Lösungsweg: Satz von Gauß
Berechnung von Feldstärken aus der Ladungsverteilung
Inhalt
• Berechnung der Feldstärken für– Kugelsymmetrische Ladungsverteilung– Ladung auf einem langen dünnen Draht– Ladung auf einer sehr großen Platte– Ladungen auf zwei sehr großen parallelen
Platten, dem „Plattenkondensator“
1 Nm2/C„Ladungen sind die Quellen des elektrischen Feldes“
1 CSumme der Ladungen innerhalb des Volumens
1 C2/(Nm2)Elektrische Feldkonstante
Der Satz von Gauß
0
Q
AdEOberfläche
E
Ad
120 1085418782,8
Gilt für b
eliebig geformte
geschlossene Flächen
Q
Berechnung der Feldstärke mit Hilfe des Gaußschen
Satzes
• Ist die Ladungsverteilung im Raum bekannt, dann kann für beliebige, geschlossene Volumina der elektrische Fluss berechnet werden
• Aus einem einzigen Wert des elektrischen Flusses kann nur bei einigen symmetrischen Ladungsverteilungen die Funktion für die Feldstärke angegeben werden
• Im allgemeinen ist die Feldstärke ein Feld von Vektoren
|E| ist nur bei hoher
Symmetrie eine Funktion nur
einer Variabler
Wahl von Form und Lage der „geschlossenen Fläche“
• Die Symmetrie der „geschlossenen Fläche“ sei gleich der Symmetrie der Feldlinien
• Die Teilflächen der „geschlossenen Fläche“ wähle man so, dass ihre Flächennormalen bezüglich der Feldlinien– entweder parallel– oder senkrecht liegen
AEAE
0 AE
Man nützt die im Gaußschen Satz vorgesehene Möglichkeit beliebiger Wahl der -die Ladung umschließenden- Fläche
Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale Fläche?
1 Nm2/C0
.
/QAdEFlächeO
Nein!
1 Jm/CFeldstärke und Ladung bei kugelsymmetrischer Ladungsverteilung
0
.
/QAdEFlächeO
Fluss um eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung
02 /4 QEr
Die optimale Fläche ist hier eine Kugel um den Schwerpunkt der Ladungen: An jedem Punkt der Oberfläche ist die Feldstärke konstant E und steht parallel zu dA
Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer kugelsymmetrischen Ladungsverteilung
1 N/CFeldstärke im Abstand r von der Kugel
1 C Ladung auf der Kugel
1 m Abstand von der Kugel
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
204 r
QE
Q
r12
0 1085.8
r
E
1N Coulombkraft
1C Ladungen
1 m Abstand
qQ ,
204
1
r
qQF
Vergleich mit dem Coulombgesetz
r
rQ
q
1NKraft im Feld einer Punktladung
1 N/CFeldstärke einer Punktladung
1NKraft im Feld ≡ Coulombgesetz
Coulombgesetz ≡ Kraft im Feld einer Punktladung
qEF Pkt
204 r
QEPkt
qr
QF
204
Versuch
• Kraft zwischen Punktladungen
1 Nm2/C
Fluss durch einen um den Draht gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf den Deckflächen Null, auf der Mantelfläche konstant
1 C/m Ladung pro Längeneinheit
0
.
/QAdEFlächeO
Berechnung des Flusses um einen geladenen, langen Draht
0/2 lErl
l
r
lQ /
A=2π·r·l
1 N/C Feldstärke im Abstand r von einem langen Draht
1 C/m Ladung pro Längeneinheit
1 m Abstand vom Draht
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
)2/( 0 rE
r
120 1085.8
Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r um einen Draht
r
E
Feldstärke im Abstand r um einen geladenen Draht
r
E
In der Umgebung eines geladenen, langen, geraden Drahtes nimmt die Feldstärke bei zunehmendem Abstand r mit 1/r ab
Q 1 C Ladung auf einer Fläche
A 1 m2 Flächeninhalt
σ = Q/A 1 C/m2 Quotient: Ladung durch Fläche, genannt „Flächenladungsdichte“
Die Flächenladungsdichteσ = Q/A
1 Nm2/C
Fluss durch einen um die Fläche gelegten Zylinder. Die Skalarprodukte E·ΔA sind auf der Mantelfläche Null, auf den Deckflächen konstant
0
.
/QAdEFlächeO
Berechnung des Flusses um eine geladene, große Fläche
022 QEr
A=π·r2A=π·r2
E E
Q=σ· π·r2
r
022 /2 rEr
1 N/CFeldstärke im Abstand r von einer großen Platte
1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
02/ EAQ /
120 1085.8
Aufgelöst nach E: Feldstärke im Abstand r von einer Platte
rE
Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand
1 N/CFeldstärke im Abstand r von einer großen Platte
1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
02/ E
120 1085.8
Feldstärke im Abstand r von einer großen negativ geladenen Platte
E
Für eine „unendlich große“ Platte ist die Feldstärke konstant, unabhängig vom Abstand
1 N/CFeldstärke zwischen zwei unterschiedlich geladen Platten
1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
0/E
12
0 1085.8
Feldstärke um zwei „unendlich große“, geladene Platten
Der Plattenkondensator
Eines der drei Modell-Bauteile der E-Lehre
Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke
• Im Innern „homogen“, d. h. konstant und unabhängig vom Abstand der „unendlich großen“ Platten
• Aussen Null
Feldstärke im Plattenkondensator
Zusammenfassung• Für Ladungsverteilungen mit hoher Symmetrie liefert der
Satz von Gauß die Feldstärke als Funktion der Ladung bzw. der Ladungsdichte und dem Abstand r [m] :
– Punktladung Q [C] : E= Q / (4πεor2) [N/C] , E ~ 1 / r2
– Geladener langer Draht, Ladung pro Länge λ [C/m] : E= λ / (4πεor) [N/C] , E ~ 1 / r
– Geladene „unendlich große“ Platte, Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / (2εo) [N/C] , E konstant
– Zwischen den Platten eines Plattenkondensators mit Ladung pro Fläche σ [C/m2] : E= σ / εo [N/C] • Zwischen den Platten ist E konstant und - bei
konstanter Ladung - unabhängig vom Abstand der Platten
• Außerhalb der Platten gibt es das „Streufeld“ viel geringerer Feldstärke
Im „unendlich großen“ Plattenkondensator ist bei gegebener, konstanter Ladung, die Feldstärke unabhängig
vom Abstand der „unendlich großen“ Platten
Finis
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