EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM...

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM

TERMÉSZETTUDOMÁNYI KAR

A határozott integrál alkalmazásai

Szakdolgozat

Készítette: Témavezeto:Habai Kitti Gémes Margit

Matematika BSc Muszaki gazdasági tanárMatematikai elemzo szakirány Analízis Tanszék

Budapest

2014

Tartalomjegyzék

Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1. Maple ismerteto 4

2. Közelítés véges összegekkel, függvénygörbe alatti terület 72.1. Közelítoösszegek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.2. A határozott integrál és tulajdonságai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1. Newton-Leibniz-tétel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3. A határozott integrál alkalmazásai 133.1. Forgástestek térfogata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.1. Korong-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.1.2. Gyurumódszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.1.3. Hengerhéj-módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2. Forgástestek felszíne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.3. Görbék ívhossza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4. Integráltranszformációk különbözo koordináta-rendszerekben 254.1. Polár koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2. Henger koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.3. Gömbi koordináta-rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5. Függelék 31Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2

Bevezetés

Szakdolgozatom témájának a határozott integrál alkalmazásait választottam. A határozottintegrált a matematikán és a fizikán kívül még rengeteg szakterületen nagy szeretettelalkalmazzák, és mivel ez a témakör meglehetosen szerteágazó ezért szakdolgozatom céljaannak bizonyos szeleteinek bemutatása.

Az alábbi fejezetekben szemléltetem azt, hogy a határozott integrál, miként nyújthatsegítséget terület, ívhossz, felszín, térfogat és egyéb gyakorlati feladatok kiszámításánál.Több feladatot a Maple matematikai programcsomag - mely többek között alkalmas grafi-kus megjelenítésre és dokumentumok készítésére is - segítségével, ábrákkal egészítettemki, ezáltal egyszerubbé téve azok szemléltetését.

Az elso fejezetben röviden ismertetem a Maple alapjait és néhány fontosabb megje-leníto parancsát.

A második fejezet elso részében különbözo közelítési módszereket ismertetek, ame-lyeket ábrákon is szemléltetek. A második részben a határozott integrállal kapcsolatosfontosabb definíciókat és tételeket gyujtöttem össze, ezeket alkalmazom a továbbiakban.

A harmadik fejezetben a határozott integrál különbözo alkalmazásait mutatom be,többek között különbözo módszereket a forgástestek térfogatának, valamint ezek fel-színének kiszámítására továbbá a görbék ívhosszának kiszámításáról is szót ejtek.

A negyedik fejezetben a határozott integrál alkalmazására mutatok be területi, térfo-gati és ívhossz feladatmegoldásokat polár-, a henger-, és a gömbi koordináta-rendszerben.

3

1. fejezet

Maple ismerteto

Miért választottam a Maple-t?A Maple egy matematikai szoftver csomag, amit széles körben tudunk alkalmazni a mate-matika szakterületén belül. Többek között a Maple hasznos segítség lehet számunkra, haa függvények vizsgálatát és megjelenítését, felületek ábrázolását, különbözo geometriaimodellezéseket, továbbá a differenciál és integrálszámítást, a lineáris algebra témaköreités még sorolhatnánk mi mindent szeretnénk alkalmazni, szemléltetni.

Egyetemi tanulmányaim során szabadon választható tantárgyon belül találkoztam aMaple-lel, amit felhasználóbarátnak és hasznos tanulási segédletnek találtam. Ezt a pro-gramcsomagot szívesen ajánlom középiskolától kezdve az egyetemi tanulmányokon átmindenkinek, hiszen a fentebb felsorolt témakörökön belül rengeteg mindenben kaphatunkszélesebb köru rálátást, ha nem csak beszélünk és tanulunk róla, de a saját szemünkkel islátjuk az adott feladat megoldását. A dolgozatomban a Maple egyenletmegoldó, függvényés felületábrázoló programjait fogom használni.

A dolgozat végén egy kis kitekintést teszek a többes integrálok felé beleértve a térfo-gatszámítást, a polár- , henger- , és gömbi koordináta-rendszerek használatát is.

Rövid Maple ismerteto

A Maple használható szimpla számológépként alap számításokra, a muveleteket " ;"-velzárjuk (több parancsot is bevihetünk egy sorba, ezek eredménye egymás alatt lesz látható) :

> 3+5; 2-4; 5*56; 10^5; 3/5 + 5/9 + 7/12; sqrt(24);

8

−2280

100000313

180

2√6

4


Ha a π -t szeretnénk használni a "Pi" parancsot kell beírnunk. A trigonometrikus függ-vények értékét is visszaadja a Maple, ha nem definiált értéket próbálunk kiszámítani hi-baüzetetet ad vissza:

> sin(5*Pi/3); arcsin(-1); tan(Pi/2);

−1/2√3

−1/2πError, (in tan) numeric exception: division by zero

A természetes alapú exponenciális függvény, az abszolút érték, és a faktoriális :> exp(2*x+3); abs(-3); 5!;

e2x+3

3

120

Ha nem törtalakban szeretnénk visszakapni az eredményt, hanem lebegopontos for-mában, akkor az "evalf(x)" parancsot kell használni. Különbözo változóneveket tudunkdefiniálni, majd a "restart" paranccsal kitöröljük a változókat (szinte új lapot kezdünk):

> evalf(3/5 + 5/9 + 7/12); kitti:=2*21; restart;

1.738888889

kitti := 42

Az "expand" parancsot a zárójelek felbontására használhatjuk:> k:=(x+4)^2*(2*x-8)(x+6); expand(k);> expand(sin(2*x)); expand(cos(2*x));

k := (x+ 4)2 (2x (x+ 6)− 8)

2x2x (x+ 6)− 8x2 + 16xx (x+ 6)− 64x+ 32x (x+ 6)− 128

2 sin (x) cos (x)

2 (cos (x))2 − 1

A "solve()" parancsot például használhatjuk a legfeljebb negyedfokú algebrai egyen-letek megoldására:

> solve(3*x^3-4*x^2-43*x+84=0,x);

−4, 3, 7/3

Függvények bevitele, és az abba való behelyettesítés :> f:=x->3*x+x^2; f(x); f(-1);

f := x 7→ 3x+ x2

3x+ x2

−2

Az egyszerubb függvények kirajzolásához a "plot()" parancsot használjuk, a bonyo-lultabb függvényekhez más csomagokat kellhet behívnunk. A csomagokat a "with()"

5


paranccsal hívhatjuk be, ami kiírja a csomagban megtalálható parancsokat. Mivel ezekneka parancsoknak a listája elég hosszú lehet, ezért érdemes ":"-tal lezárni, így a parancs vég-rehajtódik, de az eredmény nem látszódik a lapon:

> plot(x^2,x=-2..2): with(plots):

A Maple ábrázolási és számolási parancsai közül sok fajtát használtam még ezekenfelül, ezért a további Maple-höz kapcsolódó információkat mindig az azt érinto anyagvégén részletesebben kifejtem majd.

1.1. ábra. Maple - Juharfalevél kirajzolása

6

2. fejezet

Közelítés véges összegekkel,függvénygörbe alatti terület

Az alábbiakban téglalapok területének összegével közelítjük egy görbe vonallal határolttartomány területét. A közelítés pontosságát úgy növeljük, hogy egyre több téglalapotalkalmazunk.

2.1. Közelítoösszegek2.1. Példa. Mekkora annak a T tartománynak a területe, amelyet az x-tengely, az y =

√x

függvény grafikonja és az x = 1 függoleges egyenes határol? Közelítsük a megoldástmás-más módszerekkel, majd ábrázoljuk a különbözo megoldásokat.

Felso összeg

Egy egyszeru módszerrel közelítjük a T tartomány területét. A 2.1. és 2.2. ábrákon aketto és a négy téglalap együttesen tartalmazzák az egész kérdéses tartományunkat. Atéglalapok magassága azonos az f függvénynek a [0,1] intervallumon megadott részinter-vallumokon felvett maximális értékével, amely maximális értékeit mindig a részinterval-lum jobb oldali végpontjában veszi fel. A közelíto téglalapok x-tengelyen fekvo oldalaiadják ezeket a részintervallumokat.

A két téglalappal való felso becslés:

1 · 1

2+

√2

2· 1

2≈ 0.8535533905.

7


(a) Felso összeg két téglalappal(b) Két téglalapos felsoközelítés

2.1. ábra. Két téglalapos közelítés a Maple-ben

A négy téglalappal már pontosabb felso becslés:

1

4·

(1 +

√3

2+

√2

2+

1

2

)≈ 0.7682830462.

(a) Felso összeg négy téglalappal(b) Négy téglalapos felsoközelítés

2.2. ábra. Négy téglalapos közelítés a Maple-ben

Az elozoekben kapott értékeket felso összegeknek hívjuk. Ezek a becsült értékeknagyobbak a T tartomány pontos területénél, ugyanis mind a ketto és a négy téglalapmagába foglalja T-t.

Alsó összeg

Az eddigiek helyett most négy olyan téglalappal szeretnénk közelíteni, amelyeknek aszélessége ugyancsak 1/4, de a tartomány belsejében, teljes egészében f grafikonja alatthelyezkedik el. A téglalapok magasságát a részintervallumok bal oldali végpontjában fel-vett függvényérték adja meg, mivel az f(x) =

√x függvény csökkeno.

A kapott alsó közelíto összeg:

1

4·

(0 +

√3

2+

√2

2+

1

2

)≈ 0.5182830462.

8


(a) Alsó összeg négy téglalappal(b) Négy téglalapos alsóközelítés

2.3. ábra. Négy téglalapos közelítés a Maple-ben

Mivel az összes téglalap a T tartományon belül fekszik, ez kisebb, mint az eredetiterület, így a T területének valós értéke valahol az alsó és a felso közelíto összeg közéesik:

0.5182830462 < T < 0.7682830462

Felezopont szabály

Egy új egyszeru módszert kapunk, ha a téglalapok alapélének felezopontjában felvett f(x)értéket vesszük magasságnak. Ezt a közelítést nevezzük felezopont szabálynak. Az ezzela módszerrel kapott érték az alsó és a felso közelíto összeg értéke között helyezkedik el.Alkalmazzuk a szabályt ismét négy darab egyenként 1/4 szélességu téglalappal :

1

4·

(√2

4+

√6

4+

√10

4+

√14

4

)≈ 0.6729773970.

(a) Felezopont-szabály négy téglalappal

(b) Négy téglalapos közelítés

2.4. ábra. Felezopont-szabály alkalmazása a Maple-ben

A fent szemléltetett közelítésekben az [a, b] intervallumot, ahol az f függvény értelmezvevan, egyenlo ∆x = (b − a)/n hosszúságú n darab részintervallumra bontottuk fel, és

9


ezeknek valamely pontjában vettük f értékét : az elso részintervallumban a c1 pontban, amásodikban a c2 pontban és így tovább. Így a véges összeg

f(c1)∆x+ f(c2)∆x+ . . .+ f(cn)∆x

alakban írható fel. Ha egyre több és több részintervallumra bontjuk az eredeti intervallu-mot, akkor egyre több és keskenyebb téglalapot használunk a közelíto összegben, ígylátható, hogy ezek a véges összegek egyre pontosabb közelítést adnak a T tartománytényleges területére.

2.2. A határozott integrál és tulajdonságaiTekintsünk egy f folytonos függvényt az [a, b] zárt intervallumon. Osszuk fel az interval-lumot n−1 belso pont felvételével n részintervallumra, legyenek ezek {x1, x2, · · · , xn−1},amelyekre teljesül, hogy

a = x0 < x1 < x2 < . . . < xn−1 < xn = b.

A P = {x0, x1, x2, · · · , xn−1, xn} halmazt az [a, b] intervallum felosztásának nevezzük.Egy felosztásban a k-adik részintervallum [xk−1, xk] , ennek hossza ∆xk = xk − xk−1.

2.2. Definíció. Mindegyik részintervallumon valamely tetszoleges ck pontot kijelölve, xk−1 ≤≤ ck ≤ xk, az

S =n∑k=1

f(ck)∆xk

összeg az f függvény egy Riemann összege az [a, b[ intervallumon.

2.3. Definíció. A P felosztás finomsága: max1≤k≤n ∆xk = ||P ||.

2.4. Definíció. A P felosztás δ-nál finomabb, ha ||P || < δ.

2.5. Definíció. Tegyük fel, hogy f : [a, b] → R korlátos. Azt mondjuk, hogy az I azf függvény [a, b] intervallumon vett határozott integrálja, ha minden pozitív ε-hoz vanolyan pozitív δ, amelyre minden ||P || < δ esetén∣∣∣∣∣

n∑k=1

f(ck)∆xk − I

∣∣∣∣∣ < ε,

bárhogy is választjuk a ck értékeket.

2.6. Definíció. Az f függvény integrálható (Riemann-integrálható) az [a, b] intervallu-mon, ha van határozott integrálja.

2.7. Definíció. A Pn felosztássorozat végtelenül finomodó, ha a ||Pn|| → 0, ha n→∞.

2.8. Tétel. Ha az f korlátos függvény integrálható [a, b]-n, Pn pedig végtelenül finomodófelosztássorozat, Sn a Pn felosztáshoz tartozó közelíto összeg valamilyen ck (k = 1 . . . n)pontokkal, akkor Sn → I , ha n→∞.

10


2.9. Tétel. Folytonos függvény határozott integráljaHa az f függvény folytonos az [a, b] intervallumon, akkor az [a, b] intervallumon

létezik határozott integrálja.

A határozott integrálra vonatkozó szabályok:

1. Az integrálási határok felcserélése:∫ abf(x) dx = −

∫ baf(x) dx.

2. Nulla hosszúságú intervallum:∫ aaf(x) dx = 0.

3. Konstanssal való szorzás:∫ bakf(x) dx = k

∫ baf(x) dx.

4. Összeg és különbség:∫ ba(f(x)± g(x)) dx =

∫ baf(x) dx±

∫ bag(x) dx.

5. Additivitás:∫ baf(x) dx+

∫ cbf(x) dx =

∫ caf(x) dx

6. Maximum-minimum egyenlotlenség: Ha f -nek van minimális és maximális értékeaz [a, b] intervallumon, akkor

minf · (b− a) ≤∫ b

a

f(x) dx ≤ maxf · (b− a).

7. Majorizáció:

f(x) ≥ g(x) az [a, b] intervallumon ⇒∫ b

a

f(x) dx ≥∫ b

a

g(x) dx.

f(x) ≥ 0 az [a, b] intervallumon ⇒∫ b

a

f(x) dx ≥ 0.

2.5. ábra. A határozott integrálra vonatkozó szabályok szemléletesen

11


2.10. Definíció. A görbe alatti terület mint határozott integrálHa y = f(x) az [a, b] intervallumon nemnegatív és integrálható függvény, akkor az

y = f(x) görbe alatti terület:

A =

∫ b

a

f(x) dx.

2.2.1. Newton-Leibniz-tétel2.11. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 1.része

Ha f folytonos [a, b]-n, akkor F (x) =∫ xaf(t) dt is folytonos [a, b]-n, differenciálható

(a, b)-n és derinváltja f(x) :

F ′(x) =d

dx

∫ x

a

f(t) dt = f(x).

2.12. Tétel. A Newton-Leibniz-tétel 2. részeHa f folytonos [a, b] minden pontjában, és F az f primitív függvénye az [a, b]-n, akkor∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Teljes terület:Ha a Riemann összegben szereplo f(ck) negatív, akkor az f(ck)∆xk szorzat a téglalap

területének az ellentettje. Ha egy negatív függvényre összegezzük ezeket, akkor megkapjuk

2.6. ábra. Egymást kioltóterületrészek

a függvénygörbe és az x-tengely által közbezárt területellentettjét, majd vesszük ennek abszolút értékét,akkor megkapjuk a helyes, pozitív területértékét.

2.13. Példa. Számoljuk ki a Maple segítségéveleloször az f(x) = sinx határozott integrálját a [0,2π]intervallumon, majd a függvény grafinkonja és az x-tengely által határolt területét ugyanezen az interval-lumon!

> int(sin(x), x = 0 .. 2*Pi);

0

> p := int(sin(x), x = 0 .. Pi);

p := 2

> n := abs(int(sin(x), x = Pi .. 2*Pi));

n := 2

> p+n;

4

12

3. fejezet


3.1. Forgástestek térfogata

3.1.1. Korong-módszerEzt a módszert akkor alkalmazzuk, ha észrevesszük, hogy a kérdéses test síkmetszeténekA(x) területe nem más, mint egy R(x) sugarú körlemeznek a területe, ahol R(x) a síktar-tomány határvonalának a forgástengelytol való távolságát jelenti.

3.1. ábra. Forgástest, amirealkalmazható a korong módszer

Ezért a terület:

A(x) = π(sugár)2 = π[R(x)]2.

A korong-módszer térfogatszámítás-ra:

V =

∫ b

a

A(x) dx =

∫ b

a

π[R(x)]2 dx.

3.1. Példa. Határozzuk meg annak a test-nek a térfogatát, amit alulról az x-tengely,balról a

√3x függvény grafikonja, jobbról

pedig az x2 + y2 = 1 kör által határolt tar-tomány x-tengely körüli forgatásával állí-tunk elo !

Megoldás: A tartományt két részre bontva hajtjuk végre az integrálást. A két füg-gvény a (1

2,√32

) pontban metszik egymást, így ott vágjuk félbe a tartományt.

V =

∫ 12

0

π · [√

3x]2 dx+

∫ 1

12

π · [√

1− x2]2 dx = π ·

(∫ 12

0

3 · x2 dx+

∫ 1

12

1− x2 dx

)=

= π ·

(3 ·[x3

3

] 12

0

−[x− x3

3

]112

)≈ 1.047197551

13


3.2. ábra. A megforgatandó tartomány

3.1.2. GyurumódszerHa a kiindulási tartományunkat úgy választjuk, hogy egyik határvonala sem esik a forgásten-gelyre és nem is metszi azt, akkor a forgástest közepén egy lyuk keletkezik. A forgásten-gelyre meroleges síkmetszetek nem körlapok, hanem körgyuruk lesznek, aminek paramétereia következok:

külso sugár: R(x),belso sugár: r(x).

A gyuruk területe:

A(x) = π[R(x)]2 − π[r(x)]2 = π([R(x)]2 − [r(x)]2).

A térfogat:

V =

∫ b

a

A(x) dx =

∫ b

a

π([R(x)]2 − [r(x)]2) dx.

3.2. Példa. Határozzuk meg a lent megadott egyenesek és görbe által határolt tartományx-tengely körüli forgatásával eloálló forgástest térfogatát!

3.3. ábra. A megforgatandó tartomány

Az elso síknegyedbeli tartományt felül-rol az y = 2 egyenes, alulról az y = 2

√x

függvény grafikonja, balról pedig az x = 0egyenes harátolja.

Megoldás:Az integrálási határok: a függvény

grafikonja az y = 2 egyenest a (1,2) pont-ban metszi az x = 0 egyenest pedig a (0,0)pontban, tehát az integrál 0-tól 1-ig megy.

A sugarak:Külso sugár: R(x) = 2.Belso sugár: r(x) = 2

√x.

14


V =

∫ b

a

π([R(x)]2 − [r(x)]2) dx =

∫ 1

0

π([2]2 − [2√x]2) dx =

=

∫ 1

0

π(4− 4x) dx = π[4x− 2x2

]10

= 2π.

3.1.3. Hengerhéj-módszerFüggoleges tengely körüli forgatásra vonatkozó héjformula:

Az x-tengely és a folytonos y = f(x) ≥ 1, L ≤ a ≤ x ≤ b függvény grafikonjaáltal határolt tartomány x = L függoleges egyenes körüli forgatásával generált forgástesttérfogata:

V =

∫ b

a

2π(a héj sugara) (a héj magassaga) dx.

3.3. Példa. A héjmódszerrel határozzuk meg annak a tartománynak az y-tengely körüliforgásával generált térfogatát, amelyet balról az y-tengely, jobbról az x = 2 egyenes,fentrol pedig az y = 1 + x2

4parabola görbe határol!

Megoldás:

A héj sugara: x, a héj magassága: 1 +x2

4.

V =

∫ b

a

2π(a héj sugara) (a héj magassaga) dx = V =

∫ 2

0

2π(x)(1 +x2

4) dx =

= 2π

∫ 2

0

x+x3

4dx = 2π

[x2

2+x4

16

]20

= 6π.

3.2. Forgástestek felszíne3.4. Definíció. Az x-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:

Ha az f(x) ≥ 0 függvény folytonosan differenciálható az [a, b] intervallumon, akkoraz y = f(x) görbe x-tengely körüli forgatásával eloálló felület felszíne :

S =

∫ b

a

2πy

√1 +

(dy

dx

)2

dx =

∫ b

a

2πf(x)√

1 + (f ′(x))2 dx.

3.5. Definíció. Az y-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:Ha az g(x) ≥ 0 függvény folytonosan differenciálható az [c, d] intervallumon, akkor

az x = g(y) görbe y-tengely körüli forgatásával eloálló felület felszíne :

S =

∫ d

c

2πx

√1 +

(dy

dx

)2

dy =

∫ d

c

2πg(y)√

1 + (g′(y))2 dy.

15


3.6. Példa. Tervezzünk egy serleg alakú, sütoserpenyot(wokot)!

1. Egy kis kísérletezéssel meggyozodhetünk arról, hogy a 9 cm mély és 16 cm sugarúwok urtartalma nagyjából 3 liter. Bizonyosságot úgy nyerhetünk, ha a wokot azalább látható módon forgástestnek fogjuk fel és térfogatát integrálással határozzukmeg. Majd számoljuk ki, hogy mekkora felülettel kell számolnunk, ha be szeretnénkvonni a serpenyonket zománccal.

Megoldás: Vegyük észre, hogy a fent említett test úgy áll elo, hogy az f(x) ==√

162 − x2 függvényt a [7,16] tartományon megforgatjuk, és ezt tekintjük aforgástestnek.

f(x) =√

162 − x2, f ′(x) = −(

x√162 − x2

)A korong-módszert felhasználva a térfogat:

V =

∫ 16

7

π(162 − x2)dx = π

[162x− x3

3

]167

= 1053πcm3 ≈ 3.308097065 liter.

Az x-tengely körüli forgatással eloálló forgásfelület felszíne:

S =

∫ b

a

2πf(x)√

1 + (f ′(x))2 dx =

∫ 16

7

2π√

162 − x2√

1 +

(− x√

162 − x2

)2

dx =

= 2π·∫ 16

7

√(162 − x2) + (1 +

(− x√

162 − x2

)= 2π·

∫ 16

7

16 dx = 2π·[16x

]167

=

= 288 · πcm2.

(a) Megforgatandófüggvényrészlet (b) Forgástest

3.4. ábra. A wok ábrázolása Maple-ben

2. Cégünk úgy dönt, hogy az elobb megtervezett és nagyon sikeres wokból piacra dobegy luxusszériát. A terv az, hogy az edényt belülrol fehér, kívülrol kék zománc-cal vonjuk be. A zománcot kiégetés elott 0,5 mm vastag rétegben kell felvinni afelületre. A gyártás elokészíto csoport tudni szeretné, hogy mennyi zománcra leszszükség 5000 darabos mennyiség eloállításához. Mit válaszoljuk?

16


Megoldás: Ahhoz, hogy megkapjuk, hogy mennyi zománcra lesz szükségünk mégtovábbi két térfogatot kell kiszámolnunk. A külso zománc mennyiséget úgy kapjuk meg,hogy egy 0,5 mm-el mélyebb wok térfogatáról kivonjuk az alap wokunk térfogatát. Abelso zománc mennyiséget pedig úgy, hogy az alap térfogatból vonunk ki egy 0,5 mm-relkisebb mélységu woknak a térfogatát.

fbelso(x) =√

15,952 − x2, fnormál(x) =√

162 − x2, fkülso(x) =√

16,052 − x2

A belso, kisebb wok térfogata:

Vbelso =

∫ 15,95

7

π·[√

15,952 − x2]2 dx = π·∫ 15,95

7

15,952−x2 dx = π

[15,952x− x3

3

]15,957

=

= 1038.662417 · πcm3 ≈ 3.263054219 liter.

A külso, nagyobb wok térfogata:

Vkülso =

∫ 16,05

7

π·[√

16,052 − x2]2 dx = π·∫ 16,05

7

16,052−x2 dx = π

[16,052x− x3

3

]16,057

=

= 1067.462583 · πcm3 ≈ 3.353532609 liter.

Az elobb már kiszámoltuk, hogy a Vnormál ≈ 3,308097065 liter. Ezért a belso zománcmennyiség:

Vnormál − Vbelso = 3,308097065 liter− 3,263054219 liter ≈ 0.045 liter.

Külso zománc mennyiség:

Vkülso − Vnormál ≈ 3,353532609 liter− 3,308097065 liter ≈ 0,046 liter.

Az 5000 darabos mennyiség eloállításához Vössz = 5000 · 0.045 + 5000 · 0.046 = 455liter zománcfesték , pontosabban 225 liter fehér és 230 liter kék festék szükséges.1

3.7. Példa. Határozzuk meg a 15 cm magas egyenes csonkagúla alakú, alulról nyitottlámpabúra külso felszínét, ha fedoköre 5 cm, alapköre 10 cm sugarú.

Megoldás: Mivel a fenti test egy forgástest, így meg kell határoznunk azt az egyen-letet, az alkotót, aminek a forgatásával megkapjuk a lámpabúrát. Ha elhelyezzük a megfelelokoordináta-rendszerben (egy egység 1 cm), akkor az alkotó egyenlete:

f(x) =1

6x+ 2.5, f ′(x) = 1/6, 1 + (f ′(x))2 =

37

36.

1 A Thomas-féle Kalkulus II. kötetének feladata alapján (85.oldal 55.)

17


Helyettesítsük be:

S = 2 · π∫ 15

0

(1

6x+ 2.5

)·√

37

36dx =

2 · π ·√

37

6·∫ 15

0

(1

6x+ 2.5

)dx =

=2 · π ·

√37

6·[x2

12+ 2.5x

]150

=2 · π ·

√37

6· 225

4=

75

4π√

37

A területegység 1cm2, ezért a palást 754π√

37cm2 .Ha a megoldáshoz hozzáadjuk a fedokört :

A = S + 2 · 5 · π =75

4π√

37 + 25πcm2

(a) Lámpa felszínénekkiszámítása

(b) A lámpa palástja

3.5. ábra. A lámpabúra Maple-ben

MAPLE:

3.6. ábra. A rotxplot parancs eredménye

A Maple-ben a calcplot csomag be-olvasása után tudjuk alkalmazni a rotxplotés a rotyplot parancsokat. Mind a kettofelépítése megegyezik, rotxplot(f, x=a..b,y=c, opts), rotyplot(f, x=a..b, x=c, opts).Definiálnunk kell a megforgatandó függ-vényt, f-et, majd megadjuk, hogy mettolmeddig szeretnénk megforgatni, a-tól b-ig,és végül a forgatási tengelyt.

Például :

> f:=sin(x);f := sin(x)

> rotxplot(f,x =0..2*Pi,y = 0)

18


3.3. Görbék ívhossza3.8. Tétel. Paraméteresen adott görbe ívhossza

Legyen C az x = f(t) és y = g(t), a ≤ t ≤ b egyenletekkel paraméteres alakbanmegadott görbe, f ′ és g′ folytonosak és egyidejuleg nem nullák az [a, b] intervallumon.Akkor C hossza az

L =

∫ b

a

√[f ′(t)]2 + [g′(t)]2 dt

határozott integrál.

3.9. Definíció. Logaritmikus spirálnak nevezzük a következo módon adott görbét:

c(t) = (aebt cos t, aebt sin t),

ahol a és b paraméterek.

3.10. Példa. Számoljuk ki az x = −2e0.08·t cos t, y = −2e0.08·t sin t logaritmikus spirál0 ≤ t ≤ 12π közé eso ívdarabjának hosszát!

Megoldás:dx

dt= 2e0.08t sin t− 0.16e0.08t cos t,

dy

dt= −2e0.08t cos t− 0.16e0.08t sin t(

dx

dt

)2

= 4e0.16t sin2 t− 0.64e0.16t sin t cos t+ 0.0256e0.16t cos2 t(dy

dt

)2

= 4e0.16t cos2 t+ 0.64e0.16t sin t cos t+ 0.0256e0.16t sin2 t(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

= 4e0.16t(sin2 t+ cos2 t) + 0.0256e0.16t(sin2 t+ cos2 t) = 4.0256e0.16t

L =

∫ 12π

0

√4,0256e0.16t dt =

√4.0256

∫ 12π

0

e0.08t dt =√

4.0256[12.5e0.08t

]12π0≈ 486.7511704.

3.7. ábra. Az x = −2e0.08·t cos t, y = −2e0.08·t sin t logaritmikus spirál

19


3.11. Definíció. Cikloisnak nevezzük azt a görbék, melyet egy egyenesen csúszásmentesengördülo kör egy perempontja ír le.

3.12. Példa. Határozzuk meg az x = a(ϑ− sin ϑ), y = a(1− cos ϑ) ciklois 0 ≤ ϑ ≤ 2πközé eso ívdarabjának hosszát!

Megoldás:

dx

dϑ= a(1− cos ϑ),

(dx

dϑ

)2

= a2(1− 2 cos ϑ+ cos2 ϑ)

dy

dϑ= a sin ϑ,

(dy

dϑ

)2

= a2 sin2 ϑ(dx

dϑ

)2

+

(dy

dϑ

)2

= 2a2(1− cos ϑ)

L =

∫ 2π

0

√2a2(1− cos ϑ) dϑ =

√2a

∫ 2π

0

√1− cos ϑ dϑ = 2a

∫ 2π

0

sinϑ

2dϑ =

= 2a

[−2 cos

ϑ

2

]2π0

= 8a.

3.8. ábra. A ciklois egy ívdarabja

3.13. Definíció. Sima görbe ívhosszaAz r(t) = x(t)i+y(t)j+z(t)k, t ∈ [a, b] sima görbe ívhossza, amennyiben r pontosan

egyszer járja be a görbét, miközben t a-tól b-ig növekszik:

L =

∫ b

a

√(dx

dt

)2

+

(dy

dt

)2

+

(dz

dt

)2

dt.

A képletben szereplo négyzetgyökös kifejezés értéke|v|, azaz a dr/dt sebességvektorhossza.

Sima görbe ívhossza rövidebb formában

L =

∫ b

a

|v| dt.

A következokben olyan feladatokat oldunk meg, amelyeknek a megoldása során bele-ütközhetünk olyan integrálokba, amiknek igencsak nehéz a megoldása, vagy egyáltalánnem lehet elemi úton kifejezni a primitív függvényüket. Megmutatjuk, hogy ezeknek amegoldásában hogyan nyújt segítséget a Maple.

20


3.14. Definíció. Egy gömb és egy egyenes körhenger metszésvonala a Viviani görbe.

Ha a gömb egyenlete x2 +y2 +z2 = 4a2 a henger egyenlete pedig (x−a)2 +y2 = a2,akkor a Viviani görbe paraméteres alakja:

c(t) =

(a+ a cos t, a sin t, 2a sin

t

2

).

3.15. Példa. Számoljuk ki annak a Viviani-görbének az ívhosszát, ami az x2+y2+z2 = 4egyenletu gömb és az (x− 1)2 + y2 = 1 egyenletu henger metszésvonalaként áll elo !

Megoldás:

dx

dt= − sin t, (

dx

dt)2 = sin2 t

dy

dt= cos t, (

dy

dt)2 = cos2 t

dz

dt= cos

t

2, (

dz

dt)2 = cos2

t

2

L =

∫ 4π

0

√sin2 t+ cos2 t+ cos2

t

2dt =

∫ 4π

0

√1 + cos2

t

2dt

Ezen a ponton komolyabb integrálási ismeretek nélkül nem tudunk továbbhaladni, ezértitt alkalmazzuk a Maple-t :

> with(Student[VectorCalculus]):

> ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=0..4*Pi);

8 · EllipticE (i)

> ArcLength(<1+cos(t),sin(t),2*sin(t/2)>,t=0..4*Pi,output=integral);∫ 4·π

0

√(sin (t))2 + (cos (t))2 + (cos (1 · 1/2 · t))2dt

> evalf(int(sqrt(sin(t)^2+cos(t)^2+cos(1/2*t)^2),t=0..4*Pi));

15.28079116− 0.i

> evalf(8*EllipticE(I));

15.28079116− 0.i

A Maple eredményeibol is látszik, hogy számolás közben az elliptikus integrálba bot-lottunk volna, amirol akár a Maple Help-jében is megfelelo leírást találunk:

EllipticE(z, k) =

∫ z

0

√1− k2t2√1− t2

dt, EllipticE(k) = EllipticE(1, k)

21


(a) Viviani-féle test

(b) Viviani görbe

3.9. ábra. Viviani test és görbe Maple-ben

3.16. Definíció. Gyurus spirálnak nevezzük azt a görbét, ami körülcsavarodik egy origóközéppontú tóruszon.

A gyurus spirál paraméteres alakja:

c(t) = ((a+ b cos qt) cos pt, (a+ b cos qt) sin pt, b sin qt),

ahol a a belso, b a külso sugara a tórusznak (az ábrán jól látható módon). A q értéke adjameg, hogy hányszor tekeredjen körbe a görbe a tórusz körül, és p határozza meg, hogyhányszor menjen az origó körül.

(a) A tórusz sugarai(b) A tóruszra rátek-eredo spirál

3.10. ábra. A gyurus spirál származtatása a Maple-ben

3.17. Példa. Számoljuk ki a c(t) =((

1 + 12

cos 12t)

cos t,(1 + 1

2cos 12t

)sin t, 1

2sin t

)paraméteresen adott gyurus spirál ívhosszát!

Megoldás: A definíció alapján ez a spirál az 1 belso és 12

külso sugarú tórusz körül 12csavarral 1-szer körbeforduló gyurus spirál.


22


> ArcLength(‘<,>‘((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t),> (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t),> (1/2)*sin(12*t)), 0 .. 2*Pi,output=integral);

∫ 2π

0

√√√√((−6 sin(12t) cos(t)− (1 +1

2cos(12t)

)sin(t)

)2

+

(−6 sin(12t) sin(t) +

(1 +

1

2cos(12t)

)cos(t)

)2

+ 36 cos(12t)2

)dt

> evalf(ArcLength(‘<,>‘((1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t),> (1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t), (1/2)*sin(12*t)), 0 .. 2*Pi));

38.28186996

Már az elsore kiadott integrál alapján is látszik, hogy ennek a feladatnak a megoldásáhozis egy bonyolult integrált kellett volna kiszámítanunk, így nagy segítséget jelent a Maple.

(a) A spirál felülnézetbol (b) A spirál más nézetbol

3.11. ábra. A gyurus spirál a Maple-ben

MAPLE:A Maple-ben az ívhossz kiszámításához a Student[Calculus1] csomagot kell elohív-

nunk. Ez a csomag tartalmazza az ArcLength parancsot, ArcLength(f(x), x = a..b, opts).Definiálnunk kell f(x)-et , meg kell adnunk a határokat, a-t és b-t, majd egyéb paramétereketis megadhatunk. Egyéb paraméterként például meg lehet adni, hogy Descartes-féle, vagypolár koordinátákat használjon, vagy, hogy szimplán az integrál formulát adja válaszul.Például :

> ArcLength(ln(x), x = 1 .. 4);

−√

2 + arctanh(

1/2√

2)

+√

17− arctanh(

1/17√

17)

23


Még egy érdekes görbe, a szívgörbe, aminek ívhosszát a Maple segítségévelszámoljuk ki:

Betöltjük a szükséges csomagokat :

> with(plots):


A szív grafikonjának kirajzolása:

> plot([16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)-cos(4t),> t=-3..3],thickness=3);

Kiszámoljuk a görbe ívhosszát :

> ArcLength(‘<,>‘(16sin(t)^3,13cos(t)-5cos(2t)-2cos(3t)> -cos(4t)),-3..3,output=integral);∫ 3

−3

√2304 (sin (t))4 (cos (t))2 + ((−13 sin (t)) + 10 sin (2t) + 6 sin (3t) + 4 sin (4t))2dt

> evalf(Int(sqrt(2304*sin(t)^4*cos(t)^2+> (-13sin(t)+10sin(2t)+6sin(3t)+4sin(4t))^2),t=-3..3));

101.5449028

3.12. ábra. A szív grafikonja a Maple-ben

24

4. fejezet

Integráltranszformációk különbözokoordináta-rendszerekben

4.1. Polár koordináta-rendszer

4.1. ábra. A polárkoordináták származtatása

A polárkoordináták értelmezéséhez ki kelljelöljünk egy O kezdopontot (pólust) és abelole induló kezdoirányt (polártengelyt).Ezután minden P ponthoz hozzárendeljükaz (r, ϑ) polárkoordinátapárt.

4.1. Definíció. Polárkoordináta-rendszerbenegy P pont helyét két adattal, (r, ϑ)-valdefiniálhatunk, ahol:

1. r a sugár (0 ≤ r), azaz a pontnak az origótól vett távolsága,

2. ϑ pedig az OP-nak a polártengellyel bezárt irányított szöge.

A polár- és a Descartes koordinátákat összekapcsoló egyenletek

x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, x2 + y2 = r2.

Polárgörbe ívhossza:Ha r = f(ϑ)-nak van elso deriváltja, és az folytonos az α ≤ ϑ ≤ β intervallumon, és

ha P (r, ϑ) pont pontosan egyszer söpri végig az r = f(ϑ) görbét, miközben ϑ végigfutaz α és β közötti értékeke, akkor a görbe ívhossza:

L =

∫ β

α

√r2 +

(dr

dϑ

)2

dϑ.

4.2. Definíció. A kardioid vagy szívgörbe azon pontok halmaza a síkon, melyeket egyadott a sugarú kör egy rögzített pontja ír le, miközben csúszás nélkül gurul végig egyrögzített, szintén a sugarú körön.

Egyenlete poláris koordinátákban:

r = a · (1 + cos ϑ)

25


4.3. Példa. Számítsuk ki az r(ϑ) = a(1 + cos ϑ)(0 ≤ ϑ ≤ 2π) egyenletu kardioidívhosszát.

Megoldás:

r2(ϑ) = a2(1 + cos ϑ)2 = a2(1 + 2 cos ϑ+ cos2 ϑ)

dr

dϑ= −a sin ϑ,

(dr

dϑ

)2

= a2 sin ϑ

r2 +

(dr

dϑ

)2

= 2a2(1 + cos ϑ)

L =

∫ 2π

0

√2a2(1 + cos ϑ) dϑ =

√2a

∫ 2π

0

√1 + cos ϑ dϑ = 2a

∫ 2π

0

√cos2

ϑ

2dϑ

Felhasználtuk a cos2 ϑ2

= 1+cos ϑ2

összefüggést az integrál kiszámításához. A cos ϑ2

a[0, π)-n pozitív, míg a (π,2π]-n negatív.

L = 2a

∫ 2π

0

∣∣∣∣cosϑ

2

∣∣∣∣ dϑ = 2a

∫ π

0

cosϑ

2dϑ+ 2a

∫ 2π

π

cosϑ

2dϑ = 4a

∫ π

0

cosϑ

2dϑ =

= 4a

[2 sin

ϑ

2

]π0

= 8a.

Területszámítás polárkoordinátákkal:Az r = f(ϑ), α ≤ ϑ ≤ β görbevonalú szektortartomány területe

A =

∫ β

α

1

2r2 dϑ.

4.4. Példa. Számoljuk ki a=1-re a kardioid területét. Írjuk fel a Descartes-féle koordinátásegyenletét is!

Megoldás:

T =

∫kardioid

1 =

∫ 2π

0

∫ 1+cos ϑ

0

(1 · r) dr dϑ =

∫ 2π

0

[1

2r2]1+cos ϑ

0

dϑ =

=1

2

∫ 2π

0

1 + 2 cos ϑ+ cos2 ϑ dϑ =1

2

∫ 2π

0

1 +1

2(1 + cos 2ϑ) dϑ =

1

2

∫ 2π

0

3

2dϑ =

3

2π

Itt felhasználtuk, hogy∫ 2π

0cos ϑ dϑ = 0, cos2 ϑ = 1

2(1 + cos 2ϑ).

Ha r = a(1 + cos ϑ), ahol a 6= 0 (a nagyít vagy kicsinyít) :

Tr=a(1+cos ϑ) = a2 · 3

2π

26


(a) A kardioid eloállítása (b) A kardioid görbe a Maple polarplotparancsával

4.2. ábra. Kardioid

4.2. Henger koordináta-rendszerEgyes fizikai, mérnöki jelenségek (amik hengerekkel, gömbökkel, kúpokkal foglalkoz-nak) leírása jelentosen egyszerusödik, ha a jelenség szimmetriáját tükrözo koordináta-rendszert alkalmazunk. Ilyenkor a Descartes-féle koordináta-rendszer gyökös kifejezé-seit igen nehézkes kezelni, amit a henger- és gömbi koordináták használata jelentosenleegyszerusít. Azt, hogy melyik koordináta-rendszert érdemes alkalmazni az ábrázolandóalakzat határozza meg. Természetesen bármely koordináta-rendszerrol át lehet térni egy

4.3. ábra. A P pont hengerkoordinátái

másikra a megfelelo képletek segítségév-el, és ez a megfeleltetés kölcsönösenegyértelmu.

4.5. Definíció. A hengerkoordináták egytérbeli P pontot rendezett (r, ϑ, z) számhár-massal definiálnak, ahol:

1. r és ϑ a P pont xy-síkra valómeroleges vetületének polárkoordinátáiés

2. z a derékszögu koordináta-rendszerharmadik koordinátája.

Összefüggések az (x, y, z) derékszögu és az (r, ϑ, z) hengerkoordináták között:x = r cos ϑ, y = r sin ϑ, z = z,

r2 = x2 + y2, tg ϑ = y/x.

Térfogatszámítás hengerkoordinátákkal:V =

∫∫∫D

r dz dϑ dr, azaz az f(r, ϑ, z) = 1 függvény integrálja D-n.

27


4.6. Példa. Oldjuk meg henger koordináták segítségével a hengerhéj módszer fejezetbenelhangzott feladatot, ami így szólt : A héjmódszerrel határozzuk meg annak a tartomány-nak az y-tengely körüli forgásával generált térfogatát, amelyet balról az y-tengely, jobbrólaz x = 2 egyenes, fentrol pedig az y = 1 + x2

4parabola görbe határol!

Megoldás:Integrálási határok:Határok r-re : Mivel a feladatban a (0,2) intervallumon forgatunk, ezért az r sugár is0-tól 2-ig halad.Határok ϑ-ra : Mivel egy teljes fordulatot teszünk, így ϑ 0-tól 2π-ig halad.Határok z-re : A testünk magassága 0-tól indul és az y = 1 + x2

4parabola forgatásával

eloálló paraboloidig tart. Ez a paraboloid: ( g = f(√x2 + y2) alapján )

g = 1 +x2 + y2

4

Ezt áttranszformálva hengerkoordinátákká x = r · cos ϑ és y = r · sin ϑ alapján:

z = 1 +x2 + y2

4= 1 +

r2 cos2 ϑ+ r2 sin2 ϑ

4= 1 +

r2

4.

Tehát r 0-tól 1 + r2

4-ig halad.

V =

∫ 2

0

∫ 2π

0

∫ 1+ r2

4

0

r dz dϑ dr =

∫ 2

0

∫ 2π

0

[r · z]1+ r2

40 dϑ dr =

∫ 2

0

∫ 2π

0

r +r3

4dϑ dr =

=

∫ 2

0

[rϑ+

r3

4ϑ

]2π0

=

∫ 2

0

2πr +πr3

2dr =

[r2π +

πr4

8

]20

= 6π.

4.4. ábra. A forgástest rajza a CATIA program segítségével

28


4.3. Gömbi koordináta-rendszerA gömbi koordináták a tér pontjait két szöggel és egy távolsággal jellemzik. Az elsokoordináta a P pontnak az origótól vett távolsága, ami sosem negatív, a második az

−→OP

vektornak a z-tengely pozitív felével bezárt szöge, a harmadik pedig az (x, y) síkra vettvetítés szöge.

Érdekesség, hogy a földrajzi koordináta-rendszer is egyfajta gömbi koordináta-rendszerrávetítése a Föld felszínére. Tengelye a Föld forgástengelye, alapköre az Egyenlíto.

4.5. ábra. A gömbi koordináták kapcsolataaz x, y, z koordinátákkal

A φ-t a földrajzi hálózatban hosszúságifoknak nevezik, továbbá ϑ = 90 ◦−δ , aholδ-t pedig szélességi foknak hívják.

4.7. Definíció. A gömbi koordináták atér egy P pontját egy rendezett (ρ, φ, ϑ)számhármassal adják meg, ahol:

1. ρ a P pont távolsága az origótól;

2. φ az−→OP vektor szöge a z-tengely

pozitív felével (0 ≤ φ ≤ π) ;

3. ϑ a hengerkoordinátákból ismertszög.

Térfogatszámítás gömbi koordinátákkal:

V =∫∫∫D

ρ2 sin φ dρ dφ dϑ, azaz az f(ρ, φ, ϑ) = 1 függvény integrálja D-n.

4.8. Példa. Mennyi a térfogata annak a D tartománynak, amit a ρ ≤ 1 gömb vág ki aφ = α kúpból (0 < α < π

2)?

Megoldás:Integrálási határok:Határok ρ-ra : Mivel a ρ ≤ 1 gömb vágja ki a tartományunkat, így 0 és 1 közé esik.Határok φ-re : A kúp alkotói α szöget zárnak be a z-tengellyel , így 0 az alsó és α a felsohatár.Határok ϑ-ra :Végighalad a szögeken 0-tol 2π-ig.A tartomány más felírással :

D = {(ρ, φ, ϑ) : 0 ≤ ρ ≤ 1, 0 ≤ φ ≤ α, 0 ≤ ϑ ≤ 2π}

VD =

∫ 1

0

∫ α

0

∫ 2π

0

ρ2 sin φ dϑ dφ dρ =

∫ 1

0

∫ α

0

[ρ2 sin φ · ϑ

]2π0dφ dρ =

=

∫ 1

0

∫ α

0

2π · ρ2 · sin φ dφ dρ =

∫ 1

0

[2π · ρ2 · (− cos φ)

]α0dρ =

=

∫ 1

0

2π · ρ2 · (1− cos α) dρ = 2π · (1− cos α) ·[ρ3

3

]10

=2π

3· (1− cos α).

29


Ha α = π , akkor az a teljes gömböt adja eredményül: V = 4π3

Ehhez hasonló testnek számoltuk ki a térfogatát a 3.1.1. fejezetben a korong módszeralkalmazásával. Akkor úgy szólt a feladat, hogy határozzuk meg annak a testnek a tér-fogatát, amit alulról az x-tengely, balról a

√3x, jobbról pedig az x2 + y2 = 1 kör által

határolt tartomány x-tengely körüli forgatásával állítunk elo.Könnyen belátható, hogy a

√3x egyenes 60 fokos szöget zár be az x-tengellyel, illetve

ha a x2 + y2 = 1 kör forgatásával visszakapjuk azt a gömböt, aminek a segítségévelkivágunk elobb a kúpból.

A kapott 2π3· (1 − cos α) egyenletbe behelyettesítve a π

3-at visszakapjuk a másik

módszerrel kapott eredményt is :

2π

3· (1− cos

π

3) =

1

3π ≈ 1.047197551

Koordináta transzformációs képletek:Hengerkoordinátákról Gömbi koordinátákról Gömbi koordinátákrólderékszögube: derékszögube: hengerkoordinátákra:

x = r cos ϑ x = ρ sin φ cos ϑ r = ρ sin φy = r sin ϑ x = ρ sin φ sin ϑ z = ρ cos φz = z z = ρ cos φ ϑ = ϑA megfelelo formulák dV -re:

dV = dx dy dz= dz r dr dϑ= ρ2 sin φ dρ dφ dϑ.

30

5. fejezet

Függelék

Az alkalmazott programok listája

A különbözo közelítések:> with(student):

> f:=sqrt(x):

> rightbox(f,x=0..1,2);

> rightbox(sqrt(x),x=0..1,4);

> leftbox(sqrt(x),x=0..1,4);

> middlebox(sqrt(x),x=0..1,4);

Külön programcsomag betöltése a forgatásokhoz:> read ‘C:/calcpr5.txt‘;

Korong módszer ábra:> rotxplot(sqrt(x), x = 0 .. 4, y = 0, color = red);

A wok Maple-ben:> rotxplot(sqrt(16^2-x^2),x=7..16,y=0);

A lámpa palástja :> rotxplot(1/6*x+2.5,x=0..15,y=0);

A logaritmikus spirál :> with(plots):

> polarplot(-2*exp(0.8e-1*phi), phi = 0 .. 12*Pi);

A Viviani görbe:> spacecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)], t = 0.. 4*Pi, color = red, thickness = 3);

A Viviani-test és a görbe egy rajzon:> with(plots): with(linalg):> p0 := spacecurve([1+cos(t), sin(t), 2*sin((1/2)*t)],t = 0 .. 4*Pi, color = red, thickness = 3);> p1 := plot3d([2*cos(u)*cos(v), 2*cos(u)*sin(v),2*sin(u)], u = -(1/2)*Pi .. (1/2)*Pi, v = 0 .. 2*Pi,grid = [30, 60], style = patch);

31


> p2 := plot3d([1+cos(u), sin(u), v], v = -2.2 .. 2.2,u = 0 .. 2*Pi, grid = [20, 45]);

> display3d({p0, p1, p2}, scaling = constrained);

Szimpla fehér tórusz:> with(plottools):> display(torus([1, 1, 1], 1, 2), scaling =constrained, lightmodel = light1, shading =zgrayscale,style=surface);

A gyurus spirál :> x := (1+(1/2)*cos(12*t))*cos(t); y :=(1+(1/2)*cos(12*t))*sin(t); z := (1/2)*sin(12*t);with(plots): spacecurve([x, y, z], t = 0 .. 2*Pi,numpoints = 1000, axes = normal, thickness = 5, scaling= CONSTRAINED, color = red); Curve := %:

A gyurus spirál és a tórusz:> Surf := torus([0, 0, 0], .5, 1, style = patchnogrid,color = gold,style=hidden,axes=none):

> display(Surf, Curve, labels = [x, y, z],axes=none);

A kardioid:> with(plots):

> polarplot(1+cos(phi), phi = 0 .. 2*Pi);

32

Köszönetnyilvánítás

Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetomnek, Gémes Margitnak a sok segít-ségért, valamint szeretettel készítettem a 3.12. ábrát köszönetként családomnak a támo-gatásukért, a páromnak a kitartásáért és a csoporttársaimnak, barátaimnak a sok segít-ségért.

33

Irodalomjegyzék

[1] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féleKalkulus 2., Typotex, Budapest, 2006.

[2] George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féleKalkulus 3., Typotex, Budapest, 2007.

[3] Laczkovich Miklós,T.Sós Vera: Valós Analízis I., Typotex, Budapest, 2012.

[4] Boda Judit : Számítógéppel támogatott geometriai kutatás és oktatás, Szakdolgozat,Debrecen, 2009.

[5] Matthias Kawski: Horizontal and Vertical cross-sections 2009,

https://math.la.asu.edu/~kawski/MAPLE/272/c_curves/intro−−helix1.html

[6] Programming Project 2, Toroidal Spirals 2013,

http://ezekiel.vancouver.wsu.edu/~cs442/archive/projects/toroidal−−spiral/toroidal−spiral.pdf

34

https://math.la.asu.edu/~kawski/MAPLE/272/c_curves/intro-helix1.html

https://math.la.asu.edu/~kawski/MAPLE/272/c_curves/intro-helix1.html

http://ezekiel.vancouver.wsu.edu/~cs442/archive/projects/toroidal-spiral/toroidal-spiral.pdf

http://ezekiel.vancouver.wsu.edu/~cs442/archive/projects/toroidal-spiral/toroidal-spiral.pdf

EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM...

Documents

Transcript of EÖTVÖS LORÁND TUDOMÁNYEGYETEM...