MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Teorema Selang Kekonvergenan Deret Pangkat Himpunan kekonvergenan...

MA1201 MATEMATIKA 2A

Hendra GunawanSemester II, 2016/2017

22 Februari 2017

Kuliah Sebelumnya

9.4 Deret Positif: Uji Lainnya

Memeriksa kekonvergenan deret positifdengan uji perbandingan dan uji rasio

9.5 Deret Ganti Tanda: Kekonvergenan Mutlakdan Kekonvergenan Bersyarat

Memeriksa kekonvergenan mutlak/bersyaratderet ganti tanda

2/21/2014 2(c) Hendra Gunawan

Sasaran Kuliah Hari Ini

9.6 Deret Pangkat

Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat

9.7 Operasi pada Deret Pangkat

Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)

2/21/2014 3(c) Hendra Gunawan

9.6 DERET PANGKATMA1201 MATEMATIKA 2A

2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 4

Menentukan selang kekonvergenan deretpangkat

Deret Fungsi

Sejauh ini kita baru membahas deret bilanganreal. Sekarang kita akan mempelajari deretfungsi, yang secara umum berbentuk .

Sebagai contoh,

Perhatikan jika kita substitusikan nilai x tertentu, misal x = π/2, maka kita peroleh deret bilangan.


...3

3sin

2

2sin

1

sinsin

1

xxx

n

nx

n

)(xun

Deret Pangkat

Deret pangkat adalah deret yang berbentuk

dengan an ϵ R untuk tiap n ϵ N.

Pertanyaan yang perlu kita ajukan terkaitdengan deret pangkat adalah:

1. Untuk nilai x manakah deret tsb konvergen?

2. Apakah kita dapat menentukan fungsi yang merupakan jumlah deret tsb?


0

2

210 ...n

n

n xaxaaxa

Contoh 1

Jika a ≠ 0, maka deret pangkat

Merupakan deret geometri dengan sukupertama a dan rasio x. Kita tahu deret inikonvergen ke

untuk |x|< 1.


0

2 ...n

n axaxaax

x

axS

1)( BAGAIMANA

DENGAN DERET PANGKAT LAINNYA?

Contoh 2

Tentukan untuk x mana sajakah deret berikutkonvergen?

Dengan Uji Rasio Mutlak, kita hitung

Jadi deret konvergen untuk |x| < 1 dan divergenuntuk |x| > 1. Untuk |x| = 1, Uji Rasio tidakmemberikan kesimpulan apapun. So?2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 8

1

32

...32n

n xxx

n

x

.1

lim1

lim1

xn

nx

n

x

n

x

n

nn

n

Kita selidiki apa yang terjadi dengan untuk|x| = 1, yakni untuk , secara tersendiri.

Jika x = 1, maka deret menjadi deret harmonik

yang divergen.

Jika x = -1, maka deret menjadi deret harmonik

ganti tanda yang konvergen.

Jadi deret pangkat konvergen pada [-1,1).


n

1

n

n)1(

n

xn

n

xn

1x

Latihan

Tentukan pada selang manakah deret berikutkonvergen.

1.

2.

3.


132n

n

n

n

x

1 !n

n

n

x

1

2!n

nxn

Teorema Selang KekonvergenanDeret Pangkat

Himpunan kekonvergenan deret pangkat

selalu berupa salah satu dari tiga kemungkinanberikut:

(i) Himpunan {0}.

(ii) Selang (–R,R), mungkin dengan salah satuatau kedua titik ujungnya.

(iii)Seluruh garis bilangan real R.

Bila (i), (ii) atau (iii) terjadi, deret dikatakan mem-punyai jari-jari kekonvergenan 0, R, atau ∞.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 11

n

n xa

Contoh

selang jari-jari

kekonvergenan kekonvergenan

1. [–2,2] 2

2. R ∞

3. {0} 0


132n

n

n

n

x

1 !n

n

n

x

1

2!n

nxn

Teorema

Deret pangkat konvergen mutlak disetiap titik di dalam selang kekonvergenannya.


n

n xa

Deret Pangkat dalam x – a

Deret pangkat berbentuk

disebut deret pangkat dalam x – a.

Selang dan jari-jari kekonvergenan deretpangkat dalam x – a dapat ditentukan melaluideret pangkat dalam t, dengan t = x – a.

Sebagai contoh, konvergen

utk -2 ≤ t ≤ 2, yakni utk -1 ≤ x ≤ 3. 2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 14

...)()()( 2

210 axaaxaaaxa n

n

13

13 22

)1(

nn

n

nn

n

n

t

n

x

Soal

Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat


12 13

)1()1(

n

nn

n

x

9.7 OPERASI PADA DERET PANGKAT

MA1201 MATEMATIKA 2A


Melakukan operasi pada deret pangkat (yang diketahui jumlahnya) untuk mendapatkanderet pangkat lainnya (dan jumlahnya)

Jumlah Deret Pangkat

Deret pangkat yang merupakan deret

geometri dengan suku pertama a dan rasio xmempunyai jumlah

Bagaimana dengan deret pangkat lainnya?

Apakah kita dapat menentukan jumlahnya?


0n

nax

.11,1

)(

xx

axS

Penurunan dan PengintegralanSuku demi SukuTeorema. Misalkan S(x) adalah jumlah suatuderet pangkat pada selang I, yakni

Maka, untuk x di dalam selang I, berlaku

(i)

(ii)2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 18

0

2

210 ...)(n

n

n xaxaaxaxS

0

2

321

1 ...32)('n

n

n xaxaaxnaxS

0

32210

1

0

...321

)(n

nn

x

xa

xa

xaxn

adttS

Contoh 1Kita sudah tahu bahwa

Penurunan suku demi suku menghasilkan

Pengintegralan suku demi suku menghasilkan


0

2 .11...,11

1

n

n xxxxx

0

1

2.11...,210

)1(

1

n

n xxnxx

.11...,321

)1ln(32

0

1

xxx

xn

xx

n

n

Contoh 2 (Substitusi Peubah)Kita sudah tahu bahwa

Ganti x dengan –x, kita peroleh

Ganti lagi x dengan x2, kita peroleh


0

2 .11...,11

1

n

n xxxxx

0

2 .11...,1)(1

1

n

n xxxxx

0

422

2.11...,1)(

1

1

n

n xxxxx

Contoh 3

Tentukan deret pangkat untuk tan-1 x.

Petunjuk:


.1

1tan

0

2

1

x

dtt

x

Contoh 3

Tentukan jumlah dari deret pangkat berikut:

Catatan. Deret ini konvergen pada R.

Jawab: Penurunan terhadap x menghasilkan

Solusi persamaan diferensial ini adalah S(x) = Cex. Karena S(0) = 1, maka C = 1. Jadi S(x) = ex.2/21/2014 (c) Hendra Gunawan 22

...!3!2

1)(32

xx

xxS

).(...!3!2

10)('32

xSxx

xxS

Soal

Tentukan deret pangkat untuk

1.

2.

3.


2xe

21 x

e x

x

xe x

1tan

MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Teorema Selang Kekonvergenan Deret Pangkat Himpunan kekonvergenan...

Documents

Transcript of MA1201 MATEMATIKA 2A - … · Teorema Selang Kekonvergenan Deret Pangkat Himpunan kekonvergenan...