Metoda jednakog impulsnog odziva

Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva

Digitalna Obradba Signala

LS&S - FER


Metoda projektiranja IIR filtra transformacijom prijenosne funkcije prototipnog analognog filtra. Osnovna ideja: naći IIR prijenosnu funkciju čiji je impulsni odziv jednak jednoliko otipkanom impulsnom odzivu prototipnog analognog filtra.


Neka je Ha(s) prijenosna funkcija kauzalnog i stabilnog analognog filtra. Njegov impulsni odziv je dan inverznom Laplace-ovom transformacijom

ha(t)=L-1{Ha(s)}

Impulsni odziv digitalnog filtra je jednoliko otipkana verzija impulsnog odziva analognog filtra, tj.

g(n)=ha(nT)

Tada vrijedi G z g n h nT

TH s j

l

Ta al s

Tz

Z Z

1 21

ln

Frekvencijsku karakteristiku dobijemo uvrštavanjem z=ej :

G eT

H jT

jl

Tj

al

1 2

Preslikavanje sPreslikavanje s=(1/=(1/TT)ln)lnzz

Pogledajmo transformaciju s = (1/T) ln z koja preslikava s ravninu u z ravninu.Napišimo to preslikavanje u obliku z = esT .

z r e e ej T j T 0 0Za s = 0+j0 vrijedi , odnosno z r e T 0 .

Imaginarna os u s ravnini (0=0) Jedinična kružnica u z ravnini (|z|=1)

Lijeva s poluravnina (0<0) Unutrašnjost jedinične kružniceu z ravnini (|z|<1)

Desna s poluravnina (0>0) Izvan jedinične kružnice u z ravnini (|z|>1)

Polovi stabilnog analognog filtra se preslikavaju u unutrašnjost jedinične kružnice u z ravnini.

Transformacija z = esT preslikava sve točke u s ravnini dane s

s j jk

T

0 0

2 u jednu točku u z ravnini z e eT j T 0 0

.

Horizontalni odsječak -/T/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.

Re(z)

Im(z)j

/T

/T

Preslikavanje sPreslikavanje s=(1/=(1/TT)ln)lnzz

Isto tako, horizontalni odsječak -3/T-/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.

Horizontalni odsječak -/T/T u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu.

Re(z)

Im(z)j

/T

/T

/T

Također, svaki horizontalni odsječak (2k-1)/T(2k+1)/T, , u s ravnini se preslikava u cijelu z ravninu. Dakle, transformacija z = esT je višestruko preslikavanje iz s ravnine u cijelu z ravninu.

k Z

Transformacija z = esT preslikava sve točke u s ravnini dane s

s j jk

T

0 0

2 u jednu točku u z ravnini z e eT j T 0 0 .

Utjecaj preslikavanja sUtjecaj preslikavanja s=(1/=(1/TT)ln)lnzz na frekvencijsku na frekvencijsku karakteristikukarakteristiku

Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra je suma posmaknutih kopija frekvencijske karakteristike analognog filtra.

G eT

H jT

jl

Tj

al

1 2

Ako je frekvencijska karakteristika analognog filtra frekvencijski ograničena, tj. ako je

H jTa 0 za

tada vrijedi G e

TH j

Tj

a

1za

i nema aliasinga.

Ako gornji uvjet nije ispunjen, doći će do preklapanja spektara, odnosno aliasinga.

H jTa

g-g 0

G e j

-

g<

0

G e j

0

g>

aliasing


Ne postoji analogni filtar čija je prijenosna karakteristika frekvencijski ograničena.

U praksi, ako je |Ha(j)|Hmax za /T,

gdje je Hmax=max(|Ha(j)|) u intervalu 0/T,

može se smatrati da je prijenosna karakteristika

“dovoljno” ograničena.

Metoda jednakog impulsnog odzivaMetoda jednakog impulsnog odziva Metoda jednakog impulsnog odziva nije pogodna za

projektiranje filtra ako prototipni analogni filtar nema frekvencijski ograničenu prijenosnu karakteristiku, kao što je npr. slučaj s visokopropusnim analognim filtrom.

Ako želimo projektirati digitalni filtar čija frekvencijska karakteristika odgovara frekvencijskoj karakteristici analognog filtra do frekvencije =/T, potrebno je odabrati tzv. “guard filter” Hg(s) takav da je produkt Ha(s)Hg(s) frekvencijski ograničen i da vrijedi

H j H j H j T

H j H j T

a g a

a g

za < /

za /

0

Projektiranje digitalnog filtra Projektiranje digitalnog filtra metodom jednakog impulsnog odzivametodom jednakog impulsnog odziva

Ako je prijenosna funkcija prototipnog analognog filtra racionalna funkcija

H s

B s

A sa

Ha(s) se može napisati u obliku sume parcijalnih razlomaka

H sK

s sai

ii

N

1

Impulsni odziv filtra se dobije inverznom Laplace-ovom transformacijom

h t K ea is t

i

N

i

1

Projektiranje ...Projektiranje ...

Impulsni odziv digitalnog filtra dobijemo otipkavanjem impulsnog odziva analognog filtra svakih T:

g n K e K eis nT

i

N

is T n

i

N

i i

1 1

z transformacija impulsnog odziva je

G z g n K e zK z

z eis T n

i

N

n

n is T

i

N

i

i

Z10 1

Dobili smo racionalnu funkciju po z, i to je prijenosna funkcija digitalnog filtra.

Projektiranje ...Projektiranje ...Gornje jednadžbe vrijede ako prijenosna funkcija analognog filtra ima jednostruke polove. U slučaju dvostrukih polova, tj. ako se pri rastavu prijenosne funkcije analognog filtra na parcijalne razlomke pojavi član

oblika , odgovarajući član u prijenosnoj funkciji digitalnog

filtra ima oblik .

K

s s

i

i2

K T e z

z ei

s T

s T

i

i

2

U slučaju pola (n+1)-og reda, tj. parcijalnog razlomka oblika K

s s

i

i

n

1 ,

odgovarajući član prijenosne funkcije digitalnog filtra je

K

T z

n

d

dz

z

z ei

n n n

n s Ti

!

Projektiranje ...Projektiranje ...Za slučaj analognog filtra s kompleksnim parom polova s ji1 2,

vrijedi:

• ako je analogna prijenosna funkcija H ss

a

2

digitalna prijenosna funkcija dobivena metodom jednakog impulsnog odziva je

G zz e T

z z e T e

T

T T

sin

cos2 22

• ako je analogna prijenosna funkcija H s

s

sa

2

odgovarajuća digitalna prijenosna funkcija je

G zz z e T

z z e T e

T

T T

2

2 22

cos

cos

Primjer - projektiranjePrimjer - projektiranje

Neka je prijenosna funkcija analognog filtra dana s

H ss

s s sa

16 2

3 2 52

Amplitudno-frekvencijska karakteristika analognog filtra |Ha(j)|

0 2 4 6 8 10

|Ha(j)|

Primjer - projektiranje ...Primjer - projektiranje ...

Rastavom na parcijalne razlomke dobijemo

H s

s

s

s s s

s

sa

2

3

2 14

2 5

2

3

2 14

1 22 2 2

H s

s

s

s sa

2

32

1

1 26

2

1 22 2 2 2

G zz

z e

z z e T T

z z e T eT

T

T T

2 2 6 2 2 2

2 23

2

2 2

sin cos

cos

Koristeći dane formule dobijemo prijenosnu funkciju digitalnog filtra

Primjer - projektiranje ...Primjer - projektiranje ...Amplitudno-frekvencijske karakteristike digitalnog filtra |G(ej)| za različite frekvencije otipkavanja, odnosno različite T:

T=

T=

0

|G(ej)|

T=

|G(ej)|

0

T=

|G(ej)|

0

0

|G(ej)|

Projektiranje - sažetakProjektiranje - sažetak

Ako je specifikacija filtra dana u digitalnoj domeni, specifikacija prototipnog analognog filtra se dobije frekvencijskom transformacijom =/T.

Projektirati prototipni analogni filtar Ha(s).

Rastaviti prijenosnu funkciju analognog filtra na parcijalne razlomke. Tako dobivamo koeficijente Ki i si.

Izračunati prijenosnu funkciju digitalnog filtra G(z).

Svojstva filtra projektiranog Svojstva filtra projektiranog metodom jednakog impulsnog odzivametodom jednakog impulsnog odziva

Broj polova digitalnog filtra jednak je broju polova analognog filtra. Digitalni filtar je stabilan ako je prototipni analogni filtar bio

stabilan. Frekvencijska karakteristika digitalnog filtra je periodizirana

frekvencijska karakteristika analognog filtra. Kaskada dva digitalna filtra projektirana metodom jednakog

impulsnog odziva nema impulsni odziv jednak impulsnom odzivu kaskade dva analogna prototipa. Drugim riječima, filtar mora biti projektiran u jednom koraku.

Primjer 1Primjer 1

Butterworth, niski propust, 3. red H ss s sa

1

1 12

0 1 2 3 4 50

1

|Ha(j)|

0

-

(Ha(j))1 2 3 4 5

Primjer 1 - nastavakPrimjer 1 - nastavakPrijenosna funkcija digitalnog filtra projektiranog metodom jednakog impulsnog odziva je

G z

z e e T T z e T T

z e T e z e e

T T T

T T T T

1 2 2

1 2 2 3 2

32

1

3

32

13

21

3

32

1 23

22

/

/ /

cos sin cos sin

cos cos3

23 2T z e T

Primjer 1 - nastavak Primjer 1 - nastavak Za T=/5=0,628 prijenosna funkcija digitalnog filtra je

G zz z

z z z

0 1271 0 2367

1 1 7833 1 2003 0 2846

1 2

1 2 3

, ,

, , ,

0

1

0

|G(ej)| 0

-

-2

(G(ej))

Primjer 2Primjer 2

Što bi se dogodilo da smo u prethodnom primjeru filtar projektirali kao kaskadu dva digitalna filtra projektirana metodom jednakog impulsnog odziva

uz prototipne analogne filtre i ? H ssa1

1

1

H s

s sa2 2

1

1

G zz e T1 1

1

1

G z

z e T

z e T e

T

T T

2

1 2

1 2

2

3

32

1 23

2

/

/

sin

cos

Primjer 2 - nastavakPrimjer 2 - nastavakKaskada ova dva digitalna filtra ima prijenosnu funkciju

G z G z G z

z e T

z e T e z e e T z eK

T

T T T T T

1 2

1 2

1 2 2 3 2 3 2

2

3

32

1 23

22

32

/

/ /

sin

cos cos

G z

z e e T T z e T T

z e T e z e e

T T T

T T T T

1 2 2

1 2 2 3 2

32

1

3

32

13

21

3

32

1 23

22

/

/ /

cos sin cos sin

cos cos3

23 2T z e T

Prijenosna funkcija filtra u prethodnom primjeru bila je

Primjer 2 - nastavakPrimjer 2 - nastavak

Amplitudna i fazna karakteristika filtara GK(z) i G(z) uz T=1

|GK(ej)|

|G(ej)|

0

0

1

0

(GK(ej))

(G(ej))

Metoda jednakog impulsnog odziva

Documents

Transcript of Metoda jednakog impulsnog odziva