MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014...
Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014...
![Page 1: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/1.jpg)
MA1201 MATEMATIKA 2A
Hendra GunawanSemester II, 2016/2017
22 Maret 2017
![Page 2: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/2.jpg)
Kuliah yang Lalu
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 2
![Page 3: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/3.jpg)
Kuliah Hari Ini
12.1 Fungsi dua (atau lebih) peubah
12.2 Turunan Parsial
12.3 Limit dan Kekontinuan
12.4 Turunan fungsi dua peubah
12.5 Turunan berarah dan gradien
12.6 Aturan Rantai
12.7 Bidang singgung dan aproksimasi
12.8 Maksimum dan minimum
12.9 Metode pengali Lagrange
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 3
![Page 4: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/4.jpg)
12.3 LIMIT DAN KEKONTINUANMA1201 MATEMATIKA 2A
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4
• Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubahmempunyai limit di titik tertentu danmenentukan limitnya (bila ada)
• Memeriksa kekontinuan fungsi dua peubahdi titik tertentu
![Page 5: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/5.jpg)
Limit Fungsi Dua Peubah
Diberikan suatu fungsi dua peubah, sebutlah z = f(x,y).
Bila (x,y) mendekati (x0,y0), apayang terjadi dengan f(x,y)?
Def. apabila
untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0sedemikian sehingga
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 5
(x0,y0)
L
.),(),(),(0 00 Lyxfyxyx
Lyxfyxyx
),(lim),(),( 00
![Page 6: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/6.jpg)
Beberapa Catatan
• Limit f di (x0,y0) sama dengan L apabila untuk setiap (x,y) yang berada dalam radius δ dari (x0,y0), kecuali mungkin (x0,y0) sendiri, nilaif(x,y) berada dalam radius ε dari L.
• Dalam hal ini, nilai f(x,y) harusmenuju L, bagaimanapun caranya(x,y) mendekati (x0,y0).
• Jika melalui lintasan berbeda fmenuju nilai yang berbeda, maka ftidak mempunyai limit di (x0,y0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 6
x
y
![Page 7: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/7.jpg)
Teorema Substitusi
Jika f(x,y) merupakan polinom dalam x dan y, yakni
maka
Jika f(x,y) = p(x,y)/q(x,y) dengan p dan q polinomdalam x dan y, maka
asalkan q(a,b) ≠ 0. 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 7
n
i
m
j
ji
ij yxcyxf0 0
,),(
).,(),(lim),(),(
bafyxfbayx
,),(
),(),(lim
),(),( baq
bapyxf
bayx
![Page 8: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/8.jpg)
Teorema Apit
• Jika …
• Maka …
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8
![Page 9: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh
1.
2. tidak ada, karena
pembilangnya menuju 1 sementarapenyebutnya menuju 0.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 9
.2543)(lim 2222
)4,3(),(
yx
yx
22)0,0(),(
1lim
yx
xy
yx
![Page 10: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/10.jpg)
Contoh
3. tidak ada, karena alasan
sebagai berikut:
Sepanjang garis y = mx, kita amati bahwa
yang bergantung pada nilai m. Jadi tidak adanilai tertentu yang dituju ketika (x,y) men-dekati (0,0).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 10
22)0,0(),(lim
yx
xy
yx
2222
2
022)0,0(),( 1limlim
m
m
xmx
mx
yx
xy
xyxmxy
![Page 11: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/11.jpg)
Soal
Selidiki apakah limit berikut ada/tidak ada.
1.
2.
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11
.lim42
2
)0,0(),( yx
xy
yx
.lim22
44
)0,0(),( yx
yx
yx
![Page 12: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/12.jpg)
Kekontinuan
Fungsi f(x,y) dikatakan kontinu di (a,b) apabila
Sebagai contoh, polinom kontinu di setiap titik.
Teorema: Jika g(x,y) kontinu di (a,b) dan f(t) kontinu di g(a,b), maka f ◦ g kontinu di (a,b).
Sebagai contoh, kontinu disetiap titik (x,y).
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 12
).,(),(lim),(),(
bafyxfbayx
22:),( yxyxf
![Page 13: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/13.jpg)
Kesamaan Turunan Parsial Campuran
Jika fxy dan fyx kontinu pada suatu cakram disekitar (a,b), maka fxy(a,b) = fyx(a,b).
Contoh fungsi yang turunan parsial campuran-nya tidak sama diberikan di buku Purcell (Soal12.3 no. 42). Lihat slide berikut…
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 13
![Page 14: MA1201 MATEMATIKA 2A - · PDF file12.3 LIMIT DAN KEKONTINUAN MA1201 MATEMATIKA 2A 3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4 •Memeriksa apakah suatu fungsi dua peubah mempunyai limit di titik](https://reader034.fdocuments.net/reader034/viewer/2022042605/5a79fbbd7f8b9a3f618bf4a2/html5/thumbnails/14.jpg)
Soal
Diketahui
Hitung fxy(0,0) dan fyx(0,0).
Apakah hasilnya sama?
3/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14
).0,0(),(,0:
),0,0(),(,:),(22
22
yx
yxyx
yxxyyxf