MA3231 Analisis Real - · PDF file9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi,...
Transcript of MA3231 Analisis Real - · PDF file9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik Diberikan sebuah fungsi,...
MA3231 Analisis Real
Hendra Gunawan*
*http://hgunawan82.wordpress.com
Analysis and Geometry GroupBandung Institute of Technology
Bandung, INDONESIA
Program Studi S1 Matematika ITB, Semester II 2016/2017
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 1 / 22
BAB 9. TURUNAN
1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22
BAB 9. TURUNAN
1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22
BAB 9. TURUNAN
1 9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
2 9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
3 9.3 Turunan Tingkat Tinggi
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 2 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimananilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Sebagai contoh, jikaf = f(t) menyatakan posisi suatu benda yang berubah terhadapwaktu t, kita ingin mengetahui seberapa cepat f berubah pada saat ttertentu. Permasalahan ini merupakan permasalahan limit yang khas,yang dikenal sebagai turunan.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 3 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka I yang memuattitik c. Fungsi f dikatakan mempunyai turunan di c apabila limit
limx→c
f(x)− f(c)x− c
ada. Nilai limit tersebut kemudian disebut turunan dari f di c, yangdilambangkan dengan f ′(c) atau Df(c).
Jadi, untuk fungsi f yang mempunyai turunan di c, kita mempunyai
f ′(c) = limx→c
f(x)− f(c)x− c
.
Dengan mengganti x dengan c+ h, kita peroleh
f ′(c) = limh→0
f(c+ h)− f(c)h
.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 4 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Catatan: f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapatbilangan L = f ′(c) sedemikian sehingga
f(c+ h)− f(c)− Lh = ε(h)
dengan ε(h)h→ 0 untuk h→ 0.
Secara geometris, fungsi f mempunyai turunan di titik c berartibahwa grafik fungsi y = f(x) mempunyai garis singgung di titik(c, f(c)) dan gradien garis singgung tersebut adalah f ′(c).
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 5 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Persamaan garis singgung pada grafik fungsi y = f(x) di titik(c, f(c)) dalam hal ini adalah
y = f(c) + f ′(c)(x− c).
Persamaan ini merupakan hampiran linear untuk y = f(x). Jika xberubah dari c ke c+ h, maka y akan bertambah kira-kira sebesarhf ′(c). Jadi, dengan mengetahui f ′, kita mengetahui bagaimana fberubah (bila x berubah).
Catatan: Masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurvadi titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenalsekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (dipublikasikanpada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 6 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Gambar 9.1 Grafik fungsi f yang mempunyai turunan di titik c
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 7 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Contoh 1. Misalkan f(x) = x2 dan c = 1. Untuk memeriksa apakahf mempunyai turunan di 1, kita hitung
limx→1
f(x)− f(1)x− 1
= limx→1
x2 − 1
x− 1= lim
x→1(x+ 1) = 2.
Jadi f mempunyai turunan di 1, dengan f ′(1) = 2.
Secara umum dapat ditunjukkan bahwa f(x) = x2 mempunyaiturunan di setiap titik c ∈ R, dengan f ′(c) = 2c.
Fungsi f ′ : c 7→ 2c disebut sebagai turunan dari f .
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 8 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Contoh 2. Misalkan f(x) = |x| dan c = 0. Perhatikan bahwa
limh→0
f(h)− f(0)h
= limh→0
|h|h
tidak ada (mengapa?). Karena itu, f tidak mempunyai turunan di 0.
Proposisi 3. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval terbuka Iyang memuat titik c. Jika f mempunyai turunan di c, maka fkontinu di c.
Bukti. [Diberikan di papan tulis.]
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 9 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
Catatan: Kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jika ftidak kontinu di c, maka f tidak akan mempunyai turunan di c.Kekontinuan f di c merupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyaiturunan di c.
Sebagai contoh, fungsi f : [0, 2]→ R yang didefinisikan sebagai
f(x) =
{2x, 0 ≤ x < 1;1, 1 ≤ x ≤ 2,
tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karena f tidak kontinu dititik tersebut.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 10 / 22
9.1 Turunan Fungsi di Suatu Titik
SOAL
1 Diketahui f(x) = x|x|, x ∈ R. Selidiki apakah f mempunyaiturunan di 0.
2 Konstruksi sebuah fungsi f : R→ R yang mempunyai turunanhanya di sebuah titik.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 11 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Dengan menggunakan definisi turunan dan sifat-sifat limit, kitamempunyai teorema berikut.
Teorema 4. Misalkan f dan g terdefinisi pada suatu interval terbukaI yang memuat titik c. Misalkan λ dan µ bilangan real sembarang.Jika f dan g mempunyai turunan di c, maka λf + µg, fg, dan f/gmempunyai turunan di c, dan
(i) (λf + µg)′(c) = λf ′(c) + µf ′(c);
(ii) (fg)′(c) = f ′(c)g(c) + f(c)g′(c);
(iii)(fg
)′(c) = f ′(c)g(c)−f(c)g′(c)
g2(c)asalkan g(c) 6= 0.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 12 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Bukti. (i) Latihan.
(ii) Perhatikan bahwa
1h
[f(c+ h)g(c+ h)− f(c)g(c)
]= g(c+ h)
[f(c+h)−f(c)
h
]+ f(c)
[g(c+h)−g(c)
h
]→ g(c)f ′(c) + f(c)g′(c),
untuk h→ 0.
(iii) Latihan.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 13 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Contoh 5. Misalkan n ∈ N dan f(x) = xn. Maka turunan dari fadalah
f ′(x) = nxn−1.
Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untuk n = 1 atauf(x) = x, jelas bahwa f ′(x) = 1. Sekarang misalkan pernyataan diatas benar untuk n = k, yakni jika f(x) = xk, maka f ′(x) = kxk−1.Maka, untuk n = k + 1 atau f(x) = xk+1, kita peroleh
f ′(x) = D(xk.x) = D(xk).x+ xk.D(x) = kxk−1.x+ xk = (k+ 1)xk.
Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuksetiap n ∈ N.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 14 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di cdan f mempunyai turunan di y = g(c). Maka, f ◦ g mempunyaiturunan di c dan
(f ◦ g)′(c) = f ′(g(c))g′(c).
Bukti. Berdasarkan definisi turunan,
(f ◦ g)′(c) = limx→c
(f ◦ g)(x)− (f ◦ g)(c)x− c
= limx→c
f(g(x))− f(g(c))x− c
.
Bila g(x)− g(c) 6= 0 pada suatu interval terbuka (c− δ, c+ δ), maka
(f ◦ g)′(c) = limx→c
f(g(x))− f(g(c))g(x)− g(c)
· g(x)− g(c)x− c
= f ′(g(c)) · g′(c).
Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur.Bagaimana mengatasinya?
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 15 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Untuk mengatasinya, definisikan
h(y) :=
{f(y)−f(g(c))
y−g(c) , y 6= g(c),
f ′(g(c)), y = g(c).
Perhatikan bahwa h kontinu di g(c). Mengingat g kontinu di c, makamenurut Teorema 10 pada Bab 7, h ◦ g kontinu di c.
Akibatnya, kita peroleh
(f ◦ g)′(c) = limx→c
f(g(x))− f(g(c))x− c
= limx→c
h(g(x)) · g(x)− g(c)x− c
= f ′(g(c)) · g′(c),
sebagaimana yang kita harapkan.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 16 / 22
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
SOAL
1 Buktikan bahwa untuk bilangan rasional r sembarang berlaku
D(xr) = rxr−1
asalkan x > 0.
2 Misalkan f : R→ R mempunyai turunan di x. Buktikan jika fmempunyai invers f−1 : R→ R dan f−1 mempunyai turunan diy = f(x), maka
Df−1(y) =1
Df(x).
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 17 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Jika f mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu intervalterbuka I, maka kita katakan f mempunyai turunan pada I.
Dalam hal ini turunan dari f , yaitu f ′, merupakan fungsi yang jugaterdefinisi pada I.
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagaiturunan dari f ′, yang nilainya di c adalah
f ′′(c) = limx→c
f ′(x)− f ′(c)x− c
,
asalkan limit ini ada.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 18 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Dapat diperiksa bahwa bila f mempunyai turunan kedua di c, maka
f(c+ h)− f(c)− hf ′(c)− h2
2f ′′(c) = ε(h),
dengan ε(h)h2→ 0 untuk h→ 0.
Dengan mengetahui f ′′, kita dapat mengetahui bagaimana f ′
berubah.
Secara geometris, turunan kedua dari f berkaitan dengankecekungan grafik fungsi f .
Jika f ′′ bernilai positif pada suatu interval, maka f ′ membesarsehingga grafik fungsi f cekung ke atas pada interval tersebut.
Jika f ′′ bernilai negatif pada suatu interval, maka f ′ mengecilsehingga grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 19 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f , turunanketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa.
Secara umum, f (n)(x) menyatakan turunan ke-n, n ∈ N, dari f .
Contoh 7. Jika f(x) = 1x
, maka
f ′(x) = − 1
x2;
f ′′(x) =2
x3;
f ′′′(x) = − 6
x4;
dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umum f (n)(x)untuk n ∈ N?)
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 20 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Bila f mempunyai turunan ke-n pada suatu interval yang memuattitik c, maka f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n− 1dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat TeoremaTaylor pada bab berikutnya.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 21 / 22
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
SOAL
1 Menggunakan Teorema Nilai Rata-rata, dapat ditunjukkan jika fmempunyai turunan kedua di c, maka
f ′′(c) = limh→0
f(c+ h)− 2f(c) + f(c− h)h2
.
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunankedua di suatu titik namun limit di atas ada.
2 Misalkan p(x) adalah polinom berderajat n. Buktikan bahwap(m)(x) = 0 untuk m > n.
HG* (*ITB Bandung) MA3231 Analisis Real 27 February 2017 22 / 22