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8/8/2019 m10087

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C o n n e x i o n s m o d u l e : m 1 0 0 8 7 1

D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n

V e r s i o n 2 . 1 8 : J u n 1 4 , 2 0 0 5 3 : 4 0 p m G M T - 5

R i c a r d o R a d a e l l i - S a n c h e z

R i c h a r d B a r a n i u k

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

A b s t r a c t

C o n v o l u t i o n i s a c o n c e p t t h a t e x t e n d s t o a l l s y s t e m s t h a t a r e b o t h l i n e a r a n d t i m e -

i n v a r i a n t ( L T I ) . I t w i l l b e c o m e a p p a r e n t i n t h i s d i s c u s s i o n t h a t t h i s c o n d i t i o n i s n e c e s -

s a r y b y d e m o n s t r a t i n g h o w l i n e a r i t y a n d t i m e - i n v a r i a n c e g i v e r i s e t o c o n v o l u t i o n .

D i s c r e t e - T i m e C o n v o l u t i o n

1 O v e r v i e w

C o n v o l u t i o n i s a c o n c e p t t h a t e x t e n d s t o a l l s y s t e m s t h a t a r e b o t h l i n e a r a n d t i m e -

i n v a r i a n t

1

( L T I ) . T h e i d e a o f d i s c r e t e - t i m e c o n v o l u t i o n i s e x a c t l y t h e s a m e a s t h a t o f

c o n t i n u o u s - t i m e c o n v o l u t i o n

2

. F o r t h i s r e a s o n , i t m a y b e u s e f u l t o l o o k a t b o t h v e r s i o n s t o

h e l p y o u r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s e x t r e m e l y i m p o r t a n t c o n c e p t . R e c a l l t h a t c o n v o l u t i o n i s a

v e r y p o w e r f u l t o o l i n d e t e r m i n i n g a s y s t e m ' s o u t p u t f r o m k n o w l e d g e o f a n a r b i t r a r y i n p u t

a n d t h e s y s t e m ' s i m p u l s e r e s p o n s e . I t w i l l a l s o b e h e l p f u l t o s e e c o n v o l u t i o n g r a p h i c a l l y w i t h

y o u r o w n e y e s a n d t o p l a y a r o u n d w i t h i t s o m e , s o e x p e r i m e n t w i t h t h e a p p l e t s

3

a v a i l a b l e

o n t h e i n t e r n e t . T h e s e r e s o u r c e s w i l l o e r d i e r e n t a p p r o a c h e s t o t h i s c r u c i a l c o n c e p t .

2 C o n v o l u t i o n S u m

A s m e n t i o n e d a b o v e , t h e c o n v o l u t i o n s u m p r o v i d e s a c o n c i s e , m a t h e m a t i c a l w a y t o e x p r e s s

t h e o u t p u t o f a n L T I s y s t e m b a s e d o n a n a r b i t r a r y d i s c r e t e - t i m e i n p u t s i g n a l a n d t h e s y s t e m ' s

r e s p o n s e . T h e c o n v o l u t i o n s u m i s e x p r e s s e d a s

y [n] =

k=

(x [k]h [n k]) ( 1 )

A s w i t h c o n t i n u o u s - t i m e , c o n v o l u t i o n i s r e p r e s e n t e d b y t h e s y m b o l * , a n d c a n b e w r i t t e n a s

y [n] = x [n] h [n] ( 2 )

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 1 . 0

1

h t t p : / / c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 8 4 / l a t e s t /

2


3

h t t p : / / w w w . j h u . e d u / s i g n a l s

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 1 0 0 8 7 / l a t e s t /

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F i g u r e 1 : A s i n g l e i m p u l s e i n p u t y i e l d s t h e s y s t e m ' s i m p u l s e r e s p o n s e .

B y m a k i n g a s i m p l e c h a n g e o f v a r i a b l e s i n t o t h e c o n v o l u t i o n s u m , k = n k , w e c a n e a s i l y s h o w t h a t c o n v o l u t i o n i s c o m m u t a t i v e :

x [n] h [n] = h [n] x [n] ( 3 )

F o r m o r e i n f o r m a t i o n o n t h e c h a r a c t e r i s t i c s o f c o n v o l u t i o n , r e a d a b o u t t h e P r o p e r t i e s o f

C o n v o l u t i o n

4

.

3 D e r i v a t i o n

W e k n o w t h a t a n y d i s c r e t e - t i m e s i g n a l c a n b e r e p r e s e n t e d b y a s u m m a t i o n o f s c a l e d a n d

s h i f t e d d i s c r e t e - t i m e i m p u l s e s . S i n c e w e a r e a s s u m i n g t h e s y s t e m t o b e l i n e a r a n d t i m e -

i n v a r i a n t , i t w o u l d s e e m t o r e a s o n t h a t a n i n p u t s i g n a l c o m p r i s e d o f t h e s u m o f s c a l e d a n d

s h i f t e d i m p u l s e s w o u l d g i v e r i s e t o a n o u t p u t c o m p r i s e d o f a s u m o f s c a l e d a n d s h i f t e d

i m p u l s e r e s p o n s e s . T h i s i s e x a c t l y w h a t o c c u r s i n c o n v o l u t i o n . B e l o w w e p r e s e n t a m o r e

r i g o r o u s a n d m a t h e m a t i c a l l o o k a t t h e d e r i v a t i o n :

L e t t i n g H b e a D T L T I s y s t e m , w e s t a r t w i t h t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n a n d w o r k o u r w a y

d o w n t h e c o n v o l u t i o n s u m !

y [n] = H [x [n]]= H

k=(x [k] [n k])

=

k=(H [x [k] [n k]])

=

k=(x [k]H [ [n k]])

=

k=(x [k]h [n k])

( 4 )

L e t u s t a k e a q u i c k l o o k a t t h e s t e p s t a k e n i n t h e a b o v e d e r i v a t i o n . A f t e r o u r i n i t i a l e q u a t i o n ,

w e u s i n g t h e D T s i f t i n g p r o p e r t y

5

t o r e w r i t e t h e f u n c t i o n , x [n], a s a s u m o f t h e f u n c t i o n t i m e s t h e u n i t i m p u l s e . N e x t , w e c a n m o v e a r o u n d t h e H o p e r a t o r a n d t h e s u m m a t i o n

b e c a u s e H [] i s a l i n e a r , D T s y s t e m . B e c a u s e o f t h i s l i n e a r i t y a n d t h e f a c t t h a t x [k] i s ac o n s t a n t , w e c a n p u l l t h e p r e v i o u s m e n t i o n e d c o n s t a n t o u t a n d s i m p l y m u l t i p l y i t b y H [].F i n a l l y , w e u s e t h e f a c t t h a t H [] i s t i m e i n v a r i a n t i n o r d e r t o r e a c h o u r n a l s t a t e - t h e c o n v o l u t i o n s u m !

A q u i c k g r a p h i c a l e x a m p l e m a y h e l p i n d e m o n s t r a t i n g w h y c o n v o l u t i o n w o r k s .

4


5

h t t p : / / c n x . r i c e . e d u / c o n t e n t / m 1 0 0 5 9 / l a t e s t / # s i f t i n g


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F i g u r e 2 : A s c a l e d i m p u l s e i n p u t y i e l d s a s c a l e d r e s p o n s e , d u e t o t h e s c a l i n g p r o p e r t y

o f t h e s y s t e m ' s l i n e a r i t y .

F i g u r e 3 : W e n o w u s e t h e t i m e - i n v a r i a n c e p r o p e r t y o f t h e s y s t e m t o s h o w t h a t a

d e l a y e d i n p u t r e s u l t s i n a n o u t p u t o f t h e s a m e s h a p e , o n l y d e l a y e d b y t h e s a m e a m o u n t

a s t h e i n p u t .


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F i g u r e 4 : W e n o w u s e t h e a d d i t i v i t y p o r t i o n o f t h e l i n e a r i t y p r o p e r t y o f t h e s y s t e m t o

c o m p l e t e t h e p i c t u r e . S i n c e a n y d i s c r e t e - t i m e s i g n a l i s j u s t a s u m o f s c a l e d a n d s h i f t e d

d i s c r e t e - t i m e i m p u l s e s , w e c a n n d t h e o u t p u t f r o m k n o w i n g t h e i n p u t a n d t h e i m p u l s e

r e s p o n s e .


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F i g u r e 5 : T h i s i s t h e e n d r e s u l t t h a t w e a r e l o o k i n g t o n d .

4 C o n v o l u t i o n T h r o u g h T i m e ( A G r a p h i c a l A p p r o a c h )

I n t h i s s e c t i o n w e w i l l d e v e l o p a s e c o n d g r a p h i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f d i s c r e t e - t i m e c o n v o l u t i o n .

W e w i l l b e g i n t h i s b y w r i t i n g t h e c o n v o l u t i o n s u m a l l o w i n g x t o b e a c a u s a l , l e n g t h - m s i g n a l

a n d h t o b e a c a u s a l , l e n g t h - k , L T I s y s t e m . T h i s g i v e s u s t h e n i t e s u m m a t i o n ,

y [n] =

m1

l=0

(x [l]h [n l]) ( 5 )

N o t i c e t h a t f o r a n y g i v e n n w e h a v e a s u m o f t h e p r o d u c t s o f xl a n d a t i m e - d e l a y e d hl .

T h i s i s t o s a y t h a t w e m u l t i p l y t h e t e r m s o f x b y t h e t e r m s o f a t i m e - r e v e r s e d h a n d a d d

t h e m u p .

G o i n g b a c k t o t h e p r e v i o u s e x a m p l e :

W h a t w e a r e d o i n g i n t h e a b o v e d e m o n s t r a t i o n i s r e v e r s i n g t h e i m p u l s e r e s p o n s e i n t i m e

a n d " w a l k i n g i t a c r o s s " t h e i n p u t s i g n a l . C l e a r l y , t h i s y i e l d s t h e s a m e r e s u l t a s s c a l i n g ,

s h i f t i n g a n d s u m m i n g i m p u l s e r e s p o n s e s .

T h i s a p p r o a c h o f t i m e - r e v e r s i n g , a n d s l i d i n g a c r o s s i s a c o m m o n a p p r o a c h t o p r e s e n t i n g

c o n v o l u t i o n , s i n c e i t d e m o n s t r a t e s h o w c o n v o l u t i o n b u i l d s u p a n o u t p u t t h r o u g h t i m e .


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F i g u r e 6 : H e r e w e r e v e r s e t h e i m p u l s e r e s p o n s e ,

h, a n d b e g i n i t s t r a v e r s e a t t i m e

0.

F i g u r e 7 : W e c o n t i n u e t h e t r a v e r s e . S e e t h a t a t t i m e

1, w e a r e m u l t i p l y i n g t w o

e l e m e n t s o f t h e i n p u t s i g n a l b y t w o e l e m e n t s o f t h e i m p u l s e r e s p o n s e .


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F i g u r e 8


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F i g u r e 9 : I f w e f o l l o w t h i s t h r o u g h t o o n e m o r e s t e p ,

n = 4, t h e n w e c a n s e e t h a t w e

p r o d u c e t h e s a m e o u t p u t a s w e s a w i n t h e i n i t i a l e x a m p l e .


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