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Rivelatori di Particelle 1 Lezione 6 Perdita di energia Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale. Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle cariche. Andremo ora un po’ più in dettaglio: dE/dx Range Risalita relativistica (b min /b max ) e saturazione Fluttuazioni della perdita di energia Energia critica
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Rivelatori di Particelle 1
Lezione 6
Perdita di energia
Abbiamo introdotto la perdita di energia per collisioni, che avviene
tramite scattering coulombiani sugli elettroni del materiale.
Questo è alla base di molti apparati usati per rivelare particelle
cariche.
Andremo ora un po’ più in dettaglio:
dE/dx
Range
Risalita relativistica (bmin/bmax) e saturazione
Fluttuazioni della perdita di energia
Energia critica
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Lezione 6
Perdita di energia
Per una singola collisione a parametro d’impatto b:
La perdita di energia non dipende dalla massa della particella
incidente
Dipende dalla carica e dalla velocità della particella incidente
Dipende dall’inverso della massa del bersaglio favorito il
trasferimento di energia agli elettroni atomici
Va come 1/b2 grandi De per piccoli b2
Indichiamo con De il trasferimento di energia per un singolo urto e con
DE la perdita di energia totale.
D
D
bersaglio particella massa
incidente particella carica
ta trasferio persa energia
2
)(22
22
m
z
bE
mvb
zb
e
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Lezione 6
Perdita di energia
Una particella veloce che attraversa la materia vede elettroni a varie
distanze dal suo percorso. Se abbiamo N atomi per unità di volume
con Z elettroni per atomo, il numero di elettroni dn che si hanno fra b e
b+db in uno spessore dx di materia sarà:
se vogliamo la perdita di energia dE/dx dovremo integrare su tutti i
possibili parametri d’impatto, ovvero:
Nell’ipotesi che ho un parametro d’impatto minimo e massimo.
bdbdxNZdn 2
min
max
2
22
22
22
ln41
4 max
minb
b
mv
zNZbdb
bmv
zNZ
dx
dEb
b
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Lezione 6
Perdita di energia
Introducendo il numero di Avogadro N0:
Osserviamo che la perdita di energia dipende solo dalla carica (z2) e
dalla velocità 1/v2 del proiettile, non dalla sua massa M.
Vediamo ora di ricavare i valori minimo e massimo del parametro
d’impatto b.
min
max
2
22
0 ln4b
b
mv
zZ
A
N
xd
dE
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Lezione 6
Perdita di energia
bmin >0 in quanto DEmax non può divergere.
Per collisioni frontali ho parametro d’impatto minimo e massimo di
energia trasferita:
DEmax=Tmax=2(b2g2)mc2
ma:
gbgb
b
222min222
222 ezr
mc
zb
mcb
zE D
z e
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Perdita di energia
Per ricavare bmaxosserviamo che l’elettrone è in realtà legato ad un
atomo per poterlo considerare libero il tempo di collisione deve
essere minore del tempo di rivoluzione, ma tcoll~b/vg
dove con w si intende la frequenza di rivoluzione dell’elettrone.
maxw
gvb
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Lezione 6
Perdita di energia
Osserviamo:
Un trattamento, sempre classico, ma più corretto (Bohr) considera gli
elettroni come degli oscillatori armonici bmax.
Il risultato è comunque praticamente lo stesso:
Il termine di Bohr (-b2/2) è una piccola correzione; I = energia media di
eccitazione della targhetta.
Questa formula ottenuta classicamente è valida per particelle incidenti
pesanti ( o nuclei), per particelle più leggere dobbiamo usare una
trattazione quantistica.
2ln
14
2222
22
22 b
bg
b
zI
mc
mc
z
A
ZN
dx
dE o
Rivelatori di Particelle 8
Lezione 6
Perdita di energia
La formula di dE/dx ricavata classicamente è comunque
perfettamente adeguata per alcune osservazioni:
1. Picco di Bragg: la maggioranza della perdita di energia si ha
verso la fine del percorso dove la velocità della particella è più
piccola cura del cancro.
x
dE/dx
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Lezione 6
Perdita di energia
2. Range: le particelle perdono energia e poi si fermano
Dato un fascio monocromatico la profondità alla quale le particelle iniziali
sono ridotte alla metà si chiama range medio.
Il range rappresenta la distanza attraversata dalla particella ed è diversa
dallo spessore attraversato a causa dello scattering multiplo.
È misurato in g/cm2 o in cm. (vedi http://pdg.lbl.gov)
dE
dxdE
ERE
01
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Lezione 6
Perdita di energia
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Lezione 6
Perdita di energia
Legge di scala (Range).
Supponiamo di conoscere il range di 1 protone come f(E/M) il range di una
particella con energia E è :
Le relazioni range energia sono spesso espresse R(E)=(E/Eo)n. e.g. il range in metri di
protoni di bassa energia nell’aria puo’ essere approssimato con n=1.8 e Eo=9.3 MeV.
M
EhM
Ehz
M
M
ER
M
dEM
MEgz
R
gfM
Egzvfz
dx
dE
di universale funzione con
1
funzioni e con
2
2
22
M
ER
z
z
M
M
M
ER p
p
p
2
2
Rivelatori di Particelle 12
Lezione 6
Perdita di energia Cenni sulla trattazione quantistica di dE/dx.
Abbiamo trascurato:
1. Gli scambi di energia sono discreti modifica di bmax. Il risultato classico di scambi di energia possibili su un continuo è sbagliato, ma, in media, viene praticamente corretto.
2. Natura ondulatoria delle particelle e principio d’indeterminazione modifica di bmin. L’analogo quantistico di bmin è bmin~ħ/p.
Bethe ricavò:
Dove Tmax è la massima energia incidente trasferibile in una singola collisione ed I il
potenziale di ionizzazione medio.
2
2
max
222
2
222
0
2ln
2
114 b
gb
b
I
Tmcz
A
ZmcrN
dx
dEe
Rivelatori di Particelle 13
Lezione 6
Perdita di energia
Osserviamo che dE/dx:
i. Dipende dalla carica della particella incidente (z2). (interazione
Coulombiana).
ii. Per b crescente decresce come 1/b2 raggiungendo un minimo per
bg ~3÷4 e poi risale in quanto log(b2g2) domina. (risalita
relativistica).
iii. Dipende dal potenziale di ionizzazione medio del materiale. ( I
dipende da Z, per Z≥20 I/Z~10 eV. (Per una lista delle proprietà
elettromagnetiche degli elementi vedi Fernow pag. 39 e figura prossima diapositiva)
2
2
max
222
2
222
0
2ln
2
114 b
gb
b
I
Tmcz
A
ZmcrN
dx
dEe
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Lezione 6
Perdita di energia
Rivelatori di Particelle 15
Lezione 6
Perdita di energia
Rivelatori di Particelle 16
Lezione 6
Perdita di energia
Effetto densità.
La salita relativistica satura crescendo g plateau di Fermi.
In materiali densi la polarizzazione del dielettrico del materiale altera i campi della particella
incidente dai valori nello spazio vuoto a quelli caratteristici di campi macroscopici in un
dielettrico. La polarizzazione del mezzo agisce da schermo e modifica il massimo
parametro d’impatto. Questo fenomeno è chiamato effetto densità in quanto dipende dalla
densità del mezzo. Più denso è il mezzo tanto prima si raggiunge il plateau di Fermi la
salita relativistica è più importante nei gas che nei liquidi e nei solidi.
La formula di Bethe Block diventa:
E funziona fino al % per particelle fino al nucleo di per b 0.1 1.0. Per basse velocità
(b~0.05) non è più valida in quanto non sono più valide molte delle assunzioni di Bethe
Block.
2
2ln
1 2222
2
2 gb
gb
b
I
mc
A
ZKz
dx
dE
Rivelatori di Particelle 17
Lezione 6
Perdita di energia
dE/dx per composti e miscugli.
Una buona approssimazione della perdita di energia per composti e miscugli è data dalla regola di Bragg (vedi range)
Dove w1 , w2 …. Sono le frazioni in peso 1, 2 ….del composto:
Possiamo definire dei valori efficaci come segue:
E riscrivere la dE/dx in termini dei valori efficaci.
22
2
11
11
dx
dEw
dx
dEw
dx
dE
i
iiM
M
iii AaAA
Aaw
eff
iiieff
eff
iiieff
iieffiieff
Z
Za
Z
IZaI
AaAZaZ
lnln
Rivelatori di Particelle 18
Lezione 6
Perdita di energia Particelle della stessa velocità hanno
praticamente la stessa dE/dx in
materiali diversi, se escludiamo
l’idrogeno. È presente una piccola
diminuzione della perdita di energia
all’aumentare di Z.
In pratica, la maggioranza delle
particelle relativistiche hanno una
perdita di energia simile a quella del
minimo MIP (minimum ionizing
particle).
La perdita di energia è normalmente
espressa in termini della densità di
area dS=dx e le particelle ionizzanti
al minimo perdono in media 1.94
MeV/(gr/cm2) in He, 1.08 in Uranio e
~4 MeV/(gr/cm2) in H2.
Rivelatori di Particelle 19
Lezione 6
Perdita di energia
Fluttuazioni della perdita di energia.
Ricordiamo che la perdita di energia dE/dx (Bethe Block) è un valore medio.
La reale perdita di energia per una particella che attraversa del materiale
fluttua a causa della natura statistica delle sue interazioni con i singoli atomi
del materiale.
2
2ln
1 2222
2
2 gb
gb
b
I
mc
A
ZKz
dx
dE
Rivelatori di Particelle 20
Lezione 6
Perdita di energia
Gli apparati sperimentali (granularità limitata) non misurano <dE/dx>, ma l’energia DE depositata in uno strato di spessore finito x.
DE è il risultato di un certo numero i di collisioni con trasferimenti di energia Ei e sezioni d’urto ds/dE.
ds/dW~1/W2 tendo a trasferire piccole quantità di energia
Gli eventi in cui ho una grossa perdita di energia sono associati alla produzione di e di rinculo ad alta energia ( rays ) la distribuzione della perdita di energia è tendenzialmente asimmetrica con una coda verso le alte energie.
Rivelatori di Particelle 21
Lezione 6
Perdita di energia
Fluttuazioni della perdita di energia….
Assorbitori spessi teorema del limite centrale distribuzione Gaussiana
Assorbitori sottili Landau se molto sottili, Vavilov se poco sottili.
Straggling functions in silicon for 500 MeV pions, normalized to unity at the most
probable value Dp/x. The width w is the FWHM.
Bibliografia Fernow (Introduction to experimental particle physics)
http://pdg.lbl.gov
Rivelatori di Particelle 22
Lezione 6
Fluttuazioni di dE/dx
Assorbitori spessi: limite gaussiano.
Per assorbitori relativamente spessi la distribuzione della perdita di energia è
gaussiana.
Ciò deriva direttamente dal teorema del limite centrale: la somma di N variabili
casuali, ciascuna che segue la stessa distribuzione statistica diventa distribuita
gaussianamente nel limite di N∞.
Se consideriamo come variabile casuale la E, cioè l’energia persa in una
collisione singola ed assumiamo che in ogni collisione la velocità b del proiettile
non è cambiata (in maniera apprezzabile) in modo che s(p) è costante
l’energia totale persa è la somma di tutte le E, tutte con la stessa
distribuzione.
Rivelatori di Particelle 23
Lezione 6
Assorbitori spessi
Se il materiale è spesso (ma non troppo) o denso N è grande quindi
vale il teorema del limite centrale e la perdita totale di energia W è
distribuita secondo una gaussiana
Essendo x lo spessore del materiale, W la perdita di energia
nell’assorbitore, la perdita di energia media, e s la deviazione
standard.
2
2
2exp),(
s
WWWxf
W
Rivelatori di Particelle 24
Lezione 6
Assorbitori spessi
Bohr ha calcolato la deviazione standard s0 per particelle non relativistiche:
Dove N è il numero di Avogadro, la densità, A il peso atomico e Z il numero
atomico del materiale.
Estesa a particelle relativistiche diventa:
Attenzione:
Abbiamo assunto che la perdita di energia W è piccola rispetto ad E (energia iniziale) in modo che la
velocità del proiettile non cambia se il materiale è molto spesso questo non è più vero e quanto
detto sopra non vale.
xA
ZmcNrMeVx
A
Ze s 2222
0 )(4157.0
2
22
12
0
2
1
1
b
bss
Rivelatori di Particelle 25
Lezione 6
Assorbitori sottili
Assorbitori sottili.
Nel caso di assorbitori sottili (o poco densi) N non è così grande da far
valere il teorema del limite centrale. Il calcolo diventa estremamente
complicato a causa di trasferimenti di grosse quantità di energia (raggi
delta) in una singola collisione avrò una distribuzione di perdite di
energia con una coda verso le alte energie, cioè asimmetrica.
Rivelatori di Particelle 26
Lezione 6
Assorbitori sottili
La probabilità che una particella incidente di energia E perda energia compresa fra W e W+dW attraversando un dx infinitesimo è:
Dove na=N0/A= numero di atomi per unità di volume, ds/dW= sezione d’urto differenziale per la particella incidente di perdere energia W in una singola collisione con un atomo.
La probabilità totale di una collisione di perdere qualunque W nell’infinitesimo dx sarà:
q si chiama rate di ionizzazione primaria.
dWdxdW
WdndWdxW a
s
dxdWdW
dnqdx a
s
Rivelatori di Particelle 27
Lezione 6
Assorbitori sottili
Semplice se dx è infinitesimo, ma complicato per dx finito.
Consideriamo un fascio di N particelle di energia E. Sia (W,x) la
probabilità che una particella perda un’energia fra W e W+dW dopo
avere attraversato uno spessore x.
La forma di può essere determinata considerando come varia quando
le particelle attraversano un ulteriore spessore dx.
Il numero di particelle con perdita di energia fra W e W+dW cresce
perché qualcuna che ad x aveva perso meno energia di W colliderà
e perderà un’energia fra W e W+dW in dx.
Il numero di particelle con perdita fra W e W+dW diminuisce perché
alcune particelle che avevano già perso l’energia giusta prima del
tratto dx ne perderanno ancora e quindi ne perdono di più di
W+dW.
Rivelatori di Particelle 28
Lezione 6
Assorbitori sottili
Se assumiamo che le collisioni che avvengono successivamente sono statisticamente indipendenti, che il mezzo assorbitore è omogeneo e che la perdita totale di energia è piccola rispetto all’energia della particella incidente:
Cioè:
Equazione integro-differenziale molto difficile da risolvere. Le differenze nelle soluzioni derivano essenzialmente dalle assunzioni fatte sulla probabilità (W) cioè dal trasferimento di energia per collisione singola.
Ciascuno dei calcoli teorici ha un suo limite di validità ed una particolare zona di applicabilità a seconda del valore di un parametro k=/Emax ( rappresenta l’energia al di sopra della quale avrò almeno un raggio delta =kz2(Z/A)(1/b2)x essendo x lo spessore attraversato).
dWqdxxWNdWdxddxxW
dWxWNdWdxxWN
W
,,
,,
0
eee
xWqdxW
x
xWW
,,,
0
eee
Rivelatori di Particelle 29
Lezione 6
Assorbitori sottili
Teoria di Landau
Valida per /Emax<0.01
Assunzioni:
• Perdita di energia piccola rispetto al massimo possibile in una singola
collisione (/Emax piccolo)
• Perdita di energia grande se paragonata all’energia di legame degli
elettroni (elettrone libero). Si trascurano quindi le piccole perdite di
energia dovute alle collisioni lontane.
Rivelatori di Particelle 30
Lezione 6
Teoria di Landau
Con queste assunzioni può essere fattorizzata come segue:
e’ è il taglio sulla minima energia persa.
Eulero) di (costante 577.0
;2
1ln'ln
;1'
ln1
con
1,
2
2
22
E
E
L
c
mv
I
cW
fxW
bb
e
e
Rivelatori di Particelle 31
Lezione 6
Teoria di Landau
La funzione universale fL() può essere espressa come segue:
Valutando fL() si ottiene per il valore più probabile per la perdita di
energia:
= correzione per effetto densità e FWHM=4.02
duuef uu
L
sin1
0
ln
e 198.0ln 'mpW
Rivelatori di Particelle 32
Lezione 6
Assorbitori sottili
Teoria di Vavilov
Valida per 0.01<k<1.
Caratterizzata da code un po’ meno asimmetriche.
Osserviamo:
Anche se il limite gaussiano si ha per k≥10 già per k≥1 la
distribuzione assomiglia ad una gaussiana.
Vavilov landau per k 0 ed ad una gaussiana per k ∞.
