Kockazati folyamatok(jegyzet TEMPUS AC-JEP-13358-98)

Michaletzky GyorgyEotvos Lorand Tudomanyegyetem, BudapestValoszınusegelmeleti es Statisztika Tanszek

Tartalom

1. Bevezetes 3

2. Kockazati modellek 52.1. Egyedi kockazati modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2. Osszetett kockazati modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. Osszetett Poisson-eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3.1. Osszetett Poisson-kockazatok kompozıcioja es felbontasa 92.4. Osszetett negatıv binomialis modell . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. Kockazati folyamatok alapveto modelljei 133.1. Az osszetett Poisson-folyamat . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1. A Poisson-folyamat dekompozıcioja . . . . . . . . . . . 193.2. Szuletesi folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4. Osszetett karnagysag es kargyakorisag modellek 344.1. Eloszlasok approximacioja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2. Osszetett eloszlasok meghatarozasa rekurzioval . . . . . . . . . 42

5. A klasszikus rizikofolyamat 525.1. A csodvaloszınusegre vonatkozo Cramer-fele integralegyenlet . 525.2. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese . . . . . . . . . . 585.3. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese kiemelkedo e-

gyedi karok eseten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.4. A Cramer-egyenlet megoldasa specialis eloszlasok eseten . . . 765.5. Az R Lundberg-kitevo becslese . . . . . . . . . . . . . . . . . 815.6. A csod sulyossaganak elemzese . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.6.1. A csod sulyossaganak elemzese kiemelkedo egyedi ka-rok eseten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.7. Martingalok alkalmazasa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.8. Fordıtott martingalok alkalmazasa . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6. Kockazati folyamatok felujıtasi modelljei 1166.1. A csodvaloszınusegre vonatkozo integralegyenlet . . . . . . . . 1176.2. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese . . . . . . . . . . 1236.3. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese kiemelkedo ka-

rok eseten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

1

7. Altalanosabb kockazati folyamatok 1327.1. Cox-folyamatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1327.2. A csod valoszınusege fuggo novekmenyu folyamatokban . . . . 137

8. A csod valoszınusege veges idointervallumon 142

9. Fuggelek 1499.1. Poisson-eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1499.2. Binomialis eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.3. Geometriai eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1509.4. Negatıv binomialis eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1529.5. Logaritmikus eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1539.6. Exponencialis eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1549.7. Gamma-eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1559.8. Pareto-eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1569.9. Lognormalis eloszlas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1579.10. Eloszlasok transzformaltjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.10.1. Generatorfuggveny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1589.10.2. Momentumgeneralo fuggveny, Laplace-transzformalt . . 159

2

1. Bevezetes

Jelen jegyzet az ELTE TTK matematikus szakan mar evek ota folyo biz-tosıtasmatematikai orak anyaganak a Jozsef Attila Tudomanyegyetem BolyaiIntezete altal vezetett TEMPUS project alatt a JATE, KLTE, BKE es ELTEkozott letrejott egyuttmukodese segıtsegevel tovabbfejlesztett valtozata.

Ez a kotet csak a kockazati modellekkel, kockazati folyamatokkal kap-csolatos reszt oleli fel, ennek megfeleloen nem celja az, hogy az alapfo-galmaktol elindulva vezessen be a biztosıtasmatematikaba. Anyaga azon-ban joval bovebb, mint egy egyfeleves, heti ket oras targy soran lefedhetoanyagresz.

Olyan matematikai modelleket targyalunk ebben a jegyzetben, melyeksegıtsegevel tobbe-kevesbe jol modellezhetoek egy biztosıtasi ugylet, egy biz-tosıtointezet mukodese soran felmerulo penzugyi tranzakciok. Hangsulyoznikell azonban, hogy csak tobbe-kevesbe, hiszen az e modellekben alkalmazottfeltevesek egy reszere kifejezetten azert van szukseg, hogy a kapott folyama-tok matematikailag kezelhetoek legyenek.

Ezzel parhuzamosan, jollehet az alabb bevezetendo matematikai objek-tumok mogott mindig valamilyen biztosıtasmatematikai fogalom, problemavan, tobbnyire nem utalunk expliciten erre a hatterre. Ez a nem matematikusolvaso szamara nehezze teheti az itt targyalt problemak megoldasa soran be-mutatott modszerek alkalmazasat, sot megkerdojelezheti azok fontossagat is.Azonban – mivel jegyzetet es nem monografiat akartunk ırni – mindenkeppenkellett valamilyen kompromisszumot talalni.

Vegezetul meg egy megjegyzes. Szamos helyen szuksegunk lesz kulonbozofogalmakra, tetelekre a valoszınusegszamıtasbol, a sztochasztikus folyamatokelmeletebol, matematikai statisztikabol. Ezert nehany helyen – megszakıtva abiztosıtasmatematikai modellek targyalasat – kozbeiktattunk olyan reszeket,melyek ezek elmeletet idezik fel – tobbnyire bizonyıtas nelkul.

A bevezetest egy biztosıtasi paradoxonnal zarjuk, mely megtalalhato Sze-kely G. [36] konyveben, es amely jol peldazza, hogy a biztosıtasi ugyletbenkulonbozo szemlelettel reszt vevo partnerek mindegyike jol jarhat. Tegyukfel, hogy U tokenk b-szereset biztosıtjuk (0 < b < 1) valamely p valoszınusegiesemeny ellen. A dıj a toke c-szerese. Vizsgaljuk meg, hogy mi tortenik n evutan. Celunk persze az, hogy ugy valasszuk meg b es c erteket, hogy mineltobb penzunk maradjon az n. ev utan is. Fontos kerdes azonban eldontenunk,hogy milyen ertelemben akarjuk ezt a veletlentol fuggo mennyiseget maxi-

3

malizalni. Termeszetesnek tunne azt gondolnunk, hogy a varhato erteketvizsgaljuk. Ez azonban csak akkor a megfelelo meroszam, ha szamtalan biz-tosıtasi ugyletben veszunk reszt, es ezekbol szeretnenk atlagosan minel tobbhasznot huzni. Most azonban csak egyetlen ugyletrol van szo (a gyakorlat-ban egyetlen ugyfel ritkan kot 4-5 biztosıtasnal tobbet, ıgy akkor sem sza-bad a varhato ertekek alapjan osszehasonlıtani a kulonbozo lehetosegeket),ezert a pillanatnyi tokenket, annak hosszu tavon felvett erteket kell alapulvennunk. Matematikailag fogalmazva, ha az X1, X2, . . . Xn valoszınusegivaltozok adjak meg, hogy az egyes evekben bekovetkezett a karesemeny vagysem, azaz fuggetlen azonos eloszlasu valoszınusegi valtozok, es P (Xi = 0) =1− p, P (Xi = 1) = p, akkor, ha nincs biztosıtasunk

Uk+1 = Uk(1− bXk) ,

ahol Uk jeloli tokenk erteket a k. ev utan. Azaz

Un = Un∏

1

(1− bXk) .

Mivel E[ln(1 − bXk)] = p ln(1 − b), ezert a nagy szamok torvenye alapjanaszimptotikusan 1 valoszınuseggel

Un ≈ U(1− b)np .

Ugyanakkor, ha van biztosıtasunk, az n. ev utan U(1−c)n a maradek tokenk.Tehat – nagy n eseten – szamunkra akkor elonyos biztosıtas, ha U(1− b)np <U(1−c)n. A biztosıtointezet szamara – mivel nagyszamu kotvennyel dolgozik– az atlagos nyereseg-veszteseg a mervado, ezert szamara elonyos a biztosıtas,ha c > bp. Tehat mindket fel szamara a sajat szempontjabol elfogadhato abiztosıtas, ha

bp < c < 1− (1− b)p .Mivel a jobb oldalon allo mennyiseg nagyobb, mint bp, ezert megvalaszthatoc erteke ugy, hogy mindket egyenlotlenseg teljesuljon. (Vegyuk eszre, hogyebben az egyszeru peldaban az alkalmas b, p, c ertekek nem fuggenek a tokenagysagtol, U -tol, es n-tol sem.)

Meg egyszer hangsulyozzuk, hogy csak azert lehet mindket fel szamaraelonyos a biztosıtas, mert masfele kriteriumok alapjan dontik el, hogy mielonyos szamukra, mi nem.

4

2. Kockazati modellek

Az un. klasszikus kockazati modellekben az egyes biztosıtointezetek muko-dese soran fellepo penzforgalom harom fontos elemet kulonboztetik meg. Abiztosıto altal az egyes karok kapcsan kifizetett osszeg, a biztosıtottak altalbefizetett dıj es a biztosıtointezet kezdeti tokeje.

Mivel altalaban a jovoben bekovetkezo karok idopontja es nagysaga elorepontosan nem meghatarozhato, ezert sztochasztikus elemeket tartalmazomodell segıtsegevel tanulmanyozzuk viselkedeset.

A biztosıtointezet szamara (bizonyos szempontbol a biztosıtott szamarais) gyakorta nem a kar tenyleges nagysaga, hanem a bejelentett kar erteke afontos. Ezt karigenynek nevezzuk.

Jelolje Z1, Z2, . . . egy biztosıtohoz egymas utan befuto karigenyekkel kap-csolatos kifizetesek nagysagat. E jegyzetben a kesobbiekben gyakorta akarkifizetes nagysaga helyett roviden es nemikeppen pontatlanul karnagysa-got fogunk mondani. Ha azonban szuksegunk van arra, hogy ezt a ket fogal-mat elkulonıtsuk, akkor Z mindig a konkret kifizetes nagysagat jeloli majd.Legyen Fj(z) a Zj eloszlasfuggvenye, Qj pedig az eloszlasa. Modelljeinkbentobbnyire feltesszuk, hogy ezek egymastol fuggetlen, azonos eloszlasu valoszı-nusegi valtozok. Ezek olyan feltetelek, amelyek a gyakorlatban csak ritkanteljesulnek. Ezert megvizsgaljuk majd, hogyan lehet ezeket a felteteleketnem teljesıto valoszınusegi valtozok fuggvenyeinek eloszlasat approximalnifuggetlenek fuggvenyeivel.

2.1. Egyedi kockazati modellek

Az un. egyedi kockazati modellekben minden egyes egyed (kotveny, biztosıtas)eseten csak egyetlen karnagysagot (karerteket) vizsgalunk (mely lehet tobbkarbol szarmazo osszegkar). Ha n egyed van a portfolioban, akkor az

S =n∑

i=1

Zi

ırja le a teljes veszteseget (kifizetest).Fuggetlen valoszınusegi valtozok eseten az osszeg valoszınusegi valtozo

eloszlasat a szoban forgo eloszlasok konvoluciojanak nevezzuk. (Jele: Q1 ∗Q2 ∗ · · · ∗ Qn.) Azonos eloszlasu valoszınusegi valtozok eseten konvolucio

5

hatvanyrol beszelunk. (Jele: Q(∗n).) Az osszeg valoszınusegi valtozo eloszla-sat gyakran igen bonyolult kiszamolni. Azonban specialis esetben alkalmaznilehet a kesobbiekben targyalando Panjer-fele rekurziot.

Tudjuk, hogy veges varhato erteku valoszınusegi valtozok eseten a varha-to ertekek osszeadodnak, ha ezenfelul meg a szorasnegyzetuk is veges, akkorkorrelalatlansag (specialisan fuggetlenseg) eseten a szorasnegyzet is additıv,vegezetul, ha a valtozoink (sztochasztikusan) fuggetlenek, akkor karakter-isztikus fuggvenyeik, Laplace-transzformaltjaik szorzodnak.

Szamos esetben pozitıv valoszınusege van annak, hogy egy adott kotveny-hez nem kapcsolodik karesemeny, vagy pedig karesemeny ugyan bekovetke-zik, azonban a hozza tartozo kifizetes nagysaga nulla, azaz

qj = P (Zj > 0) < 1 .

Ekkor Zj eloszlasat fel lehet ırni ket eloszlas keverekekent, az egyik az azono-san 0 ertekre koncentralt eloszlas – ennek sulya 1−qj –, a masik a Zj felteteleseloszlasa a Zj > 0 feltetel mellett. Ha δ0 jeloli a 0 pontra koncentralt eloszlastes Rj a felteteles eloszlast, akkor

Qj = (1− qj)δ0 + qjRj .

Az 4.. fejezetben lesz jelentosege Qj fenti eloallıtasanak.Ebben az esetben az egyes osszeadandok varhato erteke

EQj = qjERj ,

szorasnegyzete pedig

D2Qj

= qjD2Rj

+ qj(1− qj)E2Rj.

A momentumgeneralo fuggvenyre az

LQj(z) = (1− qj) + qjLRj(z)

osszefugges teljesul. Vezessuk be a pj = 1− qj jelolest.

Pelda Tegyuk fel, hogy a karkifizetes nagysagat megado Z1, Z2, . . . , Zn szi-goruan pozitıv erteku valoszınusegi valtozok eloszlasa valamilyen parametereseloszlascsaladhoz tartozik, amely csalad rendelkezik azzal a tulajdonsaggal,hogy fuggetlen osszegre zart, es ekkor a parameterek osszeadodnak. Adjunkaz S =

∑nj=1 Zj eloszlasara kozelıto formulat.

6

Jelolje Zj eloszlasat R(θj).Ekkor S momentumgeneralo fuggvenye

LS(z) =n∏

j=1

[1− qj + qjLR(θj)(z)

]=

=

n∏

j=1

pj

n∏

j=1

(1 +

qjpjLR(θj)(z)

) =

=

n∏

j=1

pj

1 +

n∑

j=1

qjpjLR(θj)(z) +

n∑

j=1

n∑

k=1

qjqkpjpk

LR(θj+θk)(z) + . . .

alakban ırhato, ahol LR(θ)(z) jeloli az R(θ) eloszlas momentumgeneralo fugg-venyet.

A momentumgeneralo fuggveny invertalasa utan kapjuk, hogy

QS =

n∏

j=1

pj

δ0 +

n∑

j=1

qjpjR(θj) +

n∑

j=1

n∑

k=1

qjqkpjpk

R(θj + θk) + . . .

.

Ha a qj szamok erteke kicsiny, akkor elhagyva a tobbszoros osszegeket tar-talmazo tagokat, kielegıto kozelıtest kaphatunk.

A pelda feltetelet kielegıto eloszlascsalad peldaul a Gamma-eloszlas, haparameterkent a szabadsagfokot tekintjuk.

2.2. Osszetett kockazati modellek

Az osszetett kockazati modellekben minden egyes egyedhez tobb karesemenytartozhat, ezek szama, N , maga is valoszınusegi valtozo (melynek ertekeinemnegatıv egesz szamok). Tovabba feltesszuk, hogy az egyes karokkalkapcsolatos kifizetesek nagysaganak eloszlasa azonos. Feltesszuk, hogy azosszeadandok szamat megado valoszınusegi valtozo fuggetlen a karkifizeteseknagysagat megado Zi , i = 1, 2, . . . sorozattol. Ha a Zi valtozok azonoseloszlasuak, veges varhato ertekkel, es N varhato erteke is veges, akkor az

S =N∑

i=1

Zi

osszeg varhato ertekeE(S) = E(N)E(Z) .

7

Ha ezenfelul a szorasnegyzetek is vegesek, es a Zi sorozat elemei egymastolfuggetlenek, akkor

D2(S) = E(N)D2(Z) +D2(N)E(Z)2 .

S karakterisztikus fuggvenyet, Laplace-transzformaltjat ugy kaphatjuk meg(a fuggetlen, azonos eloszlasu esetben), ha N generatorfuggvenyebe behe-lyettesıtjuk a Zi valoszınusegi valtozok kozos karakterisztikus fuggvenyet,ill. Laplace-transzformaljat. Jollehet S eloszlasat tobbnyire igen bonyolultkiszamolni, formalisan fel lehet ırni, mint a Zi eloszlasa konvoluciohatvanyai-nak keverekekent. Azaz, ha QS jeloli S eloszlasat, QZ az osszeadandok kozoseloszlasat, akkor

QS =∞∑

k=0

P (N = k)Q(∗k)Z ,

ahol Q(∗0) = δ0.

2.3. Osszetett Poisson-eloszlas

Fontos specialis eset, amikor N eloszlasa Poisson-eloszlas, melynek parame-tere legyen λ, a Zi, i = 1, 2, . . . sorozat fuggetlen azonos eloszlasu valoszı-nusegi valtozokbol all, melyek fuggetlenek N -tol is. Ekkor S eloszlasa azun. osszetett Poisson-eloszlas. Jele: Poisson(λ,Q) [ahol Q = QZ jeloli a Zimennyisegek kozos eloszlasat]. Igy tehat

QS =∞∑

k=0

λk

k!e−λQ(∗k) .

S momentumgeneralo fuggvenye – LS(x) = E(exS) – felırhato Zi megfelelofuggvenye – LZ(x) = E(exZ) – segıtsegevel az alabbi alakban

LS(x) = eλ(LZ(x)−1) .

A varhato ertek es szorasnegyzet ennek megfeleloen

E(S) = λE(Z)

D2(S) = λE(Z2) .

Abban az esetben, ha az egyes karnagysagokat leıro osszeadanadok magukis pozitıv egesz erteku valtozok, akkor az osszetett Poisson-eloszlas elemeirekurzıvan meghatarozhatoak. Ezt mutatja be az alabbi tetel.

8

Tetel 2.1 Tegyuk fel, hogy Z,Z1, Z2, . . . fuggetlen, azonos eloszlasu valo-szınusegi valtozok, melyek ertekei pozitıv egesz szamok. Legyen N tolukfuggetlen, λ parameteru Poisson-eloszlasu valoszınusegi valtozo. Ekkor azS =

∑Nk=1 Zj eloszlasa az alabbi rekurzioval adhato meg:

P (S = k) =λ

k

k∑

j=1

jP (Z = j)P (S = k − j) , k = 1, 2, . . . , (2.1)

ahol P (S = 0) = e−λ.Bizonyıtas: A Poisson-eloszlas elemei eleget tesznek az alabbi osszefug-

gesnek:kP (N = k) = λP (N = k − 1) .

Megszorozva mindket oldalt az LZ(z)k−1L′Z(z) mennyiseggel es osszegezve k

szerint kapjuk, hogy∞∑

k=1

kP (N = k)LZ(z)k−1L′Z(z) = λ

∞∑

k=1

P (N = k − 1)LZ(z)k−1L′Z(z) .

Mivel LS(z) =∑∞k=0 P (N = k)LZ(z)k, ezert az elozo egyenlet

L′S(z) = λL

′Z(z)LS(z)

alakban is ırhato. A momentumgeneralo fuggvenyrol visszaterve az elosz-lasokra es kihasznalva, hogy Z ertekei pozitıv egesz szamok, kapjuk, hogy

kP (S = k) = λk∑

j=1

jP (Z = j)P (S = k − j) .

2

A (2.1) osszefugges a kesobb, a 4.4 tetelben targyalando Panjer-rekurziospecialis esete.

2.3.1. Osszetett Poisson-kockazatok kompozıcioja es felbontasa

Ebben a reszben megmutatjuk, hogy bizonyos termeszetes muveletek nemvezetnek ki az osszetett Poisson-eloszlasok korebol. Eloszor azt vizsgaljuk,hogy mi tortenik, ha tobb olyan portfoliot, melyek eloszlasa kulon-kulonosszetett Poisson-eloszlas, osszeontunk. Ezutan pedig egy adott osszetettPoisson-eloszlasbol az egyes karkifizetesek nagysaga szerint csoportosıtottertekekbol szarmazo eloszlast vizsgaljuk meg. Latni fogjuk, hogy mindketesetben az eredmeny ismet osszetett Poisson-eloszlas lesz.

9

Tetel 2.2 (Osszetett Poisson-eloszlasok aggregalasa) Vegyunk fugget-len, osszetett Poisson-eloszlasu valoszınusegi valtozokat, melyek paramete-rei rendre (λj, Qj), j = 1, . . . , n. Legyenek ezek S1, S2, . . . , Sn. Ekkor azS = S1 + · · ·+ Sn valtozo eloszlasa Poisson(λ,Q), ahol

λ =n∑

j=1

λj , Q =1

λ

n∑

j=1

λjQj .

Bizonyıtas: A fuggetlenseg miatt S momentumgeneralo fuggvenye

LS(z) =n∏

j=1

LSj(z) = exp

n∑

j=1

λj(LQj(z)− 1)

=

= exp

λ

n∑

j=1

λjλLQj(z)− 1

,

bizonyıtva a kıvant allıtast, hiszenn∑

j=1

λjλLQj(z) a 1

λ

∑nj=1 λjQj eloszlas mo-

mentumgeneralo fuggvenye. 2

Vegyuk eszre, hogy az 1λ

∑nj=1 λjQj eloszlas nem mas, mint a Qj elosz-

lasok kevereke. Tehat S eloszlasa ugy is interpretalhato, hogy az egyesosszeadandokat az alabbi szabaly szerint alakıtjuk ki. Eloszor a λj

λsulyoknak

megfeleloen megvalasztjuk, hogy melyik ”Z” sorozatbol valasztjuk a kovetke-zo elemet, majd a kapott sorozat sorrendben kovetkezo elemet vesszuk.

Tetel 2.3 (Osszetett Poisson-eloszlas dekompozıcioja) Tekintsunk o-lyan Z1, Z2, . . . valoszınusegi valtozokat, melyek fuggetlenek, azonos Q elosz-lasuak, tovabba fuggetlenek az N λ parameteru Poisson-eloszlasu valtozo-tol. Legyenek az A1, A2, . . . , Am ⊂ R halmazok diszjuntak. Tegyuk fel, hogyQ(Aj) > 0, j = 1, . . . ,m.

Ekkor az

Nk =N∑

j=1

χZj∈Ak , k = 1, 2 . . . ,m

valoszınusegi valtozok fuggetlen, λQ(Ak) parameteru Poisson-eloszlasu val-tozok.

Tovabba az

Sk =N∑

j=1

ZjχZj∈Ak , k = 1, 2 . . . ,m

10

valtozok egymastol fuggetlen, osszetett Poisson-eloszlasuak.

Bizonyıtas: Feltehetjuk, hogy teljesul a Q(∪mj=1Aj) = 1 feltetel, hiszenegyebkent kiegeszıthetnenk az A1, . . . , Am rendszert az uniojuk komplemente-revel.

Ekkor az (N1, . . . , Nm) valtozok egyuttes eloszlasa ıgy ırhato:

P (N1 = k1, . . . , Nn = km) = P (N1 = k1, . . . , Nn = km | N = k)P (N = k)

=k!

k1!k2! . . . km!Q(A1)k1 · · ·Q(Am)km

λk

k!e−λ =

=m∏

j=1

[(λQ(Aj))

kj

kj!e−λQ(Aj)

],

ahol k = k1 + k2 + · · ·+ km, bizonyıtva az elso allıtast.

A masodik allıtas bizonyıtasahoz vezessuk be a Z1 valtozo Z1 ∈ Aj feltetelmelletti felteteles eloszlasara a Qj jelolest. Azaz Qj(B) = P (Z1 ∈ B | Aj).Ekkor rendre felteteles valoszınusegeket tekintve, az (N1, . . . , Nm, S1, . . . , Sm)valtozok egyuttes eloszlasa ıgy ırhato:

P (N1 = k1, . . . Nm = km, S1 ∈ B1, . . . , Sm ∈ Bm) =

=λk

k!e−λ

k!

k1! · · · km!Q(A1)k1 · · ·Q(Am)km ×

×Q(∗k1)1 (B1) · · ·Q(∗km)

m (Bm) =

=m∏

j=1

e−λQ(Aj)

(λQ(Aj))kj

kj!Q

(∗kj)j (Bj)

.

Osszegezve N1, . . . , Nm lehetseges ertekei szerint kapjuk, hogy

P (S1 ∈ B1, . . . , Sm ∈ Bm) =m∏

j=1

∞∑

kj=0

e−λQ(Aj)(λQ(Aj))

kj

kj!Q

(∗kj)j (Bj)

.

(2.2)

A fenti kifejezesben az egyes tenyezok a Qj mertekek konvoluciohatvanyainakPoisson-eloszlas szerint vett kevereket ırjak le. Ez pedig eppen az osszetettPoisson-eloszlas egy lehetseges jellemzese.

11

Mivel az egyuttes eloszlas szorzatra bomlik, tehat teljesul a fuggetlenseg,tovabba a peremeloszlasok (λQ(Aj), Qj) parameteru osszetett Poisson-elosz-lasok. 2

Az allıtas szerint tehat, ha osszetett Poisson-eloszlas ırja le a portfoliobolszarmazo osszkar eloszlasat, akkor az egyes karesemenyeket nagysaguk sze-rint csoportosıtva es az egyes csoportokon belul kulon tekintve az osszkarerteket, ismet osszetett Poisson-eloszlasokat kapunk. Ez a tulajdonsag igenhasznos az olyan esetekben, amikor a karoknak nagysaguk szerinti osztalyo-zasara van szukseg.

2.4. Osszetett negatıv binomialis modell

Tegyuk fel, hogy valamely rogzıtett idointervallumban bekovetkezo kareseme-nyek szama adott parameteru, Poisson-eloszlasu valoszınusegi valtozo. Azon-ban a parameter fugghet a kulonbozo korulmenyektol. Ha egyuttesen kıvan-juk szemlelni az ıgy keletkezo karszameloszlast, melyben a kulonbozo korul-menyeket eltero sullyal akarjuk figyelembe venni, akkor Poisson-eloszlasokkevereke adodik.

Legyen tehat rogzıtett θ parameterertek mellett N eloszlasa θ parameteruPoisson-eloszlas. Tegyuk fel, hogy θ maga is valoszınusegi valtozo, melynekeloszlasa R. Jelolje az R eloszlas varhato erteket µR, szorasnegyzetet σ2

R.Ekkor a keverekeloszlas varhato erteke µR, szorasnegyzete pedig µR + σ2

R.Tehat mıglen a Poisson-eloszlas eseten a varhato ertek es a szorasnegyzetmegegyezik, Poisson-eloszlasok kevereke eseten a varhato ertek – a trivialisesettol eltekintve – mindig kisebb, mint a szorasnegyzet.

Ha a kevero mertek Gamma-eloszlas, akkor a keverek eloszlasa negatıvbinomialis lesz. Valoban, a generatorfuggveny

∫ ∞0

eθ(z−1)λαθα−1

Γ(α)e−λθ dθ =

λα

(λ− (z − 1))α=

=(

1− 1

λ(z − 1)

)−α,

amely a negatıv binomialis eloszlas generatorfuggvenye.Ha a karnagysagok eloszlasa fuggetlen a θ parametertol, akkor az osszetett

Poisson-eloszlasok Gamma-eloszlas szerinti kevereke osszetett negatıv bino-mialis eloszlas lesz.

12

Negatıv binomialis, illetve osszetett negatıv binomialis eloszlashoz masmodon is eljuthatunk. Tegyuk fel, hogy valamely biztosıtasi fajta sorana biztosıtasi esemenyeket Poisson-eloszlasu valoszınusegi valtozo adja meg,azonban minden biztosıtasi esemeny soran a karok szama veletlen mennyiseg,melyet fuggetlen, logaritmikus eloszlasu valoszınusegi valtozok ırnak le. Haezeket M1,M2, . . . jelolik, a biztosıtasi esemenyek szamat pedig N , akkor akarok teljes szama

∑Nj=1Mj lesz. Ekkor, kihasznalva, hogy a logaritmikus

eloszlas generatorfuggvenye

log (1− z(1− p))log p

,

az adodo eloszlas generatorfuggvenye

G(z) = exp

λ

(log (1− z(1− p))

log p− 1

)=

=

1− z(1− p)

p

λlog p

=

= 1− β(z − 1)−r ,ahol β = 1−p

pes r = − λ

log p, amely ismet a negatıv binomialis eloszlas ge-

neratorfuggvenye.

3. Kockazati folyamatok alapveto modelljei

Gyakorta az ido fuggvenyeben vizsgaljuk az osszkar erteket, ekkor model-lunkben a karszamot megado N valtozo az ido fuggvenye, azaz sztochasz-tikus folyamat. Jelolje ezt Nt, t ≥ 0 . Ez maskeppen a karigenyfolyamat.Ekkor az osszkar is az ido fuggvenye,

St =Nt∑

i=1

Zi .

Ez az un. karfolyamat.A kockazati tartalek leırasanak masik ket fontos eleme a dıjbevetelt meg-

ado Pt folyamat es a kezdeti toke erteke. Azaz

Ut = u+ Pt − St ,

13

ahol tehatu a kezdeti toke erteke

Pt a dıjbevetel erteke a [0,t] idointervallumban

St a karfolyamat.

Ut maskeppen az un. rizikofolyamat. (Megjegyzendo, hogy a rizikofolyamatfenti definıciojaban a koltsegeket nem vettuk figyelembe.)

Megjegyezzuk, hogy mar eddig is, de kesobb is szamtalanszor fogjukhasznalni a kockazat kifejezest. A kozgazdasagi szakirodalomban szamosdefinıcioja szerepel ennek. (Lasd pl. [28].) Ebben a jegyzetben nem kıserlunkmeg valamilyen uj meghatarozasat adni ennek a hallatlanul fontos fogalom-nak, a kockazat szo jelzokent szerepel csak. A szo hetkoznapi jelentestartal-mat kihasznalva kockazati folyamatrol, kockazati tartalekrol, kockazati mo-dellekrol beszelunk.

E jegyzetben feltesszuk, hogy u erteke allando, nem fugg a veletlentol.

3.1. Az osszetett Poisson-folyamat

Klasszikus rizikofolyamatrol beszelunk abban az esetben, ha

Pt = ct , ahol c allando

Nt λ parameteru Poisson-folyamat

Zi , i = 1, 2, . . . fuggetlenek es azonos eloszlasuak.

Poisson-folyamat eseteben, ha a parameter λ, az Nt−Ns (s ≤ t) novekme-nyek Poisson-eloszlasuak, melynek parametere λ(t− s), azaz

P (Nt −Ns = k) =(λ(t− s))k

k!e−λ(t−s) , k = 0, 1, . . .

Ugyanakkor diszjunkt idointervallumokhoz tartozo novekmenyek – kulonbozoidotartamokban bekovetkezo karesemenyek szamai – egymastol fuggetlenek.Maskeppen: a folyamat fuggetlen novekmenyu. N0 = 0.

Ekkor az St folyamat, amely tehat a fuggetlen, azonos eloszlasu Zjvaloszınusegi valtozok Poisson-tagszamu osszege, un. osszetett Poisson-fo-lyamat.

14

Gyakorta homogen Poisson-folyamatnak nevezik a fenti Nt folyamatot,hangsulyozva, hogy a novekmenyek eloszlasanak parametere csak az idotar-tam hosszatol fugg. Inhomogen Poisson-folyamatrol beszelunk abban az eset-ben, ha a novekmenyek egymastol fuggetlenek, Poisson-eloszlasuak, azonbana megfelelo parametert egy λt monoton novekvo fuggveny adja meg az alabbimodon:

Nt −Ns eloszlasa λt − λs parameteru Poisson-eloszlas.

[Kesobb talalkozni fogunk ennek altalanosıtasaval, mikor a karesemenyekszamat megado Poisson-folyamat parametere – maskeppen intenzitasa – ma-ga is a veletlen fuggvenye, azaz sztochasztikus folyamat. Az ıgy kapott folya-mat az un. Cox-folyamat.]

Mivel vizsgalodasaink kozponti temaja a rizikofolyamat viselkedese lesz,ezert kicsit tovabb idozunk az e folyamattal kapcsolatos fontos definıcioknal,konstrukcioknal. A rizikofolyamat t pillanatbeli erteke, Nt, a [0, t] idointer-vallumon bekovetkezett karesemenyek szamat adja meg, ıgy ezen folyamaterteke, mely tehat nemnegatıv egesz szam, csak ugrasszeruen, (azaz nemfolytonosan) valtozhat. Bizonyos enyhe feltetelek mellett megmutathato,hogy veges intervallumon csak veges sok ugras kovetkezhet be (ami termesze-tes elvaras a karfolyamat eseteben), ezert – ugymond – a folyamat tra-jektoriai tiszta ugro fuggvenyek. Az egyes ugrasok kozott eltelt idotartamokmaguk is valoszınusegi valtozok, jelolje oket ζ1, ζ2, . . . . Az n. ugras idopontjalegyen τn. Tehat τn =

∑ni=1 ζi. Homogen Poisson-folyamat eseten ζi eloszlasa

exponencialis eloszlas, melynek parametere megegyezik a Poisson-folyamatparameterevel. Tehat

P (ζi > x) = e−λx .

Ennek megfeleloen τn eloszlasa Gamma-eloszlas, melynek rendje n, parame-tere ugyancsak λ.

Ha csak annyit teszunk fel, hogy a ζ1, ζ2, . . . valtozok fuggetlenek esazonos eloszlasuak, akkor Nt, t ≥ 0 un. felujıtasi folyamat. Az ehhez kap-csolodo kockazati folyamatok vizsgalata a 6.. reszben tortenik.

Konnyen megmutathato, hogy ha az Nt folyamat trajektoriai tiszta ugrofuggvenyek, melyekben az ugrasok nagysaga 1, es az egyes ugrasok kozotteltelt idotartamok egymastol fuggetlen, λ parameteru exponencialis eloszlasuvaloszınusegi valtozok, N0 = 0, akkor Nt λ–parameteru Poisson-folyamat.

Az alabbi tetel jol mutatja, hogy a fentinel latszolag enyhebb feltetelek isbiztosıtjak mar azt, hogy a folyamat Poisson-folyamat legyen.

15

Tetel 3.4 Ha az Nt folyamat sztochasztikusan folytonos, trajektoriai tisztaugro fuggvenyek, melyben az ugrasok nagysaga 1 erteku, a folyamat novek-menyei egymastol fuggetlenek, N0 = 0, akkor a folyamat Poisson-folyamat.

Bizonyıtas: (A folyamatot sztochasztikusan folytonosnak nevezzuk, habarmely ε > 0 eseten P (| Ns − Nt |> ε) → 0, ha s → t, minden rogzıtettt ≥ 0 mellett.)

Konnyen megmutathato, hogy – veges intervallumon – a sztochasztikusfolytonossag maga utan vonja a sztochasztikus egyenletesen folytonossagot.Azaz tekintsuk a folyamatot egy [0, T ] intervallumon, T <∞. Legyen mostε > 0 tetszoleges szam. Ekkor barmely τ > 0 eseten letezik olyan pozitıvδ > 0 szam (mely persze fugghet ε, τ, T erteketol), hogy barmely s, t ∈ [0, T ],| s − t |< δ eseten P (| Nt − Ns |> ε) < τ . Azaz konkretan fogalmazva,ha a vizsgalando veges hosszu idoperiodusban barhol tekintunk is egy igenpici idointervallumot, akkor nagy valoszınuseggel nem tortenik karesemenyabban az intervallumban.

Rogzıtsunk most egy T < ∞ szamot, es tekintsuk a folyamatot a [0, T ]intervallumon. Azt kell megmutatnunk az Nt folyamatrol, hogy az Nt −Ns valoszınusegi valtozo eloszlasa Poisson-eloszlas. Ehhez eloszor a keresettPoisson-eloszlas parameteret hatarozzuk meg. Mivel λ-parameteru Poisson-eloszlasban a 0 valoszınusege eppen e−λ, ezert az P (Nt−Ns = 0) valoszınuse-geket vizsgaljuk eloszor.

A folyamat sztochasztikusan egyenletesen folytonos a [0, T ] intervallu-mon, ezert letezik olyan δ > 0 ertek, hogy P (Nt−Ns = 0) > 0, ha | s−t |< δ.Tetszoleges t > s szamokat valasztva a [0, T ] intervallumbol, eleg nagy nertek mellett (| t− s | /n) < δ, ezert a folyamat fuggetlen novekmenyusegethasznalva

P (Nt −Ns = 0) =n∏

i=1

P (Nti −Nti−1= 0) > 0 ,

ahol s = t0 < t1 < · · · < tn = t, es ti − ti−1 = t−sn

. Legyen tehat

λt = −logP (Nt = 0) .

Mivel Ns = 0 ⊂ Nt = 0, ha s < t, ezert λt t monoton novo fuggvenye.Masfelol Ns = 0 ∩ Nt −Ns = 0 = Nt = 0, ha s < t, ıgy

λt − λs = −logP (Nt −Ns = 0) .

16

Az Nt folyamat sztochasztikus folytonossagabol kovetkezik, hogy λt folytonosfuggvenye t-nek.

Az kell megmutatnunk, hogy P (Nt−Ns = k) = (λt−λs)kk!

e−(λt−λs). Vegyukaz [s, t] intervallum egy egyre finomodo felosztassorozatat. s = tn,0 < tn,1 <· · · < tn,n = t, maxi(tn,(i+1) − tn,i) → 0. Legyen Yn,k = Ntn,k − Ntn,(k−1)

.Eloszor igazoljuk, hogy

n∑

k=1

P (Yn,k = 1)→ λt − λs ,

esn∑

k=1

P (Yn,k > 1)→ 0 .

(Ez utobbi lenyegeben az un. ritkasagi feltetel – kicsiny idointervallumokonlenyegeben csak ket eset van, vagy nincsen ugraspont, vagy pontosan egyugraspont van.) Vegyuk eszre, hogy

λt − λs = −logP (∑

k

Yn,k = 0) = −∑k

log(1− P (Yn,k ≥ 1)) =

=∑

k

P (Yn,k ≥ 1)[1 +O(maxkP (Yn,k ≥ 1))] .

Igy tehat ∑

k

P (Yn,k ≥ 1)→ λt − λs .

Ugyanakkor a maxkYn,k > 1 esemenyek monoton zsugorodva az ures hal-mazhoz tartanak, tehat limP (maxkYn,k > 1) = 0. De a maxkYn,k > 1esemenyt szetbontva aszerint, hogy melyik kis intervallumon kovetkezik beaz elso ugras, kapjuk, hogy

P (maxkYn,k > 1) =n∑

k=1

k−1∏

j=1

P (Yn,j ≤ 1)P (Yn,k > 1) ≥

≥n∑

k=1

P (Yn,k > 1)n∏

j=1

P (Yn,j ≤ 1) =

=n∑

k=1

P (Yn,k > 1)(1− P (maxjYn,j > 1)) .

17

Tehatn∑

k=1

P (Yn,k > 1)→ 0 .

A P (Nt − Ns = k) = (λt−λs)kk!

e−(λt−λs) osszefuggest indukcioval fogjukigazolni. Az Nt −Ns = k esemenyt, tehat amikor k ugras van az (s, t] in-tervallumon, bontsuk fel aszerint, hogy melyik reszintervallumon kovetkezikbe eloszor ugras, es az milyen nagysagu. Mivel azon valoszınusegek osszege is,hogy a kicsiny reszintervallumok valamelyiken egynel tobb ugras kovetkezikbe, 0-hoz tart, ıgy eleg arra szorıtkoznunk, mikor az elso novekmeny erteke1. Azaz

P (Nt −Ns = k) =

= limn

n∑

j=1

P (Ntn,j−1−Ns = 0)P (Yn,j = 1)P (Nt −Ntn,j = k − 1) =

= limn

n∑

k=1

P (Nt−Ntn,j = k− 1)[P (Ntn,j−1−Ns = 0)−P (Ntn,j −Ns = 0)] =

=∫ t

sP (Nt −Nv = k − 1)dve

−(λv−λs) =(λt − λs)k

k!e−(λt−λs) ,

az indukcios feltevest hasznalva. 2

Hasonlokeppen lehet karakterizalni az osszetett Poisson-folyamatot is. Bi-zonyıtas nelkul mondjuk ki az alabbi tetelt.

Tetel 3.5 Ha az St, t ≥ 0 folyamat sztochasztikusan folytonos, fuggetlennovekmenyu, az ugyanolyan hosszusagu idointervallumhoz tartozo novekme-nyek azonos eloszlasuak, a folyamat trajektoriai tiszta ugro fuggvenyek, S0 =0, akkor a folyamat osszetett Poisson-folyamat.

Vegyuk eszre a fenti ket tetel kozotti lenyeges kulonbseget. A masodiktetelben nem tesszuk fel, hogy az ugrasok nagysaga 1, viszont fel kell tennunk,hogy a novekmenyek eloszlasa csak az idotartam fuggvenye. Ez talan nemtulsagosan meglepo, ha belegondolunk abba, hogy a tetel allıtasa azt is tartal-mazza, hogy az osszetett Poisson-folyamat definıciojaban szereplo osszeadan-dok egymastol fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi valtozok.

18

3.1.1. A Poisson-folyamat dekompozıcioja

Megmutatjuk, hogy a 2.3 tetel altalanosabban, Poisson-folyamatokra is igaz.Tekintsuk az St =

∑Ntj=1 Zj , t ≥ 0 osszetett Poisson-folyamatot. Tet-

szoleges A ⊂ R eseten nezhetjuk, hogy hany olyan karesemeny tortent a [0, t]idointervallumon, melyben a kar erteke az A halmazba esett. Az ıgy kapott

NAt =

Nt∑

i=1

χZi∈A (3.1)

folyamat az eredeti Nt folyamat ritkıtasa, hiszen bizonyos, az eredeti kari-genyfolyamatban meglevo idopontokat, ugraspontokat most nem veszunk fi-gyelembe – kiritkıtjuk a folyamatot. Ha a Zi valoszınusegi valtozok fuggetlen,azonos eloszlasuak, melyek az Nt karigenyfolyamattol is fuggetlenek, es p =P (Zi ∈ A), akkor az Nt folyamat minden egyes ugrasat egymastol fuggetlenulp valoszınuseggel tartjuk meg – mikor Zi erteke A-ba esik, es 1−p valoszınu-seggel elhagyjuk.

Tetel 3.6 Ha az Nt folyamat λ parameteru homogen Poisson-folyamat, me-lyet p valoszınuseggel ritkıtunk, akkor a kapott N

(p)t folyamat λp parameteru

Poisson-folyamat lesz.

Bizonyıtas: Mivel az eredeti folyamatban is az ugrasok nagysaga mindig1 volt, ezert ez a tulajdonsag a ritkıtas utan is megmarad. Igy eleg az ugrasokkozott levo idotartam eloszlasat vizsgalni. Jelolje az elso ugras idopontjat ξ.Ekkor ξ erteke korabbi ugrasok kozott eltelt idotartamok osszege – hiszen bi-zonyos korabbi ugraspontokat most elhagytunk –, megpedig annak valoszınu-sege, hogy pontosan k darab exponencialis eloszlasu valoszınusegi valtozotkelljen osszeadnunk, eppen (1 − p)(k−1)p, hiszen k − 1 korabbi karesemenytmost nem veszunk figyelembe, viszont a k.-at mar igen. Tehat

P (ξ < x) =∞∑

k=1

(1− p)(k−1)p∫ x

0

λkzk−1

(k − 1)!e−λzdz =

= λp∫ x

0

∞∑

k=1

(λz(1− p))k−1

(k − 1)!e−λzdz =

=∫ x

0λpe−λpzdz .

19

Azaz ξ eloszlasa λp parameteru exponencialis eloszlas. Ugyanıgy meg-mutathato a tovabbi karesemenyek kozott eltelt idotartamokrol, hogy ex-ponencialis eloszlasuak, es egymastol fuggetlenek. Ez bizonyıtja, hogy N

(p)t

Poisson-folyamat. 2

Ugyancsak megmutathato, hogy – Poisson-folyamat eseteben – a ritkıtasutan kapott folyamat es az elhagyott ugraspontokbol allo folyamat egymastolfuggetlen folyamatok.

Tetel 3.7 Legyen Nt, t ≥ 0, λ parameteru Poisson-folyamat. Tekintsukennek p valoszınusegu ritkıtasaval adodo N

(p)t , t ≥ 0 folyamatot.

Ekkor az N(p)t , t ≥ 0, es az Nt−N (p)

t , t ≥ 0 folyamatok egymastol fuggetlensztochasztikus folyamatok.

Bizonyıtas: A komplikaltabb szamolasok elkerulese vegett csak azt mu-tatjuk meg, hogy adott t ertek mellett N

(p)t es Nt−N (p)

t egymastol fuggetle-nek. Ugyanis

P (N(p)t = i, Nt −N (p)

t = j) = P (N(p)t = i, Nt = i+ j) =

=(tλ)i+j

(i+ j)!e−tλ

(i+ j

i

)pi(1− p)j =

=(tλp)i

i!e−tλp

(tλ(1− p))jj!

e−tλ(1−p) ,

ami egyszerre bizonyıtja a fuggetlenseget, es azt is, hogy az eloszlas Poisson.2

Alkalmazva ezt a (3.1) egyenletben definialt NAt folyamatokra, azt kapjuk,

hogy ezek Poisson-folyamatok, melyek diszjunkt A halmazok eseten egymas-tol fuggetlenek. Az A→ NA

t hozzarendelest vizsgalva eszrevehetjuk, hogy haA es B diszjunkt halmazok, akkor NA+B

t = NAt +NB

t . Tehat a hozzarendelesadditıv. Ha minden egyes A halmazra tudjuk, hogy hany olyan karesemenyvolt, melynek erteke az A-ba esett, akkor ezekbol kiolvashatjuk, hogy milyennagysaguak voltak a karesemenyek, visszaallıthatjuk az eredeti St folyamatot.Bizonyıtas nelkul mondjuk ki a megfelelo allıtast, mely ezt az eszreveteltfogalmazza meg matematikailag pontosan, ramutatva arra, hogy St eloallaz A 7→ NA

t veletlen pontfolyamat altal meghatarozott veletlen pontmertekszerinti integral alakjaban.

20

Tetel 3.8 Legyen St =∑Nti=1 Zi osszetett Poisson-folyamat. Keszıtsuk el a

(3.1) osszefugges alapjan az NAt folyamatokat. Ekkor St =

∫zNdz

t .

Magat az Nt folyamatot is megadhatjuk egy, a fentihez hasonlo konstruk-cioval. Tekintsuk most az idohorizont – a nemnegatıv szamok halmazanak– egy reszhalmazat. Legyen ez B. Megszamolhatjuk, hogy hany olyan ug-raspontja van maganak az Nt folyamatnak, melynek idopontja a B halmazbaesik. Tehat most nem a Zi karesemenyek nagysaga hatarozza meg, hogyvalamely ugraspontot figyelembe veszunk-e vagy sem, hanem maganak azugrasnak az idopontja. Jelolje az ıgy kapott valtozo erteket N(B). Ve-gyuk eszre, hogy ha B = (s, t], akkor N(B) = Nt − Ns. Ha Nt Poisson-folyamat volt, akkor persze az N(B) valoszınusegi valtozok megint Poisson-eloszlasuak, diszjunkt halmazok eseten egymastol fuggetlenek. Ez tetszole-ges, akar inhomogen Poisson-folyamat eseten is igaz. (Ekkor a kapott eloszlasparametere

∫B dλt lesz.) A B → N(B) hozzarendelest Poisson-pontfolyamat-

nak nevezik.(Megjegyzes: A fenti gondolatmenet, jeloles sugallja, hogy a Poisson-

pontfolyamat definialasahoz nem kell feltenni, hogy B ⊂ R+, tetszolegesalaphalmaz reszhalmazai kozul valogathatunk. Erdekessegkent megjegyez-zuk, hogy peldaul ezzel az eljarassal az St karfolyamat is pontfolyamattatranszformalhato.)

Magat az osszetett Poisson-folyamatot is szetbonthatjuk reszekre a kar-igenyek nagysaga szerint. Tetszoleges A ⊂ R eseten nezhetjuk, hogy melyekazok a [0, t] idointervallumon bekovetkezett karesemenyek, melyekben a karerteke az A halmazba esett. Azaz legyen

SAt =Nt∑

k=1

ZkχZk∈A .

Ez most az St folyamat ritkıtasa. Ez is osszetett Poisson-folyamat. Meg-mutathato, hogy diszjunkt A halmazok eseten a kapott SA(t) folyamatokegymastol fuggetlenek lesznek. Ez az elso pillanatra talan meglepo allıtas– hiszen ugyanazokat a Zj valoszınusegi valtozokat hasznaljuk mindig azSA folyamatok definialasakor – hihetobbe valik, ha eszrevesszuk, hogy disz-junkt A halmazok eseten a kulonbozo ritkıtott folyamatokban megmaradokarnagysagok kulonbozo indexu Zj valoszınusegi valtozokbol kell, hogy szar-mazzanak, melyek egymastol mar fuggetlenek.

21

Szavakban, ha a karigeny nagysaga szerint csoportosıtjuk az osszetettPoisson-folyamat ugrasait, egymastol fuggetlen osszetett Poisson-folyama-tokat kapunk.

3.2. Szuletesi folyamatok

A karszamot leıro folyamatnak a Poisson-folyamatnal altalanosabb modelljetvizsgaljuk ebben a reszben. Ezen folyamatok, melyeket tovabbra is Nt, t ≥ 0jelol majd, magatol ertodo alaptulajdonsagai, hogy ertekei nemnegatıv egeszszamok.

Tegyuk fel, hogy N0 = 0. Ekkor a folyamatot jellemezhetjuk azzal,hogy megadjuk a fejlodeset – persze ezt most sztochasztikus ertelemben kelltennunk –, azaz megadhatjuk a folyamat jovobeli viselkedesenek felteteleseloszlasat, rogzıtve, hogy a jelen pillanatig milyen ertekeket vett fel, vagy megaltalanosabban, rogzıtve, hogy a jelen pillanatig milyen informacionk gyultossze a folyamattal kapcsolatban. (Elkepzelheto, hogy kozben egy masikfolyamat ertekeit is figyeljuk, mely fontos informaciokat arul el az Nt folya-mat jovobeli alakulasarol.) Legyen tehat adott minden t ≥ 0 eseten egy Ftσ–algebra – mely az addig felgyulemlett informaciot jelzi, persze Nt merhetoFt szerint, azaz az Ft informaciok kozott ott van a folyamat t pillanatbelierteke is, Fs ⊂ Ft, ha s < t, ekkor a folyamat fejlodese jellemezheto az

P (Nt = n | Fs) , t ≥ s

felteteles eloszlasokkal.

Definıcio 3.1 Az Nt folyamat Markov-folyamat (az Ft , t ≥ 0, σ–algebrafolyamat szerint), ha barmely n es t ≥ s eseten

P (Nt = n | Fs) = P (Nt = n | Ns) .

Apm,n(s, t) = P (Nt = n | Ns = m)

mennyisegek a Markov-folyamat atmenetvaloszınusegei. A teljes valoszınusegtetele adja, hogy s < τ < t eseten

pm,n(s, t) =∑

k

pm,k(s, τ)pk,n(τ, t) .

22

Ezek az un. Chapman–Kolmogorov-egyenletek. Bizonyos enyhe feltetelekmellett az atmenetvaloszınuseg-fuggvenyek a t, s valtozok derivalhato fugg-venyei. Ekkor megkaphatjuk a Chapman–Kolmogorov-fele differencialegyen-leteket – elore halado vagy hatralo, annak megfeleloen, hogy t vagy s szerintvesszuk a derivaltat –, melyek lehetove teszik, hogy az adott pillanatban valoderivaltakat eloırva felepıtsuk az atmenetvaloszınuseg-fuggvenyeket. (Megkell azonban jegyeznunk, hogy jollehet az elmondottak nagyon termeszetes-nek tunnek, ovatosan kell eljarnunk, mert leteznek patologikus esetek is.Elofordulhat peldaul az, hogy kulonbozo Markov-folyamatok eseten egybees-nek az atmenetvaloszınuseg-fuggvenyek derivaltjai.)

A kesobbiekben gyakran fogjuk hasznalni a Markov-folyamatok elmelete-ben szokasos terminologiat, nevezetesen a szoban forgo valoszınusegi valtozokaltal felveheto ertekek halmazat, mely most N0 (a nemnegatıv egesz szamokhalmaza), allapotternek nevezzuk, es ha Nt erteke n, akkor azt mondjuk,hogy a folyamat az n allapotban van.

A Markov-folyamatok specialis osztalyat alkotjak az un. szuletesi folyam-atok.

Definıcio 3.2 Az Nt, t ≥ 0 folyamat szuletesi folyamat, ha

(i) tetszoleges t > 0 eseten Nt nemnegatıv egesz erteku valoszınusegi val-tozo;

(ii) az Nt, t ≥ 0 folyamat Markov-folyamat;

(iii) N0 = 0;

(iv) a qm,n(t, s) = P (Nt+s = n + m | Nt = m) atmenetvaloszınuseg-fugg-venyre teljesulnek a

qm,1(t, h) = λm(t)h+ o(h) , m = 0, 1, . . .∞∑

n=2

qm,n(t, h) = o(h) , m = 0, 1, . . .

feltetelek,

ahol a λm(t) ≥ 0 fuggvenyek folytonosak t ≥ 0, m = 0, 1, . . . eseten, tovabbaa h → 0 eseten fennallo o(h) nagysagrend t szerint veges intervallumonegyenletesen all fenn.

23

Erdemes megjegyezni, hogy a homogen Poisson-folyamat eseteben

qm,n(t, s) =(λs)n

n!e−λs ,

tehat a (iv) feltetel λm(t) = λ valasztassal teljesul.Vegyuk eszre, hogy a korabbi jelolest hasznalva

qm,n(t, s) = pm,m+n(t, t+ s) ,

mivel azonban szuletesi folyamat eseten Nt erteke t szerint monoton no, ezertaz Nt+s−Nt, s > 0 megvaltozasnak lehetseges ertekei t erteketol fuggetlenula nemnegatıv egesz szamok, ıgy a kepleteket kisse attekinthetobbe teszi ezenuj mennyiseg hasznalata.

A kovetkezo lemma mutatja, hogy szuletesi folyamatok eseten a h → 0esetre vonatkozo (iv) feltetelek atırhatoak tetszoleges t ≥ 0, s ≥ 0 esetere is.

Lemma 3.1 Legyen Nt, t ≥ 0 szuletesi folyamat. Ekkor az atmenetvaloszı-nuseg-fuggvenyre teljesul az alabbi differencialegyenlet-rendszer.

∂

∂sqm,0(t, s) = −λm(t+ s)qm,0(t, s) , (3.2)

∂

∂sqm,n(t, s) = −λm+n(t+ s)qm,n(t, s) + λm+n−1(t+ s)qm,n−1(t, s) ,

n ≥ 1 . (3.3)

A kezdeti feltetelek

qm,0(t, 0) = 1 , qm,n(t, 0) = 0 , n ≥ 1 .

Bizonyıtas: Tekintsuk eloszor t, s, h > 0 eseten a (3.2) egyenletet.

qm,0(t, s+ h) = P (Nt+s+h −Nt = 0 | Nt = m) =

= P (Nt+s+h = m | Nt+s = m)qm,0(t, s) =

= (1− λm(t+ s)h) qm,0(t, s) + o(h) ,

ahol kihasznaltuk a Markov-tulajdonsagot.Vonjuk le mindket oldalbol a qm,0(t, s) mennyiseget:

qm,0(t, s+ h)− qm,0(t, s) = −λm(t+ s)hqm,0(t, s) + o(h) .

24

Mivel a maradektag veges intervallumon egyenletes es λm folytonos, ezert aqm,0(t, s) fuggveny t, s-szerint korlatos halmazon egyenletesen folytonos.

Osszunk most h-val es tekintsuk a h→ 0, h > 0 hataratmenetet. Megkap-juk a jobb oldali derivaltakra a (3.2) egyenletet.

Hasonlokeppen 0 < h < s eseten

qm,0(t, s)− qm,0(t, s− h) = −λm(t+ s− h)hqm,0(t, s− h) + o(h) .

Ismet kihasznalva a maradektag egyenletesseget, a λm es most a qm,0 fuggvenymar igazolt folytonossagat, h-val valo osztas, es h→ 0, h > 0 hataratmenetutan megkapjuk, hogy a bal oldali derivalt is letezik es eleget tesz a (3.2)egyenletnek.

Tekintsuk most a (3.3) egyenletet, legyen n ≥ 1. Az elozohoz hasonloangondolkodva, h > 0 eseten

qm,n(t, s+ h) = P (Nt+s+h −Nt = n | Nt = m) =

=n∑

j=0

P (Nt+s+h = n+m | Nt+s = m+ j)qm,j(t, s) =

= λm+n−1(t+ s)hqm,n−1(t, s) +

+ [1− λm+n(t+ s)h] qm,n(t, s) + o(h) ,

kihasznalva az (iv) felteteleket es a Markov-tulajdonsagot. Ezert

qm,n(t, s+ h)− qm,n(t, s) =

= λm+n−1(t+ s)hqm,n−1(t, s)− λm+n(t+ s)hqm,n(t, s) + o(h) .

A maradektag egyenletessege es λm+n, λm+n−1 folytonossaga miatt a qm,nfuggveny t, s szerint korlatos halmazon egyenletesen folytonos.

h-val torteno osztas utan tekintve a h→ 0, h > 0 hataratmenetet, a jobboldali derivaltakra megkapjuk a (3.3) egyenletet.

A bal oldali derivaltak vizsgalata ugyanıgy tortenhet, ennek soran azon-ban ki kell hasznalni a qm,n, qm,n−1 folytonossagat is. 2

A (3.2) es (3.3) egyenletek szerkezete a szuletesi folyamat kovetkezo konst-rukciojat sugalljak. A folyamat, mint feltettuk, a 0 allapotbol indul. Ott toltvalamennyi idot – nem erkezik be karigeny –, ennek hosszat jelolje ζ. Ekkorζ eloszlasa a λ0 fuggveny alapjan adhato meg, ugyanis a

q0,0(t, h) = (1− λ0(t)h) + o(h)

25

egyenlet maskeppen azt mondja, hogy

P (ζ > t+ h | ζ > t) = (1− λ0(t)h) + o(h) .

Tehat∂

∂tP (ζ > t) = −λ0(t)P (ζ > t) .

EzertP (ζ > t) = e−

∫ t0λ0(s) ds .

A ζ ido lejarta utan atugrik az 1 allapotba – beerkezett az elso karigeny. Azott toltott ido eloszlasat – mely fugg ζ erteketol is, tehat hogy mikor jelent-kezett az elso ugras – most a λ1 fuggveny adja meg. Minden egyes allapotbaneltoltott ido eloszlasa attol fugg csak, hogy mikor lepett a folyamat abba azallapotba, es hogy milyen az allapothoz tartozo λ intenzitasfuggveny.

A folyamatot stacionarius atmenetvaloszınusegu folyamatnak nevezzuk,ha a pm,n(s, t)) atmenetvaloszınuseg-fuggvenyek az m,n es (t−s) fuggvenyei.Azaz a felteteles eloszlasok csak a kozben eltelt idotol fuggenek, nem akonkret idoponttol. Ebben az esetben az intenzitasfuggvenyek nem fuggenekt erteketol. Ilyenkor az egyes allapotokban eltoltott ido exponencialis eloszla-su, melynek parametere eppen az adott allapothoz tartozo λ ertek. Azalabbi heurisztikus gondolatmenet mutatja, hogy az intenzitasertekek nemszabhatoak meg tetszolegesen. Stacionarius atmenetvaloszınusegu folyamateseten minden egyes allapotban atlagosan 1/λn idot tolt a folyamat. Tehat,ha a

∑∞n=0 1/λn < ∞, akkor a 0-bol indulva varhatoan veges ido alatt

vegigmegy az osszes rendelkezesre allo allapoton. Megmutathato, hogy valo-ban a fenti osszeg divergenciaja a szukseges es elegseges feltetele annak, hogyletezzek olyan szuletesi folyamat, melynek intenzitasai az adott λn szamok(lasd Chung [9]).

A (3.2) es (3.3) egyenletek szerkezetebol jol latszik, hogy – legalabbiselvben – egymas utani integralassal megoldhatoak, a megoldas egyertelmulesz. Azonban ahhoz, hogy az ıgy adodo qm,n(t, s) fuggvenyek Markov-folya-mat atmenetvaloszınusegei lehessenek, tovabbi feltetelre van szukseg. Azugyanis konnyen megmutathato, hogy az egyenletrendszer megoldasakentadodo fuggvenyek nemnegatıvak, azonban a

∑∞n=0 qm,n(t, s) = 1 feltetel nem

biztos, hogy teljesul.Az alabbiakban nehany specialis esetben megoldjuk az egyenletrendszert.

26

Tetel 3.9 Tegyuk fel, hogy az Nt, t ≥ 0 folyamat szuletesi folyamat, melyrea λm fuggvenyrendszer nem fugg m erteketol, azaz

λm(t) = λ(t) .

Ekkor az Nt, t ≥ 0 folyamat fuggetlen novekmenyu lesz, melyben tetszolegest, s ≥ 0 eseten az Nt+s − Nt novekmeny eloszlasa

∫ t+st λ(u) du parameteru

Poisson-eloszlas.

Bizonyıtas: Mivel a szuletesi folyamatokra tett felteteleink tovabbra iservenyben maradnak, tehat λ(t) feltetelezesunk szerint folytonos fuggveny.

Tekintsuk a Pm(z, t, s) =∑∞n=0 qm,n(t, s)zn generatorfuggvenyt. A (3.3)

egyenlet mindket oldalat zn-nel szorozva es osszeadva, az n = 1, 2, . . . erte-kekre kapjuk, hogy

∂

∂sPm(z, t, s) − ∂

∂sqm,0(t, s) =

= −λ(t+ s) [Pm(z, t, s)− qm,0(t, s)] + λ(t+ s)zPm(z, t, s) .

Hozzaadva a (3.2) egyenletet a

∂

∂sPm(z, t, s) = λ(t+ s)Pm(z, t, s)(z − 1)

osszefuggeshez jutunk. Mivel qm,0(t, 0) = 1, ezert a (3.3) differencialegyenletmegoldasa s ≥ 0 eseten pozitıv marad, tehat 0 ≤ z ≤ 1 mellett Pm(z, t, s) >0. Oszthatunk tehat vele:

∂

∂slnPm(z, t, s) = λ(t+ s)(z − 1) .

Figyelembe veve a Pm(z, t, 0) = 1 kezdeti feltetelt, a megoldas

Pm(z, t, s) = exp

(z − 1)∫ s

0λ(t+ u) du

(3.4)

lesz. Ez m erteketol fuggetlenul az∫ t+st λ(u) du parameteru Poisson-eloszlas

generatorfuggvenye. Igy Nt+s − Nt felteteles eloszlasa a feltetelben szereplovaltozo konkret erteketol fuggetlenul mindig ugyanaz, tehat Nt+s−Nt es Nt

sztochasztikusan fuggetlenek, tovabba Nt+s − Nt feltetel nelkuli eloszlasa isugyanez a Poisson eloszlas, bizonyıtva az allıtas mindket reszet. 2

A kovetkezo peldaban a λm fuggveny erteke mar fugg a pillanatnyi alla-pottol.

27

Tetel 3.10 Tegyuk fel, hogy az Nt, t ≥ 0 folyamat szuletesi folyamat, mely-ben a λm fuggvenyekre a

λm(t) = λ(t)(a+ bm) , m = 0, 1, . . . , N

eloallıtas teljesul valamely a > 0, b 6= 0 parameterekre es λ(t) > fuggvenyre,ahol N ≤ ∞.

Ekkor a (3.2), (3.3) egyenletek megoldasanak

Pm(z, t, s) =∞∑

n=0

qm,n(t, s)zn

generatorfuggvenyere teljesul a

Pm(z, t, s) =

e−b∫ t+st

λ(u) du

1− z(

1− e−b∫ t+st

λ(u) du)

ab

+m

(3.5)

eloallıtas.

Bizonyıtas: Az elozo tetel bizonyıtasahoz hasonloan eljarva a kovetkezoosszefuggest kapjuk:

∂

∂sPm(z, t, s) = −λ(t+ s)(a+ bm)Pm(z, t, s)−

−λ(t+ s)∞∑

n=1

bnznqm,n(t, s) +

+λ(t+ s)(a+ bm)zPm(z, t, s) +

+λ(t+ s)∞∑

n=1

b(n− 1)znqm,n−1(t, s) =

= −λ(t+ s)(a+ bm)Pm(z, t, s)− λ(t+ s)bz∂

∂zPm(z, t, s) +

+λ(t+ s)(a+ bm)zPm(z, t, s) + λ(t+ s)bz2 ∂

∂zPm(z, t, s) =

= λ(t+ s)

[(a+ bm)(z − 1)Pm(z, t, s) + bz(z − 1)

∂

∂zPm(z, t, s)

].

28

A karakterisztikus egyenletrendszer

s′

= 1 ,

z′

= −λ(t+ s)bz(z − 1) ,

p′

= λ(t+ s)(a+ bm)(z − 1)p .

Megoldva az elso ket egyenletbol allo rendszert:

∫ 1

z(z − 1)dz =

∫−bλ(t+ s) ds ,

azazln(z − 1)− ln z = −b

∫ s

0λ(t+ u) du+ konst. ,

maskeppenz

1− z e−b∫ s

0λ(t+u) du = c1 ,

alkalmas c1 konstans mellett.A masodik ket egyenletbol

z′

bz= − p

′

(a+ bm)p.

Tehat1

bln z +

1

(a+ bm)ln p = konst.

Maskeppenpz

ab

+m = c2 ,

alkalmas c2 konstans mellett. Ezert a parcialis differencialegyenlet altalanosmegoldasa

Pm(z, t, s) = z−[ab

+m]f(

z

1− z e−b∫ s

0λ(t+u) du

),

alkalmas, a kezdeti ertekektol fuggo f fuggveny eseten. Figyelembe vevetehat a Pm(z, t, 0) = 1 kezdeti feltetelt, kapjuk, hogy

f(

z

1− z)

= zab

+m .

29

Ezt visszahelyettesıtve

Pm(z, t, s) = z−[ab

+m]

z1−ze

−b∫ s

0λ(t+u) du

1 + z1−ze

−b∫ s

0λ(t+u) du

ab

+m

=

=

e−b∫ s

0λ(t+u) du

1− z(

1− e−b∫ s

0λ(t+u) du

)

ab

+m

,

bizonyıtva a (3.5) eloallıtast. 2

Mivel a (3.5) kepletben szereplo generatorfuggvenyre rogzıtett t, s eseten

alkalmas α, β szamokkal teljesul a∂∂zPm(z, t, s)

Pm(z, t, s)=

[β

1− zα

]feltetel, ezert a

megfelelo eloszlas a kesobb bizonyıtando 4.3 tetel alapjan Poisson, binomialisvagy negatıv binomialis.

b > 0 eseten (3.5) a negatıv binomialis eloszlas generatorfuggvenye. Azazekkor

qm,n(t, s) =Γ(ab

+m+ n)

Γ(ab

+m)n!

(e−b

∫ s0λ(t+u) du

)ab

+m (1− e−b

∫ s0λ(t+u) du

)n,

n = 0, 1, . . . .

A 3.10 tetel fontos specialis esete az un. Polya-folyamat. Ebben

λm(t) =a+m

β + t, (3.6)

ahol a pozitıv egesz szam, β > 0.

Allıtas 3.1 Tegyuk fel, hogy az Nt, t ≥ 0 szuletesi folyamatban teljesul a(3.6) eloallıtas. Ekkor az Nt folyamat stacionarius novekmenyu, melyben

P (Ns = n) =

(a+ n− 1

n

)(β

β + s

)a (s

β + s

)n.

Bizonyıtas: A Polya-folyamat λ(t) =1

β + t, b = 1 valasztassal kielegıti

a 3.10 tetel felteteleit. Mivel∫ s

0

1

β + t+ udu = ln

[β + t+ s

β + t

],

30

ezert

qm,n(t, s) =

(a+m+ n− 1

n

)(β + t

β + t+ s

)a+m (1− β + t

β + t+ s

)n.(3.7)

Az m = 0, t = 0 valasztas mellett megkapjuk Ns eloszlasat, a q0,n(0, s) =P (Ns = n) valoszınusegeket.

A stacionarius novekmenyuseg igazolasa van hatra.

P (Nt+s −Nt = n) =∞∑

m=0

P (Nt+s −Nt = n | Nt = m)P (Nt = m) =

=∞∑

m=0

(a+m+ n− 1

n

)(β + t

β + t+ s

)a+m (s

β + t+ s

)n×

×(a+m− 1

m

)(β

β + t

)a (t

β + t

)m=

=

(a+ n− 1

n

)βasn

(β + s)a+n ×

×∞∑

m=0

(a+m+ n− 1

m

)(t

β + t+ s

)m (β + s

β + t+ s

)a+n

=

=

(a+ n− 1

n

)(β

β + s

)a (s

β + s

)n,

igazolva, hogy az Nt, t ≥ 0 folyamat stacionarius novekmenyu. 2

Binomialis eloszlas adodik a b < 0 mellett, ekkor kell, hogy r = −a/bpozitıv egesz legyen, ugyanis egyebkent λm erteke nagy m mellett negatıvvavalna. Ebben az esetben

P (Nt −Ns = k | Ns = m) =

(r −mk

)(1− e−bγ(s,t))k[e−bγ(s,t)]r−m−k .

Specialisan a 0-bol indıtva a folyamatot az allapotter a 0, . . . , r halmaz lesz.Lattuk tehat, hogy bizonyos tiszta szuletesi folyamatokban a felteteles

eloszlasok negatıv binomialisak lesznek. A kovetkezo tetelben ramutatunk

31

arra, hogy ugyanakkor Poisson-folyamatokbol is szarmaztathatoak ezek afolyamatok.

A 2.4. reszben megmutattuk, hogy a Poisson-eloszlasbol, Poisson-eloszla-sok keverekekent, megkaphatjuk a negatıv binomialis eloszlast. Alkalmazzukmost idotol fuggo folyamatokra az ottani gondolatmenetet.

Tetel 3.11 Tegyuk fel, hogy az Nt, t ≥ 0 folyamat valamely θ > 0 valosparameter tetszoleges erteke melletti felteteles eloszlasa θ parameteru ho-mogen Poisson-folyamat eloszlasa szerint alakul.

Ha a θ parametert ”a” szabadsagfoku, β parameteru Gamma-eloszlasszerint valasztjuk, akkor az Nt, t ≥ 0 folyamat Polya-folyamat lesz.

Bizonyıtas: Tetszoleges t ≥ 0 eseten

P (Nt = m) =∫ ∞

0

(θt)m

m!e−θt

βaθa−1

Γ(a)e−βθ dθ =

=tmβa

m!Γ(a) (β + t)a+mΓ(a+m) ,

tovabba s > 0 eseten

P (Nt+s −Nt = n,Nt = m) =∫ ∞

0

(θs)n

n!e−θs

(θt)m

m!e−θt

βaθa−1

Γ(a)e−aθ dθ =

=sntmβa

n!m!Γ(a) (β + t+ s)a+n+mΓ(a+ n+m) .

Ezert

P (Nt+s −Nt = n | Nt = m) =sn (β + t)a+m

n! (β + t+ s)a+n+m

Γ(a+ n+m)

Γ(a+m)=

=

(a+ n+m− 1

n

)(β + t

β + t+ s

)a+m (1− β + t

β + t+ s

)n,

amely megegyezik a (3.7) eloallıtassal.A folyamat Markov-tulajdonsaga a fentihez hasonlo szamolassal igazol-

hato. Az adodik tehat, hogy a Polya-folyamat eloall Poisson-folyamatokkeverekekent. 2

Poisson-folyamatok kevereket kaphatjuk, ha tudjuk, hogy valamilyenfajtabiztosıtas eseteben – pl. tuzkarbiztosıtas – adott epulet, gyar, uzem eseteben

32

a karfolyamat osszetett Poisson-folyamat, melynek intenzitasa fugg az epuletvalamilyen jellemzoitol, melyet azonban nem tudunk becsulni. Ekkor egyadott epuletet tekintve mondhatjuk, hogy ezt veletlenszeruen valasztottuk aszobajovo epuletek populaciojabol, tehat a vizsgalando eloszlas ıgy keverek-eloszlas lesz.

Mas modon is eljuthatunk a Polya-folyamathoz. Tegyuk fel peldaul, hogygepjarmubiztosıtas soran homogen Poisson-folyamat adja meg a balesetekszamat, azonban az egyes balesetek soran tobb karigeny jelentkezhet. Azazosszetett Poisson-folyamatot tekintunk, azonban tobbszoros karigenyekkel.Ha itt az egyes balesetekhez tartozo karigenyek eloszlasa logaritmikus, akkora [0, t] idointervallumon bekovetkezo karigenyek szama negatıv binomialiseloszlasu lesz.

Ezzel a ket technikaval – keveres, ill. a tobbszoros karigenyek modszere –a folyamatok, ill. eloszlasok igen bo osztalyat elo lehet allıtani. Ez lehetosegetnyujt arra, hogy a konkret peldak soran a megfigyelt eloszlasok kulonbozojellemzoit – varhato ertek, szoras, ferdeseg, lapultsag, . . . – pontosan mo-dellezhessuk ismert, matematikailag kezelheto eloszlasok segıtsegevel. Ennekreszleteibe itt most nem megyunk bele, csak utalunk pl. Panjer es Willmotkonyvere (Panjer, Willmot [32]).

33

4. Osszetett karnagysag es kargyakorisag mo-

dellek

4.1. Eloszlasok approximacioja

Ebben a fejezetben azt vizsgaljuk elsosorban, hogy hogyan lehet a kulonbozokockazati modellekben, peldaul egyedi kockazati modellek eseten fellepo el-oszlasokat kozelıteni olyan eloszlasokkal, melyek az un. rizikofolyamatokban,kockazati folyamatokban keletkeznek.

Tegyuk fel tehat, hogy Z1, . . . , Zn adjak meg az egyes kotvenyekhez tar-tozo karok nagysagat, az X =

∑nj=1 Zj eloszlasat kozelıtjuk eloszor osszetett

Poisson-eloszlassal. Vegyuk kulon a Zj valoszınusegi valtozokban a 0 nagy-sagu kovetelest. Tegyuk fel, hogy

qj = P (Zj > 0) < 1 .

Azaz, ha Qj a Zj eloszlasa, Rj a felteteles eloszlasa a Zj > 0 feltetel mellettes δ0 jeloli a 0 pontra koncentralt eloszlast, akkor

Qj = (1− qj)δ0 + qjRj .

Tegyuk fel, hogy 0 < qj < 1.A Q = Q1 ∗Q2 ∗ · · · ∗Qn eloszlas karakterisztikus fuggvenye

φ(t) =n∏

j=1

[1 + qj(φj(t)− 1)] ,

ahol φj(t) = E(eitZj | Zj > 0). Az 1 + x ≈ ex approximacio – mely kicsiny xertekek eseten (tehat kicsiny qj sulyok mellett) elfogadhato kozelıtes – φ(t)erteket a

exp[n∑

j=1

qj(φj(t)− 1)] = exp

n∑

j=1

qj

n∑

j=1

qj∑nl=1 ql

φj(t) − 1

fuggvennyel kozelıti, mely osszetett Poisson-eloszlas karakterisztikus fuggve-nye. Legyen tehat

λ =n∑

j=1

qj , R =n∑

j=1

qjλRj .

34

Vegezetul a λ,R parameterekkel megadott osszetett Poisson-eloszlast jeloljeν. Tehat

ν =∞∑

k=0

λk

k!e−λR(∗k) .

A ν ≈ Q kozelıtes josagat akarjuk vizsgalni.Legyen N egy λ parameteru Poisson-eloszlasu valoszınusegi valtozo, az

Y1, Y2, . . . fuggetlen, azonos eloszlasu mennyisegek kozos eloszlasa legyen R.Vegezetul legyen S =

∑Nj=1 Yj. Ekkor S eloszlasa az az osszetett Poisson-

eloszlas, melynek parameterei eppen λ,R.Hasonlıtsuk ossze eloszor az elso es masodik momentumokat. Jelolje µj

az E(Zj) varhato erteket. Ekkor E(X) =∑nj=1 µj, E(Yj) = 1

λ

∑nj=1 µj, ıgy

E(S) = λE(Yj) = E(X).Megmutatjuk, hogy

D2(X) ≤ D2(S) .

Egyfelol

D2(X) =n∑

j=1

D2(Zj) =

=n∑

j=1

qjE(Z2j | Zj > 0)−

n∑

j=1

q2jE

2(Zj | Zj > 0) ,

ugyanakkor

D2(S) = E(N)D2(Y1) +D2(N)E(Y1)2 =

= λE(Y 21 ) =

n∑

j=1

qjE(Z2j | Zj > 0) .

Visszaterve maguknak az eloszlasoknak az osszehasonlıtasara, ket elosz-las ”tavolsagat” sokfele modon lehet merni. Eleg csak utalnunk Z. Rachevmonografiajara, mely valoszınusegi metrikakrol szol (Rachev [34]). Legyen

d(ν,Q) = supA| ν(A)−Q(A) | . (4.1)

Allıtas 4.1 d(ν,Q) = supA(ν(A)−Q(A)) .

35

Bizonyıtas: Nyilvanvaloan d(ν,Q) ≥ supA(ν(A)−Q(A)) . Ugyanakkortetszoleges A esemeny eseten

ν(A)−Q(A) = −(ν(Ac)−Q(Ac)) ,

mivel mindket mertek valoszınuseg, tehat a biztos esemeny merteke 1. Ezerttehat

supA| ν(A)−Q(A) |= sup

A(ν(A)−Q(A)) .

2

Allıtas 4.2 Ha Q1, Q2, ν1, ν2 valoszınusegi mertekek, akkor

d(Q1 ∗Q2, ν1 ∗ ν2) ≤ d(Q1, ν1) + d(Q2, ν2) .

Bizonyıtas: Tetszoleges A halmaz mellett

Q1 ∗Q2(A)− ν1 ∗ ν2(A) =∫

[Q1(A− x)− ν1(A− x)]dQ2(x) +

+∫

[Q2(A− x)− ν2(A− x)]dν1(x) ≤≤ d(Q1, ν1) + d(Q2, ν2) .

2

Tetel 4.1 Legyen Q = ((1− q1)δ0 + q1R1) ∗ · · · ∗ ((1− qn)δ0 + qnRn), ν pedig(λ,R) parameteru osszetett Poisson-eloszlas, ahol

λ =n∑

j=1

qj, R =1

λ

n∑

j=1

qjRj .

Ekkor teljesul a

d(ν,Q) ≤n∑

j=1

q2j (4.2)

egyenlotlenseg.

36

Bizonyıtas: Mivel ν a qj, Rj parameteru osszetett Poisson-eloszlasokkonvolucioja, ezert az elozo allıtas alapjan eleg az n = 1 esetre igazolni atetel allıtasat. Ekkor azonban – elhagyva q indexet –

(1− q)δ0(A) + qR(A)− e−q∞∑

j=0

qk

k!R∗k(A) ≤

≤ (1− q)δ0(A) + qR(A)− e−q(δ0(A) + qR(A)) =

= (1− q − e−q)δ0(A) + q(1− e−q)R(A) ≤ q2 .

2

Tekintsuk most azt az esetet, mikor az Rj eloszlasok mind megegyeznek,tehat R = Rj, j = 1, . . . , n. Jelolje B azt az eloszlast, melyet akkor kapunk,ha a qj sulyok megtartasa mellett az R = δ1 eloszlast vesszuk. Ekkor tehat a

Zj valoszınusegi valtozok 0, 1 erteket vehetnek csak fel. Igy S λ parameteruPoisson-eloszlasu. Ha a qj sulyok is egybeesnek, akkor X eloszlasa binomialis,ıgy tehat ekkor a klasszikus esettel allunk szemben – binomialis eloszlaskozelıtese Poisson-eloszlassal.

Tetel 4.2 Legyen

Q = [(1− q1)δ0 + q1R] ∗ · · · ∗ [(1− qn)δ0 + qnR] ,

B = [(1− q1)δ0 + q1δ1] ∗ · · · ∗ [(1− qn)δ0 + qnδ1] ,

ν (λ,R) parameteru osszetett Poisson-eloszlas,νλ pedig λ parameteru Poisson-eloszlas,

ahol λ =∑nj=1 qj.

Ekkor fennallnak a

d(ν,Q) ≤ d(νλ, B) ≤∑nj=1 q

2j∑n

j=1 qj(4.3)

egyenlotlensegek.

Bizonyıtas: A B mertek n darab olyan fuggetlen valoszınusegi valtozoosszegenek az eloszlasa, melyek a 0, 1 ertekeket veszik fel. Jelolje ezeket ξk,k = 1, . . . , n. (Termeszetesen P (ξk = 1) = 1 − P (ξk = 0) = qk.) Ezert B

37

a δk, k = 0, . . . , n mertekek kevereke, azaz leteznek olyan bk, k = 0, . . . , nszamok, melyekkel B =

∑nk=0 bkδk.

A Q merteket definialo konvolucioszorzatot beszorzas utan felırhatjukaz R(∗k) k = 0, . . . , n mertekek keverekekent (ahol R(∗0) = δ0 ). Mivel azegyutthatok nem fuggenek az R mertektol, ezert ugyanazokat az egyutt-hatokat kapjuk, ha R helyett a δ1 merteket hasznalnank, ami eppen a Bmerteket definialna. Tehat

Q =n∑

k=0

bkR(∗k) .

Legyen pk = λk

k!e−λ. Ekkor

ν =∞∑

k=0

pkR(∗k) es νλ =

∞∑

k=0

pkδk .

Ha most A tetszoleges halmaz, akkor

Q(A)− ν(A) =n∑

k=0

bkR(∗k)(A)−

∞∑

k=0

pkR(∗k)(A) ≤

≤∞∑

k=0

(bk − pk)χbk>pk = d(B, νλ) ,

ami (4.3) elso egyenlotlensege. A masodikat bizonyıtando vegyunk egy tet-szoleges A ⊂ N0 halmazt. Ekkor

B(A)− νλ(A) =n∑

k=0

bk(χA(k)− νλ(A)) =

=n∑

k=0

bk

[1

pk(νλ(A ∩ k)− νλ(A)νλ(k))

]=

=n∑

k=0

bk

[1

pk(hA(k + 1)− hA(k))

],

ahol

hA(k) = νλ(A ∩ 0, . . . , k − 1)− νλ(A)νA(0, . . . , k − 1) ,

38

ha k ≥ 1, es hA(0) = 0. Mivel

1

pk(hA(k + 1)− hA(k)) =

pk+1

pk

1

pk+1

hA(k + 1)− 1

pkhA(k) =

= λ1

(k + 1)pk+1

hA(k + 1)− k 1

kpkhA(k) ,

kihasznalva a λpk = (k + 1)pk+1 egyenloseget, ezert bevezetve a

gA(k) =1

kpkhA(k)

jelolest kapjuk, hogy

B(A)− νλ(A) =n∑

k=0

bk [λgA(k + 1)− kgA(k)] =

= E

λgA(

n∑

j=1

ξj + 1)−n∑

j=1

ξjgA(n∑

j=1

ξj)

=

=n∑

k=1

E

qkgA(

n∑

j=1

ξj + 1)− ξkgA(n∑

j=1

ξj)

.

A k. osszeadandoban alkalmazzuk a teljes varhato ertek tetelet ξk ertekeiszerint. ξk csak a 0 es 1 ertekeket veheti fel, ezert

E

qkgA(

n∑

j=1

ξj + 1)− ξkgA(n∑

j=1

ξj)

= q2

kE

gA(

∑

j 6=kξj + 2)− gA(

∑

j 6=kξj + 1)

.

Eleg tehat megbecsulni a gA(k+ 2)− gA(k+ 1) erteket. Megmutatjuk, hogy

gA(k + 1)− gA(k) ≤ 1

λ. (4.4)

(Vegyuk eszre, hogy ez az egyenlotlenseg csak a λ parameteru Poisson-elosz-lasrol szolo allıtas.) Felhasznalva a gA fuggveny definıciojat kapjuk, hogy

λ [gA(k + 1)− gA(k)] = χA(k)− νλ(A) + (k − λ)gA(k) .

39

Ugyanakkor k > λ eseten

kpkgA(k) = νλ(A ∩ 0, . . . , (k − 1))− νλ(A)νλ(0, . . . , (k − 1)) ≤≤ νλ(A)νλ(k, k + 1, . . . ) ≤ νλ(A)pk

∞∑

m=0

λmk!

(m+ k)!≤

≤ νλ(A)pkk

k − λ .

Amibol (4.4) adodik k > λ esetere.k ≤ λ eseten hasznaljuk fel, hogy

(k − λ)gA(k) ≤ λ− kkpk

νλ(A)νλ(0, . . . , (k − 1)) .

Teljes indukcioval igazoljuk, hogy

(λ− k)νλ(0, . . . , (k − 1)) ≤ kpk .

k = 1 eseten (λ− 1)e−λ ≤ λe−λ. Ugyanakkor

[λ− (k + 1)]νλ(0, . . . , k) ≤ (λ− k)νλ(0, . . . , k) =

= (λ− k)[νλ(0, . . . , (k − 1)) + pk] ≤≤ kpk + (λ− k)pk = (k + 1)pk+1

az indukcios felteves szerint.Igy (4.4) teljesul k ≤ λ eseten is. Osszegezve tehat azt kaptuk, hogy

B(A)− νλ(A) ≤n∑

k=0

q2k

1

λ,

ami a bizonyıtando osszefugges volt. 2

Megjegyzes: A 4.2 tetel specialis esetehez jutunk, amikor a qk szamok egy-beesnek, azaz R binomialis eloszlas. Adodik tehat, hogy a B(n, p) binomialiseloszlas es az np parameteru Poisson-eloszlas d tavolsaga becsulheto felulrola minnp2, p mennyiseggel.

Megjegyezzuk, hogy az oszetett Poisson-eloszlassal valo kozelıtes alapja,azaz az ex ≈ 1 + x approximacio finomıtasaval mas, pontosabb kozelıteseketkaphatunk. Ez az un. Kornya-approximacio. Legyen tehat Q = (1−q)δ0+qRvalamely eloszlas. Tegyuk fel, hogy 0 < q < 1/2. Ennek karakterisztikus

40

fuggvenye φ(t) = [1 + q(φ(t)− 1)], ahol φ(t) az R eloszlashoz tartozo karak-terisztikus fuggveny. Ekkor a log fuggveny sorfejteset hasznalva

φ(t) = exp

[ ∞∑

k=1

(−1)(k+1)

kqk(φ(t)− 1)k

].

(A q < 1/2 feltetel biztosıtja a sor konvergenciajat.) A vegtelen sort vegesreszletosszegevel becsulve kozelıthetjuk a φ karakterisztikus fuggvenyt:

φ(t) ≈ exp

[M∑

k=1

(−1)(k+1)

kqk(φ(t)− 1)k

].

Az M = 1 valasztas az osszetett Poisson-approximaciora vezet. Azonbanmeg kell jegyeznunk, hogy M 6= 1 eseten a kapott approximalo fuggvenyaltalaban nem karakterisztikus fuggveny. Ezert a neki megfelelo mertek nemeloszlas, hanem elojeles mertek. Ez azonban nem jelenti azt, hogy ezt afajta kozelıtest nem lehet hasznalni, hiszen ha a kerdes csak az, hogy bi-zonyos funkcionalokat szamoljunk ki – varhato ertek, szoras, . . . –, akkorezeket lehet kozelıteni elojeles mertekek hasonlo integraljaival. Annyit azon-ban mindenkeppen jelent, hogy nem tudunk olyan valoszınusegi valtozokatdefinialni, melyek eloszlasa eppen az adott mertek.

Az ıgy kapott approximacionak megfelelo merteket ket lepesben lehetmegkapni. Eloszor is a kitevo

M∑

k=1

(−1)(k+1)

kqk(φ(t)− 1)k

konnyen invertalhato, a∑Mk=1

(−1)(k+1)

kqk(R − δ0)(∗k) kevereket kapjuk. (Ez

mar esetleg elojeles mertek.) Tovabba tetszoleges Q′ mertek eseten exp(Q′)az exponencialis fuggveny szokasos soraval definialhato:

exp(Q′) =∞∑

k=0

1

k!Q′(∗k)

.

Alkalmazva ezt Q′ helyebe az R− δ0 mertek konvoluciohatvanyaibol kepzettM tagu keverekre az eredeti Q mertek kozelıteset kapjuk.

41

4.2. Osszetett eloszlasok meghatarozasa rekurzioval

Az elozo fejezetben osszetett Poisson-eloszlas segıtsegevel kozelıtettuk fugget-len valoszınusegi valtozok osszegenek eloszlasat. Most azt vizsgaljuk meg,hogyan lehet az ıgy kapott eloszlas elemeit meghatarozni rekurzıv uton.Eloszor a diszkret eloszlas esetet vizsgaljuk. Tegyuk fel tehat, hogy alkalmash > 0 mellett az L eloszlas a 0, h, 2h, . . . halmazra koncentralodik, azaz amegfelelo valoszınusegi valtozo racsos eloszlasu. Az osszetett Poisson-elosz-las az L(∗k) konvoluciohatvanyok kevereke a Poisson-eloszlasbol szarmazosulyokkal. Egyelore azonban ne tegyuk fel, hogy a kevero eloszlas Poisson,hanem tekintsunk valamilyen altalanos pk, k ≥ 0, kevero eloszlast. Legyen

ν =∞∑

k=0

pkL(∗k) .

A ν mertek is a 0, h, 2h . . . szamokra koncentralodik. Tekintsuk a megfeleloeloszlasok elemeibol kepzett hatvanysorokat. Azaz legyen

f(z) =∞∑

k=0

ν(kh)zk ,

g(z) =∞∑

k=0

L(kh)zk ,

h(z) =∞∑

k=0

pkzk .

Ekkor

h(g(z)) =∞∑

k=0

pkgk(z) =

∞∑

k=0

pk∞∑

j=0

L(∗k)(jh)zj) =

= p0 +∞∑

j=1

ν(jh)zj = f(z) .

Mivel ezek a hatvanysorok konvergensek a (−1, 1) intervallumon, ıgy ottakarhanyszor derivalhatoak is. Ha feltesszuk, hogy p0 > 0, akkor a (0, 1) in-tervallumon f, h erteke pozitıv, tehat kepezhetjuk a logaritmikus derivaltat.Atrendezes utan kapjuk, hogy

f ′(z) = f(z)g′(z)h′(g(z))

h(g(z)). (4.5)

42

Ha ismernenk g′(z)h′(g(z))

h(g(z))hatvanysoranak egyutthatoit, akkor az elozo

egyenlet jobb es bal oldalan allo z hatvanyokat osszehasonlıtva rekurzıvanki tudnok szamolni f egyutthatoit, azaz a ν eloszlas elemeit.

A 4.4 tetel specialis h hatvanysorok eseten expliciten megadja a rekurziot.Mielott kimondanok azonban, elobb leırjuk a megfelelo eloszlasok osztalyat.

Tetel 4.3 Ha h′h

= B1−Az , B 6= 0 es h generatorfuggveny, akkor az altala

meghatarozott eloszlas vagy binomialis, vagy (esetleg tortrendu) negatıv bi-nomialis vagy Poisson-eloszlas.

Megfordıtva, az felsorolt eloszlasok generatorfuggvenyeire teljesul a fentiosszefugges.

Bizonyıtas: Tegyuk fel eloszor, hogy a generatorfuggvenyre teljesul afenti osszefugges. Ekkor mivel h pozitıv, h′ nemnegatıv, B 6= 0 miatt nemazonosan nulla a (0, 1) intervallumon, ıgy a jobb oldal sem valthat elojeletott, tehat A ≤ 1. A feltetel alapjan tehat

(1− Az)h′(z) = Bh(z) , ha 0 < z < 1 .

Ezert a h hatvanysor egyutthatoira az (n+1)pn+1−Anpn = Bpn osszefuggesteljesul, mely az alabbi rekurziot adja:

pn+1 = pn

[A+

B − An+ 1

]. (4.6)

Esetszetvalasztas modszerevel adjuk meg a fenti rekurziot kielegıto elosz-lasokat. Vegyuk eszre, hogy p0 > 0, hiszen egyebkent pn = 0 teljesulneminden n-re.

p0 = 1. Ekkor A,B = 0 kell teljesuljon, melyet kizartunk.

0 < p0 < 1. Ekkor p1 > 0, tehat B > 0.

Ha emellett A = 0, akkor a B parameteru Poisson-eloszlast kapjuk.

Ha A < 0, akkor az n novekedtevel A+ B−An+1

elojelet valt, tehat pn elojel-

valtasa csak ugy kerulheto el, ha az A + B−An+1

sorozat a 0 erteket is felveszi.Azaz B/A egesz szam kell legyen, ıgy ekkor a pk sorozatnak csak veges sokeleme nem nulla. Kozvetlen szamolas adja, hogy ez a (−B/A)-adrendu,A/(A− 1) parameteru binomialis eloszlasra vezet.

43

Ha 0 < A < 1, akkor a BA

-adrendu, A parameteru negatıv binomialiseloszlast kapjuk, ugyanis ekkor a (4.6) formula jobb oldalara ujra es ujraalkalmazva a rekurziot a

pk = p0(−A)k∏kj=1(−B−A

A− j)

k!

keplet adodik, mely a∑∞k=0 pk = 1 azonossag felhasznalasaval a

p0 = (1− A)(B/A)

osszefuggesre vezet, ıgy

pk =

(−BA

k

)(1− A)

BA (−A)k .

2

Ismet megjegyezzuk, hogy a negatıv binomialis eloszlas beletartozik azosszetett Poisson-eloszlasok csaladjaba. Sot, meg altalanosabban, ha M r-edrendu p parameteru negatıv binomialis eloszlasu valoszınusegi valtozo 0 <p < 1, a Zk , k ≥ 1 valtozok fuggetlenek es azonos eloszlasuak, akkor a

M∑

k=0

Zk eloszlasa osszetett Poisson-eloszlas .

Mivel P (M = k) =(−rk

)(1− p)r(−p)k, k ≥ 0, ezert M generatorfuggvenye

(1− p1− pz

)r.

Tehat a veletlen tagszamu osszeg karakterisztikus fuggvenye

φ(t) =

(1− p

1− pψ(t)

)r,

ahol ψ(t) a Zk mennyisegek kozos karakterisztikus fuggvenye. Ekkor

φ(t) = exp

[−rlog(1− p)

(log(1− pψ(t))

log(1− p) − 1

)].

44

Ez formailag az osszetett Poisson-eloszlas karakterisztikus fuggvenye. Ehhezazonban meg kell mutatnunk, hogy log(1−pψ(t))

log(1−p) is karakterisztikus fuggveny.

Azonban a log(1 − pz) = −∑∞k=1pk

kzk sorfejtes felhasznalasaval, mely kon-

vergens a (0, 1) intervallumon, adodik, hogy

log(1− pψ(t))

log(1− p) =1

−log(1− p)∞∑

k=1

pk

kψ(t)k .

Ez veletlen tagszamu osszeg karakterisztikus fuggvenye, melyben az osszea-dandok eppen a Zj valoszınusegi valtozok, a tagszamot meghatarozo valo-

szınusegi valtozo eloszlasat a pk

−klog(1−p) , k ≥ 1 adja, amely a logaritmikuseloszlas.

Tetel 4.4 (Panjer-rekurzio). Tegyuk fel, hogy az L eloszlas a 0, h, 2h, . . . szamokra koncenrtalodik. Legyen

ν =∞∑

k=0

pkL(∗k) ,

ahol a pk, k ≥ 0 szamok altal definialt eloszlas h(z) =∑∞k=0 pkz

k generator-

fuggvenyere teljesul ah′

h=

B

1− Az , B 6= 0 osszefugges. Ekkor a ν eloszlas

elemeinek meghatarozasara a

ν(nh) =1

n(1− AL(0))

n∑

j=1

ν((n− j)h)L(jh)(jB + A(n− j)) (4.7)

ν(0) = h(L(0)) (4.8)

rekurzıo alkalmazhato.

Bizonyıtas: A 4.3 tetel adja, hogy A < 1, tehat a (4.5) keplet alapjanfennall az

(1− Ag(z))f ′(z) = Bg′(z)f(z)

egyenlet. A bal oldalon a zn−1 egyutthatoja

(1− AL(0))nν(nh)−n−1∑

j=1

AL(jh)(n− j)ν((n− j)h) ,

45

a jobb oldalon pedign∑

j=1

BjL(jh)ν((n− j)h) .

Ezek tehat egyenloek. Atrendezes utan – kihasznalva, hogy AL(0) < 1 – a

ν(nh) =1

n(1− AL(0))

n∑

j=1

ν((n− j)h)L(jh)(jB + (n− j)A)

bizonyıtando osszefuggest kapjuk. 2

Specialisan, az osszetett Poisson-eloszlas eseteben (A = 0) a rekurzio igenegyszeru,

ν(nh) =B

n

n∑

j=1

jL(jh)ν((n− j)h) .

Folytonos eloszlasok eseteben a Panjer-fele rekurzio alkalmazasanak lehet-seges valtozata, ha a folytonos eloszlast eloszor diszkretizaljuk, es a folytonoseloszlas konvoluciohatvanyainak kevereket kozelıtjuk a diszkretizalt valtoza-tabol adodo keverek eloszlassal. Jelolje megint pk, k ≥ 0 a kevero eloszlast.Tegyuk fel, hogy L most tetszoleges eloszlasfuggveny. Valasszunk valamilyenh > 0 szamot, es diszkretizaljuk eszerint az adott eloszlasunkat.

L(t) = L((k + 1)h) , ha kh < t ≤ (k + 1)h ,

es

ν(t) =∞∑

k=0

pkL(∗k)(t) ,

ν(t) =∞∑

k=0

pkL(∗k)(t) .

(Most ν es L az eloszlasfuggvenyeket jeloli.)

Allıtas 4.3 Tetszoleges t eseten teljesulnek az alabbi egyenlotlensegek:

0 ≤ ν(t)− ν(t) ≤ CL(h)∞∑

k=0

kpk ,

ahol CL(h) jeloli az L eloszlas koncentraciojat, azaz

CL(h) = supt

(L(t+ h)− L(t)) .

46

Bizonyıtas: Nyilvanvaloan

0 ≤ L(t)− L(t) ≤ CL(h) .

A konvolvalt eloszlasok tavolsagat az alabbi modon becsulhetjuk. Az

L(∗(k+1))(t)− L(∗(k+1))(t) =∫ ∞−∞

[L(∗k)(t− s)− L(∗k)(t− s)]dL(s) +

+∫ ∞−∞

[L(t− s)− L(t− s)]dL(∗k)(s)

atalakıtasbol rogton adodik indukcioval, hogy

0 ≤ L(∗(k+1))(t)− L(∗(k+1))(t) ≤ (k + 1)CL(h) .

Behelyettesıtve ezt a ν, ill. ν eloszlasfuggvenyeket definialo keveresbe, azon-nal kapjuk a bizonyıtando egyenlotlensegeket. 2

Azonban a Panjer-fele rekurzio kozvetlenul is atfogalmazhato folytonoseloszlasokra, ott persze az osszegzes helyett integralast kell alkalmazni. Eztehat majd integralegyenletet jelent a kevert eloszlasra, melynek megoldasatszukcesszıv approximacioval lehet kozelıteni.

Tetel 4.5 Tegyuk fel, hogy az R eloszlasfuggveny eseten R(0) = 0. A pkkevero eloszlasra teljesuljon a 4.3 tetel feltetele, azaz tegyuk fel, hogy fennallspecialisan a

pk+1 =

[a+

b

k + 1

]pk

rekurzio, ahol most a+ b > 0. Ekkor a ν =∑∞k=0 pkR

(∗k) mennyisegre fennalla

ν(t) = p0χ−∞,0(t) +∫

u+v<t

(a+ b

v

u+ v

)dR(v)dν(u) (4.9)

egyenloseg.

Bizonyıtas: Eloszor szamoljuk ki az∫u+v<t

vu+v

dR(v)dR(∗k)(u) integralt.Ez nem mas, mint

E

(Z1

Z1 + · · ·+ Zk+1

χ∑k+1

j=1Zj<t

),

47

ahol a Z1, . . . Zk+1 valoszınusegi valtozok fuggetlenek, kozos eloszlasfuggve-nyuk R. Mivel ekkor Zi > 0, ıgy a fenti varhato ertek letezik. Szimmetria-megfontolasok miatt ez meg kell, hogy egyezzek a

E

(Zl

Z1 + · · ·+ Zk+1

χ∑k+1

j=1Zj<t

)

varhato ertekkel barmely szoban forgo l ertekre, de ezek osszege

E(χ∑k+1

j=1Zj<t

)= R(∗(k+1))(t).

Igy tehat ∫

u+v<t

v

u+ vdR(v)dR(∗k)(u) =

1

k + 1R(∗(k+1))(t) .

Ezert∫

u+v<t

(a+ b

v

u+ v

)dR(v)dν(u) =

=∞∑

k=0

pk

(a+

b

k + 1

)R(∗(k+1))(t) =

=∞∑

k=1

pkR(∗k)(t) ,

amibol a bizonyıtando allıtas rogton kovetkezik. 2

Tovabb alakıthatjuk az egyenletunket feltetelezve, hogy letezik az R elosz-lasfuggveny surusegfuggvenye.

Tetel 4.6 Tegyuk fel, hogy az R abszolut folytonos eloszlasfuggveny esetenR(0) = 0. Jelolje r a surusegfuggvenyt. R(t) =

∫ t0 r(s)ds. A pk kevero

eloszlas eleget tesz a

pk+1 =

[a+

b

k + 1

]pk

rekurzionak, ahol a + b > 0. Ekkor a ν =∑∞k=1 pkR

(∗k) eloszlasfuggveny isabszolut folytonos, melynek surusegfuggvenye

f(t) =∞∑

k=1

pkrk(t) ,

48

ahol rk jeloli R(∗k) surusegfuggvenyet. Tovabba f kielegıti az alabbi Volterra-tıpusu integralegyenletet:

f(t) = p1r(t) +1

t

∫ t

0(at+ bs)r(s)f(t− s)ds . (4.10)

Ezen egyenlet megoldasa egyertelmu az integralhato fuggvenyek koreben, ha rkorlatos surusegfuggveny, ill. a negyzetesen integralhato fuggvenyek koreben,ha r negyzetesen integralhato.

Hangsulyozzuk, hogy a fenti tetelben f definiciojaban a osszegzes 1-tolindul. Ez nem meglepo, hiszen k = 0 eseten R 0-dik konvoluciohatvanyatkellene tekinteni, ami definıcio szerint a δ0 mertek, es ez pozitıv sulyt tenne anulla pontba, hiszen p0 pozitıv. Tehat a korabbi tetelben szereplo ν eloszlas-fuggvenynek van diszkret komponense, a 0-ban p0 suly. Igy a fenti tetel νabszolut folytonos komponensenek surusegfuggvenyerol szol.

Bizonyıtas: Az f surusegfuggveny letezese es alakja magatol ertodo,hiszen a konvolucio csak simıt, es a keveres soran a surusegfuggvenyeket iskeverni kell. Tekintsuk tehat a (4.10) egyenletet. A jobb oldalan allo integ-ralt ırjuk at az elozo tetel bizonyıtasahoz hasonloan mas alakba, kihasznalvaa pk valoszınusegekre vonatkozo rekurziot. Az elozo tetel bizonyıtasa soranbevezetett Zj valoszınusegi valtozok segıtsegevel ırhatjuk, hogy

∫ t

0sr(s)rk(t− s)ds = E

(Z1χ

∑k+1

j=1Zj<t).

Ismet szimmetriamegfontolasok alapjan kapjuk, hogy ennek erteke eppen1

k+1P (∑Zj < t). Tehat

pk1

t

∫ t

0(at+ bs)r(s)rk(t− s)ds = pk

[a+

b

k + 1

]rk+1(t) =

= pk+1rk+1(t) .

Behelyettesıtve (4.10) jobb oldalaba azonnal kapjuk, hogy f kielegıti azegyenletet.

Termeszetesen f integralhato – hiszen surusegfuggveny – barmely, az rfuggvenyre tett feltetel nelkul. Ha r negyzetesen integralhato,

∫r2 ≤ M ,

akkor a Cauchy–Bunjakovszkij-egyenlotlenseg alkalmazasaval kapjuk, hogyrk, k ≥ 2 eseten mar korlatos, rk(t) ≤M . Ezert f(t) ≤ p1r(t) +M . Igy

f(t)2 ≤ f(t)(p1r(t) +M) ≤ p21r(t)

2 + p1Mr(t) +Mf(t) ,

49

tehat f negyzetesen integralhato.A megoldas egyertelmusege ugyan jol ismert a Volterra-tıpusu integrale-

gyenletek elmeletebol, azonban a teljesseg kedveert roviden felidezzuk. Ve-zessuk be az alabbi operatort:

Kg(t) =1

t

∫ t

0(at+ bs)r(s)g(t− s)ds .

Ekkor, mint lattuk,pkKrk(t) = pk+1rk+1(t) .

Ezert iteracioval adodik, hogy

f(t)−Knf(t) =n∑

k=1

pkrk(t) . (4.11)

Eleg tehat igazolnunk, hogy Knf → 0, ha n → ∞. Ehhez megbecsuljuk aKn operatort.

Ha r korlatos, es g integralhato, (r(t) ≤M ,∫ | g |≤ C), akkor

| Kg(t) |≤∫ t

0| a+ b

s

t|M | g(t− s) | ≤≤ (| a | + | b |)MC .

Azaz Kg mar korlatos. Rekurzıven folytatva – a K operatort definialo in-tegralban az r es Kn−1g fuggvenyeket az eppen aktualis felso becslesukkelhelyettesıtve –, a

| Kng(t) |≤ CMn(| a | + | b |)n t(n−1)

(n− 1)!

becsleshez jutunk, mely nullahoz tart minden t ≥ 0 helyen. Tehat a megoldasegyertelmu az integralhato fuggvenyek koreben. Ha r es g negyzetesen integ-ralhatoak (

∫∞0 r2(t)dt ≤M ,

∫∞0 g2(t)dt ≤ C), akkor

| Kg(t) |2 ≤∫ t

0| a+ b

s

t|2 r2(s)ds

∫ t

0g2(t− s)ds ≤

≤ (| a | + | b |)2M2C2 .

Azaz Kg mar korlatos. Ugyancsak rekurzıven folytatva a

| Kng(t) |≤ CMn(| a | + | b |)n[t(n−1)

(n− 1)!

]1/2

50

becslest kapjuk, mely nullahoz tart minden t ≥ 0 helyen. Tehat a megoldasegyertelmu a negyzetesen integralhato fuggvenyek tereben is, felteve, hogyletezik negyzetesen integralhato megoldas, melyet – mint lattuk – r negyze-tesen integralhatosaga biztosıt.

Ugyanez a gondolatmenet lehetove teszi, hogy az f megoldast – mindketfeltetel mellett – approximacioval eloallıtsuk. Nevezetesen az

f1(t) = p1r(t) , fn(t) = p1r(t) +Kfn(t)

rekurzioval definialt fuggvenysorozat eseten konnyen lathato, hogy

f(t)− fn(t) = Knf(t) ,

mely tehat pontonkent exponencialisnal gyorsabb sebesseggel tart nullahoz.2

51

5. A klasszikus rizikofolyamat

Az egyik alapveto kerdes, melyet kockazati folyamatokkal kapcsolatban vizs-galni fogunk az, hogy mi a valoszınusege annak, hogy valamely t idopillanat-ban az ossztoke nagysagat megado Ut folyamat erteke negatıvva valik. Eztaz idopontot a kesobbiekben roviden a tonkremenes idopontjanak, magataz esemenyt csodnek fogjuk nevezni. Termeszetesen nem kozgazdasagi, jogiertelemben hasznaljuk ezeket az elnevezeseket, voltakeppen ezek csak metafo-rak. A felvetett kerdesnek szamos mas vallfaja is van. Milyen valoszınuseggelkovetkezik ez be egy adott [0, T ] idointervallumon? Mennyire sulyos a csod?

Legyen

Ψ(u) = P (letezik olyan t ≥ 0, melyre Ut < 0) ,

Φ(u) = P (Ut ≥ 0 minden t ≥ 0, eseten) .

Ezek tehat megadjak annak valoszınuseget, hogy u kezdotoke eseten vala-mikor a jovoben csod kovetkezik be, ill. hogy vegig a vegtelen idohorizontonelkeruljuk azt, hogy tokenk erteke negatıv legyen.

5.1. A csodvaloszınusegre vonatkozo Cramer-fele in-tegralegyenlet

Ebben a fejezetben a klasszikus rizikofolyamat eseten probaljuk megvalaszol-ni ezeket a kerdeseket. Legyen tehat

Ut = u+ ct− St , (5.1)

ahol u, c allandoak, St pedig osszetett Poisson-folyamat. Megmutatjuk, hogyha c > λµ, ahol – mikent korabban mar bevezettuk – c jelenti az idoegysegreeso dıjbefizetes erteket, λ a Poisson-folyamat parametere, tehat az idoegyseg-re eso karesemenyek atlagos szama, es µ jeloli a Zi valtozok kozos varhatoerteket (melyrol feltesszuk, hogy veges), akkor

Ψ(0) =λµ

c, (5.2)

limu→∞ e

RuΨ(u) = K , (5.3)

Ψ(u) ≤ e−Ru , (5.4)

52

ahol R az un. Lundberg-kitevo, vagy illeszkedesi egyutthato, K veges pozitıvallando. (Az elso azonossagot eloszor Cramer, ill. Lundberg bizonyıtottak.A masodikat Cramer–Lundberg-approximacionak nevezik, vegezetul a har-madik a Lundberg-egyenlotlenseg.) A tovabbi fejezetekben, bonyolultabbfolyamatok eseten is, eloszor azt vizsgaljuk meg, hogy a fenti kepletekhezhasonlo eredmenyek mennyiben maradnak igazak.

Konnyen lathato, hogy c es λµ viszonyatol alapvetoen fugg a tonkremenesvaloszınusege. Ugyanis a nagy szamok torvenye alapjan limt→∞(ct−St)/t =c − λµ 1 valoszınuseggel. (Ezt a korabban tanultak alapjan azonnal csakabban az esetben tudjuk, ha t az egesz szamokon at tart a vegtelenhez, vagyaltalanosabban, t = kδ, k → ∞ eseten, ahol δ > 0 tetszoleges. Konnyenigazolhato azonban a fent megfogalmazott alakban is.) Ezert c < λµ esetenUt 1 valoszınuseggel elobb vagy utobb negatıv lesz, ıgy barmely u kezdotokemellett Φ(u) = 0. Ha c = λµ, akkor a hatarertek 0. Ekkor a Chung–Fuchs-tetel szerint (lasd [8]) ct−St fluktuacioja igen nagy, tetszoleges nagy pozitıv,ill. negatıv ertekeket is tulno 1 valoszınuseggel. Tehat megint csak

Φ(u) = 0 .

A fenti eredmeny c < λµ esetben nem meglepo, hiszen ha az idoegysegreeso atlagos befizetes kisebb, mint a kifizetes, akkor elobb-utobb tetszolegesennagy kezdotoket felemeszt a folyamat. Azt latjuk azonban, hogy ez meg akkoris bekovetkezik, ha a folyamat kiegyensulyozottabb, ha c = λµ.

Eloszor egy, a Φ(u) fuggvenyre vonatkozo, integralegyenletet vezetunk le.Jelolje F (z) a Zi valoszınusegi valtozok kozos eloszlasfuggvenyet.

Tetel 5.1 Klasszikus rizikofolyamat eseten Φ(u) kielegıti az alabbi integral-egyenletet:

Φ(u) = Φ(0) +λ

c

∫ u

0Φ(u− z)(1− F (z))dz . (5.5)

Bizonyıtas: A legegyszerubb, es szamos mas esetben is hasznalhatoeljaras a kis megvaltozas modszere, melyet H. Cramer [10] is hasznalt. Ugyanez matematikailag nem pontos, hiszen eleve felteszi, hogy az ismeretlen Φfuggveny derivalhato, azonban megis megismeteljuk itt, mert szamos eset-ben szolgalhat arra, hogy megsejtsuk a vegso eredmenyt, melyet aztan esetlegmas eszkozok hasznalataval bizonyıtunk.

53

Tekintsunk tehat egy rovid (0, t] intervallumot, es kulonboztessuk meg azalabbi eseteket:

(1.) nem fordul elo karesemeny a (0, t] idointervallumban,

(2.) pontosan egy karesemeny fordul elo, azonban a kar nagysaga nemokoz csodot,

(3.) pontosan egy karesemeny fordul elo, es a kar erteke nagyobb, mintaz addig felhalmozott toke,

(4.) legalabb ket karesemeny kovetkezik be.

Feltetelezve, hogy Φ derivalhato, es megbecsulve az egyes lehetosegekvaloszınusegeit, adodik, hogy

Φ(u) = (1− λt+ o(t))Φ(u+ ct) +

+ (λt+ o(t))∫ u+ct

0Φ(u+ ct− z)dF (z) + (λt+ o(t))0 + o(t) =

= (1− λt)Φ(u+ ct) + λt∫ u+ct

0Φ(u+ ct− z)dF (z) + o(t) =

= Φ(u) + ctΦ′(u)− λtΦ(u) + λt∫ u

0Φ(u− z)dF (z) + o(t)

t→ 0 eseten adodik, hogy

Φ′(u) =λ

cΦ(u)− λ

c

∫ u

0Φ(u− z)dF (z) . (5.6)

Mint emlıtettuk, ezen gondolatmenet hianyossaga, hogy eleve felhasznalja– bizonyıtas nelkul – a Φ(u) fuggveny derivalhatosagat. Annyi azonban nyil-vanvalo, hogy a Φ fuggveny legalabbis monoton no. (Nagyobb kezdotokeeseten kisebb a valoszınusege annak, hogy valamikor csod kovetkezik be.)

Tetelunkre egy, a felujıtaselmeletben gyakran hasznalt modszer alkalma-zasaval adhatunk egzakt bizonyıtast. Ennek alapotlete, hogy mivel a karese-menyeket leıro folyamat homogen Poisson-folyamat, ıgy az egyes kareseme-nyek idopontjai kozott eltelt idotartamok – ezeket jeloltuk ζi-vel – fuggetlen,azonos – exponencialis – eloszlasu valoszınusegi valtozok, es a kar nagysagatis egy fuggetlen, azonos eloszlasu sorozat ırja le. Ezert az elso karesemenyidopontjat es a kar nagysagat rogzıtve, es onnan vizsgalva a folyamatot,

54

ugyanolyan parameteru osszetett Poisson-folyamat adja meg a tovabbi karo-kat, mint kezdetben, es ez fuggetlen ζ1 es Z1 erteketol. (Specialisan Nt magafelujıtasi folyamat.) (Lasd Feller [21].) Alkalmazva a teljes valoszınusegtetelet, kapjuk, hogy

Φ(u) = E(Φ(u+ cζ1 − Z1)) =

=∫ ∞

0λe−λs

[ ∫

[0,u+cs]Φ(u+ cs− z)dF (z)

]ds .

Alkalmazzuk az x = u+ cs valtozocseret:

Φ(u) =∫ ∞u

λ

ceλu/ce−λx/c

[ ∫

[0,x]Φ(x− z)dF (z)

]dx (5.7)

Mivel a fenti egyenlet jobb oldalan u csak az integralasi hatarban es az ex-ponencialis mennyiseg kitevojeben jelenik meg, ezert Φ monotonitasa biz-tosıtja, hogy a jobb oldal folytonos fuggveny, tehat Φ folytonos, sot az integ-raleloallıtasbol adodoan abszolut folytonos is.

Vegyuk eszre, hogy ha tudjuk, hogy a Φ fuggveny derivalhato, akkor az(5.7) egyenletet u szerint derivalva kapjuk az (5.6) egyenletet.

Az altalanos esetben jelolje Φ′

a Radon–Nikodym-derivaltat.Vegyuk a (5.7) egyenlet mindket oldalanak integraljat a [0, u] intervallu-

mon. Fubini tetelenek alkalmazasaval adodik, hogy∫ u

0Φ(t) dt =

∫ ∞0

∫ min(x,u)

0

λ

ceλc

(t−x)∫

[0,x]Φ(x− z)dF (z) dt dx =

=∫ ∞

0e−

λcx∫

[0,x]Φ(x− z) dF (z)

(eλc

min(x,u) − 1)dx =

=∫ ∞u

eλc

(u−x)∫

[0,x]Φ(x− z) dF (z) dx+

+∫ u

0

∫

[0,x]Φ(x− z) dF (z) dx−

−∫ ∞

0e−

λcx∫

[0,x]Φ(x− z)dF (z)dx .

Mindket oldalt szorozva a λc

mennyiseggel es kihasznalva az (5.7) eloallı-tast, atrendezes utan adodik, hogy

Φ(u)− Φ(0) =λ

c

∫ u

0

∫

[0,x]Φ(x− z)d(1− F (z))dx+

λ

c

∫ u

0Φ(t)dt .

55

Az jobb oldal elso tagjaban parcialis integralast alkalmazva a

Φ(u)− Φ(0) =λ

c

∫ u

0[Φ(0)(1− F (x))− Φ(x)] dx+

+λ

c

∫ u

0

[∫ x

0Φ′(x− z)(1− F (z)) dz

]dx +

+λ

c

∫ u

0Φ(t) dt =

=λ

c

[Φ(0)

∫ u

0(1− F (x)) dx+

∫ u

0(1− F (z))

∫ u

zΦ′(x− z )dx dz

]=

=λ

c

[Φ(0)

∫ u

0(1− F (x)) dx+

∫ u

0(1− F (z))(Φ(u− z)− Φ(0)) dz

]

osszefuggeshez jutunk.Tehat

Φ(u) = Φ(0) +λ

c

∫ u

0Φ(u− z)(1− F (z))dz . (5.8)

Ez a bizonyıtando osszefugges. 2

Vegyuk a fenti egyenletben az u → ∞ hataratmenetet. Mivel a Φ(u)fuggveny monoton, ezert a jobb oldalon felcserelheto az integralas es a ha-tarertekkepzes sorrendje, tehat

Φ(∞) = limu→∞Φ(u) = Φ(0) +

λµ

cΦ(∞) .

[Megjegyezzuk, hogy az (5.8) egyenletbol kiindulva is megmutathato,hogy c ≤ λµ eseten Φ(u) = 0.

Ugyanis rogton adodik – felhasznalva, hogy Φ(0) ≤ Φ(∞) –, hogy Φ(0) =0. Tehat ekkor

Φ(u) =λ

c

∫ u

0Φ(u− z)(1− F (z))dz . (5.9)

Kihasznalva, hogy 1− F (z) ≤ 1, kapjuk, hogy

Φ(u) ≤ λ

c

∫ u

0Φ(u− z)dz .

56

De Φ(u) ≤ 1, ıgy Φ(u) ≤ λcu. Ezt behelyettesıtve, es iteralva a

Φ(u) ≤(λu

c

)n1

n!

becsleshez jutunk. Mivel a jobb oldal nullahoz tart n → ∞ eseten, ıgyΦ(u) = 0.]

Tegyuk fel most, hogy c > λµ. Ekkor ct−St →∞ 1 valoszınuseggel, tehatvalamely veletlentol fuggo idopont utan erteke nemnegatıv lesz. Ugyanakkormivel P

(∑∞j=1 ζj =∞

)= 1, tehat addig az idopontig 1 valoszınuseggel csak

veges ugrasa lehet az Nt Poisson-folyamatnak. Mivel ct − St erteke csakezekben az ugraspontokban, azaz a karesemenyek idopontjaiban csokkenhet,tehat inft>0(ct − St) veges valoszınusegi valtozo. Ezert limu→∞Φ(u) = 1.

Behelyettesıtve azt kapjuk, hogy Φ(0) = 1− λµc

, azaz

Ψ(0) =λµ

c. (5.10)

Vegyuk eszre, hogy ez a valoszınuseg nem fugg az F eloszlas kozvetlenalakjatol, csak a varhato erteketol.

Visszaırva ezt az (5.8) egyenletbe, kapjuk, hogy

Φ(u) = 1− λµ

c+λ

c

∫ u

0Φ(u− z)(1− F (z))dz.

Vezessuk be az α = λµc

jelolest. Felteve, hogy α < 1, az egyenletmegoldasa felırhato

Φ(u) = (1− α)∞∑

k=0

αkF(∗k)0 (u) (5.11)

alakban, ahol F0(u) =∫ u

0

1

µ(1 − F (z))dz. Ez egyszeruen belathato, ha

a jobb oldalon szereplo Φ(u − z) fuggvenyre alkalmazzuk az egyenletboladodo alakot, az ıgy kapott kettos integralban felcsereljuk az integralasoksorrendjet, es ezt az eljarast iteraljuk. A konvergenciat az α < 1 feltetel biz-tosıtja. Az (5.11) osszefugges voltakeppen nem mas, mint a tomegkiszolgalaselmeleteben ismert Pollaczek–Hincsin-formula. A biztosıtasmatematikai iro-dalom gyakran Beekman-fele konvolucios kepletnek nevezi.

Vegyuk eszre, hogy∫ ∞

0F0(u)du = 1.

A fenti vegtelen sor alkalmas arra, hogy annak veges szeletet tekintveapproximaljuk az ismeretlen Φ(t) erteket.

57

5.2. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese

Terjunk vissza az (5.8) egyenlethez. Altalanos F fuggveny eseten zart exp-licit alakban nem lehet felırni a megoldast, azonban a kapott integralegyenletalkalmas arra, hogy megvizsgaljuk, hogy kezdotoke emelese – azaz u −→ ∞– eseten milyen sebesseggel konvergal nullahoz a tonkremenes valoszınusege.Ehhez elobb rovid kiterot kell tennunk – felujıtaselmeleti fogalmakat, tetele-ket tekintunk at.

Mint mar emlıtettuk, felujıtasi folyamathoz jutunk, ha tekintjuk fug-getlen, azonos eloszlasu, nemnegatıv erteku valoszınusegi valtozok ζi, i =1, 2, . . . sorozatat [jelolje az eloszlasfuggvenyuket G(z)]. Ezeket egy folya-mat egymas utani ugrasai kozott eltelt idotartamnak tekintjuk. Azaz legyenτn =

∑ni=1 ζi es Nt = minn ≥ 1 : τn > t. Poisson-folyamatot kapunk

akkor, ha a ζj valoszınusegi valtozok exponencialis eloszlasuak.Legyen H(t) = E(Nt) , t ≥ 0. Ekkor H(t) kielegıti az alabbi egyenletet:

H(u) = 1 +∫

[0,u]H(u− t)dG(t) . (5.12)

Ez konnyen lathato abbol, hogy Nt = 1 +∑∞n=1 χτn≤t, ezert

H(t) = 1 +∞∑

n=1

G(∗n)(t) ,

ami valoban eleget tesz a fenti egyenletnek. Ezen egyenlet altalanosıtasa azun. felujıtasi egyenlet. Tegyuk fel, hogy f(t) rogzıtett fuggveny. A

h(u) = f(u) +∫

[0,u]h(u− z)dG(z) (5.13)

egyenletet felujıtasi egyenletnek nevezik. Ennek megoldasa felırhato a korab-ban bevezetett H(u) fuggveny segıtsegevel.

Tetel 5.2 Ha az fuggveny f(t) lokalisan korlatos, akkor az (5.13) felujıtasiegyenletnek letezik egyertelmu megoldasa a lokalisan korlatos fuggvenyek ko-reben, es ez felırhato

h(u) =∫

[0,u]f(u− t)dH(t)

alakban.

58

A megoldasok aszimptotikus viselkedesevel kapcsolatosak az alabbi tete-lek.

Tetel 5.3 (Elemi felujıtasi tetel) Ha E(ζi) = m veges, akkor

limt→∞

H(t)

t=

1

m. (5.14)

E tetel szemleletes jelentese nyilvanvalo. Ha atlagosan m idokozonkentjonnek a felujıtasi pontok, akkor a [0, t] intervallumon nagy t ertek mellettatlagosan 1/m felujıtas lesz.

Ehhez hasonlo allıtast lehet megfogalmazni tetszoleges – rogzıtett hosszu-sagu – intervallum eseten is. Ebbol a szempontbol azonban meg kell kulon-boztetnunk az eloszlasok ket nagy csoportjat. Azt mondjuk, hogy a ζ valo-szınusegi valtozo racsos eloszlasu, ha letezik olyan δ > 0 ertek, hogy ζ pozitıvvaloszınuseggel csak kδ alaku erteket vehet fel, ahol k ≥ 0, egesz szam. Alegnagyobb ilyen tulajdonsagu δ ertek a racsallando.

Tetel 5.4 Tegyuk fel, hogy m veges.

(i) Ha ζi nem racsos eloszlasu, akkor

limt→∞

H(t+ s)−H(t)

s=

1

m. (5.15)

(ii) Ha ζi racsos eloszlasu, es δ a racsallando, akkor

limn→∞

H(nδ + δ)−H(nδ)

δ=

1

m. (5.16)

A felujıtasi egyenlet megoldasanak aszimptotikajat vizsgalja az alabbitetel.

Tetel 5.5 Tegyuk fel, hogy m veges.

(i) Ha ζi nem racsos eloszlasu, es f korlatos, monoton fuggveny, melyintegralhato a [0,∞) halmazon, akkor

limt→∞h(t) =

1

m

∫ ∞0

f(t) dt . (5.17)

59

(ii) Ha ζi racsos eloszlasu, δ a racsallando, akkor

limn→∞h(nδ + s) =

δ

m

∑

k≥0

f(kδ + s) , (5.18)

felteve, hogy a jobb oldalon allo sor abszolut konvergens.

Terjunk vissza az (5.8) egyenlethez. Mivel limu→∞Φ(u) = 1, ezert azaszimptotikus viselkedes elemzese soran celszerubb a Ψ(u) = 1− Φ(u) fugg-venyt vizsgalni. Mint lattuk, a megfelelo egyenlet:

Ψ(u) =λ

c

∫ ∞u

(1− F (z))dz +λ

c

∫ u

0Ψ(u− z)(1− F (z))dz .

(5.19)

Mivelλ

c

∫ ∞0

(1 − F (z))dz =λ

cµ erteke nem feltetlenul 1, ezert ez nem

tiszta felujıtasi egyenlet. Bizonyos feltetelek mellett azonban atalakıthatofelujıtasi egyenlette.

Definıcio 5.1 Legyen h(r) =∫∞0 erzdF (z)− 1 .

Azaz h(r) a Z1, Z2, . . . valtozok kozos momentumgeneralo fuggvenyenek1-gyel csokkentett erteke.

F (z) nemnegatıv valoszınusegi valtozok kozos eloszlasfuggvenye, ezertr ≤ 0 eseten h(r) biztosan veges. h(0) = 0. Ugyanakkor vegyuk eszre, hogyh(r) szigoruan konvex fuggveny, ezert a h(r) = cr/λ egyenletnek legfeljebbegy pozitıv gyoke lehet.

Az 5.5 tetel alkalmazasaval bizonyıthatjuk a kovetkezo tetelt.

Tetel 5.6 (Cramer–Lundberg-approximacio) Tegyuk fel, hogy a

c

λ=h(r)

r

egyenletnek letezik pozitıv megoldasa. Jelolje ezt R. Tegyuk fel, hogy h(r)veges R valamely pozitıv sugaru kornyezeteben. Ekkor

limu→∞ e

RuΨ(u) =c− λµ

λh′(R)− c . (5.20)

60

Bizonyıtas: Mivelc

λ=h(R)

R,

ezert parcialis integralassal kapjuk, hogy

λ

c

∫ ∞0

eRz(1− F (z))dz = 1 .

Megszorozva az (5.19) egyenlet mindket oldalat eRu-val, a

eRuΨ(u) =λ

ceRu

∫ ∞u

(1− F (z))dz +λ

c

∫ u

0eR(u−z)Ψ(u− z)eRz(1− F (z))dz

felujıtasi egyenletre jutunk, melyben az egymas utani felujıtasi pontok kozti

ido eloszlasat azλ

ceRz(1−F (z)) surusegfuggvenyu abszolut folytonos eloszlas

adja meg, ezert alkalmazhatjuk az (5.5) tetelt. Adodik, hogy

limu→∞ e

RuΨ(u) =K1

K2

, (5.21)

ahol K1 =λ

c

∫ ∞0

eRu∫ ∞u

(1− F (z))dzdu (5.22)

K2 =λ

c

∫ ∞0

zeRz(1− F (z))dz . (5.23)

Megmutatjuk, hogy K1 es K2 erteke pozitıv es veges. Parcialis integra-lassal adodik, hogy

K1 = − λ

cR

∫ ∞0

(1− F (z))dz +λ

c

∫ ∞0

1

ReRz(1− F (z))dz =

=1

R

(1− λµ

c

).

Ugyanakkor, mivel h(r) veges R pozitıv kornyezeteben, ezert ott derivalhatois, es h′(R) =

∫∞0 zeRzdF (z) .

Mivel a zeRz(1 − F (z)) fuggveny nem azonosan nulla, ezert K2 6= 0.Feltevesunk szerint letezik olyan pozitıv ε, melyre

h(R + ε) <∞ ,

61

ıgyez(R+ε/2)(1− F (z))

exponencialis sebesseggel tart nullahoz, tehat∫ ∞

0zeRz(1− F (z))dz <∞ ,

azaz K2 veges.

Felhasznalva, hogy[(

zR− 1

R2

)eRz

]′= zeRz, ismet parcialis integralassal

igazolhato, hogy

K2 =λ

c

[∫ ∞0

(z

R− 1

R2

)eRzdF (z) +

1

R2

]=

=λ

c

[h′(R)

R− c

λR

].

Ezeket osszevetve a

limu→∞ e

RuΨ(u) =(1− λµ

c)

(h′(R)− cλ)λc

osszefuggest kapjuk, ami a bizonyıtando allıtas. 2

Igy tehat e−Ru adja meg a pontos konvergenciasebesseget a Ψ(u) → 0osszefuggesben. R-et szokas Lundberg-kitevonek, vagy illeszkedesi egyuttha-tonak nevezni.

Pelda: Exponencialis eloszlasu karigenyek eseten

h(r) =1

µ

∫ ∞0

erze−z/µdz − 1 =µr

1− µr .

Ezert

R = −λc

+1

µ.

Kozvetlen szamolas adja ugyancsak, hogy

K1

K2

=λµ

c.

A 5.4. alfejezetben a Cramer-egyenlet megoldasat vizsgaljuk specialis el-oszlasok eseten. Latni fogjuk, hogy exponencialis eloszlasu karigenyek esetena Cramer–Lundberg-approximacio a pontos erteket adja.

62

5.3. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese kie-melkedo egyedi karok eseten

A csod valoszınusegenek aszimptotikajat leıro 5.6 tetel, amely a felujıtasiegyenletek elmeletet hasznalja, alapfeltevese, hogy alkalmas transzformacio-

val az (5.19) egyenlet felujıtasi egyenlette alakıthato, azaz ac

λ=h(r)

regyen-

letnek letezik pozitıv megoldasa.Tegyuk fel most, hogy a kar nagysagat megado Z valoszınusegi valtozok

Pareto-eloszlasuak. (Lasd 9.8. alfejezet.) Megmutathato, hogy ekkor az 5.19egyenlet nem alakıthato at felujıtasi egyenlette. Valoban, ekkor tetszolegesr > 0 eseten ∫ ∞

0erz

[β

β + z

]αdz =∞ ,

tehat erre az esetre az exponencialis sebesseget biztosıto Cramer–Lundberg-becsles nem alkalmazhato.

Ebben a reszben azt vizsgaljuk meg, hogyan lehet masfajta gondolatme-net alkalmazasaval olyan karigenyeloszlasok eseten is vizsgalni a csodvaloszı-nuseg aszimptotikajat, melyekben P (Z1 > x) x → ∞ eseten nem expo-nencialis sebesseggel tart nullahoz, azaz a kiemelkedo kar valoszınusege na-gyobb, mint peldaul az exponencialis eloszlas eseten.

A kiindulo pont az (5.11) eloallıtas lesz. Mindket oldalat levonva azazonosan 1 fuggvenybol, Ψ(t) eloallıtasat kapjuk meg. Mivel

∑∞k=0 α

k =(1− α)−1, ezert az alabbi alakhoz jutunk:

Ψ(t) = (1− α)∞∑

k=0

αk(1− F (∗k)

0 (t)). (5.24)

Kiemelkedo karok eseten a teljes karnagysag erteket lenyegeben az egy-ketnagy kar erteke hatarozza meg.

Ennek pontosabb kifejtesehez tegyuk fel, hogy ξ1, ξ2, . . . fuggetlen, azonoseloszlasu, nemnegatıv erteku valoszınusegi valtozok, melyek kozos eloszlas-fuggvenye G.

Jelolje Xn =∑nk=1 ξk a reszletosszeg-sorozatot, Mn = maxk=1,...,n ξk pedig

63

a maximumok sorozatat. Ekkor

P (Mn ≥ x) = 1− P (Mn < x) =

=n∑

k=1

P (ξk ≥ x)P ( maxj=1,...,k−1

ξj < x) =

=n∑

k=1

(1−G(x))Gk−1(x) .

Mivel x → ∞ eseten G(x) → 1, ezert, ha 1 − G(x) > 0 minden veges xeseten, akkor

limx→∞

P (Mn ≥ x)

n (1−G(x))→ 1 . (5.25)

Ugyanakkor P (Xn ≥ x) = 1−G(∗n)(x). Ennek osszevetese az (5.25) osszefug-gessel indokolja a kovetkezo definıciot.

Definıcio 5.2 Legyen G olyan eloszlasfuggveny, melyre G(0) = 0 es G(z) <1 tetszoleges z eseten.

Ha tetszoleges n ≥ 2 eseten teljesul a

limz→∞

1−G(∗n)(z)

1−G(z)= n (5.26)

osszefugges, akkor G un. szubexponencialis eloszlasfuggveny.

Vegyuk eszre, hogy mivel a nemnegatıv szamok koncentralt eloszlasokeseten

G(∗n)(z) ≤ G(z)n ,

ezert1−G(∗n)(z)

1−G(z)≥ 1−Gn(z)

1−G(z)=

n∑

k=1

G(k−1)(z) .

Tehat tetszoleges nemnegatıv erteku valoszınusegi valtozo eloszlasfuggve-nyere fennall a

lim infz→∞1−G(∗n)(z)

1−G(z)≥ n (5.27)

64

egyenlotlenseg.A szubexponencialis eloszlas konvoluciohatvanyainak keverekekent elo-

allıthato eloszlasok tulajdonsagaira es kapcsolataikra mutat ra a kovetkezotetel.

Tetel 5.7 (Lasd Embrechts, Kluppelberg, Mikosch [20]) Legyen pk, k =0, 1, . . . adott valoszınusegeloszlas, melyre valamely ε > 0 eseten

∞∑

k=1

pk (1 + ε)k <∞

teljesul. (Maskeppen fogalmazva a pk, k ≥ 0 altal meghatarozott eloszlasgenerator fuggvenye az 1 valamely jobboldali kornyezeteben is veges.)

Legyenek tovabba G,H adott eloszlasfuggvenyek, G(0) = 0, H(0) = 0 es

H =∞∑

k=0

pkG(∗k) . (5.28)

Ekkor,

(i) ha G szubexponencialis eloszlasfuggveny, akkor

limz→∞1−H(z)

1−G(z)=∞∑

k=1

kpk . (5.29)

(ii) Megfordıtva, ha (5.29) teljesul es valamely l ≥ 2 eseten pl > 0, akkorG szubexponencialis.

(iii) Ha G szubexponencialis es valamely l ≥ 1 eseten pl > 0, akkor H isszubexponencialis eloszlasfuggveny.

Bizonyıtas: (i) Az (5.28) eloallıtas alapjan

1−H(z)

1−G(z)=∞∑

k=0

pk1−G(∗k)(z)

1−G(z). (5.30)

A kesobb bizonyıtando 5.1 Lemma alapjan letezik olyan K, melyre

0 ≤ 1−G(∗k)(z)

1−G(z)≤ K (1 + ε)k ,

65

tetszoleges z ≥ 0 eseten.Ezert az (5.30) jobb oldalan allo sor egyenletesen konvergens [0,∞) hal-

mazon, tehat – kihasznalva a szubexponencialis eloszlasfuggveny tulajdonsa-gat – a z →∞ hatarertek tagonkent veheto, ezert (5.29) teljesul.

(ii) Legyen l ≥ 2 olyan ertek, melyre pl > 0. Ekkor

pl1−G(∗l)(z)

1−G(z)=

1−H(z)

1−G(z)−

∞∑

k=0, k 6=lpk

1−G(∗k)(z)

1−G(z).

A jobb oldal elso tagjara az (5.29) feltetelt, a masodik tagra pedig a Fatou-lemmat alkalmazva (5.27) alapjan

pl lim supz→∞

1−G(∗l)(z)1−G(z)

≤ pll .

pl pozitivitasa es a 5.1 lemma (ii) pontja alapjan tehat G szubexponencialiseloszlasfuggveny.

(iii) Az allıtas bizonyıtasahoz az 5.1 Lemma alapjan eleg a1−H(∗2)(z)

1−H(z)hanyados viselkedeset vizsgalni.

Az (5.28) eloallıtas alapjan

1−H(∗2)(z)

1−G(z)=∞∑

k=0

k∑

j=0

pjpk−j1−G(∗k)(z)

1−G(z).

Ezert – bevezetve az l = k − j valtozocseret –

limz→∞1−H(∗2)(z)

1−G(z)=

∞∑

k=0

k∑

j=0

pjpk−jk =

=∞∑

j=0

∞∑

l=0

pjplj +∞∑

j=0

∞∑

l=0

pjpll =

= 2∞∑

k=1

kpk .

A hatarertek es az osszegzes felcserelhetosege az (i) pontban kovetetthezhasonloan igazolhato.

66

Felhasznalva az (i) pont allıtasat, es hogy a felteves alapjan∑∞k=1 kpk 6= 0,

kapjuk, hogy1−H(∗2)(y)

1−H(z)→ 2 .

Igy az 5.1 lemma alapjan H is szubexponencialis eloszlasfuggveny. 2

Lemma 5.1 Legyen G olyan eloszlasfuggveny, melyre G(0) = 0. Ekkor,

(i) ha G szubexponencialis, akkor

limz→∞

1−G(z − y)

1−G(z)= 1 , (5.31)

ahol a konvergencia y szerint veges intervallumon egyenletesen teljesul;

(ii) ha valamely k ≥ 2 eseten

lim supz→∞1−G(∗k)(z)

1−G(z)≤ k , (5.32)

akkor G szubexponencialis;

(iii) ha G szubexponencialis es ε > 0, akkor letezik olyan K, melyre

1−G(∗k)(z)

1−G(z)≤ K (1 + ε)k , (5.33)

minden k ≥ 2 es z ≥ 0 eseten.

(iv) ha G szubexponencialis es H olyan eloszlasfuggveny, melyre

limx→∞1−H(z)

1−G(z)= c ,

ahol 0 < c <∞, akkor H is szubexponencialis eloszlasfuggveny.

Bizonyıtas: (i) Feltehetjuk, hogy y > 0. Legyen z > y. Mivel

G(∗2)(z) =∫

[0,z)G(z − t) dG(t) ,

67

ezert

1−G(∗2)(z)

1−G(z)= 1 +

∫

[0,z)

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t) . (5.34)

Bar a fenti egyenlotlenseg az (5.35) specialis esete kulon bizonyıtjuk, mertennek igazolasa nem igenyli a kesobb alkalmazando bonyolultabb gondo-latmenetet.Az integalt kettebontva a [0, y), illetve [y, z) szakaszokra, a [0, y) tartomanyon

az1−G(z − t)

1−G(z)≥ 1, az [y, z) tartomanyon a

1−G(z − t)1−G(z)

≥ 1−G(z − y)

1−G(z)becslest alkalmazva kapjuk, hogy

1−G(∗2)(z)

1−G(z)≥ 1 +G(y) +

1−G(z − y)

1−G(z)(G(z)−G(y)) .

Mivel G erteke sehol sem 1, ezert rogzıtett y eseten letezik olyan z > y,melyre G(z) > G(y). Atrendezes utan tehat

1 ≤ 1−G(z − y)

1−G(z)≤(

1−G(∗2)(z)

1−G(z)− 1−G(y)

)(G(z)−G(y))−1 .

z →∞ eseten a jobb oldal 1-hez tart. A kozepso tag y szerinti monotonitasabiztosıtja az egyenletes konvergenciat veges intervallumon.

(ii) Tetszoleges m eseten

1−G(∗(m+1))(z) = 1−G(∗m)(z) +∫

[0,z)(1−G(z − t)) dG(∗m)(t) ≥

≥ 1−G(∗m)(z) + (1−G(z))G(∗m)(z) .

Osztva az 1−G(z) mennyiseggel es veve a lim sup erteket, kapjuk, hogy

lim sup1−G(∗(m+1))(z)

1−G(z)≥ lim sup

1−G(∗m)(z)

1−G(z)+ 1 .

Rekurzıven alkalmazva a

lim sup1−G(∗2)(z)

1−G(z)≤ 2

osszefuggest kapjuk. Eleg tehat k = 2 eseten bizonyıtani az allıtast.

68

Mivel G(∗2)(z) ≤ G2(z), hiszen G nemnegatıv erteku valoszınusegi valtozoeloszlasfuggvenye, ezert, ha k = 2 mellett (5.32) teljesul, akkor

limz→∞

1−G(∗2)(z)

1−G(z)= 2 .

Indukcioval megmutatjuk, hogy ekkor (5.26) tetszoleges k eseten teljesul.Tegyuk fel, hogy k = m eseten mar teljesul, es hasznaljuk fel a

1−G(∗(m+1))(z)

1−G(z)= 1 +

G(z)−G(∗(m+1))(z)

1−G(z)=

= 1 +∫

[0,z)

1−G(∗m)(z − t)1−G(z)

dG(t) (5.35)

osszefuggest. Bontsuk fel az integralasi tartomanyt ket reszre:

[0, z) = [0, z − y) ∪ [z − y, z) .

Mivel 0 ≤ t < z − y eseten y < z − t ≤ z, tehat tetszoleges ε > 0 eseten yerteket eleg nagyra valasztva elerheto, hogy

1−G(∗m)(z − t)1−G(z − t) ≤ m+ ε

teljesuljon, midon 0 ≤ t < z − y. Ugyanakkor az (5.34) osszefuggesbol

∫

[0,z−y)

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t) =G(z)−G(∗2)(z)

1−G(z)−

−∫

[z−y,z)1−G(z − t)

1−G(z)dG(t)

adodik. Tovabba rogzıtett y eseten

1−G(∗m)(z − t)1−G(z − t) ≤ K(y) ,

ha z − y ≤ t < z, azaz ha 0 < z − t ≤ y, alkalmas K(y) konstans eseten.

69

Tehat (5.35) ıgy ırhato:

1−G(∗(m+1))(z)

1−G(z)≤ 1 + (m+ ε)

(G(z)−G(∗2)(z)

1−G(z)G(z − y)

)+

+∫

[z−y,z)1−G(z − t)

1−G(z)dG(t) [K(y)− (n+ ε)] .

Ugyanakkor

0 ≤∫

[z−y,z)1−G(z − t)

1−G(z)dG(t) ≤ G(z)−G(z − y)

1−G(z)→ 0

(5.36)

z →∞ eseten, a mar bizonyıtott (i) alapjan.Ebbol kovetkezoen tetszoleges ε > 0 mellett

lim supz→∞

1−G(∗(m+1))(z)

1−G(z)≤ 1 +m+ ε ,

bizonyıtva az indukcios lepes helyesseget.

(iii) Legyen αk = supz≥0

1−G(∗k)(z)

1−G(z). (5.35) alapjan tetszoleges T < ∞

eseten

αm+1 = 1 + sup0<z

∫

[0,z)

1−G(∗m)(z − t)1−G(z)

dG(t) =

= 1 + sup0<z≤T

∫

[0,z)

1−G(∗m)(z − t)1−G(z)

dG(t) +

+ supT<z

∫

[0,z)

1−G(∗m)(z − t)1−G(z − t)

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t) ≤

≤ 1 +1

1−G(T )+ αm sup

T<z

G(z)−G(∗2)(z)

1−G(z).

MivelG(z)−G(∗2)(z)

1−G(z)=

1−G(∗2)(z)

1−G(z)− 1, ezert T erteket eleg nagyra va-

lasztva elerheto, hogy ez 1 + ε alatt maradjon. Tehat ezen T mellett

αm+1 ≤ 1 +1

1−G(T )+ αm (1 + ε) .

70

Iteralva az

αn ≤(

1 +1

1−G(T )

)(1 + ε)n

ε

egyenlotlenseghez jutunk, igazolva az (iii) allıtast.Vegyuk eszre, hogy (iii) bizonyıtasa soran a szubexponencialitast karak-

terizalo hatarertekek kozul csak a k = 2 esetnek megfelelot hasznaltuk.(iv) Az (ii) resz allıtasat akarjuk hasznalni k = 2 eseten. Legyen y > 0

rogzıtett szam. Ha most ξ es η tetszoleges valoszınusegi valtozok, akkorz > 2y eseten

ξ + η ≥ z = ξ < y, ξ + η ≥ z ∪ η < y, ξ + η ≥ z ∪∪ y ≤ ξ < z − y, ξ + η ≥ z ∪ ξ ≥ z − y, η ≥ y .

Tehat

1−H(∗2)(z)

1−H(z)= 2

∫

[0,y)

1−H(z − t)1−H(z)

dH(t) +∫

[y,z−y)

1−H(z − t)1−H(z)

dH(t) +

+1−H(z − y)

1−H(z)(1−H(y)) .

Az elso integral becslesehez vegyuk eszre, hogy

1 ≤ 1−H(z − t)1−H(z)

≤ 1−H(z − y)

1−H(z),

ha 0 ≤ t < y, es mivel az (1−H)/(1−G) hanyados erteke aszimptotikusanc, ezert az 1 − H mennyiseget a felso becsles nevezojeben es szamlalojabanis 1−G-re cserelve, az (i) pont alapjan kapjuk, hogy az integral hatarertekeH(y).

Ugyanıgy a harmadik tag hatarerteke 1−H(y).A masodik integral becslesehez legyen 0 < ε < c. Letezik olyan z0 < ∞

ertek, melyre z ≥ z0 eseten

c− ε ≤ 1−H(z)

1−G(z)≤ c+ ε .

Tehat, ha y eleg nagy es y ≤ t < z − y, akkor

1−H(z − t)1−G(z − t) ≤ c+ ε ,

1−H(z)

1−G(z)≤ 1

c− ε .

71

Igy az ezen felso becslesek alkalmazasa utan a H fuggveny altal generaltmertekrol az 1−H fuggveny altal generaltra atteres utan elvegzett parcialisintegralas, t 7→ z − t valtozocsere, majd az 1−G fuggvenyrol a G fuggvenyvisszateres es ismet az elozo felso becsles felhasznalasa utan kapjuk, hogy

∫

[y,z−y)

1−H(z − t)1−H(z)

dH(t) ≤ c+ ε

c− ε∫

[y,z−y)

1−G(z − t)1−G(z)

dH(t) =

=c+ ε

c− ε

(1−G(z − y)

1−G(z)(1−H(y))− 1−G(y)

1−G(z)(1−H(z − y))−

−∫

(y,z−y]

1−H(z − t)1−G(z)

d (1−G(t))

)≤

≤ c+ ε

c− ε

(1−G(z − y)

1−G(z)(1−H(y))− (1−G(y))

1−H(z)

1−G(z)

1−H(z − y)

1−H(z)+

+ (c+ ε)∫

(y,z−y]

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t)

)

A

∫

(y,z−y]

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t) =1−G(∗2)(z)

1−G(z)− 1−

−∫

[0,y]

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t)−∫

(z−y,z)1−G(z − t)

1−G(z)dG(t)

osszefugges alapjan, kihasznalva, hogy G szubexponencialis, tovabba a marbizonyıtott (i) reszt es az (5.36) becslest, kapjuk, hogy

limz→∞

∫

(y,z−y]

1−G(z − t)1−G(z)

dG(t) = 1−∫

[0,y]dG(t)

Tehat

lim supz→∞

∫

[y,z−y)

1−H(z − t)1−H(z)

dH(t) ≤

≤ c+ ε

c− ε ((1−H(y))− c(1−G(y)) + (c+ ε)(1−G(y))) .

72

Igy

lim supz→∞

1−H(∗2)(z)

1−H(z)≤ 2H(y) +

+c+ ε

c− ε ((1−H(y))− c(1−G(y)) + (c+ ε)(1−G(y))) +

+ (1−H(y))→ 2 ,

veve az y → ∞ hatarerteket. A mar bizonyıtott (ii) tulajdonsag alapjan ezigazolja, hogy H szubexponencialis eloszlasfuggveny. 2

Alkalmazzuk az 5.7 tetelt a csodvaloszınuseget megado (5.24) oszefugges-re. Az alabbi kovetkezmenyt fogalmazhatjuk meg.

Kovetkezmeny 5.1 (Lasd Embrechts, Kluppelberg, Mikosch [20].) A kar-nagysagot leıro Z1, Z2, . . . valoszınusegi valtozok kozos eloszlasfuggvenye le-gyen F . Tegyuk fel, hogy teljesul a λµ < c egyenelotlenseg.

(i) Ha az F0(z) =1

µ

∫ z

0(1 − F (t)) dt osszefuggessel definialt eloszlasfugg-

veny szubexponencialis, akkor

limu→∞

ψ(u)

1− F0(u)=

λµ

c− λµ . (5.37)

(ii) Ha

limu→∞

ψ(u)

1− F0(u)=

λµ

c− λµ ,

akkor F0 szubexponencialis.

Bizonyıtas: Az (5.11) eloallıtas mutatja, hogy az 5.7 tetel alkalmazhato.

Mivel esetunkben pk = (1− α)αk, ahol α =λµ

c, ezert az (i) allıtasban adodo

hatarertekα

1− α lesz.

Az (ii) allıtas azonnali kovetkezmenye az 5.7 tetel (ii) reszenek. 2

Megmutathato, hogy ha G szubexponencialis, akkor tetszoleges ε > 0eseten

eεz(1−G(z))→∞ ,

73

ha z → ∞, tehat az elozo kovetkezmeny alkalmazhatosaga kizarja ψ(z) ex-ponencialis sebessegu konvergenciajat.

Megjegyzendo, hogy ha F a Pareto-, lognormalis-, Weibull(0 < τ < 1)-,loggamma-eloszlasok valamelyikenek eloszlasfuggvenye, akkor alkalmazhatoaz 5.1 kovetkezmeny.

Kisse altalanosabban az alabbi tetel fogalmazhato meg, melyet bizonyıtasnelkul kozlunk.

Tetel 5.8 Legyen F a fuggetlen karnagysagok kozos eloszlasfuggvenye, to-vabba F0(z) = 1

µ

∫ z0 (1− F (t) dt.

(i) Ha F varhato erteke veges es

lim supz→∞

1− F (z)

1− F (2z)<∞ ,

akkor F0 szubexponencialis.

(ii) Tegyuk fel, hogy F abszolut folytonos, surusegfuggvenye f . Ha

lim supz→∞

f(z)

1− F (z)<∞ ,

akkor F0 szubexponencialis.

Az 5.7 tetel nemcsak a csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedesenekvizsgalatara alkalmazhato, hanem az adott intervallumon bekovetkezo ossz-kar nagysaganak elemzesere is. Nevezetesen az alabbi tetel teljesul.

Tetel 5.9 Tegyuk fel, hogy a Z1, Z2, . . . fuggetlen, nemnegatıv erteku valo-szınusegi valtozok kozos eloszlasfuggvenye szubexponencialis. Legyen

S =N∑

k=0

Zk ,

ahol N a Z sorozattol fuggetlen, nemnegatıv egesz erteku valtozo, melyrevalamely ε > 0 eseten

∞∑

k=0

(1 + ε)kP (N = k) <∞ .

74

EkkorP (S ≥ z)

P (Z1 ≥ z)→ E(N) ,

ha z →∞.Specialisan, ha N λ parameteru Poisson-eloszlasu, akkor a hatarertek λ,

ha N n-edrendu, p parameteru negatıv binomialis eloszlasu, akkor pedig n1−pp

.

Bizonyıtas: A 5.7 tetel alkalmazhato, hiszen S eloszlasa eloall Z elosz-lasa konvoluciohatvanyainak keverekekent, ahol a keverekeloszlast eppen Neloszlasa adja. A hatarertek

∑∞k=1 kP (N = k) = E(N) lesz.

A Poisson-eloszlasra es a negatıv binomialis eloszlas esetere vonatkozoallıtas csak ezen eloszlasok varhato ertekenek konkret alakjat hasznalja fel.2

A fenti feltetelek mellett jelolje M = supk=0,...,N Zk a maximum erteket.Ekkor

P (M ≥ z) =∞∑

k=0

P(Zk+1 ≥ z, max

j=1,...,kZj < z,N > k

)=

=∞∑

k=0

P (Zk+1 ≥ z)P ( maxj=1,...k

Zj < z)P (N > k) =

= P (Z1 ≥ z)∞∑

k=0

P (Z1 < z)k P (N > k) ,

kihasznalva a valtozok feltett fuggetlenseget. Mivel

limz→∞

∞∑

k=0

P (Z1 < z)k P (N > k) =∞∑

k=0

P (N > k) = E(N) ,

ezertP (M ≥ z)

P (Z1 ≥ z)→ E(N) ,

azaz

limz→∞

P (S ≥ z)

P (M ≥ z)= 1 .

Azaz szubexponencialis esetben az osszkar erteke ugy tud nagy lenni, habekovetkezett karok valamelyikenek erteke kiugroan nagy lesz.

75

5.4. A Cramer-egyenlet megoldasa specialis eloszlasokeseten

Terjunk vissza az (5.8) egyenlethez. A megoldas aszimptotikus viselkedesehelyett most annak tenyleges eloallıtasat vizsgaljuk. Megmutatjuk, hogybizonyos specialis esetekben expliciten megoldhato.

A legegyszerubb eset, mikor a Zi valoszınusegi valtozok exponencialiseloszlasuak. Ekkor parameteruk 1/µ, hiszen EZi = µ. Behelyettesıtve az1− F (z) = e−z/µ erteket az (5.8) egyenletbe, derivalas utan kapjuk, hogy

Φ′(u) =

λ

cΦ(u)− λ

µc

∫ u

0Φ(z)e−(u−z)/µdz .

Ujra derivalva

Φ′′(u) =λ

cΦ′(u)− λ

µcΦ(u) +

1

µ

(λ

cΦ(u)− Φ′

)=

=

(λ

c− 1

µ

)Φ′(u) .

Kihasznalva, hogy Φ(0) = 1− λµc

es Φ(∞) = 1, adodik, hogy a megoldas

Ψ(u) =λµ

ce−

c−λµµc

u .

Ez mutatja tehat, hogy exponencialis eloszlasu karok eseten a Cramer-Lundberg approximacio pontos erteket ad.

Megjegyezzuk, hogy ehhez hasonlo eljarassal meg lehet hatarozni Φ(u)explicit erteket olyan kareloszlasok eseten, melyek exponencialis eloszlasokkeverekei, tehat

F (z) =k∑

1

(1− e−zβk)pk

(lasd Gerber [23]), sot vegtelen keverek eseten is

F (z) =∫ ∞

0(1− e−zβ)dV (β) ,

ahol V (β) alkalmas kevero eloszlas. Ebbe az osztalyba mar szamos jol ismerteloszlas beletartozik, pl. a Pareto-eloszlas, bizonyos Γ-eloszlasok, lognormalis

76

eloszlas. Megmutathato, hogy ebben az esetben a Φ(u) fuggveny szintenexponencialis fuggvenyek kevereke.

Vizsgaljuk kicsit reszletesebben a veges sok exponencialis eloszlas keve-rekenek esetet. Tegyuk fel tehat, hogy

1− F (z) =n∑

k=1

pke−zβk , ahol pk > 0,

∑pk = 1 .

Kiszamolva ennek varhato erteket, kapjuk, hogy∑k pk/βk = µ. Tegyuk

fel, hogy c > µλ. Rendezzuk a kitevok egyutthatoit novekvo sorrendbe:0 < β1 < · · · < βn.

Irjuk at az (5.8) egyenletet a Ψ(u) fuggvenyre. Kapjuk, hogy

Ψ(u) =λ

c

∫ ∞u

(1− F (z))dz +λ

c

∫ u

0Ψ(u− z)(1− F (z))dz .

(5.38)

Keressuk az ismeretlen fuggvenyt Ψ(u) =∑nk=1 qke

−rku alakban. Behelyet-tesıtve 1− F (z) es Ψ(u) feltetelezett alakjait, a

∑qke−rku =

λ

c

[∑

i

∑

k

piqk

∫ u

0e−βiz−rk(u−z)dz +

∑

i

pi

∫ ∞u

e−βizdz

]

egyenletet kapjuk. Ezek az integralok kiszamolhatoak:

∫ u

0e−βiz−rk(u−z)dz =

e−βiu − e−rkurk − βi ,

∫ ∞u

e−βizdz =e−βiz

βi.

Ezeket beırva a fellepo exponencialis fuggvenyek egyutthatoinak osszehason-lıtasabol kapjuk, hogy (a qke

−rku fuggvenyt figyelembe veve)

1 =λ

c

∑

i

piβi − rk ,

illetve (a pie−βiz egyutthatoi alapjan)

1

βi=∑

k

qkβi − rk .

77

Az elso egyenlet alkalmas az ismeretlen rk kitevok meghatarozasara. Ezektehat gyokei a ∑

i

piβi − r −

c

λ= 0

egyenletnek. Atszorozva a nevezokkel, a feladat n-edfoku polinom gyokhe-lyeinek megkeresesere vezet, melynek pontosan n gyoke van. Mivel a 0-bana bal oldal erteke eppen µ− c/λ, mely negatıv, es minden egyes βi helyen abal oldali hatarertek ∞, a jobb oldali pedig −∞, ezert a (0, β1), (βi, βi+1),i = 1, . . . n− 1 intervallumok mindegyikeben elojelet valt a jobb oldal, tehat– mivel itt a fuggveny folytonos – ezek mindegyikeben letezik gyok. Azaz

0 < r1 < β1 < r2 < β2 < · · · < rn < βn .

Az rk gyokok ismereteben a qk mennyisegekre linearis egyenletrendszeradodik (lasd [6]).

Letezik az eloszlasoknak egy ennel bovebb osztalya, melyre megadhatoexpliciten a tonkremenes valoszınusege. (Pontosabban fogalmazva explicitenfelırhato a Ψ(u) fuggveny, ez azonban meg nem jelenti azt, hogy rogzıtettu eseten egyszeru kiszamolni az erteket.) Ez az eloszlasosztaly az un. fazistıpusu eloszlasok osztalya.

Legyen d > 0 egesz szam. Tekintsunk egy folytonos parameteru ξt, t ≥ 0Markov-lancot, melynek allapottere a 0, . . . , d halmaz. Tegyuk fel, hogy a0 elnyelo allapot, az 1, . . . , d elemek atmenetiek, az intenzitasmatrix

T =

(0 0t0 T

)(5.39)

alaku, ahol t0 elemei nemnegatıvak, es t0 nem azonosan nulla.(Bar Markov-folyamatokrol kesobb bovebben lesz szo, az olvaso kedveert

megemlıtjuk, hogy a T intenzitasmatrixhoz tartozo Markov-lanc hogyan kon-strualhato meg. A T matrix elemei legyenek Ti,j, i, j = 0, . . . d. EkkorTi,i ≤ 0, ugyanakkor Ti,j ≥ 0, ha i 6= j. Tovabba

∑dj=0 Ti,j = 0. A ξt

folyamat ertekeit a 0, . . . , d halmazbol veszi fel. Ha valamely idopontbanerteke 0, akkor ezen idopont utan is erteke 0 marad. Azaz 0 elnyelo allapot.Ha valamely idopontban az i ∈ 1, . . . , d allapotban van a folyamat, akkor(−Ti,i) parameteru exponencialis eloszlasu idotartamot meg az adott allapot-

ban tolt, majd(−Ti,j/Ti,i

)valoszınuseggel a j allapotba megy at, j 6= i.

78

Az 1, . . . , d allapotok atmeneti volta azt jelenti, hogy beloluk a folyamat 1valoszınuseggel veges ido alatt a 0 allapotba megy at.)

(Megmutathato, hogy a T matrixra kirott felteteleinkbol kovetkezik, hogyT invertalhato. Ugyanis ha T sajatertekei kozott a nulla is szerepelne, akkor 1sajaterteke lenne eTs-nek. Az eT s matrix elemei nemnegatıvak, es a sorosszegrendre 1, azaz sztochasztikus matrix. Ezen matrix sorai a ξt+s-nek ξt-revonatkozo felteteles eloszlasat adjak meg, tetszoleges t ≥ 0 eseten. EzerteTs elemei ugyancsak nemnegatıvak, a sorosszeg rendre legfeljebb 1. Igytetszoleges sajatertekenek abszolut erteke legfeljebb 1. Ha 1 sajaterteke,akkor o egyben maximalis abszolut erteku, pozitıv sajatertek, ıgy a Perron–Frobenius-tetel alapjan letezik hozza tartozo nemnegatıv elemu sajatvektor.Jelolje Q = (qi,j)i,j=1,...,d az eTs matrixot valamely rogzıtett s mellett, estegyuk fel, hogy az 1 sajaterteke, x a megfelelo nemnegatıv elemu sajatvektor.Azaz

∑j qi,jxj = xi. Legyen J = i : xi = max xj. Ekkor i ∈ J eseten∑

j∈J qi,j = 1 kell teljesuljon, azaz az osszes tobbi elem a megfelelo sorban0 erteku. Ezert a J halmazbeli elemekbol indulva s ido mulva ugyancsak Jhalmazbeli allapotban leszunk, ıgy nem lehet atlepni a 0 elnyelo allapotba,ezek az elemek tehat nem mind atmeneti elemek. Ez ellentmond annak afeltetelnek, hogy minden 0-tol kulonbozo elem atmeneti. Tehat 1 nem lehetsajaterteke az eTs matrixnak, maskeppen T invertalhato matrix.)

Jelolje π valamely tetszoleges kezdeti eloszlasnak az 1, . . . , d halmazraeso reszet (melyet sorvektornak tekintunk) es e0 a csupa 1-et tartalmazooszlopvektort.

Definıcio 5.3 Az F eloszlasfuggveny fazis tıpusu, ha leteznek olyan d, T, πmennyisegek, hogy a beloluk az elobb leırt modon felepıtheto Markov-lancbana 0 allapotba valo elnyelodesig szukseges ido eloszlasfuggvenye eppen F .

Az ıgy kapott eloszlast jelolje (π, T, d). (Reszletesebben lasd Neuts [29],Asmussen [2].) Alapveto osszefugges, hogy ekkor

1− F (x) = πeTxe0 , (5.40)

µ = −πT−1e0 .

Ennek alapjan tetszoleges fuggvenyt fazis tıpusunak mondunk, ha felırhato(5.40) alakban.

79

Tetel 5.10 Tegyuk fel, hogy a klasszikus rizikofolyamatban Zi > 0 es elosz-lasuk fazis tıpusu, melynek parameterei (π, T, d). Ekkor Φ is fazis tıpusufuggveny, a (π+, Q, d) parameterekkel, ahol

Q = T + t0π+ , π+ = −λcπT−1 .

Bizonyıtas: Mivel feltetelunk szerint Z1 > 0, ezert eloszlasuknak anullaban nincsen diszkret komponense, ıgy a megfelelo Markov-lanc kezdetieloszlasa szerint a 0 allapot valoszınusege 0. Maskeppen fogalmazva πe0 = 1 .Ugyanakkor

∫ ∞z

1− F (x)

µdx =

∫ ∞z

πeTxe0dx1

µ=

=1

µπT−1eTze0 .

Mivel − 1µπT−1e0 = 1, es a −πT−1 =

∫∞0 eTzdz vektor nem negatıv elemu,

ezert az F0 eloszlasfuggveny is fazis tıpusu eloszlast definial, melynek repre-zentansa (− 1

µπT−1, T, d).

Megmutatjuk, hogy∑∞k=1 α

kF(∗k)0 is fazis tıpusu eloszlas. Ezt talan leg-

egyszerubben a Markov-lancok szerkezetet hasznalva lehet megmutatni. Haa Markov-lanc intenzitasmatrixa T , akkor a Markov-lanc fejlodese a kovetke-zokeppen ırhato le. Az i allapotban exponencialis eloszlasu idot tolt, melynekparametere −Tii, majd ennek elteltevel atugrik valamely mas allapotba. An-nak valoszınusege, hogy a j allapotot valasztja (felteve, hogy az i allapotbanvolt), −Tij/Tii. Adott α mellett modosıtsuk a Markov-lancot ugy, hogyabban az esetben, ha az i > 0 allapotbol a 0 – elnyelo – allapotba ugra-na a Markov-lanc, akkor α valoszınuseggel azonnal visszaugrik az 1, . . . , dallapotok valamelyikebe, eppen a − 1

µπT−1 kezdeti eloszlas szerint valasztva

azokat. Elkepzelheto, hogy eredetileg az i allapotbol ugorva a 0 allapotba,onnan ismet az i allapotba pattan vissza azonnal, ıgy az i allapotban toltottido eloszlasa megvaltozik, α valoszınuseggel ujabb (−Tii) parameteru expo-nencialis eloszlasu idot tolt ott es ıgy tovabb – ez pontosan az a konstrukcio,mikor a Poisson-folyamatot ritkıtjuk –, ennek megfeleloen vegeredmenykep-pen az i allapotban toltott ido ismet exponencialis lesz, melynek parameteremost

−Tii(1− α Ti0−Tii (−

1

µπT−1)i) = −Tii − αTi0(− 1

µπT−1)i .

80

Az i allapotban toltott ido lejarta utan eredetileg (−Tij/Tii) valoszınuseggelugrott a j > 0 allapotba a Markov-lanc, azonban itt ujra figyelembe kellvenni, hogy elkepzelheto, hogy ujabb es ujabb exponencialis eloszlasu idokettolt a Markov-lanc az i allapotban – annak valoszınusege, hogy k darab ilyenperiodus utan kovetkezik be egy tenyleges i→ j ugras

(Tij−Tii + α

Ti0−Tii (−

1

µπT−1)j)[α

Ti0−Tii (−

1

µ(πT−1)i)]

k ,

ıgy osszegezve k = 1, 2, . . . szerint kapjuk, hogy a megfelelo ugras valoszınu-sege

Tij−Tii + α Ti0

−Tii (− 1µπT−1)j

1− α Ti0−Tii (− 1

µπT−1)i

=Tij + αTi0(− 1

µπT−1)j

−Tii − αTi0(− 1µπT−1)i

.

Igy a modosıtott Markov-lanc intenzitasmatrixaban az 1, . . . , d allapotoknakmegfelelo resz

T − αt0 1

µπT−1

lesz. Tehat az ıgy kapott eloszlas is fazis tıpusu, melynek parameterei

(− 1

µπT−1, T − λ

ct0πT

−1, d) = (c

λµπ+, T + t0π+) .

Az (5.11) eloallıtasban a k = 0-nak megfelelo tagot ugy kaphatjuk meg –ez 1−(λµ)/c sulyt jelent a nulla pontban –, ha modosıtjuk a kezdeti eloszlast.Az 1, . . . , d halmazra eso resz csak λµ/c legyen. Tehat a c

λµπ+ kezdeti

eloszlast ki kell cserelni annak λµc

-szeresere. Azaz a kapott reprezentacio

Φ(u) ∼ (π+, T + t0π+, d) .

2

5.5. Az R Lundberg-kitevo becslese

A gyakorlatban tobbnyire nem ismerjuk sem az Nt Poisson-folyamat para-meteret, sem a karigenyek nagysagat leıro Zi valoszınusegi valtozo eloszlasat.Igy az R Lundberg-kitevo erteket sem tudjuk pontosan meghatarozni. Ebbena reszben az R becslesevel fogunk foglalkozni.

81

Vezessuk be a g(r) = h(r) − crλ

jelolest, ahol h(r) = E(erZ1

)− 1. Mivel

tudjuk, hogy R a g(r) = 0 egyenlet egyetlen pozitıv gyoke, ezert a g(r)fuggvenyt becsuljuk eloszor, es ennek gyoket keressuk meg. Ahhoz, hogyaz ıgy kapott gyok konvergaljon g(r) gyokehez, nem eleg azt tudni, hogya becslo fuggvenysorozat minden pontban konvergal a g fuggvenyhez, kell,hogy g derivaltja a gyokhelyen pozitıv legyen. Legyen

GT (r) =1

NT

NT∑

k=1

erZk − 1− cr(NT

T

)−1

,

ha NT > 0. (Rogzıtett T mellett GT csak az NT > 0 halmazon ertelmes,azonban mivel NT → ∞ 1 valoszınuseggel, ıgy az Ut kockazati folyamatmajdnem minden trajektoriaja eseten elobb vagy utobb ertelmes lesz GT (r)definıcioja.)

Tetel 5.11 Tegyuk fel, hogy a Zi valoszınusegi valtozok 1-nel kisebb valoszı-nuseggel vehetik csak fel a 0 erteket, es c > λµ.

(i) Ha h(r) veges R egy pozitıv sugaru kornyezeteben, akkor a GT (r) = 0egyenletnek 1-hez tarto valoszınuseggel egyetlen pozitıv gyoke letezik.Jelolje ezt RT . Ekkor RT → R 1 valoszınuseggel.

(ii) Ha h(2R) veges, akkor√T (RT −R)→ N(0, σ2) eloszlasban, ahol σ2 =

g(2R)/[λ(g′(R))2] .

Bizonyıtas: A nagy szamok eros torvenyenek veletlen tagszamu osszegrevalo altalanosıtasa alapjan minden rogzıtett r ertek mellett, ahol h(r) veges,GT (r) → g(r), 1 valoszınuseggel. Ugyancsak, ha E(Z1e

rZ1) < ∞, akkorG′T (r) → g′(r), 1 valoszınuseggel. Ha NT > 0, es a Zi, i = 1, . . . NT valoszı-nusegi valtozok akarmelyike nem nulla, akkor a GT (r) fuggveny r-ben szigo-ruan konvex, r → ∞ eseten szinten a vegtelenbe tart. Ugyanakkor, mivel ag fuggveny derivaltja a nulla helyen negatıv, ezert a GT (r) = 0 egyenletnek1-hez tarto valoszınuseggel egyetlen pozitıv gyoke van.

(i) Mivel R a g szigoruan konvex fuggvenynek a nullhelye, ugyanakkorg(0) = 0 es g′(0) = µ− c

λ< 0, ezert g′(R) > 0, ıgy alkalmas ε > 0 eseten

g(R− ε) < 0 es g(R + ε) > 0 .

82

A GT fuggveny pontonkent 1 valoszınuseggel konvergal a g fuggvenyhez,ezert 1-hez tarto valoszınuseggel a GT (r) = 0 egyenletnek az (R − ε, R + ε)intervallumon van gyoke, mivel – mint lattuk – a gyok egyertelmu, ezertRT → R 1 valoszınuseggel.

(ii) A kozepertektetel szerint alkalmas R ∈ [R,RT ] ertek mellett

GT (RT )−GT (R)

RT −R = G′T (R) .

T → ∞ eseten nyilvanvaloan R → R, ıgy tehat – kihasznalva, hogy G′T (r)monoton novo fuggvenye r-nek – kapjuk, hogy

GT (R)

RT −R → −g′(R), 1 valoszınuseggel .

Ahhoz tehat, hogy RT − R hatareloszlasat meghatarozzuk, szuksegunkvan GT (R) hatareloszlasara.

Irjuk fel a GT (R) mennyiseget az alabbi alakban:

√TGT (R) =

=

√T

NT

1√NT

NT∑

k=1

[(eRZk − 1− h(R)

)− cR(ζk − 1

λ)]− cR

T − τNTNT

√T .

Itt NT/T → λ, 1 valoszınuseggel, T−τNT pedig eloszlasban λ parameteru ex-ponencialis eloszlashoz tart. Ez utobbi allıtas kozvetlen szamolassal kaphatoa teljes valoszınuseg tetelenek alkalmazasaval az NT = k, k = 1, 2, . . .lehetosegek figyelembevetelevel.

Valoban,

P (T − τNT > z) = P (ζ1 > T )χT>z +∞∑

k=1

P (τk ≤ T − z, τk+1 > T ) =

= e−λTχT>z +∞∑

k=1

∫ T−z

0

λkuk−1

(k − 1)!e−λue−λ(T−u) du =

= e−λTχT>z + e−λT∫ T−z

0λeλu du =

= e−λTχT>z + e−λT[eλ(T−z) − 1

].

83

A T →∞ hataratmenetet alkalmazva kapjuk, hogy

limT→∞ P (T − τNT > z) = e−λz .

A[(eRZk − 1− h(R)

)− cR(ζk − 1

λ)]

valoszınusegi valtozok fuggetlenek,

azonos eloszlasuak, a h(2R) < ∞ feltetel biztosıtja, hogy szorasuk is veges.

[A szorasnegyzetuk erteke h(2R) + 1 − (h(R) + 1)2 +(cRλ

)2= g(2R) .] Az

osszeadandok szama ugyan valoszınusegi valtozo, amely azonban aszimp-totikusan konstans erteku, azaz NT/T → λ 1 valoszınuseggel (eleg lenne itta sztochasztikus konvergencia is), ezert a centralis hatareloszlas-tetel Renyi-fele altalanosıtasabol adodik, hogy

√TGT (R) hatareloszlasa nulla varhato

erteku, 1λg(2R) szorasnegyzetu normalis eloszlas.

Mivel a Cramer–Sluckij-lemma alapjan, ha eloszlasban konvergens valo-szınusegi valtozot olyan valoszınusegi valtozokkal modosıtunk (hozzaadjukvagy szorozzuk vele), melyek sztochasztikusan konstanshoz tartanak, akkora hatareloszlas a megfelelo konstansokkal linearisan transzformalodik, ezert

√T (RT −R)→ N(0, σ2) ,

ahol σ2 = g(2R)λ(g′(R))2 .

2

Megjegyezzuk, hogy σ2 ertekere – mely tobbnyire ugyancsak nem ismert

– konzisztens becslest ad aGT (2RT )

NTT

(G′T (RT ))2erteke. Ez lehetove teszi kozelıto

konfidencia-intervallumok konstrualasat R ertekere.

Ha Ψ(u) erteket akarjuk becsulni, akkor szuksegunk van az 5.6 tetel bi-zonyıtasaban bevezetett K1, K2 konstansok becslesere.

MivelK1

K2

=(c− λµ)

(λg′(R)), ennek termeszetes becslese

cT − STNTG′T (RT )

. Legyen

tehat

ΨT (u) =cT − STNTG′T (RT )

e−RTu .

Rogton latszik, hogy a feltetelek, melyek a Cramer–Lundberg-approximaciotbiztosıtjak, elegendoek ahhoz, hogy a

ΨT (u)→ Ψ(u) 1 valoszınuseggel

84

teljesuljon minden rogzıtett u eseten, ha T →∞. Gyakorlatban, ha T ertekejoval nagyobb, mint a vizsgalni kıvant u ertek, akkor ΨT (u) pontosan becsulia tonkremenes valoszınuseget. Ha azonban veges megfigyeles-intervallumeseten akarjuk nagyon nagy u ertekek mellett is becsulni a tonkremenesvaloszınuseget, akkor ovatosabban kell eljarnunk. A kovetkezo tetel igaz:

Tetel 5.12 Ha h(2R) veges, es u→∞, T →∞ oly modon, hogy

u√T→ u ,

akkor

log

(ΨT (u)

Ψ(u)

)→ N

(0, u2 g(2R)

λ(g′(R))2

)

eloszlasban.

Az R Lundberg-kitevo becslesenek normalis hatareloszlasat biztosıto fel-tetel a h(2R) mennyiseg vegessege volt. Vegyuk eszre, hogy ez nem egyszeru-en csak a Zi valoszınusegi valtozok eloszlasanak gyors lecsengesere adottfeltetel, mivel R erteke fugg c es λ erteketol is. Peldaul abban az egyszeru e-setben is, mikor a karigenyek exponencialis eloszlasuak, a h(2R) <∞ feltetelazt jelenti, hogy c < 2λµ. Igy tehat, ha c erteke tul nagy az idoegysegre esoatlagos kar ertekehez kepest, akkor a fenti normalis hatareloszlas-tetel nem allfenn. Megmutathato, hogy ekkor a

√T helyett mas normalast kell valasztani;

a T (λµ)/c(RT − R) valoszınusegi valtozonak van nemtrivialis hatareloszlasa(lasd Feller [21]), mely un. c/(c− λµ) kitevoju stabilis eloszlas.

Az 5.11 tetelben R becsleset a GT (r) fuggveny gyokhelye segıtsegevel ha-taroztuk meg. Ha T erteke valtozik, akkor a GT fuggveny is valtozik, ıgyujra meg kell hatarozni a gyokot. Termeszetes elgondolas, hogy valamilyenrekurzıv semat konstrualjunk R becslesere, mely a korabbi becsles es az ujmegfigyelesek fuggvenyekent adja meg az uj becslest. Ilyen sztochasztikusapproximacios modszert targyal Herkenrath [25] cikke.

5.6. A csod sulyossaganak elemzese

Ebben az alfejezetben nemcsak azt vizsgaljuk, hogy milyen valoszınuseggelkovetkezik az, hogy a rizikofolyamat erteke negatıvva valik, hanem azt is,hogy mekkora lesz erteke, mikor eloszor atugrik a pozitıv tartomanybol ne-gatıvba.

85

Mivel feltetelezesunk szerint u ≥ 0, c > 0, ezert az atlepes csak valamelyikkaresemeny jelentkezesekor tortenhet, az osszetett Poisson-folyamat valame-lyik ugrasanak idopontjaban. Legyen Tu = inft : Ut < 0 (az ures halmazinfimuma legyen ∞). Ez tehat a csod idopontja. Legyen

Ψ(u, y) = P (Tu <∞, UTu > −y) , (5.41)

tehat annak valoszınusege, hogy a tonkremenes pillanataban a hiany ertekenem nagyobb, mint y. Bowers–Gerber–Hickman–Jones–Nesbitt [6] konyve-ben szerepel, hogy ekkor

Ψ(0, y) =∫ y

0

λ

c(1− F (x))dx . (5.42)

Ezen eredmeny felhasznalasaval Gerber es Goovaerts [24] igazoltak, hogyΨ(u, y) kielegıti az alabbi integralegyenletet:

Ψ(u, y) =λ

c

∫ u

0Ψ(u− z, y)(1− F (z))dz +

λ

c

∫ u+y

u(1− F (z))dz .

(y =∞ eseten visszakapjuk az (5.19) egyenletet.)Gerber es Goovaerts gondolatmenete felhasznalja az (5.42) eredmenyt.

Az egyenlet felırasahoz u kezdotoke mellett aszerint hasznalja a teljes valo-szınuseg tetelet, hogy mikor kovetkezik be eloszor az, hogy a pillanatnyi tokeerteke a kezdoertek ala zuhan, es ekkor mennyivel kisebb annal. Most egyolyan bizonyıtasat adjuk a tetelnek, mely az 5.6 tetel bizonyıtasaban hasznaltgondolatmeneten alapul.

Tetel 5.13 Az (5.41) kepletben definialt Ψ(u, y) fuggveny kielegıti a

Ψ(u, y) =λ

c

∫ u

0Ψ(u− z, y)(1− F (z))dz +

λ

c

∫ u+y

u(1− F (z))dz

(5.43)

integralegyenletet.Tegyuk fel, hogy c > λµ. Legyen R a h(r)/r = λ/c egyenlet pozitıv gyoke.

Ha h(r) veges R egy pozitıv kornyezeteben, akkor e−Ru adja meg Ψ(u, y)konvergenciasebesseget. Ekkor

limu→∞ e

RuΨ(u, y) =λc

∫∞0 eRu

∫ u+yu (1− F (z))dzdu

λcR

[h′(R)− c

λ

] . (5.44)

86

Az 5.13 tetel masodik allıtasa az u → ∞ feltetel melletti aszimptotikattargyalja azon feltetelezes mellett, hogy az R Lundberg-kitevo letezik, specia-lisan tehat, hogy a Zi valoszınusegi valtozok eloszlasa exponencialis sebesseg-gel cseng le.

Az ennel sulyosabb farokeloszlassal rendelkezo Zi valoszınusegi valtozokravonatkozo allıtasokat, azok bizonyıtasanak terjedelmessege miatt, kulon resz-ben, az 5.6.1. szakaszban targyaljuk.

Bizonyıtas: ζ1, az elso karesemeny idopontja es Z1, a kar nagysagaszerint alkalmazva a teljes valoszınuseg tetelet, kapjuk, hogy

Ψ(u, y) = E (Ψ(u+ cζ1 − Z1, y)) =

=∫ ∞

0λe−λs

(∫ u+cs

0Ψ(u+ cs− z, y)dF (z) +

∫ u+cs+y

u+csdF (z)

)ds .

Az x = u+ cs valtozocsere utan a

Ψ(u, y) =∫ ∞u

λ

ceλu/ce−λx/c

(∫ x

0Ψ(x− z, y)dF (z) +

∫ x+y

xdF (z)

)dx .

(5.45)

Mivel megint a fenti egyenlet jobb oldalan u csak az integralasi hatarbanes az exponencialis mennyiseg kitevojeben jelenik meg, ezert Ψ(u, y) u-banvett monotonitasa biztosıtja, hogy a jobb oldal u folytonos fuggvenye, tehatΨ(u, y) folytonos, sot abszolut folytonos is.

Hatarozzuk meg az u valtozo szerinti surusegfuggvenyt, majd azt integ-raljuk a (0, t) intervallumon. Parcialisan integralva a jobb oldalon, kapjuk,hogy

Ψ(t, y)−Ψ(0, y) =λ

c

∫ t

0

∫ u

0Ψ(u−z, y)d(1−F (z))du−λ

c

∫ t

0

∫ u+y

udF (z)du +

+λ

c

∫ t

0Ψ(u, y)du =

=λ

c

∫ t

0

[Ψ(0, y)(1− F (u))−Ψ(u, y) +

∫ u

0Ψ′(u− z)(1− F (z))dz

]du −

− λ

c

∫ t

0

∫ u+y

udF (z)du+

λ

c

∫ t

0Ψ(u, y)du =

=λ

c

∫ t

0(1− F (z))(Ψ(t− z, y)−Ψ(0, y))dz −

− λ

c

∫ t

0

∫ u+y

udF (z)du+

λ

cΨ(0, y)

∫ t

0(1− F (u))du .

87

Tehat

Ψ(u, y) = Ψ(0, y) +λ

c

∫ u

0Ψ(u− z, y)(1− F (z))dz − λ

c

∫ u

0

∫ t+y

tdF (z)dt .

(5.46)

A c > λµ feltetelt hasznalva, ismet csak adodik, hogy limu→∞Ψ(u, y) = 0.Tekintve most a fenti egyenletben is az u → ∞ hataratmenetet, es ki-hasznalva, hogy

∫∞0 (1− F (z))dz = µ <∞, kapjuk, hogy

Ψ(0, y) =λ

c

∫ ∞0

∫ t+y

tdF (z)dt =

λ

c

∫ y

0(1− F (z))dz .

Ezt visszahelyettesıtve a

Ψ(u, y) =λ

c

∫ u+y

u(1− F (z))dz +

λ

c

∫ u

0Ψ(u− z, y)(1− F (z))dz

(5.47)

egyenlethez jutunk.Ez a bizonyıtando (5.43) osszefugges.

Az (5.43) egyenlet ismet nem teljes felujıtasi egyenlet. Mivel ez az (5.19)egyenlettol csak a konstans tagban kulonbozik, ezert ugyanazt a modszertalkalmazhatjuk, azaz ugyanolyan feltevesek mellett, ugyanolyan modszerrelalakıthatjuk at felujıtasi egyenlette. Ez a feltetel az R Lundberg-kitevo lete-zese volt. Az ıgy adodo felujıtasi egyenletre mar hasznalhatjuk az 5.5 tetelt.A hatarerteket leıro tort nevezoje termeszetesen megegyezik a korabbi K2

allandoval. Ezert

limu→∞ e

RuΨ(u, y) =λc

∫∞0 eRu

∫ u+yu (1− F (z))dzdu

λcR

[h′(R)− c

λ

] .

2

A korabbi – Ψ(u)-ra vonatkozo – hatarertektetelben a szamlalo erteketegyszerubb alakra tudtuk hozni. Ennek nagysagara (1/R)(1− (λµ)/c) ado-dott. Most ismet parcialis integralast alkalmazva megmutathato, hogy

λ

c

∫ ∞0

eRu∫ u+y

u(1− F (z))dzdu =

1

R

(1− λµ

c

)+

+λ

cR

[∫ ∞y

(1− F (z))dz − e−Ry∫ ∞y

eRz(1− F (z))dz].

88

Ez y fuggvenyeben exponencialis sebesseggel (mivel h(R + ε) < ∞) tart az1R

(1− λµ

c

)ertekhez.

Megjegyzes: A bizonyıtas kozben megkaptuk, hogy 0 kezdotoke esetenannak valoszınusege, hogy a tonkremenes pillanataban a folyamat erteke y-nal nagyobb, eppen Ψ(0, y) = λ

c

∫ y0 (1−F (z))dz. Ez mutatja, hogy Ψ(0, y) az

y valtozo derivalhato fuggvenye. Ugyancsak bizonyıthato, hogy tetszolegesu eseten Ψ(u, y) y-szerint derivalhato.

Megjegyzes: Az (5.43) egyenlet altalanos esetben nehezen megoldhato.Azonban bevezetve a

Ψ(r, y) =∫ ∞

0eruΨy(u, y)du

transzformaltat, ahol Ψy(u, y) jeloli az y szerinti derivaltat, ennek ertekekiszamolhato. Ugyanis tekintve az (5.43) egyenlet mindket oldalanak transz-formaltjat, es a jobb oldalon az x = u−z valtozo transzformaciot vegrehajtvaa

Ψ(r, y) =λ

cΨ(r, y)

∫ ∞0

erz(1− F (z))dz +λ

ce−ry

∫ ∞y

erz(1− F (z))dz

egyenletet kapjuk, melybol

Ψ(r, y) =λce−ry

∫∞y erz(1− F (z))dz[

1− λc

∫∞0 erz(1− F (z))dz

] .

A teljesseg kedveert meg kell jegyeznunk, hogy Ψ(r, y) invertalasa nem min-dig egyszeru feladat.

Megjegyzes: Az (5.43) integralegyenlet mas alakban is ırhato. Rogzıt-suk le y erteket. Legyen f(z) = χ(−y,0) es

g(u) = E[f(u+ cTu − STu)] , u ∈ R eseten.

Vegyuk eszre, hogy ez eppen a Ψ(u, y) fuggveny mint u fuggvenye, melyroltudjuk, hogy u szerint abszolut folytonos. A (5.43) integralegyenlettel ekvi-valens

Ψ(t, y)−Ψ(0, y) =

=λ

c

∫ t

0Ψ(u, y)du+

λ

c

∫ t

0

∫ u

0Ψ(u− z, y)d(1− F (z))du−

− λ

c

∫ t

0

∫ u+y

udF (z)du

89

egyenlet mindket oldalanak u szerinti surusegfuggvenyet veve kapjuk, hogy

g′(u) =λ

cg(u)− λ

c

∫ u

0g(u− z)dF (z)− λ

c

∫ u+y

udF (z) .

Mivel g(u) = 0, ha u ≤ −y, es g(u) = 1, ha −y < u < 0, ezert ezt ıgy isırhatjuk:

g′(u) = −λc

∫ ∞0

(g(u− z)− g(u))dF (z) . (5.48)

Megmutatjuk, hogy ez az fennall akkor is, ha az f fuggvenyt egy eleg boosztalybol valasztjuk.

Tetel 5.14 Legyen f a negatıv valos szamokon ertelmezett, korlatos, mer-heto fuggveny, es g(u) = E[f(u+ cTu− STu)]. Ekkor g abszolut folytonos, esRadon–Nikodym-derivaltja, melyet g

′jelol, kielegıti a

g′(u) = −λc

∫ ∞0

(g(u− z)− g(u))dF (z) (5.49)

egyenletet.

Bizonyıtas: (Megjegyzes: a Markov-folyamatok nyelven az allıtas ugy ismegfogalmazhato, hogy a jobb oldalon szereplo operator a Pt − St Markov-folyamat generatora.)

A bizonyıtas a megszokott approximacios gondolatmeneten alapul. Azonf fuggvenyek osztalya, mely eleget tesz az egyenletnek, zart a linearis kom-binaciora. Megmutatjuk, ha tetszoleges nemnegatıv f fuggvenyt monotonnovekedve kozelıtunk lepcsos fuggvenyekkel, akkor a hataratmenet az egyen-let mindket oldalan elvegezheto.

Ehhez eloszor vegyuk az (5.49) mindket oldalanak integraljat u < vkozott:

g(v)− g(u) = −λc

∫ v

u

∫ ∞0

(g(s− z)− g(s)dF (z)ds . (5.50)

Mivel az f = χ−y,0 alaku fuggvenyekre teljesul (5.50), ezert lepcsosfuggvenyekre is. Ha most 0 ≤ f ≤ K es az fn nemnegatıv lepcsos fuggvenyekmonoton novekedve tartanak f -hez majdnem mindenutt, akkor gn(u)→ g(u)es 0 ≤ gn(u) ≤ K. Ezert a fenti egyenlet mindket oldalan elvegezheto a

90

hataratmenet, es kapjuk, hogy a hatarertek g fuggveny is kielegıti az egyen-letet. Azonban tetszoleges korlatos f felırhato ket nemnegatıv fuggvenykulonbsegekent, tehat ıgy korlatos f fuggvenyekre is igaz az egyenlet. Mivela jobb oldalon v csak az integralas hatarakent jelenik meg, ezert a kapottg fuggveny abszolut folytonos, es a Radon–Nikodym-derivaltja kielegıti az(5.49) egyenletet.

5.6.1. A csod sulyossaganak elemzese kiemelkedo egyedi karok e-seten

Az 5.13 egyenlet levezetesehez a kar nagysagat megado Zi valoszınusegi valto-zok eloszlasarol keveset kellett feltennunk. Azonban a csod sulyossaga a-szimptotikus viselkedesenek leırasahoz mar kihasznaltuk, hogy bizonyos felte-telek mellett a kapott integralegyenlet felujıtasi egyenlette alakıthato at.Ebben a reszben olyan Zi valoszınusegi valtozok eseten vizsgaljuk meg ezt akerdest, melyekre ez az atalakıtas nem vegezheto el, melyek eloszlasa lassancseng le.

Nem az integralegyenletbol adodo vegtelen sor eloallıtasbol indulunk ki,hanem azokat az idopontokat vizsaljuk, ahol a toke pillanatnyi erteke amegelozo idointervallumon vett minimuma ala csokken. Az elso ilyen az azidopont lesz, amikor a toke erteke a kezdeti u ertek ala esik; vagy maskeppenfogalmazva, amikor 0 kezdotoke eseten csod kovetkezik be. Ezt az idopontotjelolte T0, es ebben az idopontban veve a toke pillanatnyi erteket, annakeloszlasfuggvenyet Ψ(0, y) adja meg. Pontosabban fogalmazva

P (T0 <∞, ST0 − cT0 < y) = Ψ(0, y) .

Ugyanakkor az (5.42) egyenlet alapjan

Ψ(0, y) = αF0(y) ,

ahol α =λµ

c, F0(y) =

1

µ

∫ y

0(1 − F (z)) dz. Mivel Ψ(0) = P (T0 < ∞) = α,

ezertP (ST0 − cT0 < y | T0 <∞) = F0(y) .

91

Definialjuk tehat rekurzıvan az alabbi idopontokat:

τ+(0) = 0 ,

τ+(1) = T0 ,

τ+(k + 1) = inft > τ+(k) | St − ct > Sτ+(k) − cτ+(k)

.

Vegyuk eszre, hogy mivel az St − ct folyamat erteke csak a karszamotmegado Nt folyamat ugrasainak idopontjaban novekedhet, ıgy a τ+(k) ido-pontok ertekei is ezek kozul kerulnek ki, tehat a τj , j = 0, 1, . . . halmazbol.A megfelelo indexeket jelolje ν1, ν2, . . . . Azaz

τ+(j) = τνj .

Vezessuk be a

κ1 = Sτ+(1) − cτ+(1)

κj =(Sτ+(j) − cτ+(j)

)−(Sτ+(j−1) − cτ+(j − 1)

), j = 2, 3, . . . ,

jeloleseket azzal a megkotessel, hogy a κj mennyiseget csak a τ+(j) < ∞reszhalmazon ertelmezzuk.

Ekkor tehat

P (κ1 < y | τ+(1) <∞) = F0(y) , y ≥ 0 .

A kovetkezo lemmaban a κj mennyisegek egyuttes eloszlasat jellemezzuk.

Lemma 5.2 Tegyuk fel, hogy λ > 0, µ > 0. Ekkor P (τ+(j) < ∞) > 0tetszoleges j ≥ 0 eseten. Ezen tulmenoen,

P (τ+(j) <∞) = P (τ+(1) <∞)j .

Tovabba a κ1, . . . , κj,[(St − ct)−

(Sτ+(j) − cτ+(j)

)]t≥τ+(j)

mennyisegek

a τ+(j) < ∞ esemenyre vonatkozoan feltetelesen fuggetlenek, es eloszlasukmegegyezik κ1-nek a τ+(1) < ∞ szerinti felteteles eloszlasaval (ezt j-szerveve), illetve az (St − ct)t≥0 folyamat eloszlasaval.

Bizonyıtas: Ha c ≤ λµ, akkor Ψ(u) = 1, ha pedig c > λµ, akkor az(5.10) egyenlet alapjan Ψ(0) = λµ

c> 0. Tehat P (τ+(1) <∞) > 0.

92

Ha megmutatjuk a τ+(1) < ∞ esemeny szerinti felteteles eloszlasokravonatkozo allıtast, akkor az St−ct folyamat τ+(1) utani novekmenyere megintalkalmazhatjuk, hogy annak erteke pozitıv valoszınuseggel 0 fole no, tehat azeredeti folyamatra P (τ+(2) <∞) > 0. Teljes indukciot alkalmazunk tehat.

Tegyuk fel, hogy P (τ+(j) <∞) > 0, es vizsgaljuk a felteteles valoszınuse-get. Mivel a kockazati folyamat erteke linearisan valtozik az ugraspontokkozott, ezert a vizsgalando valtozok eloszlasat az ugrasok nagysaga es akozottuk eltelt ido hatarozza meg. Ezert vezessuk be az

Yj = Zj − ζj , Xk =k∑

j=1

Yj , X0 = 0

jeloleseket. Ekkor κj = Xνj −Xνj−1. Tovabba legyen α = min(λµ/c, 1).

Legyenek f1, . . . fj korlatos, egyvaltozos fuggvenyek, mıg g korlatos l-valtozos fuggveny, ahol l ≥ 1 rogzıtett szam. Ekkor

E(f1(κ1) · · · fj(κj)g(Yνj+1, . . . , Yνj+l) | τ+(j) <∞

)=

=1

P (τ+(j) <∞)

∑

0=k0<k1<k2<···<kj<∞E

j∏

i=1

fi(Xki −Xki−1)×

× g(Ykj+1, . . . , Ykj+l)χν1=k1,...,νj=kj)

=

=1

αj∑

0=k0<k1<···<kj<∞

j∏

i=1

[E(fi(Xki −Xki−1

)χνi−νi−1=ki−ki−1)]×

× E(g(Ykj+1, . . . , Ykj+l)

),

ahol kihasznaltuk az egyes tenyezok fuggetlenseget es a P (τ+(j) <∞) erte-kere vonatkozo indukcios feltevest.

Mivel azonban az Y1, Y2, . . . sorozat azonos eloszlasu, fuggetlen valtozok-bol all, ezert tovabb ırhatjuk, hogy

E(f1(κ1) · · · fj(κj)g(Yνj+1, . . . , Yνj+l) | τ+(j) <∞

)=

=

j∏

i=1

1

αE(fi(Xν1)χν1<∞

)E (g(Y1, . . . , Yl)) .

93

Alkalmazva ezt az osszefuggest rendre ugy, hogy egyetlen fi, illetve g fugg-venytol eltekintve a tobbit az azonosan egy erteku fuggvenynek valasztjuk,kihasznalva, hogy P (τ+(1) <∞) = P (ν1 <∞) = α, kapjuk, hogy

E (fi(κi) | τ+(j) <∞) =1

αE(fi(Xν1)χν1<∞

)=

= E (fi(Xν1) | τ+(1) <∞) =

= E (fi(κ1) | τ+(1) <∞) ,

E(g(Yνj+1, . . . , Yνj+l) | τ+(j) <∞

)= E (g(Y1, . . . , Yl)) ,

bizonyıtva az indukcios lepest, es ezzel az allıtast. 2

A kovetkezo tetel kiemelkedo egyedi karok eseten vizsgalja az esetlegbekovetkezo csod sulyossaganak eloszlasat.

Tetel 5.15 Tegyuk fel, hogy a Zi valoszınusegi valtozok F eloszlasfuggvenyealapjan elkeszıtett

F0(z) =1

µ

∫ z

0(1− F (t)) dt

eloszlasfuggveny szubexponencialis. Legyen Q0 a megfelelo eloszlas.Jelolje Q

(u)0 ezen eloszlas u feletti ertekei u-hoz kepesti elteresenek azon

feltetel szerint vett felteteles eloszlasat, hogy a valtozo erteke nagyobb, mintu. Azaz

Q(u)0 ((0, z)) =

F0(u+ z)− F0(u)

1− F0(u).

Tovabba jelolje R(u) a csod sulyossaganak felteteles eloszlasat. Tehat

R(u)(B) = P ((STu − cTu − u) ∈ B | Tu <∞) ,

ahol Tu az az idopont, amikor u kezdotoke mellett a toke pillanatnyi ertekenegatıvva valik. Tu = inft ≥ 0 | Ut < 0.

Ekkor – λµ < c eseten –

limu→∞ d(R(u), Q

(u)0

)= 0 , (5.51)

ahol a d tavolsagot (4.1) definialja.

94

Bizonyıtas: Az Ut folyamat erteke a korabbi minimuma ala csak a τ+(j)idopontokban csokkenhet, tehat a csod is csak ezekben az idopontokbankovetkezhet be. Legyen

Ku = infk | Sτ+(k) − cτ+(k) > u

.

EkkorTu = τ+(Ku) .

Az u kezdotoke mellett a csod sulyossagat a κ1 + · · · + κKu − u mennyisegadja meg. Tehat a R(u)(B) = P ((κ1 + · · ·+ κKu − u) ∈ B | Tu <∞) .

Vezessuk be az Ak(u) = κ1 + · · ·+ κk−1 ≤ u, κ1 + · · ·+ κk > u es azAk(u) = κk > u jeloleseket – beleertve azt, hogy Ak(u) ⊂ τ+(k) <∞es Ak(u) ⊂ τ+(k) <∞, hiszen ez szukseges ahhoz, hogy κ1, . . . , κk mindertelmezve legyenek. Ekkor

R(u)(B) =

=1

P (Tu <∞)

∞∑

k=1

P ((κ1 + · · ·+ κk − u) ∈ B, τ+(k) <∞, Ku = k) =

=1

P (Tu <∞)

∞∑

k=1

P ((κ1 + · · ·+ κk − u) ∈ B,Ak(u), τ+(k) <∞) =

=1

P (Tu <∞)

∞∑

k=1

P ((κ1 + · · ·+ κk − u) ∈ B,Ak(u) | τ+(k) <∞)×

×P (τ+(k) <∞) .

Megmutatjuk, hogy az Ak(u) esemenyeket az Ak(u) esemenyekkel helyet-tesıtve, a hiba aszimptotikusan elhanyagolhato lesz. Ehhez vegyuk eszre,hogy a κ1, . . . , κk valtozok nem negativitasa miatt

Ak(u) Ak(u) ⊂ κ1 + · · ·+ κk > u,max (κ1, . . . , κk) ≤ u ∪∪ κ1 + . . . κk−1 > u, κk > u ,

ahol a halmazok szimmetrikus differenciajat jeloli. Ezert

P(Ak(u) Ak(u) | τ+(k) <∞

)≤

≤ P (κ1 + · · ·+ κk > u | τ+(k) <∞)−− P (max (κ1, . . . , κk) > u | τ+(k) <∞) +

+ P (κ1 + · · ·+ κk−1 > u | τ+(k) <∞)P (κk > u | τ+(k) <∞) .

95

Az Ak(u)→ Ak(u) csere soran elkovetett hiba a

1− F0(u)

P (Tu <∞)

∞∑

k=1

αk[P (κ1 + · · ·+ κk > u | τ+(k) <∞)

1− F0(u)−

− P (max (κ1, . . . , κk) > u | τ+(k) <∞)

1− F0(u)+

+ P (κ1 + · · ·+ κk−1 > u | τ+(k) <∞)P (κk > u | τ+(k) <∞)

1− F0(u)

]

mennyiseggel becsulheto, hiszen P (τ+(k) <∞) = αk.Az 5.2 lemma alapjan a κ1, . . . , κk mennyisegeknek a τ+(k) <∞ feltetel

szerinti felteteles eloszlasfuggvenye F0, tehat a felteves szerint szubexpo-nencialis. Minden egyes osszeadando harmadik tagjaban levo tort ertekeeppen 1, tovabba a szubexponencialis eloszlasfuggveny definıciojat kihasznal-va latszik, hogy rogzıtett k mellett, u→∞ eseten az osszeadandok nullahoztartanak. Emellett az osszeadandok elso tagjara az 5.1 lemma alapjan aK(1 + ε)k, a harmadik tagra 1 felso becsles adhato. Mivel a negatıv elojelumasodik tag abszolut ertekben kisebb, mint az elso, ezert azt elhagyva a sortagjait u szerint egyenletesen az αk

[K(1 + ε)k + 1

]becsuli, amely kicsi ε

eseten osszegezheto. Lebesgue-tetele tehat alkalmazhato, az osszeg nullahoztart. Ugyanakkor az 5.1 tetel alapjan az elso szorzo hatarerteke 1−α

α, azaz az

elkovetett hiba – a B halmaz szerint egyenletesen – nullahoz tart.A tetel bizonyıtasahoz a

1− αα

∞∑

k=1

αkP ((κ1 + . . . κk − u) ∈ B, κk > u | τ+(k) <∞)

1− F0(u)(5.52)

mennyiseg aszimptotikajat kell elemeznunk.A τ+(k) < ∞ feltetel mellett a κ1, . . . , κk valtozok fuggetlenek, eloszlas-

fuggvennyuk F0. Igy specialisan

1− F0(u) = P (κk > u | τ+(k) <∞) .

Tehat az egyes osszeadandokban szereplo tort

P ((κ1 + · · ·+ κk − u) ∈ B | κk > u, τ+(k) <∞)

96

alakban is ırhato. A kapott eloszlas nem mas, mint Q(u)0 -nak k − 1-szeres

konvolucioja a Q0 eloszlassal, azaz Q(∗(k−1))0 ∗Q(u)

0 .Megmutatjuk, hogy tetszoleges G eloszlas eseten

d(Q

(u)0 ∗G,Q(u)

0

)→ 0 , (5.53)

ha u→∞.

Valoban, jelolje f(u)0 (z) =

1− F (u+ z)∫∞u (1− F (t)) dt

a Q(u)0 eloszlas surusegfugg-

venyet. (Ha z ≥ 0. A z < 0 tartomanyon pedig f(u)0 (z) = 0.)

Ekkor B ⊂ (0,∞) eseten∣∣∣Q(u)

0 ∗G(B)−Q(u)0 (B)

∣∣∣ =∣∣∣∣∫ ∞

0

[∫

B

(f

(u)0 (z − t)− f (u)

0 (z))dy]dG(t)

∣∣∣∣ ≤

≤∫ ∞

0

∣∣∣∣∫

B

(f

(u)0 (z − t)− f (u)

0 (z))dy

∣∣∣∣ dG(t) =

=∫ ∞

0

∫ t

0f

(u)0 (z) dz +

∫ ∞t

(f

(u)0 (z − t)− f (u)

0 (y))dzdG(t) =

= 2∫ ∞

0

[∫ t

0f

(u)0 (z) dz

]dG(t) =

= 2∫ ∞

0

F0(t+ u)− F0(u)

1− F0(u)dG(t) ,

ahol a harmadik lepesben kihasznaltuk az f(u)0 fuggveny monotonitasat. Mi-

vel a kapott becsles nem fugg a B halmaztol es u→∞ eseten az integrandusaz 5.1 lemma alapjan pontonkent nullahoz tart, ıgy Lebesgue tetelenek al-kalmazasaval adodik, hogy (5.53) teljesul.

Alkalmazva az (5.53) osszefuggest az (5.52) sor minden egyes tagjaban,es kihasznalva, hogy a d tavolsag erteke legfeljebb 1, adodik, hogy

Q(u)0 (B)−

− (1− α)∞∑

k=1

αk−1P ((κ1 + · · ·+ κk − u) ∈ B | κk > u, τ+(k) <∞)→ 0 ,

ha u→∞, a B halmaz szerint egyenletesen. Ez igazolja a tetel allıtasat. 2

Pelda (Pareto-eloszlas) Tegyuk fel, hogy a Zi valoszınusegi valtozok el-oszlasa Pareto-eloszlas, azaz

P (Zi > z) =(

1 +z

θ

)−α−1

,

97

z > 0 eseten, ahol θ > 0, α > 0. Ekkor

1− F0(z) =1

E(Z1)

∫ ∞z

(1 +

t

θ

)−α−1

dt =

=θ

E(Z1)α

(1 +

z

θ

)−α,

ezert

1− F (u)0 (z) =

1− F0(u+ z)

1− F0(u)=(

1 +z

θ + u

)−α,

ahol F(u)0 a Q

(u)0 eloszlas eloszlasfuggvenye.

Az a(u) = θ+uα

skalazofuggvenyt valasztva kapjuk, hogy

1− F (u)0 (a(u)z) =

(1 +

z

α

)−α.

Kovetkezeskeppen

limu→∞P (STu − cTu − u > a(u)z | Tu <∞) =

(1 +

z

α

)−α.

Pelda (Weibull-eloszlas) Tegyuk fel, hogy a Zi valoszınusegi valtozok el-oszlasa Weibull-eloszlas, azaz

P (Zi > z) = e−zα

,

z > 0 eseten, ahol 0 < α < 1. Ekkor

1− F0(z) =1

E(Z1)

∫ ∞z

e−tα

dt .

Miveld

dt

(−t

1−α

αe−t

α

)=(

1− 1− αα

t−α)e−t

α

< e−tα

,

ugyanakkor tetszoleges ε > 0 eseten eleg nagy t ertekekre a ket oldal hanya-dosa legfeljebb 1 + ε, tehat

1− F0(z)1

E(Z1)αz1−αe−zα

→ 1 ,

98

z → ∞ eseten. Ennek megfeleloen 1 − F(u)0 (z) =

1− F0(u+ z)

1− F0(u)erteke a-

szimptotikusan megegyezik

(u+ z)1−α

u1−α e−(u+z)α+uα

ertekevel. Az a(u) =u1−α

αskalazofuggvenyt valasztva

limu→∞(u+ a(u)z)1−α

u1−α e−(u+a(u)z)α+uα =

= limu→∞(

1 +z

αuα

)1−αe−u

α[(1+ zαuα )

α−1] =

= e−z .

Tehatlimu→∞ P (STu − cTu − u > a(u)z | Tu <∞) = e−z .

Pelda (lognormalis eloszlas) Tegyuk fel, hogy a Zi valoszınusegi valtozokeloszlasa lognormalis. Ekkor

1− F0(z) =1

E(Z1)

∫ ∞z

∫ ∞t

1√2πσx

e−12

(ln x−µ)2

σ2 dx dt =

=1√2πσ

∫ ∞z

x− zx

e−12

(ln x−µ)2

σ2 dx .

Valasszuk az a(u) = σ2ulnu−µ skalazotenyezot. Kihasznalva, hogy

limu→∞ a′(u) = 0 ,

limu→∞a(u)

u= 0 ,

99

kapjuk, hogy

limu→∞(1− F (u)

0 (a(u)z))

= limu→∞1− F0(u+ a(u)z)

1− F0(u)=

= limu→∞

∫∞u+a(u)z

x−u−a(u)zx

e−12

(ln x−µ)2

σ2 dx∫∞u

x−uxe−

12

(ln x−µ)2

σ2 dx=

= limu→∞(−1− a′(u)z)

∫∞u+a(u)z

1xe−

12

(ln x−µ)2

σ2 dx

− ∫∞u 1xe−

12

(ln x−µ)2

σ2 dx=

= limu→∞(1 + a

′(u)z

)2 u

u+ a(u)z×

× exp

−1

2

(ln(u+ a(u)z)− µ)2

σ2+

1

2

(ln u− µ)2

σ2

=

= limu→∞ exp

−

1

2σ2

(

ln u− µ+ ln

[1 +

σ2z

ln u− µ

])2

− (lnu− µ)2

=

= e−z ,

ahol a harmadik es a negyedik egyenloseg soran a L’Hospital-szabalyt alkal-maztuk.

Mivel lnu/(lnu − µ) → 1, ezert a(u) helyett a σ2u/ lnu skalazofuggvenyis megfelelo, tehat

limu→∞ P

(STu − cTu − u >

σ2u

lnuz | Tu <∞

)= e−z .

Jelen szakasz befejezesekeppen a Ku valoszınusegi valtozo aszimptotikuseloszlasat vizsgaljuk meg. Emlekeztetunk arra, hogy Ku adja meg annak aτ+(j) megallasi idonek az indexet, amely csokkenesi idopontban a pillanatnyitoke erteke negatıvva valik, azaz Tu = τ+(Ku).

Allıtas 5.1 Definialja a Ku mennyiseget a

Tu = τ+(Ku)

100

azonossag, ahol Tu a csod idopontja, felteve, hogy a toke kezdoerteke u volt,es τ+(j), j ≥ 0 sorozat adja meg azokat az idopontokat, amikor a pillanatnyitoke erteke a korabbi minimuma ala zuhan.

Ha a Zi valoszınusegi valtozok kozos F eloszlasfuggvenye alapjan elkeszı-tett

F0(z) =1

E(Z1)

∫ z

0(1− F (t)) dt

eloszlasfuggveny szubexponencialis, akkor

limu→∞ P (Ku = n | Tu <∞) = (1− α)αn−1 , (5.54)

ahol α =λµ

c, felteve, hogy a c > λµ feltetel teljesul.

Bizonyıtas: A Tu <∞ esemenyen belul a Ku = n esemenyt azAn(u) = κ1 + · · ·+ κn−1 ≤ u, κ+ · · ·+ κn > u, τ+(n) <∞ jeloli ki. Ezert

P (Ku = n | Tu <∞) = P (An(u), τ+(n) <∞ | Tu <∞) =

=P (An(u) | τ+(n) <∞)P (τ+(n) <∞)

P (Tu <∞).

Hasznaljuk ki, hogy az elozo tetel soran megmutattuk, hogy

P(An(u) An(u) | τ+(n) <∞

)

1− F0(u)→ 0 ,

ha u→∞, ahol An(u) = κn > u. Mivel

P (Tu <∞)α

1−α(1− F0(u))→ 1 ,

P(An(u) | τ+(n) <∞

)= 1− F0(u) ,

P (τ+(n) <∞) = αn ,

ezert

limu→∞ P (Ku = n | Tu <∞) = limu→∞P(An(u) | τ+(n) <∞

)αn

P (Tu <∞)=

= (1− α)αn−1 ,

bizonyıtva az allıtast. 2

101

5.7. Martingalok alkalmazasa

Ebben a fejezetben a martingalelmelet eszkozeinek segıtsegevel vizsgaljuka kockazati folyamatokat. Eloszor roviden ismertetjuk a martingalelmeletalapfogalmait, csak olyan szinten, amilyenre a tonkremenes-problema el-emzesehez szukseges.

Legyen (Ft), t ≥ 0 σ-algebrak monoton novekedo csaladja. Az Ft σ-algebra reprezentalja azt az informaciot, melyet a t-idopontig osszegyujtot-tunk. Az Ft-be tartozo esemenyekrol a folyamataink [0, t] intervallumonfelvett ertekei alapjan el tudjuk donteni, hogy bekovetkeztek-e vagy sem.

Definıcio 5.4 Az Yt, t ≥ 0 sztochasztikus folyamatot adaptaltnak nevezzuk,ha Yt merheto az Ft σ-algebrara nezve. (Azaz Yt erteke az informacioinkatmeghatarozo folyamatok [0, t] intervallumon felvett ertekei alapjan megmond-hato.)

Definıcio 5.5 Az Mt, t ≥ 0 sztochasztikus folyamatot az Ft, t ≥ 0-re vonat-kozoan martingalnak (szubmartingalnak, szupermartingalnak) nevezzuk, haminden t ≥ 0 eseten Mt merheto az Ft σ-algebrara nezve, es

(i) E(|Mt |) <∞ ,

(ii) E(Mt | Fs) = Ms, s ≤ t eseten, ha martingalrol van szo;(E(Mt | Fs) ≥Ms, s ≤ t szubmartingal eseten;E(Mt | Fs) ≤Ms, s ≤ t szupermartingal eseten).

Roviden martingalnak (szubmartingalnak, szupermartingalnak) nevezzuk azMt, t ≥ 0 folyamatot, ha az Ft = σ (Ms, s ≤ t), t ≥ 0 σ-algebra folyamranezve martingal (szubmartingal, szupermartingal).

Vegyuk eszre, hogy egy martingal varhato erteke allando. (Szubmartin-galok eseten a varhato ertek novekszik, szupermartingalok eseten csokken.)

A kockazati folyamatainkban az az idopont, amikor eloszor megy a folya-mat erteke 0 ala, a veletlentol fugg. Ugyanakkor a folyamat [0, t] intervallu-mon felvett ertekebol pontosan eldontheto, hogy bekovetkezett-e mar ez azesemeny – maskeppen szolva, ez az idopont un. megallasi ido.

Definıcio 5.6 A ν valoszınusegi valtozot megallasi idonek nevezzuk (az Ft σ-algebrara nezve), ha ertekei a [0,∞] halmazbol kerulnek ki, es barmely teseten ν ≤ t ∈ Ft.

102

Tehat a t pillanatig felgyulemlett informacio alapjan eldontheto, hogy a tidopontig megallunk-e vagy sem.

A kesobbiekben gyakran hasznalni fogjuk, hogy megallasi idok mini-muma, maximuma is megallasi ido.

A kovetkezo tetel, mely karakterizalja a martingalokat, mutatja, hogymiert termeszetes es hasznos a martingalok hasznalata a tonkremenesi prob-lemakban.

Tetel 5.16 Az Mt, t ≥ 0 adaptalt sztochasztikus folyamat martingal, habarmely ν korlatos megallasi ido eseten

E(Mν) = E(M0) .

Ez a tetel lehetove teszi, hogy veletlen idopontokban vizsgaljuk folya-mataink kulonbozo funkcionaljait. A fenti tulajdonsagu megallasi idok hal-maza bovıtheto – nemcsak korlatos megallasi ido eseten lehet a varhato ertekugyanannyi, mint kezdetben –, errol szol a Wald-tetel (lasd Neveu [31]).

Martingalok 1 valoszınusegi konvergenciajarol szol az alabbi tetel.

Tetel 5.17 Ha az Mt, t ≥ 0 martingalra teljesul, hogy supt≥0 E |Mt |<∞,akkor a martingal 1 valoszınuseggel konvergens.

Megjegyzes: A martingal abszolut erteke varhato ertekenek korlatos-sagaval ekvivalens a pozitıv resze varhato ertekenek korlatossaga. Azonnalikovetkezmenye ennek, hogy minden nemnegatıv martingal 1-valoszınuseggelkonvergens.

Az Ut folyamat maga altalaban nem martingal. Bemutatunk nehanyolyan transzformaciot, melyek segıtsegevel a folyamat martingalla teheto.

Az egyik legegyszerubb transzformacio akkor alkalmazhato, ha a folya-mat veges varhato erteku es fuggetlen novekmenyu. Mivel a klasszikusrizikofolyamatban St ilyen, es ıgy az Ut folyamat is, rogton ezen mutatjuk bea modszer alkalmazasat.

Allıtas 5.2 Az Ut, t ≥ 0 folyamat a c > λµ feltetel eseten szubmartingal.Az Ut − (c− λµ)t folyamat martingal.

103

Bizonyıtas: Generaljak az Ft σ-algebrat az Us folyamat [0, t] inter-vallumon felvett ertekei. Ekkor E(Ut | Fs) = E(Ut − Us + Us | Fs) =Us + E(Ut − Us) = Us + (c − λµ)(t − s), mivel Ut − Us fuggetlen az Fs σ-algebratol, tehat felteteles varhato erteke maga a varhato ertek.

Ez egyszerre bizonyıtja mindket allıtast. 2

(Az allıtas bizonyıtasa mutatja, hogy veges varhato erteku, fuggetlennovekmenyu folyamatok eseten, ha a varhato erteket helyreigazıtjuk, mar-tingalt kapunk.)

Tekintsuk most u kezdotoke eseten a csod bekovetkezesenek Tu idopont-jat. Ez megallasi ido a folyamat altal generalt σ-algebrakra nezve. Eddigazt vizsgaltuk, hogy mikor lesz a pillanatnyi toke erteke negatıv. Valasszunkmost valamilyen u > u erteket. Kerdezhetjuk, hogy mi a valoszınusege an-nak, hogy elobb elerjuk a kıvant u szintet, mintsem negatıvva valik a pil-lanatnyi toke erteke. Ehhez tekintsuk folyamatunkat addig a pillanatig, amıgnegatıvva nem valik, vagy tullepi az u szintet. Jelolje ezt az idopontot Tu.Ez is megallasi ido.

Tetel 5.18 Ha c ≥ λµ, akkor

P (UTu = u) ≥ u

u.

Ha c = λµ es ezenfelul meg a Zi valoszınusegi valtozok korlatosak, mondjukZi ≤ K, akkor

P (UTu = u) ≤ K + u

K + u.

Bizonyıtas: Vegyuk eszre, hogy mivel a folyamat trajektoriai linearisannovekvo szakaszokbol (ct, ha nincs karesemeny) es negatıv ugrasokbol (−Zi,ha egy karesemeny kovetkezik be) allnak, ezert felfele az u erteket nemugorhatja at a folyamat.

Tekintsuk most az Ut szubmartingalt a Tu idopontig. Azaz legyen

Vt = Ut, ha t < Tu, illetve UTu , ha t ≥ Tu .

Nyilvan Vt → UTu 1 valoszınuseggel. Ugyanakkor Vt ≤ u, ıgy a Fatou-lemma alapjan

E(UTu) ≥ limt→∞E(Vt) ≥ E(U0) = u .

104

Azonban UTu erteke vagy u – amikor elobb erte el a folyamat az u erteket –vagy negatıv, amikor elobb kovetkezett be a csod. Ezert – a negatıv ertekeketelhagyva noveljuk a varhato erteket –

E(UTu) ≤ uP (UTu = u) .

Ezt osszevetve az elozo egyenlotlenseggel, kapjuk az elso bizonyıtando allı-tast.

Abban az esetben, ha Zi ≤ K es c = λµ, akkor a Vt martingal korlatos aTu idopontig, hiszen nem lehet nagyobb, mint u, es mikor esetleg lefele eloszornegatıvva valik, akkor az abban a pillanatban bekovetkezo ugras elott nemnegatıv volt, es az utolso karesemeny tette negatıvva, de a kar nagysagalegfeljebb K. Ezert ekkor

E(UTu) = E(U0) = u .

Masfelol megint figyelembe veve UTu lehetseges ertekeit, adodik, hogy

u = E(UTu) ≥ uP (UTu = u)−K(1− P (UTu = u)) .

Atrendezve kapjuk, hogy

P (UTu = u) ≤ K + u

K + u.

2

Egy masik lehetseges eljaras, melynek segıtsegevel fuggetlen novekmenyufolyamatbol martingalt lehet konstrualni, az exponencialis martingalok hasz-nalatan alapul. Nevezetesen az erSt folyamat eseteben a kulonbozo idopon-tokban felvett ertekek hanyadosa lesz fuggetlen a korabbi ertektol. Igy – haaz erSt varhato erteke veges – megint konnyen szamolhato a felteteles varhatoertek. Ahhoz, hogy martingalt kapjunk, az kell, hogy a varhato ertek allandolegyen. Valasszunk tehat olyan r erteket, melyre E(erZ1) <∞. Tekintsuk aze−r(u+ct−St) folyamatot. Ekkor E(e−r(u+ct−St)) = e−r(u+ct)E(erSt). Ez utobbitenyezo St momentumgeneralo fuggvenye az r helyen, melyrol tudjuk, hogyerteke az Z1 momentumgeneralo fuggvenye behelyettesıtve az osszeadandokszamat leıro Nt valoszınusegi valtozo generatorfuggvenyebe. A konkret eset-ben tehat

E(e−r(u+ct−St)) = e−r(u+ct)et(λh(r)) .

105

Bevezetve a g(r) = λh(r)− rc jelolest, az

Mt =e−r(u+ct−St)

etg(r)

folyamat martingal lesz, mivel

E(Mt | Fs) = MsE(Mt/Ms | Fs) = MsE(e−r[c(t−s)−(St−Ss)])e−(t−s)g(r)

a fuggetlenseg miatt. g(r) definıcioja alapjan tehat

E(Mt | Fs) = Ms .

Tekintsuk most a Tu megallasi idot, a tonkremenes idopontjat. Ez altala-ban nem korlatos megallasi ido, ıgy az 5.16 tetelt nem lehet kozvetlenul alkal-mazni. Vegyunk azonban egy ρ erteket, es vizsgaljuk a min(Tu, ρ) megallasiidot. Erre mar lehet alkalmazni a martingalok karakterizacios tetelet, ıgy

e−ru = E(M0) = E(Mmin(Tu,ρ)) .

Figyelembe veve a lehetosegeket:

e−ru = E(Mmin(Tu,ρ) | Tu ≤ ρ)P (Tu ≤ ρ) + (5.55)

+ E(Mmin(Tu,ρ) | Tu > ρ)P (Tu > ρ) ≥ (5.56)

≥ E(MTu | Tu ≤ ρ)P (Tu ≤ ρ) . (5.57)

Ebbol becslest kaphatunk P (Tu ≤ ρ) nagysagara. A kapott egyenlotlensegazonban tartalmazza MTu felteteles varhato erteket a Tu ≤ ρ feltetel mellett.Ezt durvan becsulhetjuk annak felhasznalasaval, hogy a Tu idopontban afolyamat erteke negatıv, ıgy az Mt definıciojaban szereplo hanyados szamla-loja 1-nel nagyobb. Ezt 1-gyel becsulve a

P (Tu ≤ ρ) ≤ e−ru

E(e−Tug(r) | Tu ≤ ρ)(5.58)

egyenlotlenseghez jutunk. Az exponencialis ertekeket a szoban forgo inter-vallumon felvett maximumukkal becsulve a

P (Tu ≤ ρ) ≤ e−ru sup0≤t≤ρ

etg(r) (5.59)

106

becsles adodik. ρ→∞ eseten, ha g(r) ≤ 0, a szupremum erteke 1, egyebkent∞. Tehat a vegtelen idohorizonton valo tonkremenes valoszınusegere annaljobb becslest kapunk, minel nagyobb r erteket valasztunk a g(r) ≤ 0 feltetelmellett. (Vegyuk eszre, hogy az eddigi gondolatmenet soran nem hasznaltukki teljesen azt, hogy klasszikus rizikofolyamatrol van szo, csak azt, hogy erSt

az e−tg(r) szorzoval teheto martingalla. Ehhez eleg annyi is, hogy a folyamatfuggetlen novekmenyu, es a momentum generalo fuggveny veges az r helyen.)Specialisan a klasszikus rizikofolyamat eseten, az

R = supr | g(r) ≤ 0definıcio a h(r)/r = c/λ egyenlet pozitıv gyoket adja, azaz egybeesik aLundberg-kitevovel. Maskeppen fogalmazva, ez az egyszeru martingalelmele-ti gondolatmenet – a levezetese soran alkalmazott durva becslesekkel – meg-adja a

Ψ(u) ≤ e−Ru

Lundberg-egyenlotlenseget, melyben szereplo kitevo a Cramer–Lundberg-feleapproximacios tetel alapjan a legjobb kitevo.

Egyszeru meggondolassal a g(R) = 0 esetben finomabba tehetjuk becs-lesunket. Ekkor Mt = e−r(u+ct−St) maga martingal lesz. Terjunk vissza az(5.57) egyenlotlenseghez. Az elozoekben egyszeruen elhagytuk a masodik ta-got. Azonban eszreveve, hogy a Tu > ρ esemenyen 0 ≤Mt ≤ 1, es Ut →∞a nagy szamok eros torvenye miatt a c > λµ feltetel mellett, ezert

E(Mmin(Tu,ρ) | Tu > ρ)P (Tu > ρ)→ 0 , ha ρ→∞ .

Tehat ekkor

Ψ(u) =e−Ru

E(e−RUTu | Tu <∞). (5.60)

[Megjegyzes: Ha a klasszikus rizikofolyamat helyett olyan Ut = u + Ytfolyamat eseten alkalmazzuk ezt a gondolatmenetet, mely nem ugorhatja ata 0 erteket, ekkor tehat UTu = 0, ha Tu < ∞, akkor ıgy a Ψ(u) = e−Ru

osszefuggeshez jutunk. Maskeppen fogalmazva, ekkor az − inft≥0 Yt valoszı-nusegi valtozo R parameteru exponencialis eloszlasu. (Zarojelben jegyezzukmeg, hogy ez peldaul teljesul az Yt = ct+Wt, ahol c > 0, Wt Wiener-folyamat,eseteben.)]

107

Tekintsunk most olyan klasszikus rizikofolyamatot, melyben a kareseme-nyek nagysagat leıro Zi valoszınusegi valtozok eloszlasa specialis.

Definıcio 5.7 Az F (z) eloszlasfuggveny az NBU (new better than used) el-oszlascsaladba tartozik, ha F (0) = 0, es tetszoleges x, y > 0 eseten

1− F (y + x)

1− F (y)≤ 1− F (x) .

Definıcio 5.8 Az F (z) eloszlasfuggveny az NWU (new worse than used)eloszlascsaladba tartozik, ha F (0) = 0, es tetszoleges x, y > 0 eseten

1− F (y + x)

1− F (y)≥ 1− F (x) .

Tehat NBU esetben az eloszlas oregedo, NWU esetben fiatalodo. (Azexponencialis eloszlas mindket csaladnak eleme – orokifju.)

Tetel 5.19 Tekintsuk a klasszikus rizikofolyamatot, es tegyuk fel, hogy lete-zik az R Lundberg-kitevo. Ekkor,

(i) ha F (z) NBU eloszlas, akkor

Ψ(u) ≥ λ

λ+Rce−Ru , (5.61)

(ii) ha F (z) NWU eloszlas, akkor

Ψ(u) ≤ λ

λ+Rce−Ru . (5.62)

(Vo. 5.4 egyenlotlenseggel.)Bizonyıtas: Az (5.60) osszefuggesben szereplo felteteles varhato erteket

becsuljuk. Az E(e−RUTu | Tu <∞) felteteles varhato ertek felırhato hanyadosalakban:

E(e−RUTu | Tu <∞) =E(e−RUTuχTu<∞)

P (Tu <∞).

108

Eloszor vizsgaljuk a nevezot. Mivel tonkremenes csak az ugrasok pillanata-ban – tehat valamelyik τk pillanatban – tortenhet, ezert

P (Tu <∞) =∞∑

k=1

P (Tu = τk) .

Azonban a Tu = τk esemeny azt jelenti, hogy a korabbi ugrasok alkalmavalaz Ut folyamat erteke meg nem negatıv volt, de a τk pillanatig osszegyulttoke Uτk−1

+ cζk nem eleg a Zk kifizetes fedezesere. Ha Uτk−1+ cζk felteteles

eloszlasfuggvenyet – azon feltetel mellett, hogy Tu > τk−1 – Gk(x) jeloli,akkor tehat

P (Tu = τk) =∫ ∞

0(1− F (x))dGk(x) ,

hiszen Zk fuggetlen az Uτk−1+ cζk valtozotol es a Tu > τk−1 esemenytol.

Ugyanakkor E(e−RUTuχTu<∞) is felbonthato aszerint, hogy melyik ugrasalkalmaval kovetkezik be a tonkremenes, es ismet kihasznalva az elobb emlı-tett fuggetlenseget, kapjuk, hogy

E(e−RUTuχTu<∞) =∞∑

k=1

∫ ∞0

∫ ∞x

e−R(x−z)dF (z)dGk(x) .

A belso integral parcialis integralassal tovabb alakıthato:∫ ∞x

e−R(x−z)dF (z) = −∫ ∞x

e−R(x−z)d(1− F (z)) =

= (1− F (x)) +∫ ∞

0[1− F (x+ s)]ReRsds .

Attol fuggoen, hogy F az NBU vagy a NWU osztalyba tartozik, 1−F (x+s)felulrol, illetve alulrol becsulheto az (1 − F (x))(1 − F (s)) szorzattal. Mivel∫∞0 eRs(1− F (s))ds = c/λ, ezert kapjuk, hogy Ψ(u) becsulheto a

∑∞k=1

∫∞0 (1 + Rc

λ)(1− F (x))dGk(x)

∑∞k=1

∫∞0 (1− F (x))dGk(x)

= 1 +Rc

λ

ertekkel. Megpedig az NBU esetben ez felso becsles, NWU esetben also. 2

A martingalelmelet mindket eddigi alkalmazasaban az alapveto kiindu-lopont az volt, hogy a vizsgalando folyamat valamely alkalmas fuggvenyetmegfelelo normalizalassal martingalla tettuk. Az elso peldaban magabol afolyamatbol csinaltunk determinisztikus fuggveny levonasaval martingalt, a

109

masodikban pedig az exponencialis fuggvenybe helyettesıtettuk be a folya-matot es azt normalizaltuk alkalmasan valasztott szorzo segıtsegevel.

Felvethetjuk ezt a kerdest altalanosan is. Tekintsuk az St folyamat vala-mely G(t, St) fuggvenyet. Hogyan lehet ezt ugy normalizalni, hogy martingallegyen belole? Mivel martingalok eseten a novekmenyek felteteles varhatoerteke 0, ezert a G(t, St) folyamat novekmenyet kell vizsgalni. Ez – heurisz-tikusan szolva – kicsiny intervallumon a G fuggveny derivaltjaval es az Stfolyamat megvaltozasaval ırhato le. A sztochasztikus Taylor-formula – azun. Ito-formula – egy specialis esetet mondja ki a kovetkezo tetel.

Tetel 5.20 Legyen H(u, x) olyan ketvaltozos fuggveny, melyre∫ t

0 H(u, x)duletezik minden rogzıtett x mellett. Adott G(0, x) merheto fuggveny esetenlegyen

G(t, x) = G(0, x) +∫ t

0H(u, x)du .

Tekintsuk az St osszetett Poisson-folyamatot. Ekkor az

Mt = G(t, St)−∫ t

0H(u, Su)du− λ

∫ t

0

∫[G(u, Su + y)−G(u, Su)]dF (y)du

(5.63)

kifejezessel definialt Mt folyamat martingal, felteve, hogy∫ ∞

0E | G(u, Su + y) | dF (y) <∞ .

Bizonyıtas: A bizonyıtasban egyszeruen nyers erovel kiszamoljuk a fel-teteles varhato erteket.

E(Mt | Fs) = Ms−G(s, Ss) +E(G(t, St) | Fs)−∫ t

sE(H(u, Su) | Fs) ds −

− λ∫ t

sE(G(u, Su + y) | Fs) dF (y) du+ λ

∫ t

sE(G(u, Su) | Fs) ds .

Mivel H(u, Su) = H(u+Ss+(Su−Ss)) es Su−Ss fuggetlen az Fs σ-algebratol,ezert a felteteles varhato erteket megkapjuk, ha a H(u + Ss + x) fuggvenytintegraljuk x-ben az Su−Ss valoszınusegi valtozo eloszlasa szerint. Ez utobbieloszlas az F (∗k) konvoluciohatvanyok (a

∑ki=1 Zi eloszlasanak) kevereke a

Poisson-eloszlasbol szarmazo (λ(u− s))k/(k!)e−λ(u−s) sulyok szerint. Tehat∫ t

sE(H(u, Su) | Fs)du =

∫ t

s

[H(u, Ss)P (Nu = Ns) +

+∞∑

k=1

∫ t

s

∫ ∞0

H(u, Ss + x)dF (∗k)(x)P (Nu −Ns = k)

]du .

110

Parcialisan integralva az egyes tagokban, kapjuk, hogy

∫ t

sH(u, Ss)e

−λ(u−s)du = G(t, Ss)e−λ(t−s) −G(s, Ss) +

+∫ t

sG(u, Ss)λe

−λ(u−s)du ,

illetve k ≥ 1 eseten

∫ t

sH(u, Ss + x)

[λ(u− s)]kk!

e−λ(u−s)du =

= G(t, Ss + x)[λ(t− s)]k

k!e−λ(t−s) −

−∫ t

sG(u, Ss + x)

[λk(u− s)k−1

(k − 1)!− λk+1(u− s)k

k!

]e−λ(u−s)du .

Osszegezve ezeket a tagokat k szerint, es csoportosıtva oket a

∫ t

sE(H(u, Su) | Fs)du = λ

∫ t

sE[G(u, Su) | Ft)du−G(s, Ss) +

+ E(G(t, St) | Fs)− λ∫ t

sE(G(u, Su + x) | Fs)dF (x)du

keplethez jutunk, mely (5.64)-ba helyettesıtve bizonyıtja a tetel allıtasat. 2

Megjegyzes: Felhıvjuk a figyelmet az (5.49) es (5.63) kozotti szem-beszoko hasonlosagra.

Pelda: A G(u, x) = e−au+rx fuggvenyt kapjuk a H(u, x) = −ae−au+rx,G(0, x) = erx valasztassal. Ekkor

Mt = e−at+rSt +∫ t

0ae−au+rSudu−

− λ∫ t

0(e−au+r(Su+x) − e−au+rSu)dF (x)du =

= e−at+rSt + (a− λh(r))∫ t

0e−au+rSudu

a megfelelo martingal. Specialisan, a = λh(r) eseten maga e−at+rSt leszmartingal.

Pelda: Bizonyıtas nelkul emlıtjuk meg, hogy a fenti martingal-konstruk-cio segıtsegevel megvalaszolhato peldaul az alabbi kerdes. Tegyuk fel, hogy

111

nem a tonkremenes valoszınuseget akarjuk meghatarozni, hanem azt, hogya folyamat mikor lep at egy adott gorbet. Peldaul, a > u, b valos szamokeseten tekinthetjuk a

T = inft ≥ 0 | u+ ct− St > a+ btmegallasi idot. Tegyuk fel, hogy c−λµ−b > 0, ekkor a nagy szamok torvenyealapjan limt→∞(u+ ct− St − bt) =∞, ezert T veges 1 valoszınuseggel.

Megmutathato, hogy

E(T ) =a− u

c− b− λµ .

5.8. Fordıtott martingalok alkalmazasa

A martingalt fordıtott martingalnak nevezzuk, ha a vele egyutt megadottσ-algebrafolyam csokkeno. Azaz tegyuk fel, hogy adottak a Gt σ-algebrak,ahol s < t eseten Gs ⊃ Gt. Az Mt folyamat fordıtott martingalt alkot, haelemei integralhatoak, es teljesul a martingaltulajdonsag, azaz

E(Ms | Gt) = Mt , ha s < t .

Tekintsuk most a klasszikus rizikofolyamatot. Ut = u+ct−St, St =∑Ntk=0 Zi,

c > 0.Legyen Gt az Ss, s ≥ t valoszınusegi valtozok altal generalt σ-algebra.

Allıtas 5.3 (lasd Delbaen es Haezendonck [15]) Tetszoleges u ≥ 0 eseten az

Mt =St

u+ ct+∫ ∞t

Sss

u

(u+ cs)2ds

(t > 0) fordıtott martingalt alkot a Gt σ-algebrak szerint.

Bizonyıtas: Tekintsuk eloszor az u = 0 esetet. Mivel a Gt σ-algebrataz St valtozo es a Sr − St, r > t novekmenyek generaljak, ez utobbiak vi-szont fuggetlenek Ss-tol, ha s < t, ezert eleg az E(1

sSs | St) felteteles varhato

erteket vizsgalni. Tegyuk fel eloszor, hogy s/t racionalis szam: s/t = p/q,ahol p, q egesz szamok. Tekintsuk az S folyamat 1/q hosszusagu interval-lumokon valo novekmenyeit, azaz legyen

ξi = S iqt − S i−1

qt , i = 1, . . . , q.

112

Az osszetett Poisson-folyamat tulajdonsagai miatt a ξi valoszınusegi valtozokfuggetlenek es azonos eloszlasuak. Legyen most A ⊂ R tetszoleges Borel-halmaz. Ekkor

E(

1

sSsχA(St)

)=

q

pt

p∑

i=1

E

ξiχA

q∑

j=1

ξj

=

=q

tE

ξ1χA

q∑

j=1

ξj

=

=1

t

q∑

i=1

E

ξiχA

q∑

j=1

ξj

=

= E(

1

tStχA (St)

).

Ezert tehat

E(

1

sSs | Gt

)= E

(1

sSs | St

)=

1

tSt , (5.65)

ha s/t racionalis. Ha s/t nem feltetlen racionalis, akkor rogzıtsuk s erteket,es kozelıtsuk a t idopontot olyan monoton csokkeno tn sorozattal, melyres/tn racionalis. Mivel ekkor a Gtn σ-algebrasorozat monoton novekvo, ıgyalkalmazhatjuk az (5.65) baloldalan allo mennyisegre a martingalkonvergen-cia tetelt, a jobboldalon allora pedig a St folyamat jobbrol folytonossagat.Kapjuk, hogy (5.65) tetszoleges s, t > 0 parra teljesul.

Ha u > 0 es s < t, akkor

E(Ms | Gt) = E(

Ssu+ cs

| Gt)

+∫ t

sE(Srr| Gt

)u

(u+ cr)2dr +

+∫ ∞t

Srr

u

(u+ cr)2dr =

=s

u+ cs

Stt

+Stt

∫ t

s

u

(u+ cr)2dr +

+∫ ∞t

Srr

u

(u+ cr)2dr =

= Mt ,

ami igazolja, hogy Mt fordıtott martingal. 2

113

Adott u kezdotoke mellett tekintsuk most a csod bekovetkezesenek pil-lanatat – ezt jeloli Tu. Rogzıtsunk most valamely t idopontot es legyen Rt

az utolso olyan idopont t elott, melyben a toke erteke negatıv volt. Azaz

Rt = sups ≤ t : u+ cs− Ss < 0 .

(Ha egyetlen s ≤ t ertek mellett sem negatıv a toke, akkor legyen Rt = 0.)Mivel c erteke pozitıv, ezert az Rt < t esemenyen a folyamat erteke az Rt

pillanatban 0. Hasonloan, ha St ≤ u + ct, akkor u + cRt = SRt . Vegyukeszre, hogy Rt nem megallasi ido az Ft σ-algebrak szerint, hiszen Rt ertekea folyamat jovobeli viselkedesetol fugg. Ugyanakkor Rt > s ∈ Gs.

Tetel 5.21 Ha u ≥ 0 es t > 0, akkor

P (Tu > t) = E

[(1− St

u+ ct

)+]

+∫

St≤u+ct

∫ t

Rt

Srr

u

(u+ cr)2drdP .

(5.66)

Megjegyzes: Az u = 0 esetben a tetel allıtasa azt mondja ki, hogy

P (T0 > t) = E

[(1− St

ct

)+].

Ezt a tetelt Takacs [37] bizonyıtotta eloszor kombinatorikai meggondolasokathasznalva.

Bizonyıtas: (A teljes reszletessegu bizonyıtas helyett csak egy lehetsegesgondolatmenet pillereit adjuk meg.)

Tekintsuk eloszor az u > 0 esetet. Kihasznalva, hogy Mr fordıtott mar-tingal, es az St ≤ u + ct esemeny benne van a Gt σ-algebraban, ezertalkalmazhatjuk a martingaltulajdonsagot az Rt veletlen idopontban. (Ennekerteke sohasem nagyobb, mint t.) Eszerint

∫

St≤u+ctSt

u+ ctdP +

∫

St≤u+ct

∫ ∞t

Srr

u

(u+ cr)2drdP =

=∫

St≤u+ctSRt

u+ cRt

dP +∫

St≤u+ct

∫ ∞Rt

Srr

u

(u+ cr)2drdP .

114

A jobb oldal elso tagja eppen a P (St ≤ u+ct, 0 < Rt) valoszınuseg. MivelP (Tu > t) = P (St ≤ u+ ct, Rt = 0), ıgy azt kapjuk, hogy

P (Tu > t) = P (St ≤ u+ ct)−∫

St≤u+ctSt

u+ ctdP +

+∫

St≤u+ct

∫ t

Rt

Srr

u

(u+ cr)2drdP =

=∫

St≤u+ct

(1− St

u+ ct

)dP +

+∫

St≤u+ct

∫ t

Rt

Srr

u

(u+ cr)2drdP .

Az allıtast az u = 0 nulla esetben hataratmenet segıtsegevel igazol-hatjuk, megmutatva, hogy a jobb oldal masodik tagja 0-hoz tart, az elsotag hatarerteke pedig

E

[(1− St

ct

)+].

2

Mivel P (T0 =∞) = 1− (λµ)/c, ezert rovid szamolas adja, hogy

P (t < T0 <∞) =1

t

∫ ∞t

P (St > u)du .

Ugyancsak igazolhato, hogy

P (T0 ≤ t) =λ

cE

(∫ min(T0,t)

0(1− F (cr − Sr))dr

).

Ezen ket egyenloseg adja az alapjat annak a tetelnek, mely szerint

E(T k0 χT0<∞) <∞ akkor es csak akkor, ha E(Zk+11 ) <∞ .

(Lasd Delbaen [16].)

115

6. Kockazati folyamatok felujıtasi modelljei

Ebben a fejezetben a klasszikus rizikofolyamathoz hasonlo szerkezetu koc-kazati folyamatokat fogunk vizsgalni: Ut = u + ct − St, ahol St =

∑Nti=0 Zi,

azonban most Nt nem homogen Poisson-folyamat, hanem felujıtasi folyamat.Ekkor tehat Nt trajektoriai tovabbra is tiszta ugro fuggvenyek, az ugrasoknagysaga 1, azonban az ugrasok kozotti idotartamok nem exponencialis elosz-lasuak, jollehet tovabbra is fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi valtozok.A korabban bevezetett jeloleseket hasznalva tehat ζ1, ζ2, . . . mennyisegek fug-getlenek, azonos eloszlasuak. Jelolje a kozos eloszlasfuggvenyt K(t). Legyentovabbra is a varhato ertek 1/λ. Feltesszuk termeszetesen, hogy c > 0. Ismeta tonkremenes esemenyet, valoszınuseget vizsgaljuk.

Felujıtasi folyamat eseten az Nt folyamat novekmenyei altalaban nemfuggetlenek. [Ugyanis altalaban meg csak nem is Markov-folyamat, hiszen azegy adott allapotban eltoltott ido – ket ugras kozotti idotartam – nem ex-ponencialis eloszlasu; marpedig Markov-folyamatok eseten annak kell lennie(lasd Karlin–Taylor [26]).] Igy a klasszikus rizikofolyamat vizsgalata soranalkalmazott modszerek minden valtoztatas nelkul nem vihetoek at a felujıtasifolyamatok esetere.

Azonban, mivel az Ut folyamat trajektoriai tovabbra is olyan szerkezetu-ek, mint a klasszikus rizikofolyamat eseten, ezert a tonkremenes csak valame-lyik karesemeny pillanataban, a folyamat ugrasakor johet letre. Azaz, ha avegtelen idohorizonton vizsgaljuk a csod valoszınuseget, eleg a τk =

∑ki=1 ζi

idopontokban venni a folyamat erteket. Legyen tehat

Yk = Zk − cζk .Ezek fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi valtozok.

E(Yk) = µ− c

λ.

Az

Xn =n∑

k=1

Yk

sorozat bolyongast definial – fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi valto-zok reszletosszegei hatarozzak meg –, melyre

Ψ(u) = P (u+ ct− St < 0 , valamely t ≥ 0 eseten) = P (maxn≥1

Xn > u) .(6.1)

116

Tehat az ıgy kapott diszkret parameteru folyamat mar fuggetlen novekmenyu.Ismet a nagy szamok eros torvenyet alkalmazva,

1

nXn → µ− c

λ,

ıgy, ha c < λµ, akkor Xn →∞, tehat Ψ(u) = 1 barmely u kezdotoke eseten.Mikent korabban mar emlıtettuk, a Chung–Fuchs-tetel alapjan szinten 1valoszınuseggel bekovetkezik a csod, ha c = λµ es az Yk valoszınusegi valto-zok, melyek ekkor nulla varhato ertekuek, nem azonosan nullak. Ez utobbi,mivel Zk es ζk fuggetlenek, csak akkor lehetne, ha Zk = 0 es ζk = 0. Felte-hetjuk, hogy nem ezen trivialis esettel allunk szemben.

6.1. A csodvaloszınusegre vonatkozo integralegyenlet

Megkısereljuk a klasszikus rizikofolyamat elemzese soran alkalmazott mod-szereket most is felhasznalni. Tehat egyfelol alkalmasan valasztott velet-len mennyisegek szerinti feltetelesvaloszınuseg-tetel segıtsegevel valamilyenegyenletet felırni a Ψ(u) valoszınusegre mint u fuggvenyere, masfelol pedigmegfelelo transzformacioval martingalla alakıtani a folyamatot. Kezdjuk ezutobbival. Az exponencialis martingal modszeret akarjuk alkalmazni. Ekkora varhato erteket valamilyen szorzo segıtsegevel allıtjuk be allandora. Ehhezaz E(erY1) varhato erteket kell alkalmas r mellett kiszamolni.

Allıtas 6.1 Legyen g(r) = E(erY1).Ha c > λµ, akkor pontosan egy olyan pozitıv R ertek letezhet, melyre

g(R) = 1 . (6.2)

Ha tovabba P (Y1 ≤ 0) < 1 es g(r) minden r ≥ 0 ertekre veges, akkor letezika (6.2) egyenletnek gyoke.

Bizonyıtas: g(r) nyilvanvaloan folytonos fuggvenye r-nek azon a tar-tomanyon, ahol veges erteku, hiszen pozitıv x mellett erx r szerint monotonnovo, negatıv x mellett monoton csokkeno folytonos fuggveny. Emellettg(0) = 1 es g′(0) = E(Y1) = µ− c

λ< 0. Ugyanakkor a g fuggveny szigoruan

konvex, hiszen ennek erteke a szigoruan konvex erx (r > 0 eseten) fuggvenyek(mint x fuggvenyei) kevereke az Y1 eloszlasfuggvenye szerint, mely kulonbozik

117

az azonosan nulla valoszınusegi valtozo eloszlasfuggvenyetol. Tehat a (6.2)egyenletnek egyetlen pozitıv gyoke lehet csak.

Ha tovabba P (Y1 ≤ 0) < 1 teljesul, akkor letezik olyan pozitıv x0 szam,melyre P (Y1 ≤ x0) < 1, es ıgy E(erY1) ≥ erx0 [1− P (Y1 ≤ x0)] → ∞, har → ∞. Igy tehat pontosan egy pozitıv megoldasa letezik a g(R) = 1egyenletnek. 2.

Megjegyezzuk, a fenti allıtas reszbeni megfordıtasa is igaz. Ha a g(r) = 1egyenletnek letezik pozitıv gyoke, akkor P (Y1 ≤ 0) < 1. Ugyanis, ha ezzelellentetben P (Y1 ≤ 0) = 1 teljesulne, akkor az erY1 valoszınusegi valtozoertekei r > 0 eseten nem nagyobbak, mint 1, es mivel Y1 nem azonosannulla, pozitıv valoszınuseggel az erteke kisebb 1-nel. Ezert varhato ertekeg(r) < 1.

A tovabbiakban feltesszuk, hogy az elozo tetel feltetelei teljesulnek.A kovetkezo tetel allıtasa Sparre Andersentol szarmazik (Sparre Andersen

[35]), jollehet Sparre Andersen bizonyıtasaban mas utat kovet.

Tetel 6.1 Legyen R a (6.2) egyenlet pozitıv megoldasa. Ekkor a csod valoszı-nusegere az alabbi becsles adhato:

Ψ(u) ≤ e−Ru .

Bizonyıtas: Valasszunk olyan r > 0 erteket, ahol g(r) veges. Ekkor az

Mn =e−r(u−

∑n

i=1Yk)

g(r)n

folyamat martingal. Legyen

Ku = infn : Xn > u .

Ez megallasi ido. Tetszoleges k mellett min(Ku, k) mar korlatos megallasiido, ıgy

E(Mmin(Ku,k)) = E(M0) = e−ru .

Az elso tagban szereplo varhato erteket szetbontva aszerint, hogy Ku vagy kvesz fel kisebb erteket, majd elhagyva megint a k < Ku-nak megfelelo tagot,az

e−ru ≥ E(MKu | Ku ≤ k)P (Ku ≤ k)

118

becsles adodik. Mivel a Ku pillanatban u−XKu < 0, ıgy az Mn martingaltdefinialo tort szamlaloja 1-nel nagyobb. Ezert a k → ∞ hataratmenet utankapjuk, hogy

P (Ku <∞) ≤ e−ru supn≥0

g(r)n .

Ez tetszoleges olyan r mellett igaz, amelyre g(r) < ∞ teljesul. Az r = Rerteket valasztva a bizonyıtando

Ψ(u) = P (Ku <∞) < e−Ru

egyenlotlenseghez jutunk. 2

Tekintsuk most a felteteles valoszınuseg tetelet alkalmazo eljarast. Ter-meszetes otlet, hogy a csod valoszınusegere annak figyelembevetelevel ırjunkfel egyenletet, hogy mekkora az Y1 valoszınusegi valtozo erteke. Jelolje G(u)az Yk valtozok kozos eloszlasfuggvenyet, melyet most jobbrol folytonosnakveszunk. Azaz

G(u) = P (Y1 ≤ u) .

Ez −ζ1 es Z1 eloszlasfuggvenyenek konvolucioja. Ha u kezdotoke mellett Y1

erteke u-nal nagyobb – ennek valoszınusege (1 − G(u)), akkor mar az elsougras pillanataban – a folytonos ideju folyamatot tekintve a ζ1 idopontban– bekovetkezik a csod. Ha Y1 erteke nem nagyobb, mint u, akkor az u − Y1

erteket tekinthetjuk kezdotokenek, es innen tovabb kell a csod bekovetkezesetvizsgalni. Kepletben tehat

Ψ(u) = [1−G(u)] +∫

(−∞,u]Ψ(u− s)dG(s) . (6.3)

Ez azonban, jollehet formailag nagyon hasonlo az (5.19) egyenlethez, megsemfelujıtasi egyenlet, hiszen az integral also hatara −∞, pontosabban a c > λµfeltetel mellett Y1 eloszlasa az E(Y1) < 0 tulajdonsag miatt nem korlatozodika nemnegatıv szamokra. Ezert nem alkalmazhatjuk a felujıtasi teteleket.Ehhez olyan valoszınusegi valtozo ertekei szerint kellene a teljes valoszınusegtetelet hasznalni, mely nem negatıv erteku. Ilyen mennyiseget kapunk, hatekintjuk az Xn folyamat erteket abban a veletlen idopontban, mikor eloszorpozitıvva valik. Ez eppen a K0 pillanat. Legyen tehat

κ1 = XK0 es A(y) = P (κ1 ≤ y,K0 <∞) .

119

A K0 =∞ halmazon nem definialjuk κ1 erteket. A(y) lenyegeben κ1 eloszlas-fuggvenye, azonban megvaltozasa nem 1, hiszen K0 nem feltetlenul veges.Vegyuk eszre, hogy A(∞) = limy→∞A(y) = Ψ(0). A teljes valoszınusegtetelet akarjuk alkalmazni κ1 ertekei szerint, kihasznalva, hogy a folyamatidorol idore megujul. Tehat a K0 idopont utan ugyanugy viselkedik, minteredetileg, a 0 idoponttol kezdve.

Ennek igazolasahoz a felujıtaselmelet egy fontos konstrukciojat, az un.letraindexeket kell hasznalnunk. Ez a konstrukcio lenyegeben megegyezikazzal, amit az 5.6.1. szakaszban hasznaltunk, bar ott a folyamat folytonosparameteret megtartottuk, a jeloleseket a jelen szakasszal osszhangban vezet-tuk be. Azonban az egyes szakaszok reszleges onallosaga miatt, tovabba te-kintettel arra, hogy most nincsen szukseg a konstrukcio ugyanolyan reszleteskiepıtesere, a szukseges elemeket megismeteljuk.

Legyen X0 = 0 es tekintsuk az Xk, k ≥ 0 folyamatot.

Definıcio 6.1 Az m ≥ 0 index letraindex, ha Xm > Xj, j = 0, . . . , (m− 1)eseten.

Az elso letraindex azonosan 0. A (k + 1). letraindexet jelolje νk. Ezeketrekurzıvan is lehet definialni:

ν0 = 0 ,

νn = infm > ν(n−1) : Xm > Xj, 0 ≤ j ≤ (m− 1)

.

Elkepzelheto, hogy ν(n−1) utan mar nincsen olyan index m, mely pillanatbanXm nagyobb lenne, mint minden korabbi ertek. Ekkor nem definialjuk akovetkezo es a tovabbi letraindexeket. (Matematikailag ugyanugy kielegıtolenne azt mondani, hogy ekkor νn =∞. Azonban talan a szemleletes kepnekjobban megfelel, ha ilyenkor nem definialjuk a tovabbi letraindexeket.)

Vegyuk eszre, hogy ν1 = K0.Definialjuk a kovetkezo esemenyeket:

Ak = pontosan k letraindex letezik ,Bk = legalabb k letraindex letezik .

Ekkor Ak = Bk−B(k+1). Az A1 esemenyen pontosan 1 letraindex van (amelydefinıcio szerint a 0 idopont), azaz itt Xk ≤ 0 barmely k ≥ 1 eseten. Ezert

P (A1) = Φ(0) .

120

A B2 esemenyen szeretnenk κ1 ertekei szerint a teljes valoszınuseg teteletalkalmazni. Tekintsuk tehat a

ξj = Yν1+j

veletlen mennyisegeket, melyeket a B2 esemenyen definialunk. Azaz az elsoletraindextol kiindulva ujraszamozzuk a folyamatot. Jelolje Q a B2 esemenyszerinti felteteles valoszınuseget. (Mivel P (Y1 > 0) > 0, ezert P (B2) > 0.)

Tetel 6.2 A ξk, k ≥ 1 sorozat (a Q valoszınuseg szerint) fuggetlen az Xν1

valoszınusegi valtozotol es Q szerinti egyuttes eloszlasa megegyezik az Xk, k ≥1 sorozat (P szerinti) egyuttes eloszlasaval.

(Ez az 5.2 lemma allıtasanak reszbeni megismetlese.)Bizonyıtas: Legyen f tetszoleges k-valtozos, g pedig 1-valtozos korlatos

fuggveny. Ekkor

E(f(ξ1, ξ2, . . . , ξk)g(Xν1) | B2) =

=1

P (B2)

∞∑

j=1

E(f(Yj+1, . . . , Yj+k)g(Xj)χν1=j) =

=1

P (B2)E(f(Y1, . . . , Yk))

∞∑

j=1

E(g(Xν1χν1=j)) =

= E(f(Y1, . . . , Yk))E(g(Xν1) | B2)

felhasznalva, hogy Yj+1, Yj+2, . . . Yj+k sztochasztikusan fuggetlen (a P valo-szınuseg szerint) az Xj , ν1 = j mennyisegektol. Ez egyszerre bizonyıtja atetel mindket allıtasat, hiszen a g = 1 fuggvenyt valasztva az

E(f(ξ1, ξ2, . . . , ξk) | B2) = E(f(Y1, Y2, . . . , Yk))

egyenlethez jutunk. Ezert tehat tetszoleges g mellett

E(f(ξ1, ξ2, . . . , ξk)g(Xν1) | B2) = E(f(ξ1, ξ2, . . . , ξk) | B2)E(g(Xν1) | B2)

igaz. 2

Alkalmazzuk tehat a teljes valoszınuseg tetelet a B2 esemeny es a κ1

valoszınusegi valtozo ertekei szerint a Ψ(u) = P (Ku < ∞) mennyisegre.Harom eset van. B2 komplementeren – tehat ahol K0 erteke vegtelen, azaz az

121

Xk sorozat vegig nempozitıv marad – a felteteles valoszınuseg 0. A masodikeset, mikor a B2 esemenyen Xν1 = κ1 erteke u-nal nagyobb, tehat ekkor azelso letrafok pillanataban bekovetkezik a csod (u kezdotoke eseten). Ennekvaloszınusege A(∞) − A(u). Vegezetul, mikor 0 < κ1 ≤ u. Igy tehat a 6.2Tetel alapjan a

Ψ(u) = A(∞)− A(u) +∫

(0,u]Ψ(u− y)dA(y) (6.4)

egyenlethez jutunk.Vegyuk eszre, hogy a levezetes kozben csupan azt a feltetelt hasznaltuk

ki, hogy P (Y1 > 0) > 0, ami ekvivalens azzal, hogy P (B2) > 0, maskeppenν1 pozitıv valoszınuseggel veges. (Ezen feltetel nelkul meg nulla kezdotokeeseten is nulla a valoszınusege annak, hogy csod kovetkezik be, tehat ekkorΨ(u) = 0, u ≥ 0 eseten.)

Erdemes felırni a Φ(u) = P (Tu =∞) fuggvenyre vonatkozo egyenletet is.

Φ(u) = P (K0 =∞) +∫

(0,u]Φ(u− y) dA(y) =

= 1− A(∞) +∫

(0,u]Φ(u− y) dA(y) = (6.5)

= 1− A(∞) + A(∞)∫

(0,u]Φ(u− y)

1

A(∞)dA(y) . (6.6)

Osszevetve ezt az (5.42) osszefuggessel lathatjuk, hogy ez az (5.5) egyenletmegfeleloje felujıtasi folyamatokra. Ebbol – az (5.11) egyenlethez hasonloan

Φ(u) = (1− A(∞))∞∑

k=0

A(∞)kA(∗k)0 (u) , (6.7)

ahol A0 =1

A(∞)A a κ1 normalizalt eloszlasa: A0(y) = P (κ1 ≤ y | K0 <∞).

Megjegyzes: Ha a (6.4) egyenletben az u→∞ hataratmenetet vesszuk,akkor – mivel Ψ(u) ismet monoton csokkenve tart Ψ(∞)-hez – atrendezesutan a Ψ(∞)(1− A(∞)) = 0 osszefuggesre jutunk, vagy maskeppen

Ψ(∞)(1−Ψ(0)) = 0 .

Azaz, ha Ψ(∞) > 0, akkor Ψ(0) = 1, maskeppen, ha Ψ(0) < 1, akkorΨ(∞) = 0.

122

A (6.4) egyenlet megoldasat altalanos esetben megint nem egyszeru meg-hatarozni. Azonban fazis tıpusu eloszlasok eseten felırhato olyan egyen-let, melynek megoldasa szukcesszıv approximacioval kozelıtheto. Bizonyıtasnelkul idezzuk az alabbi tetelt. (Lasd Asmussen es Rolski [4].)

Tetel 6.3 Jelolje K az egyes karigenyek kozotti idotartam eloszlasfuggve-nyet. Tegyuk fel, hogy a karnagysag eloszlasa fazis tıpusu, melyet (π, T, d)hataroznak meg. Ekkor a csod valoszınuseget leıro Ψ(u) fuggveny is fazistıpusu, melyet (π+, Q, d) definialnak, ahol Q megoldasa az alabbi egyenletnek:

Q = T + t0π∫ ∞

0eQsdK(s) ,

(t0 = −Te0, e0 a csupa 1-t tartalmazo oszlopvektor), es

π+ = eT0 (Q− T )/eT0 t0 .

2

6.2. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese

Hasonloan a klasszikus rizikofolyamat eseteben kovetett gondolatmenethez,a (6.4) egyenlet bizonyos esetben ismet normalizalas segıtsegevel alakıthatofelujıtasi egyenlette. Tegyuk fel, hogy letezik olyan ρ ertek, melyre

∫ ∞0

eρydA(y) = 1 . (6.8)

Ekkor az

eρuΨ(u) = eρu[A(∞)− A(u)] +∫ u

0eρ(u−y)Ψ(u− y)eρydA(y)

(6.9)

mar felujıtasi egyenlet.

Tetel 6.4 Tegyuk fel, hogy r 7→ ∫∞0 erydA(y) veges ρ egy pozitıv kornyeze-

teben. Ekkor, ha az A(y) fuggveny altal meghatarozott mertek nem racsos,akkor

letezik a limu→∞ e

ρuΨ(u) hatarertek, (6.10)

123

es

limu→∞ e

ρuΨ(u) =1ρ(1− A(∞))

∫∞0 yeρydA(y)

. (6.11)

Bizonyıtas: Eloljaroban megjegyezzuk, hogy (6.11) nevezojeben szerep-lo mennyiseg a felteveseink miatt veges es pozitıv. Parcialis integralassalkapjuk, hogy∫ ∞

0eρu(A(∞)− A(u))du = [eρu(A(∞)− A(u)]∞0

1

ρ+

1

ρ

∫ ∞0

eρudA(u) =

=1

ρ(1− A(∞)) .

Ezert az 5.5 tetel kozvetlenul adja a bizonyıtando allıtast. 2

Tetel 6.5 Legyen R a (6.2), ρ pedig a (6.8) egyenlet pozitıv megoldasa.Ekkor

ρ = R .

Bizonyıtas: Az R mennyiseg definıcioja lehetove teszi, hogy az Yk, k ≥ 1valoszınusegi valtozok helyett tekintsunk olyan Yk, k ≥ 1 fuggetlen, azonoseloszlasu valoszınusegi valtozokat, melyekre

P (Yk ≤ y) =∫ y

−∞eRsdG(s) .

Legyen Xn =∑nk=1 Yk.

Ekkor E(Yk) = g′(R) > 0. Ezert Xn →∞ 1 valoszınuseggel. Specialisan

P (supn≥0

Xn > 0) = 1 .

Tehat∫ ∞

0eRydA(y) =

= E(eRY1χY1>0) +∞∑

n=2

E(eRXnχXn>0,Xk≤0, k=1,...,(n−1)

)=

= P (Y1 > 0) +∞∑

n=2

P (Xn > 0, Xk ≤ 0, k = 1, . . . , (n− 1)) =

= P (sup Xn > 0) = 1 .

124

2

Tehat a martingalos megkozelıtessel levezetett Lundberg-fele approxima-cioban szereplo kitevo pontos, eRuΨ(u) hatarerteke pozitıv es veges.

Termeszetesen felujıtasi folyamatok eseten is felvetheto a kerdes, hogyankell az R Lundberg-kitevot becsulni. Bizonyıtas nelkul emlıtjuk meg azalabbi konstrukciot (lasd Csorgo es Steinbach [12]).

Vegyuk az Yk = Zk−cζk valoszınusegi valtozokat, g(r) = E(erY1). LegyenM0 = 0 es

Mn = [Mn−1 + Yn]+ .

Tetel 6.6 Tegyuk fel, hogy g(r) veges a 0 egy jobb oldali nyılt kornyezeteben,g′(0) < 0, es legyen R > 0 a g(r) = 1 megoldasa. Ekkor

limn→∞ max

1≤k≤nMk

logn=

1

R1 valoszınuseggel .

Tekintsuk most azokat az idopontokat – pontosabban a megfelelo karese-menyek indexeit –, melyek soran a toke erteke a korabbi maximumat megha-ladja:

ν1 = infn ≥ 1 : Mn = 0 ,νk = infn > νk−1 : Mn = 0 .

Ezek az un. csokkeno letraindexek. Nezzuk meg, hogy kozben az Mj sorozatmilyen maximalis erteket ert el. Azaz legyen

Vk = maxνk−1<j≤νk

Mj .

Rogzıtett n mellett vegyuk a V1, . . . , Vn mennyisegeket es rendezzuk oketnagysag szerinti sorrendbe:

V1,n < V2,n < · · · < Vn,n .

Tetel 6.7 Tegyuk fel, hogy teljesulnek az elozo tetel feltetelei, es legyen knolyan szamsorozat, melyre kn/n→ 0. Ekkor

limn→∞

Vn−kn+1,n

log(n/kn)=

1

R1 valoszınuseggel .

Az elozo tetel lehetoseget ad arra, hogy R erteket az un. bootstrap-mod-szerrel becsuljuk (lasd Embrechts es Mikosch [19]).

125

6.3. A csodvaloszınuseg aszimptotikus viselkedese kie-melkedo karok eseten

Ha az A0(y) = P (κ1 ≤ y | K0 <∞) eloszlasfuggveny szubexponencialis, ak-kor az (6.7) osszefuggesre alkalmazhatjuk a 5.7 tetelt. Ekkor az 5.1 kovetkez-meny megfelelojet kapjuk.

Kovetkezmeny 6.1 Legyenek Y1, Y2, . . . fuggetlen, azonos eloszlasu valo-szınusegi valtozok, melyekre E(Y1) < 0 es P (Y1 ≤ 0) < 1. Legyen Xn =∑ni=1 Yi es

K0 = inf n : Xn > 0Tegyuk fel, hogy a ν1 = K0 elso letraindex pillanataban tekintett κ1 = XK0

valoszınusegi valtozo felteteles eloszlasfuggvenye

A0(y) = P (XK0 ≤ y | K0 <∞)

szubexponencialis. Ekkor

limu→∞

ψ(u)

1− A0(u)=

P (K0 <∞)

1− P (K0 <∞). (6.12)

Bizonyıtas: A (6.7) eloallıtasra alkalmazhatjuk az 5.7 tetelt. Az adodohatarertek

∑

k=1

k (1− P (K0 <∞))P (K0 <∞)k =P (K0 <∞)

1− P (K0 <∞),

bizonyıtva az allıtast. 2

A tetel alkalmazhatosagahoz szukseg van arra, hogy az A0 eloszlasfugg-veny tulajdonsagat ismerjuk. Az 5.1 lemma (iv) pontja alapjan a szubexpo-nancialitas igazolasahoz eleg az 1−A0(z) aszimptotikus viselkedeset ismerni.A 6.8 tetelben ezt az Y1 eloszlasfuggvenyenek aszimptotikajaval hozzuk kapc-solatba. Ehhez egy elokeszıto lemmara van szuksegunk.

LegyenK−0 = inf n ≥ 1 : Xn ≤ 0 ,

tovabbaA−(y) = P

(XK−0

≤ y,K−0 <∞).

126

K−0 az elso csokkeno (gyenge) letraindex. Fontos eszrevennunk, hogy mıgaz A altal meghatarozott mertek a pozitıv szamokra, addig az A− altalmeghatarozott mertek a nemnegatıv szamokra koncentralodik. Az E(Y1) < 0feltetel mellett A− valoszınusegi merteket hataroz meg.

Lemma 6.1 Az Y1 eloszlasfuggvenye es a K0, K−0 letraindexekhez tartozoXK0 es XK−0

valtozok eloszlasfuggvenyei kozott az

G = A+ A− − A ∗ A− (6.13)

osszefugges all fenn.

Bizonyıtas: Vezessuk be az alabbi jeloleseket:

A =∞∑

k=0

A(∗k) (6.14)

An(C) = P (Xn > Xk, k = 0, . . . , n− 1, Xn ∈ C) , haC ⊂ R . (6.15)

Vegyuk eszre, hogy

An(C) = P (Xk > 0, k = 1, . . . , n,Xn ∈ C) , (6.16)

kihasznalva, hogy az

Y1, Y1 + Y2, . . . , Y1 + · · ·+ Yn

esYn, Yn + Yn−1, . . . , Yn + · · ·+ Y1

egyuttes eloszlasa megegyezik. Tovabba

A =∞∑

n=0

An . (6.17)

Ha C ⊂ (−∞, 0], akkor

P(XK−0

∈ C,K−0 = n)

= P (Xn ∈ C,Xk > 0, k = 1, . . . , n− 1) =

= An−1 ∗G(C) .

127

Ha pedig C ⊂ (0,∞), akkor

An(C) = P (Xk > 0, k = 1, . . . , n,Xn ∈ C) =

= An−1 ∗G(C) .

Osszeadva ezeket tetszoleges C ⊂ R eseten, kapjuk, hogy

An(C) + P(XK−0

∈ C,K−0 = n)

= An−1 ∗G(C) .

Majd osszegezve n szerint az

A+ A− = A ∗G+ δ0 (6.18)

egyenlethez jutunk, ahol δ0 a 0 pontra koncentralt valoszınusegeloszlas.Kepezzuk az A altal meghatarozott mertekkel konvoluciot:

A ∗ A+ A− ∗ A = A ∗G ∗ A+ A = A ∗G−G+ A ,

ahol az A ∗ A = A − δ0 azonossagot hasznaltuk. Levonva ebbol a (6.18)egyenletet es ismet hasznalva az elozo osszefuggest, a

−A− + A− ∗ A = −G+ A

egyenlethez jutunk, amely az bizonyıtando allıtassal ekvivalens. 2

Alkalmazzuk a (6.13) egyenletet C = (z,∞) ⊂ (0,∞) reszhalmaz eseten.

1−G(z) = A(∞)− A(z)−∫

(−∞,0](A(∞)− A(z − t)) dA−(t) .

(6.19)

Tetel 6.8 Legyenek Y1, Y2, . . . fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi val-tozok, melyek kozos (jobbrol folytonosnak vett) eloszlasfuggvenye G. Tegyukfel, hogy E(Y1) < 0 es P (Y1 ≤ 0) < 1. Legyen Xn =

∑ni=1 Yi es K0 az elso

letraindex, azazK0 = inf n ≥ 1 : Xn > 0 .

LegyenA(y) = P (XK0 ≤ y,K0 <∞) .

128

Ha a∫∞u+s (1−G(z)) dz∫∞u (1−G(z)) dz

→ 1 , (6.20)

ha u→∞, tetszoleges s eseten tulajdonsag teljesul, akkor

A(∞)− A(u)∫∞u (1−G(z)) dz

→ 1∫(−∞,0] A

−(t) dt.

Bizonyıtas: Integraljuk a (6.19) osszefugges mindket oldalat u-tol∞-ig,ahol u > 0.

∫ ∞u

(1−G(z)) dz =∫ ∞u

(A(∞)− A(z)) dz −

−∫ ∞u

∫

(−∞,0](A(∞)− A(z − t)) dA−(t) dz =

=∫ ∞u

(A(∞)− A(z)) dz −

−∫

(−∞,0]

[∫ ∞u

(A(∞)− A(z − t)) dz]dA−(t) .

Alkalmazzunk parcialis integralast az utolso tagban:∫ ∞u

(1−G(z)) dz =∫ ∞u

(A(∞)− A(z)) dz −

−([∫ ∞

u(A(∞)− A(z − t)) dz × A−(t)

]0

t=−∞

)+

+∫

(−∞,0]A−(t) dt

(∫ ∞u

(A(∞)− A(z − t)) dz).

Mivel ∫ ∞u

(A(∞)− A(z − t)) dz =∫ ∞u−t

(A(∞)− A(y)) dy ,

es[∫ ∞u

(A(∞)− A(z − t)) dz × A−(t)]0

t=−∞=∫ ∞u

(A(∞)− A(z)) dz ,

ezert az∫ ∞u

(1−G(z)) dz =∫

(−∞,0]A−(t) (A(∞)− A(u− t)) dt

129

osszefuggeshez jutunk. Ennek alapjan

(A(∞)− A(u))∫

(−∞,0]A−(t) dt ≥

∫ ∞u

(1−G(z)) dz , (6.21)

(A(∞)− A(u+ s))∫

(−s,0]A−(t) dt ≤

∫ ∞u

(1−G(z)) dz , (6.22)

ahol s > 0 rogzıtett szam. Alkalmazva az elso egyenlotlenseget u helyett azu+ s pontban a

∫∞u+s (1−G(z)) dz∫

(−∞,0]A−(t) dt

≤ A(∞)− A(u+ s) ≤∫∞u (1−G(z)) dz∫

(−s,0] A−(t) dt

.

Ha tehat a ∫∞u+s (1−G(z)) dz∫∞u (1−G(z)) dz

→ 1 ,

ha u→∞ feltetel teljesul, akkor

A(∞)− A(u)∫∞u (1−G(z)) dz

→ 1∫(−∞,0]A

−(t) dt=

1

E(−XK−0

) ,

ami a bizonyıtando allıtas. 2

Igy tehat a fenti tetel felteteleinek teljesulese eseten az

1− A0(y) = 1− 1

A(∞)A(u)

fuggveny aszimptotikusan megegyezik az

1

A(∞)E(−XK−0

)∫ ∞u

(1−G(z)) dz (6.23)

fuggvennyel.Alkalmazva az (6.16) es (6.17) osszefuggeseket a C = R halmaz esetere,

az

A(R) =∞∑

n=0

P (Sk > 0, k = 1, . . . , n) = E(K−0 )

azonossaghoz jutunk. Ugyanakkor (6.14) alapjan

A(R) =1

1− A(∞).

130

Tovabba, mivel az Xn sorozat fuggetlen, azonos eloszlasu, veges varhatoerteku valoszınusegi valtozok reszletosszegeibol all, tehat tetszoleges vegesvarhato erteku megallasi ido eseten alkalmazhato a Wald-azonossag (lasdNeveu [31]), azaz

E(−XK−0) = −E(Y1)E(K−0 ) .

Behelyettesıtve ezeket a (6.12) osszefuggesbe, kapjuk, hogy ha a 6.1 kovet-kezmeny es a 6.8 tetel feltetelei teljesulnek, specialisan ha az XK0 valtozonaka K0 < ∞ feltetel melletti felteteles eloszlasfuggvenye, melyet A0 jelolt,szubexponencialis, es teljesul a (6.20) feltetel, akkor

ψ(u) = P (Ku <∞)

aszimptotikusan ekvivalens az

A(∞)

1− A(∞)(1− A0(u)) ∼ A(∞)

1− A(∞)

1

A(∞)E(−XK−0)

∫ ∞u

(1−G(z)) dz =

=1

−E(Y1)

∫ ∞u

(1−G(z)) dz

mennyiseggel. Ezen tulmenoen a (6.20) feltetel mellett A0 szubexponancia-

litasat a 6.8 tetel es az 5.1 lemma (iv) alkalmazasaval a∫ ∞u

(1−G(z)) dz

fuggveny aszimptotikus viselkedese donti el.

131

7. Altalanosabb kockazati folyamatok

7.1. Cox-folyamatok

A Cox-folyamatok a Poisson-folyamatok altalanosıtasai. Homogen Poisson-folyamat eseten az intenzitas allando, a folyamat t hosszusagu intervallumhoztartozo novekmenye λt parameteru Poisson-eloszlasu. Inhomogen Poisson-folyamat eseten a novekmenyek tovabbra is fuggetlenek, azonban az eloszlastaz intenzitasmertek – intenzitasfuggveny – adja meg: Nt−Ns eloszlasa λt−λsparameteru Poisson-eloszlas. A Cox-folyamatok eseten az intenzitasmertekmegvalasztasa is a veletlentol fugg, maga is sztochasztikus folyamat. Legyentehat Λt, t ≥ 0 monoton novo trajektoriaju sztochasztikus folyamat, Λ0 = 0.Tegyuk fel, hogy az Nt, t ≥ 0 folyamat felteteles eloszlasa adott Λt, t ≥ 0mellett inhomogen Poisson-folyamat, melynek intenzitasfuggvenye eppen aΛt folyamat rogzıtett trajektoriaja.

Ennek pontosabb megfogalmazasa erdekeben legyen FΛ az intenzitasfo-lyamat altal generalt σ-algebra.

Definıcio 7.1 Az Nt, t ≥ 0 folyamat Cox-folyamat, ha diszjunkt idointer-vallumok eseten a folyamat novekmenyei feltetelesen fuggetlenek az FΛ σ-algebrara nezve, es

P (Nt −Ns = k | FΛ) =(Λt − Λs)

k

k!e−(Λt−Λs) .

Bizonyıtas nelkul jegyezzuk meg Mecke tetelet (Mecke [27]), mely szerintegy pontfolyamat akkor es csak akkor kaphato meg barmely p ∈ (0, 1) mellettp valoszınusegu ritkıtassal mas pontfolyamatokbol, ha a folyamat maga Cox-folyamat.

Ebben a fejezetben specialis Cox-folyamatokkal fogunk csak foglalkozni.Feltesszuk, hogy a Cox-folyamat intenzitasfolyamata veges allapotu Markov-folyamat. Jelolje a Markov-folyamatot ξt, t ≥ 0, allapotteret I. Tegyuk fel,hogy a folyamat stacionarius atmenetvaloszınusegu, tehat

P (ξt+s = j | ξs = i) = pi,j(t)

az atmenetvaloszınuseg-fuggveny, melyrol tegyuk fel, hogy a nulla pontbanjobbrol derivalhato, es limt→0+ pi,j(t) = δi,j. Ebbol kovetkezik, hogy a de-rivalt minden t pontban letezik. Elrendezve a pi,j(t) elemeket egy matrixba

132

– jelolje ezt P (t) – a Chapman–Kolmogorov-egyenletek adjak, hogy

P (t)P (s) = P (t+ s) .

A derivalhatosag miatt letezik olyan A matrix, melyre

P (t) = eAt .

Mivel P (t) sorosszege 1, ezert A sorosszege 0. Az A matrix elemei, a foatlobe-lieket kiveve, mind nemnegatıvak, ezert tehat a foatloban nempozitıv elemekulnek. Vezessunk be kulon jeloleseket ezekre:

ηi = −ai,i q(i, j) =ai,jηi

, ha i 6= j .

Ekkor a Markov-folyamat fejlodese a kovetkezokeppen ırhato le. Ha eppen azi allapotban van, akkor ott toltott ideje exponencialis eloszlasu valoszınusegivaltozo, melynek parametere ηi, ezutan a q(i, j) valoszınusegek szerint ugrikat valamelyik masik j allapotba.

Mivel a Markov-folyamat veges allapotteru, ezert letezik stacionariuseloszlas, azaz olyan pi, i ∈ I eloszlas, melyre ha P (ξ0 = i) = pi, akkorP (ξt = i) = pi, barmely t ≥ 0 eseten. Maskeppen, ha a p sorvektor elemei api valoszınusegek, akkor

pP (t) = p , vagy maskeppen pA = 0 .

Legyen adott egy λ : I → R+ fuggveny. Ez adja meg az Nt Poisson-folyamat ξt pillanatnyi allapotatol fuggo intenzitasat. Pontosabban, tegyukfel, hogy az Nt. t ≥ 0 folyamat felteteles eloszlasa a ξs, s ≥ 0 folyamat szerintPoisson-folyamat, melynek intenzitasfuggvenye λ(ξt), t ≥ 0.

Az Ut = u + ct −∑Ntk=1 Zk kockazati folyamat eseten akarjuk elemezni a

csod valoszınuseget, ahol a Zk valoszınusegi valtozok fuggetlenek (a ξ, ill. Nfolyamattol is) es azonos eloszlasuak. A kozos eloszlasfuggvenyt megint Fjeloli. Tegyuk fel, hogy a varhato ertek veges, legyen ez µ.

Legyen

Φi(u) = P ( Ut ≥ 0 barmely t ≥ 0 eseten | ξ0 = i) , (7.1)

Ψi(u) = P ( letezik olyan t ≥ 0 , melyre Ut < 0 | ξ0 = i) , (7.2)

Φ(u) = P ( Ut ≥ 0 barmely t ≥ 0 eseten) , (7.3)

Ψ(u) = P ( letezik olyan t ≥ 0 , melyre Ut < 0) . (7.4)

133

A klasszikus rizikofolyamat elemzese soran leırt modszer megfelelo valtoz-tatasaval olyan egyenlethez jutunk, melynek a csod valoszınuseget leıro fugg-venyek megoldasai.

Tetel 7.1 A Φi(u) fuggvenyek eleget tesznek az alabbi integralegyenletnek:

Φi(u) = Φi(0) +1

c

∫ u

0λ(i)Φi(u− z)(1− F (z))dz

+1

c

∫ u

0ηi

Φi(s)−

∑

j 6=iq(i, j)Φj(s)

ds .

Ha ξ0 eloszlasa a Markov-folyamat stacionarius eloszlasa, pi = P (ξ0 = i),akkor az alabbi egyenlet teljesul:

Φ(u)− Φ(0) =1

c

∫ u

0

(∑

i∈Ipiλ(i)Φi(u− z)

)(1− F (z))dz . (7.5)

Bizonyıtas: Tegyuk fel, hogy a ξ Markov-folyamat kezdetben az i al-lapotban van. Jelolje a folyamat elso ugrasaig szukseges idotartamot κi.Ennek eloszlasa ηi parameteru exponencialis eloszlas. Legyen ζ1 az Nt Cox-folyamat elso ugrasanak idopontja. Amıg a ξs folyamat az i allapotbanvan, Nt nem mas, mint λ(i) parameteru homogen Poisson-folyamat, ezertmin(ζ1, κi) eloszlasa megegyezik ket fuggetlen exponencialis eloszlasu valtozominimumanak eloszlasaval, tehat maga is exponencialis eloszlasu, melynekparametere λ(i) + ηi. Annak valoszınusege, hogy elobb kovetkezik be a Mar-kov-folyamatban ugras, mint az elso karesemeny, eppen ηi/(ηi + λ(i)). Al-kalmazzuk megint a teljes valoszınuseg tetelet a min(ζ1, κi) erteke szerint aζ1 < κi halmazon, figyelembe veve meg Z1 erteket is. Igy tehat azt vesszukfigyelembe, hogy mikor kovetkezik be az elso ugras – akar a Markov-, akar aCox-folyamatban. Ha a Markov-folyamatban kovetkezett be elobb az ugras,akkor hogy milyen uj allapotba ugrott a ξ folyamat erteke, ha pedig a Cox-folyamatban kovetkezett be elobb, akkor hogy mekkora a Z1 valoszınusegivaltozo – az elso karnagysag – erteke.

Φi(u) =∫ ∞

0(λ(i) + ηi)e

−s(λ(i)+ηi) ×

× ηiλ(i) + ηi

∑

j 6=iq(i, j)Φj(u+ cs) +

λ(i)

λ(i) + ηi

∫ u+cs

0Φi(u+ cs− z)dF (z)

ds .

134

Beszorzas utan, elvegezve az r = u + cs valtozocseret, kapjuk, hogy Φi(u)abszolut folytonos, es Radon-Nikodym-derivaltja kielegıti a

Φ′i(u) =λ(i) + ηi

cΦi(u)− 1

c

ηi

∑

j 6=iq(i, j)Φj(u) + λ(i)

∫ u

0Φi(u− z)dF (z)

egyenletet. Integralva 0 es u kozott, majd a jobb oldalon parcialisan integ-ralva –hasonlokeppen, mint az (5.8) egyenlet levezetesekor tettuk – kapjuk,hogy

Φi(u) = Φi(0) +

+1

c

∫ u

0λiΦi(u− z)(1− F (z))dz +

∫ u

0ηi

Φi(s)−

∑

j 6=iq(i, j)Φj(s)

ds

.

Ez az elso bizonyıtando egyenloseg.Ha most ξ0 eloszlasa pi, i ∈ I, a Markov-folyamat stacionarius eloszlasa,

akkor a pA = 0 alapjan

piηi =∑

j 6=ipjηjq(j, i) .

Tehat

∑

i∈Ipiηi(Φi(s)−

∑

j 6=iq(i, j)Φj(s)) =

∑

i∈IΦi(s)

piηi −

∑

j 6=ipjηjq(j, i)

= 0 .

Ezert a Φ(u) =∑i∈I piΦi(u) osszefuggest kihasznalva a Markov-folyamat-

bol szarmazo tag kiesik, es kapjuk, hogy

Φ(u) = Φ(0) +1

c

∫ u

0

(∑

i∈IpiλiΦi(u− z)

)(1− F (z))dz . (7.6)

2

Martingalok segıtsegevel is vizsgalhatjuk a folyamat viselkedeset. Ketfelemegkozelıtest is targyalunk. Eloszor olyan Mt martingalt konstrualunk, melyaz F ξ∞ es FSt altal generalt Ft σ-algebra (t ≥ 0) szerint martingal. Tehataz Ft σ-algebrat az intenzitast meghatarozo folyamat teljes historiaja es az

135

Ss =∑Nsk=1 Zk folyamat t pillanatig tarto tortenelme generalja. Ugyan nemi

rossz erzesunk tamadhat amiatt, hogy a t pillanatig tenylegesen osszegyultinformaciok kozott nincsen a ξ Markov-folyamat egesz tortenese – jovobeli is–, de ez csak annyit jelent, hogy csınjan kell banni azzal az elnevezessel, hogyFt a t pillanatban rendelkezesre allo informaciot jelenti. Ft csak egy mate-matikai eszkoz, mely segıt abban, hogy a csod valoszınuseget becsuljuk. Azerttettuk be az F ξ∞ σ–algebrat Ft-be, mert a ξ folyamat rogzıtett trajektoriajamellett az Nt, t ≥ 0 Cox-folyamat felteteles eloszlasa inhomogen Poisson-folyamat, tehat olyan martingalokat is hasznalhatunk, melyek a Poisson-folyamatnak alkalmas fuggvenyei.

Legyen tehat

Mt =e−r(u+ct−St)

e(ξth(r)−trc) .

Emlekeztetunk h(r) definıciojara: h(r) =∫∞

0 erzdF (z) − 1. Mivel rogzıtettξs, s ≥ 0 eseten ez pontosan az a martingal, melyet korabban vizsgaltunk,ezert a fent definialt Ft σ-algebrara nezve Mt martingal. Legyen

Tu = inft ≥ 0 : Ut < 0a tonkremenes idopontja, mely megallasi ido. Igy – a szokasos gondolatmenetalapjan –

E(Mmin(Tu,t) | F0) = E(E(Mmin(Tu,t) | min(Tu, t),F0) | F0) ≥≥ E(E(MTu | min(Tu, t),F0)χTu≤t | F0) ≥≥ inf

0≤s≤te−ξsh(r)+rcsP (Tu ≤ t | F0) .

Atrendezve:

P (Tu ≤ t | F0) ≤ e−ru sup0≤s≤t

e−ξsh(r)+rcs .

Vegyuk a t→∞ hataratmenetet es a varhato erteket:

Ψ(u) ≤ e−ruE(sups≥0

e−ξsh(r)+rcs) .

Ez a becsles csak akkor ad ertelmes felso becslest, ha a benne szereplo varhatoertek veges. Jelolje C(r) a sups≥0 e

−ξsh(r)+rcs varhato erteket, es legyen

R = supr : C(r) <∞ .

136

Ekkor tehatΨ(u) ≤ C(R− ε)e−(R−ε)u

barmely pozitıv ε < R eseten.Bizonyıtas nelkul mondjuk ki az alabbi tetelt (lasd Bjork es Grandell [7]):

Tetel 7.2 Tegyuk fel, hogy I legalabb ket elemu, es a ξt Markov–lanc irre-ducibilis, azaz barmely allapotabol barmelyik masikba el lehet jutni (esetlegtobb lepes alatt) pozitıv valoszınuseggel. Jelolje D azt a diagonalis matrixot,melynek foatlobeli elemei rendre ηi/(−h(r)λi + ηi + rc). Ugyanakkor a Qmatrix elemei legyenek a q(i, j) valoszınusegek, q(i, i) = 0. Ekkor

R = supr : ρ(DQ) < 1 ,ahol ρ(.) jeloli a spektralsugarat, azaz a sajatertekek abszolut ertekenek ma-ximumat.

7.2. A csod valoszınusege fuggo novekmenyu folyama-tokban

Ebben a fejezetben nem folytonos ideju sztochasztikus folyamatokat vizs-galunk, hanem diszkret idejueket. Mindig csak az ev vegen (vagy valami-lyen periodus vegen) nezzuk meg, hogy aktualisan milyen nagysagu tokeall rendelkezesre. Klasszikus rizikofolyamat eseten – mivel ekkor diszjunktidointervallumokon a toke megvaltozasa sztochasztikusan fuggetlen valoszı-nusegi valtozokkal ırhato le, melyek eloszlasa az idointervallum hosszanakfuggvenye – az n. ev utan a toke nagysaga fuggetlen, azonos eloszlasu valo-szınusegi valtozok osszegenek tekintheto. Most a kovetkezo modellt fogjukvizsgalni. Jeloljon un valamilyen determinisztikus (tehat nem a veletlentolfuggo) sorozatot. A ξn fuggetlen, azonos eloszlasu valoszınusegi valtozokbolallo sorozat hattersorozatot jelent, mely meghatarozza, hogy az n. evbenmennyit valtozik a toke erteke. Jelolje Un a toke nagysagat az n. ev utan.Tegyuk fel, hogy az

Un =n−1∑

i=0

cn,iξn−i + un (7.7)

egyenlet ırja le a pontos kapcsolatot. Itt a cn,i , i = 1, . . . , n−1;n = 1, 2, 3, . . .egyutthatok allandok.

Tegyuk fel, hogy

137

(i) letezik olyan C allando, melyre | cn,i |≤ C minden n, i ertek mellett,

(ii) letezik olyan ε > 0, hogy eleg nagy n eseten mar teljesul az an > εegyenlotlenseg, ahol

an =1

n

n−1∑

i=0

cn,i ,

(ii) letezik olyan K allando, melyre | un |≤ K minden n ertek mellett.

Pelda: Jelolje u a kezdotoket, Xn az n. evben a toke megvaltozasat.Azaz Un = u+X1 + · · ·+Xn. Tegyuk fel, hogy

Xn =∞∑

i=0

biξn−i ,

ahol bi rogzıtett sorozat, a fenti osszegben a negatıv indexu ξl ertekre vala-milyen determinisztikus kezdoerteket valasztva: ξl = xl , l = 0,−1,−2, . . . .Legyen sn =

∑n−1i=0 bi. Ekkor a

cn,i = si , kn = u+∞∑

i=0

(sn+i − si)x−i

valasztassal megkapjuk a (7.7) modellt. Ha

b =∞∑

i=0

bi > 0 es∞∑

i=0

| xi |<∞ ,

akkor konnyen lathato, hogy a (7.2.) feltetelek teljesulnek.Jelolje F a ξn valoszınusegi valtozok kozos eloszlasfuggvenyet, es legyen

h(r) =∫ ∞−∞

e−rzdF (z)− 1 = E(e−rξ1)− 1 .

A Lundberg-kitevo letezeset akarjuk biztosıtani. Ehhez a h(r) = 0 egyenletpozitıv megoldasait kell keresnunk. Szokasos feltetelrendszer, mely biztosıtjaa megoldas letezeset, a kovetkezo: legyen ν = supr : h(r) <∞, tegyuk fel,hogy

E(ξ1) > 0 es limr→ν h(r) =∞ .

Ekkor h(0) = 0, h′(0) = −E(ξ1) < 0, es a (0, ν) intervallumon h′′(r) pozitıv.Igy h(r) szigoruan konvex, es mivel minden hataron tulno, ezert valamikor

138

kozben felveszi a 0 erteket is, hiszen kicsiny pozitıv r eseten h(r) ertekenegatıv. A konvexitas biztosıtja, hogy a megoldas egyertelmu. Jelolje ezta szokott modon R. h(R) = 0, R > 0. Vegyuk eszre, hogy h′(R) > 0.Legyen µ∗ = h

′(R). Jelentosen leegyszerusıti a kesobbiekben a szamolast, ha

bevezetunk egy uj eloszlast. Jelolje ezt F ∗.

F ∗(z) =∫ z

−∞e−RsdF (s) .

Ha ezen eloszlasfuggveny szerint vesszuk a szoban forgo valoszınusegi valto-zoink varhato erteket vagy valamilyen altaluk meghatarozott esemeny valo-szınuseget, azt E∗, ill. P ∗ fogja jelolni. Peldaul E∗(ξ1) = −µ∗.

Tetel 7.3 (lasd Promislow [33]) Legyen T olyan megallasi ido (a ξn sorozataltal meghatarozott σ-algebrara nezve), melyre a T > n esemenyen Un > 0.Legyen

Un =n∑

i=1

ξi + u ,

ahol u tetszoleges allando. Ekkor

P (T <∞) =e−Ru

E(e−RUT | T <∞). (7.8)

Bizonyıtas: Mivel e−RUn martingal, hiszen Un fuggetlen novekmenyu esE(e−Rξn) = 1, R definıcioja miatt, ezert a korabban mar sokszor alkalmazottgondolatmenet adja, hogy

e−Ru = E(e−RUn | T ≤ n)P (T ≤ n) + E(e−RUn | T > n)P (T > n) .

Igy a tetel bizonyıtasahoz eleg megmutatni, hogy a masodik tag 0-hoz tart,ha n→∞. Azonban

E(e−RUn | T > n)P (T > n) =∫

T>ne−RUndP =

=∫

T>ne−Ru

n∏

i=1

e−RξidP =

= P ∗(T > n) .

139

Ugyanakkor

E∗(Un) = −µ∗n−1∑

i=0

cn,i + kn = −µ∗nan + kn ,

D∗2(Un) = σ2n−1∑

i=0

c2n,i ≤ nσ2C2 ,

ahol σ2 jeloli az F ∗ eloszlasfuggvenyhez tartozo szorasnegyzetet. Mivel knkorlatos sorozat, an > ε, ha n eleg nagy, ezert

E∗(Un) < 0 , ha n eleg nagy,

esD∗(Un)

E∗(Un)→ 0 , ha n →∞ .

Ezert

P ∗(T > n) ≤ P ∗(Un ≥ 0) ≤ P ∗(Un ≥ E∗(Un)

2) .

Ez utobbi viszont a Csebisev-egyenlotlenseg alapjan nullahoz tart. 2

Pelda: Legyen most Tu a csod idopontja: Tu = infn : Un < 0. Tegyukfel, hogy Un+1 = Un + c − Wn+1, ahol tehat c az eves dıjbefizetes, Wn azosszkarkifizetes erteke az (n+ 1). evben. Feltesszuk, hogy

Wn = Yn + aWn−1 ,

ahol −1 < a < 1, es az Yn sorozat fuggetlen, azonos eloszlasu, veges szorasuvaloszınusegi valtozokbol all. (Maskeppen, Wn un. AR(1) folyamatot alkot.)Tegyuk fel, hogy U0 = u, W0 = w.

Az elozo tetel alkalmazasahoz letre kell hoznunk most egy fuggetlen no-vekmenyu folyamatot. Ez megteheto oly modon, hogy kifejezzuk Wn erteketvegtelen sok Yn−i linearis kombinaciojakent,

Wn =∞∑

i=0

aiYn−i ,

es alkalmazzuk a tetel elotti peldaban szereplo konstrukciot. Egyszeru sza-molas utan adodik, hogy cn,i = 1 − ai+1, kn = u + (c − w)a−a

n+1

1−a . Ezekreteljesulnek a tetel feltetelei.

140

Azonban kozvetlenul is meg lehet hatarozni az Un sorozatot. Legyen

ξn = c− 1

1− aYn ,

u = u− w a

1− a .Szemleletesen ξn az Yn valoszınusegi valtozobol adodo osszes veszteseg (tehata kesobbi evekben jelentkezo hatasat is figyelembe veve) leszamıtolt erteke ajelen pillanatra. Hasonlokeppen, u a kezdeti toke – a kezdeti veszteseg osszeshatasa.

Ekkor Un = Un − a1−aWn. Ez indukcioval konnyen bizonyıthato.

n = 0 eseten u definıcioja miatt igaz. Tegyuk fel most, hogy n-re marigaz, mutassuk meg, hogy ekkor n+ 1-re is igaz:

Un+1 = Un + ξn+1 = Un − a

1− aWn + c− 1

1− aYn+1 =

= Un + c−Wn+1 − a

1− aWn+1 =

= Un+1 − a

1− aWn+1 .

Maskeppen Un = 11−aUn − a

1−aUn−1 − a1−ac.

Alkalmazzuk az elozo tetelt. Ahhoz, hogy hasznalhato becslest kaphas-sunk, a nevezo erteket kozelıteni kell. Tegyuk fel, hogy a > 0. Ugyan nemtettuk fel, hogy Wn ≥ 0, azonban a Tu pillanatban, mivel ekkor valik eloszornegatıvva a folyamat erteke, W erteke negatıv kell legyen. Tehat

UTu ≤ UTu .

Ez azonnal adja, hogy e−RUtu ≥ 1, tehat a

P (Tu <∞) ≤ e−Ru = e−R(u− a1−aw)

Lundberg-approximaciot kapjuk.Ha kihasznaljuk azt is, hogy a Tu elotti pillanatban Un erteke meg nem-

negatıv volt, tehat UTu ≤ − a1−ac, akkor a

P (Tu <∞) ≤ e−R(u+ a1−a (c−w))

becslest kapjuk.

141

8. A csod valoszınusege veges idointervallu-

mon

Ebben a fejezetben annak valoszınuseget akarjuk majd megvizsgalni, hogyegy adott veges hosszusagu idointervallumon milyen valoszınuseggel kovetke-zik be csod, azaz tehat, hogy a rizikofolyamat erteke nulla ala csokken. Mivelaz alkalmazando technika egyforma a klasszikus rizikofolyamat es a felujıtasifolyamatok eseteben, ezert rogton feltesszuk, hogy az Nt karigenyfolyamatfelujıtasi folyamatot alkot. Jelolje K(t) az egyes karesemenyek kozotti idotar-tam eloszlasfuggvenyet, K(0) = 0.

∫∞0 tdK(t) = 1/λ <∞. A kar nagysagat

leıro valoszınusegi valtozok – Zj, j ≥ 0 – fuggetlen azonos eloszlasuak, kozoseloszlasfuggvenyuk F (z). E(Z1) = µ. Nem tesszuk most fel, hogy Zj ertekeinemnegatıvak. Ez talan ellentmond annak, hogy karnak, karkifizetesneknevezzuk oket, de konnyu olyan biztosıtasi ugyleteket tekinteni, melyek-ben a veletlen idopontokban bekovetkezett karesemenyek valojaban nem ki-fizeteseket jelentenek. Peldaul jaradekfizetes eseten a fizetesi kotelezettsegmegszunese, ıgy az addigi szukseges tartalek felszabadıtasa valamilyen velet-len esemeny – pl. az ugyfel elhalalozasa – miatt.

Legyen tehat Ut = u + ct − St, ahol St =∑Ntk=0 Zk. Definialjuk a csod-

valoszınuseget veges idohorizonton.

Ψ(u, t) = P ( letezik olyan 0 ≤ s ≤ t, melyre Ut < 0 ) ,

Φ(u, t) = P ( minden 0 ≤ s ≤ t eseten Ut ≥ 0 ) .

Tegyuk fel, hogy c > 0. Ekkor csod csak a karesemenyek idopontjaibantortenhet. Az elso felujıtasi idopont es Z1 erteke szerint alkalmazva a teljesvaloszınuseg tetelet, kapjuk, hogy

Φ(u, t) =∫ t

0

∫ u+cs

−∞Φ(u+ cs− x, t− s)dF (x)dK(s) + 1−K(t) .

(8.1)

Ez az (5.8) egyenlet valtozata veges idointervallumra. Most azonban mastechnikat alkalmazunk arra, hogy a megoldas viselkedeset elemezzuk. A bi-zonyıtast nem kovetjuk vegig a legaprobb reszletekig, csak a modszer lenyegetakarjuk bemutatni (lasd Thorin [38]). Az un. Wiener–Hopf-fele eljaras sor-an az ismeretlen fuggveny kulonbozo transzformaltjait hasznaljuk. Legyen

142

Φ(u, 0−) = 0, Φ(u, 0) = 1, ha u ≥ 0 es

Φ(u, z) =∫ ∞

0−eztΦ(u, dt), Re(z) ≤ 0, u ≥ 0 ,

illetveΦ(u, z) = 0, ha Re(z) ≤ 0, u < 0 .

Ekkor

Φ(u, z) =∫ ∞

0(1− ezs)dK(s) +

∫ ∞0

ezs∫ u+cs

−∞Φ(u+ cs− x, z)dF (x)dK(s) .

(8.2)

Definialjuk a Wiener–Hopf-technikaban szokasos kiegeszıto fuggvenyt is:

Ω(u, z) =

∫∞0 (1− ezs)dK(s) +

+∫∞0 ezs

∫ u+cs−∞ Φ(u+ cs− x, z)dF (x)dK(s) , ha u < 0,

0 , egyebkent .

(8.3)

Ekkor minden valos u es Re(z) ≤ 0 eseten

Φ(u, z) + Ω(u, z) =∫ ∞

0(1− ezs)dK(s) +

+∫ ∞

0ezs

∫ u+cs

−∞Φ(u+ cs− x, z)dF (x)dK(s) . (8.4)

Vezessuk be a kettos Laplace-transzformaltakat is:

φ(s, z) =∫ ∞

0−esuΦ(du, z) , Re(s) ≤ 0 es Re(z) ≤ 0, vagy z = 0 .

ω(s, z) =∫ 0

−∞esuΩ(du, z) , Re(s) ≥ 0 es Re(z) ≤ 0, vagy z = 0 .

Megmutathato, hogy φ(s, z) mint s fuggvenye korlatos es folytonos a Re(s) ≤0 tartomanyon, sot analitikus a Re(s) < 0 tartomanyon. Hasonloan, ω(s, z)korlatos es folytonos, ha Re(s) ≥ 0, analitikus, ha Re(s) > 0. A (8.4)egyenlet alapjan

φ(s, z) + ω(s, z) =∫ ∞

0ez−cs)vdK(v) φ(s, z)f(s) =

= k(z − cs)f(s)φ(s, z) ,(8.5)

143

ahol f, k jeloli az F,K fuggvenyek transzformaltjait, azaz

f(s) =∫ ∞−∞

eszdF (z) , Re(z) ≤ 0 ,

k(z) =∫ ∞

0ezsdK(s) , Re(s) = 0 .

Atalakıtva a fenti egyenletet:

φ(s, z)(1− k(z − cs)f(s)) = −ω(s, z) , Re(s) = 0 . (8.6)

A Wiener–Hopf-eljaras lenyege, hogy ugy oldjuk meg a fenti egyenletet, hogyfaktorizaljuk az (1−k(z−cs))f(s) szorzatot B(s, z)/A(s, z) alakban (Re(s) =0), olyan A, B fuggvenyeket keresve, melyre letezik a B(s, z), ill. 1/B(s, z)fuggvenyeknek korlatos es folytonos kiterjesztesuk a jobb felsıkra (Re(s) ≥0), mely analitikus a nyılt felsıkon, ill. az A(s, z) 1/A(s, z) fuggvenyeknekhasonlo kiterjesztesuk a bal felsıkra.

Ehhez legyen Re(s) = 0 eseten

H(s, z) = − ln (1− k(z − cs)f(s)) =∞∑

n=1

1

nkn(z − cs)fn(s) .

Kifejtve ezt az F,K eloszlasfuggvenyek szerint

H(s, z) =∞∑

n=1

1

n

∫ ∞0

e(z−cs)vdK(∗n)(v)∫ ∞−∞

esydF (∗n)(y) =

=∞∑

n=1

1

n

∫ ∞−∞

esxdx

∫ ∞0

ezvF (∗n)(x+ cv)dK(∗n)(v) =

=∫ ∞−∞

esxdx∞∑

n=1

1

n

∫ ∞0

ezv(F (∗n)(x+ cv)− 1)dK(∗n)(v) =

=∫ ∞−∞

esxM(dx, z) , (8.7)

ahol

M(x, z) =∞∑

n=1

1

n

∫ ∞0

ezv(F (∗n)(x+ cv)− 1

)dK(∗n)(v) .

Megmutathato, hogy olyan rogzıtett z mellett, melyre Re(z) < 0, M(x, z)x-nek korlatos valtozasu fugvenye.

144

A keresett dekompozıcio:

A(s, z) = exp(∫ ∞

0+esxM(dx, z) +

1

2(M(0+, z)−M(0−, z))

), (8.8)

B(s, z) = exp(−∫ 0−

−∞esxM(dx, z)− 1

2(M(0+, z)−M(0−, z))

).(8.9)

A,B nyilvanvaloan kielegıtik a kıvant folytonossagi es analitikussagi kove-telmenyeket.

Tovabba, ha Re(s) = 0, akkor

B(s, z)

A(s, z)= exp

(−∫ ∞−∞

esxM(dx, z))

=

= exp(−H(s, z)) = 1− k(z − cs)f(s) .

(8.10)

Behelyettesıtve ezt a (8.6) egyenletbe, kapjuk, hogy

φ(s, z)

A(s, z)= − ω(s, z)

B(s, z), Re(s) = 0 .

Azonban a bal oldal – mint s fuggvenye – analitikus a nyılt bal felsıkon,folytonos es korlatos a zarton, a jobb oldal analitikus a nyılt jobb felsıkon,folytonos es korlatos a zarton, es egybeesnek az imaginarius tengelyen. Ezerta Liouville-tetel szerint kozos ertekuk konstans kell legyen. (Persze ez akonstans ertek fugghet z-tol.) Igy tehat

φ(s, z)

A(s, z)=φ(0, z)

A(0, z).

Azonban a definıcio szerint φ(0, z) = Φ(∞, z), ugyanakkor

Φ(u, z) = −z∫ ∞

0−ezsΦ(u, s)ds .

Mivel minden veges s eseten Φ(u, s) → 1, ha u → ∞, ezert Φ(∞, z) = 1.Azonnal kapjuk, hogy

φ(s, z) =A(s, z)

A(0, z), Re(s) ≤ 0, Re(z) < 0 . (8.11)

145

Vegyuk eszre, hogy a c− λµ ertekere tett kulon feltetel nelkul sikerult meg-hatarozni φ(s, z) erteket. Ebbol a keresett valoszınuseget ket egymas utaniinverzioval lehet meghatarozni. A legtobb esetben ezt numerikusan kell veg-rehajtani.

A veges idointervallumokon valo csodvaloszınusegekbol hataratmenettelmeg lehet kapni a vegtelen idohorizonton bekovetkezo tonkremenes valoszı-nuseget. Nyilvanvaloan

Φ(u) = limt→∞Φ(u, t) .

AΦ(u, z) =

∫ ∞0−

ezsΦ(u, ds)

definıciobol – (itt Re(z) ≤ 0) – adodik, hogy

limz→0, Re(z)≤0

=∫ ∞

0−Φ(u, ds) = Φ(u) .

Hasonloanlimz→0−

φ(s, z) =∫ ∞

0−esudΦ(u) .

Pelda: Tegyuk fel, hogy a Zj valoszınusegi valtozok eloszlasa, es azegymas utan bekovetkezo karesemenyek kozotti idotartam eloszlasa is expo-nencialis eloszlasok kevereke. Azaz

F (z) =n∑

j=1

aj(1− e−αjz) ,

K(z) =m∑

j=1

bj(1− e−βjz) ,

ahol aj > 0,∑nj=1 aj = 1 es bj > 0,

∑mj=1 bj = 1. Legyen c > 0. Ekkor

kozvetlen szamolas adja, hogy

f(s) =n∑

j=1

aj1− s/αj , (8.12)

k(s) =m∑

j=1

bj1− s/βj . (8.13)

(Jollehet az f(s), ill. k(s) mint az F,K eloszlasfuggvenyek transzformaltjainem leteznek minden komplex szam eseten, hiszen peldaul nagy pozitıv valos

146

szamok eseten az e fuggvenyeket definialo integral nem konvergens, azonbanaz f, k fuggvenyekre fent megadott keplet csak veges sok komplex helyennem ertelmes. A tovabbiakban ezekkel a kepletekkel megadott fuggvenyeketfogjuk hasznalni.) Mint latni fogjuk, ennek akkor lesz jelentosege, ha z → 0−

eseten akarjuk venni a k(z − cs)f(s) hatarerteket. A korabban ismertetettWiener–Hopf-fele eljaras lenyege az 1−k(z−cs)f(s) fuggveny faktorizacioja.A jelen peldaban ez s es z racionalis tortfuggvenye. Igy a faktorizaciohoz en-nek gyokeit, polusait kell szetvalogatni. Rogzıtsuk z erteket (Re(z) < 0), esfaktorizaljunk s szerint.

Az 1−k(z−cs)f(s) fuggveny polusai a Re(s) > 0 felsıkon az αj, a Re(s) <0 felsıkon a (z − βl)/c ertekek. Mivel ln[1 − k(z − cs)f(s)] fuggvenynekolyan C gorben vett s szerinti korintegralja, mely egy eleg nagy sugaru, a balfelsıkon fekvo felkorbol es annak a kepzetes tengelyen levo atmerojebol all,nulla, ezert a bal felsıkon levo polusok es gyokok szama megegyezik. Hasonlookfejtes igazolja, hogy a jobb felsıkon is egyenlo szamu gyok es polus van. Akepzetes tengelyen nincsen gyok es polus. Ezert

1− k(z − cs)f(s) =

∏nj=1(s− s2,j(z))

∏mj=1(s− s1,j(z))

∏nj=1(s− αj)∏m

j=1(s− z−βjc

) (8.14)

alakban ırhato, ahol s1,j(z) az Re(s) < 0 felsıkon levo gyokoket, s2,j(z) aRe(s) > 0 felsıkon levo gyokoket jeloli.

Ez alapjan faktorizalva

A(s, z) =n∏

j=1

s− αjs− ss,j(z) ,

B(s, z) =m∏

j=1

s− s1,j(z)

s− z−βjc

.

Tehat

φ(s, z) =A(s, z)

A(0, z)=

n∏

j=1

1− sαj

1− ss2,j(z)

.

Abban az esetben, ha a nevezo gyokei mind kulonbozoek, akkor parcialistortekre bontas utan elvegezheto az invertalas, megkaphatjuk a Φ(u, z) fugg-venyt.

147

φ(s, z) = g0(z) +n∑

j=1

gj(z)1

1− ss2,j(z)

,

Φ(u, z) = 1−n∑

j=1

gj(z)e−uss,j(z) , u ≥ 0 .

A vegtelen idohorizonton valo csod eseten a z → 0− hataratmenetet kellelvegezni, ekkor az 1− k(z − cs)f(s) gyokei konvergalnak az 1− k(−cs)f(s)gyokeihez, melyek valosak. (Itt lenyeges az a megallapodas, hogy most f, ka megfelelo racionalis tortfuggvenyeket jeloli.)

Bevezetve azRj = lim

z→0−s2,j(z)

jeloleseket, a kapott Φ(u) fuggveny inverz transzformaltja meghatarozhato:

Φ(u) = 1−n∑

j=1

gj(0)e−Rju .

Megmutathato, hogy az Rj szamok mindegyike pozitıv, ha c > λµ teljesul.Ebbol kiolvashato a Lundberg-kitevo is, ez eppen min(Rj : j = 1, . . . , n).

Osszehasonlıtva az itt kapott eredmenyt a negyedik fejezet eredmenyeivel,lathatjuk, hogy k(−cs)f(s) eppen az ott hasznalt g(s) fuggveny, a g(s) = 1egyenlet legkisebb pozitıv gyoke pedig a Lundberg-kitevo. Ez teljes mertek-ben megegyezik az ott levezetett tetellel. Most azonban azt is lathatjuk, hogya Φ(u) fuggveny exponencialisok linearis kombinacioja, ezert a most leveze-tett alak alkalmas annak elemzesere, hogy az eloszlasok esetleges megvaltoz-tatasaval hogyan valtozik a Lundberg–kitevo, hogyan lehet elmozdıtani avalamilyen okbol kedvezotlenul kicsiny R erteket.

148

9. Fuggelek

Fontos eloszlasok es transzformaciokA fuggelekben nehany olyan fontos parameteres diszkret es folytonos

eloszlas alapveto tulajdonsagait mutatjuk be, melyek szamos esetben fel-hasznalhatoak a biztosıtasi esemenyek, kockazati folyamatok soran fellepoveletlen jelensegek modellezesere.

Folytonos eloszlasok elsosorban a karigenyek nagysaganak modellezesere,diszkret eloszlasok pedig a karszam leırasara alkalmazhatoak.

9.1. Poisson-eloszlas

A nemnegatıv egesz szam erteku X valoszınusegi valtozo eloszlasa Poisson-eloszlas, melynek parametere λ > 0, ha

P (X = k) =λk

k!e−λ .

Az eloszlas generatorfuggvenye

G(z) =∞∑

k=0

zkλk

k!e−λ = eλ(z−1) .

Ebbol az un. faktorialis momentumok 1 konnyen meghatarozhatoak derivalassegıtsegevel:

µ(k) =d

dzkG(z)|z=1 = λk .

Igy a varhato ertek es a szorasnegyzet is azonnal adodik:

E(X) = λ

D2(X) = µ(2) + µ(1) − µ2(1) = λ .

Azaz a Poisson-eloszlas varhato erteke es szorasnegyzete megegyezik.Ha X es Y fuggetlen – λ, illetve µ – parameteru Poisson-eloszlasu valoszı-

nusegi valtozok, akkor X+Y is Poisson-eloszlasu, melynek parametere λ+µ.A centralis hatareloszlas-tetelt alkalmazva kapjuk, hogy nagy lambda

ertekek eseten a Poisson-eloszlas kozelıtheto λ varhato erteku,√λ szorasu

normalis eloszlassal.1Az X k. faktorialis momentuma az E (X(X − 1) · · · (X − k + 1)) ertek.

149

9.2. Binomialis eloszlas

Az X valtozo, melynek lehetseges ertekei a 0, 1, . . . , n szamok, binomialiseloszlasu, melynek parametere 0 < p < 1, ha

P (X = k) =

(n

k

)pk(1− p)n−k .

Generatorfuggvenye

G(z) =n∑

k=0

zk(n

k

)pk(1− p)n−k = (1 + p(z − 1))n .

A faktorialis momentumok:

µ(k) = n(n− 1) · · · (n− k + 1)pk .

Ezert varhato erteke es szorasnegyzete:

E(X) = np ,

D2(X) = np(1− p) .Azonos p parameteru fuggetlen binomialis eloszlasu valtozok osszege is bi-nomialis eloszlasu. A centralis hatareloszlas-tetelbol adodik tehat, hogy nagy

n eseten a binomialis eloszlas kozelıtheto np varhato erteku,√np(1− p)

szorasu normalis eloszlassal.Ugyanakkor nagy n es kicsi p ertek eseten az eloszlast Poisson-eloszlassal

is lehet approximalni, melynek parametere λ = np. Ez adodik abbol, hogyn → ∞, p → 0, np → λ eseten a binomialis eloszlas generatorfuggvenyenekhatarerteke

limn→∞ (1 + p(z − 1))n = lim

n→∞

(1 +

λ

n(z − 1) + o

(1

n

))n= eλ(z−1) .

9.3. Geometriai eloszlas

A nemnegatıv egesz erteku X valoszınusegi valtozo eloszlasa geometriai elosz-las, melynek parametere 0 < p < 1, ha

P (X = k) = p (1− p)k , k = 0, 1, . . .

150

Gyakorta az X eloszlasa helyett az X+1 valtozo eloszlasat nevezik geometriaieloszlasnak. Ekkor ertekkeszlete az 1, 2, . . . szamok halmaza lesz. Ugyanak-kor a p parameter helyett szamos esetben a β = 1

p− 1 > 0 parametert

hasznaljak.Az eloszlas generatorfuggvenye

G(z) =∞∑

k=0

zkp (1− p)k =p

1− z(1− p) =1

1− β(z − 1),

felteve, hogy |z| < 11−p , illetve maskeppen |z| < 1+β

β.

A faktorialis momentumok

µ(k) = βkk! .

Igy a varhato ertek es szorasnegyzet:

E(X) = β =1

p− 1 ,

D2(X) = β(1 + β) =1− pp2

.

Geometriai eloszlast kapunk akkor, ha a Poisson-eloszlas λ parameteretveletlenszeruen, exponencialis eloszlas szerint valasztjuk meg. Pontosabbanfogalmazva, legyen Y adott θ parameteru exponencialis eloszlasu valoszınuse-gi valtozo, es tegyuk fel, hogy X-nek az Y = λ feltetelre vonatkozo felteteleseloszlasa λ parameteru Poisson-eloszlas. Ekkor X (feltetel nelkuli) elosz-lasanak generatorfuggvenye

G(z) = E(zX)

=∫ ∞

0E(zX | Y = λ

)θe−θλ dλ =

=∫ ∞

0eλ(z−1)θe−θλ dλ =

=θ

θ − (z − 1)=

1

1− 1θ(z − 1)

,

ami β = 1θ

parameteru geometriai eloszlas generatorfuggvenye.A geometriai eloszlas az un. negatıv binomialis eloszlas egyik specialis

esete.

151

9.4. Negatıv binomialis eloszlas

Ezen eloszlas ismet a nemnegatıv egesz szamokra koncentralodik. X eloszlasan-edrendu, p parameteru negatıv binomialis eloszlas, ha

P (X = k) =

(n+ k − 1

n− 1

)pn(1− p)k , k = 0, 1, . . . ,

altalanosabban, ha n nem egesz szam, a

P (X = k) =Γ(n+ k)

Γ(n)k!pn(1− p)k

formulat hasznalhatjuk. (Jegyezzuk meg, hogy egesz n eseten a negatıv bi-nomialis eloszlast gyakorta az itt tekintett eltoljakent definialjak. Ekkor azeloszlas az n, n+ 1, . . . szamokra koncentralodik.)

Ennek generatorfuggvenye

G(z) =∞∑

k=0

Γ(n+ k)

Γ(n)k!pn [(1− p)z]k =

=∞∑

k=0

(−nk

)pn [−z(1− p)]k =

= pn (1− z(1− p))−n =

=

[p

1− z(1− p)

]n.

Atterve a β = 1p− 1 parameterre

G(z) =

[1

1− β(z − 1)

]n.

A faktorialis momentumok

µ(k) = n(n− 1) · · · (n+ k − 1)βk .

A varhato ertek es a szorasnegyzet pedig

E(X) = nβ

D2(X) = nβ(1 + β) .

152

Tehat a szorasnegyzet erteke nagyobb a varhato erteknel.Kozos p (illetve β) parameteru negatıv binomialis eloszlasu, fuggetlen

valoszınusegi valtozok osszege is negatıv binomialis eloszlasu, melynek rendjeaz osszeadandok rendjenek osszege. Ezert nagy n eseten az eloszlas normaliseloszlassal kozelıtheto.

Ugyanakkor nagy n es kicsiny p eseten a Poisson-eloszlas is jo kozelıtestad.

A negatıv binomialis eloszlas szarmaztathato a Poisson-eloszlasbol, haannak parameteret Gamma-eloszlas szerint valasztjuk meg.

9.5. Logaritmikus eloszlas

Az X valtozo eloszlasa 0 < p < 1 parameteru logaritmikus eloszlas, ha

P (X = k) =(1− p)k−k ln p

, k = 1, 2, . . . .

A generatorfuggveny

G(z) =∞∑

k=1

zk(1− p)k−k ln p

=ln(1− z(1− p))

ln p.

A faktorialis momentumok:

µ(k) =(1− p)k(k − 1)!

[− ln p] pk=βk(k − 1)!

ln(1 + β),

ahol ismet β = 1p− p.

A logaritmikus eloszlas eloallıthato csonkıtott negatıv binomialis eloszlashatarertekekent. Legyen ugyanis Y r-edrendu, p parameteru negatıv bi-nomialis eloszlasu valoszınusegi valtozo. Tegyuk fel, hogy X eloszlasa az Yvaltozonak az Y > 0 feltetel melletti eloszlasaval egyezik meg. Tehat

P (X = k) = P (Y = k | Y > 0) =

Γ(r+k)Γ(r)k!

pr(1− p)k1− pr =

= (1− p)k Γ(r + k)

Γ(r + 1)(k − 1)!

r

k

pr

1− pr .

153

Tekintsuk az r → 0 hataratmenetet. Kapjuk, hogy

limr→0

P (X = k) =1

k(1− p)k lim

r→0

rpr

1− pr =

=1

k(1− p)k 1

− ln p,

amely a p parameteru logaritmikus eloszlas megfelelo eleme.Mas oldalrol, az n-edrendu p parameteru negatıv binomialis eloszlas ge-

neratorfuggvenyet az alabbi alakban is felırhatjuk:

G(z) =

[p

1− z(1− p)

]n=

= exp

[−n ln p

(ln(1− z(1− p))

ln p− 1

)].

Tehat az n-edrendu negatıv binomialis eloszlas eloallıthato fuggetlen logarit-mikus eloszlasu valoszınusegi valtozok −n ln p parameteru Poisson-eloszlasutagszamu osszegekent.

9.6. Exponencialis eloszlas

Az X valoszınusegi valtozo eloszlasa λ > 0 parameteru exponencialis eloszlas,ha surusegfuggvenye

f(x) =

λe−λx , ha x > 00 , ha x ≤ 0 .

Ennek eloszlasfuggvenye x > 0 eseten F (x) = 1− e−λx. Az eloszlas momen-tumgeneralo fuggvenye

L(z) =∫ ∞

0ezxλe−λx dz =

λ

λ− z ,

amely z < λ eseten veges.Ebbol adodoan az exponencialis eloszlas momentumai:

E(Xk) =dk

dzkL(z)|z=0 =

k!

λk.

154

Specialisan

E(X) =1

λ

D2(X) =1

λ2.

Vegyuk eszre, hogy ha X exponencialis eloszlasu, akkor tetszoleges a > 0eseten aX is exponencialis eloszlasu lesz, melynek parametere λ/a.

9.7. Gamma-eloszlas

Fuggetlen, azonos parameteru exponencialis eloszlasu valoszınusegi valtozokosszege Gamma-eloszlasu valtozot ad. Ennek surusegfuggvenye

f(x) =

λαxα−1

Γ(α)e−λx , ha x > 0

0 , ha x ≤ 0 ,

ahol α az osszeadandok szama, maskeppen az eloszlas un. szabadsagfoka.Vegyuk eszre azonban, hogy a fenti keplet tetszoleges α > 0 eseten is suruseg-fuggvenyt ad.

Specialisan, λ = 12

es α = 12n eseten, ahol n egesz szam, az n sz-

abadsagfoku χ2-eloszlast kapjuk.A Gamma-eloszlas momentumgeneralo fuggvenye

L(z) =∫ ∞

0ezx

λαxα−1

Γ(α)e−λx dx =

(λ

λ− z

)αz < λ .

Adodnak a momentumok is:

E(Xk) =α(α + 1) . . . (α + k − 1)

λk=

Γ(α + k)

Γ(α)λk.

Specialisan, a varhato ertek es a szorasnegyzet:

E(X) =α

λ

D2(X) =α

λ2.

Kulonbozo szabadsagfoku, de azonos parameteru, fuggetlen Gamma-el-oszlasu valoszınusegi valtozok osszege ismet Gamma-eloszlasu lesz, melyben aszabadsagfokok osszeadodnak. Ezert a nagy szabadsagfoku Gamma-eloszlasa centralis hatareloszlas-tetel alapjan normalis eloszlassal kozelıtheto.

155

9.8. Pareto-eloszlas

Az X valoszınusegi valtozo eloszlasa α es λ parameterekkel rendelkezo Pare-to-eloszlas, ha surusegfuggvenye:

f(x) =αλα

(λ+ x)α+1 ,

ha x > 0, egyebkent pedig erteke 0.Pareto-eloszlashoz jutunk, ha az exponencialis parameteret Gamma-el-

oszlas szerint valasztjuk meg. Ugyanis az ıgy adodo keverekeloszlas suruseg-fuggvenye x > 0 eseten:

f(x) =∫ ∞

0ze−xz

λαzα−1

Γ(α)e−λz =

=αλα

(λ+ x)α+1.

Ezt az allıtast maskeppen ugyis fogalmazhatjuk, hogy ha X 1 parameteruexponencialis eloszlas, Y pedig α szabadsagfoku, λ parameteru Gamma-eloszlas, tovabba X es Y fuggetlenek, akkor XY −1 Pareto-eloszlasu lesz.

A Pareto-eloszlas eloszlasfuggvenye konnyen meghatarozhato:

F (x) =∫ x

0

αλα

(λ+ z)α+1 dz =

= 1−(

λ

λ+ x

)α, x > 0 .

A Pareto-eloszlas momentumai:

E(Xk) =∫ ∞

0xk

αλα

(λ+ x)α+1 dx =

=∫ ∞

0

αxk

λ

[λ

λ+ x

]α+1

,

156

amely az y = λ (λ+ x)−1 valtozocserevel (azaz x = λy− λ) ıgy ırhato:

E(Xk) =∫ 1

0

α

λ

[λ(1− y)

y

]kyα+1 λ

y2dy =

= αλk∫ 1

0yα−k−1(1− y)k dy =

= αλkΓ(α− k)Γ(k + 1)

Γ(α + 1)=

= λkk!Γ(α− k)

Γ(α),

felteve, hogy α > k.A Pareto-eloszlasnak a tobbi eloszlassal valo tovabbi kapcsolatat mutatja,

hogy az eloszlas parameterei alapjan elvegzett ln(1 + X

λ

)transzformacio

eredmenye exponencialis eloszlasu valtozo lesz. Valoban

P (ln(

1 +X

λ

)< y) = P (X < λ(ey − 1)) =

= 1−(

λ

λ+ λ(ey − 1)

)α=

= 1− e−αy .

9.9. Lognormalis eloszlas

Az X valoszınusegi valtozo eloszlasa lognormalis eloszlas, ha X eloall X = eY

alakban, ahol Y normalis eloszlasu valoszınusegi valtozo. Ennek megfeleloenY ∼ N(µ, σ2) eseten X surusegfuggvenye:

f(x) = φ(ln x)d

dxlnx =

1√2πσx

e−12

(ln x−µ)2

σ2 .

Az eloszlas momentumai adodnak a normalis eloszlas momentumgeneralofuggvenyebol. Ugyanis

E(Xk) = E(ekY ) = eµk+σ2k2

2 .

Specialisan

E(X) = eµ+σ2

2 ,

D2(X) = e2µ+σ2[eσ

2 − 1].

157

Konnyen lathato, hogy tetszoleges a, b > 0 eseten aXb is lognormalis eloszlasumarad.

A centralis hatareloszlas-tetel kovetkezmenyekent tetszoleges fuggetlen,azonos eloszlasu, pozitıv ertekeket felvevo valoszınusegi valtozok szorzatanakeloszlasa – a megfelelo momentumfeltetelek teljesulese eseten – lognormaliseloszlassal kozelıtheto.

9.10. Eloszlasok transzformaltjai

9.10.1. Generatorfuggveny

Legyen X nemnegatıv egesz erteku valoszınusegi valtozo. Ekkor a

G(z) = E(zX) =∞∑

k=0

zkP (X = k)

mennyiseget az X valtozo generatorfuggvenyenek nevezzuk. Gyakorta aGX(z) jelolest hasznaljuk.

Tetszoleges valoszınusegeloszlas generatorfuggvenye konvergens a komp-lex szamsık zart egysegkorlemezen. A

P (X = k) =1

k!

dk

dzkG(z)|z=0

keplet mutatja, hogyan lehet a generatorfuggveny ismereteben meghatarozniaz eloszlas elemeit, tehat specialisan az eloszlas es a generatorfuggveny kol-csonosen egyertelmuen meghatarozzak egymast.

Ha a generatorfuggveny a zart egysegkorlemez valamely nyılt kornyezete-ben is konvergens, maskeppen fogalmazva, alkalmas ε > 0 eseten G(1 + ε) <∞, akkor az 1 helyen vett derivaltak az un. faktorialis momentumokat adjakmeg. Kepletben

µ(k) = E (X(X − 1) · · · (X − k + 1)) =dk

dzkG(z)|z=1 .

Fuggetlen valoszınusegi valtozok osszegenek generatorfuggvenye a generator-fuggvenyek szorzata.

A generatorfuggveny fontos szerepet jatszik osszetett eloszlasok kulonbo-zo transzformaltjainak meghatarozasa soran. Legyen ugyanis X nemnegatıv

158

egesz erteku valoszınusegi valtozo, tovabba Z1, Z2, . . . fuggetlen, azonos el-oszlasu, az X-tol is fuggetlen valoszınusegi valtozok. Jelolje G az X genera-torfuggvenyet, φ pedig a Z valtozok eloszlasanak valamilyen kozos transzfor-maltjat (mint peldaul karakterisztikus fuggveny, momentumgeneralo fugg-veny, ...). Ekkor a

X∑

k=0

Zk

valtozo eloszlasanak ugyanolyanfajta transzformaltjat a

G φ

osszetett fuggveny adja meg.Peldaul, ha X λ parameteru Poisson-eloszlasu valtozo, akkor az ıgy adodo

osszetett Poisson-eloszlas karakterisztikus fuggvenyet az eλ(φ−1) keplet adjameg.

9.10.2. Momentumgeneralo fuggveny, Laplace-transzformalt

Folytonos eloszlasu valoszınusegi valtozok eseten a generatorfuggveny sze-repet a momentumgeneralo fuggveny veheti at. Tetszoleges X valtozo mo-mentumgeneralo fuggvenye az

z ∈ R 7→ gX(z) = E(ezX)

fuggveny. Barmely eloszlasra gX(0) = 1. Ha a momentumgeneralo fuggvenyveges valamely z0 pontban, akkor tetszoleges olyan pontban is veges, amely0 es z0 koze esik. Ha gX veges a 0 valamely kis kornyezeteben, akkor ottakarhanyszor derivalhato is, es a 0 pontban vett derivaltak az X momentu-mait adjak meg. Kepletben

g(k)X (0) = E

(Xk).

Innen szarmazik a momentumgeneralo fuggveny elnevezes. Erdemes megje-gyezni, hogy ha gX argumentumat tisztan kepzetesnek valasztjuk, akkor Xkarakterisztikus fuggvenyet kapjuk.

Ha gX valamely pozitıv z helyen veges erteket vesz fel, akkor X+, azazX pozitıv reszenek tetszoleges momentuma veges. Ha pedig valamely z < 0

159

eseten gX(z) < ∞, akkor X−, azaz X negatıv reszenek tetszoleges momen-tuma veges.

Ha a valoszınusegi valtozo ertekei nemnegatıv szamok, akkor gX(z) tet-szoleges z ≤ 0 eseten veges. Ha ezen tulmenoen X meg abszolut folytonoseloszlasu is, surusegfuggvenye fX , akkor

gX(z) =∫ ∞

0ezxfX(x) dx , z ≤ 0 ,

amely nem mas, mint az fX fuggveny Laplace-transzformaltjanak (−z) he-lyen felvett erteke. Ugyanis a nemnegatıv szamokra koncentralt f suruseg-fuggveny Laplace-transzformaltja

Lf (z) =∫ ∞

0e−zxf(x) dx .

A kovetkezo tablazat a Laplace-transzformalt nehany fontos tulajdonsa-gat foglalja ossze.

surusegfuggveny Laplace-transzformalt

f(x) Lf (z)

e−axf(x) Lf (z + a)

f(ax) a > 0 1aLf (

za)

ddxf(x) zLf (z)− f(0)

xf(x) ddzLf (z)

Fuggetlen valoszınusegi valtozok osszegenek momentumgeneralo fuggve-nye megegyezik a momentumgeneralo fuggvenyek szorzataval.

Pelda Legyenek Z1, Z2, . . . kozos λ parameteru exponencialis eloszlasuvaloszınusegi valtozok, es a toluk fuggetlen X valtozo eloszlasa legyen geo-metriai, melynek parametere p. Ekkor a Z valtozok kozos momentum-generalo fuggvenye LZ(z) = λ

λ−z . Az

Y =X∑

k=0

Zk

160

veletlen tagszamu osszeg momentumgeneralo fuggvenye

gY (z) = GX(gZ(z)) =p

1− gZ(z)(1− p) = pλ− zλp− z =

= p+ (1− p) pλ

pλ− z ,

amely mutatja, hogy az adodo eloszlasnak p sulyu diszkret komponense vana nulla pontban, es 1 − p sulyu abszolut folytonos komponense, melynekeloszlasa pλ parameteru exponencialis eloszlas.

Irodalom

[1] S. Asmussen, Approximation for the probability of ruin within finite time,Scand. Actuarial J. 1984, 31–57.

[2] S. Asmussen, Applied Probability and Queues, Wiley and Sons, NewYork, 1987

[3] S. Asmussen, Risk theory in Markovian environment, Scand. ActuarialJ. 1989, 66–100.

[4] S. Asmussen, T. Rolski, Computational methods in risk theory: A matrix-algorithmic approach, Insurance: Mathematics and Economics, 10, 1992,259–274.

[5] S. Asmussen, C. Kluppelberg, Large deviation results for subexponentialtails, with applications to insurance risk Stoch. Proc. and their Applic.,64, 1996, 103–125.

[6] N.L. Bowers, H.U. Gerber, J.C. Hickman, D.A. Jones, C.J. Nesbitt, Ac-tuarial Mathematics, Society of Actuaries, 1987

[7] T. Bjork, J. Grandell, Exponential inequalities for ruin probabilities inthe Cox case, Scand. Actuarial J. 1988, 77–111.

[8] Y.S. Chow, H. Teicher, Independence, Interchangeability, Martingales,Springer Verlag, 1978

161

[9] K.L. Chung, Markov Chains with Stationary Transition Probabilities,Springer Verlag, 1967

[10] H. Cramer, On the Mathematical Theory of Risk, Skandia Jubilee Vol-ume, Stockholm, 1930

[11] H. Cramer, Collective Risk Theory, Skandia Jubilee Volume, Stockholm,1955

[12] M. Csorgo es J. Steinebach, On the estimation of the adjustment coef-ficient in risk theory via intermediate order statistics, Insurance: Math-ematics and Economics,10, 1991, 37–50.

[13] D. Daley, D. Vere-Jones, An Introduction to the Theory of PointProcesses, Springer Verlag, 1988

[14] F. Delbaen, J. Haezendonck, Martingales in Markov processes appliedto risk theory, Insurance: Mathematics and Economics, 1986, 201–215.

[15] F. Delbaen, J. Haezendonck, Inversed martingales in risk theory, Insur-ance: Mathematics and Economics 4, 1985, 201–206.

[16] F. Delbaen, Moments of ruin time, Insurance: Mathematics and Eco-nomics 9, 1990, 121–126.

[17] F. De Vylder, Martingales and ruin in a dynamical risk process, Scand.Acturial J. 1978, 114–119

[18] P. Embrechts, C. Kluppenberg, Some aspects of insurance mathematics,Teorija Verojatnosztyej (oroszul), 1993, 374–416.

[19] P. Embrechts, T. Mikosch, A bootstrap procedure for estimating theadjustment coefficient, Insurance:Mathematics and Economics, 10, 1991,181–190.

[20] P. Embrechts, C. Kluppelberg, T. Mikosch, Modelling Extremal EventsSpringer Verlag, 1999

[21] W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications,2nd ed. Wiley and Sons, New York, 1971

162

[22] H.U. Gerber, Martingales in risk theory, Mitt. Ver. Schweiz. Vers. Math.73, 1973, 205–216.

[23] H.U. Gerber, An Introduction to Mathematical Risk Theory, S.S. Heub-ner Found. 8, Philadelphia, 1979

[24] H.U. Gerber, M.J. Goovaerts, R. Kaas, On the probability and severityof ruin, Astin Bulletin, 17, 1987, 151-163.

[25] U. Herkenrath, On the estimation of the adjustment coefficient in risktheory by means of stochastic approximation procedures, Mathematicsand Econimics 5, 1986, 305–313.

[26] S. Karlin, H.M. Taylor, A First Course in Stochastic Processes, Acad-emic Press, New York, 1975

[27] J. Mecke, Eine charakterische Eigenschaft der doppelt stochastischenPoissonischen Prozesse, Zeitschrift Wahrschein. und Verw. Geb. 11, 1968,74–81.

[28] Forgacsne Kovacs Erzsebet: A kockazatelemzes alapveto fogalmai esmodszerei, Penzugyi es Biztosıtasi Esettanulmanyok, szerk. MeszenaGyorgy, Budapest, 1995

[29] M.F. Neuts, Matrix-geometric Solutions in Stochastic Models, JohnHopkins Univ. Press, Baltimore, MD, 1981

[30] M.F. Neuts, Structured Stochastic Matrices of the M/G/1 type and theirApplications Marcel Dekker, New York, 1989

[31] J. Neveu, Discrete-Parameter Martingales North-Holland, Oxford;American Elsevier, New York, 1975

[32] H.H. Panjer, G.E. Willmot, Insurance Risk Models, Society of Actuaries,1992

[33] S.D. Promislow, The probability of ruin in a process with dependentincrements, Insurance: Mathematics and Economics, 10, 1991, 99–108.

[34] Z. Rachev, Probability Metrics and the Stability of Stochastic Models,Wiley and Sons, New York, 1991

163

[35] E. Sparre Andersen, On the collective theory of risk in the case of conta-gion between the claims, Transaction XV-th Int. Congress of Actuaries,1957, 219–229.

[36] Szekely, J. G.: Paradoxonok a veletlen matematikajaban, MuszakiKonyvkiado, Budapest, 1986

[37] L. Takacs, Introduction to the Theory of Queues, Oxford Univ. Press,New York, 1962

[38] O. Thorin, Probabilites of ruin, Scand. Actuarial J. 1982, 65–102.

164