MatriksReferensi: K. F. Riley, M. P. Hobson and S. J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering 3rd edition ,Cambridge University Press, 2006, bab 8 hal 241 DIC 126 Kuliah 2

Tujuan: Mampu merepresentasikan vektor dan matrik dalam sistem koordinat yang berbeda Mampu melakukan semua operasi vektor dan matriks Relevansi:Didalam mekanika kuantum dan bidang lain, banyak operasi matematika dapat dilakukan dalam bentuk matriks

1. Representasi vektor dengan matriks dalam sistem koordinat Dalam koordinat kartesian, suatu vektor A dapat dinyatakan sebagai

Vektor tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk matriks yaitu matriks baris yang dikenal sebagai vektor baris atau matriks kolom yang dikenal sebai vektor kolom

atau

Matriks adalah array dari besaran yang dinyatakan sebagaiDengan aij adalah elemen matriks baris ke-i dan kolom ke-j. Elemen matriks tersebut dapat berupa bilangan riel, bilangan kompleks atau suatu fungsi.Matriks di atas memiliki m buah baris dan n buah kolom sehingga orde dari matriks tersebut adalah m x n. Jika m=n maka matriks tersebut dinamakan matriks bujur sangkar.2. Representasi Matriks

3. Matriks sebagai representasi operasi pemetaan vektor Suatu operator merotasikan vektor A sebesar sudut dari 1 ke 2 Persamaan tsb dapat ditulis dalam bentuk matriks sebagai

denganR(): operator rotasi berupa matriks bujursangkar A dan A berupa matriks kolom

Operasi

Dapat ditulis sebagai

Atau

A. Penjumlahan dan pengurangan matriksOperasi penjumlahan atau pengurangan dari dua matriks berukuran n x m didefenisikan sebagaidimanaContoh:Hukum komunitatif dan asosiatif berlaku untuk penjumlahan matriks yang be-orde sama4. Aljabar Matriks

B. Perkalian Matriks dengan skalarSetiap elemen dari matriks dikalikan dengan skalar. Elemen dari matriks kA adalah kaijC. Perkalian MatriksPerkalian matriks C = AB dapat dilakukan apabila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B. Orde matriks A, B, dan C adalah n x l, l x m, n x mPada perkalian matriks tidak berlaku sifat komutatif, tetapi berlaku sifat asosiatifAB BA(A+B)C = AC + AB, C(A+B) = CA + CB

D. Matriks nol dan matriks identitasMatriks nol adalah matriks yang semua elemennya adalah nol A0 = 0A = 0 A + 0 = 0 + A = AMatriks identitas didefenisikan sebagai IA = AI = A , dengan Dengan adalah fungsi delta kronecker. Matriks identitas 3 x 3 dinyatakan sebagai:

E. Matriks transpose, ATMatriks transpose didapatkan dengan mengubah elemen baris menjadi elemen kolom. Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matrik A adalah aij dan Elemen baris ke-i dan kolom ke-j matrik AT adalah aji. Pada matriks transpose berlaku hubunganF. Matriks Kompleks konjugate, A*Matriks kompleks konjugate dari matriks A didapat dengan mengambil kompleks konjugate dari setiap elemen matriksG. Matriks Hermitian konjugate, AMatriks Hermitian konjugate dari matriks A didapat dengan mengambil kompleks konjugate dari matriks tersebut A*, kemudian ditranspose (A*)T

H. Inner product Diberikan vektor basis ortonormal a dan b yang dinyatakan dalam vektor kolomInner product dari vektor basis tersebut adalahUntuk vektor rielUntuk vektor kompleks

I. Trace matriksUntuk suatu matriks bujur sangkar, I = j, trace dari matriks A, Tr A dinyatakan sebagai jumlah dari elemen diagonal matriks

a. Matriks diagonalMatriks diagonal mempunyai elemen tidak nol hanya pada diagonal. Semua elemen off-diagonal adalah nol.b. Matriks simetri dan matriks anti-simetri Matrik bujur sangkar A dikatakan simetri jika

Matrik bujur sangkar A dikatakan anti-simetri jikac. Matriks ortogonal Jika matriks A memenuhi hubungan

Maka matriks A disebut matriks ortogonal5. Matriks Khusus

d. Matriks Hermitian Matriks A dikatakan matriks Hermitian jika berlakue. Matriks Uniter Matriks A dikatakan matriks uniter jika berlakuf. Matriks Normal pada matriks normal berlaku