Lectura_16

Mapeo Plano–S a Plano–Z

M.Sc. Ricardo Rodrıguez [email protected]

Indice

1. Relacion de Mapeo 21.1. Franjas Primarias y Franjas Complementarias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Lugar Geometrico de Atenuacion Contante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3. Tiempo de Asentamiento ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4. Lugar Geometrico de Frecuencia Constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2. Lıneas de Amortiguamiento ξ Constante 6

3. Lıneas de Frecuencia Natural ωn Constante 73.1. Codigo Matlab para el Mapeo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1

1 RELACION DE MAPEO

1. Relacion de Mapeo

En vista de que las variables complejas z y s estan relacionadas mediante z = eT s, la localizacion delos polos y de los ceros en el plano z esta relacionada con la localizacion de los polos y los ceros delplano s. Por lo tanto, la estabilidad del sistema en lazo cerrado en tiempo discreto lineal e invariante conel tiempo puede determinarse con base a las posiciones de los polos de la funcion de transferencia delazo cerrado. Debe observarse que el comportamiento dinamico del sistema de control en tiempo discretodepende del periodo de muestreo T . La localizacion de los polos y los ceros en el plano z (ver Figura 1),depende del periodo de muestreo T . En otras palabras un cambio en el periodo de muestreo T modificalas localizaciones de los polos y de los ceros en el plano z y hace que el comportamiento de la respuestase modifique.

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0.90.80.70.60.50.40.30.20.1

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

π/T

0.9π/T

0.8π/T

0.7π/T

0.6π/T0.5π/T

0.4π/T

0.3π/T

0.2π/T

0.1π/T

Figura 1: Frecuencia natural y factor de amortiguamiento en el plano Z.

En diseno de un sistema de control de tiempo continuo, la localizacion de los polos y los ceros en el planos es de gran importancia para predecir el comportamiento dinamico del sistema. En sistemas de tiempodiscreto, es muy importante la localizacion de los polos y los ceros en el plano z. Cuando en un procesose incorpora un muestreo por impulsos, las variables complejas z y s quedan relacionadas mediante laecuacion de mapeo z = eT s. Dado que s esta formada por una parte real y otra imaginaria:

s = σ + jω

Entonces:

z = eT (σ+ jω) = eT σ eT jω = eT σ (cosωT + j cosωT ) = eT σ∠ωT

Dado que σ es negativo en el semiplano izquierdo del plano s, el semiplano izquierdo s corresponde en elplano z a:

|z|= e−σT < 1

El eje jω del plano s corresponde a |z| = 1. Esto es el eje imaginario en el plano s que corresponde alcirculo unitario en el plano z y el interior del circulo unitario corresponde al semiplano izquierdo del planos.

M.Sc. Ricardo Rodrıguez Bustinza 2

1.1 Franjas Primarias y Franjas Complementarias 1 RELACION DE MAPEO

1.1. Franjas Primarias y Franjas Complementarias

En vista de que ∠z = ωT , el angulo varia desde −∞ a +∞ conforme varie ω desde −∞ a +∞. Tomemosun punto representativo en el eje jω del plano s. Conforme este punto se mueve sobre el eje jω desde− j(1/2)ωs hasta + j(1/2)ωs siendo ωs la frecuencia de muestreo, tenemos que, |z|= 1 y ∠z varia desde−π hasta +π en direccion contraria a las manecillas del reloj, en el plano z. Conforme el punto repre-sentativo se mueve desde j(1/2)ωs hasta j(3/2)ωs sobre el eje jω , el punto correspondiente en el planoz traza un circulo unitario en la direccion contraria a las manecillas del reloj. Por lo tanto, conforme elpunto en el plano s se mueve en el plano jω desde −∞ a +∞, dibujamos el circulo unitario en el plano zun numero infinito de veces. Todo ello puede observarse en la Figura 2.

Franjas Primaria:

jω desde − j(1/2)ωs hasta + j(1/2)ωs

Franjas Secundaria:

jω desde j(1/2)ωs hasta + j(3/2)ωs

jω desde j(3/2)ωs hasta + j(5/2)ωs

...

jω desde − j(1/2)ωs hasta − j(3/2)ωs

jω desde − j(3/2)ωs hasta − j(5/2)ωs

Figura 2: Franjas periodicas en el plano s y region correspondiente en el plano z.

En la franja primaria, si en el plano s trazamos la secuencia de puntos 1−2−3−4−5−1, esta trayectoriacorresponde al circulo unitario con centro en el origen del plano z (ver Figura 3).


1.2 Lugar Geometrico de Atenuacion Contante 1 RELACION DE MAPEO

Figura 3: Correspondencia entre la franja primaria del plano s y circulo unitario z.

Dado que la totalidad del semiplano izquierdo del plano s corresponde al interior del cırculo unitario en elplano z, la totalidad del plano derecho del plano s corresponde al exterior del cırculo unitario en el plano z.El eje jω se transforma del plano s en el cırculo unitario del plano z. Note que si la frecuencia de muestreoes por lo menos dos veces mayor que la frecuencia mas alta involucrada en el sistema entonces cada unode los puntos del cırculo unitario del plano z representan frecuencias entre −(1/2)ωs a +(1/2)ωs.

1.2. Lugar Geometrico de Atenuacion Contante

Una linea de atenuacion, una linea trazada con σ=constante, en el plano s corresponde a un circulo deradio z = esT con centro en el origen del plano z, como se muestra en la siguiente Figura 4.

Figura 4: Lınea de atenuacion constante en el plano s y lugar geometrico en el plano z.


1.3 Tiempo de Asentamiento ts 1 RELACION DE MAPEO

1.3. Tiempo de Asentamiento ts

El tiempo de asentamiento queda determinado por el valor de la atenuacion σ de los polos dominantes enlazo cerrado.

Figura 5: Region para un tiempo de asentamiento.

1.4. Lugar Geometrico de Frecuencia Constante

Un lugar geometrico de frecuencia constante ω = ω1 en el plano s corresponde en el plano z a una lınearadial de angulo constante T ω1, en radianes, como se muestra en la siguiente Figura 6.

Figura 6: Lugares geometricos de frecuencia constante en el plano s y plano z.


2 LINEAS DE AMORTIGUAMIENTO ξ CONSTANTE

2. Lıneas de Amortiguamiento ξ Constante

Las partes real e imaginaria de la variable compleja s expresada en funcion de ζ y ωn es mostrada en laFigura 7.

Figura 7: Componentes para el amortiguamiento constante.

El punto equivalente en el plano–z se encuentra la transformacion z = eT s para obtener:

z = e−ζ ωnT e jωnT√

1−ξ 2(1)

Si en esta ecuacion se mantiene fijo ξ y se varia ωn se trazara una curva espiral logarıtmica, puesto que lamagnitud de z variara exponencialmente con ωn mientras que la fase varia linealmente.

Analizamos puntos extremos para ωn = 0 en el punto se inicia un rayo del rango de amortiguamientoconstante.

z = e0 = 1

Si observamos la Figura 7, vemos que si el rayo sigue la direccion de lınea punteada, encontrar un puntode interseccion dado por:

ωn√

1−ξ 2 =πT

o de forma equivalente:

ωn =π

T√

1−ξ 2

Reemplazando este valor en (1):

z = e−ξ π/√

1−ξ 2e jπ

La longitud viene dada por, e−ξ π/√

1−ξ 2 y el angulo de 180◦. Podemos observar que mientras mas grandees ξ mas corta sera la longitud del vector. Las curvas espirales logarıtmicas que conectan los puntosextremos de las curvas con ξ = 0.1,0.2, . . . ,0.9 en incrementos de 0.1 (ver Figura 8).


3 LINEAS DE FRECUENCIA NATURAL ωN CONSTANTE

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ξ constante

0.9

0.1

0.2

Figura 8: Curva en el plano–z para ξ constante.

3. Lıneas de Frecuencia Natural ωn Constante

Para encontrar las curvas de ωn constante se utiliza de nuevo la transformacion eT s, esta vez se fija ωn yse varia ξ . Un valor usual para ωn es:

ωn =kπ

10T, k = 1,2,3, ...,10

Entonces.

z = e−kπξ/10e jkπ√

1−ξ 2/10 (2)

Se puede usar la ecuacion (2) para trazar las curvas de ωn constante y variando ξ de 0 a 1.

Analizando cuando ξ = 0 que corresponde a s = jkπ/10.

z = e0e jkπ√

1−02/10 = e jkπ/10

En este caso z es un vector de longitud uno y un angulo kπ/10 rad. Por lo tanto todas las curvas de ωn

constante se originan en el cırculo unitario a los angulos:

k× 180◦

10= k×18◦, k = 1,2, ...,10

En el otro extremo de cada una de estas curvas, ξ = 1 y

z = e−kπ/10, k = 1,2, ...,10


3 LINEAS DE FRECUENCIA NATURAL ωN CONSTANTE

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

−1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

ω constante

π/10T

π/5T

3π/10T

2π/5Tπ/2T

Figura 9: Curva en el plano–z para ωn constante.

Estos puntos se quedan en el eje real positivo en el plano–z, mientras mas pequena es k, mas grandees e−kπ/10. Al combinar las curvas de ξ y ωn constante se localizan puntos en el plano–z con cualquiercombinacion deseada de relacion de amortiguacion y frecuencia natural. Por ejemplo, consideremos lospolos en el plano-s con relaciones amortiguacion entre 0.6 y 0.9 y frecuencia naturales π/10T y 3π/10Tque se encuentran en el area sombreada de la Figura 10.

Re(s)

Im(s)

T pi 10 / 3

T pi 10 /

T pi /

z=0.9

z=0.6

Figura 10: Ubicacion de los polos deseados en el plano–s.

La region de los polos puede ser vista en el semicirculo de la Figura 11.


3.1 Codigo Matlab para el Mapeo 3 LINEAS DE FRECUENCIA NATURAL ωN CONSTANTE

Región de polos

T pi 10 / 3

T pi 10 /

Figura 11: Ubicacion de los polos deseados en el plano–z.

3.1. Codigo Matlab para el Mapeo

% zeta es constante, zeta varia

wn = 0:pi/10:pi;

zeta = 0.1:0.1:0.9;

T=1;

figure

for k=1:length(zeta)

z1=exp(-zeta(k)*wn*T+j*wn*T*sqrt(1-zeta(k).^2));

z2=exp(-zeta(k)*wn*T-j*wn*T*sqrt(1-zeta(k).^2));

hold on

plot(real(z1),imag(z1),’k:’)


title(’\xi constante’)

end

% wn es constante, zeta varia

zeta = 0:0.1:1;

k=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];

for i=1:length(k)

z1=exp(-zeta*k(i)*pi/10).*exp(j*k(i)*pi*sqrt(1-zeta.^2)/10);

z2=exp(-zeta*k(i)*pi/10).*exp(-j*k(i)*pi*sqrt(1-zeta.^2)/10);

hold on



title(’\omega constante’)

end

ejex=linspace(0,2*pi,1000);

CU=exp(-j*ejex);

plot(CU,’k’)

plot([-1 1],[0 0],’k:’)

plot([0 0],[-1 1],’k:’)


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