MODUL MATEMATIKA EKONOMI · 2020. 12. 8. · MATEMATIKA EKONOMI MODUL. FUNGSI. FUNGSI FUNGSI...
Transcript of MODUL MATEMATIKA EKONOMI · 2020. 12. 8. · MATEMATIKA EKONOMI MODUL. FUNGSI. FUNGSI FUNGSI...
MATEMATIKA EKONOMI
MODUL
FUNGSI
FUNGSI
FUNGSI ALJABAR FUNGSI NON ALJABAR
ATAU TRANSSEDEN
FUNGSI RASIONALFUNGSI IRRASIONAL
FUNGSI PANGKATFUNGSI POLINOM
FUNGSI LINIER
FUNGSI KUADRAT
FUNGSI KUBIK
FUNGSI BIKUADRAT
FUNGSI EKSPONEN
FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI
FUNGSI HIPERBOL
FUNGSI IRRASIONAL : Y = ( 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + … + 12X11) 1/11
FUNGSI POLINOM : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3 + …+ 12X11
FUNGSI LINIER : Y = 1 + 2X
FUNGSI KUADRAT : Y = 1 + 2X – 3X2
FUNGSI KUBIK : Y = 1 + 2X – 3X2 + 4X3
FUNGSI PANGKAT : Y = X n , n = bulat positif
FUNGSI EKSPONEN : Y = 2 X
FUNGSI LOGARITMA : Y = n Log X
FUNGSI HIPERBOLA : Y = X n , n = riil negatif
PENERAPAN FUNGSI LINIER
Fungsi linier merupakan suatu fungsi yang sangatsering digunakan oleh para ahli ekonomi danbisnis dalam menganalisa dan memecahkanmasalah-masalah ekonomi. Hal ini dikarenakanbahwa kebanyakan masalah ekonomi dan bisnisdapat disederhanakan atau diterjemahkan kedalam model yang berbentuk linier.
Beberapa penerapan fungsi linier dalam bidang ekonomi dan
bisnis antara lain :
a. Fungsi permintaan, fungsi penawaran dan keseimbangan pasar
b. Keseimbangan Pasar dua Macam Produk
c. Pengaruh Pajak dan Subsidi terhadap Keseimbangan Pasar.
d. Fungsi biaya, fungsi pendapatan dan Analisis Pulang Pokok (BEP=Break Even
Point)
e. Fungsi Konsumsi dan Tabungan
f. Model Penentuan Pendapatan Nasional
KEMIRINGAN DAN TITIK POTONG SUMBUKemiringan (slope) dari fungsi linier dengan satu variabel bebas X adalah sama
dengan perubahan dalam variabel terikat (dependent) dibagi dengan perubahan dalamvariabel bebas (independent). Dan biasanya dilambangkan dengan huruf m. Jadi,
ΔY Y2 – Y1
Kemiringan = m = atau
ΔX X2 – X1
YY
YY
XX
X X
0 0
0 0
(a) Kemiringan positif (b) Kemiringan negatif
(c) Kemiringan nol (d) Kemiringan tak tentu
BENTUK UMUM FUNGSI LINIER
Y=a0 + a1X
di mana a1 ≠ nol.
Bentuk ini disebut sebagai bentuk kemiringan-titik
potong (slope-intercept).
Bentuk seperti ini bila dilihat dari letak kedua
variabel X dab Y, dapat disebut sebagai eksplisit,
dimana variabel bebas X dan variabel terikat Y
saling terpisah oleh tanda sama dengan (=)
MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS
Metode Dua Titik Y – Y1 Y2 – Y1
=
X – X1 X2 – X1
Y
0X
A (X2, Y2)
A (X1, Y1)
A (X, Y)
Menentukan persamaan garis yang melalui titik (3, 2) dan (4,6)
Penyelesaian :
X1 = 3, X2 = 4, Y1 = 2, dan Y2 = 6
Y – Y1 Y2 – Y1
X – X1 X2 – X1
Y – 2 6 – 2
X – 3 4 – 3
Y – 2 = (X – 3)
Y – 2 = 4 (X – 3)
Y = 4 X – 12
Y = 4 X - 10
=
=
6 – 2
4 – 3
Y
X
Y = 4X - 10
Persamaan garis Y =
4x - 10 ini grafiknya
ditunjukkan oleh
gambar 4.3.
0
5
1 2 3
(0,-10)
METODE SATU TITIK DAN KEMIRINGAN
Y – Y1 = m (X – X1)
Contoh
Carilah persamaan garis yang melalui titik (6, 4) dan kemiringannya -2/3
Penyelesaian :
Diketahui (X1, Y1) = (6, 4) dan m = - 2/3
Y – Y1 = m (X – X1)
Y – 4 = -2/3 (X – 6)
Y = -2/3X + 4 + 4
Y = -2/3X + 8
Persamaan garis Y = -2/3X + 8 ini grafiknya ditunjukkan oleh gambar 4.4.
0
2
4
6
8
Y
X
(0,8)
(12,0)
Y = - 2/3 X + 8
HUBUNGAN DUA GARIS LURUS
Y Y
YY
XX
X X
0 0
0 0
(a) Berpotongan (b) Sejajar
(c) Berimpit (d) Tegak Lurus
a1 ≠ b1
ao ≠ b0
a1 = b1
ao ≠ b0
a1 = b1
ao = b0
a1 .b1 = -1
ao ≠ b0
SISTEM PERSAMAAN LINIER
PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA PERSAMAAN DENGAN DUA VARIABEL
1. METODE ELIMINASI
Contoh 5.1.Carilah nilai-nilai dari variabel X dan Y yang dapat memenuhi kedua persamaan berikut ini :
3X – 2Y = 7
2X – 4Y = 10
Penyelesaian :1. Variabel yang akan dieliminasikan adalah variabel Y.2. Karena variabel Y yang dipilih, maka Persamaan (5.1) harus dikalikan dengan konstanta 2, dan
Persamaan (5.2) dikalikan dengan konstanta 1, sehingga kedua persamaan menjadi,3X – 2Y = 7 (kalikan dengan 2), maka 6X – 4Y = 142X + 4Y = 10 (kalikan dengan 1), maka 2X + 4Y = 10
1. Karena kedua koefisien dari variabel Y tandanya berbeda, maka harus dijumlahkan, dan menjadi,6X – 4Y = 142X + 4Y = 10 +
8X + 0 = 24X = 3
1. Subtitusikan nilai X = 3 kedalam salah satu persamaan semula agar diperoleh nilai Y. Bila disubtitusikan pada Persamaan (5.1), maka akan menghasilkan,3 (3) -2Y = 7
- 2Y = 7 – 9Y = 1
(5.1)
(5.2)
2. METODE SUBSTITUSI
Contoh 5.2.
3X – 2Y = 7 (5.1)
2X + 4Y = 10(5.2)
Misalkan variabel X yang dipilih pada persamaan (5.2), maka akan menjadi,
2X = 10 – 4Y
X = 5 – 2Y (koefisien variabel X=1)
Karena Persamaan (5.2)’ yang dipilih, maka subtitusikan kedalam persamaan pertama, sehingga menjadi,
3 (5 – 2Y) – 2Y = 7
15 – 6Y – 2Y = 7
15 – 8Y = 7
-8Y = 7 – 15
Y = 1
Substitusikan nilai Y = 1 ini kedalam salah satu persamaan mula-mula, misalkan Persamaan (5.1)’, sehingga memperoleh hasil,
3X – 2 (1) = 7
3X = 7 + 2
X = 3
Jadi, himpunan penyelesaian yang memenuhi kedua persamaan tersebut adalah himpunan pasangan urut (3.1).
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
y = a x2 + bx + c
Maka, D = b2
– 4ac
Bentuk grafik dari fungsi kuadrat adalah PARABOLA
x
a + a -
x1 x2
x1 x2
a
D
a
bxay
42
2
Titik Maksimum dan titik Minimum Fungsi Maksimum dan minimum
fungsi sangat ditentukan oleh nilai dari a
y = a x2 + bx + c
Titik Maksimum didapat jika a ,
dan titik maksimumnya
Titik Miminum didapat jika a ,
dan titik minimumnya
Titik Ekstrem Parabola
x
a +a -
x1 x2
x1 x2
Titik x1,2 dapat dicari dengan:
a
D
a
b
4,
2
a
D
a
b
4,
2
a
Db
2
x
a + a -
x1 x2
x1 x2
x
a + a -
-
b/2a
x
a + a -
-
b/2a
x
x
Definit Positif Definit
Negatif
Jika D , maka parabola
memotong sb x pada titik (x1,0)
dan (x2,0)
Jika D = 0 , maka
parabola menyinggung sb
x pada titik
Jika D , maka parabola
TIDAK memotong sb x
Posisi Parabola
0,
2a
b
FUNGSI PERMINTAAN
Qdx,t = ƒ (Px,t, Py,t, Yt, PeX,t+1,St)
Dimana Qdx,t = Jumlah produk X yang dibeli/diminta oleh konsumsi dalam periode t.
Px,t = Harga produk X dalam periode t.
Py,tt = Harga produk yang saling berhubungan dalam periode t.
Yt = Pendapatan konsumen dalam periode t.
Pex,t+1 = Harga produk X yang diharapkan dalam periode mendatang t +
1.
St = Selera dari konsumen pada periode t.
Qdx = ƒ(Px)
Bila fungsi permintaan ini ditranformasikan kedalam bentuk persamaan linier, maka bentuk umumnya adalah,
Qx = a – bPx
Dimana Qx = Jumlah produk X yang diminta
Px = Harga produk X
X
(0,P)
(Q,0)
Qd = a - bp
P
0
Hukum Permintaan
Fungsi permintaan menunjukkan hubungan antara jumlah
produk yang diminta oleh konsumen dengan harga produk.
Di dalam teori ekonomi dijelaskan bahwa jika harga naik
maka jumlah barang yang diminta turun, demikian juga
sebaliknya bahwa jika harga turun maka jumlah barang
yang diminta naik, sehingga grafik fungsi permintaan
mempunyai slope negatif (miring ke kiri)
0
dimana:
Qx = Jumlah produk x yang diminta
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
Penyelesaian :
Diketahui: P1 = 100; P2 = 75; Q1 = 10; Q2 = 20
Q – Q1 Q2 – Q1
P – P1 P2 – P1
Q – 10 20 – 10
P – 100 75 – 100
(Q – 10) = 10/-25 (P-100)
(Q – 10) = 40 – 2/5 P
Q = 50 – 2/5 P atau Q + 2/5P – 50 = 0
Kurva permintaan ini ditunjukkan
oleh Gambar disamping.0
25
50
75
100
P
Q
(0,125)
(50,0)
Q = 50 – 2/5 P
Contoh
Suatu produk jika harganya Rp. 100 akan terjual 10 unit, dan bila harganya turunmenjadi Rp. 75 akan terjual 20 unit. Tentukanlah fungsi permintaannya dangambarkanlah grafiknya?
10 20 30 40 50
=
=
FUNGSI PERMINTAAN KHUSUS
Q
p
0
D
Q
p D
0
FUNGSI PENAWARAN
Qsx,t = ƒ(Px,t , Tt , PF,t , PR,t , Pex,t+1)
Dimana Qsx,t = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen dalam periode t.
Px,t = harga produk X dalam periode t
Tt = Teknologi yang tersedia dalam periode t
PF,t = harga faktor-faktor produksi dalam periode t
PR,t = harga produk lain yang berhubungan dalam periode t
Pex,t+1 = harapan produsen terhadap harga produk dalam perideo t + 1
Qsx = g (Px)
Dimana Qsx = jumlah produk X yang ditawarkan oleh produsen
Px = Harga produk X
Qsx = a + bP
P
Q0
Qs = a + bP
- a/b
S
Hukum Penawaran
Fungsi penawaran menunjukkan hubungan antara jumlah
produk yang ditawarkan oleh produsen untuk dijual
dengan harga produk. Di dalam teori ekonomi dijelaskan
bahwa jika harga naik maka jumlah barang yang
ditawarkan bertambah, demikian juga sebaliknya bahwa
jika harga turun maka jumlah barang yang ditawarkan
turun, sehingga grafik fungsi permintaan mempunyai slope
positif (miring ke kanan)
Qd
P
Qs = -a + bP
-a
dimana:
Qx = Jumlah produk x yang ditawarkan
Px = Harga produk x
a dan b = parameter
0
Notasi fungsi penawaran akan barang x adalah:
Qx = f (Px)
Qx = -a + b Px
a/b
Contoh
Jika harga suatu produk adalah Rp. 500, maka jumlah yang akan terjual sebanyak60 unit. Bila harganya meningkat menjadi Rp. 700, maka jumlah produk yang terjualsebanyak 100 unit. Tunjukkanlah fungsi penawarannya dan gambarkanlah dalamsatu diagramPenyelesaian :
Diketahui: P1 = 500; P2 = 700; Q1 = 60; Q2 = 100Q – Q1 Q2 – Q1
P – P1 P2 – P1
Q – 60 100 – 60P – 500 700 – 500
(Q – 60) = 40/200 (P-500)
(Q – 60) = -100 +1/5 P
Q = -40 + 1/5 P atau Q + 1/5P + 40 = 0
Kurva permintaan ini ditunjukkan oleh Gambar
0
100
P
Q
(0,125)
(50,0)
(60, 500)
100
200
300
400
500
600
700
80604020
=
=
Q = -40 + 0,2P
FUNGSI PENAWARAN KHUSUS
Q
p
0
S
Q
p
0
S
KESEIMBANGAN PASAR SATU MACAM PRODUK
Q
p
0
Pe E (Qe, Pe)
Qd
Qe
Qs
ContohJika fungsi permintaan dan penawaran dari suatu
barang ditunjukkan oleh :
Qd = 6 – 0,75 PQs = -5 + 2P
a)Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar?b)Tunjukkanlah secara geometri keseimbangan pasar
tersebut!
Penyelesaian:a) Syarat keseimbangan Qd = Qs
Bila Qd = Qs, maka 6 – 0,75P = -5 + 2P-2,75P = -11
P = 4Untuk memperoleh nilai Q substitusikan nilai P = 4 kedalam salah satu persamaan permintaan atau penawaran sehingga,
Q = 6 – 0,75 (4)Q = 6 – 3Q = 3Jadi, harga dan jumlah keseimbangan E(3,4).
b) Menggambarkan keseimbangan pasar :Untuk fungsi permintaan Q = 6 – 0,75 PJika P = 0, maka Q = 6, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (6,0)Jika Q = 0, maka P = 8, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,8)
Untuk fungsi permintaan Q = -5 + 2PJika P = 0, maka Q = -5, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah (-5,0)Jika Q = 0, maka P = 2,5, sehingga titik potong dengan sumbu P adalah (0,5/2)
Grafik keseimbangan pasar ini ditunjukkan oleh Gambar
Q
p
0
2,5
E (3, 4)
(6, 0)
1
Qs = -5 + 2P
2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
7
8(0, 8)
Qd = 6 – 0,75P
Fungsi Permintaan Fungsi Penawaran
Variabel p selalu positif atau 0
≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q.
Grafik fungsi turun.
Variabel p selalu positif atau
0 ≤ p ≤ b (b = titik puncak)
Untuk setiap p ada satu nilai Q.
Grafik fungsi naik.
Fungsi Kuadrat pada Fungsi
Permintaan dan Penawaran
P P
Tentukan titik keseimbangan pasar dan gambarkan grafiknya dari
fungsi-fungsi permintaan dan penawaran berikut:
Latihan
1.Pd = -Q2 + Q + 2 dan Ps = Q2 + Q - 2
Jawab:
Q
P
Pd
Ps 2
-2
-2 1-1 2
0
2,2
2
2
KESEIMBANGAN PASAR DUA MACAM
PRODUK
Di pasar terkadang permintaan suatu barang dipengaruhi oleh
permintaan barang lain. Ini bisa terjadi pada dua macam produk atau
lebih yang berhubungan secara substitusi (produk pengganti) atau
secara komplementer (produk pelengkap). Produk substitusi misalnya:
beras dengan gandum, minyak tanah dengan gas elpiji, dan lain- lain.
Sedangkan produk komplementer misalnya: teh dengan gula, semen
dengan pasir, dan lain sebagainya.
Dalam pembahasan ini dibatasi interaksi dua macam produk saja.
Secara matematis fungsi permintaan dan fungsi penawaran produk
yang beinteraksi mempunyai dua variabel bebas.
Kedua variabel bebas yang mempengaruhi jumlah yang diminta dan
jumlah yang ditawarkan adalah (1) harga produk itu sendiri, dan (2)
hargaproduk lain yang saling berhubungan.
Notasi fungsi permintaan menjadi:
Qdx = a0 - a1Px + a2Py
Qdy = b0+ b1Px - b2Py
Sedangkan fungsi penawarannya:
Qsx = -m0 + m1Px + m2Py
Qsy = -n0 + n1Px + n2Py
Dimana:
Qdx= Jumlah yang diminta dari produk X
Qdy= Jumlah yang diminta dari produk Y
Qsx= Jumlah yang ditawarkan dari produk X
Qsy= Jumlah yang ditawarkan dari produk Y
Px= Harga produk X
Py = Harga produk Y
a0,b0,m0,n0 = konstanta
SYARAT KESEIMBANGAN PASAR DICAPAI JIKA:
Qsx = Qdx dan Qsy = Qdy
Contoh :
Diketahui fungsi permintaan dan fungsi penawaran dari dua
macam produk yang mempunyai hubungan substitusi sebagai
berikut:
Qdx = 5 -2Px + Py
Qdy = 6 + Px – Py
Qsx = -5 + 4Px - Py
Qsy = -4 - Px + 3Py
dan
Carilah harga dan jumlah keseimbangan pasar
Penyelesaian:
Syarat keseimbangan pasar :
Qsx = Qdx
-5 + 4Px – Py = 5 - 2Px + Py
4Px + 2Px – Py – Py = 5 + 5
6Px – 2Py = 10 …(1)
Qsy = Qdy
-4 – Px + 3Py = 6 + Px – Py
-Px – Px + 3Py + Py = 6 + 4
-2Px + 4Py = 10
- Px + 2Py = 5 …(2)
1) Dan (2)
6Px – 2Py = 10
- Px + 2Py = 5
5Px = 15
Px = 3
Py = 4
Qsx = 3
Qsy = 5
MEx = ( 3, 3 )
MEy = ( 5, 4 )
KESEIMBANGAN PASAR (FUNGSI KUADRAT)
Contoh :
Carilah secara aljabar dan geometri harga dan jumlah
keseimbangan dari fungsi permintaan dan penawaran
berikut ini :
Pd = 24 – 3Q2
Ps = Q2 + 2Q + 4
Penyelesaian :
Syarat keseimbangan pasar adalah Pd = Ps
24 – 3Q2 = Q2 + 2Q + 4
4Q2 + 2Q - 20 = 0
Substitusikan nilai Q yang memenuhi ke dalam salah satupersamaan permintaan penawaran, sehingga diperoleh nilaiP, yaitu
P = 24 – 3(2)
P = 24 – 12 = 12
8
3242,Q
8
)}20)(4)(4{(42 Q
2,12,1
28
182Q
1
memenuhitidak5,28
182Q
1
Jadi, jumlah dan harga keseimbangan pasar adalah E (2,12).
Selanjutnya, berdasarkan fungsi permintaan Pd = 24 – 3 Q2 dan fungsipenawaran Ps = Q
2 + 2Q + 4, maka gambar dari keseimbangan pasar dapatdigambarkan seperti dibawah. s
Q2
(3,19)
P =24 – 3Q
2,83
0
4
1
8
16
24
P
20
12 E (2,12)
P =q2 + 2Q + 4
PENGARUH PAJAK DAN SUBSIDI
PADA KESEIMBANGAN PASAR
Adanya pajak yang dikenakan pemerintah atas penjualan suatu barang akan menyebabkan produsen menaikkan harga jual barang tersebut sebesar tarif pajak per unit (t), sehingga fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya keseimbangan pasar akan berubah pula.
Fungsi penawaran setelah pajak menjadi:
Ps = f ( Q ) + t
Qs = f ( P ) – t
0
Contoh:Fungsi permintaan suatu produk ditunjukkan olehP=15 - Q dan fungsi penawaran P= 0,5Q + 3.
Terhadap produk ini pemerintah mengenakan pajak sebesar
Rp 3 per unit.
a. Berapa harga dan jumlah keseimbangan pasar
sebelum dan sesudah kena pajak ?
b. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh
konsumen ?
c. Berapa besar pajak per unit yang ditanggung oleh
produsen ?
d. Berapa besar penerimaan pajak total oleh
pemerintah ?
Penyelesaian
a. Keseimbangan pasar sebelum kena pajak:
Pd = Ps
15 – Q = 0,5Q + 3
15 – 3 = 0,5Q + Q
Q = 8
P = 7
ME = ( 8, 7 )
Keseimbangan pasar setelah pajak :
Fungsi penawaran setelah pajak: P = 0,5Q + 3 + 3
P = 0,5Q + 6
sehingga keseimbangan pasar setelah pajak:
Pd = Pst
Keseimbangan pasar setelah pajak :
15 – Q = 0,5Q + 6
15 – 6 = 0,5Q + Q
Q = 6
P = 9
ME t = ( 6, 9 )
b. Besar pajak per unit yang ditanggung konsumen, sebesar
selisih harga keseimbangan setelah pajak dengan harga
keseimbangan sebelum pajak yaitu: 9 - 7 = 2 per unit.
c. Besar pajak per unit yang ditanggung produsen, sebesar
selisih tarif pajak per unit yang dikenakan dengan besar
pajak per unit yang ditanggung konsumen, yaitu: 3 - 2 = 1
per unit.
d. Besar penerimaan pajak total oleh pemerintah, adalah
perkalian tarif pajak per unit dengan jumlah keseimbangan
setelah pajak, yaitu: 3 x 6 = 18.
Grafik keseimbangan pasar setelah kena pajak ini ditunjukkan
oleh Gambar :
Q
P
0
6E (8, 7)
8
St
SEt (6, 9)
3
12
15
9
62 4 10 12 14
P = 0,5 Q + 6
P = 0,5 Q + 3
P = 15 - Q
15
PENGARUH PAJAK-PROPORSIONAL TERHADAP
KESEIMBANGAN PASAR
Pajak Proporsional ialah pajak yang besarnya diterapkan berdasarkan persentase
tertentu dari harga jual; tidak seperti pajak spesifik.
Jika persamaan penawaran semula P = a + bQ (atau Q = -a/b + 1/b P);
Dikenakan pajak proporsional sebesar t% dari harga jual;
Persamaan penawaran yang baru akan menjadi :
P = a + bQ + tP t : pajak proporsional dalam %
P – tP = a + bQ
(l – t)P = a + bQ
Pb
tl
b
aQQ
tl
b
tl
aP
atau
Contoh
Diketahui : permintaan; P = 12 – Q
penawaran; P = 2 + 0,25 Q t = 20%
Ditanyakan : berapa P dan Q keseimbangan sebelum dan sesudah pajak…?
Penyelesaian :
Sebelum pajak, Pe = 4 dan Qe = 8 ,
Sesudah pajak, fungsi permintaan tetap P = 15 – Q atau Q = 15 – P .
Fungsi penawaran sesudah pajak (t = 20% ):
P = 2 + 0,25 Q + 0,20 P
0,8P = 2 + 0,25 Q
Keseimbangan Pasar : Pd = Ps
Keseimbangan sesudah pajak: Q’e = 7,24 dan P’e = 127,24 = 4,76
Pajak diterima pemerintah dari setiap unit barang :
T=t x P’e = 0,20 7,24 = 1,45
QP
8,0
25,0
8,0
2
8,0
25,0
8,0
212
Kurvanya:
Pajak ditanggung konsumen: tk = P’e – Pe = 4,76 – 4 = 0,76 / barang
Total pajak t= 20%(P’e) =0,2*4,76 = 0,95 /unit barang
Pajak ditanggung produsen : tp = t – tk = 0,95 – 0,76 =0,19
Jumlah pajak yang diterima oleh pemerintah adalah :
T=t P’e = 0,20 4,76 7,24 = 6,89
12
12
P
4
Q0 8
dQ
sQE76,4
24,7
sQ'
'E
Adanya subsidi yang diberikan pemerintah atas penjualan
suatu barang akan menyebabkan produsen menurunkan harga
jual barang tersebut sebesar subsidi per unit (s), sehingga
fungsi penawarannya akan berubah yang pada akhirnya
keseimbangan pasar akan berubah pula. Fungsi penawaran
setelah subsidi menjadi:
Ps = f(Q) – s
Qs = f( P + s )
Keseimbangan Sebelum
Subsidi (tr)
Pd = Ps
Keseimbangan Setelah
Subsidi (tr)
Pd = Ps - tr
Qd,Qs
P
ME
Me t
r
Q Qtr
P
Ptr
Demand
Diberikan fungsi permintaan dan fungsi penawaran :
Qd = 11 – P dan Qs = - 4 + 2P
Kepada produsen , pemerintah memberikan subsidi(transfer) sebesar tr = Rp1/unit barang
a. Carilah keseimbangan harga dan kuantitas di pasarsebelum dan sesudah ada subsidi
b. Gambarkan perubahan akibat subsidi tersebut
c. Berapa tarif subsidi yang dinikmati konsumen
d. Berapa tarif subsidi yang dinikmati produsen
e. Berapa total subsidi yang ditanggung pemerintah
f. Berapa total subsidi yang dinikmati konsumen
g. Berapa total subsidi yang dinikmati produsen
solusia. Market equilibrium sebelum
subsidi
11 – P = -4 + 2P
P = 5, Q = 6
b. Market equilibrium setelah
subsidi
11 - Qd = 2 + 1/2Qs - 1
Qtr = 6,67, Ptr = 4,33
Qd,Qs
P
5
6 6,67
4,33
2
11
ME
MEtr
b.
1
0
c. Tarif subsidi yang dinikmati konsumen :
trk = ∆P = (5– 4,33)
= Rp0,67
d. Tarif subsidi yang dinikmati produsen
trp = Tr - trk
= Rp1-Rp0,67=Rp0,33
e. Total subsidi yang ditanggung pemerintah:
Tpe = Tr x Qtr = 1x6,67
= 6,67
f. Total subsidi yang dinikmati konsumen
Trk = ∆P x Qtr
= Rp0,67 x 6,67 = Rp4,47
g. Total subsidi yang dinikmati produsen
Trp= Rp0,33 x 6,67 = Rp2,20
Fungsi penerimaan disebut juga fungsi pendapatan atau fungsi hasil penjualan. Dilambangkan dengan R (revenue) atau TR (total revenue).
Rumus :
R = PxQ
Keterangan :
P = harga jual perunit
Q = jumlah produk yg dijual
R
Q
R = f(Q)
0
Contoh
Misalkan suatu produk dijual
dengan harga Rp 5.000
perunit barang.
Bagaimanakah fungsi
penerimaannya ?
Gambarkan fungsi
penerimaan tersebut pada
grafik
JAWAB :
R = PxQ R = 5000Q
R = 5000Q
R
Q
FUNGSI BIAYAFungsi biaya diberi lambang C (cost) atau TC (total cost)
Rumus :
TC = FC + VC
TC = FC + P.Q
Keterangan :
FC = fix cost = biaya tetap
VC = variabel cost = biaya yg berubah
0
Q
FC , VC, TC TC
VC
FC
Contoh
Sebuah perusahaan
mengeluarkan biaya tetap
sebesar Rp 100.000.000 dan
biaya variabelnya Rp.3.000
per unit barang
Tentukan fungsi biayanya ?
Gambarkan grafik fungsinya ?
Jawab :
TC = 100.000.000 + 3000Q
TC
Q
TC
100.
000.
000
0
FUNGSI PENERIMAAN TOTAL (Bentuk Kuadrat)
Penerimaan total dari suatu perusahaan (produsen) adalahhasil kali antara per unit produk dengan jumlah produkyang dijual, atau rumusnya adalah,
TR = P . Q
dimana : TR = Penerimaan Total
Q = Jumlah produk yang dijual
P = Harga produk per unit
Jika fungsi permintaan linier dan menurun dari kiri atas kekanan bahwa berarti harga P tidak tetap, makapenerimaan total (TR) akan berbentuk fungsi kuadrat. Jadi,bila fungsi permintaan dinyatakan oleh P = b – aQ, makaakan diperoleh persamaan penerimaan total,
TR = P . Q
TR = ( b – aQ) Q
TR = bQ – aQ2
Fungsi penerimaan total bila digambarkan dalam bidang
koordinat akan berbentuk kurva parabola yang terbuka ke
bawah dan memotong sumbu Q di dua titik, yaitu : Q = 0 dan xxx.
Karena puncak yang maksimum, yaitu :
Titik Puncak
Contoh
Diketahui fungsi permintaan P = 20 – 2Q, carilah penerimaan total
maksimum dan gambarkanlah kurva dan penerimaan total dalam satu
diagram!
Penyelesaian :
TR = PQ
TR = (20 – 2Q)Q
TR = 20Q – 2Q2
TR = Maksimum
Jika TR = 0, maka 20Q – 2Q2 = 0
2Q (10–Q) = 0
Q1 = 0
Q2 = 10
Kurva penerimaan total ini ditunjukkan oleh Gambar di bawah.
)50,5(8
)400(,
4
20
)2(4
)20(,
)2(2
20 2
Q2
P =20 – 2Q
0
10
1
(0,20) 20
50
P, TR
40
308,30
TR = 20Q – 2Q2
3 4 5 6 7 8 9 10
(10,0)(0,0)
2,30
(5, 50)
ANALISA BREAK-EVEN
Break-even adalah suatu kondisi dimana perusahaan tidak untung maupun tidak rugi
Break-even:
TR = TC
Untung :
TR > TC
Rugi :
TR < TC
BEP
TR, TC
Rp
Qe 0
Q
TR
TC
Contoh
Suatu perusahaan menghasilkan produknya dengan biaya variabel perunit Rp4.000 dan harga jualnya perunit Rp12.000. Manajemen menetapkan bahwa biaya tetap dari operasinya Rp2.000.000. Tentukan jumlah unit produk yg harus perusahaan jual agar mencapai pulang pokok
Jawab :
TR = TC
12000Q = 2.000.000 + 4000Q
8000Q = 2.000.000
Q = 250
TR = 12.000 Q
= 12.000 (250)
= 3.000.000
Grafik
VC = 4000Q
3
250 0
2 FC = 2jt
TC = 2jt + 4000Q
TR= 12000Q
BEP
TR, TC
(dlm juta)
Q
KONSUMSI DAN
TABUNGAN
1. KONSUMSI
Dilihat dari sisi penawaran dalam perekonomiantertutup pendapatan yang diperoleh masyarakat (Y)hanya digunakan untuk tujuan komsumsi (C) danSaving (S), atau :
Y = C + S
Besarnya konsumsi ditentukan oleh pendapatan (Y).
Fungsi Konsumsi
Hubungan antara konsumsi (C) dan pendapatan (Y)disebut fungsi konsumsi.
Secara matematis hubungan tsb ditulis sbb:
C = a + bY
Dimana : C = konsumsi
a = parameter, yang menunjukkan konsumsi jika Y = 0
b = parameter, yang menunjukkan tambahan
konsumsi (ΔC) akibat adanya tambahan pendapatan (ΔY)
Y = pendapatan Nasional
Hasrat Mengkonsumsi Marjinal dan Rata-rata
Hasrat mengkonsumsi / MPC (marginal propensity to
consume) didefinisikan sbg perbandingan antara
pertambahan konsumsi (ΔC) yang dilakukan dengan
pertambahan pendapatan disposible (ΔY)
Nilai MPC dapat dihitung dengan formula :
(ΔC)
MPC =
(ΔY)
Hasrat mengkonsumsi rata-rata / APC (average
propensity to consume), didefini-sikan, sbb:
Perbandingan antara tingkat pengeluaran konsumsi
(C) dengan tingkat pendapatan disposibel pada
tingkat konsumsi tsb dilakukan (Y).
Nilai APC dapat dihitung dg formulaC
APC = Y
TABUNGAN
Tidak semua pendapatan yang diperoleh langsung
dikonsumsi pada periode yang sama. Sebagian
diantaranya ada yang ditabung. Besarnya jumlah
tabungan juga tergantung pada pendapatan.
Makin tinggi jumlah pendapatan makin tinggi pula
jumlah tabungan.
Fungsi Tabungan
Fungsi tabungan adalah suatu persamaan yangmenggambarkan sifat hubungan diantara tingkattabungan rumah tangga dalam perekonomiandengan pendapatan nasional perekonomiantersebut.
Dari persamaan Y = C + S, dapat ditulis kembali menjadi :
S = Y – C
Juga dari persamaan sebelumnya kita tahu
C = a + bY
Dengan mensubstitusikan persamaan tersebut, maka
hubungan antara tabungan dan pendapatan dapat
dicari
S = Y – C
= Y – a – bY
= -a + (Y-bY)
= -a + (1-b) Y
Hasrat menabung Marginal dan Rata-rata
Hasrat menabung / MPS (marginal propensity to
Save). Dapat didefinisikan sebagai perbandingan di
antara pertambahan tabungan (ΔS) dengan per-
tambahan pendapatan disposibel (ΔY).
Nilai MPS dapat dihitung dg rumus :
(ΔS)
MPS =
(ΔY)
Hasrat Menabung Rata-rata
Hasrat menabung rata-rata / APS (average
propensity to save), menunjukkan perbandingan
antara tabungan (S) dengan pendapatan disposibel
(Y).
Nilai APS dapat dihitung dg formula :
S
APS =
Y
Penentu-penentu Konsumsi dan Tabungan
Beberapa faktor yang menentukan atau yang mempengaruhi tingkat konsumsi dan tabungan adalah :
1. Kekayaan yang telah terkumpul
2. Tingkat bunga
3. Keadaan perekonomian
4. Distribusi pendapatan
5. Tersedia tidaknya dana pensiun yang
mencukupi
KURVA FUNGSI KONSUMSI DAN TABUNGAN
C = a + bYd
Y = (a + bYd) + s
S = Y – (a + bYd) atau
S = -a + (a - b) Yd
MPS + MPC = 1
C.S
C = Y
C = a + bY
a
0 Ye
Y
E
- a
S = -a + (1 – b) Y
450
Contoh
Jika fungsi konsumsi ditunjukkan oleh persamaan
C = 15 + 0,75Yd, pendapatan disposibel Rp. 30 miliar
a) Berapa Konsumsi agregate, bila pendapatan disposibel Rp 30 miliar?
b) Berapa besar keseimbangan pendapatan nasional?
c) Gambarkanlah fungsi konsumsi dan tabungan secara bersama-sama!
Penyelesaian:
a) Jika Yd = Rp. 30 miliar, maka C = 15 + 75 (30)
= 15 + 22,5
= 37,5 miliar
b) Yd = C + S atau S = Y – C
S = Yd – (15 + 0,75Yd)
S = -15 + 0,25 Yd
Gambar Fungsi Konsumsi dan Fungsi Tabungan
c) Keseimbangan pendapatan terjadi bila S = 0
Jadi, 0 = -15 + 0,25 Yd
0,25Yd = 1515
Yd = = (15)(4) = 60 miliar0,25
C = 15 + 0,75 (60)
C = 15 + 45 = 60 miliar
C.SY = C
E (60,60)
0 60
Y
- 15
S = -15+ 0,25 Yd
C = 15 + 0,75 Yd
15
30
60
MODEL PENENTUAN PENDAPATAN NASIONAL
Y = C + I + G + X – MC = a + BY
Dimana: Y = Pendapatan Nasional
C = Konsumsi Nasional
I = Investasi
G = Pengeluaran Pemerintah
X = Ekspor
M = Impor
Y = a + bY + I0 + G0 + X0 – M0 atau (1-b)Y = a + I0 + G0 + X0 – M0
Jadi, nilai pemeceahan keseimbangan pendapatan Nasional adalah :
a + I0 + G0 + X0 – M0
Y =
(1 – b)
b(a + I0 + G0 + X0 – M0)
C = a + bY = a +
(1 – b)
= a (1 – b) + b(a + I0 + G0 + X0 – M0)
(1 – b)
a + b(a + I0 + G0 + X0 – M0)
C =
(1 – b)
Contoh 6.10Diketahui model pendapatan Nasional sebagai berikut :Y = C + I + GC = 25 + 0,75YI = I0 = 50G = G0 = 25
(a) Tentukan tingkat keseimbangan pendapatan Nasional!(b) Gambarkanlah grafik fungsi permintaan agregate
Penyelesaian:
Keseimbangan pendapatan Nasional jika hanya ada satu sektor, yaitu sektor konsumsi rumah tangga, C, maka nilainya adalah,
S = 0S = -25 + 0,25YO = -25 + 0,25Y0,25Y = 25Y = 100
Jika I = I0 = 50 miliar, makaY = C + IY = 25 + 0,75Y + 50Y - 0,75Y = 750,25Y = 75Y = 300
Jika I = I0 = 50 miliar; dan G = G0 = 25 miliar, makaY = C + I + GY = 25 + 0,75Y + 50 + 25Y = 100 + 0,75YY – 0,75Y = 1000,25Y = 100Y = 400
Jadi, keseimbangan pendapatan Nasional mula-mula hanya sektor konsumsi rumah tangga (C) adalah 100 miliar. Setelah ada pengeluaran investasi (1) 50 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional berubah menjadi 300 miliar. Selanjutnya, jika ditambah lagi pengeluaran pemerintah (G) sebesar 2 miliar, maka keseimbangan pendapatan Nasional menjadi 400 miliar. Keseimbangan pendapatan Nasional ini dapat dilihat pada Gambar
Y = C
Y = C + I + G
Y = C + I
Y = 25 + 0,75Y
Y
6005004003002001000
400
300
200
100
75
25
E
E1
E11
C, S
Hitung
Keuangan
Bunga
Tunggal
Bunga
MajemukAnuitas
1. Bunga Tunggal
Bunga adalah Selisih jumlah nominal uang yang dipinjam dan jumlah yang dikembalikan.
Bunga pinjaman merupakan beban ganti rugi bagi peminjam. Hal ini disebabkan peminjam menggunakan uang pinjaman tersebut untuk usaha.
Besarnya bunga dipengaruhi oleh besar uang yang dipinjam, jangka waktu peminjaman, dan tingkat suku bunga (persentase).
Bunga tunggal adalah besarnya bunga sebagai jasa peminjaman yang dibayarkan tetap untuk setiap periode
Misalkan uang sebesar Rp100.000,00 dibungakan atas dasar bunga tunggal dengan tingkat suku bunga 10%. Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan pertama:
Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) = Rp10.000,00 (1 +10%)
Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan kedua:
Rp100.000,00 + (10% × Rp100.000,00) + (10% × Rp100.000,00)
= Rp100.000,00 (1 + 2 × 10%)
Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ketiga:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00
+ 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000, 00 (1 + 3 × 10%)
Jumlah uang dan bunga sampai akhir bulan ke-:
Rp100.000,00 + 10% × Rp100.000,00 + ... + 10% × Rp100.000,00
= Rp100.000,00 ( 1+ t × 10%)
Secara umum, dapat kita katakan sebagai berikut.
Keterangan : M = modal
t = periode waktu dengan tingkat suku bunga
B = bunga
Mt = besar modal pada akhir periode
r = tingkat suku bunga
B = M × t× r
M = M (1 + t× r)t
o
o
o
Contoh 1:
Koperasi Jatra Lestari memberikan pinjaman kepada anggotanya atas dasar bunga tunggal sebesar 2% per bulan. Jika seorang anggota meminjam modal sebesar Rp3.000.000,00 dengan jangka waktu pengembalian 1 tahun, tentukan
a. besar bunga setiap bulannya;
b. besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka waktu yang ditentukan.
Jawab:
Besar bunga dihitung setiap bulan.
Diketahui r = 2%, M = Rp3.000.000,00, dan t = 12 bulan.
a. Besar bunga setiap bulan adalah
B = M × 1 × r
= Rp3.000.000,00 × 1 × 2%
= Rp60.000,00
o
o
b. Besar uang yang harus dikembalikan sesuai jangka 12 bulan adalah
M = M (1 + t × r)
M = Rp3.000.000,00(1 + 12 × 2%)
= Rp3.000.000,00(1,24)
= Rp3.720.000,00
ot
12
Contoh 2:
Cecep meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00 dengan suku bunga tunggal 30% per tahun. Dalam waktu 60 hari, Cecep sudah harus mengembalikan uang tersebut. Berapa bunga dan jumlah uang yang harus dikembalikannya? (Asumsikan: 1 tahun = 360 hari)
Jawab:
Dari soal di atas diketahui M = Rp2.000.000,00, r = 30% per tahun, dan t = 60 hari =tahun.
a. Bunga B = M × t × r
= Rp2.000.000,00 × × 30%
= Rp100.000,00
o
o
6
1
b. Jumlah uang yang harus dikembalikan Cecep adalah
M = M (1 + t × r)
= M + M × t × r
= M + B
= Rp2.000.000,00 + Rp100.000,00
= Rp2.100.000,00
t o
o
o
2. Bunga Majemuk
Bunga Majemuk, yaitu bunga yang dihitung atas dasar
jumlah modal yang digunakan ditambah dengan
akumulasi bunga yang telah terjadi.
Bunga semacam ini biasanya disebut bunga yang dapat
berbunga.
Adapun perhitungannya dapat kalian pahami
melalui perhitungan deret geometri. Misalkan modal
sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk,
dengan tingkat suku bunga i (dalam persentase) per
periode waktu. Besar modal pada periode ke-t (Mt ) dapat
dihitung dengan cara berikut.
o
M = M + M × i = M (1 + i)
M = M (1 + i) = [M (1 + i)] (1 + i) = M (1 + i)
M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)
. . . .
. . . .
. . . .
M = M (1 + i) = [M (1 + i) ](1 + i) = M (1 + i)
Jadi, diperoleh kesimpulan sebagai berikut.
1
2
3
1
2
o o o
o
o
o
o
o
2
2 3
t1t
1to
Keterangan : M0= modal
i = dasar bunga majemuk dengan tingkat suku bunga (dalam persen) per periode tertentu
Mt = besar modal pada periode ke-t
t
ot iMM )1(
Contoh 1:
Sebuah bank memberi pinjaman kepada nasabahnya atas dasar bunga majemuk 3% per tahun. Jika seorang nasabah meminjam modal sebesar Rp5.000.000,00 dan bank membungakan majemuk per bulan, berapakah modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun?
Jawab:
Diketahui M = Rp5.000.000,00, i = 3% = 0,03, dan t = 12 bulan.
Dengan demikian, modal yang harus dikembalikan setelah 1 tahun (12 bulan) adalah
M = M (1 + i)
M = Rp5.000.000,00(1 + 0,03)
= Rp5.000.000,00(1,42576)
= Rp7.128.800,00
o
ot
12
t
12
Contoh 2:
Ramli meminjam uang di suatu bank sebesar Rp2.000.000,00. Bank tersebut memberikan bunga atas dasar bunga majemuk 20% per tahun dengan periode pembungaan setiap catur wulan. Jika Ramli meminjam uang dalam jangka waktu 3 tahun, tentukan jumlah uang yang harus dikembalikan pada akhir tahun ke-3.
Jawab:
Diketahui M = Rp2.000.000,00 dan i = 20% = 0,2. Pembungaan dilakukan setiap catur wulan (4 bulan). Jadi,
banyak periode pembungaannya dalam setahun ada = 3
kali. Jadi, jika lama peminjaman 3 tahun, banyak periode pembungaannya 3 × 3 = 9 kali. Dengan demikian, jumlah
modal (uang) yang harus dikembalikan Ramli pada akhir tahun ke-3 adalah
o
4
12
M = M (1 + i)
M = Rp2.000.000,00(1 + 0,2)
= Rp2.000.000,00(5,159780)
= Rp10.319.560,00
ot
t
9
9
FUNGSI NON LINEAR
1. Fungsi Kuadrat
Y = f(X) = aX2 + bX + c
Y Y
X X
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
- b - (b2 – 4ac)
Titik puncak = ----- , ---------------
2a 4a
-b ± b2 – 4ac
X1.2 = --------------------
2aContoh:
Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12 Carilah koordinat titik puncak dan gambarkan
- b - (b2 – 4ac)
Koordinat Titik puncak = ----- , ---------------
2a 4a
Koordinat titik puncak diperoleh dgn rumus:
Contoh :
Jika fungsi kuadrat Y = X2 – 8X + 12, carilah koordinat titik puncak dan
gambarkanlah parabolanya?
Penyelesaian :
Koordinat titik puncak
Untuk X = 0, maka Y = 12
Titik potong sumbu Y adalah (0,12)
Untuk Y = 0, maka X2 – 8X + 12 = 0
)4,4(
a
acb
a
b
4
4(,
2
2
4
4864(,
2
8
Titik potong sumbu X adalah (2,0) dan (6,0).
Berdasarkan nilai-nilai penyelesaian dari titik
puncak dan titik potong sumbu X dan Y,
maka kurva parabolannya dapat
digambarkan seperti 7.3.
Koordinat titik
puncak =
Y
x(2,0)
2
(0,12) (8,12)
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X
3
GGGGGGGGGG
a
acb
a
b
4
4(,
2
2
)1(4
)3)(1(42(,
)1(2
2 2
)4,1(4
16,
2
2
FUNGSI PANGKAT TIGAPolinomial tingkat 3 dengan satu variabel bebas disebut sebagai kubik, dan mempunyai bentuk umum :
Y = a0 + a1 X + a2X2 + a3X
3
dimana : a3tidak sama dengan nol.
fungsi kubik ini bila digambarkan dalam bidang koordinat Cartesius, kurvanya mempunyai dua lengkung (concave) yaitu : lengkung ke atas dan lengkung ke bawah, seperti tampak pada gambar di samping.
Y = a0 = a1X + a2X2+a3X
3
Y
xa0
0
Contoh
Jika fungsi permintaan adalah Q = 64 – 8P – 2P2, gambarkanlah fungsi
permintaan tersebut dalam satu diagram!
Penyelesaian :
Jika P = 0, maka Q = 64, sehingga titik potong dengan sumbu Q adalah
(64,0)
Jika Q = 0, maka 64 - 8P – 2P2 = 0 atau
P = 4P – 32 = 0
(P + 8) (P – 4) = 0
P = -8 (Tidak memenuhi)
P = 4
Jadi, titik potong dengan sumbu P adalah (0,4) dan (0, -8).
Koordinat titik puncak
)72,02(
a
D
a
b
4,
2
8
576,
4
8
Berdasarkan titik-titik potong dengan sumbu Q dan P serta koordinat titik
puncat, maka gambar dari fungsi permintaan Q = 64 – 8P – 2P2 dapat
digambarkan seperti di bawah.
Y
Q
(2,0)
2
(0,4)
(64,0)
Q =64 – 8P – 2P2
(72,-2)
3
4
1
-1
-2
8 16 24 32 40 48 56 64 72
P
KURVA INDEFERENS
Kurva indiferens menunjukkan titik-titik kombinasi daribarang X dan Y yang dapat memberikan tingkatkepuasan atau utilitas total yang sama bagi konsumen.
Kurva indiferens dapat diperoleh dari fungsi utulitasyang berbentuk,
U = f (X, Y)
dimana : U = Tingkat utilitas atau kepuasan totalkonsumen.
X = Jumah barang X yang dikonsumsi
X = Jumah barang Y yang dikonsumsi
Bila kurva indiferens ini digambarkan dalam bidangkoordinat Cartesius, maka akan tampak seperti gambardibawah.
F (X, Y) = U
B (X2, Y2)
A (X1, Y1)
X
Y
X2X10
Y2
Y1
f3 (X, Y) = U3
X
Y
X2X1
0
Y2
Y1
A C D
B
X3
f2 (X, Y) = U2
f1 (X, Y) = U1