Lezione 8 Perdita di energia di e ±

Rivelatori di Particelle 1

Lezione 8Lezione 8Perdita di energia di ePerdita di energia di e±±

Gli e± perdono energia per:

Ionizzazione (Bethe Block).la formula va leggermente modificata in quanto gli e± sia hanno piccola massa e possono essere diffusi nella collisione con gli e atomici Tmax = (E-mc2)/2, sia hanno diverse sezioni d’urto di scattering ed effetto densità leggermente minore.

o salita relativistica leggermente minore per e±.o effetto densità leggermente minore per e±.

1 0.2ln42

ln2

1 95.1ln32

ln2

2

2

I

mc

A

ZK

dx

dEmM

I

mc

A

ZK

dx

dEe

e



Bremsstrahlung

L’ elettrone incidente di alta energia viene decelerato dalla collisione col nucleo ed emette energia e.m. (raggi ).

La perdita di energia per collisioni col nucleo, come funzione del tempo è:

dove a e’ l’accelerazione.

(ricorda la formula di Larmor o di Lienard per la radiazione di sincrotrone che dice che la potenza irraggiata va come a2)

23

2

3

2a

c

e

dt

dE

Z,A



Un calcolo semiclassico della sezione d’urto di bremms da:

M= massa della particella incidente

k= impulso (energia) del fotone emesso

z= carica della particella (incidente o del nucleo)

1= particella incidente

2= nucleo

maxmin

221

22

1

22

41

2

ln

5

beb

incluso

k

Mv

k

r

Mv

mczz

c

e

dk

d e



La sezione d’urto va come 1/M2 importante solo per e±. (Nel seguito considereremo solo elettroni, massa m)

Dipende dal mezzo attraversato elementi più pesanti fanno perdere più energia. Il Bremss. avviene anche sugli elettroni dell’atomo z2 z(z+1) essendoci z elettroni nell’atomo.

Decresce al crescere dell’energia del fotone (1/k).

L’importanza principale degli elettroni atomici è il loro effetto di schermo. Classicamente quando il parametro d’impatto è > del raggio atomico ci attendiamo una molto piccola in quanto gli e schermano la carica del nucleo la particella incidente vede una carica più piccola. bmax (fisso k) si ottiene per qmin (q= impulso trasferito al nucleo) e qmin è determinato dal raggio dell’atomo, più che dal minimo valore cinematico che può assumere.

Questo fenomeno si chiama schermatura completa.

Quanto detto è vero anche per una trattazione quantistica perché possiamo sempre definire una distanza efficace della particella incidente dal nucleo = ħ/q.

maxmin

221

22

1

22

41

2

ln

5

beb

incluso

k

Mv

k

r

Mv

mczz

c

e

dk

d e



Cenni sulla trattazione quantistica (QED)Cenni sulla trattazione quantistica (QED)I diagrammi di Feynman all’ordine più basso che descrivono il Bremss sono:

1) Dobbiamo scambiare un fotone virtuale con il nucleo per conservare il quadrimpulso.

2) L’interazione non dipende dalla carica dell’elettrone stessa sezione d’urto per e±.

Zi ZifZf

e± e± e±e±



Bethe e Heitler hanno eseguito il calcolo nel caso di un elettrone nel campo di un nucleo pesantissimo ( non lo usano per la conservazione dell’energia), puntiforme e senza spin. Il calcolo usa l’approssimazione di Born. L’approssimazione usata è valida se (2z2e2)/(ħv)<<1, essendo v la velocità dell’elettrone dopo o prima dell’emissione del fotone reale. Questa approssimazione è in genere valida per particelle energetiche.Gli effetti di schermo degli elettroni atomici sono determinati dal parametro

Ei ed Ef sono l’energia iniziale e finale dell’elettrone. è ottenuto dividendo il raggio dell’atomo ra = ħ/(mcZ1/3) per il massimo valore permesso della distanza efficace ħ/q.( essendo q il momento trasferito dall’elettrone al nucleo)Si ha schermatura completa per ≈0, condizione quasi sempre verificata tranne che per k/E~1, cioè quando l’elettrone trasferisce tutta la sua energia al fotone irraggiato.

ii

i

fiE

kE

Ek

Z

mc

EE

k

Z

mc

1

1001003

1

2

2

31

2

2



i. Ad alta energia i fotoni sono emessi ~ collineari con l’elettrone incidente essendo l’angolo medio di emissione mc2/E, indipendente dall’energia del fotone emesso.

ii. I fotoni emessi sono polarizzati con il vettore di polarizzazione ┴ al piano

formato dal fotone e l’elettrone incidente; la polarizzazione del dipende inoltre dalla polarizzazione dell’ e incidente.

iii. La integrata sugli angoli di emissione del e di scattering dell’elettrone è (nel caso di schermatura completa):

2

31

2

22

e dove

9

183ln

3

21

42

2

mcEEE

w

w

Zww

k

rZ

dk

d

ii

f

e



Osserviamo:Osserviamo:

1. Se vogliamo includere gli elettroni atomici Z22 Z2(Z2+1)

2. d/dk per k 0 divergenza infrarossa, eliminata con effetti di interferenza la formula non è valida per k 0

3. d/dk dipende da Ei/Ef non esplicitamente dall’energia dell’elettrone

4. dipende dal mezzo attraversato (Z22)



La perdita di energia per Bremmstrahlung di un elettrone che attraversa

del materiale è:

2

21

2

22

0

200

31

2

222

0

0

31

2

222

0

/ 287

ln

4.716

:è calcoli iper utile zioneapprossima Un'

/in espressa radiazione di lunghezza la e'

183

ln4 con

ovvero 183

ln4max

cmg

ZZ

AX

cmgLX

cm

ZrZN

AL

L

E

dx

dE

ZEr

A

ZNdk

dk

dkn

dx

dE

eo

ieo

k

aBr

kmax=Ei-mc2 è la massima energia possibile del fotone.

na =numero di atomi per cm3.

N0 è il numero di Avogadro

A è il peso atomico

è la densità del materiale



La formula –dE/dx=E/X0 è molto utile in quanto esplicita la dipendenza dell’energia della particella incidente (e) dalle proprietà del materiale attraversato contenute in X0.

Integrando otteniamo:

E=Eoe-x/Xo

Questa funzione descrive l’attenuazione esponenziale dell’energia degli elettroni per Bremsstrahlung. Dopo avere attraversato un tratto x=X0 l’energia si e’ ridotta di un fattore 1/e.

La X0 di un composto può essere approssimata da:

X0 = 1/ifi/ X0i)

Dove fi sono le frazioni in massa dei componenti con lunghezza di radiazione X0i

La lunghezza di radiazione è espressa in g/cm2, ma dividendo per la densità si ottiene LR = lunghezza di radiazione in cm.

Si trovano normalmente tabulate sia X0 che LR.

Ricordiamo che la perdita di energia è in realtà inversamente proporzionale alla massa al quadrato della particella incidente importante solo per elettroni ( e di alta energia). Nel definire la lunghezza di radiazione abbiamo considerato elettroni come particelle incidenti (re

2). In ogni caso X0 ed LR sono sempre tabulate per elettroni



Energia critica.Energia critica.

L’ energia critica Ec è quell’energia alla quale le perdite per ionizzazione e bremmstrahlung sono uguali.

dE/dx|coll= dE/dx|bremms

per elettroni incidenti in liquidi o solidi Ec=610/(Z+1.24) MeV.

per elettroni incidenti in gas Ec=710/(Z+0.92) MeV

La differenza è dovuta ad un minore effetto densità nei gas che nei solidi o liquidi. Per un elettrone che attraversa un solido od un liquido l’energia critica è di qualche decina di MeV.

Nel caso di un che attraversa un materiale (solido o liquido) l’energia critica scala come il rapporto delle masse al quadrato.



energy loss (radiative + ionization) of electrons and protons in copper

(Leo)

Ricordiamo che si ha una probabilità non trascurabile di emettere di alta energia la distribuzione delle perdite di energia è molto larga.



Annichilazione di eAnnichilazione di e++

Il destino finale dei positroni nella materia è l’annichilazione con un e-

Se l’ e- è legato al nucleo si può avere annichilazione in un solo , ma la è più bassa.

La ann in 2 di un e+ con energia nel laboratorio pari ad E è

La è massima per =E/m 1. Il positrone prima perde energia e poi si annichila.

NOTA: si puo anche formare il positronio che poi decade in (singoletto) monocromatico o in (tripletto)

ee

1

31ln

1

14

1

12

22

22

eann r


Lezione 8Lezione 8Interazioni dei Interazioni dei

Per poter essere rivelati i devono prima creare una particella carica e/o trasferire energia alle particelle cariche.

Le principali interazioni dei fotoni con la materia sono:

• Effetto fotoelettrico

• Effetto Compton

• Produzione di coppie

Tutte queste interazioni sono di tipo elettromagnetico.



Produzione di coppie

Fotoelettrico

Compton

Rayleigh(cielo blu)

}

1 MeV



Per energie ≤ 500 KeV abbiamo solo effetto fotoelettrico

Per energie > 50 MeV abbiamo solo produzione di coppie

Per energie intermedie abbiamo effetto Compton

A basse energie possiamo avere scattering coerente (Rayleigh). Il fotone interagisce con tutti gli elettroni atomici, senza eccitarli od ionizzarli (nessuna perdita di energia). È il responsabile del cielo blu



Effetto fotoelettrico.Effetto fotoelettrico.

L’ effetto fotoelettrico consiste nell’assorbimento di un fotone da parte dell’atomo intero. L’elettrone viene emesso con energia cinetica

T=ħ-Eb

Con Eb energia di legame dell’atomo e ħ energia del fotone incidente.Per energie del fotone incidente poco sopra soglia l’elettrone è emesso a 90o rispetto alla direzione del fotone incidente. Crescendo l’energia l’angolo di emissione diminuisce; ma … scattering multiplo la direzione dell’ elettrone è random rispetto alla direzione del fotone incidente. L’effetto fotoelettrico è possibile solo nelle vicinanze del nucleo, non può avvenire per un elettrone libero.

eatomatom

e-

X+X



La sezione d’urto per basse energie è: (non relativistiche)

Presenta dei picchi corrispondenti ai livelli atomici K,L,M…

Se siamo sopra soglia vengono emessi preferibilmente elettroni dallo shell K.

Ad alte energie la è:

)Thomson(32 2

38

254

7

21

eeTh

e

eTh

Kphoto r

cm

EZ

1

4 542 ZreKphoto



A basse energie decresce con ħdel fotone alla -7/2 fenomeno importante a bassa energia.

Dipende dal materiale come Z5 importante per la costruzione di rivelatori di fotoni (e.g. camere a Xenon).

Per fotoni incidenti di bassa energia la dipendenza da Z è una complicata funzione di Z e comunque minore di Z5. Ad esempio per energie 0.1 MeV ≤ E≤ 5 MeV l’esponente di Z varia fra 4 e 5.

Per applicazioni dell’effetto fotoelettrico in medicina vedi rivelatori-det4 diapositiva 6 (su lezioni estive 2003)



Effetto Compton Effetto Compton ((Diffusione di un fotone incidente su un elettrone atomico)

La sezione d’urto per lo scattering Compton è molto facile da calcolare in QED.QED. ( Klein – Nishina) ( Klein – Nishina)

h k0

h’, k

T, p

h+mc2=h’+T+mc2

k0 = k+p

T=mc2[2(1-cos)]/[1+(1-cos)] ; =h/mc2

Cot = (1+)tg(/2)



I diagrammi di Feynman da prendere in considerazione sono:

Canale t, contributo di diffusione

Canale s , contributo di assorbimento

in

in

out

out



La differenziale, mediata sugli spin del fotone incidente è :

La distribuzione in energia si ottiene eliminando e sostituendolo con h (sfruttando la conservazione dell’energia e dell’impulso):

La sezione d’urto totale approssimata per alte energie è :

cos11cos1

cos11

cos11

cos1

2 2

22

2

22er

d

d

'

1'2112

'1

'' 222

22

h

h

h

h

h

h

h

r

hd

d e

valida per 1/(1+2) ≤ (h’)/(h) ≤ 1

2

12ln

8

3

2

12ln

12

TheCompt r Con th limite classico

Ricordiamo che la sezione d’urto Thompson è il limite classico di diffusione di fotoni su elettroni liberi (valida a basse energie)



Produzione di coppie.Produzione di coppie.

L’intenso campo elettrico vicino al nucleo permette al fotone di trasformarsi in e+ ed e-.

L’energia di soglia è 2mc2. La produzione di coppie può anche avvenire vicino ad un elettrone atomico. In questo caso l’energia di soglia è 4mc2 e l’elettrone di rinculo acquista un energia cinetica 3 tracce cariche.

La trattazione in QEDQED procede sulla falsariga del Bremsstrahlung



Zi ZifZf

e± e± e±e±

Zi ZifZf

e+

e-

e+

e-

Bremsstrahlung

Prod. di coppie

Diagrammi praticamente identici



Nel caso di schermatura completa le sezioni d’urto sono:

Bremss

Coppie

Con:

w = Ef/Ei (elettrone); o = Z2re2; k = impulso del fotone

w+= E+/k ; E+ = energia del positrone

w-= E-/k ; E- = energia dell’ elettrone

9

183ln

3

21

43

12 w

Zww

kdk

d o

wwZ

wwwwkdE

d o

9

1183ln

3

243

122



L’analogia dei due processi non è solo la similitudine dei diagrammi, ma si può vedere il processo inverso della produzione di coppie come un processo di Bremss di un e+ che emette un fotone e cade in uno stato di energia negativa (e-, Dirac).

▬►

Ottengo gli elementi di matrice da quelli del bremss per semplice sostituzione.

Se il incidente ha impulso k e la coppia prodotta ha energia E+ ed E- la schermatura è misurata usando il parametro:

’ è simmetrica in w+ e w- e decresce al crescere di k

wkwZ

mc

EE

k

Z

mc

1

1100100'

31

2

31

2



In caso di schermatura completa (’~0) la espressa in funzione dell’energia cinetica del positrone e normalizzata a o è quasi uniforme I positroni sono prodotti con tutte le energie possibili gli e+ ed e- della coppia non hanno la stessa energia.

La dipende dal materiale come Z2.(incluso nella o)

Ad alta energia e+ ed e- tendono ad essere prodotti a piccolo angolo rispetto alla direzione di volo del .

< > = mc2/E ( E = E+ od E- )



La sezione d’urto totale per produzione di coppie si ottiene integrando d/dE+ su tutte le possibili energie dell’ e+ e, nel caso di schermatura completa, è :

Scartando 1/54 ed introducendo il materiale (A, NA) ottengo:

atomocmZ

Zrepair / 54

1183ln

9

74 2

31

22

031

22 1

9

7183ln

9

74

XZA

NZr A

epair



A causa del bremsstrahlung, un fascio di e± di energia iniziale E0, dopo un tratto x di materiale ha un’energia:

E = E0e-x/Xo

In un mezzo omogeneo di lunghezza di radiazione X0, a causa della produzione di coppie, l’intensità di un fascio monocromatico di , diminuisce dopo un tratto x di materiale come segue:

I = I0e-(7/9)x/Xo



Sia l’effetto fotoelettrico, che quello Compton e la produzione di coppie sono dei processi distruttivi.

Effetto fotoelettrico: assorbe ed emette e-

Effetto Compton: cambia la dei ( trasferimento di energia al mezzo)

Produzione di coppie: trasforma i in e+ ed e-


Ricordiamo le interazioni elettromagnetiche fondamentaliRicordiamo le interazioni elettromagnetiche fondamentali

Lezione 8Lezione 8Sciami elettromagneticiSciami elettromagnetici

e+ / e-

Ionisation

Bremsstrahlung

Photoelectric effect

Effetto Compton

Pair productionE

E

dE/d

xdE

/dx

E

E



A questo punto e’ abbastanza facile capire cosa succede se si ha un fascio di e± o di che attraversa del materiale.

Electron shower in a cloud chamber with

lead absorbers



Semplice Modello qualitativoSemplice Modello qualitativo

Consideriamo solo Bremsstrahlung e produzione di coppie.

Assumiamo X0=pair=9/7X0

Il processo continua finché E(t) < EE(t) < Ecc

c

tt

t

ttotale

c

E

EN

EEt 01

0

0max 2122

2ln

/lnmax

max

Dopo t=tmax I processi dominanti sono ionizzazione, Compton ed effetto fotoelettrico assorbimento



Sviluppo longitudinale dello sciame

Massimo dello sciame

Contenimento longitudinale

Le dimensioni longitudinali dello sciame crescono Le dimensioni longitudinali dello sciame crescono solo logaritmicamente con Esolo logaritmicamente con E00

tetdt

dE

2ln

1ln 0

maxcE

Et

6.908.0max%95 Ztt



Lo sviluppo trasversale dello sciame non e’ tanto dovuto agli angoli di emissione di od e± (entrambi molto piccoli) quanto allo scattering multiplo. 95% dello sciame e’ in un cilindro di raggio 2RM

6 GeV/c e-

(C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82-37)

20 /

21cmgrX

E

MeVR

cM Raggio di Molière

Sviluppo longitudinale etrasversale dello sciame

scalano con XX00, R, RMM

Example: E0 = 100 GeV in lead glass Ec=11.8 MeV tmax 13, t95% 23X0 2 cm, RM = 1.8·X0 3.6 cm

46 cm

8 cm



Risoluzione in energiaRisoluzione in energia

Per misurare l’energia si contano le tracce cariche

La risoluzione relativa in energia migliora crescendo E0

Anche la risoluzione spaziale ed angolare scalano con E-1/2

ctotale E

EN 0

0

11

ENN

N

E

E


Lezione 8Lezione 8Interazioni nucleari (forti)Interazioni nucleari (forti)

L’interazione di adroni energetici (carichi o neutri) è determinata da processi nucleari anelastici.

Rottura del nucleo frammenti nucleari + produzione di particelle secondarie.

Ad alte energie (>qualche GeV) la sezione d’urto anelastica dipende poco dall’energia e dal tipo di particella incidente (p, , k….).

In analogia a X0 possiamo definire una lunghezza di assorbimento

Ed una lunghezza di interazione

n

p

+

0

-

hadronZ,A

multiplicity ln(E)

pt 0.35 GeV/c

p,n,,K,…

inel≈0A0.7 0≈35 mb

a= A/(NAinel)≈ A¼ poiché inel≈0A0.7

I= A/(NAtotal)≈ A¼



Material Z A [g/cm3] X0 [g/cm2] a [g/cm2]

Hydrogen (gas) 1 1.01 0.0899 (g/l) 63 50.8 Helium (gas) 2 4.00 0.1786 (g/l) 94 65.1 Beryllium 4 9.01 1.848 65.19 75.2 Carbon 6 12.01 2.265 43 86.3 Nitrogen (gas) 7 14.01 1.25 (g/l) 38 87.8 Oxygen (gas) 8 16.00 1.428 (g/l) 34 91.0 Aluminium 13 26.98 2.7 24 106.4 Silicon 14 28.09 2.33 22 106.0 Iron 26 55.85 7.87 13.9 131.9 Copper 29 63.55 8.96 12.9 134.9 Tungsten 74 183.85 19.3 6.8 185.0 Lead 82 207.19 11.35 6.4 194.0 Uranium 92 238.03 18.95 6.0 199.0



Per Z>6a > X0

0.1

1

10

100

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

X0

a

X0,

a [c

m]

a and X0 in cm

Z



Cascate adronicheCascate adroniche

Molti processi coinvolti molto più complicate che gli sciami e.m.

PT ~ 350 MeV sciami adronici molto più larghi di quelli e.m. (95% in un cilindro di raggio I)

(Grupen)



Larghe fluttuazioni dell’energia risoluzione in energia limitata

neutral pions 2 electromagnetic

cascadecharged pions, protons, kaons ….

Breaking up of nuclei

(binding energy),

neutrons, neutrinos, soft ’s

muons …. invisible energy

6.4)(lnn 0 GeVEexample 100 GeV: n(0)18

Adronica + Componente e.m.



• Sviluppo longitudinale dello sciame

bEacmt

GeVEt I

ln)(

7.0][ln2.0)(

%95

max Ferro: a = 9.4, b=39 a =16.7 cm

E =100 GeV t95% 80 cm

(C. F

abja

n, T

. Lud

lam

, CE

RN

-EP

/82-

37)



Trasversalmente lo sciame consiste in un nocciolo + un alone. Il 95% e’ contenuto in un cilindro di raggio I.

Gli sciami adronici sono molto Gli sciami adronici sono molto più lunghi e più larghi di quelli più lunghi e più larghi di quelli elettromagneticielettromagnetici


Lezione 8Lezione 8ConclusioniConclusioni

Abbiamo accennato a tutti i processi e.m. o forti che avvengono quando una particella carica (o no) attraversa la materia (escludendo il neutrino), tutti processi utili per costruire i rivelatori.

Da un punto di vista puramente strumentale possiamo suddividere i processi in non distruttivi e distruttivi:

Distruttivi: produzione di sciami elettromagnetici e adronici. Questi processi sono utili per misurare l’energia della particella (e±, calorimetri elettromagnetici); (adroni e calorimetri adronici). È ovvio che la parte distruttiva dell’apparato sperimentale deve stare alla fine del rivelatore.

Non distruttivi:o Perdita di energia per collisione (Bethe-Block) (misuro il o il della particella

carica).

o Effetto Čerenkov (misuro il della particella carica).

o Radiazione di transizione ( misuro il della particella carica).

Tutti e tre i processi non distruttivi possono essere usati per identificare la particella, ed il primo (perdita di energia per collisione) è più spesso usato per misurare la posizione della particella carica

Lezione 8 Perdita di energia di e ±

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