Lezione 8 Perdita di energia di e - Dipartimento di Fisica e Geologia · 2013-04-18 · Rivelatori...
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Rivelatori di Particelle 1
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Gli e± perdono energia per:
Ionizzazione (Bethe Block).
la formula va leggermente modificata in quanto gli e± sia hanno piccola massa e possono essere diffusi nella collisione con gli e atomici Tmax = (E-mc2)/2, sia hanno diverse sezioni d’urto di scattering ed effetto densità leggermente minore.
o salita relativistica leggermente minore per e±.
o effetto densità leggermente minore per e±.
1 0.2ln42
ln2
1 95.1ln32
ln2
2
2
I
mc
A
ZK
dx
dEmM
I
mc
A
ZK
dx
dEe
e
Rivelatori di Particelle 2
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Bremsstrahlung
L’ elettrone incidente di alta energia viene decelerato dalla collisione col
nucleo ed emette energia e.m. (raggi ).
La perdita di energia per collisioni col nucleo, come funzione del tempo è:
dove a e’ l’accelerazione.
(ricorda la formula di Larmor o di Lienard per la radiazione di sincrotrone che dice che la potenza
irraggiata va come a2)
2
3
2
3
2a
c
e
dt
dE
Z,A
Rivelatori di Particelle 3
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Un calcolo semiclassico della sezione d’urto di bremms da:
M= massa della particella incidente
k= impulso (energia) del fotone emesso
z= carica della particella (incidente o del nucleo)
1= particella incidente
2= nucleo
maxmin
22
1
22
1
2
2
4
1
2
ln
5
beb
incluso
k
Mv
k
r
Mv
mczz
c
e
dk
d e
Rivelatori di Particelle 4
Lezione 8
Perdita di energia di e±
La sezione d’urto va come 1/M2 importante solo per e±. (Nel seguito considereremo solo elettroni, massa m)
Dipende dal mezzo attraversato elementi più pesanti fanno perdere più energia. Il Bremss. avviene anche sugli elettroni dell’atomo z2 z(z+1) essendoci z elettroni nell’atomo.
Decresce al crescere dell’energia del fotone (1/k).
L’importanza principale degli elettroni atomici è il loro effetto di schermo. Classicamente quando il parametro d’impatto è > del raggio atomico ci attendiamo una molto piccola in quanto gli e schermano la carica del nucleo la particella incidente vede una carica più piccola. bmax (fisso k) si ottiene per qmin (q= impulso trasferito al nucleo) e qmin è determinato dal raggio dell’atomo, più che dal minimo valore cinematico che può assumere.
Questo fenomeno si chiama schermatura completa.
Quanto detto è vero anche per una trattazione quantistica perché possiamo sempre definire una distanza efficace della particella incidente dal nucleo = ħ/q.
maxmin
22
1
22
1
2
2
4
1
2
ln
5
beb
incluso
k
Mv
k
r
Mv
mczz
c
e
dk
d e
Rivelatori di Particelle 5
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Cenni sulla trattazione quantistica (QED) I diagrammi di Feynman all’ordine più basso che descrivono il
Bremss sono:
1) Dobbiamo scambiare un fotone virtuale con il nucleo per conservare il quadrimpulso.
2) L’interazione non dipende dalla carica dell’elettrone stessa sezione d’urto per e±.
* *
Zi Zi Zf Zf
e± e± e± e±
Rivelatori di Particelle 6
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Bethe e Heitler hanno eseguito il calcolo nel caso di un elettrone nel campo di un nucleo pesantissimo ( non lo usano per la conservazione dell’energia), puntiforme e senza spin. Il calcolo usa l’approssimazione di Born. L’approssimazione usata è valida se (2pz2e
2)/(ħv)<<1, essendo v la velocità dell’elettrone dopo o prima dell’emissione del fotone reale. Questa approssimazione è in genere valida per particelle energetiche.
Gli effetti di schermo degli elettroni atomici sono determinati dal parametro G
Ei ed Ef sono l’energia iniziale e finale dell’elettrone. G è ottenuto dividendo il raggio dell’atomo ra = ħ/(amcZ1/3) per il massimo valore permesso della distanza efficace ħ/q.( essendo q il momento trasferito dall’elettrone al nucleo)
Si ha schermatura completa per G≈0, condizione quasi sempre verificata tranne che per k/E~1, cioè quando l’elettrone trasferisce tutta la sua energia al fotone irraggiato.
G
ii
i
fi
EkE
Ek
Z
mc
EE
k
Z
mc
1
100100
31
2
2
31
2
2
Rivelatori di Particelle 7
Lezione 8
Perdita di energia di e±
i. Ad alta energia i fotoni sono emessi ~ collineari con l’elettrone incidente
essendo l’angolo medio di emissione <qmc2/E, indipendente dall’energia
del fotone emesso.
ii. I fotoni emessi sono polarizzati con il vettore di polarizzazione ┴ al piano
formato dal fotone e l’elettrone incidente; la polarizzazione del dipende
inoltre dalla polarizzazione dell’ e incidente.
iii. La integrata sugli angoli di emissione del e di scattering dell’elettrone è
(nel caso di schermatura completa):
2
31
2
22
e dove
9
183ln
3
21
42
2
mcEE
Ew
w
Zww
k
rZ
dk
d
ii
f
e
a
Rivelatori di Particelle 8
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Osserviamo:
1. Se vogliamo includere gli elettroni atomici Z2
2 Z2(Z2+1)
2. d/dk per k 0 divergenza infrarossa, eliminata con effetti di interferenza la formula non è valida per k 0
3. d/dk dipende da Ei/Ef non esplicitamente dall’energia dell’elettrone
4. dipende dal mezzo attraversato (Z22)
Rivelatori di Particelle 9
Lezione 8
Perdita di energia di e±
La perdita di energia per Bremmstrahlung di un elettrone che attraversa
del materiale è:
2
21
2
2
2
0
2
00
31
2
22
2
0
0
31
2
22
2
0
/ 287
ln
4.716
:è calcoli iper utile zioneapprossima Un'
/in espressa radiazione di lunghezza la e'
183
ln4
con
ovvero 183
ln4max
cmg
ZZ
AX
cmgLX
cm
ZrZN
AL
L
E
dx
dE
ZEr
A
ZNdk
dk
dkn
dx
dE
eo
ieo
k
a
Br
a
a
kmax=Ei-mc2 è la massima energia
possibile del fotone.
na =numero di atomi per cm3.
N0 è il numero di Avogadro
A è il peso atomico
è la densità del materiale
Rivelatori di Particelle 10
Lezione 8
Perdita di energia di e±
La formula –dE/dx=E/X0 è molto utile in quanto esplicita la dipendenza dell’energia della particella incidente (e) dalle proprietà del materiale attraversato contenute in X0.
Integrando otteniamo:
E=Eoe-x/Xo
Questa funzione descrive l’attenuazione esponenziale dell’energia degli elettroni per Bremsstrahlung. Dopo avere attraversato un tratto x=X0 l’energia si e’ ridotta di un fattore 1/e.
La X0 di un composto può essere approssimata da:
X0 = 1/Sifi/ X0i)
Dove fi sono le frazioni in massa dei componenti con lunghezza di radiazione X0i
La lunghezza di radiazione è espressa in g/cm2, ma dividendo per la densità si ottiene LR = lunghezza di radiazione in cm.
Si trovano normalmente tabulate sia X0 che LR.
Ricordiamo che la perdita di energia è in realtà inversamente proporzionale alla massa al quadrato della particella incidente importante solo per elettroni ( e m di alta energia). Nel definire la lunghezza di radiazione abbiamo considerato elettroni come particelle incidenti (re
2). In ogni caso X0 ed LR sono sempre tabulate per elettroni
Rivelatori di Particelle 11
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Energia critica.
L’ energia critica Ec è quell’energia alla quale le perdite per
ionizzazione e bremmstrahlung sono uguali.
dE/dx|coll= dE/dx|bremms
per elettroni incidenti in liquidi o solidi Ec=610/(Z+1.24) MeV.
per elettroni incidenti in gas Ec=710/(Z+0.92) MeV
La differenza è dovuta ad un minore effetto densità nei gas che nei
solidi o liquidi. Per un elettrone che attraversa un solido od un liquido
l’energia critica è di qualche decina di MeV.
Nel caso di un m che attraversa un materiale (solido o liquido) l’energia
critica scala come il rapporto delle masse al quadrato.
Rivelatori di Particelle 12
Lezione 8
Perdita di energia di e±
energy loss (radiative
+ ionization) of
electrons and
protons in copper
(Leo)
Ricordiamo che si ha una probabilità non trascurabile di emettere
di alta energia la distribuzione delle perdite di energia è molto
larga.
Rivelatori di Particelle 13
Lezione 8
Perdita di energia di e±
Annichilazione di e+
Il destino finale dei positroni nella materia è l’annichilazione con un e-
Se l’ e- è legato al nucleo si può avere annichilazione in un solo , ma la è più bassa.
La ann in 2 di un e+ con energia nel laboratorio pari ad E è
La è massima per =E/m 1. Il positrone prima perde energia e poi si annichila.
NOTA: si puo anche formare il positronio che poi decade in (singoletto) monocromatico o in (tripletto)
ee
1
31ln
1
14
1
12
2
2
22
p eann r
Rivelatori di Particelle 14
Lezione 8
Interazioni dei
Per poter essere rivelati i devono prima creare una
particella carica e/o trasferire energia alle particelle
cariche.
Le principali interazioni dei fotoni con la materia sono:
• Effetto fotoelettrico
• Effetto Compton
• Produzione di coppie
Tutte queste interazioni sono di tipo elettromagnetico.
Rivelatori di Particelle 15
Lezione 8
Interazioni dei
Produzione
di coppie
Fotoelettrico
Compton
Rayleigh
(cielo blu)
}
1 MeV
Rivelatori di Particelle 16
Lezione 8
Interazioni dei
Per energie ≤ 500 KeV abbiamo solo effetto fotoelettrico
Per energie > 50 MeV abbiamo solo produzione di
coppie
Per energie intermedie abbiamo effetto Compton
A basse energie possiamo avere scattering coerente
(Rayleigh). Il fotone interagisce con tutti gli elettroni
atomici, senza eccitarli od ionizzarli (nessuna perdita di
energia). È il responsabile del cielo blu
Rivelatori di Particelle 17
Lezione 8
Interazioni dei
Effetto fotoelettrico.
L’ effetto fotoelettrico consiste nell’assorbimento di un fotone da parte dell’atomo intero. L’elettrone viene emesso con energia cinetica
T=ħw-Eb
Con Eb energia di legame dell’atomo e ħw energia del fotone incidente.
Per energie del fotone incidente poco sopra soglia l’elettrone è emesso a 90o rispetto alla direzione del fotone incidente. Crescendo l’energia l’angolo di emissione diminuisce; ma … scattering multiplo la direzione dell’ elettrone è random rispetto alla direzione del fotone incidente. L’effetto fotoelettrico è possibile solo nelle vicinanze del nucleo, non può avvenire per un elettrone libero.
eatomatom
e-
X+X
Rivelatori di Particelle 18
Lezione 8
Interazioni dei
La sezione d’urto per basse energie è: (non relativistiche)
Presenta dei picchi corrispondenti ai livelli atomici K,L,M…
Se siamo sopra soglia vengono emessi preferibilmente elettroni dallo shell K.
Ad alte energie e1 la è:
)Thomson(32 2
38
2
54
7
21
eeTh
e
eTh
Kphoto r
cm
EZ pea
e
eap
14 542 Zre
Kphoto
Rivelatori di Particelle 19
Lezione 8
Interazioni dei
A basse energie decresce con ħw del fotone alla -7/2
fenomeno importante a bassa energia.
Dipende dal materiale come Z5 importante per la
costruzione di rivelatori di fotoni (e.g. camere a Xenon).
Per fotoni incidenti di bassa energia la dipendenza da Z è una
complicata funzione di Z e comunque minore di Z5. Ad esempio per
energie 0.1 MeV ≤ E ≤ 5 MeV l’esponente di Z varia fra 4 e 5.
Per applicazioni dell’effetto fotoelettrico in medicina vedi rivelatori-
det4 diapositiva 6 (su lezioni estive 2003)
Rivelatori di Particelle 20
Lezione 8
Interazioni dei
Effetto Compton (Diffusione di un fotone incidente su un elettrone atomico)
La sezione d’urto per lo scattering Compton è molto facile da calcolare in QED. ( Klein – Nishina)
hn, k0
hn’, k
T, p
q
f
hn+mc2=hn’+T+mc2
k0 = k+p
T=mc2[e2(1-cosq)]/[1+e(1-cosq)] ; e=hn/mc2
Cotf = (1+e)tg(q/2)
Rivelatori di Particelle 21
Lezione 8
Interazioni dei
I diagrammi di Feynman da prendere in considerazione sono:
Canale t, contributo di
diffusione
Canale s , contributo di
assorbimento
in
in
out
out
Rivelatori di Particelle 22
Lezione 8
Interazioni dei
La differenziale, mediata sugli spin del fotone incidente è :
La distribuzione in energia si ottiene eliminando q e sostituendolo con hn
(sfruttando la conservazione dell’energia e dell’impulso):
La sezione d’urto totale approssimata per alte energie è :
e
e
e
cos11cos1
cos11
cos11
cos1
2 2
22
2
22
er
d
d
'
1'2112
'1
'' 222
22
n
n
en
n
e
e
e
e
n
n
ne
p
n
h
h
h
h
h
h
h
r
hd
d e
valida per 1/(1+2e) ≤ (hn’)/(hn) ≤ 1
2
12ln
8
3
2
12ln
12 ee
ee
p TheCompt r Con th limite classico
Ricordiamo che la sezione d’urto Thompson è il limite classico di diffusione di fotoni su elettroni
liberi (valida a basse energie)
Rivelatori di Particelle 23
Lezione 8
Interazioni dei
Produzione di coppie.
L’intenso campo elettrico vicino al nucleo permette al fotone di
trasformarsi in e+ ed e-.
L’energia di soglia è 2mc2. La produzione di coppie può anche avvenire
vicino ad un elettrone atomico. In questo caso l’energia di soglia è
4mc2 e l’elettrone di rinculo acquista un energia cinetica 3 tracce
cariche.
La trattazione in QED procede sulla falsariga del Bremsstrahlung
Rivelatori di Particelle 24
Lezione 8
Interazioni dei
* *
Zi Zi Zf Zf
e± e± e± e±
* *
Zi Zi Zf Zf
e+
e-
e+
e-
Bremsstrahlung
Prod. di coppie
Diagrammi praticamente identici
Rivelatori di Particelle 25
Lezione 8
Interazioni dei
Nel caso di schermatura completa le sezioni d’urto sono:
Bremss
Coppie
Con:
w = Ef/Ei (elettrone); o = aZ2re2; k = impulso del fotone
w+= E+/k ; E+ = energia del positrone
w-= E-/k ; E- = energia dell’ elettrone
9
183ln
3
21
4
31
2 w
Zww
kdk
d o
wwZ
wwwwkdE
d o
9
1183ln
3
24
31
22
Rivelatori di Particelle 26
Lezione 8
Interazioni dei L’analogia dei due processi non è solo la similitudine dei diagrammi, ma si può vedere il processo inverso della produzione di coppie come un processo di Bremss di un e+ che emette un fotone e cade in uno stato di energia negativa (e-, Dirac).
▬►
Ottengo gli elementi di matrice da quelli del bremss per semplice sostituzione.
Se il incidente ha impulso k e la coppia prodotta ha energia E+ ed E- la schermatura è misurata usando il parametro:
G’ è simmetrica in w+ e w- e decresce al crescere di k
G
wkwZ
mc
EE
k
Z
mc
1
1100100'
31
2
31
2
Rivelatori di Particelle 27
Lezione 8
Interazioni dei
In caso di schermatura completa (G’~0) la espressa in
funzione dell’energia cinetica del positrone e
normalizzata a o è quasi uniforme I positroni sono
prodotti con tutte le energie possibili gli e+ ed e- della
coppia non hanno la stessa energia.
La dipende dal materiale come Z2.(incluso nella o)
Ad alta energia e+ ed e- tendono ad essere prodotti a
piccolo angolo rispetto alla direzione di volo del .
< q > = mc2/E ( E = E+ od E- )
Rivelatori di Particelle 28
Lezione 8
Interazioni dei
La sezione d’urto totale per produzione di coppie si ottiene integrando d/dE+ su
tutte le possibili energie dell’ e+ e, nel caso di schermatura completa, è :
Scartando 1/54 ed introducendo il materiale (A, NA) ottengo:
atomocmZ
Zrepair / 54
1183ln
9
74 2
31
22
a
03
1
22 1
9
7183ln
9
74
XZA
NZr A
epair
a
Rivelatori di Particelle 29
Lezione 8
Interazioni dei
A causa del bremsstrahlung, un fascio di e± di energia
iniziale E0, dopo un tratto x di materiale ha un’energia:
E = E0e-x/Xo
In un mezzo omogeneo di lunghezza di radiazione X0,
a causa della produzione di coppie, l’intensità di un
fascio monocromatico di , diminuisce dopo un tratto
x di materiale come segue:
I = I0e-(7/9)x/Xo
Rivelatori di Particelle 30
Lezione 8
Interazioni dei
Sia l’effetto fotoelettrico, che quello Compton e la produzione di coppie
sono dei processi distruttivi.
Effetto fotoelettrico: assorbe ed emette e-
Effetto Compton: cambia la n dei ( trasferimento di energia al mezzo)
Produzione di coppie: trasforma i in e+ ed e-
Rivelatori di Particelle 31
Ricordiamo le interazioni elettromagnetiche fondamentali
Lezione 8
Sciami elettromagnetici
e+ / e-
Ionisation
Bremsstrahlung
Photoelectric effect
Effetto Compton
Pair production E
E
dE
/dx
dE
/dx
E
E
Rivelatori di Particelle 32
Lezione 8
Sciami elettromagnetici
A questo punto e’ abbastanza facile capire cosa succede se si ha un
fascio di e± o di che attraversa del materiale.
Electron shower in a
cloud chamber with
lead absorbers
Rivelatori di Particelle 33
Lezione 8
Sciami elettromagnetici
Semplice Modello qualitativo
Consideriamo solo Bremsstrahlung e
produzione di coppie.
Assumiamo X0=lpair=9/7X0
Il processo continua finché E(t) < Ec
c
tt
t
t
totalec
E
EN
EEt 01
0
0max 2122
2ln
/lnmax
max
Dopo t=tmax I processi dominanti sono ionizzazione, Compton ed effetto fotoelettrico
assorbimento
Rivelatori di Particelle 34
Lezione 8
Sciami elettromagnetici
Sviluppo longitudinale dello sciame
Massimo dello sciame
Contenimento longitudinale
Le dimensioni longitudinali dello sciame crescono
solo logaritmicamente con E0
tetdt
dE a
2ln
1ln 0
max
cE
Et
6.908.0max%95 Ztt
Rivelatori di Particelle 35
Lezione 8
Sciami elettromagnetici Lo sviluppo trasversale dello sciame non e’ tanto dovuto agli angoli di emissione
di od e± (entrambi molto piccoli) quanto allo scattering multiplo. 95% dello
sciame e’ in un cilindro di raggio 2RM
6 GeV/c e-
(C. Fabjan, T. Ludlam, CERN-EP/82-37)
2
0 / 21
cmgrXE
MeVR
c
M Raggio di Molière
Sviluppo longitudinale e
trasversale dello sciame
scalano con
X0, RM
Example: E0 = 100 GeV in lead glass
Ec=11.8 MeV tmax 13, t95% 23
X0 2 cm, RM = 1.8·X0 3.6 cm
46 cm
8 cm
Rivelatori di Particelle 36
Lezione 8
Sciami elettromagnetici
Risoluzione in energia
Per misurare l’energia si contano le tracce cariche
La risoluzione relativa in energia migliora crescendo E0
Anche la risoluzione spaziale ed angolare scalano con E-1/2
c
totaleE
EN 0
0
11
ENN
N
E
E
Rivelatori di Particelle 37
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
L’interazione di adroni energetici (carichi o neutri) è determinata da processi nucleari
anelastici.
Rottura del nucleo frammenti nucleari + produzione di particelle secondarie.
Ad alte energie (>qualche GeV) la sezione d’urto anelastica dipende poco dall’energia e
dal tipo di particella incidente (p, p, k….).
In analogia a X0 possiamo definire una lunghezza di assorbimento
Ed una lunghezza di interazione
n
p
p+
p0
p-
hadronZ,A
multiplicity ln(E)
pt 0.35 GeV/c
p,n,p,K,…
inel≈0A0.7 0≈35 mb
la= A/(NAinel)≈ A¼ poiché inel≈0A0.7
lI= A/(NAtotal)≈ A¼
Rivelatori di Particelle 38
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
Material Z A [g/cm3] X0 [g/cm
2] la [g/cm
2]
Hydrogen (gas) 1 1.01 0.0899 (g/l) 63 50.8
Helium (gas) 2 4.00 0.1786 (g/l) 94 65.1
Beryllium 4 9.01 1.848 65.19 75.2
Carbon 6 12.01 2.265 43 86.3
Nitrogen (gas) 7 14.01 1.25 (g/l) 38 87.8
Oxygen (gas) 8 16.00 1.428 (g/l) 34 91.0
Aluminium 13 26.98 2.7 24 106.4
Silicon 14 28.09 2.33 22 106.0
Iron 26 55.85 7.87 13.9 131.9
Copper 29 63.55 8.96 12.9 134.9
Tungsten 74 183.85 19.3 6.8 185.0
Lead 82 207.19 11.35 6.4 194.0
Uranium 92 238.03 18.95 6.0 199.0
Rivelatori di Particelle 39
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
Per Z>6 la > X0
0.1
1
10
100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
X0
la
X0,
la [c
m]
la and X0 in cm
Z
Rivelatori di Particelle 40
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
Cascate adroniche
Molti processi coinvolti molto più complicate che gli sciami e.m.
PT ~ 350 MeV sciami adronici molto più larghi di quelli e.m. (95% in un
cilindro di raggio lI)
(Grupen)
Rivelatori di Particelle 41
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
Larghe fluttuazioni dell’energia risoluzione in energia limitata
neutral pions 2 electromagnetic
cascade charged pions, protons, kaons ….
Breaking up of nuclei
(binding energy),
neutrons, neutrinos, soft ’s
muons …. invisible energy
6.4)(lnn 0 GeVEp
example 100 GeV: n(p0)18
Adronica + Componente e.m.
Rivelatori di Particelle 42
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
• Sviluppo longitudinale dello sciame
bEacmt
GeVEt I
ln)(
7.0][ln2.0)(
%95
max l Ferro: a = 9.4, b=39
la =16.7 cm
E =100 GeV
t95% 80 cm
(C. F
abja
n, T
. Ludla
m, C
ER
N-E
P/8
2-3
7)
Rivelatori di Particelle 43
Lezione 8
Interazioni nucleari (forti)
Trasversalmente lo sciame consiste
in un nocciolo + un alone.
Il 95% e’ contenuto in un cilindro di
raggio lI.
Gli sciami adronici sono molto
più lunghi e più larghi di quelli
elettromagnetici
Rivelatori di Particelle 44
Lezione 8
Conclusioni
Abbiamo accennato a tutti i processi e.m. o forti che avvengono quando una
particella carica (o no) attraversa la materia (escludendo il neutrino), tutti
processi utili per costruire i rivelatori.
Da un punto di vista puramente strumentale possiamo suddividere i processi in
non distruttivi e distruttivi:
Distruttivi: produzione di sciami elettromagnetici e adronici. Questi
processi sono utili per misurare l’energia della particella (e±, calorimetri
elettromagnetici); (adroni e m calorimetri adronici). È ovvio che la parte
distruttiva dell’apparato sperimentale deve stare alla fine del rivelatore.
Non distruttivi:
o Perdita di energia per collisione (Bethe-Block) (misuro il o il della particella carica).
o Effetto Čerenkov (misuro il della particella carica).
o Radiazione di transizione ( misuro il della particella carica).
Tutti e tre i processi non distruttivi possono essere usati per identificare la
particella, ed il primo (perdita di energia per collisione) è più spesso usato per
misurare la posizione della particella carica