Profilen Teknisk matematik

Syfte och målgrupp

• Många tillämpningsområden kräver avancerad matematik.

Exempelvis Datortomografi, Kartläggning av gener, pris-

sättning av optioner, etc.

• Avancerade matematiska metoder används i industrin.

• Efterfrågan finns på civilingenjörer med solid bakgrund

inom matematik. Profilen vänder sig till den som är

intresserad av matematik och som gärna letar efter en

teoretisk kärna i olika praktiska problem.

Profilansvarig: Joakim Arnlind.

March 20, 2018 Sida 1 / 23

Profilen Teknisk matematik

Kurskrav Obligatoriska kurser (36 hp)

• Stokastiska processer (6hp)

• Funktionalanalys (6hp)

• Numerisk linjär algebra (6hp)

• Optimeringslära fortsättningskurs (6hp)

• Projekt i tillämpad matematik, CDIO (12 hp) eller

Reglerteknisk projektkurs, CDIO (12hp)

Dessutom

Minst 12hp från en lista valbara kurser och totalt 30hp Matematik

på avancerad nivå. Relativt mycket valfrihet inom profilen.

March 20, 2018 Sida 2 / 23

Profilen Teknisk matematik

Mer Information

• LiU > MAI > Grundutbildning

Finns lista på valbara, och avancerade, kurser i Matematik.

Doktorandkurser kan vara av intersse.

March 20, 2018 Sida 3 / 23

Beräkningsmatematik

• Utveckling och analys av numeriska metoder och algoritmer

för lösning av problem huvudsakligen från teknik och natur-

vetenskap.

• Viktiga frågeställningar är noggrannhet, stabilitet, och

effektivitet hos numeriska approximationer och hos

datorimplementation.

• Forskningen inom numerisk lösning av partiella differential-

ekvationer. Främst multi-fysik problem där kopplingen mellan

olika ekvationer är en viktig del av den numeriska metoden.

• Forskning inom lösning av illa-ställda problem.

“Remote-sensing” tillämpningar.

Kontaktperson Fredrik Berntsson

(fredrik.berntsson@liu.se)

March 20, 2018 Sida 4 / 23

TANA15 Numerisk Linjär Algebra, 6 hp

Kursinnehåll och mål

• Metoder och begrepp från linjär algebra har en central roll i

många tekniska tillämpningar. Exempel: Reglerteknik, Bild–

och Signalbehandling, Datautvinning, Partiella Differential

Ekvationer, mfl.

• Vanliga “standard matris faktoriseringar” presenteras. Förståelse

ges för både faktoriseringarnas egenskaper samt metoder för att

beräkna dessa.

• Vanliga problem från tekniska tillämpningar formuleras om så att

standard faktoriseringarna används vid lösningen av problemen.

Innehåll LU-uppdelning, SVD, QR-faktorisering. Egenvärden.

Algoritmer och Tillämpningar. Icke-linjära ekvationssystem och

minsta kvadratproblem. Metoder för glesa matriser.

March 20, 2018 Sida 5 / 23

Tillämpning: Bildbehandling

Exempel Vi har ett foto där fokus hamnat fel. En modell av optiken

ger ett linjärt samband Iblur = A · Iexakt. Bilden har dimension

256 × 256 vilket ger en matris A av dimension 65536 × 65536.

Teori Glesa matriser. Conjugerade gradient metoden. Regularisering

och modifierade normalekvationer.

March 20, 2018 Sida 6 / 23

TANA31 Beräkningsmetoder för PDE och ODE, 6 hp

Kursinnehåll och mål

• Många viktiga problem beskrivs med partiella eller ordinära

differentialekvationer. Det är viktigt att kunna lösa sådana snabbt

och effektivt.

• Numeriska metoder för att lösa differential ekvationer bygger på

kunskap om den ekvation man löser. Kursen behandlar finita

differens metoden.

Innehåll Rättställdhet. Randvärden. Typer av differentialakvationer.

Finita differens metoden. Tidsstegningsmetoder. Styvhet.

Beräkningsnät. Stabilitet och Konvergens.

March 20, 2018 Sida 7 / 23

Matematik och Tillämpad Matematik

Valbara och obligatoriska kurser

• TATM85 Funktionalanalys, 6hp.

• TATA27 Partiella differentialekvationer, 6hp.

• TATA55 Abstrakt algebra, 6hp.

• TATA78 Komplex analys fk, 6hp.

• TATA71 Ordinära differentialekvationer och

dynamiska system, 6hp

Kontaktperson Joakim Arnlind (joakim.arnlind@liu.se)

March 20, 2018 Sida 8 / 23

Matematisk statistik

Matematisk statistik handlar om

• Sannolikhetslära - Konstruera och analysera matematiska

modeller för slumpförsök.

• Statistisk inferens - Utnyttja observationer från slumpförsök för

att skaffa sig kunskap om sådant som inte kan direkt observeras.

Matematisk statistik är intressant för samtliga profiler inom

Y-programmet.

Kontaktperson Martin Singull (martin.singull@liu.se)

March 20, 2018 Sida 9 / 23

TAMS32 - Stokastiska processer, 6hp (HT1)

Kursen behandlar familjer av beroende stokastiska variabler

{Xt; t = 1, 2, . . .} eller {Xt; t ≥ 0}.

Alla storheter som beror både av tiden och av slumpen modelleras

som stokastiska processer.

I kursen ges baskunskaper om fyra slag av stokastiska processer:

• processer med oberoende inkrement (tex. Brownsk rörelse).

• martingaler.

• stationära processer.

• Markovkedjor.

Många tillämpningsområden, tex. signalteori, reglerteknik,

finansmatematik, bioteknik och medicinsk teknik.

March 20, 2018 Sida 10 / 23

TAMS46 - Sannolikhetslära fk., 6hp (HT1, ej 2019)

Kursen ger en matematisk ”verktygslåda” som möjliggör konstruktion

och analys av mer avancerade statistiska modeller än som är möjligt

med enbart grundkurskunskaper.

Kursen behandlar bland annat

• transformationssatsen,

• momentgenererande och karakteristisk funktion, samt

• sannolikhetslärans olika konvergensbegrepp, inklusive

metoder för att bevisa de olika slagen av konvergens.

Kursen är nyttig som förberedelse för högre kurser i sannolikhetslära,

statistik, signalteori, reglerteknik mm.

March 20, 2018 Sida 11 / 23

TAMS22 - Sannolikhetslära och Bayesianska nätverk, 6hp (HT1, ej 2019)

Kursen behandlar en särskild typ av statistiska modeller, där de

stokastiska variablerna är beroende på ett sätt som kan beskrivas

med hjälp av en riktad acyklisk graf.

• Kursen tar upp de verktyg som används vid analysen av sådana

modeller, såsom grundläggande grafteori och sk. Bayesiansk

statistik.

• Exempel på tillämpningsområden: processkontroll, medicinsk

diagnostik, maskininlärning och artificiell intelligens.

March 20, 2018 Sida 12 / 23

TAMS39 - Multivariat statistik, 6hp (HT1, ej 2020)

Kursen ger en introduktion till multivariat statistisk analys, både teori

och metoder. Teorin diskuterar bland annat

• multivariata normalfördelning,

• kvadratiska former,

• elliptiska fördelningar,

• Wishartfördelning.

Kursen tar även översiktligt upp andra metoder för att analysera

observationer av flerdimensionella stokastiska variabler, som tex

• linjära modeller,

• principalkomponentanalys, och

• klusteranalys.

Exempel på tillämpningsområden: riskhantering, bildbehandling,

marknadsundersökningar, mm.

March 20, 2018 Sida 13 / 23

TAMS38 - Försöksplanering och biostatistik, 6hp (HT2)

Kursen ger metoder för att analysera hur väntevärden för en modell

beror av olika förklaringsvariabler, samt för hur försöken skall

planeras för att underlätta analysen. Kurs behandlar den

• allmänna linjära modellen,

• generaliserade linjära modeller

och tar även upp bla.

• varianskomponentmodeller och

• responsytor.

Många tillämpningsområden, tex. kvalitetskontroll och

kvalitetsstyrning, kliniska tester av läkemedel mm.

March 20, 2018 Sida 14 / 23

TAMS17 - Statistisk teori fk, 6hp (HT2, ej 2020)

TAMS17 är en kurs i teoretisk statistik. TAMS17 behandlar

härledning av punktskattningar, test och konfidensintervall

från generella principer, samt konstruktion av optimala

punktskattningar och test.

Tar upp viktiga begrepp som

• tillräcklighet, fullständighet och ancillaritet.

• Tar även upp asymptotiska egenskaper, dvs. då antalet

observationer i ett stickprov växer mot oändligheten,

samt beslutsteori och Bayesiansk statistik, vilken skiljer

sig från ”vanlig” statistik genom att alla okända parametrar

betraktas som stokastiska variabler.

March 20, 2018 Sida 15 / 23

TAMS29 - Stokastiska processer för finansmarknadsmodeller, 6hp (VT1)

Behandlar de vanligaste statistiska modellerna inom finans-

matematiken, för tex. aktiekurser och räntor. Martingaler

är ett viktigt redskap.

• Grundläggande begrepp som arbitrage och hedging gås

igenom, liksom principer för prissättning av betingade

kontrakt, t.ex. optioner.

• I ett avsnitt om modeller i kontinuerlig tid tas bl.a. stokastiska

integraler och Black-Scholes’ formel upp.

• Kursen är särskilt nyttig för dem som vill specialisera sig

inom finansområdet.

March 20, 2018 Sida 16 / 23

Kurser inom Optimeringslära

Obligatorisk

TAOP24 Optimeringslära fortsättningskurs Y

Valbara

TAOP04 Matematisk optimering

TAOP34 Optimering av stora system

TAOP87 Projekt i tillämpad optimering

Dessutom ett flertal Doktorandkurser som ges regelbundet.

Kontaktperson Torbjörn Larsson

(torbjorn.larsson@liu.se)

March 20, 2018 Sida 17 / 23

TAOP24 Optimeringslära fk. Y, 6hp (VT2)

• En fortsättning på TAOP07 Optimeringslära grundkurs Y.

• Mer om olika optimeringsproblem, teori, metoder och

tillämpningar. Ger både en breddning och en fördjupning

av ämneskunskaperna.

• Tre laborationer. Mycket modellering av optimeringsproblem.

• Examineras med skriftlig tentamen.

• Innehåll:

Nätverksoptimering: modellering, minkostnadsflöden,

maxflöden.

Heltalsoptimering: modellering, heuristiker.

Dynamisk programmering (tidsindelad optimering).

Icke-linjär optimering: konjugerad-gradient-metoder,

kvasi-Newton-metoder, kvadratisk programmering.

March 20, 2018 Sida 18 / 23

TAOP04 Matematisk optimering, 6hp (HT2)

• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.

• Ett urval av metodprinciper inom icke-linjär optimering.

• Innehåll:

Algoritmiska avbildningar och konvergensanalys.

Metoder för exakt och approximativ linjesökning.

Obegränsad optimering utan derivator.

Obegränsad optimering med derivator:

Konjugerad-gradient-metoder och kvasi-Newton metoder.

Begränsad optimering: Sekvensiell linjärprogrammering och

sekventiell kvadratisk programmering.

Minsta-kvadrat-problem: Gauss-Newton metoder.

• Examineras med inlämningsuppgifter: blandning av

teoriuppgifter, räkneuppgifter och implementeringar i Matlab.

March 20, 2018 Sida 19 / 23

TAOP34 Optimering av stora system, 6hp (HT1)

• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.

• Ett urval av metodprinciper för linjära optimeringsproblem och

heltalsproblem som är storskaliga och strukturerade.

• Exemplifieringar på ekonomiska och tekniska tillämpningar.

• Innehåll:

Avancerad linjärprogrammering och kolumngenerering.

Dantzig-Wolfe dekomposition.

Lagrange-relaxation och subgradientoptimering.

Tillämpningar på problem inom till exempel transport- och

produktionsplanering och konstruktionsoptimering.

• Tre laborationer på tillämpningar av lösningsmetoder.

• Examineras med redovisningar av uppgifter: blandning av

teoriuppgifter, räkneuppgifter och tillämpningar.

March 20, 2018 Sida 20 / 23

TAOP87 Projekt i tillämpad optimering, 6hp (VT2)

• Förkunskapskrav: Någon grundkurs i optimeringslära.

• Ren projektkurs: självständigt arbete under handledning.

• Avser att ge övning i användning av optimeringsmetodik och

kreativ problemlösning, samt träning i skriftlig och muntlig

framställning på engelska.

• Projekt: Konstruktion och utvärdering av optimeringsansatser för

realistiska beslutsproblem.

• Ny optimeringsmetodik kan ingå, beroende på val av projekt.

• Två projekt som görs i större grupper.

• Examination med skriftlig och muntlig redovisning av projekt.

• Betyg bestäms av projektens genomförande och redovisning.

March 20, 2018 Sida 21 / 23

Examensarbeten

Examensarbetet

• De flesta tekniska tillämpningar kan göras till examensarbeten

inom något av ämnesområdena vid MAI.

• De flesta gör externa arbeten vid företag.

Exempel Differentialekvationer, Bildbehandling, Datorgrafik,

Datautvinning, Finansiellmatematik, Dataanalys, Logistik,

Snöröjning, Frekvensallokering.

Hemsida MAI > Grund utbildning > Examensarbete

Kontaktperson Fredrik Berntsson

(fredrik.berntsson@liu.se)

March 20, 2018 Sida 22 / 23

Kandidatexamen i Matematik

Kandidatexamen

• För att skaffa större bredd inom matematik finns möjligheten att

skaffa en kandidatexamen.

• Kräver några ytterligare kurser på grundnivå (Diskret matematik,

Algebra,. . . ) och någon ytterligare avancerad kurs.

Examenskrav

• Totalt 180hp. Tillräckligt med matematikkurser.

• Ett självständigt arbete på 16hp.

Studievägledare hjälper till med planneringen.

March 20, 2018 Sida 23 / 23