Lösungsweg: Satz von Gauß

Berechnung von Feldstärken aus der Ladungsverteilung

Inhalt

• Berechnung der Feldstärken für– Kugelsymmetrische Ladungsverteilung– Ladung auf einem langen dünnen Draht– Ladung auf einer sehr großen Platte– Ladungen auf zwei sehr großen parallelen

Platten, dem „Plattenkondensator“

1 Nm2/C„Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes“

1 CSumme der Ladungen innerhalb des Volumens

1 C2/(Nm2)Elektrische Feldkonstante

Der Satz von Gauß

0

Q

AdEOberfläche

E

Ad

120 1085418782,8

Gilt für b

eliebig geformte

geschlossene Flächen

Q

Berechnung der Feldstärke mit Hilfe des Gaußschen

Satzes

• Ist die Ladungsverteilung im Raum bekannt, dann kann für beliebige, geschlossene Volumina der elektrische Fluss berechnet werden

• Aus einem einzigen Wert des elektrischen Flusses kann nur bei einigen symmetrischen Ladungsverteilungen die Funktion für die Feldstärke angegeben werden

• Im allgemeinen ist die Feldstärke ein Feld von Vektoren

|E| ist nur bei hoher

Symmetrie eine Funktion nur

einer Variabler

Wahl von Form und Lage der „geschlossenen Fläche“

• Die Symmetrie der „geschlossenen Fläche“ sei gleich der Symmetrie der Feldlinien

• Die Teilflächen der „geschlossenen Fläche“ wähle man so, dass ihre Flächennormalen bezüglich der Feldlinien– entweder parallel– oder senkrecht liegen

AEAE

0 AE

Man nützt die im Gaußschen Satz vorgesehene Möglichkeit beliebiger Wahl der -die Ladung umschließenden- Fläche

Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale Fläche?

1 Nm2/C0

.

/QAdEFlächeO

Nein!

1 Jm/CFeldstärke und Ladung bei kugelsymmetrischer Ladungsverteilung

0

.

/QAdEFlächeO

Fluss um eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung

02 /4 QEr

Die optimale Fläche ist hier eine Kugel um den Schwerpunkt der Ladungen: An jedem Punkt der Oberfläche ist die Feldstärke konstant E und steht parallel zu dA

Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung

1 N/CFeldstärke im Abstand r von der Kugel

1 C Ladung auf der Kugel

1 m Abstand von der Kugel

1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

204 r

QE

Q

r12

0 1085.8

r

E

1N Coulombkraft

1C Ladungen

1 m Abstand

qQ ,

204

1

r

qQF

Vergleich mit dem Coulombgesetz

r

rQ

q

1NKraft im Feld einer Punktladung

1 N/CFeldstärke einer Punktladung

1NKraft im Feld ≡ Coulombgesetz

Coulombgesetz ≡ Kraft im Feld einer Punktladung

qEF Pkt

204 r

QEPkt

qr

QF

204

Versuch

• Kraft zwischen Punktladungen

1 Nm2/C

Fluss durch einen um den Draht gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf den Deckflächen Null, auf der Mantelfläche konstant

1 C/m Ladung pro Längeneinheit

0

.

/QAdEFlächeO

Berechnung des Flusses um einen geladenen, langen Draht

0/2 lErl

l

r

lQ /

A=2π·r·l

1 N/C Feldstärke im Abstand r von einem langen Draht

1 C/m Ladung pro Längeneinheit

1 m Abstand vom Draht

1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

)2/( 0 rE

r

120 1085.8

Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r um einen Draht

r

E

Feldstärke im Abstand r um einen geladenen Draht

r

E

In der Umgebung eines geladenen, langen, geraden Drahtes nimmt die Feldstärke bei zunehmendem Abstand r mit 1/r ab

Q 1 C Ladung auf einer Fläche

A 1 m2 Flächeninhalt

σ = Q/A 1 C/m2 Quotient: Ladung durch Fläche, genannt „Flächenladungsdichte“

Die Flächenladungsdichteσ = Q/A

1 Nm2/C

Fluss durch einen um die Fläche gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf der Mantelfläche Null, auf den Deckflächen konstant

0

.

/QAdEFlächeO

Berechnung des Flusses um eine geladene, große Fläche

022 QEr

A=π·r2A=π·r2

E E

Q=σ· π·r2

r

022 /2 rEr

1 N/CFeldstärke im Abstand r von einer großen Platte

1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit

1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

02/ EAQ /

120 1085.8

Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer Platte

rE

Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand

1 N/CFeldstärke im Abstand r von einer großen Platte

1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit

1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

02/ E

120 1085.8

Feldstärke im Abstand r von einer großen negativ geladenen Platte

E

Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand

1 N/CFeldstärke zwischen zwei unterschiedlich geladen Platten

1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit

1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante

0/E

12

0 1085.8

Feldstärke um zwei „unendlich große“, geladene Platten

Der Plattenkondensator

Eines der drei Modell-Bauteile der E-Lehre

Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke

• Im Innern „homogen“, d. h. konstant und unabhängig vom Abstand der „unendlich großen“ Platten

• Aussen Null

Feldstärke im Plattenkondensator

Zusammenfassung• Für Ladungsverteilungen mit hoher Symmetrie liefert der

Satz von Gauß die Feldstärke als Funktion der Ladung bzw. der Ladungsdichte und dem Abstand r [m] :

– Punktladung Q [C] : E= Q / (4πεor2) [N/C] , E ~ 1 / r2

– Geladener langer Draht, Ladung pro Länge λ [C/m] : E= λ / (4πεor) [N/C] , E ~ 1 / r

– Geladene „unendlich große“ Platte, Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / (2εo) [N/C] , E konstant

– Zwischen den Platten eines Plattenkondensators mit Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / εo [N/C] • Zwischen den Platten ist E konstant und - bei

konstanter Ladung - unabhängig vom Abstand der Platten

• Außerhalb der Platten gibt es das „Streufeld“ viel geringerer Feldstärke

Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke unabhängig

vom Abstand der „unendlich großen“ Platten

Finis