Teora de ColasTeora de Colas o

Fenmenos de espera

En general, pueden aplicarse los modelos decolas cuando se tienen unidades de llegadagque solicitan servicio y que estn dispuestas aesperaresperar.

Se les pide esperar para ser atendidas, si el blservicio no est inmediatamente disponible.

AplicacionesAplicaciones

LasLas aplicacionesaplicaciones msms evidentesevidentes dede loslos modelosmodelos dede lneaslneas dedeesperaespera ocurrenocurren cuandocuando lleganllegan personaspersonas oo clientesclientes paraparaesperaespera ocurrenocurren cuandocuando lleganllegan personaspersonas oo clientesclientes paraparaobtenerobtener algnalgn servicio,servicio, comocomo enen unauna cajacaja enen ununcomercio,comercio, enen unun banco,banco, enen unun restaurante,restaurante, etcetc..comercio,comercio, enen unun banco,banco, enen unun restaurante,restaurante, etcetc..

SinSin embargo,embargo, concon unun pocopoco dede creatividad,creatividad, eses posibleposible aplicaraplicarloslos modelosmodelos dede lneaslneas dede esperaespera aa muchasmuchas situacionessituaciones

diferentesdiferentes;; porpor ejemplo,ejemplo, llamadasllamadas telefnicastelefnicas queque esperanesperansusu conexinconexin pedidospedidos porpor correocorreo yy queque esperanesperan sersersusu conexin,conexin, pedidospedidos porpor correocorreo yy queque esperanesperan serserprocesados,procesados, mquinasmquinas queque aguardanaguardan susu reparacin,reparacin, trabajostrabajosdede manufacturamanufactura queque debendeben serser procesados,procesados, dinerodinero quequeqq p ,p , qqesperaespera serser invertidoinvertido oo gastado,gastado, yy asas sucesivamentesucesivamente..

Componentes de la teora de colas

1) La poblacin fuente y la manera que los clientes llegan al sistema.

2) El sistema de prestacin del servicio2) El sistema de prestacin del servicio.

3) La condicin del cliente que sale del sistema.3) La condicin del cliente que sale del sistema.

C t d l t d lComponentes de la teora de colas

Con el objeto de verificar si una situacin determinada del sistemade lneas de espera se ajusta o no a un modelo conocido, serequiere de un mtodo para clasificar las lneas de espera Esarequiere de un mtodo para clasificar las lneas de espera. Esaclasificacin debe de responder preguntas como las siguientes:

1 El i t d l d ti l t d i i1. El sistema de lneas de espera tiene un solo punto de servicio oexisten varios puntos de servicio en secuencia?

2.Existe solo una instalacin de servicio o son mltiples lasi t l i d i i d t d id d?instalaciones de servicio que pueden atender a una unidad?

3. Las unidades que requieren el servicio llegan siguiendo algnpatrn o llegan en forma aleatoria?

4. El tiempo que requieren para el servicio se da en algn patrnde o asume duraciones aleatorias de tiempo?

Componentes de la teora de colasNOTACIN KENDALLPor lo general, las tasas de llegada y de servicio no se conocen con

certidumbre sino que son de naturaleza estocstica o probabilstica Escertidumbre sino que son de naturaleza estocstica o probabilstica. Esdecir los tiempos de llegada y de servicio deben describirse a travs dedistribuciones de probabilidad y las distribuciones de probabilidad quese elijan deben describir la forma en que e comportan los tiempos dej q p pllegada o de servicio.

En teora de lneas de espera o de colas se utilizan tres distribuciones deprobabilidad bastante comunes, que son: Markov, Determinstica y

lGeneral. La distribucin de Markov, en honor al matemtico A.A. Markov quien

identifico los eventos "sin memoria", se utiliza para describirocurrencias aleatorias es decir aquellas de las que puede decirse queocurrencias aleatorias, es decir, aquellas de las que puede decirse quecarecen de memoria acerca de los eventos pasados.

Una distribucin determinstica es aquella en que los sucesos ocurrenen forma constante y sin cambioen forma constante y sin cambio.

La distribucin general sera cualquier otra distribucin deprobabilidad. Es posible describir el patrn de llegadas por medio deuna distribucin de probabilidad y el patrn de servicio a travs dep y potra.

Componentes de la teora de colasPara permitir un adecuado uso de los diversos sistemas de lneas de

espera, kendall, matemtico britnico elaboro una notacin abreviada paradescribir en forma sucinta los parmetros de un sistema de este tipo. En lanotacin Kendall un sistema de lneas de espera se designa comonotacin Kendall un sistema de lneas de espera se designa como

A / B / CEn donde:

A = se sustituye por la letra que denote la distribucin de llegada.B = se sustituye por la letra que denote la distribucin de servicio.C = se sustituye por el entero positivo que denote el nmero de canales de servicioservicio.

La notacin kendall tambin utiliza

M = Markoviano, D = determinstica, G = General

por ejemplo un sistema de lneas de espera con llegadas aleatorias, serviciodeterminstico y tres canales de servicio se identificar en notacin Kendalldeterminstico y tres canales de servicio se identificar en notacin Kendallcomo

M / D / 3

En todos los casos se supone que solo existe una sola lnea de entrada.p q

Componentes de la teora de colaspLa poblacin fuente y la manera que los clientes llegan al sistema

La poblacin puede ser finita o infinita:

Finita cuando el tamao es tal que si el grupo de Finita, cuando el tamao es tal que si el grupo deusuarios se reduce en uno, luego de cadaatencin, se reduce la probabilidad de la siguientep gocurrencia.

Infinita cuando el tamao es tan grande que la Infinita, cuando el tamao es tan grande que laatencin de los usuarios no modifica laprobabilidad de la siguiente ocurrencia.p g

d l d lComponentes de la teora de colasLa poblacin fuente y la manera que los clientes llegan al sistema

La distribucin de llegadas es la manera en que un cliente llega a la fila (o sistema).un cliente llega a la fila (o sistema).

Constante.

Variable (aleatoria).

Componentes de la teora de colaspEl sistema de prestacin del servicio

Situaciones ms comunes

Caso 1: El sistema lo constituyen la fila o lnea de espera y el canal de atencin.y e ca a de ate c

Caso 2 : El sistema lo constituyen la fila o lnea de esperaCaso 2 : El sistema lo constituyen la fila o lnea de espera y dos o ms canales de atencin.

Componentes de la teora de colas

El sistema de prestacin del servicio

Caso 1: El sistema lo constituyen la fila o lnea de espera y el canal de atencin.

Sistema

Empleado

El cliente sale despus queLnea de espera o cola

Toma y surte el pedido

El cliente sale despus que se surte su pedido

Componentes de la teora de colas

El sistema de prestacin del servicio

Caso 2 : El sistema lo constituyen la fila o lnea de espera y dos o ms canales de atencin.

Canal 1

Sistema

Empleado A

El cliente sale despus que se surte su pedido

El cliente pasa al siguiente canal abierto

p

Lnea de espera o colaCanal 2

Empleado B

Componentes de la teora de colasComponentes de la teora de colasLa condicin del cliente que sale del sistema

Una vez atendido el cliente existen dos posibilidades:Una vez atendido el cliente existen dos posibilidades:

Puede regresar a la poblacin fuente y volverse de inmediatoPuede regresar a la poblacin fuente y volverse de inmediato un candidato que compite nuevamente por el servicio.

Puede haber una ligera probabilidad de reservicio.

Componentes de la teora de colas

El sistema de prestacin del servicio

Costos de las lineas de espera

Modelo de costostotales que incluye elcosto asociado alcosto asociado altiempo que lasunidades esperanpara ser atendidas ypara ser atendidas yel costo en el que seincurre para operar lai t l i dinstalacin deservicio. Costo de la espera Costo del servicio Costo total

Caractersticas de los sistemas de colasCaractersticas de los sistemas de colas

Las caractersticas de operacin del sistema que se pretendenp q pdeterminar incluyen las siguientes:

1. La probabilidad de que no haya unidades en el sistema.2 El di d id d l l d2. El nmero promedio de unidades en la lnea de espera.3. El nmero promedio de unidades en el sistema.4 El tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de4. El tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de

espera.5. El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.6. La probabilidad de que las unidades que llegan tengan

que esperar para ser atendidas.7. La probabilidad de que se est utilizando la instalacin de7. La probabilidad de que se est utilizando la instalacin de

servicio.

MODELOSMODELOS

M / M / 1: Este sistema trata de unadistribucin de llegada Markoviano, tiempo deg pservicio Markoviano, y un servidor.

M / M / S: Este sistema trata de unadistribucin de llegada Markoviano, tiempo deservicio Markoviano, y S servidores.servicio Markoviano, y S servidores.

MODELOS M / M / 1 y M / M / SMODELOS M / M / 1 y M / M / S

En las situaciones cotidianas es fcil encontrar ejemplos de llegadasas s tuac o es cot d a as es c e co t a eje p os de egadasaleatorias. Las llegadas sern aleatorias en cualquier caso en la que una deellas no afecte a las otras. Un ejemplo clsico de llegadas aleatorias son lasllamadas que arriban a un conmutador telefnico o un servicio deemergenciaemergencia.

Se ha determinado que las ocurrencias aleatorias de un tipo especialpueden describirse a travs de una distribucin discreta de probabilidadbien conocida como es la distribucin de Poisson Este tipo especial debien conocida como es la distribucin de Poisson. Este tipo especial dellegadas aleatorias supone caractersticas acerca de la corriente de entrada.En primer lugar, se supone que las llegadas son por completoindependientes entre s y con respecto al estado del sistema. En segundol l b b l d d d ll d d d f d dlugar, la probabilidad de llegada durante un periodo especifico no dependede cuando ocurre el periodo, sino ms bien, depende solo de la longitud delintervalo. Se dicen que estas ocurrencias carecen de "memoria".

Si conocemos el nmero promedio de ocurrencias por periodo podemos Si conocemos el nmero promedio de ocurrencias por periodo, podemoscalcular las probabilidades acerca del nmero de eventos que ocurrirn enun periodo determinado, utilizando las probabilidades conocidas de ladistribucin de Poisson.

MODELOS M / M / 1 y M / M / SMODELOS M / M / 1 y M / M / S

Al igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos deAl igual que las llegadas aleatorias, la ocurrencia de tiempos deservicios aleatorios, carentes de memoria, es suceso bastante comnen las situaciones cotidianas de lneas de espera. Y al igual que lasllegadas aleatorias los tiempos de servicio carentes de memoria seg pdescriben a travs de una distribucin de probabilidad.

La diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicioLa diferencia entre las llegadas aleatorias y los tiempos de servicioaleatorios es que estos se describen a travs de una distribucincontinua en tanto que las llegadas se describen a travs de unadistribucin de Poisson, que es discreta. Si la duracin de los tiempos, q pde servicio es aleatoria, la distribucin exponencial negativadescribe ese tipo de servicio. Si la es la tasa promedio de servicioentonces la distribucin esta dada por:

F(t) = et

Sistemas de colas de PoissonSistemas de colas de Poisson

El tiempo transcurrido entre las llegadas seconsidera que sigue una distribucin exponencial.

La cantidad de llegadas en un perodo de tiempo Ti di t ib i d P isigue una distribucin de Poisson.

Si d l d P iSistemas de colas de Poisson

Estos sistemas se basan en las siguientes suposiciones:

Llegadas con distribucin Poisson Llegadas con distribucin Poisson. (es decir, las llegadas son aleatorias; la probabilidad de

una llegada permanece constante durante un perodode tiempo y es independiente del nmero de llegadasy de la duracin del tiempo de espera)

Tiempos de servicio con distribucin exponencialnegativa.

Primer elemento que llega, primero que sale.

i d l d iSistemas de colas de Poisson

di d ll d d d ti (t d ib ): nmero promedio de llegadas por perodo de tiempo (tasa de arribo).: nmero promedio de unidades que pueden ser atendidas por perodo de tiempo (tasa

media de servicio).ts: tiempo que transcurre entre dos servicios sucesivos (tiempo de servicio)ts: tiempo que transcurre entre dos servicios sucesivos (tiempo de servicio).ts = 1/tl: tiempo que transcurre entre dos llegadas sucesivos.tl = 1/tl 1/: factor de trfico o factor de ocupacin. =/ Si > 1 la cola es infinita (la instalacin de servicio no tiene suficiente(

capacidad para manejar las unidades que arriban). Si = 1 puede existir estrangulamiento o inestabilidad. Si < 1 la instalacin de servicio tiene suficiente capacidad para manejar las

unidades que arribanunidades que arriban.

Definimos entonces a s como el nmero de canales de atencin, debiendo mantenerse lacondicin: / s = ( /) / s < 1condicin: / s ( /) / s 1

Sistemas de colas de PoissonSistemas de colas de Poisson

Un solo canal s canalesUn solo canal s canalesLa probabilidad de que no haya unidades en el sistema. (P0)

= 11 =

+1

0 )(!.

!

1s

n

sn

sss

n

L b bilid d d hLa probabilidad de que haya n unidades en el sistema. (Pn)

n ).1( 0)(!.P

ss snn

El nmero promedio de unidades en la lnea de espera. (Lc) )(

.2

= sL 02

1

))!.(1(P

ss

s

+

)( )) ((El nmero promedio de unidades en el sistema. (Ls)

+cL El tiempo promedio que una unidad pasa en la lnea de espera. (wc)

cs

Lw =.

El tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema. (ws)

sc

Lw =+ 1

La probabilidad de que las unidades que llegan tengan que esperar para

= 0!1 P

ss

ss

q g g q p pser atendidas.

! ss La probabilidad de que se est utilizando la instalacin de servicio.

1-P0

COSTO TOTAL Cs+Cw Ls s Cs+Cw Ls