M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema ....
Transcript of M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema ....
![Page 1: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/1.jpg)
1
M10 – Limieten van rijen
Inleiding
We willen het asymptotisch gedrag of het limietgedrag van een rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁 beschrijven,
d.w.z. we willen beschrijven hoe xn zich gedraagt als n ‘zeer groot’ wordt.
![Page 2: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Rijen met een EINDIGE limiet
- We noemen a de limiet van de rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁
- Keuze van 𝑛0 is afhankelijk van de keuze van 𝜀
![Page 3: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Rijen met een ONEINDIGE limiet
- We noemen plus oneindig de limiet van de rij (𝑥𝑛)𝑛 ∈ 𝑁
- Keuze van 𝑛0 is afhankelijk van de keuze van 𝑀
![Page 4: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/4.jpg)
4
Basiseigenschappen van limieten
Omgekeerde is niet noodzakelijkerwijs waar!!
![Page 5: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Stijgende en dalende rijen
Elke stijgende rij (𝒙𝒏)𝒏 ∈ 𝑵 heeft een limiet; bovendien is deze …
- … eindig a.s.a. deze rij naar boven begrensd is
- … oneindig a.s.a. deze rij niet naar boven begrensd is
Elke dalende rij (𝒙𝒏)𝒏 ∈ 𝑵 heeft een limiet; bovendien is deze …
- … eindig a.s.a. deze rij naar onder begrensd is
- … oneindig a.s.a. deze rij niet naar onder begrensd is
![Page 6: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Limieten tussen rijen onderling
“Nemen van de limiet bewaart de orde tussen rijen”
Insluitingsstelling voornamelijk gebruiken bij alternerende rijen!!
Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema
![Page 7: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/7.jpg)
7
Rekenregels van rijen
![Page 8: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/8.jpg)
8
![Page 9: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Rekenregels van limieten van rijen
![Page 10: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/10.jpg)
10
OPGELET 1: ONBEPAALDE VORMEN VOOR RIJEN:
![Page 11: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/11.jpg)
11
OPGELET 2: LIMIET VAN DE NOEMER VAN DE QUOTIËNTRIJ IS WÉL NUL
![Page 12: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Convergente rijen in Rn
Normale rekenregels van limieten blijven gelden!!
![Page 13: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/13.jpg)
13
M11 – Belangrijke functies
Exponentiële en logaritmische functies
Exponentiële functies
![Page 14: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/14.jpg)
14
Logaritmische functies
𝑙𝑜𝑔𝑎 (𝑎) = 1
EXTRA: BRIGGSE logaritme
𝑙𝑜𝑔10 (𝑥) = 𝑙𝑜𝑔 (𝑥) = 𝑦
EXTRA: NATUURLIJKE logaritme
𝑙𝑜𝑔𝑒 (𝑥) = 𝑙𝑛 (𝑥) = 𝑦
Verband tussen exponentiële en logaritmische functies
𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑎𝑦) = 𝑎𝑙𝑜𝑔𝑎(𝑦) = 𝑦
![Page 15: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Goniometrische functies
Goniometrische cirkel
![Page 16: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Sinus- & cosinusfunctie
Algebraïsch
Grafisch op de goniometrische cirkel
Grafisch in het assenstelsel
Sinusfunctie
Cosinusfunctie
![Page 17: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/17.jpg)
17
Tangens- & cotangensfunctie
Algebraïsch
Grafisch op de goniometrische cirkel
Grafisch in het assenstelsel
Tangensfunctie
Cotangensfunctie
![Page 18: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Goniometrische formules
Zie formularium
Sinus, cosinus, tangens & cotangens van enkele speciale hoeken
![Page 19: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Intermezzo: Transformaties van grafieken
SPIEGELEN T.O.V.
… x-as 𝑦 = −𝑓(𝑥)
… y-as 𝑦 = 𝑓(−𝑥)
… oorsprong 𝑦 = −𝑓(−𝑥)
VERSCHUIVEN NAAR … links 𝑦 = 𝑓(𝑥 + 𝑎)
… rechts 𝑦 = 𝑓(𝑥 − 𝑎)
VERSCHUIVEN NAAR … omhoog 𝑦 = 𝑓(𝑥) + 𝑎
… omlaag 𝑦 = 𝑓(𝑥) − 𝑎
TRANSFORMEREN T.O.V. X-AS … inkrimpen
𝑦 =1
𝑎∙ 𝑓(𝑥)
… uitrekken 𝑦 = 𝑎 ∙ 𝑓(𝑥)
TRANSFORMEREN T.O.V. Y-AS … inkrimpen
𝑦 = 𝑓(1
𝑎∙ 𝑥)
… uitrekken 𝑦 = 𝑓(𝑎 ∙ 𝑥)
![Page 20: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/20.jpg)
20
M12 – Continuïteit en limieten van functies
Continuïteit van functies
Definitie van continue functies
![Page 21: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/21.jpg)
21
Eigenschappen van continue functies
![Page 22: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/22.jpg)
22
![Page 23: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Limieten van functies
Definitie van limieten van functies
!
![Page 24: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/24.jpg)
24
Eigenschappen van limieten van functies
… Eigenschappen van limieten gezien in module 10 blijven geldig …
![Page 25: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/25.jpg)
25
M13 – Afgeleiden voor functies van één veranderlijke
Definitie van de afgeleide
Betekenis van de afgeleide
![Page 26: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/26.jpg)
26
Eigenschappen en rekenregels van de afgeleide
![Page 27: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/27.jpg)
27
![Page 28: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/28.jpg)
28
![Page 29: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/29.jpg)
29
Middelwaardestelling van Rolle en Lagrange
![Page 30: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/30.jpg)
30
Tweede en hogere orde afgeleiden
Definitie
nde-orde benadering
![Page 31: M10 Limieten van rijen - Ekowiki · Insluitingsstelling = Sandwich stelling = Sandwicht theorema . 7 Rekenregels van rijen . 8. 9 Rekenregels van limieten van rijen . 10 OPGELET 1:](https://reader031.fdocuments.net/reader031/viewer/2022021706/5b922f2009d3f26a278d5cd3/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Regel van l’Hôpital