LINEARNI SISTEM Osnovne karakteristike sistema u ...I definicija. Furijeova transformacija impulsnog...

iza sistema Automatsko

UVOD

Eksperiment Osnovne karakteristike sistema u frekventnom domenu

0

0

AY

U

, (( )) y u

Frekventne karakteristike sistema

A()

()

LINEARNI SISTEM


FURIJEOVA TRANSFORMACIJA

4.3.1. DEFINIFIJA FURIJEOVE TRANSFORMACIJE

Direktna FT: ( ) ( ) j tX j x t e dt

Furijeov lik

Inverzna FT: 1

( ) ( )2

j tx t X j e d

original

4.3.2. SPEKTAR APERIODIČNIH SIGNALA

arg ( )

( ) ( )j X j

X j X j e

( ) ( )A X j - spektralna gustina amplituda signala x(t)

( ) arg ( )X j - spektralna gustina fazna signala x(t)

2( ) ( )S X j - spektralna gustina energije signala x(t)


Primer 4.8. Odrediti Fourier-ovu transforma-ciju za pravougaoni signal x(t) prikazan na slici

Rešenje.

/2/2 /2 /2

/2 /2

( ) ( )

sin / 2sin / 2( ) ,

/ 2 / 2

PP P P

PP

TT j T j Tj tj t j t

T T

PP

P P

P P

e e eX j x t e dt e dt

j j

TTT X j T

T T


Spektralna gustina amplituda ( )X j

sin / 2sin / 2( ) ( ) ,

/ 2 / 2

PP

P P

P P

TTX j T X j T

T T


Primer 4.9. Furijeova transformacija Dirakovog signala iznosi

( ) ( ) 1j tj t e dt

Primer 4.10. Furijeova transformacija konstantnog signala ( )x t A .

( ) ( ) 2 ( )X j x t A A F

(t)

t

1

(j)

1 x(t)

t

X(j)

2 ()


Primer 4.11. Furijeova transformacija kauzalnog realnog eksponencijalnog signala ( ) ( )atx t e h t iznosi

0 0

1( ) ( ) , 0

a j

j t at j t eX j x t e e e a

a j a j

Spektralna gustina amplituda i faza iznose

2 22 2

1 1( ) , arg ( ) ,X j X j arctg S

a aa


ODNOS LAPLASOVE I FURIJEOVE TRANSFORMACIJE

( ) ( ) j tX j x t e dt

s j ( ) ( ) stX s x t e dt

Imaginarna osa s j leži u oblasti konvergencije Laplasove transformacije.

Jednostrana Laplasova transformacija služi za opisivanje sistema kako u ustaljenom režimu rada tako i u prelaznom režimu. Furijeova transformacija opisuje karakteristike sistema samo u ustaljenom režimu.


OSOBINE FURIJEOVE TRANSFORMACIJE

R. broj Naziv osobine Vremenski domen Frekventni domen

1. Linearnost i homogenost

1

( )N

k k

k

x t

1

( )N

k k

k

X j

2. Pomeranje po vremenu 0( )x t t 0( )j t

X j e

5. Diferenciranje ( )k

k

dx t

dt ( ) ( )kj X j

6. Konvolucija ( ) ( )x t y t ( ) ( )X j Y j

7. Parsevalova relacija 2

( )E x t dt

21

( )2

E X j d


FREKVENTNA FUNKCIJA PRENOSA

Odziv sistema na proizvoljni signal dobija se konvolucijom signala pobude i jediničnog impulsnog odziva

( ) ( ) ( )y t g t u t

U skladu sa osobinom konvolucije Furijeove transformacije sledi

( ) ( ) ( )Y j G j U j

I definicija. Furijeova transformacija impulsnog odziva linearnog stacionarnog kontinualnog sistema

( ) g( )G j t F

naziva se frekvencijski odziv ili frekventna funkcija prenosa.


0 0

( ) ( )k kn m

k kk kk k

d da y t b u t

dt dt

F F

0 0

( ) ( )n m

k k

k k

k k

Y j a j U j b j

0

0

( ) ( )( ) ,

( ) ( )

mk

k

k

nk

k

k

b jy t Y j

G j n mu t U j

a j

F

F

II definicija. Količnik Furijeove transformacije izlaza i ulaza linearnog stacionarnog kontinualnog sistema naziva se frekvencijski odziv ili frekventna funkcija prenosa

ODNOS IZMEĐU FUNKCIJE PRENOSA I FREKVENTNE FUNKCIJE PRENOSA

( ) ( )s j

G j G s


FREKVENTNE KARAKTERISTIKE SISTEMA

Kompleksna pobuda: uj t

uA e

Kompleksan odziv: yj t

yA e

( )

arg ( )

( arg( ( )))

( )

( ) ( )

( ) (

)

)

)

(

(

)(

u

u u

y

u

u

y

y

j t

y

A

j tj

u

G j

j t j tj G j

u u

j t G j

u

j t

u

u t

A e

g d

g d A e g d e

A G j e A G j e e

A G j e

y t

A e

gde je arg ( )

( ) ( )j G j

G j G j e

LINEARNI SISTEM


( )y uA A G j ( )y

u

AG j

A

arg ( )y u G j arg ( ) y uG j

( ) Re ( ) Im ( ) ,

Re( ) Re ( ) , Im( ) Im ( )

G j G j j G j

G j G j

arg ( )

2 2

( ) ( )

( ) ( ) Re ( ) Im ( )

Im( )( ) arg ( )

Re( )

j G jG j G j e

A G j

G j arctg


OSOBINE FREKVENTNE FUNKCIJE PRENOSA

( ) ( ) 0, ( ) ( )A A

Re( ) Re( ), Im( ) Im( )

Za rednu spregu sistema

1 2( ) ( ) ( )G j G j G j

1 2( ) ( )( )

1 2( ) ( ) ( ) ( )jjG j A e A A e

1 2( ) ( ) ( )A A A

1 2( ) ( ) ( )


()

()

()

A() A1()

A2()

A()=A1()*A2()

()= 1()+ 2()

G1(j) G2(j)

U(j) Y(j)


VRSTE FREKVENTNIH KARAKTERISTIKE SISTEMA

NAJKVISTOVA KRIVA

Zavisnost frekventne funkcije G(jω) pri promeni učestanosti ω od -∞ do ∞ može naziva se frekventna karakteristika sistema, odnosno Najkvistova kriva.

Primer 4.13. Nacrtati Najkvistovu krivu sistema opisanog funkcijom prenosa

2

1( )

1G s

s s

Rešenje.

2

2 2 2

2 2

2 2 22 2 2 2 2 2

1 1 1( )

( ) 1 1 1

1 1

1 1 1

Re ( ) Im ( )

jG j

j j j j

jj

G j j G j


2 2

2 2

1 1( ) ( )

11

A G jj

2

2

2

1( ) arg ( ) arg arg 1

1

1

G j jj

arctg

(i) 0 Re 1, Im 0, ( ) 1, ( ) 0A

(ii) Re 0, Im 0, ( ) 0, ( )A

(iii) Preseci sa Re-osom

1Im ( ) 0 0 Re ( 0) 1G j G j

(iv) Preseci sa Im-osom


2

2

1Re ( ) 0 1 0 1 Im ( 1) 1

1G j G j

Deo frekventne karakteristike za promenu učestanosti 0, prikazan je

na slici. Imajući u vidu osobine frekventne karakteristike, druga grana

hodografa za ,0 može se naneti simetrično u odnosu na realu osu.

1

-1

0


AMPLOTUDNA I FAZNA FREKVENTNA KARAKTERISTIKA

Amplitudna frekventna karakteristika (AFK):

( ) ( )A G j

i fazna frekventna karakteristika (FFK):

( ) arg ( )G j


BODEOVI DIJAGRAMI

Logaritamska amplitudno-frekventna karakteristika

10( ) 20log ( ) , u log-razmeriL A db

Fazno-frekventna karakteristika sistema

( ) arg ( ) , u log-razmeriG j


BODEOVI DIJAGRAMI TIPIČNIH FUNKCIJA PRENOSA

Četiri različita faktora:

1. Konstantno pojačanje 1( )G s K

2. Faktor 2 ( ) , 1, 2,rG s s r (nula ili pol u koordinatnom

početku)

3. Faktor 3( ) 1 , 1, 2,

q

p

sG s q

(nula ili pol na realnoj

osi)

4. Faktor 4 2

1( )

1 2n n

G ss s

(par konjug. komp. polova)


Frekventna funkcija prenosa:

1. Konstantno pojačanje 1( )G j K

2. Faktor 2 ( ) ( ) , 1, 2,rG j j r

3. Faktor 3( ) 1 , 1, 2,

q

p

G j j q

4. Faktor 4 2

1( )

1 2n n

G jj j


Faktor 1( )G s K :

1

1 1

1

( )

( ) 20 ( ) 20log

0 0( ) arg ( )

180 0o

G j K

L G j K

KG j

K


10-1

100

101

102

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Am

plit

uda (

dB

)Bodeov dijagram

Frekvencija (rad/sec)

K=10

K=1

K=0.1

K=-10

1

1 1

( )

( ) 20 ( ) 20log

G j K

L G j K

/rad s

L

()

[dB

]


10-1

100

101

102

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

45

90

Faza (

deg)

Bodeov dijagram


K=-10

K=1 K=0.1 K=10

()

[o]

/rad s


Faktor 2( ) rG s s (nula ili pol u koordinatnom početku)

2

2

2

( ) ( ) , 1, 2,

( ) 20 log

( ) 90

r

o

G j j r

L r

r


Faktor 2( ) rG s s (nula ili pol u koordinatnom početku)

2

2

2

( ) ( ) , 1, 2,

( ) 20 log

( ) 90

r

o

G j j r

L r

r

10

-110

010

1-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Magnitude (

dB

)Bodeov dijagram

Frequency (rad/sec)

L

()

[dB

]


Bodeov dijagram

Frequency (rad/sec)

10-1

100

101

-180

-135

-90

-45

0

45

90

135

180P

hase (

deg)

()

[o]


Faktor 3( ) 1 , 1, 2,

q

p

G j j q

3

2

3

3

3

( ) 1 , 1, 2,

( ) 20 log 1 je prelomna učestanost

( ) 0, , tan

( ) 20 log , , Asimptota za visoke učest

/

/ a

1

1

q

p

p

p

p

p

G j j q

L q

L Asimptota za niske učes osti

L q

3

3

3

nosti

( )

( ) 0, , Asimptota za niske učestanosti

( ) 90 , , Asimptota za visoke učestanost

/ 1

/ 1 i

p

p

p

o

q arctg

q


10-1

100

101

102

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

40L (

dB

)Bodeov dijagram

Frekfvencija (rad/sec)

L

()

[dB

]


10-1

100

101

102

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10L (

dB

)Bodeov dijagram


-3 dB

-6 dB

-20 dB/dec

-40 dB/dec

L

()

[dB

]


10-2

10-1

100

101

102

0

45

90

135

180F

aza (

deg)

Bodeov dijagram

Frekfvencija (rad/sec)

()

[o]

1q


10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0F

aza (

deg)

Bodeov dijagram


()

[o]


4 2

22 2

2

4 n

4

4 2

1( )

1 2

( ) 2

Faktor (par konjug. kom. polo

0log 1 4 je prelo

va)

mna učestanost

( ) 0, ,

1(

2

1

)

1

n n

n n

n n

n

G jj j

L

L Asimp

G ss s

tota za niske uč

4

4

tan

( ) 20 log

40 log , , Asimptota za visoke 1 učestanostin n

n

es osti

L


4 2

3

3

2

( )

1

( ) 0, , Asimptota za niske učestanosti

( )

1

1180 , , Asimptota za visoke učestanosti

n

n

o

n

n

arctg


10-1

100

101

-40

-30

-20

-10

0

10

20M

agnitude (

dB

)Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

L

()

[dB

]

Bodeov dijagram amplitude


10-2

10-1

100

101

102

-180

-135

-90

-45

0

Phase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

()

[o]

Bodeov dijagram faze


BODEOVI DIJAGRAMI PROIZVOLJNE FUNKCIJE

1. Izvrši se normalizacija funkcije prenosa ( )G s .

2. Iz funkcije prenosa ( )G s odrede se analitički izrazi za ( )L i ( ) i iz njih

pročitaju prelomne učestanosti i odrede dodatne prelomne učestanosti.

3. Obeleže se vrednosti na ( )L i -osi i označe se prelomne učestanosti na -

osi.

4. Nacrtaju se asimptote pojedinačnih krivih za ( )L .

5. Izvrši se sabiranje asimptota za ( )L počevši od manjih ka većim .

6. Obeleže se vrednosti na ( ) i -osi i označe se dodatne prelomne

učestanosti na -osi.

7. Nacrtaju se asimptote pojedinačnih krivih za ( ) .

8. Izvrši se sabiranje asimptota za ( ) počevši od manjih ka većim .


Primer 4.14. Nacrtati Bodeove dijagrame sistema čija je funkcija prenosa

10( 1)( )

( 10)

sG s

s s

Rešenje. Najpre izvršimo normalizaciju funkcije prenosa:

10( 1) 10(1 ) 1( )

( 10)10(1 ) (1 )

10 10

s s sG s

s ss ss s

Frekventna funkcija prenosa iznosi

1( )

(1 )10

jG j

j j


Amplitudna logaritamska karakteristika iznosi:

2 2

1 2 3

1( ) 20log ( ) 20log

(1 )10

20log 1 20log1

20log 1

( ) ( ) ( )

10

jL G j

j j

L L L

Prelomne učestanosti su:

1 1 /p rad s , 2 10 /p rad s

Dodatne prelomne učestanosti su:

1 / 1 /1

0.10

d rad s rad s , 2 10 / 10 /1d rad s rad s

3

10/ 1 /

10d rad s rad s , 4 10 / 10010 /d rad s rad s


Fazna karakteristika iznosi

1 2 3

1( ) arg ( ) arg

(1 )10

arg 1 arg arg 110

901 10

( ) ( ) ( )

o

jG j

j j

j j j

arctg arctg


10-2

10-1

100

101

102

103

-60

-40

-20

0

20

40

60M

agnitude (

dB

)Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Bodeov dijagram amplitude L

()

[dB

]


10-2

10-1

100

101

102

103

-90

-45

0

45

90P

hase (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

()

[o]

Bodeov dijagram faze


POKAZATELJI KVALITETA PONAŠANJA SISTEMA U FREKVENTNOM DOMENU

Vremenski domen: pokazatelji kvaliteta ponašanja sistema su definisani pomoću odskočnog odziva sistema.

Frekventni domen: pokazatelji ponašanja sistema definisani su pomoću frekventnog odziva sistema (frekventnih karakteristika).

Većina pokazatelja izvedena je iz amplitudne frekventne karakteristike ( )A .

Manji broj pokazatelja izveden je iz fazne frekventne karakteristike ( ) , odnosno

frekventne karakteristike ( )G j .


PROPUSNI OPSEG SISTEMA

Opseg učestanosti ulaznog signala u kome je njegova reprodukcija pri prolazu kroz sistem zadovoljavajuća.

Širina propusnog opsega određena je graničnom učestanošću po koja se

definiše na sledeći način

2( ) (0)

2po

A A

Propusni opseg je u direktnoj vezi sa brzinom reagovanja sistema.


Sistem drugog reda :

2

2 2( )

2

n

n n

G ss s

2 2 41 2 4 4po n


Propusni opseg izražava filterske osobine sistema

( )U j - spektar ulaznog

signala

( ) ( )A G j - amplitudska

karakteristika sistema

(j ) ( ) ( )Y A U j - spektar

izlaznog signala

veći propusni opseg veća brzina reagovanja sistema


SELEKTIVNOST

Selektivnost predstavlja nagib ( )L karakteristike u okolini učestanosti po :

20 /S n dB dec

Predstavlja sposobnost sistema da eliminiše uticaj šuma ili poremećaja čiji

frekventni spektar pada u opseg učestanosti neposredno iza PO .

(log)

(log)

šum

(log)

šum šum


FAZNO KAŠNJENJE

Fazno kašnjenje - nagib fazne frekventne karakteristike ( ) :

( )K

dT

d

, ( ) arg ( )G j ,

kT tg

Za kvalitetnu reprodukciju ulaznog

signala sistema zahteva sa da

( ) bude linearna funkcija

učestanostii u opsegu učestanosti

spektra ulaznog signala.


REZONANTNA UČESTANOST

Učestanost pri kojoj se javlja maksimum na amplitudskoj karakteristici.

Maksimalna vrednost amplitudno frekventne karakteristike

max ( )RA A

Rezonantni vrh služi za ocenu preteka stabilnosti sistema o kome će biti govora kasnije.


Za sistem drugog reda R se računa

prema sledećoj formuli

21 2 , 0.707R n

koja je u grafičkom obliku prikazana na slici. Za 0.707 ne pojavljuje se rezonantna

učestanost.


REZONANTNI VRH

Rezonantni vrh sračunava se po formuli

2

1, 0.707

2 1RA

a na slici je data odgovarajuća grafička interpretacija.


POKAZATELJ OSCILATORNOSTI

Definisan je izrazom

0(0)

RR

AA

A

i predstavlja normirani rezonantni vrh. Ukoliko je pokazatelj oscilatornosti veći oscilacije u sistemu su izraženije.

LINEARNI SISTEM Osnovne karakteristike sistema u ...I definicija. Furijeova transformacija impulsnog...

Documents

Transcript of LINEARNI SISTEM Osnovne karakteristike sistema u ...I definicija. Furijeova transformacija impulsnog...