M1_Álgebra

Mdulo: Conjuntos Numricos

REA: NEgoCiosCURso: lgebra

MDULO

1

M1ndice

rea: NegociosCurso: lgebra

ndice

Pg.

01 Conjuntos Numricos, Operaciones y Propiedades01 Operaciones en los Nmeros Naturales01 .........suma02 .........Resta02 .........Multiplicacin03 .........Divisin05 Nmeros Primos05 .........Mnimo Comn Mltiplo (MCM)05 .........Mtodo para encontrar el MCM08 .........Propuesta de Ejercicios09 los Nmeros enteros Z09 .........objetivos10 Operaciones en Z10 .........suma10 .........Resta11 .........Multiplicacin11 .........Divisin11 Propiedad Distributiva12 Factor Comn12 Interpretaciones14 los Nmeros racionales Q15 .........Equivalencia entre nmeros racionales15 .........simplificacin de un nmero racional16 reglas de divisibilidad17 Operaciones en los nmeros racionales17 .........suma y resta18 .........Multiplicacin en los nmeros racionales19 .........Divisin en los nmeros racionales20 .........Parte de un nmero20 .........importante destacar en los racionales22 razn, Proporcin y Porcentaje23 .........Razones25 .........Proporciones31 .........Porcentajes33 referencias bibliogrficas

M1P. 01

Nm

eros Naturales


operaciones en los Nmeros NaturalesEn los nmeros naturales (como en todos los conjuntos numricos que se estudiarn) se definen cuatro operaciones aritmticas bsicas.

Tales operaciones son

suma Resta Multiplicacin Divisin

suma

La suma es una operacin que consiste en relacionar dos o ms nmeros (sumandos) con un nmero final (suma). Este nmero final es lo que resulta de aadir una cantidad determinada a una cantidad ya fijada.

El smbolo que representa a la suma es +.

Por ejemplo, si a la cantidad 3 le aadimos la cantidad 2, obtenemos como resultado la cantidad 5 (3+2=5).

Conjuntos Numricos, operaciones y PropiedadesLos nmeros surgen de la necesidad del hombre primitivo de contar elementos, y de asignarle un smbolo a una cantidad determinada de objetos.

Los nmeros vinieron en ayuda del hombre en innumerables actividades: contar el rebao, llevar un calendario que permitiera manejar las fechas de cosecha y siembra, hacer trueques, realizar mediciones, etc.

El primer conjunto numrico, y el ms simple de todos, es el conjunto de los nmeros naturales, que se denota por el smbolo iN, y est formado por los elementos 1, 2, 3, etc.

As, tenemos nuestro primer conjunto numrico hasta n. IN = {1,2,3,4,5,}

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eros Naturales


Resta

La resta es una operacin inversa de la suma que tiene por objeto, dada la suma de dos sumandos (minuendo) y uno de ellos (sustraendo), hallar el otro sumando (resta, exceso o diferencia).

En trminos simples, consiste en, a un nmero fijo, quitarle un nmero determinado, y ver qu resultado se obtiene.

El smbolo que representa a la resta es -.

Por ejemplo, si a 12 unidades le quitamos 5 unidades, nos quedamos con 7 unidades (12-5=7).

Multiplicacin

La multiplicacin es una operacin de composicin que tiene por objeto, dados nmeros llamados multiplicando y multiplicador, hallar un nmero llamado producto que sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador es respecto de la unidad.

En trminos simples, la multiplicacin es una suma abreviada que consta de tantos sumandos iguales al multiplicando como unidades tenga el multiplicador.

El smbolo que representa a la multiplicacin es o x.

Tambin suele no anotarse el smbolo de multiplicacin cuando lo que quiere multiplicarse son letras (a b = axb = ab).

Por ejemplo 4x3 = 4+4+4 = 12 (en este caso el multiplicando es 4 y el multiplicador es 3. Luego, el cuatro debe ser sumado 3 veces).

+ =

En la representacin grfica podemos apreciar que al sumarle 3 unidades a las 2 unidades originales, obtenemos un resultado de 5 unidades.

De manera grfica, y muy prctica, podemos entender la suma como sigue:

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eros Naturales


Divisin

La divisin es una operacin inversa de la multiplicacin que tiene por objeto, dado el producto de dos factores (dividendo) y uno de los factores (divisor), hallar el otro factor (cociente).

En trminos prcticos, la divisin consiste en ver cuntas veces cabe el divisor en el dividendo.

El smbolo que representa a la divisin es / o .

Por ejemplo, si queremos dividir 24 en 6, nos preguntamos cuntas veces cabe 6 (divisor) en 24 (dividendo), y vemos que si sumamos el 6 un nmero de veces igual a 4, obtenemos 24. Luego, 24/6=4.

recuerda esta Clavesi el ejercicio no tiene parntesis, el orden en que se operan los nmeros es siempre: multiplicacin y divisin, suma, resta.Es importante considerar que se opera en orden de izquierda a derecha.

si el ejercicio tiene parntesis, primero deben ser resueltos stos, considerando que si el parntesis est precedido por un signo menos, los signos interiores deben ser cambiados.

IMPO

RTAN

TE

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eros Naturales


5. Resolver la expresin

24 3 + 15 - 40 20 + 7

Solucin: Como el ejercicio no presenta parntesis, primero resolvemos la multiplicacin, luego la divisin, para finalmente resolver las sumas y restas.

Tenemos

24 3 + 15 - 40 20 + 7 = 72 + 15 - 2 + 7 = 92

ejemplos

1. Al comparar los nmeros 7 y 5 se quiere poner un signo de relacin indicando que 7 es mayor que 5, o bien, que es menor que 5.Qu signo se escribe entre ambos dgitos?

2. Con qu nmero se designa un conjunto de cuatro elementos?

3. Por qu motivo el nmero -52 no est considerado como un nmero natural?

Los signos de relacin son el mayor que (>) y el menor que ( 5

La designacin de la cantidad de elementos se refiere al nmero, si tenemos un conjunto con cuatro elementos el nmero que lo representa es el 4.

No es natural, porque es un nmero negativo

explicacin

explicacin

explicacin

4. Es el nmero 83

un nmero natural?

No es natural, porque es una fraccinexplicacin

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eros Naturales


Nmeros Primosson aquellos que tienen dos divisores, el 1 y el mismo nmero, pero lo entretenido de ellos, que son los que nos ayudan a buscar el mnimo comn mltiplo

Ellos son:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,

Y el nico primo par es el 2

Mnimo Comn Mltiplo (MCM)

El MCM de dos o ms nmeros es el menor nmero que contiene exactamente a cada uno de los nmeros dados.

Por ejemplos, el MCM entre los nmeros 4, 6 y 9 es el nmero 36, pues este es el nmero ms chico que contiene a los tres nmeros dados.

Mtodo para encontrar el MCM

Para encontrar el MCM de dos o ms nmeros dados, usaremos el mtodo de la descomposicin prima.

Decimos que un nmero est expresado en su descomposicin prima cuando el nmero est escrito como producto solamente de nmeros primos.

Para entender esto ltimo, veamos la descomposicin prima de algunos nmeros.

15 = 3 5 24 = 2 2 2 3 = 23 3 36 = 2 2 3 3 = 22 32 40 = 2 2 2 5 = 23 5

Los procedimientos para determinar el MCM de una cantidad de nmeros fijos son:

El MCM de dos o ms nmeros queda determinado por el producto de cada factor primo elevado al mayor exponente al que se encuentra.

Para desarrollar la tcnica descrita, buscamos el MCM de los nmeros 36, 48 y 120.

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eros Naturales


Empezamos escribiendo las descomposiciones primas de cada nmero.

Tenemos

36 = 22 32 48 = 24 3 120 = 23 3 5

Entonces, para el MCM usamos cada factor primo, una sola vez, elevado a la mayor potencia con la que aparece.

En este caso, el MCM es 24 32 5 = 16 9 5 = 720

60 54 2

30 27 2

15 27 3

5 9 3

5 3 3

5 1 5

1 540

MNIMO COMN MlTIPlO

si te fijas se divide por el primo ms pequeo que en este caso es 2 , cuando ya no se pueda seguir dividiendo con l, se sigue con el que viene que en este caso es 3, y as sucesivamente, en la columna 3 se multiplican todos los valores, y ese es el que corresponde al mcm.

mcm(60, 54) = 540

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eros Naturales


ahora completa la siguiente tabla (intenta hacerlo sin ver el Resultado mas abajo,de modo tal que te asegures de ir aprendiendo).

Para la primera fila realizamos la siguiente operacin, que es igual a la del ejemplo

Y el nmero faltante es 27

los nmeros primos son tiles para calcular mnimo comn mltiplo (mcm)

Para la segunda fila realizamos la siguiente operacin

ejercicio

resultado

explicacin

Nmeros Producto de los nmeros

m.c.m

21 28

24 216

Nmeros Producto de los nmeros

m.c.m

21 28 2,2,3,7 84

27 24 2,2,2,3,3,3 216

21 28 2

21 14 2

21 7 3

7 7 7

1 1 84

216 2

108 2

54 2

27 3

9 3

3 3

1 216

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eros Naturales


Propuesta de Ejercicios

Calcule el mnimo comn mltiplo de los siguientes 10 ejercicios.

1. 15 y 30 30

2. 25 y 16 400

3. 37 y 12 444

4. 14 y 18 126

5. 2, 8 y 10 40

6. 3, 5, y 12 60

7. 25, 30 y 75 150

8. 40, 60 y 100 600

9. 25, 12 y 36 900

10. 36, 42 y 50 6300

ejercicio resultado

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eros Enteros


Los Nmeros Enteros ZEl segundo conjunto numrico que estudiamos es el conjunto de los NMerOS eNTerOS, que es denotado por la letra Z.

objetivos

Reconocer el conjunto de los nmeros enteros, y entender su importancia en el desarrollo de la teora bsica de la matemtica.

Resolver operaciones bsicas del conjunto de los nmeros enteros aplicando sus propiedades.

El conjunto Z es el conjunto formado por los naturales, ms los Naturales con signo negativo.

As,

Z = {, 3, 2, 1, 0, 1, 1, 3}De este conjunto podemos extraer los siguientes conjuntos

Z+ = {1, 2, 3,}, los enteros positivos Z = {-1, 2, 3,}, los enteros negativos

Hacemos notar que el nmero 0 es un entero que no es ni positivo ni negativo.

En Z se mantiene la definicin de orden dada para los nmeros Naturales.

Para expresarlo de una manera simple, diremos que en los enteros (y por tanto tambin en los naturales y Naturales) un nmero es mayor que todo nmero que se encuentre a su izquierda, y es menor a todo nmero que se encuentre a su derecha, entendiendo que los nmeros estn definidos en estructura de conjunto.

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eros Enteros


operaciones en Z

suma

En los nmeros enteros distinguimos dos casos para la adicin.

a. enteros de igual signo: si los nmeros tienen igual signo, se suman y se conserva el signo.

b. enteros de distinto signo: considerando ambos nmeros como positivos, se hace la resta entre el nmero mayor y el menor, y al resultado se le mantiene el signo del nmero mayor.

ejemplos:

a. 12+9 = 21 (nmeros ambos con signo positivo. se suman y se conserva el signo)b. -6-13 = -19 (nmeros ambos con signo negativo. se suman y se conserva el signo)c. 5-13 = -8 (nmeros de distinto signo. Al mayor, 13, se le resta el menor, 5, y al resultado, 8, se le

conserva el signo del mayor, 13, que tiene signo negativo)

Resta

se define la sustraccin de dos enteros como

a b = a + (b)Es decir, la sustraccin se transforma en adicin, sumando al minuendo el opuesto del sustraendo.

ejemplos 1. (-9) (-5) = (-9) + (+5) = (-4) 2. (+8) (+2) + (-3) = (+8) + (-2) + (-3) = (+3) 3. (-3)+(+5)=+2

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eros Enteros


Multiplicacin

Para multiplicar dos enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo, mientras que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo.

ejemplos 1. (-9) x (-5) = (+45) 2. (+8) x (-4) = (-32) 3. (+11) x (+6) = (+66) 4. (-3) x (+15) = (-45)

Divisin

Para multiplicar dos enteros es necesario tener presente que el producto de dos enteros de igual signo es siempre positivo, mientras que el producto de dos enteros de distinto signo es siempre negativo.

ejemplos 1. (-12) : (+6) = (-2) 2. (+99) : (+11) = (+9) 3. (+340) : (-10) = (-34) 4. (-48) : (-6) = (+8)

Propiedad DistributivaEs una de las propiedades que tiene la multiplicacin de nmeros enteros. Los encontraremos cuando tengamos un nmero entero multiplicando a un parntesis (), donde dentro del parntesis hay nmeros sumando o restando.

ejemplo:

(-6) x [(-4) + (-7) (+3)] = (-6) x (-4) + (-6) x (-7) (-6) x (+3)

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eros Enteros


Factor ComnEs lo contrario de aplicar la propiedad distributiva, Eso significa sacar hacia la izquierda aquel valor que se repite.

ejemplo:

(-9) x (-4) (-9) x (+7) + (-3) x (-9) = (-9) x [(-4) (+7) + (-3)]

recuerda esta Clavesi el ejercicio no tiene parntesis, el orden en que se operan los nmeros es siempre: multiplicacin y divisin, suma, resta.Es importante considerar que se opera en orden de izquierda a derecha.

si el ejercicio tiene parntesis, primero deben ser resueltos stos, considerando que si el parntesis est precedido por un signo menos, los signos interiores deben ser cambiados.

IMPO

RTAN

TE

interpretacionesinterpreta las siguientes situaciones, escribiendo en cada caso, el nmero entero:

SITUaCIONeS INTerPreTaCIN

Avanc 4 metros. +4

Avanc 12 metros. +12

El ascensor est en el 3 piso. +3

El ascensor est en el 0 piso. 0

Debo $11.000 -11.000

Debo $2.000 -2.000

El tesoro est a 40 metros de profundidad. -40

El tesoro est a 24 metros de profundidad. -24

La temperatura en la Antrtica es de 3 grados bajo cero.

-3

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eros Enteros


Cmo lo desarroll?

Us las palabras avanzar, agregar, ahorr como sinnimos del signo mas, porque estas palabras aducen a sumar

Y

Profundidad, retroceder, deber, girar como sinnimos del signo menos, porque estas palabras inducen a restar

Con ayuda de la recta numrica responden: Cul es la diferencia de temperaturas extremas cada da?

Cmo lo desarroll?, Calculando la resta entre el mayor y el menor valorPor ejemplo: 25-11=14

Para los siguientes ejemplos, debemos tener en cuenta la regla de los signos, que se utilizan en la multiplicacin y divisin de las operaciones.

IMPO

RTAN

TE

Temperatura Mnima

Temperatura Mxima

Diferencias

11 25 14

9 18 90 7 7-1 4 5

-15 -2 13

+ * + = ++ * - = -- * + = -- * - = +

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eros Racionales


Los Nmeros Racionales Q

Objetivos

Conocer el conjunto de los nmeros racionales Conocer y manejar la operatoria en el conjunto de los nmeros racionales interpretar y resolver situaciones prcticas en las que se usan nmeros racionales

El conjunto de los nmeros racionales es el conjunto definido por

El trmino se conoce como fraccin, donde sus elementos son el numerador, que es el trmino

que est arriba en la fraccin, y el denominador, que es el trmino que est abajo en la fraccin.

As, los nmeros racionales es el conjunto de todas las fracciones donde el denominador no puede ser 0, pues tal fraccin est indeterminada.

Notamos que los nmeros enteros tambin pueden ser considerados como racionales, pues, si a Z, podemos escribir

representacin grfica de una fraccin

Pertenece al conjunto Q, indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han considerado 3 partes de ella. (Ver figura)

= ab;a,b y b 0

38

= 38

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eros Racionales


realicemos otro ejemplo

a. A qu fraccin representa la siguiente figura?

Muy bien, equivale a

Equivalencia entre nmeros racionales

Definimoslaequivalencia()entredosracionalescomosigue

siempre que a d = b c

Esta definicin ser de mucha utilidad cuando se definan la suma y resta entre nmeros racionales.

Veamos algunos ejemplos.

pues 3 8 = 4 6, ambos productos iguales a 24

pues 4 7 5 6, ya que 28 30

simplificacin de un nmero racional

Consiste en dividir el numerador y el denominador del racional por un mismo nmero entero, distinto de cero.

Cuando simplificamos un racional, su valor no vara, pues el racional obtenido ser equivalente al original.

Por ejemplo, al simplificar el racional por 7, obtenemos el racional equivalente = .

Una fraccin que ya no puede ser simplificada se llama fraccin irreducible.

24

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eros Racionales


8, cuando sus tres ltimas cifras son cero o bien forman un nmero que se puede dividir exactamente por 8

9, cuando la suma de sus cifras se puede dividir exactamente por 9 10, cuando su ltima cifra es cero.

Para el nmero 7, la regla no es fcil de retener. Por tanto, en caso de saber si un nmero es divisible por 7, se recomienda dividir. si la divisin es exacta, entonces el nmero s es divisible por 7; si la divisin no es exacta, entonces el nmero no es divisible por 7.

Como ejemplo, veamos por qu nmeros podemos dividir el nmero 540, siguiendo las reglas antes enunciadas.

Tenemos que el nmero es par y termina en 0. Luego, es divisible por 2, 5 y 10.

Tambin, sus dos ltimas cifras forman el nmero 40, que es divisible por 4; luego 540 tambin es divisible por 4.

Vemos que si sumamos sus cifras obtenemos 5+4+0=9, nmero que es divisible tanto por 3 como por 9. Luego, 540 es divisible por ambos.

Como es divisible por 2 y 3, tambin lo es por 6.

Y si hacemos las divisiones correspondientes, vemos que 540 no es divisible ni por 7 ni por 8 (verificar!!).

Reglas de divisibilidadUn nmero es divisible por

2, cuando es par 3, cuando la suma de sus cifras se puede dividir exactamente por 3. 4, cuando sus dos ltimas cifras son cero o bien forman un nmero que se puede dividir

exactamente por 4 5, cuando su ltima cifra es 0 5 6, cuando es divisible por 2 y 3 a la vez

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eros Racionales


operaciones en los nmeros racionales

suma y resta

En los nmeros racionales distinguimos dos casos para la adicin.

a. racionales de igual denominador: si los racionales comparten el mismo denominador, entonces se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores;

As,

b. racionales de distinto denominador: si los racionales no comparten el mismo denominador, lo que se hace es igualar denominadores usando el mnimo comn mltiplo entre los denominadores, para luego usar racionales equivalentes, y finalmente sumar o restar las fracciones.

Por ejemplo, calculemos

Primero encontramos el MCM entre 3 y 4, que es 12. segundo, buscamos una fraccin equivalente para cada fraccin de la suma o resta, que tengan denominador igual a 12.

Tenemos que

As,

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eros Racionales


Multiplicacin en los nmeros racionales

se define la multiplicacin en los racionales como sigue

Es importante mencionar que antes de multiplicar fracciones es conveniente simplificar, ya sea numerador con denominador respectivo, o bien en forma cruzada.

Tal propiedad de simplificacin es vlida slo para la operacin multiplicacin.

Veamos un ejemplo

Queremos calcular

Miramos primero cada fraccin y vemos que no podemos simplificar. Pero si miramos el denominador de la primera y el numerador de la segunda, vemos que s podemos simplificar, y lo hacemos.As,

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eros Racionales


Divisin en los nmeros racionales

se define la divisin en los racionales como sigue

Es decir, la divisin se transforma en multiplicacin invirtiendo la fraccin del divisor.

Veamos un ejemplo

Queremos calcular

Convertimos la divisin en multiplicacin invirtiendo el divisor. Luego simplificamos si se puede hacer, para finalmente resolver.

Tenemos

ab

:cd= abi dc

= adbc

Existe un fenmeno importante, que se da tanto en la multiplicacin y la divisin en los nmeros racionales, este se llama ParTe De UN NMerOsirve por ejemplo cuando te quieres comer 1/4 de chocolate, o quieres llenar 1/2 de estanque de bencina, a continuacin se explica el procedimiento para determinar la parte de un nmero

IMPO

RTAN

TE

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eros Racionales


Parte de un nmero

Para calcular la parte de un nmero, lo que se hace es multiplicar tal parte por el nmero indicado.

Por ejemplo, si queremos calcular

Veamos un ejemplo bsico aplicado.

se tienen $540 y se gastan los de esa cantidad.

se quiere saber cunto dinero se gast y cunto dinero queda.

SOl: calculamos los de 540 y tenemos 540 = 2 180 = 360

Luego, se gastaron $360, y por tanto quedan $540 $360 = $180.Cuando se trabaja considerando partes, el nmero 1 representa a la unidad completa.

importante destacar en los racionales

es importante hacer notar que el nmero de arriba se le llama numerador y al de abajo se le nombra como denominador, pero si el denominador es 1, pasa lo siguiente:

El nmero que manda, es el denominador que en este caso es 5, y ste es un representante de los nmeros enteros.

Adems suceden los siguientes casos especiales que debes tener presente:

Si el numerador es 0

Es aplicable para cualquier nmero que se encuentre en el denominador, menos el 0

51=5=>

010

= 0

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eros Racionales


Si el denominador es 0

La expresin no existe, y es aplicable para cualquier numerador, menos el 0

si te fijas aqu hay algo interesante, el 0 es un nmero bien conflictivo, porque hay otra forma de expresar en fraccin.

Esta fraccin significa indeterminada, ac no es de gran importancia, pero recurdalo cuando lo veamos en clculo.

10

=

00

=

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Razn, P

roporcin y Porcentaje


Razn, Proporcin y PorcentajeCuntos somos?

Para satisfacer algunas necesidades humanas tales como educacin, salud, proteccin del medio ambiente y distribucin de la produccin de un pas determinado, es indispensable tener informacin numrica que nos indique cul es su poblacin, y cuntos son los recursos disponibles.

Las cantidades de esta informacin suelen ser muy grandes y difciles de imaginar, muchas veces se expresan en razones, proporciones y porcentajes para poder tener una idea ms concreta.

Objetivos

Resolver problemas cotidianos de razones, proporciones y porcentajes Aplicar concepto de razones para comparar objetos, situaciones y poblaciones Utilizar el concepto de porcentajes para problemas administrativos y econmicos Aplicar conocimientos de porcentajes para aplicacin de algunos impuestos como iVA Reconocer magnitudes directamente proporcionales e inversamente proporcionales

M1P. 23

Razn, P



Razones

Una razn es el cuociente entre dos medidas con iguales unidades. En una razn, el numerador se llama antecedente y el denominador se llama consecuente.

La razn entre a y b se anota:

ejemplos

En cada caso, escriba la razn y determine su valor.

a) Antecedente 2 y consecuente 3 Respuesta:

b) Antecedente 3 y consecuente 15 Respuesta:

c) Antecedente 5 y consecuente 5 Respuesta:

d) Antecedente 16 y consecuente 4 Respuesta:

o

se lee a es a b

ab

a :b

23

315

= 15

55= 11=1

164

= 41= 4

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Razn, P



Cmo calculamos una razn?

1. En un curso de 18 alumnos, 9 fueron reprobados. Cul es la razn entre la cantidad de aprobados y la cantidad de alumnos del curso?

REsPUEsTA: 189

= 21

Recuerden siempre deben simplificar al mximo

HM

= 32

183

=6= k

M =26=12

Variable de proporcionalidadSIEMPRE SE DEBE MULTIPLICAR POR LA VARIABLE DE PROPORCIONALIDAD

7. En un curso, la razn entre la cantidad de hombres y de mujeres es 3:2. si la cantidad de hombres es 18, cul es el total de alumnos del curso?

REsPUEsTA:

Esto quiere decir que hay 12 mujeres en este curso y en total es la suma de 18 + 12 =30, que es la cantidad total de alumnos.

Los cuocientes en las razones se usan tanto para comparar medidas homogneas como para comparar con diferentes unidades, en tal caso las unidades deben aparecer en la razn.

IMPO

RTAN

TE

M1P. 25

Razn, P



Proporciones

Una PRoPoRCiN es una igualdad entre dos razones. si las razones son a:b y c:d que forman una proporcin, entonces se escribe esta proporcin como

a : b = c : d

Que se lee a es a b como c es a d

a los nmeros a y d se les llama extremos y a los nmeros b y c se les llama medios

Teorema Fundamental

En una proporcin se cumple SIeMPre que el producto de los extremos es igual al de los medios.

ejemplos

Determine el valor de la incgnita en cada una de las siguientes proporciones.

a) Resultado:

ab

= cd

ab

= cd

ad = bc

x2

= 156

x2= 156

6x =215

6x =30

x = 306

x =5

Multiplicamos cruzado, y luego el nmero que acompaa a la incgnita, como est multiplicando pasa dividiendo, Y siEMPRE DEBEMos siMPLiFiCAR AL MXiMo.

El valor buscado es 5

M1P. 26

Razn, P



b) Resultado:

c) Resultado:

63x

= 15

63x

= 15

63i5= 9i x

315= 9x

3159

= x

Multiplicamos cruzado, y luego el nmero que acompaa a la incgnita como est multiplicando pasa dividiendo, Y SIeMPre DebeMOS SIMPlIFICar al MXIMO.

El valor buscado es

Multiplicamos cruzado, y luego el nmero que acompaa a la incgnita como est multiplicando pasa dividiendo, Y SIeMPre DebeMOS SIMPlIFICar al MXIMO.

En este caso adems se debe simplificar por 2.

El valor buscado es

3159

85= 12

y

85= 12

y

8 y =12i5

8 y =60

y = 608

y = 158

152

M1P. 27

Razn, P



d) Resultado:4956

= y8

4956

= y8

49i8=56i y

392=56 y

39256

= y

7= y

Multiplicamos cruzado, y luego el nmero que acompaa a la incgnita como est multiplicando pasa dividiendo, Y SIeMPre DebeMOS SIMPlIFICar al MXIMO. El valor buscado es 7

M1P. 28

Razn, P



Proporcin directa

Dos magnitudes son directamente proporcionales si su razn es constante.

En palabras sencillas:

si aumenta a manteniendo la proporcionalidad b aumenta en la misma proporcin

EJEMPLos

La siguiente tabla muestra la edad de una madre y sus hijos segn los aos transcurridos a partir del ao pasado

Nota: Para calcular la proporcionalidad debes calcular el valor de la razn entre las variables, si este valor se mantiene constante entonces las variables son proporcionales.

si te das cuentas todas las magnitudes son distintas, por lo tanto No es proporcin directa.

respuesta 266

= 133

3010

= 31

3515

= 73

4020

=2

Tiempo 1 2 3 4

Edad Hijo 6 10 15 20

Edad Madre 26 30 35 40

M1P. 29

Razn, P



Tres metros de gnero valen $ 800. Cunto valen ocho metros del mismo gnero?

respuesta 38= $800

x

3x =8i800

3x = $6400

x = $64003

=2.133,3

M1P. 30

Razn, P



b) Cmo la diferencio? Porque obviamente si aumentan los telares disminuyen las cantidad de horas?

resultado 2560

= 120x

25i120=60x

3000=60x

300060

= x

50= x

Proporcin inversa

Dos magnitudes variables son inversamente proporcionales si su producto es constante.

en palabras sencillas:

si una cantidad aumenta al doble, la otra disminuye a la mitad

En las proporciones inversas se multiplican uno a uno y no cruzado como en la proporcin directa.

a) si 25 telares producen cierta cantidad de tela en 120 horas. Cuntas horas demoran 60 telares iguales en producir la misma cantidad de tela?

resultado 50 horas

M1P. 31

Razn, P



Porcentajes

La palabra porcentaje se refiere al nmero de partes que hay en un total de 100 partes. Estos se resuelven de la misma manera que una proporcin directa, y las personas le llaman el uso de la regla de tres.

ejemplos

obtenga el 40% de $120

Podemos decir que todos los porcentajes se dividen por 100

Y as sucesivamente

expresa en fracciones los siguientes porcentajes

40100i120=

48=

10%= 10100

20%= 20100

25%= 25100

30%= 30100

50%= 50100

20% 20%

12% 12%

12% 12%

20100

= 15

12100

= 325

60100

= 35

75100

= 34

150100

= 32

100100

=1

M1P. 32

Razn, P



Una tienda ofrece el 20 % de descuento en maletas de eco cuero. Al comprar un artculo con esta rebaja pagu $ 10.000 Cul fue el monto del descuento de las maletas?

respuesta: La maleta tena un valor de $12.500

Aqu debo hacer notar, que si se hizo un 20% de descuento, lo que pagu fue 100-20= 80%

10.000x

= 80%100%

10.000i100=80x

100.00080

= x

12.500= x

M1P.

Conjuntos N

umricos

rea: NegociosCurso: lgebra 33

Referencias Bibliogrficas

Bibliografas

De gispert Carlos, grriz Jos, Navarro Joaqun, El Mentor de las matemticas, MMiX Editorial oceano, Asesora Tcnica Joan Miguel Rigual, Ramn Masa

Riera Lira gonzalo, Matemticas Enseanza Media, Editorial Zigzag, Ao 2000

Colegio David Trumboll, Gua de Matemticas de Nivelacin, Ao 2010

Urrea Manns Alejandra, Jvenes Emprendedores para el siglo XXI, Ao 2012

LGEBRA, BALDoR, EDiToRiAL CEREs, MXiVo, Ao 2009

CURSO DE MATEMTICAS ELEMENTALES: LGEBRA, PRosCHLE, EDiToRiAL CEREs, Ao 2009

MATEMTICAS APLICADAS A LA ADMINISTRACIN Y A LA ECONOMA, ARYA, LARDNER E iBARRA, PEARsoNs, QUiNTA EDiCiN

Bibliografa Complementaria

http://goo.gl/Aauz0v

Khan Academy

Conjuntos Numricos, Operaciones y PropiedadesOperaciones en los Nmeros NaturalesSumaRestaMultiplicacinDivisin

Nmeros PrimosMnimo Comn Mltiplo (MCM)Mtodo para encontrar el MCMPropuesta de Ejercicios

Los Nmeros Enteros ZObjetivos

Operaciones en ZSumaRestaMultiplicacinDivisin

Propiedad DistributivaFactor ComnInterpretacionesLos Nmeros Racionales QEquivalencia entre nmeros racionalesSimplificacin de un nmero racional

Reglas de divisibilidadOperaciones en los nmeros racionalesSuma y restaMultiplicacin en los nmeros racionalesDivisin en los nmeros racionalesParte de un nmeroImportante destacar en los racionales

Razn, Proporcin y PorcentajeRazonesProporcionesPorcentajes

Referencias Bibliogrficas

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