1

Lista de ejercicios No. 1 Conjuntos, espacio muestral y probabilidad

1._ De una encuesta aplicada a 60 estudiantes que asisten a la universidad, 9 habitan fuera del recinto universitario, 36 son

estudiantes de licenciatura y 3 son estudiantes de licenciatura que habitan fuera del recinto.

a) Encuentra el nmero de estudiantes que estn estudiando su licenciatura, que habitan fuera del recinto o que satisfacen ambas

caractersticas.

b) Cuntos estudiantes de licenciatura habitan en el recinto?

c) Cuntos estudiantes ya tienen su licenciatura y habitan en el recinto?

2._ Dos equipos de bisbol 1 y 2 tienen la misma capacidad y juegan el uno contra el otro una serie de 4 juegos, registrando el

resultado de cada juego.

a) Cules son los resultados posibles?

b) Si A es el conjunto de resultados en que el equipo 1 gana exactamente 3 veces, lista los elementos de A.

3._ Una instalacin consta de dos caldera y un motor. Sea A el evento de que el motor est en buenas condiciones, mientras que

los eventos Bk ,k=1, 2 son los eventos de que la k-sima caldera est en buenas condiciones. El evento C es que la instalacin

pueda funcionar. Si la instalacin funciona cada vez que el motor y al menos una caldera funciona, expresa C y C en trminos de A y de los eventos Bk.

4._ Sean A, B y C tres eventos asociados con un experimento. Expresar las siguientes proposiciones verbales en notacin de

conjuntos.

a) Al menos uno de los eventos ocurre.

b) Exactamente uno de los eventos ocurre.

c) Exactamente dos de los eventos ocurre.

5._ Un mecanismo puede ponerse en cuatro posiciones, digamos a, b, c y d. Hay 8 de tales mecanismos en un sistema.

a) De cuntas maneras puede instalarse este sistema?

b) Supngase que dichos mecanismos estn instalados en algn orden (lineal) preasignado. De cuntas maneras posibles se

instalan los mecanismos, si dos mecanismos adyacentes no estn en la misma posicin?

c) Cuntas manera son posibles si slo se usan las posiciones a y b con la misma frecuencia?

d) Cuntas maneras son posibles si slo se usan dos posiciones diferentes y una de ellas aparece tres veces ms a menudo que la

otra?

6._ En una habitacin 10 personas tienen insignias numeradas del 1 al 10. Se eligen tres personas al azar y se les pide que dejen la

habitacin simultneamente y se anotan los nmeros de las insignias. Cul es la probabilidad de que el nmero

a) menor de las insignias sea 5?

b) Mayor de las insignias sea 5?

7._ Diez fichas numeradas del 1 al 10 se mezclan en una palangana. Se sacan de la palangana dos fichas numeradas (X, Y) una y

otra vez sin sustitucin. Cul es la probabilidad de que X+Y=10?

8._ Un lote consta de 10 artculos sin defecto, 4 con pequeos defectos y 2 con defectos graves. Se elige un artculo al azar.

Encontrar la probabilidad de que:

a) no tenga defectos

b) No tenga defecto grave.

9._ Supngase que A, B y C son eventos tales que P(A)=P (B)=P(C)=1/4, P(AB)=P (BC)=0 y P(AC)=1/8. Calcula la probabilidad de que al menos uno de los eventos A, B o C ocurra.

10._ Una caja contiene n esfera numeradas del 1 al n. Se escogen 2 esferas al azar. Encuentra la probabilidad de que los nmeros

sobre las esferas sean enteros consecutivos, si:

a) las esferas se escogen sin sustitucin.

b) las esferas se escogen con sustitucin.

11._ De 6 nmeros positivos y 8 nmeros negativos se eligen 4 nmeros al azar sin sustitucin y se multiplican. Cul es la

probabilidad de que el producto sea un nmero positivo?

2

12._ Se eligen sin reemplazo dos dgitos al azar del 1 al 9. Si la suma de los dgitos es par, encuentra la probabilidad de que ambos

dgitos sean impares.

13._ Un dado est cargado de manera que es doblemente probable que ocurra un nmero par que un nmero impar.

a) Si E es el evento de que ocurra un nmero inferior a 4 en un solo lanzamiento del dado, encuentra P (E).

b) Sea A el evento de que aparezca un nmero par y B el evento de que se presente un nmero divisible entre 3. Encuentra P

(AUB) y P(AB).

14._ Se inspeccionan los sistemas hidrulicos de aterrizaje que llegan de un taller de reparacin de aviones, para encontrar

defectos eventuales. Los registros indican que 8% tienen solamente defectos en los ejes, 6% slo en los cojinetes y 2% en ejes y

cojinetes a la vez. Se selecciona al azar un sistema hidrulico. Cul es la probabilidad de que el sistema tenga

a) un cojinete defectuosos?

b) Un eje o un cojinete defectuosos?

c) Exactamente uno de los dos tipos de defectos?

d) Ningn tipo de defecto?

15._ Considrense dos sucesos A y B tales que P(A)=0.4 y P(B)=0.7. Determina los posibles valores mximo y mnimo de

P(AB) y las condiciones en las cuales se consigue cada uno de estos valores.

16._ Si en un cuarto hay r personas, Cul es la probabilidad de que dos de ellas o ms, cumplan aos el mismo da?

17._ Entre los nmeros 1, 2, ... , 50 se escoge uno al azar. Cul es la probabilidad de que el nmero escogido sea divisible entre 6

o entre 8?

18.- Un hombre se encuentra en el origen del eje x y da un paso unidad a la derecha o a la izquierda. Se detiene despus de 5

pasos, si avanza 3 o se corre 2 . Construye el diagrama de rbol para describir todas las trayectorias posibles que puede seguir.

19.- a) De cuntas maneras 3 mexicanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la

misma nacionalidad se sienten juntos?

b) y si se sientan en una mesa redonda?

20._ Una compaa recibe regularmente una gran cantidad de suministros de chips de ordenador. La poltica de la compaa

consiste en elegir aleatoriamente y comprobar 10 de los chips. Si 2 o ms chips son defectuosos, el suministro se devuelve; en otro

caso el suministro se acepta. Supongamos que un suministro de 100 chips contiene 14 que son defectuosos.

a) Cul es la probabilidad de que la muestra inspeccionada no contenga ningn chip defectuoso?

b) Cul es la probabilidad de que la muestra inspeccionada no contenga un chip defectuoso?

c) Cul es la probabilidad de que el suministro sea rechazado?

21._ La lista aprobada de posibles miembros de un jurado popular contiene 22 hombres y 18 mujeres. Si el jurado ha de estar

formado por 12 miembros, si el jurado se selecciona al azar Cul es la probabilidad de que el jurado est compuesto por:

a) a lo ms 3 hombres

b) 8 mujeres y 4 hombres

c) al menos 10 hombres

22._ Un agente inmobiliario tiene un conjunto de 10 llaves, y una de ellas abre la puerta delantera de la casa que va a ensear a un

cliente. Si las llaves se prueban en un orden completamente aleatorio, encuentra la probabilidad de que:

a) La primera llave probada abra la puerta

b) Se prueben las 10 llaves

23._ Supn que dos personas son seleccionadas aleatoriamente entre un conjunto de 20, que conforman 10 personas casadas.

Cul es la probabilidad de que las dos personas elegidas estn casadas entre ellas?

3

Respuestas a los problemas del ejercicio 1

1) a) 42, b) 33, c) 18

2) a) S={(1111), (1112), (1121), (1211), (2111), (1122), (1212), (2112), (1221), (2121), (2211), (2221), (2212), (2122), (1222), (2222)} b) A={(1112), (1121), (1211), (2111)}

3) )'')(''('y )( 2121 BABACBBAC

4) a) AUBUC, b) (ABC)U(ABC) U(ABC), c) (ABC)U(ABC)U(ABC) d) (ABC)

5) a) 48 b) 4(37) c) 70 d) 336

6) a) 1/12 b) 1/20

7) 4/45

8) a) 5/8 b) 7/8

9) 5/8

10) a) 1/n b) (n-1)/n2

11) 0.504

12) 5/8

13) a) 4/9 b) 7/9 c) 2/9

14) a) 0.08 b) 0.16 c) 0.14 d) 0.84

15) P(AB)=P(A)=0.4 si A est contenido en B y P(AB)=0.1 si AUB= S

16) 1 365(364)(365 r + 1)/365r

17) 0.24

18) 19 formas

19) a) 165,888 b) 41,472

20) a) 0.2045 b) 0.6280 ) 0.4235

21)

22) a) 1/10, b) 0.1

23) 1/19

4

Lista de ejercicios No. 2 Probabilidad condicional, independencia y Teorema de Bayes.

1._ Se ha observado que los hombres y las mujeres reaccionan de una manera diferente en ciertas circunstancias; 70% de las

mujeres reacciona positivamente en dichas circunstancias, mientras que el porcentaje en los hombres es solamente del 40%. Se

someti a prueba un grupo de 20 personas, 15 mujeres y 5 hombres, y se les pidi llenar un cuestionario para descubrir sus

reacciones. Una respuesta escogida al azar de las 20 result negativa. Cul es la probabilidad de que haya sido contestada por un

hombre?

2._La probabilidad de que un doctor diagnostique de manera correcta una enfermedad particular es 0.7. Dado que el Dr. Hace un

diagnstico incorrecto, la probabilidad de que el paciente presente una demanda es 0.9. Cul es la probabilidad de que el Dr. haga

un diagnstico incorrecto y el paciente lo demande?

3._ Se dio a una nueva secretaria n contraseas para la computadora, pero solamente una de ellas dar acceso a un archivo. La

secretaria no sabe cul es la contrasea correcta y por tanto, escoge una al azar y la prueba. Si la contrasea es incorrecta, la quita

y selecciona aleatoriamente otra de las que quedan, continuando de esta manera hasta encontrar la contrasea correcta.

a) Cul es la probabilidad de que obtenga la contrasea correcta en el primer intento?

b) Cul es la probabilidad de que obtenga la contrasea correcta en el segundo intento? Y en el tercero?

c) Se estableci un sistema de seguridad de tal manera que si se intentan 3 contraseas incorrectas antes de encontrar la buena se

cierra el archivo y se niega el acceso. Si n=7, Cul es la probabilidad de que la secretaria tenga acceso al archivo?

4._ Un estudiante contesta una pregunta que ofrece cuatro soluciones posibles en un examen de opcin mltiple. Suponga que la

probabilidad de que el estudiante sepa la respuesta a la pregunta es de 0.8 y la probabilidad de que tenga que contestar al azar es

0.2. Suponga que la probabilidad de seleccionar la respuesta correcta al azar es 0.25. Si el estudiante contesta correctamente la

pregunta, Cul es la probabilidad de que realmente sepa la respuesta correcta?

5._ La urna 1 contiene x esferas blancas y y rojas. La urna 2 contiene z blancas y v rojas. Se escoge una esfera al azar de la urna 1

y se pone en la urna 2. Entonces se escoge una esfera al azar de la urna 2. Cul es la probabilidad de que esta esfera sea blanca?

6._ En el ltimo ao de un grupo de 100 estudiantes de educacin media superior, 42 estudiaron matemticas, 68 sicologa, 54

historia, 22 matemticas e historia, 25 matemticas y sicologa, 7 estudiaron historia pero no estudiaron matemticas ni sicologa,

10 estudiaron las tres materias y 8 no estudiaron ninguna de las tres. Si se elige al azar a un estudiante, determina la probabilidad

de que:

a) Una persona inscrita en sicologa estudie las tres materias.

b) Una persona que no estudia sicologa est tomando tanto historia como matemticas.

7._ Supngase que A y B son eventos independientes, tales que la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es a y la

probabilidad de que ocurra B es b. Demuestra que P(A)=(1-b-a)/(1-b).

8._ La vctima de un accidente morir a menos de que reciba en los prximos 10 minutos una cantidad de sangre tipo A, Rh

positivo, que sea suministrada por un solo donante. Se tarda 2 minutos en definir el tipo de sangre de un posible donante y 2

minutos en realizar la transfusin. Hay una gran cantidad de donantes diferentes cuyo tipo de sangre se desconoce y 40% de ellos

tienen el tipo de sangre A, Rh positivo. Cul es la probabilidad de que sobreviva la vctima si solamente se dispone de un equipo

para determinar el tipo de sangre?

9._ Un nmero binario est compuesto slo de los dgitos 0 y 1 (Por ejemplo 1011, 1100, etc). Estos nmeros tienen un papel

importante en el uso de los computadores electrnicos. Supngase que un nmero binario est formado por 5 dgitos. Supn que la

probabilidad de que aparezca un dgito incorrecto es 0.075 y que los errores en dgitos diferentes son independientes uno de otro.

Cul es la probabilidad de formar un nmero incorrecto?

10._ Considera el diagrama de un sistema electrnico que muestra las probabilidades de que los componentes del sistema operan

de modo apropiado. Cul es la probabilidad de que el sistema opere si el ensamble III y al menos uno de los componentes en los

ensambles I y II deben operar para que funcione el ensamble? Supngase que los componentes de cada ensamble operan

independientemente y que la operacin de cada ensamble tambin es independiente.

5

11._ Sean A y B dos eventos asociados con un experimento. Supngase que P(A)=0.4, mientras que P(AUB)=0.7. Sea P(B)=p

a) Para que elecciones de p son A y B mutuamente excluyentes?

b) Para qu elecciones de p son A y B independientes?

12.- El la fabricacin de cierto artculo se presenta un tipo de defectos con una probabilidad de 0.1 y defectos de un segundo tipo

con probabilidad de 0.05. Se supone independencia entre los tipos de defectos. Cul es la probabilidad de que:

a) un artculo no tenga ambas clases de defectos?

b) un artculo sea defectuoso?

c) suponiendo que un artculo sea defectuoso, tenga solo un tipo de defecto?

13._ Cada vez que se realiza un experimento, la ocurrencia de un evento particular A es igual a 0.2. El experimento se repite

independientemente hasta que A ocurre. Calcula la probabilidad de que sea necesario ejecutar un cuarto experimento.

14.- Supngase que un mecanismo tiene N tubos y que todos son necesarios para su funcionamiento. Para localizar el tubo que

funciona mal, se reemplaza sucesivamente cada uno de ellos por uno nuevo. Calcula la probabilidad de que sea necesario verificar

N tubos si la probabilidad de que un tubo est daado es p.

15._ a) Prueba que si A y B son independientes, entonces A y B tambin lo son.} b) Prueba que si P(A|B)>P(A) entonces P(B|A)>P(B).

16._ Una pareja planea tener tres hijos. Si se asume que para cada hijo se tiene la misma probabilidad de que sea hombre o mujer y

que los sexos de los diferentes hijos son independientes, encuentra la probabilidad de que:

a) Los tres hijos sean mujeres

b) Al menos uno de los hijos sea hombre

17._ El 52% de los estudiantes de una universidad son mujeres. El 5% de dichos estudiantes pretenden especializarse en Ciencias

de la Computacin. Un 2% de los estudiantes son mujeres que se estn especializando en Ciencias de la Computacin. Si se

selecciona aleatoriamente a un estudiante, determina la probabilidad de que:

a) El estudiante sea una mujer, dado que se est especializando en Ciencias de la Computacin.

b) El estudiante se est especializando en Ciencias de la Computacin, dado que es un hombre.

18._ Hay 30 psiquiatras y 24 psiclogos participando en una conferencia. Se eligen aleatoriamente a tres de esas personas para que

participen en una mesa de debate. Cul es la probabilidad de que al menos un psiclogo sea elegido?

19._ Un chico tiene 12 calcetines en un cajn: 5 rojos, 4 azules y 3 verdes. Si se eligen aleatoriamente 2 calcetines, encuentra la

probabilidad de que:

a) ambos sean rojos.

b) ambos sean azules

c) ninguno sea verde

d) los dos sean del mismo color

20._ Hay n calcetines en un cajn, de los cuales 3 son rojos. Supongamos que, si se eligen dos calcetines aleatoriamente, la

probabilidad de que ambos sean rojos es . Encuentra n

I II III

0.9

0.99

0.8

0.9

0.8

0.9

6

21._ En un hospital, la probabilidad de que un paciente fallezca en la mesa de operaciones durante una intervencin a corazn

abierto es de 0.20. Un paciente que sobrevive a la operacin tiene un 15% de probabilidades de fallecer en el hospital debido a

problemas postoperatorios. Qu porcentaje de pacientes de operaciones a corazn abierto sobrevive tanto a la operacin como a

los problemas postoperatorios?

22.- Un club de juegos de mesa tiene 120 miembros: 40 juegan al ajedrez; 56 juegan al bridge y 26 juegan tanto al ajedrez como

al bridge. Si se elige aleatoriamente a un miembro del club, encuentra la probabilidad de que:

a) la persona elegida juegue al ajedrez o al bridge.

b) la persona elegida no juegue al ajedrez o al bridge

c) juegue ajedrez, dado que tambin juega bridge

d) juegue bridge, dado que tambin juega ajedrez

Si se seleccionan aleatoriamente dos miembros, encuentra la probabilidad de que:

e) ambos jueguen ajedrez

f) ninguno de ellos juegue ajedrez o bridge

g) ambos jueguen ajedrez o bridge

23._ Jos y Alan van juntos a cazar patos. Supongamos que Jos tiene una probabilidad de 0.3 de dar en el blanco y que Alan,

independientemente, tiene una probabilidad de 0.1. Los dos han disparado al mismo pato.

a) Dado que solamente uno de ellos ha acertado, Cul es la probabilidad de que haya acertado Jos? Y la de que haya acertado

Alan?

b) Dado que el pato ha sido alcanzado, Cul es la probabilidad de que Jos haya acertado? Y la de que haya acertado Alan?

24._ Una inspectora a cargo de una investigacin criminal tiene una certeza del 60% de la culpabilidad de un sospechoso. Se acaba

de descubrir un hecho que evidencia que el criminal es zurdo. Aunque la inspectora sabe que un 18% de las personas son zurdas,

le gustara saber si el sospechoso es zurdo.

a) Cul es la probabilidad de que el sospechoso sea zurdo?

b) Si el sospechoso resulta ser zurdo Cul es la probabilidad de que l sea culpable?

25._ Considera un test de diagnstico cuya seguridad es del 97%, tanto para los que padecen la enfermedad como para los que no

la padecen. (Es decir, si una persona padece la enfermedad, el diagnstico es positivo en un 97%; y, si la persona no la padece, el

diagnstico ser negativo en un 97% de los casos). Supongamos que el 2% de la poblacin tiene la enfermedad. Si se escoge una

persona al azar y el diagnstico resulta positivo, Cul es la probabilidad de que esa persona efectivamente padezca la

enfermedad?

Respuestas para los problemas del ejercicio No.2

1. 0.4

2. 0.27

3. 3/7

4. 0.9412

5. )vz)(yx(

yz)z(x

1

1

6. a) 5/34 b) 3/8

7.

8. 0.8704

9. 0.3228

10. 0.968

11. 0.3, 0.5

12. a) 0.995 b) 0.145 c) 0.14

13. 0.1024

14. (1 p)N 1 p

15. .

16. a) 1/8 b)

17. a) 0.4 b) 0.0625

18. 0.8363

19. a) 0.1515 b) 0.0909 c) 0.5454 d) 0.2828

20. 4

21. 68%

22. a) 0.58 b) 5/12 c) 0.46 d) 0.65 e) 13/119= 0.11 f) 35/204=0.17 g) 0.338

23. a) 0.79, 0.21 b) 0.81, 0.27

24. a) 0.672 b) 0.893

25. 0.398

7

Lista de Ejercicio No. 3 Funcin de probabilidad

1._Considera un sistema de agua que fluye a travs de unas vlvulas de A a B. Las vlvulas 1, 2 y 3 funcionan independientemente

y cada una se abre correctamente mediante una seal con una probabilidad de 0.8. Encuentra la distribucin de probabilidad para

Y, el nmero de vas abiertas de A a B despus de haber enviado la seal.

2._ En un problema de una prueba aplicada a nios pequeos, se les pide que hagan corresponder cada uno de los tres dibujos de

animales con la palabra que identifica a ese animal. Si un nio asigna aleatoriamente las tres palabras a los tres dibujos encuentra

la distribucin de probabilidad para Y, el nmero de correspondencias correctas.

3._ Cinco pelotas numeradas del 1 al 5 se encuentran en una urna. Se sacan 2 pelotas al azar y se anotan sus nmeros. Encuentra la

distribucin de probabilidad para lo siguiente:

a) El mayor de los dos nmeros seleccionados.

b) La suma de los dos nmeros seleccionados.

4._ De las personas que llegan a un banco de sangre, 1 de 3 tiene tipo sanguneo O+ , y 1 de 15 tipo O

-. Considrese 3 donantes,

seleccionados aleatoriamente del banco de sangre. Sea X el nmero de donantes con sangre tipo O+ y Y el nmero de donantes con

sangre tipo O-. Obtn las distribuciones de probabilidad para X y Y, Determina tambin la distribucin de probabilidad para X+Y el

nmero de donantes con sangre tipo O.

5._ Cules de las funciones siguientes son distribuciones de probabilidad discretas?

a)

o.c 0

1 x3

2

0 x3

1

)x(f X

b)

o.c 0

5.0,1,2,3,4, x5 5

31

32 xx

X x)x(f

6._ La demanda de un producto es 1, 0, 1, 2 por da con las probabilidades respectivas de 1/5, 1/10, 2/5, 3/10. Una demanda de 1 implica que se regresa una unidad. Encuentra la demanda esperada y la varianza.

7._ Una v.a discreta X tiene la funcin de probabilidad xX k)x(f 21 x=1, 2, 3. a) Determina el valor de k.

b) Encuentra la media y la varianza de X.

c) Encuentra la funcin de distribucin acumulada FX(x).

8._ La v.a discreta N (N=0, 1, ...) tiene probabilidades de ocurrencia de krn (0

8

11._ Sea la funcin )(8

1)( cxxf con 42 x

a) Para qu valor de la constante c )(xf es una f.d.p.?

b) Determina la varianza de la f.d.p.

12._ Sea X una v. a. continua con la siguiente distribucin: f(x)= x si 0 x 2 a) Calcula f(1 x 1.5) b) Calcula la media y la varianza de la distribucin.

13._ Un jugador lanza una moneda tres veces. Gana $8 si salen 3 caras, $3 si salen 2 caras y $1 si sale solamente una cara. Si el

juego es legal, Cunto perder si no salen caras?

14._ Un distribuidor obtiene un beneficio de $50 por cada artculo que se recibe en buen estado y sufre una prdida de $6 por cada

artculo que no se encuentre en buen estado. Si la probabilidad de que un artculo se reciba en buen estado es de 0.4, Cul es

beneficio esperado del distribuidor por cada artculo recibido?

15._ Una escuela organiza una rifa en la que cada nmero cuesta $10. Se ofrecen 7 premios de $100, 2 de $50 y 4 de $25.

Supongamos que se compra un nmero de los 500 posibles, Cul es la ganancia esperada?

16._ Una pequea empresa de taxis dispone de 4 vehculos. A lo largo de un mes, cada taxi recibe: cero multas de trnsito con una

probabilidad de 0.3, una multa de trnsito con probabilidad de 0.5, o dos multas de trnsito con probabilidad de 0.2, Cul es el

nmero esperado de multas de trnsito que acumula la flota de los 4 taxis?

17._ La ganancia bruta anual en miles de pesos de un determinado cantante de rock es una variable aleatoria con un valor esperado

de $400 000 y una desviacin estndar de $80 000. El representante del cantante recibe el 15% de la ganancia del cantante.

Determina el valor esperado y la desviacin estndar de la cantidad recibida por el representante.

18._ Una abogada debe decidir entre cobrar a un cliente una tarifa fija de $2000 o bien una tarifa condicionada de $8000, que

nicamente cobrar si gana el caso. Ella estima que la probabilidad de ganar el caso es de 0.3. Calcula la desviacin estndar de la

cantidad recibida si:

a) opta por la tarifa fija

b) opta por la tarifa condicionada.

9

Respuestas para los problemas del ejercicio No.3

1)

y yf X 0 0.072

1 0.416

2 0.512

2)

y yf X 0 3

1

1 21

3 61

3)

a) x xf X b) y yfY 2 10

1 3 0.1

3 102 4 0.1

4 103 5 0.2

5 104 6 0.2

7 0.2

8 0.1

9 0.1

4)

x xP y yYP yxz zf Z 0 0.296 0 0.813 0 0.216

1 0.444 1 0.174 1 0.432

2 0.222 2 0.0124 2 0.288

3 0.037 3 0.00029 3 0.064

5) Ambas.

6) 8.0xE , 16.1xV

7)

a) 7

8 ; b) 7

11 , 49

26 ; c)

31

327

6

217

4

10

x

x

x

x

xFX

8) r1

9)

x xP 0 0.0238

1 0.23809

2 0.47619

3 0.23809

4 0.023

10) 4

1c

11) 1c

12) a) 5/16 b) 4/3, 2/9

13) 20

14) $8.40

15) $4.00

16) 3.6

17) 60,000, 12,000

18) a) 0 b) 3,666

10