1

Л Е К Ц І Я № 19з навчальної дисципліни ”Основи вищої математики та теорії ймовірностей”

напряму підготовки ”Соціологія”

освітньо-кваліфікаційного рівня бакалавр

спеціальності _____________________________________________________

Лекцію розроблено доцентом кафедри ВМ ДУІКТ (2011р) Омецінською О.Б.

Тема: Формула повної ймовірності та формули Байєсса. Повторні

випробування за схемою Бернуллі, граничні випадки формули Бернуллі

– локальна і інтегральна теореми Лапласа, формула Пуассона.

Найпростіший потік подій

Основний зміст

1. Формула повної ймовірності та формули Байєсса.

2. Схема повторних випробувань (схема Бернуллі).

2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі.

2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із

заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі.

3. Граничні теореми для схеми Бернуллі:

3.1. Локальна теорема Муавра-Лапласа.

3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Відхилення відносної частоти від

імовірності.

3.3. Гранична теорема Пуассона.

4. Математична модель найпростішого потоку подій.

Текст лекції

1. Формула повної ймовірності та формули Байєсса

Нехай подія А може відбутися тільки за умови настання однієї із

попарно несумісних подій Ві (i=1,2,,n), ВiВj= при ij, які утворюють

2

повну групу подій в даному випробуванні. Подамо подію А у вигляді суми

попарно несумісних подій:

А=(А∩В1)∪(А∩В2)∪∪(А∩Вn).

Застосувавши до ймовірності цієї суми Аксіому аддитивності про

ймовірність суми попарно несумісних подій, а для ймовірності кожної події-

складової – теорему множення ймовірностей залежних подій, дістанемо

формулу повної ймовірності події А:

, (1)

де Р(Ві) – імовірність події Ві, Р(А/Ві) – умовна ймовірність настання події А.

Зауваження 1. З аналізу формули (1) випливає, що повна ймовірність

Р(А) події А не менша від найменшої і не більша від найбільшої з-посеред її

умовних ймовірностей Р(А/Ві), (i=1,2,,n).

А тепер розглянемо події Ві (i=1,2,,n), що утворюють в даному

випробувані повну групу попарно несумісних подій. Нехай подія А

здійснюється. При цьому ми не можемо з певністю сказати, із якою саме

подією із групи випадкових подій Ві (i=1,2,,n) відбулася подія А. Тому події

Ві називають гіпотезами. Оскільки гіпотези складають повну групу попарно

несумісних подій, то для їхніх ймовірностей справджується рівність

, (2)

Нехай відомі ймовірності гіпотез Ві та умовні ймовірності

настання події А, Р(А/Ві), (i=1,2,,n). Відомо, що в результаті

випробування подія А відбулась. Потрібно з огляду на це переоцінити

ймовірності гіпотез Ві, тобто знайти умовні ймовірності гіпотез, Р(Ві/А).

Застосуємо теорему множення ймовірностей до залежних подій А, Ві:

Р(А∩Ві)=Р(А)Р(Ві/А)=Р(Ві)Р(А/Ві),

де для Р(А) має місце формула (1). З останнього співвідношення дістанемо

формули Байєсса переоцінки ймовірності гіпотез

3

. (3)

Формули Байєсса (3) слугують уточненню початкових ймовірностей

гіпотез, які досить часто задають на базі статистичної інформації.

Зауваження 2. Після переоцінювання ймовірностей всіх гіпотез для

їхніх умовних ймовірностей маємо

, (4)

тобто сума умовних ймовірностей всіх гіпотез дорівнює 1.

Приклад 1. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі,

які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата втричі

більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну

деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2.

1. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь

буде стандартною.

2. Виявилось, що навмання взята з транспортера деталь стандартна.

Знайти ймовірність того, що цю деталь вироблено на першому верстаті.

Тут випробування – береться навмання одна деталь. Розглянемо

події: В1 – «деталь виготовлено на першому верстаті»; В2 – «деталь

виготовлено на другому верстаті»; А – «навмання взята деталь є

стандартною». Події В1 і В2 є несумісними в одному і тому самому

випробуванні й утворюють повну групу, що ж до події А, то вона може

відбутись із кожною з цих подій-гіпотез. Згідно з умовою задачі

продуктивність першого верстата втричі більша, ніж другого, тому

Р(В1)=3/4=0,75, Р(В2)=1/4=0,25. Умовні ймовірності настання події А відомі:

Р(А/В1)=1-0,15=0,85; Р(А/В2)=1-0,2=0,8.

1. За формулою повної ймовірності, (1), маємо:

Р(А)=Р(В1)Р(А/В1)+Р(В2)Р(А/В2)=0,750,85+0,250,8=0,6375+0,2=0,8385.

4

Відповідь узгоджується із вказаною в Зауваженні 1 властивістю повної

ймовірності: 0,8Р(А)0,85.

2. Переоцінимо початкову ймовірність гіпотези В1, з урахуванням

додаткової інформації – навмання взята деталь виявилася стандартною, тобто

за умови здійснення події А. Згідно з формулою Байєсса (3) для умовної

ймовірності гіпотези В1 дістанемо:

0,750,85/0,83850,760.

Отже, після переоцінки умовна ймовірність гіпотези В1 виявилась дещо

більшою порівняно з її початковою ймовірністю Р(В1)=0,75.

2. Схема повторних випробувань (схема Бернуллі)

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може

відбутись лише один раз з ймовірністю Р(А)=р або не відбутись з

ймовірністю настання протилежної події Оскільки ймовірність

р події А у кожному з випробувань однакова, тобто не залежить від того,

відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називають

незалежними щодо події А. Зокрема, такі події мають місце у випадку

повторення випробувань. Тому вживають термін – повторні випробування,

а також і термін випробування за схемою Бернуллі.

Знайдемо ймовірність Рn(k) появи події А k разів за проведення n

повторних випробувань, 1kn.

Подамо подію А сумою несумісних подій в одному і тому самому

складеному випробуванні, яке полягає в проведенні n повторних випробувань:

,

де Аі, і=1,2,n, – поява події А в і-тому випробуванні. Кількість таких подій-

складових в записаній сумі дорівнює числу сполучень із n різних елементів

по k елементів. Оскільки ймовірність кожної із подій-складових однакова і

5

дорівнює рkqn-k, то з урахуванням Аксіоми адитивності про ймовірність

суми попарно несумісних подій, дістанемо формулу Бернуллі

; 0≤k≤n, 0!=1. (5)

2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі

Число m0 появ події А в n незалежних повторних випробуваннях

називається найімовірнішою кількістю появи цієї події, якщо цьому числу

відповідає найбільша ймовірність.

Число m0 визначається одним із еквівалентних співвідношень

, (6)

які випливають з формули (5).

Якщо (n+1)р – ціле число, то таких найімовірніших чисел буде не одне,

а два, і одне з них – m0=(n+1)р, а різниця граничних значень в (6) складає

величину: (n+1)р-[(n-1)р+1]=2р-1.

Приклад 2. Знайти найімовірнішу кількість m0 влучень в серії з 9-ти

пострілів, якщо ймовірність успіху при одному пострілі дорівнює 0,7.

Обчислить ймовірність цієї події.

Застосувавши (6), дістанемо: m0=(n+1)р=(9+1)0,7=7. Отже,

найімовірніших чисел буде не одне, а два.

Відповідно до (6) дістанемо подвійну нерівність: (n-1)р+1m07

(91)0,7+1m07 6,6m07. Оскільки, найімовірніша кількість влучень є

цілим числом, то m0 ={6;7}.

Для обчислення ймовірностей Р9(6), Р9(7) застосуємо формулу (5):

Р9(6)=С96р6q3=[9!/(6!3!)]0,760,33=840,760,33≈0,267; Р9(7)=С9

7р7q2=[9!/(7!

2!)]0,770,32=360,770,32≈0,267.

2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із

заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі

Імовірність настання події А принаймні один раз у n випробуваннях

знаходимо за формулою Рn(1≤k≤n)=1-Рn(0)=1-qn, де q=1-р. Звідси для

6

кількості n випробувань, які необхідно провести, щоб з імовірністю Р можна

було стверджувати, що подія А з’явиться принаймні один раз, маємо:

Р=1-qn qn=1-Р

. (7)

Приклад 3. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки

годин імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої деталі буде не

менш ою від 0,952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0,01?

Застосувавши (7) при Р=0,952 і р=0,01, дістанемо:

nln(1-0.952)/ln(1-0.01)=ln(0,048)/ln(0,99)302.

Отже, за час t=302/2015 годин автомат виготовить принаймні одну

браковану деталь із ймовірністю не менш ою від 0,952.

3. Граничні теореми для схеми Бернуллі

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі (5) при великих

значеннях n пов’язане з труднощами розрахунку. Щоб уникнути їх,

застосовують її асимптотичні вирази, які даються локальною та інтегральною

теоремами Муавра – Лапласа. Ці вирази отримуються на основі закону

великих чисел (див. далі)

3.1. Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних

випробуваннях, у кожному з яких Р(А)=р, подія А відбудеться k разів,

подається наближеним виразом:

, де , (8)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція (х) має назву функції

Гаусса. Ця функція парна, (-х)=(х), і табулюється для х0 (див. ДОДАТОК

1) із зростанням х вона швидко спадає, за великих значень х функції Гаусса

практично дорівнює 0.

3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А

відбудеться від k1 до k2 разів при проведенні n незалежних випробувань, у

7

кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, розраховується за

наближеним виразом:

, де , (9)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція Ф(х) має назву функції

Лапласа. Ця функція непарна, Ф(–х)=-Ф(х), і табулюється для х0 (див.

ДОДАТОК 2), із зростанням х вона монотонно зростає від нульового

значення при х=0 до граничного значення 0,5 при х, для значень х4

функція Ф(х) практично не змінюється і наближено дорівнює 0,5.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що

при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти

події А, m/n, від ймовірності р цієї події за модулем не перевищить числа ,

визначається за наближеною формулою:

, (10)

де Ф(х) – функціяЛапласа.

3.3. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій за

масових випробувань

Точність асимптотичних формул для великих значень n (кількості

незалежних випробувань за схемою Бернуллі) знижується з наближенням p

до нуля. При n, p0, за умови np=a=const, формула Бернуллі (5)

переходить у формулу Пуассона

, (11)

за якою обчислюється ймовірність появи малоймовірної випадкової події k

разів в масових випробуваннях (за великого значення n).

Функція табулюється для різних значень k та а (див.

ДОДАТОК 3).

8

Зауваження 3. В наступних лекціях буде показано, що величина np в

повторних незалежних випробуваннях наближено дорівнює середньому

арифметичному значенню спостережуваної кількості появ події А за

проведення n випробувань.

Зауваження 4. Хоча формулу (11) виводять граничним переходом у

формулі Бернуллі (5) за умови np=a=const при переході від однієї серії

випробувань до іншої (за збільшення кількості n випробувань в серії

ймовірність p появи події А у кожному з випробувань зменшується), за цією

формулою зручно обчислювати ймовірність появи події k разів в n

випробуваннях також і у випадку звичайної схеми Бернуллі за значень p

сталих і малих, та значень n великих.

Приклад 4. Імовірність того, що під час епідемії грипу мешканець

міста захворіє на цю хворобу, становить у середньому 0,03%. Яка

ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих

на грип виявиться не більше 3-х осіб?

За умовою: p=0,003; n=300; 0k3.

Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей

застосуємо формулу Пуассона (11).

Обчислимо значення параметра а=np=3000,003=0,9.

Р300(0k3)=Р300(0)+Р300(1)+Р300(2)+Р300(3)=е-а(а0/0!+а1/1!+а2/2!+а3/3!)=

=е-0,9(1+0,9/1+0,92/2+0,93/6)≈0,40657(1+0,9+0,405+0,1215)≈0,40657+0,36591+

0,16466+0,04940≈0,9865. Тут: Р300(0)≈0,40657; Р300(1)≈0,36591; Р300(2)≈

0,16466; Р300(3)≈0,04940.

Отже, достатньо високою є ймовірність того, що серед навмання

вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб.

4. Математична модель найпростішого потоку подій

Потоком подій називається послідовність подій, які відбуваються

одна за одною у випадкові моменти часу. Наприклад, потік заявок, що

9

надходить до підприємства побутового обслуговування, потік викликів на

автоматичній телефонній станції, послідовність відмов елементів деяких

схем тощо. Середня кількість подій, які відбуваються за одиницю часу,

називається інтенсивністю потоку. Потік називається найпростішим,

якщо він має такі властивості:

1) стаціонарність – імовірність того, що за деякий проміжок часу t

відбудеться та чи інша кількість подій, пропорційний довжині проміжку і не

залежить від початку його відліку – отже, інтенсивність потоку стала;

2) відсутність післядії – імовірність настання кількості k подій на

довільному проміжку часу не залежить від того, яка кількість подій відбулась

до початку відліку цього проміжку;

3) ординарність – імовірність настання за малий проміжок часу t

двох і більше подій суттєво менша від ймовірності того, що відбудеться одна

подія.

Якщо потік подій найпростіший, то ймовірність того, що за проміжок

часу t настане k подій, визначається формулою:

(12)

де – інтенсивність потоку.

Формула (12) випливає із формули Пуассона (11), якщо в ній замість

середнього значення np=a появи кількості подій в n випробуваннях (див.

Зауваження 3) взяти величину t, яка дорівнює середній кількості появ подій

в потоці за проміжок часу t. Відповідно функція , яка

табулюється для різних значень k та а (див. ДОДАТОК 3), може бути

використана для підрахунку величини у формулі (12), якщо покласти

а=t.

10

Приклад 5. На автоматичну телефонну станцію надходить за 1 годину

в середньому 300 викликів. Знайти ймовірність того, що за дану хвилину

надійде: 1) рівно 2 виклики; 2) менш як 2 виклики; 3) не менше як 2 виклики.

Потік викликів найпростіший. Тому для розв’язування задачі

застосуємо формулу (12), в якій =300/60=5, t=1, k=2, k<2, k2. Обчислимо

відповідні ймовірності.

1) ;

2) ;

3) .

11

ДОДАТОК 1

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ГАУСА

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,00,10,20,30.40.50.60.70.80.9

1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.9

2.02.12.22.32.42.52.62.72.82.9

3.03.13.23.33.43.53.63.73.83.94,0

0,3989397039103814368335213332312328972661

0.2420217919421714149712951109094007900656

0.0540044003550283022401750136010400790060

0.00400033002400170012000900060004000300020001

0,3989396539023802366835033312310128742637

2396215519191691147612761092092507750644

0525043103470277021901710132010100770058

00430032002300170012000800060004000300020001

0,3989396138943790365334853292307928502813

2371213118951669145612571074090907610632

0519042203390270021301640129009900750056

00420031002200160012000800060004000300020001

0,3988395638853778363734673271305628272589

2347210718721647143512381057089307480620

0508041003320264020801630126009600730055

00400030002200160011000800050004000300020000

0,3986395138763765362134783251303428032565

2323208318491646141512191040097807340608

0498040403250258020301580122009300710053

00390029002100150011000800050004000300020000

0,3984395438763752360534293230301127802541

2293205918261604139412001023086307210596

0488039603170252019801540118009100690051

00380028002000140010000700050003000200020000

0,3982393938573739358934103209298927562516

2275203618041582137411821006084807070584

0478038703100246019401510116008800670050

00370027002000140010000700050003000200020000

0,3980393238473726357233913187396627322492

2251201217811561135411630989083306940573

0468037903030241018901470113008600650048

00360026001900130010000700050003000200020000

0,3977392538363712355533723166294327092468

2227198917581539133411450973081806810562

0459037102790235018401430110008400630047

00350025001800130009000700050003000200020000

0,3973391838253697353833523144292026852444

2203196517361518131511070957080406690551

0449036302900229018001390107008100610046

00340025001800130009000600040003000200010000

12

ДОДАТОК 2

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ЛАПЛАСА

х 0 1 2 3 4 5 6 7 8 90,00,10,20,30.40.50.60.70.80.9

1.01.11.21.31.41.51.61.71.81.9

2.02.12.22.32.42.52.62.72.82.9

3.03.13.23.33.43.53.63.73.83.94,04,55,0

0,000000,039830,079260,117910,155420,191460,225750,258040,288140,31594

0,341340,364330,384930,403200419240,433190,445200,455430,464070,47128

0,477250,482140,486100,489280,491800,493790,495340,496530,497440,49813

0,498650,499030,499310,499520,499660,499770,499840,499890,499930,499950,499960,499970,49999

0,003990,043800,083170,121720,159100,194970,229070,261150,291030,31859

0,343750,366500,386860,404900,420730,434480,446300,456370,464850,47193

0,477780,482570,486450,489560,492020,493960,495470,496640,497520,49819

0,498690,499060,499340,499530,499680,499780,499850,499900,499930,49995

0,007980,047760,087060,125520,162760,198470,232370,264240,293890,32121

0,346140,368640,388770,406580,422200,435740,447380,457280,465620,47257

0,478310,483000,486790,489830,492240,494130,495600,496740,497600,49825

0,498740,499100,499360,499550,499690,499780,499850,499900,499930,49996

0,011970,051720,090950,129300,166400,201940,235650,267300,296730,32381

0,348490,370760,390650,408240,423640,436990,448450,458180,466380,47320

0,478820,483410,487130,490100,492450,494300,495730,496830,497670,49831

0,498780,499130,499380,499570,499700,499790,499860,499900,499940,49996

0,015950,055670,094830,133070,170030,205400,238910,270350,299550,32638

0,350830,372860,392510,409880,425070,438220,449500,459070,467120,47381

0,479320,483820,487450,490360,492660,494460,495850,496930,497740,49836

0,498820,499130,499400,499580,499710,499800,499860,499910,499940,49996

0,019940,059620,098710,136830,173640,208840,242150,273370,302340,32894

0,353140,374930,394350,411490,426470,439430,450530,459940,467840,47441

0,479820,484220,487780,490610,492860,494610,495980,497020,497810,49841

0,498860,499180,499420,499600,499720,499810,499870,499910,499940,49996

0,023920,063560,102570,140580,177240,212260,245370,276370,305110,33147

0,355430,376980,396170,413080,427850,440620,451540,460800,468560,47500

0,480300,484610,488090,490860,493050,494770,496090,497110,497880,49846

0,498890,499210,499440,499610,499730,499810,499870,499920,499940,49996

0,027900,067490,106420,144310,180820,215660,248570,279350,307850,33398

0,357690,379000,397960,414660,429220,441790,452540,461640,469260,47558

0,480770,485000,488400,491110,493240,494920,496210,497200,497950,49851

0,498930,499240,499460,499620,499740,499820,499880,499920,499950,49996

0,031880,071420,110260,148030,184390,219040,251750,282300,310570,33646

0,359930,381000,399730,416210,430560,442950,453520,462460,469950,47615

0,481240,485370,488700,491340,493430,495060,496320,497280,498010,49856

0,498960,499260,499480,499640,499750,499830,499880,499920,499950,49997

0,035860,075350,114090,151730,187930,000400,254900,285240,313270,33891

0,362140,382980,401470,417740,431890,444080,454490,463270,470620,47670

0,481690,485740,488990,491580,493610,495200,496430,497360,498070,49861

0,499000,499290,499500,499650,499760,499830,499890,499920,499950,49997

13

ДОДАТОК 3

ТАБЛИЦЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЇ ПУАССОНА:

kа

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90 0.9048 0.8187 0.7408 0.6703 0.6065 0.5488 0.4966 0.4493 0.40661 0.0905 0.1638 0.2222 0.2681 0.3033 0.3293 0.3476 0.3596 0.36962 0.0045 0.0164 0.0333 0.0536 0.0758 0.0988 0.1217 0.1438 0.16473 0.0002 0.0011 0.0033 0.0072 0.0126 0.0198 0.0284 0.0383 0.04944 - - 0.0002 0.0007 0.0016 0.0030 0.0050 0.0077 0.01115 - - - 0.0001 0.0002 0.0004 0.0007 0.0012 0.00206 - - - - - - 0.0001 0.0002 0.0003

k а1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0

0 0.3679 0.1353 0.0498 0.0183 0.0067 0.0025 0.0009 0.0003 0.00011 0.3679 0.2707 0.1494 0.0733 0.0337 0.0149 0.0064 0.0027 0.00112 0.1839 0.2707 0.2240 0.1465 0.0842 0.0446 0.0223 0.0107 0.00553 0.0313 0.1804 0.2240 0.1954 0.1404 0.0892 0.0521 0.0286 0.01504 0.0153 0.0902 0.1680 0.1954 0.1755 0.1339 0.0912 0.0572 0.03375 0.0081 0.0361 0.1008 0.1563 0.1755 0.1606 0.1277 0.0916 0.06076 0.0005 0.0120 0.0504 0.1042 0.1462 0.1606 0.1490 0.1221 0.09117 0.0001 0.0034 0.0216 0.0595 0.1044 0.1377 0.1490 0.1396 0.13188 - 0.0009 0.0081 0.0298 0.0655 0.1033 0.1304 0.1396 0.13189 - 0.0002 0.0027 0.0132 0.0363 0.0688 0.1014 0.1241 0.131810 - - 0.0008 0.0053 0.0181 0.0413 0.0710 0.0993 0.118011 - - 0.0002 0.0019 0.0034 0.0225 0.0452 0.0722 0.097012 - - 0.0001 0.0006 0.0013 0.0113 0.0264 0.0481 0.072813 - - - 0.0002 0.0005 0.0052 0.0142 0.0296 0.050414 - - - 0.0001 0.0002 0.0022 0.0071 0.0169 0.032415 - - - - - 0.0009 0.0033 0.0090 0.019416 - - - - - 0.0003 0.0014 0.0045 0.010917 - - - - - 0.0001 0.0006 0.0021 0.005818 - - - - - - 0.0002 0.0009 0.002919 - - - - - - 0.0001 0.0004 0.001420 - - - - - - - 0.0002 0.000621 - - - - - - - 0.0001 0.000322 - - - - - - - - 0.0001