............

14) Al mezclar dos aleaciones de un

mismo metal, de densidad 3,2 g/cm3 y

4,8g/cm3 en igualdad de volúmenes,

se ha obtenido una aleación de 900

milésimas. De haber mezclado en

igualdad de peso, se habría obtenido

una aleación de 915 milésimas.

Encontrar las leyes de las aleaciones.

Rpta.: ...............

15) Se desea obtener arcilla con 58% de

Al2O3, mezclando 360T y 200T de

arcilla con 52% y 61% de Al2O3

respectivamente para obtener el

porcentaje de Al2O3 deseado, ha sido

preciso adicionar arcilla con 64% de

Al2O3. ¿Cuántas toneladas se han

adicionado de la última clase?.

Rpta.: ...............

16) Se tiene un tanque con 100L de

alcohol al 10%, se necesita una

mezcla alcohólica al 80%, para lo cual


11 12


se coloca un grifo que suministra

alcohol de 90% a razón de 10L por

minuto. Si el costo por hora del

suministro es de S/.138. Calcule

cuanto será el costo del suministro

para obtener la mezcla deseada.

Rpta.: ...............

17) Se mezclan café de precios S/.4;

S/.5 y S/.8 que pesan 2kg, 1kg, y

“a” kg respectivamente. Hallar “a”

si el precio medio es (a - 6) 13.

Rpta.: ...............

18) Un alumno del colegio pre-

universitario “Manuel Escorza”

Desea mezclar shampoo de S/.0.5

y de 3 por S/.1 de 200 ml y del 2do

150ml c/u. Hallar el Pm.

Rpta.: ...............

19) Al mezclar 4Kg de leche de

S/.2 con 8Kg a “m” soles se

obtuvo un

Pm = “m”. Hallar: - 1

Rpta.: ...............

20) Se al mezclar un licor con

30º de alcohol a S/.12 c/litro,

con otro licor con 36% de

alcohol a S/.18 el litro y se

obtiene una mezcla cuyo Pm

= 16. Hallar el grado

alcohólico de la mezcla.

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA

CASA

1) Se hace una

mezcla de vinos de S/.70

el litro y S/.60 el litro con

agua, la mezcla tiene un

precio de S/.50. Se sabe

que la cantidad de agua es

los 2/5 de la cantidad de

vino de S/.60. ¿En qué

relación están las

cantidades de vinos de

S/.40 respecto al de S/.60.

a) 0,4 b) 0,33 c) 0,5

d) e) 0,45

2) Se tiene 20 litros de

alcohol al 80%. Si se le agrega 5 litros

de alcohol puro. ¿Cuál será el

porcentaje de alcohol de la mezcla?.

a) 78% b) 81% c) 75%

d) 84% e) 60%

3) Se tienen 540L de alcohol

al 90º, se le agrega con 840L de un

alcohol de 72º para que la mezcla sea

de 60%, indicar la cantidad de agua

que se debe adicionar a la mezcla.

a) 432 b) 498 c) 568

d) 512 e) 712

4) Una barra de oro de 14

kilates pesa 21 gramos. ¿Qué peso

de oro puro se le debe añadir para

obtener una ley de 18 kilates.

a) 13 b) 17 c) 21 d) 10 e) 14

5) Un anillo de oro de 18

kilates pesa 9 gramos. Si el gramo de


13 14


oro puro se paga a S/.18. ¿Cuál es

el costo del anillo? .

a) 125,1 b) 121,5 c) 134,5

d) 152,4 e) 174,5

6) En un bidón hay 40

litros de alcohol al 90% de pureza

en otro hay 60L de alcohol al 70%.

¿Cuál es el grado medio?.

a) 77,5 b) 68 c) 69,5

d) 77 e) 83

7) Una aleación con un

peso de 4Kg se funde con 5Kg de

plata y resulta 0,9 de Ley. ¿Cuál

es la ley primitiva?.

a) 0,70 b) 0,67

c) 0,48 d) 0,65

e) N.A.

8) Un alumno del colegio

“Manuel Escorza” hace un

experimento con una sustancia

que varía el color al echar un

líquido x. Empieza con 400

litros al 75% del líquido x; si

se le agrega 900 litros de

líquido x (puro) ¿Cuál sería

su color si se le quita 80

litros?.

a) Morado y verde

b) Rojo y azul

c) Verde y rojo

d) Azul y amarillo

e) N.A.

9) ¿Qué cantidad

de cobre debe añadirse a

una barra de plata que pesa

635g y tiene 0,920 de ley

para que resulte una

aleación de 0,835 de ley?.

a) 46,64 b) 64,64

c) 56,84 d) 63,64

e) 66,44

10) Una mezcla

alcohólica de 85% de

dureza contiene 420 litros

mas de un ingrediente que

el otro. ¿Qué cantidad de

alcohol puro contiene?.

a) 510 b) 490 c)

560

d) 450 e) 360

11) Se vendía por

S/.7710 un tonel de vino

de 220L que es una

mezcla de otros dos que

valen S/.41 y S/.29 el litro.

¿Cuántos litros de la 1era

clase contiene el tonel si

se ha realizado en la venta

un beneficio de S/.1000.

a) 28,5 b) 26,5

c) 27 d) 27,5

e) 28

12) Si se funde 50 gramos de

oro con 450g de una aleación, la ley

de aleación aumenta 0,02. ¿Cuál es

la ley de la aleación primitiva?.

a) 0,7 b) 0,55 c) 0,8

d) 0,6 e) 0,9

13) ¿Qué cantidad de cobre

habrá de añadirse a una barra de

plata a 4,4Kg, cuya ley es 0,92 para

que esta disminuya a 0,88?.

a) 0,1kg b) 0,2kg

c) 0,18kg d) 0,3kg

e) 0,25kg

14) ¿Cuál es la ley de

aleación del que está echo un plato

cuyo peso es 500g. Si se ha vendido

a S/.770, al precio de S/.2200 por

kilogramo de plata pura.

a) 0,6 b) 0,75 c) 0,65

d) 0,68 e) 0,7

15) Se tiene una barra de

plata de 0,85 de ley. ¿En qué relación


0 20 40 60 80 100Morado Verde Rojo Azul Amarillo

1615


en peso, deben quitarse las

cantidades de plata y Cu para que

la ley se conserve?.

a) 16/5 b) 8/5 c) 17/5

d) 17/3 e) 14/9

TEMA: PROGRESIÓN

ARITMÉTICA Y GEOMÉTRICA

Progresión aritmética: Es aquella

sucesión en la cual un término

cualquiera, excepto el primero, es igual

al anterior aumentado en una cantidad

constante llamada razón. A esta

también se le denomina

progresión por diferencia.

Representación:

a1 primer término

an término enésimo

r razón de la P.A.

Sn suma de “n” primeros

términos

Clases:

Si: r > 0 P.A. creciente

r < 0 P.A. decreciente

r = 0 P.A. trivial

Propiedades:

I) r = aK - aK-1, 1 K n

II) Término central: “n” impar

aC =

Corolario: ax =

III) Suma: Sn = n ;

Sn = n a c

Si n es impar

Sn =

Medio aritméticos: Son los

términos comprendidos entre 2

extremos:

Interpolación: a, b, m

an = an + (n – 1)r b = a + [(m +

2) –1]r

r1 =

r1 : razón de interpolación aritmética

Progresión geométrica: Es aquella

sucesión numérica, en la cual el primer

término y la razón son diferentes de cero y

además un término cualquiera, excepto

del primero, es igual al anterior

multiplicado por una misma cantidad

llamada razón de la progresión, también

se denomina progresión por cociente.

Representación:

Elementos:

t1 primer término

tn término enésimo

q razón

Sn suma de “n” primeros términos


1817

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer AñoPn producto de “n” primeros

términos.

Propiedades:

Sea la P.G.:

t1; t2; t3; ....... tk; ........ tn

I) Razón: q =

1 k n

II) Término general:

Tn = T1 . qn-1

III) Si:

Ta . Tb = T1 . Tn

IV) Término central (Tc)

(Tc)2 = T1 . Tn

V) Sn = T1

VI) (Pn)2 = (T1 . Tn)n

VII) Suma límite: Sm =

Si: -1 < q < 1

Interpolación de medios

geométricos:

a; ;b

q i =

Razón de interpolación

geométrica.

PROBLEMAS PARA LA

CLASE

1) De la sgt. sucesión: ;

; 72; si la razón

es 12. Hallar (a + b)c.

Rpta.: ...............

2) Si 25(n); 40(n) y 53(n) están en P.A

convertir el mayor # de 3 cifras de

base al sistema quinario.

Rpta.: ...............

3) Halla T40: 101, 106, 111, ........

Rpta.: ...............

4) En una P.A. de 42 términos el 1º es

29 y el último 316. Hallar T20.

Rpta.: ...............

5) Dada la serie de 2º orden: 123(n);

136(n); 152n; 170n; ..... Determine el

término de lugar 25 en base 10.

Rpta.: ...............

6) Hallar a + b si la sgte. P.A. tiene 54

términos. .

Rpta.: ...............

7) Determine “a”, si en la sgte. P.A. hay

un total de 9 términos y todos son

impares.

Rpta.: ...............


2019


8) Dada la P.A.:

Además:

Calcule: a + b + c + n

Rpta.: ...............

9) La sgte. sucesión tiene 36

términos ; ; , ......

. Calcular la suma de los

términos.

Rpta.: ...............

10) La suma de los “n” términos de

una sucesión esta dado por: S =

Determinar la suma de los

términos 11º y 15º.

Rpta.: ...............

11) Considere una P.A. cuyo

sexto término es 3/5 del

tercer término, que es

positivo, si el producto de los

mismos es 15. Determinar el

número de términos que se

debe tomar de esta P.A. para

que sumen 30 .

Rpta.: ...............

12) Determina “a” si en el sgte.

P.A.: , ,

.

Rpta.: ...............

13) La: P.A.: a r: a, a+r, a+2r.

S = a2 y a < 10. Hallar “r”

posible.

Rpta.: ...............

14) Si: S =

Hallar la suma del término 14

y término 16.

Rpta.: ...............

15) Sea una P.G. se tiene: que

la razón entre: .

Hallar el término 8.

Rpta.: ...............

16) Sea una P.G.: ;

; ; hallar el

término 10.

Rpta.: ...............

17) Sea una progresión

geométrica:

Además: Ta + Tb = 72

Tn + T1 = 488

Hallar “a”:

Rpta.: ...............

18) Hallar “n”: si en una P.G.

el:

Tc = K2 (término central y además):

Rpta.: ...............

19) Si en una P.G. se cumple que: T4 y el

T5 son números capicúas de 2 cifras,

además su razón es menor que 4.

Hallar el T2.

Rpta.: ...............

20) Si 2 progresiones: P.A. y P.G. de

razones iguales. Tal que se cumple:

G =geométrica

A = aritmética

Hallar

Rpta.: ...............


2221


PROBLEMAS PARA LA CASA

1) En una P.A, se cumple:

a1 + a5 = 14

a3 + a6 = 20

Calcular a4:

a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11

2) Si: a, 2a, a2 son los 3 primeros

términos de una P.A. Calcular la

suma de los 10 primeros:

a) 160 b) 165 c) 166

d) 144 e) 150

3) La suma de los “n” primeros

términos de una P.A. está dado

por 3n (n + 2). Calcular el quinto

término de la progresión.

a) 30 b) 31 c) 32 d) 33 e)

34

4) El primer término de una P.A.

es 5. El último es 45; y la

suma de todos los términos

es 400. Calcular el # de

términos.

a) 14 b) 15 c) 16 d) 17

e) 18

5) En una P.A. la diferencia de

2 términos es 96 y la

diferencia de sus respectivos

lugares es 8. Calcular la

razón de la P.A.

6) Sea (x+y), (4x-3y), (5y+3x); 3

términos consecutivos de

una P.A. Indicar una relación

entre “x” e “y”.

a) x = 3y b) 2x = 5y c) y

= 3x

d) 3y = 2x e) 3x = 4y

7) En una P.A. de 25

términos, el décimo

tercero es igual a 30. La

suma de todos los

términos de la P.A es:

a) 1250 b) 1000 c)

875

d) 750 e) 700

8) Hallar la razón de una P.A.

de 3 términos, tales que al

adicionar 3; 10 y 2

respectivamente se

obtenga números

proporcionales a 2, 4 y 3.

a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e)

7

9) Si se aumenta una misma

cantidad a los números 20,

50 y 100, se forma una

P.G. cuya razón es:

a) 1/2 b) 1/3 c)

2

d) 4/3 e) 5/3

10) ¿Cuál es la razón de una P.g. de 12

términos, siendo el primero 1 y el

último 2048?.

a) 1 b) 2 c) 4 d) 8 e) 16

11) La suma de los 6 primeros términos

de una P.G. es igual a nueve veces a

suma de los 3 primeros términos

entonces la razón de la PG. es:

a) 2 b) 3 c) 4 d) 7 e) 8

12) ¿Cuál es el término central de una

P.G. de 3 términos positivos, si el

producto de los dos primeros es 24 y

el producto de los dos últimos es 54?.

a) 8 b) 9 c) 6 d) 3 e) 12

13) Si le sumamos 3 números

consecutivos a 3, 7 y 16

respectivamente, obtenemos una P.G.

calcular la razón de la P.G.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


2423

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año14) Calcular el producto de los 10

términos de una P.G. cuyo 6º y

último término son: orden 4 y 25.

a) 225 b) 223 c) 224

d) 212 e) 215

15) Sumar:

a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/4 e) 4/9

TEMA: CONJUNTOS

1. Concepto: El

término conjunto es aceptado en

matemáticas como un concepto

primitivo; es decir, se acepta sin

definición. Intuitivamente, un

conjunto es una colección o

agrupación de objetos llamados

elementos.

Ejm.:

ii) El conjunto de

los días de la semana.

iii) El conjunto de

los números N.

2. Notación: Generalmente

los conjuntos se denotan con

letras mayúsculas A, B, C, ...

etc., y los elementos por

letras minúsculas,

mayúsculas u otros

símbolos, separados por

comas y encerrado entre

llaves.

Ejm.: A = {lunes; miércoles,

viernes, domingo}

B = {2; 5; 12; 18}.

3. Relación de

pertenencia ():

Si un elementos está en un

conjunto o es parte de él,

diremos que “pertenece” a

dicho conjunto y lo

denotaremos con el

símbolo “” y en el caso

de no pertenecer por “”.

Ejm.: Dado el conjunto:

A = {2; 5; 7; 8}

Entonces: 2 A

4 A

7 A

4. Determinación de

conjuntos:

Existen 2 formas de

determinar un conjunto:

4.1) Por extensión: Cuando

se nombran todos los

elementos que

conforman el conjunto.

Ejm.:

A = {a, e, i, o , u}

B = {6, 8, 10, 12, 14}

4.2) Por comprensión: Cuando se

menciona una o mas características

comunes a todos los elementos del

conjunto.

Ejm: A = {x/x es una vocal}

B ={x/5 < x z 18 x es par}

5. Conjuntos especiales

5.1) Conjunto vacío o nulo: Es aquel

conjunto que carece de elementos.

Se le denota por: ó { }.

Ejm.: A = { }

B = {x/4 < x < 6 x < 8}

5.2) Conjunto unitario: Es aquel

conjunto que tiene un solo

elemento.

Ejm.: A = {3}

B = {x/x N 6 < x < 8}

5.3) Conjunto universal: Es aquel

conjunto que se toma como


2625


referencia, para un problema

determinado, en el que se

encuentran todos los elementos

con que se está trabajando.

Se denota por la letra .

Ejm.: A = {2; 6; 10; 12}

B = {x + 3/x es impar 0 < x <

10}

6. Relaciones entre conjuntos:

6.1) Igualdad: Dos conjuntos A y B

son iguales si y solo si tienen los

mismos elementos.

Se denota por A = B

Ejm.: A = {x/x es una vocla}

B = {a, e, i, o, u}

6.2) Inclusión (): Se dice que un

conjunto A esta incluido () en

otro conjunto B, si todos los

elementos de A pertenecen a B;

en caso contrario; se dirá que no

está incluido ().

Se denota: A B

Ejm.: A = {2, 4, 6}

B = {2, 3, 4, 5, 6, 7}

C = {1, 2, 3, 4, 5}

Entonces: A () B

A () C

Propiedades:

i) A A A

( A: para todo conjunto A).

ii) A B y B

C A C.

iii) A, A

importante !!

7. Conjunto potencia:

Dado el conjunto A, se

denomina conjunto potencia

de A y se denota por P(A), al

conjunto cuyos elementos

son todos los subconjuntos

de A.

Ejm.: Si A = {1, 2}; entonces

todos los subconjuntos de A

son:

: {1}, {2}; {1, 2}

Entonces

P(A) = {;{1};{2};{1;2}}

OPERACIONES ENTRE

CONJUNTOS:

1. Unión o

reunión ()

Dados los conjuntos: A y

B:

A la unión pertenecen los

elementos de A, B o de

ambos a la vez.

Notación: A B = {x/x A

x B}

( = se lee “o”)

Ejm.: A = {1, 2}

B = {2, 4, 5}

A B = {1, 2, 4, 5}

Propiedades:

i) A B = B A

A A = A

A = A

A U = U

2. INTERS

ECCIÓN (∩)

Tenemos A y B; se llama

intersección al conjunto

formado por los elementos

que pertenecen a A y B a la

vez.

A B = {x/x A x B}

((); se lee “y”)

Ejm.: A = {1; 2; 3; 6}

B = {2; 4; 6; 7; 8}

A B = {2; 6}

Propiedades:

i) A B = B A.

ii) A A = A

iii) A =

iv) A U = A

3. DIFERENCIA: D

ellos A y B.

Llamado al conjunto formado por

todos los elementos de A y que no

pertenecen a B; es decir; es el

conjunto formado por los elementos

que solo pertenecen a A.

A – B = {x/x A x B}

Ejm.: A = {1, 2, 3, 6}

B = {2, 4, 6, 7, 8}

A – B = {1; 3}

Propiedades:

i) A – A =

ii) A - = A


2827


iii) - A =

iv) A – B B – A A B

4. COMPLEMENT

O DE UN CONJUNTO:

Dado un conjunto A está incluido

en el universo ; denomina

complemento del conjunto A, a

todos los elementos que están

fuera de A; pero dentro del

universo.

A’ = Ac = {x/x x A}

Ejm.: Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;

8}

A = {1, 3, 4, 7, 8}

A’ = Ac = {2, 5, 6}

Propiedades:

i) (A’)’ = A

ii) ’ = U

iii) U’ =

iv) A A’ = U

v) A A’ = A’ =

* Leyes de Morgan:

(A B)’ = A’ B’

(A B)’ = A’ B’

PROBLEMAS PARA LA

CLASE

1) Si A = {0; {}; 1;

{1}} y dados las

proposiciones:

I) A II) {} A

III) A IV) {{0}, {1}} A

V) {{1}} A

¿Cuáles son verdaderos?.

Rpta.: ...............

2) Si L = {Ana;

Karen, Brenda, Memo} y

dadas las proporciones

I) Brenda L

II) Karen L

III) Memo {Ana, Karen,

Brenda, Memo}

IV) María L

V) {Ana} L

¿Cuáles son falsas?.

Rpta.: ...............

3) Si se tiene el

conjunto:

S = {x+2 / x = 4m-2; m

N; 0 < m 2}

Entonces la suma de

todos los elementos de S

es:

Rpta.: ...............

4) Sea P = {x/x

N; 0 < x2 < 35} y sea M =

{x/x N, 5 < x + 4 < 14}

Hallar la suma de los

elementos de P M.

Rpta.: ...............

5) Dado K = {3,

4, 5, 6}. ¿Cuáles de los

siguientes son

verdaderos?.

I) x M; 2x – 5 1

II) x M; 2x < 11

III) x M; y M;

x + y > 6

IV) x M; y M; x3 + y3 > 16

Rpta.: ...............

6) De 50 alumnos que llenan

los cursos de aritmética y álgebra, se

sabe que 30 llevan aritmética y 13

llevan aritmética y álgebra. ¿Cuántos

llevan solo álgebra?.

Rpta.: ...............

7) En un mercado fueron

encuestados 80 señores sobre el

consumo de pollo, pescado y carne

de res; con el siguiente resultado; 40

consumen pollo; 26 consumen

pescado y 45 consumen carne de res;

además 8 señores afirman que

consumen los 3 tipos de carne.

¿Cuántos señores consumen solo 2

tipos de carne?.

Rpta.: ...............

8) Dados los conjuntos:


3029


A = {x N / 0 < 0 x 4 x es Nº par}

B = { x Z / 0 < 3 x > 7}

C = {x N / x 2 0 < x 8}

Determine M = [(A C) B]

Rpta.: ...............

9) En un colegio, 100

alumnos han rendido 3 exámenes.

De ellos 40 aprobaron el primer

examen, 39 aprobaron el segundo

examen y 48 el tercer examen.

Aprobaron los 3 exámenes 10

alumnos; 21 no aprobaron examen

alguno; 9 no aprobaron los dos

últimos pero si el primero; 19 no

aprobaron los 2 primeros; pero sí

el tercero. Entonces, el # de

alumnos que aprobaron solo uno

de los exámenes es:

Rpta.: ...............

10) U = {x N / 0 < x <

11} y

A = ‘1; 3; 5; 7}

B = {2; 4; 6; 8}

A C = {1; 3}

A C = {1; 2; 3; 5; 7; 9}

R(B C) + n(A C);

vale:

Rpta.: ...............

11) En una

competencia atlética con 12

pruebas participaron 42

atletas, siendo los

resultados; 4 conquistaron

medalla de oro; plata y

bronce; 6 de oro y plata; 8 de

plata y bronce; 7 de oro y

bronce. ¿Cuántos atletas no

conquistaron medallas?.

Rpta.: ...............

12) Una persona

como pan con mantequilla o

mermelada cada mañana

durante el mes de febrero; si

22 días comió pan con

mermelada. ¿Cuántos

días comió pan con

mermelada y mantequilla?.

Rpta.: ...............

13) De un grupo

de 100 estudiantes se

obtuvo la siguiente

información; 28 estudian

inglés; 30 estudian

alemán, 42 estudian

francés, 8 inglés y alemán

y 10 inglés y francés; 5

alemán y francés y 3 los

idiomas inglés, francés y

alemán. ¿Cuántos

estudiantes no estudian

ningún idioma?.

Rpta.: ...............

14) Dados los conjuntos: A =

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8, 9} y

C = {4, 5}

Determinar el conjunto cuya

representación gráfica es la región

sombreada de la fig.:

Rpta.: ...............

15) De 76 alumnos; 46 no

estudian lenguaje; 44 no estudian historia

y 28 no estudian ni lenguaje ni historia.

¿Cuántos alumnos estudian lenguaje e

historia?.

Rpta.: ...............

16) En una clase (15 + n)

aprobaron matemáticas e historia y

(40 + n) aprobaron matemáticas.


3231


¿Cuántos aprobaron solamente

historia?. Si en total habían (70 +

n) alumnos; de los cuales solo

aprobaron 5?.

Rpta.: ...............

17) En un centro de

investigación trabajan 67

personas. De estas saben inglés

47, 35 el alemán y 23 ambos

idiomas.

¿Cuántas personas no conocen ni

el inglés ni el alemán?

Rpta.: ...............

18) Dados los conjuntos

unitarios.

P = {x + y, 8}; Q = {y + z, 10} y

S = {x + z, 12}.

Calcular: (x + 4y – z)

Rpta.: ...............

19) De un grupo de 100

personas: 40 son mujeres; 73

estudian historia, 12 mujeres no

estudian historia. ¿Cuántos

hombres no estudian historia?.

Rpta.: ...............

20) Dados los

conjuntos:

A = {x / (8x + 1) Z; 0 x <

1}

B = {2x + 1 / x N; 1 < x

5}

C = {3x + 1 / 2 x < 3}

Indique la verdad o falsedad

de las siguientes

proposiciones:

I) n(A) = 3 II) n(A) + n(B)

= 16

III) C = [7, 10> IV) C = {7}

V) n(A B) = 0

Rpta.: ...............

PROBLEMAS PARA LA

CASA

1) Dados las

proposiciones:

I) {{0}; 1, 2} {0, 1, 2}

II) {1/2; 1, 2} = {2-1; 2º, }

III) {1, 2, 3} y {a, b, c} son

conjuntos disjuntos

IV) { { {}; } } tiene 2

elementos.

Son verdaderos:

a) Ninguno b) Solo III

c) Solo II d) II y III

e) N.A.

2) Dado el

conjunto u = {x/3 x < 6; x

N}

Hallar el producto de los

elementos de M.

a) 65 b) 60 c)

12

d) 20 e) 80

3) Dados los

conjuntos: A = ; B = {}

y C = {0}. ¿Cuál es

correcto?.

a) A = B b) A = C c) A

B

d) A B e) B A

4) Si A = {a, b, c} y B = {a;

b}; y se dice que:

I) (A B) tiene un solo elemento.

II) (A B)

III) A = A

IV) (A – B)º es un conjunto unitarios .

V) (A B)

Hallar la veracidad o falsedad de las proposiciones:a) FVVVV b) FFFVV c) FFFFF d) FFVFV e) FVFFV

5) Sean A, B y C conjuntos;

tales que: n(A B) = 20

n(A) = 14 y n(B) = 10

Entonces hallar: n(A B C); si se

sabe que: A B y C son disjuntos.

a) No se puede determinar

b) 6

c) 4

d) 10

e) 3

6) Se tiene 50 choferes de

los cuales 35 tienen carnet del seguro

social, 16 libretas tributarias y 15



solamente brevetes o los choferes

que poseen al menos 2

documentos son:

a) 30 b) 32 c) 18

d) 17 e) 20

7) En una aula de 50

alumnos aprueban matemáticas 30

de ellos; física – 30; castellano 35;

matemática y física 18; física y

castellano 19; matemática y

castellano 20; y 10 alumnos

aprueban los 3 cursos; se deduce

que:

a) 2 alumnos

no aprueban ninguno de los 3

cursos.

b) 8 aprueban

matemática y castellano pero

no física.

c) 2 aprueban

matemática pero no aprueban

física ni castellano.

d) 6 aprueban

matemática y física pero no

aprueban castellano.

e) Ningun

a de las anteriores.

8) En una escuela de

135 alumnos, 90 practican

fútbol; 55 basket y 75 natación.

Si 20 alumnos practican los 3

deportes y 10 no practican

ninguno. ¿Cuántos alumnos

practican un solo deporte?.

a) 50 b) 53

c) 60 d) 70

e) 65

9) En una clase de

27 alumnos cada uno de

estos está inscrito en uno por

lo menos, de los 2 clubes

siguientes: “Club de

natación”, “Cine club”, el

número de alumnos inscritos

en los 2 clubes es 7 y el

“Cine club” tiene registrados

los 2/3 del total de alumnos.

¿Cuántos miembros tiene el

“Club de natación?.

a) 20 b) 16 c) 11

d) 9 e) N.A.

10) El conjunto A

tiene 3 elementos menos

que el conjunto B; que por

cierto posee 7168

subconjuntos mas que A.

El máximo número de

elementos de (A B)

será:

a) 30 b) 11

c) 13

d) 23 e) 16

11) En un salón

de postulantes hay 58

alumnos; 36 piensan

seguir ingeniería; 24

piensan seguir ciencias y

solo 13 piensan estudiar

letras; el número que

piensa ser ingeniero y

científico.

a) 13 b) 15

c) 17

d) 8 e) 19

12) De 180 alumnos de la

U.N.F.V.; el # de los que estudian

matemática es el doble de los que

estudian lenguaje. El número de

alumnos que estudian ambos cursos a

la vez; es el doble de los que estudian

solo lenguaje e igual a los que no

estudian alguno de esos cursos.

¿Cuántos alumnos estudian solo

matemáticas?.

a) 20 b) 40

c) 80 d) 120

e) 140

13) Si el 5% de los

pobladores de una ciudad consumen

3 tipos de pescado; A, B y C, el 15%

consumen los tipos de pescado A y B;

el B%. Consumen B y C; el 14 %

consumen A y C. ¿Cuál es el

porcentaje de personas que consume

solamente 2 tipos de pescado?.


3433


a) 15% b) 37% c) 22%

d) 23% e) 25%

14) Sean los conjuntos:

A = {x z / x = (-1)n; n Z}

B = {y z / y2 = (9-3)2 – 3}

C ={z z / 3 + 3 = 2z + }

Entonces es cierto:

a) B = C

b) A = B C

c) A = B C d) A = C

e) B A = A C

15) De 70 alumnos;

46 no estudian lenguaje (L);

44 no estudian historia (H) y

28 no estudian ni lenguaje ni

historia. Entonces ¿Cuántos

alumnos estudian lenguaje e

historia?.

a) 18 b) 16 c) 14

d) 20 e) 12

TEMA: NUMERACIÓN

Definición: Es la parte de la

aritmética que se encarga del

estudio de los números y las

relaciones que se establecen

entre ellos.

Número: Es un ente

matemático; por lo tanto no

tiene definición; nos da la

idea de cantidad. Ejm.: 5,

125.

Numeral: Es la presentación literal ó

simbólica del número. Ejm.: s,v, , a, x,

etc.

Sistema de numeración: Es un

conjunto de reglas y principios que nos

ayudan a representar correctamente a

los numerales.

Ejm.:

1 2 3 correcto 4

2 0 1 incorrecto 2

* Principios:

De orden:

Lugar

1 2 3 4 55 6 9 7 24 3 2 1 0

Orden


123 numeral4 base

3635


Obs.: Cuando el lugar coincide con

el orden en un numeral, el # será de

“2n” cifras, donde “n” es el lugar de

orden en el que coinciden.

De la base Base Z 2

Ejm.: numeral

215(n)

base

Las cifras del numeral es siempre

menor que el de la base; por eso la

mayor cifra posible es (n-1).

Forma correcta: 324(5)

Obs.: 516(10) = 516

Cambio de la base 10 a base de

10:

Ejm.: 16(10) ?(3)

Pasos:

De la cifra: 0 (cifra Z) < Base

(cifra máxima) = (base

– 1)

Cuando se tenga una igualdad

de dos numerales en diferentes

bases, a mayor numeral

aparente, menor base; y a menor

numeral aparente mayor base.

En el caso anterior:

Vemos:

Obs.: En la base “n” tenemos “n”

diferentes cifras a tomar para

formar un numeral de cualquier #

de cifras.

cifras:

cifras no significativas

sea: Siempre

puede tener {1, 2, 3, .... n – 1}

Base Sistema Cifras2 Binario 0,1

345...1011..

TerciarioCuaternarioQuinario ...decimal undecimal ..

0,1, 20, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4...0, 1, 2, 3, 40,1,2,..9,10..

Ojo: convencionalmente:

10 <>

11 <>

12 <>

Representación literal:

{10, 11, 12, .......99}

la barra sólo coloca

cuando el numeral contiene

dos o mas letras.

= 37 a = 3; b = 7

= 11 m = 1; n = 1

(7) = 26 = 35(7) a = 3; b

= 5 } cambio de base.

Números capicúas:

{22, 151, 7447, , }

equidistantes en los extremos.

Descomposición polinómica:

Base 10 2754 = 32 10

orden

= 2 x 103 + 7 x 102 + 5 x 101 + 4 x 100

de una base cualquiera:

= a x n2 + b x n1 + C

Caso práctico:

a 0; (b y c) < n

Propiedades:

1) .9 = 101 – 1

.99 = 102 – 1

.999 = 103 – 1

.44(5) = 52 – 1


3837

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer AñoEn general:

2) .13(4) = 4 + 3 x 1

.

.

En general:

“k veces” = n + k x a


1) Realizar las siguientes

conversiones:

a) A la base 10:

- 327(8) ............ 215

- 2(13)7(15) ............ 652

- 100201(3) ............ 262

b) A la base 5:

- 47 ............ 142(5)

- 63(8) ............ 201(5)

- 1010001(2) ........... 311(5)

Rpta.: ...............

2) Hallar “n” para que sea

correctamente escrito:

;

Rpta.: ...............

3) Si se cumple que:

Hallar: a + b + c + d

Rpta.: ...............

4) Sabiendo que:

Hallar el valor de x.

Rpta.: ...............

5) Si

Hallar: a – b

Rpta.: ...............

6) Sabiendo que:

Expresar: (2b) (2a)(11) en

base 6.

Rpta.: ...............

7) Si sabemos que se

cumple:

Calcular : k

Rpta.: ...............

8) Sabiendo que:

Hallar: m + n + k

Rpta.: ...............

9) Si

Hallar m + n + k

Rpta.: ...............

10) Hallar (m + n + x) si:

Rpta.: ...............

11) Hallar m + n + k; si:

Rpta.: ...............

12) Se escribe “M” en la base (8).

¿Cuántos ceros se utiliza en su

escritura?.

M = 5x230 + 3x29 + 10

Rpta.: ...............

13) Sabiendo:

Hallar: (a + c) – (b + d)

Rpta.: ...............

14) Si:

Hallar: a x n


4039


Rpta.: ...............

15) Si

H

allar:

Rpta.: ...............

16) Si:

Hallar: m + n

Rpta.: ...............

17) Si:

Rpta.: ...............

18) Dado:

b 1

Hallar: a – b + n

Rpta.: ...............

19) Hallar mxn: si se cumple:

20) Si: 15425(a) =

Hallar (a + b).

PROBLEMAS PARA LA

CASA

1) Hallar “m”, para la correcta

escritura del numeral:

a) 2 b) 3

c) 1

d) 5 e) 6

2) Si

Calcular el menor valor de a + b; si a

b

a) 5 b) 7 c) 4

d) 8 e) 3

3) Sabiendo que:

y a > b. Hallar el máximo

valor que puede tomar a x b.

a) 7 b) 12 c) 15

d) 16 e) 18

4) ¿En qué sistema de numeración se

duplica 25 invirtiendo el orden de sus

cifras?.

a) 8 b) 9 c) 6

d) 7 e) 12

5) Si , hallar el valor de

(a + b + n).

a) 7 b) 6 c) 9

d) 8 e) 12

6) En el sistema de numeración en que

100 se expresa como 84. ¿Cómo se

expresa 234 en dicho sistema?.


4241


a) 671 b) 761

c) 176 d) 167

e) 716

7) Si:

P = 21x165 + 18 x 163 + 17 x 162 +

51

Expresar en base 4.

a) 110103032201

b) 111003020123

c) 11033320112

d) 11100103010303

e) 22100320012

8) Si:

Hallar a x c:

a) 24 b) 16 c) 15

d) 21 e) 14

9) Si se cumple:

y

Calcular: b + n + m

a) 8 b) 7 c) 12

d) 10 e) 11

10) Determinar el valor de n:

Si:

en: a 2

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

11) Si se cumple:

Además si “b” es par y

mínimo. Hallar: a + b + c

a) 14 b) 16 c) 15

d) 18 e) 12

12) Un móvil parte del kilómetro

a una rapidez de

Km/h. Al cabo de cierto

tiempo llega al kilómetro

.

a) 11/2min b)

9/11min

c) 11/9h d) 9/11h

e) 9/11seg.

13) Si:

Hallar: (a + m)

a) 7 b) 5

c) 6

d) 4 e) 8

14) Si se cumple:

Hallar: a x b

a) 6 b) 3

c) 4

d) 8 e) 5

15) Si el numeral:

Hallar n:

a) 4 b) 2

c) 3

d) 5 e) 6

TEMA: CONTEO DE NÚMEROS

Cantidad de cifras utilizadas desde 1

hasta N:

1, 2, 3, ...................., N.

# cifras =

K: # de cifras de N.

Ejm.: Hallar la cantidad de cifras

utilizadas en:

1, 2, 3, ................, 200.

# cifras = (201)3 – 111 = 492

II) Conteo de números por el método

combinatorio:

Método combinatorio:

Sirve para hallar cuantos números

existen de una determinada forma

multiplicamos los valores que tomen sus

variables independientes.

Ejm.: De cuántas maneras se puede

llegar a A hasta C.

Total de maneras: 5 x 3 = 15


4443


Ejm.: Cuántos números de 2 cifras

empiezan en cifra impar?.

2 14 26 38 4

56789

4 x 9 = 36


1) Hallar el número de páginas

de un libro en cuya segunda

mitad se han empleado 109

cifras mas que en su primera

mitad.

Rpta.: ...............

2) Dada la siguiente sucesión

de números: A = 1, 2,

3, ......., si para escribirla

se han empleado 142 cifras.

Hallar a + b.

Rpta.: ...............

3) ¿Cuántos números de 4

cifras tienen por lo menos 2

cifras iguales.

Rpta.: ...............

4) En base “x” cuantos

numerales de la forma:

existen.

Rpta.: ...............

5) ¿Cuántos numerales de

11 cifras cumplen que al

producto de sus cifras es

30.

Rpta.: ...............

6) ¿Cuántas páginas tiene un

libro que en sus 100

últimas se han utilizado

236 cifras para numerarlo.

Rpta.: ...............


cifras, , existen,

donde: a – b = 2 c + d =

6?.

Rpta.: ...............

8) Hallar (a + b + c) sabiendo

que para escribir todos los

números enteros desde, hasta abc se

cumple una cantidad.

Rpta.: ...............

9) Un libro tiene 743 páginas. ¿Qué

diferencia en el número de tipos hay

si la numeración del libro se hace en

base 10 y base 7 respectivamente?.

Rpta.: ...............

10) El número de tipos usados para

numerar un libro es el triple del

número de páginas. ¿Cuántas

páginas tiene el libro?.

Rpta.: ...............

11) En dos sistemas de numeración de

bases consecutivas existen 155

números que se escriben con 2 cifras

en ambas bases. ¿Cuál es la suma de

dichas bases?.

Rpta.: ...............


Toman estos valores

4645

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año12) ¿Cuántos números de 3 cifras de

base 12 se escriben con 3 cifras

en base 11 y en base 10?.

Rpta.: ...............

13) En la enumeración de las

páginas de un libro se han utilizado

506 cifras menos que en la

enumeración de otro libro de a

páginas calcular: (a+b).

Rpta.: ...............

14) En la enumeración de un litro de

aritmética, por error se empieza

con 100 en vez de 1 si hay un

exceso de 116 cifras debido a este

error. ¿Cuántas páginas tiene

realmente dicho libro?.

Rpta.: ...............

15) ¿Cuántas páginas mas que hojas

tiene un libro, sabiendo que para

enumerar las 100 últimas páginas

se han utilizado 283 tipos de

imprenta.

Rpta.: ...............

16) ¿Cuántos números pares de

la forma existen:

Rpta.: ...............

17) ¿Cuántos dígitos se han

empleado para enumerar las

1000 páginas de un libro.

Rpta.: ...............

18) Para enumerar un libro de

páginas se han

empleado 960 tipos de

imprenta. ¿Cuántos tipos de

imprenta se emplearon para

numerar un libro de

páginas?.

Rpta.: ...............

19) El número de páginas de

un libro es 1239, si se

arrancan las “n” primeras

páginas, en las restantes

necesitarán 3450 cifras

mas que las arrancadas

para su respectiva

numeración. Hallar “n”.

20) Al enumerar las páginas

de u n libro se emplean

1812 páginas. ¿Cuántas

hojas tiene el libro?.


1) Si se colocan todos los números que

terminan en 2, uno a continuación del

otro según como se indica: 02, 12, 22,

32..... Calcular la cifra que ocupa el

lugar 5678.

a) 1 b) 3 c) 5

d) 7 e) 6

2) Una persona, solo recuerda un

número telefónico, que empieza con

81. De las otras 4 cifras recuerda que

son cifras pares y que eran diferentes.

¿Cuántas combinaciones va hacer

dicha persona para adivinar el

número?.

a) 100 b) 80 c) 110

d) 115 e) 120


4847

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año3) ¿Cuántos numerales de 5 cifras

empiezan con cifra 3 y termina con

cifra 7?.

a) 100 b) 200 c) 300

d) 400 e) 500

4) ¿En qué numeral aparece la cifra 2

que ocupa el lugar 400, en la

numeración natural desde 1?.

a) 1982 b) 1892

c) 1882 d) 1992

e) 1244

5) ¿Cuántos números de 4 cifras que

terminan en 5 y que sean mayores

que 5000 existen en el sistema

decimal?.

a) 2500 b) 400

c) 900 d) 500

e) 250

6) En la numeración de un libro en el

sistema nonario; en las últimas 7

páginas que terminan en cifra 5 se

utilizan en 23 cifras. Calcular

cuántas páginas terminarían

en 3 si la enumeración se

realizaría en base 27

además la cantidad de

páginas es máxima.

a) 28

b) 25

c) 26

d) 29

e) 24

7) La cantidad de páginas de un

libro es un número de 3

cifras mayor que 600. Si se

arrancan “n” hojas del inicio y

“n” hojas del final, entonces

el número de tipos de

imprenta disminuye en 201.

Halle cuántas páginas se

arrancaron.

a) 42 b) 21

c) 84 d) 36

e) 168

8) Un diccionario de 420

páginas se ha enumerado

sus páginas en el sistema

decimal. Se desea

averiguar la base del

sistema en el que se tuvo

que enumerar para reducir

en 46el número de tipos

de imprenta usada.

a) 10 b) 12 c)

15

d) 20 e) 24

9) ¿Cuál es la base de

sistema de numeración en

que se reducirá 46 el

número de tipos de

imprenta para enumerar

las 420 páginas de un

libro?.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

10) De un libro de 500 hojas se arrancan

5 hojas seguidas notándose que en

las hojas que quedaron se había

utilizado 2866 cifras en su

numeración. Determinar el número de

la primera página arrancada.

a) 97 b) 100 c) 200

d) 107 e) 98

11) En las últimas 25 páginas de un libro

que terminan en 4, se han empleado

87 tipos de imprenta en la numeración

de las mismas. ¿Cuántos tipos de

imprenta como mínimo se han

empleado en la enumeración de todas

las páginas de dicho libro?.

a) 3180

b) 3553

c) 3349

d) 3937

e) 2941

12) Hallar la base del sistema en el que la

cantidad de números de 3 cifras


5049


significativas que se utiliza al

escribir en dicha base todos los

números desde 1 hasta 242 (242

está escrito en la base de

referencia?.

a) 7

b) 8

c) 9

d) 10

e) 12

13) Se arrancan 50 últimas hojas de

una enciclopedia, notándose que

el número de tipos de imprenta

que se utilizaron en su

enumeración, ha disminuido en

361. ¿Cuántos tipos de imprenta

se han utilizado en la enumeración

de las hojas que quedaron?.

a) 2000

b) 2770

c) 2772

d) 2774

e) 2700

14) Para enumerar un libro se

emplearon 666 cifras. Si se

eliminan 20 hojas. ¿Cuántas

cifras se usaron para

enumerar los páginas

restantes en base 8?.

a) 3941

b) 4760

c) 4904

d) 4814

e) 1420

15) ¿Cuántas páginas tiene un

libro si en su enumeración

se han empleado 1480

veces la cifra 7 y la suma

de cifras del número de la

última página es 17?.

a) 3941

b) 4760

c) 4904

d) 4814

e) 1420

TEMA: TEORIA DIVISIBILIDAD

Es la parte de la aritmética que tiene por

objeto hallar las condiciones que debe de

tener un número para que sea divisible

entre otro.

El objetivo principal es hallar el residuo en

divisiones enteras inexactas, sin tener que

ejecutarlas.

Definiciones preliminares:

Múltiplo: Se dice que un “ A” es un

múltiplo de “B” cuando “A” contiene a “B”

un # Z y exacta de veces.

Notación: A = Bº

A = m . B

A =

Ejm.: * 30 es múltiplo de 6


5251

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año * 0 es múltiplo de 8

* -120 es múltiplo de ___

Divisor: Se dice que un # es divisor de

otro cuando los divide en forma exacta.

Ejm.:

* 5 es divisor de 120

* -3 es divisor de 18

Observación:

1) El cero es múltiplo de todo

número natural.

2) Por convención el primer

múltiplo de un número es el mismo

número.

ESTRUCTURA DE LOS MÚLTIPLOS

DE UN NÚMERO

Sen los múltiplos de 3; (3º):

...........3(-1); 3(0); 3(1); 3(2), .......

= 3 t “t” Z

En general:

= n.K; “K”, “n” Z

Principios de divisibilidad:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

Adicionales:

8) N

N =

9) N

N =

10) * D =

* D =

TEOREMA DE ARQUÍMEDES

Si A . B = ; además “A” no es

; ni tiene ningún divisor en

común con “n” aparte de la

unidad.

B =

Año bisiesto:

Es aquel año que tiene

366 días; la forma de

reconocer es que son

años a excepción de los

años seculares que no forma

un # .


1) Colocar verdadero (V) o falso (F)

según corresponda:

i) 6 es múltiplo de 30.

ii) 6 es divisor de 30.

iii) 1 es divisor de todo #

entero.


5453


iv) 0 no es múltiplo de

todo # entero positivo.

Rpta.: ...............

2) Colocar verdadero (V) o falso (F):

i) 30 es múltiplo de 6.

ii) 0 es múltiplo de todo #

entero positivo.

iii) Si A es divisible por B;

entonces A es múltiplo de B.

iv) Si B es divisor de A;

entonces B es múltiplo de A.

Rpta.: ...............

3) Indicar cual es el menor divisor

primo del número 63.

Rpta.: ...............

4) Indicar cual es el mayor divisor

primo del número 110.

Rpta.: ...............

5) ¿Cuántos divisores tiene el

número 70000?.

Rpta.: ...............

6) ¿Cuántos divisores primos

tiene el número 1260.

Rpta.: ...............

7) ¿Cuántos divisores primos

tiene el número 1400?.

Rpta.: ...............

8) ¿Cuántos divisores menores

que 125 tiene el número

500?.

Rpta.: ...............

9) ¿Cuántos divisores de 2

cifras tiene el número 600?.

Rpta.: ...............

10) Si 3n tiene 15 divisores.

Hallar “n”.

Rpta.: ...............

11) Si 4n tiene 11 divisores.

Hallar “n”.

Rpta.: ...............

12) Si 162n+1 tiene 29 divisores.

¿Cuántos divisores impares

tiene 1200n-1?.

Rpta.: ...............

13) Sea N = 3ª x 22 x 5b; si N

posee 40 divisores pares y

24 divisores cuyos valores

son divisibles por 9. Halle

la suma de divisores de

.

Rpta.: ...............

14) Si: posee 7

divisores propios.

Determinar el mínimo

que cumpla con dicha

condición.

Rpta.: ...............


cifras son múltiplos de 3 y

de 6 pero no de 7?.

Rpta.: ...............

16) ¿Cuántos divisores tiene

el número 4050, que no

sean divisibles por 15?.

Rpta.: ...............

17) Calcular la cantidad de

divisores de , si este

descompuesto

canónicamente posee la siguiente

forma: = PP x (P + 1)3 x (P + 3).

Rpta.: ...............

18) La suma de los divisores de N = 25 x a

x b es el triple de N. ¿Cuántos

divisores tiene el número

si a y b son números

primos diferentes de 2 y entre sí?.

Rpta.: ...............

19) ¿Cuántos divisores múltiplos de 3

pero no de 7 tiene el número

126000?.

Rpta.: ...............

20) Indicar los divisores primos de:

; sólo los que son

posibles indicar.

Rpta.: ...............


1) Del 1 al 500 averiguar:

a) ¿Cuántos son múltiplos de 5?.

b) ¿Cuántos son múltiplos de 11?.

c) ¿Cuántos no son múltiplos de 11?.


5655


Dar como respuesta la suma de

los resultados.

a) 1000 b) 500

c) 45 d) 145

e) 600

2) Del 20 al 400:

a) ¿Cuántos números son .

b) ¿Cuántos números son

?.

c) ¿Cuántos números son

?.

Dar como respuesta la suma de

los resultados.

a) 155 b) 96

c) 39 d) 20

e) 125

3) ¿Cuántos números de 2 cifras son

y terminan en 3?.

a) 10 b) 11

c) 12 d) 13

e) 9 14


cifras son múltiplos de 6 y

terminan en 2?.

a) 1700 b) 1499

c) 2300 d) 1066

e) 1666

5) Hallar la suma de los “K”

primeros múltiplos de 7

mayores que cero.

a) 7K2+7K

b) 7K2+7

c) 3,5K+3,5K2

d) 3,5K2 + 3,5

e) 3,5K + 7

6) Dado: N = ; si “a” es el

doble de “b” entonces porque

números será divisible “n”:

a) 4 b) 5

c) 8 d) 7

e) 9

7) ¿Cuántos numerales de 3

cifras son divisibles por 4,

pero no de 3 ni de 5?.

a) 120 b) 140

c) 100 d) 70

e) 160

8) Si: N = 30n x 8n+2 x 15n+2,

tiene 731 divisores

compuestos. Calcule

cuántos divisores impares

pero PESI con 35 tiene N.

a) 8

b) 10

c) 7

d) 15

e) 2

9) Si: N = (a – 1)m x an, está

descompuesto

canónicamente y se sabe

que:

i) Al multiplicarlo por 12, su

cantidad de divisores aumenta

en 19.

ii) Al dividirlo entre 18 su

cantidad de divisores disminuye

en 17.

Calcule: m + n + a

a) 12 b) 13 c) 10

d) 15 e) 14

10) Si tiene 7 divisores

propios, halle la suma de los valores

que toma para satisfacer la

condición.

a) 180 b) 220 c) 100

d) 130 e) 162


5857

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año11) Si el numeral tiene 4

divisores simples y su cantidad de

divisores es la mayor posible.

Calcular m + n:

a) 8 b) 6 c) 9

d) 16 e) 7

12) Si (300)n tiene igual cantidad de

divisores que (16) x (90n). Hallar el

valor de “n”.

a) 10 b) 7 c) 5

d) 4 e) 2

13) El número 360 tiene el doble de

divisores que (2) x (10K). ¿Cuántos

divisores tiene 4K2?.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 8

14) Calcular cual es la suma de

los “n” primeros múltiplos

enteros y positivos de 5.

a) 25n (n + 1)

b) n2 + 10

c) n (n2 + 1)

d) 2,5(n2 + n)

e) n (n – 1)

15) Dada la descomposición

canónica del menor N; tal

que N = ab x ba (a + b)a+b. Dar

como respuesta la suma de

cifras de la cantidad de

divisores de N.

a) 8 b) 9

c) 7

d) 10 e) 12

TEMA: CRITERIOS DE

DIVISIBILIDAD

Son los diversos medios que

nos permiten saber cuando un

número es divisible entre otro.

El objetivo principal es hallar el

resto en divisiones enteras

inexactas sin tener que

efectuarlas.

I) Divisibilidad

por 2n y/o 5n:

Todo número será divisible

por 2n y/o 5n cuando sus

“n” últimas cifras sean

todos iguales a cero o en

todo caso formen un número múltiplo

de 2n y/o 5n.

N =

=

II) Divisibilidad por 3 y/o 9:

Todo número será divisible por 3 y/o 9

cuando la suma de sus cifras de cómo

resultado un # y/o .

N =

N =

Ex.: N = 9153

N =

N =


21 ...8

22 ....48

23 ...648

51 ...o

52 ....oo

6059


III) Divisibilidad por 11:

Todo número será divisible por 11

cuando al restar la suma de cifras

de orden impar con la suma de

cifras de orden de cómo resultado

un .

N =

N =

IV) Divisibilidad por 7:

Todo número será cuando al

multiplicar sus cifras de derecha a

izquierda por los coeficientes; 1, 3,

2, -1, -3, -2, la suma algebraica de

cómo resultado un .

N =

N = +

V) DIVISIBILIDAD

POR 13:

Todo # será cuando al

multiplicar sus cifras de

derecha a izquierda por los

coeficiente 1, -3, -4, -1, 3, 4;

la suma algebraica de cómo

resultado todo un .

N =

N = -

PROBLEMAS PARA LA

CLASE

1) Halle el residuo de dividir

N entre 24 y 8

respectivamente; dar

como respuesta la suma

de estos; si: N = 2504823.

Rpta.: ...............


N = 700538 entre 525 y

125. Dar la suma de estos.

Rpta.: ...............


N entre 3 y 9; Si N =

148712. Dar como respuesta el

producto de estos.

Rpta.: ...............

4) Determine la suma de los valores de

a:

Rpta.: ...............

5) Sea: . Si “b” es

par, halla axb. Si además “a” es

máxima.

Rpta.: ...............

6) Halle el residuo de dividir 725639

entre 11.

Rpta.: ...............


entre 7.

Rpta.: ...............


6261


8) Halle el valor de “a”, en:

.

Rpta.: ...............


entre 13.

Rpta.: ...............

10) Si: N = ,

determine el mayor valor de a + b.

Rpta.: ...............

11) Determine la cantidad de números

de 3 cifras menores que 720, tales

que sean divisibles por 12 pero no

por 8.

Rpta.: ...............

12) Halle: a + b + c; si ;

,

Rpta.: ...............

13) ¿Cuántos números

comprendidos entre 2100 y

3500 terminan en 6 y son

divisibles por 14?.

Rpta.: ...............

14) Sabiendo que:

Hallar: a + c

Rpta.: ...............

15) A una reunión asistieron 200

personas, notándose que de

los varones: 3/5 fuman, 3/8

usan corbata y 5/12 son

ingenieros. ¿Cuántas

mujeres solteras asistieron,

si hubo 2 solteras por cada 3

casadas?.

Rpta.: ...............

16) Se tiene un numeral

capicúa de cinco cifras,

todos significativos, el cual

es divisible por 7.

Determine el residuo que

se obtiene al dividir dicho

números entre 13.

Además: 5c + 2b + 2a =

y 5c + 2b + 2a es

mínimo.

Rpta.: ...............

17) Sabiendo que: ,

y . Halle

el residuo de dividir

entre 13.

Rpta.: ...............

18) Si: (9845)37 es expresado

en el sistema heptanario;

determine su cifra de

menor orden.

Rpta.: ...............

19) Hallar cualquiera de los números que

tiene 4 cifras y comienza en 5; tal

que al ser dividido entre 7, 9 y 11 se

obtenga como residuos 4, 8 y 9

respectivamente.

Rpta.: ...............

20) Sabiendo que es divisible

por 44.

Halle “a + b”


6463



1) Si: . Calcular axn.

a) 10 b) 12 c) 13

d) 16 e) 14

2) Calcular (m + n); si: es

divisible por 56, si “m” es mínimo.

a) 12 b) 7 c) 13

d) 6 e) 14

3) Calcular: axb; si es

divisible por 88.

a) 20 b) 21

c) 19

d) 18 e) 15

4) Sabiendo que: ;

y .

a) 7 b) 6

c) 8

d) 5 e) 4

5) Calcular cuántos números

capicúas de 4 cifras no son

divisibles entre 7.

a) 72 b) 62 c)

64

d) 56 e) 32

6) Si se cumple que:

Hallar: a x b + c

7) Encontrar el valor de a + b

+ c. Sabiendo que:

a) 12 b) 18 c)

9

d) 15 e) 27

8) Si: ;

y

. Calcular

, si a > c.

a) 374 b) 743

c) 473 d) 573

e) 734

9) Calcular (a – b + c), si:

a) 13 b) 12

c) 11 d) 10

e) 7

10) Hallar el valor de “a” en: .

a) 8 b) 5

c) 6 d) 3

e) 7

11) La suma de los numerales: y

es siempre divisible por:

a) 17 b) 19 c) a – b

d) a + b e) a x b

12) El número de páginas de un libro está

comprendido entre 600 y 800.

Calcular este número, sabiendo que si

se cuentan de 5 en 5 sobran 2; de 7

en 7, 4; y de 11 en 11; 8.


6665


a) 667 b) 757 c) 676

d) 697 e) 767

13) A una conferencia asistieron 85

personas. Se sabe que 2/3 de los

hombres usan bigotes y 3/5 de las

mujeres son abogados. Hallar la

diferencia entre el número de

hombres y mujeres presentes.

a) 30 b) 20 c) 45

d) 40 e) 50

14) En un ómnibus donde viajaban 100

pasajeros ocurre un accidente, de

los sobrevivientes la tercera parte

eran profesionales y la quinta parte

de los muertos quedaron sin una

pierna. ¿Cuántos murieron en el

accidente?.

a) 75 b) 65 c) 25

d) 35 e) 40

15) Si: (1999)2000 se convierte al

sistema de numeración de base

11. ¿Cuál es la cifra de

menor orden?.

a) 4 b) 6

c) 8

d) 2 e) 10

MISCELANEA DE

PROBLEMAS

01. De un recipiente lleno de

alcohol puro, se extrae la

cuarta parte y se

reemplaza por agua, luego

se extrae la quinta parte y

se llena con agua.

¿Cuántos litros de alcohol

puro es necesario agregar

a 20 litros de ésta última

mezcla para obtener

alcohol de 20º?

a) 20 b) 40 c) 45

d) 60 e) 75

02. Se tiene 3 vinos de S/.10,

S/.3 y S/.5 el litro. Se

toman volúmenes del 1ro y

del 2do en la proporción de

2 a 3 y se mezclan. Luego

se toman volúmenes del

2do y el 3ro en la

proporción 7 a 3 y se

mezclan, obteniéndose dos

nuevas clases de vino. ¿En qué

proporción deben mezclarse estos

dos vinos para obtener vino de

S/.7.50 el litro?

a) 4 a 13 b) 5 a 12 c) 3 a 14

d) 4 a 9 e) 7 a 8

03. Las leyes y los pesos de 4 lingotes

son proporcionales a los números 1,

2, 3 y 4. Si al fundir los 4 lingotes se

obtienen una aleación de ley 0,480;

hallar la ley del segundo lingote.

a) 0,08 b) 0,16 c) 0,32

d) 0,48 e) 0,56

04. Al fundir la veinteava parte de una

joya de 18 kilotes con 2 gramos de

cobre, resulta una aleación de 0,7 de

ley. ¿Qué peso de oro puro había

inicialmente en la joya?

a) 420 g. b) 450 g. c) 460 g.

d) 480 g. e) 560 g

05. De un depósito de 100 litros de

capacidad lleno de alcohol puro, se


6867


saca una cierta cantidad de

alcohol y se reemplaza por

agua; se saca después la misma

cantidad de mezcla y se

reemplaza por agua. La mezcla

resultante contiene alcohol al

49%. Se pide determinar la

cantidad de líquido que se ha

sacado cada vez. Dar la suma

de sus cifras.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

06. Se compra cierta menestra de

diferentes calidades, cuyos

precios son: 1,2,3 … soles, y se

les mezcla en proporción directa

a sus precios. EL Kg. d la

mezcla se vende al precio de

costo de la mejor menestra,

ganando así el 40% del costo de

la mezcla. ¿Qué porcentaje se

perdería si el Kg. De mezcla se

vende a S/.4 el Kg.?

Sug .:

12 + 22 + …+ n2 = n.(n+1).

(2n+1)/6

a) 15% b) 18% c)

17,5%

d) 25% e) 20%

07. Se tiene una aleación de oro

de 16 Kg. Que pesa 10 gr.

¿Cuántos gramos de cobre

se debe añadir para obtener

una aleación de 8K. Dar la

suma de cifras.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

08. Se tiene 2 calidades de arroz:

30 kg. y 20 kg.

Respectivamente ¿Cuántos

kg’s se deben intercambiar

para tener arroz de un solo

precio en ambas partes?

a) 12 b) 13 c) 15

d) 8 e) 9

09. Se tienen 2 barras de metal

que pesan 1 Kg. Y 17 kg., los

2 contienen cobre y zinc. La

primera contiene 14% más de

cobre que de Zinc; y la

segunda 4% menos de

cobre que de zinc. Se

desea quitar de ambas

barras x Kg; de tal manera

que al fundir las partes

restantes se obtenga una

aleación con 2% más de

cobre que de zinc. Hallar

“X”

a) 1,5 b) 1,8 c) 3,5

d) 4,8 e) 5

10. En una barrica de 228

litros quedan 147 litros de

vino. Se ha adicionado

agua, de tal modo que una

botella de 0,8 litros llena

de esta mezcla, contiene

en sus 7/10 vino puro.

¿Cuál es la cantidad de

agua (en litros)

adicionada?

a) 63 b) 210 c) 56

d) 65 e) 85

11. Se mezclan dos clases de

café: de una 50 kg. Y de la

otra 30 kg.; costando S/.12 y S/1.0 el

kg. Respectiva-mente. Si el café, al

ser tostado; pierde 1/5 de su peso; ¿a

cómo debe venderse el kg. De café

tostado de esa mezcla para tener una

utilidad del 20% del costo?

Dar como respuesta la suma de cifras

pares del resultado.

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

12. ¿Qué cantidad de cobre habrá que

mezclar con una barra de plata de

43,125 kg y ley de 0,96; para que este

baje a 0,970?

a) 1,875 kg. b) 1,252 kg.

c) 2,5 kg. d) 1,275 kg.

e) 0,975 kg.

13. Se tiene 2 lingotes de oro, uno de 600

gr. De masa y ley 0,92 y el otro de

900 gr. Y ley 0,88. Se funden los

lingotes y se extraen “M” gr. Que se

reemplazan por “M” gr. De una nueva

aleación de 0,971 de ley; resultando


7069


finalmente una aleación con ley de

0,921. Hallar “M”.

a) 480 gr. b) 490 gr.

c) 500 gr. d) 510 gr.

e) 520 gr.

14. Un litro de alcohol al 60% tiene

una masa de 940 gr. Determinar

la masa de un litro de alcohol al

48%.

Nota: 1 litro de agua tiene una

masa de 1000 gr.

a) 948 gr. b) 952 gr.

c) 954 gr. d) 955 gr.

e) 956 gr.

15. ¿De cuántos grados es una

mezcla alcohólica?, sabiendo

que cuando se le agrega 25

litros de alcohol puro se

convierte en alcohol de 85º, pero

si se le hubiese agregado 50 L.

de alcohol puro se hubiese

convertido en alcohol de 88º.

a) 80º b) 82º c) 72º

d) 70º e) 78º

16. Se tienen dos clases de

vinos, de S/.10 y S/.20 el

litro, los mezclo en la

proporción de 2 a 1 y lo

vendí ganando el 20% del

precio de costo, después lo

mezclé en la proporción de

1 a 2 y los vendí perdiendo

el x% del precio de costo y

en ambos casos el precio

de venta es el mismo.

Hallar la suma de las cifras

de x.

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

17. Se tiene 360 Gr. De una

aleación de oro de un

determinado número de

kilates. Hallar dicho número

de kilates, sabiendo que al

fundir dicha aleación con 72

gr. De oro puro se obtiene

una aleación cuyo número de

kilates excede en 1 al

número de kilates de la

aleación anterior.

a) 15 b) 16. c) 17

d) 18 e) 20

18. Si se mezclan 2 tipos de

arroz en masas

proporcionales como 3 es

a 4 y se vende con el 25%

de ganancia se obtiene el

mismo precio por kilo que

si hubiese mezclado en

proporciones de 2 a 5 y

vendido con una ganancia

del 35%. Hallar la relación

de precios entre los tipos

de arroz.

a) 5 a 3 b) 4 a 5 c) 3 a 4

d) 5 a 7 e) 5 a 6

19. Al fundir oro y plata se ha

producido una mezcla del

20% en cada metal.

¿Cuántos gramos de oro

se debe utilizar si se quiere

obtener un lingote de 48

gr. Que tenga 18 kilates.

a) 45 b) 48 c) 40

d) 45 e) 20

20. Se mezclan 4 clases de vino de 6, 7,

8 y 9 soles el litro, de tal modo que si

se vendiera a 9 soles el litro, se

ganaría el 25%. Hallar el volumen del

primero, sabiendo que el volumen del

primero es al del segundo como 6 es

a 5 y el volumen del 2do es al del 3 ro

como 10 es a 9 y el volumen del 4 to es

92 litros.

a) 120 b) 100 c) 210

d) 216 e) 222

21. Se mezclan 2 clases de café de 8, 4

soles y 7,2 soles el kilogramo

respectivamente, tomándose 40 y 20

kg. De cada clase. ¿A cómo debe

venderse el kilogramo de café

“tostado” de esta mezcla para ganar

el 20%? (el café tostado pierde 1/5 de

su peso).

a) S/.8 b) S/.9 c) S/.10

d) S/.11 e) S/.12


7271

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año COLEGIO PRE UNIVERSITARIO Tercer AñoTercer Año22. Se pierde “n”kg. De cobre puro

con 48 kg. De oro de 21 kilates y

se obtiene una aleación de “21-

m”kilates. Si se funden los 48 kg.

De oro de 21 kilates con “n” Kg.

De oro de 14 kilates; la ley

resultante es mayor en 2 kilates

que la ley de aleación que se

obtuvo por primera vez. Hallar m

+ n.

a) 4 b) 7 c) 11

d) 3 e) 8

23. Al fundir un joyero 3 lingotes

cuyas leyes en oro son 0,92; 0,84

y 0,72; obtuvo un lingote de oro

cuyo peso se desea conocer, los

pesos de los 3 lingotes son

inversamente proporcionales a

sus leyes y el tercero pesó 245

gr. Más que el primero.

a) 2975 b) 3115 c) 2225

d) 2725 e) 2775

24. A 20 gr. De oro de 18 kilates se

eleva su ley hasta 21 K.

agregando oro puro. ¿Qué

peso de cobre será

necesario alear con este

nuevo lingote, para volverlo

a su ley original?

a) 10 gr. b) 12 gr. c)

15/4 gr.

d) 20/3 gr. e) 40/3 gr.

25. ¿Cuál es la ley de aleación

de un vaso de plata que pesa

500 gr., si se ha vendido en

S/.77 al precio de S/.220 por

kilogramo de plata pura?

a) 0,6 b) 0,68 c) 0,7

d) 0,72 e) 0,75

26. Se mezclan dos alcoholes,

uno de 60º y el otro de

alcohol, siendo el volumen

del primero el triple del

segundo. Se toma la mitad

de la mezcla y se agrega 40

litros de agua obteniendo una

mezcla de alcohol de 50º;

¿qué cantidad de alcohol

puro se utilizó en su última

mezcla?

a) 40 L. b) 50 L. c) 90 L.

d) 80 L. e) 70 L.

27. Un litro de mezcla formado

por 20% de agua y 80% de

alcohol pesa 760 gr.,

sabiendo que el litro de

agua, pesa 1kg. Se pide

calcular el peso de un litro

de mezcla conteniendo

80% de agua y 20% de

alcohol.

a) 1020 b) 1015 c) 1010

d) 1050 e) 940

28. Se mezclan 70 litros de

alcohol de 93º con 50 litros

de 60%, a la mezcla se le

extrae 42 litros y se le

remplaza por alcohol de nº,

resultando una mezcla que

contiene 28,8 litros de

agua. Determinar “n”.

a) 69º b) 65º c) 80º

d) 35º e) 63º

29. En la PA: , , …, 1175; el

número de términos es 251. Halle el

valor de a:

a) 4 b) 3 c) 2

d) 1 e) 0

30. La PA: 17, …., 251; tiene 40 términos,

halle el duodécimo término.

a) 81 b) 82 c) 83

d) 85 e) 90

31. En una PA el tercer término es el

octavo como 2 es a 5 y la suma del

primero con el quinto es 20. Halle el

vigésimo término.

a) 59 b) 60 c) 61

d) 62 e) 63

32. Calcular la suma del cuarto término y

la razón de una PA, cuyo segundo

término es 8a y el octavo 20a.

a) 14a b) 6a c) 12a

d) 10a e) 8a

33. En una progresión aritmética el primer

y el último término son y .


7473


Halle la razón, si además el

número de términos está

comprendido entre 30 y 40.

a) 13 b) 15 c) 17

d) 19 e) 21

34. La suma de términos de la

progresión aritmética: 2n, (2n+3),

(2n+6), …, 5n; es (38n+5). Halle

el valor de “n”

a) 7 b) 8 c) 5

d) 10 e) 11

35. En la progresión aritmética:

2, …, 17, …, 44, el número de

términos que existe entre 2 y 17

es la mitad del número de

términos que existe entre 17 y

44. Halle la suma de términos.

a) 290 b) 298 c) 320

d) 345 e) 405

36. Halle el número de términos de la

siguiente PA:

, , , , …,

a) 4 b) 5 c) 6

d) 7 e) 3

37. La progresión aritmética:

, , …, tiene

89 términos . Hallar (a + b +

d).

a) 14 b) 15 c) 16

d) 17 e) 18

38. La suma de los 11 términos

de una PA creciente es 176.

La diferencia de los extremos

es 30.¿Cuál es el último

término?

a) 29 b) 30 c) 31

d) 32 e) 33

39. Se tienen 3 números en PA.,

que al aumentarles en 2, 3 y

8 respectivamente

obtenemos números

proporcionales a 10, 25 y 50.

Luego el mayor de éstos

números es:

a) 11 b) 12 c) 13

d) 14 e) 15

40. Sabiendo que los 2 primeros

términos de una PA están en

la relación de 3 a 7. ¿En

qué relación están los dos

últimos, si la progresión

tiene “n” términos?

a) b) c)

d) e)

41. Si a, b y c están en

progresión aritmética,

calcular:

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

42. Los números: X1, X2, …,

X11 forman una P.A.

creciente:

Si:

Calcular X1:

a) -2 b) -3 c) -4

d) -5 e) -1

43. Un trabajador debe llevar una

carretilla de arena al pie de cada uno

de los 21 árboles que están al lado de

una calzada. Los árboles están a 4m.,

de distancia y el montón de arena

está a 10 m. antes del primer árbol.

¿Qué camino habrá recorrido

después de haber terminado su

trabajo y vuelto la carretilla al montón

de arena?

a) 2000 b) 2100 c) 2500

d) 3000 e) 3100

44. Consideremos el sistema:

a + b – c = 15 b – 2a = 12

donde a, b y c son 3 términos

consecutivos de una P.G. oscilante,

entonces “a” es:

a) -2 b) 2 c) 3


7675


d) 6 e) -3

45. ¿Cuál es el término central de una

PG de 3 términos positivos, si el

producto de los 2 primeros es 24 y

el producto de los 2 últimos es 54?

a) 8 b) 9 c) 6

d) 3 e) 12

46. Se tiene 3 términos de una P.G.

entera; se agrega 4 al término

central y los demás se

encuentran entonces en PA, en

esta última progresión se agrupa

32 al término final y la progresión

nuevamente es geométrica.

¿Cuánto suman los términos

originales?

a) 30 b) 35 c) 28

d) 26 e) 29

47. Si la suma de los términos de

una PG es 726, calcular su razón

y el número de términos

sabiendo que sus términos

extremos son 6 y 486 (1ro y

último respectivamente.

a) 8 y 11 b) 3 y 5 c) 7 y 5

d) 7 y 11 e) 5 y 8

48. Entre 2 y 162 y entre 3 y 19683

han interpolado el mismo

número de medios

proporcionales. Hallar la

diferencia de las razones de las

progresiones formados, si la

razón de la primera es 1/3 de la

razón de la segunda?

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

49. Se tienen 2 progresiones,

una aritmética y otra

geométrica, cuyos primeros

términos son iguales, e igual

a la razón sabiendo que la

suma de los 8 primeros

términos de la PA es igual a

la suma de los infinitos

términos de la PG. Calcular

la razón.

a) 34/35 b) 35/36 c) 36/37

d) 33/35 e) 24/36

50. Tres números que se

encuentran en P.G. creciente

suman 650 y si inversa es

13/150. Luego uno de ellos

será:

a) b) c)

d) e)

51. En una PG de “n” términos,

la suma de los (n-1)

primeros términos es 252 y

la suma de los (n-1)

últimos es 504. Hallar la

razón

a) 6 b) 5 c) 4

d) 3 e) 2

50. Una persona dispone de

una cierta cantidad para

sus gastos durante una

semana empieza gastando

el domingo la mitad de esa

cantidad, el lunes reduce

su gasto a la mitad, y así

continúa gastando cada

día la mitad de lo que

había gastado el día

anterior, al terminar el

sábado le queda S/.3. ¿De qué

cantidad disponía esa personal

comenzar el domingo?.

a) S/.300 b) S/.350 c) S/.384

d) S/.392 e) S/.386

53. En el mismo número de días se sacan

de 2 toneladas A y B ciertas

cantidades de vino de A se saca el

primer día 5 litros, el segundo día 10

litros, el tercero 20 litros y así

sucesivamente, de B se sacó el

primer día 2 litros, el segundo 4 litros

y el tercero 8 litros y así

sucesivamente. EN el último día se

sacaron del tonel A 192 litros más que

de B. Calcular el tonel de litros

sacados de cada tonel.

a) 635,254 b) 640,200

c) 850,300 d) 735,650

e) 400,350

54. De una PG con el 1er término distinto

de cero y razón diferente de cero y

una PA con el primer término igual a

cero, si se suman los términos

correspondiente de las dos


7877


sucesiones se obtiene una tercera

sucesión: 1,1,2,…; entonces la

suma de los 10 primeros términos

de la nueva sucesión es:

a) 1068 b) 4557 c) 467

d) 978 e) 856

55. Si A = {,{m,x},x} indique

verdadero o falso según

corresponda:

I. m A

II. x A

III. {m,x} A

IV. {,x} A

a) VFVV b) VVVV c) FVVV

d) FFFF e) FFVV

56. Si: A = {3X / 1 X < 3: X Z}

B = {Y / 1 Y < 5: Y Z}

Halle n(aB)

a) 0 b) 1 c) 2

d) 4 e) 5

57. Indique verdadero o falso según

corresponda:

I. A (AB) = A

II. A (AB) = A

III. AB) = A y B son

diferentes

a) VVV b) VVF c) VFV

d) VFF e) FFF

58. Se tienen los siguientes

conjuntos:

M = {x/x es un niño}

N = {x/x es un niño que

estudia en el colegio}

P = {x/x es un niño que

toma desayuno}

Exprese mediante

operaciones el conjunto de

los niños que no toman

desayuno y no estudian en el

colegio.

a) M -( N P) b) M – (N

P)

c) M N d) (M N)

P

e) N P

59. Si: A B = A; n ( A C) = 0;

n (A) + n (C) = n (B);

n (A C) = 20.

Halle n (B):

a) 20 b) 0 c) 10

d) 15 e) 8

60. Si 20 personas leen la

revista A y 15 leen la

revista B; y 7 leen

ambas revistas.

¿Cuántas personas no

leyeron revista

alguna?. Si en total hay

38 personas.

a) 7 b) 10 c) 15

d) 20 e) 18

61. Magaly come huevos y/o

tocino en su desayuno

cada mañana durante el

mes de enero. Si come

tocino 20 días y come

huevos 13 días. ¿Cuántos

días comió huevo con

tocino?

a) 5 b) 2 c) 10

d) 18 e) 3

62. De 500 alumnos de la academia

César Vallejo se encontró que 300

alumnos postularon a la UNI, 120

postularon a la UNC y 100 alumnos

no postularon a ninguna de estas

universidades.

¿Cuántos alumnos postularon a

ambas universidades?

a) 5 b) 10 c) 20

d) 70 e) 30

63. En una encuesta a 100 personas,

sobre las preferencias de las

emisoras P y Q, se obtuvo la

siguiente información 20 personas

prefieren solo la emisora P, 40

prefieren la emisora Q. ¿Cuántas

personas prefieren ambas emisoras o

ninguna de éstas?

a) 40 b) 50 c) 70

d) 80 e) 32

64. Sean A, B y C conjuntos contenidos

en U, se cumple:

A – B = A,

n(A C) = n(B-C) = 6


8079

INDICE

Regla de Mezcla y Aleación 01

Progresión Aritmética y Geométrica 06

Conjuntos 10

Numeración 16

Conteo de Números 20

Teoría de Divisibilidad 24

Criterios de Divisibilidad

Números Primos

M.C.M. y M.C.D.

Potenciación y Radicación

Número Fraccionario y Decimal


, n(AC)C =

21

n(B) = 15

Calcule: n[(AB)CnC]

a) 10 b) 12 c) 15

d) 20 e) 16

65. Si n [ P ( A B ) ] = 32

n [ P (P(A)} + n [P(B)] = 3 x 28

Calcule: n (AB)

a) 10 b) 8 c) 12

d) 5 e) 7

66. Al determinar por extensión al

conjunto:

M = {(-1)n – n / 0 < n 5 n

Z+}

Calcular la suma del mayor y

menor elemento del conjunto

M.

a) 7 b) 6 c) -7

d) 5 e) -5

67. Dados los conjuntos A y B

iguales:

A = {a + 3, a + 5}, B = {9 – a, b2

– 1}

Calcule (a+b) si b Z+

a) 11 b) 10 c) 6

d) 8 e) 5

68. Si: n(AB’) = 4; n(A’B) =

7;

A,B U; n(A’B’)=2; n(U)

= 19

Halle n (A – B’)

a) 2 b) 4 c) 6

d) 7 e) 8

69. Sean A, B y C conjuntos:

A B,

A – C = A, BAD = BUD; D

y D son coordinables

n(BC) = n(CD) = 4;

n(D - C) = 6

n(A) = 2

Hallar n(B (A C)’)

a) 2 b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

70. Se dispone de 6 tarros de

pintura de colores diferentes,

con los cuales se desea tener

tarros adicionales. ¿Cuántos

como máximo se podrá

obtener?

a) 57 b) 58 c) 59

d) 64 e) 63

71. Se lanzan dos dados

juntos, ¿cuántos pares

ordenados se puede

formar con los números de

la cara superior?

a) 16 b) 6 c) 36

d) 1 e) 0

72. En un salón se observa

que 40 estudiantes tenían

un libro de Aritmética (A);

30 tenían libro física (F);

30 tenían libro de química

(Q); 8 tenían libros de

aritmética y física, pero no

de A; 12 tenían un libro de

A y Q, pero no F; si 5

personas tenían los tres

libros, 6 de los estudiantes

carecían de libros.

¿Cuántos alumnos tenía el

salón?

a) 70 b) 60 c) 68

d) 80 e) 35

73. En una encuesta realizada

a 150 alumnos de un

centro educativo sobre el curso de su

preferencia se tiene la siguiente

información:

* 120 alumnos no prefieren el curso

de literatura.

* 30 alumnos no prefieren el curso de

física.

* Todos los alumnos que prefieren

física, prefieren también

matemática.

¿Cuántos estudiante prefieren

matemática?

a) 150 b) 120 c) 30

d) 90 e) 100

74. Reduzca a su equivalente más simple

la siguiente expresión:

a) AC BC b) AC BC

c) AC - BC d) A BC

e) A B


Arit 3ro II Trimestre

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