La Magia de La Aritmetica y Algebra

CENTRO PREUNIVERSITARIO

Aritmética y Algebra

Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO

TACNA - PERU

Lic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATEROLic. VICTOR YAPUCHURA PLATERO

Aritmética y AlgebraAritmética y AlgebraAritmética y Algebra

ii Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

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Ninguna parte de este libro puede ser reproducida, grabada en sistema dealmacenamiento o trasmitida en forma alguna, ni por cualquier procedi-miento, ya sea electrónico, mecánico, reprográfico, magnético o cual-quier otro sin autorización previa y por escrito del Centro Pre Universita-rio

Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.Exclusivo para enseñanza en los claustro de la U.N.J.B.G.

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Jorge Basadre Grohmann

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Jorge Basadre Grohmann – Tacna

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COPYRIGHT Centro Pre UniversitarioTacna

COPYRIGHT Centro Pre Universitario

Indice iii

INDICEPäg.

ITEORÍA DE CONJUNTOS1. Conjunto 12. Relación de pertenencia 13. Determinación de conjuntos 14. Clases de conjuntos 15. Relaciones entre conjuntos 26. Representación grafica de conjuntos 37. Operaciones entre conjuntos 4

Problemas resueltos (conjuntos) 6Problemas propuestos 13

IISISTEMA DE NUMERACIÓN1. Base de un sistema de numeración 152. Sistema decimal: 153. Principales sistemas de numeración 154. Escritura de un número de cualquier sistema de numeración 165. Escritura literal de los números 166. Número capicúa 167. Descomposición polinómica de un número 168. Descomposición en bloques 179. Conversión de números a diferentes bases 1710. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad 1911. Casos especiales de conversión. 19Problemas resueltos (sistemas de numeración) 20Problemas propuestos 25CUATRO OPERACIONES 261. Suma o adición 262. Resta o Sustracción 263. Multiplicación 284. División: 28

Problemas resueltos (cuatro operaciones) 29Problemas propuestos 34Problemas propuestosProblemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos

4. División:

Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos

Sustracción

Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos

Sustracción3. Multiplicación4. División:

CUATRO OPERACIONESCUATRO OPERACIONES1. Suma o adición2. Resta o Sustracción3. Multiplicación4. División:

Problemas resueltos (cuatro operaciones)Problemas propuestos

10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad11. Casos especiales de conversión.Problemas resueltos (sistemas de numeración)Problemas propuestosCUATRO OPERACIONES

Conversión de números10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad11. Casos especiales de conversión.Problemas resueltos (sistemas de numeración)Problemas propuestosCUATRO OPERACIONES1. Suma o adición

Sustracción

Descomposición polinómica de un número

a diferentes bases10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad


a diferentes bases


Escritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura literal de los números

Descomposición polinómica de un númeroDescomposición en bloques

a diferentes bases10. Conversión de sistemas en los números menores que la unidad

Problemas resueltos (sistemas de numeración)

Escritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónPrincipales sistemas de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeraciónEscritura de un número de cualquier sistema de numeración

4

6

112

iv Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROSI. DIVISIBILIDAD: 36

1) Divisibilidad de Números: 362) Notación y representación de los múltiplos de un número: 363) Operaciones y Propiedades: 374) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales 375) Criterios de divisibilidad 40

II. NÚMEROS PRIMOS 431. Conceptos Básicos 432. Teorema Fundamental de la Aritmética 453. Estudio de los Divisores de un número entero (N) 45

III. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO 461. Máximo Común Divisor (MCD) 462. Mínimo Común Múltiplo (MCM) 483. Propiedades de MCD y MCM 494. Casos especiales 49

Problemas resueltos (propiedad de los números) 50Problemas propuestos 56

IVNÚMEROS FRACCIONARIOS1. Clasificación 58

A. Por comparación de sus términos 58B. Por su denominador: 59

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios 613. Número Decimal 61

Problemas resueltos (números fraccionarios) 63Problemas propuestos 70

VRAZONES Y PROPORCIONESI. RAZONES 72II. PROPORCIONES 72

Proporción Aritmética 72Proporción Geométrica 73

Promedio: 74Propiedades 75Problemas resueltos (razones – proporciones y promedios) 76Problemas propuestos 85Problemas resueltos (razonesProblemas propuestos

Promedio:PropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas propuestos

Proporción AritméticaProporción Geométrica

Promedio:PropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas resueltos (razonesPropiedadesProblemas resueltos (razonesProblemas propuestos

Proporción AritméticaProporción Geométrica

Problemas resueltos (razones

II. PROPORCIONESProporción AritméticaProporción Geométrica

RAZONES Y PROPORCIONESRAZONES Y PROPORCIONES

II. PROPORCIONESProporción AritméticaProporción Geométrica

Problemas resueltos (razonesProblemas propuestos

Problemas resueltos (números fraccionarios)

RAZONES Y PROPORCIONES


RAZONES Y PROPORCIONES

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios



A. Por comparación de sus términos


5056

4949

50

Indice v

VIREGLA DE TRES1. Regla de 3 simple: 872. Regla de 3 Compuesta 88PORCENTAJES 89Aplicación: 90

Problemas resueltos (regla de tres y porcentajes) 91Problemas propuestos 97

VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONES EXPONENCIALES YVALOR NUMÉRICOTeoría de exponentes 99Leyes de exponentes 99Ecuaciones exponenciales 101

Problemas resueltos 101Problemas propuestos 108

VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,PRODUCTOS NOTABLES.2. Grado de expresiones algebraicas 1103. Polinomios especiales 1114. Operaciones con expresiones algebraicas 112Productos notables 112

a) Binomio al cuadrado: 112b) Producto de una suma por su diferencia 112c) Binomio al cubo 113d) Trinomio al cuadrado 113e) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma 113

o diferencia de cubos. 113f) Producto de dos binomios que tienen un término común 113g) Identidades de Legendre 113h) Identidades de Lagandre 113

Problemas resueltos 113Problemas propuestos 120Problemas propuestosProblemas resueltosProblemas propuestos

Identidades de Lagandre

Problemas resueltosProblemas propuestos


Problemas resueltos

Producto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de Legendre

h) Identidades de Lagandre

Problemas resueltosProblemas propuestos

nomio al cubonomio al cuadrado

Producto de un binomio por un trinomio queda una sumao diferencia de cubos.Producto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de LegendreProducto de dos binomios que tienen un término común

Producto de una suma por su diferencianomio al cubonomio al cuadrado

Producto de un binomio por un trinomio queda una sumaProducto de un binomio por un trinomio queda una sumao diferencia de c bos.Producto de dos binomios que tienen un término comúnIdentidades de LegendreIdentidades de Lagandre

expresiones algebraicas

Producto de una suma por su diferencia

braicas


expresiones alg

Grado de expresiones algebraicasGrado de expresiones algebraicas

expresiones alg braicas


Producto de un binomio por un trinomio queda una suma

POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,

braicas

POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,POLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS ESPECIALES, OPERACIONES,

101108

9999101

979197

vi Aritmética y Algebr Centro Pre Universitario de la UNJBG

IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL RESTO, COCIENTES NOTABLESI. División algebraica 122Definición 122Casos de la División: 122Método de Ruffini 124Teorema del resto 124Cocientes notables 124Determinación de un termino cualquiera de un C.N. 125


XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS MÉTODOSFactorización 134Métodos de factorización 1341.- factor común 1342. Método de identidades 1353. Método del aspa 136

a) Aspa simple 136b) Aspa doble 137

4. Método de divisores binomios 1385. Método de artificio de calculo 139

a) Reducción a diferencia de cuadrados 139b) Método de sumas y restas 140c) Cambio de variable: 140


XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓNI. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinomios 147II. Fracciones algebraicas 147III Simplificación de fracciones 148

Operaciones con fracciones algebraicas 148* suma y resta: 148* multiplicación y división : 148

Problemas resueltos 149Problemas resueltos

* suma y resta:* multiplicación y división :

Problemas resueltos

Simplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas* suma y resta:* multiplicación y división :

Problemas resueltos

Fracciones algebraicasSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas

* multiplicación y división :

Fracciones algebraicaSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas

SIMPLIFICACIÓNMáximo común divisor y mínimo común múltiplo de polinFracciones algebraicaSimplificación de fraccionesOperaciones con fracciones algebraicas* suma y resta:* multiplicación y división :

MÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCI

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polin

MÁXIMO COMÚN DIVISOR MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO, FRACCI

Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de polin

Simplificación de fracciones

Reducción a diferencia de cuadrados

134135136

134134134135

126

Indice viiProblemas propuestos 156

XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR, ECUACIONES E INECUACIONESI. Radicación de expresiones algebraicas 158

Leyes de signos 158Raíz de un monomio 158Raíz cuadrada de un polinomio 159Radicales dobles 160Racionalización 161

II. Verdadero valor de fracciones algebraicas 164III. Ecuaciones 166

Clasificación de las ecuaciones 166Ecuaciones de primer grado 167Ecuaciones de segundo grado 167Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado 168Propiedades de las raíces 168Formación de una ecuación de segundo grado.- 168

IV. Desigualdades e inecuaciones 168Método de los puntos críticos para resolver inecuaciones: 168


XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESValor absoluto 180Relaciones 1821. Pares ordenados, producto cartesiano 1822. Relación 1823. Dominio y rango de relaciones 1834. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano 183Funciones 1831. Funciones: 1832. Dominio y rango de una función 1843. Gráfica de funciones 185Composición de funciones 187

Problemas resueltos 187Problemas propuestos 189BIBLIOGRAFÍA 191ProblemasBIBLIOGRAFÍA

Problemas resueltosProblemasBIBLIOGRAFÍA

Composición de funciones

Problemas resueltospropuestos

Composición de funciones

Problemas resueltos

2. Dominio y rango de una función2. Dominio y rango de una función3. Gráfica de funcionesComposición de funciones

Problemas resueltosProblemas propuestosBIBLIOGRAFÍA

Dominio y rango de relaciones4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi

2. Dominio y rango de una función

Dominio y rango de relaciones4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi

1. Funciones:2. Dominio y rango de una función3. Gráfica de funcionesComposición de funciones

1. Pares ordenados, producto cartesiano

VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES

1. Pares ordenados, producto cartesiano

4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesi

VALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONESVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y FUNCIONES

do de los puntos críticos para resolver inecuacido de los puntos críticos para resolver inecuaciones:

Discusión de las raíces de la ecuación de segundo grado

168168

167167168168

161164166166167

159160161

PRESENTACIÓN

El Centro Pre-Universitario de la Universidad Nacional Jorge Basadre Groh-mann que inició sus actividades el 04 de enero de 1988 gracias al empuje desus autoridades y un grupo de docentes

Joven estudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-dad es que se ha preparado este texto, que nos ha demandado bastante es-fuerzo humano y material, y que es posible que contenga errores, pero cree-mos que es así como se avanza, y en el camino se irán corrigiendo. Ahora teplanteamos el reto de que sepas responder ante este esfuerzo

Ing. Salomón Ortiz QuintanillaJefe del Centro Pre-Universitario de la UNJBG

se irán corrigiendo. Ahora te

tudiante pensando en tu preparación para el ingreso a la Universi-

- 1 -

ITEORIA DE CONJUNTOS

1. CONJUNTO

Agrupación de elementos que tienen características similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-junto se simbolizan con letras minúsculas: a, b, c, ...... por ejemplo:

upecA ,,,2. RELACION DE PERTENENCIA

Un elemento pertenece a un conjunto si forma parte de ella.

Ejm: Si edcbaA ,,,,

Ag

Af

Ac

Aa

3. DETERMINACIÓN DE CONJUNTOS

a) Extensión: Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y ca-da uno de sus elementos.

Ejm: Si 4,3,2,1A

b) Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Ejm: Si 4, xx

xA

4. CLASES DE CONJUNTOS

b) Conjunto Unitario: Conjunto que tiene un solo elemento.

U


b) Conjunto Unitario:

4. CLASES DE CONJUNTOS4. CLASES DE CONJUNTOS

b) Conjunto Unitario:

xx


sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Ejm: Si

Comprensión:Comprensión:sus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Ejm: Si A


Conjunto Unitario:

da uno de sus elementos.

4,3,2,1

Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.

Un conjunto está determinado por comprensión cuando

Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y cda uno de sus elementos.

4A

Comprensión: Un conjunto está determinado por comprensión cuandosus elementos se caracterizan mediante una propiedad común.


Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y cUn conjunto está por extensión cuando se observa todo y c


g


Un conjunto está por extensión cuando se observa todo y c

A

A

f

A

A

A

A

A

A A

A A

A A

racterísticas similares. Para simbolizarconjuntos se emplean letras mayúsculas: A, B, C, ...... los elementos del con-

racterísticas similares. Para simbolizarn-

2 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario de la UNJBG

Ejm:

5

6x4,

A

xxA

c) Conjunto Vacío: Conjunto que no tiene elementos.

Ejm:

A

xxA 5x4,

d) Conjunto Finito: Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-de contar desde el primero hasta el ùtlimo.

Ejm:

501,.....,5,4,3A

501x3,xxA

e) Conjunto Infinitivo: Cuyo número de elemento en ilimitado

....9,8,7,65xNxA

f) Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra U.

5. RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Inclusión: Se dice que A esta incluido en el conjunto B BA ,

cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea

6,43,

6,5,4,3,2,1

B

A

Luego AB pero BA

cuando todo elemento de A, pertenece a B.cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea

Inclusión: Se dice que A est

cuando todo elemento de A, pertenece a B.Ejm: Sea

conjuntos, simbolizados por la letra


Se dice que A esta incluido en el conjunto Ba incluido en el conjunto B


Se dice que A est

Conjunto Universal: Es aquel conjunto que contiene todos los demásconjuntos, simbolizados por la letra


a incluido en el conjunto B

cuando todo elemento de A, pertenece a B.

7,6

Es aquel conjunto que contiene todos los demás

....9

Cuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitado

,8,76

Es aquel conjunto que contiene todos los demás

Cuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitadoCuyo número de elemento en ilimitado

Es aquel cuyo elementos es limitado; es decir se puEs aquel cuyo elementos es limitado; es decir se pue-

Teoría de Conjuntos 3

b) Conjuntos Iguales: Dos conjuntos son iguales si tiene los mismos ele-mentos.

Ejm: Sea

c,b,3,

3,c,b,

aB

aAC = 4,3,2,1

Luego BA pero CA

c) Conjuntos Disjuntos: Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienenningún elemento en común.

Ejm:

8,76,5,

4,3,2,1

B

AA y B son disjuntos

d) Conjunto Potencia: Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que espotencia del conjunto A.

Ejm: Si: A = 4,3,2 Hallar la potencia del conjunto A.

Entonces

AdelsSubconjuto

,4,3,2,4,3,4,2,3,2,4,3,2)A(P

Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23 = 8 subconjuntos

=>

Donde:n(A): número de elementos A

6. REPRESENTACIÓN GRAFICA DE CONJUNTOS

Diagramas de Venn – Euler: Consiste en graficar mediante círculos, elipses,rectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conjun-

número de subconjuntos de A=2n(A)

Diagramas de Vennrectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conju


Diagramas de Venn


Diagramas de VennDiagramas de Vennrectángulos u otras figuras geométricas de área plana, cada uno de los conju

n(A): número de elementos A


Donde:n(A): número de elementos ADonde:n(A): número de elementos A


Diagramas de Venn


Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 2


Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 2

número de subconjuntos de A=2

Subconjuto

,3,

Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:

s

3,4 AdelsSubconjuto

4,34,23,2,4

Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Que el conjunto P(A) tiene: 23Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:Por lo tanto del conjunto obtenido se puede decir:

= 8 subconjuntos

2

Hallar la potenciHallar la potenci

es posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que eses posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es

Hallar la potencia del conjunto A.

324

Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es

a del conjunto A.

Conjunto formado por todos los sub conjuntos que

A y B son disjuntos

Conjunto formado por todos los sub conjuntos quees posible formar con un conjunto dado. Simbolizado por P(A); que es

a del conjunto A.

A y B son disjuntos


A y B son disjuntosA y B son disjuntos


Dos conjuntos son disjuntos cuando no tienen


tos dados.

U

7. OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS

a) Unión B)(A : Conjunto que tiene como elementos a aquellos que

pertenecen al conjunto A y/o a B.

B x AxxBA

Propiedad:

BAB*

BAA*

ABBA*

b) Intersección ( BA ): Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

B xAxxBA

Propiedad:

B)A(B)(A*

BB)(A*

AB)(A*

ABBA*

c) Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.

B xAxxBA

U

U

no al conjunto B.

A

Diferencia (Ano al conjunto B.

c) Diferencia (Ano al conjunto B.

BA

Diferencia (A – B): Conjuntos cuyos elementos pertenecen a A perono al conjunto B.Diferencia (Ano al conjunto B.

B

x

Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

B x

Conjunto que tiene como elementos aquelloselementos comunes a ambos).que pertenecen al conjunto A y B. (

Conjunto que tiene como elementos aquellosque pertenecen al conjunto A y B. (elementos comunes a ambos).

B

Propiedad:

Conjunto que tiene como elementos aquellos

A

Conjunto que tiene como elementos aquellosConjunto que tiene como elementos aquellos

A

BA

A

Conjunto que tiene como elementos aquelloselementos comunes a ambos).

B A


Propiedad:

AB)A(B)(A*

BB)(A*

AB)(A*

ABB*A

d) Diferencia Simétrica (A B): Conjunto que tiene como elementos aaquellos que pertenecen al conjunto ( BA ) pero no al conjunto( BA ).

BA xBAxxBA

Propiedad:

A A*

BAB A

disjuntossonB A ySi*

)BA(B)(A*

ABB A*

e) Complemento de un conjunto (A’), (Ac): Conjunto cuyos elementos per-tenecen al universo pero no al conjunto A.

A x UA' xx

Propiedad:

U'*

A)'(A'*

A'A*

UA'A*

Observación:

'')'(*

'')'(*

BABA

BABA

U

U

U

(A

Observación:*

Observación:

(*

(*

BA

AObservación:

')' AObservación:

)'

)'

AB

BA

x

un conjunto (A’), (Atenecen al universo pero no al conjunto A.

x




A x x

A

AB

A*

A

B)

A A

BAB A

sonB A ySi

c): Conjunto cuyos elementos petenecen al universo pero no al conjunto A.

disjuntos

)BA

A

disjuntosson

)BA

A

Conjunto que tiene como elementos a


Nota: El cardinal de un conjunto es número de elementos que tiene unconjunto

* B)n(An(B)n(A)B)n(A*

)()()()()()()()( CBAnCBnCAnBAnCnBnAnCBAn

PROBLEMAS RESUELTOS (CONJUNTOS)

1. Si: A={ 1, {2}, 3} señale la expresión falsa:A) {2} A B) {{2}} A C) 3 A D) {1,3} A E) {1, {2}} A

Sol.

Elementos1

{2}3

En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.

Entonces:{2} A es verdadero{{2}} A es verdadero3 A es verdadero{1,3} A es falso por que {1, 3} no es un elemento de A.{1, {2}} A es verdadero

Rpta.: ( D )

2. Sea 331 2mZmmxM . Determinar el cardinal de

P(M).A) 16 B) 18 C) 20 D) 32 E) 24

Solución:Si m = -3 x = (-3+1)2 = 4Si m = -2 x = (-2+1)2 = 1Si m = -1 x = (-1+1)2 = 0Si m = 0 x = (0+1)2 = 1Si m = 1 x = (1+1)2 = 4Si m = 2 x = (2+1)2 = 9Si m = 1Si m = 2Si m = 1Si m = 2

3-2 x = (

Si m = -1 x = (Si m = 0Si m = 1

Si m =Si m =

B) 18

Solución:Si m = -3Si m = -Si m =Si m = 0Si m = 1Si m = 2

x = ( 3+1)x = (

1 2m

C) 20

Zmm

B) 18 C) 20

x = (-3+1)

es falso por que {1,es verdaderoes falso por que {1,es verdadero

es verdaderoes verdaderoes falso por que {1,es verdadero

3m

es falso por que {1, 3} no es un el

mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un comento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un co

es falso por que {1, 3} no es un el

mento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un coEn total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un elEn total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un elmento le colocamos signos de colección (llaves) se ha formado un conjunto.En total tenemos 3 elementos en A. Debemos tener presente que si a un ele-e-


Por tanto : M = { 0, 1, 4, 9}

16224Mn

MPn

Rpta.: A

3. De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-tas y periódicos; 8 revistas y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personasleen periódicos?

A) 24 B) 27 C) 31 D) 35 E) 39

72

5

2

3x12

6 x

15Libros

Revistas (25) Periódicos

De la fig:12 + 5 + 2 + 6 + 3x + x + 15 = 72

25 + 4x + 15 =724x = 72 – 40

4x = 32x = 8

leen periódicos:7 + 4x = 7 + 4 x 8= 7 + 32 = 39

Rpta.: (E)

4. Si : 01452

xxZxA

¿Cuántos elementos tiene P(A)?A) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3¿Cuántos eA) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3

4. Si :4. Si :

¿Cuántos e¿Cuántos e¿Cuántos eA) 0 B) 4 C) 2 D) 1 E) 3

Rpta.: (

Zx

Rpta.: (

xA

¿Cuántos elementos tiene P(A)?

leen periódicos:leen periódicos:

25 + 44x

leen periódicos:

E)

+ x + 15 = 72+ 15 =72

40

+ 15 = 72

LibrosLibros

12 + 5 + 2 + 6 + 3x + + 15 = 72+ 15 =72

40

Libros

y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódco y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es latercera parte de las personas que sólo leen periódicos ¿Cuántas personas

De un grupo de 72 personas se sabe que 25 de ellas leen revistas; 7 revis-y libros; 15 solamente libros, 2 revistas, periódi-

co y libros; y el número de personas que sólo leen libros y periódicos, es la


Sol.:x2 + 5X – 14 = 0

( x + 7 ) ( x – 2 ) = 0x = -7 x = 2

A = {-7 , 2}

422

)(APn

Rpta.: (B)

5. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos:

01

11

1

06

2

2

xxRxA

x

xRxB

xxRxA

Son unitarios?A) A y B B) A y C C) B y C D) Sólo A E) Sólo BSol.:

*

023

06

062

xx

xx

xx

23 xx

4x R*

11

111

1

11

1

11

1

2

2

x

xx

xx

x

x

x

*

2x

x

x

x

0

x

x

023

62

xx

2x

4

6

066

D) Sólo A

06

6

D) Sólo AD) Sólo AD) Sólo A E) Sólo BE) Sólo B


2x R

*

Rx

x

xx

2

311.2

1.1.411

012

C

Rpta. : A

6. Si: Zy,Zxyx20yxyxA 222 ,,

Hallar el número de elementos del conjunto A.A) 5 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4Sol.:*

245

045

020

20

20

22

22

24

222

222

y

yy

yy

yy

yy

y xyx

no

Si : y = 2 x = 4y = -2 x = 4

A = { (4,2) (4, -2)}

n(A) = 2Rpta. : ( C )

7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?7. ¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

A = { (4,2) (4,

¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

A = { (4,2) (4,

= 2

=y = 2

A = { (4,2) (4,

n(A) = 2

¿Qué expresión representa la parte sombreada de la figura?

y

no

x = 4x = 4

y

y

= 2 = 42

A = { (4,2) (4, -2)}

y Zy


A B

C

A) (A B) - C B) C (A B)’C) (A B) - C D) A B CE) (A B) C’

Sol.:

A

8

B

C

14 7

3 62

5

U

U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}A = {1, 2, 3, 4, 5}B = {3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}

Parte sombreada = {2, 6}

* (A B) – C = ???A B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}C = {2, 3, 6}(A B) – C = {1, 4, 5, 7} No

* (A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (A B)’ = {2, 6} Si

Los demás no son.Rpta. B

8. Si: A B y A D=Si: A B y A

Los demásRpta. B

Si: A

Los demás

8.

Los demásRpta. B

Si: A B y A

B)= {3, 4, 5}B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}

B)’ = {2, 6} Sino son.

(A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}

B)(A B) – C = {1, 4, 5, 7} No

(A B)= {3, 4, 5}(A B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}C (A B)’ = {2, 6} Si

Los demás no son.

B y A

B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}

C = ???B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C = {2, 3, 6}C = {1, 4, 5, 7} NoC = {1, 4, 5, 7} No

Parte sombreada = {2, 6}

C = ???B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

C = {2, 3, 6}C = {1, 4, 5, 7} No

B)= {3, 4, 5}B)’ = {1, 2, 6, 7, 8}


Simplificar: DABBDA ''

A) A B B) A C) B D) E) D BSol.:Gráficamente:

U

A

BD

Entonces: DABBDA ''

B

B

ABBA '

Rpta. ( C )

9. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:* Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos

de C = P(A) P(B) es 12.

* Si 1n1-Z,n1nA 2 entonces el n(A) es 3

* Si A B = , entonces A = B =

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVVSol.:* Como: n (A) = 2 n[P(A)] = 22 = 4

n(B) = 3 n[P(B)] = 23 = 8

Para que P(A) P(B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.

Falso11184

1PmPnn BAC )()()(

* Determinación de A:*

184

P A)(

Determinación de A:

caso comparten el conjunto vacío.n C)(

Para que Pcaso comparten el conjunto vacío.

4

PnC)

Determinación de A:

n (A)

n[P(B)] = 2

P(B)

caso comparten el conjunto vacío.sea máximo deberían ser disjuntos, pero en este

A) VFF B) FFF C) FVF D) VVF E) VVV

(A) = 2

(B) = 3 ] = 23 = 8

Para que P(A) (B) sea máximo deberían ser disjuntos, pero en estecaso comparten el conjunto vacío.

Pm B(

entonces el n(A) es 3




, entonces A =

Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosP(B) es 12.

1n entonces el n(A) es 3

, entonces A = B =


] = 22

Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos


Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosSi : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosHallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosHallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:

Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos


Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones:Si : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementosSi : n(A) = 2 y n(B) = 3 , entonces el número máximo de elementos


,- A,,

nZnnA

01010

111011

111

222

2

,,

;

n(A) = 2 Falso

* A B = cuando A y B son conjuntos disjuntos. Por tanto nonecesariamente A = B =

FalsoEn conclusión es: FFFRpta.: B

10. Para a, b Z ; F y G son conjuntos tales que G . F G es un conjuntounitario:F = {a2 + 2b , b2 + 1} yF G = {a + 4b , b + 1 – 3a}Hallar F BA) B){0} C) {10} D) {1} E) {-1}

Sol.:

Si F G es unitario, entonces F también es unitario, así:a2 + 2b = b2 + 1

a = b - 2b + 1a = ( b - 1 )

2 2

2 2

a = b-1 ......... 1

a = -b + 1 ......... 2Además, de F G:a + 4 b = b + 1 – 3a 4a + 3 b = 1 …………….

de

27

134333

75

72 ba

a

ba

ba

No cumple las condiciones dadas a, b Z.No cumple las condiciones dadas a, b

a

No cumple las condiciones dadas a, b

7

a

No cumple las condiciones dadas a, b75b


2

1

27

1333

72

a

ba

b


a = -b + 1 ......... 2

4a + 3 b = 1 …………….

a = b-1 ......... 1

a = -b + 1 ......... 2

a = b-1 ......... 1

G es unitario, entonces F también es unitario, así:

a = b-1 ......... 1

a = -b + 1 ......... 2

4a + 3 b = 1 …………….


D) {1}D) {1}


D) {1} E) {-1}

G es un conjuntoG es un conjuntoG es un conjunto


de y :

1023

1314

GFa

b

bb

Rpta.: ( C )

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,24 parecieran ciegos por que no miran a la pizarra; de éstos últimos 5no hablan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguencon la mirada la clase en la pizarra?A) 6 B) 10 C) 8 D) 7 E) 5

2. 200 personas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losque practican únicamente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.A) 12 B) 10 C) 8 D) 15 E) 17

3. Sean los conjuntos 4;3;2;1A y 3;2B entonces se dice que Ay B son:

A) Iguales B) Comparables C) Equivalentes D) Disjuntos E) N.A.

4. El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gus-tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gustan manzanay piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas en-cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15% C) 8% D) 12% E) N.A.

5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba laEn una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la

cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10%cuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10%

5. En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la

tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas ecuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.

B) 15%

tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas e

El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo queEl resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que60% gustan manzana,tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% guy piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas ecuestadas no gustan de los jugos de frutas antes mencionadas?.A) 10% B) 15%

En una aula de 120 alumnos, 30 eran hombres que no les gustaba la

y piña, 5% gustan de los tres. ¿Qué porcentaje de las personas e

B) Comparables C) Equivalentes

El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gu

El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que

os conjuntos A


El resultado de una encuesta sobre preferencia de jugos se obtuvo que gustan manzana, 50% gustan fresa, 40% gustan piña, 30% gu

tan manzana y fresa, 20% gustan fresa y piña, 15% gu

D) 15 E) 17

4;3 y

E) 17

B

otras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican los cuatro deportes?.

D) 15 E) 17

3 y 3;2B


practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personasotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personaspractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas

los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; loslos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losente dos de los deportes es el doble de los que

practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas

E) 17

los deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; losente dos de los deportes es el doble de los que

practican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican aotras actividades como ir al mercado, cocinar, etc. ¿Cuántas personas

rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, natción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres delos deportes es el triple de los que practican los cuatro deportes; los


ente dos de los deportes es el doble de los quepractican solo tres. 30 practican solo un deporte y 50 se dedican a


blan y 4 se ríen. ¿Cuántos de los que no ríen hablan y siguen

rsonas los sábados practican fútbol, frontón, atletismo, nata-ción o alguna otra actividad no deportiva. Los que practican tres de

De 50 alumnos de CEPU 15 no hablan en clase, 14 son los que ríen,mos 5


matemática, 50 eran mujeres que si les gustaba; si el número de hom-bres que gustaban de la matemática es la tercera parte de las mujeresque no gustaban de la matemática, ¿A cuántos les gustaban la ma-temática?A) 30 B) 50 C) 55 D) 60 E) N.A.

6. Si: 4;3;2;1A . El enunciado verdadero es:

A) )(4 AP B) A2 C) A3;2 D) A3 E) A2;1

7. Si X, Y y Z son conjuntos tales que ZYX . Simplificar:)()()()( XYZYXZYZX

A) X B) Z C) Y D) U E)

8. De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y53 no siguen el curso de Aritmética; si 27 alumnos, no siguenAritmética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno detales cursos.

A) 24 B) 30 C) 36 D) 48 E) 26

9. A y B conjuntos tal que: 17)( BAn ; 256)( BAPn ;

4)( ABPn ; Hallar: BAPn (A) 2 B) 4 C) 28 D) 64 E) 32

10. Dado los siguientes conjuntos iguales:

1;1

2;4

27;8

2;1

yzD

yC

xB

xxA

Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11A) 7Calcular E = x + y + z.A) 7Calcular E = x + y + z.

C) 9

;1 y

Calcular E = x + y + z.B) 8

1;1

2;

yz

y

Calcular E = x + y + z.A) 7 B) 8Calcular E = x + y + z.

Dado los siguientes conjuntos iguales:

2


27

Calcular E = x + y + z.

B

E) 32


D) 64

1717) ;

B

E) 32


( BAP 256)( BAPn

mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno dee Aritmética; si 27 alumnos, no siguen

mética ni Álgebra, cuántos alumnos llevan exactamente uno de

De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra ye Aritmética; si 27 alumnos, no siguen


De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra y


De un grupo de 100 estudiantes 49 no llevan el curso de Álgebra ye Aritmética; si 27 alumnos, no siguen

- 15 -

IISISTEMA DE NUMERACIÓN

Es un conjunto de reglas y principios para representar cualquier cantidad, conel fin de buena lectura y escritura de los números.

1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓNSe llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman paraformar una unidad del orden superior.

Ejem. )(nabcd SistemadelBase:n

2. SISTEMA DECIMAL:Cuando la base del sistema es diez

Ejm: 3524

3. PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

BASE SISTEMA CIFRAS DISPONIBLES23456789

101112...

BinariosTernarioCuaternarioQuinarioSenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal...

0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β...

α =10β=12

=12

.

.

.

Duodecimal

.

12.

10101112

.

.

DecimalUndecimalDuodecimal..

SenarioEptalOctalNonarioDecimalUndecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

OctalNonarioDecimalUndecimalDuodecimal

0, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 70, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 90, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 80, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, α, β

QuinarioSenario

0, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 5

0, 10, 1, 2

CIFRAS DISPONIBLES0, 10, 1, 20, 1, 2, 30, 1, 2, 3, 40, 1, 2, 3, 4, 50, 1, 2, 3, 4, 5, 60, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

CIFRAS DISPONIBLES

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIONPRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

CIFRAS DISPONIBLES

Se llama así al número fijo de unidades de un orden que se toman para


4. ESCRITURA DE UN NUMERO DE CUALQUIER SISTEMA DE NUMERA-CION

Base 10: 345, 32 etcBase 2 : 10(2), 1101(2) etcBase 6 : 321(6), 4251(6) etcBase 12: 97(12), 59 (12) etc

5. ESCRITURA LITERAL DE LOS NÚMEROS

:ab número de 2 cifras (10, 11, .........., 99)

:abc número de 3 cifras (100, 101, 102 ...., 999)

:aa número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)

:27ab número de 4 que comienzan en 27.

6. NÚMERO CAPICÚA:Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenigual por ambos lados” .

Ejem. 44, 121, 363, 4554, 31213, etc

7. DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus ci-fras de dicho número.

Sea:cifrasm

xyz.......abcdN (n)

Descomponiendo en forma polinómica es:

znynxncnbnaNmmm

............2321

Ejm:* 3123(4) = 3 x 43 + 1 x 42 + 2 x 4 + 3

* cnbnaabc n ..)(2

* babaab 1010.* ab

Ejm:

ab

3123(4) = 3 x 4

)

nbnmm

.1

* 3123

* abc n)(

aab


nm

cifrasm

.......abcd


ncmm

.32

Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cEs expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cEs expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cDESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus cDESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE UN NÚMERO:Es expresarlo como la suma de los valores relativos de cada una de sus c

Número cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenNúmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leenNúmero cuyas cifras equidistantes de los extremos son iguales. Se leen

número de 2 cifras iguales (11, 22, 33, .....99)

Sistema de Numeración 17

8. DESCOMPOSICIÓN EN BLOQUES:Se llamará “bloque” a un grupo de cifras.Ejm.

Descompongamos abcd en bloques

cdababcd2

10.

Descompongamos abab en bloques

cdababab2

10

9. CONVERSIÓN DE NÚMEROS A DIFERENTES BASESa) CASO 1: De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-

cimal)Ejm: Convertir 321, al sistema decimal

Por descomposición polinómica321(5) = 3x52 + 2x5+1 = 75+10+1 = 86321(5) = 86Por Ruffini

5

3 2 1

15 85

3 17 86

321(5) = 86

b) CASO 2: Del sistema Decimal a un sistema de base “n”Ejm:

Convertir 329 al sistema quinarioPor divisiones sucesivas

32’9655

55

51515

1310

302925

4 03

2

)(52304329


32’930

5

Del sistema Decimal a un sistema de base “n”


32’930

29

321(5)


= 86


3

321(5) = 86



15 85

86

2 1

15 85

17

+ 2x5+1 = 75+10+1 = 86Por descomposición polinómica

+ 2x5+1 = 75+10+1 = 86

De un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema dDe un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema dDe un sistema de base “n” al sistema de base 10 (sistema de-


c) CASO 3: De un sistema de base “n” a otro de base “m” donde.10mn

- El primer paso, es transformar la base “n” a base 10.- El segundo paso, es transformar el número obtenido a base “m”

Ejm: Convertir 341 (5) a base 3

- 341 (5) = 3x52 + 4 x 5 + 1 = 75+20+1=96 341(5) = 96-

96=10120(3)

9696 32

30 10 9 3

3

33

330

21 1

0

341(5) = 10120 (3)

Reglas PrácticasTodas las cifras son menores que la base: cifra < Base

Ejm: )(823 ba 8b8a

Si un número se expresa en dos sistemas distintos:

341(5) = 10120(3)

Vemos que:A número Mayor Base Mayor

A número Menor Base Menor

Es decir: 203(n) = 104 (m) => n < m

Base n Base m

Base 10

A número Menor

Es decir:

Vemos que:Vemos que:

Es decir:

(5) = 10120

A número Mayor

A número Menor

341


341(5)

Vemos que:A número Mayor

A número Menor

(3)

Todas las cifras son menores que la base:

)(823 ba

Si un número se expresa en dos sistemas distintos:Si un número se expresa en dos sistemas distintos:


Ejm: 3a


= 10120(3)

= 10120


310

(5) = 10120 (3)


31

3 3 3 3

331

96=10120(3)

341341(5) = 96


10. CONVERSIÓN DE SISTEMAS EN LOS NÚMEROS MENORES QUELA UNIDAD

CASO 1: De base “n” a base 10

43210 ndncnbnaabcd n ...., )(

Ejm: Convertir: 0,32(n) a base 10

0,32(4) = 3 x 4-1+2 x 4-2

8

7

16

14

16

2124

2

4

32

875,032,0 )4(

CASO 2: De base 10 a base n

Convertir: 0,390625 a base 4

Se multiplica sólo la parte decimal

0.390625 x 4 = 1,56250,5625 x 4 = 2,250,25 x 4 = 1,00

(4)0,1210,390625

11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN.

a) De base n a base nk

Dado el número en base n se le separa en grupos de K cifras a par-tir de la derechatir de la derecha

CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN

De base n a base nDado el número en base n se

CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN11. CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN

a) De base n a base nDado el número en base n setir de la derecha

0,25 x 4 =

0,390625

0.390625 x 4 =0,5625 x 4 =0,25 x 4 =

0,390625

CASOS ESPECIALES DE CONVERSIÓN


0.390625 x 4 = 1,5625,25

Se multiplica sólo la parte decimalSe multiplica sólo la parte decimal



0.390625 x 4 = ,5625


base n




Ejm: Expresar 10011101(2) a base 8

Vemos que 8 = 23 ; se separa en grupos de 3 cifras

Base 2:)(2

532

10101110

Base 8: 235(8)

b) De base nk a base nDado el número en base nk de cada cifra se obtiene k cifras al con-vertirse a base n.

Ejm: Convertir: 325 (8) a base 2

101

5

010

2

011

3

325 (8) = 011010101 (2)

PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)

1. ¿Cómo se representa )(234 n en base (n-1)?

A) 297 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287

Sol.:

1° Transformamos )(234 n a base decimal.

4.3.22342

)( nnn

2° El número 4322

nn transformamos a base n-1El número

234

2°

234

2° El número

Transformamos 234

3.22

n

TransformamosTransformamos

2234 )(n

22

n

)(n

234

C) 269 D) 299 E) 287

)(234 n en base (n

97 B) 279 C) 269 D) 299 E) 287

)(234 n a base decimal.


en base (n-

PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)PROBLEMAS RESUELTOS (SISTEMAS DE NUMERACIÓN)

-1)?


(2)



2n + 3n + 4 n - 1

- 2n + 2n 2n + 5 n-1

5n + 4 -2n + 2 2

- 5n + 5 7

9

2

2

)(234 n = )1(279 n Rpta. : B

2. Si : 850)(nabab ; hallar : (a + b) . n

A) 25 B) 30 C) 45 D) 35 E) 15

Sol.: 850)(nabab

850)1()(

850)(

850

2

2

23

nban

babbann

banbnan

( + ) ( +1) = 17 50an b n2

x

n a b= 7 = 2 = 3

(a + b) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

Rpta.: ( D )

3. Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impa-res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifras.

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

10 y dar como respuesta la suma de sus cifr

3.res consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr

Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en baseSi un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases impres consecutivas se escribe 102 y 201. determinar dicho número en base10 y dar como respuesta la suma de sus cifr

A) 5 B) 4 C) 3 D) 6 E) 7

Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases imp

= 7 = 2 = 3n a b

(a + b) x

n a b= 7 = 2 = 3n a bn a b

) x n = ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

Si un número se convierte a dos sistemas de numeración de bases imp

( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50

= 7 = 2 = 3

( + ) ( +1) = 17 50

850)1

( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50( + ) ( +1) = 17 50

= 7 = 2 = 3

= ( 2 + 3) x 7 = 5 x 7 = 35

850

850

850

850


Sol.:

0)3(01224

12882144

1)12(22)12(

201102

22

22)12()12(

nn

nn

nnnn

nn

nn

3n

entonces: 51249102102 )7()12( n

615cifras Rpta. D

4. La suma de dos cifras que forman un número es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el númeroprimitivo; ¿cuál es el cuadrado de dicho número?

A) 2025 B) 2601 C) 2704 D) 2809 E) 2916

Sol.: Sea el número ab

Entonces: problemadeldatos9

9

abba

ba

11

99910910

ba

ab

ab

baab

abpba

Por tanto: a = 5 b = 4

Finalmente: 29165422

ab Rpta. E

5. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 35. ¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3cifras?

Finalmente: ab

Por tanto:Por tanto:

Finalmente:

¿En cuántos sistemas de numeración el número 1234 se escribe con 3

11

99

b

ab

9109

ba

b

a

a

a = 5 b = 4

datosab

problemadel problema

E) 2916E) 2916

problemadeldatos

E) 2916E) 2916

resultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número

E) 2916

o es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número

o es igual a 9. Si al número

Rpta. D

o es igual a 9. Si al númeroresultante de invertir el orden de las cifras se le suma 9, resulta el número


A) 10 B) 15 C) 30 D) 25 E) 20

Sol.: Por dato, tenemos:

)(1234 nabc

Entonces:

3534,,.......13,12,11,n

n10,.....35n

n12341234n

n1234n

nabcn

1000abc100

32

32

3n

2

nnn

.....,

)(

)()()(

número de términos = 251

1035Rpta : D

6. Si: )()()( 888 cba2abc . Hallar a + b + c

A) 18 B) 16 C) 14 D) 12 E) 10

Sol.:

)()()(

)()()(

)()(

)()()(

888

888

88

888

abccbaabc

cbaabcabc

cba2abc

cba2abc

Por propiedad:b = 7a + c = 7

a + b + c = 14 Rpta. C

7. ¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

;6b5y7a3;545 (a)(8))(b

A) 252 (6) B) 545 (6) C) 209 (6) D) 134 (6) E) 425 (6)A) 252

7.

A) 252

¿Cómo se escribe en base 6 el menor de los siguientes números:

;


a + c = 7a + c = 7a + b + c


545 )(b

A) 252 (6)


)(8

Por propiedad:

()8 abc

Por propiedad:

a + c = 7= 14


E) 10

Rpta : DRpta : DRpta : D


Sol.: Analizando tenemos:

b8ab5

;6b5y7a3;545 (a)(8))(

a

b

Obtenemos: 5 < b < a < 8b= 6 a = 7

Luego:

* menornúmero20956.46.55452

)6(

* 50738.78.7372

)8(a

* 34157.67.6562

)7(b

209 = 545 (6) Rpta. B

8. Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-cia de sus cifras.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Sol.:

Por dato :baba

baab

6610)(6

4 = 5a b

a = 5b = 4

a – b = 1 Rpta. A

9. Una persona nació en el año ab19 y en el año 1985, tiene (a + b) años.¿En qué año tendrá ab años?A) 1995 B) 1999 C) 2002 D) 2020 E) 2000Sol.: Por dato:

47

211851019001985

191985

191985

b

a

ba

baba

baab

baab

b

a

4b

211101900ba

a

aab191985

a

.: Por dato:.: Por dato:

7118519001985191985

19

a

ab

baab

b

Una persona nació en el año¿En qué año tendrá ab años?

B) 1999 C) 2002C) 2002

b

Una persona nació en el año ab19¿En qué año tendrá años?

B) 1999 C) 2002

b

Rpta. ARpta. A

y en el año 1985, tiene (

Un número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la difereUn número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la difereUn número es igual a 6 veces la suma de sus dos cifras. Hallar la diferen-


200228197419 abab Rpta. C

10. Si 400803 (m) = 300034342 (n) y m + n = 14 . Hallar (m - n)A) 6 B) 4 C) 5 D) 8 E) 9

Sol.:Analizando:

8 < m 4 < n además n < m

Entonces: 4 < n < m m > 8m = 9n = 5

m – n = 4 Rpta. B


1. Se sabe que: )8()( 162 bba c . Calcular: a + b + c.A) 12 B) 15 C) 14 D) 16 E) 13

2. El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si elnumeral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta de mul-tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:A) 11+n B) 11-n C) 7+n D) 7-n E) 2n

3. Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2 B) 5 C) 6 D) 7 E)15

4. Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 enlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130 C) 147 D) 215 E) 420

5. La base del sistema de numeración en que )4)(2( ccc se escribeLa base del sistema de numeración en que5.5. La base del sistema de numeración en que

Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220 B) 130

Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos veces

respuesta la suma en base 10 de sus cifras.A) 2

Determine cuantlos cuales una cifra se repite exactamente dos vecesA) 220

La base del sistema de numeración en que

Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en

B) 11

Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.

B) 5respuesta la suma en base 10 de sus cifras.

C) 6

tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:B) 11-n

Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar comorespuesta la suma en base 10 de sus cifras.

B) 5 C) 6

Determine cuantos números de tres cifras existen en base 8 en

El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si eleral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta

tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:C) 7+n


tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:


C) 14C) 14


tiplicar la suma de sus cifras multiplicado por:D) 7

Convertir el número decimal 798 al sistema de base 28. Dar como

eral que se obtiene al intercambiar los dígitos resulta

. Calcular: a + b + c.D) 16

El numeral de dos cifras es “n” veces la suma de sus cifras, si el

. Calcular: a + b + c.D) 16 E) 13


alcular: a + b + c.E) 13

alcular: a + b + c.


con tres cifras iguales es:A)8 B)4 C)5 D) 7 E) 11

6. Si )9()( 1cmaba c Calcular el valor de b sabiendo que m>5.

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

7. Si ;0000 nnmmnn calcular nm expresado en base 5.A)21 B) 22 C)34 D) 44 E)32

8. Hallar “a + b + c”. Si:)()9( 722 caba

A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20

9. Si se cumple que: TAMET .Calcular TEAME

A) 64526 B) 62565 C) 46526 D) 46256 E) N.A.

10. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dece-nas?A) 72 B) 60 C) 24 D) 36 E) 48

CUATRO OPERACIONES

1. Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantida-des en una sola.

Sumandos

naaaaS ......321

2. Resta o Sustracción: Operación inversa a la suma.

Suma Total

Resta o SustracciónResta o Sustracción2. Resta o SustracciónResta o SustracciónResta o Sustracción

Suma o adiciónSuma o adicióndes en una sola.

Resta o Sustracción

CUATRO OPERACIONES

Operación que tiene por finalidad reunir varias cantidOperación que tiene por finalidad reunir varias cantid

CUATRO OPERACIONES

Suma o adición: Operación que tiene por finalidad reunir varias cantid

D) 36C) 24

dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec

D) 36

CUATRO OPERACIONES

erentes se pueden formar con losdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec

E) 48

dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decdígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las decerentes se pueden formar con los

dígitos 1, 2, 3, 4, 5 de manera que no aparezcan el 3 en las dec

D) 46256


E) 48

E) N.A.


E) N.A.E) N.A.

erentes se pueden formar con los


Propiedad:

M+S+D=2M

Si: mnpcbaabc

Se cumple que:

n = 9m + p = 9

Complemento Aritmético de un número natural: Es lo que le falta a éste serigual a la unidad del orden inmediato superior de su mayor orden.

Ejm.C.A. (45) = 100 – 45 = 55C.A. (950) = 1000 – 950 = 50

C.A. ( abc ) = 1000 – abcEn general:

C.A. xyz......abc10)xyz.........abc( m

cifrasm

Otro método: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un número, serestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.

Ejm:

C.A. 694782830521

109

)(

C.A. 3686109

)(

C.A. ( abcd ) = ))()()(( dcba 10999

M – S = D

Minuendo SustraendoDiferencia

Ejm:Ejm:

: para hallar el C.A a parrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.

C.A. 30521

: para hallar el C.A a parrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros alfinal, éstos permanecen en el complemento.

C.A. 30521(

xyz.........cifras

: para hallar el C.A a par

10abc

abcabc

)xyz.........abc m

m

: para hallar el C.A a partir del mayor orden de un númrestan las cifras de nueve y la última cifras significativa de 10. Si hay ceros al

abc

950 = 50

abc

950 = 50

abc

abcm

ad del orden inmediato superior de su mayor oEs lo que le falta a éste ser

ad del orden inmediato superior de su mayor oEs lo que le falta a éste serEs lo que le falta a éste ser


3. Multiplicación: Operación donde:Dada dos cantidades multiplicando y multiplicador se halla una tercerallamada producto.

4. División:

D: Dividendod: divisorc: cocienter: residuo

También

Clases de División:b) División exacta: Cuando el residuo es cero

Ejm.

c) División Inexacta:Por defecto:

Donde 0 < r < d

D__r

d

D = dc + r

D__0

d

c

D = dc

880

4

2

8 = 4 x 2

D__r

d

c

D = dc+r

Multiplicando MultiplicadorProducto

__d

c

Por defecto:División Inexacta:Por defecto:

D__r

2

División Inexacta:

0

8 = 4 x 2

D = dc

8 = 4 x 2

Cuando el residuo es cero


Ejm.

Por exceso:

Donde 0 < re < dEjm.

Propiedad:

1° : r + re = d2° : rmax = d – 13° : rmin = 1

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)

1. La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x – 8

Sol.

M – S = D M – 5 – (S + 3) = DifM – S = X M – 5 – S – 3) = Dif

M – S – 8 = Dif

X – 8 = Dif .

Rpta. ( e )

38362

6

6

38 = 6x6+2

D__re

d

c+1

D = d(c+1) – re

3842- 4

6

6+1

38 = 6(6+1) – 4

M

S = DS = X

M – S = DM – S = X –

y se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

a) x + 5 b) x – 5 c) x + 8

La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendoy se suma 3 al sustraendo ¿Cuál ser la diferencia?

a) x + 5 b) x 5 c) x + 8 d) x + 2 e) x

M – 5 – (S + 3) = DifM – 5




La diferencia entre dos números naturales es “x”. Si se resta 5 al minuendo

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)


d) x + 2 e) x

PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)PROBLEMAS RESUELTOS (CUATRO OPERACIONES)


2. Si la suma de 2 números es 56 y su cociente es 5 con residuo 2. ¿Cuál esla suma de sus cifras del producto de dichos números?

a) 6 b) 9 c) 11 d) 12 e) 16

Sol. Sean los números a y b

Por dato:

a + b = 56 ...... (1)

además: c = 5 y residuo = 2

D = dc + rA = 5b + 2 ........... (2)

De (1) y (2):

a + b = 565b + 2 + b = 566b = 54

b = 9 a = 47

47 x 9 = 423

9324cifras

Rpta. ( b )

3. Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810

Sol.

Tenemos la suma:Tenemos la suma:

.

Tenemos la suma:Tenemos la suma:

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601a) 610 b) 801 c) 106 d) 601

Tenemos la suma:

Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601

Hallar las 3 últimas cifras de las suma:

S = 7 + 77 + 777 + 7777 + .......... + 777 ...... 7777(40 sumandos)

a) 610 b) 801 c) 106 d) 601 e) 810

Rpta. ( b )Rpta. ( b )


016..........

sumandos40

77777...7

................

................

7777

777

77

7

En las unidades: 7 . 40 = 280, colocamos cero y llevamos 28En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.

Rpta. (a)

4. Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lasuma de las cifras del dividendo y del divisor.

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29Sol: Sean abc y de los números

*

abc de

25 1125de.11abc ... (1)

*

abc de

19

1000 - 1000 -7

19)de100(7abc-1000 ..... (2)

Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de - 25 = 700 - 7 de + 19

4 de = 256

de = 64

Entonces: 729abc

2892746cifras Rpta. (d)

de

Reemplazando ec. (1) y (2):

cifras

19

Reemplazando ec. (1) y (2):1000 -

Reemplazando ec. (1) y (2):de

1000 -7

Reemplazando ec. (1) y (2):1000 - 11 de

4

de.11 25abc

los números

25deabc

de

1000

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29los números

vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lavuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar lando y del divisor.

a) 25 b) 26 c) 27 d) 28 e) 29los números

25 ... (1)

vuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la

Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesAl dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la

Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se lesvuelve a dividir, esta vez se obtiene 7 de cociente y 19 de residuo. Hallar la

En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.En las decenas: 7 . 39 + 28 = 301, colocamos 1 y llevamos 30En las centenas: 7 . 38 + 30 = 296, colocamos 6 y llevamos 29.

Al dividir un número de 3 cifras entre otro de dos cifras se obtiene 11 decociente y 25 de residuo. Se les toma el complemento aritmético y se les


5. Hallar la suma de las cifras del producto:

cifras40

99....999438P

a) 360 b) 270 c) 180 d) 90 e) 450

Sol.

Dando forma a P:P = 438 x ( 1........001000

cifras40

)

P = 438 43800...0000cifras40

Entonces:43800 ... 0000 –

438

cifras37

99562...99437

Portando:

26527x9734cifras

= 360Rpta. (a)

6. Halle a+b+c+m+n , si9

nmmmm2abc

a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 23

Sol.

9

nmmmm2abc

mmmm = 9. 2abc

Es decir:mmmmn

9x2cba

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)

* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 18m

* 9xc+1=??? Debe terminar en 83c

* 9xb+2=??? Debe terminar en 84b

* 9xa+3=??? Debe terminar en 85a n = 4

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)

Es decir:

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)

mmmm

9xba

= 9. 2abc

Es decir:mmmmn

9x2cb

a+b+c+m+n =5+4+3+8+4 = 24 Rpta (c)

9

nmmmm

* 2x9 =18 dejamos 8 y llevamos 1

Rpta. (a)Rpta. (a)


7. Hallar la suma en base 10 de: 23(n) + 35(n)+....+155(n), si los sumandosestán en progresión aritmética.a) 608 b) 1216 c) 2432 d) 4864 e) 1824Sol.

Por def. de P.A.:

30(n) – 23(n) = 35(n) – 30(n)

3n – 2n – 3 = 3n + 5 – 3n

n = 8

Entonces convirtiendo a base 10: S = 19+24+29+34+ .... +109

1216S

19.2

10919S

195

14109términosde#

Rpta. (b)

8. Aumentando en 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28Sol.

Sea: P = a x b

Por dado: (a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5499a + 9b = 468a+b = 52

Entonces:

70a2

18b-a

52ba

a = 35 b = 17 Rpta. (d)

9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.9. Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.

70a2

b

a = 35

Entonces:Entonces:

-a

a

a

Si la diferencia de dos números es 14560 y el duplo del mayor es 60000.

ab + 9a + 9b + 81 = ab + 59a + 9b = 468a+b = 52

(a+9)(b+9) = P+549ab + 9a + 9b + 81 = ab + 59a + 9b = 468a+b

18

52b

ab + 9a + 9b + 81 = ab + 5

a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28

ab + 9a + 9b + 81 = ab + 549

n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.

Rpta. (b)

n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.a) 36 b) 16 c) 34 d) 17 e) 28

n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.

n 9 los 2 factores de un producto, el resultado aumenta en549. Hallar uno de los factores si la diferencia de ellas es 18.


¿En cuánto excede el número 76543 al menor de los dos números?a) en 61103 b) en 61983 c) en 31103 d) en 62103 e) en 60103Sol.

Sean a y b los números ( a > b )2a = 60000 a = 30000además 30000 – b = 14560 b = 15440Nos piden: 76543 – 15440 = 61103 Rpta. (a)

10. Si mnp4baab4 y 4wbaab , entonces 2ª + 3b es:

a) 17 ó 22 b) 20 ó 32 c) 18 ó 52 d) 32 ó 20 e) 19 ó 21Sol. De: 4wbaab se obtiene

10a + b – 10 b – a = 10 w + 49a – 9b = 10w + 49(a – b) = 10w + 4Tanteando: a – b = 6 w = 5

cumple)(no39

cumple)(si28

cumple)(si17

5 w6b-a

Además mnp4baab4 n = 9 m + p = 9

Reemplazando:2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22

Rpta. (a)


1. Si al producto de dos números le incrementamos su cociente, re-sulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 14

2. Hallar a+b+c+m+n Si:

cbamnabc 1 , dondeca

b

b

ca

A) 27 B) 29 C) 31 D) 30 E) 28

mn1

A) 27

Hallar a+b+c+m+n Si:

abc


abc 1

A) 27 B) 29


cba

B) 8

Si al producto de dos números le incrementamos su cocSi al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.A) 6 B) 8


cbamn


Si al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.Si al producto de dos números le incrementamos su coc

2a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22


Si al producto de dos números le incrementamos su cocsulta 18. Hallar la suma de dichos números.

C) 10

2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=222a+3b=2(7)+3(1)=14+3=17

n = 9 m + p = 9

2a+3b=2(7)+3(1)=14+3=172a+3b=2(8)+3(2)=16+6=22

Rpta. (a)

n = 9 m + p = 9n = 9 m + p = 9


3. Hallar un número de 2 cifras que sea igual a 8 veces la suma desus cifras.A) 9 B) 10 C) 72 D) 27 E) 13

4. Calcular la suma de las cifras del producto:)99...999)(77...777(

1010 cifrascifras

A) 90 B) 70 C) 80 D) 20 E) 772

5. Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175gramos. ¿Cuántas botellas semejantes serán necesarias para vaciaren ellas el contenido de un barril de 225 litros.A) 220 B) 250 C) 280 D) 300 E) N.A.

6. El cociente del producto de tres números consecutivos, entre susuma es 16. El número intermedio es:A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

7. Si )()(1234.. nn abcdAC y 40032 )6(n

Hallar dcba

A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

8. La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuen-do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217 D) 5802 E) 7634

9. El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300 B) 367 C) 357 D) 643 E) 721

10. Si TRESSIETECA )( . Calcular )( SIESCA

A) 73 B) 75 C) 77 D) 12 E) 16A) 7310.10. Si

A) 73

B) 367

SIETE

El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300

El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado286, es:A) 300

Si SIETECA(A) 73

do es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.

B) 7651

El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado

La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minuedo es triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético dela diferencia.A) 8434 B) 7651 C) 217

El número de 3 cifras que restando de su C.A. da como resultado

C) 7

La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minues triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de

D) 9

La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minue

C) 7

y) y n

C) 7 D) 9

La suma de los tres términos de una resta es 4698. Si el minues triple del sustraendo. Hallar el complemento aritmético de

400)3232

medio es:D) 9

40032 )6(n

D) 9 E) 11

E) 10

El cociente del producto de tres números consecutivos, entre suEl cociente del producto de tres números consecutivos, entre su

E) 10

E) N.A.

El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su

jantes serán necesari

E) N.A.

Una botella vacía pesa 425 gramos y llena de agua pesa 1175jantes serán necesarias para vaciar

E) N.A.

El cociente del producto de tres números consecutivos, entre su

as para vaciar

- 36 -

IIIPROPIEDAD DE LOS NÚMEROS

I. DIVISIBILIDAD: Parte de teoría de números que estudia las condi-ciones que debe reunir un numeral para ser divisible entre otro.

1) Divisibilidad de Números:Un número entero es divisible entre otro entero positivo, cuando al di-vidir el primero entre el segundo el cociente es otro entero y el residuocero.

- Cero (0) siempre es múltiplo de todo entero positivo- Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número

entero positivo.

2) Notación y representación de los múltiplos de un número:Si A es múltiplo de B lo representamos:

A = k B donde k = { ....., -2,-1, 0, 1, 2, ....}

A =o

B (notación Leibniz)

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopor defecto:Ejm.

Se dice que un número B (módulo) es divisor o divide a A cuandoestá contenido un número entero y exacto de veces.Ejm: Los divisores de 6 son:

6

1236

A__r

B

c

A = B.c + r

A =o

B + r

Ejm: Los divisores

6

Ejm: Los divisores

Se dice que un número B (módulo) esSe dice que un número B (módulo) esestá contenido un número entEjm: Los divisores

1

Se dice que un número B (módulo) esestá contenido un número ent

c

Se dice que un número B (módulo) esSe dice que un número B (módulo) esestá contenido un número entEjm: Los divisores de 6 son:

1

A =

B.c

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuo

A = + r

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuopuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuoSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), seSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se

(notación Leibniz)

Si un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), sepuede representar como un múltiplo del módulo mas cierto residuoSi un número entero no es divisible entre cierto módulo (divisor), se

1, 0, 1, 2, ....}

Notación y representación de los múltiplos de un número:

1, 0, 1, 2, ....}


Un número entero negativo puede ser múltiplo de un númeroUn número entero negativo puede ser múltiplo de un número


Un número entero negativo puede ser múltiplo de un número

i-

Propiedad de los Números 37

3) Operaciones y Propiedades:

aaaooo

* Si : 5a =o7 => a =

o

7

aaaooo

* Si : 21a =o

35

aaaooo 3 a =

o

5 => a =o

500aka

aaoko

enteroaao

babaooo

.

Ejm: 2623142o

6

4) Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales

a) Sabemos por álgebra que:

2o

22o

2oo

222 babababaabab2aba

3o

33o

3ooo

32233 babababaaabab3ba3aba

- En general: ko

k raba Si K Z+ ó k0k0

rara si k Z+

-imparesK

paresKo

oo

k

kk

rn

rnrn

Ejm:

* Todo número es múltiplo de la base en la cualestá escrito más la última cifra.

dncnbnaabcd 23n ...)(

dnnnooo

dnabcdo

n)(

Ejm:

r-

En general:En general:

-o

n

Ejm:

n

ok ab Si K

3 ab

En general: krba

o

n

2b

ab3

2o

ba

Sabemos por álgebra que:

2oo

2 abaababo

32 abab

a

Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y RestosDivisibilidad aplicada al Binomio de Newton y RestosDivisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos

o

Divisibilidad aplicada al Binomio de Newton y Restos Potenciales

d

Potenciales

d

dn

* Todo número es múltiplo de la base en la cual* Todo número es múltiplo de la base en la cual


96o96o

317317

123o123o

5656

128o128o

5656

1616o128o

OBSERVACIÓN

cbancnbnanoooo

Ejm: Calcular el residuo de dividir 7129635

Sol:

5r57277

272177

27177

27177

9277

337

37

37129

oo

ooo

o0o

o2110o

211o

22113o

635o

635o635

))((

b) Restos PotencialesSe llama restos potenciales a todos a todos residuos que dejan las po-tencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de ce-

Restos PotencialesSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c

b) Restos PotencialesSe llama restos potenciale

b) Restos PotencialesSe llama restos potencialeSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c

572

21o

))(

Restos Potenciales

77o

oo

77

17

77

o

oo(

Restos PotencialesSe llama restos potencialetencias sucesivas enteras y positivas de un número N (diferente de c

27

2

71

o

211

27

271

27

9

o

o0

o

129 7


ro) al ser divididos entre otro “m” (módulo).

Potencias Sucesivasde N

Resultados en

funciónom

Residuos

N0 om +1 1

N1 om + r1

r1

N2 om + r2

r2 Restos Potenciales

N3 om + r3

r3

N4 om + r4

r4

Ejm: Calcular la restos potenciales de 5 respecto al módulo 9.Sol.:

5r5919595

1r1929595

gaussiano

2r2949595

4r4979795

8r8935979595

7r797185

5r59505

1r19105

7

ooo7

6

ooo6

5

ooo5

4

ooo4

3

oooo3

2

o2

1

o1

0

o0

g = 6 Donde g: gaussiano

95o

7

56

g = 6

959

79

oo

o

9

2959

495

7975

5

oo

5

o

359

r

o

2r

9o

r

r8935

7r7

5r

oo

1rr

stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.stos potenciales de 5 respecto al módulo 9.


CONCLUSIÓN:

residuor

ExponenteE

2r;56

4r;46

8r;36

7r;26

5r;16

1r;6

95

o

o

o

o

o

o

o

E

E

E

E

E

E

rE

Ejm.: Si : r95o

226

46226o

E

4r

5) CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

a) Divisibilidad por 2: Cuando termina en cero 0 cifra par.Ejm.:

86,4,2,0,d2o

abcd

3528

b) Divisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.Ejm.:

50,d5o

abcd

325

c) Divisibilidad por 4: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman unnúmero múltiplo de 4.Ejm.:

96.......,16,12,08,04,00,de4o

abcde

3243232432

Ejm.:número múltiplo de 4.Ejm.:

32432

Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.

4o

abcde

Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.

325

Divisibilidad por 4número múltiplo de 4.Ejm.:

abcde

32432

ivisibilidad por 5: Cuando termina en cero cinco.

5o

Cuando termina en cero cinco.

d5o

abcd

Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o forman un

2,0,


86,

Cuando termina en cero 0 cifra par.Cuando termina en cero 0 cifra par.

4,2,0,d


anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

Cuando termina en cero 0 cifra par.

anticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteanticipar entre que cantidades es divisible dicho numeral.

Cuando termina en cero 0 cifra par.

8

Conjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permiteConjunto de reglas que aplicadas a las cifras de un numeral nos permite


d) Divisibilidad por 25: Cuando sus 2 últimas cifras son ceros o formanun número múltiplo de 25.Ejm.:

7550,25,00,de52o

abcde

87975

e) Divisibilidad por 2n ó 5n: Es divisible por 2n ó 5n si sus “n” últimas ci-fras son ceros o forman un número que sea divisible por 2n ó 5n res-pectivamente.

Ejm.:

Si: n = 3 2o3abcdef

oo

8defsi8abcdef

o

8230523

Nota: Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oforman un número que sea divisible por 8.

f) Divisibilidad por 3: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:

3fedcba3oo

abcdef

*

365433333456oo

o

321

g) Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Ejm.:

Si:

9fedcba9oo

abcdef

965493939456oo o

9273945639456

9o

abcdef

Ejm.:Si:

g) Divisibilidad por 9Ejm.:

Si:

abcdef

39456

Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.Divisibilidad por 9: Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 9.

Ejm.: * Si:

a

Cuando la suma de susCuando la suma de susEjm.: * Si:Ejm.: * Si:

b

sible por 8.

Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:

cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:

Cuando la suma de susCuando la suma de sus

Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros oUn número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros osible por 8.

Cuando la suma de sus cifras es un múltiplo de 3.Ejm.: * Si:

cb

Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o

cifras es un múltiplo de 3.

Un número es divisible por 8 si sus 3 últimos cifras son ceros o

defsi

si sus “n” últimas ci-res-


h) Divisibilidad por 11: Cuando la diferencia entre la suma de sus cifras

impar menos la suma de sus cifras de orden par deberá ser cero oo

11.Ejm.:

Si: 11fdbgeca11abcdefgoo

097531524688365472951

i) Divisibilidad por 7: Cuando la suma algebraica del producto de sus ci-fras (de derecha a izquierda) por 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, 3, 2, -1 ..........

respectivamente, deberá ser 0 óo

7 .Ejm.:

Si:

132

-

1321

7o

gfedcba

o

73232 gfed)cba - (

Si :o

7760493636

132

-

132132

636394067

27 – 38 + 32 = 21 =o

7

j) Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1, -3, -4, -1, 3, 4, 1, .......... respec-tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:

Si:

13413413

13o

hgfedcba

33

dcb

tivamente, deberá ser múltiplo de 13.

Si:

Divisibilidad por 13cifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.Ejm.:

Si:

1

ba

27 – 38 + 32 = 21 =

Divisibilidad por 13: Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.

Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,

38 + 32 = 21 =

Divisibilidad por 13 Cuando la suma algebraica del producto de suscifras (de derecha a izquierda) por 1,tivamente, deberá ser múltiplo de 13.

2 21 2

-

1321

940

3

36

77

663

1 ..........


o

133)43()43( abcdefg h -

Si :

1341

134655o

o

1339-43-4)52081(4 -

II. NUMEROS PRIMOS

1. Conceptos Básicos

a) Número Primo o Primo Absoluto:

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divi-sores la unidad y el mismo.

Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

2

3

1

12

3

Es decir Divisores

Divisores

b) Números Compuestos:

Son números que admiten mas de dos divisores.Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc

Es decir


Es decir


Números Compuestos


Es decir

Ejm. 4, 6, 8, 9, 10, 12 ...... etc

3

Números Compuestos

31

3

Números Compuestos:


Divisores

Divisores

DivisoresDivisores

Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos div

Ejm. 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ..... etc

Son números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos divSon números que admiten únicamente dos divisores, siendo estos div


4 4 84Divisores Divisores Divisores1 1 1

2 2 2

4 3 46 8

Nota: La cantidad de divisores de un número compuesto N es:

1primoscompuestoN

cdcdcd

c) Números Primos entre si (PESI):

Es cuando un conjunto de dos o más números admiten como único di-visor común la unidad.Ejm.

4 y 9 (divisor común 1)8, 12 y 15 (divisor común 1)27, 45, 36, 1 (divisor común 1)

Nota:Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma

160

; lo contrario no siempre se cumple.Números primos más famosos, descubiertos por personalida-des (universidades) notables.

- Lucas en 1877 publicó: 2127 – 1, que tiene 39 cifras.- “Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.

Todo número par, es la suma de los números primos.Algo aparentemente cierto.

122n

es primo. FERMAT.- Fórmula de cálculo de los números primos. n2 –n+41

valido únicamente para n y 40n

Regla para determinar si un número es primo o no:

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y apli-cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.

Ejm.

¿ 139 es primo ?¿ 139 es primo ?

iguales a dicha aproximación.

Ejm.

cando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.

Ejm.

¿ 139 es primo ?

Se extrae la raíz cuadrada aproximadamente del numeral dado y aplcando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.

Se extrae la raíz ccando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o

Regla para determinar si un número es primo o no

Se extrae la raíz ccando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores oiguales a dicha aproximación.

uadrada aproximadamente del numeral dado y aplcando la multiplicidad por cada uno de los números primos menores o

Fórmula de cálculo de los números primos. n

valido únicamente para

Regla para determinar si un número es primo o noRegla para determinar si un número es primo o no

Algo aparente

1 es primo. FERMAT.Fórmula de cálculo de los números primos. n

valido únicamente para

Regla para determinar si un número es primo o no

uadrada aproximadamente del numeral dado y apl

Lucas en 1877 publicó: 2“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.

mente cierto.

es primo. FERMAT.

“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.Todo número par, es la suma de los números primos.

mente cierto.

“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.

ros primos más famosos, descubiertos por personalidros primos más famosos, descubiertos por personaliddes (universidades) notables.

Lucas en 1877 publicó: 2127


mente cierto.

es primo. FERMAT.Fórmula de cálculo de los números primos. n

127


; lo contrario no siempre se cumple.ros primos más famosos, descubiertos por personalid

1, que tiene 39 cifras.

ros primos más famosos, descubiertos por personalidros primos más famosos, descubiertos por personalid; lo contrario no siempre se cumple.

ros primos más famosos, descubiertos por personalid

Todo número primo mayor que 3 siempre es de la formaTodo número primo mayor que 3 siempre es de la forma

; lo contrario no siempre se cumple.ros primos más famosos, descubiertos por personalid

127 – 1, que tiene 39 cifras.“Algo probablemente cierto, pero aún no demostrable”.

Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma

ros primos más famosos, descubiertos por personalid

Todo número primo mayor que 3 siempre es de la forma


........,11139

Entonces:

139 =0

2 + 1

139 =0

3 + 1

139 =0

5 + 4

139 =0

7 + 6

139 =0

11 + 7

Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.

2. Teorema Fundamental de la Aritmética

“Todo entero positivo mayor que uno, se puede descomponer como el pro-ducto de factores primos diferentes entre sí, elevados a ciertos exponentes,esta descomposición es única”.Llamado también “Descomposición canónica”

CBAN .. Donde : A, B, C, ......: Factores primos

,, , ..... : Exponentes

Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360

15

154590

180360

533222

=> 360 = 23 . 32 . 5

3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)

a) Cantidad de divisores de un número:Es igual al producto de los exponentes de sus factores primos previa-

a) Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ

3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)3. Estudio de los Divisores de un número entero (N)

a) Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ

Estudio de los Divisores de un número entero (N)

15 5

3

Estudio de los Divisores de un número entero (N)

Cantidad de divisores de un númeroEs igual al producto de los exponentes de sus factores primos previ

=> 360 = 2 . 5


=> 360 = 23 . 32

Donde : A, B, C, ......: Fac

,,Ejm: Descomponer en sus factores primos el número 360

Donde : A, B, C, ......: Fac


Llamado también “Descomposición canónica”

Donde : A, B, C, ......: Fac

, , ..... : Exponentes


Donde : A, B, C, ......: Fac

, ..... : Exponentes


tores primos

Llamado también “Descomposición canónica”Llamado también “Descomposición canónica”Llamado también “Descomposición canónica”

vo mayor que uno, se puede descomponer como el prvo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,


Donde : A, B, C, ......: Factores primos

, ..... : Exponentes

vo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,


vo mayor que uno, se puede descomponer como el prtes entre sí, elevados a ciertos exponentes,


vo mayor que uno, se puede descomponer como el pr

Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.Por lo tanto 139 es primo, por que ninguna división es exacta.


mente aumentados en la unidad.

).........)()(()( 111cd N

Obs: cd(n) = cdcompuesto + cdprimos+1

b) Suma de divisores de un Número:Esta dado pro:

.......1

1

1

1

1

1 111

)( C

C

B

B

A

Asd

N

c) Producto de los divisores de un número compuestoEsta dado por:

)(

)(

Ncd

NNPd

d) Suma de las inversas de los Divisores de un númeroEsta dado por:

N

SdSId

N

N

)(

)(

Hallar Cd(N), Sd(N) , Pd(N) y SId(N) de 12

12 = 22 . 3

cd(N) = ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6

Sd(N) = 282

8.

1

7

13

13.

12

12 23

Pd(N) = 17281212 36

SId(N) =3

7

12

28

III. MAXIMO COMUN DIVISOR Y MINIMO COMUN MULTIPLO

1. Máximo Común Divisor (MCD): Se llama MCD de un conjunto de doso más números enteros positivos, al entero que cumple dos condicio-Máximo Común Divisor (MCD)o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condici


1.


1. Máximo Común Divisor (MCD)Máximo Común Divisor (MCD)o más números enteros positivos, al entero que cumple dos condici

3


=12

28(N) = 12126

SId(N) =3

7

12

28


Máximo Común Divisor (MCD)

= ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6

2.

1

7

1

132

1728

= ( 2 + 1 ) ( 1 + 1 ) = 6

282

8.

7

13

3.

1

1

1728123

de 12y SId(N)(N) de 12

Suma de las inversas de los Divisores de un númeroSuma de las inversas de los Divisores de un número


nes:- Es un divisor común de todos- Es el mayor posible

Ejm:

NUMEROS Divisores12 1, 2, 3, 4, 6, 1218 1, 2, 3, 6, 9, 18

Entonces: MCD (12,18) = 6

Determinación del MCD

i) Por descomposición canónica: MCD es igual al producto de los facto-res primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.

Ejm:A = 22. 32 . 5B = 23. 34 . 52

MCD (A, B) = 22. 32 . 5

ii) Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factorescomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscasólo los factores comunes”.

Ejm.

3-296

181632

MCD (12,18) = 2 x 3 = 6

iii) Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sistemáticoque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.

Ejm. MCD (18,12) = ???

1 2

18 12 66 0

MCD

=> MCD(18, 12) = 6

Ejm. MCD (18,12) = ???

1

12

Ejm. MCD (18,12) = ???

que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.

Ejm. MCD (18,12) = ???

186 0

Ejm. MCD (18,12) = ???

Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sisque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.que se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces el

2

Algoritmo de Euclides o divisores sucesivas: Procedimiento sisque se aplica repetidamente hasta obtener residuo cero; entonces elMCD será el último divisor.

Ejm. MCD (18,12) = ???

318

comunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscalo los factores comunes”.

32

MCD (12,18) = 2 x 3 = 6

Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscacomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca

. 5. 5

Por descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se buscaPor descomposición simultánea: MCD es el producto de los factcomunes extraídos a los números hasta que sean PESI. “Se busca

ción canónica: MCD es igual al producto de los factres primos comunes elevados a los menores exponentes p

ción canónica: MCD es igual al producto de los factres primos comunes elevados a los menores exponentes posibles.

ción canónica: MCD es igual al producto de los facto-sibles.


Ejm2: Hallar MCD de 984 y 264

iv)

MCD (984, 264) = 24

2. Mínimo Común Múltiplo (MCM)Se halla MCM de un conjunto de dos o más números enteros positivosal entero que cumple dos condiciones:

- Es un múltiplo de todos- Es el menor posible.

Ejm:

NUMEROS Divisores12 12, 24, 36, 48, 60, 72 ....18 18, 36, 54, 72,

Entonces: MCD (12,18) = 36

Determinación de MCM

i) Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fac-tores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expo-nentes posibles.

Ejm:A = 22. 35 . 5B = 23. 34 . 52

MCD (A, B) = 23 . 35 . 5 2

ii) Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

3 1 2 1 2984 264 192 72 48 24

192 72 48 24 0MCD

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30Ejm. Hallar el MCM de 18, 24 y 30

A = 2B = 2

MCD (A, B) = 2

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factores

MCD (A, B) = 2

A = 22. 3B = 23. 34 .

MCD (A, B) = 2MCD (A, B) = 2

Por descomposición simultánea: MCM es el producto de factorescomunes multiplicados por los respectivos PESI.

Por descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores exptores primos comunes y no comunes elevados a las mayores expPor descomposición canónica: MCM es igual al producto de los fatores primos comunes y no comunes elevados a las mayores exp


1-1-15-1-15-4-15-4-315-12-930-24-18

54332

MCM = 2 x 3 x 3 x 4 x 5MCM (18, 24, 30) = 360

3. Propiedades de MCD y MCM

Si A y B son PESI, entonces: MCD(A, B) = 1Si A y B son PESI, entonces: MCM(A, B) = A . BEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suMCD y MCM. Es decir

MCD(A,B) . MCM(A,B) = A.B

Sea: A = k Donde: , son PESIB = k

Entonces:MCD(A,B) = kMCM(A,B) = k

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto dedichos enteros no es alterado.

Es decir:MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]

4. Casos especiales

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a-b es 1 ó 2.MCD(a, b) = MCD(a b, m) donde m = MCM(a, b)

MCD(a, b, a+b) =2d

b)ab(adonde d = MCD(a, b)MCD(a, b, a+b) =MCD(a, b, a+b) =

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y aMCD(a, b) = MCD(a

MCD(a, b, a+b) =

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a

Casos especialesCasos especiales

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y aMCD(a, b) =

MCD(a, b, a+b) =

Si a y b son primos entre si, entonces el MCD de a+b y a

MCD(A, B, C) = MCD (MCD(A, B) y MCD (B, C)MCD(A, B, C, D) = MCD [MCD(A, B) y MCD (C, D)]

Casos especiales

por su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto deros no es alterado.


Casos especiales

MCD(a y a+b) = MCD (a y b)

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de

ros no es alterado.

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto deSi un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos

MCM(A,B) = k

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellospor su MCD o su MCM; entonces el MCD o el MCM del conjunto de


Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos

son PESIson PESI

Si un conjunto de enteros positivos se reeplazan dos o más de ellos

El producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de suEl producto de dos enteros positivos siempre es igual al producto de su


PROBLEMAS RESUELTOS (PROPIEDAD DE LOS NUMEROS)

1. Si: 13)2b(bb0aa , Hallar: a+b.

a) 7 b) 8 c) 9 d) 17 e) 18

Solución

134134

13)2(bbb0aa

-

0

132bb3b40a3a402b6a7

b62a7

4 5Entonces:

5

4

b

a9ba Rpta. c

2. Hallar a + b Si: 56a58ab4

a) 6 b) 7 c) 9 d) 8 e) 10

Solución

8

56584 aab

7

Un número es 8 cuando las tres últimas cifras es 8 .

858a

8a580580

58a

a580

Un número es 8 cuando las tres últimas cifras esUn número es

584 aab

Un número es

8

8

8

56

d) 8

8

5658a

7

e) 10e) 10

ba 9ba Rpta. c


8a48

84a4a

Además es 7 cuando:

7a58ab4

2 3 1 2 3 1- +

7a2410ba38

7226 ba

7b826

718 b

4b

8ba Rpta. d

3. Hallar el resto al dividir 71050 entre .

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5Solución

71050

5010 = 5050 3737

= 25252 27737

= 227277 2425 .

= 2177227 883 ..

= 2772177 ).(

= 27Por tanto el resto es 2. Rpta. bPor tanto el resto es 2.

=

= 7

=

=

7

= 37

237 7

c) 3

5010 = 503

=25

7

277 25

entre

d) 4 e) 5

7 .10

Rpta. dRpta. d

71050 entre

d) 4 e) 5


4. Hallar “n”, Si nN 1626 tiene 40 divisores.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 1Solución

n1626Nn43223N ...

nnN 43.2.2.3141 3.2 nnN

por cantidad de divisores(n+1+1)(4n+1+1) = 40

(n+2)(4n+2) = 402(n+2)(2n+1) = 40

(n+2)(2n+1) = 20(n+2)(2n+1) = 4x5

2n Rpta. a

5. Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48y que su suma es 288.a) 96 b) 192 c) 240 d) 288 e) 144Solución

Sean A y B los números:

.

.

kB

kAPESIsonsi ,:

Entonces:MCD(A,B) = 48

k = 48

288BA

6

288)(48

288)k(

288kk

5 155 1

6

288)

288)

B

6

)(48

288)k(

288k

)(

)k(

MCD(A,B) = 48k = 48

288

288

288

son PESI

e) 144

PESIson

Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48Hallar la diferencia de dos números enteros sabiendo que su MCD es 48


A = k = (48)(5) = 240B = k = (48)(1) = 48

A - B = 240 – 48 = 192 Rpta. b

6. Si )7(1019 ...2 bra Hallar “r”

a) 2 b) 6 c) 4 d) 2 e) 8

Solución

)7(1019 ...2 bra Todo número es múltiplo de la base en la cual

está escrito más la última cifra.

r721019

rx 72 23393

r72.2 23393

r74.17 339

r74).17(

r747

r = 4 Rpta. c

7. Si 37a

ab , 57b

ab ; Hallar el residuo de dividir 7ab

aba) 3 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8Solución

37a

ab10

1037

aab

5521002773737

aab

107

aba

ab

10aab

0aab

3 ,b) 5 c) 6

bab

b) 5 c) 6 d) 7Solución

37

Rpta. c

; Hallar el residuo de dividire) 8

Rpta. c

Todo número es múltiplo de la base en la cualTodo número es múltiplo de la base en la cual


= 235 2.27277

= 4774).17(7

= 47

470a

ab ..........

57b

ab .............

Multiplicando y :

5747.0 ba

abab

2070 ba

ab

67ab

ab

r = 6 Rpta. c

8. El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobran 6.¿Cuántas páginas tiene el libro?a) 524 b) 512 c) 534 d) 547 e) 564

Solución

Sea el número de páginas: abc y 600500 abc

67

45

23

abc

67 6

45

Sea el número de páginas:Sea el número de páginas: abc

2

e) 564d) 547

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrse cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobr

d) 547 e) 564

500

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrse cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si

Rpta. c

El número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Sise cuentan de 3 en 3 sobran 2, de 5 en 5 sobran 4 y de 7 en 7 sobrEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. SiEl número de páginas de un libro es mayor que 500 y menor que 600. Si


677

455

233

abc

17

15

13

abc

1)7;5;3(MCMabc

1105abc

1105tabc t = 5, porque 600500 abc

1)5(105abc

524abcRpta. a

9. Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 ve-ces su MCM y que su suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorde dichos números.a) 10 b) 14 c) 20 d) 12 e) 16

Solución

Sean los números:

.

.

kB

kAPESIsonsi ,:

AB = 12 MCM(A;B)k .k = 12 k

k = 12

A + B = 6 MCD(A;B)A + B = 6 MCD(A;B)

AB = 12 MCM(A;B).k = 12 k

k =

.k

k

.

.

kB

kA

AB = 12 MCM(A;B)k .k

A + B = 6 MCD(A;B)

Sean los números:

si :

c) 20

Sean los números:

si ,:

Hallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vu suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor

d) 12


e) 16


Rpta. aRpta. a


d) 12 e) 16

u suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menorHallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 vHallar dos números enteros sabiendo que su producto es igual a 12 v

u suma es igual a 6 veces su MCD. Indicar el menor

abc 600abc


k + k = 6k+ = 6

5 1= 5 y = 1

A = (12)(5) = 60B = (12)(1) = 12

El menor es 12 Rpta. d

10. Hallar “k” sabiendo que: kN )30.(15 tiene 191 divisores que no son

primos. A) 10 B) 14 C) 20 D) 12 E) 16Solución

kN )30.(15kN )5.3.2.(5.3kkkN 2.3.5.5.3

11 5.3.2 kkkN

Sabemos que: 1)( primoscompuestoN CdCdCd

1)( compuestoprimosN CdCdCd

(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291

294)2)(1( 2kk22 7.6)2)(1( kk

k=5Rpta: b


1. Siº

13abc ,º

9ab yº

7ac . Hallar cba .A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16

2. Hallar dos números enteros sabiendo que su máximo común divisores 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar elHallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar elHallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el

abc

A) 12

2. Hallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el

º

9 yB) 13

Hallar dos números enteros s

13 , ab

PROBLEMAS PROPUESTOSº

13abcº

9ab

B) 13

Hallar dos números enteros ses 18, y que uno tiene 10 divisores y el otro 15 divisores. Indicar el

ac


)(

)(1 k

k=5

PROBLEMAS PROPUESTOSº

ac

(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291

294276

compuesto

(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291compuestoprimos Cd

(k+1) (k+2) (k+2) =3 + 291

2942

2

primos

1

Cd 1primosCd

1compuesto

E) 16

tiene 191 divisores que no son

E) 16


menor.A) 120 B) 144 C) 132 D) 162 E) 148

3. Si el número )...432)(432)(432(N (n factores), tiene 130 divi-sores.Hallar “n”.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4. ¿Cuántos divisores tendrá el número 22 )18)(18()12)(12(N ?A) 50 B) 60 C) 90 D) 100 E) 120

5. Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de nN 30 ,sea el doble del número de divisores de nxM 1815 .A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9

6. La cifra de las unidades del número 13401 , es:A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltiplos de3 ni de 7.A) 480 B) 408 C) 264 D) 288 E) 272

8. La suma de los cuadrados de dos números es 676 y uno de los núme-ros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los números.A) 12 B) 14 C) 18 D) 22 E) 24

9. Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, entonces dicha edad es:A) 52 B) 69 C) 72 D) 36 E) N.A.

10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A5 y B5 ?

A) 330 B) 310 C) 300 D) 341 E) 319divisores tendrá el MCD de A

A) 330

sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A

10. Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A

A) 330

B) 69

Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A

Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,

Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 mA) 52 B) 69

Si A y B son números que admiten los mismos divisores primos,sabiendo que A tiene 35 divisores y B tiene 39 divisores. ¿Cuántosdivisores tendrá el MCD de A

A) 330

B) 14

Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 menos uno, eSi la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas

nos uno, e

La suma de los cuadros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm

B) 14

Si la edad que tiene pedro es múltiplo de 2 mas 1, múltiplo de 7 mas6 y múltiplo de 10 m nos uno, e

B) 69 C) 72

C) 264

rados de dos números es 676 y uno de los númros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm

D) 288

rados de dos números es 676 y uno de los núm

C) 264

De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt

C) 264 D) 288

rados de dos números es 676 y uno de los númros es 12 veces el MCD de ellos. Hallar la diferencia de los núm

D) 22

De los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múltDe los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt

D) 4

De los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt

D) 288 E) 272

E) 5

De los 504 primeros números naturales cuántos no son múlt

, es:

E) 9

, es:E) 5

Hallar el valor de “n” para que el número de divisores den18

Hallar el valor de “n” para que el número de divisores de Nn .

E) 9

n30 ,

- 58 -

IVNUMEROS FRACCIONARIOS

Se denomina fracción (llamada también, número fraccionario quebrado onúmero quebrado), a una o varias partes de la unidad dividida en cualquiernúmero de partes iguales.Los términos de una fracción son: numerador y denominador:

f= aabb

NumeradorDenominador

1. Clasificación: Se puede clasificar en:

A. Por comparación de sus términos:

a) Fracciones propias:Son aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es decir:

1b

a

Ejm. etc13

7,

7

2,

5

3

b) Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:

1b

a

Ejm. etc6

13,

5

9,

3

4

c) Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella enFracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en

c)c) Fracciones iguales a la unidad:Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en

6

13,

5

9,

3

Fracciones iguales a la unidad:

Ejm.4

la que el numerador es mayor que el denominador es decir:la que el numerador es mayor que el denominador es decir:

1b

a

Ejm.9

,3

4

Fracciones iguales a la unidad:Son aquellas cuyo valor es igual a la unidad, o también, aquella en

Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:la que el numerador es mayor que el denominador es decir:

13

Fracciones Impropias:Son aquellas cuyo valor es mayor que uno, o también, aquella enla que el numerador es mayor que el denominador es decir:

que el numerador es menor que el denominador es deque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es deque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laque el numerador es menor que el denominador es deSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en laSon aquellas cuyo valor es menor que uno o también aquella en la

Números Fraccionarios 59

la que el numerador y el denominador son iguales, es decir: 1b

a

Ejm. etc7

7,

8

8,

5

5

B. Por su denominador:

a) Fracciones ordinarias o comunes:Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.

Es decir n,10b:si;b

a n

Ejm. etc,5

7,

3

14,

17

5

b) Fracciones Decimales:Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Es decir n,10b:si;b

a n

Ejm. etc,1000

63,

100

12,

10

7

c) Por la comparación de los denominadores:a) Fracciones Homogéneas:

Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

fdb:sif

e,

d

c,

b

a

Ejm. etc6

13,

6

1,

6

7,

6

5

b) Fracciones Heterogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son diferentes: Es de-cir:

Ejm.

b)b)

5

Fracciones HomogéneasSon aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

f

e,

d

c,

asi

Por la comparación de los denominadoresFracciones HomogéneasSon aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

f

e

d,

b

a

5

etc,1000

Por la comparación de los denominadoresFracciones Homogéneas

Por la comparación de los denominadores

1000etc

1000

63

Por la comparación de los denominadoresFracciones Homogéneas:Son aquellas cuyos denominadores son iguales; es decir:

Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.Son aquellas cuyo denominador es una potencia de 10.

Son aquellas cuyo denominador es diferente a una potencia de 10.


fdb:sif

e,

d

c,

b

a

Ejm. etc5

2,

7

4,

3

5

d) Por la Relación de los Divisores de sus Términos:a) Fracciones Reductibles:

Son aquellas fracciones donde numerador y denominadorse pueden simplificar .

Es decirb

a

kb

kasi 1k

Ejm : *3

2

12

8*

3

2

39

26

b) Fracciones Irreductibles:Son aquellas fracciones donde los términos son PESI.

Es decir: :b

asi a, b no tienen divisor común.

Ejm. etc53

16,

31

15,

7

3

NOTA:Se llama fracción equivalente, cuando una fracción esequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.

*15

9

5

3

*5

1

20

4

Se llama Número Mixto, a aquel que tiene parte entera yparte fraccionaria.parte fraccionaria.

20

4

Se llama

*

*

Se llamaparte fraccionaria.

1

Se llamaequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:

15

9

Se llama fracción equivalenteequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sustérminos son diferentes:Ejm.

*155

3

1

etc

fracción equivalente

53etc

53

16

fracción equivalente, cuando una fracción esequivalente a otra cuando tiene el mismo valor pero sus

si a, b no tienen divisor común.si a, b no tienen divisor común.

acciones donde los términos son PESI.

si a, b no tienen divisor común.

acciones donde los términos son PESI.acciones donde los términos son PESI.

Son aquellas fracciones donde numerador y denominador


Ejm: tc5

37,

8

36,

5

43 e

2. MCD y MCM de Números Fraccionarios:

1° El MCD de varias fracciones irreductibles es igual al MCD delos numeradores entre el MCM de los denominadores.

2° El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-dores entre el MCD de los denominadores.

3. Número Decimal:Representación lineal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y

parte decimal.

Ejm.

14,325Parteentera

Comadecimal

Partedecimal

Clasificación de los Números Decimalesa) Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de ci-

fras.Ejm: 0,2 ; 0,325 etc

b) Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de ci-fras.

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc

Los Números Decimales Inexactos pueden ser:

i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente des-pués de la coma decimal.Ejm:

0,3333 ....... = 0,3

0,878787.... = 0,87

ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma decimal.

ii) Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma d

pués de la coma decimal.

0,3333 ....... =

0,878787.... =

pués de la coma decimal.Ejm:

i) Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.Ejm:

0,3333 ....... =

0,878787.... =

Periodo Mixto: Cuando el periodo empieza de una cifra (o grupo)cifra(s) después de la coma d

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc


Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente de

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc


Periódico Puro: Cuando el periodo empieza inmediatamente depués de la coma decimal.

Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc

Números Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de cNúmeros Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de cNúmeros Decimales Inexactos: Cuando tiene un número ilimitado de c

Ejm: 0, 33 ........ ; 0, 3222 . . ... etc


Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cClasificación de los Números Decimales

Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cClasificación de los Números Decimales

Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de c


Números Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de cNúmeros Decimales Exactos: Cuando tiene un número limitado de c

neal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y

El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numer

neal de una fracción. Consta de dos partes: parte entera y

El MCM de varias fracciones irreductibles es igual al MCM de lo numera-


Ejm:

0,3424242 .... = 0,342

0,345333 ....... = 0,3453

Conversión de Decimales a Fracción

a) Números Decimales Exactos:La fracción será igual al número formado por las cifras decimales divididaentre la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales.

Si abc,01000

abcabc0,

Ejm.

*100

3232,0

*1000

452452,0

b) Números Decimales Inexactos:i) Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado por

las cifras del periodo dividido entre tantos nueves como cifras ten-ga el periodo.

Si: 0,abc 0,abc999

abc

Ejm:

0,32 =99

32

0,4 =9

4

ii) Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica en-tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte no periódicas.

Si: 0,abc 0,abc990

aabc

Ejm:

Si: 0,abc

Ejm:

Si: 0,abc

Ejm:

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica etre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantosceros como cifras tenga la parte

0,abc

tre tantos nueves como cifras tenga el periodo seguida de tantos

99

9

4

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado por

99

32

=9

Periódico Mixto: La fracción esta dada por el número formado portodas las cifras de la parte decimal menos la parte no periódica e

999

dido entre tantos nueves como cifras te

999

abc

Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras tedido entre tantos nueves como cifras tedido entre tantos nueves como cifras te

Periódico Puro: La fracción está dado por el número formado pordido entre tantos nueves como cifras te





0,342 =990

339

990

3342

0,385 =900

437

900

48485

PROBLEMAS RESUELTOS (NUMEROS FRACCIONARIOS)

1. Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?

A) 34 B) 5

3 C) 21 D) 9

4 E) 32

Solución:

Sea la fracción:b

a

Por dato:b

a

b

a

bb

ba

4

4

b

a

b

ba 2

5

4

a + 4b = 104b =9a

a = 4b = 9

9

4

b

a

Rpta: D

2. Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo; y los 3

2 menos 15

litros, son de agua.¿Cuántos litros son de agua?

A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6A)15

2.

A) 2

de un barril más 6 litros, son de petróleo


3Los 53 de un barril más 6 litros, son de petróleo


2 B) 2

b = 9

4b =9a

a = 4b = 9

b

a

ba + 4b = 10

b

a2

a + 4b = 10

Si a dos términos de una fracción ordinaria reducida a su más simpleexpresión se le suma el cuádruple del denominador y al resultado se leresta la fracción, resulta la misma fracción. ¿Cuál es la fracción original?


Solución

PetróleoB 653 Donde: B es el contenido total del barril.

aguaB 1532

Entonces:Petróleo + agua = B

B15B3

26B

5

3

B93

B2

5

B3

Multiplicando la Ec. anterior por 15:

9B + 10B - 135 = 15B4B = 135

4

135B

152

45Agua

154

135

3

2Agua

15B3

2Agua

2

15Agua

Rpta. A

3. Si la fracción generatrizab

1genera el número decimal ba )1(0,0 .

Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11 D) 12 E) 8

Solución:

baab

)1(0,01

Solución:

A) 10

Solución:

Hallar el valor de “a+b”.C) 11

Hallar el valor de “a+b”.B) 9

Si la fracción generatriz

Hallar el valor de “a+b”.A) 10 B) 9 C) 11

Solución:

2

Si la fracción generatrizab

1genera el número decimalSi la fracción generatriz

abgenera el número decimal

Hallar el valor de “a+b”.

Rpta. A


999

)1(1 ba

ab

999)1(. baab

2737)1(. baab

a = 3 b = 7

a + b = 10 Rpta. A

4. Hallar S, Si: ......7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432

S

A) 215 B) 152 C) 315 D) 153 E) 6

Solución:

......7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432

S

S

S ......7

2

7

1

7

2

7

127

7

14322

SS 949

1

SS 949

48

9S

16

3S

Rpta. B

5. Si se cumple:

5207

8;

14

5;

7

13 kkkMCM Calcular k + 1

A) 6 B) 4 C) 8 D) 7 E) 9A) 6

5.

A) 6

Si se cumple:

5;

7

13 kkMCM

Si se cumple:Si se cumple:

13MCM

B) 4

S 9

48

9

S9

48S

777 2 7

214

2

77

S

......2

7

13

............


Solución:

5207

8;

14

5;

7

13 kkkMCM

520)7;14;7(

)8;5;13(

MCD

kkkMCM

5207

.8.5.13 k

5207

520k

k = 7k + 1 = 8

Rpta. C

6. ¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dostérminos, su denominador?

A) 41 B) 132 C) 51 D) 135 E) 92Solución:

Sea la fracción:b

a

b

a

bb

ba3

b

a

b

ba 3

2aba 6ab 5

5

1

b

a

Rpta. C

7. A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C en 4 días; A y C en 5 días.¿En cuántos días pude hacerlo A trabajando sólo?

A) 1735 B) 17100 C) 17143 D) 17120 E) ..AN1735 B)

A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude haceA y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude hace

A) 35 B)100

A y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude haceA y B pueden hacer una obra en 3 días; B y C e¿En cuántos días pude hace

100

ba

ab 5

1

bbab 6a5

5b

a

b

E) 2

¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos

Rpta. C

¿Cuál es la fracción ordinaria que resulta triplicada al agregar a sus dos


Solución:

Analizando sobre lo que hacen en 1 día:

A + B =3

1……

B + C =4

1…….

A + C =5

1…….

Sumando miembro a miembro las Ec. , y :

2A + 2B + 2C =60

47

120

47

4/1

CBA

120

47

4

1A

4

1

120

47A

120

17A

Para “A”:

1 día ---------------120

17de la obra

x --------------- 1

120

171

x

17

120x

Rpta . D

8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:Hallar8. Hallar la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:la suma de las cifras diferentes de la parte decimal del número:

Para “A”

x

x

120

44

120

17

---------------


271413

7777N

A) 5 B) 6 C) 4 D) 8 E) 9

Solución

271413

7777N

33333

7777N

333333

37777N Multiplicando por 3 al numerador y denominador

99999

23331N

23331,0N

diferentescifras = 2 + 3 + 1 = 6.

Rpta. B

9. Si 1,01

TAy ARITME

T

A,0

Hallar el valor de: M + E + R + I

A) 24 B) 12 C) 140 D) 18 E) 22

Solución

9

11

TAA + T = 9

Analizando: ARITMET

A,0

Vemos que A < T y además es equivalente a periódico puro.Podemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B

es:

Vemos quePodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B

es:

Analizando:

Vemos que

Analizando:

Vemos quePodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B

es:

T

A0

A < T

9

1

9

1

T

Analizando:A

Vemos que A < TPodemos comprobar que los únicos valores que puede tomar A y B

C) 140

A + T = 9

C) 140 D) 18

A + T = 9

ARITME0 ARITME,0

Hallar el valor de: M + E + R + I

E) 22

= 2 + 3 + 1 = 6.

Rpta. BRpta. B

Multiplicando por 3 al numerador y denom nador


A = 2 y B = 7

Entonces: 285714,07

2

R = 8I = 5M = 1E = 4

M + E + R + I = 1 + 4 + 8 +5 = 18.Rpta. D

10. Las fraccionesbb

aa;

).(.

).(.

abAC

baACson equivalentes, además la fracción

propiaa

bes irreductible.

Hallar: a – b

A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 3

Solución

).(.

).(.

abAC

baAC

bb

aa

ab

ba

bb

aa

100

100

)100.()100.( babbabaa

Entonces tenemos que : a + b = 10

Comoa

bes irreductible y b<a obtenemos que:

a = 7b = 3

a – b = 7 – 3 = 4. Rpta. C

b = 3

aa

Entonces tenemos que :

Como

bb

aa

100.(aa

Entonces tenemos que :

Como

a = 7b = 3

).(

)

ab

ba

ab

ba

C .(.

).(.

abAC

baAC

100

100.(bb

E) 3

son equivalentes, además la fracciónson equivalentes, además la fracciónson equivalentes, además la fracción

Rpta. D



1. Tres hermanos hacen una colecta para reunir fondos. El primerocolectó 5/24; el segundo 3/10 y el tercero 1/5. ¿Qué fracción aúnles falta?.A) 24/7 B) 1/24 C) 5/7 D) 7/24 E) N.A.

2. Simplificar:34,023,0

3,02,0E ; el resultado es:

A) 15/43 B) 20/34 C) 25/34 D) 30/34 E) N.A.

3. ¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomina-dor de la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?A) 2/5 B) 3/5 C) 5/2 D) 5/3 E) 1/5

4. Hallar ...7

2

7

1

7

2

7

1

7

2

7

165432

S

Se obtiene:A) 3/8 B) 3/16 C) 1/16 D) 3/32 E) 1/32

5. Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:43/5a ; 31/4b ; 17/2c ; 73/10d

A) a,c,d,b B) a,c,b,d C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c

6. ¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de

la formaba

ab?

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

7. ¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayo-res que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas frac-ciones sean irreductibles?A) 5 B) 8 C) 11 D) 13 E) 15ciones sean irreductibles?A) 5

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyosciones sean irreductibles?A) 5

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyos denominadores sean 120 y además dichas fraciones sean irreductibles?

B) 8

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyos

ba

B) 2

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y mayres que 4/5 cuyosciones sean irreductibles?

B) 8

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y may

¿Cuántas fracciones equivalentes a 45/153 existen tal que sean de

C) 3


ba?

B) 2 C) 3

¿Cuántas fracciones existen que sean menores que 11/12 y may

Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:17 ; d

C) d,b,c,a D) c,a,b,d


/10D) c,a,b,d

2Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:

17/2 7310d

C) d,b,c,a D) c,a,b,d E) a,b,d,c


Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:

E) a,b,d,c

D) 3/32 E) 1/32

Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:

D) 3/32

...

D) 3/32 E) 1/32

Dadas las fracciones ordinarias irreductibles:73

E) 1/5

¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomin la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?

¿Qué fracción se le debe disminuir al numerador y al denomin la fracción 11/37 para que sea equivalente a 2/7 ?


8. Si:

período

ba2857148,0

75Hallar a + b

A) 4 B) 5 C) 8 D) 12 E) 13

9. Calcular el valor de X en:(0,6969...)X + (0,43838...)X = 1,13636...A) 4/13 B) 6/13 C) 9/13 D) 7 E) 1

10. Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-do de dos cifras que difieren 5 unidades. Hallar la suma de lostérminos de dicha fracción si es la mayor posible.A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 2E) 2

Una fracción de denominador 11 genera un decimal con un perio-

- 72 -

VRAZONES Y PROPORCIONES

I. RAZONES:

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia opor medio de un cociente.

1. Razón Aritmética: Es la razón por diferencia

Antecedente – consecuente = Razón Aritmética s

Ejm. 12 – 4 = 8

2. Razón Geométrica: Es la razón por cociente

GeométricaRazónuenteseccon

eAntecedent

Ejm. 34

12

II. PROPORCIONES: Es la comparación de dos razones iguales ya seanaritméticas o geométricas.1. Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas dadas.

Sabiendo que: a – b = r y c – d = r

Entonces: a – b = c – d

Donde:

a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentesa y c: antecedentesb y d: consecuentes

a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes


a y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentes

a y d: extremos

Entonces: a

Donde:


Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas d

b = r y c

c – d

Es la comparación de dos razones iguales ya sean

Proporción Aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas d

b = r y c – d = rSabiendo que: a – b = r y c

– b = c

Es la comparación de dos razones iguales ya sean

Es la igualdad de dos razones aritméticas d

Es la comparación de dos razones iguales ya seanEs la comparación de dos razones iguales ya sean

Es la igualdad de dos razones aritméticas d

n por cocienten por cociente

: Es la razón por diferencia

Es el resultado de comparar dos cantidades por medio de una diferencia o

Razones y Proporciones 73

Clases de proporción Aritmética

i) Proporción Aritmética Continua: Los términos medios son igua-les.

Ejm. 8 – 6 = 6 – 4 Donde:6: Media aritmética de 8 y 44: Tercera diferencial de 8 y 4

ii) Proporción Aritmética Discreta: Los cuatro términos son diferen-tes.

Ejm: Donde:

12 – 8 = 6 – 2 2: cuarta diferencial.

2. Proporción Geométrica: Es la igualdad de dos razones geométricas

dadas sabiendo que: kb

ay k

d

c

Entonces:d

c

b

aDonde:


Clases de proporción Geométrica

i) Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.

Ejm.9

3

3

1Donde:

alproporcionTercera:9 y1

alproporcionMedia:3

ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferen-tes:

Ejm.5

20

3

12Donde: alproporcionCuarta:5Ejm.Ejm.

Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere

12

ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere

Ejm.3

ii) Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son diferetes:

Ejm.3

12

Proporción Geométrica Discreta: Cuando los términos son difere

Proporción Geomiguales.

Donde:3


Proporción Geométrica Continua: Cuando los términos medios soniguales.

9

31Donde:

y1

b y d: consecuentes


b y d: consecuentes

b y c: mediosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes


étrica Continua: Cuando los términos medios son

b y d: consecuentes

a y d: extremos

a y c: antecedentesb y d: consecuentes

b y c: mediosb y c: mediosa y d: extremosb y c: mediosa y d: extremosb y c: mediosa y c: antecedentesb y d: consecuentes

: Es la igualdad de dos razones geométricas: Es la igualdad de dos razones geométricas

Los cuatro términos son diferen-n-


Propiedades de Proporción Geométrica

Si:d

c

b

aes una proporción Geométrica;

Entonces:

*d

dc

b

ba

*cd

c

ab

a

*db

db

ca

ca

*d

c

b

a

db

ca

Serie de Razones Geométricas Iguales:

Se llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.Sean:

kb

a.......

b

a

b

a

b

a

b

a

n

n

4

4

3

3

2

2

1

1

Donde:a1, a2, a3, ....an : antecedentesb1, b2, b3, ....bn : consecuentes

k : constante de proporcionalidadSe cumple que:

* kb.......bbb

a.......aaa

n321

n321

* n

n321

n321 kb.........b.b.b

a........a.a.a

PROMEDIO:

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carac-terística ser mayor que el menor de ellos pero menor que el mayor.Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara

rística ser mayor que el mEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara

rística ser mayor que el m

PROMEDIO:

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la carateEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara

rística ser mayor que el mEs un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cara

32 ........b.

PROMEDIO:

Es un valor representativo de otras varias cantidades que tiene la cararística ser mayor que el m

b.......

.......

n

n

n

n kb

a.

k : constante de proporcionalidad

kb

a

n3

n

n

n

3

b........

.......

: antecedentes: consecuentes

k : constante de proporcionalidadk : constante de proporcionalidad


bn


k : constante de proporcionalidad

kan

llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.

kn

llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.llama así al conjunto de más de 2 razones que tiene el mismo valor.


CLASES

MEDIA ARITMÉTICA (Ma).- Es aquel promedio que proviene dela suma de “n” cantidades divididas entre “n”.

n

aaaaMa n...321

Para 2 números a y b:2

baMa

MEDIA GEOMÉTRICA (Mg).- Es aquel promedio que provienende la raíz enésima del producto de “n” cantidades.

nnaaaaMg ..... 321

Para 2 números a y b: abMg

MEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritméticade las inversas de las “n” cantidades dadas.

naaaa

nMh

1...

111

321

Para 2 números a y b:ba

abMh

2

PROPIEDADES

Sean varios Sean varios números; se calcula la Ma, Mg y Mh dedichos números; siempre:

Ma > Mg > Mh

dichos números; siempre:dichos números; siempre:

PROPIEDADES

Sean varios Sean varios núdichos números; siempre:

PROPIEDADES

Para 2 números a y b:

PROPIEDADES

Sean varios Sean varios núdichos números; siempre:

Ma > Mg > Mh

aa 32

Para 2 números a y b: Mh

a...

1

3

Para 2 números a y b: Mh

tidades dadas.tidades dadas.Es la inversa de la media aritméticaMEDIA ARMONICA (Mh).- Es la inversa de la media aritmética

de las inversas de las “n” cantidades dadas.tidades dadas.Es la inversa de la media aritmética

tidades dadas.Es la inversa de la media aritmética

ab

Es la inversa de la media aritméticatidades dadas.

Es aquel promedio que provienenEs aquel promedio que provienenEs aquel promedio que provienen


Sean 2 números, y hallando su Ma y Mh siempre:A x B = Ma x Mh

Se cumple:

Mg = MhMa.

La diferencia entre la media aritmética y la media geométrica de 2números A y B está dado por:

)(4

)( 2

MgMa

BAMgMa

PROBLEMAS RESUELTOS (RAZONES – PROPORCIONES Y PROMEDIOS)

1. Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se al-tere. Hallar el mayor de los números.

A) 143 B) 169 C) 134 D) 196 E) 186

SoluciónSean los números a y b.

13

11

b

a

kb

ka

13

11

Por dato del problema:

13

11

2

143

b

a

13

11

13.2

14311

k

k

112

)13(11

k

k

kk 21313k

13.2

11

(11 k

11

k


13

11143

b


13

11

2b

a

11143k

D) 196D) 196

k

E) 186

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se

E) 186

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se

PROPORCIONES Y PROM

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,

PROPORCIONES Y PROM

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,entonces el otro deberá duplicarse para que el valor de la razón no se

EDIOS)

Dos números son entre sí como 11 es 13. Si al menor se le suma 143,

PROPORCIONES Y PROMEDIOS)

2


Entonces: El mayor es: b = 13kb = 13.(13)b = 169

Rpta. B2. La razón geométrica entre dos números cuya suma es 65, se invierte si

se añade 17 al menor y se quita 17 al mayor. ¿Cuál es el menor de di-chos números?A) 24 B) 25 C) 28 D) 29 E) 31

SoluciónSean los números a y b: donde b es mayor que a.

a + b = 65por dato:

a

b

b

a

17

17

por propiedad:a

ab

b

ba

17

1717

a

ba

b

ba

17

ab 1717ab

Además:a + b = 65

a + a + 17 = 652a = 48

a = 24b = 41

menor número es 24

3. Cuál es la diferencia entre los extremos de una proposición continúa, sila suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferen-cia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 16Solución

Sea la proporción:d

b

b

aa – d = ???Sea la proporción:Sea la proporción:

la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?

B) 10Solución

la suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?A) 9

Cuál es la diferencia entre los extremos de una propla suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?A) 9 B) 10Solución

Sea la proporción:

cia de los dos primeros términos es 3?

Cuál es la diferencia entre los extremos de una prop

menor número es 24

Cuál es la diferencia entre los extremos de una propla suma de sus cuatro términos es 36 y la razón entre la suma y diferecia de los dos primeros términos es 3?

a + b = 65a + a + 17 = 65

2a = 4824

a + b = 65a + a + 17 = 65

17a

a + b = 65a + a + 17 = 65

2a = 48

a

a

a

17

a


Datos: 362 dba y 3ba

ba

3ba

ba

a = 2b

d

b

b

a

d

db

b

ba

b

ba

db

dba 2

b

bb

db

236

336

db

12db

d

b

b

a

d

db

b

ba

b

ba

db

dbba

b

bb

db

da 2

b

bb

db

da 2

112

da

12daRpta. C

12da

112

a

a

db

a

12

da

a

b

b

d

2

b

bb2

d

bb

db

2

bd

d 2

bb


4. Si:2

1

S

O

O

N

D

U, 15SN y 14OD .

Hallar: ONU

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13

Solución

Multiplicando 2° y 3° razón:2

2

1

.

.

SO

ON

4

1

S

N

4

41

S

SN

4

515

S

12S

3N

Sabemos que:

2

1

O

N

D

U

2

1

OD

NU

2

1

14

3U4U

Además:

2

1

S

O

Además:

D

U

U

N

2

1N

123N


2

1

12

O6O

13634ONU Rpta. E

5. Si: 2kf

e

d

c

b

a2

2

k

Rbde (R>0)

Hallar acf

A) 17 B) 16 C) 15 D) 14 E) 13Solución

2kf

e

d

c

b

a, 2.kfe

Por dato:2

2

k

Rbde

2

22..

k

Rkfbd

4

2

.k

Rfbd

Entonces:422 ... kbdffdkbkacf

= Rkk

R 22

2

Rpta. E

6. Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200 D) 500 E) 600Solución

kcba

8544

A) 20 B) 300 C) 2Solución

54

número menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2

c

Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2

Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 2Solución

ba

5

A) 20 B) 300 C) 200

=k

R2

Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar el

2 .dkbk

kR 2

2

=

Tres números están en relación de 4, 5 y 8 respectivamente. Hallar elnúmero menor, sabiendo que la suma de los 3 es 850.A) 20 B) 300 C) 200

bdf 4.kbdf


kc

kb

ka

8

5

4

Por dato:850cba

850854 kkk

85017k

50k

El menor es: 200)50(44ka

Rpta. C

7. La media geométrica de dos números es 26 ; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se pi-de encontrar los números.

A) 10 y 12 B) 11 y 13 C) 12 y 6 D) 11 y 12 E) 10 y 11

Solución

Sean los números a y b:

Por dato:

1

26

xM

xM

M

a

h

g

Donde:

aritméticamediaM

armónicamediaM

geométricamediaM

a

h

g

:

:

:

Entonces:

26gM

26ab22

26ab

72ab

Propiedad: abMM ah .

98)1.(

72)1.(

xx

xx

8x

Entonces:

ab 6

Entonces:

gM

ab2

ab

ab

1

Donde:Donde:

Sean los números a y b:Sean los números a y b:

26

x

x Donde:

M

MM h :

mediaM g : media

D) 11 y 12

mediaM

mediaM

h

g

:

D) 11 y 12D) 11 y 12

armónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p

D) 11 y 12

armónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p

E) 10 y 11

; sabiendo que su media

Rpta. C

; sabiendo que su mediaarmónica y su promedio aritmético son dos enteros consecutivos, se p

; sabiendo que su media


2

baM a

21

bax

29

ba

18ba

Resumiendo: 1872 baab

6

12

b

aó

12

6

b

a

Rpta. C

8. Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una

media geométrica de .1203 Además, se sabe que el producto bc = 30.La media armónica de estos números es:

A) 73320 B) 75350 C) 74360 D) 35075 E)

36073

Solución:

5aM

15

53

cba

cba

3 120gM

33 120abc

120abc

30bc

Entoces: 120abc

12030.a

4a

12030

Entoces:

abc

M gM

3 abc

abc

bc

Entoces:

15cb

120

120

15

5

ba

c

3 120M

3 120

D)74 D) 75 350

Además, se sabe que el producto bc = 30.

Tres números enteros a, b y c; tienen una media aritmética de 5 y una


E)



Rpta. CRpta. C




reemplazando b + c = 11

Resumiendo: 3011 bccb

5

6

c

bó

6

5

c

b

Finalmente:

cba

hM111

3

abacbc

abcM h

3

242030

)120(3hM

74

360hM Rpta. C

9. La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediageométrica en 936. Hallar la suma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19Solución:Sea N = a3 el número buscado. Su raíz cúbica de a3 es : aDel enunciado:

936MgMa

936.2

33

aaaa

9362

23

aaa

9362

2 23 aaa

18722 23 aaa

1872)12( 2 aaa22 1213)1( xaa

13a

2

)12a2)1(a

3a

3

2

aa

2 2a

2( 2aa

(aa

1872

2aa

9362a

.a

9362

9362aa

1872

936936

el número buscado. Su raíz cúbica de ael número buscado. Su raíz cúbica de a

ma de las cifras del número.ma de las cifras del número.A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

el número buscado. Su raíz cúbica de a

ma de las cifras del número.

es : a

La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediaLa Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su mediama de las cifras del número.

19

La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su media

Rpta. CRpta. C

La Media aritmética de un número y su raíz cúbica excede a su media


N = a3

N = 133 = 2197

Finalmente: 197912cifras

Rpta. E

10. Sabiendo quea

a

a

a

b

a

a

a 1

y que la suma de los términos de esta propor-ción es 144. Calcular el valor de la media proporcional.A) 16 B) 27 C) 32 D) 9 E) 25

Solución:

???aa

*a

a

a

a

b

a

a

a 1

a

a

a

a

b

a

a

aa .

aa aba.

a

ab

aa

* Por dato del problema:1441 aaaa baaa

1442.a

aaaa

aaa

1441

2a

aa a

144122

a

aaa a

a

12

a

a

a 2a a

2aa a

Por dato del problema:ab

144a

a a

Por dato del problema:144

1442a

a a

1441

r-


144)1(

.2

a

aa a

222 4.3)1.(aa aa

==> a = 3

2733aaRpta. B


1. Dos números son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-nor?A)90 B)75 C)60 D)40 E)45

2. Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo quecobra y lo que gasta esta en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe ga-nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?A)18 B)36 C)64 D)72 E)74

3. La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor delos números?A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

4. ¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción con-tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16

5. Si: b+c=a+54 ydcba

11753

Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70

5.5.

Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70

B)10 C)12 D) 14 E) 16

Si: b+c=a+54 y

y la diferencia de los primeros términos es 3?A)9

tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumatinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?A)9 B)10 C)12 D) 14 E) 16

Si: b+c=a+54 y

Hallar el valor el valor de “d”A)60 B) 48 C)45 D)66 E)70

A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción cotinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?tinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la suma

A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

¿Cuál es la diferencia entre los extremos de una proporción cotinua si la suma sus cuatro términos e 36 y la razón entre la sumay la diferencia de los primeros términos es 3?

B)10 C)12 D) 14 E) 16

La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor de

A)15 B)10 C)16 D)4 E)14

La suma , la diferencia y el producto de dos números están en lamisma relación que los números 4, 2 y 15. ¿Cuál es el mayor deLa suma , la diferencia y el producto de dos números están en la

D)72


A)15 B)10 C)16 D)4 E)14


en la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe gnar Juan para que sea el doble de lo que gasta?

E)74nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?

Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queLo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g

nar Juan para que sea el doble de lo que gasta?D)72 E)74

La suma , la diferencia y el producto de dos números están en la

Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g

E)45E)45

Lo que cobra y lo gasta diariamente Juan suman S/.90, si lo queen la relación de 3 a 2.¿Cuánto debe g

s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el m

s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el m

s son proporcionales a 2 y 5. Si se aumenta 175 a unaellos y 115 al otro se obtienen cantidades iguales. ¿Cuál es el me-


6. En un aula de CEPU del canal 04 antes del receso el número dehombres es al número de mujeres como 9 es a 5. Si después delreceso, hay 8 varones y 4 mujeres menos con lo cual la razón dehombres a mujeres es 7/4. Hallar cuantas mujeres habían antesdel receso.A)15 B)16 C)18 D)19 E)20

7. La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene másde 59 años. ¿cuál es la edad mínima que podría tener una de ellas?A)51 B)50 C)53 D)52 E)54

8. La media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticade los 25 números.A)27 B)50 C)60 D)54 E)N.A.

9. Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media ge-ométrica y por su media armónica se obtiene 256.A)6 B)4 C)8 D)12 E)6,5

10. Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad secumple:Ma3 x Mh3 = 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10

= 4096¿Cuál es el valor de la Ma?A)6 B)7 C)8 D)5 E)10

Si para 2 números enteros diferentes entSi para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad seSi para 2 números enteros diferentes ent

métrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.

Si para 2 números enteros diferentes entre sí y de la unidad sere sí y de la unidad se

parte de su producto, por su media aritmética, por su media gmétrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.métrica y por su media armónica se obtiene 256.

parte de su producto, por su media aritmética, por su media gmétrica y por su media armónica se obtiene 256.

Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaHallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media g

métrica y por su media armónica se obtiene 256.

re sí y de la unidad se

Hallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media gHallar la media geométrica de 2 números sabiendo que la cuartaparte de su producto, por su media aritmética, por su media g

aritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticaLa media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritméticaLa media aritmética de 10 números diferentes es 45 y la mediaaritmética de otros 15 números es 60. Hallar la media aritmética

La edad promedio de 3 personas es 56 años. Si ninguno tiene más

- 87 -

VIREGLA DE TRES

La Regla de tres puede ser: simple o compuesta.

1. Regla de 3 simple:

Intervienen tres cantidades conocidas (datos) y una desconocida (Incógni-ta). Puede ser:

- Directa- Indirecta

a) Regla de 3 simple Directa:

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pro-porcionales.

Método 1: Aplicando la definición de magnitud directamente propor-cional.

A

BCx

x

C

B

A

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será en“aspa”.

A ----- BC ----- x

Ax = BCA

BC x

b) Regla de 3 Simple Inversa

Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente pro-porcionales.

Método 1: Aplicando la definición de magnitud inversamente propor-cional.Método 1cional.Método 1cional.

Regla de 3 Simple Inversa

Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente prporcionales.

Regla de 3 Simple Inversab) Regla de 3 Simple Inversa

Es el resultado de comparar 2 magnitudes, que son: Inversamente prporcionales.

Método 1:

----- x

Ax = BC xA

BC

----- Bx

Ax = BCA

BC x

Regla de 3 Simple Inversa

Una vez planteado el problema la multiplicación será enUna vez planteado el problema la multiplicación será en

A

BC

Una vez planteado el problema la multiplicación será enUna vez planteado el problema la multiplicación será en

Aplicando la definición de magnitud directamente propoAplicando la definición de magnitud directamente propoAplicando la definición de magnitud directamente propo

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr

Aplicando la definición de magnitud directamente propo

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente prEs el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr

Aplicando la definición de magnitud directamente propo

Es el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente prEs el desarrollo de comparar 2 magnitudes que son: directamente pr

da (Incógnda (Incógni-


C

ABx.xC.BA

Método 2: Una vez planteado el problema la multiplicación será ensentido paralelo.

A ----- BC ----- x

AB = C xC

AB x

Método Práctico:

Si las cantidades proporcionales van de más a màs o de menos a me-nos, la regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más laRegla es Inversa.Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-to. Si es R3SI; se multiplican los datos del supuesto y se dividen entreel otro dato del problema.

x =

x =

BC

AB

A

C

Directa:

Inversa:

A B

C X

2. Regla de 3 Compuesta

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitu-des y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnitu-des mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar elvalor desconocido de la segunda serie de valores.

Método 1: “Ley de los signos”

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma columna.Se compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente resultado.Si son directamente proporcionales arriba (-) y abajo (+)Si son inversamente proporcionales arriba (+) y abajo (-)

magnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionalesSi son inversamente proporcionales

misma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente r

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente rmagnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionalesSi son inversamente proporcionales

: “Ley de los signos”

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente r


Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a una

lor desconocido de la segunda serie de valores.lor desconocido de la segunda serie de valores.

Método 1: “Ley de los signos”

Se colocan los datos de manera que los valores pertenecientes a unamisma magnitud estén en una misma coSe compara la magnitud donde se encuentra la incógnita y las demásmagnitudes con el siguiente rSi son directamente proporcionales

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitdes y una segunda serie de “nes mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar ellor desconocido de la segunda serie de valores.lor desconocido de la segunda serie de valores.

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnitdes y una segunda serie de “n-1” valores correspondientes a las magnites mencionadas. La finalidad de la regla 3 compuesta es determinar ellor desconocido de la segunda serie de valores.


x = ABC

A

x = AB

A

Es cuando al dar una serie de “n” valores correspondientes a “n” magnit1” valores correspondientes a las magnit

BC

upuesto y se dividen entreSi es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro d

upuesto y se dividen entre

; si van de más a menos o de menos a más la

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro dupuesto y se dividen entre

; si van de más a menos o de menos a más la

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-upuesto y se dividen entre

dades proporcionales van de más a màs o de menos a m; si van de más a menos o de menos a más la

dades proporcionales van de más a màs o de menos a m; si van de más a menos o de menos a más la

Si es R3SD; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre otro da-upuesto y se dividen entre

e-

Regla de Tres 89

El valor de la incógnita está dado por un quebrado donde el numeradores el producto de los términos que tiene (+) y el denominador es elproducto de los términos que tienen (-).

Método 2: “De las Rayas””

Las magnitudes se pueden clasificar en 3 partes:

1º. Causa o Acción: Realizadores de la obra o acción y condiciones quetiene para realizarla.Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc

2º. Circunstancia: Condiciones en el tiempo para realizar la obra.Ejm. días, horas diarias, raciones diarias, etc.

3º. Efecto: La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones quepone el medio para la realización del trabajo.Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

Acción

Serie 1:

Serie 2:

Hombres*

* * *

* **

* * *

* *

*

*

Circunstancia Efecto

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enuna misma raya.

PORCENTAJES

Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.

NOTACIÓN: 5% =100

5

5 % indica que cada 100 unidades se consideran 5.Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%

Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%

Una cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%Una cantidad disminuida en 10% representa 90%

5% =100

5 % indica que cada 100 unidadesUna cantidad total representada el 100%

NOTACIÓN:

con relación a 100 unidades.con relación a 100 unidades.

NOTACIÓN 5% =

5 % indica que cada 100 unidadesUna cantidad total representada el 100%Una cantidad aumentada en el 10% representa el 110%

100

Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.Llamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadLlamado también “tanto por ciento”, se dice así, a una determinada cantidadcon relación a 100 unidades.

100

5

roductos de los valores que se encuentran enroductos de los valores que se encuentran en

*

Finalmente, se igualan los productos de los valores que se encuentran enroductos de los valores que se encuentran en

*

Efecto

*

* *

Ejm. Las medias de la obra, dificultades, resistencia del medio, etc.

Efecto


Efecto


La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones queLa obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones que


La obra en sí lo realizado y los inconvenientes o condiciones que

zadores de la obra o acción y condiciones que

Ejm. Obreros, máquinas, animales, habilidad, esfuerzo, rendimiento, etc

zadores de la obra o acción y condiciones que


Ejm.* ¿Cuál es el 5% de 600?

5% . 600 = 30600.100

5

* ¿Qué porcentaje de 2000 representa 50?x % . 2000 = 50

502000.100

x

x =20

50

x = 2.5

Aplicación:

a) Descuentos sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de undescuento.

%100100

D100D100D100d

1n321 ........

Donde: D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivon : número total de descuento.du : descuento único

b) Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de unaumento.

%100100

A100A100A100a

1n321 ........

Donde: A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a : descuento único

Problemas de Porcentaje Relativos a las Ventas

Pv = Pc + G sDonde:

= Pc +Donde:

Problemas de Porcentaje Relativos a las VentasProblemas

Pv = Pc

de Porcentaje Relativos a las Ventas

+ GDonde:

: descuento único


A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.a


G s

100

A1001n

2

A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.

A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivo

Aumentos Sucesivos: Cuando una cantidad se le aplica más de un

100A1

2A1

A1, A2, A3 ...... : aumentos sucesivon : número total de descuento.

: descuento único

úmero total de descuento.: descuento único

: Cuando una cantidad se le aplica más de un: Cuando una cantidad se le aplica más de un

: descuento único

D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivoúmero total de descuento.

: descuento único

: Cuando una cantidad se le aplica más de un

úmero total de descuento.

100 %100........

D1, D2, D3 ...... : descuento sucesivoúmero total de descuento.

Cuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de unCuando una cantidad se le aplica más de un

Regla de Tres 91

PV : precio de ventaPC: precio de costo

G: ganancia

Pv = Pc - P sDonde:

Pv : precio de ventaPc: precio de costo

P: pérdida

Pc +Gastos + Ganancias = Pv s

Ganancia bruta – gastos = Ganancia Neta d

P. fijado - Descuentos = Pv s

PROBLEMAS RESUELTOS (REGLA DE TRES Y PORCENTAJES)

1. Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?a) 8 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

Sol.

6 Caballos ----------- 15 días R3SI9 caballos ----------- x

x = 109

156.

x = 10

Rpta. (b)

2. La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabajo en 90 minutos; ¿Enque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h

Sol.

Del enunciado:

Sol.

Del enunciado:

que tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 hque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h

Sol

Del enunciado:

La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h

La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trab

Rpta. (b)

La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trabque tiempo lo harán Luis y Carlos juntos?a) 5h b) 3,6 h c) 3 h d) 4 h e) 2,5 h

La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éstees 4 veces la rapidez de Luis. SI Juan hace un trab

10

10

La rapidez de Juan es igual a 3 veces la rapidez de Carlos y a su vez éste

R3SI15 días15 días R3SI

Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos másSeis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más¿para cuántos días alcanzará la ración anterior?Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más


Seis caballos tienen ración para 15 días. Si se aumenta 3 caballos más







Luis : rapidez 1Carlos: rapidez 4Juan: rapidez 12

Rapidez Tiempo12 -------------- 90 min R3SI5 -------------- x

x = min5

90.12

x =min60

h1.min

5

90.12

x = 3,6 h

3. Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70hombres y la puede terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la primera y los5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?

a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d

Sol.

* Primera cuadrilla

50 h -------------- 30 días R3SI

h)50(4

3--------- x

x =50.

4

330.50

x = 40 días

=> En 1 días4

3de la ladrillera hará:

40

1de la obra.

4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multiplicarpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2

Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe mult

1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2

Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multpor:

=> En 1 días

4. Para aumentar el área de un círculo en 125%, su radio se debe multpor:a) 1/2 b) 2 c) 3/2 d) 3 e) 5/2



x = 40 días

=> En 1 días

x = 40 días

=> En 1 días4

3


x

30 días R3SI30 días R3SI30 días R3SI

a) 50/3 d b) 20 d c) 21 d d) 22,5 d e) 24 d

terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?

hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim

5/6 de la segunda. ¿En cuántos días se terminará la obra?

Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70

era y los

Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50Para ejecutar una obra se cuenta con dos cuadrillas, la primera tiene 50hombres y puede concluir la obra en 30 días; la segunda cuenta con 70

terminar en 50 días; si se toma 3/4 de la prim ra y los

Regla de Tres 93

Sol.

Sea : x el número que se debe multiplicar al radio.Sabemos que: A = r2

Entonces por dato el problema:

A + 125%A = (x.r)2

225% A = .x2.r2

10

15x

100

225x

x.AA.100

225

x.r.A.100

225

2

22

=> x =2

3 Rpta. (c)

* Segunda cuadrilla

70 h -------------- 60 días R3SI

h)70(6

5--------- x

x =

70.6

505.70

x = 60 días

=> En 1 días6


60

1de la obra.

Luego: En 1 día ambas partes harán:

24

1

120

5

120

23

60

1

40

1de la obra

40

1

6040

=> En 1 días6


=> En 1 días

x = 60 díasx = 60 días

=> En 1 días


60

1

de la ladrillera hará:

x = 60 días


60 días R3SI60 días R3SI


Finalmente:

1 día ----------24

1de la obra

x ----------- 1 obra

24

11

x =====> x = 24 días

Rpta. E

5. Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimientoserán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m delado?a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 9

Sol.

22 480.5.10..8400.6.8.2. rrx

2

2

400.6.8.2

480.5.10..8

r

rx

x = 6 obreros

Rpta. A

6. Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tone-ladas de carbón ¿Cuántas toneladas serían necesarias para mantener tra-bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?bajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?ladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?

Trabajando 10 horas diarias durante 15 días, 5 hornos consumen 50 tonladas de carbón ¿Cuántas toneladasbajando 9 horas diarias durante 85 días, 3 hornos más?a) 400 b) 408 c) 412 d) 420 e) 428

400

2x

x = 6 obreros

2 8400

6.8.2

10..8

r

r

x = 6 obreros

48024802480

rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m de

Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento

rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m de

Ocho agricultores trabajando 10 h/d durante 5 días pueden arar un terrenocuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento

rán necesarios para que en 6 días de 8 h/d aren otro terreno de 480m decuadrado de 400m de lado; ¿Cuántos agricultores de doble rendimiento

Regla de Tres 95

Sol.

Luego:50.9.85.8.10.15.5 x

10.15.5

50.9.85.8x

x = 408 ToneladasRpta. B

7. En una empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,asisten a al colegio nocturno. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %del personal asiste al colegio nocturno?A) 42% B) 30% C) 38% D) 36% E) 34%

Sol

Supongamos que el total de alumnos sea 100.

El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80

Asisten al colegio nocturnoFemenino: 30%(20) = 6Masculino: 40%(80) = 32

Total 38 personas

y 38 de 100 es el 38%

Rpta. C

8. 351 es el 27% de:A) 1340 B) 1250 C) 1300 D) 1200 E) 2700A) 1340

8. 351 es el 27% de:8. 351 es el 27% de:A) 1340

y 38 de 100 es el 38%

351 es el 27% de:

y 38 de 100 es el 38%y 38 de 100 es el 38%

351 es el 27% de:


Total 38 personasTotal 38 personas


Total 38 personas

y 38 de 100 es el 38%

El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80El 20% es personal femenino: 20

Supongamos que el total de alumnos sea

El 20% es personal femenino: 20El 80% es personal masculino: 80


E) 34%E) 34%


empresa, el 40% del personal masculino y el 30% de femenino,no. Si el 20% del personal es femenino. ¿Qué %





Sol.

351 = 27%(X)

X.100

27351

X27

)100(351

X = 1300Rpta. C

9. Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?A) 1150 B) 1200 C) 1000 D) 1050 E) 1100

Sol.

Sea la cantidad: X

X - 13%X = 957100%X - 13%X = 957

87%X = 957

957.100

87X

1100X

Rpta. E

10. En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el5% de lo fabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defec-tuosos hay en los 1000 productos?A) 50 B) 90 C) 45 D) 46 E) 40

Sol

Total : 1000

* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600

Total : 1000

Sol

Total : 1000

* Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600

C) 45B) 90

abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defeabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?

B) 90 C) 45

Fueron fabricados por A: 60%(1000) = 60/100(1000) = 600

En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidoquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el

abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?

quina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que elabricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defe

Rpta. E

En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sidofabricados por la máquina A y el resto por la máquina B. Si se sabe que el

abricado por A son defectuosos y el 4% por B. ¿Cuántos defetuosos hay en los 1000 productos?

C) 45 D) 46

En una industria se han fabricado 1000 productos; el 60% de ellos han sido

E) 1100Una cantidad disminuida en su 13% es 957. ¿Cuál es dicha cantidad?

E) 1100

Regla de Tres 97

de los cuales son defectuosos: 5%(600) = 5/100(600) = 30

* Fueron fabricados por B: 400de los cuales son defectuosos: 4%(400) = 4/100(400) = 16

Entonces, en total hay: 30 + 16 = 46 defectuosos

Rpta. D


1. En 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se retiran6 obreros. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para terminarla obra?A)36 B)12 C)48 D)24 E)15

2. 80 obreros trabajando 8 horas diarias construyen 2480m de una obraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren para que 120 obreros traba-jando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.A)22 B)30 C)18 D)16 E)20

3. Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.

4. Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constituidos por:A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

5. 15 obreros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En esemomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que por-Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que

terminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32terminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

6. Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que

obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

15 obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en

A)18 B)19 C)20 D)21 E)22A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

15 obreros han hmomento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán enterminar el trabajo los obreros que quedan?A)24 B)26 C)28 D)30 E)32

Si la longitud y el ancho de un rectángulo se duplicará. En que

momento abandonan el trabajo 5 obreros. ¿Cuántos días tardarán en

Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constA)18 B)19 C)20 D)21 E)22A)18 B)19 C)20 D)21 E)22

Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5días antes de la previsto. El grupo de obreros está constA)18 B)19 C)20 D)21 E)22

eros han hecho la mitad de un trabajo en veinte días . En ese

Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d

Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, en

Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.

E)N.A.cuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.A)85d B)77d C)170 d D) 172d E)N.A.

Un grupo de obreros habrán hecho en 36 días el 75% de una obra, enese momento se aumentaron 15 obreros más y se terminó la obra 5

Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paraUn barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga para

en 15 días. ¿Cuántos días se requieren paraen 15 días. ¿Cuántos días se requieren parajando 10 horas diarias hagan 960m2 de la misma obra.

Un barco tiene víveres para 22 días si lleva 39 tripulantes, diga paracuántos días pueden durar los víveres si viajan 33 tripulantes.

eros trabajando 8 horas diarias construyenque 120 obreros trab

de la misma obra.

eros trabajando 8 horas diarias construyeneros trabajando 8 horas diarias construyen 480que 120 obreros trab

de la misma obra.

de una obra

s. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para teEn 12 días, 8 obreros han hecho las 2/3 partes de una obra. Se ret

s. ¿Cuántos días demoran los obreros restantes para te

de una obra

ranminar


centaje aumenta su área?A)100% B)200% C)400% D)300% E)50%

7. Un futbolista patea 17 penales y acierta todos. ¿Cuántos penales másdeberá patear y fallar todos, para que su eficiencia sea del 85%?A)4 B)3 C)2 D)5 E)6

8. Vicente tenía s/.240.00 luego va al mercado y gasta el 50% de lo quegastó. ¿Qué porcentaje del total gastó?A)33,3...% B)40,05% C)35,33% D)50% E)20%

9. Al precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,10% y 20%. ¿Cuál es el descuento único que equivale a estos 3 des-cuentos sucesivos?A)37% B)41% C)32,5% D)20,8% E)31,60%

10. El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.A)700 B)0,2 C)1 D)120 E)10

El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%de 1000, hallar todos, para que su eficiencia sea del 85%.El 30% del 20% de los 2/5 de un número equivale al 24% del 0,01%

ale a estos 3 deAl precio de un objeto se le hacen 3 descuentos sucesivos del 5%,

ale a estos 3 de

- 99 -

VIITEORÍA DE EXPONENTES, ECUACIONESEXPONENCIALES Y VALOR NUMÉRICO

TEORÍA DE EXPONENTES

La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-nentes que existen entre ellos, mediante leyes.

LEYES DE EXPONENTES

1. Producto de Bases Iguales

nmnm aaa .

2. Cocientes de Bases iguales

nm

n

m

aa

a

3. Potencia de un Producto

nnnbaab .

4. Potencia de cociente

n

nn

b

a

b

a

5. Potencia negativa de un cociente

nn

a

b

b

a

b

5.

b

a

Potencia negativa de un cociente

nb

Potencia negativa de un cociente

a

n

a

b

nb

a

b

Potencia negativa de un cocientePotencia negativa de un cociente

Potencia de cocientePotencia de cociente

n

Potencia de un ProductoPotencia de un Producto

La teoría de exponentes tiene por finalidad estudiar todas las clases de expo-

100 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG

6. Exponente cero

10a donde a 0

7. Exponente negativo

n

n

aa

1

8. Potencia de potencia

nmnm aa .

OBS:

mnrs

srnm aa

9. Raíz de una potencia

n

m

n m aa

10. Raíz de un producto

nnn baab .

11. Raíz de un cociente

n

n

n

b

a

b

a

12. Potencia de radical

n mpp

n m aa n an

Potencia de radical12. Potencia de radical

pn ma

Potencia de radical

mpa

Potencia de radical

n b

a

Potencia de radical

Raíz de un cocienteRaíz de un cociente

Teoría de exponentes, ecuaciones exponenciales y valor numérico 101

13. Radical de radical

mnm n aa

OBS:

mnrsm n r s aa

14. Introducción de un factor a un radical

n mnnn mnnm bababa ..

ECUACIONES EXPONENCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solu-ción se debe tener cuenta:

Por igualdad de bases:

yx aa yx Si x 0, x 1

Igualdad en el exponente:

xx ba ba Si x 0

Nota: no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se ob-tengan fuera del conjunto de los números reales.

Igualdad Base y Exponente

xa xa => xa Si a 0, a 1

PROBLEMAS:

1. REDUCIR:

aa a

a

R2

1

44

2A) 2 B) -2 C) 1 D) –1 E) 0a

a

REDUCIR:

R

PROBLEMAS:

1.

aa

R2 4

REDUCIR:

PROBLEMAS:

xa xa =>

PROBLEMAS:

REDUCIR:a 1

4

2

tengan fuera del c


x

no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se otengan fuera del conjunto de los núm


=> xa Si a

0

no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se oonjunto de los núm

Si x

Igualdad en el exponente:

Si x 0

no se tomará en cuente aquellas soluciones (raíces) que se oonjunto de los números reales.

1

pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la solSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la sol

NCIALESSon ecuaciones, cuyas incógnitas aparecen como exponentes de una potencia,pudiendo también encontrarse como base de la potencia. Para obtener la sol


Sol:

aa

a

a

R2

2

22

1

2.2

2

aa a

a

R2 2

1

2

2

a

a

a

a

R

2

2

1

2

2

222

2.2 a aa

a

R Rpta ( a )

Nota: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-ficar por Ejemplo:

Si: a = 1

22

4

8

4

24

4

44

233

13

2

xR

2. RESOLVER:

15,0

)04,0(55

)2,0( xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Sol:Transformando

155

1

10

22,0

22

55

1

25

1

100

404,0

22,0

Transformando

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Transformando

04,0

,0(

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

)04,0( x

5

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

4

2

4

832

: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpl: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpl: También se puede darle un valor adecuado a “a” para luego simpli-


=>

2

1

5.01

5.5

)5( x

= 12 )5( x

225,1

5.0

55

5 xx

5,15,05 x = 225 x

– x – 1 = – 2x + 2

x = 3 Rpta. ( c )

3. Simplificar:

)2(2

)2(223

4

n

nn

R

A) 2n B) 2n+1 C) 3n-1 D) 7/8 E) N.A.

Sol:

3

4

2.2.2

2.22.2n

nn

R

3

4

2.2.2

)22(2n

n

R

16

216R

16

14R

8

7R Rpta. ( d )

16

14R

32.

16

216

3

)2

16R

14

D) 7/8 E) N.A.D) 7/8 E) N.A.


4. Resolver: 22

1xx

x

Sol:

2

2

1xx

x

2.2

1

4

1xx

x

4

2.

4

1xx

x

4

2.

4

1xx

x

2

1.

4

1xx

x

2

1.

2

1

4

1

4

1xx

x

.4

1

4

1

4

1xx

x

=>4

1x Rpta ( c )

5. Calcular a qué exponente se debe

elevar 18 para obtener: 254

A) 2/3 B) 3/4 C) 1/2 D) 4/3 E) 2/5

Sol:

Sea el exponente: x

18x = 254

22.32.3 22 x

2

1

2

332 2.32.3 xx

4

3

2

32 2.32.3 xx

4

3x

6. Hallar el valor de:

2 2 6252 1 2

2 22 8

n nn

A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1

2 22 1n

6. Hallar el valor de:6. Hallar el valor de:

A) 25 B) 125 C) 625 D) 5 E) 1

Rpta ( c )Rpta ( c )

4

3

22.

4

3x

423

.3

4

3

2

3

2.3

2

1


Sol:

222.2

2222 1

22.2.2

82.2.2

8 625625

nn

nnn

=

4.28

22.22

)625(

nn

n

=4.2.32

28

625n

n

=4.28

28

625n

n

= 5625)625( 44

1

Rpta ( d )

7. Calcular el valor numérico de:

2

11

11

ba

ba

ab

ab

ba

baE para ab = 2 y ba = 0,5

A) 16 B) 14 C) 8 D) 12 E) 10

Sol:

2

..

..

ba

ba

aabb

aabb

ba

baE sabemos que 0,5 =2-1

2

)()(

)()(ba

ba

aabb

aabb

ba

baE

21 1

)()(

)()(ba

ba

aabb

aabb

ba

baE

)(

)abb

bb

a

aE

(

( baE

(b

()

)abb

b

ba )()(

(a

aa

b

ba

b

1

(a ab

emos que 0,5 =2

2

mos que 0,5 =2sabemos que 0,5 =2mos que 0,5 =2-1

= 0,5

106 Aritmética y Álgebra Centro Pre Universitario UNJBG2

212

2

112

1

)2()2(

)2()2(1-

1

E

2

22

1

2

12

22

22E

2

4

12

2

14

E

2

4

1242

124

E

2

2

4E

2

16E

E = 8 Rpta. ( c )

8. Simplificar:

........546

434322 xxxE n factores.

Sabiendo que: xnnnn )3)(2)(1( 316

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

Sabiendo que:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

Sabiendo que:Sabiendo que:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

. 6x

nn(

. 4x

8. Simplificar:

.434

322 xx

Sabiendo que:

A) 16 B) 32 C) 64 D) 256 E) 4096

......

Rpta. ( c )Rpta.

54


Sol:Sabemos que:

1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + 4.5.6 + ........ + n(n+1) (n+2) =4

)3)(2)(1( nnnn

Además por dato del problema

)3)(2)(1(

3

16 nnnnx

............ 5.4.64.3.43.2.2 xxxE

...........6.4.54.3.43.2.2xE

....5.4.34.3.23.2.12xE

4

)3)(2)(1(.2

nnnn

xE

2

)3)(2)(1( nnnn

xE

Reemplazando el valor de x:

2

)3)(2)(1(

)3)(2)(1(

3

16

nnnn

nnnnE

2

3

16E

316E

34E

64E Rpta ( c )EE

16

316E

34E

64

2

3

16

Reemplazando el valor de x:

2

)(1 n )3

Reemplazando el valor de x:)(2( nnn


9. Calcular el valor de “n” en laecuación:

4242 33.

3

1 1n

n

A) 2 B) 4 C) –1/2 D) 6 E) 3Sol.:

4242 33.

3

1 1n

n

4

4221 33.3

1

n

n

4

4221 33

1

n

n

4

4221 1

nn

422

2.44 n

n

422.24 nn

4422.2 nn

82n

322n

3nRpta. E

10. Indicar el valor no entero que tomax, de manera que se cumpla la igual-dad:

1

3

2

8

)2(

8

4x

x

x

x

A) 1/3 B) –1/2 C) 5/4 D) 2/3 E) 5/3Sol.

Reduciendo ambos miembros tene-mos:

13

3)2(2

3

2

2

2

2

2x

x

x

x

13

3)2(2

3

2

2

2

2

2x

x

x

x

1 3342 32 22 x xx x

1

33

42

32

22 x

x

x

x

1

33

42

32

x

x

x

x

Resolviendo:

4

5x v 3x

Por dato del problema x

Entonces4

5x

Rpta.: C

PROBLEMAS PROPUESTOS1. Hallar el valor de “x” en: 14 48 xx es:

A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14

2. Simplificar:

75

53

33

33nn

nn

A) 27 B) 3 C) -9 D) 9 E) -8A) 27 B) 3A) 27

Simplificar:

A) 27 B) 3

3

3

3n

B) 11

Simplificar:

Hallar el valor de “x” en:Hallar el valor de “x” en:A) 10 B) 11 C) 12

Simplificar:

3B) 3

PROBLEMAS PROPUESTOSHallar el valor de “x” en: 8x 4

PROBLEMAS PROPUESTOSHallar el valor de “x” en: 4

C) 12 D) 13

x

Por dato del problema

x


Entonces

Rpta.: C


Resolviendo:5

Resolviendo:Resolviendo:

3

42 xx

x

Resolviendo:

4

5

1

32 1

33

2 x

x

33x

323x


3. Resolver:2/31 2xx

A) 1 B) 1/2 C) –1/2 D) -1 E) 3/2

4. Hallar 4 2a , si:

2

1

16

4a x

xxx

x

a

A) 4 B) 2 C) 3 D) 6 E) 8

5. Resolver: 15,0

)04,0(55

)2,0( xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 56. Efectuar

642

642

222

222nnn

nnn

M

A) 512 B) 256 C) 260 D) 181 E) N.A.7. Resolver

24822222 4321 xxxxx

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

8. Hallar: 5x + 10, si:42 84 39

xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

9. Hallar el valor de 46nmM ;

Si 422 nnn ;

33mmmmm =27.

A) 40 B) 41 C) 38 D) 3 E) 36

10. Calcular “n” si:Si: 33

)12(

21 32...2.2.2factoresn

nnn

A) 201 B) 121 C) 34 D) 64 E) 83factores

n

B) 1212(

2.2 nn

Calcular “n” si:Si:

)12(

1 2.22factoresn

nn

A) 201

4 ; m

B) 41 C) 38

Hallar el valor de M3mmmm

B) 41 C) 38

Calcular “n” si:332 32

D) 4

4 ;

E)

483x

D) 4 E)

E) 9

5

E) N.A.E) N.A.

- 110 -

VIIIPOLINOMIO: GRADO, POLINOMIOS

ESPECIALES, OPERACIONES, PRO-DUCTOS NOTABLES.

1. GRADO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término:Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alge-braicos. Recibe el nombre de binario cuando tiene 2 términos, trinomiocuando tiene 3 términos.

a) Grado de un monomio:

Grado absoluto (G.A.): Está dado por la suma de los exponentes detodas sus variables.Grado Relativo (G.R.): Está dado por el exponente de la variable refe-rida a dicho monomio.

Ejm:M (x,y,z) = 3x5y7z3

GA = 5 + 7 + 3 = 15

GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 3

b) Grado de un Polinomio:

Grado absoluto (G.A): Está dado por el término que tiene mayor gra-do absoluto.Grado Relativo (G.R.): Está dado por el término de mayor exponentede la variable referida en dicho polinomio.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p

Grado absoluto (G.A):do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p

Grado absoluto (G.A):do absoluto.do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p

Grado de un Polinomio

Grado absoluto (G.A):

Grado Relativo (G.R.):


(z)(z)


Grado absoluto (G.A):do absoluto.Grado Relativo (G.R.):de la variable referida en dicho p

= 5= 7

GA = 5 + 7 + 3 = 15

= 5(y) = 7

= 3

Grado de un Polinomio:

Está dado por el exponente de la variable refEstá dado por el exponente de la variable refEstá dado por el exponente de la variable ref

Está dado por la suma de los exponentes de

Está dado por el exponente de la variable ref





rio cuando tiene 2 términos, trinomioPolinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alg

rio cuando tiene 2 términos, trinomio

Monomio: Es la mínima expresión algebraica que tiene un solo término:Polinomio: Es la expresión algebraica que tiene 2 ó más términos alg

rio cuando tiene 2 términos, trinomioe-

.

Polinomio: grado, polinomios especiales, operaciones, productos notables 111

Ejm:P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5

P(x,y,z) = 4x3y5z2 – 3x5y2z4 + 2x2y7 + 2x5

grado=10 grado=11 grado= 9 grado=5

G.A. = 11

GR(x) = 5GR(y) = 7GR(z) = 4

Nota: El valor numérico de un polinomio es el valor que toma dicho polino-mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variables.

Ejm: sea P(x) = x2 + 2x – 1Hallar P(2)

P(2) = 22 + 2.2 – 1 = 7

2. POLINOMIOS ESPECIALES

c) Polinomios Ordenados: Son los que presentan un “orden” ascenden-te o descendente en los exponentes de una de las variables que setoma como base.

Ejm:P(x) = 8x5 – 2x3 + x – 3P(x,y) = 5x7y2 – 3x2y10 + 7x9y12

d) Polinomios completos: Son los que tienen todos los exponentes(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.

Ejm:P(x) = x4 – 2x2 + x + 10 +x3

P(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y3

e) Polinomios Homogéneos: Son aquellos cuyos grados de sus térmi-nos son iguales:Ejm:P(x,y) = x2 + 2xy + y2

P(x,y,z) = 6x3 + 5xy2 – 1/5 xyzP(x,y) = xP(x,y,z) = 6xP(x,y) = xP(x,y,z) = 6x

Polinomios Homogéneos:nos son iguales:

P(x,y) = x

P(x,y) = 4x

Polinomios Homogéneos:nos son iguales:

Ejm:P(x) = xP(x) = xP(x,y) = 4x

e) Polinomios Homogéneos:nos son iguales:Ejm:P(x,y) = xP(x,y,z) = 6x

Polinomios Homogéneos:

(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.

2x2 + x + 10 +x2y + 7xy+ x + 10 +x3

Polinomios completos:(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.

P(x) = x4 – 2x + x + 10 +xP(x,y) = 4x3 – 5x2y + 7xy2 + 8y

Polinomios Homogéneos:

y12

Son los que tienen to(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) de

Son los que tienen to

+ 7x3+ 7x9y

Son los que tienen to(desde el mayor hasta el exponente cero o término independiente) dela variable que se toma como base.

te o descendente en los exponentes de una de las variables que sete o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende

te o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende

te o descendente en los exponentes de una de las variables que seSon los que presentan un “orden” ascende

te o descendente en los exponentes de una de las variables que se

mio, cuando se reemplaza en él valores asignados a sus variao-o-

112 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG

f) Polinomios Idénticos: Son aquellos que se caracterizan por que sustérminos semejantes tienen iguales coeficientes.

Ejm: ax2 + bx + cx mx2 + nx + p

a = mb = nc = p

g) Polinomios Idénticamente Nulos: Son aquellos que se caracterizanpor que todos sus coeficiente son idénticos a cero. Ejm:

P(x) = ax2 + bx2 +cx + d

a = 0 b = 0 c = 0 d = 0

3. OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS

h) Suma y Resta: Para sumar o restar expresiones algebraicas sesuma o se resta términos semejantes.

Nota: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-teral afectada por los mismos exponentes.

i) Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresio-nes algebraicas significa obtener una expresión denominada PRO-DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.

Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los facto-res.ii) El término independiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.

i) Binomio al cuadrado:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a2 – b2Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a

(a

j) Producto de una suma por su diferencia

(a + b)(a –

j) Producto de una suma por su diferencia(a + b) (a – b) = a

operaciones, por esto se el rBinomio al cuadrado

+ 2ab + b2ab + b2


operaciones, por esto se el rBinomio al cuadrado

= a2

PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el r

Binomio al cuadrado(a + b)22 = a2 + 2ab + b

b)2 = a2 – 2ab + b

Producto de una suma por su diferenciab) = a

pendiente del producto es igual al producto de lostérminos independientes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar

conoce fácilmente.Son productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuar

i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact

pendiente del producto es igual al producto de lostérminos independie tes de los factores.

PRODUCTOS NOTABLESSon productos, cuyos resultados se deben conocer sin necesidad de efectuaroperaciones, por esto se el reconoce fácilmente.

Binomio al cuadrado:

i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact

pendiente del producto es igual al producto de los

i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los factPropiedades de la Multiplicación:

gebraicas significa obtener una expresión denominada PRgebraicas significa obtener una expresión denominada PRDUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.

Propiedades de la Multiplicación:i) El grado del producto es igual a la suma de los grados de los fact

pendiente del producto es igual al producto de lostes de los factores.

DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.

Multiplicación de expresiones algebraicas:gebraicas significa obtener una expresión denominada PR

DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.gebraicas significa obtener una expresión denominada PR

DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.gebraicas significa obtener una expresión denominada PRgebraicas significa obtener una expresión denominada PR

Multiplicación de expresiones algebraicas:

: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte ltes.

Multiplicación de expresiones algebraicas: Multiplicar expresigebraicas significa obtener una expresión denominada PR

DUCTO, conociendo otras dos llamadas multiplicando y multiplicador.

: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte l

Multiplicar expresi


o restar expresiones algebraicas se


Multiplicar expresi


: Términos semejantes son aquellos que tienen la misma parte li-



k) Binomio al cubo

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3

l) Trinomio al cuadrado

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

m) Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-rencia de cubos.

(a + b)(a2 – ab + b2 ) = a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2 ) = a3 – b3

n) Producto de dos binomios que tienen un término común

(x + a) (x + b) = x2 +(a+b)x +ab

o) Identidades de Legendre

(a + b)2 + (a – b)2 = 2 (a2 + b2)

(a + b)2 – ( a – b)2 = 4ab

p) Identidades de Lagandre

(ax + by)2 + (bx – by)2 = (x2 + y2)(a2+b2)

(ax + by + cz)2 + (bx – ay)2 + (cx – az)2 + (cy – bz)2 = (a2 + b2 + c2) (x2 + y2 + z2)

PROBLEMAS RESUELTOS

1. El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m . yn+2 – mx2n . y 4m es:

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1 e) 10

Sol:2

42

1

22 ....),(

Grado

mn

Grado

nm yxmyxmyxP(P

Sol

P

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1P(x, y) = m.x

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

Sol:

), myx

ay)

MAS RESUELTOS

El grado del polinomio homogéneo.n+2

El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.

ay)2 + (cx

MAS RESUELTOS

El grado del polinomio homogéneo.P(x, y) = m.x2m

El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.. yn+2 – mx2n

El grado del polinomio homogéneo.El grado del polinomio homogéneo.

a) 4 b) 3 c) 2 d) 1

= (x2

+ (cy

+ y2)(a


by)2 = (x2 + y )(a2+b

+ (cy – bz)

+b

Producto de dos binomios que tienen un término comúnProducto de dos binomios que tienen un término común

Producto de un binomio por un trinomio queda una suma o dife-


Grado 1 = Grado 22m + n + 2 = 2n + 4m

2 = n + 2m

grado = 2m + n + 2grado = 2 + 2 = 4 Rpta ( a )

2. Si 15 xy;2

111

yx. Hallar

33

11

yxE

a) 1/4 b) 1/40 c) 1/10 d) 1/20 e) 1/80

Sol:

xyyxyxE

yxyyxxyxE

yyxxyxE

yxE

31111

1.

1.3

11.

1.2

111

11.

1111

11

2

22

22

33

|

60

1215.

2

1

15

3

4

1

2

1E

40

1

60

3.

2

1E // Rpta ( b )

3. ¿Cuál es el valor que asumeyx

y

xy

yx

xy

yxR

3

2222

Si:yxyx

411

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4 e) N.A.a) 2 b) 3 c) 1 d) 4

Si:

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4

Si:x

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4

que asume

y

4

¿Cuál es el valor

6060

¿Cuál es el valor que asume

yxy

11

a) 2 b) 3 c) 1 d) 4

que asume R

2

1//

60

15.

40

1Rpta ( b )

que asumex

R

xy

yx.

x

11.3


Sol:De la condición:

yxyx

411

0)(

02

42

4

4

22

22

2

yx

yxyx

xyyxyx

xyyx

yxxy

yx

y x

yx

y

x

yx

xy

yxR

3

2

2

222

4222

1

2

32

4

2

2

322

2

y

y

y

y

y

yR Rpta. ( d )

4. Si: 3444 nn aa , entonces nn aa es:a) –2 b) 5 c) – 4 d) 2 e) 3.

Sol:

34..2..2 224224 nnnnnn aaaaaa

6

36

342

22

222

222

nn

nn

nn

aa

aa

aa

6.2.2 22 nnnnnn aaaaaa

622nn aana aa

6

.2 nn aa

2n aa 22

22

n

n

aa

aa

22na

2na

a

36

3422

2n a

6

36

3422

2

n

na

na4 d) 2 e) 3.

n

n es:4 d) 2 e) 3.

, entonces

2

, entonces aa es:4 d) 2 e) 3.

. 2na

223

422

1

es:


42nn aa 2nn aa Rpta ( d )

5. El grado del Polinomio es:

P(x) = :n términos.............111 852 xxx

a) 220 b) 520 c) 610 d) 1220 e) 1610Sol:

Grado = 2 + 5 + 8 + ............ 20 términos y de razón 3

Para hallar la suma:

59

)3)(19(2

)1(1

n

n

n

a

a

rnaa

21 naa

S n

)10)(61(2

20.592

S

S

S = 610

grado = 610 Rpta ( c )

6. Si P(x+3) = 6x – 25830)8)(( xxFP Hallar el valor de

)4(FE

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9Solución* P(x+3) = 6x – 2

P(x-3+3) = 6(x-3) – 2P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8) – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48 – 20P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28 ………. (1)

P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28

Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48

P(xP(x) = 6xReemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28

3) – 2

Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)

P(x+3) = 6x –3+3) = 6(x

B) 3B) 3Solución

P(x+3) = 6x – 2P(x-3+3) = 6(x-3)P(x) = 6x – 20Reemplazando x por F(x) + 8, tenemos:P(F(x) + 8) = 6(F(x) + 8)P(F(x) + 8) = 6F(x) + 48P(F(x) + 8) = 6F(x) + 28

58 Hallar el v

D) 7 E) 9

Hallar el v

C) 5 E) 9

S = 610

Rpta ( c )

S = 610S = 610

Rpta ( c )

alor de

S = 610S = 610


* Por dato del problema:P(F(x)+8) = 30x + 58 ………… (2)

Igualando (1) y (2):6F(x) + 28 = 30x + 58

6F(x) = 30x + 30F(x) = 5x + 5

Entonces: F(4) = 5(4) + 5 = 25

Finalmente:

25

)4(

E

FE

5ERpta. C

7. Si el monomio 5 346 2..9.3 mm xxxx es 8, el valor de “m” es:

A) 2 B) 6 C) 9 D) 12 E) 16Solución

5 346 2..9.3 mm xxxx

30155

46G.A.

mm


830155

46

mm

multiplicando por 30 la ecuación anterior:240224180 mm

363m

12mRpta. D

8. Sabiendo que 79

9 a

x

x

a, el valor de la expresión 4

9

49 a

x

x

aes:

A) 3 B) 4 C) 5 D) 5 E) 2A) 3

Sabiendo que8. Sabiendo que

A)

Sabiendo que9x

a

m

Sabiendo que

B) 4

30multiplicando por 30 la ecuación anterior:

240mm

36

30

m

multiplicando por 30 la ecuación anterior:2402m

363m

12Rpta. D

multiplicando por 30 la ecuación anterior:

E) 16

es 8, el valor de “m” es:es 8, el valor de “m” es:


SoluciónSupongamos que:

4

9

49 a

x

x

aE Hallaremos E.

2

4

9

49

2

a

x

x

aE

2

4

9

4

9

49

2

49

2 ..2a

x

a

x

x

a

x

aE

a

x

x

aE

9

92 2

a

x

x

aE

9

92 2

29

9

22 2a

x

x

aE

299

9

2

9

22 ..22a

x

a

x

x

a

x

aE

a

x

x

aE

9

9

22 22

229

9

22

a

x

x

aE

27222E

922E

232E

5E

Rpta. C

9. Si3 3 3 ...4.24.244 xM a , su grado es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) N.A.4 xa

B) 2Si M9. Si

44M a

A) 1 B) 2

Rpta. C

9

23

5

3 3.24.2

22

2

aa

2

x2

9x


Solución

El grado de M es: 3 3 3 ...4.24.24

Supongamos que:

3 3 3 ...4.24.24E Hallaremos E.

33 3 ...4.24.24

E

E

3 .24 EE

EE 243

Dando valores a E, obtenemos que:

E = 2

Rpta. B

10. Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:

...32)( 2312 cba xxxxP posee 2c términos; hallar “a+b+c”.

A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16.Solución

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c-1.

...32)(

32

2

22

3

12

12

c

c

c

b

c

a xxxxP

Del tercer término obtenemos:232 cc

5c

Del segundo término obtenemos:223 cb

5b

Del segundo término obtenemos:1212 ca

4a

Por lo tanto: 14cba

Rpta: CPor lo tanto:Por lo tanto:

c

a

Del segundo término obtenemos:12a

4

Del segundo término obtenemos:212 ca

4a

Por lo tanto:

do término obtenemos:2c

5

Del segundo término obtenemos:

do término obtenemos:2c

5b

Del segundo término obtenemos:1

Del tercer término obtenemos:

...

Del tercer término obtenemos:

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2cComo posee 2c términos, Entonces es de grado 2c

posee 2c térm

Si el polinomio ordenado, decreciente y completo:

posee 2c términos; hallar “a+b+c”.

Como posee 2c términos, Entonces es de grado 2c

nos; hallar “a+b+c”.nos; hallar “a+b+c”.



1. Hallar m/n si el polinomio:)72(3);( 1612 nmnm yxyxyxP es homogéneo.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) N.A.

2. Sabiendo que xb

a

bax

baxP , Calcular:

)3/5(

)3()2(

P

PP

A) 1/4 B) 2 C) 3 D) 5/4 E) 3/4

3. Si 31

2

aa el valor de

33 1

aa es:

A) 1 B) 6 C) 0 D) -1 E) 2

4. Si 22 abba yxuyx son tres términos consecutivos de un poli-nomio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecien-temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”de “u”.A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

5. La expresión: xabxabxba baba )(.).( 462 ; reducida a unmonomio es:A) x B) 2x3 C) ax4 D) -3x2 E) 5x

6. Sea

nn

nn

yxyxyxyx

yxyxyxyxM

11...

111111

))...()()((

3322

3322

. La suma de

los grados relativos de M es:

A)2

)1(nnB) )1(nn C) )1(nn D)

2

)1(nn

E) N.A.2


A)n


A)2

(nn

E) N.A.

xy 2


x

1

yx

xM

1

(

los grados relativos de M es:)1

B)

y

C) ax4

y )(22

xb ).62

B) 2x3 4 D) -

xyxy

11

)()( 32

E) 7

xab 4

D) 4

temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”

D) 4 E) 7

bx ba (

E) 5x

io P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecietemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”

io P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecietemente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”

son tres términos consecutivos de un polio P(x;y) completo, homogéneo de grado 8 y ordenado crecie

temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”


temente respecto a “x”, hallar el Grado relativo a la variables “y”



7. Hallar el valor de “n”:

n

a

b

ba

ba

3 2/1 36

2/1 4/1 3361

.

A) 3 B) 5 C) 6 D) 4 E) 7

8. Siendo: 72

3

3

2

a

m

m

a, calcular 4

2

3

3

24

a

m

m

a

A)3 B)4 C)5 D)1 E) 4 7

9. La suma de los coeficientes del polinomio homogéneo:ab bab baa y

a

byx

b

aybxaxyxP

213312);( , es:

A) 4 B) 5 C) 7 D) 9 E) N.A.

10. Efectuar el producto:

244

3

1

1

1

1 x

xx

x

x

x; Si x = 2, se tiene:

A) 0 B) 3-16x C) 3 D) 3+16x E) N.A.C) 3 D) 3+16x

; Si x = 2, se tiene:2 ; Si x = 2, se tiene:

C) 3 D) 3+16x

; Si x = 2, se tiene:

E) N.A.

; Si x = 2, se tiene:

D) 3+16x E) N.A.

y

E) N.A.

aby , es:

E) N.A.

del polinomio homogéneo:del polinomio homogéneo:

- 122 -

IXDIVISIÓN, TEOREMA DEL

RESTO, COCIENTES NOTABLESI. DIVISION ALGEBRAICA

Definición: La división Algebraica es una operación que consiste en obtenerun cociente “q(x)” a partir de dos expresiones algebraicas llamadas dividendo“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate deuna división inexacta.

)()().()( xrxqxdxD División inexacta

)().()( xqxdxD División exacta

Casos de la División:1) Cuando se trata de dos monomios:

Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefi-cientes y finalmente se dividen las letras aplicando teoría de exponen-tes.

Ejm: Dividir:263

82

1085

2

16

32

zyxE

zyx

zyxE

2) Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos siguientes:

a) Método Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de Ruffini.

Ejm: Dividir12

67942

23

xx

xxx

a) Método NormalOrdenando previamente tenemosMétodo NormalOrdenando previamente tenemos

Ejm: DividirEjm: Dividir

a) Método NormalMétodo NormalOrdenando previamente tenemos

Método de HornerMétodo de Ruffini.

942

3

x

xx

Método de HornerMétodo de

Método NormalMétodo Normalb) Método de los coeficientes separados.c) Método de Hornerd) Método de

Ejm: Dividir4

Método Normal

Ruffini.

Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos s

Método NormalMétodo de los coeficientes separados.

E

Cuando se trata de dos Polinomios:Se puede utilizar cualquiera de los métodos s

Método NormalMétodo de los coeficientes separados.Método de Horner

Ruffini.

26

2

85

16

z

yx

yx

n las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de expone

82

1085

16

32

zyx

zx

Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de exponen las letras aplicando teoría de expone

Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coefn las letras aplicando teoría de expone



Se dividen los signos mediante la regla de los signos. Luego los coef

“D(x)” y divisor “d(x)”. Quedará un resto o residuo “r(x)” cuando se trate de

División, teorema del resto, cocientes notables 123

4x- 4x

- xx

- 9x+8x

+ 3x- 2x

x - 5

4x - 1

x+ 7x - 6 - 4x

- 6+ 1

- 2x + 13

3

2

2

2

2

2

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

b) Métodos de coeficientes separadosSólo se trabaja con los coeficientes y sus correspondientes signos. 4 -9 7 - 6 1 - 2 1- 4 8 - 4 4 -1

-1 3 -6 1 - 2 1

1 -5

q(x) = 4x – 1

R(x) = x – 5

c) Método de Horner:

Tenemos que dividir

signosucambiase

2

23

12

6794

xx

xxx

1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1

4 -1 1 - 5

cociente residuo

-1

q(x) = 4x – 1R(x) = x – 5

1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4 1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4 1 4 - 9 7 - 6 2 8 - 4-1 - 2 1

Tenemos que dividirTenemos que dividirTenemos que dividir

se

x

-1

3 9x 72

23

2

94

x

xx

signos.


METODO DE RUFFINI

Se utiliza para dividir polinomios cuando el divisor es un binomio cuando eldivisor es un binomio de primer grado.

Ejm: Dividir:2

932 23

x

xxx

Procedimiento

x + 2 = 0x = – 2

1 - 2 3 9

-2 - 2 8 - 22

1 - 4 11 - 13

cociente

Resto

q(x) = x2 – 4x + 11

Resto = - 13

TEOREMA DEL RESTOEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarla división.“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laforma “ bax ” es igual al valor numérico que adquiere dicho polinomio cuando

se reemplaza en él, pora

b ”.

Ejm:

Hallar el resto en:8

8)7()5( 32

y

yx

y + 8 = 0y = -8

Resto = (-8 + 5)2 + (-8 + 7)3 + 8R = (-3)2 + (-1)3 + 8R = 9 – 1 + 8R = 16

COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos particulares de divisionesexactas.Se denominan cocientes notables a ciertos casos partCOCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partexactas.

COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partCOCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos partexactas.

R = (R = 9R = 16

COCIENTES NOTABLES

Resto = (R = (R = 9R = 16

COCIENTES NOTABLESSe denominan cocientes notables a ciertos casos part

1 + 8

5

y

Resto = (-8 + 5)

8

()5 2

y

y

Resto = ( 8 + 5)2

R = (-3)2Resto = (Resto = (

+ (-1)38 + 5)8 + 5)

1 + 8

que adquiere dicho polinomio cuandoque adquiere dicho polinomio cuandoérico“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la

rico que adquiere dicho polinomio cuando

8

“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la

Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar

“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de la

Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar

“El resto de dividir un polinomio racional y entero en “x” entre un binomio de laque adquiere dicho polinomio cuando

Este teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuarEste teorema tiene por finalidad determinar el resto en una división, sin efectuar


De tal forma que sin efectuar la división, se puede escribir su desarrollo.

Forma General:ax

ax mm

donde Zm

CASO 1:ax

ax mm

es cociente notable cuando “m” es impar

CASO 2:ax

ax mm

es cociente notable cuando “m” es par

CASO 3:ax

ax mm

no es cociente notable

CASO 4:ax

ax mm

es cociente notable para cualquier valor de “m”

Desarrollo de C.N. :ax

ax 55

= x4 – x3a + x2a2 – xa3 + a4

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.

Forma General :

ax

ax mm

= xm-1 + xm-2a + xm-3a2 + … + am-1

t(k) = (signo) xm-k . ak-1

Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x-a) el signo de cualquier término es posi-tivo.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar par son negativos y los que ocupan lugar impar son positivos.

.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar

Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (x

Regla para el signo:Cuando el divisor es de la forma (xtivo.Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan unlugar par son


t(k) = (signo) x


Cuando el divisor es de la forma (x+a) el signo de términos que ocupan un

+ xm-2a + x+ x a + xm-3a2 + … +

= (signo) xm-k . ak-1

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.

m-1

a + x2a2 –x33a + x – xa3 + a

DETERMINACIÓN DE UN TERMINO CUALQUIERA DE UN C.N.

4

es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”es cociente notable para cualquier valor de “m”


ejemplo:Hallar el t(40) en el desarrollo del C.N. :

23

100150

ax

ax

solución:

23

502503 )()(

ax

ax

t

PROBLEMAS:

1. El resto de la división:

1

163).2().1( 21

x

nxnxnnx nnn

a) 17 b) 13 c) 15 d) 21 e) 19

SoluciónPor teorema del resto tenemos que: x = 1

1631).2(1).1(1. 21 nnnnR nnn

16321 nnnnR

13R Rpta. B

2. Hallar el residuo de:

1

32

450100

x

xxx

a) 4 b) 20 c) 71 d) 110 e) N.A.b) 20

Hallar el residuo de:

a) 4 b) 20

Hallar el residuo de:Hallar el residuo de:

n

13

Hallar el residuo de:

Por teorema del resto tenemos que: x = 1

).1(1 nn

32 n


1).1 1n1.n n

1621 n

d) 21


e) 19

1x

d) 21 e) 19


).

32xn 163).2 nx


Solución

1

32

450100

x

xxx=

1

32

22252502

x

xxxtomamos x2 = y

=1

322550

y

yyy

Por teorema del resto y = 1

R = 150 + 125 – 12 +3R = 1 + 1 – 1 + 3R = 4 Rpta. A

3. El resto de la división :

ax

axax

2

)( 777

a) 128a7 b) –127a7 c) 127a7 d) –126a7 e)126a7

SoluciónPor teorema del resto:

==> 777 )2(2 aaaaR777 128 aaaR

77 127aaR77 127aaR

7126aR Rpta. E

4. Para que la expresión:mn

mn

yx

yx33

sea cociente notable y su se-

gundo término en su desarrollo sea x2y2. Hallar nm.a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 e) N.A.a) 1 b) 4

4.

gundo término en su desarrollo sea xa) 1 b) 4

Para que la expresión:


Para que la expresión:Para que la expresión:



a7 127a

7126a

a7 127a

7127aR

126R


2( a7a

7a

Por teorema del resto:7 777 )( aa

7a

7c) 127a7 d) –126a–126a7


SoluciónSabemos que: 1

)( .. kkm

k BAsignot |1223

)2(mn yxt

mn yxt .)2(

mn yxyx .. 22

Entonces n = 2 , m = 2.422mn Rpta. B

5. Determinar el valor de “m” para que el cocientemm

mm

yx

x32

516

sea

cociente notable.a) 3 b) –3 c) 2 d) – 4 e) 4Solución

Por propiedadm

m

m

m 5

32

16

m

m

m

m 5

32

16

532

16

m

m

)32(516 mm

151016 mm

m4164m Rpta. E

6. Hallar el resto de dividir)1)(2(

7)1()2( 20002001

xx

xx

a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2x-4 e) 2x+4Solución

Sabemos que: D(x) = d(x).q(x) + R(x)Como el divisor es de segundo grado entonces, el residuo tiene laSabemos que:Como el divisor es de segundo grado e

Solución

Sabemos que:

a)Solución

Sabemos que:Sabemos que:Como el divisor es de segundo grado e

Hallar el resto de dividir

1 c) 3x+2 d) 2x


3 b) 2x


a) 3 b) 2x-1 c) 3x+2 d) 2xSolución

Sabemos que: D(x)

1 c) 3x+2 d) 2x


m

1510m

4 Rpta. E

Hallar el resto de dividir(x


forma de:R(x) = ax + bReemplazando:

baxxqxxxx )().1)(2(7)1()2( 20002001

Si x = 2 : ba 2.07)1(0 2000

ba27182 ba ........ (*)

Si x = 1 : ba 1.070)1( 2001

ba716ba .........(**)

Resolviendo (*) y (**):82 ba

6ba

a = 2 b = 4

Por lo tanto: R(x) = 2x +4 Rpta. E

7. Hallar el resto en:

54

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) x-1Solución

=54

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

=144

7)2(3)2(5)2(4)2(2

3246382

xx

xxxx

=1)2(

7)2.()2(3)2(5)2.()2(4)2(2

2122312412

x

xxxxxx

Hacemos que (x + 2)2 = yHacem

=(

Hacem

2(4 x

os que (x + 2)

)412

=

4)2(41

x

Hacemos que (x + 2)

2

)2(x

)2 82

a) x+2 b) 2x+1 c) 2x

=(4)( 82 x

(4)2( xx

5x1 d) x+1 e) xd) x+1 e) x

2 54

)2(5 24

x

x

a) x+2 b) 2x+1 c) 2x-1 d) x+1 e) xd) x+1 e) x

2x

Rpta. E

)2(3 324 x

Rpta. E


=1

7)2.(35)2.(4 123141

y

xyyxyy

Por el teorema del resto: y = -1

7)2).(1(3)1(5)2.()1(4)1(Re 123141 xxsto

7)2(35)2(41Re xxsto

7635841Re xxsto

1Re xsto Rpta. E

8. Hallar “m” para el polinomio x3 + x2 - 3mx + 5 al dividirlo entre x–1 dé como resto el doble de dividirlo entre x – 2.a) 27 b) 21 c) 18 d) 9 e) 3Solución

Aplicando teorema del resto a:

1

5323

x

mxxxx =1: 53111 mR

mR 371

2

5323

x

mxxxx =2: 56482 mR

mR 6172

Por dato del problema: R1 = 2R2

7 – 3m = 2(17 – 6m)7 – 3m = 34 – 12m

9m = 27m = 3 Rpta. E

9. Hallar el resto de dividir )6)(5)(4)(3)(2)(1( xxxxxx

entre 1172 xx

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5A) 1entreA) 1


11C) 3

Hallar el resto de dividir2


entre 72 xx

B) 2

7

m = 3

Por dato del problema: R7 – 3m = 2(177 – 3m = 34

9m = 27m = 3

Hallar el resto de dividir (x

x =2:

= 2R2= 2R3m = 2(17

2

172

x =2: 2R

R 172

3m = 2(17 – 6m)12m

6

37

4

11

111R

mR 31

648 m

5m 53


Solución

117

)6)(5)(4)(3)(2)(1(2 xx

xxxxxx

Multiplicando lo indicado tenemos:

117

)127)(107)(67(2

222

xx

xxxxxx

Hacemos que xx 72 = y

=11

)12)(10)(6(

y

yyy

Por el teorema del resto: y = -11)1211)(1011)(611(Re sto

)1)(1)(5(Re sto

5Re sto Rpta. E

10. Calcular el valor numérico del término central del cociente nota-ble originado al dividir:

44

100100

)()(

)()(

yxyx

yxyxpara x = 3, y = 22 .

A) 1 B) 2 C) 100 D) 200 E) 10000Solución

44

100100

)()(

)()(

yxyx

yxyx=

44

254254

)()(

)()(

yxyx

yxyx

El término central ocupa el 132

125término, entonces k = 13.

Aplicando la Ec.:Aplicando la Ec.:

El término central ocupa el

Aplicando la Ec.:

4 ()

(

xy


(

(

x

yx

A) 1A) 1 B) 2Solución

4

100

)(

)(

yx

yx


Aplicando la Ec.:

)y

4 )(

(

yx

x

C) 100 200

ble originado al dividir:

44

100

))

)

yy

ypara x = 3, y =

B) 2 C) 100 D)Solución

100)yx

Calcular el valor numérico del término central del cociente notCalcular el valor numérico del término central del cociente not

)1)(

Calcular el valor numérico del término central del cociente not

para x = 3, y =

11)(1111

)1211)(10

132 Aritmética y Álgebra Centro Pre—Universitario UNJBG1

)( .. kkm

k BAsignot |113413254

)13( )(.)( yxyxt

124124)13( )(.)( yxyxt

4848)13( ).()( yxyxt

48)13( )).(( yxyxt

4822)13( yxt

Reemplazando los valores de “x” e “y”4822

)13( )22()3(t

4889481

1Rpta. A


1. Si: P(x)= (x+2)30 +3x – 192, hallar el resto de1)3)(x(x

)(xP

A) 3x – 91 B) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

2. Calcular A+B si la división12

2522

234

xx

BAxxxxes exacta.

A)146 B)164 C)116 D)46 E)16

3. Hallar el término 21 en el siguiente cociente notable:20

2

11

2

x

xx.

A) x+1 B) x C) x2+1 D) x2-1 E) x-1

4. Señalar "m" para que222

732

mm

mm

ba

basea un cociente notable. De m2 +

m+1.

Señalar "m" para queSeñalar "m" para que

A) x+1 B) x C) x

4. Señalar "m" para que

m+1.

+1 D) x

Señalar "m" para que

Hallar el término 21 en el siguiente cociente

A) x+1 B) x C) x


A) x+1 B) x C) x2+1 D) x

Señalar "m" para que

1 E) x

Calcular A+B si la división

A)146 B)164 C)116 D)46 E)16


Calcular A+B si la división

A)146 B)164 C)116 D)46 E)16


1 E) x

) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x

3

191 E

2

) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x

192, hallar el resto de

) 3x + 19 C) x + 2 D) 3x – 191 E) N.A.

12

25 2

x

Axx

191 E) N.A.

llar el resto de(x 3)(x

x


192, hallar el resto de3)(x(x

(xP

191 E) N.A.


A)4 B)12 C)7 D)21 E)No es C.N.

5. ¿Cuál es la suma de los coeficientes del polinomio Q (x) si se sabe que esde tercer grado, su coeficiente principal es 1, es divisible por (x-2)(x+1) ycarece de término cuadrático?A) 4 B) –5 C) 7 D) –4 E) 9

6. Calcular el 7mo. Término del cociente:25

3075

yx

yx

A) 1540 yx B) 1240 yx C) 2040 yx D) 3040 yx E) 1218 yx

7. Dado el cociente notablecb

a

yx

yx 12

, el término de lugar “k” de su

desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c = 20y a3 + c3 = 5840. Calcular k.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

8. Cuando el polinomio DCxBxAxx 23415 se divide entre35 2 xx , se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de

uno en uno a partir del primer término y un residuo de 2x-9. HallarA+B-C+2DA) 7 B) -6 C) 12 D) -7 E) 0

9. El resto de dividir)1)(3(

1923)2( 2

xx

xx n

, es:

A) 3x-91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x-191 E) x+9

10. Hallar el resto en:1

)1(2

122

xx

xx nn

A) 0 B) 1 C) 3 D) 5 E) N.A.A) 0

Hallar el resto en:

B) 1 C) 3

Hallar el resto en:Hallar el resto en:

A) 0 B) 1 C) 3

El resto de dividir

91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x

1(x

El resto de dividir(

(

x

x

91 B) 3x+19 C) x+2 D) 3x

Hallar el resto en:)1(

2

2

x

x n

7 E) 0

3x

-7 E

, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un re

7 E) 0

)1

192, es:

Bx

, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un residuo de 2x

, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deCxBxAx 23

, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen deen uno a partir del primer término y un residuo de 2x

D se divide entre, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de

desarrollo tiene grado absoluto 11 y además se cumple que a + c =

Cx se divide entre, se obtiene un cociente cuyos coeficientes decrecen de


, el término de lugar “k” de su, el término de lugar “k” de su


, el término de lugar “k” de su

- 134 -

XFACTORIZACIÓN: DIVERSOS

MÉTODOSFACTORIZACIÓN

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multipli-cación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizarsignifica convertir una suma algebraica en producto de factores.

METODOS DE FACTORIZACIÓN

1.- FACTOR COMÚN: El factor común puede ser de tres tipos:factor común monomiofactor común polinomiofactor común por agrupación

a) Factor Común Monomio: Cuando el factor común a todos los térmi-nos del polinomio es un monomio.

ejemplo: Factorizar:

15a2b + 10a4b2 – 20a4b4

el factor común es: 5a2b15a2b + 10a4b2 – 20a4b4 = 5a2b (3 + 2a2b – 4a2b3)

b) Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es unpolinomio.ejemplo: Factorizar:

5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z)el factor común es: xy – z5a (xy – z) – 3b (xy – z) + 4 (xy – z) = (xy – z) (5a – 3b + 4)

c) Factor Común por agrupación: Se busca agrupar términos de modo

5a (xy

Factor Común por agrupación:c)

5a (xy

Factor Común por agrupación:

Factoriza

5a (xy – z) – 3b (xyel factor común es: xy

z)

polinomio.ejemplo:

Factor Común Polinomio:polinomio.ejemplo: Factoriza

5a (xyel factor común es: xy5a (xy – z)

Factorizar:

el factor común es: 5a15a2b + 10a

Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un

15a2b + 10a

el factor común es: 5ab + 10a4b

Factor Común Polinomio: Cuando el factor común que aparece es un

Factorizar:

20a4b

: Cuando el factor común a todos los térmmio.

b4

b

: Cuando el factor común a todos los térm: Cuando el factor común a todos los térm: Cuando el factor común a todos los térm

: El factor común puede ser de tres tipos:: El factor común puede ser de tres tipos:

Factorización, es el proceso de transformación de un polinomio en una multiplcación indicada de factores primos racionales y enteros: es decir, factorizar


que vuelva a aparecer un factor común en todo el polinomio.

ejemplo: Factorizar:xy – zy + xw – zw

agrupamos de la forma siguiente:

xy - zy + xw - zw

y(x – z) + w(x – z)(x – z) (y + w)

2. METODO DE IDENTIDADES

a) Diferencia de Cuadrados: Es una diferencia de cuadrados perfectos.

a2n – b2n = (an + bn) (an – bn)

Ejemplo: Factorizar: x6 – y8

x6 – y8 = (x3)2 – (y4)2

= (x3 + y4) (x3 – y4)

b) Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:

a2m + 2ambn + b2n = (am + bn)2 a2m – 2ambn + b2n = (am – bn)2 s

ejemplo: Factorizar: x8 + 6x4y2 + 9y4

x8 + 6x4y2 + 9y4 = (x4)2 + 2 . x4 . 3y2 + (3y2)2

= (x4 + 3y2)2

c) Suma o diferencia de cubos: Tiene dos cubos perfectos:

a3m + b3n = (am + bn) (a2m – ambn + b2n)

a3m – b3n = (am – bn) (a2m + ambn + b2n)

Suma o diferencia de cubosSuma o diferencia de cubosc) Suma o diferencia de cubos

a3m

a3m

Factorizar:

x

Suma o diferencia de cubos

: Tiene la siguiente forma:

8 + 6x


2m – 2a

= (x

Trinomio Cuadrado Perfecto: Tiene la siguiente forma:

a2m 2am

+ 6x4y2 + 9y

2 + 9y


mbn

)2 – (y+ y4) (x


= (x= (x= (x= (x= (x3)2 (y4(y(y )2

= (x3 + y ) (x3 – y


n

: Es una diferencia de cuadrados perfectos.: Es una diferencia de cuadrados perfectos.: Es una diferencia de cuadrados perfectos.


8x - 2x - 32

2x 1

4x -3

4x

- 6x

- 2x

ejemplo: Factorizar: x9 + 8

x9 + 8 = (x3)3 + 23 = (x3 + 2) [(x3)2 – x3 . 2 + 22]

= (x3 + 2) (x6 – 2x3 + 4)

3. METODO DEL ASPA

c) Aspa Simple: Se utiliza para factorizar trinomios de la forma:

ax2n bxn cx2n bxn c

PROCEDIMIENTO:Descomponemos los extremos en dos expresiones que multiplica-das los vuelve a reproducir.Luego multiplicar en aspa y sumamos estos productos. Este últimodebe coincidir con el término central.Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.

ejemplo: Factorizar: P(x) = 8x2 – 2x - 3

)34()12()( xxxP

d) Aspa Doble: Se aplica para factorizar polinomios de la forma:

ax2n bxnyn cy2n dxn eyn f

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntérmino se completa con coeficiente cero. También el método de aspatér

o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún

mino se completa con coeficiente cero. También el

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar

ax

Es decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algúntér

o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún

mino se completa con coeficiente cero. También el

: Se aplica para factorizar polin

cy2ncy

decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodar

Aspa Doble: Se aplica para factorizar polin

bxn

Aspa Doble: Se aplica para factorizar polin

2n bxnyn

decir, que se aplica generalmente a polinomios de 6 términos con 2o 3 variables. Para efectuar las pruebas del aspa hay que acomodarlos términos del polinomio de un modo conveniente; si falta algún

2()(xP 12(( xP

: Se aplica para factorizar polin

2x 1

4x -3 - 6x

2x 12x 1

4x -3 - 6x

- 2x

4x

2x - 3

Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.

tos productos. Este último

Finalmente escribiremos los factores del polinomio dado.


Descomponemos los extremos en dos expresiones que multipDescomponemos los extremos en dos expresiones que multip


a-


doble se aplica para algunos polinomios de 4to. grado.Ejemplo: Factorizar: E = 6x2 + 7xy – 3y2 + 11x – 11y – 10

6x + 7xy - 3y + 11x - 11y - 102 2

3x - y -2

2x 3y 5

III III

Verificando los términos

I IIIII 9xy- 2xy

+7xy

: - 5y- 6y

-11y

: 15x- 4x

11x

:

Luego la expresión factorizada es:

E = (3x – y – 2) (2x + 3y + 5)

Aspa Doble Especial: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de laforma general:

ax4 bx3 cx2 dx e

PROCEDIMIENTO:

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus facto-res primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta ma-nera se obtiene un término de 2do. grado.A este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al tercer término.

Con este otro término de 2do. grado colocado como tercer términodel polinomio, se descompone en sus factores en forma conveniente.ejemplo: Factorizar: E = x4 – 10x3 + 19x2 – 18x + 9del polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:del polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:

Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiene un término de 2do. grado.

esultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al te

Con este otro término de 2do. grado coldel polinomio, se descompone en sus factores en forma convenie

Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiA este r

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factSe descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta mnera se obtiA este resultado se le debe sumar algebraicamente otro término de2do. grado para que sea igual al te

Con este otro término de 2do. grado coldel polinomio, se descompone en sus factores en forma convenieejemplo:

ne un término de 2do. grado.esultado se le debe sumar algebraicamente otro término de

PROCEDIMIENTO:

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.

dx

PROCEDIMIENTO:

Se descompone los términos extremos (primero y quinto) en sus factres primos con signos adecuados.Efectuar el producto de los factores en aspa y se reduce. De esta m

ne un término de 2do. grado.

: Se usa para factorizar p: Se usa para factorizar p: Se usa para factorizar p

y – 2) (2x + 3y + 5)

: Se usa para factorizar p


2) (2x + 3y + 5)

Luego la expresión factorizada es:Luego la expresión factorizada es:

2) (2x + 3y + 5)

: Se usa para factorizar polinomios de 4to. grado de la


- 6y- 5y- 6y

-11y

- 4x

11x

:III 15x- 4x

:


solución:x - 10x + 19x - 18x + 94

x 9

x 1

3 2

2

2

9x

x

10x

2

2

2

Se observa que falta: 19x2 – 10x2 = 9x2

Se descompone 9x2 en factores en forma conveniente y se verifica el 2do. y4to. término.

X X

- X 1X

- 9 92

2

I II

Verificando los términos:

- XX X

X

X X

- 9 - 9- 9

- 10 - 18

3I II

La expresión factorizada es:

E = (x2 – 9x + 9)(x2 – x + 1)

4. MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fac-tores de primer grado de forma:

x B ; A x BEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entonces P(x) es divisible por (x – a)

Procedimiento:- Se determina por lo menos un cero del polinomio- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o

factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor ob-

factor.El otro facto

Se determina por lo menos un cero del pol- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o

Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 entoProcedimiento:

- Se determina por lo menos un cero del pol- De acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o

factor.- El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor o

Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento

Se determina por lo menos un cero del polDe acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o


Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte faPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:


Se determina por lo menos un cero del polDe acuerdo con el cero se halla el divisor, que es un divisor binomio o

El otro factor se determina dividiendo el polinomio entre el divisor o

Es decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento

x + 1)

MÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:Permite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte faMÉTODO DE DIVISORES BINOMIOSPermite la factorización de un polinomio de cualquier grado que acepte fatores de primer grado de forma:

x B ; AEs decir, Dado un P(x), si P(a) = 0 ento

X

- 9- 18

- 9- 9

- 18

II

XX

- 9- 9

1


tenido mediante la regla de RUFFINI.Ejm:Factorización: P(x) = x3 + 6x2 + 11x + 6Sol:

Se determina los posibles ceros del Polinomio para valores de: x =1, 2, 3, 6

Para x = – 1P(-1) = (-1)3 + 6(-1)2 + 11(-1) + 6 = – 1 + 6-11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡

Luego (x + 1) es el factor del polinomioDividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:

1 6 11 6-1 -1 -5 -6 1 5 6

Luego el polinomio factorizado es: ( x – 1)(x2 +5x + 6)

Finalmente (x – 1)(x + 3)(x + 2)

5. METODO DE ARTIFICIO DE CALCULOa) Reducción a diferencia de cuadrados

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una di-ferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.Ejm: Factorización E = 49x4 + 5x2y4 + y8

Solución:Se observa que los extremos son cuadrados perfectosEntonces:E = 49x4 + 5x2y4 + y8

E = (7x2)2 + (y4)2 + 5x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 – 14x2y2 + 5 x2y4

E = (7x2)2 + 2.7 x2. y4 + ( y4)2 + 5 x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – 9x2y4

E = ( 7x2 +y4)2 – (3xy2)2

E = ( 7x2 +y4 + 3xy2 ) ( 7x2 + y4 – 3xy2 )E = ( 7x

E = ( 7x

E = ( 7x

+ 2.7 x

+y4)2 –

E = ( 7x2 +y4)2

E = (7x

E = ( 7x

E = (7xE = (7x )

E = (7x2)2 + 2.7 x

E = ( 7x2 +y

E = ( 7x

E = ( 7x2 +y

2

+ (y4)2 + 5x

+ 2.7 x2. y4 + ( y4)

+ 5x2y4y + y

E = (7x ) + (y + 5x2y4y

E = (7x2)2 + 2.7 x + ( y4

+ 2.7 x2. y4 + ( y

+ 5x

Se observa que los extremos son cuadrados perfectosSe observa que los extremos son cuadrados perfectos

ferencia de cuadrados sumando y referencia de cuadrados sumando y remanera que se complete el trinomio cuadrEjm: Factorización E = 49x4manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr

+ 5x2manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr

y4y

Se observa que los extremos son cuadrados perfectos

4

Se observa que los extremos son cuadrados perfectos

Consiste en transformar una expresión (trinomio en gentando una misma expresión de tal

manera que se complete el trinomio cuadrado perfecto.do perfecto.ferencia de cuadrados sumando y referencia de cuadrados sumando y reConsiste en transformar una expresión (trinomio en genferencia de cuadrados sumando y re

Reducción a diferencia de cuadradosConsiste en transformar una expresión (trinomio en genferencia de cuadrados sumando y restando una misma expresión de talmanera que se complete el trinomio cuadr do perfecto.

4manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr

+ y8manera que se complete el trinomio cuadrmanera que se complete el trinomio cuadr

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una dtando una misma expresión de tal

+5x + 6)

Consiste en transformar una expresión (trinomio en general), a una d

+5x + 6)+5x + 6)

Dividiendo P(x) entre el factor obtenido por regla de RUFFINI:

11 + 6 = 0 ¡ se anula ¡


b) Método de Sumas y RestasConsiste en sumar y restar una Misma cantidad de tal manera que seforme una suma o diferencia de cubos y se presenta el factor:

x2 + x + 1 ó x2 – x + 1

algunas veces también se completa el PolinomioEjm: Factorizar : E = x5 + x – 1

Solución:Sumando y restando x2

]1)1()[1(

)1()1)(1(

)1()1(

)1(

1

22

222

232

225

225

xxxxE

xxxxxxE

xxxxE

xxxxE

xxxxE

)1)(1( 232 xxxxE

c) Cambio de Variable:

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obten-ga una forma de factorización mas simple.

Ejm:Factorizar:

38)242)(32(

38)6)(4)(3)(1(22 xxxxE

xxxxE

haciendo: x2 – 2x = a

)52)(222(

)5)(22(

11027

387227

38)24)(3(

22

2

2

xxxxE

aaE

aaE

aaE

aaE

( 2x

E

2(

(

xE

aE

E

)5)(

110

72

a

a

27a

haciendo: x2haciendo: x

222

)(22

27

7227

24)(3(

2

2

x

a

aa

aaE

aa

2)(3

)(2 xx

x

2x = a38

)242)(32

)(4

xx

x

2x = a

38

38)24

Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obterización mas simple.



Consiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obteConsiste en cambiar una variable por otra, de tal manera que se obte


PROBLEMAS:

1. Factorizar: 1)1)(2()1)(2)(3( xxxxxx

a) 2)3)(1( xx b) )3)(2( xx c) )1()2( 2 xx d) )3()1( 2 xx

e) 22 )3()1( xx

Solución

(x+3)(x+2)(x+1) + (x+2)(x+1) + (x+1)(x+1)[(x+3)(x+2) + x+2 + 1]

(x+1)[x2+5x+6+x+3]

(x+1)[x2+6x+9]

(x+1)(x+3)2 Rpta. A

2. Factorizar: x3 + y3 – 3xy +1a) (x+y+1)(x+y)2

b) (x+y+1)(x+y+1)2 c) (x+y+1)(x2-xy+y2-x-y+1)d) (x+y+1)(x2+y2-x-y+1) e) (x+y+1)(x2+y2-xy-x-y)

Solución1333 xyyx

133333 223223 xyxyyxyxyyxx

xyxyyxyx 3331)( 223

xyxyyxyx 3331)( 223

)1(31)( 3 yxxyyx

)1(31)()()1( 2 yxxyyxyxyx

xyyxyxyxyx 312)1( 22

)1)(1( 22 yxyxyxyx Rpta. C

3. Uno de los términos independientes de los factores simples de:6104 245 xxxxE es:

a) –2 b) 4 c) 3 d) 6 e) –3a)

3.

a) 2 b)

)(

Uno de los términos independientes de los factores simples de:4 45 x

2 b) 4 c

y

Uno de los

yx(

)(1( yx

Uno de los5xE

2 b) 4 c

31 xy

)() 2yx

xy22

yx3 2

(3 yxxy

(()1 2 xy

yx)1 22

)( 22 yxyx

3xy3

3

y3 23 yxy

xyxy 2

xy

2

+1) e) (x+y+1)(x2+y+1) e) (x+y+1)(x +y

33 2xy

c) (x+y+1)(xx-y)

c) (x+y+1)(xc) (x+y+1)(x2-xy+yxy-x y)

-y+1)y+1)


Solución

Por método de RUFFINI tenemos:1 4 0 -10 -1 6

1 1 5 5 -5 -6

1 5 5 -5 -6 /1 1 6 11 6

1 6 11 6 /-1 -1 -5 -6

1 5 6 /-2 -2 -6

1 3 /

Entonces E = (x-1)2(x+1)(x+2)(x+3)El términos independientes buscado es 3. Rpta. C

4. Factorizar: E = x2-y2+y(x-y)+x(x+y)+xya) (2x+y)(2y-x) b) (2x-y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)(2x+y)(x+y) e) N.A.Solución

xyyxxyxyyxE )()(22

xyxyxyxyyxE 2222

xyyxE 322 22

xyxyyxE 422 22

)2(2)2( xyyyxxE

)2)(2( yxyxE Rpta. B

5. Calcular el término independiente de uno de los factores de:504)4)(6)(7)(5( xxxx

A) 9 B) 18 C) 6 D) 2 E) 12)(

A) 9 B) 18

Calcular el término independiente de uno de los factores de:(x

A) 9

Calcular el término independiente de uno de los factores de:Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(5x

A) 9 B) 18

2

Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(x

)(yx

)2( yxx

)(2( xyxE

Calcular el término independiente de uno de los factores de:)(7)( xx

B) 18 C)

y

xy3

xyxy4

2y

y)

xy 2

y

xyy 42 2

)2(2 xyy

)y

y)

xy

y)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xyy)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)

xy

xy

y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)y)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xyy)+x(x+y)+xy

El términos independientes buscado es 3.

y)+x(x+y)+xyy)(2y+x) c) (2x+y)(2y+x) d)

Rpta. CRpta. C


Solución504)4)(6)(7)(5( xxxx =

Multiplicando lo indicado tenemos:504)42)(20( 22 xxxx

Hacemos que xx 2 = y504)42)(20( yy

504840622 yy

336622 yy

)6)(56( yy

Reemplazando el valor de y)6)(56( 22 xxxx

)2)(3)(7)(8( xxxx

Rpta. D.

6. Un factor de: )464(12 432232 yxyyxyxx

A) 221 yxy B) 122 yx C) 221 yxy D) 2221 yxy

E) 122 2yxy

Solución

)464(12 432232 yxyyxyxx =

= )464(12 43223442 yxyyxyxxxx

)464(12 43223424 yxyyxyxxxx422 )()1( yxx

2222 )()1( yxx2222 )()1(.)()1( yxxyxx

222222 21.21 yxyxxyxyxx222 21221 yxyxyxy

Rpta. A7. El factor de grado uno respecto a “x” en

3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH es:A) x-y B) x+y-z C) y+z D) x-y+z E) x+z

(H

A) x

7.7. El factor de grado uno respecto a “x” en;( yx

A) x-y

El factor de grado uno respecto a “x” enEl factor de grado uno respecto a “x” en);; zy

1

(x2(x )

x2(x

2 )1x

)12 1x

4xy4x

1

y4

y 4 32 xyy

4(1 4 xx

4( 4x4)yx

3

yyx

C) 21 yxy

)4y =3

3xy2 D) 1

)Rpta. D.

)4 43 yxy

D) 21 xy

Rpta. D.Rpta. D.


Solución3222 )()();;( yyxzyzxxzyxH

3223);;( yzyzxxyzxzyxH2233);;( zyzxxyzyxzyxH

)())(();;( 2222 yxxyzyxyxyxzyxH

))(();;( 22 zyxyxyxzyxH

Rpta. D

8. Un factor de P(a;b) = 2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 2, es:A) 2a +3b – 1 B) 3a – 2b +1 C) a – b – 1 D) 2a + b –2 E) a + 3b – 2

Solución2a2 – 3b2 + 5ab – 3a + 5b – 22a2 + 5ab –3b2–3a+5b–2

Comprobando:

aaa

bbb

ababab

34

523

56

Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3b – 2)Rpta. E

9. Al factorizar el polinomio 44 814);( yxyxP , y evaluar uno de

sus factores para x = y = 2 , se tiene:A) 8 B) –8 C) 22 D) –2 E) 34Solución

44 814);( yxyxP224224 3681364);( yxyyxxyxP

22222 36)92();( yxyxyxP2222 )6()92();( xyyxyxP

xyyxxyyxyxP 692.692);( 2222

)y

yxP );(

(xP

P

(P

; yxP

);( yxP (

xyP 2)(

81236 yx

2 92 yx

4) x

4

–

2() xy22( x

B) –8ución

4);( xyx44);( xyxP

2

2

Al factorizar el polinomio

sus factores para x = y =C) 22 D) –2 E) 34

Por lo tanto los factores son: (2a

Al factorizar el polinomio P

sus factores para x = y = 2 , se tiene:8 C) 22 2 E) 34

481y

Por lo tanto los factores son: (2aPor lo tanto los factores son: (2a –Por lo tanto los factores son: (2a – b + 1)(a + 3bRpta. E

44x

2 E) a + 3b


evaluando los factores para x = y = 2

* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx

= 1012184

* )2)(2(6)2(9)2(2692 2222 xyyx

= 3412184Rpta. E

10. Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:1014744 22 bababa

A) 5 B) 7 C) 9 D) 10 E) 13Solución

1014744 22 bababa = 1014744 22 bababa

= 10272 2baba

Haciendo a+2b=x= 1072 xx

= )2)(5( xx

Reemplazando el valor de x= 2252 baba

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; lasuma es 7.

Rpta. B


1. Factorizar: 656128 23 xxx

A) 3)52( x B) 3)132( x C) )1344)(52( 2 xxx D) 3)52( x

E) )1344)(52( 2 xxx

2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(x-3)(x-6) + 38 es:A) 27 B) –27 C) 22 D) –22 E) N.A.A) 27

La suma de los términos independientes de los factores de:P

2. La suma de los términos independientes de los factores de:P = (x+1)(x+4)(xA) 27

x

La suma de los términos independientes de los factores de:= (x+1)(x+4)(x

5x

3)52( x

E) 4)(52( xx

La suma de los términos independientes de los factores de:= (x+1)(x+4)(x

B)

PRO

12 23 x

132( x C)


Factorizar: 68 3 xx3 B) 3)132( x

)1342 x

Rpta. B

BLEMAS PROPUESTOS

Rpta. B

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la

Rpta. B

BLEMAS PROPUESTOS

Reemplazando el valor de x2b

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; laPor tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la=

)(5)(5Reemplazando el valor de x= 5 aba

Por tanto los términos independientes de los factores son 5 y 2; la

)Reemplazando el valor de x

2b

x

Haciendo a+2b=x10

)2Reemplazando el valor de x

2

2

7a

102b

1014b

Hallar la suma de los términos independientes de los factores de:


3. Si: 3333 )()()()( cabacabaR . Hallar la suma de loscoeficientes de uno de los factores.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.

4. Al factorizar la expresión pqqxpyxyzzxyE )()( 23 ; uno delos factores es:A) zyx 22 B) qzxy2 C) qzxy2 D) pyzx2 E) xyz - q

5. Factorizar 3333)();:( zyxzyxzyxP , e indique el númerode factores lineales primos.A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2

6. Factorizar 1234)( 246 nnnnnF , e indicar el producto de loscoeficientes de uno de los factores.A) 8 B) 7 C) 3 D) 6 E) 9

7. Si )32(3)4)(1()( 22 yyyyT , entonces la suma de los facto-res es:A) 2y2-4 B)2y-4 C) y2+2y+5 D) y-5 E) N.A.

8. Uno de los factores de P(x) = x2 + x – 1 es:A) x2-x+1 B) x2+x+1 C) x2-x-1 D) x3-x2-1 E) x3+x2+1

9. En el polinomio 4222 24)(14)();( yyxxyyxxyxP , señaleuno de los factores primos.A) x+4y B)x+3y C) x+2y D) x-y E) N.A.

10. Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6x-65, la suma de los coeficientes deuno de los factores es:A) –1 B) –2 C) –3 D) 20 E) N.A.A) –

los factores es:C) –3

los factores es:B)

Al factorizar E(x) = 8xuno de los factores es:

1 B) –2 C) D) 20

(x

los factores primos.C) x+2y

3 12x2

);( yx

los factores primos.B)x+3y C) x+2y

Al factorizar E(x) = 8x3-12x2+6xlos factores es:

D) 20

x – 1 es:

2)

1 es:D) x3-

Uno de los factores de P(x) = x2

D) y-D) y 5

2 + x 1 es:x-1 D) x -x

22 14xy

-1

E) N.A.E) N.A.E) N.A.

, entonces la suma de los fact, entonces la suma de los fact

E) N.A.

2 1

, entonces la suma de los fact, entonces la suma de los fact

, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los, e indicar el producto de los

indique el número

- 147 -

XIMÁXIMO COMÚN DIVISOR – MÍNIMO

COMÚN MÚLTIPLO, FRACCIONES,SIMPLIFICACIÓN

I. MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-MIOS

Máximo común divisor: Para determinar el MCD se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXPO-NENTE.

Mínimo Común Divisor : Para determinar el MCM se factorizan las expre-siones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con suMAYOR EXPONENTE.Ejm : Hallar el MCD y MCM de Ay B

1)(y5)(x8)(x

5)(x8)(x1)-(x93

357

B

A

Sol :

1)(y5)(x8)(x1)-(xB)(A,

5)(x8)(xB)(A,957

33

MCM

MCD

II. FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomina-dor donde este último es a lo menos de primer grado.Por ejemplo

6

7*

y-

32*

5

52

-x

x

x -x

**5 -x

y-

3 5

x

x

Por ejemplo

2x

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomindor donde este últPor ejemplo

6

7

32*

2

x

-x

(A,MCM

FRACCIONES ALGEBRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denominmo es a lo menos de primer grado.

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomin

B)(A,

(A,

MCM

FRACCIONES ALG BRAICAS

Es la división indicada de dos polinomios llamados numerador y denomindor donde este último es a lo menos de primer grado.

1)

8)(x7

(x

(y

3

1)(y

5)3

8)(x

5)(x8)(x 33

CM de Ay B

: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con susiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su

: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su

: Para determinar el MCM se factorizan las expr

siones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP

: Para determinar el MCM se factorizan las exprsiones y se forma el producto de factores comunes y no comunes con su

Para determinar el MCD se factorizan las expsiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP

: Para determinar el MCM se factorizan las expr

Para determinar el MCD se factorizan las exp

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLIN

Para determinar el MCD se factorizan las expsiones y se forma el producto de factores comunes con su MENOR EXP

MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE POLINO-

Para determinar el MCD se factorizan las expre-

SIMPLIFICACIÓNNES,

SIMPLIFICACIÓN


III. SIMPLIFICACIÓN DE FRACCIONES: Para simplificar una fracción se fac-toriza el numerador y el denominador y se elimina los factores comunesque aceptan.

Ejm : Simplificar :

a

x -E

xa

x -E

ax

x -xE

2

2

3)-(2

2)-(x)3(6a-2

652

Operaciones con Fracciones algebraicas :* Suma y Resta:

Tener presente los siguiente:- Simplificar las fracciones si es necesario.- Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de

los denominadores.- Se divide el mínimo común denominador entre cada denominador y

se multiplica por el numerador respectivo.- Finalmente simplificar la fracción obtenida.

* Multiplicación y División :Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ydenominadores y luego multiplicar estos entre si.Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que actúa co-mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 1. :

Efectuar12x-

3

1-

222 xx

Solución :

2

2

2

2

1)-(1)(

15

1)-(1)(

332-2

1)-(1)(

1)(31)-(2

1)-(

3

1)-(1)(

2

xx

x

xx

xx

xx

xx

xxx

Ejemplo 2.Efectuar :

2xy-

y2xyx*

xy-

2-2

22

2

2

xx

yxy

Solución :

2

2

2

x

y)(x

2y)-(y)(

y)(x)2-(

2y)-(

y)(x*

y)(

)2-(

y

xxxx

yxy

xxxx

yxy

1)(x (1)(x

2

1

1)-

3

1)

x

2-

1)

21)-(

15

(1)(

3-2

1)-(1)(

(31)-(

x

x

xx

xx

xx

x

2

1)

1)-(

3

x

2x-2x

2

2

1)

1)(

1)

3

1)-(

x

x

mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 2.Efectuar :

denominadores y luego multiplicar estos entre si.denominadores y luego multiplicar ePara dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.

Ejemplo 2.Efectuar :

2-2x

xy

mo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Ejemplo 2.

Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ytos entre si.

Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que a

tos entre si.tos entre si.Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y

tos entre si.

nalmente simplificar la fracción obtenida.nalmente simplificar la fracción obtenida.

Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores ytos entre si.

Para dividir una fracción entre otra se invierte la fracción que amo divisor y se procede como en el caso de la multiplicación.

Ejemplo 2.

Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y

mún denominador entre cada denominador y

Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de


Para multiplicar fracciones se recomienda factorizar numeradores y

Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador de


Se halla el MCM determinando el mínimo común denominador deSe halla el MCM determinando el mínimo común denominador de


Máximo común divisor – mínimo común múltiplo, fracciones, simplificación 149

PROBLEMAS:

1. Hallar el Máximo Común Divisor de:234 6xxxA y xxxxB 12167 234

a) x2(x+1) b) x(x+2) c) x(x+2)2 d) x+2 e) x2

Solución

)2)(3()6(6 222234 xxxxxxxxxA223234 )2)(3()12167(12167 xxxxxxxxxxxB

MCD(A,B) = x(x+2)Rpta.B

2. Calcularnmc

mkaE

b

b

, siendo )4(3 11 mn yxA ;

)8(2 11 mn yxB . Además el MCM de A y B es 4ycxa y el MCD

de A y B es .5 bykx

a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15Solución

1111 12)4(3 mnmn yxyxA1111 16)8(2 mnmn yxyxB

MCD(A,B) = 114 mn yx por dato del problema

MCD(A,B) = .5 bykx

Entonces : 114 mn yx = bykx5

k = 4n – 1 = 5 ==> n = 6m – 1 = b

MCM(A,B) = 1148 mn yx por dato del problema

MCM(A,B) = 4ycxa

Entonces : 1148 mn yx = 4ycxa

c = 48= 48

MCM(A,B) =

Entonces :

MCM(A,B) =

Entonces :

c = 48

1 = bMCM(A,B) =

MCM(A,B) = cxa

48x

m – 1 = bn – 1 = 5 =m 1 = b

MCM

MCM(A,B) =

Entonces : 48

(A,B) =

ykx14 mn yx

1 = 5 ==> n = 6

MCD(A,B) =

.5 bykx14x = kx

1 = 5 ==> 6

(A,B) =

my

1 mn y por da

m 1my1116 mn yx

1mnx por dato del probl

a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15

demás el MCM de A y B es

a) 43/35 b) 44/17 c) 43/36 d) 35/43 e) 16/15

4 y el MCD

1) ;

4ya y el MCD


n + 1 = a ==> 6 + 1 = a ==> a = 7m + 1 = 4 ==> m = 3reemplazando en la Ec. : m – 1 = b

3 – 1 = b ==> b = 2

Por tanto:nmc

mkaE

b

b

6348

3472

2

E

45

48E

15

16E Rpta. E

3. Simplificar:22

2

)()1(

1

xbbx

bM

a)x1

1b)

21

1

xc)

21

1

xd)

x1

1e)

1

1

x

Solución

)1)(1(

1 2

xbbxxbbx

bM

)1)(1(

1 2

xbbxxbbx

bM

4. Simplificar a su mínima expresión:

2

222

xxy

yxy

xy

yxE

a) x2 b) x – 2y c) x d)xy

yxy 22e)

y

x

Solución

)(

)(22

xyx

yxy

xy

yxE

xy

Solución

E

a) x

Solución

2

xy

xE

2y c) x d)b) x – 2y c) x d)

y

xyxy

b) x 2y c) x d)

Solución

2y

2y c) x d)

Simplificar a su mínima expresión:

2

2

x

yxy

bbx

Simplificar a su mínima expresión:2

xxy

xy

2y c) x d)xy

bx

bx

x)(

b

1)( bbx

)

2

xb

b

xxe)

1x

)x


)(

)(22

xyx

xyy

xy

yxE

x

y

xy

yxE

22

xy

yyxE

222

xy

xE

2

y

xE Rpta. E

5. Si la expresiónqnx

qmxE

2

, es igual a 1; hallar el valor de

mq

nF

2

, sabiendo que “x” toma un solo valor.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 4 e) 8Solución

Por dato del problema: 12

qnx

qmx

qnxqmx 2

022 qnxmx

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grado, y tambiénpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, entonces:

Para que “x” tenga una solución debe cumplir: 042 acb

Reemplazando tenemos:

02..4)( 2 qmn

mqn 82

Finalmente:mq

nF

2

Finalmente:Finalmente:

Reemplazando tenemos:Reemplazando tenemos:

Para que “x” tenga una solución debe cu


Finalmente:

La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e


por dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e


La Ec. anterior tiene la forma de Ecuación de segundo grpor dato del problema, “x” debe tomar un solo valor, e



nx

mx 2

2 nx

nx

Por dato del problema:2

qnx

qmx

qnxqmx 2

2qnx

ior tiene la forma de Ecuación de segundo gr

e) 8

abiendo que “x” toma un solo valor.abiendo que “x” toma un solo valor.

e) 8

1

abiendo que “x” toma un solo valor.abiendo que “x” toma un solo valor.

igual a 1; hallar el valor de

abiendo que “x” toma un solo valor.

igual a 1; hallar el valor deigual a 1; hallar el valor de


mq

mqF

8

8F Rpta. E

6. Descomponer en fracciones parciales:

cz

C

bz

B

az

A

zzz

zz

652

261523

2

. La suma “A + B + C”

es igual a:a) 5 b) 2 c) 1 d) –2 e) –1Solución

cz

C

bz

B

az

A

zzz

zz

)2)(3)(1(

26152

231)2)(3)(1(

26152

z

C

z

B

z

A

zzz

zz

)2)(3)(1(

)3)(1()2)(1()2)(3(

)2)(3)(1(

26152

zzz

zzCzzBzzA

zzz

zz

)3)(1()2)(1()2)(3(26152 zzCzzBzzAzz

Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:Si z = 1 : -1 + 15 – 26 = A(-2)(3)

-12 = -6AA = 2

Si z = 3: -9 + 45 – 26 = B(2)(5)10 = 10B

B = 1Si z = -2: - 4 – 30 – 26 = C(-3)(-5)

- 60 = 15CC = -4

Entonces: A + B + C = 2 +1 – 4= -1 Rpta. E

7. Sean P(x) = Ax2 + 2x – B; Q(x) = Ax2 – 4x + B. Si: (x-1) es elSean P(x) = Ax

Entonces: A + B + C = 2 +1

7. Sean P(x) = Ax

Entonces: A + B + C = 2 +1Entonces: A + B + C = 2 +1Entonces: A + B + C = 2 +1

Sean P(x) = Ax

– 30 – 26 = C- 60 = 15C

26 = C(60 = 15C

9 + 45 – 26 =10 =

B =- 4 – 26 = C(

60 = 15CC =

26 = A(-2)(3)6A

26 = B(2)(5)

26 = A(12 =

Dando valores a “z” en la Ec. anterior t26 = A( 2)(3)12 = -6A

226 = B(2)(5)

)(1 z

nemos:(B

)(1)(1 zz

)21(zB

Dando valores a “z” en la Ec. anterior tenemos:

)(z

(z

)(1

)2)(3

)2)(z

)(1

)(1 z 3)(z


MCD de P y Q, hallar el cociente B/A.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5Solución

Sean: 1),(4)(

2)(2

2

xQPMCDBxAxxQ

BxAxxP

Entonces P y Q son divisibles por x-1Entonces x – 1 = 0

x = 1* En P(x)A(1)2 + 2(1) – B = 0A – B = -2 ……. (1)* En Q(x)A(1)2 - 4(1) + B = 0A + B = 4 …….. (2)

Resolviendo Ec. (1) y (2):A – B = -2A + B = 42A = 2

A = 1B = 3

Por lo tanto 31

3

A

B

3A

B

Rpta C

8. Efectuar y simplificar:2233

2

yxyx

x

yx

xy. El numerador es:

A) x(y-x) B) x(x+y) C) x-y D) x+y E) xy(x-y)Solución.

2233

2

yxyx

x

yx

xy=

2222 ))((

2

yxyx

x

yxyxyx

xy

xx

Solución.xy

A) x(ySolució

Efectuar y simplificar:

A) x(y-x)Solución

3

2

y

xy

B) x(x+y)

Efectuar y simplificar:2

A

B

Efectuar y simplificar:x

B) x(x+y)

3

Rpta C


=))((

)(222 yxyxyx

yxxxy

=))((

222

2

yxyxyx

xyxxy

=))(( 22

2

yxyxyx

xxy

=))((

)(22 yxyxyx

xyx

El numerador es: x(y-x)Rpta. A

9. Hallar M + N para que se tenga:35152

62 y

N

y

M

yy

y

A) 11/8 B) 3/8 C) 7/4 D) 1 E) –3/8Solución.

35152

62 y

N

y

M

yy

y

)3)(5(

)5()3(

152

62 yy

yNyM

yy

y

)3)(5(

53

)3)(5(

6

yy

NNyMMy

yy

y

Simplificando denominadores tenemos:NNyMMyy 536

NMyNMy 53)(6Entonces:

M + N = 1-3M +5N = -6

653

333

NM

NM

8N = -3

8

3N

5NM

N

8N =

3M +5N =3M

M + N = 1-3M +5N =

3

3

M

NM

Ny

MyN 3)

M + N = 1

Simplificando denominadores tenemos:Ny 5

NMN 5

M + N = 13M +5N = -6

3

)3

5N

Simplificando denominadores tenemos:

)3

)3y

NNy

Simplificando denominadores tenemos:

)

y 3y

N


8

11M

Por lo tanto: 18

8

8

3

8

11NM

1NM

Rpta. D

10. Reducir la expresión:

yx

y

yx

yx

yxyx

xy

K

2

21

8

8

24

82

33

33

22

A) 28 B) –8 C) 12 D) –6 E) 2Solución

yx

y

yx

yx

yxyx

xy

K

2

21

8

8

24

82

33

33

22

yx

yyx

yx

yx

yxyx

xyyxyx

K

2

22

8

8

24

8248

33

33

22

22

yx

yx

yx

yx

yxyx

yxyx

K

2

2

)2(

)2(

24

248

33

33

22

22

yx

yx

yyxxyx

yyxxyx

yxyx

yxyx

K

2

2

).2)2)((2(

).2)2)((2(

24

)24(2

22

22

22

22

yx )((2(

x)2(

(

x

xK

2(

2(

(

x

xy

xyx

xy

2

2

24

4

3

3

2

yx

y

y

yx

yxyx

xy

2)

)2(

4

24

33

3

2

x4(2 2

yy

xy

yy

y

xy

2

82


yx

yx

yxyxyx

yxyxyx

yxyx

yxyx

K

2

2

)24)(2(

)24)(2(

24

)24(2

22

22

22

22

)2)(24)(2)(24(

)2)(24)(2)(24(22222

2222

yxyxyxyxyxyx

yxyxyxyxyxyxK

Simplificando la Ec. Anterior tenemos:

2K

Rpta. E


1. El MCD de ;)( 22yxy 322 32 yxyyx ; 43 ayyax ; 32 yyx ;es:A)x(x+y) B)x(x-y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.

2. Efectúe y simplifique:abb

aba

abb

ababa

2

2

2

222 )( . El denomi-

nador es:A) 22 ba B) 22 ba C) 22 ab D)a+b E)a(a-b)

3. Simplifique .1212

11

nn

nn

xyyx

xyyxE

A) nn yx B) nn yx C)1nn yx D)

1nn yx E)

21nn yx

4. Reducir la expresión:

x

E

33

33

33Reducir la expresión:Reducir la expresión:cir la expresión:

B)y B)1ny

cir la expresión:

12n

n

yx

yx

ny C)

2

1

n

n

xy

xyy

B) n yx C)

2a D)a+b E)a(aD)a+b E)a(a

a

abb2)

22 a D)a+b E)a(aD)a+b E)a(a

y) E)N.A.

b

aab2

2abab2

y) C)y(x+y) D)y(x-y) E)N.A.

abb

ab

ab

ab 2

ay3 yax 4ayy ; 3y ;


A)32

)2(2

x

xB)

32

)2(3

x

xC)

32

2

x

xD)

3

2

x

xE)

32

2

x

x

5. Sabiendo que A(n+p)=m; C(m+n)=p; B(p+m)=n; reducir a su

mínima expresión:12ABC

BCACABJ

A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2

6. Calcular: T W Si:

...

11

1

ba

b

aT y

...

11

1

ab

a

bW

A) a B) b C) a/b C) 2a E)2b

7. Calcular el MCD de 673 aaM y 32 24 aaN

A) 3(a+1) B) (a+1)(a+3) C) (a+1)(a+2) D) a+1E) a2+1

8. Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x3 y3 z2; C(x)= 6x4

A) zyx 3312 B) 23412 zyx C) 23472 zyx D) 22436 zyx E) N.A.

9. ;4)1( 626 xxAB 222 4)1(),(

),(xx

BAMCD

BAMCM. Uno de los

factores del MCD(A,B) es:A) x+1 B) x-1 C) x2-x-1 D) x2+x+1 E) x2+x-1

10. Simplificar la expresión:xx

xxxxE

16

481633

234

.

A) x+2 B) x-3 C) x+4 D) x-5 E) x2-3

la expresión:

B) x-3

Simplifica

A) x+1A) x+1

10. Simplificar la expresión:

A) x+2

la expresión:

factores del MCD(A,B) es:B) x 1 C) x2-x

;4 62 x

factores del MCD(A,B) es:B) x-1 2-x-1

la expresión:

2z C)

(AMCM

72x

)

4x

Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3xHallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x

34 zy C) 72 y

(),

),

BA

BA

3z; B(x;y;z) = 4xz; B(x;y;z) = 4xHallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x

C) (a+1)(C) (a+1)(

Hallar el MCM de: A(x;y;z) = 3x2 y3z; B(x;y;z) = 4x

234 zyx D)

C) (a+1)(a+2)

z; B(x;y;z) = 4x

N 24aN

C) (a+1)(a+2) D) a+13

D) a+1

...

- 158 -

XIIRADICACIÓN, VERDADERO VALOR,

ECUACIONES E INECUACIONES

I. RADICACION DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Radicación es la operación que consiste en hallar una cantidad algebraica “r”,llamada raíz, que al ser elevada a un cierto índice reproduce una cantidad dad“A”, llamada radicando.En general :

nrArn A

Leyes de Signos :

real) valor tienenoraizesta(imaginaria*

r*

r*

r*

par

par

impar

impar

A

A

A

A

Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.

Ejm 1. : Hallar 4 82016 zy16x

Signo radical

raízradicandoíndice

Ejm 1. : Hallar

del signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.

Raíz de un monomiodel signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.

Ejm 1. : Hallar 4

imaginaria

: Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del coeficiente y finalmente se dividen los exponentesde las letras entre el índice de la raíz.

imaginaria

Raíz de un monomio

imaginariaparA

Raíz de un monomio : Para extraer la raíz de un monomio; se extrae la raízdel signo, luego la raíz del cde las letras entre el índice de la raíz.

16

raizesta(estaimaginaria

r

Radicación, verdadero valor, ecuaciones e inecuaciones 159

2544 82016 zy2xzy16x

Ejm 2. : Hallar 3 31812 zy27x

zy3x-zy27 643 31812x

Raíz Cuadrada de un polinomioProcedimiento :- Se ordena y se completa- Se agrupa de 2 en 2 los términos, empezando por la derecha.- Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser

un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-mio.

- Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y sellama polinomio dado, eliminándose la primera columna.

- Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pri-mer termino de la raíz.

- El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segun-do término con signo cambiado sumándose el producto a los dos términosque se habían bajado.

- Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio : 420-2910- 234 xxxxSolución :

(2)2)10x-(2x

10x-2x)5x-x(2

(-5x)5x)-x2(

2x)x(2

25x- x

___

4-20x4x-

420x-4x0

25-10-

2910-0

x-

420-2910-

2

22

2

22

2

2

2

23

23

4

234

xx

xx

xxxx

0

10

10

x

0

4

10-

10-0

x- 4

-

10 3x

Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :

25

2910

2910-

23

2

xx

x

Se continua hasta obtener un resto cuyo grado sea una unidad menor queel grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.





la raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmdo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térm


Ejm : Extraer la raíz cuadrada del polinomio :4x

el grado de la raíz o un polinomio idénticamente nulo.

raíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmdo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térmla raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segula raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho seguraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu

El cociente es el segundo termino de la raíz. Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segudo término con signo cambiado sumándose el producto a los dos térm


Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu

Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr

do, eliminándose la primera columna.Se bajan dos términos que forman el siguiente grupo, se duplica la raízhallada y se divide el primer termino de los bajados entre el duplo del pr

Este segundo termino de laraíz con su propio signo se escribe al lado del duplo del primer termino dela raíz formándose un binomio, este binomio se multiplica por dicho segu

Se multiplica esta raíz por sí misma cambiando de signo el resultado y se


un solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polin


Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede serun solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polin



Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede serun solo termino) que será el primer termino de la raíz cuadrada del polino-


Se halla la raíz cuadrada del primer grupo de la izquierda (que puede ser


25x- x420x-29x10x-x 2234

Radicales Dobles:

Son aquellos en cuyo interior aparecen otros radicales ligados entre si por lasoperaciones de suma o resta.

Forma general : BA

Transformación de radicales dobles en radicales simples :

Caso1 : Radicales de la forma BAEste caso se podrá transformar en radicales simples solo si :

cierto,esestosiexacta,raízesCDondeCB-2A

Entonces :

2

CA

2

CAB

2

CA

2

CAB

A

A

Ejm : Descomponer en radicales simples : 32Solución : A = 2 ; B = 3

Entonces :

Por tanto :

1

3-43-2

B-2

2

C

C

AC

2

1

2

332

2

12

2

1232

Por tanto :

1

32

C

Por tanto :

C

1C

2

3

B-2A

Ejm : Descomponer en radicales simples :

3-43-22

AC

Ejm : Descomponer en radicales simples : 2

2

3

A

2

C

Ejm : Descomponer en radicales simples : 32

C

C

2

CA

2

cierto,

Este caso se podrá transformar en radicales simples solo si :

cierto,


Caso 2 : Radicales de la forma : baab2ba

Ejm. 1. : Descomponer en radicales simples : 21210

Solución : 21210 tiene la forma de segundo caso entonces buscamosdos números que sumados sea 10 y multiplicados 21. dichos números quecumplen son 7 y 3. entonces :

3721210

Ejm. 2. : Descomponer en radicales simples : 12011Solución :

12011 = 30 x411

=6X556

30211

= 56

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 21624Solución :

21624 = 21624

= 22.(8)24

= 64.2224

=16x8816

128224

= 816

= 4 + 24x

= 4 + 22

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equi-valente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos

que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equvalenteSe llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equLlamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equvalente que sea racional.Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientescasos

RACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equ

RACIONALIZACIONRACIONALIZACION

Llamamos así al proceso de transformar un denominador irracional y otro equque sea racional.

Se llama irracional cuando está presente una raíz. Se presentan los siguientes

==

24

224 64.22

= 24

= 24

= 24

816

224

64.2

216

2.(8)

Ejm. 3. : Descomponer en radicales simples : 1624

21624

22.(8)

216

6X5

16


1er Caso .- cuando el denominador irracional es un monomio de la forma:

n ka

A

Procedimiento:Multiplicamos el numerador y el denominador de la fracción por una expresión

de la forma: n kna que recibe el nombre de FACTOR RACIONALIZANTE

Es decir:

n kn

n kn

kn

kn a

a

a

A

a

A.

=n kkn

a kn

a

aA

=a

aA

a

aAkn

n

n n

n kn

Ejem : Racionalizar3 3

3

33

3 3

3

3 23

3

3 2

3 2

39

3

93

3

93

3.3

93

3

3.

3

3

2do Caso.- Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se ra-cionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la

forma:ba

A

Ejm. : Racionalizar :27

3

27

322 27

273

2727

273

27

3

7

3

Ejm. : Racionalizar :Ejm. : Racionalizar :7

7

Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se rcionaliza multiplicando y dividiendo por su conjugada del denominador. De la


2

3

3 2

2

3

3

Cuando el denominador presenta radicales de índice dos, se r

3

3

3

933

Ejem : Racionalizar3 3

3 233

3

3.3

33.


3

3 939


5

273

27

273

3er caso : Cuando el denominador irracional es un binomio o trinomio cuyosradicales son de tercer orden.

33 ba o 3 233 2 babaNota.- Recordemos que

3322 babababa

3322 babababa

Ejm.:

Racionalizar:33 25

7E

3 2333 233 2

3 2332

3

33 22.5525

)22.55(7

25

7E

=3 33 3

3 233 2

25

22.557

=7

)41025(7

25

410257

333333

333 41025

4to Caso: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índi-

ces iguales pero mayores que 3, de forma: nn ba

Ejem. Racionalizar

55 310

14E

10E

Ejem. Racionalizar

5 10E

Ejem. RacionalizarEjem. Racionalizar

: Cuand

ces iguales pero mayores que 3, de fo

Ejem. Racionalizar

5 3

14

3 25

o el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ


o el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ

5

33 25

: Cuando el denominador es un binomio cuyos radicales tienen índ


(7 253

7

1025(4 33

4

10

22

10 33

)22


45

355

25

255

354555

45

355

25

255

35

45

33.10310310.10310

33.103.103.101014E

5555

45355252553545

310

33.103.103.101014E

7

33.103.103.10101445355252553545

E

Simplificando:

)81270900300010000(2 552555E

II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaroperaciones obtenemos 0/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermina-ción.Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

,25

1522

2

x

xxE para x = 5

Solución:Sustituyendo x = 5 en la fracción

0

0

255

155.252

2

E , es indeterminado

factorizando el numerador y denominador tenemos

25

1522

2

x

xxE

55

35

xx

xxE

x

x

E

5

5

xxE


25

15factorizando el numerador y denominador tenemos

22

2

255

5.22


25

1522

2

x

xx

35 x

Sustituyendo x = 5 en la fracción

0, es indeterminado, es indeterminado

Sustituyendo x = 5 en la fracción

0

155, es indeterminado


para x = 5

Ejm 1: Hallar el verdadero valor de la fracción:

para x = 5

Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indeterminPara evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin

esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuaresto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar/0 que es un resultado no definido o indeterminado.

Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin

esto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar/0 que es un resultado no definido o indeterminado.

Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para

II. VERDADERO VALOR DE FRACCIONES ALGEBRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar

/0 que es un resultado no definido o indeterminado.Para evitar esta situación tenemos que eliminar al causante de tal indetermin

BRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; paraesto reemplazamos el valor dado de “x” en la expresión, luego de efectuar

BRAICAS

Supongamos que tenemos que hallar el valor numérico de una expresión; para


5

3

x

xE

Reemplazando nuevamente tenemos:

10

8

55

35E

5

4E

Ejm. 2: Hallar el verdadero valor de la fracción:

2

122

x

xxE , para x = 4

Solución: sustituyendo x = 4 en la fracción tenemos0

0E

2

122

x

xxE

2.2

2.34

xx

xxxE

4

2342

x

xxxE

4

234

x

xxxE

23 xxE

Reemplazando seremos:E = ( 4 + 3 ) ( 2 + 2)E = ( 7 ) ( 4 ) = 28

Reemplazando seremos:Reemplazando seremos:

xE

Reemplazando seremos:

E

E

Reemplazando seremos:

3

4 xx

4

x

x

4

3

x

xxE

2x

x

2 2.

2.3

x

x

2

2

sustituyendo x = 4 en la fracción teenemos0

00


III. ECUACIONES

Es una igualdad de dos expresionesalgebraicas que queda satisfechasolo para algunos valores asignadosa sus letras.

CLASIFICACION DE LAS ECUACIONESA. Según que sus incógnitas estén

afectadas o no de radicales lasecuaciones pueden ser:

1. Ecuaciones Racionales.-cuando sus incógnitas no estánafectadas de radicales.

2

1

5

1 xx

2. Ecuaciones Irracionales.-Cuando al menos una de susincógnitas está afectada de ra-dical

3xx

B. Según el número de Raíces osoluciones, las ecuaciones pue-den ser:

1. Ecuaciones Compatibles.-Cuando tienen solución. a suvez pueden ser:

- Compatibles Determinadas:Cuando el número de raíces eslimitado

Ejm:25

3xx

10x

- Compatibles Indeterminadas:cuando el número de raíces eslimitado:

Ejm.:

54254)12( xxxx

33 xx

2. Ecuaciones Incompatibles oabsurdas.- cuando no tiene so-lución

Ejm.:

610)3(35)13( xxxxx

65

C. Según el tipo de coeficientes:

1. Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes sonnúmeros

Ejm: 0652 xx

2. Ecuaciones Literales.- cuan-do al menos uno de sus coefi-cientes es letra

Ejm.: dcxbax , dondex es la incógnita

D. Según el grado:1. Primer grado 915x2. Segundo grado

0652 xx

3. Tercer grado: 083x

3

limita

Ejm:5

3

10x

Cuando el número de raíces esCuando el número de raíces es

vez pueden ser:

Compatibles DetermiCuando el número de raíces es

ado

2

xx

patibles.Cuando tienen solución. a su

nadas:

soluciones, las ecuaciones pu

patibles -Cuando tienen solución. a su

nadas:Cuando el número de raíces es

2.

Ejm:

núm

Ejm: x

2. Ecuaciones Literales.do al menoscie

Ecuaciones numérCuando los coeficientes son

rosCuando los coeficientes sonCuando los coeficientes son

1.

Según el tipo de coeficieSegún el tipo de coeficie

Ecuaciones numérCuando los coeficientes sonnúmeros

52 xx

Según el tipo de coeficie

Ecuaciones numéricas:Cuando los coeficientes son

Según el tipo de coeficien

cas:

)3 10) x


ECUACIONES DE PRIMERGRADOFormula General

Siendo a y b coeficientes, x es laincógnita. La solución es

Ejm: Resolver: 482xxSolución:

x

x

xxx

xx

xx

8816

8168

8168

84

84

22

222

2

Reemplazando x = 3 en la ecuaciónanterior llegamos 2 = 4

La ecuación es incompatible.

ECUACIONES DE SEGUNDOGRADOEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formasiguiente:

Resolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:

Se resuelve mediante dos formas:

a) Resolución por factorización

Ejm: Resolver 0452 xx

04

014

x

xx

4x 1x

b) Resolución por fórmula GeneralSea la ecuación:

02 cbxax

Entonces

FormulaGeneral

Ejm.: Resolver 0452 xx

Identificando: a=1; b= -5: c=4

2

352

16255

1.2

4.1.4255

2

42

x

x

x

a

acbbx

4,1., SC

0bax

a

bx

3x

02 cbxax

01x

a

acbbx

2

42

12

2

2

35

42

8

2

35

x

x


segundo grado con una incógnita:






Resolución de una ecuación deResolución de una ecuación desegundo grado con una incógnita:


2ax

Resolución de una ecuación de

Estas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la forma

ECUACIONES DE SEGUNDO

Estas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la formaEstas ecuaciones se llaman tambiénecuaciones cuadráticas de la forma

02 cbx

ECUACIONES DE SEGUNDO

5ble.

5

2

x

x

xReemplazando x = 3 en la ecuación

ble.

2

2a2

bb

Identificando: a=1; b=

14255

42

2525

a

acb2

x


Ejm.: ResolverEjm.: Resolver x


4

FormulaGeneral

04

ac4Formula

eneralneral


Discusión de las raíces de la Ecuación de Segundo grado

La naturaleza de las raíces de una ecuación cuadrática, dependen del valordel Discriminante ( ).Donde =b2 – 4acAnalicemos los 3 casos:

a) sí 0 , las dos raíces son reales y desiguales

b) si ,0 las dos raíces son iguales y reales

c) si ,0 las dos raíces son complejas y conjugadas

Propiedades de las Raíces.- Dada la Ec. 02 cbxax sus raíces son:

a

acbbx

2

42

1a

acbbx

2

42

2

Entonces:

a)a

bxx 21

b)a

cxx 21.

Formación de una Ecuación de segundo grado.-

Sea 1x y 2x raices de ecuación

Entonces la ecuación se formará así:

021212 xxxxxx

IV. DESIGUALDADES E INECUACIONES

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se establece entre dos númerosreales y que nos indica que tienen diferente valor.

Si: bababa /, ó ba

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presenta pormedio de Intervalos.medio de Intervalos.Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presemedio de Intervalos.Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se prese

reales y que nos indica que tiene

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se presemedio de Intervalos.

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estreales y que nos indica que tiene

b


DESIGUALDADES E I


Si: ba,

Nota: el conjunto de solución de una inecuación generalmente se prese

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se estn diferente valor.

0

DESIGUALDADES E INECUACIONESECUACIONES

2x

DESIGUALDADES E I

Entonces la ecuación se formará así:

ECUACIONES

Una DESIGUALDAD, es aquella relación que se est

Formación de una Ecuación de segundo grado.Formación de una Ecuación de segundo grado.-Formación de una Ecuación de segundo grado.Formación de una Ecuación de segundo grado.


1. Clases de Intervalos:

Intervalo abierto: bxa . ba, ó ba, ó ba,

Intervalo cerrado: bxa ba,

Intervalos mixtos: bxa ba, ó ba, ó ba,

bxa ba, ó ba, ó ba,

2. Inecuaciones de 1er grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma

0bax ó 0bax

3. Inecuaciones de 2do grado: Son aquellas que pueden reducirse a laforma

02 cbxax ó 02 cbxax

4. Inecuaciones de grado Superior: Son aquellas cuyo grado es mayoro igual que tres.

OBSERVACIÓN: para resolver inecuaciones de 2do grado y grado superior serecomienda usar el método de puntos críticos.

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER INECUACIONES:

Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociente, y queluego de reducirla por factorización se obtiene una de las formas:

* 021 naxaxax puede ser 0,0,0 donde ia son diferentes

entre si

0.......

.......

21

21

m

n

bxbxbx

axaxaxtambién 0,0,0 donde ia y ib

son todos diferentes entre si

Nota: En lugar de ax puede ser acx pero 0cNota: En lugar de

son tson t

Nota: En lugar de

.......2

odos diferentes entre si

Nota: En lugar de

1

1

xb

x

21

21

bxbx

axax

son todos diferentes entre si

Nota: En lugar de

x

luego de reducirla por factor

nax

Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cocieluego de reducirla por factorización se obtie

02 xa pue

....... n

b

ax

METODO DE LOS PUNTOS CRITICOS PARA RESOLVER I

Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociezación se obtie


Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cocie


todo de puntos críticos.


Se usa para resolver inecuaciones que involucran Productos y Cociezación se obtiene una de las formas:


ecuaciones de 2dotodo de puntos críticos.todo de puntos críticos.todo de puntos críticos.

ecuaciones de 2dotodo de puntos críticos.

ecuaciones de 2do grado y grado superior setodo de puntos críticos.


grado y grado superior se

Son aquellas cSon aquellas cuyo grado es mayor

grado y grado superior se

yo grado es mayor

Son aquellas que pueden reducirse a la

yo grado es mayor

Son aquellas que pueden reducirse a la

Son aquellas que pueden reducirse a laSon aquellas que pueden reducirse a la


PROCEDIMIENTO:1. Se hallan todos los valores críticos (raíces) de cada uno de los facto-

res, ordenando en forma creciente sobre la recta real.2. Se coloca entre estos VALORES CRITICOS los signos (+) y (-) en for-

ma alternada de derecha a izquierda.3. La solución de la inecuación estará dada por:

Zonas Positivas: Si el sentido de la última desigualdad es óZonas Negativas: Si el sentido de la última desigualdad es ó

4. Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad esó de lo contrario no serán parte de la solución

OBSERVACIÓN:En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) sea

positivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundomiembro figure el cero

Si la expresión (trinomio) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-presentan “Puntos Críticos”

Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por launidad

En el cociente 0b

alos valores críticos provenientes del

denominador no forman parte de la solución (son abiertos)

Sea Zn

0002 abba n 000.2 abba n

000.2 abba n 000.2 abba n

0012 abba n 00.12 abba n

0012 abba n 0012 abba n

Ejemplo 1:

Resolver: 07

402223

xx

xxx

Solución:

7

542

07

402223

xx

xxx

xx

xxx3 xx

Resolver:

Solución:

ab

0ab

23 xx 22x

00ab

0

Resolver:7

22

xx

x

.bn

.2 bn

b0

denominador no forman parte de la solución (son abie

0 02 ba n

00 b12 ba n

2a

0

es críticos prov

denominador no forman parte de la solución (son abiertos)

los valor

Si las raíces son imaginarios, el trinomio se ree

los valores críticos prov

denominador no forman parte de la solución (son abie tos)

0


enientes del


o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces r

Si las raíces son imaginarios, el trinomio se reemplaza por la

nientes del

o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-

plaza por la

sitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo

o) no es factorizable, se resolverá como

En lo posible debe tratarse que el coeficiente(principal) seasitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo

o) no es factorizable, se resolverá comouna ecuación de segundo grado (Fórmula General); donde las raíces re-

sitivo y la inecuación debe estar reducida de modo que el segundo

Los valores críticos será parte de la solución cuando la desigualdad es


Valores críticos 2, 4, -5, 0, -7

-7 -5 0 2 4

Como la inecuación es “ ” se toma los “negativos”

4,20,57,x

Ejm. 2

Resolver: 65x

x

Solución:

05

65

05

305

05

305

05

306

05

56

065

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

x

Valores críticos : 6 y 5

5 6Tomamos los negativos:

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Transformar a radicales simples:3 3610

6,5.. xSC

Transformar a radicales simples:3 10

1.

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Transformar a radicales simples:

610

PROBLEMAS RESUELTOS

Transformar a radicales simples:

PROBLEMAS RESUELTOS

x

Tomamos los negativos:

PROBLEMAS RESUELTOS

Transformar a radicales simples:

6

6,5.. xS

Tomamos los negativos:

Valores críticos : 6 y 5

5Tomamos los negativos:

6


a) 13 b) 23 c) 15 d) 13 e) 15Solución

yx33 108103610

A = 10 B = 108 Sabemos que A = 4x3-3.x.C , y = x2-C

3 2 BAC3 108100C

C = -2CxxA ..34 3

10 = 4x3 - 3x(-2)4x3 + 6x –10 = 02x3 + 3x –5 = 0por tanteo x = 1

y = x2 - Cy = 12 – (-2)y = 3

Por lo tanto:

3136103

= 1 + 3 Rpta. D

2. Racionalizar:224

2333

3

a) 123 b) )14(3 c) 143 d) )12(3 e) 123

Solución

222

23323

3

Hacemos x3 2 ==> 2 = x3

Reemplazando tenemos:Reemplazando tenemos:

233


2

Solución

2

12 b)Solución

22

233

3


22

233

3

)1

Racionalizar:24

23

)14(3 c) 3

Rpta. DRpta. DRpta. D


)1)(1)(42)(2(

)1)(42(3

)1)(2(

3

2

322

22

2 xxxxxx

xxxxx

xx

x

xx

x

)1)(2(

)444222(3333

223234

xx

xxxxxxxxx

)1)(8(

)423(333

234

xx

xxxxx

)1)(8(

)423(333

2345

xx

xxxxx

)1)(8(

)423..(333

23323

xx

xxxxxxx

)12)(82(

)422.322(3 22 xxxx

)3)(6(

)66(3 x

18

)1(18 x

)1(x

)12(3 Rpta. D

3. La solución de la Inecuación:01892 xx es:

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)

Solución

01892 xx

(x-6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6

+ - +

3 6

Como la inecuación es < se toma los negativos.C.S. = (3,6) Rpta. BComo la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)Como la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)

+

6)(xpuntos críticos: 3 y 6

+

Como la inecuación es < se toma los negatC.S. = (3,6)

0183)<0

puntos críticos: 3 y 6

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)

9x

6)(x-3)<0puntos críticos: 3 y 6

La solución de la Inecuación:

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)es:

La solución de la Inecuación:

a) (3,6] b) (3,6) c) [3,6] d) [3,6) e) (2,6)

Rpta. DRpta. D


4. En 21

xx ; el valor de x correcto es:

a) x>0 b) x<0 c) x = 0 d) x>2 e) x>2Solución

21

xx

021

xx

0212

x

xx

10)1( 2

xx

x

01

x

0x Rpta. B

5. Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:

53

1

3

52 xxpara ;5x

a) [1/3;3] b) [-5;7] c) <-5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

SoluciónMultiplicando por 3:2x – 5 < 1 – x + 15

3x < 21x < 7

Entonces: 7;5x Rpta B.

6. Determinar el valor de “m” para que la ecuación02 22 mmxx tenga raíces iguales.

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la for-SoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la fo

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

Determinar el val2x

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

SoluciónSoluciónCuando tiene raíces iguales se cumple que en una ecuación de la fo

Determinar el valor de “m” para que la ecu02m tenga raíces iguales.

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

Determinar el val

Entonces: x

Determinar el val2 2mmx

a) R b) Z c) 0 d) 1 e) 2

or de “m” para que la ecu

Multiplicando por 3:x + 15

Rpta B.

Multiplicando por 3:

7;5 Rpta B.

or de “m” para que la ecu

5;0] d) [ 5;7> e) [0;7]5;0] d) [

;5

5;0] d) [-5;7> e) [0;7]

Obtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:Obtenga el conjunto solución de la siguieObtenga el conjunto solución de la siguiente inecuación:

5;7> e) [0;7]

te inecuación:te inecuación:


ma: ax2+bx+c=0.Se cumple: b2 – 4ac = 0

b2 = 4ac(2m)2 = 4.1.m2

4m2 = 4m2

m puede tomar cualquier número real.Rpta. A

7. Efectuar:625

6

1228

34

1829

23E

A) 3 B) 2 C) 1 D) 0 E) N.A.Solución

625

6

1228

34

1829

23E

232326263636

625

6

1228

34

1829

23

xxxx

E

23

6

26

34

36

23E

)23)(23(

)23(6

)26)(26(

)26(34

)36)(36(

)36(23E

23

)23(6

26

)26(34

36

)36(23E

1

)23(6

4

)26(34

3

)36(23E

)23(6)26(3)36(2E

1218618612E

0E

Rpta. D

6E

(2E

12E

0E

18

36

3

)36(2

)3

3

36

4)3

3

(23

(3)36

186

)(2

6(

6(3

2

6

4

32

)26)(26

6(34

2

)26

)

5232

5x

2

6

(

)2

23

6x

62

6


8. Calcular el verdadero valor de 2422

x

xE , cuando x = 0.

A) 0 B) 2 C) 1 D) 4 E) 6Solución

2422

x

xE

2422

2222

xx

xxE

2422

2222

xx

xE

2422

22

xx

xE

2422 xx

xE

2422

1

xE

22

24

xE

Reemplazando el valor de x

22

24E

22

24E

2ERpta. B

9. La diferencia de las raíces de la Ecuación 016,232 xx , es:A) 3 B) 0 C) 0,6 D) 1,5 E) 2,16B) 0La diferencia de laA) 3

9. La diferencia de laA) 3 B) 0La diferencia de las raíces de la Ecuación

C) 0,6

222

La diferencia de laB) 0 C) 0,6

Rpta. B

Reemplazando el valor de x

2

Rpta. B


Solución.

016,232 xx

0100

21632 xx

0100

21632 xx

025

5432 xx

multiplicando la Ec. Anterior por 25.0547525 2 xx

0)65)(95( xx

5

9x

5

6x

Por tanto: 6,05

3

5

6

5

9

Rpta. 0,6

10. Hallary

xen

10

20

yxyx

yxyx

A) 4/5 B) 5/4 C) 3/4 D) 4/3 E) 125

Solución

10

20

yxyx

yxyx

302 yx

15yx

225yx ......... (1)Tenemos:Tenemos:Tenemos:

x

x

2 x

yx

2 y

Tenemos:

10

20

y

yx

B) 5/4 C) 3/4

10

20

yx

y

30

yx

D) 4/3 E) 125

10

E) 125

yx

yx

D) 4/3 E) 125

Rpta. 0,6Rpta. 0,6Rpta. 0,6

20


10

20

yxyx

yxyx

Multiplicando por –1 a la segunda Ecuación:

10

20

yxyx

yxyx

102 yx

5yx

25yx .......... (2)De la Ec. (1) y (2):

25

225

yx

yx

2502x

125x

100y

Por lo tanto:4

5

100

125

y

x

4

5

y

x

Rpta. B


1. Determinar el valor de “x” en: 4253 42 xx

A) x<3 B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4 E) x>3

2. Al Reducir: 627292547 ; se obtiene ba ; a>b.

Hallar a+b.A) 12 B) 14 C) 9 D) 11 E) 15

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:3. ” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

Hallar a+b.A) 12

Al Reducir

Hallar a+b.A) 12

3. Si “a” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

25

C) 9

: 7

B) x<4B) x<4

Al Reducir: 47

Hallar a+b.B) 14 C) 9

” y “b” son las raíces de la ecuación siguiente:

9


Determinar el valor de “x” en:C) 1<x<2 D) x>4


Determinar el valor de “x” en: 32 x

B) x<4 C) 1<x<2 D) x>4

9

pta. BRpta. BR


7)4()3(

)4()3(22

33

xx

xx; Hallar el valor de 2a+3b.

A) –8 B) –6 C) –5 D) –4 E) –3

4. Al racionalizara

abba, se obtiene:

A) bab4 B) bab C) ab D) ab E) bb4

5. El conjunto de solución de:1

20

1

1

1

12x

x

x

x

x

x, es:

A) 5 B) 4 C) 0 D) 4 E) 5

6. Resolver: 0235 2 xx . El intervalo solución es:A)<-7;5] B)[-7;5> C)<-7;5> D)[-7;-5] E)N.A.

7. Resolver: 31

12

x

x. El intervalo de solución es:

A)[-2;-1> B)<-2;-1> C) <-2;-1] D) [-2;-1] E)N.A.

8. Hallar el verdadero valor dex

xxH

33 11, cuando x=0.

A) 0 B) C) D) 2/3 E) 3/2

9. Hallar el verdadero valor de4

83 x

xpara x = 64, es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

10. Resolver: 62

2

xx

x

A) 2,x B) ,3x C) ,32,x

D) 3,x E) ,2xD)A) x

10.

A)D)

2

2

x

2

Resolver:

B) 2

10. Resolver:2

x

x

2,x

6

Hallar el verdadero valor de

C) 3 D) 4

Hallar el verdadero valor de

B) 2 C) 3 D) 4

HHallar el verdadero valor de

2;

Hallar el verdadero valor dex

H3 1

C) D) 2/3

8

D) [

1

1]

l intervalo de solución es:

1] D) [-2;-1]

xx 3 1


D)[-7;l intervalo solución es:

7;-5]


E)N.A.

E)N.A.

E)

E)N.A.

b

- 180 -

XIIIVALOR ABSOLUTO, RELACIONES Y

FUNCIONES

VALOR ABSOLUTO:

1. VALOR ABSOLUTO.- Se llama Valor Absoluto de un número real xa un número no negativo, definido por:

0,

0,

xsix

xsixx

2. TEOREMAS:

Para todo x, y tenemos:

a) 00 xx

b) xx

c) yxxy

d) 22xx

e) 22 xx

f) xx 2

3. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

bx bxóbxyb 0

Lo anterior establece que el universo dentro del cuál se resolveráestá determinado por la condición b>0, y se resolverá primero.Ejemplo:

Resolver: 425 xxResolver:

está determinado por la coEjemplo:

Resolver:

Lo anterior establece que elestá determinado por la coEjemplo:

Resolver: x

Lo anterior establece que eltá determinado por la co

Lo anterior establece que el

ECUACIONES CON V

b b

Lo anterior establece que eltá determinado por la co

Ejemplo:

5x

x

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTOLOR ABSOLUTOECUACIONES CON V LOR ABSOLUTO

bxy0

Valor absoluto, relaciones y funciones 181

SoluciónEl universo está determinado:

2x – 4 > 02x > 4x > 2

===> ,2[x

425425 xxóxx

139 xóx

319 xóx

=> 31,9

Observamos que Universo9 y Universo31

Por lo tanto el conjunto de solución es:C.S. = {9}

4. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Sean : Rax, , entonces:

)()0( axayaax

axóaxax

TEOREMAS:

Dados a y b en los reales, se cumple:- 0))(( bababa

- 0))(( bababa

Ejemplo:

Resolver: 5x

Solución:Como 5 > 0 entonces:

- 5 < x < 5

C.S. = 5,5x

Como 5 >Solución

Ejemplo:Ejemplo:

Resolver:

Solución:Como 5

C.S. =

ba

Resolver: x

b

b

Ejemplo:

Resolver: 5x

Dados a y b en los reales, se cumple:Dados a y b en los reales, se cumple:Dados a y b en los reales, se cumple:)(( aba

( ba

Dados a y b en los reales, se cumple:

)axa

a

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

)


RELACIONES

1. Pares ordenados, Producto Cartesiano:Los pares ordenados son dos elementos a y b, se denomina primera

componente y segunda componente respectivamente. Se denota por (a,b).

El producto cartesiano A x B; se define:

A x B = { (a,b) / a A y b A }

Donde A y B son dos conjuntosEjm:

Sean A = { 1,2, 4 } B = { a, b }

Entonces:A x B = { (1,a) (1,b) (2,a) (2,b) (4,a) (4,b)}

Nota: si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-pectivamente, entonces el producto cartesiano tiene m x n elementos.

2. Relación:

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.

R es una relación de A en B R A x B 2

Nota: Una relación de A y B es llamada también RELACION BINARIA.Ejm: Sean A = { 2, 3, 5 } B = {1, 2 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaciones de A en B.R1 = { (5,2)}R2 = { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }R3 = { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones:R1 = { (x,y) A x A / x < y }R2 = { (x,y) A x A / x +y = 5 }

A x A / x < y }= { (x,y) A x A / x +y = 5 }

Dadas las relaciones:= { (x,y)= { (x,y)

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones:R1 = { (x,y)R2 = { (x,y)

A x A / x < y }A x A / x +y = 5 }

= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

Ejm: Sea A = { 1, 2, 3, 4 }

Dadas las relaciones:A x A / x < y }A x A / x +y = 5 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaci

= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

Los siguientes conjuntos de pares ordenados son algunos relaci

= { (3,1) (3,2) (5,1) (5,2) }= { (2,1) (3,1) (3,2) (5,1) } etc.

: Una relación de A y B es llamada también RELACION BB = {1, 2 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

: Una relación de A y B es llamada también RELACION B: Una relación de A y B es llamada también RELACION B

de A en B

: Una relación de A y B es llamada también RELACION BB = {1, 2 }

A x B = { (2,1) (2,2) (3,1) (3,2) (5,1) (5,2)}

: Una relación de A y B es llamada también RELACION B

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares oRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.

A x B

Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares oRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.Sean A y B dos conjuntos. Un conjunto R de pares ordenados se llama unaRELACION de A en B, cuando R es subconjuntos de A x B.

R A B 2

: Una relación de A y B es llamada también RELACION B

denados se llama una

ucto cartesiano tiene m x n elemesi los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos re

ucto cartesiano tiene m x n eleme

denados se llama una

si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos reucto cartesiano tiene m x n elementos.

si los conjuntos A y B son finitos y tienen m y n elementos res-ucto cartesiano tiene m x n eleme tos.


Hallar R1 R2

Sol:

A x A = { (1,1) (1,2) (1,3) (1,4)(2,1) (2,2) (2,3) (2,4)(3,1) (3,2) (3,3) (3,4)(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) }

R1 = { (1,2) (1,3) (1,4) (2,3) (2,4) (3,4) }R2 = { (1,4) (2,3) (3,2) (4,1)}

Por tanto: Hallar R1 R2 { (1,4)(2,3) }

3. Dominio y rango de Relaciones

Sea R una relación de A en B; es decir R A x B:Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primerascomponentes de los pares ordenados de R.Se llama RANGO de la relación R al conjunto de todas las segundascomponentes de los pares ordenados de R.

Ejm. Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

Entonces:Dom (R) = { 1, 2, 3, 4 }Rang (R) = { 1, 2, 3 }

4. Distancia entre dos puntos en el plano cartesiano

La distancia entre dos puntos R = (x1, y1) y T = (x2, y2) denotado por d =d(R,T) es:

212

212 yyxxd

FUNCIONES

1. Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no tienen la misma primera componente.Se distingue lo siguiente:

Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos noSe distingue lo siguiente:

1. Funciones

FUNCIONES

1. FuncionesUna función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos noSe distingue lo siguiente:

Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cual

FUNCIONESFUNCIONES

Funciones:Una función f de A en B es un conjunto de pares ordenados (x: y) en el cualdos pares ordenados distintos no

La distancia entre dos puntos R = (x

d

Distancia entre dos puntos en el plano ca

La distancia entre dos puntos R = (x

2xd

Distancia entre dos puntos en el plano ca

Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

Entonces:

Distancia entre dos puntos en el plano cartesi

, y1) y T = (x

Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

NGO de la relación R al conjunto de todas las segundasNGO de la relación R al conjunto de todas las segundasdos de R.

Sea R= {(1,1) (2,1) (2,3) (3,1) (3,2) (4,1)}

NGO de la relación R al conjunto de todas las segundas

Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primerasres ordenados de R.

Se llama DOMINIO de la relación R al conjunto de todas las primeras






- Conjunto de partida- Conjunto de llegada- Regla de correspondencia.

Ejm: Dados :

A = { 1, 3, 5 }B = { 3, 7, 1 }

Hallar y graficar la función f = A B definida por y = 2x +1

Solución:

si x = 1 y = 3si x = 3 y = 7si x = 5 y = 11

f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

gráficamente

1

3

A

f

B

5

3

7

11

2. Dominio y rango de una función

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros componentes de los paresordenados de dicha función, Dom(f) = { x A, y B / y = f(x) } ARango Rang(f): Es el conjunto de segundos componentes de los paresordenados de dicha función. Rang(f) = { y B / x Dom f A } B

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5} Rang(f) = {3, 7, 11}Dom(f) = {1, 3, 5}

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5}

orden

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5}

Rango Rang(f): Es el conjudos de dicha función.

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

dos de dicha función, Dom(f) = { xRango Rang(f): Es el conju

dos de dicha función.

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compordenados de dicha función, Dom(f) = { xRango Rang(f): Es el conjuordenados de dicha función.

Ejm: Sea f = {(1,3) (3,7) (5,11)}

Dom(f) = {1, 3, 5}

Rango Rang(f): Es el conjudos de dicha función.

Dominio y rango de una función

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compdos de dicha función, Dom(f) = { x

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros comp

5

Dominio y rango de una f ción

Dominio Dom(f): Es el conjunto de primeros compdos de dicha función, Dom(f) = { x

Rango Rang(f): Es el conjunto de segundos comp

7

11

7

11

BB

3


3. Gráfica de funcionesSi f es una función (de valor) real de una variable real se llama laGRAFICA de f al conjunto de pares ordenados de f cuando es consi-derado como un conjunto de puntos del plano.

Ejm:

Trazar la gráfica de la siguiente función:

f = { (x, y) x / y = x2 + 1 }

y hallar el Dominio y Rango de f.

Sol:

x ....... -2 -1 0 1 2 .......

y ....... 5 2 1 2 5 .......

1

1- 1

2

2- 2

3

4

5

y

x

Dom (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Ejm 2: Trazar la gráfica de la siguiente función

f = { (x, y) R x R / y = x2 + 1 }f = { (x, y)

Ejm 2: Trazar la gráfica de la sEjm 2: Trazar la gráfica de la s

f = { (x, y)

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Ejm 2: Trazar la gráfica de la s

m (f) = { ........

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Dom (f) = { ........

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

Ejm 2: Trazar la gráfica de la s

f = { (x, y)

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

- 2

1, 0, 1, 2, ........ } = Z

- 1- 2

m (f) = { ........ –2, -1, 0, 1, 2, ........ } = Z

Rang(f) = { 1, 2, 5, 10 }

1

2

3

4

5

..............


Hallar el dominio y rango de fSol:

Dom(f) = RRang(f) = [1, + >

x -2 -1 0 1 2

y 5 2 1 2 5

1

1- 1

2

2- 2

3

4

5

y

x

La PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE FUNCIONES REALES de una variablereal; es una función real si y solo si toda recta vertical corta a la gráfica de f a lomás en un punto.

Ejm:y y

x x

no es función no es función

a) b)

y y

x x

si es función si es función

c) d)

Nota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.

si es funciónNota:Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,

si es funciónNotaAl trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.

si es funciónsi es función

Al trazar rectas verticales; si estas cortan a la gráfica en dos puntos o más,tal gráfica no es función.

x

no es funciónno es función

y

no es función

x

ta a la gráfica de f a loCIONES REALES de una variable

ta a la gráfica de f a lo


COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

La función compuesta fog es aquella función tal qe:Dom(fog) = {(x Dom g / g(x) Dom f}

(fog)(x) = f(g(x)) su regla de correspondencia

PROBLEMAS RESUELTOS:

1. Si f(x) = x2 + 2x + c; f(2) = 0, Entonces el valor de c es:a) 4 b) –4 c) 8 d) –8 e) 7Solución

f(2) = 22 + 2.2 + c = 04 + 4 + c = 0

c = -8 Rpta. D

2. Si [g(x)]2 + 2[g(x)] + 2 = x2 – 8x + 17. Determine g(x).a) x-5 b) x+17 c) x d) x-8 e) x2

Solución

[g(x)]2 + 2[g(x)] + 1 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 + 1 = x2 – 8x + 17[g(x) + 1]2 = x2 – 8x + 16[g(x) + 1]2 = [x – 4]2

g(x) + 1 = x – 4g(x) = x – 5 Rpta. A

3. Hallar f(0) Si f(2x-1) = xa) –1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1Solución:

f(2x-1) = xTomamos 2x-1 = y

2x = y + 1

2

1yx

1) = xTomamosf(2x-1) = xTomamos

1 b)1 b) 0 cSolución:

f(2xf(2x 1) = xTomamos

Hallar f(0) Si f(2x-1) = x1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1) ½ d) 2 e) 1

4

Hallar f(0) Si f(2x-1) = x1 b) 0 c) ½ d) 2 e) 1

Solución:

8x + 16

Rpta. A

8x + 162

+ 2[g(x)] + 1 + 1 = x+ 2[g(x)] + 1 + 1 = x8x + 17

8x + 16

Rpta. A

8x + 178x + 178x + 17

8 e) x

– 8x + 17

8x + 17. D

8 Rpta. D

8x + 17. Determine g(x).termine g(x).


Entonces:

2

1)(

yyf

2

10)0(f

2

1)0(f Rpta. C

4. Si la relación R = {(1,2a); (2,7); (5,1); (1,3a-5); (7,9)} es una fun-ción, la suma de los elementos del rango de dicha función es:

a) 22 b) 15 c) 27 d) 16 e) 10

Solución

Mediante unicidad(1,2a) = (1,3a-5)2a = 3a –5 ==> a = 5

Sustituyendo el valor de a.R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}

Rango = {10, 7, 1, 9}

91710Elemento = 27 Rpta. C

5. Sea la función .6)( 2 xxxf Hallar ).()( fRangfDom

a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [-2;0> e) [-2;0]

Solución

Observamos que se debe cumplir:

-x2 + x + 6 > 0x2 - x - 6 < 0

(x – 3)(x + 2) < 0


Solución

a) <0;5/2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [

Solución


)(xf

2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [

17

2 xxSea la función (xf

2> b) [0;5/2] c) [0;5/2> d) [

= 27

R = {(1,10); (2,7); (5,1); (7,9)}

Rpta. C

n-


Puntos críticos: 3 y –2

+ - +

-2 3

Entonces: Dom(f) = [-2;3]

Para hallar el rango:Tabulando y graficando tenemos.

Rang(f) = [0,5/2]

Por tanto:)()( fRangfDom = [-2;3] [0,5/2]

= [0,5/2]

Rpta. B


1. Si12

12)(

x

xxf y

12

2)(

x

xxg . Hallar:

)1().2(1

)1()2(

gf

gfE

A) –7/3 B) 3/7 C) –21 D) 21 E) –3

2. Dado2

1)(

xxf y 1)( 2 xxxg , hallar fog(3).

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

3. Resolver xx 1836

A) 2,3 B) 3,3 C) 7,2 D) 3 E) 2,1

Resolver

A)

3. Resolver

A) 3

B) 2

x 36

B)

(fDado )(xf

A) 1 B) 2

Resolver 6

2 B)

B) 3/7 C)

1y g

)1C) –21

2)

x)(xg

C) 3 D) 4

1x

x. Hallar:

2

2

x

x. Hallar:

E) –3

PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS

. Hallar:



4. Dada la función 2)( xxf , hallar )()( fRanfDom .

A) [0,+ > B) [-2,+ > C) [2,+ > D) <0,+ > E) N.A.

5. Sabiendo que xxxxG 273)3( 23 , calcular G(-7).A) –370 B) –170 C) 170 D) 370 E) 2170

6. La gráfica de 12)( xxF pasa por los puntos:A) (3,1); (0,3); (4,5) B) (10,-1); (2,1); (1,2) C) (-1,2);(2,-1);(2,10)D) (-4,2); (0,1) E) N.A.

7. Hallar el dominio y el rango dexx

xxxf

1,

1,23)(

2

A) (2,3) y (- ,2) B) (1, ) y (-3, ) C) (- , ) y (- , ) D) R y R+

E) N.A.

8. Si 8,6,4,2A y sea R una relación en A, definida por R = {(x,y)/

y es un múltiplo de x, x≠y}. Hallar la suma de los elementos deRang(R).A) 18 B) 26 C) 6 D) 12 E) N.A.

9. Resolver 8215 xx

A) –3<x<1 B) –3<x<1 C) –4<x<2 D) –3<x<1 E)N.A.

10. Resolver 41

13

x

x

A) –5 ó 3/7 B) 5 C) –3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.11

5 ó 3/7 B) 5 C)

4

3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.

4

5 ó 3/7 B) 5 C) –

3<x<1

3/7 D) 5 ó 3/7 E) N.A.

C) –4< 2

E) N.A.E) N.A.

C) <x<2 D)

y sea R una relación en A, definida por R =y sea R una relación en A, definida por R =

Hallar la suma de los elementos de

E) N.A.

y sea R una relación en A, definida por R =



) y (



) D) R y R

{(x,y)/

) D) R y R) D) R y R

1);(2,10)

- 191 -

BIBLIOGRAFÍA

TEORÍA ELEMENTAL DE LOS NÚMEROS William Le VequeARITMÉTICA (Curso Superior) Rey PastorPROBLEMAS DE ARITMÉTICA García ArduraTEORÍA DE LOS NÚMEROS Ruiz Arango, IsidroARITMÉTICA Farfán Alarcón, Oscar RaúlÁLGEBRA Goñi Galarza, JuanÁLGEBRA (Tomo I) Quijano Hiyo, JorgeÁLGEBRA (Tomo II) Quijano Hiyo, JorgeMATEMÁTICA BÁSICA Venero B. ArmandoÁLGEBRA Lehman, CharlesLehman, Charles

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