LabDarbai

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE

RimantasEIDUKEVI CIUS

Svarbiospastabos:1) jei nesateigudedirbti sukompiuteriu,butinaipaskaitykiteskyrel i apiedarbasujuo;2) jei nepakakstenpateiktu žiniu, tai bibliotekojearknygynerasitedaugnaudingu kny-

gu, arbapaklauskitejaumokanciu;3) pasiruoškitedarbui su kompiuteriuir programaMAPLE iš anksto,nes,sedint prie

displejaus,laikasbegalabaigreitai,ir bepasiruošimobeveik nieko nespesitepadaryti.

PIRMOSIOSŽINIOS

Yra sukurtadaugivairiu programu, padedanciu studentamsisisavinti ivairiu sriciu žinias,o mokslininkams,inžinieriamsišspresti matematiniusuždavinius. Su programaMAPLEatsakymagalimagautiir analiziniu,ir skaitiniu,ir grafiniupavidalais.

MAPLE simboliu " � " kviecia užrašytikomandas,o priskyrimo veiksmasžymimas":=". Atkreipti demesi i priskyrimo operatoriausir lygybes"=" naudojima. Komandasrei-kia užbaigti tašku su kableliu ";" (norint pamatytirezultatus)arbadvitaškiu (rezultatainebusatspausdinti).Išspreskimelygti � ��

, kur a yraparametras(atspausdinustaškasukableliu, reikia paspaustiENTER,ir tadakomandabus ivykdyta, o rezultataiatspausdin-ti): � lygtis:=x^2=a; ��

Kaireje priskyrimo operatoriausrašomaskintamojo vardas,o kintamajamgalimapri-skirti ivairiusreiškinius.Vardasturi prasideti raide,jamegali buti darskaiciai ir pabrauki-mo ženklas"_". Skiriamosmažosiosir didžiosiosraides.Taipsudarytasvardasturi skirtisnuorezervuotu vardu (pvz MAPLE konstantu (Pi, � , ...)) ir paketokalbosžodžiu (and,in,return,local, global,...). Apie juospaaiškinsimeveliau.

PasinaudosimeMAPLE komandasolve, kuriospirmasargumentas- lygtis ar ju sistema,antrasis- nezinomasisar ju aibe:� sprendinys:=solve(lygtis,x);�� !�� " ��#%$�" �

4

Tai uždavinio simbolinis sprendimas.Pakeiskimesimboli a skaiciumi 2. Tai atliki-mesukomanda"subs" (substitute- istatyti), kurioje reikia nurodytipakeitima ir kuriamereiškinyje ji atlikti:� lygtis_a_2:=subs(a=2,lygtis);�&��

_ ' _ ( � � � ��*)Rasimešioslygtiesskaitini sprendini:� sprendinys_kai_a_lygus_2:=solve(lygtis _a_2, x);�+�,��-��.!�

_ /0' � _ ' _ ��012� _ ( � � " )3#%$ " )Abiematvejaissprendinysyradvieju elementu rinkinys. Ir tai tikslussprendiniai.Atlie-

kantdaugskaiciavimu, darbassutiksliais skaiciaisgali buti per letas,o programanaudosperdaugatminties.Tadagalimagautiapytiksli sprendini sukomandaevalf:� apytikslis_sprendinys_kai_a_lygus_2� :=evalf(sprendinys_kai_a_lygus_2);' ��- �� / �4�� _ ��5�6�,�-�� !� _/7' � _ ' _ ��012� _ ( � �980: ; 8<;=)38<>7?0@7)3#3$A80: ; 8<;=)B8C>7?0@7)

Kiekvienaiš ju galimanagrinetiatskirai.Nubraižysimegrafika,iliustruojanti simboliniopirmojo sprendiniopriklausomybenuoparametroa:� plot(sprendinys[1],a=-3..3,thickness=3 ,colo r=gree n,� title="Lygties sprendinio grafikas");

Lygties sprendinio grafikas

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

–3 –2 –1 0 1 2 3a

Apie komanda "plot" viska galimasužinotisurinkuskomanda ?plot ir paspaudusEN-TER. Jospirmasargumentasyra funkcija, po to rašomasargumentasir jo kitimo sritis,braižomoslinijos plotis ir spalva nurodomi parametrais"thickness" (plotis) ir "color"(spalva). Nors argumentasa kinta nuo -3 iki +3, bet neigiamomsparametroreikšmems

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE 5

grafikasnenubraižytas,nesnerarealiu sprendiniu. MAPLE yra puikuspagalbininkas,bettik tam,kasžinomatematika. Pvz.,klaidasdarovisi, bettik žinantissupras,kadprogramapaskaiciavo netai, ka reikia. Žinios padedapasirinktigeriausiaitinkancia programa. Josepanaudotiivairusalgoritmai,yra ir specializuotu programu. LabiauskaitineianalizeiskirtiMATHCAD ir MATLAB itrauke paketoMAPLE simbolinioskaiciavimo galimybes,o sunaujomisMAPLE versijomisgalimadaugiauišsprestiskaitiniu uždaviniu. DarpaminetinipaketaiDERIVE, MATHEMATICA.

BENDROSPASTABOS APIE DARBA SU PROGRAMA MAPLE

Jaumateme,kadkomandosrašomosi dešinenuoženklo" � ". Primename,kadjei poko-mandosparašomasdvitaškis ir paspaudžiamasklavišasENTER,tai komandaivykdoma,bet to rezultataineatspausdinami.Norint juosmatyti, vietojedvitaškioreikia rašyti taškasu kableliu. Butina komanda užbaigtivienu iš šiu dvieju budu. O po vienoskomadosgalimaiš karto rašyti kita. Patartinadvitaškiusrašyti po to, kai isitikinta, kadparašytojekomandojear ju sekojeneraklaidu.

Programaiatliekantskaiciavimus,viršutinejeirankiu juostojamygtukasSTOPpasidaroraudonas.Norint skaiciavimusnutraukti(jiemsper ilgai užsitesus),reikia ši mygtuka pa-spausti.Kadangikompiuterisužsiemes,tai gali pasisektine iš karto. Bet tai geriau,neikokiu norskitu budugrubiainutrauktiprogramosdarba, nestadagali prapulti ankstesnisdarbas.

Aritmetiniai veiksmai: sudetis(+), atimtis(-), daugyba(*), dalyba(/), kelimaslaipsniu(^ arba**):� 2+5, 5*5*5, (10-7)/10, 6^2; 3**3: 3^2: %/%%;D #E8!)0?3# >8CF # >7@8>

Pakutiniuosepavyzdžiuosedaliskomandu atskirtoskableliaistam,kadju rezultataibu-tu atspausdintivienoje eiluteje. Vienasprocentu ženklasatitinka paskutini programosapskaiciuota rezultata, du ženklai - priešpaskutini, kuriu santykispavyzdyje yra apskai-ciuojamas.

Komandosepanaudojamipaprasti,laužtiniai ir figuriniai skliaustai:a) funkciju, proceduru argumentairašomitarppaprastu skliaustu, sujaisnurodomaarit-

metiniu veiskmu atlikimo tvarkaivairiuosereiškiniuose.b) aibes(set) elementai- tarpfiguriniu;c) sarašo(list) elementai- tarplaužtiniu.Sarašasnuoaibesskiriasi tuo, kadjameelementaigali kartotis,o ju eilestvarkasvarbi.

Pavyzdžiai:

6 � ‘rasime� sin(Pi)‘:=sin(Pi);� solve({x+y=1,x-y=2},{x,y});#Lyg ci u sistemos� sprendimas. Tai komentaras, kuris turi prasid eti� grotel emis. Komentaras nesibaigs tol, kol� spausdinsite tekst a. Paspaudus str eliukes ar� ENTER, komentaras nutr¯uks. Norint pereiti i kit a� eilut˛ e, reikia paspausti Shift+ENTER, t.y.� laikant paspaust a Shift, papsausti ENTER.� plot([sin,cos],-2*Pi..2*Pi);� ' �4��GH�I�J��LK�MN�POQ� ��FR � � > ) #BST� $A8)�U

–1

–0.5

0

0.5

1

–6 –4 –2 2 4 6

Pirmojekomandojedešineje lygybespuseje tarp viengubu kabuciu, paprastaiesanciuklaviaturoskaireje,viršuje(virš klavišoTAB) parašomastekstas,norsir panašusi formule.Tai kintamojovardas,kuriamegali buti tarpu, specialiu simboliu. Ji naudojantneužmirški-te kabuciu. MAPLE skiria kintamuju varduosedidžiasiasir mažasiasraides.Pabandykitesukeistiaibiu (sistemoslygciu arnežinomuju)beisarašo(trigonometriniu funkciju) tvarka.Kaspasikeicia?

Idomu,kadšio sarašofunkcijosyra taip geraižinomos,kadnetargumentorašytinebu-tina.

Dažnaireikia atlikti panašiusveiksmusdaugkartu. Tadareikia pasinaudoticiklu for,kurio vienapavidalapaaiškinsime:

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE 7� for i from 1 by 1 to 5� #dabar autorius paspaud e Shift+ENTER do� kvadratas:=i*i: print(kvadratas); od: #Tarp "do"� ir "od" rašomi operatoriai. Pakeiskite dvitaškius� kabliataškiais. 8; V8<@)0?Aišku, kadparametrasi kinta nuo(from) vienetoiki (to) penkiu, padidedamas(by) vie-

netu.from1 , by 1 galimapraleisti,bettik esantvienetui.Vietoje"by1" parašykite"by 2"arba"by 3" ir paspauskiteENTER.Ne tik cikluosepravercia masyvai (array). Vienmatismasyvasyra vektorius,jo elementaisunumeruotisveikais,teigiamaisskaiciais. Dvimatismasyvasyra matrica,jos elementu indeksaiyra sveiku , teigiamu skaiciu poros. Indeksairašomitarplaužtiniu skliaustu. Pavyzdžiai:� vektorius:=array(1..3);� for i from 1 to 3 do vektorius[i]:=2*i;od;W � / PX��4��12�I� ��Y�Z5Z5Y![ K 87:\: >3#E] ^ OW � / PX��4��12�!_�� )W � / PX��4��12� � � �`;W � / PX��4��12�<aA� �b@� matrica1:=array(1..2,1..2);� matrica1;print(matrica1);G ' ��4�dc '7e � ��Y0Z�ZJY![ K 80:f:g)B#%80:f:g)B#E] ^ OG ' ��4�dc '0eh G ' ��4�dc '7e _Jij_kG ' +�4�dc '0e _4i �G ' ��4�dc '7e � ij_kG ' +�4�dc '0e � i �ml� for i from 1 to 2 do for� j from 1 to 2 do if i=j then matrica1[i,j]:=1� else matrica1[i,j]:=0 end if; od; od;� #Salyginio operatoriaus strukt¯ ura aiški: jei i=j,� tai matricos elementas su šiais indeksais lygus� vienetui. Priešingu atveju� (else) - lygus nuliui.� print(matrica1);� #Atsispausdinkime gaut a vienetin˛ e matric a.h 8nFF 8 l� matrica2:=array([[a,b],[c,d]]);G ' ��4�dc '�( � � h � oprq l

Masyvu pati programaneatspausdina,tai atliekamasukomanda"print ". Indeksu galibuti ir sudetingesniu. Matrica galimaapibrežti ir su paketo linalg funkcija matrix. Yra

8

labaidaugspecialiu proceduru MAPLE paketuose,skirtuosegrafineianalizei,diferencia-lainiu lygciu tyrimui, trigonometriniamspertvarkymams,ir t.t. Paketaslinalg (linear al-gebra) prapleciaalgebriniu skaiciavimu galimybes.

Ivairiu paketu naudojimotaisyklesyra vienodos.Pradejusdirbti suMAPLE, paketuo-seesanciomis proceduromispasinaudotinegalima. Bet po komandos"with(paketo var-das):" galima

galimanaudotisvisomisšio paketoproceduromis.Tai truputi letinaskaiciavimu greiti.Todel yra du budai,kaip naudotistik vienaiš paketogalimybiu. Visusšiuostris variantuspaaiškinsimekiek skirtingaismatricosapibrežimais:� with(linalg): matrix(2,2,[1,2,3,4]);

Warning, the protected names norm and trace havebeen redefined and unprotectedh 8s)>t; l� restart;� with(linalg,matrix): matr2:=matrix([[1,2],[3,4]]);G ' +� ( � � h 8n)>r; l� g:= (i,j) ->� Pi^(i*j):#":" pakeiskite ";". Apie funkcijas -� veliau.� matr3:=linalg[matrix](2,3,g);G ' ��6uv� � hbw w � w aw � w%xywEz l

Panaudojomekomanda restart. Po jos ivykdymo MAPLE "užmiršo" visus(!) anks-tesniusrezultatus,priskyrimus. Javertapradeti naujusskaiciavimus ar esantnesupran-tamiemsprogramospranešimamsapieklaidas,atsiradusiuspo komandosvykdymo. Jauminejomeir naudojomeMAPLE konstantas. Daliesju reikšmiu keisti negalima:

a) false- reikšme"melas"dirbantsuBulio kintamaisiais;b) true - reikšme "tiesa"dirbantsuBulio kintamaisiais;c) FAIL - trecia reikšmespecialiuoseloginiuoseskaiciavimuose;d) skaicius

w;

e) menamasvienetasI =" $A8

;f) begalybe infinity = { ;g) specialiosskaiciu sekosriba � .Pavyzdžiai:� ‘"Pi"‘=Pi; ‘Apytikriai� "Pi" yra‘=evalf(Pi); ‘Tiksliau "Pi"� yra‘=evalf(Pi,20); ‘gamma‘=evalf(gamma);‘Menamo� vieneto kvadratas‘=I*I;� ‘begalyb e‘=infinity; | M}�P~g~ � w� ��- �� / �4� ' � | M}� | -� ' �b> :\8<; 8C? V )0@7?-;� � / �4�� ' 1 | M}� | -� ' ��> :\8<; 8C? V )0@7?�>=?�� V D V >0)�>��=?

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE 9� ��:g? D7D )38C?�@7@�; V� �6� ' GTX W �d�� PX / W ' �-� ' ' � ��$A8�5�P� ' �0� � {NaujoseMAPLE versijoseneliko konstantose. Bet ja galimadabaružrašytipavidalu

exp(1).Yra konstantos,kurioskontroliuojaskaiciavimu tiksluma. SvarbiausiosyraDigits (tiks-

lumasdirbantsu slankiojancio kablelio skaiciais float; pagalnutylejima Digits = 10) irOrder (Teiloroeilutesdemenu kiekis,pagalnutylejimaOrder = 6). Norint skaiciuoti tiks-liau, galimaivykdyti komanda:� Digits:=40; � �&�0�� d�A� �b;=F

Tada� ‘Dar tikslesn e "Pi" reikšm e yra‘=evalf(Pi);Digits:=10:� ' �A +� / �4�\�4�4� | MN� | �� / G�-� ' �b> :\8<; 8C? V )0@7?�>=?�� V D V >7)->7�-;7@0)0@-;7>0>0��>=) D V ?0F0)��0��;38 V DPirmakartapasinaudojomesavo aprašytafunkcija g(i,j) matricoselementamsapibrežti.

Funkcijaf yra taisykle, priskirianti aibesX elementuix (skaliaruiarbavektoriui) kitos artospaciosaibesY elementay=f(x), kuri MAPLE taip apibrežiama:� f := x -> f(x);#Tarpais� atskyr eme apibr ežimo nebeskaidomas� detales. � � � �

Pavyzdžiai:� f:=x -> x*sin(x/2); ‘f(0)‘=f(0), ‘f(Pi)‘=f(Pi);� � � ��f� K 8) � O� K��O ��F # � KPM}�jO � w� g:=(x,y) ->� exp(-(x^2+y^2)/2);� ‘g(0,0)‘=g(0,0),‘g(-infinity,-infinity )‘� =g(-infinity,-infinity);� � � K � #3S O ��0�d� _�� 2�C� � _�� 2�6��,K5� # �.O �980# �,K $ ��C��.�� + #�$ ��<�� =O ��F� f_s arašas:=(x,y) ->� [sin(x),cos(y)];� ‘f_s arašas(Pi,Pi)‘=f_s arašas(Pi,Pi);�_�7� '.' �� K � # S O � ] ��f� K � O #��6 � K S O ^�

_�0� '�' �7KPM}� # M}�jO �¡] F3#%$A86^� f_aib e:=(x,y) ->� {sin(x),cos(y)};� ‘f_aib e(Pi,Pi)‘=f_aib e(Pi,Pi);#Prisimi nkite aib es� ir s arašo� skirtumus. �

_ ' �d�� K � #3S O � R ��f� K � O #.�� K S O U

10 �_ ' �d�0KPM}� # M}�jO � R $A87#BF U

Funkcij u grafikai. Jaumokamenubraižytifunkcijosgrafikaplokštumoje,pvz.:

� plot(f(x),x=-8*Pi..8*Pi,y=-25..25,� thickness=4,color=black);� #Nurodytos� funkcijos reikšmi u ir kitimo sritys. Vietoje 25� parašykite 5 ir paspauskite ENTER. Visada� atkreipkite demesi i horizontali aj a ir� vertikali aj a ašis. Spragtelkite grafik a (atsiras� juodas r emelis ir nauja iranki u juosta viršuje).� Paspauskite mygtuk a, pažymet a simboliu� 1:1. Išbandykite kitus.

–20

–10

0

10

20

y

–20 –10 10 20x

Analogiškai,betsufunkcijaplot3d, braižomigrafikaitrimatejeerdveje:

� plot3d(g(x,y),x=-5..5,y=-5..5,thicknes s=3);


Spragtelkitesu pelegrafika, su kairiu pelesmygtukupasukitegrafika ir apžiurekite jiiš visu pusiu,išbandykitenaujosirankiu juostosmygtukus.Galimapasirinkti ir begalineargumentosriti:� plot(f(x),x=-infinity..infinity,thickn ess=2 );

-infinity

0

infinity

-infinity infinityx

� plot(exp(-x^2),x=-infinity..infinity,t hickn ess=5) ;

12

0-infinity infinityx

Ribos. SupaketuMAPLE lengva apskaiciuoti ivairiasribas. Tai atliekamasukoman-da limit. Joje reikia nurodyti reiškin i, kurio riba reikia rasti, ir kuriametaške norimeapskaiciuoti riba. DaugelisMAPLE komandu gali prasideti didžiajaraide,veiksmu neat-liekancia,betpadedanciaaiškiauužrašytiatliekamusapskaiciavimus:

� restart; #Po šios� komandos nebelieka ankstesni u pažymejim u,� rezultat u.� Limit(f(x),x=infinity), Limit(f(x),x=1),Limit(f(x),x=Pi);¢ �\£�C¤�¥§¦ K � O # ¢ �\£�!¤ _ ¦ K � O # ¢ �f£�C¤�¨©¦ K � OApibrežkimedvi funkcijas,raskimeju ivairiasribas.Kai kuriosribosneegzistuoja.Tai

paaiškinsimeju grafikais. Taip pat reikia išsiaiškinti, kaip MAPLE pateikiaatsakymus,ypac kai neraribos:

� f:=x -> sin(1/x); g:=x� -> x*sin(x); plot(f(x),x=-2*Pi..2*Pi);� plot(g(x),x=-2*Pi..2*Pi); � � � ��ª��f� K 8� O� � � ��\� K � O


–1

–0.5

0.5

1

–6 –4 –2 2 4 6x

–4

–3

–2

–1

1

–6 –4 –2 2 4 6x

� Limit(g(x),x=0)=limit(g(x),x=0);¢ �f£�!¤I« ��f� K � O ��F� Limit(f(x),x=0)=limit(f(x),x=0);#Ribos� nera, bet grafikas padeda� suprasti, kod el gavome neiprast a atsakym a -� interval a nuo -1 iki 1.

14 ¢ �f£�!¤I« ��f� K 8� O �¬$A87:\:f8Išvestines. Žinome,kadfunkcijos f(x) išvestine yra funkcijosir jos argumentopokyciu

santykioriba,kai argumentopokytis artejai nuli:� restart:� Limit((f(x+h)-f(x))/h,h=0)=limit((f(x+ h)-f( x))/h, h=0);¢ �f£ ¤A« ¦ K �H®°¯ O $ ¦ K � O¯ ��± K � O�K � OTa "žino" ir MAPLE. Dešineje lygybespusejeraideD žymimadiferencijavimo opera-

cija, jos rezultatasyra funkcija,pvz.:� D(sin);D(x*sin(x));D(x^2); �� ± K � O ��\� K � O ®²� ± K ��f� K � O�O)³± K � O �� f:=x -> x*sin(x);� D(f);#Skiriasi nuo D(x*sin(x));� g:=x -> x^2; D(g);#D(g) yra funkcija D(g)(x):� � � �´��\� K � O�µ�ª��\� K � O ®¶� �� K � O� � � ��ª� �� ) �Bet dažnaipaprasciauyra pasinaudotikita MAPLE galimybeapskaiciuoti išvestines:� Diff(x^2,x)=diff(x^2,x);#Pirmos� eil es išvestin e.� Diff(x^2,x,x)=diff(x^2,x,x);#Antros eil es išvestin e.·· � � ��*) �· �· � � � � �*)Rasimedvieju kintamuju funkcijosdalinesišvestines:� f2:=(x,y) ->� sin(2*x)*cos(3*y);� Diff(f2(x,y),x)=diff(f2(x,y),x),� Diff(f2(x,y),y)=diff(f2(x,y),y),� Diff(f2(x,y),x,y)=diff(f2(x,y),x,y);� ( � � K � # S O �ª��f� K ) � O �6 � K >³S O·· � ��f� K ) � O �6 � K >³S O ��)³�� K ) � O �6 � K >�S O # ·· � ��f� K ) � O �6 � K >³S O ��$Q> ��f� K ) � O ��f� K >³S O #· �· � · � ��f� K ) � O �� K >³S O ��$Q@��6 � K ) � O ��f� K >³S OIntegralai . Funkcijosf(x) neapibrežtinis integralas yra funkcija F(x), kuriosišvestine

lygi pointegrinei funkcijai f(x):� restart;� F(x)=Int(f(x),x);f(x)=diff(F(x),x);¸ K � O ��¹ ¦ K � O q �

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE 15¦ K � O � ·· � ¸ K � OJei funkcija F(x) yra funkcijos f(x) integralas,tai tokia yra ir F(x)+konstanta, betMA-

PLE konstantosnerašo.Jaugreiciausiaiaišku,kad integravimo procedura atliekamasuMAPLE funkcija int, kurioje reikia nurodytipointegrine funkcija ir integravimo kintama-ji: � Int(x^2,x)=int(x^2,x); ¹ � � q � � 8> � a� f:= x -> a^x;� Int(f(x),x)=int(f(x),x);#a - parametras.� Int(f(x),a)=int(f(x),a); � � � �´� �2�¹ �2� q � � �2�¢ � K � O¹°�2� q �H� � � �Cº _ ��»® 8

Norint apskaiiuotiapibr ežtini integrala, funkcijoje int reikianurodytiintegravimo kin-tamojorežius:� Int(sqrt(x),x=0..5)=int(sqrt(x),x=0..5 ),� Int(f(x),x=-1..1)=int(f(x),x=� -1..1); ¹°¼« " � q � � 8<F> " ?2#�¹ _

� _ �2� q � � �=�N$½8¢ � K � O �Geometrine apibrežtinio integralo interpretacijayra plotastarp funkcijos f(x) grafiko ir

horizontaliosioskoordinaciu ašiessupliusoarminusoženklu,priklausomainuofunkcijosf(x) ženklo.Kokiosfigurosplotaaprašiofunkcijax_plotas(t),kai

$A8I¾À¿:� x_plotas:=t ->� int(x,x=-1..t); #Integralas su kintan ciu� viršutinio r ežiu. Nubraižykite grafik a� (plot(x_plotas(t),t=-1..4);).Á

_��\X� ' �� ¿ � ¹²Â� _ � q �

Eilut es. Dar liko nepaaiškintosdvi MAPLE konstantos.Tam reikia prisiminti, kadbegalinesumaÃ ¥Ä\Å « Y KÇÆÈO yradaliniu sumu Ã�ÉÄfÅ « Y KÇÆÈO riba,kai n augai begalybe(kai ribaegzistuoja):� sum(a(i),i=0..infinity)� =limit(sum(a(i),i=0..n),n=infinity);¥Ê ÄfÅ « Y KÇÆÈO � ¢ �f£É ¤�¥ ÉÊ ÄfÅ « Y KdÆjO

Dabarjaukeliaisbudaisgalimeapskaiciuoti iracionaluji skaiciu e:

16 � Limit((1+1/n)^n,� n=infinity)=limit((1+1/n)^n,n=infinity );� Sum(1/n!,n=0..infinity) =sum(1/n!,n=0..infinity);� #n!=1*2*...*n - n� faktorialas. ¢ �\£É ¤�¥ K 8 ® 8Ë O É � �¥ÊÉ Å «8Ë³Ì � �

Sudetingesnispavyzdys(tikslusir apytikslis atsakymai,apiefunkcijahypergeomgalimasužinotija pelepažymejusir paspaudusklavišaF1):� Sum((-1)î/(2*i+1)^2,� i=0..infinity)=sum((-1)î/(2*i+1)^2,i= 0..in finit� y);evalf(sum((-1)î/(2*i+1)^2,i=0..inf inity ));¥Ê ÄfÅ « K $A8 O ÄK ) Æ ® 8 O � ��Í2[=Î�Ï�Z5Ð0Ï< £ K ]\80# 8) # 8) ^P#E] >) # > ) ^P#E$A8 O: V 8!? V @7?0? V ;2)

Darbas su failais. Tam tinka C kalboskomandos.Bet yra dvi paprastesnes. Pavyz-džiui:� A:=array([[1,2],[3,4]]);� #Irašykime� masyv a A i tekstin˛ i fail a.� writedata("c: Ñ TempÑ� matrica.txt",A);#Failas kataloge Temp.� B:=readdata("c: Ñ TempÑ� matrica.txt",2);#Perskaitykime failo turin i.� B;#Pasiži¯ ur ekime, ka perskait eme. Skai cius 2� nurod e du stulpelius.� B:=readdata("c: Ñ TempÑ� matrica.txt",[integer,integer]);#Persk aitom e du� stulpelius sveik u (integer) skai ci u.� B1:=convert(B,array);#Paverskime B masyvu B1.Ò � � h 8s)>t; lÓ � ��]f]\80:f#.)B: ^�#E] >3:f#3;.: ^f^]f]\80:f# )B: ^�#©] >3:f#B; : ^f^Ó � �¡]\]\80# )-^�#E] >3# ;�^f^Ô e � � h 8s)>t; l

Norint išmokti ir matematikos, ir dirbti su kompiuteriubei programaMAPLE, butinaspresti uždavinius. Ir mesišnagrinekimekeleta jau žinomu temu. Tuo paciu sužinosimeir naujaspaketogalimybes.Ir tadapaaiškesprogramostrukumai,kai tik matematinesži-


niosgali padeti. Nesuprantantuždavinio formulavimo, jo sprendimo,galimapriskaiciuotidaugybenesamoniu.

Funkcij u tyrimas. Funkcijos ¦ K � O � � a ® ) � � $Õ� � $À8tyrima pradekimejos grafi-

ku: � restart: f:=x ->� x^3+2*x^2-8*x-1:� gr_f:=plot(f(x),x=-5..5,thickness=3,� title="Funkcija f(x)"): gr_f;

Funkcija f(x)

–200

20

40

60

80

100

120

–4 –2 2 4x

Matome,kad grafikastris kartuskertahorizontaliaja aši, t.y., lygtis ¦ K � O ��Fturi tris

realiussprendinius.Raskimejuos:� sprendiniai:=solve(f(x)=0,x);

��5�6�,�-�� ' �N� � 8@×Ö ) ® ?�@>K $�?�>7) ® ��;�Ø " 8!? V O � _�� a � $ )> #$ 88!) Ö )�$ )��> Ö 8Ù$ )> ® 8) Ø " > K 8@ Ö )�$ ?�@> Ö 8 O #$ 88!)�Ö )�$ )��>ÚÖ 8Ù$ )> $ 8) Ø " > K 8@×Ö )�$ ?�@>*Ö 8 OÖ 8 � � 8K $�?�>7) ® ��;�Ø " 8!? V O � _�� a �Ö ) � � K $�?�>7) ® ��;�Ø " 8!? V O � _�� a �

Programastengesirastitiksliussprendinius,betnesekmingai:rastisprendiniaiyrakomp-leksiniai(matomemenamavieneta I ). Rasimeapytikslesreikšmes:� evalf(sprendiniai);

18 )3: F D V 808<�7�0@=? ® :f8�8CF ��Û Ø.#E$Q>3: V ? D ?0�0@ V � D ® F3:5Ø #%$A:f8C)38C?�> 8<� D V ® F3:5ØFunkcijomisReir Im galimaištirti šaknu realiasir menamasdalis,pvz.: Re(sprendiniai[1]),

Im(sprendiniai[2]). Betmespasinaudokimefunkcija fsolveir raskimesprendiniusapytiks-liai: � fsolve(f(x)=0,x);$Q>3: V ? D ?��7@ V �0@3#B$A:f8C)38C?0>38<� D �7�3#7)3: F D V 878<�7�0@7?

Rasimefunkcijos f(x) ekstremumu taškus.Tam apskaiciuosimejos išvestine ir rasimejos grafiko susikirtimosux ašimitaškus(tikslius ir apytikslius). Šiomsargumentox reikš-memsfunkcijos f(x) grafiko liestinesyra horizontalios.Funkcijoselgesio,kai argumentasarteja i { arbai

$ { mesnenagrinesime.� pirma_išvestin e:=diff(f(x),x);� tiksl¯ us_ekstremumai:=solve(pirma_išves tin e=0,x);� apytiksl¯ us_ekstremumai:=evalf(tiksl¯ us_ ekstr emumai);��4G ' _ � W �6�4 +��Ü� �b> � � ® ; � $Ü� �� / �4�P� _ � / �4 +��G»1BG ' �� 9$ )> ® )> " D #E$ )> $ )> " D' ��- �� / �4�P� _ � / �4 +��G»1BG ' �� 87: F V D 8C@ D ?-;7F #B$�)B: ;7>7F7?�F7F0� D ;Daugiauapieekstremumussužinome,tirdami išvestinesgrafika ir antraja funkcijos iš-

vestine:� gr_išv� :=plot(pirma_išvestin e, x=-5..5,thickness=2,� title="Funkcijos f(x) išvestin e"):gr_išv;� #Ištirti išvestin es ženkl u kitim a.

Funkcijos f(x) iðvestinº

20

40

60

80

–4 –2 2 4x

Apskaiciuokimeantraja funkcijos išvestine, gauta reiškini paverskimefunkcija. TampanaudojamaMAPLE funkcija unapply, kuriospirmasargumentasyra reiškinys,o antras


- naujosfunkcijosargumentas:� antra_išvestin e:=diff(f(x),x$2);� nauja_funkcija:=unapply(antra_išvestin e,x);' � �� ' _ � W �6�4 +��Ü� ��@ �»® ;� ' 14Ý ' _� 1B� / c�� Ý ' � � �µ� @ �×® ;Liko apskaiciuoti antrosišvestinesreikšmesekstremumu taškuose(ka sako gautu skai-

ciu ženklai?):� for i from 1 to 2 do� nauja_funkcija(tiksl¯ us_ekstremumai[i]) ; od;; " D$Ù; " DEkstremumu taškuosenubrežkimevertikaliaspunktyrineslinijas (supapildomopaketo

plottoolsfunkcija line):� with(plottools):� l1:=line([tiksl¯ us_ekstremumai[1],20],� [tiksl¯ us_ekstremumai[1],-20],line style=3);� gr_l1:=plots[display](l1):� l2:=line([tiksl¯ us_ekstremumai[2],20],� [tiksl¯ us_ekstremumai[2],-20],line style=3);� gr_l2:=plots[display](l2):� gr_l:=plots[display]([gr_l1,gr_l2],thi cknes s=4):� gr_l;� e � �ÚÞ}ß�à©á�â}ã K ]f]&87: F V D 8<@ D ?-;=F3#7)0F3: ^�#E]\80: F V D 8<@ D ?�;7F3# $�)�F3: ^f^�#3ä©åÈæ�âçã3è}é�ä©â K > O�O� ( � ��Þ}ß�à©á�â}ã K ]f]\$�)B: ;7>0F=?�F7F0� D ; #0)0F3: ^�#E]\$�)B: ;7>7F7?�F7F0� D ; # $�)�F3: ^f^�#BäEåÈæ�âçãBè}éIä©â K > O�O

–20

–10

10

20

–2.5 –2 –1.5 –1 –0.5 0.5 1

Susipažinkimesu animacinemisMAPLE galimybemis. Prisiminkime,kad jau turime

20

grafikusgr_f, gr_išv, gr_l. Ketvirtajameapjunkimevisusšiuostris:� gr_visi:=plots[display]([gr_f,� gr_išv, gr_l],title="Trys grafikai kartu"):� plots[display]([gr_f, gr_išv, gr_l,gr_visi],� insequence=true);

Funkcija f(x)

–200

20

40

60

80

100

120

–4 –2 2 4x

Spragtelkitepelegrafika ir išbandykitenaujosirankiu juostos(viršuje)mygtukus.

Tiesiniu lygciu sistemossprendimas. Ištirsime sistema su dviem lygtimis ir dviemnežinomaisiais.Josbendraspavidalasir sprendiniaiyra:� restart:� lygtis1:=a*x+b*y=e1: lygtis2:=c*x+d*y=e2:� sistema:={lygtis1,lygtis2};� nežinomieji:={x,y};� sprendinys:=solve(sistema, nežinomieji);�J��4 j�6G ' � � R � �×® o�SH� � e # p �×® q ST� � ( U��7��X�G×�d�dÝ4�}� � R � #3S U�+�,��-��.!�� R � ��$ o � ( $ � e q� q $ p o #3ST� � � ( $ p � e� q $ p o U

Tai žinomosKrameriotaisyklespritaikymas. Prisimename,kad sistemagali tureti tikviena sprendini, ne vieno arbabe galo daugsprendiniu. Tai priklausonuo pagrindinesmatricosdeterminanto:� matrica:=array([[a,b],[c,d]]);� determinantas:=linalg[det](matrica);G ' +�4�dc ' � � h � opkq l

Simboliniu skaiciavimu programaMAPLE 21�0�� j�6�4G»�� ' � ' �A� �� q $ p oBet mesprisiminsimegrafine sistemossprendimointerpretacija. Pasirinkimesistema

(pažymekimeja s) suskaitiniais(nesimboliniaiskoeficientaisir dešiniosiomispusemis).Priešinguatvejunebusgalimapasinaudotigrafinemispaketogalimybemis.� l1:=3*x-6*y=3:� l2:=x-y=5: s:={l1,l2}: n:={x,y}:� spr:=solve(s,n);#":" pakeiskite ";".��×� � R S»��; # � � V U� subs(spr,s);#Patikriname, ar radome sprendin˛ i.R >A��>3# ?A�*? U

Bet ir dabarraidesx ir y yra tik raides,t.y., x neralygus9:� x,y; � #3SKomandaassignlygybesženkla "pavercia" priskyrimu:� assign(spr);� x,y; V #B;Betdabarkomandossolve(s,n)jau ivykdyti MAPLE nebegali (pabandykiteir perskaity-

kite pranešimaapieklaida). Jeiužduotissuformuluotateisingai,betji neturisprendinioarjo nepavykstarasti,tai negaunamejokio pranešimo.Norint x ir y vel paverstitik raidemis,galima ivykdyti komanda RESTART, bet tadabus "užmiršti" ir kiti pažymejimai. Kitasbudas:� x:=’x’; y:=’y’;� x, y;#Paži¯ ur ekime, kas dabar yra "x" ir "y".� � � �S � �bS� #3S

SužinojusnaujasMAPLE komandasarbadaugiauapiejau žinomas,prateskimesiste-moss tyrima. Iš pirmosioslygties l1 randametieseslygti y=0.5x-0.5, iš antrosios- kitostieseslygti y=x-5. Šiu tiesiu susikirtimotaškasir yra sistemossprendinys:� t1 := solve(l1,y); # Pirma ties e. e � � 8) � $ 8)� t2 := solve(l2,y); #� Antra ties e. plot([t1,t2],x=5..12,thickness=4); #� Abi ties es kartu. reikia pasirinkti tok˛ i� argumento x interval a, kad grafike but u matomas� j u� susikirtimo taškas. ( � � � $²?

22

0

1

2

3

4

5

6

7

5 6 7 8 9 10 11 12x

Apskaiciuokimešiossistemospagrindini determianta:

� matrica:=array([[3,-6],[1,-1]]);� determinantas:=linalg[det](matrica);G ' +�4�dc ' � � h > $Q@8t$A8 l�0�� P��4G×�� ' �. ' �� >Gavome, kad sistematuri vieninteli sprendini, jos pagrindinisdeterminantasnelygus

nuliui, o lygtis atitinkanciu susikirtimotaškasatitinkata sprendini. Dabarpasirinkimekitasistema, kuri turesbe galo daugsprendiniu. Tegul pirma lygtis yra x+y=1, o antroji yralygi pirmajai,padaugintaiiš dvieju, t.y., neturincianaujosinformacijosapiex ir y saryši:

� l1 := x+y=1; l2 :=� 2*x+2*y=2; t1 := solve(l1,y); t2 := solve(l2,y);� plot([t1,t2],x=-5..5, thickness=3);� e � � �»® ST��8� ( � �*) �×® )³S»��) e � �¬$ �»® 8 ( � �¬$ �»® 8


–4

–2

2

4

6

–4 –2 2 4x

Grafike matometik viena tiese todel, kad jos sutampa(žr. t1 ir t2 pavidala). Tiesessutampa,todel sprendiniu yra begalodaug.Pažiurekime,kaip programaMAPLE užrašoatsakyma (y=y !) bei raskimesistemospagrindini determinanta:� solve({l1,l2},n);#� Raid e "s" užimta - jai priskirta ankstesnioji� sistema. matr:=array([[1,1],[2,2]]);� linalg[det](matr);# Determinantas lygus� nuliui. R S»�bS,# � ��$ÙS ® 8 UG ' ��ê� � h 8ë8)ë) lF

Tegul treciosiossistemostik antroslygtiesdešiniojipuseskiriasinuoantrosiossistemos(todel jos determinantaslygusnuliui):� l1:= x+y=1:� l2:=2*x+2*y=4: t1:=solve(l1,y);t2:=solve(l2,y);� t12:=[t1,t2]; plot(t12, x=-5..5,thickness=3);#� Ties es lygiagre cios, tod el sprendini u nera.� solve({l1,l2},{x,y});#Apie sprendinius,t.y.,� kad j u nera,� neatspausdinama jokio pranešimo. e � �¬$ �»® 8 ( � �¬$ �»® ) e�( � �9]\$ �×® 80#E$ �×® )!^

24

–4

–2

0

2

4

6

–4 –2 2 4x

Kelis kartuspakartojomepanašiusveiksmus. Tokiu atveju dažnaipravercia galimybeparašytiprocedur a, kuriosbendraspavidalasyra proc (argumentai)komandosendproc.Procedurojeesantikomandareturn(reikšme) nurodo,kadprocedurosrezultatasyra reikš-me. Jeišioskomandosnera,tai po procedurosivykdymo gaunamasjos paskutinesopera-cijos apskaiciuotasrezultatas.Pvz.:� KurisDidesnis� :=proc(x::integer,y::integer)� if x>y then x elif x<y then y; else print("Abu� argumentai lyg¯us"); end if;� end proc;#Surinkite š i tekst a ir paspauskite ENTER.ì 1B�4�� d�0�6�4� ��A� �

procK � ::

�� j�P�7�� #3S::�� j�P�7��O

ifSîí � then � elif � í°S

thenS

elseÎ3Z �\�=ï K “Abu argumentailygûs”

Oend if

endproc� KurisDidesnis(0,10);KurisDidesnis(-1,- 1);Ku risDid esnis (1,1. 5);8<F“Abu argumentailygûs”

Error, KurisDidesnis expects its 2nd argument, y,to be of type integer, but received 1.5

Procedurostekstebuvo nurodyta,kad jos abu argumentaiyra sveiki skaiciai (integer).Todel argumentoreikšme 1.5 neleistina.Argumentaisgali buti: eilutes(string), raciona-lus(rational) ir dešimtainiai(numericarbaextended_numeric) skaiciai, sarašai(list), aibes(set), kompleksiniaiskaiciai (complex(integer), complex(rational), complex(float),comp-lex(number)).

Daugiauapie proceduraspanaudojima galite sužinoti surinke ?proc ir paspaude EN-TER.


Baigiantpaminesimedarkeliasnaudingaskomandas,kuriospadedatirti ivairiusreiški-nius.Prisiminkime,kadsprendinysyra tiesinessistemossprendinys:� sprendinys; R � �9$ o � ( $ � e q� q $ p o #3S»� � � ( $ p � e� q $ p oðU

Komandanops()nurodo,iš keliu daliu (MAPLE požiuriu tosdalysvel gali buti skaido-mos)susidedareiškinys, o po komandosop(i, reiškinys)ivykdymo pamatysimereiškinioi-taja komponente:� nops(sprendinys),op(1,sprendinys);� nops(op(1,sprendinys));op(2,op(1,spren dinys ));)B# � �9$ o � ( $ � e q� q $ p o)$ o � ( $ � e q� q $ p o

Paskutini rezultatabuvo galimagauti ir kitu budu:� rhs(op(1,sprendinys)); $ o � ( $ � e q� q $ p oFunkciju rhs() (right handside- dešiniojireiškiniodalis), lhs() (left handside- kairioji

reiškiniodalis)paskirti aiškiainurodoju pavadinimai.

Savarankiško darbo užduotys: a) ištirti homogenine dvieju tiesiniu lygciu su dviemnežinomaisiaissistema, t.y., lygciu dešiniosiospuseslygios nuliui, o pagrindinisdetermi-nantasgali buti ir nulis, ir nelygusnuliui. b) grafiškaiir analiziškaiišspresti netiesiniulygciu sistema:x(x-1)+y=5, -x+y=2, t.y., turimedvi funkcijasf1(x)=5-x(x-1),f2(x)=x+2,sprendžiamelygti f1(x)=f2(x) (dusprendiniaix1,x2) ir apskaiciuojamef1(x1),f1(x2).Taiprandamefunkciju f1(x) ir f2(x) grafiku susikirtimotašku koordinates.Galite pasinaudotišiomiskomandomis(išsiaiškinkiteju paskirti ir rezultatus):� f1:=x -> 5-x*(x-1);� f2:=x -> x+2;� plot([f1(x),f2(x)], x=-3..3);� solve(f1(x)=f2(x),x);� lygtis:=f1(x)-f2(x);� lygtis1:=simplify(lygtis);� solve(lygtis,x);� plot([f1(x),f2(x),lygtis1],x=-3..3);� plot([f1(x),f2(x),lygtis1],x=-2..-1.5);� gr1:=plot(f1(x),x=-3..3,color=black,title=‘Antros� eiles polinomas‘):� gr2:=plot(f2(x),x=-3..3,color=black,title=‘Pirmos� eiles polinomas‘):� gr3:=plot(lygtis1,x=-3..3,color=blue,

26� thickness=3,title=‘Polinomu� skirtumas‘):� plots[display]([gr1,gr2,gr3],title=‘Trys polinomai‘);� plots[display]([gr1,gr2,gr3],insequence=true);� e � � �� ?�$ � K � $À8 O� ( � � �µ��»® )

–6

–4

–2

0

2

4

–3 –2 –1 1 2 3x

$ " >3# " >��0 +��A� ��>I$ � K � $À8 O $ ��0 �� e � ��>I$ � �$ " >3# " >


–6

–4

–2

0

2

4

–3 –2 –1 1 2 3x

–1

–0.5

0

0.5

1

–1.9 –1.8 –1.7 –1.6 –1.5x

28

Trys polinomai

–6

–4

–2

0

2

4

–3 –2 –1 1 2 3x

Antros eiles polinomas

–6

–4

–2

0

2

4

–3 –2 –1 1 2 3x

BENDROS PASTABOS APIE DARBA SU KOMPIUTERIU

Primename,kadijungti ir išjungti kopiuteri reikia tvarkingai,o dirbantaukštosiosemo-


kyklose,reikia laikytis josepatvirtintu taisykliu.Dirbantsukompiuteriu,labaipraverciaanglukalbosžinios.Todeldažnaiskliausteliuose

kursyvupateikiamasatitinkamasangliškasterminas.GreiciausiaiprogramaMAPLE pradesitevykdyti (paleisite),jei supeleskairiuojumyg-

tuku(kai reikespasinaudotidešiniuoju,tai butinaipaminesime)displejausapacioje,kairejespragtelsitemygtukaStartir išskleisiteStartmeniu,iš jo pasirinksiteProgramskomanda,po to Maple ir iš keliu MAPLE sudedamuju daliu supele(ateityjepraleisime,kad reikiaspaustikair ij i mygtuka) pasirinksiteMaple6 (skaicius atitinka programosversija). Betekranegalite pamatyti ir programospiktograma, kuria lengva pažinti pagalklevo lapa,nesMAPLE išvertusreiškiaklevas(programasukurtaKanadoje),ir kuria reikia spragteltigreitaidu kartus.Taip pradedamosvykdyti daugelisžinomu programu: tekstoredaktoriusWORD, skaiciuokle EXCEL, statistikiniai paketai SAS, SPSSir kt. Atliktus skaiciavi-mus,surinktustekstusišsaugositefailuose, dar vadinamuosebylomis (files), ivardintosenedalijamoseinformacijosporcijose.Jieirašomii trij u tipu informacijoskaupiklius :

a) i diskelius (lankscius diskelius, disketiniuskaupiklius- discets), žymimusraidemisA, B;

b) i kietadiska (diskini kaupikli - hard disc), žymima raidemisC, D ...;c) i CD-ROM kaupikli;Butina tureti svarbiu failu kopijaskelioseskirtingosevietose.Kaupikliuosebunalabai

daugir ivairios informacijos,kurios organizacijayra hierarchine. Ja sudaroivairiu lyg-menu katalogai(aplankai- directories,subdirectories,folders). Kataloga sudarofailai irsmulkesni (žemesniolygmens)katalogai(pvz., C). Su programomisWINDOWS EXP-LORER(Windows žvalgiklis) ir MY COMPUTER(manokompiuteris)galimaperžiuretiir tvarkyti katalogusir failus: kurti naujus,trinti senus,keisti ju pavadinimus,kopijuoti(copy) arbaperkelti (move) juosi kita vieta.

Failo pavadinimas susidedaiš dvieju daliu, atskirtu tašku: vardo (name) ir pletinio(extension). Anksciau failo vardegalejo buti iki 8, pletinyje - iki 3 simboliu. O dabaržymiai daugiau,pvz., varda gali sudaryti iki 255 simboliu (skaiciu, didžiuju ir mažujuraidžiu, ..., betnevartoti i prieki "/", atgal" Ñ " pasvirusiu brukšniu bei simboliu "

í � * ?| : ;"). Failo vardasdažniausiaiparenkamaspagaljo turini, o pletinys panaudojamasfailorušiai,priklausomybeiprogramu paketuinurodyti.Pletiniu pavyzdžiai:

mws- programaiMAPLE sukurtiemsfailams;doc- tekstoredaktoriausWORDfailams;xls - skaiciuoklesEXCEL failams;txt - tekstiniamsfailams;exe, com- tokie failai yra sukompiliuotosprogramos,paruoštosdarbui.MAPLE failai taippattekstiniai,todel jiemsnepavojingi virusai- ypatingosprogramos,

kurios prilimpa prie tam tikru failu, programu, kurioms veikiant jie gali patekti i kitusfailus,trikdyti ivairiu programu darba,sunaikintikaupikliuoseesancia informacija. Todelbutinatureti savo darbu kopijasir naudotispecialiasprogramas,ieškanciasir naikinanciasvirusus.O virusaidažniausiai"dauginasi"programose,kuriu pletiniaiexe, com,doc,xls.

Failo adresas(path)susidedaiš šiu vardu: kaupiklio, pirmo ir antrolygio katalogu, irgalu galepacio failo vardo. Adresokomponentaiatskiriamisimboliu " Ñ ", o po kaupikliorašomasdvitaškis,pvz.:

a: Ñ egzaminaiÑ klausimai.doc. MAPLE vietoje" Ñ " reikia rašyti" Ñ�Ñ ".

30

Dokumentai,juoskurianciosprogramosdažniausiaimatomivienodosformoslanguose.Programoslango (application window) viršuje yra programosvardas(title) pavadinimojuostoje(title bar), po ja yra meniu juosta(menubar) su išsiskleidžianciais meniuFile,Edit , View ir t.t. suprogramosveikima valdanciomiskomandomis.Dirbantsugrafikais,MAPLE langepo šia juostaatsirandamygtukaigrafiku kurimui ir ištyrimui. Sudetingosprogramosturi ir daugiauirankiu juostu (tool bar) su mygtukais,atitinkanciaisdažniau-siai vartojamaskomandas.Irankiu juostosdažniausiaibuna ivairiuoseprogramoslangokraštuose.

DarbassuprogramaMAPLE užbaigiamas,jei reikia, išsaugantfaile atlikta darba,o poto pasinaudojantMENIU: File - � Exit arbapaspaudusAlt+F4 . Kompiuterisišjungiamas(geriausiaprieštai "išjungti" visasveikianciasprogramas)spragtelejusjauminetamygtukaStart, po to pasirinkusShutDown... ir OK. Reikiapalauktipranešimo,leidžiancio išjungtikompiuteri.

TurinysPratarme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

SIMBOLINI U SKAICIAVIM U PROGRAMA MAPLE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I. VIENO KINTAMOJO FUNKCIJU INTEGRALINIS SKAICIAVIMAS . . . . . . . . . . 31

II. KELI U KINTAMUJU FUNKCIJU DIFERENCIALINIS SKAICIAVIMAS . . . . . . 41

III. PIRMOSIOSEILESDIFERENCIALINESLYGTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471. Diferencialine lygtis ir jos sprendinioradimas. . . . . . . . . . . . . . . . . 47

1.1.Diferencialineslygtiesapibrežimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.2.Diferencialineslygtiessprendimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.3.Sprendiniotikrinimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4.Spendiniografikas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2. Diferencialineslygtieskrypciu laukas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.1.Krypciu lauko braižymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.2.GrafinispaketasDEtools . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3. Radioaktyvumolygtis. Ek sponentinisgesimas . . . . . . . . . . . . . . . . 543.1.Diferencialineslygtiessprendimopavyzdys . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4. Savarankiškosužduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

IV. ANTROSIOSEILESDIFERENCIALINESLYGTYS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571. Bendrojilygtiessprendimoschema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

1.1.Diferencialineslygtiesapibrežimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 571.2.Diferencialineslygtiessprendimas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2. Homogeninelygtis supastoviaiskoeficientais. . . . . . . . . . . . . . . . . 592.1.Realiu šaknu atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.Kartotinesšakniesatvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612.3.Kompleksiniu šaknu atvejis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3. Nehomogenineslygtiessprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.Nehomogenineslygtiessprendimopavyzdys . . . . . . . . . . . . . . . . 633.2.Neapibrežtuju koeficientu metodas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

4. Savarankiškosužduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.1.Spyruoklessvyravimai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691. Diferencialiniu lygciu sistemossprendiniu radimas . . . . . . . . . . . . . . 69

1.1.Diferencialiniu lygciu sistemosapibrežimas . . . . . . . . . . . . . . . . 691.2.Diferencialiniu lygciu sistemossprendimas . . . . . . . . . . . . . . . . 691.3.Autonominessistemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.4.Tiesineshomogeninesdiferencialiniu lygciu sistemossprendinioradimas

matricoseksponentespagalba. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752. Autonominesdiferencialiniu lygciu sistemosplokštumoje . . . . . . . . . . 78

2.1.Netiesinessistemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 792.2.Tiesinessistemos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812.3.Antroseilesdiferencialineslygtiesfazineerdve . . . . . . . . . . . . . . 842.4.Konservatyvioji sistemasuvienulaisveslaisniu . . . . . . . . . . . . . . 87

3. Savarankiškosužduotys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

III laboratorinis darbas

Pirmosioseilesdiferencialineslygtys

Šio laboratoriniodarbotikslassusipažintisupaprastosiomisdiferencialinemislygtimisir ju simboliniu sprendimu. Maple programoješiamtikslui yra naudojamoskomandos:diff, dsolve,eval, subs,plot, fieldplot(paketasplots),DEplot(paketasDEtools).

1. Diferencialine lygtis ir jos sprendinio radimas� restart;

1.1.Diferencialineslygties apibr ežimas�� . Diferencialine lygtimi(DL) vadinamalygtis, siejanti nepriklausomakintamaji � , nežinoma funkcija ��! ir jos ivairiu eiliu išvestines.Diferencialineslyg-tieseile nusako lygtyje esanciosnežinomosfunkcijos išvestinesaukšciausiaeile. Pirmo-sioseilesdiferencialineslygtiesbendrasispavidalasyra" ��$#%�&#%�('� )��*arba

� ' �,+-��$#!�. $/ProgramojeMaplefunkcijos ��! išvestine � ' ��! apibrežiamakomandadiff:� diff(x(t),t); 0021�3 ��! Skliausteliuosenurodomafunkcijasuargumentuir darkartakintamasispagalkuri skai-

ciuojamaišvestine. ProgramojeMaple išvestineužrašomakaip daline išvestine.Diferencialiniu lygciu

� ' �546�879#

�('.�� 7;: � 7

48 1. Diferencialine lygtis ir jos sprendinioradimas

pavyzdžiai:� diff(x(t),t)=3*t^2;� diff(x(t),t)-x(t)*x(t)+t^2=0;00<1�3 ��! =�,4>� 7� 00<1 3 ��! ! : 3 ��! 7@? � 7 �5*Lygciai galimapriskirti varda :� dif_lygtis:=diff(x(t),t)=3*t^2;ACB D

_ EGF2H6I BKJML � 00<1 3 ��! )�,4>� 7� d_l:=diff(x(t),t)=x(t)*x(t)-t^2;A_ E L � 00<1 3 ��! =� 3 ��! 7 : � 7

1.2.Diferencialineslygties sprendimas

Diferencialineslygtiesbendrasissprendinysrandamaskomandadsolve. Komandojenuro-domadiferencialine lygtis arbajosvardasir galimanurodyti ieškomaja funkcija.� dsolve(diff(x(t),t)=3*t^2);3 ��! )��8N ? _ O=P� b_sprendinys:=dsolve(dif_lygtis,x(t));Q

_

JSR.T%UWV.A9B�V F JML � 3 ��! )�5� N ? _ O>PBendrasissprendinys priklausonuovienoslaisvoskonstantos_X�Y . Atskiraji sprendini

galimarasti istatantpradinesalyga i bendraji sprendini� eval(subs(t=0,x(0)=2,b_sprendinys));Z � _ O=P� a_sprendinys:=subs(_C1=2,b_sprendinys);[ _ JSR�T\UWV.A9B�V F JML � 3 ��! =��8N ? Zarbata pati galimaatlikti trumpiau,sprendžiantKošiuždavini

�('.�546� 7 #%��*] =� Z. Diferencialine lygtis(arbajos vardas)ir pradinessalygosrašomostarpfiguriniu skliaus-tu. � a_sprendinys:=dsolve({dif_lygtis,x(0)=2},x(t));[ _ JSR�T\UWV.A9B�V F JML � 3 ��! =�� N ? Z

1.3.Sprendinio tikrinimas

Suradusdiferencialineslygtiessprendini, pravartupatikrinti ar jis yra sprendinys� eval(subs(x(t)=rhs(b_sprendinys),dif_lygtis));

III. PIRMOSIOSEILESDIFERENCIALINESLYGTYS20020113 (1:32) 49

4>� 7 �54=� 7� eval(subs(x(t)=rhs(a_sprendinys),dif_lygtis));4>� 7 �54=� 7Gautostapatybespatvirtina,kadsprendiniaisurastiteisingai.

1.4.Spendiniografikas

Nubraižysimelygties

��'��54C� 7atskiruju sprendiniu grafikus(komandaplot)� sprend1:=dsolve({dif_lygtis,x(0)=0},x(t));� sprend2:=dsolve({dif_lygtis,x(0)=1},x(t));� sprend3:=dsolve({dif_lygtis,x(0)=2},x(t));� sprend4:=dsolve({dif_lygtis,x(1)=4},x(t));JSR.T%UWV.A P L � 3 ��! )�� NJSR�T\UWV.A9^_L � 3 ��! =�� N ? YJSR�T\UWV.AC`aL � 3 ��! =�� N ? ZJSR�T\UWV.AWbcL � 3 ��! =�� N ? 4� plot({rhs(sprend1),rhs(sprend2),rhs(sprend3),� rhs(sprend4)},t=-1..2,x=-1..5);

–1

0

1

2

3

4

5

x

–1 –0.5 0.5 1 1.5 2t

50 2. Diferencialineslygtieskrypciu laukas

Nubraižysimelygties

� ' ��7 : �87Koši uždavinio ��d*e )�fY sprendiniografika(šiuoatveju sprendinioišraiškaneraelemen-

tari)� a_s:=dsolve({d_l,x(0)=1},x(t));

[ _ J�L � 3 ��! =� :�ghi : YZ�j � :lk � 4m� 7�n

Z ? j oqpsr%r%p2tvu$� : 4mw# YZ � 7 k � 4m� 7 : o@p<r\r!p<tvxy� 4mq# YZ � 7

z2{|

: YZ j � :lk � 4m� 7 nZ ? j }o@p<r\r%p2tvuW� Ym=# YZ � 7 k � 4m� 7 ? oqpsr%r%p2tKxy� Ymq# YZ � 7

� plot(rhs(a_s),t=0..0.5,x=-1..3);

–1

0

1

2

3

x

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5t

2. Diferencialineslygtieskryp ciu laukas

� restart;


2.1.Kryp ciu lauko braižymas

Nubraižysimediferencialineslygties

� ' �54C�87krypciu lauka.� dif_lygtis:=diff(x(t),t)=3*t^2;ACB D

_ EGF2H6I BKJML � 00<1 3 ��! )�,4>� 7Diferencialinelygti atitinkanti krypciu laukagrafiškaibraižopaketoplotskomandafield-

plot.� with(plots):� fieldplot([1,rhs(dif_lygtis)],t=-1..1,x=-2..2,� arrows=LINE,color=x);

Warning, the name changecoords has been redefined

–2

–1

1

2

x

–1 –0.5 0.5 1t

2.2.Grafinis paketasDEtools� with(DEtools):GrafiniopaketoDEtoolskomandaDEplot braižokrypciu lauka arbaatskiruosiussprendi-nius.Nubraižysimediferencialineslygties

� ' ��7 : �87krypciu lauka.

52 2. Diferencialineslygtieskrypciu laukas

� d_l:=diff(x(t),t)=x(t)*x(t)-t^2;A_ E L � 00<1 3 ��! =� 3 ��! 7 : � 7

Diferencialineslygtieskrypciu

� ' �� 7 : � 7laukas(butinai reikia nurodyti ir � , ir � kitimo intervalus):

� DEplot(d_l,x(t),t=-1..1,x=-2..2,arrows=LINE);

–2

–1

0

1

2

x(t)

–1 –0.5 0.5 1t

Diferencialineslygties

� ' �� 7 : � 7atskirieji sprendiniai.Pradinessalygosužrašomoslaužtiniuoseskliaustuose!Vietojear-

rows=LINE rašomearrows=NONE;galimanurodyti atskiruju sprendiniu grafiku spalvalinecolor=[red,blue]

� DEplot(d_l,x(t),t=0..1,x=0..5,[[x(0)=1],[x(0)=2/3],� [x(0)=1/3]],arrows=NONE,linecolor=[red,blue,green]);


0

1

2

3

4

5

x(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1t


�('.�� 7;: � 7krypciu laukasir atskirieji sprendiniai:� DEplot(d_l,x(t),t=0..1,x=0..5,[[x(0)=1],[x(0)=2/3],� [x(0)=1/3]],arrows=LINE,color=black,� linecolor=[red,blue,green]);

0

1

2

3

4

5

x(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

54 3. Radioaktyvumolygtis. Ek sponentinisgesimas

3. Radioaktyvumo lygtis. Ek sponentinisgesimas

� restart;with(DEtools):

3.1.Diferencialineslygties sprendimo pavyzdys

Radioaktyvuji atomu skylimaaprašolygtis

� ' � :�~ ��! $# ~.� */

� dl:=diff(x(t),t)=-5*x(t);A E L � 00<1(3 ��! =� :�� 3 ��! DL sprendiniai:

� b_s:=dsolve(dl,x(t));Q_

J�L � 3 ��! )� _ O=P��e��.� 1�� x1:=dsolve({dl,x(0)=1/2},x(t));

� x2:=dsolve({dl,x(0)=1},x(t));

� x3:=dsolve({dl,x(0)=2},x(t));�P L � 3 ��! )� YZ � �� 1�� ^aL � 3 ��! =�5� ��.� 1�� `aL � 3 ��! )� Z � �� 1��

DL sprendiniu grafikai:

� plot({rhs(x1),rhs(x2),rhs(x3)},t=0..1);


0

0.5

1

1.5

2

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

DL krypciu laukas:� DEplot(dl,x(t),t=0..1,[[x(0)=1/2],[x(0)=1],[x(0)=2]],� arrows=LINE,color=black,linecolor=[red,blue,green]);

0

0.5

1

1.5

2

x(t)

0.2 0.4 0.6 0.8 1t

56 4. Savarankiškosužduotys

4. Savarankiškosužduotys

A. Rastibendraji DL sprendini ir nubraižytiDL krypciu lauka:1. � ' �5��\�e� ? ��2�er}�! �� ;2. � ' � Z ��}�!Y ? �! ? �� ? Ys N ;3. � ' �5��2�er}� : �W�er� ;4. � ' ��Y : ��%�]� ;B. IšsprestiKošiuždavini ir nubraižytijo grafika:1. � ' ��Y ? �(�$�\�e�$#%�� j � Z =�,* ;2. � ' �5�(�W�%�]�$#!�� j �9�] =�fY ;3. � ' �� ? �! \�}�� : �! W#!��!Ys )� Z

;4. � ' ��! 7 ? �(��! ? �#%��8Y� =��Y ;C. Rastiatskiraji DL sprendini ir nubraižytiji krypciu lauke:1. � ' �5� 7@? Ye#!��!Ys =� Z

;2. � ' �5�.�9� ? ��r%��;�$#%�� Z )�fY ;3. � ' � : � ? p 3}� � : �! W#!��*e q��Y ;4. � ' � : Z �� ? ��p 3}� � : � 7 $#%��d*e =� Z

;D. Rasti bendraji DL sprendini ir nubraižyti atskiruosiussprendiniusprie atitinkamu

konstantu:1. � ' ��%�9�� ? ��! W#\Xf��Y ;2. � ' ��! 7q? �� ? Y6#\X��fY ;3. � ' ��! 7 : ��$#�X�� Z

;4. � ' �5�.�9� ? � 7 #\X��4 ;E. Rastibendraji DL sprendini ir nubraižytiatskiraji DL sprendini krypciu lauke:1. � ' � m �� ? �$#!��*] )��4�� m ;2. � ' � : Z �� ? p 3}� � : � 7 W#!��d*e )� � ;3. � ' � : � ? p 3}� � : �! \�}�!Y ? � 7 $#!��*] )� Z

;4. � ' � : Z �� ? Y9�� 7 #!��4e q��Y .

IV laboratorinis darbas

Antr osioseilesdiferencialineslygtys

Šio laboratoriniodarbotikslas susipažintisu antroseiles paprastosiomisdiferencialine-mis lygtimis. ŠiamedarbenaudojameMaplekomandas:D(x), (D@@2)(x),diff(x(t),t,t),dsolve,plot.

1. Bendroji lygtiessprendimo schema� restart;

1.1.Diferencialineslygties apibr ežimas�� . Antrosioseilesdiferencialineslygtiesbendrasispavidalasyra

��! "�#�! �$&%('arba

� ) %+*,�-�� $/.ProgramojeMaplefunkcijos

�0�-��$antroji išvestine

� ��$apibrežiamakomandadiff� diff(x(t),t,t);diff(x(t),t$2);132154 2,6 ��$132154 2,6 ��$

Pirmosiosir antrosioseilesišvestinestaippatapibrežiamosoperatoriumiD:� D(x);(D@@2)(x); 7 ��$� 798;:#< $=�-�>$


� : �� ?A@CBEDE�F�! G?HDI�J%K'užrašymopavyzdžiai:� dif_lygtis:=t^2*diff(x(t),t,t)-5/2*t*diff(x(t),t)-2*x(t)=0;

58 1. Bendroji lygtiessprendimoschema

LIM N_ OQP=RES MUT�V %(�

: � 1321=4 2W6 ��$�$&? @D �X�

1154 6 �-��$#$,?AD 6 ��$&%Y'� d_l:=t^2*(D@@2)(x)(t)-5/2*t*D(x)(t)-2*x(t)=0;

L_ O V %(�

: � 7Z8[:\< $/��$/��$W? @D �7 ��$=�-��$W?HD 6 �-��$&%('

1.2.Diferencialineslygties sprendimas

Diferencialineslygtiesbendrasissprendinysrandamaskomandadsolve.� b_s:=dsolve(d_l,x(t));

]_T�V % 6 �-��$&%

_ ^&_ �F`ba _ ^0cd �Bendrasissprendinys priklausonuo dvieju laisvuju konstantu _e�f ir _e D . Atskiraji

sprendini galimarasti istatantpradinessalygas

�� f $&% f �#�! "� f $&%g?ih�j@i bendraji sprendini. Pirmiausiasurandamebendrojosprendinioišvestine.� isv:=diff(b_s,t);

MUT�k�V % 1154 6 �-��$&%(l_ ^&_ �nmi? fD _ ^0c� 8 mjo :#<

Istatomepradinessalygasi bendraji sprendini ir jo išvestine.� l1:=eval(subs(t=1,rhs(b_s)=1));

O[_ V % _ ^&_ a _ ^,c % f� l2:=eval(subs(t=1,rhs(isv)=-9.5));

OQc V %Yl _ ^&_ ? fD _ ^0c %p?ih�. @Sudaromesistema� sys:={l1,l2};

T P T9V %rq_ ^&_ a _ ^,c % f �Gl _ ^W_ ? fD _ ^,c %s?ih.)@ut

Ja išsprende,gaunamekonkreciaslaisvuju konstantu reikšmes.� solve(sys); q_ ^,c %(v.;� _ ^&_ %g?�DG.[t

Istate jasi bendraji sprendini surandameatskiraji sprendini� a_s:=subs(_C1=-2,_C2=3,b_s);

w _ T�V % 6 �-��$x%g?�D,�F`xa vd �Atskiraji sprendini galimarasti ir vienakomanda� a_s:=dsolve({d_l,x(1)=1,D(x)(1)=-9.5},x(t));

w _ T�V % 6 �-��$x%g?�D,�F`xa vd �Nubraižysimeatskirojosprendiniografika

IV. ANTROSIOSEILESDIFERENCIALINESLYGTYS20020113 (1:32) 59

� plot(rhs(a_s),t=0..2,x=-4..6);

–4

–2

0

2

4

6

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2t

2. Homogenine lygtis supastoviais koeficientais

� restart;

yz�� . Antrosioseileshomogeninediferencialine lygtis supastoviais koefi-cientais

�! ) ua|{j�� Ca|}��J%K'� Lx:=(D@@2)(x)(t)+b*D(x)(t)+c*x(t)=0;~�� V %s� 7Z8[:\< $/��$=�-��$,a|{ 7 �-�>$/�-��$�a|} 6 ��$&%Y'

sprendžiamasudarantcharakteristine lygti� char:=lambda^2+b*lambda+c=0;�\� wI� V %+� : a|{X��a�}i%K'Šioslygtiesšaknys� lambd:=solve(char,lambda);

O wI� ]jLJV %g? fD {Wa fD d {: ?�lx}��z? fD {�? fD d {

: ?�lx}pilnai apibrežiaDL bendraji sprendini. Šiosšaknys gali buti abi realiosir skirtingos,

realiossutampanciosir kompleksines.

60 2. Homogenine lygtis supastoviaiskoeficientais

2.1.Realiu šaknu atvejisyz�[y�� . Spresimelygti

�� ?��J%K'�#��'�$&%+DG�� '�$&% f .

� Lx:=(D@@2)(x)(t)-x(t)=0;~�� V %g� 798[:\< $=�-��$=�-��$&? 6 �-��$&%K'� char:=lambda^2-1=0;

� lambd:=solve(char,lambda);�j� wE� V %(� : ? f %('O wI� ]\L�V % f �z? fTadabendrasissprendinysyra

� dsolve(Lx,x(t));6 ��$&%_ ^&_i�

4 a_ ^,c��

8�� 4 <atskirasissprendinys lygus

� ah:=dsolve({Lx,x(0)=2,D(x)(0)=1},x(t));

w � V % 6 �-��$&% vD �4 a fD �

8�� 4 <� plot(rhs(ah),t=-2..2,x=-10..10);

–10

–8

–6

–4

–20

2

4

6

8

10

x

–2 –1 1 2t


2.2.Kartotin esšakniesatvejisyz�[�� . Spresimelygti

�! Ca|vE�� Ca�DG.)D�@I��%('��0��'C$&% f ��! "��'C$&%s?iv�.

� Lx:=(D@@2)(x)(t)+3*D(x)(t)+2.25*x(t)=0;~�� V %g� 798;:#< $=�-��$=�-��$,a�v 7 ��$/��$�a�DG.)D�@ 6 ��$0%K'� char:=lambda^2+3*lambda+2.25=0;� lambd:=solve(char,lambda);�j� wI� V %K� : a|vx�Za�DG.)D�@�%Y'

O wI� ]jL�V %s? f .)@E'�'�'�'�'�'�'�'�? f . @�'�'�'�'�'�'�'�'Tadabendrasissprendinysyra� dsolve(Lx,x(t));6 ��$&%

_ ^W_��8-� mjo : 4 < a

_ ^,c��8�� mjo : 4 < �

atskirasissprendinys lygus� ah:=dsolve({Lx,x(0)=1,D(x)(0)=-3},x(t));

w � V % 6 �-��$&% �8-� mjo : 4 < ? v

D��8-� mjo : 4 < �

� plot(rhs(ah),t=0..5,x=-0.5..1);

–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

1 2 3 4 5t

62 3. Nehomogenineslygtiessprendimas

2.3.Kompleksiniu šaknu atvejisyz�Q�� . Spresimelygti

�! ) Ca�DI�� a�D�@E' f ��%K'��0��'C$&% f �#�! "��'C$x%p? f .� Lx:=(D@@2)(x)(t)+2*D(x)(t)+2501*x(t)=0;~z� V %s� 7 8;:#< $=�-�>$/�-��$,a�D 7 ��$=�-��$�a�D�@�' f 6 �-��$W%('� char:=lambda^2+2*lambda+2501=0;� lambd:=solve(char,lambda);�j� wE� V %K� : a�D&�Za�D�@�' f %('O wI� ]jLJV %g? f a|@�'&��X? f ?�@E'x�

Tadabendrasissprendinysyra� dsolve(Lx,x(t));6 �-��$x%_ ^&_��

8-� 4 <��#�;� ��@�'W��$za_ ^,c��

8-� 4 <��=�� "@E'W��$atskirasissprendinys lygus� ah:=dsolve({Lx,x(0)=1,D(x)(0)=-1},x(t));w � V % 6 �-��$x% �

8-� 4 <u�/�C� �"@E'W��$� plot(rhs(ah),t=0..2,x=-1..1);

–1

–0.8

–0.6

–0.4

–0.20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2t

3. Nehomogenineslygtiessprendimas� restart;


�z�� . Antrosioseileshomogeninediferencialine lygtis supastoviais koefi-cientais

�! ) ua|{��! Ca|}��J%+*� Lx:=(D@@2)(x)(t)+b*D(x)(t)+c*x(t);~�� V %g� 7 8;:#< $=�-��$=�-��$,a|{ 7 �-�>$/��$�a|} 6 ��$� dl:=Lx=f(t);L O V %�� 7 8[:\< $/��$/��$�a�{ 7 ��$=�-��$�a|} 6 �-��$&%Y ��-��$

3.1.Nehomogenineslygtiessprendimo pavyzdys�z�[y�� . Spresimelygti

¡��-��$�%¢�! ) �?�l��! �a|vE�J% f ' � ��£��?�DI��$/��'�$W% f �� '�$&%g?iv.

Ši sprendini galimarastinuosekliaipagalbendrajaschema.� Lx:=diff(x(t),t,t)-4*diff(x(t),t)+3*x(t);� f:=10*exp(-2*t);~�� V %g� 1 21=4 2W6 ��$�$,?�l�� 11=4 6 �-��$#$�a|v 6 �-��$* V % f ' �

8-��: 4 <Surandamehomogenineslygties

¡��$x%K'bendraji sprendini� char:=lambda^2-4*lambda+3=0;� lambd:=solve(char,lambda);� bh:=dsolve(Lx,x(t));�\� wI� V %+� : ?�l��a�vZ%('

O wI� ]jL�V %Kv� f] � V % 6 ��$x%_ ^W_��

4 a_ ^,c��

8 m 4 <Atskirojo nehomogenineslygtiessprendinioieškomepavidalu� anh:=C*exp(-2*t); wI¤ � V % e��

8-��: 4 <� eq:=eval(subs(x(t)=anh,Lx=f));¥j¦ V % f @ e§�

8-�>: 4 < % f ' �8-�>: 4 <

Surandamekonstanta e� _C:=solve(eq,C);

_ ^ V % Dv

Užrašomebendraji nehomogenineslygtiessprendini� bnh:=rhs(bh)+subs(C=_C,anh);


] ¤ � V % _ ^&_��4 a

_ ^0c��8 m 4 < a D

v �8-�>: 4 <

� isv:=diff(bnh,t);

MUT�k¨V %_ ^&_��

4 a|v_ ^,c��

8 m 4 < ? lv �8-��: 4 <

Istatomepradinessalygasi bendraji sprendini ir jo išvestine.

� l1:=eval(subs(t=0,bnh=1));

� l2:=eval(subs(t=0,isv=-3));

O[_ V % _ ^&_ a _ ^,c aDv % f

OQc V % _ ^&_ a|v _ ^,c ?lv %g?iv

Sudaromesistema

� sys:={l1,l2};

T P T9V %pq_ ^&_ a _ ^,c a

Dv % f � _ ^W_ a�v _ ^,c ?

lv %s?ivt

Ja išsprende,gaunamekonkreciaslaisvuju konstantu reikšmes.

� solve(sys);

q_ ^&_ %

lv � _ ^,c %g? f t

Istate jasi bendraji sprendini surandameatskiraji sprendini

� a_s:=subs(_C1=-4/3,_C2=-1,bnh);

w _ T�V %s? lv �4 ? �

8 m 4 < a Dv �8-�>: 4 <

Atsakymapatikrinamekomandadsolve

� anh:=dsolve({(D@@2)(x)(t)-4*D(x)(t)+3*x(t)=f,� x(0)=1,D(x)(0)=-3},x(t));

wI¤ � V % 6 ��$&% Dv��8-�>: 4 < a l

v��4 ? �

8 m 4 <Nehomogenineslygtiessprendinysyra

� plot(rhs(anh),t=-2..2,x=-5..5);


–4

–2

0

2

4

x

–2 –1 1 2t

3.2.Neapibrežtuj u koeficientu metodas

� restart;�z�[�� . Spresimelygti

¡��-�>$&%Y�� ) G?HDI�! uaH�©% � ��£0�-��$�a��0��'�$�% f �#�! "��'C$x%Y'�.� Lx:=diff(x(t),t,t)-2*diff(x(t),t)+x(t);f:=exp(t)+t;~z� V %g� 152154 2,6 �-��$#$,?HDª� 1154 6 ��$�$0a 6 �-��$

* V % �4 a��

Surandamehomogenineslygties¡��$x%K'

bendraji sprendini� char:=lambda^2-2*lambda+1=0;� lambd:=solve(char,lambda);� bh:=dsolve(Lx,x(t));

�\� wI� V %+� : ?AD&��a f %('O wI� ]jL�V % f � f] � V % 6 ��$x%_ ^&_��

4 a_ ^,c��

4 �Atskirojo nehomogenineslygtiessprendinioieškomepavidalu� anh:=C*t^2*exp(t)+A*t+B;wI¤ � V % e �

:�4 a|«¬�za�


� eq:=eval(subs(x(t)=anh,Lx=f));¥j¦ V %KD e��4 ?HDW«|a�«��za|�% �

4 aH�� eq1:=eval(subs(t=-1,eq));eq2:=eval(subs(t=0,eq));� eq3:=eval(subs(t=1,eq));¥j¦

_ V %+D e��8��X®�< ?Av&«|a|¯% �

8-�z®n< ? f¥j¦c V %KD e ?HDW«|a��% f¥\¦5° V %(D e�� ?�«±a��% � a f

Sudaromesistema� sys:={eq1,eq2,eq3};T P T�V %pqID e��8��X®�< ?Av&«|a|�% �

8-�z®n< ? f ��D e ?ADW«|a|¯% f �!D e�� ?A«�a|�% � a f tJa išsprende,gaunamekonkreciaslaisvuju konstantu reikšmes.� solve(sys);

q3g%+DG�«+% f � e %²fD tIstate jasi bendraji sprendini surandameatskiraji sprendini� a_s:=subs(A=1,B=2,C=1/2,anh);

w _ T�V % fD �:�4 a��a|D

Užrašomebendraji nehomogenineslygtiessprendini� bnh:=rhs(bh)+a_s;

] ¤ � V % _ ^W_��4 a

_ ^,c��4 ��a fD �

:�4 aH��a�D

� isv:=diff(bnh,t);

MUTjk�V %_ ^&_��

4 a_ ^,c��

4 �za_ ^,c��

4 a �4 �za fD �

:�4 a f

Istatomepradinessalygasi bendraji sprendini ir jo išvestine.� l1:=eval(subs(t=0,bnh=1));

O;_ V % _ ^&_ a|D9% f� l2:=eval(subs(t=0,isv=0));

OQc V % _ ^&_ a f a _ ^0c %Y'Sudaromesistema� sys:={l1,l2};T P T�V %pq

_ ^&_ a f a _ ^0c %('�� _ ^&_ a�D9% f tJa išsprende,gaunamekonkreciaslaisvuju konstantu reikšmes.� solve(sys); q

_ ^&_ %p? f � _ ^,c %('GtIstate jasi bendraji sprendini surandameatskiraji sprendini� a_s:=subs(_C1=-1,_C2=0,bnh);

w _ T�V %g? �4 a�Dªa³fD �

:�4 a��

Atsakymapatikrinamekomandadsolve


� anh:=dsolve({(D@@2)(x)(t)-2*D(x)(t)+x(t)� =f,x(0)=1,D(x)(0)=0},x(t));

wI¤ � V % 6 �-��$�%s? �4 a�Dia fD �

:�4 a��

� plot(rhs(anh),t=-2..2,x=-5..5);

–4

–2

0

2

4

x

–2 –1 1 2t

4. Savarankiškosužduotys� restart;

4.1.Spyruoklessvyravimai

Spyruoklesvirpesiusaprašoantrosioseilesdiferencialine lygtis,� eq:=diff(x(t),t,t)+2*h*diff(x(t),t)+k*k*x(t)=a*sin(w*t);¥j¦ V %g� 152154 2W6 �-��$#$�a�D&´9� 1154 6 �-��$#$�a|µ : 6 �-��$x%(¶ �#�[� �-·��$Parametrai:h – trintieskoeficientas,k – spyruoklesstandumas,a sinwt – išorine jega,a – amplitude, w – dažnis.Rastilygtiessprendini suparametrais:1) h=2, k=1, a=0 ( h ¸ k – didele trintis palyginussu standumu,neraišorines jegos).

Spendinysgreitai gesta.2) h=1, k=1, a=0 ( h=k – yra trintis, neraišorinesjegos).Sprendinysgesta.3) h=1/2, k=1, a=0 (0 ¹ h ¹ k – mažatrintis, nera išorines jegos). Sprendinysgesta

svyruodamas.4) h=0, k=1, a=0 ( h=0 – svyravimai be trinties,neraišorinesjegos).Sprendinyshar-

moniškaisvyruoja.


5) h=1/2,k=1, a=2, w=3 ( 0 ¹ h ¹ k – yratrintis, veikiaišorinejega,subetkokiudažniu).Sprendinysnusistovi i harmoniniussvyravimus,kuriuossukelia išorine jega.

6) h=1, k=1, a=2, w=3 ( h=k – yra trintis, veikia išorine jega,su bet kokiu dažniu).Sprendinysnusistovi i harmoniškussvyravimus,kuriuossukelia išorine jega.

7) h=2, k=1, a=2, w=3 ( h ¸ k – didele trintis, veikia išorine jega,subetkokiu dažniu).Sprendinysnusistovi i harmoniškussvyravimus,kuriuossukelia išorine jega.

8) h=0, k=1, a=2, w=3 ( w ¸ k arbaw ¹ k – neratrinties,veikia išorine jega,nesuderintasuvidiniais svyravimais). Sprendinyssudetingaisvyruoja.

9) h=0, k=1, a=2, w=1 ( w=k – neratrinties,veikia išorine jega,suderintasuvidiniaissvyravimais). Sprendinyssvyruojair svyravimu amplitudeauga(rezonansas).

suivairiomispradinemissalygomis:A) x(0)=1,x’(0)=1,B) x(0)=1,x’(0)=0,C) x(0)=1,x’(0)=-1.

V laboratorinis darbas

Diferencialiniu lygciu sistemos

Šio laboratoriniodarbotikslassusipažintisu pirmoseilesdiferencialiniu lygciu sistemo-mis. ŠiamedarbenaudojameMaple komandas:dsolve, odeplot(paketasplots), DEp-lot(paketasDEtools),DEplot3D(paketasDEtools),exponential(paketaslinalg),

1. Diferencialiniu lygciu sistemossprendiniu radimas� restart;

1.1.Diferencialiniu lygciu sistemosapibr ežimas

Dvieju diferencialiniu lygciu sistemosbendrasispavidalasyra��

� sys:=diff(x(t),t)=-3*t*x(t)+y(t),� diff(y(t),t)=x(t)-3*t*y(t);� �� ! ��"�$#&%' ! �(��*),+*�(�� -��.� +*�(��/� ! �(��#0%'1+*�(��1.2.Diferencialiniu lygciu sistemossprendimas

Diferencialineslygtiesbendrasissprendinysrandamaskomandadsolve.� bs:=dsolve({sys},{x(t),y(t)});2 �� 43 +*�(��"�6587(9;:=<?> �(@�A � _ B"CED�FHG�I ��) _ BJLK.M8D�I �(�� ! �(��"�6587(9;:=<?> �(@�A � _ B'CEKNMOD�I ��) _ BJLD�FHG�I �(��=PBendrasissprendinys priklausonuo dvieju laisvuju konstantu _QSR ir _Q�T . Atskiraji

sprendini galimarasti istatantpradinessalygas�U��VO�W� R ��*��VO�"�4# R

70 1. Diferencialiniu lygciu sistemossprendiniu radimas

i bendraji sprendini.� s1:=bs[1];s2:=bs[2];� C � ��+*�(��W��5X7�9;:=<�> �(@?A � _ B"CYD�FHG�I ��) _ BJLK.M8D�I �(�� J � � ! �(��W��5X7�9;:=<�> �(@?A � _ B"CYKNM8D�I ��) _ BUJZD�F[G�I �(�� l1:=eval(subs(t=0,rhs(s1)=1));� l2:=eval(subs(t=0,rhs(s2)=-1));\ C � � _ BJ � R\ J � � _ B"C �4# RIstate vietojelaisvuju konstantu šiasreikšmesgausimeatskiraji sprendini.� as:=subs(_C1=-1,_C2=1,bs);] �^� �43 +*�(��"�6587(9;:=<?> �(@�A �_# D�FHG�I �(��) KNMOD�I �(��N� ! �(��W��587(9;:=<?> �(@?A �_# K.M8D�I �(��) D�FHG�I �� PTa pati sprendini gautumevykdydamivienakomanda.� as:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=-1},{x(t),y(t)});� xa:=as[1];ya:=as[2];] �^� �43 +*�(��"�6587(9;:=<?> �(@�A �_# K.M8D�I �(��) D�F[G�I �(��N� ! �(��W��587(9;:=<?> �(@?A �_# D�F[G`I �(��) KNMOD�I �� Pa1] � �b+*�(��W��587(9;:=<?> �(@?A �_# K.M8D�I �(��) D�FHG�I �� ] � � ! �(��/��587(9;:=<?> �(@�A �_# D�FHG�I �(��c) K.M8D�I �(��Braižomekomponenciu grafikus� plot({rhs(xa),rhs(ya)},t=-0.1..2,x=-2..2);

–2

–1

0

1

2

x

0.5 1 1.5 2t

ir sprendiniografika trimatejeerdveje.

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 71� with(plots):sp:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=-1},{x(t),� y(t)� },type=numeric);odeplot(sp,[t,x(t),y(t)],0..2,� labels=["t","x","y"],color=red);

Warning, the name changecoords has been redefined�edf� � proc�_g�h�ikj�l _ a;�L�.� � endproc

Pastebesime,kad sprendinys šiuo atveju turi buti surastasskaitiškai. Pažymejus žy-mekliu pati grafika, atsirandagrafikos irankiu meniu juosta. Naudojantisja arbatiesiognuspauduskairij i pelesmygtuka, galimekeisti koordinatiniu ašiu kryptis ir surastivaiz-džiausiagrafiko padeti, tametarpe,ir grafiko projekcijasi koordinatinesplokštumas.

Ta pati gaunameir paketoDEtoolskomandapDEplot3d.

� with(DEtools):

� DEplot3d({sys},{y(t),x(t)� },t=0..2,[[x(0)=1,y(0)=-1],[x(0)=1,y(0)=0]],� scene=[t,x(t),y(t)],steps� ize=0.1,linecolor=[red,black]);


00.4

0.81.2

1.62

t

0.20.4

0.60.8

1

x(t)

–0.8

–0.4

0

y(t)

Šiamebrežinyje nubrežti nagrinejamossistemosdu sprendiniaisu pradinemissalygo-mis: 1) x(0)=1,y(0)=-1(raudonai);2) x(0)=1,y(0)=0(juodai).

1.3.Autonominessistemos

Dvieju diferencialiniu lygciu autonominessistemosbendrasispavidalasyrax’=f(x,y),

� � �b�*�(�c�� restart:with(DEtools):� sys:=diff(x(t),t)=x(t)-y(t),� diff(y(t),t)=3*x(t)+y(t);� ��Z� � ��.� ! �(��"� ! �(��U#f+*�(�� +*�(��/��% ! �(��c)m+*�(�� ps1:=[x(1)=1,y(1)=1];ps2:=[x(1)=2,y(1)=2];� ps3:=[x(1)=3,y(1)=3];d�� C � �on ! � R �"� R ��+*� R �"� RNpd�� J � �on ! � R �"� T ��+*� R �"� T�pd��Nqr� �on ! � R �"��%`��+*� R �"��% p

Patikrinamearsistemayra autonomine.� autonomous({sys},{x,y},t);s g t`uAutonominessistemosvektorinislaukasbražomaskomandaDEplot.

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 73� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=-4..4,[ps1,ps2,ps3],x(t)=-10..10,� y(t)=-10..10,linecolor=blue,color=black,� stepsize=0.1);

–10

–5

0

5

10

y

–10 –5 5 10x

Trij u diferencialiniu lygciu autonominessistemos� dl1:=diff(x(t),t)=x(t)-y(t);� dl2:=diff(y(t),t)=3*x(t)+y(t)-z(t);dl3:=d� iff(z(t),t)=3*x(t)+y(t)+z(t);sys:=dl1,dl2,dl3;fazinekreivenubrežiakomandaDEplot3d.v \ C � � �� ! �(��W� ! ��#f+��v \ J � � �� +*�(��W��% ! �(��),+*�(��U#fw8��v \ qr� �� w8��"��% ! ��x)m+*�(��c)mwO�(��=��^� � ��.� ! �(��W� ! �(��U#f+*�(�� .� +*�(��/��% ! �(��c)m+*�(��U#fw8�� .� w8��W�6% ! �(��x),+��),w8�(�� DEplot3d({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-8..8,[[x(1)=1,y(1)=1,z(1)=1]],x(t)=-1..2,y(t)=-1..2,� z(t)=-1..2,scene=[x(t),y(t),z(t)],stepsize=0.1,� linecolor=t);


–1–0.5

00.5

11.5

2

x(t)

–1–0.5

00.5

11.5

2

y(t)

–0.50

0.51

1.52

z(t)

Ta pacia komandagalimanubrežti ir šiossistemosintegraliniu kreiviu projekcijas(pa-vyzdyjegautaprojekcijai plokštuma(y,z)).� DEplot3d({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-8..8,[[x(1)=1,y(1)=1,z(1)=1]],x(t)=-1..2,� y(t)=-1..2,z(t)=-1..2,s� cene=[t,y(t),z(t)],stepsize=0.1,linecolor=t);

–8–4

04

8

t

–1–0.5

00.5

11.5

2

y(t)

–0.50

0.51

1.52

z(t)

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 75

1.4.Tiesineshomogeninesdiferencialiniu lygciu sistemossprendinio radimas matri-coseksponentespagalba

� restart:with(DEtools):IšspresimeKoši uždavini

� � � T �y),�;��c�eV8�"�6V�� T ��),z��*�eV8�'��%`�

z’=2z, z(0)=1. �� dl1:=diff(x(t),t)=1/2*x(t)+y(t);� dl2:=diff(y(t),t)=1/2*y(t)+z(t);dl3:=� diff(z(t),t)=1/2*z(t);sys:=dl1,dl2,dl3;v \ C � �� ! ��"� RT ! �(��c)m+*�(��v \ J � � �� +*�(��W� RT +*�(��x),w8��v \ q{� �� w8��"� RT wO�(�� ! ��"� RT ! ��)m+*�� +*�(��"� RT +��),w8�(��N� �� w8�(��/� RT w8��

Braižomefazineskreivesprojekcijasi koordinatinesplokštumasir fazineskeive trimat-ejeerdveje:

a) i plokštuma(y,z)� DEplot({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-20..10,[[x(0)=0,y(0)=2,z(0)=1]],� x(t)=-0.5..1,y(t)=-0.5..2,z(t)=-� 0.5..1,scene=[y(t),z(t)],stepsize=0.1,linecolor=t);


–0.4

–0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

z(t)

–0.5 0.5 1 1.5 2y(t)

b) i plokštuma(x,y)� DEplot({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-20..10,[[x(0)=0,y(0)=2,z(0)=1]],� x(t)=-1..1,y(t)=-0.5..3,z(t)=-0.� 5..2,scene=[x(t),y(t)],stepsize=0.1,linecolor=t);

–0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

y(t)

–1 –0.5 0.5 1x(t)

c) i plokštuma(x,z)

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 77� DEplot({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-20..10,[[x(0)=0,y(0)=2,z(0)=1]],� x(t)=-1..1,y(t)=-0.5..2,z(t)=-0.� 5..1.5,scene=[x(t),z(t)],stepsize=0.1,linecolor=t);

–0.5

0.5

1

1.5

z(t)

–1 –0.5 0.5 1x(t)

d) fazinekreive� DEplot3d({sys},{x(t),y(t),z(t)� },t=-20..10,[[x(0)=0,y(0)=2,z(0)=1]],x(t)=-1..1,� y(t)=-0.5..2,z(t)=-0.� 5..2,scene=[x(t),y(t),z(t)],stepsize=0.1,linecolor=t);

–0.8–0.4

00.4

0.8

x(t)

–0.50

0.51

1.52

y(t)

00.5

11.5

2

z(t)

78 2. Autonominesdiferencialiniu lygciu sistemosplokštumoje

Tiesineshomogeninesdiferencialiniu lygciu sistemossprendinioišraiškalengvai randa-maeksponentespagalba.Reikalingaspaketaslinalg.� with(linalg):

Warning, the name adjoint has been redefined

Warning, the protected names norm and trace havebeen redefined and unprotected

Pirmiausiaužrašomašia sistema atitinkantimatrica� A:=matrix([[1/2,1,0],[0,1/2,1],[0,0,1/2]]);

| � �}~~~~~~�

RT R VV RT RV V RT��

ir surandamašiosmatricoseksponente.� expAt:=exponential(A*t);u?a d�� s � � }~~� 587��<�> �(A �587��<?> �(A RT _>x587��<?> �(AV 587��<?> �(A �5X7��<?> �(AV V 587��<?> �(A��

Iveskimepradiniu salygu vektoriu� x0:=matrix([[0],[2],[1]]);a1� � � }� V T R��

Atskirasissprendinys lygusmatricoseksponentesir šio vektoriaussandaugai.� as:=multiply(expAt,x0);] �^� � }~~� T �587��<�> �(A ) RT _>�5X7��<?> �(AT 587��<?> �(A )m�587��<�> �(A587��<?> �(A� ��

Ta pati atsakymagautumetaikydamikomandadsolve.� as:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=2,z(0)=1},� {x(t),y(t),z(t)});] �� 43�w8�(��"�6587��<�> �(A ��+*��"��x) T ��5X7��<?> �(A � ! �(��W� RT �(_>/),�"��587��<?> �(A P2. Autonominesdiferencialiniu lygciu sistemosplokštumoje


2.1.Netiesinessistemos� restart:with(DEtools):Ištirsimenetiesinediferencialiniu lygciu sistema

��)m�U� R #f�U� T #{�x� T � �� 4#��)m�*� R #f�U� T #{�x� T � �

� dl1:=diff(x(t),t)=-y(t)+x(t)*(1-x(t)^2-y(t)^2);� dl2:=diff(y(t),t)=x(t)+y(t)*(1-x(t)^2-y(t)^2);� sys:=dl1,dl2;v \ C � �� ;! �(��W�$#�+*�(��) ! �(��*� R # ! �(��>�#f+��_>��v \ J � � �� +*��W� ! �(��c)m+*�(��x� R # ! �(��_>&#{+*�(��> �� ! ��"�$#�+*�(��x) ! �(��*� R # ! ��_>�#f+*�(��> � �-��.� +*�(��/� ! �(��),+*�(��*� R # ! ��_>�#f+*�(��> �Braižomešiossistemosvektorini lauka.� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=-4..4,x(t)=-2..2,y(t)=-2..2,� linecolor=blue,color=blac� k,stepsize=0.1);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x


Nubraižysimesrendinius,tenkinanciuspradinessalygas:1) x(0)=0.1,y(0)=0;2) x(0)=1,y(0)=0;3) x(0)=2,y(0)=0.� ps1:=[x(0)=0.1,y(0)=0];� ps2:=[x(0)=1,y(0)=0];ps3:=[x(0)=2,y(0)=0];d;� C � �$n ! ��V8�"�� R ��+*��VO�"��V pd�� J � �on ! ��VO�"� R ��+*��V8�"��V pd��Nqr� �on ! ��VO�"� T ��+*��V8�"��V p� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=0..7,[ps2,ps1,ps3],� x(t)=-2..2,y(t)=-2..2,linecolor=[b� lue,red,green],color=black,stepsize=0.1);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Paprastainetiesinessistemosneišsprendžiamosnet su komandadsolve (jeigu nesulau-kiatesprendimorezultato,nuspauskitepagrindinejemeniujuostojeSTOP).� # as:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},{x(t),y(t)});

Taciau, kaip matomeiš grafiko, skaitiškaisprendini visadagalimasurasti. Braižomesprendiniu kreives.� DEplot3d({sys},{x(t),y(t)� },t=0..7,[ps2,ps1,ps3],x(t)=-2..2,� y(t)=-2..2,scene=[t,x(t),y(t)],step� size=0.1,linecolor=[blue,red,green]);


01

23

45

67

t

–2–1

01

2

x(t)

–1

0

1

2

y(t)

2.2.Tiesinessistemos

� restart:with(DEtools):with(linalg):



Ištirsimetiesinediferencialiniu lygciu sistema� � �� _ R8R �y)�� _ R�T �;�� _T�R �y),� _T8T ��

Šia sistema pilnai apibrežiamatricaA:� A:=matrix([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]);� X:=matrix([[x(t)],[y(t)]]);| � �� ] _ C8C ] _ C�J] _ J1C ] _ J8J$�� ! ��+*��

82 2. Autonominesdiferencialiniu lygciu sistemosplokštumoje� dl1:=diff(x(t),t)=row(multiply(A,X),1);� dl2:=diff(x(t),t)=row(multiply� (A,X),2);sys:=dl1,dl2;v \ C � � ��.�;! �(��/�$n�] _ CXC ! ��)�] _ C�J +*�(�� pv \ J � ��.� ! �(��/�$n�] _ JOC ! ��)�] _ JXJ +*�(�� p� �� ! ��"��n�] _ CXC ! �(��)�] _ C�J +*�(�� p � �� ;! �(��W��nH] _ J1C ! �(��c)6] _ J8J +*�� pDuotamatricaA� A:=matrix([[a_11,a_12],[a_21,a_22]]);| � � � ] _ C8C ] _ C�J] _ J1C ] _ J8J$�kuria atitinkadiferencialiniu lygciu sistema� dl1:=diff(x(t),t)=x(t)-y(t);� dl2:=diff(y(t),t)=x(t)+y(t);sys:=dl1,dl2;v \ C � � �� ! �(��W� ! ��#f+��v \ J � �� +*�(��W� ! ��),+�� ! ��W� ! ��#{+*�� -�� +*�(��W� ! ��),+�� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=0..7,x(t)=-2..2,y(t)=-2..2,� linecolor=blue,color=black� ,stepsize=0.1);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

Nubraižysimesrendinius,tenkinanciuspradinessalygas:1) x(0)=1, y(0)=0; 2) x(0)=1,y(0)=1;3) x(0)=0,y(0)=1.

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 83� ps1:=[x(0)=1,y(0)=0];ps2:=[x(0)=1,y(0)=1];� ps3:=[x(0)=0,y(0)=1];d�� C � �on ! ��VO�"� R ��+*��V8�"��V pd�� J � �on ! ��VO�"� R ��+*��V8�"� RNpd��Nqr� �on ! ��VO�"��V`��+*��V8�"� RNp� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=-10..10,[ps2,ps1,ps3],� x(t)=-2..2,y(t)=-2..2,linecolor� =[blue,red,green],color=black,stepsize=0.1);

–2

–1

0

1

2

y

–2 –1 1 2x

� as1:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=0},{x(t),y(t)});� as2:=dsolve({sys,x(0)=1,y(0)=1},{x(t),y(t)});� as3:=dsolve({sys,x(0)=0,y(0)=1},{x(t),y(t)});] � C � �$3 ! ��"��5 � K.M8D �(�� `+��W��5 � D�FHG ��=P] � J � �$3 +*��"��5 � � KNMOD ��) D�FHG �(�� ! �(��/�$#&5 � � D�FHG ��# K.M8D �(�� P] �Nq�� 3 ! �(��"��#&5 � D�FHG �� +*�(��/��5 � K.M8D �(��=PBraižomesprendiniu kreives.� DEplot3d({sys},{x(t),y(t)� },t=-10..10,[ps2,ps1,ps3],x(t)=-2..2,� y(t)=-2..2,scene=[t,x(t),y(t)],s� tepsize=0.1,linecolor=[blue,red,green]);


–8–4

04

8

t

–2–1

01

2

x(t)

–1

0

1

2

y(t)

2.3.Antr oseilesdiferencialineslygties fazineerdve� restart:with(DEtools):with(linalg):



Antroseilesdiferencialine lygtis aprašodaugeli matematiniu modeliu mechanikoje

�� c��N��c�eV8�W��V`��eV8�"��1V`�

aprašodaugeli matematiniu modeliu mechanikoje. Pažymeje ��b� � , šia lygti suvedameisistema:

��;��c�eV8�"��V`�


��6��( ��c�� *��V8�"��V��IštirsimeVan-der-Polio lygtix"=(1-x^2)x’-x.Šia lygti atitinkadiferencialiniu lygciu sistema.� dl1:=diff(x(t),t)=y(t);� dl2:=diff(y(t),t)=y(t)*(1-x(t)*x(t))-x(t);sys:� =dl1,dl2; v \ C � �� ! �(��W��+��v \ J � � ��.� +*�(��"��+*�(��*� R # ! ��_>��# ! ��=�� ;! �(��"��+*�(�� .� +*�(��"��+*�(��*� R # ! ��_>��# ! �� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=-10..10,x(t)=-4..4,y(t)=-4..4,� linecolor=blue,color=bl� ack,stepsize=0.01);

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Nubraižysimesrendinius,tenkinanciuspradinessalygas:1) x(0)=0.1,y(0)=0;2) x(0)=2,y(0)=-3.� ps1:=[x(0)=0.1,y(0)=0];� ps2:=[x(0)=2,y(0)=-3];d;� C � �$n ! ��V8�"�� R ��+*��VO�"��V p

86 2. Autonominesdiferencialiniu lygciu sistemosplokštumojed;� J � ��n ! ��V8�"� T ��+*��VO�"�$#&% p� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=0..10,[ps1,ps2],� x(t)=-4..4,y(t)=-4..4,linecolor=[blue� ,red],color=black,stepsize=0.1);

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4x

Braižomesprendiniu kreives.

� DEplot3d({sys},{x(t),y(t)� },t=0..10,[ps1,ps2],x(t)=-4..4,y(t)=-4..4,scene=[t,x(t),y(t)],stepsiz� e=0.1,linecolor=[blue,red]);


02

46

810

t

–4–2

02

4

x(t)

–2

0

2

4

y(t)

2.4.Konservatyvioji sistemasuvienu laisveslaisniu� restart:with(DEtools):with(linalg):



Konservatyvioji sistemasuvienulaisveslaisniuaprašomalygtimi

��6��(�� U��VO�/�b�;V��VO�"��V��

arbasistema: ��;��c�eV8�"��V`��6��;�N��*��VO�"��V��


Ištirsimematematinesšvytuokleslygtix"=-sin x.Šia lygti atitinkadiferencialiniu lygciu sistema.� f:=t->-sin(t);dl1:=diff(x(t),t)=y(t);� dl2:=diff(y(t),t)=f(x(t));sys:=d� l1,dl2; � � ��'��# D�FHG �(��v \ C � �� ;! �(��W��+��v \ J � �� +*�(��"��# D�FHG � ! �(�� ! ��"��+*�� +*�(��"��# D�FHG � ! �(�� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=-10..10,x(t)=-4..10,y(t)=-4..4,� linecolor=blue,color=b� lack,stepsize=0.01);

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4 6 8 10x

Nubraižysimesrendinius,tenkinanciuspradinessalygas:1) x(0)=0,y(0)=2.2;2) x(0)=0,y(0)=2;3) x(0)=0,y(0)=1.8.� ps1:=[x(0)=0,y(0)=2.2];ps2:=[x(0)=0,y(0)=2];� ps3:=[x(0)=0,y(0)=1.8];d;� C � ��n ! ��V8�"��V��+*��VO�"� T � T�pd�� J � �on ! ��VO�"��V`��+*��V8�"� T�pd;�Nqr� ��n ! ��V8�"��V��+*��VO�"� R � p

V. DIFERENCIALINIU LYGCIU SISTEMOS200201 13 (1:32) 89� DEplot({sys� },[x(t),y(t)],t=0..40,[ps1,ps2,ps3],� x(t)=-4..10,y(t)=-4..4,linecolor=� [blue,red,green],color=black,stepsize=0.1);

–4

–2

0

2

4

y

–4 –2 2 4 6 8 10x

Surandamesistemospotencialinesenergijos funkcija

� U:=-int(f(x),x); ¡ � �4# K.M8D �(�;�� plot(U(x),x=-4..10,y=-3..3,color=black);


–3

–2

–1

0

1

2

3

y

–4 –2 2 4 6 8 10x

Braižomesprendiniu kreives.� DEplot3d({sys},{x(t),y(t)� },t=0..40,[ps1,ps2,ps3],x(t)=-4..10,y(t)=-4..4,� scene=[t,x(t),y(t)],st� epsize=0.1,linecolor=[blue,red,green]);

010

2030

40

t

–4–2

02

46

810

x(t)

–2

0

2

4

y(t)


3. Savarankiškosužduotys

A. Ištirti tiesineautonominediferencialiniu lygciu sistema:1. � � �� , � � �� ;2. � � � T � , � � � T � ;3. � � ��#�� , � � �$#�� ;4. � � ��# T � , � � ��# T � ;5. � � �� , � � � T � ;6. � � �� , � � �$# T � ;7. � � ��#�� , � � � T � ;8. � � ��#�� , � � �$# T � ;9. � � � T � , � � �� ;10. � � � T � , � � ��#�� ;11. � � �4# T � , � � �� ;12. � � �4# T � , � � ��#�� ;13. � � �b� , � � ��#�� ;14. � � �4#�� , � � �� ;15. � � � T �S)m� , � � �� ;16. � � �4# T �y)m� , � � �� ;17. � � �b�-#f� , � � ��S)m� ;18. � � � T �-#{� , � � ��S) T � ;19. � � �4# T ��#{� , � � ��-# T � ;20. � � �4#��-#f� , � � ��#��y)m� ;21. � � �4#�� , � � �� .B. Ištirti konservatyviajasistema:1. �� ;2. ��#�� ;3. ��6%��-#f� : ;4. ��o�(��>Y# T �N� R #{��),% ;5. ��o�(��>Y# T �N� R #{��) T ;6. ��o�(��>Y# T �N� R #{��) R ;7. ��o�(��>Y# T �N� R #{�� ;8. ��o�(��>Y# T �N� R #{��# R ;9. ��#��c�(�;>&# T �.� R #f�;��) R ;10. ��#��#f��: ;11. ��#��y),� : .

LabDarbai

Documents

Transcript of LabDarbai