Matema Tica Basica 1

1

GEOMETRIA ANALITICA

Lic. GUILLERMO NARCISO

2

SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO

1.- El sistema coordenado Unidimensional:

Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y P2(x2) se tiene :

La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida es :

P1 P2

( x1 ) ( x2 )

122121 xxPP :es PP

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3

P1 Q1 R1 S1 O Q R P2

231xxQP 743)4(3xxPP 1221221

231xx QP 7)4(3xxPP 1221221

Distancia dirigida

Distancia no dirigida

Ejemplo:

xx

3

SISTEMA COORDENADO CARTESIANOSISTEMA COORDENADO CARTESIANO

2.- El sistema coordenado Bidimensional:

Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y)

Y

X

P (x,y)

0

I (+ , +)II (- , +)

III (- -) IV (+ , -)

El sistema de coordenadas en el plano consiste en un par de rectas orientadas perpendiculares, llamadas ejes coordenadas.

Recta horizontal : eje x (abscisa)

Recta vertical: eje y (ordenada)

La intersección de ambas rectas es el origen.

Las cuatro partes en que el plano queda dividido por los ejes coordenadas se llaman

cuadrantes.

Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)

4

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO

Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)

La distancia entre P1 y P2

Se determina por:

Esta expresión se obtiene

observando la figura en cuyo

triángulo rectángulo P1QP2 , se tiene:

donde:

sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente.

212

21221 )y(y)x(x)P,d(P

) 1 ( . . .QPQPPP2

22

12

21

121 XXMNQP

122 YYSTQP

212

21221 )y(y)x(x|PP|

Y

X

(O,y2)

T

S(O,y1)

M (x1 ,0) N (X2 , 0)

Q (x2 ,y1)

P2 (X2 ,Y2)

P1

(x1 , y1)

5

DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL PLANOPLANO

2

122

1221 )y(y)x(x)P,d(P

Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) = 21PP

525432)(65)(8)P,d(P 222221

Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los

vértices de un triángulo isósceles.

251491225AC

51692225BC

59161222AB

22

22

22

A (-2 ,-1)

B (2, 2 )

C (5 , -2)

y

x

AB BCComo el triángulo ABC es isósceles.

6

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN CONOCIDACONOCIDA

P2 (x2, y2)

P(x,y)

P1 (x1, y1)

Sea el segmento y el punto que divide a

en la razón entonces, las coordenadas

de P Serán:

Si P es la punto medio entonces : ;

21PP

21PP

2

1

PP

PPr

1r , r1

rxxx 21

-1r , r1

ryyy 21

2

xxx 21

2

yyY 21

)y,x(P

7


en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP

PPRPQP

2

1

2

Para hallar la Ordenada y del punto P

-1r , 1r

ryy y ryy1)y(rryy ryy

ryryy-yy)r(yy-yryy

y-y r

PP

PP

212121

21212

1

2

1

P2 (x2, y2)

P

P1 (x1,y1)

(x,y)

Q

R

x

y

8


en la figura P1QP PRP2 entonces : rPP

PP

PR

QP

2

11

Para hallar la abscisa x del punto P

-1r , 1rrxx

x rxx1)x(rrx xrx

rxrxx-xx)r(xx-xrxx

x-x r

PPPP

212121

21212

1

2

1

x

P2 (x2, y2)

P

P1 (x1,y1)

(x,y)

Q

R

x

y

9


P2 (x2, y2)

P

P1 (x1,y1)

en la figura P1QP PRP2 entonces :

(x,y)

Q

R

rPP

PP

PR

QP

2

11

Observaciones

1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento:

1. Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento:

2. Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1

21PP

21PP

21PP

1PP

PP

2

1 Luego las coordenadas del punto P son:

2

yyy ;

2

xxx 2121

x

y

10


3

1

PB

AP

Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las

coordenadas del punto P(x,y) donde:

Solución:

2

5

4

10

31

1

(4)31

2

r1

rxxx 21

4

17

31

1

(8)31

3

r1

ryyy 21

4

17 ,

2

5 P :Luego

11


3

1

PB

AP

Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las

coordenadas del punto P(x,y) donde:

Solución:

4

17 ,

2

5 P :Luego

417

y31

y83y

25

x31

x42x

31

PBAP

12


Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3)

Solución: A(-2,3)

B(6,-3)

P(x,y)

Q1

1

1

1y

2

1

y3

3)(y3

10x

2

1

x2

6x

2

1

PA

BP

1y2

y3

3)(y3

2x2

x2

6x

2QA

BQ

02

33

2

yyy 2

2

26

2

xxx 2121

Punto medio M(x,y) :

M

P(10/3 , -1) Q(2/3 ,1)

13

PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA

P1 (x1,y1)

L

x

y

ANGULO DE INCLINACIÓN

Se llama ángulo de inclinación al ángulo formado por la recta L y el eje x positivo, en sentido antihorario.

La variación de es : 0° 180°

14


Sea el ángulo formado por la recta L

y el eje X

La pendiente m de la recta L es:

Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente

es:

( Ver Figura )

m = Tg

1212

12 x x, xx

yym

QP1 (x1,y1)

L

P2 (x2,y2)

X

Y

y2 - y1

x2 - x1

15


m = Tg

1212

12 x x, xx

yym

Q

P1

(x1,y1)

L

P2 (x2,y2)

X

Y

y2 - y1

x2 - x1

OBSERVACIONES

1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo ( < 90° )

2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso ( > 90° )

3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°.

4. Si m = entonces el ángulo = 90° .

16


m = Tg

1212

12 x x, xx

yym

Q

P1

(x1,y1)

L

P2 (x2 ,y2)

X

Y

y2 - y1

x2 - x1

Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos :

P1(2,1) y P2(5,6)

3

5

2-5

1-6

xx

yym

12

12

17


Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.

SOLUCION:

B(-1,4)

C(4,5)

A(2,-2)2

7

24

)2(5m

5

1

)1(4

45m

221

)2(4m

AC

BC

AB

x

y

o

18

ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo .

Entonces:

Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1.

m2 = Pendiente recta final L2 .

Nota:

1) Si L1 es paralela a L2 m1 = m2

2) Si L1 es Perpendicular a L2 m1 . m2= -1 ó m1 =

12

12

m . m 1

m - mtg

L1L2

X

Y

2m

1

19

ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS

DEMOSTRACIÓN

Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo , 1 ángulo de inclinación de la recta inicial L1 y 2 ángulo de inclinación de la recta final L2 .

Donde: m1 =tg 1 Pendiente recta inicial L1.

m2 = tg 2 Pendiente recta final L2 .

1mm ; m . m 1

m - mα tg 21

12

12

L1L2

X

21

A B

C

Por geometría elemental sabemos que todo ángulo exterior a un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes . Entonces en el ABC :

1 2

1 2

1 2

1 21 2

tgtg1

tgtg tg

) - tg( tg -

Luego:

20

LA RECTALA RECTA

DEFINICIÓN: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante.

ECUACIONES DE LA RECTA

1) Forma Punto Pendiente :

Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es “m” entonces

la ecuación de la recta está dado por :

12

12

xx

yym

y - y1 = m ( x - x1 )

P1(x1,y2)

x

P2(x2 ,y2)y

21

LA RECTALA RECTA

)xm(xyyxx

yym 11

1

1

P1(x1,y1)

x

P(x, ,y)

y

DEMOSTRACIÓN

La recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida “m” y sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L.

L

Por definición de pendiente de una recta se tiene:

)xm(xyy :L 11

22

LA RECTALA RECTA

01y3x : L 63x5y

2)3(x5y)xm(xyy

p(2,5) , 3m

11

P(2 , 5)

x

P(x, ,y)y

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5) y tiene pendiente 3.

SOLUCION: L

)xm(xyy :L 11

23

12

12

xx

yym

LA RECTALA RECTA

La recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la

pendiente ......(1)

2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos:

Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuación

es:

DEMOSRACION:

)x(xxx

yyyy : L 1

12

121

y - y1 = m ( x - x1 )

P1(x1,y1)

x

P2(x2 ,y2)y

)x(xxx

yyyy : L 1

12

121

Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente

y - y1 = m( x - x1 )......(2)

Remplazando (1) en (2) se tiene:

24

LA RECTALA RECTA

Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3)

y P2 ( 4 , 6)

SOLUCIÓN:

y - y1 = m ( x - x1 )

)x(xxx

yyyy : L 1

12

121

0 2y -3x : L

6x362y2)(x2

3)3(y

2)(x6

9)3(y2)(x

24

36)3(y

))2((x)2(4

)3(6))3((y

25

LA RECTALA RECTA

3) Pendiente y ordenada en el origen:

Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ; su

ecuación es :

DEMOSTRACIÓN:

y = mx + b

L

x

y

( 0 , b)

bmxy

mxb-y0)m(xby

)xm(xyy :L 11

26

LA RECTALA RECTA

4 ) Ecuación Simétrica

Si una Recta corta a los ejes

Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b );

su Ecuación es :

5 ) Ecuación General

La Ecuación General de una Recta esta representado por :

Donde :

En la Ecuación ( 1 ) ; si :

A = 0 By + C = 0 ; es una recta Horizontal

B = 0 Ax + C = 0 ; es una recta Vertical

1b

y

a

x

Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )

B

Am

( 0,b )

( a,0 ) x

y

27

LA RECTALA RECTA

Distancia de un punto a una Recta

Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y

Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distancia

“d” del punto P a la recta L esta dado

por:

L

x

y

d

P (x1 , y1 )

22

11

BA

CByAxL)d(P,

Distancia entre dos rectas paralelas

Dadas las rectas paralelas :

L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0

la distancia de L1 a L2 está dado por:

22

2121

BA

CC)L,d(L

28

LA RECTALA RECTA

L

x

y

dP (5 ,4 )

22

11

BA

CByAxL)d(P,

Ejemplo1. Hallar la distancia del punto P(5 ,

4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0

L

55

25

25

25L)d(P,

43

64(4)3(5)L)d(P,

22

29

LA RECTALA RECTA

L

x

y

d

Q (5 ,6 )

535

515

5

15

5

15L)d(R,

21

72(-2)-1(4)L)d(R,

BA

CByAxL)d(R,

2222

11

Ejemplo2. Hallar la distancia que existe entre el punto R(4 , -2) del plano y la recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y Q(5 , 6)

SOLUCIÓN

LP (-3 ,2 )

R (4 ,-2 )

2

1

8

4

35

26m

Aplicamos la ecuación punto pendiente de la recta: y - y1 =m(x - x1)

0 7 2y x :L 3x4-2y3)(x21

2y

30

LA RECTALA RECTA

Posición Relativa de 2 Rectas

Sean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0

L2: A2x + B2y + C2 = 0

* Si L1 // L2 m1 = m2 ó

* Si L1 L2 m1 . m2 = -1 ó A1A2 + B1B2 = 0

* Si L1 y L2 son coincidentes :

2

1

2

1

B

B

A

A

2

1

2

1

2

1

C

C

B

B

A

A

31

LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA

DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos es una constante.

Centro (C) : Punto fijo

radio r : distancia constante

d(P , C) = r

C(h,k)

r

P(x,y)

32


ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA

C

r

E

D

F

A BLT

LN

1. Centro de la circunferencia. “ C “

2. Radio de la circunferencia “ r “

3. Diámetro de la circunferencia

4. Cuerda de la circunferencia

5. Recta tangente a la circunferencia. LT

6. Recta normal a la circunferencia. LN

ABFD

33


Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y su radio.

Ecuaciones de la Circunferencia:

1) Forma Ordinaria:

Sea el Centro de la Circunferencia

C ( h,k ) y radio r .

Si P (x,y) es un punto

Por distancia:

2) Forma canónica

si el Centro es el origen su ecuación es :

C(h,k)

r

P(x,y)

0 X

Y

r PC

rk)(yh)(x 22

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

222 ryx 0

P(x,y)

X

Y

34

LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y radio 5.

Solución.

222 rkyhx

254y3x 22 Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva.

Solución.

C

Las coordenadas del centro :

104y1x

104312ACr

4) , 1C()2

53 ,

2

42C(

22

22

y

x

B

A

35

LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAEjemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el

eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6)

4591791x7x

426x36168xx912xx

364-x91x

22

22

22

r

364)(x91)(xB)d(C,A)d(C,r 22

y

x

BA

C(x,0)

450-y7x 22 La ecuación de la circunferencia:

36

LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIAObservaciones:

222 kkyhx

C(h,k)Si la circunferencia es tangente al eje x su ecuación es :

x

y

k

x

y

C(h,k)h

Si la circunferencia es tangente al eje y su ecuación es :

222 hkyhx

37

LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA3) Ecuación General

Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos:

2,

2

D-C CentroSu

E4FED

21

r

4E

4D

-Fr4

E4

D-F

2E

y2D

x

4E

4D

F- 2E

Eyy 2D

Dx x

0FEyDxyx

22

222

2222

2222

22

22

Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria

Esta ecuación tiene la misma forma que:

Se llama forma general de la circunferencia.

)........(1 0rkh2ky2hxyx

rk2ykyh2xhxrkyhx22222

22222222

x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

38


Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria , determinar si representa o no una circunferencia.

a. 2x2 + 2y2 - 6x +10y + 7 = 0

b. 4x2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0

c. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0

Solución.

- Si D2 + E2 - 4F > 0 ; la Circunferencia es real

- Si D2 + E2 - 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria

- Si D2 + E2 - 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto

4FED21

r 22

2,

2

D-C CentroSu

E

39


5)(y)2

3-(x10)2(y)

2

3-2(x

2

25

2

9-7)

2

55y2(y )

2

3 3x 2(x

0710y6x2y2x a.

22522

252

22

22

22

Luego la ecuación es una circunferencia

de centro C (3/2 , -5/2) y radio 55

25

y23

x

5425

49

27

25

5yy 23

3x-x

027

5y3xy x

0710y6x2y2x a.

22

22

22

22

22

40


0)1-(y)2

7(x)1-(y4)

2

74(x

449-53)1y24(y )2

7 x 74(x

0538284y4x b.

2222

22

2

22

yx

Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1)

Luego la ecuación representa un conjunto vacío o una circunferencia imaginaria.

7)4

1(y2)-(x)

4

116(y2)16(x

164-177)4

1

2

y16(y )

2

4 4x16(x

01778y64x16y16x c.

2222

22

22

22

41

CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS

Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto fijo

( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada

excentricidad.

Si:

e = 1 ; la cónica se llama Parábola.

e < 1 ; la cónica se llama Elipse.

e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola.

F

PM

) e ( Constante PM

PF

42

LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEs el conjunto de puntos que equidistan

de una recta fija llamada directriz y de un

punto fijo llamado Foco.

Elementos:

Foco: Punto fijo F

Eje Focal: Recta DD’ y pasa por el Foco

Vértice: Punto V

Cuerda:

Cuerda Focal:

Lado Recto:

Radio Vector:

Directriz : DD

F

MP

F

M

R

D’

D

V

N

PFPM

Y

MN

HD

LR

FH

H

D

L

x

43

LA PARÁBOLALA PARÁBOLAEcuaciones de la Parábola:

1) Si el Vértice es el Origen y su eje

Focal es el eje X

F( p,0) ; P( x,y)

d(P,F) = d( p,L)

Elevando al cuadrado y

simplificando se tiene:

- Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la

Derecha.

- Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la

Izquierda.

Y

X

L

D’

Y

X

D

D’

F

F(p,0)

o

o

V

V

VFp

y2 = 4px

P(x,y)D

pxypx 22

44

LA PARÁBOLALA PARÁBOLA

Y

X

L

D’

Y

X

D

D’

F

F(p,0)

o

o

V

V

VFp

P(x,y)

D

ELEMENTOS

1. El vértice V(0,0)

2. El foco F(p,0)

3. Lado Recto LR = | 4 p |

4. Ecuación de la directriz: x = - p

L

R

L

y2 = 4px

R

45


Ecuaciones de la Parábola:

2) Si el Vértice es el Origen y su eje

Focal es el eje Y, su ecuación es:

- Si p > 0; la Parábola se abre hacia

arriba.

- Si p < 0; la Parábola se abre hacia

abajo

Y

X

DD’

Y

X

DD’

F

F

o

o

V

V

VF p

x2 = 4py

L R

L R

46


ELEMENTOS

1. El vértice V(0,0)

2. El foco F(0 , p)

3. Lado Recto LR = | 4 p |

4. Ecuación de la directriz: y = - p

Y

X

DD’

Y

X

DD’

F

F

o

o

V

V

VF p x2 = 4py

L R

L R

47

LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la

longitud del lado recto y graficar.

a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0

Solución:

Y

X

3

DD’

F

oV

0)(p 3p124p4pyx

forma la de esecuación La

12yx012y xa.

2

22

1. Vértice V(0,0)

2. Foco F(0,p) F(0,3)

3. Directriz y = - p y = -3

4. Lado Recto LR= 4p LR = 12

como p> 0 la parábola se abre hacia arriba.

-3

48

LA PARÁBOLALA PARÁBOLA Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la

longitud del lado recto y graficar.

a. x2 - 12y = 0 b . y2 + 8x = 0

Solución:

Y

X-2

D

D’

Fo

V

0)(p -2p-84p4pxy

forma la de esecuación La

-8xy08xy b.

2

22

1. Vértice V(0,0)

2. Foco F( p , 0) F( -2, 0)

3. Directriz x = - p x = - ( -2) = 2

4. Lado Recto LR= 4p LR = 8

como p< 0 la parábola se abre hacia la izquierda.

2

49


Ecuación Ordinaria de la Parábola:

3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje

focal es Paralelo al eje x su

ecuación es:

Con Foco: F( h+p , k )

- Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha.

- Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda.

( y - k )2 = 4p ( x - h )

D

D’

D

D’

FV

V

Y

Y

X

X

(h,k)

(h,k)F

50


( y - k )2 = 4p ( x - h )

D

D’

D

D’

FV

V

Y

Y

X

X

(h,k)

(h,k)F

ELEMENTOS

1. El vértice V( h , k)

2. El foco F(h + p , k)

3. Lado Recto LR= 4p

4. Ecuación de la directriz x = h - p

51


Ecuación Ordinaria de la Parábola:

ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y,

su ecuación es:

Con Foco: F ( h , k+p )

- Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba.

- Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo.

( x - h )2 = 4p ( y - k ) DD’

DD’

F

V

V

Y

Y

X

X

(h,k)

(h,k)

F

52


( x - h )2 = 4p ( y - k )

DD’

DD’

F

V

V

Y

Y

X

X

(h,k)

(h,k)

F

ELEMENTOS

1. El vértice V( h , k)

2. El foco F( h , k + p)

3. Lado Recto LR= 4p

4. Ecuación de la directriz y = k - p

53


5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por:

x2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y.

y2 + Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X.

Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los

puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las

ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.

Solución:

-4

3V

-1

FLa parábola es de la forma:

(y - k)2 = 4p(x - h)

4)12(x3y4)4.3(x3y

33314VFp

22

22

Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 x+7=0

Eje de la parábola y=k y = 3 , LR = 12

54


Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los

puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las

ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.

Solución:

V

oF

La parábola es de la forma:

(x - h)2 = 4p(y –k )

3)--8(y3x3)-4(-2)(y3-x

21333VFp

22

22

Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5 y – 5 = 0

Eje de la parábola x = 3 x – 3 = 0

LR = 8

L R

55


Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones

de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.

4y2 -48x -20y - 71 =0

Solución:

Completando cuadrados para la variable y, se tiene:

De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)

Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)

Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5

Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12

2)12(x5/2)(y

2412x425

471

12x 425

5yy

0471

12x5yy 07148x20y4y

2

2

22

56




4y2 -48x -20y - 71 =0

Solución:

Completando cuadrados para la variable y, se tiene:

9648x257148x425

5yy4 2

De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) V( -2 , 5/2)

Foco F( h+p , k ) F( -2 + 3 , 5/2) F( 1 , 5/2)

Ec. De la directriz: x = h - p x = -2 - 3 x = -5

Ec del eje : Y = k y = 5/2 ; LR = 12

7148x20y 4y2

2)12(x25

y 2412x425

5yy2

2

57




4x2 + 48y + 12x – 159 =0

Solución:

Completando cuadrados para la variable x, se tiene:

De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3

Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )

Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )

Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02

Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12

7/2)12(y3/2)(x

4212y4

16812y

49

4159

12y 49

3xx

04

15912y3xx015948y12x4x

2

2

22

58




4x2 + 48y + 12x – 159 =0

Solución:

Completando cuadrados para la variable x, se tiene:

16848y915948y49

3xx4 2

De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3

Vértice V( h , k) V( - 3/2 , 7/2 )

Foco F( h , k + p ) F( -3/2 , 7/2 –3 ) F( -3/2 , 1/2 )

Ec. De la directriz: y = k - p y = 7/2 + 3 y = 1 3 / 2 2y – 13 = 02

Ec del eje : x = h x = -3/2 2x + 3 = 0 ; LR = 12

15948y12x 4x2

)27

-y(1223

x42y1249

3xx2

2

59

LA ELIPSELA ELIPSE

Definición:

Dado 2 puntos fijos F1 y F2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de

puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos

fijos es siempre igual a 2a.

F2F1

2aPFPF 21

P

CFocos: F1 , F2

C : centro

R 2a , FF2a 21

60

LA ELIPSELA ELIPSEELEMENTOS DE LA ELIPSE:

Focos: F1 y F2 .

Eje Focal: Es la recta que pasa por

los Focos.

Vértice: Puntos V1 y V2.

Centro: C Punto medio de V1 y V2.

Eje Normal: Recta que pasa por el centro

y es al eje Focal.

Eje Mayor: Segmento

Eje Menor: Segmento

Cuerda: Segmento

Cuerda Focal: segmento

Lado Recto: Segmento

Directriz: Rectas D’D.

D D

D’ D’

Q

V1 V2

C

L LM

B1

B21

N RR21VV

21BB

MNMQ

LR

F1 F2

61

LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:

1) Centro en el Origen y eje Focal el

eje x ; su ecuación es:

b2 = a2 - c2

Elementos

1. Los vértices son: V1 ( -a,0 ) ; V2 ( a,0 ) :

2. Los focos: F1(- c,0 ) ; F2 (c , 0 )

3. Extremos del eje menor: B1(0 , -b) , B2 (0 , b)

4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz:

6. Excentricidad :

V2V1

F2F1(-a,0) (a,0)

D D

D’D’

X

Y

1b

y

a

x2

2

2

2

B2

B1

a

2bLR

2

c

ax

2

1a

ce

62

LA ELIPSELA ELIPSEEcuaciones de la Elipse:

2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación

es:

b2 = a2 - c2

Elementos

1. Los vértices son: V1 (0 , -a ) ; V2 ( 0 , a )

2. Los focos: F1( 0 , - c) ; F2 ( 0 , c )

3. Extremos del eje menor: B1( -b , 0) , B2 ( b , 0)

4. Lado recto :

5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad :

V1

V2

F1

F2

(0,-c)

(0,c)

X

Y

1a

y

b

x2

2

2

2

B1 B2

a

2bLR

2

c

ay

2

1a

ce

63

LA ELIPSELA ELIPSE

V1

V2

F1

F2

(0,-c)

(0,c)

X

Y

B1 B2

Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la excentricidad y la longitud del lado recto.

Graficar la curva. 9x2 + 4y2 = 36 Solución:

Dividiendo cada término entre 36

19

y

4

x364y9x

2222

a = 3 , b= 2 , c2 = a2 - b2 = 9 - 4 =

1. Los vértices son: V1 (0 , -3 ) ; V2 ( 0 , 3 )

2. Los focos: F1( 0 , - ) ; F2 ( 0 , )

3. Extremos del eje menor: B1( -2 , 0) , B2 ( 2 , 0)

4. Lado recto : 5. Excentricidad :

6. Longitud del eje mayor =2a =6

7. Longitud del eje menor = 2b = 4

5 5

3

8

a

2bLR

2

3

5

a

ce

64

LA ELIPSELA ELIPSE

V2V1

F2F1

D D

D’D’

X

YB2

B1

Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la longitud de los ejes mayor y menor , la

excentricidad y la longitud del lado recto. Graficar la curva. 16 x2 + 25 y2 = 400 Solución:

Dividiendo cada término entre 400

116y

25x

40025y16x22

22

a = 5 , b= 4 , c2 = a2 - b2 = 25 –16 = 9 c = 3

1. Los vértices son: V1 (-5 , 0 ) ; V2 ( 5 , 0 )

2. Los focos: F1( -3 , 0) ; F2 ( 3 , 0 )

3. Extremos del eje menor: B1( 0 , -4 ) , B2 ( 0 , 4 )

4. Lado recto : 5. Excentricidad :

6. Longitud del eje mayor =2a = 10

7. Longitud del eje menor = 2b = 8

532

a2b

LR2

53

ac

e

65

LA ELIPSELA ELIPSE

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :

1 - Si el centro es el Punto C( h , k)

y tiene eje Focal Paralelo al

eje X, su ecuación es:

1b

ky

a

hx2

2

2

2

LA ELIPSELA ELIPSE

V2V1

F2F1

D D

D’D’

X

YB2

B1

a

2bLR

2

c

ahx

2

1a

ce

O

C

k

h

Elementos

1. Los vértices son: V1 ( h -a,k ) ; V2 (h + a ,k ) :

2. Los focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k )

3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b)

4. Lado recto : 5. Excentricidad

6. Ecuación de la directriz:

b2=a2-c2

66

LA ELIPSELA ELIPSE

ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :

2- Si el centro es el punto C( h,k)

el eje Focal es Paralelo al eje y

su ecuación es: 1

a

ky

b

hx2

2

2

2

Elementos

1. Los vértices son: V1 (h k -a ) ; V2 ( h , k+a )

2. Los focos: F1( h , k- c) ; F2 ( h , k +c )

3. Extremos del eje menor: B1( h- b , k) ,

B2 ( h + b , k)

4. Lado recto :

5. Ecuación de la directriz:

6. Excentricidad :

V1

V2

F1

F2

X

Y

B1 B2

a

2bLR

2

c

aky

2

1a

ce

C

h

k

DD’

222 cab

67

LA ELIPSELA ELIPSE ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE

La Ecuación General es: Donde A B y son del mismo signo.

Ax2 + By2 + Dx + Ey +F =0Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 25y2 - 36x + 150y + 36 = 0 , reducir

esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y la excentricidad

Solución:

1

93y

252x

2253y25 2x9

22536-3636yy25 2 4xx9

-36 6yy25 4x x9

-36150y)25y(36x)(9x

036150y36x25y9x

22

22

2222

22

22

22

a2 = 25 , b2 =9 c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16

a = 5 , b = 3 , c = 4

68

LA ELIPSELA ELIPSE

V2V1

F2F1

X

Y

B2

B1

5

18

5

2x9

a

2bLR

2

5

4

a

ce

O C

1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3

2. Vértices:: V1 ( h -a,k ) ; V2 ( h + a ,k )

V1 ( 2-5 , -3 ) ; V2 ( 2+5 , -3 ) V1 ( -3 , -3 ) ; V2 ( 7 , -3 )

2. Focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k ) F1( -2 , -3 ) ; F2 ( 6 ,-3 )

3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b) B1( 2 , -6) , B2 ( 2 , 0)

4. Lado recto : 5. Excentricidad:

1

9

3y

25

2x 22

a2 = 25 , b2 =9

c2 = a2 - b2 = 25 - 9 =16

a = 5 , b = 3 , c = 4

69

LA ELIPSELA ELIPSEEjemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-4 , -2) y F2( -4 , -6), y la

longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su

excentricidad.

Solución:

V1

V2

F1

F2

X

Y

B1 B2

El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la ecuación es de la forma:

1a

k)-(y

b

h)-(x2

2

2

2

3a.....(2)b6a

2ba

2bLR

.....(1)4.........bacba

2c4(-2)-6-FF 2c Si

222

22222

21

C

70

21

42

ac

e

116

4)(y12

4)(x :ecuación la tienese Luego

4)4,(2

62 ,

244

C

Fy F de medio punto el es centro El

32b4a

-1a 4a01)4)(a-(a04-3a-a

22

21

2

LA ELIPSELA ELIPSEReemplazando (2) en (1)

71

Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-2 , -2) y F2( 4 , -2 ) . Hallar

la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta

L : x – y – 8 = 0.

Solución:

LA ELIPSELA ELIPSE

1

b

ky

a

hx2

2

2

2

V2V1

F2F1

Y

O

C

Con los datos del problema , la

ecuación de la elipse es:

5a08kahLk)a,V(h

2)C(1,2

22,

242

Ck)C(h,

x

16925bcab

3c62c)F,d(F2222

21

1

162y

251x

:E 22

72

Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2 + 4y2 – 8y –32 = 0 . Hallar la

excentricidad y lado recto.

Solución:

LA ELIPSELA ELIPSE

35

eac

e

38

32(4)

a2b

LR

5c549cbac4b , 9a

1k , 0h191y

40x

3643212yy40x9

2

222222

22

22

73


Ejemplo . Con los datos de la figura . Hallar el foco, ecuación de la directriz, longitud del lado recto.

Solución:

-4

(0,2)

V

La parábola es de la forma:

P : y2 + Dx + Ey + F = 0

-1Dy 0E -4,F-82F (3)y (2) sumando

4...(3)F2E 0F2E4P (0,2)

4...(2)F2E0F2E-4P (0,-2)

...(1) 0F -4D P 0) , (-4

(0,-2)y2 - x – 4 = 0 y2 = ( x + 4 ) h = -4 , k = 0 , 4p =1 p = 1 4

Foco: F( h + p ,k ) F(-4 + 1 4 , 0 )=F(- 15 4 , 0)

Directriz: x = h - p =-4 – 1 4 = -17 4 4x+ 17=0

LR = 1

Matema Tica Basica 1

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