MA TILDE TEMA: Statistik - mathematics.dk

119/03118/03

NYHEDSBREV FOR DANSK MATEMATISK FORENING

NR. 19 MARTS 2004

M A T I L D E

Microarray. Simultan måling af tusindvis af gener- en udfordring for statistikeren.

(Fra: U.S. Department of Energy Genomes to Life Program)

TEMA: Statistik

2 19/03

Leder Af: Bent Ørsted

Martin Raussen har trukket sig tilbage som redaktør afMatilde, men kun for at indtage pladsen som redaktør afdet Europæiske EMS Newsletter. Martin har gjort et stortarbejde for Matilde, og vi siger mange tak; ligeledes taktil Tage Bai Andersen, der er holdt op som redaktør afrubrikken Baggrund/Debat - men da forhåbentlig ikkemed selv at blande sig i debatterne.

Matilde er vokset og modnet til et flot format, der medinteresse følges, ikke bare af bladets kernelæsere: de utræt-telige udøvere af matematik i Danmark, men også af in-teresserede og nysgerrige, mere “almindelige menne-sker”. Der er sågar en del læsere i det store (nordiske)udland. I nærværende nummer er temaet “Statistik”, medInge Henningsen (KU) og Malene Højbjerre (AAU) somredaktører; som et af de matematiske fag med både dybeteoretiske rødder og mange praktiske (og politiske!) an-vendelser, er statistik et centralt emne.

I næste ordinære nummer af Matilde vil temaet være“Gymnasiet” med flere aktuelle aspekter, ikke mindstgymnasiereformerne; hvad vil de betyde for uddannel-sen af matematikere og for faget? Kjeld Bagger Laursen(KU) vil være temaredaktør - se eller gense hans artikel iMatilde nr. 15 side 37. Nummeret efter vil Matilde hand-le om sommerens store kongresser: “ICME & ECM”, dersåledes dækker dels undervisningmæssige og dels forsk-ningsmæssige aspekter af matematikken. Der er efterføl-gende emner nok at vælge mellem: Læreruddannelsen,Syn på matematikken, Matematik og teknologi, Matema-

tik og kemi osv. I den forbindelse er ideer og forslag vel-komne; redaktionen er meget lydhør overfor, hvad dermåtte røre sig blandt læserne. Formålet med Matilde erfortsat at belyse matematikken, både indefra og rent fag-ligt, men jo også udefra, som den indgår i den kulturelleog politiske virkelighed.

Dansk Matematisk Forening og Matilde håber meget, atdet også fremover vil være økonomisk muligt at udsen-de Matilde - desværre bortfalder portostøtten; men vi for-søger at få en særlig bevilling fra biblioteksstyrelsen. Derer dog heldigvis også lyspunkter på den finansielle front:Et sådant fremgik af annoncen i Matilde nr. 18 side 36,hvor det berømte Rejselegat for Matematikere (jvfr. Si-mon Kokkendorffs rejsebeskrivelser) nu er udvidet medet 3-årigt legat. Andersen-fonden fortjener stor ros fordette (ligesom de repræsentanter for Dansk MatematiskForening der drøftede mulighederne for udvidelse af le-gatet med fonden), og det nye legat er denne gang tildeltMichael Hansen (Cand. Scient. SDU) med henblik på er-hvervelse af en Ph. D. grad i matematik.

Matematikken står overfor store udfordringer i den nær-meste fremtid, både internationalt og i Danmark. Som ide sidste mange tusind år gælder det også nu om at ud-vikle og videregive dette smukke og nyttige og skarp-slebne sprog. Hvis Matilde i al beskedenhed kan væremed til at stimulere interessen og nysgerrigheden, er viglade.

Fra den nye redaktør:

319/03

Matilde – Nyhedsbrev forDansk Matematisk Foreningmedlem af EuropeanMathematical Society

Nummer 19– Februar 2004

Redaktion:

Bent Ørsted, SDU(ansvarshavende)

Inge Henningsen KUMalene Højbjerre, AAU(TEMAREDAKTØRER)

Carsten Lunde Petersen, RUCJørn Børling Olsson, KUPoul Hjorth, DTUMikael Rørdam, SDUCarl Winsløw, KU

Adresse:

MatildeMatematisk AfdelingKøbenhavns UniversitetUniversitetsparken 52100 København Ø

Fax: 3532 0704e-post: [email protected]:www.matilde.mathematics.dk

ISSN: 1399-5901

Matilde udkommer 4 gange omåret

Indlæg til næste nummer skalvære redaktionen i hænde se-nest 28. maj 2004

Indhold:

TEMA: Statistik

Inge HenningsenVidenskab, debat og manglendevidenskabelig debat..................................................... 4

Niels Richard HansenKU: Bioinformatik - en statistisk disciplin .................... 7

Søren Lundbye-ChristensenFormidling af forskning til gymnasiet ......................... 9

Søren JohansenKointegration og fælles stokastiske trende .............. 11

Niels Keiding”I tilfælde af uoverensstemmelse mellemkort og terræn... ........................................................ 14

Merete JørgensenMatematisk Statistiks rolle i udviklingenaf nye lægemidler! ..................................................... 16

Claus JensenPerspektivkasser og matematik ........................................... 20

Simon Lyngby KokkendorffVerden Rundt med Rejselegatet ......................................... 26

Matematiske institutioner præsenterer sig:Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet ..... 31

Carl WinsløwAbelseminar 03 på Schæffergården .................................... 33

Uddannelsesfronten ............................................................ 34

MatematikerNyt .................................................................. 36

Begivenheder....................................................................... 37

Aftermath ............................................................................ 38

4 19/03 Tema

For et år siden ville et hold studeren-de vide, hvad jeg mente om BjørnLomborg. Anledningen var at Udval-get for Videnskabelig Uredeligheds(UVVU) havde fundet hans publika-tioner objektivt uredelige. Lomborgpræsenterer jo sig selv som statisti-ker, og tal spiller en fremtrædenderolle i hans argumentation, så det varrimeligt nok at bede en statistiklærerom hendes vurdering. Og selv om jegegentlig helst var fri, endte det medto kritiske indlæg til de studerendesblad FAMØS. De danner udgangs-punkt for denne artikel.

Bjørn Lomborgs bog ”VerdensSande Tilstand” har lige siden sinfremkomst skabt debat. Debattenblussede op i kølvandet på UVVUskendelse om videnskabelig uredelig-hed. I august 2003 kom der så fra etnordisk evalueringspanel en skarpkritik af rapporterne fra det Miljøvur-deringsinstitut som Lomborg er di-rektør for. Sidst har embedsmænd iForskningsministeriet underkendtUVVUs kendelse, uden at det dog harændret nævneværdig på fronterneomkring lødigheden af Lomborgsarbejder.

Skal man behandle Bjørn Lom-borgs talbrug dækkende kræver detmere end en enkelt artikel i Matilde.I FAMØS er vist eksempler på, hvor-dan Bjørn Lomborg baserer vidtløfti-ge beregninger på tal, hvis repræsen-tativitet og udsagnskraft i høj gradkan drages i tvivl. Mange af de sam-me kritikpunkter blev fremført af detnordiske evalueringspanel (Hjort-Andersen et al 2003). De skriver f.eks.om en af Miljøinstituttets publikatio-ner

“Der findes alt for mangeudokumenterede påstande irapporten, og når der findeshenvisninger til videnskabeligereferencer, er disse udvalgte, så atde ikke giver et balanceret billedeaf den videnskabelige litteratur.”

og

”Hvis der skal laves en cost-benefit analyse af et konkretområde, er det afgørende, at allevæsentlige effekter kan med-tages”.

Lomborgs bog og miljøvurderingsin-stituttets rapporter er imidlertid ikkealene tendentiøs statistik. De sætterogså fokus på det større problemfeltder handler om de aktuelle vilkår forvidensproduktion, om manglendedebat og manglende kvalitetssik-ringsmekanismer i forskningen.

Nye former forvidensproduktion

Adskillige videnskabsteoretikere harpeget på, at det videnskabelige sam-fund i dag er under forandring. Forvidensproduktionen betegnes æn-dringen ofte som et skift fra modus 1til modus 2 (Se f.eks. Gibbons et al1994, Nowotny et al 2001). Modus 1dækker i vid udstrækning den uni-versitære vidensproduktion vi harkendt indtil nu. I modsætning hertilbeskrives Modus 2 som en type vi-densproduktion der er forankret i enanvendelsesorienteret kontekst. Herophæves distinktionen mellem

grundforskning og anvendt forsk-ning. I stedet tænkes i en transdisci-plinær produktionspraksis, hvor for-skeren bruger hvad hun/han kan fraeksisterende discipliner og hvor derer mange forskellige agenter involve-ret i produktionen (universiteter, in-dustrier, regeringer, fagforeninger).Modus 2 vidensproduktion kræver ikonsekvens heraf langt mere plurali-stiske kriterier i sin kvalitetskontrol,men samtidig må kontrollen omfattelangt flere sektorer end den gør i dag.Ser man Lomborgsagen i denne bre-dere sammenhæng er den ikke pri-mært et spørgsmål om videnskabe-lig ytringsfrihed eller om det betime-lige i at videnskaben kontrollerer sigselv. Sagen sætter fokus på at der idagens videnskabelige verden ikke erudviklet kvalitetssikringsmekanis-mer svarende til de vilkår for videns-produktion, som er ved at materiali-sere sig.

Peer-review eller ej?

Den traditionelle vidensproduktionindeholder naturligvis mere end uni-versitetsforskning. Selv i Danmark erden økonomiske indsats i industri-forskningen langt større end i denoffentligt finansierede forskning, mendet er især den ekspanderende sek-torforskning der har skabt nye vilkårfor vidensproduktion. Samtidig spil-ler medierne er betydelig rolle, somet sted hvor forskningsresultater ind-drages i samfundets beslutningspro-cesser. Begrænser man sig til den of-fentlige forskning, kan man såledesse på den samfundsmæssige "viden-

Af: Inge HenningsenAfdeling for anvendt matematik og statistik,

Københavns Universitetemail: [email protected]

Videnskab, debat og manglendevidenskabelig debat

519/03Statistik

skabelse" som opdelt i tre sektorer"peer-review-sektoren", der fortrinsvisomfatter universitetsforskning, "rap-port-sektoren" der i høj grad defineresaf sektorforskningens projektforsk-ning og rekvirerede forskning, ogendelig noget man kunne betegnesom "medie-sektoren".

I peer-review sektoren underkastesde videnskabelige artikler kollegialkritik inden de offentliggøres. Re-viewprocessen indebærer at nogenpåtager sig arbejdet med at efterseargumentationen i en bog eller arti-kel. Er argumenterne holdbare? Erreferencer relevante i den angivnesammenhæng; er de loyalt gengivet;etc. Det kan ses som en servicefunk-tion overfor læseren, der i alminde-lighed ikke har tid og kræfter til atgøre det. Peer-review er tænkt somen kvalitetssikringsmekanisme, ogfor fortsat at være et gyldigt medlemaf det videnskabelige samfund måforskere på en forpligtende måde for-holde sig til kritik af deres arbejder.Samtidig gælder det f.eks. for univer-sitetsansatte, at det anses for en na-turlig del af ens arbejde at forholdesig (kritisk) til det andre offentliggør.Diskussion af andres resultater ermeriterende inden for det sædvanli-ge system. Ideen om at videnskaben

i det lange løb er "selvkorrigerende"hører hjemme i Peer-review-sekto-ren, selv om peer-reviews hverken erufejlbarlige eller fri for politisering.

Anderledes i "rapportsektoren".Her drejer det sig primært om rekvi-rerede undersøgelser. Det kan bådevære forskning til brug for lovforbe-redelse og anden myndighedsud-øvelse, men også om større projektersom f.eks. på uddannelsesområdetmed de store internationale læse- ogregneundersøgelser. Som oftest of-fentliggøres resultaterne i rapporterudgivet af projekterne selv, og der erikke tradition for indbygget kvalitets-sikring i form af uafhængige vurde-ringer af resultater og metoder. Derer heller ikke et forum, hvor en even-tuel kritik af metoder og resultaterkan fremføres på en måde, der for-pligter forskerne til at forholde sig tilden. Dette hænger sammen med atprojekterne sjældent har afsat res-sourcer til uafhængige vurderinger,og at de ansatte i sektorforskningenikke på samme måde som på univer-siteterne har tid til og forpligtelseoverfor et bredere forskningsområde.Universitetsforskerne i peer-review-sektoren oplever heller ikke nogetansvar overfor hvad der foregår i rap-portsektoren, og en eventuel kritisk

indsats vil sjældent være meriteren-de. Resultatet er et svagt system forkvalitetssikring1.

Endelig er der "medie-sektoren",hvor resultaterne/konklusionerneformidles direkte til medierne (evt. førundersøgelserne offentliggøres - hvisde nogensinde offentliggøres)2. Her eroffentliggørelseskriteriet enten dengode historie ("kioskbaskeren") ellerden mere direkte politiske virkning afen undersøgelse eller en analyse. Herkan medierne være interesseret i dis-kussion, men den skal foregå på "de-res" niveau, og det inkluderer sjæl-dent det tekniske-faglige niveau, somkræves hvis man f.eks. vil diskuterevisse dele af Bjørn Lomborgs artikler.

Videnskaben korrigerer ikkealtid sig selv

Diskussionen om UVVUs afgørelse iLomborg-sagen demonstrerede,hvordan meningsdannelsen omkringen række store og komplicerede sam-fundspolitiske problemer foregår heltuden om den etablerede videnskabe-lige verden. Bjørn Lomborg har of-fentliggjort sine analyser og resulta-ter i dagblade og som bøger og pub-licerer netop ikke i videnskabelige

Temaredaktion:Inge Henningsen & Malene Højbjerre

6 19/03 Tema

tidsskrifter. Som Kjaer og Dahlgaardskriver i artiklen Lomborg – igen igen iAktuel Naturvidenskab 1/2002.

”... der er en afgrundsdyb forskelpå, hvordan den videnskabeligeverden og medierne fungerer. ...Lomborgs ekspertstatus og le-gitimitet får han ikke af detvidenskabelige samfund, menprimært af medierne (med Politi-kens chefredaktør Tøger Seiden-faden som en af de varmestefortalere her i landet). Lomborghar kortsluttet den videnska-belige kvalitetssikringsproces oggået direkte til medierne, somstort set alle har taget ham til sigsom deres egen ”

I dette scenarie kunne klagen til UV-VU ses som et forsøg på at bryde gen-nem skellet mellem Peer-review-sek-toren og de to andre sektorer, idetkvaliteten af Bjørn Lomborgs produk-tion gennem klagen på forpligtendemåde blev sat på forskersamfundetsdagsorden3. Måske kan man medgi-ve kritikerne, at UVVU ikke var detoplagte sted. Men pointen er, at der idagens Danmark ikke var og er andre,mere velegnede steder.

Nye former forkvalitetssikring

Forholdet mellem forskning og of-fentlighed er efterhånden kommet ifokus mange steder. I kølvandet påLomborgsagen er der i Danmark ned-sat et udvalg, der skal komme medforslag til nye regler om uredelighedi forskningen, og Kjaer og Dahlgaard(2002) efterlyser et forum for ”dennødvendige tværgående naturviden-skabelige diskussion.” I England harRoyal Society i august 2003 tagetspørgsmålet om offentliggørelse afforskningsresultater op, idet man harnedsat en arbejdsgruppe

“... to carry out a study on bestpractice in communicating theresults of new scientific researchto the public. The study has beenlaunched in response to generalconcern expressed amongscientist and wider society aboutwhen and how research resultsare made public, and specific

controversies surrounding issuessuch as the extent to which resultsshould be checked by otherresearchers before they arecommunicated.”

Dette er alle forslag der sigter på atskabe en tiltrængt bredere videnska-belig debat. Men det er ikke tilstræk-keligt bare at justere gældende prak-sis. Nye former for vidensprodukti-on kræver nye regler for god viden-skabelig praksis og et kvalitetssik-ringssystem der omfatter alle formerfor forskning, men som samtidig kanrumme vidensproduktionens mang-foldighed. Det stiller krav til forsk-ningsverdenens bevillings- og meri-teringssystemer om at skabe luft tilforskning der går på tværs af fag- ogsektorgrænser. Det stiller også kravtil den enkelte forskers ansvarsfølel-se i forhold til dårlig forskning ogmisbrug af forskningsresultater, selvom det ikke er direkte meriterende atgøre det. Her er den nye universitets-lov et skridt i den gale retning meddens indskrænkning af de ansattesforskningsfrihed og dermed deresansvar overfor den faglige udvikling.

Hvad med vores egenandedam?

Matematiske modeller indgår mangesteder i forskningen, så faglige miljø-er med en bred interesse for konkre-te og tværvidenskabelige anvendel-ser af matematik kunne blive en vig-tig brik i en sådan ”ny forskningsor-den”. Samtidig ville det i sig selv ha-ve en opdragende effekt, hvis tal- ogmatematikbrugere vidste, at de risi-kerede at møde en kritisk og flersi-det ekspertise i det offentlige rum –eksempelvis i Matilde.

Referencer

Gibbons M. et al.

(1994) The New Production of Knowledge:The Dynamics of Science and Research inContemporary Societies. Sage. London.

Henningsen I (2003) Løgn, forbandet løgnog statistik, FAMØS, Fagblad for Aktuar,Matematik, -Økonomi og Statistik, 3/16,12-17 eller http://www.math.ku.dk/~in-ge/

Henningsen I (2003) Videnskab, debat ogmangel på videnskabelig debat, FAMØS, Fag-blad for Aktuar, Matematik, Økonomi ogStatistik, 4/16, 18-21 eller http://www.math.ku.dk/~inge/

Hjort-Andersen et al (2003) Evaluering afInstitut for Miljøvurderings rapporter. Forsk-ningsforum.

Kjaer C. R. & Dahlgaard J.(2002) Lomborgigen, igen. Aktuel Naturvidenskab 1/2002.

Lomborg, B. (1998)

Verdens sande tilstand Centrum. Køben-havn

Nowotny H. et al. (2001) Re-ThinkingScience. Knowlegde and the Public in the Ageof Uncertainty. Polity. Oxford.

Royal Society working group on best practicein communicating the results of new scienti-fic research to the public (2003) http://www.royalsoc.ac.uk

Noter

1 Som eksempler kan man tage de un-dervisningsministerielle rapporterom studentereksamenskarakterer,fravær og gymnasialt sprogvalg,som metodemæssigt er under al kri-tik.

2 Bjørn Lomborg er i denne sammen-hæng ikke enestående. Herrnsteinog Mur ray's berygtede Bell Curveom race og intelligens, Kreationis-men og (mere kuriøst) "Den koldefusion" er alle eksempler på forsk-ningsdiskussioner, der fortrinsvis erført i medierne.

3 Det er vanskeligt at vurdere om detblot var en klodset konstruktion atgøre miljøvurderingsdirektørstillin-gen til en stilling, der krævede vi-denskabelige kvalifikationer, ellerom den åbenlyst usaglige udnævnel-sesprocedure var en kalkuleret poli-tisk magtdemonstration.

719/03Statistik

KU: Bioinformatik - en statistisk disciplin

Fra beregningsbiologi tilbioinformatisk statistik

Op gennem halvfjerdserne og fir-serne gav udviklingen indenfor bio-logien anledning til nye, spændendeog tværfaglige problemer. Særligt in-denfor forskningen i det molekylæregrundlag for livet opstod der et be-hov for at organisere, handtere og an-vende mere og mere omfattede mole-kylærbiologiske data og ikke mindstat lave beregninger med disse data.

En af de oprindelige problemstillin-ger drejer sig om at sammenligneproteiner, der, som det funktionelleprodukt af vores gener, udgør enyderst vigtig klasse af makromoleky-ler. Proteiner er store molekyler byg-get op som lineære sekvenser af ami-nosyrer, og en metode til sammen-ligning gar ud pa at opfatte protein-molekylerne som simple tekststrengefra et 20 bogstavs alfabet (de 20 for-skellige aminosyrer). Dernæst place-res de to tekststrenge over hinan-den, og man prøver, med tilladelse tilat indsætte mellemrum, at “skubbe”bogstaverne i de to sekvenser frem ogtilbage, indtil aminosyrerne er par-rede, sa de “passer” godt sammen.Denne metode kaldes ofte pa engelskfor alignment – et ord, der vist ikkehar en god dansk oversættelse.

ACAD-ACDADCCAADADCACAADDCA

Figur 1: Et eksempel pa en align-ment af to proteiner. Der er ind-sat et mellemrum i den øverstesekvens af aminosyrer, og derer tre ikke-matchende aminosy-rer. I eksemplet benyttes kunde tre aminosyrer A (Alanin), C(Cystein) og D (Asparaginsyre).

En sadan sammenligning af protei-ner giver bl.a. et værktøj til at studereevolution pa det mest fundamentaleniveau – det molekylære. Man fo-restiller sig, at to evolutionært rela-terede proteiner ogsa ligner hinan-den aminosyre for aminosyre, og aten sammenligning derfor kan vise,om to proteiner faktisk er relaterede.

En del af anstrengelserne gik i star-ten ud pa at løse rent beregnings-mæssige problemer og var saledesmeget algoritme-orienteret. Omradetgik under navnet computational bio-logy – eller direkte oversat beregnings-biology. Siden hen har betegnelse bio-informatik slaet an som en slags pa-raplybetegnelse for arbejdet med ogbearbejdning af især molekylærbiolo-giske data ved hjælp af en computer.Bioinformatik er som omrade blevetet sammenrend uden lige – absolutforstaet pa den gode made – af for-skere med vidt forskellige baggrundesasom biologi, datalogi og statistiksamt fysik og kemi, og forskningenspænder bredt fra de egentlig biolo-giske spørgsmal, der kræver bioin-formatiske værktøjer, over en massedatabasearbejde til deciderede teore-tiske metodespørgsmal. Det er pri-mært i den sidste kategori, at den sta-tistiske forskning bidrager til udvik-lingen af bioinformatikken.

Evolutionsmodeller forproteiner

For det klassiske problem, sammen-ligning af proteiner, starter den sta-tistiske modellering med evolutions-hypotesen pa molekylært niveau.Den gar ud pa, at aminosyrer enkelt-vis eller i grupper muterer, saledesat nye funktioner kan opsta. Langtde fleste mutationer er katastrofale,men enkelte vil overleve og blive le-veret videre til kommende genera-tioner. Proteiner, der har en ikke forfjern fælles fortid, vil ligne hinanden,selv om de er forskellige. Men hvor-dan vurderer man, om en konkret(god?) alignment er udtryk for andetend tilfældige ligheder mellem pro-teinerne? Det statistiske modelkon-cept giver her en fornuftig angrebs-vinkel. Det man skal gøre er at op-stille en model dels for mutations-processen og dels for ikke-relateredeproteiner. For to givne proteiner børenhver beslutning om, hvorvidt deer relaterede, baseres pa en sam-menligning af sandsynligheden for atobservere proteinerne som følge afen mutationsproces fra et fælles for-faderprotein, med sandsynlighedenfor at proteinerne er ikke-relaterede.

Man kan godt opfatte dette som etstatistisk test af relaterethed modikke-relaterethed, men det er bedreat tænke pa problemstillingen somet klassifikationsproblem. Den stati-stiske modellering giver dernæst enmulighed for at diskutere, hvad fejl-frekvensen er i det lange løb, dvs. narvi klassificerer mange par af prote-iner som relaterede/ikke-relaterede,hvor mange fejl begar vi sa i gen-nemsnit. Men bemærk, at de model-ler vi har valgt, meget vel kan væreforsimplede og evt. forfejlede i for-hold til den virkelige evolutionspro-ces. Den statistiske teori viser, at pro-ceduren beskrevet ovenfor essentielter den korrekte (optimal i en rime-lig forstand), vel at mærke hvis model-lerne er korrekte. Skal vi forbedre vo-res klassifikationsprocedure, skal vialtsa finde nogle bedre modeller. Deter i den henseende tankevækkende,at de modeller, som kan behandles ogbenyttes i praksis, kun kan handterede mest rudimentære evolutionærehændelser, sasom substitution af en-kelte aminosyrer. Det burde dog blotgive blod pa tanden – der er masserat komme efter i denne branche!

Men hvordan modellerer man samutationsprocesser? Den klassiskemodel er givet ved, at hver en-kelt aminosyre muterer i henhold tilen tidshomogen markovproces, ogat aminosyrerne muterer uafhængigtaf hinanden. Den store fordel veddenne model er, at man kan beskrivemutationsprocessen med relativt faparametre, nemlig 380 mutationsin-tensiteter. Grundet tidshomogenite-ten giver dette en model for relate-rede proteiner – uafhængigt af hvorlangt tilbage i fortiden vi skal for atfinde en fælles forfader. Modellen gi-ver endvidere anledning til PAMn-scoring for n ≥ 1, jf. tabel 1, somofte bruges til scoring af parrede ami-nosyrer, nar man aligner proteiner.Her er n den evolutionære afstandmellem proteinerne malt i sakaldtePAM-enheder. Et nyere alternativ erBLOSUMn-scoring for 1 ≤ n ≤ 100,som ligeledes er baseret pa en modelfor mutation, hvor de de enkelte ami-nosyrer muterer uafhængigt af hin-anden, men hvor der ikke er nogen

Af: Niels Richard Hansen

8 19/03 Tema

antagelse om en underliggende tids-homogen markovproces. Her beteg-ner n frekvensen af det totale antalkonserverede, altsa ikke-muterede,aminosyrer i proteinet. F.eks. for n =45 matcher 45% af aminosyrerne frade to proteiner. Det er den gængseopfattelse, at BLOSUM-scoring fun-gerer lidt bedre end PAM-scoring.

PAM250 BLOSUM45

A C DA 2C -2 12D 0 -5 4

A C D5

-1 12-2 -3 7

Tabel 1: Udsnit af to hyppigtanvendte metoder til scoring afparrede aminosyrer i en align-ment af to proteiner. PAM250og BLOSUM45 er fortolknings-mæssigt sammenlignelige, menbaseret pa to forskellige model-ler.

Bruger man PAM250-scoring pa denalignment vi ser i figur 1 (læg bidra-gene for alle de parrede aminosyrersammen) finder vi en samlet scorepa 32. Den tilsvarende BLOSUM45-score for den given alignment er 55.

Datamining og Molekylærestrukturer

En af de begivenheder, som for alvorsatte fut i bioinformatikken, var be-slutningen om, at kortlægge det men-neskelige genom. Det er i dag lykkes,og kortlægningen af genomet for enrække andre organismer er ogsa af-sluttet eller i fuld gang. Det har be-tydet fri adgang til enorme mængderra genom-data, som bioinformatikerei hele verden gennemtrawler dag ef-ter dag for at finde ny og dybereforstaelse for de grundlæggende livs-processer. Man vil f.eks. gerne forsta,hvordan hele symfoniorkestret af ge-ner spiller sammen. Biokemien giveros god indsigt i, hvordan de enkelteinstrumenter – vel og mærke demvi har opdaget – spiller alene, menvi forstar stadig meget darligt, hvor-dan det hele spiller sammen. Derforprøver man med en bred vifte af data-mining værktøjer at undersøge geno-mer pa kryds og tværs for at finde alleinstrumenterne, sa man bedre kan faet komplet billede af orkestret. Fællesfor en meget stor del af sadanne data-mining værktøjer er, at de er baseretpa statistiske modeller.

Min egen forskning har bl.a. beskæf-tiget sig med modeller og datami-ning teknikker, som tager udgangs-punkt i 3-dimensionale molekylærestrukturer. Dvs. teknikker til at søgei genomer efter sekvenser, som i 3dimensioner vil folde sig sammentil specifikke strukturer. Det er somhovedregel strukturen snarere endden lineære tekststreng, som bestem-mer molekylernes funktion, og der-for er det yderst relevant at model-lere netop strukturen. Det er imid-lertid noget vanskeligere end at mo-dellere tekststrenge, og man løberhurtigt ind i problemer sasom vold-somt mange ukendte parametre ogexceptionelt langsommelige algorit-mer. Mit arbejde har centreret sig omat modellere en relativt simpel typestruktur kaldet en stem-loop, og omdet teoretiske grundlag for at beregnefejlfrekvenser, nar man søger efterstem-loops i genomer. Der er en væl-dig spændende og udfordrende teoriat udforske i forbindelse med disseberegninger, og i matematisk sofisti-kerethed lader teorien ikke noget til-bage at ønske.

Microarrays

Man ma dog erkende, at uanset denstore triumf kortlægningen af detmenneskelige genom er, sa giver kor-tet (i sin nuværende form) kun et be-grænset og passivt billede af geno-met. Det, man har kortlagt, er denra og til dels ufordøjede information,man finder placeret i kromosomerne,og som vi arver fra vores forældre.Det er saledes arkitekttegningen, vihar fat i, men en samlet forstaelse af,hvordan det hele udvikler sig dyna-misk i hver enkelt celle, er vi stadiglysar fra. Datamining teknikker ellerej, sa skal der noget mere til, hvis virigtigt skal forsta biologien. Her kom-mer en anden og ret ny eksperimentelteknik ind i billedet. En teknik, somisær har faet statistikere op af stolenog til at kaste sig over bioinformatik-ken. Ved hjælp af sakaldte microarraysfar vi et slags dualt, dynamisk bil-lede af genomet. Microarrays er smaplader inddelt i endnu mindre celler,hvor man i hver celle har mulighedfor at aflæse hvor stor en mængdeprotein fra et givet gen, der faktisker udtrykt, altsa produceret, i cellentil et givet tidspunkt. Man kan f.eks.benytte denne teknik, til at se hvadder sker pa gen-niveau, nar to ellersidentiske celler udsættes for forskel-

lige behandlinger. Herved kan manlære, hvordan de mange gener co-reguleres under forskellige omstæn-digheder. Men der er mange, mangeandre anvendelsesmuligheder af mi-croarrays, og kun fantasien synes atsætte grænser.

Nar det nu er sagt, sa er der ogsa endel problemer. Microarrays er tekniskset ikke sa lige til, og der er et antallag, hvor der kan opsta fejl og støj afforskellig slags, udover de rent biolo-giske fluktuationer man ma forvente.F.eks. males mængden af protein ikkedirekte, men via mellemproduktetmessenger-RNA. Principielt adskillermodelleringen af disse fejl sig ikkesa meget fra mange andre klassiskestatistiske modeller, hvor man obser-verer en flerdimensional, kvantitativstørrelse, og hvor man ønsker at mo-dellere sadan noget som niveau, va-riation og co-variation. Men det erdog en væsentlig udfordring, at hverobservation fra et microarray giveren datavektor, som ofte er 10.000-dimensional eller mere, og at mansjældent har særligt mange arrays atgøre godt med (det er en dyr tek-nik, og der er ikke altid konsensusom, hvordan pengene skal bruges).Endvidere er det nødvendigt, at mansætter sig ind i en del af den mo-lekylære biologi/kemi og andre tek-niske detaljer om, hvordan microar-rays faktisk fungerer – og hvad deter for nogle biologisk videnskabeligespørgsmal, der er interessante – for atman kan konstruere rimelige model-ler.

Og alt det andet...

Der er selvfølgelig mange andre bio-informatiske emner af statistisk ka-rakter, som jeg af gode grunde ikkekan komme ind pa. Ingen nævnt, in-gen glemt.

Som statistiker ser jeg bioinformatik-ken som et rigtigt godt omrade atkaste sig over. Der er for det førstefokus pa omradet, som er i vældigvækst. Der er mange spændende teo-retiske metode- og modelspørgsmal,som venter pa at blive taget op. Ogsa er der adgang til omfattende da-tabaser med bunker af data, der kunventer pa at blive analyseret. For sletikke at tale om den sidegevinst, atman far en indsigt i den meget spæn-dende, biologiske forskning, der fo-regar i øjeblikket.

919/03Statistik

Selv svært tilgængelige pointerkan blive spiselige ved enillustrerende overhead. Her er detstatistikererhvervets fordommeog detaljer fra det menneskeligeforplantningssystem, deruddybes.

Man snakker meget om afmatningeni interessen for naturvidenskab ogmatematik i særdeleshed. Om det erså slemt, som det ind i mellem frem-stilles, eller om udviklingen lige såstille er vendt vil jeg ikke gøre migklog på. Under alle omstændighedervil det ikke skade at prøve at overve-je, hvordan vi kan styrke interessenfor matematik og måske ligefrem gø-re faget mere ”spiseligt”. Jeg har selvet par ideer, som jeg vil fortælle omsenere i dette indlæg.

Matematik er ikke bare matema-tik. Faget matematik er et tveæggetsværd. Den ene æg er skarpslebet tilat løse Gordiske knuder. Det er denside, der redder verden gang pågang. Det er den anvendelsesorien-terede eller ingeniørmæssige side afmatematikken. Det er den side vi ple-jer at vise frem, når vi skal legitimereos selv overfor politikere og overforvores borddame. Tit er det også an-vendelserne, vi hiver frem, når manreklamerer for faget i forbindelse medat få studerende til universiteterne.Den anden æg, er den der bedst skæ-rer i hjertet. Det er den ubeskriveligtfascinerende skønhed, som fagetrummer. Det der appellerer til kunst-neren og det kreative i os. Den sideer det måske lidt sværere at forklarepå det konverserende plan.

Selvom vi bruger den første sidetil at sælge vores fag er der nok gan-ske få af denne artikels læsere, der harvalgt matematik for dens praktiskeegenskaber. Vi blev solgt på grund afskønheden. Inderst inde er vi alle gla-de nørder. Og hurra for det, for deter jo det, der har været drivkraften.

Der er et væld af meget forskel-ligartede kompetencer forbundetmed at lære og at arbejde med mate-matik. Jeg vil ikke trætte læseren vedat drive rovdrift på et af tidens storebuzz-words, men det er nu mere enden tanke værd, om der er helt over-ensstemmelse mellem de matemati-

ske kompetencer, der efterspørges i”den rigtige verden” og de kompe-tencer vi (velmenende naturligvis)prioriterer i vores undervisning.

Gymnasiet ser meget anderledesud nu, end det gjorde da jeg var enusikker hormonbombe. Nye arbejds-former og undervisningsformer frafolkeskolens mange forsøg, er nu såindgroede at projektarbejde ikke me-re nødvendigvis betyder et slag whisti kantinen. Elever i gymnasiet får nui højere grad muligheden for at se vis-se dele af faget præsenteret -ikke ien petriskål- men i levende live. Detgiver os, der arbejder med matema-tikken som forskningsfag eller som

Formidling af forskningtil gymnasiet

Af: Søren Lundbye-ChristensenInstitut for Matematiske Fag

Aalborg Universitetemail: [email protected]

redskabsfag et stort ansvar. Vi harchancen for at påvirke den måde, fa-get præsenteres på. Vi skal finde småhjørner af vores forskning og af vo-res konsulentopgaver, som i en light-udgave kan bære at blive brugt i gym-nasiet (og folkeskolen).

Vi er allerede startet i Aalborg. Førsommerferien afsluttede vi et projektpå Frederikshavn Gymnasium, hvorto lærere i en lang periode benyttedeproblemstillinger og data fra et afvores samarbejdsprojekter med No-vo Nordisk A/S til at gennemgå ba-sal sandsynlighedsregning, deskrip-tiv og inferentiel statistik. Inspireretaf de gode resultater kører flere klas-

10 19/03 Tema

Et foredrag om differentialligninger tilbeskrivelse af dynamikken i forbindelsemed insulin og glykose sluttes af med enManga-tegneserie udgave af Bergmansminimale model:

ser på næste årgang lige nu projektetnok en gang.

På Dronninglund Gymnasiumhar fire 2. G-klasser arbejdet et parblokdage med at analysere kvindeli-ge graviditetshormoner for at lavereferenceområder og foreslå eventu-elle metoder til at bruge hormoner tilovervågning af om graviditeten for-løber ”passende”. Data stammedehelt tilbage fra mit eget PhD-forløb,men problemstillingen er stadig ak-tuel og spændende. Den første blok-dag var en fredag, men det forhindre-de ikke klasserne i at sidde ved deresbærbare og ved de af skolens compu-tere, der var ledige til sent om efter-middagen og bikse med Excel og dis-kutere histogrammer!

Arbejdsdelingen i sådan et pro-jekt er ganske klar. Det er mig, derkender projektet, problemstillingen,data og eventuelle kilder. Det er gym-nasielærerne, der kender deres elever,og ved hvordan projektarbejdet skalorganiseres og coaches. Efter at havediskuteret projektet igennem, lærer-ne og jeg, plejer det at fungere sådanat jeg holder et oplæg for klasserne.Dette oplæg er gerne en del mere ku-lørt end man ville gøre det ved enuniversitetsforelæsning, dels for at”kridte banen op” og dels fordi jeggerne vise min egen begejstring forprojektet. Herefter tager man over pågymnasiet, og står så for projektet.

Det er sjovt at se, hvordan ens eg-ne projekter pludselig får et nyt oganderledes liv i hænderne på en gym-nasieklasse. Lærerne på gymnasiet ergode til at tage bolden op og få pro-jektet til at fungere, men man kan påingen måde forlange at man somgymnasielærer skal kende de projek-ter, der arbejdes med på universite-terne eller i ”det private”, hvis ikkevi fortæller om dem.

Det er en stor opgave, som vi uni-versitetsansatte i det lange løb ikkekan bære kun for vores blå øjnesskyld. Men det er på den anden sideen meget vigtig opgave for at imøde-gå afmatningen i interessen for natur-videnskab.

Så min hovedpointe er, at vi måstoppe klynkeriet over at de unge ik-ke forstår, hvorfor differentiallignin-ger og statistik er spændende.

Bolden er på vores banehalvdel!Det er jo os, der ved hvorfor det erinteressant og spændende. Derfor erdet også os, der har muligheden for

og forpligtelsen til at fortælle det. Vikan vise at matematik er et kreativtfag, som er sjovt men svært. Vi skal ihøjere grad lade os bruge og eksperi-mentere med projektarbejde. Bådebrede tværfaglige projekter og snæv-re ’matematik-for-matematikkens-egen-skyld’ projekter. Vi kan håbe påat skabertrangen og legebarnet kanblive motivationen for vores unge.

1119/03Statistik

��

��

��

�� !�"!��

��

#� �� $�� %�� &�� "�� '��(�� )��*�+! #�� $� �� "�%�� ,�� -�� ! .�� -�� "&�� ."��"� �� "�� "��,�� "�� "�%�� , �� %�� "�� %�"�� - ��! /� �� "�� "�� "�� -�� "��!0�� .�� )��1+ �� " �� "� � �� !

#�� '�� (�� 2� ��3�� 4 �� "��

5� �� ,�� &��& �� %�� 6�� &�� )&��+5!

7�-�� %�� ,�� ,��!

��

8�� %�� 9� �� -��$�� $� ��%��$! #�� ,�� - �� 7��" �!

: �� - �� ,�� -�� $�� "�� ,� �� %�� $��! �� -�� ,�� 7��" � ��

�� "��"�

��

�� $��

�� 7��" �!

(�� "�� "�� &�� %��$�� -�� $�! �� !#��

log price DK

1973 1976 1979 1982 19850.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

log price GE

1973 1976 1979 1982 19850.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

log exchange rate

1973 1976 1979 1982 19850.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

diff log price DK

1973 1976 1979 1982 1985-0.01

0.00

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

diff log price GE

1973 1976 1979 1982 1985-0.005

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

0.025

diff log exchange rate

1973 1976 1979 1982 1985-0.032

-0.016

0.000

0.016

0.032

0.048

0.064

�� #�� "��%��9 � #�� 0,�� "��"��! 0�� ;��!

�� - �� ,�� &�� !

�� ,�� - �� "�� -�� %�� "��! �� <"��"�� -�� %��$ �-�� - � �� -�� ! ��"�� =�� )��>4+ �� -�� ?��? � �� ! #�� "�� $��

��

�� ! #�� $�� - ��

�� /� ��

�-�� "�� - � �� "�� - ��%�� ! #�� - �� "�� "�� ,�� !

(�� "�%�� "��"��

��

��

Kointegration og fællesstokastiske trende

af: Søren JohansenAfdeling for anvendt matematik og statistik,

Københavns Universitete-mail: [email protected]

12 19/03 Tema

log Purchasing Power Parity

1974 1977 1980 1983 1986-0.075

-0.050

-0.025

0.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0.125

0.150

�� 7�� )��"�+ �� "��"��

��

��

� �� $ �&�� - �� %��$�� -�� !=�� $�� $�� -�� ,�� ! @�� "�� "�� -�� - �� ! #��$�� "�� ,�� $�� %�� $�� -� �� "��$�� !

��

�� - ��

��

��

��

��

�� 8�� &�� %��$�� -�"�� $�� 6�� ;�� $��-�� ! #�� %��

��

��

��

��

�

� ��

��

�

��

�

��

�

��

��

#�� &�� - �� ;��

� � � ��

�� =� �� $�� &�� $ �"�� &�� %�� "�"�� &��

To ikke kointegrerede processer

0 10 20 30 40 50

-10.0

-7.5

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

7.5

To kointegrerede processer

0 10 20 30 40 50

-5.0

-2.5

0.0

2.5

5.0

7.5

�� 8�� "��$�� 6�� $�� 6�� 4

"��$�� ! /� ��

� � ��

� ��

� � ��

��

�� $� � � �� %�� -�� $�� %��$! 8�%�$� ��

�

��

:��%�� -��

��

�� %��

=��

�

� � ��

��

� �� "�� $�� "�� ! A�� %�"�� $ �� - ��"�� "�� $�� $�� ,�� "�%�� - �

�� $�� ! �� 2�� $� ��

��

��

�-�� $�� 2&�� ;��! 7�� -�� &�! �*B�� "��B � �� -�� "�� 2&�� !

1319/03Statistik

� !�� " �

#�� -� �� $�� %�� "�� ,�� %��$� �� $�� %�� "�� !

: �� "�� - �� ! #�� $� ��"�%�� "�� -�� - � �� ,�� "�%��!

#�� "�� %,�� "�� 86�� $�� ,� �� %�� , �,�� $��! ��&�� &�� %��! #� �� ,�� "� �� ,�� %�"�� "�� - �� "�� "�� !

�� "�� %�� $�� "�� =�� ."��"� )��>+!

#� $��%��

: �� 4� - �� "�� "�� "�� "��%�� ! 7� ��1* � ��"� �� ! 7�-�� %�� %�� ! �� -�$�� -�� "�� -�� ! #�� $�� -�� 2��&��%�!

�� $�� ,�� "��"�� $�� !

&� ��

7 �,�� $�� -� �� ,�� %��$� �&�� ,��! /�� - �� -�� ,�� "�� ! /�� "�-�� %��$� �� %��$�C #�� "�� ,�� -�� ,�� <�� !

'� (��)��

(�� '! D! .! )��*�+� �� E�� 0�� %�� "�� /&��& �� &�2&�� 1� ��%�4�!

=�� 0! )��>4+� 0�� &�� &�� ,�� "��"� �F"�� %��!

=�� =! �� ! ."��"�� )��>+� �� !/��G /�0: �� 666!��!&�!

.�� ! )��1+� �� !� ��! H9��, E�� H9��!

14 19/03 Tema

... følg da terrænet.” Dette citat fra etapokryft militært reglement er ogsåen overskrift for god praksis i an-vendt statistik. Hvis den statistiskemodel ikke passer med den virkelig-hed, modellen skal beskrive, da harvirkeligheden ret.

I dette indlæg skitseres først ma-tematiske modellers konfrontationmed virkeligheden med særlig vægtpå balancen mellem deduktion oginduktion. Jeg nævner derefter sand-synlighedsbegrebets rolle og sluttermed nogle bemærkninger om, hvor-dan vi her i landet har placeret stati-stikerne stærkt i dette felt.

Matematiske modeller

Matematiske modeller anvendes imange videnskaber som hjælpemid-del til at beskrive virkelige fænome-ner. Det er velkendt, at store dele afteoretisk fysik kun lader sig formule-re med bestandig brug af matematik,og historisk har vigtige dele af mate-matikken udviklet sig som svar påudviklingsbehov i teoretisk fysik. Deter knapt så velkendt, at økonomiskteori på tilsvarende måde baserer sigpå matematiske konsekvensanalyseraf idealiserede forudsætninger, lige-som tilfældet er i en række teoretisk-biologiske discipliner som populati-onsdynamik, populationsgenetik ogepidemimodeller.

Deterministiske modeller

I de nævnte discipliner optræder etomfattende arsenal af matematiskemodeller som beskriver deterministi-ske sammenhænge, og altså i princip-pet afgiver deterministiske kausali-tetsudsagn og deterministiske præ-diktioner. Jeg vender nedenfor tilba-ge til, hvorledes anvendelse af sand-synlighedsteori kan generalisere sel-

ve modellerne til probabilistisk kau-salitet og prædiktion, hvor tilstede-værelse af en årsagsfaktor ikke med-fører en respons med sikkerhed, menkun antages at øge sandsynlighedenfor at den optræder.

Allerede i den deterministiskemodelverden er det en erfaring, at derealiserede eksperimenter ikke fuld-stændigt følger forudsigelserne. Denprincipielt set simpleste statistiskemodel beskriver denne situation vedat postulere, at den underliggendedeterministiske matematiske modelville beskrive strukturen korrekt, så-fremt målingerne var perfekte; menpå grund af måleusikkerhed er der envis tilfældig variation omkring den-ne deterministiske struktur. Måle-usikkerhed tages her – ikke mindst if.eks. biologiske anvendelser – i bredforstand, således at ikke blot konkre-te fysiske målinger inkluderes, menogså hvad der kaldes ”biologisk va-riation” omkring en deterministiskstruktur, som fortsat tildeles umiddel-bar fortolkelighed.

Deduktion og induktion

Den simple model

deterministisk signal + tilfældig støj

kan udledes i den deduktive sam-menhæng. I praksis skal signaletidentificeres ud fra de observerededata, og så er vi ovre i den induktiveanvendelse af modellerne. En stati-stisk model defineres som en familieaf sandsynligheder, og identifikationaf den bedste sandsynlighed i model-len kaldes estimation.

Når først det statistiske modelap-parat er opstillet, indser man at detogså fungerer uden en faglig begrun-delse for signalet, altså rent deskrip-tivt. Som deskriptive modeller tilpas-ses (fittes) af bekvemmelighedsgrun-

de en enkel matematisk model, f.eks.en ret linie eller et polynomium, om-kring hvilken de observerede datafordeler sig på en måde, hvis forde-ling beskrives som tilfældig hvis denikke opviser en særligt påfaldendestruktur. De deskriptive statistiskemodeller kan opnå en betydelig kom-pleksitet, hvilket f.eks. spiller en storpraktisk rolle i deskriptiv økonome-tri, hvor store ligningssystemer be-skriver sammenhængen mellem enlang række variable i samfundsøko-nomien.

Modellen og virkeligheden

I den militærtaktiske hentydning ioverskriften er det vitalt til stadighedat holde øje med, om ”kortet”, altsåmodellen, faktisk beskriver den om-liggende virkelighed, altså data. Inaturvidenskaberne anser man sigalmindeligvis for beskrivende et sy-stem med betydelig uforanderlighed,og man ved derfor, at hvis man ikkerespekterer virkeligheden i sin forsk-ning, vil virkeligheden før eller sene-re hævne sig ved at dokumentere, atman ikke har været omhyggelig nok.Som iagttager udefra af samfundsvi-denskab, navnlig økonomi, kan manfå det indtryk at en tilsvarende re-spekt for virkeligheden skønnesknapt så nødvendig i samfundsvi-denskaberne, først og fremmest for-di ”den politiske situation aldrig gen-tager sig”, hvilket tilsyneladende fårsamfundsforskere til at anse deresmodeller for mere stabile (troværdi-ge?) end den omgivende virkelighed.

Sandsynlighedsmekanismer isignalet

Jeg har ovenfor set på den enklestemodel bestående af et deterministisksignal med en tilfældig støj. Ofte er

Af Niels KeidingBiostatistisk Afdeling, Københavns Universitet

email: [email protected]

”I tilfælde afuoverensstemmelse mellemkort og terræn...

1519/03Statistik

det for simpelt at anskue signalet somdeterministisk. Teoretiske fysikerehar interesseret sig meget for, i ram-me af kaosteorier, at beskrive tilsyne-ladende ustabile signaler som resul-tat af en stor følsomhed overfor be-gyndelsesbetingelser; måske er kli-matologi og meteorologi de bedstkendte eksempler af direkte praktiskkonsekvens.

Et andet udgangspunkt for at ge-neralisere de simple deterministiskesignaler er at indbygge sandsynlig-hedsmekanismer i selve teoriformu-leringen. Det simpleste og måskemest oplagte eksempel herpå er denkønnede reproduktion i biologien,hvor barnets genotype fremkommerved en simpel sandsynlighedsmeka-nisme ud fra forældrenes genotyper.Til adækvat beskrivelse af komplice-rede populationsgenetiske forløb føl-ger det, at stokastiske processer bli-ver nødvendige for at opfange den-ne iboende tilfældighed.

I en række andre sammenhængeer den tilgrundliggende sandsynlig-hedsmekanisme mindre indlysende.Således er det almindeligt at beskri-ve finansielle markeders udviklingved stokastiske processer, hvor ræ-sonnementet formentlig er, at detmakrosystem, som skal beskrives,fremkommer som summen af en langrække fænomener på mikroniveau,hvis resultant forhåbentlig opfangesadækvat af tilfældighedsmekanis-men i den stokastiske proces.

Eksempel: simpelbefolkningsvækst

For et par hundrede år siden påpe-gede Malthus, at en befolkning medfødsels- og dødsrater som var kon-stante over tid, således at der fødesflere end der dør, vil vokse eksponen-tielt. Dette simple, næsten kvalitati-ve udsagn kontrasterede Malthusmed sin overbevisning om, at res-sourcerne kun kunne vokse lineærteller polynomialt og derfor til sidstmåtte blive for få.

Malthus’s model er udgangs-punkt for en lang række modeller forbefolkningsvækst. Således opstilledeLotka i begyndelsen af det tyvendeårhundrede den stabile befolknings-teori, stadig i den deterministiskeramme, hvor fødsels- og dødsrater nuanskuedes aldersspecifikt, og stadigkonstante over kalendertiden. Detfremgår så, at populationen på langt

sigt vil vokse eksponentielt med eneksponent som kan beregnes ekspli-cit på basis af fødsels- og dødsrater-ne, og at den relative aldersfordelingi populationen vil stabilisere sig udfra en enkel formel givet ved fødsels-og dødsrater.

I praksis består befolkninger afenkeltindivider, og fødsels- og døds-rater må fortolkes i en sandsynlig-hedsteoretisk ramme. Denne fortolk-ning bliver væsentlig i tilfælde af småpopulationer, som på grund af tilfæl-dige sammentræf risikerer at dø ud,uanset at fødselsraten er større enddødsraten. Resultatet om den ekspo-nentielle vækst bliver nu erstattet afde mere nuancerede udsagn, at mid-delværdien af befolkningen voksereksponentielt, men at selv hvis fød-selsraten er større end dødsraten, vilder være en positiv sandsynlighed forat befolkningen dør ud.

Disse teorier kan anvendes på detidlige stadier af en epidemi, idet en”fødsel” er smitte, en ”død” er fjer-nelse af smittebæreren ved helbredel-se, udvandring eller død. Heraf fåsden såkaldte basale tærskelsætning iepidemimodeller: hvis hvert inficerettilfælde smitter højst et yderligere til-fælde, dør infektionen ud, mens (iden deterministiske teori) hvis hvertindivid smitter mere end et yderlige-re individ, opstår der en epidemi. Iden stokastiske teori bliver dette til,at hvis hvert individ i gennemsnitsmitter mere end et yderligere indi-vid, vil der være positiv sandsynlig-hed for at der opstår en epidemi (menalmindeligvis også positiv sandsyn-lighed for, at epidemien dør ud pågrund af tilfældigheder).

Den simple eksponentielle vækst-model kan yderligere raffineres vedat antage, at fødsels- og dødsraterneselv er udsat for tilfældige påvirknin-ger (sommetider betegnet ”stokastiskmiljø”), og såfremt disse tilfældighe-der i sig selv er stabile over tid er detstadig muligt at udlede asymptotiskeresultater for befolkningens vækst.Alt afhængig af størrelsesforholdetmellem miljøvariationen og denovennævnte iboende tilfældigheds-mekanisme i en lille befolkning (dendemografiske variation) kan man nåfrem til, at miljøvariationen vil domi-nere, eller at den asymptotiske vækstfor en befolkning i stokastisk miljø vilgå langsommere, jo større variationder er i miljøet, for given middelnet-tovækst.

Statistikeren: Den danskemodel

Når statistikeren udvikler og anven-der sine modeller i samspil med vir-keligheden foregår der et raffineretvekselspil mellem matematisk de-duktion og statistisk induktion. Ak-tiviteten stiller store krav til udøve-ren, fordi den både kræver den klas-siske matematikers analytiske strin-gens og en udadvendt evne til at lyt-te til og implementere ofte ganskepræliminært formulerede ønskervedrørende virkelighedsbeskrivelse.

Danmark har en fornem traditionpå dette felt, med en efter internatio-nal standard ganske omfattende ma-tematisk og matematisk-statistisktræning af statistikerne, men samti-dig en sikker anvendelsesmotivation.Statistiske anvendelser varetages iDanmark af de højest matematiskkvalificerede statistikere, således atder er en enestående helhed over fel-tet. I mange andre lande findes enuheldig dualisme mellem matema-tisk og anvendt statistik, idet de (få)matematisk kvalificerede statistikereser ned på anvendelser som trivieltarbejde. Dette arbejde bliver derforudført af matematisk dårligere kva-lificerede, som ikke magter at vide-reudvikle metoderne, således at an-vendelserne faktisk bliver trivialise-ret.

Den danske model kræver bestan-dig vedligeholdelse.

De fleste af studenterne anser an-vendelser, f.eks. biostatistik, som enberigende beskæftigelse. Dette byg-ger imidlertid på to nødvendige be-tingelser.

For det første: Myten om, at bio-statistik er berigende, er ikke en selv-følge. Den, og dermed karrierevalgethos mange af de bedste kandidater,lever af at der findes innovativ og fan-tasifuld biostatistik i landet, og denkommer ikke af sig selv.

For det andet er det et kritiskpunkt, at de matematisk højt kvalifi-cerede nybagte statistikkandidater fårforløst deres potentiale i forhold til dekonkrete praktiske udfordringer.Hertil kræves tilstrækkeligt store mil-jøer, hvor statistikerne kan udviklederes egen fagidentitet konfronteretmed virkelighedens problemer, meni tilstrækkelig kollegial tryghed ogsupervision.

16 19/03 Tema

Behovet for nye lægemidler kan vialle relatere os til. Før eller siden vilnæsten alle få behov for lægelig me-dicinsk behandling. Desværre er deren række situationer, hvor der i dagikke findes medicinsk behandling, oghvor manglen på effektive behand-lingsmuligheder er forbundet medstærkt reduceret livskvalitet eller end-da er livstruende.

For de statistikere som får mulig-hed for at anvende deres kompeten-cer til at deltage i et så vigtigt og rele-vant arbejde, som det er at bidrage tiludviklingen af nye lægemidler er detdaglige arbejde præget af et stort en-gagement og en høj grad af ansvars-bevidsthed.

I artiklen vil jeg forsøge at givenogen eksempler på:· Hvad det er en matematisk stati-

stiker bidrager med?· Hvilke kompetencer kræves?· Hvordan Novo Nordisk forsøger

at sikre, at de nødvendige kom-petencer og metoder løbende ertil rådighed for firmaet ?

Udvikling af lægemidler udgør enlang vej fra basal forskning i identifi-kation af nye mulige lægemiddelkan-didater gennem udvikling af doku-mentation af virkningsmekanisme,behandlingsmåde og bivirkningspro-fil, samt udvikling af et produktions-apparat, som skal stå klart så snartproduktet er klart til at markedsføres.Hvert trin i denne proces er baseretpå viden og dokumentation. Viden,som er genereret ud fra en lang ræk-ke videnskabelige forsøg. Forsøg,som skal designes, data indsamles,analyseres og rapporteres bl.a. vedhjælp af statistiske metoder.

I det følgende vil jeg gennem nog-le eksempler forsøge at give et bille-de af de mange problematikker, mansom statistiker i den farmaceutiskeindustri kan blive konfronteret med.Traditionelt tænkes mest på statisti-kerens rolle som den, der ved hjælpaf statistiske metoder og computer-regnekraft analyserer data når et for-søg er udført. Jeg vil derfor i det føl-gende fokusere mere på de andre ty-

per af opgaver, som optager statisti-kerens tid, og som fylder mindst li-geså meget, som det egentlige analy-searbejde.

Eksempler fraidentifikationsfasen

Statistiske metoder til stikprøveud-tagning

Det hele starter med forsøg på atidentificere nye lægemiddel kandida-ter. En af de metoder der bruges, eren såkaldt High Throughput Scree-ning, hvor kemiske biblioteker, dvs.tusindvis af forskellige kemiske for-bindelser, screenes for at identificeremolekyler med en struktur, som kun-ne tænkes at have interessante egen-skaber inden for det felt man er inte-resseret i. Det bibliotek man vælgerat undersøge består i mange tilfældeaf grupper af beslægtede molekyler,som man ved modelstudier har enformodning om, indeholder en aktivkonstellation af atomer. En anden

Af: Merete Jørgensen,Funktionschef, Biostatistik,

Global Development, Novo Nordisk A/Semail: [email protected]

Matematisk Statistiks rolle iudviklingen af nye lægemidler!

Patient derinjicerer sigselv ved enNovoLet®

Novoinjektions-sprøjte anno1925

1719/03Statistik

metode er, at sprede nettet ud videstmuligt, og derved øge chancen for atfange interessante molekylstrukturer.Har man først identificeret et interes-sant område, kan man så gå nærme-re på jagt blandt beslægtede stoffer.Brug af statistiske metoder til stikprø-veudtagning kan i denne forbindelsebruges til at øge chancen for at findeinteressante nye lægemiddelkandida-ter uden brug af ekstra ressourcer ilaboratoriet.

Microarray og Bioinformatik ogetablering af videns-netværk

Området microarray og bioinfor-matik, hvor man søger at kortlæggestrukturer og indikatorer for muligevirkninger af det enkelte molekyle eri stærk fokus såvel i de bioteknologi-ske virksomheder, som på universi-teterne. Dette stiller de hidtidige sta-tistiske metoder og deres principperpå prøve. Der er ofte kun få genta-gelser, men mange mulige effektpa-rametre, man ønsker at betragte. Manhar derfor problemer med, at statisti-ske test indenfor den enkelte parame-ter har lav styrke (dvs. høj risiko forat overse selv rimeligt interessanteeffekter=høj risiko for type 2 fejl).Samtidig giver antallet af effektpara-metre, som undersøges, anledning til,at risikoen øges for, at se effekter, somikke skyldes en reel effekt, men somskyldes tilfældigheder (den såkaldtetype 1 fejl). Anvendelse af traditionel-le statistiske metoder kræver derforstor omtanke for ikke at ende i fejl-slutninger. Det er et område, hvor derfor tiden nationalt og internationaltarbejdes intenst på udvikling af nyemetoder.

Bioinformatik er et eksempel på etområde, hvor vi i Novo Nordisk Bio-statistik har etableret samarbejde meduniversiteternes statistiske forsk-

ningsmiljøer for, at skabe et netværkaf personer med forskningskompe-tencer, såvel som kendskab til denpraktiske problemstilling i laborato-rierne og behovet for udvikling afmetoder til at løse dem. Statistikerensrolle i industrien er ikke alene, at lø-se de matematisk statistiske problem-stillinger han/hun stilles overfor,men også selv eller i samarbejde medandre, at bidrage til udvikling af nyestatistiske metoder.

Et af de midler man fra Novo Nor-disk stiller til rådighed for at fremmesamarbejdet er Novo Nordisks Scho-larships, PhD, og Post-docs program-mer (se www.novonordisk.com klik’Science’ og derefter ’Academic Af-fairs’). Som led i de kontakter, der erskabt indenfor bioinformatik, fik enung statistik studerende for nyliggodkendt sit projekt under NovoNordisks Scholarship program tiløkonomisk støtte under sit speciale-studium inden for microarrays.

Eksempler fra Prækliniskudvikling

Dyreforsøg og EtikFør man er så langt, at man kan

gå videre og undersøge et nyt læge-middels virkning i mennesker, må detførst afprøves i dyr. På Novo Nordisksætter man firmaets etiske profil me-get højt, og statistikerens rolle i man-ge dyreforsøg er bl.a., at hjælpe medtil at optimere forsøgsdesign således,at man kun benytter præcis det nød-vendige antal dyr. Ikke så få, at stu-diet bliver inkonklusivt, og ikke såmange, at vi kunne have konklude-ret på basis af færre. Statistikerensrolle er i planlægningsfasen af studi-et at bidrage med etablering af et op-timalt forsøgsdesign, som sikrer, at

man bedst muligt opnår valide resul-tater fra de dyreforsøg man nødven-digvis må udføre. Senere i studiet erstatistikeren involveret i udførelsen afden statistiske analyse, rapporteringog udformning af konklusionen.

Eksempler fraProduktudvikling

Statistiske forsøgsdesignSideløbende med, at der skabes

viden og dokumentation for et nytlægemiddels virkning, foregår udvik-lingen af produktionsplatformen,produktets endelige sammensæt-ning, styrke, emballage, kvalitets-mæssige frigivelses grænser mv. Alledisse enkelt problemstillinger belysesog besluttes på basis af data og for-søgsresultater. Hvis man fx skal opti-mere udbytte fra mikroorganismer ien produktionstank, kunne man tæn-ke sig at undersøge indflydelse aftemperatur, pH, omrøringshastighedog forskellige tilsætningsstoffer. I enforsøgsopsætning til at undersøgeforskellige faktorers indflydelse påproduktionsudbytte, kan statistike-ren bidrage med optimering af forsø-gets design. Ved at benytte statistiskeprincipper i udvælgelsen af forsøgs-kombinationer vil man i nogle tilfæl-de kunne reducere et forsøgsdesignfra et fuldstændigt forsøg, hvor manfx undersøger 4 faktorers hver på 3niveauer (dvs i alt 3x3x3x3=81 mu-ligheder) til et reduceret set-up medfx 27 muligheder. En reduktion sva-rende til en besparelse på 2/3 af deressourcer, der skal bruges i labora-toriet til opsætning af et sådant for-søg, vel at mærke, hvor man stadigvil være i stand til at udtale sig omalle 4 faktorers effekter. Omkostnin-gerne er, at man ikke i alle tilfælde

InDuo®,blodglukosemålerog Innovo®injektionsdevicefra 2001

Microarrayanalyser

18 19/03 Tema

vil være i stand til at udtale sig omsamvirkningen af alle de faktorerman undersøger. Det er derfor vigtigti planlægningsfasen at være klar over,hvilke faktorer man ønsker at bestem-me, og det optimale forsøgsdesignfastlægges derfor i tæt samarbejdemellem produktionsafdeling og sta-tistikeren.

De kliniske afprøvninger

Myndighedernes rolleDen største del af dokumentati-

onsarbejdet før et nyt lægemiddel kanblive godkendt til markedsføring erden kliniske dokumentation. Myn-dighederne stiller krav om, at der imennesker føres dokumentation forvirkning og omfanget af evt. bivirk-ninger, hvordan stoffet optages ogudskilles i kroppen, hvordan det vir-ker i sammenhæng med andre læge-midler, som patienten måtte tage og,hvordan det virker i specielle patient-grupper. Kravet til dokumentation erenorm. Hvordan denne fremskaffesaftales i hvert enkelt tilfælde ved enløbende dialog med myndighederne.Hvor der er tale om et lægemiddel tildet globale marked, vil det sige i sam-arbejde med de europæiske (EMEA),de amerikanske (FDA) og de Japan-ske myndigheder (KIKO).

Statistikerens rolle i kliniske forsøger myndighedsbestemt

Som ved de dyreeksperimentelleforsøg er statistikerens rolle i relati-on til de kliniske forsøg, at være medtil at planlægge forsøgets udform-ning. Sørge for, at det er præcis detkorrekte antal patienter, der indgår(ikke for få og ikke flere end nødven-digt). Samtidig er der muligheder

igen for, at reducere forsøgets omfangi relation til de problemstillinger, detenkelte forsøg er planlagt til at afdæk-ke. I forsøgets protokol planlæggesnøje (i henhold til krav fra myndig-hederne) hvilke statistiske metoderog problemstillinger, der skal benyt-tes i det statistiske analysearbejde nårstudiet er færdigt. De statistiske me-toder skal adressere præcis de viden-skabelige hypoteser forsøget er sat opmed henblik på at afdække.

Der er en vigtig forskel i statisti-kerens rolle i kliniske studier udført imennesker og de dyre- eller labora-toriemæssige eksperimenter, og deter, at der fra myndighedernes side eropsat krav (indeholdt i de såkaldteGood Clinical Practice (GCP) guide-lines) om, at ethvert forsøg, hvori derindgår personer, skal følges fra plan-lægning, gennem udførsel, til analy-se og rapportering af en ansvarsha-vende statistiker.

Beslutning om dosering og nye ty-per af forsøgsdesigns

En type kliniske studier tilsigter atfinde den korrekte dosering af et læ-gemiddel. Lige præcis nok til at haveen rigtig god effekt, og lige præcisikke så meget at risikoen for bivirk-ninger bliver for stor. Traditioneltudføres studierne som dosis-respon-se forsøg, med fastlæggelse som of-test af en logistisk kurve for sammen-hængen. I denne type af studier for-skes der i nye former for studiede-signs, hvor man kan reducere det an-tal af patienter i forsøget, som får enfor lav hhv. for høj dosis, samtidigmed at man forsøger at fastlæggehvilken dosis, der er den bedste. Dis-se designs kaldes adaptive designs,og er studiedesigns, hvor man på for-hånd har fastlagt algoritmer for allo-

kerings ratio (dvs. forholdet mellemchancen for at den næste patient al-lokeres til de forskellige dosisniveau-er) afhængig af de resultater af studi-et, der kommer ind løbende.

Differential ligninger og brug af in-silico modeller

De studier, der foretages i den tid-ligste fase af de kliniske afprøvnin-ger har til sigte at afdække, hvordanlægemidlet optages, distribueres, vir-ker og påvirkes i kroppen. Disse stu-dier involverer ofte løsning af diffe-rential ligninger af mere eller mindrekompliceret art, hvor den matemati-ske statistik spiller en stor rolle. Derforskes pt. i brug af resultaterne fradisse tidlige studier til at simulere (in-silico studier) mulige forsøgsresulta-ter for de studier, der ligger senere iforløbet. In-silico studier vil forhå-bentlig kunne forbedre beslutnings-processen og hjælpe med til, at deforsøg, der sættes i gang initieres pået så solidt fundament, at studier,hvor risikoen for et inkonklusivt stu-die er høj, ikke påbegyndes.

Team-work og nødvendige kompe-tencer

Statistikeren i den farmaceutiskeindustri arbejder i tæt samarbejdemed personer fra en lang række afforskellige fagområder, herunderisær personer med medicinske og far-maceutiske kompetencer. Det eryderst vigtigt, at statistikerne besid-der ikke alene gode fagstatistiskekompetencer, men også, at de besid-der evnen til at indgå i et tæt tvær-fagligt samarbejde, og har evnen tilat kommunikere og oversætte oftesvært tilgængelige matematisk stati-

Insulinproduktions-tank

Forsøgs-kaniner

1919/03Statistik

stiske problemstillinger til den prak-tiske forsøgsproblematik.

De statistiske metoder drives afforsøgsomstændighederne og depraktiske problemstillinger. Der erbehov for, at statistikerne, er megetbredt funderet mht. kendskab til for-skellige metoder således, at der til denenkelte problemstilling benyttes præ-cis den metode, der i det givne tilfæl-de giver den bedste udnyttelse af deforeliggende data.

Man kan ikke forvente at nyud-dannede har lært alle de nødvendigemetoder. Derfor er evnen til at sættesig ind i nye metoder af endnu størrebetydning end det at have metoder-ne som paratviden.

Samarbejde medUniversiteter

Krav og metoder, der benyttes i rela-tion til lægemiddeludvikling, er un-der konstant forandring. Det er der-for nødvendigt hele tiden at være påforkant med udviklingen, nogle gan-ge endda selv at være med til at for-me den. I mange andre lande vel nokmest udtalt i USA, er det sædvanligtat universitetsansatte fungerer somkonsulenter for industrien, og de harså mange kontakter, at det i visse til-fælde har drevet deres videnskabeli-ge forskning inden for bestemte om-råder. Det er ikke en tradition vi har iDanmark i samme grad, alligevel erdet lykkedes at etablere et godt oggensidigt inspirerende samarbejdemellem en række danske universi-tetsinstitutter og Novo Nordisk in-denfor det statistiske fagområde.

Udover det allerede nævnte sam-arbejde omkring microarrays, sombl.a. er etableret i samarbejde med

Århus og Københavns Universiteter,har vi netop afsluttet et 2-årigt samfi-nancieret projekt mellem Ålborg Uni-versitet og Novo Nordisk A/S, hvor4 statistikere fra Ålborg Universitethar arbejdet på udvikling og afprøv-ning af nye statistiske metoder inden-for problemstilligner i relation til in-sulin og glukose omsætning hos dia-betes patienter. Ud af det, er der ikkealene kommet en række videnskabe-lige publikationer, men også et øgetkendskab til de problemstillinger viarbejder med i den farmaceutiske in-dustri. Det allerede etablerede forsk-ningssamarbejde vil naturligt fortsæt-te i forbindelse med den øgede erken-delse af interessante forskningshypo-teser. De problemstillinger, som grup-pen har arbejdet med, er endvidereanvendt i undervisningen af statistik-studerende, som derved tidligt i de-res studieforløb har opnået kendskabtil nogle af de problemstillinger, et jobsom anvendt statistiker i den farma-ceutiske industri ville kunne handleom.

Scholarships, PhD og Post-doc initiativ rækker helt tilgymnasierne

I samarbejde med gymnasielærere iFrederikshavn har Post-doc gruppensvejleder i Ålborg udarbejdet materi-ale, der vil udkomme på en CD-rom,som gymnasielærere i matematik vilkunne benytte i projektarbejde i de-res matematik undervisning. Hervedhåber vi, at det vil kunne skaffe yder-ligere interesse for at læse matema-tisk statistik, et fagområde, hvor derikke alene i Danmark, men på ver-densplan er alt for få uddannede set irelation til det kraftigt stigende behov.

Samarbejder både med DanmarksTekniske Universitet og KøbenhavnsUniversitet, for studerende, som un-der Erhvervsforsker initiativerne hareller er i gang med at fuldføre en PhDgrad, har været en stor succes. I defleste tilfælde har det område, de harvalgt at koncentrere sig om underderes PhD uddannelse sit udspring iproblemstilligner, de har arbejdetmed og erfaret om i deres arbejde,som statistiker på Novo Nordisk. For-delene set fra Novo Nordisks side er,ikke alene det, at der arbejdes på atløse en problemstilling direkte rela-teret til et identificeret behov, men ilige så høj grad den synergistiske ef-fekt, der opnås gennem samarbejdetmellem de forskningsorienterede vej-ledere på universiteterne og de merepraktisk orienterede vejledere fraNovo Nordisk.

Samarbejdet har vist sig frugtbart,hvor forskere på Universiteterne erblevet inspireret til forskning inden-for områder de måske ikke tidligerehavde kendskab til, og hvor de medderes faglige kompetencer har kun-net løfte problemstillingen til et langtmere generelt niveau. I undervisnin-gen har problemstillingerne kunnetbruges til, at illustrere en række me-toders praktiske anvendelighed, no-get mange af de studerende sætterstor pris på. Set fra Novo Nordisksside, har man opnået en løsning påvigtige problemstillinger, og forhå-bentlig bidraget til, at endnu flere vilvælge at specialisere sig i matematiskstatistik og vælge at arbejde i inden-for et spændende område, hvor Dan-mark er med helt i front.

Arbejde iforsknings-laboratorium

Underskriftaf Post-docsamarbejds-aftalen

20 19/03

1. Perspektivlærensopdagelse og udbredelse

Perspektivlærens opdagelse i begyn-delsen af 1400-tallet tilskrives almin-deligvis Filippo Brunelleschi (1377-1446), arkitekten bag den vidunder-lige kuppel på Domkirken i Firenze -og bag mange andre bygninger i by-en. På rent empirisk grundlag ud-bredte Brunelleschi sin metode til atgive et todimensionalt billede en il-lusion af tredimensionalitet, og handemonstrerede i praksis sin metodeseffektivitet og anvendelighed på enså slående og overbevisende måde, atsamtidens kunstnere omgående ogbegejstret tog metoden til sig1.

I de følgende århundreder udvik-ledes gradvist det teoretiske grund-lag for perspektivlæren2, idet kunst-nernes teoretiske og praktiske indsigtsnart nåede et sådant niveau, at manikke blot fremstillede perspektiviskkorrekte billeder i stor mængde, menogså hurtigt fik overskud til at lege:først med fremstilling af anamorfoser3,senere med konstruktion af perspek-tivkasser4.

2. Hvad er enperspektivkasse?

Fremstillingen af perspektivkasservar et populært, men kortvarigt fæ-nomen, der kunne iagttages i Hollandi årene ca. 1650-75. Følgende skildringaf englænderen John Evelyn, der i1656 så en perspektivkasse i London,illustrerer emnets fascinationskraft påsamtiden, og beretningen antydersamtidig, hvad en perspektivkasse er:“... was shew’s me a pretty Perspective& well represented in a triangular Box,the greate Church of Harlem in Holland,to be seene thro a small Hole at one of theCorners, & contrived into a hansom Ca-binet. It was so rarely don, that all the

Artists and Painters in Towne, cameflocking to see & admire it”5.

Den mest raffinerede af de beva-rede perspektivkasser skyldes Samu-el van Hoogstraten (1627-78), der ef-ter endt læretid i Rembrandts værk-sted udviklede sig til at blive en sandmester i illusionstisk kunst, og somhurtigt kom til at udføre opgaver foradskillige af Europas fyrstehoffer.Van Hoogstratens perspektivkasse erafbildet på bagsiden af dette nummeraf Matilde. Af billedet samt af Eve-lyn’s beskrivelse fremgår, at en per-spektivkasse er en trækasse, hvis in-dre er bemalet, så iagttageren ople-ver en fascinerende kombination afvirkelighed og illusion. Kassens indrekan i dag iagttages gennem en størreåbning i en af dens vægge, men det,man ser herigennem, virker stærktforvrænget. Åbningen er nemlig ik-ke beregnet til at se igennem: oprin-delig var den dækket med gennem-skinneligt pergament, som lod lyskomme ind, men holdt nyfigne blik-ke ude. Iagttageren skal derimod segennem et af de to kikhuller, som er

anbragt i endepanelerne. Gør mandet, opleves et livagtigt hollandsk1600-tals interiør med borde, stole,personer og sågar en lille hund. Meni kraft af den perspektiviske bemalingpå vægge, loft og gulv fremtræderlokalet som længere, bredere og hø-jere, end det i virkeligheden er. Ja,nogle af de andre kasser ser endda udtil at være rektangulære, selv om de ivirkeligheden er enten trekantede el-ler femkantede (se rammen Bevaredeperspektivkasser).

Det er værd at bemærke, at dissehollandske perspektivkasser er alde-les tomme, og at den illusionistiskeeffekt fremkommer alene i kraft af deperspektivisk tilrettelagte bemalingeraf det indre. Den perspektivkasse, deromtales i Oehlenschlägers (1779-1850) Sanct Hansaften-spil, og som vivel alle har hørt om, er derimod af enhelt anden type: ifølge digtets teksten miniature-teaterscene med udskif-telige kulisser, som tillader sceneskift.Det er formentlig denne senere per-spektivkassetype, der kan ses på ma-lerier af Jens Juel (1745-1802):

Perspektivkasserog matematik

Af: Claus JensenHarrildvej 41, 9240 Nibe


BEVAREDE PERSPEKTIVKASSER

Sted

Datering

Form

Antal

kikhuller

Motiv

Kunstner

Nationalmuseet København

1655-1660

1

En reformert kirke

Anonym

Nationalmuseet København

ca. 1660

1

En katolsk kirke

Anonym

Nationalmuseet

København

1665-1670

1

Et hollandsk

vorhuis

Anonym

Bredius Museum

Haag

1670-1675

1

Et hollandsk

vorhuis

Anonym

Detroit Institute

of Arts

1663

1

Et stort lokale

Anonym

National Gallery

London

1655-1660

2

Det indre af et hollandsk hus

Samuel van Hoogstraten

2119/03

Nächtliche Strassenszene auf demBerg in Hamburg fra 1764, nu på Mu-seum für Hamburgische Geschichte,Hamburg, og af Christian August Lo-rentzen (1749-1828): Mand og børn medperspektivkasse, Museet på SønderborgSlot, Sønderborg.

3. Centralprojektioner

I Holland fremstilledes i den nævntekorte periode ca. 1650-75 talrige per-spektivkasser, hvoraf i dag desværrekun seks er bevaret, se rammen: Be-varede perspektivkasser6.

Det beskedne antal til trods, ervidt forskellige former heldigvis re-præsenteret: tre trekantede (heraf énretvinklet og to spidsvinklede), to fir-kantede og en enkelt femkantet. Uan-set formen er de imidlertid alle kon-strueret ved en elegant kombinationaf et antal centralprojektioner, der harfælles øjepunkt, men forskellige bil-ledplaner.

Figur 1 illustrerer, hvordan en lutpunkt for punkt afbildes perspekti-visk vha. en centralprojektion, her iAlbrecht Dürers kunstneriske frem-

stilling fra 15257: en øsken på væggentil højre repræsenterer øjepunktet, ogtrærammen på bordet udgør billedpla-nen. Et lærred er vha. hængsler mon-teret på rammen, således at lærredetkan åbnes og lukkes i forhold til den-ne. Hjælperen tv. har valgt et punktpå lutten, og punktets synsstråle errepræsenteret ved en snor, som erudspændt fra øsken til punkt. På ram-men er monteret et bevægeligt tråd-kors, som kunstneren th. indstiller,

således at trådkor-sets kryds markererskæringspunktetmellem synsstrålenog billedplanen.Derpå fjernes sno-ren, lærredet lukkesi, og trådkorsets po-sition overføres medkul e. lign. til en prikpå lærredet. Hermed

er det valgte punkt projice-ret på billedplanen, så lær-redet kan åbnes, hjælperenkan vælge et nyt punkt,snoren udspændes, og heleprocessen gentages. På lær-redet fremtoner allerede etbillede af lutten, så de toherrer har åbenbart været igang med arbejdet i et styk-ke tid.

Samme snoreprincip eranvendt i det pædagogiskeperspektivinstrument på fi-gur 2, blot udgår der her fraøjepunktet (stolpespidsen iforgrunden) ikke én, menmange snore til udvalgtepunkter i motivet bag bil-ledplanen.

Udspænding af snore erimidlertid langsommeligt.Det er langt hurtigere at la-de lysstråler repræsenteresynsstrålerne, sådan somdet sker på figur 3.

Figuren illustrerer Plini-us den Yngres (23-79 e. Kr.)beretning om, hvordan ma-lerkunsten og terrakotta-

kunsten opstod i Grækenland8:“Hvornår maleriet er opstået er usikkert,og det falder uden for dette værks ram-mer at drøfte spørgsmålet...Nogle mener,at det opstod i Sicyon andre i Korinth,men alle er enige om, at det tog sin be-gyndelse med at man tegnede et omridsefter en persons skygge, og billeder i star-ten lavedes således...Samme jord varskyld i, at Butades, en pottemager fra Si-cyon som den første begyndte at lave por-

Figur 1Illustration i Albrecht Dürer: Unterweisungder Messung, Nürnberg 1525.

Figur 2Instrument (defekt) til demonstration af encentralprojektion, Musée des Arts et Métiers, Paris.

Figur 3J.E.Hummel: Die Erfindung der Zeichenkunst,kridttegning o. 1830, Staatliche Museen zuPreussischer Kulturbesitz.

22 19/03

trætter i ler takket være sin datter. Hunvar forelsket i en ung mand, og da hanskulle rejse udenlands, tegnede hun påvæggen et omrids af det skyggebillede,hans ansigt ved lampelysets hjælp kaste-de på væggen...” Her optræder altså encentralprojektion, hvor øjepunktet re-præsenteres af den olielampe, derhænger midt i pottemagerværkste-det, og hvor billedplanen er væggentil venstre. Men samtidig hermed pro-jiceres alle værkstedets objekter jo påfire andre billedplaner, nemlig værk-stedets højre væg, bagvæggen, loftetog gulvet. Der er altså ligesom i enperspektivkasse tale om et antal cen-tralprojektioner, der har fælles øje-punkt, men forskellige billedplaner.

4. Samuel van Hoogstratensperspektivkasse

Samuel van Hoogstratens perspektiv-kasse befinder sig på National Galle-ry i London. Den er indvendigt 77,9cm lang, 51,2 cm bred og 52,4 cm høj.Den er signeret, men ikke dateret, ogden har i modsætning til de andre be-varede kasser hele to kikhuller, et ihvert endepanel, placeret lige over forhinanden, i endepanelets sammenføj-ning med frontpanelet. Da intet bil-lede kan iagttages perspektivisk kor-rekt fra to forskellige øjepunkter,skulle man tro, at to kikhuller ville

medføre problemer. Af det følgendevil fremgå, hvordan van Hoogstratenhar løst en sådan latent konflikt.

Figur 4 viser de to endepanelernedlagt i bagvæggens plan. Som detses, er bagvæggen og venstre ende-panel forsynet med et illusionistisk fli-segulv. Kassens bund, som skimtes pådette Matilde-nummers bagsidebille-de, og som er gengivet på figur 5, erderimod forsynet med et virkeligt fli-segulv.

4a Venstre endepanel:

Venstre endepanels illusionistiske fli-ser er konstrueret på følgende måde:På figur 5 markerer Billedplan 1 denaktuelle billedplan. De (usynlige) lin-jer gennem flisernes hjørner, som gåri kassens længderetning, er ortogona-ler i forhold til Billedplan 1. Opfatteshøjre kikhul som punktformigt, vilcentralprojektionen med dette punktsom øjepunkt projicere ortogonaler-ne i linjer, som konvergerer i pane-lets hovedforsvindingspunkt VH .Som bekendt fremkommer hovedfor-svindingspunktet ved at projicere øje-punktet vinkelret på billedplanen (serammen Om perspektivlærens grundbe-greber), og da hullerne som nævnt eranbragt diametralt over for hinanden,så har projektionen fra højre kikhulmod venstre endepanel netop sit ho-

vedforsvindingspunkt beliggende ivenstre kikhul! Det hele bekræftes afde fuldt optrukne hjælpelinjer, sompå figur 4 er indtegnet på venstre en-depanel: linjerne gennem de illusio-nistiske flisers hjørner konvergererfaktisk i det venstre kikhul. På figur5 danner flisernes sider rette linjer,som skærer Billedplan 1 under vink-ler på 45°. Ved centralprojektionenprojiceres de to sæt sider derfor i ret-te linjer, som konvergerer i distance-punkterne -

VD og +VD , som begge fal-

der uden for endepanelet. På figur 4ses netop, at de punkterede linjer, derindeholder det ene sæt flisesider, vir-kelig har et fælles punkt -

VD , der idenne udfoldede version netop fal-der på en af bagvæggens dørpaneler.Det andet sæt sider konvergerer til-svarende i det andet distancepunkt

+VD , som ikke er vist, da det ligger

uden for figurens venstre kant.Længden af linjestykket fra VH til -

VDudgør centralprojektionens distance,altså afstanden fra øjepunktet til bil-ledplanen, i dette tilfælde det sammesom kassens længde. På figur 4 kandet kontrolleres, at linjestykket fra VHtil -

VD virkelig har samme længdesom bagvæggen!

På figur 4 udgør forbindelseslin-jen mellem de to kikhuller de tre pa-nelers horisontlinjer, ved endepane-lernes nedlægning anbragt i hinan-dens forlængelse. De tre paneler in-deholder i alt fire hovedforsvindings-punkter (se figur 7) og otte distance-punkter, som alle ligger på denne“fælles” horisontlinje. To af distance-punkterne falder dog uden for figu-ren, og visse af de resterende 12 punk-ter er sammenfaldende, se nedenfor.

4b Højre del af bagvæggen:

De illusionistiske fliser på bagvæg-gens højre del er konstrueret således:På figur 5 angiver Billedplan 2 dennu aktuelle billedplan. Denne del af

Figur 4Samuel van Hoogstratensperspektivkasse (NationalGallery, London): de toendepaneler nedlagt ibagvæggens plan.

Figur 5Tegning af de virkelige fliseri bunden af Samuel vanHoogstratensperspektivkasse.

2319/03

bagvæggen kan i praksis kun iagtta-ges fra det venstre kikhul, som altsåer øjepunkt for den nu aktuelle cen-tralprojektion. De usynlige linjer, sompå figur 5 går gennem flisernes hjør-ner, og som peger i kassens bredde-retning, er ortogonaler i forhold tilBilledplan 2. Ortogonalerne afbildesved centralprojektionen i linjer, derkonvergerer i projektionens hoved-forsvindingspunktet BH , og dettefremkommer som sædvanligt ved atprojicere øjepunktet vinkelret ind påbilledplanen(s forlængelse). Da kas-sen er rektangulær, må BH såledesligge i sammenføjningen mellem deto paneler, og som nævnt på horisont-linjen. Dette bekræftes af, at horisont-linjens skæringspunkt med panel-sammenføjningen iflg. figur 4 virke-lig vha. rette linjer kan forbindes medhjørnerne i de illusionistisk maledefliser. Disse forbindelseslinjer kanmeget vel være tegnet vha. af tyndesnore fastgjort til en stift anbragt ipunktet BH . I omegnen om dettepunkt ses faktisk et antal små huller,som tyder på, at stifter har været fast-gjort her9.

På figur 5 ligger siderne i bund-ens virkelige fliser på to sæt rette lin-jer, der skærer Billedplan 2 under vink-ler på 45°. Bagvæggens to tilsvaren-de sæt illusionistiske flisesider, hvor-af det ene sæt på figur 4 er markeretmed punkterede rette linjer, konver-gerer derfor i billedplanens to distan-cepunkter -

BD og +BD , beliggende på

horisontlinjen, symmetrisk på hverside af BH . Det kontrolleres let, at di-stancen - afstanden fra BH til -

BD (el-ler til +

BD ) - virkelig er lig afstandenfra det aktuelle øjepunkt til billedpla-nen, i dette tilfælde det samme somkassens bredde. De tre linjebundter,som konvergerer i hhv. +

BD , BH og -BD

svarer i øvrigt netop til en figur iMalton10, her gengivet som figur 6.Van Hoogstratens fliser på figur 4fremtræder dog en del mere “forvred-ne” end Maltons.

4c De øvrige paneler:

Tilsvarende analyser vedr. perspek-tivkassens øvrige paneler, herunderkassens gulv og loft, viser, at bema-lingen af det indre er foretaget pågrundlag af i alt 8 centralprojektioner,

fire og fire med fælles øjepunkt,men med forskellige billedplaner.Figur 7 viser beliggenheden af de8 hovedforsvindingspunkter. Ek-sempelvis er møblers - og måskehundens - virkelige ben ortogona-ler i forhold til gulvets plan. Dedele af benene, som er malet illu-sionistisk på gulvet, konvergererderfor mod et af gulvplanens to ho-

vedforsvin-dingspunk-ter. Tilsvarendehar loftet to illu-sionistiske gen-givelser af ind-rammede male-rier. De vertika-le dele af et vir-keligt billedesramme er medtilnærmelse or-togonaler i for-hold til loftetsplan. Derforkonvergerer de

tilsvarende illusionistiske dele aframmen tilnærmelsesvis mod et afloftets hovedforsvindingspunkter. ICole11, hvor samtlige paneler er gen-givet - i korrekt indbyrdes placering,men desværre i uens målestoksfor-hold - kan man kontrollere, at det vir-kelig forholder sig på denne måde.

Loftets to illusionistiske malerieri ramme bevirker, at rummets højredel ser højere ud, end det i virkelig-heden er. Rummets venstre del harderimod ikke en sådan effekt. Teore-tisk set burde der således kunne iagt-tages en konflikt mellem loftets todele. Men i praksis er konfliktenusynlig, fordi man fra hvert kikhulkun kan se den del af loftet, som erlængst væk. Tilsvarende bemærkerman heller ikke den teoretiske kon-flikt mellem bagvæggens to konflikt-ende systemer af illusionistiske fliser:Samuel van Hoogstraten har på ele-gant vis ladet en stol, en pude og encirkulær måtte camouflere den laten-te konflikt.

Som nævnt er der sammenfaldmellem visse af de mange hovedfor-svindingspunkter og distancepunk-

ter på den fælles horisontlinje på fi-gur 4. Figur 8 viser et vandret snitgennem kassens kikhuller. Figurenviser også nedlægningen af venstreendepanel (og dets forlængelse) i bag-væggens plan. Det fremgår heraf, at

VH - som allerede nævnt - ved ned-lægningen falder i +

BD , og da linjenfra højre kikhul til punktet -

VD skæ-rer venstre endepanel under en vin-kel på 45°, så vil denne linje ligele-des skære bagvæggen under en vin-kel på 45°. Dette skæringspunkt eraltså et af distancepunkterne for dendel af bagvæggen, som kan ses frahøjre kikhul, og skæringspunktet fal-der åbenbart sammen med nedlæg-ningen af -

VD . Tilsvarende sammen-fald optræder mellem andre af for-svindingspunkterne på den fælles ho-risontlinje.

Figur 6Illustration i Thomas Malton: A Compleat Treatise ofPerspective, London 1778: plate XII fig. 58 no. 1.

Figur 7De 8 hovedforsvindingspunkteri Samuel van Hoogstratensperspektivkasse. Tegning:Jimmy Klitgaard.

Figur 8Nedlægning af venstreendepanel og detsforlængelse.

24 19/03

5. Konstruer din egenperspektivkasse

Af ovenstående fremgår, at væggenesillusionistiske fliser kan konstrueres,så snart følgende valg er truffet:

· kassens form og dimensioner· placeringen af kikhul(ler)· gulvets virkelige fliser

Figur 9 viser geometrien i en ud-foldet version af en moderne rektan-gulær perspektivkasse med ét kikhul,hvor det manglende låg fungerer somlysindtag. Kassen er konstrueret vha.geometriprogrammet Geometer’sSketchpad. Hvis figuren kopieres,klippes ud og foldes, kan man let for-visse sig om, at illusionen er særde-les virksom. På tilsvarende måde kanman konstruere perspektivkasser,som er trekantede, femkantede osv.Prøv selv, og god fornøjelse!12

NOTER:

1 Frandsen pp. 58-60, Zeeman.2 Andersen 1993, Andersen 2004, Frandsen pp. 50-77, Vestergaard pp. 7-

8.3 Andersen 1996, Elffers, Schuyt, Leeman, Baltrusaitis4 Koslow, Brusati pp. 169-217, Koester pp. 276-285, Ebert-Schifferer pp.

272-277, Cole pp. 36-37, Elffers, Schuyt, Leeman pp. 69-97, Andersen2004

5 Brown, Bomford, Plesters, Mills p. 626 I skrivende stund kan størstedelen af de seks bevarede perspektivkas-

ser ses på følgende internetadresser:København:http://www.kunstkammer.dk/Schilderi/genstande_schilderi_lit.asp?ID=132http://www.kunstkammer.dk/Schilderi/genstande_schilderi.asp?ID=247Haag:http://www.museumbredius.nl/schilders/elinga.htmDetroit:http://www.dia.org/collections/euroart/dutch/35.101.htmlLondon:http://www.nationalgallery.org.uk/cgi-bin/WebObjects.dll/CollectionPublisher.woa/wa/work?workNumber=NG3832

7 Dürer p. Q iii8 Plinius pp. 7 og 429 Oplysning meddelt af museumsinspektør David Bomford, National Gal-

lery, London10 Malton plate XII fig. 58 no. 111 Cole pp. 36-3712 Denne artikel er en revideret version af et foredrag holdt i 1995 på Insti-

tut for Videnskabshistorie, Aarhus Universitet. Tak til Kirsti Andersen ogde tilstedeværende studerende for kritik, som forbedrede min indsigt iemnet.

LITTERATUR:

Andersen 1993

Kirsti Andersen: Geometrien bag perspekti-vet, Matematiklærerforeningen 1993.

Andersen 1996

Kirsti Andersen: The Mathematical Tre-atment of Anamorphoses from Piero del-la Francesca to Niceron,

History of Mathematics: States of the Art,New York 1996.

Andersen 2004

Kirsti Andersen:

The Geometry of an Art. The History of theMathematical Theory of Perspective from Al-berti to Monge, Springer Verlag, New York,under udgivelse - formentlig i 2004.

Baltrusaitis

Jurgis Baltrusaitis:

Anamorphic Art, Cambridge 1977.

Figur 9Udfoldet perspektivkasse konstrueretmed programmet Geometer’sSketchpad.

Brown, Bomford, Plesters, Mills

Christopher Brown, David Bomford,Joyce Plesters og John Mills: Samuel vanHoogstraten: Perspective and Painting,National Gallery Technical Bulletin, 11 (1987)pp. 60-85.

Brusati

Celeste Brusati: Artifice and Illusion. TheArt and Writings of Samuel van Hoogstra-ten, Chicago & London 1995.

Cole

Alison Cole: Perspektiv, København 1997.

Dürer

Albrecht Dürer: Unterweisung der Mes-sung, 1. udgave: Nürnberg 1525, facsimi-leudgave: Nördlingen 1983.

2519/03

Ø

F

Perspektivlærens mest fundamentale egenskaber, at en centralprojektion afbilder ethvert bundtaf parallelle linjer fra det 3-dimensionale rum iet plant linje-bundt, som har etpunkt fælles - pa-rallelbundtets så-kaldte forsvin-dingspunkt. Det erher og i det føl-gende naturligvisen forudsætning,at de optrædendeparallelbundteralle består af så-kaldte frontlinjer,dvs. linjer, som skærer billedplanen.

Figur (i) illustrerer situationen: Centralpro-jektionen med øjepunkt Ø afbilder et parallel-bundt af frontlinjer i et plant linjebundt medpunktet F som fællespunkt.

Det er let at indse, at parallelbundtets for-svindingspunkt F kan bestemmes som skæ-ringspunktet mellem billedplanen og en hjæl-pelinje, der går gennem øjepunktet, og som erparallel med linjerne i parallelbundtet.

Hvis parallelbundtet specielt består af orto-gonaler, dvs. linjer, der er vinkelrette på billed-planen, så er den nævnte hjælpelinje jo ogsåvinkelret på billedplanen. Ortogonalernes for-svindingspunkt, det såkaldte hovedforsvindings-punkt, er derfor øjepunktets vinkelrette projektionpå billedplanen.

Endvidere er det klart, at ethvertvandret parallelbundt har sit forsvin-dingspunkt liggende på den vandret-te linje i billedplanen, som går gennemhovedforsvindingspunktet. Dennelinje er horisontlinjen.

Blandt de vandrette parallelbund-ter er der to, som er vigtigere end alleandre, nemlig de to, som danner envinkel på enten +45° eller -45° medbilledplanens normaler. De to tilsva-rende forsvindingspunkter er de så-kaldte distancepunkter, der altså liggerpå horisontlinjen, symmetrisk om-kring hovedforsvindingspunktet.

Figur (ii) viser billedplanen set “fraoven”. H er hovedforsvindingspunktet,

+D og -D de to distancepunkter.

OM PERSPEKTIVLÆRENSGRUNDBEGREBER

Figur (i)

Figur (ii)

Normal

+45° -45°

Ø

D D -+ H

Ebert-Schifferer

Sybille Ebert-Schifferer et al.:

Deceptions and Illusions. Five Centuries ofTrompe l’Oeil Painting, Washington 2002.

Elffers, Schuyt, Leeman

Joost Elffers, Michael Schuyt og Fred Le-eman: Anamorphosen. Ein Spiel mit derWahrnehmung, dem Schein und der Wirkli-chkeit, Köln 1981.

Frandsen

Jesper Frandsen: Ind i perspektivet, Systi-me 1994.

Koester

Olaf Koester et al.: Blændværker. Gijsbrechts- Kongernes Illusionsmester, København1999.

Koslow

S. Koslow: “De wonderlijke Perspectyf-kas”. An Aspect of Seventeenth CenturyDutch Painting, Oud Holland, 82 (1967)pp.33-56.

Malton

Thomas Malton:

A Compleat Treatise of Perspective, London1778.

Plinius

Gaius Plinius Secundus: Græsk-RomerskKunsthistorie. Malerkunsten og Terrakotta-kunsten, oversat af Jacob Isager, Odense1978.

Vestergaard

Erik Vestergaard: Matematik i perspektiv,Abacus 1995.

Zeeman

Christopher Zeeman: Geometry and Per-spective, Videofilm produceret af The Ro-yal Institution of Great Britain in associa-tion with The Department of Educationand Science, BBC Milton Keynes 1986.

26 19/03

3. del

Verden Rundt med Rejselegatet(fortsat fra Matilde 18)

Tilbageblik mod Californien

D. 8 april fløj Gitte og jeg fra Los An-geles til Tokyo og nu har vi så efter-hånden været tre uger her i Japan. Dethele er nyt, spændende og meget an-derledes end USA, som man kunneforvente. Her prøver vi, hvad det vilsige at være fremmed, i forhold tilUSA hvor vi lettere passede ind imængden. Fra den anden side af Stil-lehavet ser vi tilbage mod Californi-en og husker et mangfoldigt, mærk-værdigt og smukt sted, som vi komtil at holde af.

Venice er en helt speciel del af LosAngeles. En bydel hvor der er pladstil alle, fra hjemløse til stenrige ver-densstjerner som Eric Clapton, derhar et stort hus, en spyklat fra hvorvi boede. Som LA generelt er kvarte-

ret præget af lav bebyggelse. Men imodsætning til en stor del af byen erder ganske smukt og hyggeligt medmange særprægede træhuse og vildt-voksende haver ud til smalle gyder.Blomsterduften i disse gyder er etindtryk, der varer ved. Her bagefterer vi glade for, at det var i Venice vivalgte at bo, fremfor en mere centrallokation, tættere på UCLA.

Besøg i naturen

At Californien er et attraktivt stedblev understreget af, at vi havde be-søg i tre omgange. I januar var detvores venner Malene og Lars, derkom forbi. Min mor og hendes mand

kom i februar, og i marts var det såmin far og hans kone. Det var anled-ning til at bryde ud af hverdagen ogkomme ud at se noget af den fanta-stiske natur, Californien har at bydepå. Naturen er så mangfoldig og vidt-spændende, at ordet fantastisk næ-sten er en underdrivelse. Her vil jegblot fra vest mod øst nævne den vil-de kyststrækning Big Sur mellem LAog San Francisco, Yosemite Dalen i desneklædte Sierra Nevada bjerge ogDeath Valley på den anden side afbjergene, et af de varmeste og golde-ste steder på Jorden. Dette er blot treaf de mere kendte naturperler i Cali-fornien, der har mange andre skøn-ne og mindre berømte naturområderat byde på.

Malene og Larsved Big Sur

2719/03

Af: Simon Lyngby Kokkendorff Department of Mathematics,

National University of Ireland, Maynoothemail: [email protected]

Natur var ikke noget, jeg på for-hånd havde forbundet med Califor-nien og måske især ikke med LosAngeles. Men det er i alllerhøjestegrad ændret. Selv ganske tæt på by-en findes naturområder, der er så vil-de og uberørte, at der lever bjørne ogpumaer. For en naturelsker er der etstort og indbydende tag-selv bord,som det blot kræver en smule tålmo-dighed med LA’s heftige trafik at nå.

Omtrent 45 minutters kørsel fraVenice, nordpå langs kysten, fandtGitte og jeg et smukt lille naturreser-vat, hvor vi tog ud at gå et par gange.Ved indgangen til parken hænger etskilt, der advarer om tilstedeværelsenaf pumaer. Noget der kun var medtil at gøre oplevelsen større, selv om

vi aldrig mødte nogen. Til gengældhavde vi en anden spændende ople-velse en dag på vej dertil. Vi er stop-pet ved vejsiden for at betragte en storflok surfere ved en strand, der åben-bart har særligt gode bølger. Jeg sid-der og tænker, at surferne på afstandligner en masse udgaver af den sam-me sporty, unge mandsperson, pga.de identiske bevægelser og våddrag-ter, da Gitte pludseligt udstøder etskrig. Det skyldes tilsynekomsten afflere sorte finner, der dog viser sig attilhøre delfiner og ikke hajer. Frastranden i Venice så Gitte og jeg se-nere ved flere lejligheder flokke afdelfiner lege i bølgerne. I det hele ta-get myldrer havet ud for LA med liv.Bøjerne ud for den kæmpestore havn

er fyldt med søløver, der soler sig udeaf det kolde vand.

Afsked med Blue

Henimod slutningen af vores opholdi LA var det tid til at skille sig af meden gammel ven, vores trofaste bilBlue, der problemfrit havde ført osigennem alskens terræn. Det er særtog irrationelt, som man kan knytte sigtil en samling metal, som en bil jo er.Det er nok fordi man, som Sarunas,en af bofællerne fra Maryland, be-mærkede, projicerer sine urgamleforestillinger om hesten over på sitkøretøj.

Søløver i LA

28 19/03

Ihvertfald var det vemodigt at ef-terlade Blue i hænderne på en brugt-vognsforhandler, et besynderligt ogikke særligt tiltalende folkefærd. Vihavde en ubehagelig oplevelse medet par af dem. Nogle unge knægte,der startede med at rakke bilen ned,for derefter nærmest at true os til atsælge for 500$. Jeg blev ved med høf-ligt at afvise, men de insisterede, ind-til Gitte hidsede sig op og skældtedem huden fuld. Jeg tror, de var lige-så rystede som os bagefter!

Opsamlende tanker omStaterne

Opsamlende må vi sige, at tiden i LosAngeles var virkelig god og bød pårigeligt med muligheder for os beg-ge. For mig var det glimrende at be-søge UCLA og Gitte nød godt af LA’smange kunstmuseer og gallerier.

Der er mange af de negative for-domme, som europæere har om USA,der holder stik. Den amerikanskekultur er en heksekeddel, der udspy-der alt lige fra det hæsligste og dum-meste til det mest smukke og genia-le. Til trods for alt det, man kan rettevelbegrundet kritik imod, er der me-get i den amerikanske kultur, som vihåber at ha’ fået en vedvarende ind-sprøjtning af. Det er for eksempel enåbenhed og frihed, der bl.a. kommertil udtryk i kunsten, som ikke er tyn-get af samme højtidelige forhold tilhistorien som i Europa. Det er ogsåen hårdførhed, der nok kommer aflandets størrelse og naturens vildskabog som måske har varet ved siden

pionertiden. Og så er USA så sam-mensat og multietnisk, at det somdansker er imponerende, at opleveat det kan fungere; ihvertfald i om-råder som f.eks.Venice.

Japan

Nu er vi så i Shinmatsuda, en min-dre by ca. 80 km syd for Tokyo ogca. 10 km fra Tokai universitetet, derer mit faglige tilhørssted her i Japan;det er noget af en omvæltning. Efterat have krydset datolinien landedevi tirsdag d. 9 april i Narita, Tokyosinternationale lufthavn. Vi tilbragtefire dage i Tokyo og forsøgte at hol-de dampen oppe og favne den ja-panske kultur. Et første overrasken-de indtryk, vi fik ved at vandre rundti gaderne, var hvor supertrendyTokyos ungdom er, selv i sammen-ligning med hvad vi havde opleveti LA. Vi følte os en smule som ucivi-liserede barbarer og håbede blot, atjapanerne, til trods for rygtet, ikkeså os sådan!

Vi var matte af jetlag og måskeogså mættede af indtryk og glæde-de os lidt til om lørdagen, hvor Ta-naka ville hente os. Tanaka er voreskontakt her i Japan og han har væ-ret meget hjælpsom og imødekom-mende. Om lørdagen kom han så oghentede os i Tokyo og sørgede for,at vi kom til rette i lejligheden, somhan havde fundet til os i Shinmats-uda.

Lejligheden er ganske fin og no-get større, end vi havde forventet. Vibor meget japansk, her er for eksem-

Gitte i Shinjuku

pel ingen stole, så vi sidder på puderpå gulvet; i længden ret hårdt forusmidige danske ben! Der er udsigt tilskovklædte bjerge, hvor man forestil-ler sig at små aber betragter en fra træ-kronerne, som i et maleri af LauraOwens (en ung LA kunster, som Gitteblev vild med). På en klar dag har manpå vej til stationen udsigt til Fuji, dersneklædt og ærefrygtindgydene ragerover alle de andre bjerge. Men de al-lerfleste dage skjuler det enorme keg-leformede bjerg sig i disen.

Allerede nu har vi lært meget nytom Japan og japanerne. Som noget heltkonkret kan jeg nævne forholdet tilmad. Efterhånden ved de fleste nok,at det japanske køkken er kreativt, so-fistikeret og at æstetikken er i højsæ-det. Men vi er overraskede over, hvoralvorligt mad og madlavning tages.Det nærmer sig et religiøst forhold, derfylder meget i den gennemsnitlige ja-paners dagligdag. Og det ser vi somnoget positivt, der står i kontrast tilUSA, hvor madlavning og gode råva-rer også bliver værdsat og dyrket, menmere som en subkultur, på linje medandre subkulturer. Det tegner til at bli-ve en spændende og indholdsrig tidher i Japan...

Om det faglige

Peter Petersen, der var min kontakt påUCLA, var som alle andre, jeg harmødt på den matematiske del af rej-sen, åben og imødekommende. Vi hav-de nogle udmærkede diskussioner ogdet viste sig, at vi havde en fælles in-teresse indenfor Lorentz geometri. Deter et emne, der står mit hjerte nært,

2919/03

På vej til stationen i Shinmatsuda, Fujii baggrunden

men som jeg ikke har arbejdet kon-centreret med i længere tid, så nogleaf detaljerne er lidt uklare i hukom-melsen. Vores samtaler var også me-re overordnede og mundede ikke udi noget konkret. Min anden kontaktpå UCLA, Robert Greene, som jeghavde mødt tidligere i Danmark, eren meget travl mand, som alle medadministrative pligter i matematik-verdenden, og desværre fik jeg kunsnakket med ham en enkelt gang.

Det er småt med pladsen på detmatematiske institut på UCLA, så jegfik ikke noget kontor, men dog ad-gang til bibliotek, læserum og com-puter. Det, sammenholdt med attransporttiden til UCLA pga. trafik-ken kunne nærme sig en time, gjordeat jeg ofte arbejdede hjemme og så togind til UCLA, når jeg havde brug forat konsultere bøger. I perioden sketeder flere fremskridt med det problemjeg arbejder på (det samme der eromtalt i den forrige rapport). Jeg erefterhånden kommet til en fase, hvorjeg er begyndt at sammenskrive re-sultaterne.

Udover arbejdet på min egenforskning, var der et ugentligt geome-triseminar på UCLA, som jeg fulgterimeligt trofast. I marts gav jeg selvet foredrag i seminaret. Det gik ud-mærket og var en fin måde at få struk-tureret nogle ideer. Jeg fik også lidtrespons, som måske kan bruges. Bl.a.foreslog Robert Greene at Zoll-fladerkunne være eksempler på mangfol-digheder af negativ type.

Distinguished Lecturers

På instituttet er der desuden et semi-nar med såkaldte Distinguished Lectu-rers, hvor store navne kommer på be-søg og giver en række forelæsningerindenfor deres specialefelt. I februarvar gæsteforelæseren Raul Bott, derhar været meget indflydelsrig inden-for algebraisk topologi. Han var eninspirerende og humoristisk fore-læser. I 50’erne havde han sammenmed mange andre legendariske nav-ne opholdt sig ved Princeton og hav-de mange interessante anekdoter fraden tid. Det gav et inspirerende hi-storisk vingesus.

Senere kom I.M. Singer så forbi,en af skaberne bag den såkaldte in-deksteori. Også han var en glimrendeforelæser, dog noget mere teknisk endRaul Bott. Som Bott indledte han si-ne forlæsninger med en anekdote ef-ter modellen, at i ethvert godt fore-drag skal alle kunne følge med deførste fem minutter. De første femminutter af det første foredrag talteSinger således om en koncertoplevel-se med Charlie Parker i 40’erne i enjazzklub i LA. En historie der enddahavde en pointe omkring det at lærefra sig, ganske sofistikeret. Derefterblev det meget, meget sværere at føl-ge med.

Tokai University

På Tokai universitetet her i Japan erjeg kommet godt til rette. Jeg har fåetkontorplads og internetforbindelse,

så det basale er på plads. Kontoret de-ler jeg med to kinesiske og en thai-landsk professor. ThailændingenPakkinee der også besøger Tanaka, ogiøvrigt som noget sjældent indenformatematik er kvinde, tog godt imodmig og viste mig rundt på campus.Hun rejser desværre tilbage til Thai-land imorgen.

Ind imellem mødes jeg med Tana-ka, der er ekspert indenfor studiuetaf cut loci i Riemannsk geometri. Deter et emne, som har berøringsfladertil min egen forskning og jeg håberhan kan hjælpe mig med et konkretproblem, jeg tidligere har arbejdet på.Desuden er der et seminar i emnet togange om ugen, som Tanaka holderfor sine specialestuderende. Dette se-minar følger jeg indtil videre.

Tanaka har introduceret mig til fle-re af de ansatte på instituttet og allevirker meget imødekommende. F.eks.får jeg for tiden hjælp af vis Profes-sor Maeda til at opklare om en speci-fik formel, jeg er stødt på i mit arbej-de, er ny eller kendt i forvejen. Mae-da har sendt en forspørgsel til en pro-fessor på Okinawa. Den samme for-mel forhørte jeg mig iøvrigt om iMaryland, hvor jeg blev henvist til enperson i Boston, som jeg også harkommunikeret med. Sådan et net-værk af kontakter er absolut en fingevinst ved en tur som denne.

Fortsættelse følger i næstenummer af Matilde”

30 19/03

For nyligt dumpede der en stor stakgirokort fra Skattevæsenet ind addøren. Her snart to år efter hjem-komst, er vores legatrejse ikke over-stået endnu!

Rejselegat for Matematikere, ifolkemunde kaldet “Matadorlega-tet”, er et fantastisk legat. Ikke ale-ne giver det mulighed for at stude-re i udlandet i et helt år, men det lig-ger i legatets ånd, at der også er taleom en kulturel dannelsesrejse. Så-ledes godkender legatets bestyrel-se ofte budgetter med luft til ferie-perioder o.a.. Ydermere giver lega-tet mulighed for, at man tager kæ-reste og eventuelle børn med på rej-sen. Jeg er sikker på at alle, der harlæst matematik på universitet ogsåhar hørt nogle af de mange histori-er, der cirkulerer om dette sagnom-spundne legat og dets generøsitet.Det er næsten for godt til at væresandt. Og det viste det sig også atvære i vores tilfælde!

I forbindelse med at have mod-taget legatet, fik jeg fremsendt lidtoplysninger angående skatteregler.Hovedbudskabet var, at rejselega-ter i princippet er skattefri, men atskattespørgsmål er legatmodtager-ens personlige ansvar og at manburde snakke med sin lokale skat-teforvaltning inden afrejse. Jeg varnu ikke så bekymret, da jeg kendteflere tidligere legatmodtagere, somikke havde haft problemer medskatten. Alligevel tog jeg et mødemed skatteforvaltningen og gik der-fra med indtrykket, at hvis blot vikunne dokumentere vores udgifterefter hjemkomst, var alt i den skøn-neste orden. Sådan gik det nu ikkehelt.

Et godt stykke tid efter at jeghavde afleveret selvangivelse for2002, fik jeg et brev fra Skattevæse-net, der ønskede en forklaring på

Man kan nok sige, at vi var nai-ve og godtroende og ikke oriente-rede os godt nok om reglerne indenafrejse. Men med mit kendskab tilandre legatarers oplevelser, troedejeg ikke på, at der ville blive pro-blemer. Jeg synes nok, vi mangledelidt information fra legatets side.Det bliver administreret af et stortadvokatfirma, som burde ligge in-de med bedre viden. Men informa-tionen er nok bygget på den erfa-ring, at det som regel ikke er nogetstort problem med skatten. Det bi-zarre er, at der er ganske simpleting, man kan gøre for at undgå atbetale skat, hvis altså man er adva-ret på forhånd. Den fulde skatte-pligt til Danmark hænger sammenmed om man har bopæl i landet.Opgives den ophører den fuldeskattepligt også.

Et springende punkt i vores til-fælde er, at Skattevæsenet mener atalle de udgifter (halvdelen af alt!)som Gitte har haft, er skattepligti-ge, noget vi ikke i vores vildeste fan-tasi havde forestillet os. Det villefaktisk have været mere fordelag-tigt rent skattemæssigt, hvis jeghavde brugt alle pengene selv ogGitte var blevet i Danmark og hav-de draget fordel af velfærdssyste-met! Men også dette punkt afhæn-ger helt af skattefolkenes personli-ge fortolkning.

Jeg håber ikke, vi kommer til atbetale 95.000 kr, det er mere end minstudiegæld, men selv hvis vi gør, sy-nes jeg trods alt, vi har fået nogetfor pengene. Men et godt råd tilfremtidige modtagere af Rejselega-tet og alle andre der skal på studi-ophold i udlandet: orienter jer me-get, meget grundigt om reglerne indenI tager afsted og få helst noget på skriftfra Skattevæsenet, ihvertfald hvis I bori Københavns Kommune!

Skat af Rejselegatet

hvor legatpengene kom fra og hvadde var brugt til. Fint nok tænkte jegog indsendte nogle af de breve, jeghavde fået fra legatet, som forklare-de hvad det hele gik ud på. Det fort-satte med flere breve frem og tilbage,hvor Skattevæsenet krævede svar påflere og flere spørgsmål. Så fik jeg etmøde istand, hvor vi kunne forklaresagen ordenligt og vise vores doku-mentation.

Vi begyndte at blive lidt bekym-rede og prøvede at være på forkant(lidt sent måske) og sætte os mere indi reglerne. Det viste sig at være me-get svært! Det er for det første retuklart hvilket regelsæt, man skal an-vende på Rejselegat for Matematike-re. Er det et forskningslegat, et stu-dierejselegat eller bare et rejselegat?Det var en jungle, vi havde bevægetos ind i og værst af alt: det var umu-ligt at få nogen klare svar. Man kun-ne spørge om den samme ting fleregange på Skatteforvaltningen og fåforskellige svar hver gang. Vi prøve-de med et revisorfirma, som stort setikke kunne hjælpe os; det kostede2500 kr. Vi spurgte og spurgte alle derkunne/burde vide noget, men blevstort set ikke klogere. Vores fornem-melse er efterhånden, at alt afhængeraf den personlige fortolkning hos denskatteperson, som tilfældigvis siddermed sagen.

Så kom der et forslag til en skatte-ansættelse fra forvaltningen, resultat:vi skulle betale ca. 95.000 kr i skat!!Det var noget af et chok og fik os tilat arbejde endnu hårdere på sagen.Vi fik Københavns Retshjælp inddra-get, men heller ikke deres argumen-ter rokkede ved Skattevæsenets hold-ning. Den foreløbige kendelse blev, atvi skal betale 95.000 kr i skat. Det harvi så anket og har ansat en advokat,til at kigge på sagen, som formentligtrækker ud længe endnu.

3119/03

Matematiske institutioner præsenterer sig:

Institut for Matematik, Danmarks Tekniske Universitet

Polyteknisk Læreanstalt blev opretteti 1829, og af de seks der udgjorde læ-rerstaben var én matematiker. Under-visningen omfattede matematisk ana-lyse, og var formodentlig det førsteegentlige kursus i videregående ma-tematik i Danmark. I 1942 oprettedesLaboratoriet for Anvendt Matematik.Navn og struktur har skiftet noglegange side da. Den sidste større for-andring skete i 2001, hvor de institut-ter der havde ansvaret for diplomin-geniøruddannelsen blev sammenlagtmed de øvrige institutter. Herved fikInstitut for Matematik 8 nye medar-bejdere samt ansvaret for matematik-undervisningen på diplomingeniør-studiet. I 2004 består instituttet af 29VIP ansat på DTU-midler, 4 VIP i eks-ternt finansierede stillinger, 6 TAP, og8 ph.d. studerende.

Instituttets virke er i høj grad præ-get af tilhørsforholdet til et teknisk

universitet. Undervisningen henven-der sig til ingeniørstuderende, der forde flestes vedkommende har brug formatematik som et støttefag. Den ind-ledende undervisning spiller derforen stor rolle, og det er en udfordringat tilpasse den løbende til de stude-rendes forudsætninger og aftagernesbehov. I 2000 søsatte vi en stor revisi-on af den indledende matematik på

Af: institutleder Morten Brønse-mail: [email protected]

Inst

itut

for

Mat

emat

ik ti

l ven

stre

i bi

llede

t

civilingeniørstudiet. Flere mindrekurser blev samlet til ét stort, Mate-matik 1, der benytter sig af mangepædagogiske metoder: Forelæsnin-ger, klassetimer, selvstudieperioder,konsulentordning og projektarbejde.Evalueringen omfatter skriftlige ek-saminer, projektrapporter og mundt-lig projektfremlæggelse. Et bærendeelement i undervisningen er brugenaf matematikprogrammet Maple.Dette giver dels mulighed for at gøreprojektarbejdet mere realistisk, daregningerne for større matematiskemodeller kan overlades til compute-ren, dels at koncentrere den dagligeindsats omkring den matematiske te-ori i stedet for regneteknikker. Ende-lig er Maple et fremragende pædago-gisk redskab. Man kan eksperimen-tere og tegne, og især i forbindelsemed funktioner af flere variable ogrumgeometri er der store muligheder.

Projekterne i Matematik 1 tagerudgangspunkt i en teknisk anvendel-se, og er udarbejdet i tæt samarbejdemed andre institutter på DTU ellermed fagfolk uden for DTU. Projekt-arbejdet foregår som gruppearbejdeover tre uger, hvor den sædvanlige

En ny bygning med faciliteter til klasseundervisning og projektarbejde er netoptaget i brug.

32 19/03

undervisning er aflyst. Der afleveresen fælles rapport fra gruppen, og derafholdes en mundtlig eksamen påbaggrund af rapporten, hvor der gi-ves individuelle karakterer. Der erkort tid til rådighed for projektarbej-det, og derfor er det lagt i ret fasterammer. For at understrege dette, ogspecielt at projekterne ikke indehol-der et meget væsentligt aspekt afsædvanligt projektarbejde, nemlig enproblemformulering, har vi valgt atkalde dem projektopgaver. Til hver op-gave er der udarbejdet en køreplan,der ved en række småopgaver viseren mulig vej gennem projektet. I prak-sis bliver rapporterne meget forskel-lige, og de studerende går op i opga-verne med liv og sjæl. Opgaveformu-leringerne fra foråret 2003 kan findespå www.mat.dtu.dk/education/01005/proj03_skema.html. Efter lidtindsvingning mener vi at have fun-det en form på Matematik 1 der ermeget tilfredsstillende, og forhåbent-lig kan holde nogle år. På diplomin-giørstudierne har vi netop indført etnyt fælles obligatorisk kursus, i fol-kemunde DiploMat, med sammepædagogiske elementer. Det ser ud tilat være vellykket.

Udover den indledende undervis-ning har instituttet en række videre-gående kurser, og et beskedent antalcivilingeniørstuderende vælger atskrive deres speciale (eksamenspro-jekt) i matematik.

Instituttets forskning foregår in-denfor fire områder.

· Anvendt funktionalanalyse: Par-tielle differentialligninger, opti-malt design, wavelets og general-iseret Fourieranalyse.

· Diskret matematik: Grafteori,kodningsteori, kryptologi.

· Geometri: Topologi og geometriaf kurver, flader og mangfoldig-heder, herunder knudeteori ogComputer Aided Geometric De-sign.

· Dynamiske systemer: Sædvanligedifferentialligninger, diskrete dy-namiske systemer, teoretisk me-kanik, bifurkationsteori.

En væsentlig del af instituttets forsk-ning foregår i samarbejde med andreinstitutter på DTU. Et eksempel på etforskningssamarbejde er beskrevet iboksen.

I 2001 overgik DTU fra universi-tetsloven til den særlige DTU-lov som

Endnu et tværinstitutioneltforskningsprojekt

Af Adjunkt Peter Røgen

Når en ny type medicin ønskes fundet, er et tilbagevendende pro-blem at konstruere en molekylær struktur, der kan binde til netopét forudbestemt molekyle. På en af de i Danmark årligt afholdteEuropean Study Group with Industry, ESGI, ønskede Robert By-water, Novo Nordisk, at få en effektiv metode til at manøvrere irummet af embeddede grafer, der så skulle svare til atomer og de-res covalente bindinger. Udfordringen blev taget op af blandt an-dre Thomas Poulsen, Institut for Mekanik, Energi og Konstrukti-on, DTU og Poul G. Hjorth og Peter Røgen Institut for Matematik,DTU. Dette startede et nyt samarbejde mellem disse DTU insti-tutter, hvor metoder kendt fra Optimalt Topologisk Design, dermed stor succes bliver dyrket i samarbejde mellem disse to insti-tutter for at optimere form og topologi af makroskopiske konstruk-tioner, nu er blevet tillempet til at kunne finde en embedded mo-lekylær-graf, der, dels passer til det forudbestemte molekyle, ogdels f.eks. maksimerer antallet af sine covalente bindinger for etgivent antal “atomer” i grafen. På sigt forventes metoden at givemulighed for at søge molekylær-grafer med en række på forhåndspecificerede egenskaber. F.eks. vil ønsker om at molekylet skalhave en given fleksibilitet og at det ikke ligner kendte giftige el-ler patenterede strukturer kunne imødekommes.

gjorde universitetet til en selvejendeinstitution med bestyrelse og ansatteledere. Da den nye universitetslov ermodelleret over DTU-loven, vil detnok interessere de universitetsansat-te Matildelæsere at få et indtryk afhvad de har i vente.

Institutlederen er ansat af rektorog bestyrer instituttet under mål- ogrammestyring. Der tildeles institutteten samlet årlig rammebevilling somdækker både løn og drift. Samtidigfastsættes i samarbejde med direkti-onen målene for instituttets virke i englidende 4-årig periode i form af enkontrakt, ”Udviklingsmål og Virke-midler”. Inden for den økonomiskeramme har institutlederen meget frierammer til at opnå målene. Der eringen skelnen mellem udgifter til lønog drift, hvilket giver en meget nyt-tig fleksibilitet, og der er intet ansvarfor den daglige drift overfor en be-styrelse eller et institutråd. Instituttethar ganske vist en medarbejder- ogstudentervalgt bestyrelse, men den

har alene indstillingsret over for in-stituttets strategi. Under alle omstæn-digheder er dens dage talte, da denvil forsvinde når DTU går over til denfælles universitetslov og får vedtæg-ter efter denne.

”Udviklingsmål og Virkemidler”beskriver dels strategien for institut-tets udvikling, dels en række konkre-te mål i form af STÅ produktion, an-tal artikler i internationale tidsskrif-ter omfattet af Citation Index og an-tal opnåede citationer, omfanget afeksterne bevillinger og meget andet.Der er årlige rapporteringer om mål-opnåelsen inden næste års ramme til-deles. Denne institutleder er taknem-melig for en medarbejderskare, derhar leveret hvad han har lovet.

”Udviklingsmål og Virkemidler”kan ses på www.adm.dtu.dk/intern/adm/l_sek/udviklingsmaal2003/mat-2003.pdf.

Hjemmeside: www.mat.dtu.dk.

3319/03

”Kan avanceret matematik overhove-det formidles?” Dette var et af de 5tunge spørgsmål, som verdenshisto-riens første Abelseminar drejede sigom. Seminaret er tænkt som en op-følgning på uddelingen af Abelpri-sen, der som tidl. omtalt her i bladetblev uddelt for første gang i 2003. Detblev holdt den 6. oktober på Schæf-fergården, og tiltrak en bred kreds afmatematikere, matematikformidlereog matematikbrugere fra nær ogfjern. Blandt de indbudte talere varnaturligvis prisvinderen, Jean-PierreSerre. Han svarede på det nævntespørgsmål ved at skitsere tre forskel-lige beviser for algebraens fundamen-talsætning på 30 minutter.

Talerlisten var i øvrigt lang, idetde øvrige oplæg var på bare 15 mi-nutter hver, i princippet i hvert fald.Blandt de mere optimistiske og far-verige udmeldinger noterede Deresudsendte bl.a.:◊ ”det drejer sig om at få matema-

tikken ind i almindelig samtale”,og i samme åndedrag: ”det ersvært at være pessimistisk på ma-tematikkens vegne” (Vagn L.Hansen, DTU);

◊ matematikkonkurencer som detnorske initiativ Kapp Abel er ensucces ”når det gælder om skabebegejstring omkring matematiskaktivitet” (Ingvil Holden, NTU).

Andre anlagde mere pessimistisketoner, som Svein Sjøberg (Oslo U.),der i et i øvrigt ganske muntert op-læg præsenterede evidens for fagetsrekrutteringsproblemer, og spurgte:”er matematik i strid med ungdoms-kulturen?”.

Hanne Skou fra Dansk Industri in-sisterede på vigtigheden af ”et solidt

Af: Carl WinsløwCenter for Naturfagenes Didaktik, KU


fagligt fundament frafolkeskolen”, et budskabsom fandt genklang og-så i oplægget fra dennorske arbejdsgiverfor-enings direktør, SigrunVågeng. Andre er-hvervsfolk, som PeterLandrock (Cryptoma-tic), Morten C. Jørgensen(Novo) og Ove Poulsen(NKT) gav mere speciel-le bud på, hvad virk-somhederne bruger ogefterspørger af matema-tikfaget. Endelig blevder givet eksempler påeksperimenterende ma-tematikundervisning afbl.a. Martin Bendsøe(DTU) og Carl P. Knud-sen (Helsingør Gymna-sium).

Som dette korte refe-rat antyder, kom mangesynspunkter til orde, ogselvom der også varmange spørgsmål ogkommentarer fra salen,så kunne man nok tilnæste gang overvejefærre oplæg om færremen mere præcise tema-er – og mere tid til dis-kussion.

Af programmetfremgår i øvrigt, at semi-naret var ”arrangeret afden kgl. norske ambas-sade i København ogFondet for dansk-norsksamarbejde, i samarbej-de med Abel-prisen ogDansk Matematisk For-ening”.

Verbale snapshots fraSchæffergården 6. oktober 2003(noteret af Jørn Børling Olsson)

Proofs is the heart of mathematics (Serre)

Mathematical common sense is very useful(Serre)

Make your proofs so clear that the readerbelieves he could have done them himself (BoJacobsen)

There is no substitute for engaged mathe-matics teachers. (Vagn Lundsgaard Hansen)

Det er vigtigt at holde fast i nørd-aspektet afmatematik. Vi er alle en slags nørder (SørenLundbye-Christensen)

Der er ingen unge i dag, der kan lægge 2 og 2sammen uden en lommeregner(Morten Colding Jørgensen)

Den matematik, vi lærer, er meget enøjet(Morten Colding Jørgensen)

Det er lidt med matematik ligesom medkvinder. Det kan være lidt besværligt indimellem. Men det går slet ikke uden. (HanneSkov)

Abelseminar 03 påSchæffergården

Professor Serre ved tavlen.

34 19/03

Uddannelsesfronten

ved Carl Winsløw

En omstillingstidDer er for tiden så mange reformerog initiativer i grøde på uddannelses-fronten i Danmark – alle med betyd-ning også for matematikundervisnin-gen – at vi nøjes med korte faktuelleversioner:

OECD rapport om danskeuniversiteter

I en nylig offentliggjort evaluering omde danske universiteter har et panelaf udenlandske eksperter kortlagt enrække forhold vedr. disses aktivite-ter og indretning, herunder deresfunktion som uddannelsesinstitutio-ner. Der siges meget positivt om kva-liteten af forskningen og uddannel-serne som de ser ud nu. Der pegesogså – særlig i et fremadrettet per-spektiv – på en del problematiske for-hold, herunder:· Relativt få danske unge får en

universitetsuddannelse (i forholdtil andre OECD-lande)

· Frafaldet i uddannelserne er (for)stort

· De faktiske studietider er for lan-ge (og mange kommer for sent igang)

· Der er behov for målrettet udvik-ling af undervisningenRapporten indeholder en række

anbefalinger, både vedrørende uni-versiteternes egne opgaver og vedr.ekstern evaluering. Rapporten kandownloades fra nettet:

http://www.videnskabsministeriet.dk/fsk/div/oecd/OECDevalueringafdedanskeuniversiteter.pdf

Ny bekendtgørelseom bachelor- ogkandidatuddannelser

Et udkast til ny bekendt-gørelse for universiteter-nes bachelor- og kandi-datuddannelser er i øje-blikket til høring. Detlægger bl.a. op til at en hø-jere grad af uafhængig-hed mellem de to typer afuddannelser i den for-stand at de skal kunnekombineres på tværs afinstitutioner og fagligeprofiler. Det ligger bl.a. ikortene (og til dels para-grafferne) at uddannel-serne i specielt ”magister-fagene” skal tones meretydeligt mod erhvervs-funktioner, ”herunder gymnasiesko-len”, som det særskilt præciseres forcand. scient. (og mag.) uddannelser-ne. Nye studieordninger er under ud-vikling ved universiteterne.

Udkastet ligger på http://www.vtu.dk//fsk/div/unisoejlen/Bkgombachelorogkandidatuddan.pdf

Gymnasiereformen

Gymnasiereformen, hvis hovedele-menter er det halvårlige grundforløbog de 2 1/2 -årige studieretninger, ved-tages i løbet af foråret 2004 og imple-menteres fra sommeren 2005. Refor-men indebærer en række nye krav ombl.a. tværfaglighed og nye arbejdsfor-mer i undervisningen, som utvivl-somt vil få vidtrækkende konsekven-ser også for faget matematik. En ræk-ke udviklingsarbejder og forsøg erigangsat.

Mere information om gymnasier-eformen: http://us.uvm.dk/gymna-sie/reform/

Sammenhængene

Undervisningsministeriets nye portal”EMU” http://www.nyfaglighed.emu.dk eren god kilde til overordnede tankerbag reformerne. En oplagt sammen-hæng der kalder på yderligere refor-mer angår læreruddannelser. En ar-bejdsgruppe under undervisningsmi-nisteriet arbejder på en redegørelsedette område, som udover universi-teternes nuværende domæne omfat-ter uddannelsen af folkeskolelærereog pædagoger. Redegørelsen forven-tes at foreligge inden eller omkringudgivelsen af dette nummer.

Sagerne følges op i kommendenumre af Matilde.

3519/03

”Det er vigtigt at de unge kommer igang så hurtigt som muligt.” Sådanbegyndte videnskabsminister HelgeSander, da han den 28. august 2003 iTV-avisen blev præsenteret for resul-taterne fra en splinterny undersøgel-se om frafald på de videregåendeuddannelser. Hovedresultatet var atde ældre studerende klarer sig mar-kant bedre end dem der begyndtestudiet umiddelbart efter studenter-eksamen. Blandt de studerende derbegyndte som 18-21 årige i 1998 varder et frafald på 31%, mens der blandtdem der startede som 23-27 årige kunvar et frafald på 23%.

Ministerens kommentar til nyhe-den lød sådan:

”Der er jo ikke nogen der siger atde unge der er kommet bedre igen-nem, fordi de er startet senere, ikkeville have sig klaret sig lige så godthvis de var startet umiddelbart eftergymnasiet.”

Dette udsagn vil jeg lade stå et øje-blik, og så gå et par år tilbage i tiden,hvor en anden nyhed blev annonce-ret i Undervisningsministeriets ny-hedsbrev den 29. januar 2001 og sam-me dag i Politiken. Den handlede omde studerendes alder og deres gen-nemsnit ved studentereksamen. Un-dersøgelsen var udført for Undervis-ningsministeriet, og hovedresultatet(at de yngste studenter i 1999 fik be-tydeligt bedre karakterer i gymnasi-

et end gennemsnittet) blev serveretsom argument i debatten om hvornårbørn skal begynde i skolen:

”Vores undersøgelse handler gan-ske vist ikke om dette, men den viseri hvert fald, at der er en gruppe unge,som bestemt ikke har taget skade afat begynde tidligt i skolen - måskesnarere tværtimod”, udtalte Tom Sin-ding fra Helsingør Gymnasium, derhavde været med til at gennemføreundersøgelsen. – Dette udsagn vil jegogså vende tilbage til senere.

Resultater fra statistiske undersø-gelser i uddannelsessystemet brugesofte som argumenter i den politiske

debat - eller som påskud til atrealisere allerede udtænktepolitiske tiltag. Det kan i detmindste være vanskeligt atforestille sig at undervisnings-minister Ulla Tørnæs gør ge-ografi til eksamensfag i sko-len, alene fordi 127 gymnasie-elever havde en dårlig svar-procent i Politikens quiz.

Minister og ministeriumskal her kun opfattes som bil-lede på de mange menings-dannere og beslutningstagere

der er uddannet i det danske uddan-nelsessystem, og som derfor harmindst 1500 timers matematikunder-visning bag sig. Min overskrift er in-spireret af titlen på Philip J. Davis’manuskript, omdelt på årsmødet2000 i Dansk Matematisk Forening,var “What should the President andthe Prime Minister Know about Ma-thematics? Or The Nescessity forMeaningful Popularizations.”

For nylig havde Davis i det inter-nationale tidsskrift For the Learning ofMathematics en kommentar, der kanses som et provokerende indlæg i denaktuelle debat om almendannelsesom mål og begrundelse for matema-tikundervisning. Her er hans over-skrift ”Mathematics is not required.”Til trods for den giver Davis en mini-

malliste over kernen af det alle ska’ku’ efter hans mening (f.eks. i relati-on til emnet her: basal sandsynlighedog statistik), men tilføjer så:

”Every time I make such a list, Ifind it grows longer and longer. Butwhat I most certainly want – and thisis not now core material – is for stu-dents to acquire an appreciation of therole that mathematics plays in today’shighly mathematized civilization;what it does for us and what it doesto us.” (Davis, 2003:42).

Matematikdidaktiske undersø-gelser af almindelige arbejdsfunkti-oner på et højteknologisk arbejdsmar-ked viser at der er brug for enkelmatematik, men at den til gengældindgår i komplekse sammenhænge(Wedege, 2002). Det er også enkelmatematik som er nødvendig for atreflektere over de to nyheder, der blevserveret som kommentarer til spørgs-målet om sammenhæng mellem al-der og succes i uddannelsessystemet.Matematikken drejer sig stort set omforståelse og håndtering af procent-begrebet, enkle grafer og tabeller. Denmatematiske aktivitet er dog kun ennødvendig, men ikke tilstrækkeligbetingelse for at kunne give meningtil tallene.

Refleksioner om sammenhængekræver indsigt i den virkelighed tal-lene handler om. Og det i en grad såman kan vurdere hvad der er nød-vendige baggrundsvariable at ind-drage. Videnskabsministerens kom-mentar til frafaldet kunne f.eks. havefortsat med en bemærkning om at derer forskel på frafaldet på de enkelteuddannelser og forskel på de stude-rendes gennemsnitlige alder ved star-ten af forskellige uddannelser.

Ved formidling og tolkning af un-dersøgelsens resultater skete derimidlertid en sammenblanding mel-

Tine Wedege,Roskilde Universitetscenter

[email protected]

Hva’ en minister ska’ ku’

forts. side 36

36 19/03

Boganmeldelse MatematikerNytved Mikael Rørdam

fors. fra s. 35

Tomas Højgaard Jensen er pr.1. februar 2004 ansat som adjunktved Institut for Curriculumforsk-ning, Forskningsenheden for ma-tematikkens didaktik, DanmarksPædagogiske Universitet.

Tomas er kandidat i matematikog offentlig driftsøkonomi fra Ros-kilde Universitetscenter med spe-ciale i matematikkens didaktik(1998). Han har siden været ph.d.-

stipendiat indenfor samme forskningsfelt ved IMFUFA,Roskilde Universitetscenter, med et projekt, som han iøjeblikket er ved at lægge sidste hånd på, om problem-løsning og ,modellering i det almene gymnasiums mate-matikundervisning. Sideløbende hermed har han arbej-det med kompetencebeskrivelser af matematisk faglig-hed, bla. i det såkaldte KOM-projekt, og har været med-forfatter til lærebøger beregnet for grundskolens mate-matikundervisning.

Desuden holder han blandt meget andet af alle formerfor boldsport, både i stående og i liggende position, og aflivet med konen Karen og datteren Andrea.

Steffen L. Lauritzen, Aalborg Uni-versitet, tiltræder den 1. maj 2004som Professor of Statistics ved Uni-versitetet i Oxford, England og Fel-low ved Jesus College, sammested.

Det er tale om en nyoprettet stil-ling ved Department of Statistics iOxford, som i forvejen består af SirDavid Cox (Professor emeritus),

Peter Donnelly (Professor of Statistical Science), JotunHein (Professor of Bioinformatics), Brian Ripley (Profes-sor of Applied Statistics) og Bernard Silverman (Masterof St. Peter’s College) samt mange andre.

Steffen er oprindelig uddannet ved Københavns Univer-sitet, hvorfra han blev cand. stat. 1972, lic. stat. 1975 ogdr. scient. 1982. Her var han også ansat som kandidatsti-pendiat, adjunkt og lektor, indtil han i 1981 tiltrådte sinnuværende stiling som professor ved Aalborg Universi-tet.

I løbet af årene har Steffen virket som gæsteprofessor veden række universiteter i udlandet, senest som leder af etforskningsprogram indenfor grafiske modeller ved FieldsInstituttet i Toronto, Canada, i efteråret 1999. Grafiskemodeller er Steffens hovedområde.

Han har modtaget flere internationale priser og hæders-bevisninger, herunder i 1996 “The Guy Medal in Silver”fra Royal Statistical Society, hvor han også blev udnævnttil æresmedlem i 1992.

lem statistiske korrelationer og årsag-virkning sammen-hænge. Det samme skete i Undervisningsministeriets un-dersøgelse om alder og karakterer. Var det fordi de stude-rende var startet tidligt i skole og senere var gået direktefra 9. klasse til 1. g, at deres karakterer var bedre? Ellerkunne man forestille sig at den professionelle vurderingog vejledning ved skolestart og ved indgangen til gym-nasiet havde bidraget til at sortere eleverne? Denne fejl-tolkning af data minder mig om den hvor læsevankselig-heder hos voksne blev begrundet med deres relativt kor-te tid i uddannelsessystemet.

I medierne kan man næsten dagligt se eller høre så-danne tankevækkende eksempler. Inge Henningsen ogjeg har i heftet ”Månedens tal” (2000) samlet og kommen-teret nogle stykker af den slags nyheder som beslutnings-tagere på mange forskellige niveauer skal kunne forhol-de sig reflekterende til. Også ministeren skal vide at altikke er givet med tallene. At de matematiske aktiviteter

skal suppleres med en kritisk vurdering der bl.a. bunderi viden om det felt den kvantitative undersøgelse søgerat oplyse.

Referencer

Davis, Philip J. (2003). Mathematics is not required. (Communi-cation). For the Learning of Mathematics, 23(1), 41-42.

Henningsen, Inge og Wedege, Tine (2000). Månedens tal 2000 -12 oplæg om talbrug i medierne. Center for forskning i matematik-læring, RUC, Skrift nr. 28.

Wedege, Tine (2002). Numeracy as a basic qualification in semi-skilled jobs. For the Learning of 22(3), 23-28.

3719/03

Begivenhederved Poul Hjorth

4ecm - 4th EuropeanCongress of Mathematics,Stockholm 27 juni - 2. juli2004.

The Fourth European Congress ofMathematics, 4ECM, will be held bet-ween June 27 and July 2, 2004 at AulaMagna. Aula Magna is located on theFrescati campus of Stockholm Uni-versity. It is easily reached from thecentral Stockholm, both by publictransportation and by car.

The address is: Stockholm Univer-sity, Frescativägen 10, SE-106 91Stockholm, Sweden.

For further information, pleasevisit the website:

http://www.math.kth.se/4ecm/

ICME 10 (10th InternationalCongress on Mathematicseducation) afholdes,

som tidligere omtalt i Matilde, påDTU i perioden 4.-11. juli 2004.

Interesserede bør være opmærk-somme på flg. tidsfrister:

28/2: frist for registrering til lavsats (DKK 3100)31/5: frist for registrering til mel-lemsats (DKK 3600)

Registrering og information via hjem-mesiden: www.icme-10.dk

3rd Danish Symposium onApplied Analysis

“Numerical methods in areas of flu-id dynamics, electromagnetics andfinance” August 25-28, 2004

Institute for Mathematical Sciences(KU) is happy to host the 3rd DanishSymposium on Applied Analysis.

The primary goal of the symposi-um is to expose a network of Danishresearchers to new computational(and analytical) developments in se-lected areas of fluid dynamics, elec-tromagnetics and finance.

This is accomplished by a limitednumber of invited presentations byrelatively senior experts in thesefields. A secondary goal is to permitsome of the junior researchers in thisnetwork (the SNF-PDE-network) topresent their own work in a “friend-ly international atmosphere”.

Organized by the Danish SNF-PDE-group.

The meeting is sponsored by theDanish Natural Science ResearchCouncil (SNF) and by MaPhySto. TheInstitute for Mathematical Sciences isproviding practical help and the fuelon which math is spawned, i.e. thecoffee.

Held at the Institute for Mathema-tical Sciences, University of Copen-hagen, Universitetsparken 5, DK-2100 Copenhagen Ø, Denmark. Tel:(+45) 35 32 06 75, Fax: (+45) 35 32 0678

Web page:http://www.math.ku.dk/conf/

3dansymp/

MaPhySto:

Workshop on Lévy Processes and Ba-ses: Theory and Applications

Thursday February 26 - FridayFebruary 27, 2004

Department of MathematicalSciences, University of Aarhus

The workshop is organized jointly byMaPhySto (The Danish National Re-

search Foundation: Network in Ma-thematical Physics and Stochastics)and The Thiele Centre for Mathema-tics in Science.

ANYONE INTERESTED IS WEL-COME TO PARTICIPATE - and if youwould like to present a talk, you arevery welcome to contact us.

See: http://www.maphysto.dk/events2/LTAA04/

Workshop onAspects of Large QuantumSystems Related to Bose-Einstein Condensation

Thursday April 15 - Saturday April17, 2004

Department of MathematicalSciences, University of Aarhus

Abstract:The purpose of the workshop is topresent results on, and to discuss,aspects of large quantum systems re-lated to Bose-Einstein condensation.

The aim is to consider three the-mes: (1) Existence of BEC (2) Dimen-sionality (3) Dynamics and coolingfrom three points of view: (1) Mathe-matical (2) Theoretical (3)Experimen-tal.

The workshop will gather partici-pants covering all three points ofview, with the hope of furthering in-teraction between the participants,and a fruitful exchange of ideas andpossible directions of future research.

See: http://www.maphysto.dk/events2/LQSBEC04/index.html

16. RUC-modeldag:Matematiske modeller i kemi

torsdag d. 29. april 2004 9:00-16:00RUC hus 27

Modeldag(x) er en række heldagsse-minarer afholdt gennem årene vedIMFUFA, RUC. Instituttet er byggetop omkring aktiviteter i og om mate-matik og fysik. Og undersøgelsen afmatematiske modellers forskelligar-tede videnskabsteoretiske status ogsamfundsmæssige betydning harværet en af IMFUFA´s vigtige om-aktiviteter på tværs af matematik ogfysik.

Se: http://mmf.ruc.dk/SEMI-NAR/modeldag16.htm

38 19/03

AFTERMATH

LØSNINGER

Alle opgaver er løst af Ebbe Thue Poulsen.

Fra nøddeknækkeriet

To små egern sad med hver sit lager af nødder. Den enesad med et lager på 200 hasselnødder, mens den andenhavde samlet sig et blandet lager af 99 valnødder og 100hasselnødder.

Nu tog det andet egern hver dag to nødder fra sit lager.Hvis de to nødder viste sig at være af samme slags, så spi-ste den den ene nød og gav den anden til sin kammerat,der spiste den og til gengæld betalte med en hasselnød,som det andet egern kastede ned i sin bunke. Hvis der-imod de to nødder viste sig at være af hver sin slags, såspiste det andet egern hasselnødden og lagde valnøddentilbage i bunken. Imens spiste det første egern så en afsine egne hasselnødder.

Hver dag blev hver af bunkerne én nød mindre, så efter198 dage havde det andet egern kun én nød tilbage.

Var det en hasselnød eller en valnød?

Det var en valnød.

Hver dag bliver antallet af valnødder enten uforandreteller reduceret med to. Så når vi begynder med et uligeantal, må vi ende med én, som vi ikke kan slippe af med.

Et trekantet problem

Der er givet tre parallelle linier. Man skal så i al enkelhedkonstruere en ligesidet trekant, der har et hjørne på hveraf de tre parallelle linier.

Vi tegner en helt vilkårlig ligesidet trekant med hjørnerpå de to yderste af de parallelle linier. Så er den anførtevinkel på venstre trekant uafhængig af trekanten, den af-hænger kun af forholdene mellem afstandene mellem deparallelle linier.

For derfor at konstruere løsningen begynder vi med vin-kelen foroven til højre. (Vinkelen er fundet til venstre.)

Origami

Man skal dele en retvinklet, ligebenet trekant i så få for-skellige, retvinklede, ligebenede trekanter som muligt,men mindst to.

En sådan trekant med arealet 49, altså sidelængde 7√

2,deles i små ligebenede, retvinklede trekanter med area-lerne 1, 2, 4, 8, 16 og 18.

1 2

48

16

18

Opvarmning til søs

Denne opgave har jeg engang set i normat.

I et koralrev af form som to cirkelbuer, der er på vej til atgribe ind over hinanden, skal man finde en ret linie derer så lang som muligt.

Banen skal vælges parallel med centerforbindelseslinien.Ligegyldigt hvordan vi lægger en ret linie gennem A, såvil vinklerne C og D blive de samme, nemlig halvdelen afbuen AB.

Alle mulige trekanter �BCD bliver derfor ensvinklede,så vi får den længste side CD ved at vælge siden BC el-ler BD længst mulig. Dvssom diameter i den pågældendecirkel. Det bliver de heldigvis samtidig.

AB C

D

Boganmeldelse Aftermathved Mogens Esrom Larsen

Aftermath løsninger

Dvs. som

AB C

D

3919/03

NYE OPGAVER

Stigen

En stige på 221 cm står op ad en mur, så den netop røreren kasse, der er 60 cm på hver led og som står klos op admuren. Hvor højt op ad muren kan stigen nå?

γ

β

δ

δ

α

Stigerne

En stige af længde ... står stjelt op ad muren, så den netoprører en kasse, der har form som en terning, og som stårklos op ad muren. Stigens fod er ... fra muren. Hvor storer kassen?

Denne opgave blev stillet tre gange med forskellige målfor ..., men alle målene var hele tal i cm. Svarene var ogsåhele tal i cm.

Når svarene alle tre gange var det samme, og stigerne allevar mindre end 840 cm, hvor stor var så kassen?

En trekant

P

Q

A

BC

O

R

Trekanterne �OPQ, �OQR og �PQR har hhv. arealerne4, 5 og 6. Hvor stor er så �ABC?

Nye opgaver

stejlt

40 19/03

Samuel van Hoogstratens perspektivkasse, ca. 1655-1660. (National Gallery, London).Gengivet efter plate V i Celeste Brusati: Artifice and Illusion. The Art and Writings ofSamuel van Hoogstraten, Chicago & London 1995, med forfatterens tilladelse.

Perspektivkasser

MA TILDE TEMA: Statistik - mathematics.dk

Documents

Transcript of MA TILDE TEMA: Statistik - mathematics.dk