Lectura de Matema

7/21/2019 Lectura de Matema

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TEMA DEL FORO

Ensear y aprender Matemticas

1. Introduccin: algunas claves para un importante debateA pesar de que el deseo de muchos matemticos y profesores de Matemticassea otro, las

Matemticas no se encuentran entre las preocupaciones ms importantes delciudadano. Sin embargo, son pocos los que a lo largo de su vida no han tenido,en algn que otro momento,

Contacto con ellas. Y prcticamente todo el mundo est de acuerdo en que esnecesario un

Conocimiento bsico de las Matemticas para desenvolverse con una ciertasoltura en la vida

Cotidiana. Por otra parte, si hay alguna materia que en las escuelas levantapasiones, y tambin

Grandes desafecciones, esta es precisamente la de Matemticas.

Las Matemticas son ya una Ciencia antigua. Existen desde mucho antes deque se le dieran

Nombre y sus orgenes se remontan al menos al momento en que el serhumano empieza a contar.

Cabra tambin decir, como en su momento afirm Galileo, que el Universoest escrito en lenguaje matemtico1

y de ese modo estableceramos que las Matemticas surgen con nuestro

Universo, de manera simultnea. Sin remontarnos tan lejos en el tiempo, Albert

Einstein seLa filosofa est escrita en ese grandsimo libro abierto ante los ojos;

quiero d ecir , el Universo, pero no se puede

Entender si antes no s e aprende a entender la lengua, a con ocer los

caracter es en l os qu e est esc rito. Est escrito en

Lengua matemtica y sus caracteres son tringulos, crculos y otras figurasgeomtricas, sin las cuales es imposible


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Entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscurolaberinto. Galileo Galilei, preguntaba a principios del siglo que acabamos de

dejar: cmo es posible que la matemtica, un

Producto del pensamiento humano independiente de la experiencia, se adapte

tan admirablemente a los objetos de la realidad?

El debate sobre el papel que las Matemticas han de desempear en nuestrosistema educativo y, de manera ms general, su papel en la sociedad, viene yade muy atrs. Como era de esperar, el

Ao 2000, declarado por la UNESCO Ao Internacional de las Matemticas,desempolv esa

Cuestin pendiente que ha sido objeto desde entonces de diversas iniciativas

en diferentes mbitos: Sin ir ms lejos, cabe citar:- Los Reales Decretos del MECD donde se aborda la reforma de lasenseanzas mnimas tanto de la ESO como del Bachillerato.

- En la Comisin de Educacin, Cultura y Deporte del Senado se constituyuna ponencia sobre la situacin de las enseanzas cientficas en la EducacinSecundaria.

- Las sociedades matemticas abordaron este tema en procesos de debate delos que surgieron Algunas declaraciones sobre la situacin de las matemticas

en la enseanza no universitaria.

Vase por ejemplo la de la Real Sociedad de Matemtica Espaola (RSME).

A la hora de abordar la cuestin de las Matemticas y su enseanza convienetal vez tener en

Cuenta los siguientes aspectos que la sealan como disciplina singular:

1.- Omnipresencia de las Matemticas:Antes hacamos referencia a laafirmacin de Galileo

Sobre que las Matemticas constituyen el lenguaje del Universo. La historia dela humanidad y en

Particular el desarrollo de la Ciencia y de la Tecnologa no han hecho ms quesubrayar lo acertado de su visin. Por otra parte, en nuestra sociedad escreciente el papel cada vez ms ubicuo

y polifactico que las Matemticas desempean: telecomunicaciones, finanzas,informtica, medicina, biotecnologa, sin mencionar las clsicas reas de la

Ingeniera. Por otra parte las


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Matemticas forman parte de nuestro entramado educativo desde que el nioentra en la Escuela

Hasta que concluye el ciclo de la ESO. Por tanto, todos desarrollamos unarelacin con las

Matemticas que dura al menos diez aos, y que frecuentemente volvemos avivir a travs de nuestros hijos cuando ya las creamos dejadas atrsdefinitivamente.

2.- Es necesario un contacto tan prolongado con las Matemticas?Cabra pensar que todas esas Matemticas que el sistema educativo nospresenta desde los primeros cursos, pudieran ser

fruto de la perversin de los matemticos y de su capacidad histrica parainfluir en quienes

pueden determinar las pautas de los sistemas educativos. Pero no es as. LasMatemticas, junto con la Lengua, forman los dos pilares centrales sobre losque se asienta todo el proceso educativo

Entender el mundo, la naturaleza de los procesos que en l se desarrollan ysus interacciones pasa, en todas las civilizaciones, por las Matemticas. Enefecto, como dijo en su

Da R. Bacon, Sin Matemticas, las Ciencias no pueden ser entendidas, no sepueden ensear, no

se pueden aprender." No nos queda ms remedio entonces que aprender denmeros, operaciones, sistemas mtricos, regla de tres, resolucin de sistemassimples de ecuaciones, geometra, y un

Largo etctera. Y todo esto lleva mucho, mucho tiempo y esfuerzo, y sobretodo, las etapas no

Pueden quemarse, es necesario avanzar aumentando de manera paulatina elgrado de complejidad

De los conceptos y volver una y otra vez sobre los mismos, adquiriendo as unacomprensin cada vez ms profunda y consolidada.

3.- Hay alguna razn por la que tengamos hoy que hablar de todo esto?Las Matemticas Son muy antiguas y se llevan enseando y aprendiendosiglos. No podamos tener el problema de

Su enseanza resuelto? Lamentablemente no es as. Y no solamente eso, sinoque se puede


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Afirmar, sin lugar a dudas, que su enseanza atraviesa una coyuntura de crisisa todos los niveles.

Las crisis (momento en que se produce un cambio muy marcado en algo)segn la acepcin

del diccionario de Mara Moliner) tienen tambin aspectos positivos puesto queson ocasiones

Excepcionales para pasar a estadios mejores y tienen la gran ventaja dehacernos redoblar esfuerzos. No cabe duda que estamos en un momento deintensos y marcados cambios en el mbito de la enseanza de lasMatemticas.

4.- En qu nos afecta la crisis a todos? La enseanza secundaria ha

cambiado mucho. SuUniversalizacin y extensin hasta los diecisis aos de manera obligatoria,que constituyen logros

Sociales histricos, ha modificado necesariamente su panorama. Sin duda lasMatemticas han

Sido una de las materias donde los cambios se han dejado sentir ms. Resultadifcil, y esto ocurre

Tambin en las Universidades, mantener los mismos programas que hace nomucho y es aqu

Posiblemente donde estos cambios a los que estamos haciendo referencia nosafectan a todos y, de

Manera notable, a todos los adolescentes que cursan estudios en laEnseanza Secundaria Obligatoria (ESO).

5.- Es malo que se enseen menos Matemticas? Ms de uno responderaas a la cuestin

planteada antes, y con razn. Podra no parecer grave que los estudiantesaprendiesen menos

Matemticas, en la medida en que ahora saben ms informtica, manejan untelfono mvil con

una soltura envidiable para muchos adultos, etc. Habida cuenta de que elsaber, a pesar de no ocupar lugar, s que exige tiempo, es lgico que lasMatemticas salgan perdiendo. Pero, en este


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Punto los profesionales deberamos reivindicar que lo esencial quedase intacto.Los conceptos y

Reglas fundamentales deberan ser asimiladas. No parece lgico resignarse auna sociedad donde los ciudadanos manejan sofisticados artilugios

tecnolgicos, pero tienen serias dificultades para

Decidir cunto queda de un pastel despus de cortar un tercio y un cuarto delmismo.

6.- Los alumnos ms motivados y capaces para las Matemticas

encuentran en nuestro

Sistema educativo la formacin que merecen? En esta cuestin el panorama esun tanto sombro,

lo cual explica, en particular, los sntomas que se perciben en la Universidad.Pero no es difcil entender lo que puede estar ocurriendo: si las Matemticashan de llegar a todos, stas

Necesariamente habrn de ser ms simples. Pero no nos confundamos, no porello han de ser ms fciles, y es un error pensar que se van a transmitir de unaforma mgica, sin esfuerzo

Estas cuestiones perfilan en grandes lneas algunos de los problemas queaparecen cuando hablamos de Matemticas y de su enseanza.

Como decamos anteriormente, en los ltimos aos ha sido frecuente hablar deEnseanza Secundaria, de las necesidades de reforma, y las Matemticassiempre son protagonistas estelares

de estos debates. A estas alturas pues, muchos, si no todos, tenemosopiniones a este respecto, a Veces divergentes, y otras muy prximas unas deotras (lo cual no quita que despus sea muy

difcil poner estas ideas en prctica y hacer realidad cualquier reforma tangible

o iniciativa de cambio o mejora). No podemos olvidar que nuestro sistemaeducativo posee una gran inercia,

Imprescindible por otra parte para ofrecer la tan necesaria robustez yestabilidad en su funcionamiento, que absorbe gran parte de las energasinvertidas en los debates y procesos de

Cambio sin que eso redunde de manera palpable en cambios significativos enlas aulas.

Este debate de ideas ha puesto de manifiesto la existencia de al menos dos

corrientes de pensamiento que, an a riesgo de caer en una excesivasimplificacin, podran describirse del


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Modo siguiente:

- Una corriente ms purista constituida por los que piensan que, a pesar de locomplejo de la situacin, el punto clave sigue siendo el mantenimiento yadecuacin de los contenidos

Necesarios para garantizar una educacin matemtica satisfactoria, a la vezque se facilita, a travs de medidas legislativas, que los estudiantes vayandiseando unos itinerarios en

los que, estando garantizados unos mnimos, puedan optar al grado deprofundizacin que deseen en Matemticas, decisin en la que, obviamente,han de incidir, en particular, su

Gusto por y capacidad en el mbito de esta disciplina y la carrera profesional

que en el futuro desee desarrollar.- Otra que, haciendo ms nfasis en los aspectos didcticos, considera que lamayor fuente

de problemas en la enseanza de las Matemticas radica en el exceso ycomplejidad de los contenidos y que las soluciones han de venir de reducirestos a la vez que se profundiza en

la formacin didctica del profesorado. Es decir, quienes consideran que si losestudiantes tienen problemas con las Matemticas es porque, por una parte,

los matemticos han hecho

los contenidos innecesariamente complicados y que, por otra, los maestros yprofesores no han adquirido la destreza pedaggica suficiente para transmitircon claridad el dominio de las tcnicas matemticas.

Antes de continuar y con el objeto de clarificar cuanto antes nuestra posicin,que constituir el hilo conductor de este artculo, hemos de decir que nossentimos mucho ms cerca del primer

Estado opinin que del segundo. En efecto, si bien reconocemos que cualquiermejora en los aspectos metodolgicos ha de ser bienvenida (comentaremosms adelante, por ejemplo, todo lo

Relacionado con los ordenadores) y que es preciso evitar el barroquismo de loscontenidos (punto en el que tambin insistiremos ms adelante), creemos quees importante mantener unos objetivos

Matemticos claros en lo fundamental no muy distintos a los tradicionales.Opinamos asimismo que la manera ms eficaz de alcanzarlos es la habitual,

consistente en explicaciones claras por


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parte del profesorado y en el trabajo personal del alumno y que para esto lasdos mejores recetas

son: garantizar una buena formacin matemtica de los maestros y profesores,y el que el alumno ejercite los diversos temas a travs de relaciones de

problemas, como ha sido histricamente el

caso. Por el contrario, nos cuesta aceptar que a base del empleo de nuevasmetodologas didcticas por parte de los diversos cuerpos docentes, laoperativa de los quebrados vaya a poder ser

Transmitida al alumno del mismo modo en que, por ejemplo, se describen lasdiferentes partes de un ro, desde su nacimiento hasta su desembocadura, o elciclo del agua desde que, saliendo del mar, vuelve al mismo.

En este punto cabe recordar la clebre frase de Santiago Ramn y Cajal en laque sealaba que

"Al carro de la cultura espaola le falta la rueda de la Ciencia." La situacin hamejorado en este

terreno pero queda an mucho por hacer, y no slo en el plano puramentemetodolgico.

El MECD en esta ltima legislatura y paralelamente al desarrollo de estedebate en el seno de la comunidad matemtica, ha tomado la iniciativa de

manera decidida y ha sacado adelante una

serie de proyectos que tienen como objeto una mejora sustancial de la calidadde nuestro sistema educativo. La ltima de ellas es la Ley de la Calidad de laEducacin antes mencionada, aprobada y publicada recientemente en el BOE.

Es, sin embargo, obvio que los problemas de la Educacin en una sociedadcomo la nuestra,

que cambia tan rpido y de manera tan diversa y vigorosa, no se resuelven con

meros cambios de leyes y normas y se hace indispensable una reflexin demucho ms calado y envergadura que

vaya creando una verdadera conciencia en nuestra Sociedad sobre larelevancia de la Educacin en general y de la de las Matemticas en particular.

Del mismo modo que las redes de carreteras, ferrocarriles o los aeropuertos seplanean a 15 (o ms) aos vista, parece evidente que la Educacin necesita deuna planificacin sosegada que

Exige que todos y, en particular, los polticos aborden este tema con amplitud

de miras, dejando de


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Lado los intereses partidistas y anteponiendo los intereses de todos, padres ehijos, porque la

Educacin mejore. Hemos tambin de escapar definitivamente de la tentacinde proceder de manera recurrente, de forma puntual, con prisas y sin la

necesaria visin perspectiva. Es evidente

Que, de manera excesivamente frecuente, estos errores y vicios no han sidodebidamente evitados. Lo que sigue es, en primer lugar, un breve esbozo de lasituacin de la Matemtica en la

Actualidad, para despus comentar algunas ideas sobre la situacin de nuestroalumnado, de nuestros profesores y nuestro punto de vista sobre lasMatemticas que deberan ensearse.

2. La realidad Matemtica actual

Los avances que se han producido en el siglo XX en Matemticas sonnotables. Este hecho es ms que evidente cuando se analiza el estado actualdel conocimiento en las disciplinas ms

Importantes de las Matemticas o se contempla el nmero de disciplinasemergentes con gran Impacto. En realidad el avance ha sido tan significativo,que un siglo parece a todas luces una

Escala de medida demasiado grosera para realizar un primer anlisis

comparativo. Tal vez

Analizando la segunda mitad del siglo XX consigamos una perspectiva algoms clara del ritmo al que las Matemticas han progresado.

Centrndonos ya en esta segunda mitad del siglo, detectamos que tambin enella el progreso de las Matemticas ha sido espectacular. Uno de los referentesms populares es sin duda la

Definitiva prueba del Teorema de Fermat debida al matemtico britnico

Andrew Wiles. Pero tal vez sea en otras reas donde el progreso ha sido msimportante, aunque no dispongan de una

Insignia tan sobresaliente. Como genuino representante de la segunda mitaddel siglo XX cabe Mencionar el mundo del Anlisis Numrico, de la SimulacinNumrica y de la Computacin

Apenas hace 40 aos se trataba de un rea incipiente. Hoy se trata de unadisciplina cientfica

Tremendamente compleja y desarrollada y con una perspectiva de progreso

an mayor para el siglo que estamos estrenando. A ello han contribuido no slolos progresos realizados en el terreno del


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Anlisis Matemtico orientado a la aproximacin numrica

sino tambin, de manera decisiva, la espectacular progresin de loscomputadores, que han pasado en dos dcadas de ser objetos raros

y difcilmente manejables a compartir espacio con los electrodomsticos.En la ltima dcada las Matemticas han jugado tambin un papel muysignificativo en diversos mbitos del desarrollo tecnolgico y social. Cabemencionar por ejemplo la aplicacin

del Anlisis de Fourier a la Teora de la Seal, de las Ecuaciones en DerivadasParciales al

Tratamiento de Imgenes o disciplinas emergentes como la MatemticaFinanciera. Todo esto sugiere un panorama sumamente optimista en el que los

avances que se han

Experimentado no son ms que un augurio de lo que est por acontecer. Apesar de todo ello, sera un grave error ignorar que algunos de los problemasms clsicos e importantes estn an por

Resolver. Entre ellos cabe citar por ejemplo la unicidad y regularidad de lassoluciones de las

Ecuaciones bsicas de la Mecnica de Fluidos, las ecuaciones de Navier-

Stokes, construidas en los aos treinta por el recientemente desaparecido J.Leray. Hay tambin aspectos sociolgicos que han de ser tenidos en cuenta alhablar de las

Matemticas a da de hoy. Por ejemplo, no podemos olvidar el masivo accesode una gran parte de nuestra juventud a la Universidad, lo cual es un fenmenoque podemos calificar sin duda

Alguna de nuevo" y caracterstico del ltimo cuarto del siglo XX. Estos dosfactores, espectacular desarrollo de las Matemticas y acceso masivo de los

jvenesa la Universidad, podran parecer estar en contradiccin o al menos sergeneradores de fuertes Tensiones. Cmo una disciplina compleja como lasMatemticas y en permanente crecimiento y

proceso de innovacin puede ser accesible a un cada vez ms amplio sectorde nuestra sociedad?

Pero hay un hecho que hace posible que los dos fenmenos arribamencionados, espectaculares desarrollo de las Matemticas y masivo acceso

de jvenes a la Universidad, coexistan de manera


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irrupcin de los ordenadores producir tambin de manera sutil pero sin dudaperceptible a medio y largo plazo, un cambio en

los contenidos docentes.

Por ejemplo, en la Universidad, comienza a ser habitual que las clases dealgunas de las asignaturas de Matemticas vayan acompaadas de, y se veancompletadas por, clases prcticas o

por laboratorios en los que se utiliza el ordenador ejercitando nocionesmatemticas bsicas

Mediante la programacin y, sobre todo, el uso de paquetes especficos desoftware matemtico.

Se trata de una experiencia a promover y racionalizar y tambin a trasladar a

nuestras Escuelas e Institutos. Conviene sin embargo no bajar la guardia en elterreno del (tan controvertido) rigor

Matemtico" y dejar claro en qu momento y con qu objeto el ordenador seconvierte en un aliado legtimo. Con esta precaucin y salvedad convienefomentar y ordenar la exploracin al

Mximo de esa va, mxime porque, si no se hace hoy un esfuerzo deincorporacin rigurosa del ordenador al mundo de las Matemticas en nuestrosCentros Educativos, los ordenadores pueden

Acabar suplantando a las Matemticas en algunos mbitos, y ms preocupantean, el alumno

Puede acabar llegando a la errnea conclusin de que las Matemticas sereducen a lo que meramente puede ejecutarse y visualizarse a travs delordenador.

Antes hemos citado ese aparente conflicto entre la universalizacin de laenseanza, incluso al nivel universitario, y el mantenimiento de los contenidos y

su profundidad. Se trata de unaCuestin sobre la que se podra (y posiblemente convendra) hablar mucho ydesde diversos puntos

de vista. En particular cabra analizar la supuesta bajada en el nivel de lasMatemticas que se

Ensean en nuestras Escuelas, Institutos y Universidades y el impactointernacional de nuestra investigacin matemtica. Un estudio reciente

Llevado a cabo por las Sociedades Matemticas espaolas, coloca a Espaaentre los diez pases ms productivos con una produccin superior al 4%. Sin


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duda este hecho es un claro reconocimiento de la comunidad internacional alnivel que est

Alcanzando la investigacin matemtica en nuestro pas. Pero conviene nobajar la guardia, pues,

en gran medida, este xito presente en el mbito de la investigacin estfundamentado en la tarea docente realizada desde hace ms de dos dcadas,y conviene por tanto cuidar al mximo nuestro

Sistema educativo si se quiere mantener el nivel que estos indicadoressealan. No es en absoluto incompatible este reconocimiento a nuestra laborinvestigadora con el deterioro de las Matemticas en los diversos mbitos de laenseanza.

3. Sobre cmo, quin y a quin se ensea

3.1 Diversidad de alumnos, y de profesorado?

Creemos que no es posible hablar simultneamente de los alumnos quemuestran ms facilidad y

Aficin por las Matemticas, y que posteriormente probablemente estudiarnuna carrera de Ciencias o una Ingeniera, y de aquellos otros que, ya con 12aos, comenzaron a alejarse

Definitivamente de esta materia y orientaron sus intereses hacia otros temas.Del mismo modo, creemos que, simplemente, el tratamiento de estos alumnosha de ser diferente. En la recin

Aprobada Ley de Calidad se habla de diversos itinerarios en el segundo ciclode la Enseanza

Secundaria Obligatoria:

- dos en tercer curso: Tecnolgico y Cientfico-Humanstico,

- y tres en cuarto curso: Tecnolgico, Cientfico y Humanstico.

Creemos que es en este marco, donde se puede dar un tratamientodiferenciado, que hasta ahora no se ha dado, a los alumnos con diversosintereses con respecto de las Matemticas.

Veamos algn ejemplo que justifique y sustente este punto de vista. Muchosestudiantes seran

Capaces de resolver el siguiente problema: evaluar la funcin 2 y = x en lospuntos x=1,2,3,.

Pero quiz no tantos sean capaces de entender que esta frmula algebraica


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2 y = x , es una manera

De codificar un sin fin de relaciones, que manipular esta relacin puede sermenos costoso que

Manejar un gran nmero de datos, y que dicha relacin puede tener algo quever con una trayectoria parablica en el plano. O, por usar un ejemplo msprximo a la realidad cotidiana,

Muchos estudiantes saben calcular cuanto supone el 15 % de una cantidad,pero quiz tengan

Algunas dificultades para saber qu tanto por ciento supone una subida de un15 % anual en el precio de la vivienda durante cuatro aos consecutivos.

En este punto conviene no engaarse ni confundir trminos: aunque el lgebra

sea una herencia de la Grecia y el Oriente antiguos, puede que no resulte deacceso fcil a buena parte de

la poblacin, como posiblemente no lo seran las marcas atlticas de losgriegos en las primeras Olimpiadas.

Obviamente, a este problema de la diversidad de los alumnos se suman otrosrelacionados con la formacin de nuestro profesorado.

En los Centros de Formacin del Profesorado de Primaria las asignaturas de

Matemticas han desaparecido prcticamente, para ser sustituidas por las deDidctica de las Matemtica, que

Incluso en el mejor de los casos no llegan al 5% de la carga lectiva de dichosestudios. Es en este punto donde con ms claridad se perciben los efectos deldiagnstico que mencionbamos en la

Primera seccin, en gran medida opuesto al que desgranamos en este artculo,segn el cual el problema de los maestros no es entender y conocer mejor lasMatemticas para as garantizar una

mejor enseanza de las mismas sino, simplemente, adquirir las destrezas quepermitan trasmitir estos conocimientos con facilidad y, por supuesto, con unhipottico xito que los sistemas tradicionales no han llegado a alcanzar.

Reconociendo el mrito y el esfuerzo de los que defienden esta vas, yestando, como hemos

Mencionado anteriormente, a favor de incorporar en nuestro sistema educativotodos los medios y elementos metodolgicos necesarios para garantizar unamejor calidad de la enseanza, creemos


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Sinceramente que este tipo de diagnsticos nos alejan frecuentemente de lasolucin. Por ejemplo,

el dominio de las operaciones bsicas con quebrados exige trabajo personal,bien orientado, pero sobre todo a base de prctica y ejercicios y que an no se

conoce el mtodo ni la estrategia

Didctica que permita transmitirlo del modo que todos desearamos, como unaimagen por internet, por poner un smil cotidiano.

La realidad cotidiana de un profesor de Matemticas de Primaria, deSecundaria o Universitario, a veces tiene muy poco que ver con el tipo decuestiones que ocupan a quienes

Defienden estos posicionamientos: Efectivamente, cualquier mtodo deja de

servir y resulta insuficiente al profesor que ha de explicar la derivada sin habercomprendido su genuino y ltimo sentido.

Reconocemos la buena voluntad de los que piensan que las dificultades conlas que un profesor se encuentra a la hora de transmitir los conceptosmatemticos son consecuencia de la

Ausencia de herramientas didcticas. Sin duda stas son importantes y tiles.Pero ninguna herramienta resulta ms til que una profunda comprensin delconcepto matemtico que se ensea.

En la actualidad un nmero muy importante de los alumnos que acceden a losestudios de

Maestro cursaron Matemticas por ltima vez en Cuarto de la E.S.O. De estemodo, si en la Universidad no cursan prcticamente ninguna asignatura decontenido matemtico, va a ser muy

Difcil que sepan qu ensear, aunque sepan cmo. Creemos que este es unproblema muy serio, y que es necesario abordar de manera urgente. Noestamos diciendo que un Maestro de Primaria

Deba conocer aspectos sofisticados del Anlisis Matemtico o la Topologa, no,pero s que no haya ninguno que dude sobre el significado del teorema dePitgoras, clave para entender toda la

Geometra eucldea. creemos que una buena forma de acceder a una mayorexperiencia y destreza didctica de los Maestros quiz sea aumentar lasprcticas, correctamente tuteladas, en centros de enseanza con

Alumnos a los que se va a ensear. Esto mismo sera vlido para los

licenciados aspirantes a Profesores de Matemticas de Secundaria. En estesentido, el diseo del nuevo Ttulo de


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Especializacin Didctica, previsto en la Ley de Calidad, debera apuntar enesta direccin.

Conviene en este punto tener en cuenta que el vigente Curso de AptitudPedaggica (CAP) que

Deban superar los licenciados en Ciencias, para despus poder participar enlas oposiciones de

Profesores de Matemticas de Secundaria, no ha cumplido los objetivos paralos que fue diseado y se ha convertido en muchas ocasiones en un simpletrmite burocrtico.

3.2 Enseanza calculstica o de los conceptos?

Si hay muchos alumnos que, por diversas razones, no estn capacitados para

acceder al pensamiento formal de manera inmediata, el profesor deMatemticas, tendr que limitarse a

Ensear recetas y evaluar la eficacia del alumno en su aplicacin?

La cuestin no es simple puesto que es frecuentemente ejercitandosuficientemente los aspectos operacionales que el ser humano es capaz deentender la lgica subyacente, y de ese

modo adquirir una comprensin abstracta, ms global y duradera y que le

permita abordar con

autonoma problemas ms complejos. Los aspectos mecnicos y los abstractosvan, por tanto,

unidos y es difcil establecer una lnea divisoria.

Cul es la mejor manera en que un alumno puede aprender el sentido y lastcnicas de la

teora de la integracin? Probablemente resolviendo una lista de cincuenta

integrales bien

Elegidas. En algunos casos esto conducir a que el alumno maneje con solturalos aspectos

Operativos. En otros, el alumno acabar descubriendo de manera inconscienteque la integracin es un proceso de inversin de la derivacin y comprender lamotivacin y significado de frmulas a

la vez tan simples y enigmticas como la de integracin por partes y su

relacin con la de derivacin del producto de funciones.


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Por tanto creemos que nada tenemos que temer de una enseanzacalculstica, orientada a

proporcionar al alumno la soltura necesaria para desenvolverse en el mundo dela aritmtica.

No es la primera vez en la historia de la educacin que esta cuestin sedebate. Fuimos de los que, en los aos 70, en la Educacin General Bsicaestudiamos la Matemtica Moderna por

Primera vez. Fue a la vez triste e ineficaz alejarnos de las Matemticas de losnmeros para adentrarnos prematuramente en la Teora de Conjuntos. 11

La Matemtica Moderna se introdujo en aquella poca en nuestro sistemaeducativo partiendo de dos principios: los de la Psicologa Evolutiva y una

fuerte corriente Matemtica empeada enEnterrar las Matemticas clsicas para sustituirlas por un engranajelgico/abstracto.

Esta corriente ha ido perdiendo peso en las ltimas dcadas tanto en el mbitode la investigacin como de la enseanza, y el fracaso de lo que se denominla Matemtica Moderna es

hoy patente. Pero hoy en da existen otras tendencias, como por ejemplo las dela Matemtica novsima", fuzzy", etc., que entraan los mismos riesgosque la

anterior, o incluso alguno ms,

Puesto que ahora se pretende adems que las Matemticas son fciles ydivertidas para hacerlas ms populares. Con toda seguridad componer

canciones con presunto contenido matemtico

Puede resultar ms divertido que ensear a resolver ecuaciones, pero noconviene confundir una clase de matemticas con otra cosa. Efectivamente, lasMatemticas pueden resultarnos

Divertidas a algunos y as es, pero puede que no lo sean para todo el mundo, yesto es una realidad que hay que reconocer. En lo que respecta a la facilidad,todo Matemtico profesional sabe que

sta se acaba cuando uno se enfrenta a un problema suficientemente difcil.As, la lnea divisoria entre lo fcil y lo difcil es algo personal que dependefuertemente del individuo.

En este punto surge de manera natural la siguiente cuestin: hasta dondepueden avanzar


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juntos los alumnos si algunos de ellos nunca llegarn ms all de manipular lascuatro reglas bsicas, (suma, resta, multiplicacin y divisin) mientras que otrosrealizarn estudios

Universitarios de Ciencias?

A la hora de reflexionar sobre esta cuestin conviene tambin no perder devista que el alumno

Tiene derecho a escuchar del profesor una explicacin conceptual y abstractasuficiente y motivada para que, en caso de que est en condiciones de hacerlo,ir ms all del simple manejo de la regla.

En una entrevista que se realiz a Jos Antonio Marina hace ya algunos aos,cuando an no haba recibido el reconocimiento que hoy tiene, denunciaba que

la Filosofa de nuestros Institutosse estaba convirtiendo en una mera Historia de la Filosofa, en un anecdotariode nombres y fechas y no en lo que realmente debera ser: el estudio de lasgrandes ideas del pensamiento humano y su evolucin.

Lo mismo podra decirse de lo que desde algunos mbitos se hace con lasMatemticas. Conviene pues ser sumamente rigurosos a la hora de establecerla lnea divisoria entre divulgacin

y educacin, y esto es una tarea que compete en primer lugar a los propios

profesionales de las Matemticas y su enseanza.

3.3 Programas de mnimos o de mximos?

En la actualidad, Howard Gardner13, por ejemplo, habla de inteligenciasmltiples y cada vez

conceptos como los de inteligencia emocional estn ms asumidos. Eso es unamuestra de

reconocimiento y respeto a la diversidad de la naturaleza humana y tienemucho de bueno en la

medida en la que, aspectos que pertenecen ms al mundo de la naturaleza, dela sensibilidad, de las relaciones humanas, adquieren valor frente a la Ciencia ya la Tcnica.

Pero la nica manera de compatibilizar estas constataciones de diversidad conuna enseanza universal es tambin ofrecer un trato individualizado ydistinguido a cada alumno garantizando, eso s, unos mnimos comunes.

Eso justifica plenamente la necesidad de los programas de mnimos querecientemente han


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Sido revisados en los Reales Decretos mencionados ms arriba, lo que hapermitido algunas mejoras, sobre todo en lo que se refiere a la EnseanzaSecundaria Obligatoria.

Pero en la medida en que el trato individualizado a da de hoy es inexistente,

esto hace que, automticamente, los programas de mnimos, lo sean demximos.

Surge entonces un grave problema: no se ofrece a cada estudiante laposibilidad de desarrollar al mximo sus capacidades y, entonces, en nuestraopinin, se incurre en una grave irresponsabilidad.

Las autoridades, por tanto, han de decidir:

Se puede implementar la enseanza individualizada que la normativa

vigente promete? y,Posteriormente, actuar en consecuencia.

En caso de que la respuesta sea negativa: demos una alternativa. Las

posibilidades son mltiples:

Asumir que unos programas de mnimos a la baja son de mximos.Estamos dispuestos? Renunciamos a que nuestros hijos tengan cerca decasa la educacin que podran tener en Lisboa o en Pars?

Implementar un modelo de atencin distinguido, aunque posiblemente noindividualizado.

Esta ltima posibilidad, la ms darwinista de las existentes, es probablementela ms prxima al realismo, aunque las ideas que se inspiran en la PsicologaEvolutiva sean posiblemente ms atractivas.

Son muchos los profesionales comprometidos de la Enseanza de lasMatemticas los que opinan que esa hipottica enseanza individualizada es

algo de carcter bastante retrico, como

lo de que todos tenemos derecho a la vivienda... Las cuentas son muy

sencillas, en una clase con

20 alumnos con tres sesiones semanales de cincuenta minutos, si todo fueseindividualizado, a cada alumno le corresponden siete minutos y medio a lasemana.

4. Sobre qu ensear

Durante la puesta en marcha de la LOGSE y su desarrollo posterior, ha

resultado muy complicado


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Hablar sobre lo que haba que ensear. En primer lugar, en las directricesoficiales resultaba

Bastante difcil encontrar de una manera precisa los contenidos que un alumnodeba saber en cada curso, en cada nivel. Ms aun, ciertas opiniones

apuntaban en el sentido de que lo importante no

era el qu, sino el cmo. Parece que todo lo importante giraba en torno a losprocedimientos y actitudes: el alumno deba apreciar la belleza, deba teneruna actitud positiva hacia las

Matemticas, etc. Creemos que todas estas intenciones son buenas pero, sonalgo ms que intenciones? Sin embargo, creemos que es preciso hablartambin de qu ensear, incluso aunque

esto sea arriesgado, y de eso queremos hablar. Indicaremos por tanto las que,a nuestro juicio deberan ser competencias bsicas, de un alumno enMatemticas en los diferentes niveles de la

Educacin Secundaria.

4.1 Enseanza Secundaria Obligatoria

Creemos que un alumno, al acabar la Enseanza Secundaria Obligatoria, en

Matemticas debera:

Dominar las cuatro reglas: suma, resta, multiplicacin y divisin.

Tener una idea bastante precisa de las fracciones y de su manipulacin.

Convendra tambin que fuese capaz de utilizar la regla de tres.Lamentablemente, ni siquiera se hace referencia explcita a ella en losprogramas actuales, quizs por la inercia a

la que nos habamos acostumbrado. Ntese que en las programaciones

anteriores era difcil encontrar, por ejemplo, la palabra Geometra.

Asimismo, se debera garantizar que fuesen capaces de calcular reas yvolmenes de los objetos geomtricos elementales y dominar el sistemamtrico decimal.

Se debera incidir especialmente en los aspectos del clculo, aunque a vecesno sean divertidos, ni aprenderlos ni ensearlos. En este sentido, convendrano confundir la enseanza/estudio de las Matemticas con su divulgacin oincluso con su vulgarizacin.

4.2 Bachillerato. A las puertas de la Universidad


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Aqu conviene distinguir dos tipos de alumnos: los alumnos que eligen la opcinmodalidad de

Ciencias y Tecnologa, y los que eligen la modalidad de Humanidades yCiencias Sociales.

En cuanto al alumno que elige la modalidad de Ciencias, y que puede accederen consecuencia a una carrera con contenido cientfico, creemos que, alacabar el Bachillerato, debera:

Saber calcular con soltura lmites y derivadas elementales.

Ser capaz de hacer un esbozo con los aspectos ms representativos de unafuncin. Conocer los aspectos esenciales de la trigonometra.

Saber traducir al lenguaje algebraico situaciones reales.

Haberse iniciado en la Geometra Analtica: puntos, rectas, vectores. Prestandoms atencin a los aspectos intuitivos que a las estructuras algebraicas quesubyacen a estos

Conceptos. Tener unos conocimientos bsicos de Estadstica descriptiva yProbabilidad.

En el caso del alumno de Humanidades y Ciencias Sociales, se debera insistirms en las

Aplicaciones de los conceptos. Quiz no sea tan importante en este caso eldominio de la

Geometra Analtica, pero s quiz haya que profundizar ms en las cuestionesde Estadstica. No obstante, creemos que, a pesar de que conviene comenzara dar a la Matemtica Discreta la

Importancia que tiene, ya que se trata de disciplinas cada vez ms presentesen el mundo de la

Ciencia, de la Tecnologa y en el mbito empresarial que normalmente hanquedado en un Segundo plano en la enseanza secundaria, convienesimplificar al mximo los elementos que se

Enseen en estas disciplinas. Quizs sea excesivo el tratamiento actual de laEstadstica Inferencial

(Intervalos de confianza, contraste de hiptesis) para las MatemticasAplicadas a las Ciencias

Sociales, el que se haca en las programaciones anteriores y que se vuelve arepetir en la nueva legislacin de mnimos.


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En otro orden de cosas, creemos fundamental simplificar los actualesrecorridos que el

Bachillerato ofrece y evitar que un estudiante pueda llegar a la carrera deMatemticas o de Qumica sin haber cursado las materias correspondientes en

el ltimo ao del Bachillerato. No

parece que estos problemas se hayan corregido con la estructura delBachillerato a partir de la nueva normativa.

Tambin creemos importante revisar la oferta de asignaturas optativas ysimplificarla o reducirla a lo estrictamente necesario, esto tambin esimportante en la ESO.

4.3 La Selectividad y/o la Prueba General de Bachillerato

Todos sabemos que, por mucho que definamos y redefinamos los programasde las asignaturas, lo que el Profesor va realmente a ensear y, sobre todo,aquello por lo que el alumno se va a interesar, est completamentedeterminado por los contenidos que se evalen.

En este sentido, y refirindonos al Bachillerato, la Selectividad ha sido elmximo referente puesto que ha determinado, en una sola prueba, en un 40%,la nota que, a su vez, condicionara el

Futuro universitario de nuestros jvenes.

De este modo, la Selectividad ha jugado tradicionalmente el papel de dique de

contencin, de garante de los mnimos a los que nuestro sistema educativo noestaba dispuesto a renunciar.

Con la Ley de Calidad, la Selectividad queda sustituida por la llamada PruebaGeneral de

Bachillerato. Conviene abordar con rapidez los mecanismos por los que seregir la nueva prueba. Al hacerlo, es importante tener en cuenta los defectos

que la Selectividad en sus ltimos aos deAndadura ha presentado. En este sentido tenemos la impresin de que laSelectividad y los tribunales que han venido preparando estas pruebas hanestado inmersos en una dinmica un tanto

Reiterativa que posiblemente en ocasiones ha alejado esta prueba de lo quedebera haber sido: una prueba que evaluase las capacidades bsicas delalumno y su preparacin para adaptarse a un

Medio universitario, donde el estudio exigir no slo de bases slidas sino

tambin de un buen dominio del lenguaje escrito y de una buena dosis decapacidad de abstraccin y de asociacin de


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Ideas. En este sentido, la Selectividad, como la mayora de las pruebas que seestablecen en

Nuestro sistema educativo, ha pecado de buscar enunciados de problemasartificialmente complejos, que a veces acababan resultando confusos. Este

proceso ha estado, sin duda,

Relacionado con el modo en que han venido constituyndose las comisionesque preparaban estas pruebas, sin que, frecuentemente, se haya garantizadola necesaria motivacin y renovacin de sus componentes.

Las ideas matemticas fundamentales son simples, lo cual no significa quesean fciles de entender. Como deca Albert Einstein, Todo debera hacerse

tan sencillo como sea posible, pero

No ms. Una buena comprensin de estas ideas matemticas necesariamenteha de ir acompaada de una capacidad de simplificacin en su abordaje. Losexmenes ya sean de selectividad o

Cualquier otro, han de traslucir una claridad de ideas por parte de lospreparadores en lo que respecta a los aspectos bsicos que no siempre se da.

Por otra parte, es evidente que, en Matemticas, es imposible un avance realen el aprendizaje si no se dispone de una buena capacidad de clculo. Es portanto evidente que es pertinente realizar una evaluacin rigurosa de la misma.

Pero nuestros exmenes, en todos los niveles, confunden frecuentemente laprofundidad de las ideas y la complejidad de los clculos con un barroquismoverbal que tiene dos efectos claros: el

Examen acaba no sirviendo para evaluar adecuadamente y adems confundeincluso a los alumnos ms aventajados.

La prctica demuestra que muy rara vez el alumno llega a la Universidaddominando las materias establecidas en los programas del Bachillerato. Peroesto no es grave siempre y cuando

el alumno domine una serie de conceptos fundamentales y haya desarrolladouna capacidad suficiente de clculo. A modo de ejemplo, en el mbito delAnlisis, cabe decir que un alumno

que sepa hacer lmites, derivadas e integrales, estar en perfectas condicionesde superar el primer curso de carrera sin dificultad, a pesar de que an no hayaestudiado sucesiones, no maneje con Soltura los teoremas de Rolle y del valormedio o no haya asimilado la integral como instrumento


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para el clculo de reas. La maduracin que conduzca a la comprensin deestos elementos muy bien puede producirse durante los primeros meses en laUniversidad.

5. Algunos tpicos y usos a revisar

Como filosofa general y a modo de hilo conductor de las diversas iniciativas enmateria educativa

creemos que siempre se ha de garantizar que cada alumno tenga la educacinen Matemticas para la que est capacitado y a la que est dispuesto a hacerfrente. Pero se trata en gran medida de una

declaracin de intenciones y en la prctica es un problema de solucin

compleja y difcil al que, a pesar de dedicar buena parte de este artculo, somosconscientes que no respondemos de manera definitiva.

En cualquier caso, a la hora de abordar esta cuestin creemos que esimportante desmontar

Algunos de los tpicos que perturban normalmente los debates y que sinembargo suelen carecer de base slida. En esta seccin comentamos algunosde ellos.

* La guerra de las horas. Creemos que no conviene caer en las guerras dehoras", 3 versus 4 horas de Matemticas. Cuatro horas pueden ser

demasiadas o demasiado pocas. Por lo tanto

Pensamos que es mejor diversificar la oferta en el nmero de horas y el gradode profundidad con el que se van a estudiar las Matemticas.

* El volumen de informacin. Nuestros jvenes no necesitan un exceso deinformacin, sin duda un problema creciente en nuestra sociedad. Pero sinecesitan desarrollar sus propios

Criterios, su voluntad para poder elegir en un mundo cada vez ms complejo.

* Los ordenadores. No es posible hablar de informacin en la sociedad actualsin mencionar los ordenadores e Internet. Hoy en da uno de los tpicos ylemas ms comunes es recurrir a

Medidas del tipo un ordenador en cada aula. Por supuesto creemos que unordenador puede resultar un elemento de trabajo enormemente til, que puedeincluso incidir en un futuro

Inmediato en las metodologas didcticas a emplear. Pero conviene desmitificareste tema y establecer un orden de prioridades riguroso y alejado de las


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incluso entre los temas para las oposiciones de Profesores de Secundaria14.Sorprende sin embargo que no haya ninguna referencia en estos temarios a lasEcuaciones Diferenciales, aun estando estas histricamente asociadas a lainvencin del Clculo. Son muchas las ramas de la

Investigacin matemtica contempornea interesantes, pero creemos que hayque tener una cierta

prudencia a la hora de su incorporacin a la enseanza secundaria, bien seade una manera directa, en los contenidos mnimos, como indirecta, mediantesu inclusin entre las materias de las que se examinar el futuro profesor deMatemticas.

6. A modo de conclusin

De todo lo anterior se desprende, y esto creemos que es compartido por todos,que la situacin de la enseanza de las Matemticas no es la ptima ennuestro pas. Y, esto ya es una opinin quiz

hemos hecho referencia a algunas de ellas. Pero a menudo stas se reducen alas ms obvias e inmediatas. La primera a la que se recurre es siempreaumentar el nmero de horas lectivas de

Matemticas. A este respecto diramos que, si bien recuperar el terreno perdidoen este mbito puede ser deseable, no parece que los profesionales de las

Matemticas podamos liquidar laCuestin exigiendo ms horas. La problemtica a la que nos referimos escomn a muchas otras materias y es evidente que el nmero de horas lectivastotal es en cualquier caso limitado. Por otra

Parte, la Enseanza Secundaria no tiene como objetivo generar mini-investigadores en todas las reas, sino formar personas y conviene no perderde vista este hecho para no reducir el problema

de la enseanza de las Matemticas a una guerra de horas. Por otro lado, hay

quien opina que lo que falta es personal de apoyo para hacer realidad losplanteamientos de la LOGSE, que prometa

un tratamiento personalizado de los alumnos en funcin de sus necesidades ypotencial. Por supuesto, un refuerzo en la plantilla educativa siempre permitiraun mayor margen de maniobra.

Pero, tampoco sera honesto reducir el problema a una guerra de cifraseconmicas.


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Creemos que, con independencia de que este tipo de iniciativas, basadas en elaumento de la inversin y del nmero de horas salgan adelante, convendra irun poco ms all en el anlisis de la cuestin.

No conviene olvidar que lo esencial de las Matemticas se mantiene

prcticamente invariable,

como hemos mencionado anteriormente, y que, por tanto, los cambios en laforma de ensear que las nuevas tecnologas traern en las prximos aos, nodeben alterar los contenidos bsicos y

habr que seguir ejercitando el clculo y la memoria como hemos hechonosotros y nuestros antecesores. En nuestra opinin, como decamos msarriba, una buena enseanza de las

Matemticas en el ciclo obligatorio ha de proporcionar a los alumnos destrezaen el clculo de las cuatro reglas y nmeros quebrados sencillos, en el uso dela regla de tres, las proporciones y del sistema mtrico decimal, as como lasnociones bsicas de Geometra elemental.

Las ltimas estadsticas sobre fracaso escolar indican que nuestro sistemaactual no garantiza esos mnimos. Qu porcentaje de alumnos que no sabenusar la regla de tres y el sistema mtrico

Decimal est asistiendo a clases en las que el programa incluye clculo de

derivadas?Por otra parte, conviene observar las nuevas tecnologas, la sociedad de lainformacin, las nuevas metodologas de enseanza que prometen elaprendizaje con menos esfuerzo, etc., con

Disposicin para integrar los aspectos positivos que puedan tener, pero sinbajar la guardia, con espritu crtico. El jugador de golf Gary Player deca enunas declaraciones: cuanto ms trabajo y

practico, ms suerte parezco tener. No hay aprendizaje sin esfuerzo y

conviene pues no olvidarlo.

Asimismo, deberamos habilitar un modo para que, los alumnos deseosos deadquirir una formacin matemtica de alto nivel, competitiva, tuviesenoportunidad de hacerlo, tal y como

Ocurre en los pases vecinos. Pero debera de tratarse de una solucin robustay extensiva a todos

los estudiantes, sin caer en la contradiccin de hacer compatible la

intransigencia ante cualquier


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Lectura de Matema

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