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PROBABILIT E STATISTICAProf. Romano ScozzafavaLez. 18 - Vettori aleatori
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Argomenti della lezioneArgomenti della lezione
Vettori aleatori continui e discreti Vettori aleatori continui e discreti Distribuzioni marginali Distribuzioni marginali Indipendenza di numeri aleatori Indipendenza di numeri aleatori Previsione e varianza di funzioni
di vettore aleatorio Previsione e varianza di funzioni
di vettore aleatorio
Teorema di Bayes per vettori aleatori Teorema di Bayes per vettori aleatori
Vettore aleatorioVettore aleatorio
X = ( X1, X2, , Xm) : RmX = ( X1, X2, , Xm) : Rm
(X,Y) : R2(X,Y) : R2 P(X = x, Y = y) = 0 P(X = x, Y = y) = 0
h, k = 1, 2, ... h, k = 1, 2, ...
Discreto:Discreto:
phk = P(X = h,Y = k) > 0, phk = P(X = h,Y = k) > 0,
Continuo:Continuo:
per ogni (x, y) R2,per ogni (x, y) R2,
P(A) = f(x, y) dx dyP(A) = f(x, y) dx dy AA
Distribuzioni marginali:Distribuzioni marginali:
(X = h) = (X = h) = (X = h) [ (Y= k)] =(X = h) = (X = h) = (X = h) [ (Y= k)] =k
= [(X = h) (Y = k)]= [(X = h) (Y = k)]k
ph = P (X = h) = phkph = P (X = h) = phkkpk = P (Y = k) = phkpk = P (Y = k) = phkh
phk p pphk p p h k
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Caso continuoCaso continuo
fX(x) = f( x, y)dyfX(x) = f( x, y)dy++--
fY(y) = f( x, y)dxfY(y) = f( x, y)dx++--
f(x, y) fX(x) fY(y)f(x, y) fX(x) fY(y)
A R2 :insieme di misura positiva (A) distribuzione uniforme su A
f (x, y) =f (x, y) =0 se (x, y) A0 se (x, y) A
se (x, y) Ase (x, y) A11(A)(A)
In particolareIn particolare
A = {0 x 1, 0 y 1}A = {0 x 1, 0 y 1}f(x, y) =f(x, y) =densitdensit 1 su A, 0 altrove1 su A, 0 altrove
0 altrove0 altrove
1100fX(x) = dy = 1,fX(x) = dy = 1, x [0.1],x [0.1],f (x, y) = fX(x) fY(y)f (x, y) = fX(x) fY(y)
Altro esempio:Altro esempio:
Cerchio A di raggio r,con centro nellorigine
f(x, y) = 1 / r2f(x, y) = 1 / r2
su A, 0 altrovesu A, 0 altrove
PostoPosto
(x) = (r2 - x2)1/2, per x [-r, r],(x) = (r2 - x2)1/2, per x [-r, r],
(x)(x)fX(x) = f(x, y)dy = (r2 - x2)1/2,fX(x) = f(x, y)dy = (r2 - x2)1/2,-(x)-(x) 22r2r2con fX(x) = 0 per x [-r, r]con fX(x) = 0 per x [-r, r]
f(x, y) = fX(x) fY(y) f(x, y) = fX(x) fY(y)
YYAnalogamente la marginale diAnalogamente la marginale di
Marginali non uniformi e non vale laMarginali non uniformi e non vale la
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Distribuzioni marginali condizionateDistribuzioni marginali condizionate
ph k = P (X = hY = k) = ,ph k = P (X = hY = k) = ,phkphkpkpk h = 1, 2
k = 1, 2phkphkphphpk h = P (Y = kX = h) = ,pk h = P (Y = kX = h) = ,
phk = phpk h = pkph kphk = phpk h = pkph k
f(x, y)f(x, y)fY(y)fY(y)
Se fY(y) > 0, fX(x) > 0Se fY(y) > 0, fX(x) > 0
fX(x y) =fX(x y) =f(x, y)f(x, y)fX(x)fX(x)
fY(y x) =fY(y x) =
f(x, y) = fX(x) fY(y x) = fY(y) fX(x y) f(x, y) = fX(x) fY(y x) = fY(y) fX(x y)
U = (X,Y)U = (X,Y)
P(U) = (x, y)c(x, y)dx dyP(U) = (x, y)c(x, y)dx dy++-- ++--
var (U) = P(U2) - [P(U)]2var (U) = P(U2) - [P(U)]2
U = (X, Y) = X + YU = (X, Y) = X + Y
P(X + Y) = (x + y)f(x, y)dx dyP(X + Y) = (x + y)f(x, y)dx dy++-- ++--
= x dx f(x, y)dy + y dy f(x, y)dx= x dx f(x, y)dy + y dy f(x, y)dx++-- ++-- ++-- ++--
= x (x)dx + y(y)dy = P(X)+P(Y)= x (x)dx + y(y)dy = P(X)+P(Y)++-- ++--
P(XY) = xy f(x, y)dx dyP(XY) = xy f(x, y)dx dy++-- ++--
(X,Y) = XY(X,Y) = XY
X, YX, Y
Componenti del vettore aleatorio(X,Y) stocasticamente indipendenti seComponenti del vettore aleatorio(X,Y) stocasticamente indipendenti se
f(x, y) = (x)(y)f(x, y) = (x)(y)
per qualunque scelta di x e yper qualunque scelta di x e y
P(XY) = xy f(x, y)dx dy =P(XY) = xy f(x, y)dx dy =++-- ++--
x(x)dx y(y)dy = P(X)P(Y) x(x)dx y(y)dy = P(X)P(Y) ++ -- ++ --
cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) = 0
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= P[(X-mx)(Y- my)]= P[(X-mx)(Y- my)]
cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) =cov(X, Y) = P(XY) - P(X)P(Y) =
mx = P(X)mx = P(X) my = P(Y)my = P(Y)
(x)(y x) = (y)(x y) (x)(y x) = (y)(x y)
Teorema di Bayes per vettori aleatoriTeorema di Bayes per vettori aleatori
(y x) = K(x)(y)(x y) (y x) = K(x)(y)(x y)
con K(x) = 1/(x)con K(x) = 1/(x)