LibroTransicion Aritmetica-Algebra Grupo MESCUD U Distrital 1999

LA TRANSICIN ARITMTICA-LGEBRA

PEDRO JAVIER ROJAS G.JORGE RODRGUEZ B.JAIME HUMBERTO ROMERO C.EUGENIA CASTILLO E.LUIS ORIOL MORA V.

Grupo PRETEXTO

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Coleccon Didctica de las Matemticas

1LA TRANSICINARITMTICA-LGEBRA

3PEDRO JAVIER ROJAS G.JORGE RODRGUEZ B.JAIME HUMBERTO ROMERO C.EUGENIA CASTILLO E.LUIS ORIOL MORA V.

Grupo PRETEXTO

Facultad de Ciencias y Educacin

Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas

LA TRANSICINARITMTICA-LGEBRA

La Transicin Aritmtica-lgebra / Coleccin : Didctica de las Matemticas / Pedro JavierRojas G., Jorge Rodrguez B., Jaime Humberto Romero C., Eugenia Castillo E. Y LuisOriol Mora V. Universidad Distrital Francisco Jos de Caldas. Santa Fe de Bogot, D.C.,1999. ISBN : 958-96440-3-1

Segunda edicin, 1999

Autores:

PEDRO JAVIER ROJAS G.JORGE RODRGUEZ B.JAIME HUMBERTO ROMERO C.EUGENIA CASTILLO E.LUIS ORIOL MORA V.

Edicin y Diagramacin:

Grupo Editorial Gaia

Calle 74 No. 22-70Telfono: 482 20 61Bogot, D.C. [email protected]

Diseo de cartula:

Pedro Enrique Espitia Zambrano

Reservados derechos de autor. Prohibida la reproduccin total o parcial de esta publicacin mediante

cualquier proceso de reproduccin, digital, fotocopia u otro, sin permiso escrito de los autores.

IMPRESO EN COLOMBIA. 1999

ContenidoPg.

INTRODUCCIN 7

1. INCOMUNICACIN EN EL AULA: Algunos ejemplos 111.1 SITUACIONES DE AULA 131.2 LENGUAJE MATEMTICO Y TRABAJO EN EL AULA 16

2. LA TRANSICIN ARITMTICA-LGEBRA 192.1 MARCO ARITMTICO DE REFERENCIA 212.2 INTERPRETACIN DE LAS LETRAS:

Un primer acercamiento 232.3 RECONOCIMIENTO Y USO DE ESTRUCTURAS 252.4 PROBLEMAS PUNTUALES EN LA ENSEANZA Y

EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS 27

3. LA VARIABLE EN MATEMTICASCOMO PROBLEMA PUNTUAL 303.1 INTERPRETACIONES DE LA LETRA 313.2 RELEVANCIA DE LAS DISTINTAS

INTERPRETACIONES 333.3 NIVELES DE COMPRENSIN DEL LGEBRA 373.4 ALGUNOS COMENTARIOS A PARTIR DE LA

INVESTIGACIN DEL GRUPO PRETEXTO 463.4.1 Primer cuestionario 463.4.2 Segundo cuestionario 533.4.3 Una caracterizacin de la nocin de variable 683.4.4 Algunas conclusiones en relacin con los

niveles de interpretacin de la letra 803.4.5 Causas de incomprensin de la nocin de

variable y la formacin del profesor 86

4. CONSIDERACIONES PRCTICAS PARA EL TRABAJOEN LA TRANSICIN ARITMTICALGEBRA 894.1 ALGUNAS ACTIVIDADES 924.2 LAS ECUACIONES COMO MODELOS MATEMTICOS 98

REFERENCIAS BIBLIOGRFICAS 105

ANEXO 107

LA TRANSICIN ARITMTICA-LGEBRA GRUPO PRETEXTO

6

INTRODUCCIN

7

En este escrito se presenta tanto algunas consideracionesen torno a dificultades en los procesos de enseanza y apren-dizaje del lgebra, como resultados parciales de un estudiorealizado con estudiantes de octavo grado, sobre interpreta-ciones de la letra en contextos algebraicos; as como tam-bin, algunos elementos a tener en cuenta en el diseo deactividades en el aula.

La mayora de ideas planteadas en este escrito1 hacen partede los resultados de la investigacin que desarroll el Gru-po PRETEXTO de la Universidad Distrital Francisco Josde Caldas (1994-1996), y corresponden a planteamientospresentados en el informe del proyecto de investigacin LaVariable en Matemticas como Problema Puntual: Bsqueda de cau-

sas en octavo grado, cofinanciado por la misma Universidad yCOLCIENCIAS, Cd. Co. 1130-10-004-92

Se quiere plantear en este escrito algunas consideracionesen torno a la comunicacin en la matemtica escolar, enten-dindola desde la posibilidad de xito que pueden tener losprocesos de enseanza y aprendizaje, y algunos de los pro-blemas que entraan estos procesos, lo cual es parte inte-grante de lo que en la actualidad se encuentra en la mira delos investigadores en Educacin Matemtica. Sin embargo,antes debe decirse que es ya punto de acuerdo que la inves-

Introduccin

1 Adaptado como parte del material didctico preparado para el Programa de Formacin Permanentepara Docentes La Transicin Aritmtica-lgebra, cofinanciado por la Universidad Distrital y elIDEP.


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tigacin didctica no puede ni debe corresponder a un dis-curso al margen de las disciplinas especficas, y que ademsest el reconocimiento de que disciplinas colaterales comopsicologa, antropologa, filosofa, historia, lingstica, in-formtica, entre las ms nombradas, son puntos de referen-cia tericos importantes y necesarios tanto para lateorizacin, como para la investigacin pedaggica.

As, en el caso del trabajo en didctica de las matemticas,que por sus avances y bagaje terico ha logrado la consoli-dacin de un cuerpo de conocimiento, a la vez que una co-munidad acadmica, alrededor de lo que internacionalmentese determina bajo el nombre de Educacin Matemtica, lainvestigacin ha privilegiado la escolar. En ella la aritmtica,el lgebra, y en los ltimos tiempos, la lgica2 y temas comofunciones y lmites.

Ahora bien, la existencia de dicho cuerpo de conocimientono ha significado, al menos en el contexto colombiano, queste haga parte del conocimiento profesional del profesor,por cuanto en la formacin recibida no se aborda, comouno de los ncleos, el conocimiento generado en didcticade las matemticas -entendida no como una tcnica de en-seanza sino como una disciplina que, mediada por unaactitud reflexiva del profesor, posibilita convertir en proble-mas los fenmenos del aula, condicin necesaria para rei-vindicar y entender la labor del docente como una labor pro-fesional -.

Con este libro se intenta aportar elementos tericos paraposibilitar tanto procesos de reflexin sobre lo que aconte-ce en el aula -no slo desde el punto de vista de la cogni-

2 En la lgica, la atencin es puesta fundamentalmente en los enunciados condicionales, pues lasformas de razonar en matemticas, se separan de las del razonamiento mundano, en cuanto, como locorrobor Piaget (1963), un si P entonces Q, es usualmente asociado a que se supone la conclusin, Q,y se buscan las condiciones, P, para tenerlo, lo cual dista radicalmente de la interpretacin matemtica.

INTRODUCCIN

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cin, sino tambin desde la interaccin social, en relacincon la gestin de clase que hace el profesor-, como paraconstruir propuestas de trabajo en el aula, en relacin con ellgebra escolar.

En el primer captulo se trata de poner en evidencia quedesconocimientos en didctica ocasionan incomunicacinen el aula, independiente de la intencin de las personas queinteracten en ella. En el segundo, se presenta resultados deinvestigacin relacionados con algunas de las manifestacio-nes de los problemas asociados con la transicin aritmtica-lgebra (cambios en el tipo de convenciones usadas en laaritmtica e interpretaciones de la letra en contextos mate-mticos, entre otros). Para puntualizar un poco, se presentaalgunos ejemplos que sern comentados ms extensamenteen el desarrollo de este captulo:

En aritmtica se destaca el caso de la interpretacin de lossmbolos = y -. Con respecto al primero se ha encon-trado que en general los estudiantes lo interpretan comouna orden de operar, de realizar una operacin (especial-mente en los grados cuarto a sexto), razn por la cual cuan-do se enfrentan a situaciones del estilo 3+ 3 , donde elproceso encierra el resultado y viceversa, optan por una in-consciente aproximacin: 3+1.7 = 4.7 para darle sentido asu interpretacin. Tal situacin ha sido llamada el conflictoproceso-producto. Con relacin al segundo, desde un punto devista metodolgico, hay tentativas de investigacin en el aulatendientes a conseguir que tal smbolo no sea asociado, comohasta el momento se ha comprobado y corroborado, anegatividad: anteponer el signo menos es sinnimo de negatividad 3 ,lo cual puede ser comprensible, pues en aritmtica, en eltrabajo con nmeros concretos, as es indefectiblemente,

3 Por ejemplo, la expresin x suele interpretarse como nmero negativo, independiente de los posiblesvalores que tome x


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salvo el caso de situaciones por el estilo de -(-7).

En lgebra, uno de los temas estudiados es el trnsito de laaritmtica al lgebra, en particular el de la interpretacin dela letra en contextos matemticos, que ser el tema centralen este escrito. Como caso destacable, se establece una ciertaconexin entre las interpretaciones dadas a las letras, conlas dadas a los nmeros irracionales, especialmente en elcaso de los expresados en forma de radial. Por ejemplo, unnmero considerable de estudiantes ignoran, o no usan losradicales, como ha concluido el Grupo PRETEXTO, antela necesidad de dar sentido a estos smbolos, lo cual logranmediante el centramiento en las cantidades subradicales: 53 + = 8, 333 1477 =+ .

En el tercer captulo se presenta una caracterizacin de lavariable en matemticas, tomando como referente los tra-bajos de Kchemann (1978, 1980 y 1981) y dos investiga-ciones realizadas en el contexto colombiano (PRETEXTO,1996; OCHICA y CIFUENTES, 1998). En el cuarto, seplantea algunos elementos para el trabajo en el aula y sepropone algunas actividades que, en el contexto de resolu-cin de problemas, posibilitaran tanto procesos de genera-lizacin y simbolizacin, como aproximaciones a la inter-pretacin de letra como nmero generalizado y como varia-ble.

INTRODUCCIN

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INCOMUNICACIN ENEL AULA : Algunos ejemplos

1


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INCOMUNICACIN ENEL AULA : Algunos ejemplos

Cuando se est en una clase, particularmente de matemti-cas, y en el contexto escolar (primaria y secundaria), uno delos principales elementos presentes es el lenguaje, tanto or-dinario como matemtico, desempeando una funcin demediador de la comunicacin. Sin embargo, puede pregun-tarse hasta qu punto esta medicin permite encuentros don-de los interlocutores tengan la posibilidad de compartir sig-nificados de los discursos desarrollados.

En otros trminos, que sealan la intencin de este captu-lo, se plantea la pregunta acerca de si a las palabras del len-guaje de las matemticas puede atriburseles una significa-cin exacta, independiente del sujeto, o si por el contrario,ellas participan del carcter subjetivo de las del lenguaje or-dinario, que al decir de Wittgenstein, tienen un significadodependiente de cada subjetividad, y por tanto es mvil tan-to en el espacio y en el tiempo como en el sujeto que lassignifica. Puntualizando un poco ms y a manera de ejem-plo, el significado que un matemtico da a palabras comoconjunto, pertenencia, igualdad, variable, entre mu-chas otras, es siempre el mismo y para todos?, su

simbolizacin: A, B, C, , =, x, y, z, no producealteracin de los significados matemticos?, estas palabrasy estos smbolos pueden ser significados por los estudiantese incluso por los profesores, al margen del uso que de ellasse haga en el contexto del lenguaje ordinario?.

Ahora bien, dado que un significado motiva, y va acompa-ado de una representacin, surgen preguntas anlogas: esarepresentacin es la misma en y para todos?, tiene un ca-

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INCOMUNICACIN EN EL AULA: ALGUNOS EJEMPLOS

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rcter subjetivo?; stas, junto con las formuladas en el p-rrafo precedente, sern enfrentadas desde una perspectivaprctica que llevar a darse algunas respuestas y por qu no,a tomar una posicin frente a ellas, que desembocar en latematizacin de algunos de los problemas de la comunica-cin en la matemtica escolar, relacionado con la preten-sin de evidencia de los discursos matemticos escolares.

1.1 SITUACIONES DE AULA

Inicialmente, y para ambientar un poco los problemas decomprensin de parte de los estudiantes, surgidos de susrepresentaciones y significaciones de los conceptos mate-mticos y su simbologa, se presenta algunos ejemplos en elterreno prctico4 .

Situacin 1. Un profesor, en grado sexto, tratando de ex-plicar en qu consiste la igualdad entre conjuntos, escribeen el tablero la siguiente pregunta:

{a, e, i, o, u} = {x / x es una vocal}?,

sorprendido, encuentra respuestas como:

La igualdad no es posible pues x no es una vocal. Es falsa porque el de la izquierda tiene cinco elementos

y el de la derecha slo dos (tiene dos equis). La igualdad es falsa pues el conjunto de la izquierda tie-

ne cinco elementos, mientras que el de la derecha solouno porque si x es una vocal, no puede ser cinco.

Claro!, porque x puede ser cualquiera de las cinco voca-les.

4 Los ejemplos aqu tratados no son hipotticos, corresponden a situaciones de aula presentadasefectivamente.


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Mirada la pregunta desde la perspectiva del profesor, la igual-dad es evidente y entonces no slo la nocin de igualdadentre conjuntos se aclara, sino adems las formas principa-les de determinarlos: por extensin y por comprensin.

Veamos ahora la perspectiva de los estudiantes en las dosprimeras respuestas. En el primer caso el estudiante se en-cuentra inmerso en el mundo de lo ordinario cotidiano; lossignos que aprecia son significados a partir de la relacinque establece entre ellos y su mundo, del cual hacen partelas letras como elementos del alfabeto. En el segundo, noslo se encuentra en el mundo de lo ordinario cotidiano,sino que a los signos en que basa su decisin los consideraobjetos en s mismos, por lo que encuentra la diferencia enla cantidad.

Situacin 2. Es el tringulo , un tringulo rec-tngulo?

La respuesta, bastante frecuente entre los estudiantes hastade grado noveno, es negativa. Es de suponer que el profe-sor formula la pregunta queriendo que los estudiantes, alresponder, utilicen lo que caracteriza a dichos tringulos:tener un ngulo recto, y con la presuncin que para el estu-diante, como para l, la figura propuesta es una representa-cin de un tringulo rectngulo cualquiera -no de uno espe-cfico-. Pero, por qu esa respuesta?. Una explicacin plau-sible puede obtenerse al tomar como referencia la prcticacorriente, en la enseanza de la geometra, de utilizar parahablar de perpendicularidad, el sentimiento inconsciente deperpendicularidad connatural al ser del homus erectus,es decir, el estar de pie sobre una superficie que le da segu-ridad por la posibilidad de guardar el equilibrio. Ms expl-citamente, en la mayora de los casos, la respuesta a estapregunta es afirmativa cuando la posicin del tringulo es


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tal que uno de sus catetos es paralelo a lo que le permiteseguridad: el piso.

Aqu hace aparicin, como comentario al margen, un hechono estudiado suficientemente: los sentimientos de ligazndel estudiante con su mundo y la incidencia de stos cuan-do de significar los signos del lenguaje matemtico se trata.

Situacin 3. En cuestionario presentado a aproximada-mente 800 estudiantes de grados sptimo, octavo y noveno,distribuidos en tres colegios de estrato socio econmico di-ferente de Santa Fe de Bogot, apareca la siguiente situa-cin:

Una manzana cuesta $200 y una pera $150. Si Y es el nmero

de manzanas y Z es el nmero de peras compradas, qu representa

la expresin 200Y + 150Z?.

Las interpretaciones dadas, en su mayora, correspondierona una de seis interpretaciones de la letra en contextos mate-mticos5 : letra como objeto, como se refleja en respues-tas como las siguientes: 200 manzanas y 150 peras, la sumade las manzanas y las peras; el nmero de frutas compradas.Explcitamente, la letra es vista como representacin de unobjeto o como el objeto mismo.

Vale la pena, para fijar una posicin respecto del conoci-miento, decir que estas respuestas provienen de interpreta-ciones que de las letras hacen los estudiantes; por lo tanto, aestas respuestas no se les debe tratar como errores, msbien hay que aceptar su coherencia con respecto de la inter-pretacin realizad. Este enfoque exige tambin encontrarrazones que expliquen tales ocurrencias, por ejemplo, en el

5 Las seis interpretaciones aqu aludidas son referidas mediante los siguientes nombres: letra evaluada,letra ignorada o no usada, letra como objeto, letra como incgnita especfica, letra como nmero generalizado y letra

como variable; tipificacin sta surgida de una investigacin realizada por D. KCHEMANN, en el aode 1978, las cuales sern puntualizadas ms adelante.


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caso expuesto en esta situacin se puede afirmar que es unaocurrencia debida -he aqu una responsabilidad del ejerci-cio docente-, al trabajo usual de los profesores en la inicia-cin al lgebra, cuando al querer hacer aparcer la letra ledan un uso que induce fuertemente esta interpretacin, comoen situaciones del estilo 15 flores ms 8 flores da 23 flo-res y luego escriben 15f + 8f = 23f , o, ya en el lgebrapropiamente hablando, cuando plantean problemas como:la edad de A es el doble que la de B y sumadas dan 30aos. Cules son las edades? y para modelar el problemaescriben: A = 2B y A + B = 30, entonces 2B + B = 30...,donde definitivamente la letra evoca la persona y no su edad.

1.2 LENGUAJE MATEMTICOY TRABAJO EN EL AULA

La lectura entre lneas de los ejemplos mencionados apun-ta, pues, algunas de las razones para que la comunicacinen matemticas escolares sea tan poco exitosa en nuestrasaulas, entendiendo por esto, la ausencia de comprensin sig-nificativa, tanto de aquello que hablamos cuando hablamosde matemticas, como de las conexiones lgicas que vali-dan la coherencia del discurso involucrado, bueno, en loscasos donde efectivamente el discurso la tiene:

En primer lugar, aparece una actitud profesoral que, aun-que inconsciente por lo natural a las personas, impide aldecir de los constructivistas, un aprendizaje significativo:centrarse en la propia perspectiva, sin considerar las otrasposibles de sus interlocutores. En otras palabras, creer quela evidencia manifestada para l en su discurso, se manifies-ta tambin en sus estudiantes, provocando as de hecho, unadoble dificultad. Por un lado, el desarrollo de unos conteni-


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dos que poco o nada son asimilados por los estudiantes, ypor otro, una incapacidad por parte del profesor para bus-car alternativas de explicacin pues la consideracin de evi-dencia, la consideracin de que esto es claro a todas lu-ces, se lo impide, y, por tanto, para hacer conciencia de es-tar siendo incomprendido.

En segundo lugar, en la clase de matemticas, ineludible-mente debe utilizarse tanto el lenguaje comn, como elmatemtico. El primero intentando decodificar al segundoy ste a su vez, por una de las funciones atribuidas a loslenguajes ideales, intentando puntualizar significacionesmatemticas para algunas palabras presentes en el lenguajeordinario. Esta dualidad, para el profesor, se presenta mscomo antagonismo, que como factor de comprensin, puesl, por su centramiento, pasa por alto que los significadosrequieren de un contexto de significacin, es decir, desdeuna perspectiva cognoscitiva, que cada estudiante se desen-vuelve en un mundo especfico, nico que tiene a su dispo-sicin, y que es en l donde tiene la posibilidad de encontraraquellas existencias que le dan sentido y significado a laspalabras, lo cual implica que el significado matemtico deuna palabra, en los procesos de formacin, no puede, nidebe, desconocer el que ya tenga para el estudiante en ellenguaje ordinario. Un ejemplo adicional aclarar un pocoms este pronunciamiento. Cuando se quiere llegar a unadefinicin como: dos tringulos son semejantes si sus lados corres-pondientes son proporcionales, no debe perderse de vista, porejemplo, que muy seguramente la palabra semejanza, es sig-nificada por el estudiante como parecido, concepto que aun-que ligado fundamentalmente a lo puramente perceptual,involucra un criterio que puede no corresponderse con elcriterio involucrado en la semejanza de tringulos.

El no tener conciencia de este confrontamiento de interpre-taciones impide su dialogicidad rompiendo, incluso cuan-


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do existe honesta y explcita, la intencin comunicativa.

Ahora bien, un hecho vinculado a los dos anteriores y quetiene su origen en el estilo tradicional de formacin en ma-temticas, lo constituye el desconocimiento, consciente ono, por parte del profesor, que esta disciplina tiene un len-guaje, lenguaje de una especificidad semntica y sintcticaque les son propias y que por lo tanto lo diferenciansignificativamente del lenguaje ordinario.

El pasar por alto dicha especificidad, el no hacer concienciade este hecho, lleva entonces a que, en la clase de matem-ticas se asuma, implcita e inconscientemente, el lenguajeordinario como nico en juego, posibilitndose en conse-cuencia que se llegue a pensar, o a concluir, tambin demanera incosciente, que la formulacin lingstica de las ma-temticas se logra a travs de este lenguaje, que, por no co-rresponder estrictamente a lo que se pretende ensear, ypor ser manejado, bien o mal por el estudiante, hace err-neamente innecesarias, alusiones claras, explcitas, intencio-nales y continuadas acerca de la semntica y la sintaxis dellenguaje matemtico6 : el profesor no se detiene para hacerformulaciones en torno a la especificidad de la simbologamatemtica utilizada en un momento dado, ni a lo que ellaquiere significar -menos an a lo que ha significado para losestudiantes-, ni a la estructura del discurso; tampoco a lasformas lgicas de construir esas estructuras. As, los con-ceptos matemticos permanecen para el estudiante en unlimbo de nombres no contenidos por significacin algu-na. Se explica entonces por qu la memorizacin se cons-tituye como nica salida de los estudiantes para sobrevivir,temporalmente, en el mundo de las matemticas.

6 Recurdese por ejemplo, que cuando se trabaja en aritmtica, la concatenacin de signos, en algunoscasos, refiere aditividad: 23=20+3, mientras, al pasar al lgebra, ella refiere multiplicatividad: 2a=2xa.Esto, en la mayora de los casos, no es tematizado por el profesor.


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Son varios los problemas que se presentan en la transicinaritmticalgebra. En este captulo se har una referenciaa algunas de sus manifestaciones generales, ubicadas dentrode aspectos que engloban los problemas referidos, en parti-cular en los que desde el trabajo del Grupo PRETEXTO(1993) se ha caracterizado bajo el nombre de Problemas pun-tuales en la enseanza y el aprendizaje de las matemticas.Manifestaciones que, si bien no aparecen explcitamente enlos momentos de transicin grados sexto a octavo, deter-minan en una alta medida la posibilidad de comprensintanto de la relacin entre aritmtica y lgebra, como del l-gebra misma.

En general, el trabajo sobre lgebra escolar desarrollado enlas aulas gira en torno a los siguientes temas: Conjuntos num-ricos (nmeros reales), variables, simplificacin de expresionesalgebraicas y resolucin de ecuaciones. Ahora bien, a partir de losestudios realizados en el contexto colombiano, referidos enla introduccin, pudo determinarse que las dificultades delos estudiantes -que son manifestaciones de los problemas-en relacin con el trabajo algebraico coinciden, en gran par-te, con las reportadas en otros trabajos investigativos7 , lascuales, segn Kieran (1989) pueden clasificarse en tanto estnrelacionadas con: El cambio de convenciones respecto del referente aritmtico, La interpretacin de las letras y El reconocimiento y uso de estructuras .

7 Entre otras dificultades, podemos mencionar las relacionadas con el manejo de los universos numricosy los procesos de simbolizacin.

2


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En lo que sigue se presenta, de manera general, algunosresultados de investigaciones que dan cuenta de dificulta-des encontradas al cambiar las convenciones en la nota-cin, respecto del referente aritmtico que traen los estu-diantes, y, de manera especfica, los relacionados con lasinterpretaciones que stos hacen de la letra en contextosmatemticos.

2.1 MARCO ARITMTICO DE REFERENCIA

Como lo plantea Kieran (1989), los escolares al comenzarel estudio del lgebra, traen nociones y enfoques de uso enel trabajo aritmtico, pero que no son suficientes para abor-dar el trabajo algebraico, ya que ste no es una simple gene-ralizacin del aritmtico. Sin embargo, el hecho de que ellgebra pueda ser vista como la formulacin y manipula-cin de proposiciones generales sobre los nmeros, haceque la experiencia previa que el estudiante ha tenido con laestructura de expresiones numricas en la escuela, tengaefecto sobre la habilidad para asignarle significado, y senti-do, al lgebra escolar. Por ejemplo, la concatenacin de sm-bolos cambia sustancialmente: mientras en aritmticaconcatenar smbolos (nmeros) lleva implcita la suma delos valores posicionales (25=2decenas+5unidades 25 =20+5; 3 = 3+), en lgebra concatenar lleva implcito elproducto (2a significa 2xa). As, es posible que los estudian-tes, por ejemplo, relacionen 2a y 2+a como expresionesequivalentes o tambin que sintcticamente asuman a+acomo aa o como a2 ( a+a = aa = a 2 ). En este sentido,resulta importante destacar un hecho encontrado en la in-vestigacin desarrollada sobre la variable en matemticaspor el Grupo PRETEXTO (1996): h2 no se relaciona di-


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rectamente con el producto h.h sino como conteo de haches(hh h+h), que aparecen dos veces independientemente dela operacin.

Relacionado con lo anterior, puede mencionarse la dificul-tad que tienen los estudiantes para aceptar la falta de cierre,por ejemplo, aceptar como respuesta la expresin a+b,prefieriendo cerrarla (que es una exigencia presente de ma-nera drstica en aritmtica, al menos desde la mirada usualcentrada en la aplicacin de procedimientos de cmputo),lo cual induce a escribir a+b = ab e incluso 2+3a = 5a.Puede generalizarse esta situacin, diciendo que el estu-diante no acepta que proceso y resultado puedan ser lo mis-mo, dificultad que ha dado en llamarse dilema proceso-produc-to, la cual podra estar relacionada tambin con la interpre-tacin del signo igual = como una orden de operar (Kieran,1981; Moros et al., 1997) y con la dificultad para aceptar larelacin de igualdad como una relacin de equivalencia. Un hechoadicional a tener en cuenta es que el estudiante, en su traba-jo previo, ha enfrentado problemas o situaciones en los cua-les aparecen expresiones como 3+5 o 2a+3a, en las que hapodido decidir cuntas unidades de cada cosa hay, puescuenta con una unidad fija de medida; luego, sin que hayauna tematizacin sobre el particular, se le presentan expre-siones como

2+ 3 , 3+2b , 1+3

b

donde ya no hayuna unidad a partir de la cual saber cuntas de esas hay, he-cho sobre el cual puede no haber conciencia. Sobre el parti-cular, podra ser importante realizar un trabajo previo conoperaciones que incluyan fracciones, donde se tematice elhecho de requerir de unidades variables (por ejemplo, parasumar 2 con 31 , se toma como unidad de medida 31 , aun-que tambin lo seran

61 ,

91 ,...; mientras que para sumar 2

con 4

3 se toma 4

1 como unidad de medida, y para sumar 3

2

con 4

3 se toma como unidad 121 ).


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2.2 INTERPRETACIN DE LAS LETRAS:Un primer acercamiento

Cuando se inicia el trabajo escolar en lgebra, al parecer,como se encontr manifestacin a partir del estudio referi-do, se propone un repaso sobre los conjuntos numricos(como conjuntos, no como sistemas), privilegiando el tra-bajo sobre lo operativo en trminos de reglas para utilizarciertos algoritmos sobre sus elementos; iniciando con natu-rales, pasando por los enteros y racionales, para concluircon la presentacin de algunos irracionales como 2 , 3 ,etc., aunque induciendo la identificacin con sus aproxima-ciones decimales. Posteriormente, y al hacer su aparicin lasletras, ya no de manera ocasional para representar ciertageneralidad (en cuanto a nombrar elementos o expresar pro-piedades) o en frmulas donde toman un valor especficodado, sino en el sentido de operacionalidad, tomadas comorepresentantes de nmeros arbitrarios de un cierto sistemanumrico (visto como estructura8 ), no se hace referenciaexplcita, o no se hace nfasis, en qu conjunto se est tra-bajando, pues se espera que, vistos ya los conjuntos numri-cos, el estudiante no slo est en capacidad de manejarlos,sino de asimilar que, en el que se est trabajando es el msamplio posible: el conjunto de los nmeros reales, comoposiblemente lo asume el profesor, sin verificar si entre lassignificaciones de los estudiantes aparece esta nocin.Similarmente, cuando se trabaja con letras, se asume tam-bin una interpretacin adecuada por parte de los estudian-tes de lo que ellas significan en el contexto mencionado.

Las letras aparecen, en general, ligadas con expresionessintcticas que adquieren sentido en estructuras definidas a

8 Para reconocer estructura, es necesario conocer estructuras variadas que posibiliten ver analogas ydiferencias. Si el nico conjunto numrico que trabajan con relativo dominio, como sistema, es el delos Naturales, como al parecer sucede en los primeros aos de la bsica secundaria, qu posibilidadestienen de ubicar dichas analogas y diferencias?.


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partir de relaciones como igual que, menor que, y de acuer-do con las interpretaciones que los muchachos tengan tantode estas relaciones, como de los smbolos que las represen-tan. Por ejemplo, para las interpretaciones de las letras, y engeneral de las expresiones algebraicas, el estudiante trae comosistema de referencia el aritmtico, as que, desde ste, lamayor posibilidad de contextualizar conceptualmente el usode la letra, es verla como una generalizacin de nmero9 ,para lo cual, adems, es indispensable un trabajo conscientee intencionado por parte del profesor. Sin embargo, tal in-terpretacin es insuficiente, puesto que el lgebra, ademsde corresponder a un hacer explcito aquello que apareceimplcito en la aritmtica, es decir, su estructura, tiene quever con la formalizacin de procedimientos en los que esnecesaria, si no la explicitacin de las propiedades, s la con-ciencia de cules legitiman dichos procedimientos.

Aqu es oportuno resaltar, que de esos procedimientos, losestudiantes tienen la posibilidad de no dar cuenta por elhecho que en el trabajo aritmtico, el resultado es tomado, yfunciona bien, como criterio de correccin. Tambin en estesentido, es importante sealar que el profesor,concientemente o no, hace uso de la posibilidad menciona-da, con lo cual, los mtodos intuitivos, y los mtodos engeneral, utilizados por los estudiantes, prcticamente nuncason discutidos.

Sintetizando lo expuesto anteriormente, y a manera de con-clusin, resulta conveniente resaltar, en particular, la impor-tancia que tiene para el aprendizaje del lgebra, superar la

9En la transicin aritmtica-lgebra, se pasa de expresiones como 2(2)+1, la cual puede reducirse a unslo trmino, el 5, a otras como 2b+1, donde ya no es posible tal reduccin. As, los estudiantes se venabocados a la dificultad conocida como falta de cierre, la cual conlleva otra adicional de carcter estructural,pues expresiones como a2 - b2refieren una gama amplia de situaciones, como por ejemplo: x2 - y2, (a3)2

- 9, (5w+1)2 - (a3 )2,... y su forma de trabajarlas, lo cual exige para su comprensin ver lo general en loparticular y lo particular en lo general. Esto, sin embargo, no es tematizado en general en el aula declase; tampoco en los textos escolares.


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interpretacin del signo igual como orden de operar, si sequiere acceder a una interpretacin de la letra que, ademsde ser representacin de nmero, considere el tipo (en estecaso el conjunto numrico) al que ella pertenece, es decir,tanto su universo numrico como las relaciones que le dana l estructura (algebraica, en este caso); y en relacin conesto, tanto superar, en palabras de Matz y Davis (1980), eldilema proceso-producto, como aceptar lo que Collis (1975) lla-ma aceptacin de la falta de cierre10 .

2.3 RECONOCIMIENTOY USO DE ESTRUCTURAS

Despus del trabajo con letras, particularmente orientadoal uso de stas como representante de nmeros, se empiezaa operar con ellas en el contexto de las expresionesalgebraicas. Kieran (1989) reporta investigaciones relacio-nadas con la posibilidad de una aproximacin geomtricapara dar sentido a las dichas expresiones y descubrir obst-culos cognitivos asociados con esta aproximacin; estas in-vestigaciones sugieren que la construccin de sentido detales expresiones no lleva necesariamente al desarrollo es-pontneo de sentido para la simplificacin de expresionesalgebraicas. Sobre el particular, reporta investigaciones re-lacionadas con el conocimiento estructural que tienen losestudiantes de dichas expresiones, evidenciado a partir delos procesos que ellos usan para simplificarlas, y planteaque las dificultades de los estudiantes en la asimilacin de laestructura de las expresiones algebraicas11 influye en su tra-bajo con ecuaciones.

10 Autores citados por Kieran (1989).11 Reporta una investigacin de Greeno (1982), segn la cual el desempeo de los estudiantes novatosen lgebra pareca ser bastante al azar, por lo menos en un momento. Sus procedimientos contenanmltiples errores, que indicaban una carencia de conocimiento acerca de las caractersticas estructuralesdel lgebra Por ejemplo, podan simplificar 4(6x-3y)+5x como 4(6x-3y+5y) en un intento, pero haceralgo diferente en otra ocasin.


26

En tal sentido, plantea Kieran, se han desarrollado, por unaparte, estudios centrados en el reconocimiento por partedel estudiante de la estructura superficial subyacente (es decir,a la forma dada o a la organizacin de los trminos y lasoperaciones, sujetos a las restricciones que implica el ordende las operaciones), por ejemplo, reconocer el orden de lasoperaciones en la expresin 2(x+1)+3; por otra, estudioscentrados en la posibilidad del estudiante para discriminarlas transformaciones correctas de las incorrectas, es decir,de la estructura sistmica (en el sentido de estar relacionadacon el sistema del cual hereda las propiedades de las ope-raciones, tales como la conmutatividad y asociatividad, y lasrelaciones entre las operaciones como la distributividad),por ejemplo, reconocer que la expresin 3(x+2)+5 equivalea 5+3(x+2) a 3x+11.

En el caso de las ecuaciones, recalca Kieran, la estructuraincorpora las caractersticas de la estructura de las expre-siones (pues una ecuacin relaciona dos expresiones). As,la estructura superficial de una ecuacin comprende tantolos trminos dados y las operaciones de las expresiones aambos lados de la igualdad, como la relacin de igualdad ysus propiedades (por ejemplo, la propiedad aditiva asocia-da: si se adicionan cantidades iguales a cantidades iguales,las sumas son iguales); requiere adems el conocimiento dela relacin inversa entre adicin y sustraccin y entre multi-plicacin y divisin, la equivalencia de expresiones a amboslados de una ecuacin, y la equivalencia de ecuaciones enuna cadena de resolucin de ecuaciones). Por ejemplo,3(x+2)+5=4x/2-7 se puede expresar como 3x+11=2x-7,en donde cada expresin es transformada de forma inde-pendiente. Por la relacin de igualdad inherente a una ecua-cin, la expresin a mano izquierda sigue siendo equivalen-te a la expresin de la derecha despus de las transforma-ciones sistmicas de una o de ambas expresiones.


27

Nuevamente se recalca aqu que gran parte del trabajo en laaritmtica ha estado orientado a encontrar la respuesta,nfasis que ha permitido a los nios arreglrselas con pro-cedimientos informales e intuitivos; sin embargo, en lge-bra, se les pide que reconozcan y usen la estructura queantes han tenido la posibilidad de evitar en aritmtica, locual genera dificultades en la iniciacin al lgebra como lasmencionadas en las anteriores secciones (Kieran, 1989).

2.4 PROBLEMAS PUNTUALES EN LAENSEANZA Y EL APRENDIZAJEDE LAS MATEMTICAS

En las matemticas, existen ciertos conceptos o nocionesque estn en la base de algunas de sus reas: aritmtica,lgebra, clculo, y, sin entrar en discusin respecto de sulugar, lgica; las cuales a su vez, se fundamentan respectiva-mente, al tiempo que fundamentan a las matemticas comototalidad. Esto hace que en la enseanza y en el aprendizajede las matemticas, tengan un peso significativo sobre otrasnociones. No se pretende decir aqu que los mencionados acontinuacin son los que son, pero s que se ubican dentrode lo dicho. Son ellos, en orden correspondiente: proporcio-nalidad, variable, lmite y enunciados condicionales. En el siguientecuadro se sintetiza la relacin reaconceptos problema.

REA CONCEPTO

Aritmtica Proporcionalidadlgebra VariableClculo LmiteLgica Enunciados condicionales


28

Lo dicho en el prrafo precedente, es ya una caractersticaasociable a los problemas puntuales, inherente a dichos con-ceptos, otra, es que ellos, los conceptos, por el grado deabstraccin que comparten, poseen una dificultad concep-tual importante. Estas caractersticas, provocan entonces,de manera natural, dificultades tanto para su enseanza,como para su aprendizaje, que se manifiestan en los siguien-tes aspectos:

Permanencia de la dificultad. Con esto se quiere signifi-car que la dificultad se aprecia en el tiempo en dos sentidos.El primero, que aparece en los estudiantes, generacin trasgeneracin. El segundo, que una vez ha sido vivenciada porun estudiante especfico, puede permanecer en l prctica-mente durante toda su vida, si no se lleva a cabo un trabajopara superarla. En este ltimo sentido, lo hecho puede serconsciente o inconsciente, pero cualquiera sea el caso, nohay memoria explcita y escrita de ello.

Presencia de la dificultad. Los problemas de incompren-sin por parte de los alumnos, y las dificultades para el tra-tamiento por parte de los profesores, se presentan en la granmayora de estudiantes y docentes respectivamente.

Determina incomprensin. Cuando no se comprende unode estos conceptos, se produce algo as como una reaccinen cadena que lleva a que cada vez ms conceptos seanincomprendidos, lo cual, como especulacin plausible, pue-de ser una de las razones para la actitud displicente de losestudiantes para con las matemticas.

Entorpecimiento del comportamiento algortmico.Tiene que ver esto con dos aspectos del lenguaje, en parti-cular del matemtico. Semnticamente, cuando un concep-to ha sido incomprendido, y por tanto no se le ha dado sig-


29

nificacin al grupo de signos por medio de los cuales serefiere el concepto, los trabajos de tipo sintctico, que tie-nen que ver con los manejos algortmicos, a lo ms puedenllegar a desarrollarse de manera mecnica y memorstica,pero nunca significando las acciones llevadas a cabo con lossignos.

Limitante del desarrollo cognoscitivo. Las matemti-cas en su naturaleza son de carcter abstracto, el no poderacceder a la comprensin de nociones tan fundamentalescomo las mencionadas, impide que los estudiantes desarro-llen su capacidad de pensamiento formal, ms generalmen-te an, su capacidad de abstraccin, lo cual obviamente con-lleva problemas a nivel de otras reas, incluso de la vidacotidiana.

Tal es el panorama de lo relacionado con los problemaspuntuales, que valga aclararlo, no son los conceptos propia-mente dichos lo que aqu se caracteriza como Problema Pun-tual, cuanto la situacin de enseanza y de aprendizaje, y enrelacin con las dificultades para lo uno y lo otro.


30

3

LA VARIABLE ENMATEMTICAS COMOPROBLEMA PUNTUAL

LA VARIABLE EN MATEMTICAS COMO PROBLEMA PUNTUAL

31

LA VARIABLE ENMATEMTICAS COMOPROBLEMA PUNTUAL

En este captulo se presenta las ideas trabajadas por los in-tegrantes del Grupo PRETEXTO, para profundizar en laexplicitacin de por qu la variable en matemticas efecti-vamente se constituye como problema puntual, mediante lapresentacin de los aspectos que la hacen ser tal:

La simbolizacin y los diversos usos que de ella se hacenconducen a las distintas interpretaciones de las letras (3.1).

En la resolucin de ciertos problemas algebraicos es ne-cesario usar todas las interpretaciones de las letras (3.2).

La exigencia de pensamiento formal para desempearsecompetentemente en el cuarto nivel de comprensin dellgebra (3.3).

La caracterizacin de la nocin de variable (3.4.3). La relacin entre la caracterizacin de la nocin de va-

riable y las interpretaciones de las letras (3.4.4). Finalmente se describen algunas causas de incompren-

sin de la nocin de variable atribuibles, en buena parte,a la formacin del profesor de matemticas (3.4.5).

3.1 INTERPRETACIONES DE LAS LETRAS

Puntualizando, respecto de la interpretacin que puede dar-se a la letra en contextos algebraicos, los estudios deKchemann (1978) han mostrado que las dadas por los es-tudiantes pueden tipificarse as:

3


32

(1) Letra evaluada. A la letra se le da un valor numrico enlugar de tratarla como un valor desconocido. Por ejem-plo, al preguntrsele: si e+f=8, cunto es e+f+g?, elmuchacho responde 12, en lugar de 8+g.

(2) Letra no usada. Aqu la letra se ignora, o a lo ms esreconocida (pero sin drsele un significado). Por ejem-plo, al solicitarle smele 2 a 3n, el muchacho escribe5 o 5n en vez de 3n+2.

(3) Letra como objeto. La letra es vista como un nombrepara un objeto, o como el objeto propiamente dicho.Por ejemplo, ante expresiones como 2n+3n se piensaen 2 naranjas y 3 naranjas, o simplemente como 2enes y 3 enes, lo cual significa 5 enes juntas. Si bienesta manera de operar puede servir para resolver f-cilmente algunos ejercicios (por ejemplo en la sumade trminos semejantes), puede ser errnea o carecerde significado en otros; como cuando se plantea queuna libra es igual a cuatro marcas, en un cierto instru-mento para pesar, y se traduce como l=4m (lo cual nose tiene, en este caso, si l y m son nmeros).

(4) Letra como incgnita. Aqu la letra se piensa como unnmero particular pero desconocido y el muchachose lanza a operar con la letra vista de esta manera, apesar de la falta de cerradura del resultado (como enlas respuestas 8+g y 3n+2).

(5) Letra como nmero generalizado. La letra se ve como repre-sentante de valores o capaz de tomar varios valores msque como un valor especfico, como en qu puede usteddecir de C si C+D=10 y C es menor que D.

(6) Letra como variable. La letra representa un rango de va-lores y el muchacho es capaz de describir el grado con


33

el cual los cambios en un conjunto se determinan porlos cambios en otro (lo cual significa establecer almenos una relacin de segundo orden). Un ejemploes a=b+3; qu le pasa a a si b es incrementado en2?, donde los muchachos necesitan encontrar unarelacin como a es siempre tres ms que b, mejorque este a es tres ms que este b, lo cual no dicenada acerca de su relacin con los cambios de b.

3.2 RELEVANCIA DE LAS DISTINTASINTERPRETACIONES

Los distintos usos de las letras (que constituyen, en general,la manifestacin simblica de las variables), aunque parez-can simples para el que sabe, deben ser reconocidos por losestudiantes para dotar de significado el trabajo algebraico.En general, estas diferencias no son tematizadas en el aulade clase por parte del profesor, quien, al parecer, asumeesto como un hecho irrelevante o no hace conciencia dedicha diferenciacin. En tal sentido, puede resultar ilustrati-vo el siguiente ejemplo, referenciado por Ursini (1994, p.91),donde aparece manifiesta la necesidad, tanto de conocerdiferentes usos de la letra (variable segn Ursini), como deinterpretarla en correspondencia con las interpretacionesrequeridas para lograr resolver el problema:

Encuentra la ecuacin de la lnea que pasa por el punto (6,2) y

cuya pendiente es 11.

Sobre este problema plantea12 :Cuando para resolver este problema, se parte de la relacin general

que existe entre los puntos de la recta y su pendiente, a saber :

Y=mX+b, queda implcito que se espera que el estudiante sea ca-

12 El subrayado es nuestro


34

paz de concebir las variables como nmeros generales. En efecto, esta

expresin describe una lnea general y las variables involucradas re-

presentan nmeros generales que pueden, por lo tanto, asumir cual-

quier valor. Sin embargo, para una lnea particular, m y b no repre-

sentan nmeros generales, sino constantes. Por ejemplo, en el ejemplo

arriba mencionado el valor de la pendiente est dado y tiene que

sustiturse a m; b es una incgnita que puede determinarse usando

los datos. X y Y son dos variables vinculadas por una relacin fun-

cional: X puede considerarse un argumento al que se le puede asignar

cualquier valor mientras que los valores de Y cambian en correspon-

dencia

ste es, pues, un caso en el cual se hace necesario trabajarcon distintas interpretacones de las letras: como nmerosgeneralizados, como incgnitas y como variables (en unarelacin funcional).

Kchemann (1978), apoyado en los estudios de Collis (1975),toma un marco de referencia Piagetiano13 para asociar a lasinterpretaciones 1 y 2 (evaluada y no usada/ignorada) elnivel bajo de las operaciones concretas, a la 3 (objeto) elsuperior de las operaciones concretas, a las 4 y 5 (incgnitay nmero generalizado) el nivel bajo de las operaciones for-males y, finalmente a la interpretacin 6 (variable) el supe-rior de las operaciones formales. Esta asociacin no puedetomarse, en general, como una correspondencia directa yas, por ejemplo, el hecho de evaluar la letra, en un ciertoproblema, no significa que el estudiante se encuentre en elnivel bajo de las operaciones concretas. Kchemann plan-tea que las interpretaciones que los estudiantes hacen de lasletras dependen de la naturaleza y la complejidad de las pre-guntas; por esto, propone ejercicios de diferente compleji-dad, que requieren de una interpretacin mnima (respectode la jerarquizacin por l propuesta) para poder respon-

13Collis destaca que el orden de sucesin de los estadios permanece invariante, aunque las edadescronolgicas correspondientes a los estadios pueden variar mucho de una cultura a otra, de unapersona a otra, e incluso de una a otra tarea en una misma persona.


35

derlos correctamente14 y, en tal sentido, no acceder a la in-terpretacin requerida, se constituye en un indicativo sobresu nivel de razonamiento. Sin pretender profundizar en esteaspecto, puede ser ilustrativo tomar uno de los ejemploscitados por Collis (1975) y explicitar un poco, desde su cla-sificacin, la asociacin que hace entre interpretaciones dela letra y niveles de desarrollo de los estudiantes:

Debes decidir si las afirmaciones siguientes son verdaderas siempre,

algunas veces o nunca. Haz un crculo alrededor de la respuesta

correcta. Si haces un crculo alrededor de algunas veces explica en

qu casos es cierta la afirmacin. Todas las letras representan nme-

ros enteros o cero (por ejemplo, 0,1,2,3,etc.).

1. a+b = b+a Siempre

Nunca

Algunas veces, esto es, cuando...

2. m+p+n = m+q+n Siempre

Nunca

Algunas veces, esto es, cuando...

3. a+2b+2c = a+2b+4c Siempre

Nunca

Algunas veces, esto es, cuando....

Estadio inicial de operaciones concretas. Los estudian-tes tienden a considerar la letra como representante de unnmero determinado. En problemas como el citado (tem1), las letras son reemplazadas por un nmero especfico ysi ste falla, abandonan la tarea, si no, lo aceptan.

Estadio medio de operaciones concretas. Una diferen-cia notable, con respecto al nivel anterior, lo representa el

14De hecho, como se ejemplificar ms adelante, en algunos problemas se requiere diversasinterpretaciones de la letra para poder abordarlos comprensivamente.


36

hecho de una mayor familiaridad con la notacin algebrica,la cual se manifiesta incluso en la aceptacin de la falta decierre en las expresiones. En el ejemplo citado anteriormente,los estudiantes pueden admitir que las letras tomen ms deun valor especfico, intentan con un par de nmeros y sisatisfacen la relacin, sacan su conclusin sobre esta base;sin embargo, no pueden responder los temes 2 y 3.

Estadio de generalizacin concreta. El mayor avancede los jvenes, en este nivel, es que pueden usar letras pararepresentar incgnitas especficas o nmeros desconocidos(no objetos), y trabajarlas como tales (con las mismas pro-piedades de los nmeros con los cuales tuvieran experien-cia previa); pueden, adems, aceptar la falta de clausura ensus respuestas. Al trabajar con el tem 2, pueden tener difi-cultades pues, aunque p y q varan simultneamente, en tan-to pueden ser uno dentro de la gran variedad de nmeros,no necesariamente se acepta la posibilidad de que ambos seencuentren y, en tal sentido, no sacar la conclusin a partir dela deduccin formal de que p=q; as como tambin, en eltem 3, no poder aceptar que 2x(nmero) = 4x(nmero), y portanto, no poder sacar la deduccin formal que se desprendede la afirmacin 2c =4c.

Estadio de las operaciones formales. Los jvenes tra-bajan correctamente en el sistema definido, dentro del cualpueden sacar deducciones de tipo formal. Por ejemplo, pue-den sacar las deducciones formales que les permite respon-der correctamente los temes 2 y 3 comentados anterior-mente.

Desde la perspectiva de Collis, la capacidad de los alumnospara trabajar con pronumerales depende en gran parte de loque ellos son capaces de considerar como real.


37

3.3 NIVELES DE COMPRENSINDEL LGEBRA

Con base en el trabajo desarrollado por Collis, y en el marcodel proyecto CSMS (Conceptos en Ciencias y Matemticasen Secundaria), Kchemann (1981) establece cuatro nivelesde comprensin del lgebra que estn relacionados no slo conlas interpretaciones de letra, sino tambin con la estructuraimplicada (operaciones involucradas) y la naturaleza de loselementos con los que trabaja. As, encuentra grados de facili-dad (con base en el porcentaje total de estudiantes que re-suelven adecuadamente los temes) para cada uno de lostemes del test aplicado a 3000 estudiantes (13-15 aos).Inicialmente trabaj con 51 temes, de los cuales dej slo30 debido a la similitud de algunos de ellos y los resultadosarrojados respecto a grado de facilidad.

NIVEL 1: Bajo de las operaciones concretas. Los ele-mentos de los temes son fundamentalmente numricos (n-meros pequeos) o tienen estructura simple (involucran unaoperacin) y pueden ser solucionados interpretando la le-tra como objeto, evalundola o incluso no usndola. Porejemplo:

Si sabe que a+b=43, Cunto es a+b+2?.

Simplifique la siguiente expresin: 2a+5a

Calcule el rea de la siguiente figura: 6

El permetro de un polgono es igual a la suma de las longitudesde todos sus lados.

Calcule el permetro de la siguiente figura:

e

ee

10


38

Puede observarse que los anteriores temes pueden ser re-sueltos evaluando la letra (para el primer caso), no usndola(para el tercero) o interpretndola como objeto (para elsegundo y cuarto), y que la estructura slo involucra unaoperacin. Adems, las cantidades que se manejan son pe-queas. El grado de facilidad de los anteriores temes, enjvenes de 13, 14 y 15 aos fue: 92%, 97% y 95%, respecti-vamente, para el primer tem; 79%, 89% y 90%, para elsegundo, 77%, 86% y 87% para el tercero y 91%, 94% y93%, para el ltimo.

NIVEL 2: Superior de las operaciones concretas. Ladiferencia bsica de los temes con los del nivel anterior esque su estructura es ms compleja (involucran dos o msoperaciones) o requieren el manejo de cantidades ms gran-des. En cuanto a interpretaciones de letra, se mantienen lasdel nivel anterior. Por ejemplo:

Qu puede decir acerca de m, si sabe que m=3n+1, cuandon=4?

Simplifique la siguiente expresin: 2a+5b+a

Calcule el rea de la siguiente figura: n

El permetro de un polgono es igual a la suma de las longitudesde todos sus lados. Calcule el permetro de la siguiente figura:

Los temes anteriores, en relacin con los del nivel 1, sediferencian en que su estructura es menos simple, pues re-quieren de ms operaciones para solucionarlos. Los grados

m

t

h h

h h


39

de facilidad, respectivamente, fueron los siguientes: 44%,62% y 67% para el primero; 40%, 60% y 66% para el se-gundo; 54%, 68% y 76% para el tercero; 54%, 64% y 67%para el ltimo.

NIVEL 3: Bajo de las operaciones formales. La inter-pretacin de letra mnima requerida para solucionar lostemes es la de incgnita especfica (respecto a lajerarquizacin propuesta por Kchemann). La estructuraen estos temes es relativamente simple y se manejan canti-dades pequeas. Por ejemplo:

Qu puede decir acerca de r, si sabe que r=s+t y quer+s+t=30?

Si sabe que e+f=8, a qu es igual e+f+g? Simplifique la siguiente expresin: 2a+5b El permetro de un polgono es igual a la suma de las longitudes

de todos sus lados. Calcule el permetro de la siguiente figura:

En este caso, los grados de facilidad respectivos son los si-guientes: Para el primer tem: 30%, 41% y 39%; para el se-gundo: 25%, 41% y 50%; para el tercero: 29%, 45% y 51%;para el ltimo: 24%, 38% y 41%. Ntese que los temes delos niveles 3 y 4 se diferencian de los anteriores fundamen-talmente en la interpretacin de letra requerida para su so-lucin.

NIVEL 4: Superior de las operaciones formales. Conrespecto a los temes del nivel anterior, stos tienen una es-

Aunque la figura no est totalmente

dibujada, se sabe que es un polgono, con n

lados y que todos son de longitud 2.

2 2 2

2

2 2


40

tructura ms compleja. Se incluyen ms operaciones y n-meros ms grandes. Por ejemplo:

Si (x+1)3+ x =349 cuando x=6, qu valores de x hacenverdadera la expresin (5x+1)3+5x=349?.

Simplifique la siguiente expresin: (a-b)+b n multiplicado por 4 se escribe 4n. Multiplique n+5 por 4 Calcule el rea de la siguiente figura:

Los grados de facilidad, respectivamente, fueron los siguien-tes: 4%, 12% y 16% para el primero; 15%, 23% y 32% parael segundo; 8%, 17% y 25% para el tercero; 7%, 12% y 16%para el ltimo.

Kchemann, con base en los resultados del test (que conte-na 30 temes y fue aplicado en Inglaterra a 3000 estudian-tes, cuyas edades oscilan entre 13 y 15 aos), encontr lasiguiente clasificacin de la poblacin, con respecto a losniveles de comprensin (de lo que llama aritmtica genera-lizada), para lo cual estableci un nmero total de temes decada nivel que deberan ser resueltos correctamente por losestudiantes (se presentan los porcentajes de estudiantes cla-sificados por nivel y edad):

13 aos 14 aos 15 aos

Nivel 0 (No clasificable)

Nivel 1 (4 de 6 temes)




10

50

23

15

2

6

35

24

29

6

5

30

23

31

9

5

e 2


41

Ahora bien, quienes no respondieron adecuadamente elnmero mnimo de temes para estar en alguno de los cua-tro niveles descritos, fueron clasificados en nivel 0. Esta l-tima denominacin, en el presente escrito, se considera noadecuada, en tanto sugiere una menor competencia de losestudiantes ubicados en este nivel para abordar los temesplanteados, lo cual resulta discutible si se tiene en cuenta losresultados del estudio realizado en el contexto colombiano,segn el cual algunos de los estudiantes clasificados en estenivel pudieron responder correctamente varios temes deniveles superiores. Por lo anterior, se prefiere ubicar a di-chos estudiantes en la categora no clasificable, para significarque en dichos casos se requiere de instrumentos que permi-tan complementar la informacin obtenida con ste.

En el contexto colombiano, especficamente en Santa Fe deBogot, se realiz una rplica parcial de esta investigacin15 ,a menor escala, con 133 jvenes de octavo (13 aos aproxi-madamente), 133 de noveno (14 aos) y 123 de dcimo (15aos); es decir, un total de 389 estudiantes, de dos colegiosoficiales. Los resultados, en cuanto grado de facilidad, fue-ron diferentes, menores en el caso colombiano para la ma-yora de los temes (en algunos la diferencia fue bastanteconsiderable). Veamos en la siguiente tabla una compara-cin, por niveles, entre los grados de facilidad en los doscontextos mencionados, a partir de un ejemplo de tem encada uno de los niveles (resaltados en negrilla, en la colum-na derecha, aparecen los resultados del estudio realizado enSanta Fe de Bogot, referenciado anteriormente):

15 Trabajo de Grado realizado por ANDREA CIFUENTES y ADRIANA OCHICA (1998), bajo ladireccin del profesor PEDRO JAVIER ROJAS GARZN


42

16 Estudiantes de 8 a 10 grado, de dos colegios oficiales de Santa Fe de Bogot (1998).17 Resaltadas en negrilla aparecen las respuestas que fueron aceptadas como correctas. Es importante

mencionar que en el primer tem, la expresin e3 se acepta como correcta, pues no fue interpretada porlos estudiantes como potencia, en tanto el exponente lo consideraron como un contador de es: sumamoslos lados, e ms e, ms e, es decir tres e (la respuesta desde lo semntico es correcta, a pesar de que laescritura utilizada no es la convencional en el contexto del lgebra escolar usual, en tal sentido, no

necesariamente errnea).

TEMES

NIVEL 1: El permetro

de un polgono es igual a la

suma de las longitudes de

todos sus lados. Calcule el

permetro de la

siguiente figura:

NIVEL 2: Qu puede

decir acerca de m, si sabe que

m=3n+1, cuando n=4?

NIVEL 3: Simplifique la

siguiente expresin: 2a+5b

NIVEL 4: n multiplicado

por 4 se escribe 4n.

Multiplique n+5 por 4

Noveno grado

(14 aos)

94% 73%

62% 14%

45% 7%

17% 10%

Dcimo grado

(15 aos)

93% 78%

67% 41%

50% 29%

25% 30%

Octavo grado

(13 aos)

91% 20%

44% 6%

29% 3%

8% 0%

e

ee

Ahora bien, para intentar acercarse a explicaciones sobrelas dificultades encontradas por los estudiantes (que valgadecir, pueden obedecer no slo a problemas de aprendizaje,sino tambin de enseanza), resulta de inters conocer al-gunas de las respuestas dadas por ellos16 a los temes, quepor otra parte, pueden brindar elementos para indagar so-bre la plausibilidad o no de la propuesta de Kchemann, enrelacin con los niveles de comprensin del lgebra escolar.


43

RESPUESTAS A

LOS TEMES 17

El permetro de un polgono es igual a la suma de las longitu-des de todos sus lados. Calcule elpermetro de la siguiente figura:

3e e3

Miden los segmentos de la figura Valor numrico (evalan e) Otras respuestasNo contestan

Qu puede decir acerca de m, si sabe que m=3n+1, cuandon=4?

m=13 m=35 Otros valores Otras respuestasNo contestaron

Simplifique la siguiente expresin: 2a+5b 2a+5b 7ab Valores numricos (evalan a y b) Otras respuestasNo contestaron

n multiplicado por 4 se escribe 4n. Multiplique n+5 por 4 4n+20 20n Valores numricos Otras respuestasNo contestaron

Octavo(N1 = 133)

7%

13%

26%24%22%7%

6%

11%30%26%27%

3%

55%8%14%19%

0%

65%12%15%7%

Dcimo(N3 = 123)

37%

41%

0%9%11%2%

41%

12%9%16%22%

26%

43%0%9%22%

30%

45%3%17%3%

Noveno(N2 =133)

37%

36%

0%13%12%2%

14%

23%20%23%20%

7%

47%0%26%20%

10%

67%2%17%5%

Finalmente, retomando lo planteado en la seccin 2.2, esimportante mencionar que cuando se trabaja en lgebra conlos estudiantes, no se hace explcito (o no se hace nfasis),por ejemplo, en qu conjunto numrico se est trabajando,pues se asume que ste es el ms amplio posible: el conjuntode los nmeros reales, sin verificar si entre las significacio-nes de los estudiantes aparece esta nocin. Similarmente,cuando se trabaja con letras, se asume tambin una interpre-tacin adecuada por parte de los estudiantes de lo que ellassignifican en el contexto mencionado. As, tiene sentido pre-guntarse, por ejemplo:

e

ee


44

CAMBIO(En grado

de facilidad)

14%

14%

76%

GRADODE FACI-LIDAD18

45%31%

91%77%

89%13%

ESTRUCTURA DEL TEM

Redacte una situa-cin-problema querequiera realizar laoperacin: 9 x 3 84 x 2 8

Dibuje en el planocartesiano las siguien-tes parejas ordenadas: (2,5), (3,7), (5,11) (11/2 , 4)

Halle el rea del rec-tngulo de medidas: 6 por 10 2/9 por 5/8

Tiene el estudiante, el conjunto de los racionales?, el delos reales?

Cuando ve la letra en contextos matemticos, Cmo lainterpreta?

Exige la nocin de variable, como posibilidad de inter-pretacin de la letra, formas especficas de trabajo en elaula?

Qu interpretaciones de letra son necesarias para abor-dar comprensivamente el trabajo algebraico?

Como complemento a lo mencionado anteriormente, pue-de ser de inters describir algunos resultados relacionadoscon el cambio que se genera, en los grados de facilidad, almodificar la naturaleza de los elementos en los temes, he-cho al que poca importancia se le concede, para nuestrotrabajo en el aula. Los siguientes son algunos ejemplos:

CAMBIO

EN LOS

ELEMENTOS

Nmeros pequeos

a

Nmeros grandes

Nmeros enteros

a

Nmeros

fraccionarios


45

18 El grado de facilidad, como ya se mencion, corresponde al porcentaje de estudiantes que responden

correctamente el tem. Se excluye, por lo tanto, a quienes contestaron en forma incorrecta u omitieron

dar respuesta. Los datos contenidos en la tabla, corresponden a respuestas de estudiantes de 14 aos

aproximadamente (test CSMS-Proyecto Chelsea), exceptuando los del primer tem que corresponden

a nios de 11 aos.

Halle el volumen delcubo dado, cuyas di-mensiones son: 3 x 2 x 2 2 x 2

21 x 2

21

Efecte las siguien-tes operaciones: 10 x 4 10 x 5,13 100 x 317 100 x 2,3 603 60 0,3

Qu significa el 2 enla expresin?: 521 0,2

Halle el rea del rec-tngulo dado, cuyasdimensiones son: 6 y 10 5 y e+2

Halle el nmero dediagonales de un po-lgono cuyo nmerode lados es: 57 k

Sume 4 a 3n Multipliquen+5 por 4

Razn: 5/8x2/3 Un kilmetro es lo

mismo que 5/8 demilla. Cunto es2/3 de kilmetro?

Nmeros enteros

a

Nmeros decimales

Nmero conocido

a

Nmero desconocido

Coordinacin de

Operaciones

Datos explcitos

a

Datos implcitos

68%28%

90%58%58%36%80%28%

87%73%

89%12%

75%52%

36%

17%

47%

8%

40%

32%

22%

52%

14%

77%

23%

19%

39%


46

3.4 ALGUNOS COMENTARIOS A

PARTIR DE LA INVESTIGACIN

DEL GRUPO PRETEXTO

Como se mencion en la introduccin, los integrantes delGrupo PRETEXTO, de la Universidad Distrital FranciscoJos de Caldas, desarrollaron la investigacin titulada LaVariable en Matemticas como Problema Puntual: Bsqueda de cau-

sas en octavo grado (1996), cuyo propsito fundamental eraexplicar causas de incomprensin del concepto de variableen matemticas, as como tambin indagar sobre cules sonlas ideas que tienen los estudiantes de este concepto.

Dentro de las acciones metodolgicas bsicas utilizadas enla etapa de indagacin, adems de la observacin del traba-jo de aula (acercamiento etnogrfico a la actividad al inte-rior de la clase de matemticas), disearon y aplicaron doscuestionarios: uno, que buscaba ubicar las interpretacionesde letra en contextos matemticos que hacan los estudian-tes; otro, mediante el cual establecer los universos numri-cos de que disponen y su desempeo matemtico en ellos,as como tambin posibilidades de generalizacin, y la rela-cin entre el trabajo con nmeros y letras.

3.4.1 Primer cuestionario. Con base en los resultados deinvestigacin comentados en las secciones anteriores, en eldesarrollo del trabajo referido, al iniciar el ao escolar (1994)se aplic el primer cuestionario basado en la jerarquizacinpropuesta por Kchemann para indagar acerca de la inter-pretacin de la letra que se presentaba en los estudiantes desptimo, octavo y noveno grados de los colegios donde sedesarroll la investigacin, que sirviera adems como pun-


47

to de referencia, una vez transcurrida la primera mitad delao, respecto de si el trabajo desarrollado en lgebra en losdistintos grupos de grado octavo, produca modificacionesa la interpretacin inicial de las letras. El texto del cuestio-nario se presenta a continuacin:

1. Si usted sabe que e+f=8, a qu es igual e+f+g= ?. Por qu ?

2. n multiplicado por 4 puede escribirse 4n. Multipliquepor 4 la expresin n+5. Cmo lo hizo ?

3. Una manzana cuesta $150 y una pera $200. Si y es elnmero de manzanas y z el nmero de peras compra-das. Qu representa la expresin 150y+200z?. Por qu?

4. Cundo es correcta la siguiente expresin:L+M+N=L+P+N?. Subraye la respuesta correcta:Siempre (Por qu?); Nunca (Por qu?); A veces (Enqu casos?).

5. Cundo es correcta la siguiente expresin: a+2 = b+2?.Subraye la respuesta correcta: Siempre (Por qu?);Nunca (Por qu?); A veces (En qu casos?).

6. Si usted sabe que a=b+3. Qu le sucede a a si le aa-dimos 2 a b ?. Por qu ?

7. Si usted sabe que f=3g+1. Qu le sucede a f si le aa-dimos 2 a g ?. Por qu ?.

Resultados. Las grficas que seguidamente se presentan re-sumen las diferentes interpretaciones de la letra encontradascomo resultado del anlisis de las respuestas dadas por losestudiantes del grado octavo a la prueba citada (N=256)19 :


48

Porcentaje promedio del total de estudiantes de octavogrado por nivel segn la jerarquizacin de Kchemann

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

L.E. L.N.U. L.C.O. L.C.I. N.G. L.C.V.

Niveles de jerarquizacin de Kchemann

prom

19 Convenciones para leer las Grficas:L.E: Letra evaluada L.N.U.: Letra ignorada o no usadaL.C.O.: Letra como objeto L.C.I.: Letra como incgnitaN.G.: Letra como nmero generalizado L.C.V.: Letra como variable.

Grfica1

%

Puede observarse que la mayora de estudiantes (cerca deun 70% ) estn en los niveles ms bajos de interpretacin deletra (evaluada, no usada o como objeto) y slo un reducidonmero de ellos (15%) en los niveles superiores (como in-cgnita, nmero generalizado o variable). El porcentajefaltante (cerca del 15%), corresponde a estudiantes que porsus respuestas no pudieron ser clasificados respecto a susinterpretaciones de letra.

Ahora bien, particularizando al grupo de octavo grado alque se aplic el cuestionario por segunda vez (uno de losseis grupos, escogido al azar), para observar las modifica-ciones surgidas como resultado del trabajo en lgebra du-rante los ocho primeros meses del ao escolar, la interpre-tacin que ellos hicieron de la letra aparece en las siguientesgrficas, correspondiendo la grfica 2 a los resultados de laprimera vez que se les aplic el cuestionario (N=41), y lagrfica 3 a los de la segunda:


49

PRIMERA VEZPorcentaje promedio de estudiantes del curso tomado alazar como muestra de la pobacin observada por nivel

segn la jerarquizacin de Kchemann.

0.05.0

10.0

15.020.025.030.0

35.040.0

45.0


Niveles segn Kchemann

Porcentajede

estudiantes prom

Grfica 2

Porcentaje promedio de estudiantes del curso tomado alazar como muestra de la pobacin observada por nivel

segn la jerarquizacin de Kchemann

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0


Niveles segn Kchemann

Porcentajedeestudiantes

prom

Grfica 3

%

%

Comentarios. Contrastadas estas tendencias de interpre-tacin se estableci que si bien existan cambios en ellas,como puede apreciarse en las grficas, los mayores cambiosse daban en el nivel de letra como objeto y en el nmero deestudiantes que ingresan a la clasificacin (porque en la se-gunda vez ms personas se atreven a contestar) y a los nive-les ms bajos de la jerarqua: letra evaluada, letra ignorada (o nousada). Mientras que del nivel letra como objeto hay un despla-


50

zamiento hacia los otros; los porcentajes presentes tanto enletra como incgnita, nmero generalizado o variable, permanecen.

De la situacin estudiada, y manifestada en las grficas, sepuede extraer los comentarios que a continuacin se pre-sentan:

Es marcada la tendencia a evaluar la letra, ignorarla overla como objeto; adems de un trabajo errneo en looperativo. Las siguientes son algunas de las respuestasdadas por los estudiantes a las diferentes preguntas de laprueba mencionada anteriormente:

(1) e+f+g=15, pues g=7 (tomando la posicin de la letrarespecto al orden lexicogrfico).e+f+g=15, pues si e+f=8, entonces e=3 y f=5; as, g es elsiguiente nmero primo, es decir, g=7.e+f+g=12, pues si e+f es igual a ocho, cada letra valecuatro.e+f+g=9, pues g es 1 porque no tiene nmero (refi-rindose al coeficiente de g).e+f+g=8,9,10,..., pues g puede ser cualquier nmero (enel universo de los naturales).

Puede observarse que las tres primeras respuestas sonmanifestaciones de interpretacin de la letra comoevaluada, mientras que la cuarta corresponde a no usa-da y la ltima a la de nmero generalizado.

(2) 4n+5 = n+204n+5 = 20n

4.n+20=20

4(N+5) = 32, pues N tiene tres palitos y entonces 4(3+5) = 4(8) = 32.

En este caso, las tres primeras corresponden a letraignorada o no usada, y la ltima a letra evaluada.


51

(3) 150y+200z representa 150 manzanas y 200 peras.350 frutas.

Una manzana y una pera (refirindose a que para eso al-canza $150 y $200, respectivamente).

En las dos primeras respuestas es clara la interpreta-cin de cada una de las letras como objeto (las frutas).En la ltima, adems de interpretarla como objeto, exis-te una cierta evaluacin de la misma.

(4) L+M+N nunca es igual a L+P+N, pues M y P son distin-tas.L+M+N siempre es igual a L+P+N, cuando M y P tienen elmismo valor.

L+M+N siempre es igual a L+P+N, pues es una igualdad.

Se encuentran interpretaciones de letra como objeto(como parte constitutiva de un alfabeto) y como in-cgnita especfica (podemos ver que siempre, en estecaso, coresponde a algunas veces). En la ltima res-puesta, no se puede determinar qu interpretacin sehace de la letra.

(5) a+2 nunca es igual a b+2, pues a=1 y b=2.a+2 nunca es igual a b+2, pues a y b son diferentes.

Estas respuestas corresponden a interpretaciones deletra evaluada y letra como objeto, respectivamente.

(6) a=(b+2)+3=b+5, entonces a=b+5 (no hace referenciasobre lo preguntado y cambia la relacin inicial).

A partir de lo escrito, resulta difcil caracterizar la in-terpretacin de letra; sin embargo, en algunos cues-tionarios, sta correspondera a letra no usada (para locual se hace necesario tomar en cuenta lo respondidoa las preguntas anteriores del cuestionario).


52

20 Sin embargo, en las manifestaciones referidas se encuentra que los estudiantes, de una u otra manera,

le dan siempre un significado a su trabajo en lgebra. Por esta razn, cuando desde los pronunciamientos

de este escrito planteamos que los estudiantes no dotan de significado algn trabajo en matemticas,no queremos decir que no se lo den, slo que el significado dado, no es reconocido como asociable

con la matemtica.

(7) Queda f=5g+1=6gf=3g+3

Desde el trabajo operativo con la letra, se puede afir-mar que las respuestas corresponden a letra no usada.

Con las manifestaciones anteriores, qu posibilidadeshay de que estos estudiantes le den un significado a lasletras, en diferentes contextos matemticos, que corres-ponda a los de incgnita, nmero generalizado o varia-ble, necesarios para que el trabajo en lgebra tenga unsentido desde lo matemtico?20 .

Los profesores de matemticas, en particular los de se-cundaria, deberan considerar como necesidad para sermaestros de esta disciplina, el que cada uno de ellos cuen-te para su saber con el dado a partir de la investigacinen educacin matemtica, aunque ineludiblemente, comoparte de su saber, el relacionado con las interpretacionesde la letra, para arriesgar formas de trabajo mediante lascuales lograr un acercamiento mayor a la interpretacinde la letra como variable matemtica, al tomar sta comopretensin deseable de interpretacin.

En relacin con las perspectivas pedaggica ymetodolgica, puede decirse que la utilizacin de las le-tras para representar variacin en un determinado uni-verso, se vincula necesariamente con trabajos de tipoestructural conjuntista, que de acuerdo con el plantea-miento de Sfard (1992), no son convenientes cuando setrata de la iniciacin, al menos hasta tanto no se haya


53

adquirido una cierta madurez matemtica, de algn con-cepto matemtico, por cuanto en dichas iniciaciones pri-man en el aprendizaje representaciones mediadas por looperacional, entendido como la necesidad de invocacinde un proceso dado en el espacio y en el tiempo y a partirdel cual se logra reificar, dotar de significado puramen-te estructural al concepto y por tanto desvinculado to-talmente de referencias espacio temporales.

3.4.2 Segundo cuestionario. Los resultados del primercuestionario pueden ser considerados exagerados o no con-cluyentes, pues recordando el pronunciamiento inmediata-mente anterior respecto de la necesidad de trabajo opera-cional, es posible argumentar que el cuestionario presenta-do no tiene un referente claro (por ejemplo geomtrico) yno estn contextualizadas sus preguntas. Por otra parte, entanto las interpretaciones de la letra que poseen los estu-diantes dependen de los universos de significacin, aquellosuniversos a los que recurren para, consciente o inconscien-temente, interpretar las letras de una determinada manera,resulta importante conocer cules son los universos a losque acude el estudiante y en cules puede trabajar com-prensivamente. Adems indagar sobre las posibilidades detrabajo ligado a procesos de generalizacin, bsqueda deregularidades y simbolizacin de las mismas.

Precisamente por el reconocimiento en el desarrollo de lainvestigacin de la necesidad de contextualizacin para te-ner una informacin ms fehaciente de las razones por lasque los estudiantes interpretaban las letras como ya diji-mos, se realiz y aplic un segundo cuestionario, a travsdel cual indagar sobre los universos numricos a los quefundamentalmente acudan los estudiantes, y, como elementoadicional, precisar un poco acerca de la interpretacin de la


54

21 Si bien existe un error en el enunciado, en cuanto no se precisa que se suman las longitudes de loslados y no stos, decidimos escribirlo as ya que era la manera en que muchos de los estudiantes se

referan al permetro (recuerden que el propsito de este cuestionario no es el de ensear algn tema,

sino indagar en relacin con interpretaciones de letra en diferentes contextos).

letra. El texto del cuestionario es el que aparece a continua-cin, y fue trabajado por los estudiantes de seis grupos degrado octavo, en los tres colegios donde se desarroll elestudio citado (N=256), en forma individual, durante unlapso de una hora aproximadamente.

1. El permetro de un polgono es igual a la suma de suslados21 . Halle el permetro de cada uno de los siguientespolgonos:


55

2. La expresin 2W significa 2 multiplicado por W.

a) Asigne un valor a W para que 2W sea igual a 2+WUn valor de W es ____

b) Asigne dos valores a W para que 2W sea mayor que 2+WUn valor de W es ____ y otro valor de W es ____

c) Asigne dos valores a W para que 2W sea menor que 2+WUn valor de W es ____ y otro valor de W es ____

d) Encuentre todos los valores posibles de Wpara los que 2W sea menor que 2+W.

3. Utilice la siguiente grfica para responder las preguntasformuladas.

a) Dibuje la figura correspondiente a la 4 posicin:b) Calcule el nmero de cuadros de la figura correspondiente a

la 9 posicin:c) Calcule el nmero de cuadros de la figura de la posicin 100:d) Explique la forma como procedi para encontrar la respues-

ta de la pregunta anterior:e) Escriba una frmula que sirva para encontrar la cantidad de

cuadros que tiene la figura en cualquier posicin:

4. El rea de un rectngulo es el producto de la base por laaltura .

a) Escriba en el cuadro las medidas de la base y la altura decinco rectngulos distintos cuya rea sea 6 centmetros cua-drados22.

22 Esta pregunta consta de dos partes; en la primera, se puede trabajar de manera correcta

multiplicativamente con nmeros naturales, pero sin agotar los cinco temes propuestos, para lo cual

deben recurrir a otros universos numricos. En la segunda, se requiere, obligatoriamente, trabajar

multiplicativamente por lo menos con mltiplos de

2

.

(1a posicin) (2a posicin) (3a posicin)


56

Rectngulo Medida de la base Medida de la altura

1

2

3

4

5

Rectngulo Medida de la base Medida de la altura

1

2

3

b) Escriba las medidas de la base y la altura de tres rectn-

gulos distintos cuya rea sea 3 2 .

5. Halle las medidas de las reglas de longitudes 3+h, sa-

biendo que h toma valores en el conjunto { 7 , 2, 41 , -1,

}23 . Las medidas son:

6. La rueda de la figura gira en el sentido indicado por laflecha, partiendo del nmero 1. Gana quien saque elnmero ms alto (bajo la )24 .

23Esta pregunta se plantea para observar el comportamiento de los estudiantes en un universo numrico,

con un nmero finito de elementos, un poco extraos, dado explcitamente.24Este problema, tanto desde el punto de vista de las operaciones que intervienen, como del nmero

de soluciones que posee, es bastante difcil, sin embargo es un problema que los estudiantes enfrentan,

ms que otros que desde los puntos de vista anteriomente expuestos son ms sencillos.

(Gira en el sentido de la flecha)

a) Un nio la hace girar, hacindola avanzar 7 posiciones yuna nia la hace girar avanzando 5 posiciones. Quingan y con qu nmero?.

b) Un nio la hace girar, hacindola avanzar 13 posicionesy una nia la hace girar avanzando 15 posiciones. Quingan y con qu nmero?.


57

c) El nio la hace girar y avanza n posiciones y la nia lahace avanzar el doble de posiciones que l. Puedensacar el mismo nmero?. Explique su respuesta.

Anlisis de algunas respuestas. Como elemento para elanlisis, se considera importante presentar algunas de lasrespuestas dadas por los estudiantes a los anteriores temes,as como algunos comentarios generales, no sin antes men-cionar que, en la mayora de los casos, se encontraron cercade 30 respuestas diferentes a cada uno de stos. Este anli-sis se har con cierto detalle para la primera pregunta, y demanera general para las preguntas tercera y cuarta.En relacin con la primera pregunta del cuestionario:

1. El permetro de un polgono es igual a la suma de sus lados.

Halle el permetro de cada uno de los siguientes polgonos:


58

1(a) Si bien la mayora dio como respuesta 12 (asignndolede entrada el valor de 4 a cada letra), otros no contes-taron o dieron respuestas como:

10,8 cm., no tomaron las medidas dadas en la figura,sino que midieron directamente con una regla y suma-ron los datos obtenidos (ntese un trabajo desde loperceptivo).

3 cm, obtenidos al sumar los segmentos laterales, puespara algunos de ellos, los otros segmentos no son lados(en tanto uno est arriba y otro abajo,... , no a los la-dos!).

1(b) De los estudiantes que tuvieron en cuenta el enuncia-do y contestaron bien el tem anterior, tenemos res-puestas como las siguientes:

e3

, haciendo la aclaracin que la expresin utilizada noes interpretada por los estudiantes como potencia (entanto no corresponde al producto e.e.e), sino como treses (es decir, el exponente es visto como un contador delnmero de lados de longitud e).

e, al igual que en el caso anterior, el exponente sirvepara contar los lados que se sumaron, que en este casono son 3 sino 2, pues el otro es la base y por tanto no estomado como lado.

6 cm, asignndole a cada letra un valor (letra evaluada),el cual posiblemente corresponda a una aproximacinde la longitud del lado en la figura dada. En cuanto aevaluacin de la letra, entre otras, encontramos respues-tas como: 9 cm, 12 cm 15cm.

1(c) Habiendo contestado correctamente el primer tem, locual muestra que tuvieron en cuenta el enunciado oque manejan el concepto de permetro de un polgono,encontramos respuestas como:


59

h+12 12 h 2h12

Ahora bien, tomando como referencia las interpretacionesde letra utilizadas, as como el trabajo con las letras, pode-mos establecer los siguientes niveles en relacin con las res-puestas dadas a los cuatro primeros temes de la primerapregunta del cuestionario, es decir, los temes (a), (b), (c) y(d):

NIVEL 0: No responde.

NIVEL 1: No tuvo en cuenta el enunciado. Responde a) con va-lores distintos a 12.

NIVEL 2: Tiene en cuenta el enunciado pero evala o ignora laletra operando exclusivamente sobre lo numrico.

NIVEL 3: Tiene en cuenta el enunciado, no evala la letra, no laignora, pero pega sin utilizar exponentes. Las respues-tas son del tipo:a) Permetro=12 b) Permetro=eeec) Permetro=12h2 d) Permetro=hhhht

NIVEL 4: Tiene en cuenta el enunciado, no evala la letra, no laignora, pero pega y utiliza exponentes. Las respuestasson del tipo:a) Permetro=12 b) Permetro=e3

c) Permetro=12h2 d) Permetro=h4t

NIVEL 5: Tiene en cuenta el enunciado, no evala la letra, no laignora, no pega y utiliza exponentes. Las respuestas sondel tipo:a) Permetro=12 b) Permetro=e3

c) Permetro=12+h2 d) Permetro=h4+t

NIVEL 6: Tiene en cuenta el enunciado, no evala la letra, no laignora, no pega, no utiliza exponentes y no cierra lasoperaciones. Las respuestas son del tipo:


60

a) Permetro=12 b) Permetro=e+e+ec) Permetro=12+h+h d) Permetro=h+h+h+h+t

NIVEL 7: Tiene en cuenta el enunciado, no evala la letra, no laignora, no pega, no utiliza exponentes y cierra las ope-raciones. Correccin compacta (simplifica al mximoposible usual y expresa correctamente). Las respuestasson del tipo:a) Permetro=12 b) Permetro=3ec) Permetro=12+2h d) Permetro=4h+t

En la grfica anterior (R11: respuestas a la pregunta 1, parteprimera), puede ubicarse tendencias de desempeo con laletra, involucrada dentro de un problema de carcter geom-trico, en cada uno de los seis cursos de octavo grado, co-rrespondientes a los tres colegios mencionados25 (con unpromedio de 44 estudiantes por curso). Los estudiantes delos cursos 11 y 12 (colegio 1), se acumulan en el nivel 5 (noevala la letra, no la ignora, no pega y utiliza notacin conexponentes), adems son los cursos que ms aportan aeste nivel. Los estudiantes de los cursos 22 (colegio 2), 31 y

Porc

enta

je d

e es

tudi

ante

s

Grfica 4

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

CURSO 11

NIVEL 0

NIVEL 1

NIVEL 2

NIVEL 3

NIVEL 4

NIVEL 5

NIVEL 6

NIVEL 7

Porcentaje de estudiantes en cada nivel de R11 por curso

12

12

123

123

123

123

123

123

123

123

123

123

123

123

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12 12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

12

123

123

123

12

12

12

12

12

12

12

123

123

123

12312

12

12

123

123

12

12 1 12

1

1

12

12 1

Cursos

CURSO11

CURSO12

CURSO21

CURSO22

CURSO31

CURSO32

25 Los seis cursos estaban distribudos as: 11 y 12 a cargo de un mismo profesor (profesor 1), 21 a

cargo de otro profesor (profesor 2), 22 a cargo de otro profesor (profesor 3) y los grupos 31 y 32 a

cargo de un profesor (profesor 4).


61

32 (colegio 3) aportan mayor porcentaje al nivel 7 (correc-cin compacta).

Comentario. En tanto el trabajo realizado por los estudian-

tes puede estar direccionado en buena parte por el trata-

miento metodolgico dado por el profesor, se considera im-

portante sintetizar cmo fue abordado el trabajo en el aula

por cada uno de stos durante el primer semestre de

LibroTransicion Aritmetica-Algebra Grupo MESCUD U Distrital 1999

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