Matriks

Referensi: K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006

DIC 126 Kuliah 2

Tujuan:• Mampu merepresentasikan vektor dan matrik dalam sistem koordinat yang berbeda

•Mampu melakukan semua operasi vektor dan matriks

Relevansi:Didalam mekanika kuantum dan bidang lain, banyak operasi matematika dapat dilakukan dalam bentuk matriks

1. Representasi vektor dengan matriks dalam sistem koordinat

Dalam koordinat kartesian, suatu vektor A dapat dinyatakan sebagai

Vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu matriks baris yang dikenal sebagai vektor baris atau matriks kolom yang dikenal sebai vektor kolom

atau

kajaiaA zyx

zyx aaaA

z

y

x

a

a

a

A

Matriks adalah array dari besaran yang dinyatakan sebagai

mnmm

ij

n

n

aaa

a

aaa

aaa

A

...

.........

...

...

21

22221

11211

Dengan aij adalah elemen matriks baris ke-i dan kolom ke-j.

Elemen matriks tersebut dapat berupa bilangan riel, bilangan kompleks

atau suatu fungsi.

Matriks di atas memiliki m buah baris dan n buah kolom sehingga orde

dari matriks tersebut adalah m x n.

Jika m=n maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.

2. Representasi Matriks

3. Matriks sebagai representasi operasi pemetaan vektor Suatu operator merotasikan vektor A sebesar sudut dari 1 ke 2

2'

1

2'

1

sinsin

coscos

AAAA

AAAA

yy

xx

sincos

sincoscossinsin

sincos

sinsincoscoscos

'

111'

'

111'

xyy

y

yxx

x

AAA

AAA

AAA

AAA

sincos

sincos'

'

xyy

yxx

AAA

AAA

Persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

dengan

y

x

y

x

A

A

A

A

cossin

sincos'

'

y

x

y

x

A

AA

A

AAR ;';

cossin

sincos'

'

ARA '

R(): operator rotasi berupa matriks bujursangkar

A’ dan A berupa matriks kolom

Operasi

Dapat ditulis sebagai

Atau

Axx '

nmnmm

ij

n

n

n x

x

x

aaa

a

aaa

aaa

x

x

x

...

...

.........

...

...

...2

1

21

22221

11211

'

'2

'1

n

jjiji xAx

1

'

A. Penjumlahan dan pengurangan matriks

Operasi penjumlahan atau pengurangan dari dua matriks berukuran n x m

didefenisikan sebagai

BAC

dimana

ijijij bac

Contoh:

004

413

101

222

103

211

Hukum komunitatif dan asosiatif berlaku untuk penjumlahan matriks yang be-orde sama

CBACBA

ABBA

4. Aljabar Matriks

B. Perkalian Matriks dengan skalar

Setiap elemen dari matriks dikalikan dengan skalar. Elemen dari matriks kA adalah kaij

C. Perkalian Matriks

Perkalian matriks C = AB dapat dilakukan apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Orde matriks A, B, dan C adalah n x l, l x m, n x m

l

kkjikij bac

1

2221

1211

2221

1211 ,bb

bbB

aa

aaA

2222122121221121

2212121121121111

2221

1211

2221

1211

babababa

babababa

bb

bb

aa

aaBAC

Pada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatif

AB BA

(A+B)C = AC + AB, C(A+B) = CA + CB

D. Matriks nol dan matriks identitas

Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah nol

A0 = 0A = 0

A + 0 = 0 + A = A

Matriks identitas didefenisikan sebagai

IA = AI = A , dengan

ji

jiI ijij ;0

;1

Dengan adalah fungsi delta kronecker.

Matriks identitas 3 x 3 dinyatakan sebagai:

ij

100

010

001

I

E. Matriks transpose, AT

Matriks transpose didapatkan dengan mengubah elemen baris menjadi elemen kolom. Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matrik A adalah aij dan Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matrik AT adalah aji. Pada matriks transpose berlaku hubungan

TTTTT

TTT

ABCGGABC

ABAB

......

F. Matriks Kompleks konjugate, A*

jdanisemuauntukaA ijij**

Matriks kompleks konjugate dari matriks A didapat dengan mengambil kompleks konjugate dari setiap elemen matriks

G. Matriks Hermitian konjugate, A†

Matriks Hermitian konjugate dari matriks A didapat dengan mengambil kompleks konjugate dari matriks tersebut A*, kemudian ditranspose (A*)T

** TTAAA

ABGGAB

ABAB

......

na

a

a

a...2

1

H. Inner product

nb

b

b

b...2

1

Diberikan vektor basis ortonormal a dan b yang dinyatakan dalam vektor kolom

i

N

ii

N

NT ba

b

b

b

aaaba

1

2

1

21 ....

Inner product dari vektor basis tersebut adalahba

Untuk vektor riel

i

N

i

i

N

N ba

b

b

b

aaaba

1

*2

1

**2

*1 .

... Untuk vektor kompleks

I. Trace matriks

Untuk suatu matriks bujur sangkar, I = j, trace dari matriks A, Tr A dinyatakan sebagai jumlah dari elemen diagonal matriks

N

iiiNN AAAAAATr

1332211 ...

a. Matriks diagonal

Matriks diagonal mempunyai elemen tidak nol hanya pada diagonal. Semua elemen off-diagonal adalah nol.

300

020

001

A

b. Matriks simetri dan matriks anti-simetri

Matrik bujur sangkar A dikatakan simetri jika

Matrik bujur sangkar A dikatakan anti-simetri jika

AAT

AAT

c. Matriks ortogonal

Jika matriks A memenuhi hubungan

Maka matriks A disebut matriks ortogonal

1 AAatauIAA TT

5. Matriks Khusus

d. Matriks Hermitian

Matriks A dikatakan matriks Hermitian jika berlaku

AA

e. Matriks Uniter

Matriks A dikatakan matriks uniter jika berlaku1 AAatauIAA

f. Matriks Normal

pada matriks normal berlaku

AAAA