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05/04/2011 1 Diana Cobos Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana: En un banco En un restaurante de comidas rápidas Al matricular en la universidad Los autos en un autolavado Diana Cobos 05/04/2011 2
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Diana Cobos
Las colas son frecuentes en nuestra vida cotidiana:
En un banco
En un restaurante de comidas rápidas
Al matricular en la universidad
Los autos en un autolavado
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En general, a nadie le gusta esperar.
Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar.
Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado.
Es necesario encontrar un balance adecuado
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Una cola es una línea de espera.
La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares.
El objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada
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Existen muchos sistemas de colas distintos. Algunos modelos son muy especiales Otros se ajustan a modelos más generales Se estudiarán ahora algunos modelos
comunes Otros se pueden tratar a través de la
simulación
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Un sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:
La cola.
La instalación del servicio.
Los clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio
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Los clientes o llegadas pueden ser:
Personas
Automóviles
Máquinas que requieren reparación
Documentos
Entre muchos otros tipos de artículos
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Si cuando el cliente llega y no hay nadie en la cola, pasa inmediatamente a recibir el servicio.
Si no, se une a la cola.
Es importante señalar que la cola no incluye a quien está recibiendo el servicio
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Las llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola
Generalmente la disciplina de la cola es: primeras entradas, primeras salidas.
Pero pueden haber otras reglas o colas con prioridades
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Llegadas
Sistema de colas
Cola
Instalación
del
servicio
Disciplina
de la cola
Salidas
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Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
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Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
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Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
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Llegadas
Sistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
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1. Costo de espera: Es el costo para el cliente al esperar
Representa el costo de oportunidad del tiempo perdido
Un sistema con un bajo costo de espera es una fuente importante de competitividad
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2. Costo de servicio: Es el costo de operación del servicio brindado.
Es más fácil de estimar.
El objetivo de un sistema de colas es encontrar el sistema del costo total mínimo
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El tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivas en el sistema de colas se llama tiempo entre llegadas
El tiempo entre llegadas tiende a ser muy variable
El número esperado de llegadas por unidad de tiempo se llama tasa media de llegadas ()
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El tiempo esperado entre llegadas es 1/
EjemploSi la tasa media de llegadas es = 20 clientes
por hora, entonces el tiempo esperado entre llegadas es 1/ = 1/20 = 0.05 horas o 3 minutos
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Es necesario estimar la distribución de probabilidad de los tiempos entre llegadas.
En la mayoría de los casos esta distribución es exponencial.
Esto depende del comportamiento de las llegadas
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La forma algebraica de la distribución exponencial es:
Donde t representa una cantidad expresada en unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
tetserviciodetiempoP 1)(
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Media Tiempo0
P(t)
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La distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños.
En general, se considera que las llegadas son aleatorias.
La última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente
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Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas.
Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas
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Su forma algebraica es:
Donde:
P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
: tasa media de llegadas
e = 2,7182818…
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!)(
k
ekP
k
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Llegadas por unidad de tiempo0
P
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El número de clientes en la cola es el número de clientes que esperan el servicio.
El número de clientes en el sistema es el número de clientes que esperan en la cola más el número de clientes que actualmente reciben el servicio.
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La capacidad de la cola es el número máximo de clientes que pueden estar en la cola.
Generalmente se supone que la cola es infinita.
Aunque también la cola puede ser finita
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La disciplina de la cola se refiere al orden en que se seleccionan los miembros de la cola para comenzar el servicio.
La más común es PEPS: primero entradas, primeras salidas.
Puede darse: selección aleatoria, prioridades, UEPS (últimas entradas primeras salidas), entre otras.
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El servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples.
El tiempo de servicio varía de cliente a cliente.
El tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()
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El tiempo esperado de servicio equivale a 1/.
Ejemplo:Si la tasa media de servicio es de 25 clientes por
hora, entonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
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Es necesario seleccionar una distribución de probabilidad para los tiempos de servicio.
Hay dos distribuciones que representarían puntos extremos:
La distribución exponencial (=media)
Tiempos de servicio constantes (=0)
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Una distribución intermedia es la distribución Erlang
Esta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:
mediak
1
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Si k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial.
Si k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes.
La forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k
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Media Tiempo0
P(t)k = ∞
k = 1k = 2
k = 8
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Distribución Desviación estándar
Constante 0
Erlang, k = 1 media
Erlang, k = 2
Erlang, k = 4 1/2 media
Erlang, k = 8
Erlang, k = 16 1/4 media
Erlang, cualquier k
media2/1
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media8/1
mediak/1
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Notación de Kendall: A/B/c
A: Distribución de tiempos entre llegadas B: Distribución de tiempos de servicio
M: distribución exponencial (Markoviana)
D: distribución degenerada (tiempos constantes)
Ek: distribución Erlang.
G: distribución general (permite cualquier distribución arbitraria.
c: Número de servidores
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En principio el sistema está en un estado inicial.
Se supone que el sistema de colas llega a una condición de estado estable (nivel normal de operación).
Existen otras condiciones anormales (horas pico, etc.).
Lo que interesa es el estado estable.
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Para evaluar el desempeño se busca conocer dos factores principales:
El número de clientes que esperan en la cola.
El tiempo que los clientes esperan en la cola y en el sistema.
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Lq=Número esperado de clientes en la cola
Ls = Número esperado de clientes en el sistema.
Wq =Tiempo esperado de espera en la cola.
Ws=Tiempo esperado de espera en el sistema.
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qs
ss
qs
LL
WL
WL
WW1
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Suponga que una estación de gasolina a la cual llegan en promedio 45 clientes por hora, tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3 minutos en la cola.
a) ¿Cuáles son las medidas de desempeño de la estación de gasolina?
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a) Tasa media de llegadas: =45 clientes por hora =45/60 = 0.75 clientes por minuto.
b) Tasa media de servicio:=60 clientes por hora =60/60 = 1 cliente por minuto
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clientesWL
clientesWL
WW
W
ss
qs
q
25.2375.0
3475.0
min41
13
1
min3
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Suponga un restaurant de comidas rápidas al cual llegan en promedio 100 clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a 150 clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 2 minutos en la cola.
a) Calcule las medidas de desempeño del sistema.
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Beneficios:
Permiten evaluar escenarios
Permite establecer metas Notación:
Pn : probabilidad de tener n clientes en el sistema
P(Ws ≤ t) : probabilidad de que un cliente no espere en el sistema más de t horas
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Dada la tasa media de llegadas y la tasa media de servicio , se define el factor de utilización del sistema .
Para que no se forme demasiada cola se requiere que < 1
Su fórmula, con un servidor y con s servidores, respectivamente, es:
s
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Con base en los datos del ejemplo anterior, = 0.75, = 1
El factor de utilización del sistema si se mantuviera un servidor es
= / = 0.75/1 = 0.75 = 75% Con dos servidores (s = 2):
= /s = 0.75/(2*1) = 0.75/2 = 37,5%
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M/M/1: Un servidor con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales
M/G/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución general de tiempos de servicio
M/D/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio
M/Ek/1: Un servidor con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio
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25
1,0
)()(
)()1(
)(
1
)(
)1()1(
1
2
t
etWPetWP
nLPP
WW
LL
t
q
t
s
n
s
n
n
qs
qs
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A un servicio de autolavado llegan en promedio 9 autos por hora y es atendido en promedio un auto cada 5 minutos.a. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el
modelo M/M/1b. ¿Cuál es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema?c. ¿Cuál es la probabilidad de tener una cola de más de 3
clientes?d. ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de 30 min. en la
cola?e. ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de 30 min en el
sistema?
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26
17.0)60/30(
22.0)60/30(
32.0)3(25.0)1(
min1525.0)(
min2033.01
25.2)(
3
75.012
9,12,9
)1(
)1(
130
0
2
t
q
t
s
s
q
s
qs
eWP
eWP
LPP
hrsW
hrsW
clientesLclientesL
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A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutosa) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo
con el modelo M/M/1b) ¿Cuál es la probabilidad de tener 2 clientes en el
sistema?c) ¿Cuál es la probabilidad de tener una cola de más
de 4 clientes?d) ¿Cuál es la probabilidad de esperar más de 10 min.
en la cola?
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1
1
1
)1(2
0
222
w
q
qqs
qqs
PP
LWWW
LLL
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Un servicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. y la tasa media de llegadas es de 9 autos/hora con una desviación estándar de 2 min.Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
a) ¿Cuál es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio?
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28
75.025.01
min7.8145.0
min7.13228.01
31.1)1(2
06.275.31.1
0
222
w
q
q
qs
q
qs
PP
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesLL
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A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga = 5 min.
a) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/G/1
b) Cuál es la probabilidad de tener 0 clientes en el sistema?
c) Cuál es la probabilidad de que un cliente tenga que esperar por el servicio?
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29
1
1
)1(2
2
q
qqs
qss
LWWW
LWL
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Un servicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora.
a) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1
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30
min5.7125.0
min5.1221.01
125.1)1(2
875.1
2
hrsL
W
hrsWW
clientesL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos.
a) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/D/1
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31
1
1
)1(2
)1(2
q
qqs
qss
LWWW
k
kLWL
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Un servicio de autolavado puede atender un auto cada 5 min. La tasa media de llegadas es de 9 autos/hora. Suponga = 3.5 min (aprox.)
a) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1
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min25.111875.0
min25.162708.01
6875.1)1(2
)1(
437.2
2
hrsL
W
hrsWW
clientesk
kL
clientesWL
q
q
qs
q
ss
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A un supermercado llegan en promedio 80 clientes por hora que son atendidos entre sus 5 cajas. Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Suponga k= 4
a) Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/Ek/1
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Modelo Ls Ws Lq Wq
M/M/1
M/G/1
M/D/1
M/Ek/1
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M/M/s: s servidores con llegadas de Poisson y tiempos de servicio exponenciales.
M/D/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución degenerada de tiempos de servicio.
M/Ek/s: s servidores con tiempos entre llegadas exponenciales y una distribución Erlang de tiempos de servicio.
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1
)1(!
)/(
!
)(
)1(!
)(
1
02
1
0
0
qs
q
q
qs
s
q
s
n
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WW
LW
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L
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s
s
sP
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1
0
)1(
)/1(
0
0
0
}0{
}0{1}{
/1
1
)1(!
)/(1}{
,1
!
1
,!
1
s
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nq
ts
stst
sn
n
n
n
n
PWP
eWPtWP
s
e
s
PetWP
snsiPss
P
snsiPn
P
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La sala de urgencias del HOSPITAL GENERAL proporciona cuidados médicosrápidos a los casos rápidos que llegan en ambulancia ó vehículos particulares. Entodo momento se cuenta con un médico de guardia. No obstante debido a lacreciente tendencia a usar estas instalaciones para casos de emergencia en lugarde ir a una clínica privada cada año el hospital experimenta un aumento continuoen el número de pacientes que llegan a la sala de urgencias. Como resultado esbastante común que los pacientes que llegan en horas pico (temprano en la tarde)tengan que esperar turno para recibir el tratamiento del médico. Por esto se hapresentado una propuesta para asignar un segundo médico a la sala deemergencias en las horas pico, para que se puedan atender dos casos deemergencias al mismo tiempo. Se ha pedido al ingeniero administrador de estehospital que se estudie esta posibilidad.El ingeniero administrador comenzó por reunir los datos históricos pertinentes yhacer una proyección de ellos al siguiente año. Reconoció que la sala de urgenciases un sistema de líneas de espera y aplicó varios modelos de teoría de colas parapredecir las características de la espera en el sistema con uno y dos médicos.
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Al proyectar los datos disponibles del turno de la tarde hacia el año próximo,se estima que los pacientes llegarán a una tasa media de uno cada mediahora con distribución Poisson. Un médico requiere un promedio de 20 min.para atender un paciente, con distribución exponencial.
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Costos
Tasa de servicioTasa óptima
de servicio
Costo de espera
Costo del servicio
Costo total
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