FO

RB

ER

ED

AN

DE

KU

RS

IM

AT

EM

AT

IK1

Till

de

tta

ku

rsm

ate

ria

lfin

ns

pro

vo

ch

lara

rep

aIn

tern

et.

De

tta

ma

teri

ala

re

nu

tskri

ftav

de

tw

ebb

ase

rad

ein

ne

ha

llet

i

wiki.math.se/wikis/2008/forberedandematte1

Stu

die

ma

teri

ale

tho

rtill

en

ku

rsso

mg

es

isa

ma

rbe

tem

ella

nfle

raav

lan

de

ts

ho

gsko

lor

och

ce

ntr

et

MA

TH

.SE

.

An

ma

lan

och

till

ga

ng

till

foru

m,

ex

am

ina

tio

no

ch

pe

rso

nli

gm

en

tor

An

ma

lan

till

ku

rse

nske

rfo

rtlo

pa

nd

eu

nd

er

are

tg

en

om

ett

ele

ktr

on

iskt

form

ula

r

pawww.math.se

och

ma

nfa

rd

ad

ire

kt

ett

anva

nd

arn

am

no

ch

lose

no

rdso

m

ge

rtillg

an

gtill

dis

ku

ssio

nsfo

rum

,su

pp

ort

,u

pp

foljn

ing

och

pro

v.D

ufa

ro

cksa

en

pe

rso

nlig

me

nto

rso

mh

jalp

er

dig

att

lycka

sm

ed

din

astu

die

r.A

llexa

min

atio

n

ske

rvia

Inte

rne

te

fte

rh

an

dso

md

ua

rbe

tar

me

dku

rse

ns

avsn

itt.

Ko

nta

kti

nfo

rma

tio

n:www.math.se/kontakt.html

För

ber

edan

de

kurs

im

atem

atik

1

Inneh

åll

Välkom

men

tillkursen

3Hurgå

rku

rsen

till?..................................

5Så

gårexam

inationen

till...............................

7

1.Numeriskräkning

91.1Olika

typer

avtal.................................

91.2Bråkräk

ning

....................................

201.3Poten

ser

......................................

29

2.Algeb

ra40

2.1Algeb

raiska

uttryck

................................

402.2Linjära

uttryck

...................................

502.3Andragrad

suttryck

................................

63

3.Rötterochloga

ritm

er73

3.1Rötter........................................

733.2Rotek

vation

er...................................

823.3Log

aritmer

.....................................

873.4Log

aritmek

vation

er................................

96

4.Trigon

ometri

104

4.1Vinklar

ochcirklar

................................10

44.2Trigon

ometriskafunktioner

...........................11

54.3Trigon

ometriskasamba

nd

............................13

04.4Trigon

ometriskaek

vation

er...........................13

7

5.Skriva

matem

atik

145

5.1Sk

riva

matem

atiska

form

leriL

AT EX

.......................14

55.2Matem

atisktext

..................................15

5

Facittillöv

ningsuppgifter

167

Förfullstän

digalösn

inga

r,senaste

versionen

avmaterialet,externalänka

r,mm.,se

studiematerialetpåInternet

www.math.se/wiki

3 Välkom

men

tillkursen

Vad

gjorde

attElinblev

intresseradav

matem

atik?

Tittapå

videon

därElinOttergren,m

entorpå

kursen

ochtidiga-

renätstudent,berättar

omhu

rhennes

matem

atikintresse

väck-

tes.

(http://smaug.nti.se/temp/

KTH/

film

6.ht

ml)

Nufinnsette

nkelts

ätta

ttkom

mabättreru

stad

tilldina

hög

skolestudier

Den

här

kursen

ärtillfördig

som

skaläsa

enutbildningdär

matem

atik

ingå

r,ochsom

villva

raorden

tligtförbered

dinförku

rsstarten.Kursen

ärocksåbrafördig

som

avan

dra

anledninga

rvillfräsch

auppdinaku

nskap

erim

atem

atik.

Kursen

ären

överbryg

gningfrån

gymnasietinih

ögskolan

.Äve

nom

duklarat

ma-

tematiken

mycke

tbratidigarereko

mmen

derar

vidig

attläsa

kursen

.Den

berättigar

tillstudiemed

elochka

nläsasheltv

iaInternet.K

ursen

gesisam

arbe

temellanfleraav

landetshög

skolor

ochcentret

MATH.SE.

Dube

stäm

mer

självnär

duvillstuderaochka

nlättan

passa

studiernaefterdina

övriga

planer.

Anmälan

ochtillgå

ngtillforu

m,support,ex

aminationochpersonlig

men

tor

Kurslitteraturenär

öppet

tillgä

nglig

viaInternet.A

nmälan

tillku

rsen

sker

fortlöpan

de

under

året

genom

ettelek

tron

iskt

form

ulärpåwww.math.seochdufårdådirek

tett

anvä

ndarnam

nochlösenordsom

gertillgå

ngtillalltku

rsmaterial,disku

ssionsforum,

support,uppföljn

ingochprov.

Dufårocksåen

personligmen

torsom

hjälper

dig

att

lyckas

med

dinastudier.

Han

dledningochex

amination

Duka

nnär

som

helstpånätet

disku

tera

med

studieka

mrater,ställa

fråg

orochfå

han

d-

ledningav

lärare.E

xaminationsker

viaInternet

efterhan

dsom

duarbe

tarmed

kursen

.Vissa

avvå

rahög

skolor

erbjuder

han

dledningochsatsninga

rpåplats

som

komple-

men

ttilld

etsom

sker

påInternet.

4

Observeraattmaterialetiden

nakurs

ärutformat

föratt

man

skaarbetamed

det

utanhjälp

avminiräk

nare.

När

duko

mmer

tillhög

skolan

kommer

dunäm

lige

ninteatt

fåan

vändaminiräk

narepådina”ten

tor”,åtm

inston

einte

på

grundku

rserna.

Påhög

reku

rser

imatem

atik

har

man

knap

-pastnåg

onan

vändningförminiräk

nare,

eftersom

matem

a-tike

ndåmer

han

dlarom

attförstå

principer

änattutföraräkn

eoperationer.Det

ärexem

pelvisviktigareattförståva

rför

7+

3är

detsammasom

3+

7,än

attk

unnautfö-

raad

ditionen

ochfå

fram

svaret

10.

Såhär

lyck

asdumed

kursen

:

1.Börjamed

attläsa

genom

gånge

ntillettav

snittochtänka

igen

omexem

p-

len.

2.Arbetasedan

med

övningsuppgifternaochförsök

attlösa

dem

utanmi-

niräk

nare.

Kon

trollera

attduko

mmitfram

tillrättsvar

genom

attklicka

påsvarsknap

pen

.Har

duinte

det,såka

nduklicka

pålösn

ingskn

appen

,förattse

hurduskagö

ra.

3.Gådäreftervidareochsvarapåfråg

ornaigrundprove

tsom

hör

tillav

-sn

ittet.

4.Sk

ulledufastna,se

efterom

någ

onställten

fråg

aom

justdetta

iavsnittets

forum.S

tällan

narsen

fråg

aom

duundraröv

ernåg

ot.D

inlärare

(eller

enstudieka

mrat)ko

mmer

attb

esva

raden

inom

någ

ratimmar.

5.När

duär

klar

med

övningsuppgifternaochgrundprove

nie

ttav

snittså

skadugö

raslutprove

tförattblig

odkä

ndpåav

snittet.Där

gäller

det

att

svararättpåtrefråg

oriföljd

förattku

nnagå

vidare.

6.När

dufåttalla

rättpåbå

degrundprovochslutprov,

såär

dugo

dkä

nd

påden

delen

ochka

ngå

vidaretillnästa

del

ikursen

.

P.S.Ty

cker

duattinneh

ålletiettav

snittkä

nnsvä

lbek

ant,så

kandutestaatt

gådirek

ttillgrundprove

tochslutprove

t.Dumåste

fåalla

rättpåettp

rov,men

kangö

raom

prove

tfleragå

nge

r,om

duinte

lyckas

påförsta

försök

et.Det

ärdittsen

aste

resu

ltat

som

visasistatistiken

.

5 Hurgå

rkursen

till?

Elinstips

tilldigsom

skaläsa

mattepå

högskolan.V

adkanvara

braattveta?

Titta

påvideon

därElinOttergren,mentorpå

kursen

ochtidi-

gare

”nätstudent”,tipsardig.

(http://smaug.nti.se/temp/

KTH/

film

7.ht

ml)

Aktuella

kunsk

aper

ökar

dinach

anserattlyc

kas

Kursen

ären

överbryg

gningfrån

gymnasietin

ihög

skolan

ochgå

rigen

omnåg

raav

deba

sfärdigheter

som

vitycker

ärviktigaattd

uhar

fulltu

ppdaterad

einfördinahög

-skolestudier.Duläserheltfl

exibelti

den

takt

som

passardig

själv.

Såhär

ärdet

tänkta

ttdusk

aarbetamed

kursen

:

■Börja

med

attläsa

genom

gånge

ntillettav

snittoch

tänka

igen

omexem

plen.

■Arbetadäreftermed

övningsuppgifterna

och

sva-

rapåfråg

ornaigrundprove

tsom

hör

tillav

snittet.

Skulledufastna,se

efterom

någ

onställten

fråg

aom

just

detta

iavsnittets

forum,a

nnarsställe

nfråg

asjälv.

■När

duär

klar

med

övningsuppgifternaochgrund-

prove

tiettav

snittså

gördu

slutprove

tförattbli

godkä

ndpåav

snittet.

■När

duklarat

alla

slutprovså

fårduen

individuellinlämningsuppgiftsom

du

bådeskalösa

självständigtochskicka

inochdärefterbe

arbe

taig

rupp.

Din

perso

nliga

men

torstöd

erdig

När

dulogg

atin

med

dittan

vändarnam

nko

mmer

dutill”S

tu-

den

tlounge

”.Där

hittardumailadress

ochtelefonnummer

till

din

personliga

men

torsom

duka

nko

ntakta,

omdukö

rfast

på

enuppgiftellerhar

någ

otdube

höv

erfråg

aom

.Men

torernahar

tagitnam

nsom

AlbertEinstein,Kurt

Göd

el,

Arkim

edes

osv.,m

enba

kom

dem

finnsen

hel

grupppersoner,

6

vilkaär

lärare

och/ellerstuden

terpånåg

onhög

skolainom

MATH.SE.D

inmen

torvill

inge

thellreän

atthjälpadig.V

årtge

men

sammamål

ärattalla

som

börjar

påku

rsen

skaklaraav

den

ochfå

enbragrundattstå

påinförsinahög

skolestudier.Fö

rossfinns

inga

dummafråg

or,b

aradesom

inte

ställs!

7 Sågå

rexam

inationen

till

Duex

amineras

online

Exa

minationen

består

avtvåsjälvrättandeprovper

av-

snittoch

eninlämningsuppgift

samtgruppuppgift

islutetav

kursen

.Var

ochen

avku

rsen

s5delar

mot-

svarar

1hög

skolep

oängochrapporterasia

llmän

het

till

Lad

okva

rförsigpåden

hög

skoladär

duär

kursre-

gistrerad(för

vissaku

rstillfällen

sker

rapporteringnär

helaku

rsen

ärklar).

Kursbe

tygerhållesnär

alla

fem

mom

entenär

godkä

nda.

Som

betygpåku

rsen

gesun-

derkä

ntellergo

dkä

nt.

Gru

ndprove

noc

hslutprove

nrättas

viadatorn

Tillva

rjeav

snitti

kursen

finnsdetbå

deettg

rundprovochettslutprov.Län

ktillprove

nfinnsid

in”S

tuden

tLou

nge

”som

duko

mmer

tillnär

dulogg

atin

med

dittp

ersonliga

anvä

ndarnam

n.Duka

ninte

bliunderkä

ndpådessa

prov,

utanmisslycka

sdumed

någ

otprovså

ärdet

bara

attgö

raom

tillsdufåralla

rätt.

Slutprove

nbe

står

avtreslumpmässigt

genererad

efråg

orsom

rättas

automatiskt

avdatorn.Här

skadu

kunnalösa

ettproblem

påpap

per

och

skriva

inrätt

svar

påskärmen

.Dumåste

svararättpå

samtligatrefrå-

goriföljdförattbligodkänd.

Om

dusvarat

felp

ånåg

onfråg

aka

ndugö

raettn

ytt

försök

.Dufårnutrenya

varian

terpåfråg

ornasom

du

skalösa

(äve

nom

duskullehaklarat

någ

onellernåg

raav

detidigarefråg

ornaskadualltså

klaraalla

trefråg

oriden

naom

gångpånytt).Tän

kpåattdet

ärdittsenaste

resu

ltat

som

registrerasi

studiestatistike

n.

Inlämnings

uppgiften

ären

viktigdel

avex

aminationen

Inlämningsuppgiften

ingå

rid

el5av

kursen

.Via

enlänkpåku

rssidan

förinlämnings-

uppgiften

kommer

duattk

unnaladdaner

din

individuella

inlämningsuppgiftnär

du

kommithalvv

ägsin

ikursen

.Först

när

ärklar

med

trefjä

rded

elar

avalla

provka

ndu

skicka

indin

lösn

ingtillinlämningsuppgiften

.Iinlämningsuppgiften

skaduku

nnapresentera

enidéellerettresonem

angmed

egnaordochinte

bara

med

ettsvar

ellerge

nom

attan

geettko

rrek

talternativ.Din

individuella

inlämningbe

höv

erdockinte

vara

perfekt,u

tandet

ärförsti

nästa

steg

—

8

tillsamman

smed

andra

deltaga

re—

som

deslutligalösn

inga

rnaskafärdigställas.

Gru

ppöv

ninge

nlärdig

attd

iskutera

matem

atik

med

andra

När

duskicka

tindin

individuellainlämningko

mmer

duau

-tomatiskt

attbligrupperad

tillsamman

smed

trean

dra

per-

soner

som

nyligen

skicka

tin

sinaindividuella

inlämning-

ar.Gruppen

fåretteg

etgruppforum

isystem

etdär

man

kanko

mmuniceraochen

knap

pförattgö

raen

gemen

sam

gruppinlämning.

Gruppen

suppgift

ärattgran

skasamtligamed

lemmars

individuella

inlämninga

rochsedan

kommaöv

eren

som

enge

men

sam

”bästa”lösn

ingtillva

rochen

avuppgifterna.

Gruppen

görsedan

engruppinlämningochdet

ärdessa

lösn

inga

rsom

gran

skas

ochko

mmen

terasav

dinalärare.L

äraren

kommunicerar

med

helagruppen

,och

omdet

ärnåg

otgruppen

har

missatså

har

man

möjligh

etattgö

ranya

gruppinlämninga

rtillsalltär

klartochgo

dkä

nt.Fö

rattbligo

dkä

ndpågruppuppgiften

måste

dudelta

aktivt,t.ex.

genom

attställa

fråg

orochhjälpatillattarbe

tafram

förslagpåer

gemen

-sammagruppinlämning.

Vän

tamed

attskickain

din

inlämningsuppgiftom

duplanerar

attv

araborta

från

kursen

.

Iblandka

ndet

tanåg

radag

arattbligrupperad

,men

oftast

gårdet

mycke

tfortare.

Dåär

det

men

inge

nattgruppen

direk

tskabö

rjajobb

amed

attlösa

uppgiften

.Om

dut.e

x.är

bortrest

ochinte

har

tillgå

ngtillInternet

såblir

deöv

riga

gruppdeltaga

rnalidan

deochka

ninte

börjajobb

amed

gruppöv

ninge

n.D

ärför,

omduve

tattduko

mmer

attblibo

rtafrån

kursen

,be

rvi

dig

vänta

med

att

sändain

din

inlämningsuppgift

tilldessdu

ärtillba

kaochka

nva

raak

tivi

grupparbe

tet.

9 1.1Olikatyper

avtal

Inneh

åll:

■Naturligatal

■Neg

ativatal

■Prioriteringsregler

ochparen

teser

■Rationella

tal

■Någ

otom

irration

ella

tal

■Reellatal

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Beräk

nauttryck

som

inneh

ållerheltal,defyra

räkn

esättenochparen

teser.

■Vetaskillnad

enmellannaturligatal,heltal,ration

ella

talochirration

ella

tal.

■Omva

ndla

bråk

taltilld

ecim

alform

ochom

vänt.

■Avg

öravilket

avtvåbråk

talsom

ärstörst,d

elsmed

decim

albråk

sutveck-

ling,

delsge

nom

förlän

gningav

bråk

en.

■Ange

ettnärmev

ärdetilldecim

altalo

chbråk

talmed

ettgive

tan

taldeci-

maler.

Räk

neo

perationer

med

tal

Attarbe

tamed

talinneb

ärattman

utför

enradräkn

eoperationer.D

egrundlägg

ande

ärdefyra

räkn

esätten.I

figu

rensom

följe

rfinnsnåg

rabe

grep

psom

ärbraattku

nna

förattförstå

matem

atisktext.

När

man

adderar

talä

rsu

mman

inte

beroen

deav

ivilke

nordningterm

ernaad

de-

ras

3+

4+

5=

3+

5+

4=

5+

4+

3=

12.

När

talsubtraheras

ärnaturligtvisordninge

nviktig

5−

2=

3med

an2−

5=−3

.

Om

vipratarom

differensenmellantvåtalm

enar

viva

nligtvisskillnad

enmellandet

större

ochdet

mindre.S

åled

esmen

arvi

attd

ifferensenmellan2och5är

3.

10

Additio

nSubtr

aktion

Multip

likat

ion

Div

isio

n

3+

4=

7

term

sum

ma

13−

4=

9

term

diff

eren

s

3·4

=12

fakt

orpr

odukt

8 4=

2

taljar

e

nam

nar

e

kvot

Figu

renvisardefyra

räkn

esättenochnam

nen

pådeolikadelar

som

ingå

r.

När

talm

ultiplicerasär

ordninge

nmellanfaktorernainte

viktig

3·4·5

=3·5·4

=5·4·3

=60

.

Vid

divisionär

ordninge

nav

betydelse

6 3=

2med

an3 6

=0,5.

Räk

neo

rdningiuttryck

(Prioriterings

regler)

När

fleraräkn

esättföreko

mmer

iettmatem

atiskt

uttryck

ärdet

viktigtattman

har

enöv

eren

skom

melse

omiv

ilke

nordningop

erationernaskautföras.F

öljandegä

ller:

■Paren

teser(paren

tesen”län

gstin”först)

■Multiplika

tion

ochdivision(frånvä

nster

tillhög

er)

■Additionochsu

btraktion(frånvä

nster

tillhög

er)

Exe

mpel

1

a)3−

(2· (

3+

2)−

5)=

3−

(2·5−

5)=

3−

(10−

5)=

3−

5=−2

b)3−

2·(

3+

2)−

5=

3−

2·5−

5=

3−

10−

5=−7−

5=−1

2

c)5

+3·( 5

−−4 2

) −3·(2

+(2−

4))

=5

+3·(

5−

(−2)

)−

3·(

2+

(−2)

)

=5

+3·(

5+

2)−

3·(

2−

2)=

5+

3·7−

3·0

=5

+21−

0=

26

11 ”Osynliga

”paren

teser

Vid

divisionskatälja

reochnäm

narebe

räkn

asva

rförsiginnan

divisionen

utförs.Man

kandärförsäga

attdet

finns”o

synliga

paren

teser”

omkringtälja

reochnäm

nare.

Exe

mpel

2

a)7

+5

2=

12 2=

6

b)6

1+

2=

6 3=

2

c)12

+8

6+

4=

20 10=

2

Specielltv

iktigt

ärdetta

vidan

vändan

det

avminiräk

nare.Divisionen

8+

42

+4

måste

skriva

s(8

+4)/(2

+4)

påminiräk

naren

förattd

etko

rrek

tasvaret

2skaerhållas.

Ettva

nligt

misstag

ärattskriva8+4/

2+

4,vilket

avminiräk

naren

tolkas

som

8+

2+

4=

14.

Olikatyper

avtal

Detalvi

anvä

nder

ossav

förattbe

skriva

antalochmått,mm.,ka

llas

samman

fatt-

ningsvisfördereella

talenochka

nillustrerasmed

hjälp

aven

tallinje:

−3−2

−10

12

3

−π−

4 30,

5√ 2

e355

113

Dereella

talen”fyller”

tallinjen,d

vs.inga

hål

ellermellanrum

finnsnåg

onstan

slängs

tallinjen.V

arjepunkt

påtallinjenka

nan

gesmed

hjälp

aven

följd

avdecim

aler.M

äng-

den

avdereella

talenär

alla

decim

altalochbe

tecknas

med

R.Ta

llinjenvisarockså

talenistorlek

sordning;

etttaltillh

öger

äralltid

större

änetttaltillv

änster.M

anbru-

kardelauppdereella

taleniföljandetyper

avtal:

Naturligatal(sym

boliserasvanligenmed

bokstavenN)

Detalsom

anvä

ndsnär

man

räkn

aran

tal:0,1,

2,3,

4,...

12

Heltal(Z)

Denaturligatalenochderas

neg

ativamotsvarigheter:...,−

3,−2

,−1,

0,1,

2,3,

...

Rationellatal(Q

)

Allatalsom

kanskriva

ssom

enkv

otmellanheltal(bråk

),t.e

x.

−3 4,3 2,

37 128,

osv.

Observe

raattä

venheltalenräkn

assom

ration

ella

tal,eftersom

−1=−1 1

,0

=0 1,

1=

1 1,

2=

2 1,

osv.

Ettration

ellttalk

anskriva

spåfleraolikasätt,eftersom

t.ex.

2=

2 1=

4 2=

6 3=

8 4=

100

50=

384

192

osv.

Exe

mpel

3

a)Attmultiplicera

tälja

reochnäm

narehos

ettration

ellttalm

edsammafaktor

kallas

förlän

gningochförändrarinte

talets

värde

1 3=

1·2

3·2

=2 6

=1·5

3·5

=5 15

osv.

b)Attdivideratälja

reochnäm

narehos

ettration

ellttalmed

sammatalka

llas

förkortningochförändrarinte

hellertalets

värde

75 105

=75

/5

105/

5=

15 21=

15/3

21/3

=5 7

osv.

Irrationellatal

Detalpåtallinjensom

inte

kanskriva

ssom

bråk

kallas

irration

ella

tal.Exempel

på

irration

ella

talä

rdeflesta

rötter,som

√ 2och√ 3,

men

även

talet

πt.e

x.

Decim

alform

Allatyper

avreella

talk

anskriva

spådecim

alform

,med

ettg

odtyckligt

antald

ecim

a-ler.Decim

alernasom

skrivs

tillhög

erom

decim

alko

mmat

ange

ran

taltiondelar,h

und-

radelar,tusendelar,o

sv.,påsammasättsom

siffrornatillvä

nster

omdecim

alko

mmat

ange

ran

talete

ntal,tiotal,h

undratal,osv.

13

12

34

,5

67

8tu

senta

ltiota

ltiondel

tuse

ndel

dec

imal

kom

ma

hundra

tal

enta

lhundra

del

tiotu

sendel

Exe

mpel

4 1234

,567

8=

1000

+20

0+

30+

4+

5 10+

6 100

+7

1000

+8

1000

0

Ettration

ellttalka

nskriva

spådecim

alform

genom

attutföradivisionen

.Såled

esär

talet3 4sammasom

”3dividerat

med

4”,d

vs.0

,75.

Läs

omligg

andestolen

påwikiped

ia.

Exe

mpel

5

a)1 2

=0,5

=0,50

b)1 3

=0,33

3333

...=

0,3

c)5 12

=0,41

6666

6...=

0,41

6

d)

1 7=

0,14

2857

1428

57...=

0,14

2857

(understrykn

inge

nmarke

rardecim

aler

som

upprepas)

Som

synes

har

deration

ella

talenov

anen

periodiskdecim

alutveckling,

dvs.d

ecim

al-

utvecklinge

nslutaralltid

med

atte

nviss

följd

avdecim

aler

upprepas

ialloä

ndligh

et.

Detta

gäller

föralla

ration

ella

talochskiljerdessa

från

deirration

ella,vilkainte

har

någ

otperiodiskt

mön

ster

isin

decim

alutveckling.

Omvä

ntgä

ller

ocksåattalla

talmed

enperiodiskdecim

alutvecklingär

ration

ella

tal.

14

Exe

mpel

6

Talen

πoch√ 2

ärirration

ella

talochhar

därföringe

tperiodiskt

mön

ster

isin

decim

alutveckling.

a)π

=3,14

159

265

358

979

323

846

264

3...

b)√ 2

=1,41

421

356

237

309

504

880

168

8...

Exe

mpel

7

a)0,60

0...=

0,6

=6 10

=3 5

b)0,35

=35 100

=7 20

c)0,00

25=

2510

000

=1 400

Exe

mpel

8

Taletx

=0,21

5151

515...är

ration

ellt,eftersom

det

har

enperiodiskdecim

alut-

veckling.

Vika

nskriva

detta

ration

ella

talsom

enkv

otav

tvåheltalpåfölja

nde

sätt. Multiplicerarvi

taletm

ed10

förskjuts

decim

alko

mmat

ettsteg

åthög

er

10x

=2,15

1515

...

ochmultiplicerarvi

taletmed

10·1

0·1

0=

1000

flyttasdecim

alko

mmat

tresteg

åthög

er10

00x

=21

5,15

15...

Nuservi

att10

00xoch10

xhar

sammadecim

alutvecklingså

differensenmellan

talen

1000

x−

10x

=21

5,15

15...−

2,15

1515

...

blirettheltal

990x

=21

3.

Alltsåär

x=

213

990

=71 330.

15 Avrundning

Eftersom

det

ärop

raktiskt

atträk

named

långa

decim

alutvecklinga

rså

avrundar

man

ofta

taltille

ttlämpligt

antald

ecim

aler.Ö

verenskom

melsensom

gäller

ärattsiffrorna

0,1,2,

3och4av

rundas

ned

åtmed

an5,

6,7,8och9av

rundas

uppåt.

Via

nvä

nder

symbo

len≈

(ärunge

färlika

med

)förattmarke

raatten

avrundning

har

skett.

Exe

mpel

9

Avrundningtill3decim

alersnog

gran

nhet:

a)1,00

04≈

1,00

0

b)0,99

99≈

1,00

0

c)2,99

9499

9≈

2,99

9

d)

2,99

950≈

3,00

0

Exe

mpel

10

Avrundningtill4decim

alersnog

gran

nhet:

a)π≈

3,14

16

b)2 3≈

0,66

67

Jämförelseav

tal

Man

ange

rstorleksförhållandet

mellantalmed

hjälp

avsymbo

lerna

>(ärstörre

än),

<(ärmindre

än)och

=(ärlika

med

).Storleksförhållandet

mellantvåtalk

anav

göras

delsge

nom

attskriva

talenidecim

alform

,ellerge

nom

attskriva

ration

ella

talsom

bråk

med

gemen

sam

näm

nare.

Exe

mpel

11

a)Vilke

tärstörst

avtalen

1 3och0,33

?

Vih

aratt

x=

1 3=

100

300

och

y=

0,33

=33 100

=99 300.

16

Alltsåär

x>

yeftersom

100/

300

>99

/30

0.

Alternativtså

kanman

seatt1/

3>

0,33

eftersom

1/3

=0,33

33...>

0,33

.

b)Vilke

ttal

ärstörst

av2 5och

3 7?

Skrivtalenmed

gemen

sam

näm

nare,t.e

x.35

:

2 5=

14 35och

3 7=

15 35.

Alltsåär

3 7>

2 5eftersom

15 35>

14 35.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Atttänkapå

Var

nog

gran

n!Mån

galösn

inga

rblirfelpågrundav

misstag

iav

skriften

eller

andra

enklafel,ochinte

förattduskullehatänkt

fel.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringså

villvi

tipsa

om

■Läs

mer

omAritm

etik

ienge

lska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Ar

ithm

etic

)

■Vem

upptäckte

Nollan?Läs

mer

i”TheMacTu

torHistory

ofMathem

atics

arch

ive”

(http://www-

groups.dcs.st-

and.ac

.uk/

~his

tory/H

istT

opic

s/Ze

ro.

html

)

■Ligga

ndestolen

—en

beskrivn

ing

(http://www.fritext.se/matte

/gru

nder

/pos

i3.h

tml)

■Vissteduatt0

,999

...=

1?(http://en.wikipedia.org/wik

i/0.

999.

..)

Län

ktips

Hurmån

gafärger

behöv

sdet

förattfärglägg

aen

karta?

Hurmån

gagå

nge

rmåste

man

blan

daen

kortlek?

Vilke

tär

det

störstaprimtalet?

Finnsdet

någ

ra

17

”turnummer”?

Vilke

tär

det

vackrastetalet?

Lyssnatillden

kändaförfattaren

ochmatem

atikernSimon

Singh

,som

blan

dan

nat

berättar

omdemag

iska

talen

4och7,

omprimtalen,K

eplers

hög

arochom

nollan.

■Ly

ssnapåBBC-program

men

”5Numbe

rs”

(http://www.bbc.co.uk/radio4

/sci

ence

/5nu

mber

s1.s

html

)

■Ly

ssnapåBBC-program

men

”Another

5numbe

rs”

(http://www.bbc.co.uk/radio4

/sci

ence

/ano

ther

5.sh

tml)

18

1.1Övn

inga

r

Övn

ing1.1:1

Beräk

na(utanhjälp

avräkn

edosa)

a)3−

7−

4+

6−

5b)

3−

(7−

4)+

(6−

5)

c)3−

(7−

(4+

6)−

5)d)

3−

(7−

(4+

6))−

5

Övn

ing1.1:2

Beräk

na

a)(3−

(7−

4))(6−

5)b)

3−

(((7−

4)+

6)−

5)

c)3·(−7

)−4·(6−

5)d)

3·(−7

)−(4

+6)/(−

5)

Övn

ing1.1:3

Vilka

avfölja

ndetaltillhör

denaturligatalen?heltalen?ration

ella

talen?irration

ella

talen?

a)8

b)−4

c)8−

4

d)

4−

8e)

8·(−4

)f)

(−8)·(−4

)

Övn

ing1.1:4

Vilka

avfölja

ndetaltillhör

denaturligatalen?heltalen?ration

ella

talen?irration

ella

talen?

a)4 −8

b)−8 −4

c)

√ 2 3

d)

( 4 √ 2

) 2e)

−πf)

π+

1

Övn

ing1.1:5

Ordnafölja

ndetali

storleksordning

a)2,

3 5,5 3och

7 3

b)−

1 2,−

1 5,−

3 10och−

1 3

c)1 2,2 3,3 5,5 8och

21 34

Övn

ing1.1:6

Ange

decim

alutvecklinge

nmed

treko

rrek

tadecim

aler

till

a)7 6

b)9 4

c)2 7

d)

√ 2

19 Övn

ing1.1:7

Vilka

avfölja

ndetalä

rration

ella?Sk

rivdessa

som

enkv

otmellantvåheltal.

a)3,14

b)3,14

1614

1614

16...

c)0,200

100

100

1...

d)

0,10

10010

0010

0001...(en1:a,en

0:a,en

1:a,två0:or,en1:a,tre0:or

osv.)

20

1.2Bråkräkning

Inneh

åll:

■Additionochsu

btraktionav

bråk

tal

■Multiplika

tion

ochdivisionav

bråk

tal

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Beräk

nauttryck

som

inneh

ållerbråk

tal,defyra

räkn

esättenochparen

te-

ser.

■Fö

rkorta

bråk

sålångt

som

möjligt.

■Bestämmaminstage

men

sammanäm

nare(M

GN).

Förlän

gningoc

hförk

ortning

Ettration

ellttalk

anskriva

spåmån

gasätt,b

eroe

ndepåvilken

näm

nareman

välje

ratt

anvä

nda.Exempelvishar

viatt

0,25

=25 100

=1 4

=2 8

=3 12

=4 16

osv.

Värdet

avettrationellttalä

ndrasinte

när

man

multiplicerarellerdividerar

tälja

reoch

näm

naremed

sammatal.Dessa

operationer

kallas

förlängn

ingresp

ektive

förkortning.

Exe

mpel

1

Förlän

gning:

a)2 3

=2·5

3·5

=10 15

b)5 7

=5·4

7·4

=20 28

Förkortning:

c)9 12

=9/

312

/3

=3 4

21

d)

72 108

=72

/2

108/

2=

36 54=

36/6

54/6

=6 9

=6/

39/

3=

2 3

Man

böralltid

ange

ettbråk

förkortatså

långt

som

möjligt.D

etta

kanva

raarbe

tsam

tnär

storatalä

rinblan

dad

e,va

rför

man

redan

under

enpåg

åendeuträk

ningbö

rförsö-

kahålla

bråk

isåförkortadform

som

möjligt.

Additionoc

hsu

btrak

tion

avbråk

Vid

additionochsu

btraktionav

tali

bråk

form

måste

bråk

enhasammanäm

nare.Om

såinte

ärfallet

måste

man

förstförlän

garesp

ektive

bråk

med

lämpliga

talså

attge

-men

sam

näm

nareerhålles.

Exe

mpel

2

a)3 5

+2 3

=3·3

5·3

+2·5

3·5

=9 15

+10 15

=9

+10

15=

19 15

b)5 6−

2 9=

5·3

6·3−

2·2

9·2

=15 18−

4 18=

15−

418

=11 18

Det

viktigaär

här

attåstadko

mmaen

gemen

sam

näm

nare,

men

man

börsträva

ef-

teratthitta

enså

lågge

men

sam

näm

naresom

möjligt.Idealetär

atthitta

den

minsta

gemen

sammanäm

naren

(MGN).Man

kanalltid

erhålla

enge

men

sam

näm

narege

-nom

attm

ultiplicera

deinblan

dad

enäm

narnamed

varandra.D

etta

ärdockinte

alltid

nöd

vändigt.

Exe

mpel

3

a)7 15−

1 12=

7·12

15·1

2−

1·15

12·15

=84 180−

15 180

=69 180

=69

/3

180/

3=

23 60

b)7 15−

1 12=

7·4

15·4−

1·5

12·5

=28 60−

5 60=

23 60

c)1 8

+3 4−

1 6=

1·4·6

8·4·6

+3·8·6

4·8·6−

1·8·4

6·8·4

=24 192

+14

419

2−

32 192

=13

619

2=

136/

819

2/8

=17 24

d)

1 8+

3 4−

1 6=

1·3

8·3

+3·6

4·6−

1·4

6·4

=3 24

+18 24−

4 24=

17 24

22

Man

börva

raså

passträn

adih

uvu

dräkn

ingattm

ansn

abbt

kanhitta

MGN

omnäm

-narnaär

avrimligstorlek.

Attallm

äntb

estämmaden

minstage

men

sammanäm

naren

kräv

erattm

anstuderar

vilkaprimtalsom

ingå

rsom

faktorer

irespek

tive

näm

nare.

Exe

mpel

4

a)Beräk

na

1 60+

1 42.

Delar

viupp60

och42

isåsm

åheltalsfaktorer

som

möjligt,såka

nvi

bestäm

-madet

minstaheltalsom

ärdelba

rtmed

60och42

genom

attmultiplicera

ihop

deras

faktorer

men

undvika

attta

med

förmån

gaav

faktorernasom

talenhar

gemen

samt

60=

2·2·3·5

42=

2·3·7

}⇒

MGN

=2·2·3·5·7

=42

0.

Vik

andåskriva 1 60

+1 42

=1·7

60·7

+1·2·5

42·2·5

=7 420

+10 420

=17 420.

b)Beräk

na

2 15+

1 6−

5 18.

Minstage

men

sammanäm

narevä

ljsså

attden

inneh

ållerprecisså

mån

gaprimtalsfaktorer

såattden

blirdelba

rmed

15,6

och18

15=

3·5

6=

2·3

18=

2·3·3

⇒

MGN

=2·3·3·5

=90

.

Vik

andåskriva

2 15+

1 6−

5 18=

2·2·3

15·2·3

+1·3·5

6·3·5−

5·5

18·5

=12 90

+15 90−

25 90=

2 90=

1 45.

Multiplikation

När

ettbråk

multiplicerasmed

ettheltal,multiplicerasen

dasttälja

renmed

heltalet.

Det

äruppen

bartattom

t.ex.

1 3multiplicerasmed

2så

blirresu

ltatet

2 3,d

vs.

1 3·2

=1·2 3

=2 3.

23 Om

tvåbråk

multiplicerasmed

varandra,multiplicerastälja

rnamed

varandra

och

näm

narnamed

varandra.

Exe

mpel

5

a)8·3 7

=8·3 7

=24 7

b)2 3·1 5

=2·1

3·5

=2 15

Innan

man

genom

förmultiplika

tion

enbö

rman

alltid

kontrollera

omdet

ärmöjligt

attförkorta

bråk

et.Detta

utförsge

nom

attstryka

even

tuella

gemen

sammafaktorer

itälja

reochnäm

nare.

Exe

mpel

6

Jämföruträk

ninga

rna:

a)3 5·2 3

=3·2

5·3

=6 15

=6/

315

/3

=2 5

b)3 5·2 3

=��3·2

5· ��3

=2 5

Attstryka

treo

rnai6b

inneb

ärju

bara

attman

förkortarbråk

etmed

3ietttidigare

sked

e.

Exe

mpel

7

a)7 10·2 7

=A A7 10·2 A A7

=1 10·2 1

=1

A A2·5·A A2 1

=1 5·1 1

=1 5

b)14 15·2

0 21=

2·7

3·5·4·5

3·7

=2· A A7

3·5·4·5

3· A A7

=2

3· ��5·4· ��5 3

=2 3·4 3

=2·4

3·3

=8 9

24

Division

Om

1 4delas

i2så

blirsvaret

1 8.O

m1 2delas

i5så

blirresu

ltatet

1 10.V

ihar

alltså

att

1 4 2=

14·2

=1 8

och

1 2 5=

12·5

=1 10.

När

ettb

råkdivideras

med

etth

eltal,multiplicerasalltså

näm

naren

med

heltalet.

Exe

mpel

8

a)3 5

/ 4=

35·4

=3 20

b)6 7

/ 3=

67·3

=2· ��3

7· ��3

=2 7

När

etttaldivideras

med

ettbråk

,multiplicerastaletmed

bråk

etinve

rterat

(”upp-

och-nervä

nt”).Attt.e

x.divideramed

1 2är

jusammasaksom

attmultiplicera

med

2 1,

dvs.2

.

Exe

mpel

9

a)3 1 2

=3·2 1

=3·2 1

=6

b)5 3 7

=5·7 3

=5·7 3

=35 3

c)

2 3 5 8

=2 3·8 5

=2·8

3·5

=16 15

d)

3 4 9 10

=3 4·1

0 9=

��32· A A2·A A2·5

��3·3

=5

2·3

=5 6

25 Hurka

nbråk

divisionförvan

dlastillmultiplika

tion

?Fö

rklaringe

när

attom

ettbråk

multiplicerasmed

sittinve

rterad

ebråk

blirprodukten

alltid

1,t.e

x.

2 3·3 2

=A A2 ��3·��3 A A2

=1

eller

9 17·1

7 9=

A A9 �� 17·�� 1

7 A A9=

1.

Om

man

ienbråk

divisionförlän

gertälja

reochnäm

naremed

näm

naren

sinve

rterad

ebråk

,fårman

alltid

1inäm

naren

ochresu

ltatet

blir

tälja

renmultipliceradmed

den

ursprungliganäm

naren

sinve

rterad

ebråk

.

Exe

mpel

10

2 3 5 7

=

2 3·7 5

5 7·7 5

=

2 3·7 51

=2 3·7 5

Bråkso

man

delar

Rationella

talä

ralltså

talsom

kanskriva

sib

råkform,o

mva

ndlastilldecim

alform

,el-

lermarke

raspåen

tallinje.I

vårt

vardag

liga

språkb

rukan

vändsocksåbråk

när

man

beskrive

ran

delar

avnåg

ot.H

ärned

ange

snåg

raexem

pel.L

äggmärke

tillhurvi

an-

vänder

ordet

”av”

,vilke

tka

nbe

tydasåvä

lmultiplika

tion

som

division.

Exe

mpel

11

a)Ollesatsad

e20

krochStina50

kr.

Olles

andel

är20

50+

20=

20 70=

2 7ochhan

böralltså

få2 7av

vinsten

.

b)Hurstor

del

utgör

45kr

av10

0kr?

Sva

r:45

krär

45 100

=9 20

av10

0kr.

c)Hurstor

del

utgör

1 3literav

1 2liter?

Sva

r:1 3literär

1 3 1 2

=1 3·2 1

=2 3

av1 2liter.

d)

Hurmycke

tär

5 8av

1000

?

26

Sva

r:5 8·100

0=

5000 8

=62

5

e)Hurmycke

tär

2 3av

6 7?

Sva

r:2 3·6 7

=2 63·2·63 7

=2·2 7

=4 7

Blandad

euttryck

När

bråk

föreko

mmer

iräkn

euttryck

gäller

naturligtvis

metod

ernafördefyra

räk-

nesättensom

vanligt,samtprioriteringsreglerna(m

ultiplika

tion

/divisionföre

addi-

tion

/su

btraktion).Kom

ocksåihåg

atttälja

reochnäm

nareiettdivisionsu

ttryck

be-

räkn

asva

rförsiginnan

divisionen

utförs(”osyn

liga

paren

teser”).

Exe

mpel

12

a)1

2 3+

3 4

=1

2·4

3·4

+3·3

4·3

=1

8 12+

9 12

=1 17 12

=1·1

2 17=

12 17

b)

4 3−

1 64 3

+1 6

=

4·2

3·2−

1 64·2

3·2

+1 6

=

8 6−

1 68 6

+1 6

=

7 6 9 6

=7 ��6·��6 9

=7 9

c)3−

3 52 3−

2=

3·5 5−

3 52 3−

2·3 3

=

15 5−

3 52 3−

6 3

=

12 5 −4 3

=12 5·( −

3 4

)

=−3· ��4 5·3 ��4

=−3·3 5

=−9 5

d)

11 2

+1 3

−3 5·1 3

2 3

/ 1 5−

1 4−

1 32

=

13 6

+2 6

−3·1

5·3

2 3·5 1−

3 12−

4 122

=

1 5 6

−1 5

10 3−−

1 12 2

27

=

6 5−

1 510 3

+1 24

=1

80 24+

1 24

=1 81 24

=24 81

=8 27

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Sträva

alltid

efterattskriva

ettuttryck

ien

klastmöjliga

form

.Vad

som

är”enklast”

berordockoftast

påsamman

han

get.

Det

ärviktigtattduve

rklige

nbe

härskar

bråk

räkn

ing.

Attduka

nhitta

enge

men

sam

näm

nare,förkorta

ochförlän

gaetc.Principernaär

näm

lige

ngrund-

lägg

andenär

man

skaräkn

amed

ration

ella

uttryck

som

inneh

ållerva

riab

ler

ochförattduskaku

nnahan

tera

andra

matem

atiska

uttryck

ochop

erationer.

Rationella

uttryck

med

bråk

som

inneh

ållerva

riab

ler(x,y,...)

ärmycke

tva

nliga

när

man

studerar

funktioner,specielltä

ndringskv

oter,g

ränsvärden

och

derivata.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaring.

■Läs

mer

ombråk

ochbråk

räkn

ingie

nge

lska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Fr

acti

on_(

math

emat

ics)

)

■Bråkräk

ning—

Fritext

(http://www.fritext.se/matte

/bra

k/br

ak.h

tml)

Län

ktips

■Exp

erim

entera

interaktivtmed

bråk

(http://nlvm.usu.edu/en/nav/

fram

es_a

sid_

105_

g_2_

t_1.

html

)

■Här

kandufå

enbild

avhurdet

gårtillnär

man

lägg

erihop

bråk

.(http://www.theducation.se/k

urse

r/ex

peri

ment

/gym

a/ap

plet

s/ex

13_

brakaddition/Ex13Applet.html

)

28

1.2Övn

inga

r

Övn

ing1.2:1

Skrivpåge

men

samtb

råkstreck

a)7 4

+11 7

b)2 7−

1 5c)

1 6−

2 5

d)

1 3+

1 4+

1 5e)

8 7+

3 4−

4 3

Övn

ing1.2:2

Bestäm

minstage

men

sammanäm

nare

a)1 6

+1 10

b)1 4−

1 8c)

1 12−

1 14d)

2 45+

1 75

Övn

ing1.2:3

Beräk

nafölja

ndeuttryck

genom

atta

nvä

ndaminstage

men

sammanäm

nare:

a)3 20

+7 50−

1 10b)

1 24+

1 40−

1 16

Övn

ing1.2:4

Förenklafölja

ndeuttryck

genom

attskriva

påge

men

samtbråk

streck.B

råke

tskava

rafärdigförkortat.

a)

3 5 7 10

b)

2 7 3 8

c)

1 4−

1 53 10

Övn

ing1.2:5

Förenklafölja

ndeuttryck

genom

attskriva

påge

men

samtbråk

streck.B

råke

tskava

rafärdigförkortat.

a)2

1 7−

1 15

b)

1 2+

1 31 3−

1 2

c)

3 10−

1 57 8−

3 16

Övn

ing1.2:6

Förenkla

2

3+

1 2

+

1 21 4−

1 31 2−

3

2−

2 7

.

29 1.3Poten

ser

Inneh

åll:

■Positiv

heltalsexpon

ent

■Neg

ativ

heltalsexpon

ent

■Rationelle

xpon

ent

■Poten

slag

ar

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Kän

natillbe

grep

pen

basochexpon

ent.

■Beräk

nauttryck

med

heltalsexpon

ent.

■Han

tera

poten

slag

arnaifören

klingav

poten

suttryck.

■Vetanär

poten

slag

arnaär

giltiga(positiv

bas).

■Avg

öravilket

avtvåpoten

suttryck

som

ärstörst

baseratpåjämförelseav

bas/

expon

ent.

Heltalspoten

ser

Via

nvä

nder

multiplika

tion

ssym

bolensom

ettk

ortare

skrivsättför

upprepad

addition

avsammatal,t.e

x.4

+4

+4

+4

+4

=4·5

.

Påettliknan

desättan

vändspoten

sersom

ettk

ortare

skrivsättförupprepad

multipli-

kation

avsammatal:

4·4·4·4·4

=45.

Siffran4ka

llas

förpoten

sensbasochsiffran5dessexponent.

Exe

mpel

1

a)53

=5·5·5

=12

5

b)10

5=

10·10·1

0·1

0·10

=10

0000

30

c)0,13

=0,1·0

,1·0

,1=

0,00

1

d)

(−2)

4=

(−2)·(−2

)·(−

2)·(−2

)=

16,m

en

−24

=−(

24)

=−(

2·2·2·2

)=−1

6

e)2·3

2=

2·3·3

=18

,men

(2·3

)2=

62=

36

Exe

mpel

2

a)( 2 3

) 3 =2 3·2 3·2 3

=23 33

=8 27

b)(2·3

)4=

(2·3

)·(2·3

)·(2·3

)·(2·3

=2·2·2·2·3·3·3·3

=24·3

4=

1296

Det

sistaexem

pletk

ange

neraliseras

tilltvåan

vändba

raräkn

ereg

lerförpoten

ser:

( a b

) m =am bm

och

(ab)

m=

ambm

.

Poten

slag

ar

Med

defi

nitionen

avpoten

sfölje

rytterligarenåg

raräkn

ereg

lersom

förenklar

beräk-

ninga

rmed

poten

serinblan

dad

e.Man

sert.e

x.att

23·2

5=

2·2·2

︸︷︷︸

3st

·2·2·2·2·2·2

︸︷︷

︸5st

=2·2·2·2·2·2·2·2

︸︷︷

︸(3

+5)

st

=23

+5=

28

vilket

generelltka

nskriva

s

am·a

n=

am+n.

Vid

divisionav

poten

serka

nocksåbe

räkn

inga

rnaförenklas

ompoten

sernahar

sam-

maba

s27 23

=2·2·2·2· A A2· A A2· A A2

A A2· A A2· A A2

=27−3

=24.

31 Den

allm

ännarege

lnblir

am an=

am−n

.

När

man

råka

rutför

enpoten

sav

enpoten

sfinnsytterligareen

anvä

ndba

rräkn

ereg

el.

Viser

att (5

2 )3

=52·5

2·5

2=

5·5 ︸ ︷︷︸ 2st

·5·5 ︸︷︷︸ 2st

·5·5 ︸︷︷︸ 2st

=5·5·5·5·5·5

︸︷︷

︸3gå

nger

2st

=52·3

=56.

och

(53 )

2=

53·5

3=

5·5·5

︸ ︷︷︸

3st

·5·5·5

︸︷︷︸

3st

=5·5·5·5·5·5

︸︷︷

︸2gå

nger

3st

=53·2

=56.

Allmän

tkan

detta

skriva

s

(am)n

=am·n.

Exe

mpel

3

a)29·2

14=

29+14

=22

3

b)5·5

3=

51·5

3=

51+3

=54

c)32·3

3·3

4=

32+3+

4=

39

d)

105·1

000

=10

5·1

03=

105+

3=

108

Exe

mpel

4

a)31

00

398

=31

00−9

8=

32

b)71

0 7=

710

71=

710−

1=

79

32

Om

ettb

råkhar

sammapoten

suttryck

ibåd

etälja

reochnäm

nareså

inträffarfölja

nde:

53 53=

53−3

=50

samtidigtsom

53 53=

5·5·5

5·5·5

=12

512

5=

1.

Föratträkn

ereg

lernaförpoten

serskastäm

magö

rman

alltså

den

naturligadefi

nitio-

nen

attför

alla

asom

inte

är0gä

ller

att a0

=1.

Vika

nocksåråka

utförattexpon

enteninäm

naren

ärstörre

änden

itälja

ren.V

ifår

t.ex.

34 36=

34−6

=3−

2och

34 36=

��3· ��3· ��3· ��3

��3· ��3· ��3· ��3·3·3

=1

3·3

=1 32.

Viser

här

atte

nligt

våra

räkn

ereg

lermåste

den

neg

ativaexpon

entenbe

tydaatt

3−2

=1 32.

Den

allm

ännadefi

nitionen

avneg

ativaexpon

enterär

att,föralla

talasom

inte

är0

gäller

att

a−n

=1 an.

Exe

mpel

5

a)71

293

71293

=71

293−

1293

=70

=1

b)37·3−9·3

4=

37+

(−9)

+4=

32

c)0,00

1=

110

00=

1 103

=10−3

d)

0,00

8=

810

00=

1 125

=1 53

=5−

3

e)( 2 3

) −1=

1 ( 2 3

) 1=1·3 2

=3 2

33

f)( 1 32

) −3=

(3−2

)−3

=3(−2

)·(−3

)=

36

g)0,01

5=

(10−

2 )5

=10−2·5

=10−1

0

Om

baseniettpoten

suttryck

är−1

såbliruttrycket

alterneran

de−1

eller+1be

roen

de

påexpon

entensvä

rde (−

1)1

=−1

(−1)

2=

(−1)·(−1

)=

+1

(−1)

3=

(−1)·(−1

)2=

(−1)·1

=−1

(−1)

4=

(−1)·(−1

)3=

(−1)·(−1

)=

+1

osv.

Reg

elnär

att(−

1)när

lika

med−1

omnär

uddaochlika

med

+1om

när

jämn.

Exe

mpel

6

a)(−

1)56

=1

eftersom

56är

ettjäm

nttal

b)1

(−1)

11=

1 −1=−1

eftersom

11är

ettuddatal

c)(−

2)127

2130

=(−

1·2

)127

2130

=(−

1)127·2

127

2130

=−1

·2127

2130

=−2

127−

130

=−2

−3=−

1 23=−1 8

Byteav

bas

Man

börva

rauppmärksam

påattv

idförenklingav

uttryck

ommöjligt

försök

askriva

ihop

poten

serge

nom

attv

äljasammaba

s.Det

han

dlarofta

omattv

älja2,3eller5som

basochdärförbö

rman

lära

sigattkä

nnaigen

poten

serav

dessa

tal,exem

pelvis

4=

22,8

=23,16

=24,32

=25,64

=26,12

8=

27,...

9=

32,27

=33,81

=34,24

3=

35,...

25=

52,12

5=

53,62

5=

54,...

34

Men

även

1 4=

1 22=

2−2 ,

1 8=

1 23=

2−3 ,

1 16=

1 24=

2−4 ,

...

1 9=

1 32=

3−2 ,

1 27=

1 33=

3−3 ,

...

1 25=

1 52=

5−2 ,

1 125

=1 53

=5−

3 ,...

osv.

Exe

mpel

7

a)Sk

riv

83·4−2·1

6som

enpoten

smed

basen2.

83·4−2·1

6=

(23)3·(22

)−2·2

4=

23·3·2

2·(−2

)·2

4

=29·2−4·2

4=

29−4

+4=

29

b)Sk

riv

272·(1/

9)−2

812

som

enpoten

sav

basen3.

272·(1/

9)−2

812

=(3

3 )2·(1/

32)−

2

(34 )

2=

(33 )

2·(3−

2 )−2

(34 )

2

=33·2·3

(−2)·(−

2)

34·2

=36·3

4

38=

36+4

38=

310

38=

310−

8=

32

c)Sk

riv

81·322·(2/

3)2

25+

24så

enke

ltsom

möjligt.

81·3

22·(2/

3)2

25+

24=

34·(25

)2·2

2 32

24+1+

24=

34·2

5·2·2

2 32

24·2

1+

24=

34·2

10·2

2 32

24·(21

+1)

=

34·2

10·2

2

32

24·3

=34·2

10·2

2

32·2

4·3

=34−2−1·2

10+2−

4=

31·2

8=

3·2

8

35 Rationelle

xpon

ent

Vad

hän

der

ometttal

höjsupptillen

ration

elle

xpon

ent?

Gällerfortfarandededefi

ni-

tion

erochräkn

ereg

lervi

har

anvä

ntossav

ovan

?Eftersom

exem

pelvis

21/2·2

1/2

=21

/2+

1/2

=21

=2

såmåste

21/2va

rasammasaksom√ 2

iochmed

att√ 2

defi

nierassom

det

talsom

uppfyller√ 2

·√2

=2.

Allmän

tkan

vigö

radefi

nitionen

a1/2

=√ a

.

Vimåste

dåförutsätta

atta≥

0,eftersom

inge

treellttalmultipliceratmed

sigsjälv

kange

ettneg

ativttal.

Man

serocksåattexem

pelvis

51/3·5

1/3·5

1/3

=51

/3+

1/3+

1/3

=51

=5

som

inneb

äratt51

/3

=3√ 5,

vilket

kange

neraliseras

tillatt

a1/n

=n√ a

.

Gen

omattk

ombineraden

nadefi

nitionmed

enav

detidigarepoten

slag

arna

((am

)n=

am·n

)fårvi

att,föralla

a≥

0gä

ller

att

am/n

=(a

m)1

/n

=n√ am

eller

am/n

=(a

1/n)m

=(n√ a

)m.

Exe

mpel

8

a)27

1/3

=3√ 27

=3

eftersom

3·3·3

=27

36

b)10

00−1

/3=

110

001/

3=

1(103

)1/3

=1

103·

1 3

=1 101

=1 10

c)1 √ 8

=1

81/2

=1

(23 )

1/2

=1

23/2

=2−

3/2

d)

116−1

/3

=1

(24)−

1/3

=1

2−4/

3=

2−(−

4/3)

=24

/3

Jämförelseav

poten

ser

Om

man

utantillgå

ngtillminiräk

narevilljämföra

storleke

nav

poten

ser,ka

nman

ivissafallav

göra

detta

genom

attjämföra

basenellerexpon

enten.

Om

basenien

poten

sär

större

än1så

blir

poten

senstörre

justörre

expon

enten

är.Ä

rdärem

otba

senmellan0och1så

blir

poten

senmindre

istället

när

expon

enten

växer.

Exe

mpel

9

a)35

/6

>33

/4

eftersom

basen3är

större

än1ochden

första

expon

enten5/

6är

större

änden

andra

expon

enten3/

4.

b)3−

3/4

>3−

5/6

eftersom

basenär

större

än1ochexpon

enternauppfyller

−3/4

>−5

/6.

c)0,35

<0,34

eftersom

basen0,3är

mellan0och1och5

>4.

Har

enpoten

sen

positiv

expon

entså

blirpoten

senstörre

justörre

basenär.D

etmot-

sattagä

ller

omexpon

entenär

neg

ativ:d

åblirpoten

senmindre

när

basenblirstörre.

Exe

mpel

10

a)53

/2

>43

/2

eftersom

basen5är

större

änba

sen4ochbå

dapoten

sernahar

sammapositivaexpon

enten3/

2.

b)2−

5/3

>3−

5/3

eftersom

basernauppfyller

2<

3ochpoten

sernahar

den

neg

ativaexpon

enten−5

/3.

37 Iblandkräv

sdet

enom

skrivn

ingav

poten

sernaförattku

nnaav

göra

storleksförhål-

landet.V

illm

ant.e

x.jämföra

1252

med

363ka

nman

göra

omskrivn

inga

rna

1252

=(5

3)2

=56

och

363

=(6

2)3

=66

varefter

man

kanko

nstateraatt36

3>

1252.

Exe

mpel

11

Avg

örvilket

talsom

ärstörst

av

a)25

1/3och

53/4 .

Basen

25ka

nskriva

som

itermer

avden

andra

basen5ge

nom

att2

5=

5·5

=52.D

ärförär

251/

3=

(52)1

/3

=52·1 3

=52

/3

ochdåservi

att

53/4

>25

1/3

eftersom

3 4>

2 3ochba

sen5är

större

än1.

b)(√

8)5

och12

8.

Båd

e8och12

8ka

nskriva

ssom

poten

serav

2

8=

2·4

=2·2·2

=23,

128

=2·6

4=

2·2·3

2=

2·2·2·16

=2·2·2·2·8

=2·2·2·2·2

3=

27.

Detta

betyder

att

(√8)5

=(8

1/2 )

5=

(8)5

/2

=(2

3 )5/

2=

23·5 2

=21

5/2

128

=27

=21

4/2

ochdärförär

(√8)5

>12

8

ioch

med

att15 2

>14 2

ochba

sen2är

större

än1.

c)(8

2)1

/5och

(√27

)4/5 .

Eftersom

8=

23och27

=33

såka

nettförstasteg

vara

attfören

klaochskriva

talensom

poten

serav

2resp

ektive

3,

(82 )

1/5

=(8

)2/5

=(2

3 )2/

5=

23·2 5

=26

/5 ,

(√27

)4/5

=(271

/2)4

/5

=27

1 2·4 5

=27

2/5

=(3

3)2

/5

=33·2 5

=36

/5 .

38

Nuservi

att

(√27

)4/5

>(8

2)1

/5

eftersom

3>

2ochexpon

enten

6 5är

positiv.

d)

31/3och

21/2

Viskriver

expon

enternamed

gemen

sam

näm

nare

1 3=

2 6och

1 2=

3 6.

Dåhar

viatt

31/3

=32

/6

=(3

2 )1/

6=

91/6

21/2

=23

/6

=(2

3 )1/

6=

81/6

ochvi

seratt

31/3

>21

/2

eftersom

9>

8ochexpon

enten1/

6är

positiv.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Etttalu

pphöjttill0är

1,om

talet(ba

sen)är

skildfrån

0.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaring

■Läs

mer

ompoten

serpåen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Ex

pone

nt)

■Vilke

tärdet

störstaprimtalet?

Läs

mer

påThePrimePag

es(http://primes.utm.edu/)

Län

ktips

■Här

kanduträn

apåpoten

slag

arna

(http://www.ltcconline.net/g

reen

l/ja

va/B

asic

Alge

bra/

ExponentRules/ExponentRules.

html

)

39 1.3Övn

inga

r

Övn

ing1.3:1

Beräk

na

a)23·3

2b)

35·9−2

c)(−

5)3

d)

( 2 3

) −3Övn

ing1.3:2

Skrivsom

enpoten

sav

2

a)2·4·8

b)0,25

c)1

Övn

ing1.3:3

Skrivsom

enpoten

sav

3

a)1 3

b)24

3c)

92d)

1 27e)

3 92

Övn

ing1.3:4

Beräk

na

a)29·2−7

b)31

3·9−3·2

7−2

c)51

2

5−4·(52

)−6

d)

223·(−2

)−4

e)62

5·(58

+59

)−1

Övn

ing1.3:5

Beräk

na

a)41

/2

b)4−

1/2

c)93

/2

d)

( 472/

3) 3e)

31,4·3

0,6

f)( 12

51/3) 2 ·

( 271/

3) −2·9

1/2

Övn

ing1.3:6

Avg

örvilket

talsom

ärstörst

av

a)25

61/3och

2001

/3

b)0,5−

3och

0,4−

3c)

0,25

och

0,27

d)

4001

/3och

( 51/3) 4

e)12

51/2och

6251

/3

f)25

6och

340

40

2.1Algeb

raiskauttryck

Inneh

åll:

■Distributiva

lage

n■Kva

dreringsreglerna

■Kon

juga

treg

eln

■Rationella

uttryck

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Fö

renklako

mpliceradealge

braiskauttryck.

■Fa

ktoriserauttryck

med

kvad

reringsreglernaochko

njuga

treg

eln.

■Utvecklauttryck

med

kvad

reringsreglernaochko

njuga

treg

eln.

Distributiva

lage

n

Den

distributiva

lage

nan

gerhurman

multiplicerarin

enfaktor

ienparen

tes.

a(b

+c)

=ab

+ac

Exe

mpel

1

a)4(x

+y)

=4x

+4y

b)2(a−

b)=

2a−

2b

c)x( 1 x

+1 x2

) =x·1 x

+x·1 x

2=

�x �x+

�x x�2

=1

+1 x

d)

a(x

+y

+z)

=ax

+ay

+az

Med

den

distributiva

lage

nka

nvi

ocksåförstå

hurvi

kanhan

tera

minustecke

nfram

för

paren

tesu

ttryck.R

egelnsäge

rattenparen

tesmed

ettm

inustecke

nfram

förka

ntasbo

rtom

alla

term

erinutiparen

tesenby

tertecken

.

41

Exe

mpel

2

a)−(

x+

y)

=(−

1)·(x

+y)

=(−

1)x

+(−

1)y

=−x

−y

b)−(

x2−

x)

=(−

1)·(x2−

x)

=(−

1)x2−

(−1)x

=−x

2+

x

där

viisista

ledet

anvä

ntatt−(−1

)x=

(−1)

(−1)x

=1·x

=x.

c)−(

x+

y−

y3 )

=(−

1)·(x

+y−

y3)

=(−

1)·x

+(−

1)·y−

(−1)·y

3

=−x

−y

+y3

d)

x2−

2x−

(3x

+2)

=x2−

2x−

3x−

2=

x2−

(2+

3)x−

2

=x2−

5x−

2

Om

den

distributiva

lage

nan

vändsba

klän

gesså

sägs

vifaktoriserauttrycket.Ofta

försök

erman

brytaute

nså

stor

faktor

som

möjligt.

Exe

mpel

3

a)3x

+9y

=3x

+3·3

y=

3(x

+3y

)

b)xy

+y2

=xy

+y·y

=y(x

+y)

c)2x

2−

4x=

2x·x−

2·2·x

=2x

(x−

2)

d)

y−

x

x−

y=−(

x−

y)

x−

y=−1 1

=−1

Kva

drerings

reglerna

Den

distributiva

lage

nbe

höv

eriblandan

vändas

upprepad

egå

nge

rförattbe

han

dla

större

uttryck.O

mvi

betrak

tar

(a+

b)(c

+d)

ochsera+

bsom

enfaktor

som

multiplicerasin

iparen

tesen

(c+

d)så

fårvi

(c+

d)

=c+

d,

(a+

b)(c

+d)

=(a

+b)

c+

(a+

b)d.

Sedan

kancochdmultiplicerasin

irespek

tive

paren

tes

(a+

b)c+

(a+

b)d

=ac

+bc

+ad

+bd.

42

Ettminnesvä

rtsättattsamman

fattaform

elnär:

(a+

b)(

c+

d)

=ac

+ad

+bc

+bd

Exe

mpel

4

a)(x

+1)

(x−

2)=

x·x

+x·(−2

)+1·x

+1·(−2

)=

x2−

2x+

x−

2

=x2−

x−

2

b)3(x−

y)(2x

+1)

=3(x·2

x+

x·1−

y·2

x−

y·1

)=

3(2x

2+

x−

2xy−

y)

=6x

2+

3x−

6xy−

3y

c)(1−

x)(2−

x)

=1·2

+1·(−x

)−x·2−

x·(−x

)=

2−

x−

2x+

x2

=2−

3x+

x2

där

vian

vänta

tt−x

·(−x

)=

(−1)x·(−1

)x=

(−1)

2x2

=1·x

2=

x2 .

Två

viktigasp

ecialfalla

vov

anståendeform

elär

när

a+

bochc+

där

sammauttryck

Kva

dreringsreglerna

(a+

b)2

=a2

+2ab+

b2

(a−

b)2

=a2−

2ab+

b2

Dessa

form

lerka

llas

förförsta

ochan

dra

kvad

reringsrege

ln.

Exe

mpel

5

a)(x

+2)

2=

x2+

2·2

x+

22=

x2+

4x+

4

b)(−

x+

3)2

=(−

x)2

+2·3

(−x)+

32=

x2−

6x+

9

där

(−x)2

=((−1

)x)2

=(−

1)2x2

=1·x

2=

x2 .

c)(x

2−

4)2

=(x

2)2−

2·4

x2+

42=

x4−

8x2+

16

d)

(x+

1)2−

(x−

1)2

=(x

2+

2x+

1)−

(x2−

2x+

1)=

x2+

2x+

1−

x2+

2x−

1

=2x

+2x

=4x

43

e)(2x

+4)

(x+

2)=

2(x

+2)

(x+

2)=

2(x

+2)

2=

2(x2+

4x+

4)=

2x2+

8x+

8

f)(x−

2)3

=(x−

2)(x−

2)2

=(x−

2)(x

2−

4x+

4)=

x·x

2+

x·(−4

x)+

x·4−

2·x

2−

2·(−4

x)−

2·4

=x3−

4x2+

4x−

2x2+

8x−

8=

x3−

6x2+

12x−

8

Kva

dreringsreglernaan

vändsocksåio

mvä

ndriktningförattfaktoriserauttryck.

Exe

mpel

6

a)x2+

2x+

1=

(x+

1)2

b)x6−

4x3+

4=

(x3)2−

2·2

x3+

22=

(x3−

2)2

c)x2+

x+

1 4=

x2+

2·1 2

x+

( 1 2

) 2 =( x

+1 2

) 2

Kon

juga

treg

eln

Etttred

jesp

ecialfalla

vden

första

form

elniförra

avsn

ittetär

konjuga

treg

eln

Kon

juga

treg

eln:

(a+

b)(a−

b)=

a2−

b2

Den

naform

elka

nvi

fåfram

direk

tge

nom

attu

tvecklavä

nsterledet

(a+

b)(a−

b)=

a·a

+a·(−b

)+b·a

+b·(−b

)=

a2−

ab+

ab−

b2=

a2−

b2.

Exe

mpel

7

a)(x−

4y)(x

+4y

)=

x2−

(4y)2

=x2−

16y2

b)(x

2+

2x)(x2−

2x)

=(x

2)2−

(2x)2

=x4−

4x2

c)(y

+3)

(3−

y)

=(3

+y)(3−

y)

=32−

y2

=9−

y2

44

d)

x4−

16=

(x2 )

2−

42=

(x2+

4)(x

2−

4)=

(x2+

4)(x

2−

22)

=(x

2+

4)(x

+2)

(x−

2)

Rationella

uttryck

Räk

ningmed

alge

braiskauttryck

som

inneh

ållerb

råklikn

artillstor

delva

nligbråk

räk-

ning. Multiplika

tion

ochdivisionav

bråk

uttryck

följe

rsammaräkn

ereg

lersom

gäller

för

vanliga

bråk

tal,

a b·c d

=a·c

b·d

och

a b c d

=a·d

b·c

.

Exe

mpel

8

a)3x

x−

y·

4x2x

+y

=3x·4

x

(x−

y)·

(2x

+y)

=12

x2

(x−

y)(2x

+y)

b)

a x

x+

1a

=a2

x(x

+1)

c)

x

(x+

1)2

x−

2x−

1

=x(x−

1)(x−

2)(x

+1)

2

Förlän

gningav

ettbråk

uttryck

inneb

ärattvi

multiplicerartälja

reochnäm

naremed

sammafaktor

x+

2x

+1

=(x

+2)

(x+

3)(x

+1)

(x+

3)=

(x+

2)(x

+3)

(x+

4)(x

+1)

(x+

3)(x

+4)

=...

45 Förkortningav

ettb

råku

ttryck

inneb

ärattv

istryk

erfaktorer

som

tälja

renochnäm

na-

renhar

gemen

samt (x

+2)

��

��

(x+

3)(x

+4)

(x+

1)�

��

�(x

+3)

(x+

4)=

(x+

2)�

��

�(x

+4)

(x+

1)�

��

�(x

+4)

=x

+2

x+

1.

Exe

mpel

9

a)x

x+

1=

x

x+

1·x

+2

x+

2=

x(x

+2)

(x+

1)(x

+2)

b)x2−

1x(x

2−

1)=

1 x

c)(x

2−

y2 )

(x−

2)(x

2−

4)(x

+y)

={ ko

njuga

treg

eln

} =(x

+y)(x−

y)(x−

2)(x

+2)

(x−

2)(x

+y)

=x−

y

x+

2

När

bråk

uttryck

adderas

ellersu

btraheras

behöv

erde,om

såär

nöd

vändigt,förlän

gas

såattdefårsammanäm

nareinnan

tälja

rnaka

nko

mbineras

ihop

,

1 x−

1x−

1=

1 x·x−

1x−

1−

1x−

1·x x

=x−

1x(x−

1)−

x

x(x−

1)=

x−

1−

x

x(x−

1)=

−1x(x−

1).

Oftaförsök

erman

förlän

gamed

sålite

som

möjligt

förattu

nderlättaräkn

andet.M

ins-

tage

men

sammanäm

nare(M

GN)ä

rden

gemen

sammanäm

naresom

inneh

ållerminst

antalfak

torer.

Exe

mpel

10

a)1

x+

1+

1x

+2

har

MGN

=(x

+1)

(x+

2)

Förlän

gden

första

term

enmed

(x+

2)ochden

andra

term

enmed

(x+

1)

1x

+1

+1

x+

2=

x+

2(x

+1)

(x+

2)+

x+

1(x

+2)

(x+

1)

=x

+2

+x

+1

(x+

1)(x

+2)

=2x

+3

(x+

1)(x

+2)

.

b)1 x

+1 x2

har

MGN

=x2

Vib

ehöv

erba

raförlän

gaden

första

term

enförattfå

enge

men

sam

näm

nare

1 x+

1 x2

=x x2

+1 x2

=x

+1

x2

.

46

c)1

x(x

+1)

2−

1x2 (x

+2)

har

MGN

=x2 (x

+1)

2 (x

+2)

Den

första

term

enförlän

gsmed

x(x

+2)

med

anden

andra

term

enförlän

gsmed

(x+

1)2

1x(x

+1)

2−

1x2 (x

+2)

=x(x

+2)

x2(x

+1)

2 (x

+2)−

(x+

1)2

x2 (x

+1)

2(x

+2)

=x2+

2xx2(x

+1)

2 (x

+2)−

x2+

2x+

1x2 (x

+1)

2(x

+2)

=x2+

2x−

(x2+

2x+

1)x2 (x

+1)

2 (x

+2)

=x2+

2x−

x2−

2x−

1x2 (x

+1)

2(x

+2)

=−1

x2(x

+1)

2 (x

+2)

.

d)

x

x+

1−

1x(x−

1)−

1har

MGN

=x(x−

1)(x

+1)

Viförlän

geralla

term

erså

attdefården

gemen

sammanäm

naren

x(x−

1)(x

+1)

x

x+

1−

1x(x−

1)−

1=

x2 (x−

1)x(x−

1)(x

+1)−

x+

1x(x−

1)(x

+1)−

x(x−

1)(x

+1)

x(x−

1)(x

+1)

=x3−

x2

x(x−

1)(x

+1)−

x+

1x(x−

1)(x

+1)−

x3−

x

x(x−

1)(x

+1)

=x3−

x2−

(x+

1)−

(x3−

x)

x(x−

1)(x

+1)

=x3−

x2−

x−

1−

x3+

x

x(x−

1)(x

+1)

=−x

2−

1x(x−

1)(x

+1)

.

Vid

förenklingav

större

uttryck

ärdet

ofta

nöd

vändigtattbå

deförlän

gaochförkorta

isteg.

Eftersom

förkortningförutsätterattvi

kanfaktoriserauttryck

ärdet

viktigtatt

försök

abe

hålla

uttryck

(t.ex.

näm

nare)

faktoriserad

eochinte

utvecklanåg

otsom

visenarebe

höv

erfaktorisera.

47

Exe

mpel

11

a)1

x−

2−

4x2−

4=

1x−

2−

4(x

+2)

(x−

2)=

{ MGN

=(x

+2)

(x−

2)}

=x

+2

(x+

2)(x−

2)−

4(x

+2)

(x−

2)

=x

+2−

4(x

+2)

(x−

2)=

x−

2(x

+2)

(x−

2)=

1x

+2

b)x

+1 x

x2+

1=

x2 x

+1 x

x2+

1=

x2+

1x

x2+

1=

x2+

1x(x

2+

1)=

1 x

c)

1 x2−

1 y2

x+

y=

y2

x2 y

2−

x2

x2y2

x+

y=

y2−

x2

x2 y

2

x+

y=

y2−

x2

x2 y

2 (x

+y)

=(y

+x)(y−

x)

x2 y

2 (x

+y)

=y−

x

x2 y

2

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Var

nog

gran

n.O

mdugö

rettfelp

åettställe

såko

mmer

resten

avuträk

ninge

nocksåva

rafel.

Anvä

ndmån

gamellanled.O

mduär

osäk

erpåen

uträk

ningutför

dåhellre

enklasteg

änettstortsteg

.Utvecklainte

ionöd

an.D

uka

nvidettsenaretillfälleva

ratvunge

nattfak-

torisera

tillba

ka.

Lästips

■Läs

mer

omalge

brapåen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Al

gebr

a)

■Understan

dingAlgeb

ra—

enge

lsktextbo

kpånätet

(http://www.jamesbrennan.org

/alg

ebra

/)

48

2.1Övn

inga

r

Övn

ing2.1:1

Utveckla

a)3x

(x−

1)b)

(1+

x−

x2 )xy

c)−x

2 (4−

y2)

d)

x3 y

2( 1 y

−1 xy

+1)

e)(x−

7)2

f)(5

+4y

)2

g)(y

2−

3x3)2

h)

(5x3+

3x5 )

2

Övn

ing2.1:2

Utveckla

a)(x−

4)(x−

5)−

3x(2x−

3)b)

(1−

5x)(1

+15

x)−

3(2−

5x)(2

+5x

)

c)(3x

+4)

2−

(3x−

2)(3x−

8)d)

(3x2+

2)(3x2−

2)(9x4+

4)

e)(a

+b)

2+

(a−

b)2

Övn

ing2.1:3

Faktoriseraså

långt

som

möjligt

a)x2−

36b)

5x2−

20c)

x2+

6x+

9

d)

x2−

10x

+25

e)18

x−

2x3

f)16

x2+

8x+

1

Övn

ing2.1:4

Bestäm

koefficien

ternafram

förxoch

x2när

följa

ndeuttryck

utvecklas

a)(x

+2)

(3x2−

x+

5)

b)(1

+x

+x2+

x3 )

(2−

x+

x2+

x4 )

c)(x−

x3+

x5 )

(1+

3x+

5x2 )

(2−

7x2−

x4)

Övn

ing2.1:5

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)1

x−

x2−

1 xb)

1y2−

2y−

2y2−

4

c)(3x2−

12)(x2−

1)(x

+1)

(x+

2)d)

(y2+

4y+

4)(2y−

4)(y

2+

4)(y

2−

4)

49 Övn

ing2.1:6

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)( x−

y+

x2

y−

x

)(y

2x−

y−

1)b)

x

x−

2+

x

x+

3−

2

c)2a

+b

a2−

ab−

2a−

bd)

a−

b+

b2

a+

b

1−

( a−b

a+

b

) 2Övn

ing2.1:7

Förenklafölja

ndebråk

uttryck

genom

attskrivapåge

men

samtb

råkstreck

a)2

x+

3−

2x

+5

b)x

+1

x−

1+

1 x2

c)ax

a+

1−

ax2

(a+

1)2

Övn

ing2.1:8

Förenklafölja

ndebråk

uttryck

genom

attskrivapåge

men

samtb

råkstreck

a)

x

x+

13

+x

b)

3 x−

1 x

1x−

3

c)1

1+

1

1+

11

+x

50

2.2Linjära

uttryck

Inneh

åll:

■Fö

rstagrad

sekv

ationer

■Rätalinjensek

vation

■Geo

metriskaproblem

■Områden

som

defi

nierasav

olikheter

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Lösaalge

braiskaek

vation

ersom

efterförenklingleder

tillförstagrad

s-ek

vation

er.

■Omva

ndla

mellanform

ernay

=kx

+m

ochax

+by

+c

=0.

■Sk

issera

räta

linjerutgåendefrån

ekva

tion

en.

■Lösage

ometriskaproblem

som

inneh

ållerräta

linjer.

■Sk

issera

områden

som

gesav

linjära

olikheter

ochbe

stäm

maareanav

dessa.

Förstagrad

sekva

tion

er

Förattlösa

förstagrad

sekv

ationer

(äve

nka

llad

elinjära

ekva

tion

er)utför

viräkn

eope-

ration

erpåbå

daleden

samtidigt,som

successivt

förenklar

ekva

tion

enochtillslutg

örattvi

fårxen

samti

enaledet.

Exe

mpel

1

a)Lös

ekva

tion

enx

+3

=7.

Subtrahera3från

bådaled

x+

3−

3=

7−

3.

Vän

sterledet

förenklas

dåtillxochvi

fåratt

x=

7−

3=

4.

51

b)Lös

ekva

tion

en3x

=6.

Dividerabå

daledmed

33x 3

=6 3.

Efter

atthaförkortatbo

rt3iv

änsterledet

har

viatt

x=

6 3=

2.

c)Lös

ekva

tion

en2x

+1

=5.

Förstsu

btraherar

vibå

daledmed

1förattfå

2xen

samti

vänsterledet

2x=

5−

1.

Sedan

dividerar

vibå

daledmed

2ochfårsvaret

x=

4 2=

2.

Enförstagrad

sekv

ationka

nskriva

spånormalform

enax

=b.Lösninge

när

dåhelte

n-

keltx

=b/

a(m

anmåste

anta

atta6=

0).D

eev

entuella

svårigheter

som

kanuppstånär

man

löseren

förstagrad

sekv

ationgä

ller

alltså

inte

själva

lösn

ingsform

elnutansn

arare

deförenklinga

rsom

kanbe

höv

asförattko

mmatillnormalform

en.H

ärned

anvisas

någ

raexem

pelsom

har

det

gemen

samta

tten

ekva

tion

förenklas

tilllinjärnormalform

ochdärmed

fåren

unik

lösn

ing.

Exe

mpel

2

Lös

ekva

tion

en2x−

3=

5x+

7.

Eftersom

xföreko

mmer

bådeiv

änster-o

chhög

erledet

subtraherar

vi2x

från

båda

led

2x−

3−

2x=

5x+

7−

2x

ochfårxsamlati

hög

erledet

−3=

3x+

7.

Nusu

btraherar

vi7från

bådaled −3−

7=

3x+

7−

7

ochfår3x

ensamtk

varih

ögerledet

−10

=3x

.

52

Det

sistasteg

etär

attdividerabå

daledmed

3

−10

3=

3x 3

ochdetta

geratt

x=−10 3

.

Exe

mpel

3

Lös

utxfrån

ekva

tion

enax

+7

=3x−

b.

Gen

omattsu

btraherabå

daledmed

3x

ax+

7−

3x=

3x−

b−

3x

ax+

7−

3x=

−b

ochsedan

med

7

ax+

7−

3x−

7=−b−

7

ax−

3x=−b−

7

har

visamlatalla

term

ersom

inneh

ållerxivä

nsterledet

ochöv

riga

term

erihö-

gerled

et.Eftersom

term

ernaivä

nsterledet

har

xsom

enge

men

sam

faktor

kanx

brytas

ut

(a−

3)x

=−b−

7.

Dividerabå

daledmed

a−

3

x=−b−

7a−

3.

Det

ärinte

alltid

uppen

bart

attman

har

attgö

ramed

enförstagrad

sekv

ation.Iföl-

jandetvåexem

pel

förvan

dlasden

ursprungligaek

vation

enge

nom

förenklinga

rtillen

förstagrad

sekv

ation.

Exe

mpel

4

Lös

ekva

tion

en(x−

3)2+

3x2

=(2x

+7)

2 .

53

Utvecklakv

adratuttrycken

ibåd

aleden

x2−

6x+

9+

3x2

=4x

2+

28x

+49

,

4x2−

6x+

9=

4x2+

28x

+49

.

Subtrahera4x

2från

bådaled

−6x

+9

=28

x+

49.

Addera6x

tillbå

daled

9=

34x

+49

.

Subtrahera49

från

bådaled

−40

=34

x.

Dividerabå

daledmed

34

x=−4

034

=−20 17

.

Exe

mpel

5

Lös

ekva

tion

enx

+2

x2+

x=

32

+3x

.

Flytta

över

bådaterm

ernaie

naledet

x+

2x2+

x−

32

+3x

=0.

Förlän

gterm

ernaså

attd

efårsammanäm

nare

(x+

2)(2

+3x

)(x

2+

x)(2

+3x

)−

3(x2+

x)

(2+

3x)(x2+

x)

=0

ochförenklatälja

ren

(x+

2)(2

+3x

)−3(x2+

x)

(x2+

x)(2

+3x

)=

0,

3x2+

8x+

4−

(3x2+

3x)

(x2+

x)(2

+3x

)=

0,

5x+

4(x

2+

x)(2

+3x

)=

0.

Den

naek

vation

äruppfylldba

ranär

tälja

renär

lika

med

noll(samtidigtsom

näm

-naren

inte

ärlika

med

noll),

5x+

4=

0

vilket

gerattx

=−

4 5.

54

Rätalinjer

Funktioner

avtypen

y=

2x+

1

y=−x

+3

y=

1 2x−

5

ärexem

pel

pålinjära

funktioner

ochdeka

nallm

äntskrivas

iformen

y=

kx+

m

där

kochm

ärko

nstan

ter.

Grafentillen

linjärfunktionär

alltid

enrätlinje

ochko

nstan

tenkan

gerlinjens

lutningmot

x-axeln

ochm

ange

ry-koo

rdinaten

förden

punkt

där

linjenskär

y-axeln.

x

y

1steg

ksteg

x

y

m

Linjeny

=kx

+m

har

lutningkochskär

y-axe

lni(0,m

).

Kon

stan

tenkka

llas

förlinjensriktningsko

efficien

toch

inneb

äratte

nen

hetsförän

dring

ipositiv

x-led

pålinjenge

rken

hetersförändringip

ositiv

y-led

.Det

gäller

därmed

att

om

■k

>0så

lutarlinjenuppåt,

■k

<0så

lutarlinjenned

åt.

Fören

horison

telllinje

(parallellmed

x-axeln)är

k=

0med

anen

vertikal

linje

(pa-

rallellmed

y-axeln)inte

har

någ

otk-vä

rde(ensådan

linje

kaninte

skriva

siform

eny

=kx

+m).

Exe

mpel

6

a)Sk

issera

linjen

y=

2x−

1.

55

Jämförvi

linjensek

vation

med

y=

kx+

mså

servi

attk

=2ochm

=−1

.Detta

betyder

attlinjensriktningsko

efficien

tär

2ochattden

skär

y-axeln

ipunkten

(0,−

1).S

efigu

rentillvä

nster

ned

an.

b)Sk

issera

linjen

y=

2−

1 2x.

Linjensek

vation

kanskriva

ssom

y=−

1 2x

+2ochdåservi

attdessrikt-

ningsko

efficien

tär

k=−

1 2ochattm

=2.

Sefigu

renned

antillhög

er.

x

y

1steg2

steg

−1

Linjeny

=2x−

1

x

y

1steg

1 2steg

2

Linjeny

=2−

x/2

Exe

mpel

7

Vilke

nriktningsko

efficien

thar

den

räta

linje

som

gårge

nom

punkterna

(2,1

)och

(5,3

)?

Ritar

viupppunkternaochlinjenie

ttko

ordinatsystem

såservi

att5−

2=

3steg

ix-led

motsvaras

av3−

1=

2steg

iy-led

pålinjen.D

etbe

tyder

att1steg

ix-led

måste

motsvaras

avk

=3−

15−

2=

2 3steg

iy-led

.Alltsåär

linjensriktningsko

efficien

tk

=2 3.

x

y

3steg

2steg

x

y

1steg

2 3steg

56

Två

räta

linjersom

ärparallellahar

uppen

barligen

sammariktningsko

efficien

t.Det

gårocksåattse

(t.ex.

ifigu

renned

an)atttvålinjersom

ärvinke

lrätahar

riktningsko

-efficien

terk 1

resp

ektive

k 2som

uppfyller

k 2=−1

/k 1,vilket

ocksåka

nskriva

ssom

k 1k 2

=−1

.

x

y

1steg

ksteg

x

y

1steg

ksteg

Den

räta

linjenifi

gurentillvä

nster

har

riktningsko

efficien

tk,dvs.1

steg

ix-led

mot-

svaras

avksteg

iy-led

.Om

linjenvrids90◦ m

otsolsfårvi

linjenifi

gurentillhög

er,o

chden

linjenhar

riktningsko

efficien

t−

1 keftersom

numotsvaras−k

steg

ix-led

av1steg

iy-led

.

Exe

mpel

8

a)Linjernay

=3x−

1ochy

=3x

+5är

parallella.

b)Linjernay

=x

+1ochy

=2−

xär

vinke

lräta.

Allaräta

linjer(äve

nden

vertikalalinjen)ka

nskriva

sid

enallm

ännaform

en

ax+

by=

c

där

a,bochcär

konstan

ter.

Exe

mpel

9

a)Sk

rivlinjeny

=5x

+7iformen

ax+

by=

c.

Flytta

över

x-termen

tillvä

nsterledet:−

5x+

y=

7.

b)Sk

rivlinjen2x

+3y

=−1

iformen

y=

kx+

m.

Flytta

över

x-termen

ihög

erledet

3y=−2

x−

1ochdelabå

daledmed

3

y=−

2 3x−

1 3.

57 Områden

ikoo

rdinatsy

stem

Gen

omatttolkaolikheter

geom

etrisktka

ndean

vändas

förattbe

skriva

områden

iplanet.

Exe

mpel

10

a)Sk

issera

området

ixy-planet

som

uppfyller

y≥

2.

Området

gesav

alla

punkter

(x,y

)va

rsy-koo

rdinat

är2ellerstörre,d

vs.alla

punkter

påellerov

anförlinjeny

=2.

x

y

y≥

2

b)Sk

issera

området

ixy-planet

som

uppfyller

y<

x.

Enpunkt

(x,y

)som

uppfyller

olikheten

y<

xhar

enx-koo

rdinat

som

ärstörre

ändessy-koo

rdinat.Området

består

alltså

avalla

punkter

tillhög

erom

linjeny

=x.

x

y

y<

x

Attlinjeny

=xär

streckad

betyder

attpunkternapålinjeninte

tillhör

det

färgad

eom

rådet.

58

Exe

mpel

11

Skissera

området

ixy-planet

som

uppfyller

2≤

3x+

2y≤

4.

Den

dubb

laolikheten

kandelas

uppitvå

olikheter

3x+

2y≥

2och

3x+

2y≤

4.

Flyttarvi

över

x-termernatillhög

erledet

ochdelar

bådaledmed

2fårvi

y≥

1−

3 2x

och

y≤

2−

3 2x.

Depunkter

som

uppfyller

den

första

olikheten

ligg

erpåochov

anförlinjeny

=1−

3 2xmed

andepunkter

som

uppfyller

den

andra

olikheten

ligg

erpåellerunder

linjeny

=2−

3 2x.

x

y

x

y

Figu

rentillvä

nster

visarom

rådet

3x+

2y≥

2ochfigu

rentillhög

erom

-rådet

3x+

2y≤

4.

Punkter

som

uppfyller

bådaolikheternatillhör

det

bandform

adeom

rådesom

de

färgad

eom

råden

aov

anhar

gemen

samt.

x

y

Figu

renvisarom

rådet

2≤

3x+

2y≤

4.

59

Exe

mpel

12

Om

viritarupplinjernay

=x,y

=−x

ochy

=2så

begrän

sardessa

linjeren

triange

l,ik

oordinatsystem

et.

x

y

y=

xy

=−x

y=

2

Viu

pptäcker

attför

atte

npunkt

skallligga

iden

natriange

lsåmåste

visättaen

del

krav

påden

.Viser

attd

essy-koo

rdinat

måste

vara

mindre

än2.Sa

mtidigtser

viatttrian

geln

ned

åtbe

grän

sasav

y=

0.y-koo

rdinaten

måste

således

ligg

aiintervallet0≤

y≤

2.Fö

rx-koo

rdinaten

blirdet

lite

mer

komplicerat.Viser

attx-koo

rdinaten

måste

ligg

aov

anförlinjernay

=−x

ochy

=x.V

iser

attd

etta

äruppfylltd

å−y

≤x≤

y.

Eftersom

viredan

har

begrän

sninga

rföry-koo

rdinaten

såservi

attxinte

kanva

rastörre

än2ellermindre

än−2

automatiskt.

Viser

attba

senitrian

geln

blir4längd

enheter

ochhöjden

2längd

enheter.

Arean

avden

natriange

lbliralltså

4·2

/2

=4areaen

heter.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt...

Ritaeg

nafigu

rernär

dulöserge

ometriskaproblem

ochattva

ranog

gran

nnär

duritar!Enbrafigu

rka

nva

rahalva

lösn

inge

n,m

enen

dålig

figu

rka

nlura

en.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringvill

60

vitipsa

om:

■Läs

mer

omräta

linjensek

vation

iBrunoKev

iusmatem

atiska

ordlista

(http://matmin.kevius.com/li

nje.

html

)

Län

ktips

■Exp

erim

entera

med

räta

linjensek

vation

(http://www.cut-

the-

knot.org

/Cur

ricu

lum/

Calcul

us/S

trai

ghtL

ine.

shtml)

■Exp

erim

entera

med

Arkim

edes

triange

loch

andragrad

skurvor

(http://www.cut-

the-

knot.org

/Cur

ricu

lum/

Geomet

ry/

ArchimedesTriangle.shtml

)

61 2.2Övn

inga

r

Övn

ing2.2:1

Lös

ekva

tion

erna

a)x−

2=−1

b)2x

+1

=13

c)1 3x−

1=

xd)

5x+

7=

2x−

6

Övn

ing2.2:2

Lös

ekva

tion

erna

a)5x 6−

x+

29

=1 2

b)8x

+3

7−

5x−

74

=2

c)(x

+3)

2−

(x−

5)2

=6x

+4

d)

(x2+

4x+

1)2+

3x4−

2x2

=(2x2+

2x+

3)2

Övn

ing2.2:3

Lös

ekva

tion

erna

a)x

+3

x−

3−

x+

5x−

2=

0

b)4x

4x−

7−

12x−

3=

1

c)( 1 x−

1−

1x

+1

) ( x2+

1 2

) =6x−

13x−

3

d)

( 2 x−

3)( 1 4x+

1 2

) −( 1 2x

−2 3

) 2 −( 1 2x

+1 3

)( 1 2x−

1 3

) =0

Övn

ing2.2:4

a)Sk

rivek

vation

enförlinjeny

=2x

+3påform

enax

+by

=c.

b)Sk

rivek

vation

enförlinjen3x

+4y−

5=

0påform

eny

=kx

+m.

Övn

ing2.2:5

a)Bestäm

ekva

tion

enförden

räta

linjesom

gårge

nom

punkterna

(2,3

)och

(3,0

).

b)Bestäm

ekva

tion

enförden

räta

linjesom

har

riktningsko

efficien

t−3

ochgå

rge

nom

punkten

(1,−

2).

c)Bestäm

ekva

tion

enförden

räta

linjesom

gårge

nom

punkten

(−1,2)

ochär

parallellmed

linjeny

=3x

+1.

d)

Bestäm

ekva

tion

enförden

räta

linjesom

gårge

nom

punkten

(2,4

)ochär

vinke

lrät

mot

linjeny

=2x

+5.

e)Bestäm

riktningsko

efficien

ten,k,för

den

räta

linjesom

skär

x-axeln

ipunkten

(5,0

)ochy-axeln

ipunkten

(0,−

8).

62

Övn

ing2.2:6

Finnskärningspunkten

mellanfölja

ndelinjer

a)y

=3x

+5ochx-axeln

b)y

=−x

+5ochy-axeln

c)4x

+5y

+6

=0ochy-axeln

d)

x+

y+

1=

0ochx

=12

e)2x

+y−

1=

0ochy−

2x−

2=

0

Övn

ing2.2:7

Skissera

grafen

tillfölja

ndefunktioner

a)f(x)

=3x−

2b)

f(x)

=2−

xc)

f(x)

=2

Övn

ing2.2:8

Ritain

iettxy-planalla

punkter

vars

koordinater

(x,y

)uppfyller

a)y≥

xb)

y<

3x−

4c)

2x+

3y≤

6

Övn

ing2.2:9

Beräk

naareanav

den

triange

lsom

a)har

hörnip

unkterna

(1,4

),(3,3

)och

(1,0

).

b)be

grän

sasav

linjernax

=2y

,y=

4ochy

=10−

2x.

c)be

skrivs

avolikheternax

+y≥−2

,2x−

y≤

2och2y−

x≤

2.

63 2.3Andragrad

suttryck

Inneh

åll:

■Kva

dratkom

plettering

■Andragrad

sekv

ationer

■Fa

ktorisering

■Parab

ler

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Kva

dratkom

pletteraan

dragrad

suttryck.

■Lösaan

dragrad

sekv

ationer

med

kvad

ratkom

plettering(ejfärdig

form

el)

ochve

tahurman

kontrollerarsvaret.

■Fa

ktoriseraan

dragrad

suttryck

(när

det

ärmöjligt).

■Direk

tlösafaktoriserad

eellernästanfaktoriserad

ean

dragrad

sekv

ationer.

■Bestämmadet

minsta/

störstavä

rdeettan

dragrad

suttryck

antar.

■Sk

issera

parab

lerge

nom

kvad

ratkom

plettering.

Andragrad

sekva

tion

er

Enan

dragrad

sekv

ationär

enek

vation

som

kanskriva

ssom

x2+

px

+q

=0

där

xär

den

obek

anta

ochpochqär

konstan

ter.

Enklaretyper

avan

dragrad

sekv

ationer

kanvi

lösa

direk

tge

nom

rotutdragn

ing.

Ekv

ationen

x2

=adär

aär

ettpositivttalh

artvålösn

inga

r(rötter)

x=√ a

och

x=−√

a.

64

Exe

mpel

1

a)x2

=4

har

rötternax

=√ 4

=2ochx

=−√

4=−2

.

b)2x

2=

18skrivs

omtillx2

=9ochhar

rötternax

=√ 9

=3ochx

=−√

9=

−3.

c)3x

2−

15=

0ka

nskriva

ssom

x2

=5ochhar

rötternax

=√ 5

≈2,23

6och

x=−√

5≈−2

,236

.

d)

9x2+25

=0

sakn

arlösn

inga

reftersom

vänsterledet

kommer

alltid

attv

ara

större

änellerlika

med

25oa

vsetth

urxvä

ljs(kva

dratenx2är

alltid

större

änellerlika

med

noll).

Exe

mpel

2

a)Lös

ekva

tion

en(x−

1)2

=16

.

Gen

omattbe

trak

tax−

1som

obek

antge

rrotutdragn

ingattek

vation

enhar

tvålösn

inga

r:

■x−

1=√ 16

=4vilket

gerattx

=1

+4

=5,

■x−

1=−√

16=−4

vilket

gerattx

=1−

4=−3

.

b)Lös

ekva

tion

en2(x

+1)

2−

8=

0.

Flytta

över

term

en8tillhög

erledet

ochdelabå

daledmed

2,

(x+

1)2

=4.

Rotutdragn

ingge

ratt:

■x

+1

=√ 4

=2,

dvs.

x=−1

+2

=1,

■x

+1

=−√

4=−2

,dvs.

x=−1−

2=−3

.

Förattlösaallm

ännaan

dragrad

sekv

ationer

anvä

nder

vien

tekn

iksom

kallas

kvad

rat-

komplettering.

Om

vibe

trak

tarkv

adreringsrege

ln

x2+

2ax

+a2

=(x

+a)

2

ochsu

btraherar

a2från

bådaledså

fårvi

65

Kva

dratkom

plettering:

x2+

2ax

=(x

+a)

2−

a2

Exe

mpel

3

a)Lös

ekva

tion

enx2+

2x−

8=

0.

Detvåterm

ernax2+

2xkv

adratkom

pletteras

(anvä

nda

=1iformeln)

x2+

2x−

8=

(x+

1)2−

12−

8=

(x+

1)2−

9,

där

understrykn

inge

nvisarvilkaterm

ersom

ärinblan

dad

eikv

adratkom

-pletteringe

n.E

kvationen

kandärförskriva

ssom

(x+

1)2−

9=

0,

vilken

vilösermed

rotutdragn

ing

■x

+1

=√ 9

=3ochdärmed

x=−1

+3

=2,

■x

+1

=−√

9=−3

ochdärmed

x=−1

−3

=−4

.

b)Lös

ekva

tion

en2x

2−

2x−

3 2=

0.

Dividerabå

daledmed

2x2−

x−

3 4=

0.

Vän

sterledet

kvad

ratkom

pletteras

(anvä

nda

=−

1 2)

x2−

x−

3 4=

( x−

1 2

) 2 −( −1 2

) 2 −3 4

=( x−

1 2

) 2 −1

ochdetta

gerossek

vation

en

( x−

1 2

) 2 −1

=0.

Rotutdragn

ingge

ratt

■x−

1 2=√ 1

=1,

dvs.

x=

1 2+

1=

3 2,

■x−

1 2=−√

1=−1

,dvs.

x=

1 2−

1=−

1 2.

66

Tips!

Tän

kpåattman

alltid

kanpröva

lösn

inga

rtillen

ekva

tion

genom

attsättain

värdet

ochse

omek

vation

enbliruppfylld.M

angö

rdetta

förattu

pptäckaev

en-

tuella

slarvfel.F

örexem

pel

3aov

anhar

vitvåfallattpröva

.Vik

allarvä

nster-

ochhög

erleden

förVLresp

ektive

HL:

■x

=2med

förattVL

=22

+2·2−

8=

4+

4−

8=

0=

HL.

■x

=−4

med

förattVL

=(−

4)2+

2·(−4

)−8

=16−

8−

8=

0=

HL.

Ibåd

afallen

kommer

vifram

tillVL

=HL.E

kvationen

äralltså

uppfylldib

åda

fallen

.

Med

kvad

ratkom

pletteringgå

rdet

attvisa

attd

enallm

ännaan

dragrad

sekv

ationen

x2+

px

+q

=0

har

lösn

inga

rna

x=−p 2±

√ ( p 2

) 2 −q

förutsattattu

ttrycket

under

rotteckn

etinte

ärneg

ativt.

Iblandka

nman

faktoriseraek

vation

erochdirek

tsevilkalösn

inga

rnaär.

Exe

mpel

4

a)Lös

ekva

tion

enx2−

4x=

0.

Ivä

nsterledet

kanvi

brytautettx x(x−

4)=

0.

Ekv

ationen

svä

nsterledblir

nollnär

någ

onav

faktorernaär

noll,vilket

ger

osstvålösn

inga

r

■x

=0,

eller

■x−

4=

0dvs.

x=

4.

67 Parab

ler

Funktionerna

y=

x2−

2x+

5

y=

4−

3x2

y=

1 5x2+

3x

ärexem

pelpåan

dragrad

sfunktioner.A

llmän

tkan

enan

dragrad

sfunktionskriva

ssom

y=

ax2+

bx+

c

där

a,bochcär

konstan

terochdär

a6=

0.Grafentillen

andragrad

sfunktionka

llas

fören

parab

elochfigu

rernavisarutseen-

det

förtvåtypexem

pel

y=

x2ochy

=−x

2 .

x

y

x

y

Figu

rentillvä

nster

visarparab

elny

=x2ochfigu

rentillhög

erparab

eln

y=−x

2 .

Eftersom

uttrycket

x2är

som

minst

när

x=

0har

parab

elny

=x2ettminim

um

när

x=

0ochparab

elny

=−x

2ettm

axim

um

förx

=0.

Noteraocksåattp

arab

lernaov

anär

symmetriskakringy-axeln

eftersom

värdet

på

x2inte

berorpåvilket

tecken

xhar.

Exe

mpel

5

a)Sk

issera

parab

eln

y=

x2−

2.

Jämförtmed

parab

elny

=x2har

punkter

påparab

eln(y

=x2−

2)y-värden

som

ärtvåen

heter

mindre,d

vs.parab

elnär

för-

skjutentvåen

heter

neråt

iy-led

.x

y

68

b)Sk

issera

parab

eln

y=

(x−

2)2 .

Påparab

elny

=(x−

2)2be

höv

ervi

väl-

jax-värden

tvåen

heter

större

jämförtmed

parab

elny

=x2förattfå

motsvaran

dey-

värden

.Alltsåär

parab

elny

=(x−

2)2

förskjuten

två

enheter

åthög

erjämfört

med

y=

x2 .

x

y

c)Sk

issera

parab

eln

y=

2x2 .

Varjepunkt

påparab

elny

=2x

2har

dub-

beltså

storty-värdeän

vadmotsvaran

de

punkt

med

sammax-värdehar

påpara-

beln

y=

x2 .Parab

elny

=2x

2är

expan

-derad

med

faktorn2iy-led

jämfört

med

y=

x2 .

x

y

Med

kvad

ratkom

pletteringka

nvi

behan

dla

alla

typer

avparab

ler.

Exe

mpel

6

Skissera

parab

eln

y=

x2+

2x+

2.

Om

hög

erledet

kvad

ratkom

pletteras

x2+

2x+

2=

(x+

1)2−

12+

2=

(x+

1)2+

1

såservi

från

det

resu

lteran

deuttrycket

y=

(x+

1)2+

1attparab

elnär

förskjuten

enen

-het

åtvä

nster

ix-led

jämfört

med

y=

x2(ef-

tersom

det

står

(x+

1)2istället

förx2 )

ochen

enhet

uppåt

iy-led

.

x

y

Exe

mpel

7

Bestäm

varparab

eln

y=

x2−

4x+

3skär

x-axeln.

Enpunkt

ligg

erpåx-axeln

omdessy-koo

rdinat

ärnoll,ochdepunkter

påparab

eln

som

har

y=

0har

enx-koo

rdinat

som

uppfyller

ekva

tion

en

x2−

4x+

3=

0.

69

Vän

sterledet

kvad

ratkom

pletteras

x2−

4x+

3=

(x−

2)2−

22+

3=

(x−

2)2−

1

ochdetta

gerek

vation

en(x−

2)2

=1.

Efter

rotutdragn

ingfårvi

lösn

inga

rna

■x−

2=√ 1

=1,

dvs.

x=

2+

1=

3,■x−

2=−√

1=−1

,dvs.

x=

2−

1=

1.

Parab

elnskär

x-axeln

ipunkterna

(1,0

)och

(3,0

).

x

y (1,0

)(3,0

)

Exe

mpel

8

Bestäm

det

minstavä

rdesom

uttrycket

x2+

8x+

19an

tar.

Vik

vadratkom

pletterar

x2+8x

+19

=(x

+4)

2−42

+19

=(x

+4)

2+3

ochdåservi

attuttrycket

blir

som

minst

lika

med

3eftersom

kvad

raten

(x+4)

2alltid

ärstör-

reän

ellerlika

med

0oa

vsettva

dxär.

Ifigu

rentillhög

erservi

atthelaparab

elny

=x2+

8x+

19ligg

erov

anförx-axeln

ochhar

ett

minim

umvä

rde3när

x=−4

.x

y

−4

3

70

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Läg

gner

mycke

ttidpåalge

bra!

Algeb

raär

matem

atiken

salfabe

t.När

duvä

lhar

förståttalge

bra,ko

mmer

din

förståelse

avstatistik,

yta,vo

lym

ochge

ometri

vara

mycke

tstörre.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerskullevilja

haen

längreförklaring

■Läs

mer

oman

dragrad

sekv

ationer

påen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Qu

adra

tic_

equa

tion

)

■Läs

mer

oman

dragrad

sekv

ationer

iMathWorld

(http://mathworld.wolfram.co

m/Qu

adra

ticE

quat

ion.

html

)

■10

1usesof

aqu

adraticeq

uation—

byChrisBuddan

dChrisSa

ngw

in(http://plus.maths.org/issue

29/f

eatu

res/

quad

rati

c/in

dex-

gifd

.html

)

71 2.3Övn

inga

r

Övn

ing2.3:1

Kva

dratkom

pletterafölja

ndeuttryck

a)x2−

2xb)

x2+

2x−

1c)

5+

2x−

x2

d)

x2+

5x+

3

Övn

ing2.3:2

Lös

följa

ndean

dragrad

sekv

ationer

med

kvad

ratkom

plettering

a)x2−

4x+

3=

0b)

y2+

2y−

15=

0c)

y2+

3y+

4=

0

d)

4x2−

28x

+13

=0

e)5x

2+

2x−

3=

0f)

3x2−

10x

+8

=0

Övn

ing2.3:3

Lös

följa

ndeek

vation

erdirek

t

a)x(x

+3)

=0

b)(x−

3)(x

+5)

=0

c)5(3x−

2)(x

+8)

=0

d)

x(x

+3)−

x(2x−

9)=

0

e)(x

+3)

(x−1)−

(x+3)

(2x−9)

=0

f)x(x

2−

2x)+

x(2−

x)

=0

Övn

ing2.3:4

Bestäm

enan

dragrad

sekv

ationsom

har

rötterna

a)−1

och

2

b)1

+√ 3

och

1−√ 3

c)3

och√ 3

Övn

ing2.3:5

a)Bestäm

enan

dragrad

sekv

ationsom

bara

har−7

som

rot.

b)Bestäm

ettvä

rdepåxsom

görattuttrycket

4x2−

28x

+48

ärneg

ativt.

c)Ekv

ationen

x2+

4x+

b=

0har

enrotx

=1.B

estäm

värdet

påko

nstan

ten

b.

Övn

ing2.3:6

Bestäm

det

minstavä

rdesom

följa

ndepolyn

oman

tar

a)x2−

2x+

1b)

x2−

4x+

2c)

x2−

5x+

7

Övn

ing2.3:7

Bestäm

det

störstavä

rdesom

följa

ndepolyn

oman

tar

a)1−

x2

b)−x

2+

3x−

4c)

x2+

x+

1

72

Övn

ing2.3:8

Skissera

grafen

tillfölja

ndefunktioner

a)f(x)

=x2+

1b)

f(x)

=(x−

1)2+

2c)

f(x)

=x2−

6x+

11

Övn

ing2.3:9

Hitta

alla

skärningspunkter

mellanx-axeln

ochku

rvan

a)y

=x2−

1b)

y=

x2−

5x+

6c)

y=

3x2−

12x

+9

Övn

ing2.3:10

Ritain

iettxy-planalla

punkter

vars

koordinater

(x,y

)uppfyller

a)y≥

x2och

y≤

1b)

y≤

1−

x2och

x≥

2y−

3

c)1≥

x≥

y2

d)

x2≤

y≤

x

73 3.1Rötter

Inneh

åll:

■Kva

dratrot

ochn:te

rot

■Rotlaga

r

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Sk

riva

omettrotuttryck

ipoten

sform.

■Beräk

nakv

adratroten

urnåg

raen

klaheltal.

■Kva

dratroten

urettneg

ativttalinte

ärdefi

nierad.

■Kva

dratroten

uretttalb

eteckn

arden

positivaroten.

■Han

tera

rotlag

arnaifören

klingav

rotuttryck.

■Vetanär

rotlag

arnaär

giltiga(icke-neg

ativaradikan

der).

■Fö

renklarotuttryck

med

kvad

ratrötterin

ämnaren

.■Vetanär

n:te

rotenurettn

egativttalä

rdefi

nierad(n

udda).

Kva

dratrötter

Symbo

len√ a

,kva

dratroten

ura,

anvä

ndssom

beka

ntförattbe

-tecknadet

talsom

multipliceratmed

sigsjälvt

blir

a.Man

måste

dockva

ralite

mer

exak

tnär

man

defi

nierarden

nasymbo

l.Ekv

ationen

x2

=4har

tvålösn

inga

rx

=2ochx

=−2

,ef-

tersom

såvä

l2·2

=4som

(−2)·(−2

)=

4.Man

skulledåku

nna

troatt√ 4

kanva

ravilken

som

helst

av−2

och2,

dvs.√

4=±2

,men√ 4

betecknar

baradet

positivatalet2

.

Kva

dratroten√ a

betecknar

det

icke-neg

ativatalsom

multipliceratmed

sig

självt

blira,dvs.d

enicke

-neg

ativalösn

inge

ntillek

vation

enx2

=a.

Kva

dratroten

uraka

näv

enskriva

sa1

/2 .

Det

ärdärförfela

ttpåstå

att√ 4

=±2

,men

korrek

tattsäga

atte

kvationen

x2

=4har

lösn

inga

rnax

=±2

.

74

Exe

mpel

1

a)√ 0

=0

eftersom

02=

0·0

=0och0är

inte

neg

ativ.

b)√ 10

0=

10eftersom

102

=10·10

=10

0och10

ärettpositivttal.

c)√ 0

,25

=0,5

eftersom

0,52

=0,5·0

,5=

0,25

och0,5är

positiv.

d)√ 2

≈1,41

42eftersom

1,41

42·1

,414

2≈

2och1,41

42är

positiv.

e)Ekv

ationen

x2

=2har

lösn

inga

rnax

=√ 2

≈1,41

4ochx

=−√

2≈−1

,414

.

f)√ −

4är

inte

defi

nierad,e

ftersom

det

inte

finnsnåg

otreellttalxsom

upp-

fyller

x2

=−4

.

g)√ (−

7)2

=7

eftersom

√ (−7)

2=

√ (−7)·(−7

)=√ 49

=√ 7

·7=

7.

När

man

räkn

armed

kvad

ratrötterka

ndet

vara

braattkä

nnatillnåg

raräkn

ereg

ler.

Eftersom√ a

=a1

/2ka

nvi

överföra

poten

slag

arnatill”rotlaga

r”.V

ihar

t.ex.

att

√ 9·4

=(9·4

)1/2

=91

/2·4

1/2

=√ 9

·√4.

Pådetta

sättka

nvi

fåfram

följa

nderäkn

ereg

lerförkv

adratrötter,som

gäller

föralla

reella

tala

,b≥

0:

√ ab=√ a

·√b

√ a b=√ a √ b

a√b

=√ a2

b

(Vim

åste

dockviddivisionen

ovan

som

vanligt

förutsätta

attbinte

är0.)

Exe

mpel

2

a)√ 64

·81

=√ 64

·√81

=8·9

=72

b)

√ 9 25=√ 9√ 25

=3 5

75

c)√ 18

·√2

=√ 18

·2=√ 36

=6

d)

√ 75 √ 3=

√ 75 3=√ 25

=5

e)√ 12

=√ 4

·3=√ 4

·√3

=2√

3

Observe

raatträkn

ereg

lernaov

anförutsätterattaochb≥

0.Om

aochbär

neg

ativa

(<

0)så

ärinte√ a

och√ b

defi

nieradesom

reella

tal.Man

skullet.e

x.ku

nnafrestas

attskriva

−1=√ −

1·√−1

=√ (−

1)·(−1

)=√ 1

=1

men

serdåattnåg

otinte

stäm

mer.A

nledninge

när

att√ −

1inte

ärettreellttal,vilket

alltså

göratträkn

ereg

lernaov

aninte

fåran

vändas.

Hög

reordninga

rsrötter

Kubikroten

uretttal

adefi

nierassom

det

talsom

multipliceratm

edsigsjälvt

tregå

ng-

erge

ra,ochbe

tecknas

3√ a.

Exe

mpel

3

a)3√ 8

=2

eftersom

2·2·2

=8.

b)3√ 0

,027

=0,3

eftersom

0,3·0

,3·0,3

=0,02

7.

c)3√ −

8=−2

eftersom

(−2)·(−2

)·(−

2)=−8

.

Noteraatt,tillskillnad

från

kvad

ratrötter,är

kubikrötteräv

endefi

nieradeförneg

ativa

tal.

Det

gårsedan

attförpositivaheltaln

defi

niera

n:te

rotenuretttala

som

■om

när

jämnocha≥

0är

n√ adet

icke

-neg

ativatalsom

multipliceratmed

sig

självt

ngå

nge

rblira,

■om

när

uddaså

ärn√ a

det

talsom

multipliceratmed

sigsjälvt

ngå

nge

rblira.

Roten

n√ aka

näv

enskriva

ssom

a1/n.

76

Exe

mpel

4

a)4√ 62

5=

5eftersom

5·5·5·5

=62

5.

b)5√ −

243

=−3

eftersom

(−3)·(−3

)·(−

3)·(−3

)·(−

3)=−2

43.

c)6√ −

17är

inte

defi

nieradeftersom

6är

jämnoch−1

7är

ettn

egativttal.

Förn:te

rötter

gäller

sammaräkn

ereg

lersom

förkv

adratrötterom

a,b≥

0.Observe

raattom

när

uddagä

ller

deäv

enförneg

ativaaochb,dvs.för

alla

reella

tala

ochb.

n√ ab=

n√ a·n√

b

n√ a b=

n√ a n√ b

an√ b

=n√ an

b

Förenklingav

rotuttryck

Oftaka

nman

genom

attan

vändaräkn

ereg

lernaförrötter

förenklarotuttryck

väsent-

ligt.Liksom

vidpoten

sräk

ninghan

dlardet

ofta

omattbrytaner

uttryck

iså

”små”

rötter

som

möjligt.E

xempelvisgö

rman

gärnaom

skrivn

inge

n√ 8

=√ 4

·2=√ 4

·√2

=2√

2

eftersom

man

dåka

nförenklat.e

x. √8 2

=2√

22

=√ 2.

Gen

omattskriva

rotuttryck

itermer

av”små”

rötter

kanman

ocksåad

derarötter

av”sam

masort”,

t.ex.

√ 8+√ 2

=2√

2+√ 2

=(2

+1)√ 2

=3√

2.

Exe

mpel

5

a)

√ 8√ 18

=√ 2

·4√ 2

·9=√ 2

·2·2

√ 2·3·3

=

√ 2·2

2√ 2

·32

=2√

2

3√2

=2 3

77

b)

√ 72 6=√ 8

·92·3

=√ 2

·2·2·3·3

2·3

=

√ 22·3

2·2

2·3

=2·3√ 2

2·3

=√ 2

c)√ 45

+√ 20

=√ 9

·5+√ 4

·5=√ 32

·5+√ 22

·5=

3√5

+2√

5

=(3

+2)√ 5

=5√

5

d)√ 50

+2√

3−√ 32

+√ 27

=√ 5

·10

+2√

3−√ 2

·16

+√ 3

·9=√ 5

·2·5

+2√

3−√ 2

·4·4

+√ 3

·3·3

=√ 52

·2+

2√3−√ 22

·22·2

+√ 3

·32

=5√

2+

2√3−

2·2√ 2

+3√

3

=(5−

4)√ 2

+(2

+3)√ 3

=√ 2

+5√

3

e)2·3√

33√ 12

=2·3√

33√ 3·4

=2·3√

33√ 3·3√

4=

2 3√ 4=

23√ 2·2

=2

3√ 2·3√

2·3√ 2

3√ 2=

2·3√

22

=3√ 2

f)(√

3+√ 2

)(√ 3

−√ 2

)=

(√3)2−

(√2)2

=3−

2=

1

där

vian

väntk

onjuga

treg

eln

(a+

b)(a−

b)=

a2−

b2med

a=√ 3

och

b=√ 2.

Rationella

rotuttryck

När

rötter

föreko

mmer

iettration

elltuttryck

villman

ofta

undvika

rötter

inäm

naren

(eftersom

det

ärsvårtvidhan

dräkn

ingattdivideramed

irration

ella

tal).Gen

omatt

förlän

gamed√ 2

kanman

exem

pelvisgö

raom

skrivn

inge

n

1 √ 2=

1·√

2√ 2

·√2

=√ 2 2

vilket

oftast

ärattföredra.

Iandra

fallka

nman

utnyttja

konjuga

treg

eln,(a+

b)(a−

b)=

a2−

b2,o

chförlän

gamed

näm

naren

ss.k.konjugerade

uttryck.P

åså

sättförsvinner

rotteckn

enfrån

näm

naren

78

genom

kvad

reringe

n,t.ex.

√ 3√ 2

+1

=√ 3

√ 2+

1·√ 2

−1

√ 2−

1=

√ 3(√

2−

1)(√

2+

1)(√

2−

1)

=√ 3

·√2−√ 3

·1(√

2)2−

12=√ 3

·2−√ 3

2−

1=√ 6

−√ 3

1=√ 6

−√ 3.

Exe

mpel

6

a)10√ 3√ 5

=10√ 3

·√5

√ 5·√

5=

10√ 155

=2√

15

b)1

+√ 3

√ 2=

(1+√ 3)

·√2

√ 2·√

2=√ 2

+√ 6

2

c)3

√ 2−

2=

3(√ 2

+2)

(√2−

2)(√

2+

2)=

3√2

+6

(√2)2−

22=

3√2

+6

2−

4=−3√

2+

62

d)

√ 2√ 6

+√ 3

=√ 2

(√6−√ 3

)(√

6+√ 3

)(√ 6

−√ 3

)=√ 2

√ 6−√ 2

√ 3

(√6)2−

(√3)2

=√ 2

√ 2·3−√ 2

√ 36−

3=

2√3−√ 2

√ 33

=(2−√ 2

)√3

3

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Kva

dratroten

uretttalä

ralltid

icke

-neg

ativ

(dvs.p

ositiv

ellerlika

med

noll)!

Rotlaga

rnaär

egen

tligen

specialfalla

vpoten

slag

arna.

Exempelvis:√x

=x1/

2 .

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaring

■Läs

mer

omkv

adratrötterie

nge

lska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Ro

ot_(

math

emat

ics)

)

■Hurve

tman

attrotenur2inte

ärettb

råktal?

(http://www.mathacademy.com/

pr/p

rime

/art

icle

s/ir

r2/)

79

Län

ktips

■Hurman

finner

rotenuretttal,utanhjälp

avminiräk

nare?

(http://mathforum.org/dr.mat

h/fa

q/fa

q.sq

rt.b

y.ha

nd.h

tml)

80

3.1Övn

inga

r

Övn

ing3.1:1

Skrivip

oten

sform

a)√ 2

b)√ 75

c)( 3√ 3

) 4d)

√ √3

Övn

ing3.1:2

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)√ 32

b)√ (−

3)2

c)√ −

32d)

√ 5·3√

5·5

e)√ 18

·√8

f)3√ 8

g)3√ −

125

Övn

ing3.1:3

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)(√ 5

−√ 2

)(√ 5+√ 2

)b)

√ 96 √ 18

c)√ 16

+√ 16

d)

√ 2 3

(√ 6−√ 3

)Övn

ing3.1:4

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)√ 0

,16

b)3√ 0

,027

c)√ 50

+4√

20−

3√18−

2√80

d)

√ 48+√ 12

+√ 3

−√ 75

Övn

ing3.1:5

Skrivsom

ettu

ttryck

utanrottecke

nin

ämnaren

a)2 √ 12

b)1 3√ 7

c)2

3+√ 7

d)

1√ 17

−√ 13

Övn

ing3.1:6

Skrivsom

ettu

ttryck

utanrottecke

nin

ämnaren

a)

√ 2+

3√ 5

−2

b)1

(√3−

2)2−

2

c)

1 √ 3−

1 √ 51 √ 2−

1 2

d)

1√ 2

+√ 3

+√ 6

81 Övn

ing3.1:7

Förenklaså

långt

som

möjligt

a)1

√ 6−√ 5

−1

√ 7−√ 6

b)5√

7−

7√5

√ 7−√ 5

c)√ 15

3−√ 68

Övn

ing3.1:8

Avg

örvilket

talsom

ärstörst

av

a)3√ 5

och

3√ 6b)

√ 7och

7

c)√ 7

och

2,5

d)

√ 2( 4√ 3) 3 oc

h3√ 2·3

82

3.2Rotek

vation

er

Inneh

åll:

■Rotek

vation

erav

typen√ ax

+b

=cx

+d

■Fa

lska

rötter

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Lösaen

klarotekv

ationer

med

kvad

rering.

■Han

tera

falska

rötter

ochve

tanär

deuppstår.

Rotek

vation

er

Det

finnsmån

gaolikava

rian

terav

rotekv

ationer,t.ex.

√x

+3x

=2,

√x−

1−

2x=

x2 ,

3√x

+2

=x.

Förattlösa

rotekv

ationer

villman

blia

vmed

rotteckn

et.S

trateg

införattuppnådetta

ärattskriva

ekva

tion

enså

attrotteckn

etbliren

samtk

varpåen

asidan

avlikh

etsteck-

net.S

edan

kvad

rerarman

bådalediek

vation

en(om

det

han

dlarom

enkv

adratrot),

såattrottecknet

försvinner

ochlösersedan

den

nya

,kva

drerade,ek

vation

en.N

ärman

kvad

reraren

ekva

tion

måste

man

tänka

påattdelösn

inga

rsom

man

fårfram

kanske

inte

ärlösn

inga

rtillden

ursprungligaek

vation

en.Detta

berorpåattev

entuella

mi-

nustecke

nförsvinner.Man

tappar

inform

ationnär

man

kvad

rerar.Oav

sett

omman

had

enåg

otpositivtellerneg

ativtså

har

man

alltid

någ

otpositivtefteren

kvad

rering.

Därförmåste

man

pröva

delösn

inga

rsom

man

fårfram

.Man

behöv

erve

rifieraattd

einte

bara

ärlösn

inga

rtillden

kvad

reradeek

vation

en,u

tanocksåtillden

ursprungliga

ekva

tion

en.

83

Exe

mpel

1

Minustecke

nförsvinner

vidkv

adrering.

Betraktaen

enke

l(trivial)ek

vation

x=

2.

Om

vikv

adrerarbå

daledid

ennaek

vation

fårvi

x2

=4.

Den

nanya

ekva

tion

har

tvålösn

inga

rx

=2ellerx

=−2

.Lösninge

nx

=2uppfyl-

lerden

ursprungligaek

vation

enmed

anx

=−2

ären

lösn

ingsom

uppstod

iden

kvad

reradeek

vation

en.

Exe

mpel

2

Lös

ekva

tion

en2√

x−

1=

1−

x.

Två

anfram

förrotteckn

etär

enfaktor.V

ikan

divideravä

nster-o

chhög

erledmed

2,men

vika

nocksålåta

tvåa

nståkv

ar.O

mvi

kvad

rerarek

vation

ensom

den

ärfår

vi4(x−

1)=

(1−

x)2

ochutvecklar

vikv

adratenfås 4(x−

1)=

1−

2x+

x2 .

Detta

ären

andragrad

sekv

ation,som

kanskriva

s

x2−

6x+

5=

0.

Den

naka

nlösasmed

kvad

ratkom

pletteringellermed

den

allm

ännalösn

ingsfor-

meln.L

ösninga

rnablirx

=3±

2,dvs.x

=1ellerx

=5.

Eftersom

vikv

adrerarek

vation

enfinnsrisken

attdetta

introd

ucerarfalska

röt-

terochdärförbe

höv

ervi

pröva

omx

=1ochx

=5ocksåär

lösn

inga

rnatillden

ursprungligarotekv

ationen

:

■x

=1med

förattVL

=2√

1−

1=

0ochHL

=1−

1=

0.Alltsåär

VL

=HL

ochek

vation

enär

uppfylld!

■x

=5med

förattVL

=2√

5−

1=

2·2

=4ochHL

=1−

5=−4

.Alltsåär

VL6=

HLochek

vation

enär

inteuppfylld!

84

Ekv

ationen

har

därmed

bara

enlösn

ingx

=1.

x

y

y=

2√x−

1

y=

1−

x

1

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

När

man

kvad

reraren

ekva

tion

måste

man

tänka

påattdelösn

inga

rsom

man

fårfram

kanskeinte

ärlösn

inga

rtillden

ursprungligaek

vation

en,s.k.falsk

arötter.D

etta

berorpåatte

ventuella

minustecke

nförsvinner.M

antappar

infor-

mationnär

man

kvad

rerar.Därförmåste

man

verifieraattdelösn

inga

rman

fårfram

,inte

bara

ärlösn

inga

rtillden

kvad

reradeek

vation

en,utanocksåär

lösn

inga

rtillden

ursprungligaek

vation

en.

Dusk

aalltid

pröva

lösn

inga

rnatillrotekva

tion

er.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerskullevilja

haen

längreförklaring

■Understan

dingAlgeb

ra—

enge

lskbo

kpånätet

förhög

skoleförbe

redan

-destudier

(http://www.jamesbrennan.org

/alg

ebra

/)

85

Län

ktips

■Vad

ärrotenur–?Web

math.com

hjälper

dig

attförenklarotuttryck

(http://www.webmath.com/simp

sqrt

.htm

l)

86

3.2Övn

inga

r

Övn

ing3.2:1

Lös

ekva

tion

en√x−

4=

6−

x.

Övn

ing3.2:2

Lös

ekva

tion

en√ 2x

+7

=x

+2.

Övn

ing3.2:3

Lös

ekva

tion

en√ 3x

−8

+2

=x.

Övn

ing3.2:4

Lös

ekva

tion

en√ 1

−x

=2−

x.

Övn

ing3.2:5

Lös

ekva

tion

en√ 3x

−2

=2−

x.

Övn

ing3.2:6

Lös

ekva

tion

en√x

+1

+√x

+5

=4.

87 3.3Log

aritmer

Inneh

åll:

■Log

aritmer

■Log

aritmlaga

r

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Kän

natillbe

grep

pen

basochexpon

ent.

■Kän

natillbe

teckninga

rnaln,lg,

logochloga.

■Beräk

naen

klaloga

ritm

uttryck

med

hjälp

avloga

ritm

ensdefi

nition.

■Log

aritmen

ärba

radefi

nieradförpositivatal.

■Kän

natilltalete.

■Han

tera

loga

ritm

laga

rnaifören

klingav

loga

ritm

uttryck.

■Vetanär

loga

ritm

laga

rnaär

giltiga.

■Uttryckaen

loga

ritm

itermer

aven

loga

ritm

med

enan

nan

bas.

■Lösaek

vation

ersom

inneh

ållerexpon

entialuttryck

ochsom

med

loga

rit-

meringleder

tillförstagrad

sekv

ationer.

■Avg

öravilket

avtvåloga

ritm

uttryck

som

ärstörst

baseratpåjämförelse

avba

s/argu

men

t.

Log

aritmer

med

basen

10

Man

anvä

nder

gärnapoten

sermed

basen10

förattskriva

storaochsm

åtal,t.e

x.

103

=10·1

0·10

=10

00,

10−2

=1

10·1

0=

1 100

=0,01

.

Om

man

enba

rtbe

trak

tarexpon

entenskulleman

istället

kunnasäga

att

”exp

onen

tenför10

00är

3”,eller

”exp

onen

tenför0,01

är−2

”.

Precisså

ärlogaritm

erdefi

nierade.Man

uttrycker

sigpåfölja

ndesätt:

88

”logaritmen

för10

00är

3”,v

ilke

tskrivs

lg10

00=

3,”logaritmen

för0,01

är−2

”,vilket

skrivs

lg0,01

=−2

.

Mer

allm

äntk

anman

uttryckasig:

Log

aritmen

avetttal

ybe

tecknas

med

lgyochär

den

expon

entsom

skastå

iden

färgad

erutanilikheten

10=

y.

Noterahär

attymåste

vara

ettpositivttalförattloga

ritm

enlg

yskava

radefi

nerad

,eftersom

det

inte

finnsnåg

onpoten

sav

10som

blirneg

ativ

ellernoll.

Exe

mpel

1

a)lg

1000

00=

5eftersom

105

=10

000

0.

b)lg

0,00

01=−4

eftersom

10−4

=0,00

01.

c)lg√ 10

=1 2

eftersom

101/

2=√ 10

.

d)

lg1

=0

eftersom

100

=1.

e)lg

1078

=78

eftersom

1078

=10

78.

f)lg

50≈

1,69

9eftersom

101,699≈

50.

g)lg

(−10

)existerarinte

eftersom

10aaldrigka

nbli−

10oa

vsetthuravä

ljs.

Idet

nästsistaexem

pletka

nman

snab

btinse

attlg

50måste

ligg

anåg

onstan

smellan

1och2eftersom

101

<50

<10

2 ,men

förattfå

fram

ettmer

exak

tvä

rdepådet

irration

ella

taletlg50

=1,69

897...b

ehöv

sip

raktiken

enminiräk

nare(eller

tabe

ll.)

Exe

mpel

2

a)10

lg100

=10

0

b)10

lga=

a

c)10

lg50

=50

89 Olikabaser

Man

kantänka

sigloga

ritm

ersom

anvä

nder

enan

nan

basän

10(utom

1!).Man

måste

dåtydligt

ange

vilket

talm

anan

vänder

som

basförloga

ritm

en.A

nvä

nder

man

t.ex.

2som

basskrive

rman

log2för”2

-log

aritmen

”.

Exe

mpel

3

a)log28

=3

eftersom

23

=8.

b)log22

=1

eftersom

21

=2.

c)log210

24=

10eftersom

210

=10

24.

d)

log21 4

=−2

eftersom

2−2

=1 22

=1 4.

Påsammasättfunge

rarloga

ritm

eria

ndra

baser.

Exe

mpel

4

a)log39

=2

eftersom

32

=9.

b)log512

5=

3eftersom

53

=12

5.

c)log41 16

=−2

eftersom

4−2

=1 42

=1 16.

d)

logb

1 √ b=−1 2

eftersom

b−1

/2

=1

b1/2

=1 √ b

(om

b>

0ochb6=

1).

Om

basen10

anvä

nds,

skrive

rman

sällan

log10,utansom

vitidigaresett

lg,eller

enba

rtlog,

vilket

föreko

mmer

påmån

gaminiräk

nare.

Naturligaloga

ritm

er

Ipraktiken

ärdet

tvåba

sersom

oftast

anvä

ndsförloga

ritm

er,förutom

10äv

entalet

e(≈

2,71

828...).Log

aritmer

med

baseneka

llas

naturligalogaritm

erochskrivs

lnistället

förloge.

90

Exe

mpel

5

a)ln

10≈

2,3

eftersom

e2,3≈

10.

b)ln

e=

1eftersom

e1

=e.

c)ln

1 e3=−3

eftersom

e−3

=1 e3.

d)

ln1

=0

eftersom

e0

=1.

e)Om

y=

easå

ära

=ln

y.

f)e

ln5

=5

g)e

lnx

=x

Pådeflesta

mer

avan

cerademiniräk

narefinnsva

nligtviskn

appar

för10

-log

aritmer

ochnaturligaloga

ritm

er.

Log

aritmlaga

r

Mellanår

1617

och16

24publicerad

eHen

ryBiggs

enloga

ritm

tabe

llav

alla

heltalu

pp

till20

000ochår

1628

utöka

deAdriaa

nVlacq

tabe

llen

tillalla

heltalupptill10

000

0.Anledninge

ntillattman

ladened

såen

ormtmycke

tarbe

tepåsådan

atabe

ller

äratt

man

med

hjälp

avloga

ritm

erka

nmultiplicera

ihop

talba

rage

nom

attad

deraihop

deras

loga

ritm

er(additiongå

rmycke

tsn

abba

reattu

tföraän

multiplika

tion

).

Exe

mpel

6

Beräk

na35·5

4.

Om

vive

tatt35≈

101,5441och54≈

101,7324(dvs.lg35≈

1,54

41ochlg

54≈

1,73

24)

dåka

nvi

räkn

autatt

35·54≈

101,5441·1

01,7324

=10

1,5441

+1,7324

=10

3,2765

ochve

tvised

anatt1

03,2765≈

1890

(dvs.lg18

90≈

3,27

65)såhar

vilyckatsbe

räkn

aprodukten

35·54

=18

90

ochdetta

bara

genom

attad

deraihop

expon

enterna1,54

41och1,73

24.

91 Detta

ärette

xempel

påen

loga

ritm

lagsom

säge

ratt

log(

ab)

=loga+

logb

ochsom

följe

rav

attåen

asidan

är

a·b

=10

loga·1

0log

b=

{ poten

slag

arna} =

10loga+

logb

ochåan

dra

sidan

är

a·b

=10

log(

ab).

Gen

omattutnyttja

poten

slag

arnapådetta

sättka

nvi

fåfram

motsvaran

delogaritm

-lagar:

log(

ab)

=loga+

logb,

loga b

=loga−

logb,

logab

=b·lo

ga.

Log

aritmlaga

rnagä

ller

oavsettba

s.

Exe

mpel

7

a)lg

4+

lg7

=lg

(4·7

)=

lg28

b)lg

6−

lg3

=lg

6 3=

lg2

c)2·lg

5=

lg52

=lg

25

d)

lg20

0=

lg(2·1

00)

=lg

2+

lg10

0=

lg2

+2

Exe

mpel

8

a)lg

9+

lg10

00−

lg3

+lg

0,00

1=

lg9

+3−

lg3−

3=

lg9−

lg3

=lg

9 3=

lg3

92

b)ln

1 e+

ln√ e

=ln

( 1 e·√

e) =

ln( 1 (√

e)2·√

e) =

ln1 √ e

=ln

e−1/

2=−

1 2·ln

e=−

1 2·1

=−

1 2

c)log 2

36−

1 2log 2

81=

log 2

(6·6

)−1 2log 2

(9·9

)

=log 2

(2·2·3·3

)−1 2log 2

(3·3·3·3

)

=log 2

(22·3

2 )−

1 2log 2

(34)

=log 2

22+

log 2

32−

1 2log 2

34

=2log 2

2+

2log 2

3−

1 2·4

log 2

3

=2·1

+2log 2

3−

2log 2

3=

2

d)

lga3−

2lg

a+

lg1 a

=3lg

a−

2lg

a+

lga−

1

=(3−

2)lg

a+

(−1)

lga

=lg

a−

lga

=0

Byteav

bas

Iblandka

ndet

vara

braattku

nnauttryckaen

loga

ritm

som

enloga

ritm

aven

annan

bas. Exe

mpel

9

a)Uttryck

lg5in

aturligaloga

ritm

en.

Per

defi

nitionär

lg5det

talsom

uppfyller

likh

eten

10lg

5=

5.

Log

aritmerabå

daledmed

ln(naturligaloga

ritm

en)

ln10

lg5

=ln

5.

Med

hjälp

avloga

ritm

lage

nln

ab=

bln

aka

nvä

nsterledet

skriva

ssom

lg5·

ln10

ochlikh

eten

blir

lg5·ln

10=

ln5.

Delanubå

daledmed

ln10

såfårvi

svaret

lg5

=ln

5ln

10(≈

0,69

9,

dvs.1

00,699≈

5).

93

b)Uttryck

2-loga

ritm

enför10

0i1

0-loga

ritm

enlg.

Om

viskrive

ruppsamba

ndet

som

defi

nierarlog 2

100

2log

2100

=10

0

ochloga

ritm

erar

bådaledmed

10-log

aritmen

(lg)

såfårvi

att

lg2log

2100

=lg

100.

Eftersom

lgab

=blg

aså

ärlg

2log

2100

=log 2

100·lg

2ochhög

erledet

kan

förenklas

tilllg

100

=2.

Detta

gerosslikh

eten

log 2

100·lg

2=

2.

Divisionmed

lg2ge

rslutligen

att

log 2

100

=2 lg2

(≈

6,64

,dvs.2

6,64≈

100).

Den

allm

ännaform

elnförby

tefrån

enba

satillen

basbka

nhärledas

påsammasätt

logax

=logbx

logba.

Villman

byta

basien

poten

ska

nman

göra

detta

med

hjälp

avloga

ritm

er.O

mman

exem

pelvisvillskriva

25med

basen10

såskrive

rman

förstom

2med

basen10

,

2=

10lg

2

ochutnyttja

rsedan

enav

poten

slag

arna

25=

(10lg2 )

5=

105·l

g2

(≈

101,505).

Exe

mpel

10

a)Sk

riv10

xmed

basene.

Förstskrive

rvi

10som

enpoten

sav

e,

10=

eln10

ochan

vänder

sedan

poten

slag

arna

10x

=(e

ln10

)x=

ex·ln

10≈

e2,3x.

94

b)Sk

riveamed

basen10

.

Taleteka

nvi

skriva

som

e=

10lg

eochdärförär

ea=

(10lge )

a=

10a·l

ge≈

100,434a.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Duka

nbe

höv

alägg

aner

mycke

ttidpåloga

ritm

er.

Log

aritmer

bruka

rbe

han

dlasöv

ersiktligt

igym

nasiet.Därförbruka

rmån

gahög

skolestuden

terstötapåproblem

när

det

gäller

atträk

named

loga

ritm

er.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaring

■Läs

mer

omloga

ritm

erpåen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Lo

gari

thm)

■Läs

mer

omTa

leteiT

heMacTu

torHistory

ofMathem

aticsarch

ive

(http://www-

groups.dcs.st-

and.ac

.uk/

~his

tory/H

istT

opic

s/e.

html

)

Län

ktips

■Exp

erim

entera

med

loga

ritm

erochpoten

ser

(http://www.ltcconline.net/g

reen

l/ja

va/I

nter

medC

olle

geAl

gebr

a/LogGraph/logGraph.html

)

■Sp

elaloga

ritm

Mem

ory

(http://www.ltcconline.net/g

reen

l/ja

va/I

nter

medC

olle

geAl

gebr

a/LogConcentration/LogConcentr

atio

n.ht

m)

■Hjälp

grod

anhop

patillsittnäckrosblad

i”log”

-spelet

(http://www.ltcconline.net/g

reen

l/ja

va/I

nter

medC

olle

geAl

gebr

a/logger.htm

)

95 3.3Övn

inga

r

Övn

ing3.3:1

Bestäm

xom

a)10

x=

100

0b)

10x

=0,1

c)1 10x

=10

0d)

1 10x

=0,00

01

Övn

ing3.3:2

Beräk

na

a)lg

0,1

b)lg

1000

0c)

lg0,00

1d)

lg1

e)10

lg2

f)lg

103

g)10−lg

0,1

h)

lg1 102

Övn

ing3.3:3

Beräk

na

a)log 2

8b)

log 9

1 3c)

log 2

0,12

5

d)

log 3

( 9·3

1/3)

e)2log

24

f)log 2

4+

log 2

1 16g)

log 3

12−

log 3

4h)

log a

( a2√ a

)Övn

ing3.3:4

Förenkla

a)lg

50−

lg5

b)lg

23+

lg1 23

c)lg

271/

3+

lg3 2

+lg

1 9

Övn

ing3.3:5

Förenkla

a)ln

e3+

lne2

b)ln

8−

ln4−

ln2

c)(ln1)·e

2

d)

lne−

1e)

ln1 e2

f)( el

ne) 2

Övn

ing3.3:6

Anvä

ndminiräk

naren

tillhög

erförattb

eräk

na

med

tredecim

aler

(Knap

pen

LNbe

tecknar

den

naturligaloga

ritm

enib

asen

e):

a)log 3

4

b)lg

46

c)log 3

log 2

(3118)

96

3.4Log

aritmek

vation

er

Inneh

åll:

■Log

aritmek

vation

er■Exp

onen

tialek

vation

er■Fa

lska

rötter.

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Lösaek

vation

ersom

inneh

ållerloga

ritm

-ellerexpon

entialuttryck

och

som

kanreducerastillförsta-elleran

dragrad

sekv

ationer.

■Han

tera

falska

rötter

ochve

tanär

deuppstår.

Gru

ndek

vation

er

Ekv

ationer

där

loga

ritm

erbe

höv

sellerär

inblan

dad

eföreko

mmer

imån

gaolikafall.

Förstge

snåg

raexem

pel

där

lösn

inge

nge

snästandirek

tge

nom

defi

nitionen

avloga

-ritm

,dvs.

10x

=y

⇔x

=lg

y

ex=

y⇔

x=

lny

(Via

nvä

nder

osshär

enba

rtav

10-log

aritmer

ellernaturligaloga

ritm

er.)

Exe

mpel

1

Lös

ekva

tion

erna

a)10

x=

537

har

lösn

inge

nx

=lg

537.

b)10

5x=

537

geratt5x

=lg

537,dvs.x

=1 5lg

537.

c)3 ex

=5

Multiplika

tion

avbå

daledmed

exochdivisionmed

5ge

ratt3 5

=ex,

vilket

betyder

attx

=ln

3 5.

97

d)

lgx

=3

Defi

nitionen

gerdirek

tattx

=10

3=

1000

.

e)lg

(2x−

4)=

2Från

defi

nitionen

har

viatt2

x−

4=

102=

100ochdåfölje

rattx

=52

.

Exe

mpel

2

a)Lös

ekva

tion

en(√

10)x

=25

.

Eftersom√ 10

=10

1/2är

vänsterledet

lika

med

(√10

)x=

(101

/2)x

=10

x/2

ochek

vation

enlyder

10x/2

=25

.

Den

nagrundek

vation

har

lösn

inge

nx/2

=lg

25,d

vs.x

=2lg

25.

b)Lös

ekva

tion

en3ln

2x2

+1

=1 2.

Multiplicera

bådaledmed

2ochsu

btraherasedan

2från

bådaled

3ln

2x=−1

.

Dividerabå

daledmed

3

ln2x

=−1 3.

Nuge

rdefi

nitionen

direk

tatt2x

=e−

1/3 ,vilket

betyder

att

x=

1 2e−

1/3

=1

2e1

/3.

Imån

gapraktiska

tilläm

pninga

rrörandeexpon

entielltillvä

xtellerav

taga

ndedyk

erdet

uppek

vation

erav

typen

ax=

b,

där

aochbär

positivatal.Dessa

ekva

tion

erlösesen

klastge

nom

attta

loga

ritm

enför

bådaled

lgax

=lg

b

ochan

vändaloga

ritm

lage

nförpoten

ser

x·lg

a=

lgb

vilket

gerlösn

inge

nx

=lg

b

lga.

98

Exe

mpel

3

a)Lös

ekva

tion

en3x

=20

.

Log

aritmerabå

daled

lg3x

=lg

20.

Vän

sterledet

kanskriva

ssom

lg3x

=x·lg

3ochdåfårvi

att

x=

lg20

lg3

(≈

2,72

7).

b)Lös

ekva

tion

en50

00·1,05x

=10

000.

Dividerabå

daledmed

5000

1,05

x=

1000

0500

0=

2.

Den

naek

vation

löservi

genom

attloga

ritm

erabå

daledmed

lgochskriva

omvä

nsterledet

som

lg1,05

x=

x·lg

1,05

,

x=

lg2

lg1,05

(≈

14,2

).

Exe

mpel

4

a)Lös

ekva

tion

en2x·3

x=

5.

Vän

sterledet

kanskriva

som

med

poten

slag

arnatill2x·3

x=

(2·3

)xoch

ekva

tion

enblir

6x=

5.

Den

naek

vation

löservi

påva

nligt

sättmed

loga

ritm

eringochfåratt

x=

lg5

lg6

(≈

0,89

8).

b)Lös

ekva

tion

en52

x+1

=35

x.

Log

aritmerabå

daledochan

vändloga

ritm

lage

nlg

ab=

b·lg

a

(2x

+1)

lg5

=5x·lg

3,

2x·lg

5+

lg5

=5x·lg

3.

99

Samla

xie

naledet

lg5

=5x·lg

3−

2x·lg

5,

lg5

=x(5

lg3−

2lg

5).

Lösninge

när

x=

lg5

5lg

3−

2lg

5.

Någ

ramer

kom

pliceradeek

vation

er

Ekv

ationer

som

inneh

ållerexpon

ential-ellerloga

ritm

uttryck

kanibland

behan

dlas

som

förstagrad

s-elleran

dragrad

sekv

ationer

genom

attbe

trak

ta”lnx”eller”e

x”som

obek

ant.

Exe

mpel

5

Lös

ekva

tion

en6e

x

3ex+

1=

5e−

x+

2.

Multiplicera

bådaledmed

3ex+

1oche−

x+

2förattfå

bortnäm

narna

6ex(e−x

+2)

=5(3e

x+

1).

Noteraatte

ftersom

exoche−

xalltid

ärpositivaoa

vsettv

ärdet

påxså

multiplicerar

vialltså

ekva

tion

enmed

faktorer

3ex+

1oche−

x+

2som

ärskildafrån

noll,så

detta

steg

riskerar

inte

attintrod

ucera

nya

(falska)

rötter

tillek

vation

en.

Förenklabå

daled

6+

12ex

=15

ex+

5,

där

vian

väntatte−

x·e

x=

e−x+x

=e0

=1.

Betraktar

vinuex

som

obek

antär

ekva

tion

envä

sentligen

enförstagrad

sekv

ationsom

har

lösn

inge

n

ex=

1 3.

Enloga

ritm

eringge

rsedan

svaret

x=

ln1 3

=ln

3−1

=−1

·ln3

=−ln

3.

100

Exe

mpel

6

Lös

ekva

tion

en1 lnx

+ln

1 x=

1.

Term

enln

1 xka

nskriva

ssom

ln1 x

=ln

x−1

=−1

·lnx

=−ln

xochdåblirek

va-

tion

en1 lnx−

lnx

=1,

där

vika

nbe

trak

taln

xsom

ennyob

ekan

t.Multiplicerarvi

bådaledmed

lnx(som

ärskildfrån

nolln

ärx6=

1)fårvi

enan

dragrad

sekv

ationilnx

1−

(lnx)2

=ln

x,

(lnx)2

+ln

x−

1=

0.

Kva

dratkom

pletteringav

vänsterledet

(lnx)2

+ln

x−

1=

( lnx

+1 2

) 2 −( 1 2

) 2 −1

=( ln

x+

1 2

) 2 −5 4

följt

avrotutdragn

ingge

ratt

lnx

=−1 2±√ 5 2

.

Detta

betyder

attek

vation

enhar

tvålösn

inga

r

x=

e(−1

+√ 5)

/2

och

x=

e−(1

+√ 5)

/2 .

Falskarötter

När

man

löserek

vation

ergä

ller

det

ocksåatttänka

påattargu

men

ttillloga

ritm

ermåste

vara

positivaochattu

ttryck

avtypen

e(...

)ba

raka

nan

tapositivavä

rden

.Riske

när

annarsattman

fårmed

falska

rötter.

Exe

mpel

7

Lös

ekva

tion

enln

(4x2−

2x)

=ln

(1−

2x).

101 Förattek

vation

enskava

rauppfylldmåste

argu

men

ten4x

2−

2xoch1−

2xva

ralika

,4x

2−

2x=

1−

2x,

(∗)ochdessu

tom

positiva.

Vilöser

ekva

tion

en(∗

)ge

nom

attflytta

över

alla

term

eri

enaledet

4x2−

1=

0

ochan

vänder

rotutdragn

ing.

Detta

geratt

x=−

1 2och

x=

1 2.

Vik

ontrollerarnuom

bådaledi(∗)

ärpositiva

■Om

x=−

1 2blir

bådaledlika

med

4x2−

2x=

1−

2x=

1−

2·( −1 2

) =1

+1

=2

>0.

■Om

x=

1 2blirbå

daledlika

med

4x2−

2x=

1−

2x=

1−2·1 2

=1−

1=

06>

0.

Alltsåhar

loga

ritm

ekva

tion

enba

raen

lösn

ingx

=−

1 2.

Exe

mpel

8

Lös

ekva

tion

ene2

x−

ex=

1 2.

Den

första

term

enka

nvi

skriva

som

e2x

=(e

x)2.Helaek

vation

enär

alltså

enan

dragrad

sekv

ationmed

exsom

obek

ant

(ex)2−

ex=

1 2.

Ekv

ationen

kanva

ralite

enklareatthan

tera

omvi

skrive

rtistället

förex,

t2−

t=

1 2.

Kva

dratkom

pletteravä

nsterledet ( t−

1 2

) 2 −( 1 2

) 2 =1 2,

( t−

1 2

) 2 =3 4,

vilket

gerlösn

inga

rna

t=

1 2−√ 3 2

och

t=

1 2+√ 3 2

.

102

Eftersom√ 3

>1så

är1 2−

1 2

√ 3<

0ochdet

ärba

rat=

1 2+

1 2

√ 3som

geren

lösn

ing

tillden

ursprungligaek

vation

eneftersom

exalltid

ärpositiv.Log

aritmeringge

rslutligen

att

x=

ln( 1 2

+√ 3 2

)är

den

endalösn

inge

ntillek

vation

en.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Duka

nbe

höv

alägg

aner

mycke

ttidpåloga

ritm

er.

Log

aritmer

bruka

rbe

han

dlasöv

ersiktligt

igym

nasiet.Därförbruka

rmån

gahög

skolestuden

terstötapåproblem

när

det

gäller

atträk

named

loga

ritm

er.

103

3.4Övn

inga

r

Övn

ing3.4:1

Lös

ekva

tion

erna

a)ex

=13

b)13

ex=

2·3−x

c)3e

x=

7·2

x

Övn

ing3.4:2

Lös

ekva

tion

erna

a)2x

2−2

=1

b)e2

x+

ex=

4c)

3ex2=

2x

Övn

ing3.4:3

Lös

ekva

tion

erna

a)2−

x2=

2e2x

b)ln

(x2+

3x)

=ln

(3x2−

2x)

c)ln

x+

ln(x

+4)

=ln

(2x

+3)

104

4.1Vinklarochcirklar

Inneh

åll:

■Olika

vinke

lmått(grader,rad

ianer

ochva

rv)

■Pythag

oras

sats

■Avståndsformelnip

lanet

■Cirke

lnsek

vation

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Omva

ndla

mellangrad

er,rad

ianer

ochva

rv.

■Beräk

naareanochom

kretsenav

cirkelsektorer.

■Kän

natillbe

grep

pen

katet,hyp

oten

usa

ochrätvinklig

triange

l.■Fo

rmulera

ochan

vändaPythag

oras

sats.

■Beräk

naav

stån

det

mellantvåpunkter

iplanet.

■Sk

issera

cirklarmed

hjälp

avattkv

adratkom

pletteraderas

ekva

tion

er.

■Kän

natillbe

grep

pen

enhetscirke

l,tange

nt,radie,d

iameter,p

eriferi,ko

r-daochcirkelbå

ge.

■Lösage

ometriskaproblem

som

inneh

ållercirklar.

Vinkelmått

Det

finnsfleraolikaen

heter

förattm

ätavinklar,som

ärpraktiska

iolika

samman

han

g.Detvåva

nliga

stevinke

lmåttenim

atem

atiken

ärgrad

erochradianer.

■Grader.O

mettheltva

rvdelas

ini36

0delar,såka

llas

varjedel

1grad

.Beteck-

ninge

nförgrad

erär

◦ .

105

■Rad

ianer.Ett

annat

sätt

attmätavinklar

ärattan

vändalängd

enav

vinke

lns

cirkelbå

geiförhållandetillradiensom

måttpåvinke

ln.D

etta

vinke

lmåttka

llas

förradian.E

ttva

rvär

alltså

2πradianer

eftersom

cirkelnsom

kretsär

2πr,där

rär

cirkelnsradie.

Ettheltv

arvär

360◦

eller2π

radianer

ochdet

göratt

1◦=

1 360·2

πradianer

=π 180

radianer,

1radian

=1 2π·360◦

=18

0◦ π.

Dessa

omva

ndlingsfaktorer

kanan

vändas

förattk

onve

rteramellangrad

erochradia-

ner.

Exe

mpel

1

a)30◦

=30·1◦

=30·

π 180radianer

=π 6

radianer

b)π 8

radianer

=π 8·(1radian

)=

π 8·1

80◦

π=

22,5◦

Ien

del

samman

han

gka

ndet

vara

men

ingsfulltatttala

omneg

ativavinklar

eller

vinklar

som

ärstörre

än36

0◦.Dåka

nman

anvä

ndaattman

kanan

gesammarikt-

ningmed

fleraolikavinklar

som

skiljersigfrån

varandra

med

etthelta

ntalv

arv.

x

y

45◦

x

y

−315◦

x

y

405◦

106

Exe

mpel

2

a)Vinklarna−5

5◦och66

5◦an

gersammariktningeftersom

−55◦

+2·3

60◦

=66

5◦.

b)Vinklarna3π 7

och−11

π 7an

gersammariktningeftersom

3π 7−

2π=−11

π 7.

c)Vinklarna36◦och21

6◦an

gerinte

sammariktningutanmotsattariktninga

reftersom

36◦ +

180◦

=21

6◦.

Avs

tåndsformeln

Pythag

oras

sats

ären

avdemestkä

ndasatsernaimatem

atiken

ochsäge

rattien

rätvinklig

triange

lmed

kateteraochb,ochhyp

oten

usa

cgä

ller

att

Pythag

oras

sats: c2

=a2

+b2.

a

bc

Exe

mpel

3

Itriange

lntillhög

erär

c2=

32+

42=

9+

16=

25

ochdärförär

hyp

oten

usanclika

med

c=√ 25

=5.

4

3c

Pythag

oras

satska

nan

vändas

förattb

eräk

naav

stån

det

mellantvåpunkter

iettko

or-

dinatsystem

.

107

Avståndsformeln:

Avståndet

dmellantvåpunkter

med

koordinater

(x,y

)och

(a,b

)är

d=

√ (x−

a)2+

(y−

b)2 .

Linjestycke

tmellanpunkternaär

hyp

oten

usanie

nrätvinklig

triange

lva

rska

teterär

parallellamed

koordinatax

larna.

d

xa

y b

Kateternas

längd

ärlika

med

beloppet

avskillnad

enix-ochy-led

mellanpunkterna,

dvs.|x

−a|

resp

ektive|y−

b|.Pythag

oras

sats

gersedan

avstån

dsformeln.

Exe

mpel

4

a)Avståndet

mellan

(1,2

)och

(3,1

)är

d=

√ (1−

3)2+

(2−

1)2

=√ (−

2)2+

12=√ 4

+1

=√ 5.

b)Avståndet

mellan

(−1,0)

och

(−2,−5

)är

d=

√ (−1−

(−2)

)2+

(0−

(−5)

)2=

√ 12+

52=√ 1

+25

=√ 26

.

108

Cirklar

Encirkel

består

avalla

punkter

som

befinner

sigpåettvisstfixt

avstån

drfrån

enpunkt

(a,b

).

(a,b

)r

Avståndet

rka

llas

förcirkelnsradie

ochpunkten

(a,b

)förcirkelnsmed

elpunkt.F

igu-

renned

anvisaran

dra

viktigacirkelbe

grep

p.

Diameter

Tange

nt

Korda

Seka

nt

Cirke

lbåg

ePeriferi

Cirke

lsek

tor

Cirke

lseg

men

t

Exe

mpel

5

Encirkelsektor

ärgive

nifi

gurentillhög

er.

a)Bestäm

cirkelbå

genslängd

.

Med

elpunktsvinke

ln50◦blirirad

ianer

50◦

=50·1◦

=50·

π 180radianer

=5π 18

radianer.

Pådet

sättsom

radianer

ärdefi

nieratbe

tyder

detta

attcirkelbå

genslängd

ärradienmulti-

pliceratm

edvinke

lnmättirad

ianer,

3·5

π 18l.e

.=5π 6

l.e.

350◦

109

b)Bestäm

cirkelsektornsarea.

Cirke

lsek

tornsan

del

avhelacirkelnär

50◦

360◦

=5 36

ochdet

betyder

attd

essarea

är5 36delar

avcirkelnsarea

som

ärπr2

=π32

=9π

,dvs.

5 36·9

πa.e.

=5π 4

a.e.

Enpunkt

(x,y

)ligg

erpåcirkelnsom

har

med

elpunkt

i(a,b

)ochradie

rom

dess

avstån

dtillmed

elpunkten

ärlika

med

r.Detta

villko

rka

nform

ulerasmed

avstån

ds-

form

elnsom

Cirkelnsek

vation

:

(x−

a)2+

(y−

b)2

=r2.

(a,b

)

(x,y

)

r

Exe

mpel

6

a)(x−

1)2+

(y−

2)2

=9

ärek

vation

enför

encirkel

med

med

elpunkt

i(1,2

)ochra-

die√ 9

=3.

x

y

110

b)x2+

(y−

1)2

=1

kanskriva

ssom

(x−

0)2+

(y−

1)2

=1

ochär

ekva

tion

enfören

cirkel

med

me-

delpunkt

i(0,1)

ochradie√ 1

=1.

x

y

c)(x

+1)

2+

(y−

3)2

=5

kanskriva

ssom

(x−

(−1)

)2+

(y−

3)2

=5

ochär

ekva

tion

enfören

cirkel

med

me-

delpunkt

i(−1

,3)ochradie√ 5

≈2,23

6.x

y

Exe

mpel

7

a)Ligge

rpunkten

(1,2

)påcirkeln

(x−

4)2+

y2

=13

?

Stop

par

viin

punkten

sko

ordinater

x=

1ochy

=2icirke

lnsek

vation

har

viatt

VL

=(1−

4)2+

22=

(−3)

2+

22=

9+

4=

13=

HL.

Eftersom

punkten

uppfyller

cirkelnsek

vation

ligg

erpunke

npåcirkeln.

x

y

(1,2

)

b)Bestäm

ekva

tion

enförcirkelnsom

har

med

elpunkt

i(3,4

)ochinneh

åller

punkten

(1,0

).

Eftersom

punkten

(1,0

)skaligg

apåcirkelnmåste

cirkelnsradie

vara

lika

111

med

avstån

det

från

(1,0

)tillmed

elpunkten

(3,4

).Avståndsformelnge

ratt

detta

avstån

där

c=

√ (3−

1)2+

(4−

0)2

=√ 4

+16

=√ 20

.

Cirke

lnsek

vation

ärdärför (x−

3)2+

(y−

4)2

=20

. x

y

(1,0

)(3,4

)

Exe

mpel

8

Bestäm

med

elpunkt

ochradie

förden

cirkel

vars

ekva

tion

ärx2+

y2−

2x+

4y+

1=

0.

Viska

försök

askriva

omcirkelnsek

vation

påform

en

(x−

a)2+

(y−

b)2

=r2

fördåka

nvi

direk

tav

läsa

attm

edelpunke

när

(a,b

)ochradienär

r.Börjamed

attkv

adratkom

pletteraterm

ernasom

inneh

ållerxiv

änsterledet

x2−

2x+

y2+

4y+

1=

(x−

1)2−

12+

y2+

4y+

1

(deunderstrukn

aterm

ernavisarkv

adratkom

pletteringe

n).

Kva

dratkom

pletterasedan

term

ernasom

inneh

ållery

(x−

1)2−

12+

y2+

4y+

1=

(x−

1)2−

12+

(y+

2)2−

22+

1.

Vän

sterledet

äralltså

lika

med

(x−

1)2+

(y+

2)2−

4

ochflyttarvi

över

4tillhög

erledet

ärcirkelnsek

vation

(x−

1)2+

(y+

2)2

=4.

112

Via

vläser

attm

edelpunkten

är(1,−

2)ochradienär√ 4

=2.

x

y

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringvill

vitipsa

om:

■Läs

mer

omPythag

oras

satspåsven

skaWikiped

ia(http://sv.wikipedia.org/wik

i/Py

thag

oras

_sat

s)

■Läs

mer

iMathworld

omcirkeln

(http://mathworld.wolfram.co

m/Ci

rcle

.htm

l)

Län

ktips

■Interaktivtexperim

ent:sinusochcosinusie

nhetscirke

ln](Flash

)(http://www.math.kth.se/onli

ne/i

mage

s/si

nus_

och_

cosi

nus_

i_enhetscirkeln.swf)

113

4.1Övn

inga

r

Övn

ing4.1:1

Skrivig

rader

ochradianer

a)1 4va

rvb)

3 8va

rv

c)−

2 3va

rvd)

97 12va

rv

Övn

ing4.1:2

Omva

ndla

tillradianer

a)45◦

b)13

5◦c)

−63◦

d)

270◦

Övn

ing4.1:3

Bestäm

längd

enav

sidan

som

ärmarke

radmed

x.

a)

30

40x

b)

13

12x

c)

x

817

Övn

ing4.1:4

a)Bestäm

avstån

det

mellanpunkterna

(1,1

)och

(5,4

).

b)Bestäm

avstån

det

mellanpunkterna

(−2,5)

och

(3,−

1).

c)Hitta

den

punkt

påx-axeln

som

ligg

erlika

långt

från

punkterna

(3,3

)och

(5,1

).

Övn

ing4.1:5

a)Bestäm

ekva

tion

enfören

cirkel

med

med

elpunkt

i(1,2)

ochradie

2.

b)Bestäm

ekva

tion

enförden

cirkel

som

har

med

elpunkt

i(2,−1

)ochinneh

åller

punkten

(−1,1).

Övn

ing4.1:6

Skissera

följa

ndecirklar

a)x2+

y2

=9

b)(x−

1)2+

(y−

2)2

=3

c)(3x−

1)2+

(3y

+7)

2=

10

114

Övn

ing4.1:7

Skissera

följa

ndecirklar

a)x2+

2x+

y2−

2y=

1b)

x2+

y2+

4y=

0

c)x2−

2x+

y2+

6y=−3

d)

x2−

2x+

y2+

2y=−2

Övn

ing4.1:8

Hurmån

gava

rvsn

urrar

etth

julm

edradie

50cm

när

det

rullar

10m?

Övn

ing4.1:9

Påen

klocka

ärseku

ndvisaren8cm

lång.Hurstor

area

svep

erden

över

på10

seku

nder?

Övn

ing4.1:10

En5,4m

långtvättlinahän

germellantvåve

rtikalaträd

på4,8m

avstån

dfrån

varand-

ra.L

inan

sen

aän

deär

fäst

0,6m

hög

reän

den

andra

änden

,och

1,2m

från

träd

etdär

linan

har

sinlägreinfästninghän

geren

kava

jpåen

galge.

Bestäm

hurmycke

tunder

den

ned

reinfästningspunkten

som

galgen

hän

ger(dvs.a

vståndet

xifi

guren).

0,6m

x

4,8m

1,2m

115 4.2Trigon

ometrisk

afunktion

er

Inneh

åll:

■Detrigon

ometriskafunktionernacosinus,sinusochtange

ns.

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Kän

natillbe

grep

pen

spetsig,

trubb

igochrätv

inke

l.■Fö

rstå

defi

nitionen

avcosinus,sinusochtange

nsie

nhetscirke

ln.

■Utantillku

nnavä

rden

apåcosinus,

sinusochtange

nsförstan

dardvink-

larna0,

π/6,π

/4,π

/3och

π/2.

■Bestämmavä

rden

apåcosinus,sinusochtange

nsförargu

men

tsom

kan

reducerastillstan

dardvinklarnain

ågon

kvad

rantav

enhetscirke

ln.

■Sk

issera

grafernatillcosinus,sinusochtange

ns.

■Lösatrigon

ometriskaproblem

som

invo

lverar

rätvinkligatrianglar.

Trigon

ometriirätvinkliga

trianglar

Iden

rätvinkligatriange

lnned

anka

llas

kvoten

mellanden

motståendeka

tetenaoch

den

närligg

andeka

tetenbförtange

nsav

vinke

lnuochbe

tecknas

tanu.

u

b

atanu

=a b

Värdet

påkv

oten

a/bär

inte

beroen

deav

storleke

npåtriange

lnutanba

rapåvin-

keln

u.F

örolikavä

rden

påvinke

lnka

nman

fåfram

motsvaran

detange

nsvärdean

-tinge

nien

trigon

ometrisk

tabe

llellerge

nom

attan

vändaen

miniräk

nare(knap

pen

heter

ofta

tan).

116

Exe

mpel

1

Hurhög

ärflag

gstånge

n?

5m

40◦

Flag

gstånge

nochdessskugg

abildar

tillsamman

sen

rätvinklig

triange

ldär

den

vertikalaka

tetenär

okän

d(m

arke

radmed

xned

an).

40◦ 5m

x

Från

defi

nitionen

avtange

nshar

viatt

tan40◦

=x

5m

ocheftersom

tan40◦≈

0,84

såär

x=

5m·ta

n40◦≈

5m·0

,84

=4,2m.

117 Exe

mpel

2

Bestäm

längd

enav

sidan

marke

radmed

xifi

guren.

4020

22x

Om

vika

llar

vinke

lnlängsttillvä

nster

föruså

finnsdet

tvåsättattställa

uppett

uttryck

förtanu.

u

40

22tanu

=22 40

u

60

xtanu

=x 60

Sätter

videtvåuttrycken

förtanulika

fås

22 40=

x 60

vilket

gerattx

=60·2

2 40=

33.

Det

finnstvåan

dra

kvoter

irätvinkligatrianglar

som

har

speciellanam

nochdet

ärcosu

=b/

c(”cosinusav

u”)

ochsinu

=a/

c(”sinusav

u”).

u

b

ac

cosu

=b c

sinu

=a c

Precissom

förtange

nsär

kvoternasom

defi

nierarcosinusochsinusinte

beroen

deav

triange

lnsstorlekutanba

rapåvinke

lnu.

118

Exe

mpel

3

a)

u

4

35

Itriange

lntillvä

nster

är

cosu

=4 5

sinu

=3 5

b)

38◦

5x

Defi

nitionen

avsinusge

ratt

sin38◦

=x 5

ochve

tvia

ttsin38◦≈

0,61

6så

fårvi

att

x=

5·sin

38◦≈

5·0

,616≈

3,1.

c)34◦3 x

Cosinusär

kvoten

mellanden

närligg

andeka

-tetenochhyp

oten

usan

cos34◦

=3 x.

Alltsåär

x=

3cos34◦.

Exe

mpel

4

Bestäm

sinuitrian

geln

u 1/2

1

119 Med

hjälp

avPythag

oras

satska

nka

tetentillhög

erbe

stäm

mas

u 1/2

1x

12=

( 1 2

) 2 +x2

⇔x

=√ 3 2

ochdärförär

sinu

=√ 3/

21

=√ 3 2

.

Någ

rastan

dardvinklar

Förvissavinklar

30◦ ,45◦och60◦gå

rdet

relativt

enke

ltatträkn

autexak

tavä

rden

på

detrigon

ometriskafunktionerna.

Exe

mpel

5

Viutgår

från

enkv

adratmed

sidlängd

1.Endiago

nal

ikv

adratendelar

deräta

vinklarnaim

otsattahörnitvå

lika

delar

45◦ .

1

1x

45◦

45◦

Med

Pythag

oras

satska

nvi

bestäm

madiago

nalen

slängd

x,

x2

=12

+12

⇔x

=√ 12

+12

=√ 2.

Itriange

lnsom

har

diago

nalen

som

hyp

oten

usa

fårvi

fram

värdet

pådetrigon

o-metriskafunktionernaförvinke

ln45◦ .

1

1

√ 2

45◦

cos45◦

=1 √ 2

sin45◦

=1 √ 2

tan45◦

=1 1

=1

120

Exe

mpel

6

Betraktaen

liksidig

triange

ldär

alla

sidor

har

längd

1.Vinklarnaitrian

geln

äralla

60◦ .Triange

lnka

ndelas

uppitvå

halvo

rav

linjensom

delar

toppvinke

lnmittitu.

60◦

60◦

60◦ 1

11

60◦

30◦

1 2

x1

Pythag

oras

sats

gerattden

vertikalasidan

aven

triange

lhalva

ärx

=√ 3/

2.Från

entriange

lhalva

fårvi

att

60◦

30◦

1 2

√ 3 21

cos30◦

=√ 3/

21

=√ 3 2

;

sin30◦

=1/

2 1=

1 2;

tan30◦

=1/

2√ 3/

2=

1 √ 3;

cos60◦

=1/

2 1=

1 2

sin60◦

=√ 3/

21

=√ 3 2

tan60◦

=√ 3/

21/

2=√ 3

Trigon

ometrisk

afu

nktion

erförallm

ännavinklar

Förvinklar

som

ärmindre

än0◦

ellerstörre

än90◦ d

efinierasdetrigon

ometriskafunk-

tion

ernamed

hjälp

aven

hetscirke

ln(cirke

lnsom

har

med

elpunkt

iorigo

ochradie

1).

Detrigon

ometriskafunktionernacosuoch

sinu

ärx-resp

ektive

y-koo

rdinaternaför

skärningspunkten

mellanen

hetscirke

lnoch

det

radiellalinjesegm

entetsom

bildar

vin-

keln

umed

den

positivax-axeln.

x

y

u(cos

u,sin

u)

121

Tange

nsfunktionen

defi

nierassom

tanu

=sinu

cosu

ochtange

nsvärdet

kantolkas

som

riktningsko

efficien

tenfördet

radiellalinjesegm

en-

tet. Exe

mpel

7

Från

figu

rernaned

anav

läservi

värden

apåcosinusochsinus.

a)

x

y

104◦

(−0,24

;0,97)

cos10

4◦≈−0

,24

sin10

4◦≈

0,97

tan10

4◦≈

0,97

−0,24≈−4

,0

b)

x

y

201◦

(−0,93

;−0,36

)

cos20

1◦≈−0

,93

sin20

1◦≈−0

,36

tan20

1◦≈−0

,36

−0,93≈

0,4

Exe

mpel

8

Vilke

ttecke

nhar

a)cos20

9◦

Eftersom

vinke

ln20

9◦ka

nskriva

ssom

209◦

=18

0◦+

29◦så

svarar

vinke

lnmot

enpunkt

påen

hetscirke

lnsom

ligg

eri

den

tred

jekv

adranten.Den

punkten

har

enneg

ativ

x-koo

rdinat,v

ilke

tbe

tyder

att

cos20

9◦är

neg

ativ.

x

y

209◦

122

b)sin13

3◦

Vinke

ln13

3◦är

lika

med

90◦

+43◦och

geren

punkt

påen

hetscirke

lnsom

ligg

erid

enan

dra

kvad

ranten.I

den

kvad

ranten

har

punkter

positiv

y-koo

rdinat

ochdär-

förär

sin13

3◦positiv.

x

y

133◦

c)tan(−

40◦ )

Ritas

vinke

ln−4

0◦in

ien

hetscirke

lnfås

envinke

llinje

som

har

enneg

ativ

rikt-

ningsko

efficien

t,dvs.tan(−

40◦ )

ärneg

a-tiv.

x

y

−40◦

Exe

mpel

9

Bestäm

sin2π 3

.

Omskrivn

inge

n2π 3

=4π 6

=3π

+π

6=

π 2+

π 6visarattvinke

ln2π

/3ham

nar

ienhetscirke

lnsan

dra

kvad

rantochbildar

vinke

lnπ/6med

den

positivay-axeln.O

mvi

ritarin

enhjälptriange

lsom

ifigu

renned

antillhög

erså

servi

att2π

/3-punkten

påen

hetscirke

lnhar

eny-koo

rdinat

som

ärlika

med

den

närligg

andeka

tetencos(

π/6)

=√ 3/

2.Alltsåär

sin2π 3

=√ 3 2

.

x

y

2π/3

π/6

x

y

1cos

π 6

123

Detrigon

ometrisk

afu

nktion

ernas

grafer

Iförraav

snittetan

vändevi

enhetscirke

lnförattdefi

niera

cosinusochsinusförgo

d-

tyckliga

vinklar

ochvi

kommer

anvä

ndaen

hetscirke

lnofta

fram

över

förattt.ex.härle-

datrigon

ometriskasamba

ndochlösa

trigon

ometriskaek

vation

er.D

etfinnsdockvissa

egen

skap

erhos

detrigon

ometriskafunktionernasom

bättre

illustrerasge

nom

attrita

uppderas

funktionsgrafer.

x

y

−11

−π 2

π 2π

3π 22π

Grafentilltange

nsfunktionen

x

y

−11

−π 2

π 2π

3π 22π

Grafentillsinusfunktionen

124

x

y

−11

−π 2

π 2π

3π 22π

Grafentillcosinusfunktionen

Igrafernaka

nvi

observeraflerasake

rka

nsketydliga

reän

ien

hetscirke

ln.N

ågra

ex-

empel

är:

■Kurvornaförcosinusochsinusupprepar

sigefteren

vinke

ländringpå2π

,dvs.

det

gäller

attcos(x

+2π

)=

cosxochsin(x

+2π

)=

sinx.I

enhetscirke

lnmot-

svarar

2πettva

rvochefterettheltva

rvåterko

mmer

vinklar

tillsammaläge

på

enhetscirke

lnochhar

därförsammako

ordinater.

■Kurvan

förtange

nsupprepar

sigredan

efteren

vinke

ländringpå

π,d

vs.tan

(x+

π)

=tanx.T

våvinklar

som

skiljersigåt

med

πligg

erpåsammalinje

genom

origoien

hetscirke

lnochderas

vinke

llinjerhar

därförsammariktningsko

effici-

ent.

■Fö

rutom

enfasförskjutningpå

π/2är

kurvornaförcosinusochsinusiden

tiska,

dvs.cos

x=

sin(x

+π/2);m

erom

detta

inästa

avsn

itt.

Grafernaka

nocksåva

raviktiganär

man

undersöke

rtrigon

ometriskaek

vation

er.M

eden

enke

lskiss

kanman

ofta

fåen

uppfattningom

hurmån

galösn

inga

ren

ekva

tion

har,

ochva

rlösn

inga

rnafinns.

Exe

mpel

10

Hurmån

galösn

inga

rhar

ekva

tion

encosx

=x2 ?

(där

xmätsirad

ianer)

Gen

omattritauppgrafernay

=cosxochy

=x2servi

attk

urvornaskär

varandra

itvå

punkter.D

etfinnsalltså

tvåx-värden

förvilkamotsvaran

dey-värden

ärlika

.

125 Med

andra

ordhar

ekva

tion

entvålösn

inga

r.

x

y

y=

cosx

y=

x2

1

1

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Har

duläst

trigon

ometri,så

skaduinte

vara

räddförattan

vändaden

ige

o-metriskaproblem

.Det

gerofta

enen

klarelösn

ing.

Duka

nbe

höv

alägg

aner

mycke

ttidpåattförstå

hurman

anvä

nder

en-

hetscirke

lnförattd

efiniera

detrigon

ometriskafunktionerna.

Taförva

naatträkn

amed

exak

tatrigon

ometriskavä

rden

.Det

geren

bra

trän

ingpåbråk

räkn

ingochså

smån

ingo

miräk

ningmed

alge

braiskaration

ella

uttryck.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringvill

vitipsa

om:

■Läs

mer

omtrigon

ometriiP

erEdströms”Interaktiv

Matem

atik”

(http://dooku.miun.se/per.ed

stro

m/in

tera

ktiv

_mat

emat

ik/

trigonometri/cos_even.html

)

■Läs

mer

omtrigon

ometripåen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Tr

igon

omet

ric_

func

tion

)

■Läs

mer

omen

hetscirke

lnpåen

gelska

Wikiped

ia(http://en.wikipedia.org/wik

i/Un

it_c

ircl

e)

126

Län

ktips

■Exp

erim

entera

med

sinusochcosinusie

nhetscirke

ln(http://www.math.kth.se/onli

ne/i

mage

s/si

nus_

och_

cosi

nus_

i_enhetscirkeln.swf)

■Exp

erim

entera

med

Euklidiskge

ometri

(http://www.math.psu.edu/dli

ttle

/jav

a/ge

omet

ry/e

ucli

dean

/toolbox.html

)

127

4.2Övn

inga

r

Övn

ing4.2:1

Bestäm

längd

enav

sidan

som

ärmarke

radmed

xuttrycktmed

hjälp

avdetrigon

o-metriskafunktionerna.

a)

27◦

13

xb)

32◦

x25

c)

40◦

14x

d)

20◦

16

x

e)

35◦

11x

f)

50◦

19

x

Övn

ing4.2:2

Bestäm

entrigon

ometrisk

ekva

tion

som

vinke

lnvuppfyller.

a)v

2

5

b)

v

70

110

c)

v

5 7d)

v

35

128

e)

v

60◦

5

f)v

3 3

2

Övn

ing4.2:3

Bestäm

a)sin

( −π 2

)b)

cos2π

c)sin9π

d)

cos7π 2

e)sin3π 4

f)cos( −

π 6

)Övn

ing4.2:4

Bestäm

a)cos11

π 6b)

cos11

π 3c)

tan3π 4

d)

tan

πe)

tan7π 6

f)tan

( −5π 3

)Övn

ing4.2:5

Bestäm

a)cos13

5◦b)

tan22

5◦c)

cos33

0◦d)

tan49

5◦

Övn

ing4.2:6

Bestäm

längd

enav

sträckan

som

ärmarke

radmed

x.

60◦

45◦

1

x

Övn

ing4.2:7

Förattmätauppbred

den

aven

älvmäter

vifrån

tvåpunkter

Aoch

Blängs

den

enaraka

stranden

vinke

lntillettträd

Cpåmotsattsidaälve

n.H

urbred

ärälve

nom

129

måttenifi

gurengä

ller? A

B30◦

45◦

10m

C

Övn

ing4.2:8

Enstån

gmed

längd

ℓär

upphän

gditvålinor

med

längd

aresp

.ben

ligt

figu

ren.

Linornabildar

vinklar

αresp

.βmed

vertikalen

.Bestäm

entrigon

ometrisk

ekva

tion

förvinke

lnγsom

stån

genbildar

med

vertikalen

.

a

αb

β

ℓγ

Övn

ing4.2:9

Bilvä

genfrån

AtillBbe

står

avtrerätlinjig

adelar

AP,PQ

ochQB,vilkaär

4,0km

,12

,0km

resp

ektive

5,0km

.Deifigu

renmarke

radevinklarnavidPochQ

är30◦re-

spek

tive

90◦ .

Beräk

naav

stån

det

fåge

lväg

enfrån

Atill

B.(U

ppgiften

ärhäm

tadur

Cen

tralaprove

tim

atem

atik,n

ovem

ber19

76,m

enan

inge

nmod

ifierad

.)

A

P

QB

30◦

130

4.3Trigon

ometrisk

asamban

d

Inneh

åll:

■Trigon

ometriskaettan

■Fo

rmelnfördubb

laochhalva

vinke

ln■Additions-

ochsu

btraktionsformlerna

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Härledatrigon

ometriskasamba

ndfrån

symmetrier

ienhetscirke

ln.

■Fö

renklatrigon

ometriskauttryck

med

hjälp

avdetrigon

ometriskasam-

banden

.

Inledning

Det

finnsen

män

gdtrigon

ometriskasamba

nd,m

edvilkaman

kanöv

ersättamellan

sinus-,cosinus-

ochtange

nsvärden

fören

vinke

lellermultiplarav

envinke

l.Dessa

bruka

rocksåka

llas

trigon

ometriskaiden

titeter,eftersom

deen

dastär

olikasätt

att

beskriva

ettochsammauttryck

med

hjälp

avolikatrigon

ometriskafunktioner.Här

kommer

viattbe

skriva

någ

raav

dessa

trigon

ometriskasamba

nd.Det

finnsmån

gafler

änvi

kanbe

han

dla

här.Deflesta

kanhärledas

utifrån

den

s.k.

trigon

ometrisk

aettanochad

ditionsformlerna(sened

an),vilkaär

viktigaattk

unnautantill.

Trigon

ometrisk

aettan

Detta

samba

nd

ärdet

mestgrundlägg

ande,

men

ärisjälva

verket

inge

ntingan

nat

änPyt-

hag

oras

sats,tillämpad

ienhetscirke

ln.D

enrät-

vinkligatriange

lntillhög

ervisaratt

(sin

v)2

+(cos

v)2

=1,

vilket

bruka

rskriva

ssin2 v

+cos2v

=1.

x

y

1 cosv

sin

vv

131

Sym

metrier

Med

hjälp

aven

hetscirke

lnochsp

eglingka

nman

tack

vare

detrigon

ometriskafunk-

tion

ernas

symmetrier

hitta

enstor

män

gdsamba

ndmellancosinusochsinus.

cos(−v

)=

cosv

sin(−

v)

=−sinv

cos(

π−

v)

=−cosv

sin(π−

v)

=sinv

cos( π 2

−v) =

sinv

sin( π 2

−v) =

cosv

cos( v

+π 2

) =−sinv

sin( v

+π 2

) =cosv

Istället

förattförsök

alära

sigalla

dessa

samba

ndutantillka

ndet

vara

bättre

attlära

sighärledadem

ienhetscirke

ln.

Speg

lingix-axe

ln

x

y

v −v

När

envinke

lvsp

eglasix

-axeln

blirden−v

.

Speg

linge

npåv

erka

rinte

x-koo

rdinaten

med

any-koo

rdinaten

bytertecken

cos(−v

)=

cosv,

sin(−

v)

=−sinv.

Speg

lingiy-axe

ln

x

y

v−v

Vid

speg

lingiy

-axeln

ändrasvinke

lnvtill

π−

v(speg

elbilden

bildar

vinke

lnvmot

den

neg

a-tiva

x-axeln).

Speg

linge

npåv

erka

rinte

y-koo

rdinaten

med

anx-koo

rdinaten

bytertecken

cos(

π−

v)

=−cosv,

sin(π−

v)

=sinv.

132

Speg

lingilinjeny

=x

x

y

v

−vVinke

lnvän

drastillvinke

lnπ/2−v(speg

elbil-

den

bildar

vinke

lnvmot

den

positivay-axeln).

Speg

linge

ngö

rattx-o

chy-koo

rdinaternaby

ter

plats

cos( π 2

−v) =

sinv.

sin( π 2

−v) =

cosv.

Vridningmed

vinkeln

π/2

x

y

v

v

Envridning

π/2av

vinke

lnvbe

tyder

attvin-

keln

blirv

+π/2.

Vridninge

ngö

ratt

x-koo

rdinaten

blir

ny

y-koo

rdinat

och

y-koo

rdinaten

blir

ny

x-

koordinat

fast

med

omvä

nttecken

cos( v

+π 2

) =−sinv,

sin( v

+π 2

) =cosv.

Alternativtka

nman

fåfram

dessa

samba

ndge

nom

attspeg

laoch/ellerförskjuta

gra-

ferna.Om

man

exem

pelvisvillhaettsam

banddär

cosvuttrycksmed

hjälp

avsinusså

kanman

förskjuta

grafen

förcosinusså

attd

enpassarmed

sinuskurvan

.Detta

kangö

-raspåfleraolikasätt,m

enmestn

aturligtfallerdet

sigattskrivacosv

=sin(v

+π/2).

Förattundvika

misstag

kanman

kontrollera

attdet

stäm

mer

förnåg

raolikavä

rden

påv.

x

y

y=

cosx

y=

sin

x

1

1

π/2

Kon

troll:

cos0

=sin(0

+π/2)

=1.

133

Additions-

ochsu

btrak

tion

sformlern

aoc

hform

lerför

dubbla

vinkeln

Oftabe

höv

erman

behan

dla

uttryck

där

tvåellerfleravinklar

ärinblan

dad

e,t.e

x.sin(u

+v).Man

behöv

erdådes.k.

additionsformlerna.Fö

rsinusochcosinushar

form

-lernautseendet

sin(u

+v)

=sinucosv

+cosusinv,

sin(u−

v)

=sinucosv−

cosusinv,

cos(u

+v)

=cosucosv−

sinusinv,

cos(u−

v)

=cosucosv

+sinusinv.

Om

man

villve

tasinusellercosinusfördubb

lavinke

ln,d

vs.sin

2vellercos2v

,såka

nman

skriva

uttrycken

som

sin(v

+v)ellercos(v

+v)ochan

vändaad

ditionsformlerna

ovan

ochfå

sin2v

=2sinvcosv,

cos2v

=cos2v−

sin2 v.

Urdessa

samba

ndka

nvi

sedan

fåfram

form

lerförhalva

vinke

ln.G

enom

attby

taut

2vmot

v,o

chföljd

aktligen

vmot

v/2,

iformelnförcos2v

fårvi

att

cosv

=cos2v 2−

sin2v 2.

Villv

ihaen

form

elförsin(v/2)

såan

vänder

vidärefterden

trigon

ometriskaettanför

attblia

vmed

cos2

(v/2) co

sv

=1−

sin2v 2−

sin2v 2

=1−

2sin2

v 2

dvs.

sin2v 2

=1−

cosv

2.

Påmotsvaran

desättka

nvi

med

den

trigon

ometriskaettangö

raossav

med

sin2 (v/2).

Dåfårvi

istället

134

cos2v 2

=1

+cosv

2.

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Enhetscirke

lnär

ettov

ärderligt

hjälpmed

elföratthitta

trigon

ometriskasam-

band.Så

dan

afinnsdet

gott

omochdet

äringe

nidéattförsök

alära

sigalla

utantill.Det

ärocksåtidsödan

deattbe

höv

aslåuppochleta

fram

dem

hela

tiden

.Därförär

det

mycke

tbä

ttre

attdulärdig

anvä

ndaen

hetscirke

ln.

Den

allramestkä

ndatrigon

ometriskaform

elnär

den

s.k.

trigon

ometriska

ettan.D

engä

ller

föralla

vinklar,inte

bara

försp

etsiga

.Den

hän

gerihop

med

Pythag

oras

sats.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringvill

vitipsa

om:

■Läs

mer

omtrigon

ometriskaform

leriT

hed

ucation

sgy

mnasielexiko

n(http://www.theducation.se/k

urse

r/um

apre

p/4_

trig

onom

etri

/43_

trig_formler/432_addisionsfo

rmle

rna/

inde

x.as

p)

■Läs

mer

omarea-,sinusochcosinussatsernaiT

hed

ucation

sgy

mnasielex-

ikon

(http://www.theducation.se/k

urse

r/um

apre

p/4_

trig

onom

etri

/43_

trig_formler/432_addisionsfo

rmle

rna/

inde

x.as

p)

■Läs

mer

omtrigon

ometriiB

runoKev

iusmatem

atiska

ordlista

(http://matmin.kevius.com/tr

igon

omet

ri.h

tml)

Län

ktips

■Exp

erim

entera

med

cosinus”låd

an”

(http://www.ies.co.jp/math/j

ava/

trig

/cos

box/

cosb

ox.h

tml)

135

4.3Övn

inga

r

Övn

ing4.3:1

Bestäm

devinklar

vmellan

π 2och2π

som

uppfyller

a)cosv

=cos

π 5b)

sinv

=sin

π 7c)

tanv

=tan2π 7

Övn

ing4.3:2

Bestäm

devinklar

vmellan0och

πsom

uppfyller

a)cosv

=cos3π 2

b)cosv

=cos7π 5

Övn

ing4.3:3

Antagatt−

π 2≤

v≤

π 2ochattsin

v=

a.Uttryck

med

hjälp

ava

a)sin

(−v)

b)sin

(π−

v)

c)cosv

d)

sin

( π 2−

v)

e)cos( π 2

+v)

f)sin

( π 3+

v)

Övn

ing4.3:4

Antagatt0≤

v≤

πochattcosv

=b.Uttryck

med

hjälp

avb

a)sin2 v

b)sinv

c)sin2v

d)

cos2v

e)sin

( v+

π 4

)f)

cos( v−

π 3

)Övn

ing4.3:5

Fören

spetsigvinke

lvie

ntriange

lgällerattsinv

=5 7.Bestäm

cosvochtanv.

Övn

ing4.3:6

a)Bestäm

sinv

och

tanv

omcosv

=3 4

och

3π 2≤

v≤

2π.

b)Bestäm

cosv

och

tanv

omsinv

=3 10

ochvligg

erid

enan

dra

kvad

ranten.

c)Bestäm

sinv

och

cosv

omtanv

=3och

π≤

v≤

3π 2.

136

Övn

ing4.3:7

Bestäm

sin

(x+

y)om

a)sinx

=2 3,siny

=1 3

ochx,y

ärvinklar

iförstakv

adranten.

b)cosx

=2 5,cosy

=3 5

ochx,y

ärvinklar

iförstakv

adranten.

Övn

ing4.3:8

Visafölja

ndetrigon

ometriskasamba

nd

a)tan2v

=sin2v

1−

sin2v

b)1

cosv−

tanv

=cosv

1+

sinv

c)tanu 2

=sinu

1+

cosu

d)

cos(u

+v)

cosucosv

=1−

tanutanv

Övn

ing4.3:9

Visa”M

orries

form

el”

cos20◦ ·

cos40◦ ·

cos80◦

=1 8.

(Led

tråd

:Anvä

ndform

elnfördubb

lavinke

lnpåsin16

0◦.)

137 4.4Trigon

ometrisk

aek

vation

er

Inneh

åll:

■Trigon

ometriskagrundek

vation

er■Enklaretrigon

ometriskaek

vation

er

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Lösatrigon

ometriskagrundek

vation

er.

■Lösatrigon

ometriskaek

vation

ersom

kanåterförastillov

anståendeek

va-

tion

styp

.

Gru

ndek

vation

er

Trigon

ometriskaek

vation

erka

nva

ramycke

tkom

plicerade,men

detfinnsocksåmån

gatyper

avtrigon

ometriskaek

vation

ersom

man

kanlösa

med

ganskaen

klametod

er.

Här

skallv

ibörjamed

atttitta

pådemestg

rundlägg

andetrigon

ometriskaek

vation

er-

na,

avtypernasinx

=a,cosx

=aochtanx

=a.

Dessa

ekva

tion

erhar

irege

loä

ndligt

mån

galösn

inga

r,såvidainte

omstän

dighe-

ternabe

grän

saran

taletm

öjliga

lösn

inga

r(t.ex.

attman

söke

ren

spetsigvinke

l).

Exe

mpel

1

Lös

ekva

tion

ensinx

=1 2.

Vår

uppgiftär

attbe

stäm

maalla

vinklar

som

görattsinusav

vinke

lnblir

1 2.V

itar

hjälp

aven

hetscirke

ln.N

oteraattvinke

lnhär

kallas

x.

x

y

y=

1 2π/6

x

y

y=

1 2−π

/6

138

Ifigu

renhar

vian

givitdetvåriktninga

rsom

gerpunkter

med

y-koo

rdinat

1 2i

enhetscirke

ln,d

vs.v

inklar

med

sinusvärdet

1 2.D

enförsta

ärstan

dardvinke

ln30◦

=π/6ochav

symmetriskäl

bildar

den

andra

vinke

ln30◦mot

den

neg

ativax-axeln,

vilket

görattden

vinke

lnär

180◦−

30◦

=15

0◦elleriradianer

π−

π/6

=5π

/6.

Detta

ärdeen

dalösn

inga

rtillek

vation

ensinx

=1 2mellan0och2π

.Vik

andocklägg

atillettg

odtyckligt

antalv

arvtilldessa

tvåvinklar

ochfortfa-

randefå

sammasinusvärde.Allavinklar

med

sinusvärde

1 2är

alltså

x=

π 6+

2nπ

x=

5π 6+

2nπ

där

när

ettg

odtyckligt

heltal.Detta

kallas

förden

fullstän

digalösn

inge

ntillek

va-

tion

en.

Lösninga

rnasynsocksåifigu

renned

andär

grafen

tilly

=sinxskär

linjen

y=

1 2.

x

y

y=

sinx

y=

1 2

1

π 65π 6

13π 6

17π 6

Exe

mpel

2

Lös

ekva

tion

encosx

=1 2.

Vitar

återigen

hjälp

aven

hetscirke

ln.

x

yx

=1 2

π/3

x

yx

=1 2

−π/3

139 Vive

tattcosinusblir

1 2förvinke

lnπ/3.

Den

endaan

dra

riktningien

hetscirke

lnsom

gersammavä

rdepåcosinushar

vinke

ln−π

/3.

Läg

gervi

tillettheltan

tal

varv

tilldessa

vinklar

fårvi

den

fullstän

digalösn

inge

n

x=±π

/3

+n·2

π,

där

när

ettg

odtyckligt

heltal.

Exe

mpel

3

Lös

ekva

tion

entanx

=√ 3.

Enlösn

ingtillek

vation

enär

stan

dardvinke

lnx

=π/3.

Om

vibe

trak

taren

hetscirke

lnså

ärtange

nsav

envinke

llikamed

riktningsko

-efficien

tenförden

räta

linje

genom

origosom

bildar

vinke

lnxmed

den

positiva

x-axeln.

x

ylutning√ 3

π/3

x

ylutning√ 3

π+

π/3

Därförservi

attlösn

inga

rnatilltanx

=√ 3

upprepar

sigva

rjehalvt

varv

π/3,

π/3

+π,

π/3

+π

+π

osv.

Den

fullstän

digalösn

inge

nka

nvi

därmed

fåfram

genom

attutgåfrån

lösn

inge

nπ/3ochlägg

atillellerdra

ifrånmultiplarav

π,

x=

π/3

+n·π

,

där

när

ettg

odtyckligt

heltal.

Någ

ramer

kom

pliceradeek

vation

er

Trigon

ometriskaek

vation

erka

nse

utpåmån

gaolikasätt,o

chdet

ärom

öjligt

atthär

geen

fullstän

dig

genom

gångav

alla

tänkb

araek

vation

er.M

enlåtossstuderanåg

raexem

pel,d

ärvi

kanhanytta

avattvi

kanlösa

grundek

vation

erna.

Vissa

trigon

ometriskaek

vation

erka

nförenklas

genom

attdeskrivs

ommed

hjälp

140

avtrigon

ometriskasamba

nd.Detta

kant.e

x.ledatillen

andragrad

sekv

ation,som

ined

anståendeexem

pel

där

man

anvä

nder

attc

os2x

=2cos2x−

1.

Exe

mpel

4

Lös

ekva

tion

encos2x−

4cosx

+3

=0.

Omskrivn

ingmed

hjälp

avform

elncos2x

=2cos2x−

1ge

r

(2cos2x−

1)−

4cosx

+3

=0,

vilket

kanförenklas

tillek

vation

en(efter

divisionmed

2)

cos2x−

2cosx

+1

=0.

Vän

sterledet

kanfaktoriseras

med

kvad

reringsrege

lntill

(cos

x−

1)2

=0.

Den

naek

vation

kanba

rava

rauppfylldom

cosx

=1.

Grundek

vation

encosx

=1

kanvi

lösa

pådet

vanliga

sättet

ochden

fullstän

digalösn

inge

när

x=

2nπ

(ngo

dtyckligt

heltal).

Exe

mpel

5

Lös

ekva

tion

en1 2sinx

+1−

cos2

x=

0.

Enligt

den

trigon

ometriskaettanär

sin2x

+cos2x

=1,

dvs.1−

cos2x

=sin2x.

Ekv

ationen

kanalltså

skriva

s

1 2sinx

+sin2x

=0.

Gen

omattnubrytaute

nfaktor

sinxfårvi

sinx·( 1 2

+sinx) =

0.

Från

den

nafaktoriserad

eform

avek

vation

enservi

attlösninga

rnaan

tinge

nmåste

uppfyllasinx

=0ellersinx

=−

1 2,v

ilka

ärtvåva

nliga

grundek

vation

erpåform

ensinx

=aochka

nlösassom

iexempel

1.Lösninga

rnablirtillslut

x=

nπ

x=−π

/6

+2n

π

x=

7π/6

+2n

π

(ngo

dtyckligt

heltal).

141 Exe

mpel

6

Lös

ekva

tion

ensin2x

=4cosx.

Gen

omom

skrivn

ingmed

form

elnfördubb

lavinke

lnblirek

vation

en

2sinxcosx−

4cosx

=0.

Vid

elar

bådaledmed

2ochbryter

ute

nfaktor

cosx,v

ilke

tge

r

cosx·(

sinx−

2)=

0.

Eftersom

produkten

ivän

sterledet

bara

kanblin

ollg

enom

atten

faktor

ärnoll,så

kanek

vation

endelas

uppig

rundek

vation

erna

■cosx

=0,

■sinx

=2.

Men

sinxka

naldrigblistörre

än1,

såek

vation

ensinx

=2sakn

arlösn

inga

r.Då

återstår

bara

cosx

=0,

vilken

med

hjälp

aven

hetscirke

lnge

rden

fullstän

diga

lösn

inge

nx

=π/2

+n

π.

Exe

mpel

7

Lös

ekva

tion

en4sin2

x−

4cosx

=1.

Med

den

trigon

ometriskaettanka

nsin2xby

tasutmot

1−

cos2x.D

åfårvi

4(1−

cos2x)−

4cosx

=1,

4−

4cos2x−

4cosx

=1,

−4cos2x−

4cosx

+4−

1=

0,

cos2x

+cosx−

3 4=

0.

Detta

ären

andragrad

sekv

ationicos

x,som

har

lösn

inga

rna

cosx

=−

3 2och

cosx

=1 2.

Eftersom

värdet

avcosxligg

ermellan−1

och1ka

nek

vation

encosx

=−

3 2inte

hanåg

ralösn

inga

r.Dååterstår

bara

grundek

vation

en

cosx

=1 2,

som

lösesen

ligt

exem

pel

2.

142

Råd

förinläsn

ing

Gru

nd-o

chslutprov

Efter

attd

uhar

lästtexten

ocharbe

tatm

edöv

ninga

rnaskadugö

ragrund-och

slutprove

tför

attb

ligo

dkä

ndpådetta

avsn

itt.Duhittarlänke

ntillprove

nid

instuden

tlounge

.

Tän

kpåatt:

Det

ärbraom

man

lärsigdeva

nliga

trigon

ometriskaform

lerna(iden

titeter-

na)

ochöv

aruppen

viss

vanapåattförenklaochman

ipulera

trigon

ometriska

uttryck.

Det

ärviktigtattman

lärsigdegrundlägg

andeek

vation

erna,

avtypen

sinx

=a,

cosx

=aellertanx

=a(där

aär

ettreellttal).Det

ärocksåvik-

tigt

attman

vetattd

essa

ekva

tion

ertypiskt

har

oändligt

mån

galösn

inga

r.

Lästips

Fördig

som

villfördjupadig

ytterligareellerbe

höv

eren

längreförklaringvill

vitipsa

om:

■Läs

mer

omtrigon

ometriskaek

vation

eriT

hed

ucation

sgy

mnasielexiko

n(http://www.theducation.se/k

urse

r/um

apre

p/4_

trig

onom

etri

/44_

trig_ekvationer/index.asp)

■Trän

apåtrigon

ometriskaräkn

eexempel

iThed

ucation

sgy

mnasielexiko

n(http://www.theducation.se/k

urse

r/um

apre

p/4_

trig

onom

etri

/44_

trig_ekvationer/445_typ_asin

x/in

dex.

asp)

Län

ktips

■Exp

erim

entera

med

grafen

y=

asinb(x−

c)(http://www.ies.co.jp/math/j

ava/

trig

/ABC

sinX

/ABC

sinX

.htm

l)

■Exp

erim

entera

med

derivatan

avsinx

(http://www.theducation.se/k

urse

r/ex

peri

ment

/gym

a/ap

plet

s/ex

45_

derivatasinus/Ex45Applet.htm

l)

143

4.4Övn

inga

r

Övn

ing4.4:1

Förvilkavinklar

v,d

är0≤

v≤

2π,g

älleratt

a)sinv

=1 2

b)cosv

=1 2

c)sinv

=1

d)

tanv

=1

e)cosv

=2

f)sinv

=−1 2

g)tanv

=−

1 √ 3

Övn

ing4.4:2

Lös

ekva

tion

en

a)sinx

=√ 3 2

b)cosx

=1 2

c)sinx

=0

d)

sin5x

=1 √ 2

e)sin5x

=1 2

f)cos3x

=−

1 √ 2

Övn

ing4.4:3

Lös

ekva

tion

ena)

cosx

=cos

π 6b)

sinx

=sin

π 5c)

sin

(x+

40◦ )

=sin65◦

d)

sin3x

=sin15◦

Övn

ing4.4:4

Bestäm

devinklar

viintervallet0◦≤

v≤

360◦

som

uppfyller

cos( 2v

+10◦) =

cos11

0◦.

Övn

ing4.4:5

Lös

ekva

tion

ena)

sin3x

=sinx

b)tanx

=tan4x

c)cos5x

=cos(x

+π/5)

Övn

ing4.4:6

Lös

ekva

tion

en

a)sinx·cos

3x=

2sinx

b)√ 2

sinxcosx

=cosx

c)sin2x

=−sinx

144

Övn

ing4.4:7

Lös

ekva

tion

ena)

2sin2x

+sinx

=1

b)2sin2x−

3cosx

=0

c)cos3x

=sin4x

Övn

ing4.4:8

Lös

ekva

tion

ena)

sin2x

=√ 2

cosx

b)sinx

=√ 3

cosx

c)1

cos2

x=

1−

tanx

145 5.1Skriva

matem

atiskaform

leriLAT EX

Inneh

åll:

■Matem

atiska

form

leriL

A TEX

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Sk

riva

form

leriL

A TEX

■Undvika

vanliga

misstag

när

man

kodar

matem

atik

iLAT EX

Föratteffektivtku

nnaskriva

matem

atik

viadatorniden

individuella

uppgiften

och

gruppuppgiften

såbe

höv

erduko

damatem

atiken

med

hjälp

avLAT EX.I

detta

avsn

itt

kommer

dufå

lära

dig

grundernaia

ttko

nstrueraLAT EX-kod

förattskrivamatem

atiska

form

ler.

Attsk

riva

enkla

uttryck

iLA TEX

Förattmarke

rastartenförden

matem

atiska

form

ateringe

nan

vändstagg

en<math>

.Fö

ratta

vsluta

den

matem

atiska

form

ateringe

nan

vändstagg

en</math>.

Tillexem

pel

skrivs

form

elna+

bsom

<math>a+b</math>

.Enklamatem

atiska

uttryck

skrivs

påetträttfram

tsätt.

Exe

mpel

1

a)1

+2−

3skrivs

<math>1+2-3</math>

b)5/

2skrivs

<math>5/2</math>

c)4/

(2+

x)

skrivs

<math>4/(2+x)</math>

d)

4<

5skrivs

<math>4

<5</math>

När

dube

höv

eran

vändasymbo

lersom

inte

ärtillgä

ngligapåetttange

ntbordeller

146

konstrueraav

anceradeform

lerbe

höv

erduan

vändadig

avsp

ecialkom

man

don

.Kom

-man

don

astartaralltid

med

etto

mvä

ntsned

streck,t.ex.\lesom

ärko

mman

dot

för≤.

Itabe

llen

ned

anhar

vilistat

deva

nliga

stean

vändamatem

atiska

komman

don

ai

LAT EX.

Exe

mpel

LAT EX-kod

Kom

men

tar

Enklaräkn

esätt

a+

ba+b

a−

ba-b

a±

ba\pm

b

a·b

a\cdot

b

a/b

a/b

1 2\frac{1}{2}

Litet

bygg

tbråk

a b\dfrac{a}{b}

Stortby

ggtbråk

(a)

(a)

Skalba

raparen

teser:

\left(...\right)

Jämförelsetecke

na

=b

a=b

a6=

ba\ne

bAlternativt:a\not=b

a<

ba<

bObs.m

ellanslag

efter”<

”

a≤

ba\le

b

a>

ba>b

a≥

ba\ge

b

Poten

serochrötter

xn

x^{n}

√x

\sqrt{x}

n√x

\sqrt[n]{x}

Index

xn

x_{n}

Log

aritmer

lgx

\lg

x

lnx

\ln

x

logx

\log

x

logax

\log_{a}

x

Trigon

ometri

30◦

30^{\circ}

cosx

\cos

x

sinx

\sin

x

147

tanx

\tan

x

cotx

\cot

x

Pilar

⇒\Rightarrow

⇐\Leftarrow

⇔\Leftrightarrow

Diverse

symbo

ler

π\pi

α,β

,θ,ϕ

\alpha,

\beta,

\theta,

\varphi

Exe

mpel

2

a)1±

3·5

skrivs

<math>1\pm

3\cdot

5</math>

b)1 2y6=

x≤

zskrivs

<math>\frac{1}{2}y\ne

x\le

z</math>

c)21

3√3

+ln

yskrivs

<math>2^{13}\sqrt{3}+\ln

y</math>

d)

tan30◦ +

cotπ

skrivs

<math>\tan

30^{\circ}+\cot\pi</math>

Attsk

riva

kom

pliceradeuttryck

Gen

omattko

mbineraen

klauttryck

kanvi

skriva

mer

komplexa

uttryck.

Exe

mpel

3

a)√x

+2

skrivs

<math>\sqrt{x+2}</math>

b)(a

2)3

=a6

skrivs

<math>(a^2)^3=a^6</math>

c)22

2skrivs

<math>2^{2^2}</math>

d)

sin√x

skrivs

<math>\sin\sqrt{x}</math>

Exe

mpel

4

a)√ x

+√x

skrivs

<math>\sqrt{x+\sqrt{x}}</mat

h>

148

b)x−

x2

√ 3skrivs

<math>\dfrac{x-x^2}{\sqrt{

3}}<

/mat

h>

c)x

x+

1 x

skrivs

<math>\dfrac{x}{x+\dfrac{1}{

x}}<

/mat

h>

d)

x1,2

=−p 2±

√ ( p 2

) 2 −q

skrivs

<math>x_{1,2}=-\dfrac{p}{2}

\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2

}\ri

ght)

^2-q

}</m

ath>

Van

liga

misstag

Ettav

deva

nliga

stemisstag

ennär

man

skrive

rmatem

atik

iden

nasp

eciellasyntaxär

attglöm

mastarttag

gen<math>

ochsluttag

gen</math>.

Glöm

inte

hellerattstartako

mman

don

med

omvä

ntsned

streck

(\)o

chattläg

gatill

ettm

ellanslag

efterko

mman

don

(om

deinte

direk

tföljsav

ytterligareettk

omman

do).

Ettan

nat

vanligt

felär

attan

vändaen

asterisk

(*)istället

förmultiplika

tion

steck-

net·(

\cdotiL

A TEX

).

Exe

mpel

5

LAT EX

Resultat

a)Glöm

inte

omvä

nt

sned

streck

(\)

sin

xsinx

Kom

ihåg

mellanslag

efterettko

mman

do

\sinx

Error

Skriv

\sin

xsinx

b)Sk

rivinte

multiplika

tion

med

asterisk

4*3

4∗3

Skriv

4\cdot

34·3

c)Multiplika

tion

stecke

nskrivs

normaltinte

ut

mellanva

riab

ler

a\cdot

ba·b

Skriv

abab

149

Exp

onenterochindex

Förattskriva

enexpon

entan

vänder

du^följt

avexpon

entenochförattskriva

in-

dex

anvä

nder

du_följt

avindexet.O

mexpon

entenellerindexet

består

avfler

änen

symbo

lmåste

det

inneslutasmed

klam

merparen

teser(äve

nka

llad

emåsvinga

reller

krullparen

teser){}

.Ensp

ecielltypav

expon

entär

grad

tecknet

(◦).Det

skrivs

^{\circ}

.

Exe

mpel

6

LAT EX

Resultat

a)Utelämnainte

^a2

a2

Skriv

a^2

a2

b)Utelämnainte

_x1

x1

Skriv

x_1

x1

c)Glöm

inte

klam

merparen

teser

a^22

a22

Skriv

a^{22}

a22

d)

Anvä

ndinte

”o”som

grad

tecken

30^{o}

30o

Anvä

ndinte

”0”som

grad

tecken

30^{0}

300

Skriv

30^{\circ}

30◦

Parenteser

Imer

komplexa

uttryck

ärdet

viktigta

ttse

tillattv

arjevä

nsterparen

tes”(

”ba

lanseras

aven

motsvaran

dehög

erparen

tes”)

”.Enparen

tessom

avgrän

sarettstortuttryck

skava

ralika

stor

som

uttrycket.F

öratt

åstadko

mmadetta

anvä

nder

viprefixfram

förparen

teserna.

Vid

vänsterparen

tesen

skrive

rdu\leftfram

förochvidhög

erparen

tesen\right

.Dåko

mmer

dufå

ettpar

skalba

raparen

tesersom

anpassarsinhöjdefteruttrycketsstorlek.

Noteraattklam

merparen

teser{}

ochinte

vanliga

paren

teser()

anvä

ndsföratt

avgrän

saargu

men

ttillk

omman

don

.

150

Exe

mpel

7

LAT EX

Resultat

a)Var

nog

amed

antalet

paren

teser

(1-(1-x)

(1−

(1−

x)

Skriv

(1-(1-x))

(1−

(1−

x))

b)Låt

paren

tesernava

ralika

storasom

uttrycket

(\dfrac{a}{b}+c)

(a b+

c)

Skriv

\left(\dfrac{a}{b}+c\right

)( a b

+c)

c)Van

liga

paren

teser

avgrän

sarinte

argu

men

t

\frac(1)(2)

( 1)(2)

Skriv

\frac{1}{2}

1 2

d)

Van

liga

paren

teser

avgrän

sarinte

argu

men

t

\sqrt(a+b)

√ (a+

b)

Undvikon

ödiga

paren

teser

\sqrt{(a+b)}

√ (a+

b)

Skriv

\sqrt{a+b}

√ a+

b

Bråk

Entumrege

lär

attbråk

där

näm

nareochtälja

reinneh

ålleren

dastettfåtalsiffrorska

skriva

ssom

småbråk

(\frac

),m

edan

andra

bråk

skava

rastora(\dfrac).

Om

enexpon

entellerindex

inneh

ållerettbråk

börbråk

etskriva

smed

sned

streck

(t.ex.

5/2istället

för5 2)förattö

kaläsbarheten

.

151 Exe

mpel

8

LAT EX

Resultat

a)Sifferbråk

skrivs

inte

stora

\dfrac{1}{2}

1 2

Skriv

\frac{1}{2}

1 2

(Undan

tag:

Om

bråk

etstår

bred

videttstortuttryck

såbö

rduskriva

bråk

etsom

ettstortbråk

.)

b)Bok

stav

sbråkskrivs

inte

små

\frac{a}{b}

a b

Skriv

\dfrac{a}{b}

a b

c)Kom

pliceradebråk

skrivs

inte

små

\frac{\sqrt{3}}{2}

√ 3 2

Skriv

\dfrac{\sqrt{3}}{2}

√ 3 2

d)

Inga

bygg

dabråk

iexpon

enter

a^{\frac{1}{2}}

a1 2

Skriv

a^{1/2}

a1/2

Råd

förinläsn

inge

n

Ettrådär

atttestaattskriva

matem

atiska

form

leriforumet

ochiwikin

som

tillhör

din

individuella

uppgift.

Län

ktips

■En

mer

utförlig

lista

avmatem

atikko

mman

don

iLAT EX

finnspå

Wi-

kiped

iashjälpsidor

(http://en.wikipedia.org/w

iki/

Help

:Dis

play

ing_

a_formula)

152

■Mer

ingå

endeinform

ationom

LAT EXmatem

atik

kanhittasie

ttka

pitel

avbo

ken

The

LAT EX

Com

panion(http://www.cism.it/cism/v

olco

nts/

ch8.

pdf)

ochen

text

avHerbe

rtVoss(http://www.tex.ac.uk/tex-

arch

ive/

info/math/voss/mathmode/Math

mode

.pdf

).

■Villdu

veta

mer

omLAT EX

kan

du

besöka

dessa

web

bsidor:Wiki-

ped

ia(http://en.wikipedia.org/w

iki/

LaTe

X),The

not

soSh

ortIn-

trod

uction

toLAT EX

(http://www.ctan.org/tex-a

rchive

/inf

o/ls

hort

/english/lshort.pdf

)och

LAT EX

Wikiboo

k(http://en.wikibooks.org/

wiki/LaTeX

).

■Den

implemen

tation

avLAT EXmatem

atik

som

anvä

ndsiw

ikin

pånätet

ärjsMath(http://www.math.union.edu/~

dpvc

/jsM

ath).

153

5.1Övn

inga

r

Övn

ing5.1:1

Skrivfölja

ndeform

leriL

A TEX

a)2−

3+

4b)

−1+

0,3

c)−5−

(−3)

=−5

+3

d)

5/2

+1

>5/

(2+

1)

Övn

ing5.1:2

Skrivfölja

ndeform

leriL

AT EX

a)3·4±

4b)

4x2−√ x

c)4·3

n≥

n3

d)

3−

(5−

2)=−(−3

+5−

2)

Övn

ing5.1:3

Skrivfölja

ndeform

leriL

A TEX

a)x

+1

x2−

1=

1x−

1b)

( 5 x−

1) (1−

x)

c)1 2

1 3+

1 4

d)

1

1+

11

+x

Övn

ing5.1:4

Skrivfölja

ndeform

leriL

AT EX

a)sin2x

+cosx

b)cosv

=cos3π 2

c)cot2

x=

1tan2x

d)

tanu 2

=sinu

1+

cosu

Övn

ing5.1:5

Skrivfölja

ndeform

leriL

AT EX

a)√ 4

+x2

b)n√x

+y6=

n√x

+n√ y

c)√ √

3=

4√ 3d)

( 4√ 3) 3 3√2

+√ 2

Övn

ing5.1:6

Skrivfölja

ndeform

leriL

A TEX

a)ln

(4·3

)=

ln4

+ln

3b)

ln(4−

3)6=

ln4−

ln3

c)log 2

4=

ln4

ln2

d)

2log

24

=4

154

Övn

ing5.1:7

Korrige

rafölja

ndematem

atiska

kodskrive

niL

A TEX

a)4^{\frac{3}{4}}(1-(3-4)

b)2*sqrt(a+b)

c)cotx

=\dfrac{1}{2}Sin

20^{o}

155 5.2Matem

atisktext

Inneh

åll:

■Reg

lerkringform

ateringav

matem

atiska

text

■God

arådinförskriva

ndet

aven

lösn

ing

■Van

liga

fel

Läran

dem

ål:

Efter

detta

avsn

ittskaduhalärtdig

att:

■Presentera

enmatem

atisktext

■Fö

rklara

tanke

gånge

nba

kom

enlösn

ing

God

aråd

Förk

lara

din

lösn

ing

Det

viktigaste

rådet

är:

Förklara

din

lösn

ing.

Lösninge

nskainte

bara

vara

enredov

isningav

vilkaform

lersom

duan

vänt,utan

ocksåen

beskrivn

ingav

hurduhar

tänkt.A

nvä

ndordtilldetta!F

örattfårättnivåpå

lösn

inge

n:tän

kdig

attd

uförklararlösn

inge

nfören

klasskom

pissom

har

lite

svårta

tthän

gamed

iallasteg

.Duskaalltså

inte

förklara

minstalillaräkn

eoperationmen

inte

hellerhop

paöv

erviktigasteg

.Ly

der

duba

rarådet

ovan

såhar

dugjort80

%av

vadsom

kräv

sförattskriva

enfullgo

dlösn

ing.

Skrivgo

dsven

ska

Äve

nom

detta

inte

ären

inlämningsuppgiftisve

nskaochattd

etsjälvk

lartär

detmate-

matiska

inneh

ålletsom

ärviktigastsåskadutänka

påsake

rsom

stav

fel,gram

matiska

felosv.Om

din

lösn

inghar

alltförmån

gasp

råkligafelförsäm

rardet

kommunikatio-

nen

med

läsarenochpåv

erka

även

lösn

inge

nstrov

ärdighet.

156

Ren

skrivlösn

inge

n

Efter

attdulöst

uppgiften

börduskriva

omlösn

inge

npånytt.Dåka

ndubä

ttre

kon-

centreradig

påhurdupresenterardin

tanke

gångochka

nskeäv

enförbättradin

ur-

sprungligalösn

ing.

Ett

tipsär

attbe

någ

onan

nan

läsa

din

lösn

ingförattupptäcka

oklarheter.Det

ärbraattskjuta

upppresentation

sfasen

tillsenareså

attnär

dulö-

seruppgiften

första

gånge

nka

narbe

tafriare

ochbe

höv

erinte

bindauppdig

vidett

bestäm

tsättattlösauppgiften

på.

När

duskrive

rin

lösn

inge

n,g

ördet

som

text

ochinte

som

skärmdumpar

från

din

ordbe

han

dlare.V

isserligen

kandet

vara

enklareattskrivalösn

inge

npådin

egen

dator

ifavo

ritprogram

met,m

entänkpåattlösn

inge

nin

ästa

fasskaingå

iettgrupparbe

teochdåär

det

viktigtattlösn

inge

ngå

rattred

igeraav

alla.

Etttydligt

svar

Skrivetttyd

ligt

svar

påslutet.Detta

ärsp

ecielltv

iktigt

omlösn

inge

när

långochsvaret

finnsutspritt

itexten

.Det

finnsdockuppgifter

där

själva

lösn

inge

när

svaret

(t.ex.

”Visaatt...”)

ochdåbe

höv

sförståsinge

tsep

arat

svar

påslutet.Fö

renklaocksåsvaret

sålångt

som

möjligt.

Exe

mpel

1

a)√ 8

förenklas

till

2√2.

b)sin2x

+cos2x

+2sin2x

förenklas

till

1+

2sin2x

.

c)x

=

{ π/4

+n

π

3π/4

+n

π(n

heltal)

förenklas

till

x=

π/4

+n

π/2

(nheltal).

Pröva

ochkon

trollera

delsteg

ochsvar

Iblandnär

man

löservissaek

vation

erdyk

erdet

upps.k.

falska

rötter

som

enko

n-

sekv

ensav

det

lösn

ingssätt

som

man

anvä

nt.Idessa

fall,förklara

varför

even

tuella

falska

rötter

kanfinnas

ochpröva

lösn

inga

rnaförattse

vilkasom

ärriktigalösn

inga

rochvilkasom

ärfalska

rötter.

Enan

nan

sakattse

uppmed

äruteblivnalösn

inga

r.T.ex.o

men

faktor

ibå

daled

ienek

vation

förkortasbo

rtså

riskerar

lösn

inga

rnasom

gesav

när

faktornär

nollatt

försvinna.

157 Exe

mpel

2

Om

dulöserek

vation

en2x

2−

5x=

0ge

nom

attförstflytta

5xtillhög

erledet,

2x2

=5x

,

ochförkorta

bort

xib

ådaled,

2x=

5,

såförlorar

dulösn

inge

nx

=0.

Om

duistället

faktoriserar

vänsterledet,

x(2x−

5)=

0,

såka

nduav

läsa

bådalösn

inga

rna:

x=

0och2x−

5=

0(dvs.x

=5 2).

Läs

mer

omfaktoriseringilösningsförslage

ttillöv

ning2.1:3.

Enviktig

del

avuppgiften

ärattfunderautmetod

erförattirim

ligutsträckn

ingko

n-

trollera

svaret.T

illexem

pel,stoppain

lösn

inge

niek

vation

enochförvissa

sigom

att

det

verklige

när

enlösn

ingeftersom

man

kanju

haräkn

atfel(förväx

ladockinte

detta

med

prövn

inge

nav

falska

rötter).Detta

kanman

ocksågö

rafördelsvar

ienlösn

ing.

Enan

nan

sakär

attbe

döm

aom

svaret

ärrimligt.Stop

pain

värden

påvissapa-

rametrarochse

attman

fårrätt

svar

(vad

hän

der

oma

=0,

a=

1elleragå

rmot

oändligh

eten

?).

Ritatydliga

figu

rer

Enfigu

rka

nofta

förklara

infördabe

teckninga

rbä

ttre

äntext,såan

vändgä

rnafigu

rer.

Tän

kdockpåattritadem

tydliga

ochöv

erlastainte

enfigu

rmed

alltförmån

gadetal-

jer.Det

kanva

rabä

ttre

atthafleranästanlika

dan

afigu

rersom

varochen

illustrerar

ensakän

enstor

kombinationsfi

gursom

skaförklara

allt.

Beh

andla

form

lerso

men

del

avtexten

Det

ärviktigtattduskrive

rdin

lösn

ingpåettsättsom

gördet

enke

ltföran

dra

att

följa

med

iresonem

ange

n.N

edan

presenterarvi

någ

raexem

pel

påhurman

skaoch

inte

skafram

ställa

texten

när

man

anvä

nder

form

lerisin

lösn

ing.

God

arådkringform

lerochtext

■Sk

rivförklarandetext

påraden

innan

enfriståen

deform

el

158

■Tän

kpåhurduskrive

rutp

unkt

ochko

mma

■Sk

rivfriståen

deform

lernåg

otindragn

a(eller

centrerad

e)

Form

lerbö

rinte

sessom

någ

otsom

hän

gspåtexten

(eller

tvärtom

)utanbå

detext

ochform

lerskaintegreras

samman

iettlinjärtflöd

e.Sk

rivdärförinte

förklarandetext

inom

paren

teserefterform

lerutanistället

påraden

innan

.

Skrivinte

form

el(texttext

text

text

text

text

...)

form

el(texttext

text

text

text

text

...)

Skrivistället

Text

text

text

text

...

form

el.

Text

text

text

text

...

form

el.

Form

lerka

nan

tinge

nskriva

sinneiden

löpan

detexten

ellerfriståen

de.

När

form

-lerskrivs

friståen

deham

nar

depåen

egen

radochan

tinge

ncentrerad

eellernåg

otindragn

a.

Skriv

...texttext

text

form

eltext.

Text

text

text

form

el

text

text

text

text

text

text

...

(Noterahurindragn

inge

nfram

häv

erbå

deden

förklarandetexten

ochform

eln.)

Ettva

nligt

felä

rattan

vändako

lonfram

föralla

friståen

deform

ler.

159 Skrivinte

...vilke

tger

att :

form

el

Nästa

steg

är...

(Observe

raattdet

ocksåbe

höv

sen

punkt

efterform

elnov

an.)

Eftersom

enform

elskava

raen

del

avtexten

såingå

rden

som

endel

avmen

inge

n.

Tän

kdärförpåhurduan

vänder

skiljetecken

.Exempelvis,

glöm

inte

attsättauten

punkt

efteren

form

elom

den

avslutaren

men

ing.

Skriv

...och

därförär

form

el.

Nästa

steg

är...

(Noterapunkten

efterform

eln.)

Ettofog

äratti

enlösn

ingan

vändaöv

erdrive

nnumrering,

t.ex.

sättaute

nsiffra

fram

-förva

rjeen

skiltsteg

(numreringbö

ran

vändas

viden

renuppräkn

ing).D

eextrasiff-

rornatillförofta

inge

tutanblir

mestdistrah

eran

de.

Man

behöv

ersällan

referera

till-

baka

tillen

skildasteg

,och

behöv

erman

det

kanman

ofta

skriva

exem

pelvis”n

ärvi

kvad

reradeek

vation

en”osv.

Skrivinte

3.text

text

text

text

text

text

text

text

...

form

el

4.text

text

text

text

text

text

text

text

...

Iblandvillman

referera

tillba

katillen

viss

friståen

deform

elochdåka

nman

numrera

den

med

ensiffra

(eller

stjärna)

inom

paren

teserih

öger

ellervä

nster

marginal.

Skriv

...texttext

text

text

text

text

text

text

160

form

el.

(1)

Text

text

(1)text

text

text

text

text

text

form

el.

Text

text

text

text

text

text

text

text...

Van

liga

fel

Var

nog

gran

nmed

pilar

ochlikheter

Det

ärskillnad

mellan⇒

(implika

tion

),⇔

(ekv

ivalen

s)och

=(likamed

).Mellantvå

ekva

tion

ersom

man

påförhan

dve

thar

sammalösn

inga

ran

vändsek

viva

lensp

ilen⇔

förattsign

aleradetta.

Om

vidärem

otskrive

r”ekv

ation1⇒

ekva

tion

2”så

betyder

det

attalla

lösn

inga

rsom

ekva

tion

1har

har

ocksåek

vation

2,men

ekva

tion

2ka

ndessu

tom

hafler

lös-

ninga

r.

Exe

mpel

3

a)x

+5

=3

⇔x

=−2

b)x2−

4x−

1=

0⇔

(x−

2)2−

5=

0

c)√x

=x−

2⇒

x=

(x−

2)2

Oftaskrive

rman

inte

ut⇔

mellantvårader

som

direk

tfölje

refterva

randra

eftersom

ekviva

lensendåär

underförstådd.M

ånga

gånge

rär

det

ocksåbä

ttre

attan

vändaför-

klaran

detext

istället

förpilar

mellanolikasteg

ilösninge

n.A

nvä

ndinte

implika

tion

s-pilen⇒

som

enallm

änfortsättningssymbo

l(ibe

tydelsen”sed

anhar

vi”).

Likhetsteckn

et(=

)anvä

ndsitvå

betydelser,delsmellansake

rsom

äriden

tisktlika,

t.ex.

(x−

2)2

=x2−

4x+

4som

gäller

föralla

x,d

elsie

kvationer

där

bådaledär

lika

förvissax,exempelvis(x−

2)2

=4som

bara

gäller

förx

=0ellerx

=4.

Duskainte

blan

dadessa

tvåolikaan

vändninga

rav

sammatecken

.

Exe

mpel

4

Skrivinte

x2−

2x+

1=

(x−

1)2

=4

161 när

dulöserek

vation

enx2−

2x+

1=

4,eftersom

det

dålämnar

öppet

förmiss-

tolkninga

r.Sk

rivhellre

x2−

2x+

1=

4⇔

(x−

1)2

=4.

(Det

finnsocksåen

tred

jean

vändningav

likh

etsteckn

etsom

föreko

mmer

när

man

defi

nierarettuttryck

ellert.e

x.en

operation.)

Enke

lpilen

(→)an

vändsim

atem

atiken

oftast

vidolikatyper

avgrän

svärden

;a→

∞be

tyder

attavä

xerob

egränsat(går

mot

oändligh

eten

).Duko

mmer

troligtvis

inte

behöv

aan

vändaen

kelpilen

iden

naku

rs.

Slarvainte

med

paren

teser

Eftersom

multiplika

tion

ochdivisionhar

hög

reprioritet

änad

ditionochsu

btraktion

ärdet

nöd

vändigtattstop

pain

paren

teserom

man

villattad

ditionen

/su

btraktionen

skautföras

först.Eftersom

vihar

den

narege

lså

skaduinte

hellerhamed

onöd

iga

paren

teser.

Exe

mpel

5

a)Sk

rivinte

1+

x/cosxnär

dueg

entligen

men

ar(1

+x)/

cosx.

b)Sk

rivinte

1+

(1/sinx)när

detta

bättre

skrivs

som

1+

1/sinx(äve

nom

det

förraskrivsättet,form

elltsett,inte

ärfelaktigt).

Ibok

stav

suttryck

utelämnar

man

ofta

multiplika

tion

steckn

et.E

xempelvisskrive

rman

nästanaldrig4·x·y·z

utan4x

yz.Detta

utelämnad

emultiplika

tion

stecke

nbinder

ihop

uttryck

hårdareän

multiplika

tion

ochdivision(m

eninte

upphöjttill).När

dudärför

skrive

r1/

2Rså

betyder

det

1/(2R)ochinte

(1/2)R.E

ftersom

detta

kanva

raen

källa

tillmissförstån

dså

ärdet

inte

heltov

anligt

attman

skrive

rutparen

tesernaibå

da

situationerna(äve

nom

destrikt

settba

raär

nöd

vändigaid

eten

auttrycket).

Argumen

ttilldeva

nliga

elem

entära

funktionernaskrive

rman

utanparen

teser.

Därförskaduinte

skriva

cos(x),

sin(x

),tan(x

),cot(x),

lg(x

)och

ln(x

)

utan

cosx,

sinx,

tanx,

cotx

,lg

xoch

lnx.

Det

ärt.o

.m.så

attman

skrive

rcos2x

ochinte

cos(2x

)(eftersom

2xär

etttättihop

-sattuttryck),men

därem

otär

paren

tesernanöd

vändiganär

man

skrive

rsin(x

+y),

sin(x/2),sin

(−x)eller(sin

x)2

(som

du,a

lternativt,ka

nskriva

som

sin2x).

162

Råd

förinläsn

inge

n

Läs

gärnaav

snittetb

ådeinnan

ochefterattd

uskrive

rlösn

inge

ntilldin

inläm-

ningsuppgift.

Län

ktips

■En

video

kurs

ihurman

skrive

rmatem

atik

avDon

ald

Knuth

(http:

//scpd.stanford.edu/knuth/in

dex.

jsp).

Kom

pen

diet

som

hör

till

kursen

finnstillgä

ngligtikä

llform

(http://www-

cs-f

aculty.stanf

ord.

edu/~knuth/papers/mathwritin

g.te

x.gz

)eller

iutdrag

från

Goo

gle

book

s(http://books.google.com/boo

ks?i

d=dD

OehH

MbUM

cC&p

rint

sec=

frontcover&dq=inauthor:Donal

d+in

auth

or:E

rvin

+ina

utho

r:Knuth&lr=&ei=JbN1SZfvFZysMqP

PhM8

M&hl

=sv#

PPP9

,M1).

163

5.2Övn

inga

r

Övn

ing5.2:1

Vilke

nav

pilarna⇒

,⇐eller⇔

skasättas

inmellanfölja

ndeek

vation

er?(Iställetför

fråg

eteckn

en)

a)tanx(sin

x+

1)=

tanx

?sinx

+1

=1

b)√x−

1=

x+

1?

x−

1=

(x+

1)2

c)x2−

6x+

1=

0?

(x−

3)2−

9+

1=

0

Övn

ing5.2:2

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

Övn

ing5.2:3

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

164

Övn

ing5.2:4

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

Övn

ing5.2:5

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

Övn

ing5.2:6

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

165

Övn

ing5.2:7

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

Övn

ing5.2:8

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

166

Övn

ing5.2:9

Kritisera

följa

ndeutdraguren

studen

tslösn

ing

167 Facittillöv

ningsuppgifter

Numeriskräkning

1.1:1

a)−7

b)1

c)11

d)

1

1.1:2

a)0

b)−1

c)−2

5d)−1

9

1.1:3

a)naturlig,h

eltal,ration

ell

b)heltal,ration

ell

c)naturlig,h

eltal,ration

ell

d)heltal,ration

ell

e)heltal,ration

ell

f)naturlig,h

eltal,ration

ell

1.1:4

a)ration

ell

b)naturlig,h

eltal,ration

ell

c)irration

ell

d)naturlig,h

eltal,ration

ell

e)irration

ell

f)irration

ell

1.1:5

a)3 5

<5 3

<2

<7 3

b)−

1 2<−

1 3<−

3 10<−

1 5

c)1 2

<3 5

<21 34

<5 8

<2 3

1.1:6

a)1,16

7b)

2,25

0c)

0,28

6d)1,41

4

1.1:7

a)ration

ellt,

314

100

=157

50

b)ration

ellt,

31413

9999

=10471

3333

c)ration

ellt,

1999

9990

d)irration

ellt

1.2:1

a)93 28

b)3 35

c)−

7 30d)

47 60

e)47 84

1.2:2

a)30

b)8

c)84

d)22

5

1.2:3

a)19 100

b)1 240

1.2:4

a)6 7

b)16 21

c)1 6

1.2:5

a)105 4

b)−5

c)8 55

1.2:6

152

35

1.3:1

a)72

b)3

c)−1

25d)

27 8

1.3:2

a)26

b)2−

2c)

20

1.3:3

a)3−

1b)

35c)

34d)3−

3

e)3−

3

1.3:4

a)4

b)3

c)62

5d)16

e)1

3750

1.3:5

a)2

b)1 2

c)27

d)22

09e)

9f)

25 3

1.3:6

a)25

61/3

>20

01/3

b)0,4−

3>

0,5−

3

c)0,25

>0,27

d)

( 51/3) 4 >

4001

/3

e)12

51/2

>62

51/3

f)34

0>

256

Algeb

ra

2.1:1

a)3x

2−

3xb)

xy

+x2 y−

x3 y

c)−4

x2+

x2y2

d)x3 y−

x2 y

+x3y2

e)x2−

14x

+49

f)16

y2+

40y

+25

g)9x

6−

6x3 y

2+

y4

h)9x

10+

30x8+

25x6

2.1:2

a)−5

x2+20

b)10

x−11

c)54

xd)81

x8−

16e)

2a2+

2b2

2.1:3

a)(x

+6)

(x−

6)b)

5(x

+2)

(x−

2)c)

(x+

3)2

d)

(x−

5)2

e)−2

x(x

+3)

(x−

3)f)

(4x

+1)

2

2.1:4

a)5fram

förx2,3fram

förx

b)2fram

förx2,1fram

förx

168

c)6fram

förx2,2fram

förx

2.1:5

a)1

1−

xb)−

1y(y

+2)

c)3(x−

2)(x−

1)d)2(y

+2)

y2+

4

2.1:6

a)2y

b)−x

+12

(x−

2)(x

+3)

c)b

a(a−

b)d)a(a+

b)4b

2.1:7

a)4

(x+

3)(x

+5)

b)x4−

x3+

x2+

x−

1x2 (x−

1)

c)ax

(a+

1−

x)

(a+

1)2

2.1:8

a)x

(x+

3)(x

+1)

b)2(x−

3)x

c)x

+2

2x+

3

2.2:1

a)x

=1

b)x

=6

c)x

=−

3 2d)x

=−

13 3

2.2:2

a)x

=1

b)x

=5 3

c)x

=2

d)x

=−2

2.2:3

a)x

=9

b)x

=7 5

c)x

=4 5

d)x

=1 2

2.2:4

a)−2

x+

y=

3b)

y=−

3 4x

+5 4

2.2:5

a)y

=−3

x+

9b)

y=−3

x+

1c)

y=

3x+

5d)y

=−

1 2x

+5

e)k

=8 5

2.2:6

a)( −5 3

,0) b)

(0,5

)c)

( 0,−

6 5

)d)

(12,−1

3)e)

( −1 4,3 2

)

2.2:7

a)x

y

b)x

y

c)x

y

2.2:8

a)x

y

b)x

y

169

c)x

y

2.2:9

a)4a.e.

b)5a.e.

c)6a.e.

2.3:1

a)(x−

1)2−

1b)

(x+

1)2−

2

c)−(

x−1)

2+6

d)

( x+

5 2

) 2 −13 4

2.3:2

a){ x 1

=1

x2

=3

b){ y 1

=−5

y2

=3

c)sakn

ar(reella)

lösn

ing

d)

{ x 1=

1 2

x2

=13 2

e){ x 1

=−1

x2

=3 5

f){ x

1=

4 3

x2

=2

2.3:3

a){ x 1

=0

x2

=−3

b){ x 1

=3

x2

=−5

c){ x 1

=2 3

x2

=−8

d)

{ x 1=

0

x2

=12

e){ x 1

=−3

x2

=8

f)

x1

=0

x2

=1

x3

=2

2.3:4

a)ax

2−

ax−

2a=

0,

b)ax

2−

2ax−

2a=

0,

c)ax

2−

(3+√ 3

)ax

+3√

3a

=0,

där

a6=

0är

enko

nstan

t.

2.3:5

a)Exempelvisx2+

14x

+49

=0

b)xsom

uppfyller

3<

x<

4

c)b

=−5

2.3:6

a)0

b)−2

c)3 4

2.3:7

a)1

b)−

7 4c)

sakn

armax

2.3:8

a)

x

y

b)

x

y

c)

x

y

2.3:9

a)(−

1,0)

och

(1,0

)b)

(2,0

)och

(3,0

)c)

(1,0

)och

(3,0

)

2.3:10

a)x

y

170

b)x

y

c)x

y

d)

x

y

Rötteroc

hloga

ritm

er

3.1:1

a)21

/2

b)75/

2c)

34/

3d)31

/4

3.1:2

a)3

b)3

c)ejdefi

nierad

d)51

1/6

e)12

f)2

g)−5

3.1:3

a)3

b)4√

3/3

c)2√

5

d)2−√ 2

3.1:4

a)0,4

b)0,3

c)−4√ 2

d)2√

3

3.1:5

a)√ 3/

3b)

72/3 /

7c)

3−√ 7

d)

(√17

+√ 13

)/4

3.1:6

a)6

+2√

2+

3√5

+√ 10

b)−(

5+

4√3)/

23

c)2 3

√ 6+

2 3

√ 3−

2 5

√ 10−

2 5

√ 5

d)

(5√ 3

+7√

2−√ 6

−12

)/23

3.1:7

a)√ 5

−√ 7

b)−√

35c)√ 17

3.1:8

a)3√ 6

>3√ 5

b)7

>√ 7

c)√ 7

>2,5

d)

3√ 2·3

>√ 2( 4√ 3

) 33.2:1

x=

5

3.2:2

x=

1

3.2:3

{ x 1=

3

x2

=4

3.2:4

sakn

arlösn

ing.

3.2:5

x=

1

3.2:6

x=

5 4

3.3:1

a)x

=3

b)x

=−1

c)x

=−2

d)x

=4

3.3:2

a)−1

b)4

c)−3

d)0

e)2

f)3

g)10

h)−2

3.3:3

a)3

b)−

1 2c)−3

d)

7 3e)

4f)−2

g)1

h)

5 2

3.3:4

a)1

b)0

c)−

1 2lg

3

3.3:5

a)5

b)0

c)0

d)0

e)−2

f)e2

3.3:6

a)1,26

2b)

1,66

3c)

4,76

2

3.4:1

a)x

=ln

13b)

x=

ln2−

ln13

1+

ln3

c)x

=ln

7−

ln3

1−

ln2

3.4:2

a){ x 1

=√ 2

x2

=−√

2

b)x

=ln

√ 17−

12

c)sakn

arlösn

ing

171

3.4:3

a)x

=−

1 ln2±

√ (1 ln2

) 2 −1

b)x

=5 2

c)x

=1

Trigon

ometri

4.1:1

a)90◦och

π/2rad

b)13

5◦och

3π/4rad

c)−2

40◦och−4

π/3rad

d)29

10◦och

97π/6rad

4.1:2

a)π/4rad

b)3π

/4rad

c)−7

π/20

rad

d)3π

/2rad

4.1:3

a)x

=50

b)x

=5

c)x

=15

4.1:4

a)5l.e

.b)√ 61

l.e.

c)(2,0

)

4.1:5

a)(x−

1)2+

(y−

2)2

=4

b)(x−

2)2+

(y+

1)2

=13

4.1:6

a)x

y

b)x

y

c)x

y

4.1:7

a)x

y

b)x

y

c)x

y

172

d)

x

y

4.1:8

10/

πva

rv≈

3,2va

rv

4.1:9

32π/3cm

2≈

33,5cm

2

4.1:10

x=

9dm

4.2:1

a)x

=13·ta

n27◦≈

6,62

b)x

=25·cos

32◦≈

21,2

c)x

=14

/tan40◦≈

16,7

d)x

=16

/cos20◦≈

17,0

e)x

=11

/sin35◦≈

19,2

f)x

=19

/tan50◦≈

15,9

4.2:2

a)tanv

=2 5

b)sinv

=7 11

c)cosv

=5 7

d)sinv

=3 5

e)v

=30◦

f)sin(v/2)

=1 3

4.2:3

a)−1

b)1

c)0

d)0

e)1/√ 2

f)√ 3/

2

4.2:4

a)√ 3/

2b)

1 2c)−1

d)0

e)1/√ 3

f)√ 3

4.2:5

a)−1

/√2

b)1

c)√ 3/

2d)−1

4.2:6

x=√ 3

−1

4.2:7

Bredd

=10

√ 3−

1m≈

13,7m.

4.2:8

ℓcos

γ=

acos

α−

bcos

β

4.2:9

Avstånd

=√ 20

5−

48√ 3

≈11

,0km

4.3:1

a)v

=9π

/5

b)v

=6π

/7

c)v

=9π

/7

4.3:2

a)v

=π/2

b)v

=3π

/5

4.3:3

a)−a

b)a

c)√ 1

−a2

d)√ 1

−a2

e)−a

f)

√ 3 2

√ 1−

a2+

1 2·a

4.3:4

a)1−

b2b)√ 1

−b2

c)2b√ 1

−b2

d)2b

2−

1

e)√ 1

−b2·

1 √ 2+

b·

1 √ 2

f)b·1 2

+√ 1

−b2·√ 3 2

4.3:5

cosv

=2√

67

,tanv

=5

2√6

4.3:6

a)sinv

=−√ 7 4

,tanv

=−√ 7 3

b)cosv

=−√ 91 10

,tanv

=−

3 √ 91

c)sinv

=−

3 √ 10,cosv

=−

1 √ 10

4.3:7

a)sin

(x+

y)

=4√

2+√ 5

9

b)sin

(x+

y)

=3√

21+

825

4.4:1

a)v

=π/6,v

=5π

/6

b)v

=π/3,v

=5π

/3

c)v

=π/2

d)v

=π/4,v

=5π

/4

e)lösn

ingsakn

asf)

v=

11π/6,v

=7π

/6

g)v

=5π

/6,v

=11

π/6

4.4:2

a){ x=

π/3

+2n

π

x=

2π/3

+2n

π

b){ x=

π/3

+2n

π

x=

5π/3

+2n

π

c)x

=n

π

d)

{ x=π/20

+2n

π/5

x=

3π/20

+2n

π/5

173

e){ x=

π/30

+2n

π/5

x=

π/6

+2n

π/5

f){ x=

π/4

+2n

π/3

x=

5π/12

+2n

π/3

4.4:3

a){ x=

π/6

+2n

π

x=

11π/6

+2n

π

b){ x=

π/5

+2n

π

x=

4π/5

+2n

π

c){ x=

25◦ +

n·360◦

x=

75◦ +

n·360◦

d)

{ x=5◦

+n·120◦

x=

55◦ +

n·120◦

4.4:4

v1

=50◦ ,

v2

=12

0◦,

v3

=23

0◦,

v4

=30

0◦

4.4:5

a){ x=

nπ

x=

π/4

+n

π/2

b)x

=n

π/3

c){ x=

π/20

+n

π/2

x=−π

/30

+n

π/3

4.4:6

a)x

=n

π

b)

x=

π/4

+2n

π

x=

π/2

+n

π

x=

3π/4

+2n

π

c){ x=

2nπ/3

x=

π+

2nπ

4.4:7

a)

x=

π/6

+2n

π

x=

5π/6

+2n

π

x=

3π/2

+2n

π

b)x

=±π

/3

+2n

π

c){ x=

π/2

+2n

π

x=

π/14

+2n

π/7

4.4:8

a)

x=

π/4

+2n

π

x=

π/2

+n

π

x=

3π/4

+2n

π

b)x

=π/3

+n

π

c){ x=

nπ

x=

3π/4

+n

π

Skriva

matem

atik

5.1:1

a)2-3+4

b)-1+0,3

c)-5-(-3)=-5+3

d)5/2+1

>5/(2+1)

5.1:2

a)3\cdot

4\pm

4

b)4x^2-\sqrt{x}

c)4\cdot

3^n\ge

n^3

d)3-(5-2)=-(-3+5-2)

5.1:3

a)\dfrac{x+1}{x^2-1}=\dfrac{1}

{x-1

}

b)\left(\dfrac{5}{x}-1\right

)(1-

x)

c)\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}

{3}

+\frac{1}{4}}

d)\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{1+x}}

5.1:4

a)\sin^2

x+\cos

x

b)\cos

v=\cos\dfrac{3\pi}{2}

c)\cot

2x=\dfrac{1}{\tan

2x}

d)\tan\dfrac{u}{2}=\dfrac{\sin

u}{1+\cos

u}

5.1:5

a)\sqrt{4+x^2}

b)\sqrt[n]{x+y}\ne\sqrt[n]{x

}+\sqrt[n]{y}

c)\sqrt{\sqrt{3}}

=\sqrt[4]{3}

d)\left(\sqrt[4]{3}\right)^3

\sqrt[3]{2+\sqrt{2}}

5.1:6

a)\ln(4\cdot

3)=\ln

4+\ln

3

b)\ln(4-3)\ne

\ln

4-\ln

3

c)\log_{2}4=\dfrac{\ln

4}{\ln

2}

d)2^{\log_{2}4}=4

5.1:7

a)4^{3/4}(1-(3-4))

b)2\sqrt{a+b}

c)\cot

x=\frac{1}{2}\sin

20^{\circ}

5.2:1

a)⇐

b)⇒

c)⇔