Schneider Tímea Információterjedés hálózatokon Voter...
Transcript of Schneider Tímea Információterjedés hálózatokon Voter...
Eötvös Loránd Tudományegyetem
Természettudományi Kar
Schneider Tímea
Információterjedés hálózatokon �Voter modell
BSc Szakdolgozat
Témavezet®:
Simon L. Péter
Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék
Budapest, 2016
Köszönetnyilvánítás
Els®sorban szeretném megköszönni témavezet®mnek, Simon Péter tanár úrnak, aki
el®ször élvezetes el®adásaival megszerettette velem a di�erenciálegyenleteket, és ké-
s®bb igent mondott, amikor megkérdeztem, lenne-e a konzulensem. Mindig biza-
lommal fordulhattam hozzá, bármilyen kérdésem is volt. Nem lehetek elég hálás
tanácsaiért, véleményéért és segítségéért.
Köszönöm továbbá matematika tanáraimnak, Szendr®iné Szabó Andrea néni-
nek és Szentmiklósi Kinga tanárn®nek. Nélkülük biztosan nem szeretném ennyire a
matematikát.
Köszönet illeti a családomat és a barátaimat is, akik mindig biztattak és támo-
gattak.
2
Tartalomjegyzék
1. Bevezetés 4
2. A szimuláció 6
2.1. A szomszédsági mátrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2. Tesztelés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3. Di�erenciálegyenletek felírása 12
3.1. Két csúcsú teljes gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2. Kett® hosszú út . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.3. Három csúcsú teljes gráf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4. Di�erenciálegyenletek általánosítása a négy csúcsú teljes gráfból . . . 23
4. A di�erenciálegyenletek és a szimuláció összehasonlítása 27
5. Összefoglalás 31
3
1. fejezet
Bevezetés
A hálózat kifejezés napjainkban már szorosan kapcsolódik a számítógép fogalmához.
Talán ennek is köszönhet®, hogy amikor meghalljuk a szót, rögtön az internet jut
eszünkbe. Ez nem is csoda, hiszen a világon ez a legnagyobb és legismertebb hálózat.
De nem csupán az internet lehet hálózat, hanem maga a társadalom, az em-
beriség is az. A csúcsok legyenek maguk az emberek, köztük pedig akkor vezessen
él, ha ismerik egymást, munkakapcsolatban állnak stb. Ezen a hálózaton terjedhet
fert®zés vagy információ. Az ehhez kapcsolódó modellek közül a legismertebb a SIS
járványterjedési modell, amelynél a csúcsok az alábbi két állapotban lehetnek: S
(fert®z®) és I (egészséges). Egy adott kezdeti állapotból kiindulva kétféle változás
mehet végbe: (i) egy egészséges csúcs valamelyik szomszédja által fert®zött lesz, (ii)
egy beteg csúcs a szomszédaitól függetlenül meggyógyul. Egy másik hasonló modell
a SIR-modell, amely annyiban különbözik az el®bbit®l, hogy itt egy csúcs három
különböz® állapotban lehet. Miután egy csúcs fert®z®b®l egészséges lesz, nem S cím-
két kap, hanem R-et, ami az immunitást jelenti [8]. Ezt a modellt W. O. Kermack
és A. G. McKendrick dolgozták ki 1927-ben, di�erenciálegyenleteket írtak fel az S,
I és R típusú egyedek számának változására.
A szavazó modell (a kés®bbiekben az angol elnevezés miatt voter modell) egy
sztochasztikus modell véleményterjedés leírására. Úgy lehet leginkább elképzelni,
mint egymásra ható részecskék rendszere. Nevét onnan kapta, hogy politikai válasz-
tások végkifejletét szeretnénk vele megjósolni. Leginkább a politikai gazdaságban,
állami kiadásokban, az államadósság alakulásának �gyelésében, a tömegkommuniká-
ció hatásának mérésében, szociális biztonsági rendszerekben és az adózásban hasz-
nálják.
4
A valószín¶ségi voter modell egy szavazó modell, amelyet Assar Lindbeck és
Jörgen Weibull professzorok dolgoztak ki 1987-ben megjelent cikkükben [1]. Kétfé-
le vélemény terjedésének leírását vezették be. A hálózat csúcsai A és B típusúak
lehetnek, és azt vizsgálták, hogy szomszédaik hatására a csúcsok állapota hogyan
változik.
A valószín¶ségi voter modelleket gyakran el®nyben részesítik a hagyományos
medián szavazó modellekkel szemben, mivel az el®bbiben minden egyes szavazónak
befolyása van a politikai eredményre, míg az utóbbi elméletben minden hatalom a
dönt® szavazó vagy szavazócsoport kezében van. Például olyan modellekben, ahol
id®s és �atal (vagy szegény és gazdag) szavazók érdekei állnak egymással szemben, a
valószín¶ségi szavazó modellek azt jósolják, hogy a nyertes jelölt egyensúlyt biztosít
politikai programjában a különböz® érdekek között. Köszönhet®en annak, hogy a
szavazás eredményének és a politikai preferenciák leképezésének eloszlása sima, ez a
modell dinamikus rendszereknél jól közelít®nek bizonyult[7].
Szakdolgozatomban a modell m¶ködését fogom szemléltetni saját Matlab szimu-
láció, valamint di�erenciálegyenletek segítségével.
5
2. fejezet
A szimuláció
Ahhoz, hogy megértsük a dolgozatban szemléltetett modellt, néhány fogalmat be
kell vezetni. Munkám során sztochasztikus folyamatokkal és ezeket leíró di�erenci-
álegyenletekkel dolgoztam. Az el®bbi alatt id®ben végbemen® véletlen folyamatot
értünk, más szóval id® szerint indexelt valószín¶ségi változók sorozatát[10]. A mi
esetünkben ez a folyamat folytonos idej¶ és diszkrét állapotter¶ Markov-lánc, mely
annyit jelent, hogy a rendszer jöv®beli állapota nem függ a múltbeli állapotaitól.
Ezt szokás Markov-tulajdonságnak is nevezni [3]. Ezt a folyamatot alkalmasan meg-
választott ∆t segítségével egy általam megírt, diszkrét idej¶ szimulációval fogjuk
közelíteni.
Adott egy N csúcsú gráf és egy véges állapothalmaz � {A,B}N , amely megadja,
hogy az egyes csúcsok milyen állapotban lehetnek. A modellben minden egyes csúcs-
nak (szavazónak) van egy kezdeti állapota (A vagy B). A változás a következ®kb®l
áll: (i) egy random csúcs kiválasztása, (ii) a választott szavazó átvált egy véletlen-
szer¶en választott szomszédja állapotára. És ez ismétl®dik egészen addig, amíg a
gráf nem lesz vagy csupa A vagy csupa B. Emellett adott két paraméter: τ , amely
megadja egy A csúcs B-re történ® váltásának rátáját, és γ, ami a B-b®l A-ra váltás
rátája.
2.1. ábra. Az állapotváltozások rátái.
6
Alkalmazzuk a következ® megfeleltetéseket. Ha egy csúcs A, akkor kapjon 0-ás,
ha pedig B, akkor 1-es címkét. Legyen a szavazókat tartalmazó gráf G, a csúcsokat
jelölje, i = 1 . . . N . Az i. csúcs A szomszédainak számát jelölje iA, B szomszédai-
ét iB, attól függ®en, hogy az adott szomszédnak mi a véleménye. A csúcsokhoz a
következ®képpen hozzárendelünk egy-egy di, i = 1 . . . N értéket:
di =iB
iB + iA· τ , ha az i. csúcs A típusú, és (2.1)
di =iB
iB + iA· γ, ha az i. csúcs B típusú. (2.2)
Tehát a program összeszámolja az ellenkez® nézeteket valló szomszédokat, elosztja
az összes szomszéd számával, majd ezt az értéket megszorozza a megfelel® rátával.
A ∆t-vel való szorzás garantálja, hogy ez az érték kisebb legyen, mint 1. Ha az i-edik
csúcs A típusú, akkor di∆t valószín¶séggel vált B típusúra egy rövid ∆t id® alatt.
A ∆t nagyságát kell®en kicsire kell választani, hogy a diszkrét idej¶ folyamat jól
közelítse a folytonos idej¶ valódi folyamatot.
Mikor történik változás? Legyen r egy N hosszú vektor, melynek elemei a (0, 1)
intervallumból vett véletlen számok. Változás akkor következik be, ha ri < di ·∆t,vagyis 0-ás csúcsból 1-es lesz, 1-esb®l pedig 0-ás. A ∆t-vel való szorzás garantálja,
hogy a szám mindenképpen 0 és 1 közé essen, így a fenti összehasonlítás értelmes
legyen.
Azzal, hogy a di-k kiszámításánál leosztunk a szomszédok számával, sokkal élet-
szer¶bb, árnyaltabb eredményt kapunk, hiszen véleményünket nem csak a velünk
ellentétes nézeteket valló ismer®seink befolyásolják. Egyetlen id®lépés alatt nagyon
kicsi annak a valószín¶sége, hogy a gráfban bármilyen változás történjen, csakúgy,
mint ahogyan a való életben sem egy nap alatt változik meg valakinek gyökeresen a
véleménye.
A szimulációban az számít egy id®lépésnek, amikor a program a gráf minden
csúcsán végigmegy. Eredményként egy vektort kapunk, amelynek i. eleme az i. id®-
pillanatban a B csúcsok száma. A program a fent leírt algoritmust ismétli egy ál-
talunk megadott tmax ideig. Ezután az egészet végrehajtja K-szor (K ∈ N+), majd
ennek veszi az átlagát. Ekkor a nagy számok törvénye értelmében a szimuláció ered-
ménye tartani fog a B csúcsok számának várható értékéhez. A tesztelés során ezeket
láthatjuk majd az ábrákon.
7
2.1. A szomszédsági mátrix
A könnyebb átláthatóság érdekében érdemes elkészíteni a gráf szomszédsági
mátrixát, melyet már a Matlab is tud kezelni. Szakdolgozatomban háromféle háló-
zaton tesztelem a modellt:
1. Teljes gráf (a mátrix f®átlója csupa 0, a többi 1-es), ezt jelölje KN .
2. Két teljes részgráf véletlenszer¶en összekötve. A két teljes gráf csúcsszámát
jelölje N1 és N2. Random kiválasztunk m darab csúcsot mindkét részgráfból,
és ezeket véletlenszer¶en összekötjük. Ez a típusú hálózat jól modellezi például
két közeli település lakóit, akik közül néhányan ismernek valakit a szomszédos
faluból. Vagy éppen a �atalok és id®sek kapcsolatát; mindketten leginkább
egymás társaságát ismerik, mégis van néhány �atal, aki ismer id®s embereket
is. Ezeket a típusú gráfokat jelölje KN1,N2,m. A szimuláció során ennek két
változatát vizsgáltam: K30,70,30 és K50,50,50. Ez azt jelenti, hogy a 30-as és 50-
es teljes gráfokban minden csúcsnak választunk még egy szomszédot a másik
teljes gráfból.
3. Véletlen gráf: ezt a kon�gurációs véletlen gráfmodell alapján állítjuk el®. Adott
egy n érték, ez lesz a hálózatban szerepl® csúcsok fokszáma, majd eszerint
véletlenszer¶en összekötjük egymással a pontokat. Ezt a gráfot jelölje RN,n. A
szimuláció során több tesztelés alapján az n = 4 értéket választottam.
Természetesen minden � az el®bbi három gráfhoz tartozó � szomszédsági mátrix f®-
átlójában végig 0 szerepel, hiszen a gráfban nincsenek hurokélek. Tegyük fel továbbá,
hogy nincsenek többszörös élek sem, vagyis nem teszünk különbséget az ismeretségek
között (családtag vagy távoli ismer®s).
2.2. Tesztelés
A teszteléseket 100 csúcsú gráfokon végeztem, melynek során a τ > γ és a τ = γ
esetekben három darab B csúcsot helyeztem el a gráfokban, a τ < γ szimulációjánál
pedig 20-at, a többi mind A. Ezeket a kezdeti értékeket is több tesztelés alapján
választottam. A fenti kettes ponthoz tartozó hálózatban ez a három illetve húsz B
8
csúcs minden esetben a 30-as teljes, illetve az egyik 50-es teljes gráfban van. Mi-
vel a két teljes gráf véletlenszer¶en van összekötve néhány éllel, így meg�gyelhet®,
hogy mennyi id® alatt terjed át a B vélemény a másik teljes hálózatra, valamint
hogy milyen hatással van ez az elhelyezés a B csúcsok számának növekedésére vagy
csökkenésére (az ábrákon ezt az értéket �gyelhetjük meg az id® függvényében). Ha
mindkét teljes részgráfban egyenl® arányban helyeznénk el kezdetben az A és B csú-
csokat, akkor semmilyen különbséget sem lehetne meg�gyelni a teljes gráfhoz képest,
hiszen egymástól függetlenül kezdhetnének terjedni az egyes teljes hálózatokon.
El®ször is nézzük meg, mi történik, ha a két ráta megegyezik, vagyis τ = γ. Ez
azt jelenti, hogy a csúcsok azonos eséllyel váltanak A-ról B-re és B-r®l A-ra.
2.2. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon
γ = τ = 1 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.
Éppen az történik, amit vártunk, vagyis a rendszer a kezdeti állapot körül mozog.
Mivel ez egy sztochasztikus folyamat, amelynek van véletlen ingadozása, a megol-
dás �rezeg�, ezzel szemléltetve a véletlen hatást. Az ábrán 300 szimuláció átlagát
láthatjuk, tmax = 30, ∆t = 0.0005.
A τ < γ esethez tartozó 2.3. Ábra már valamivel több információt hordoz magá-
ban a hálózatokról, amelyeken futtattuk a szimulációt. Ebben az esetben 20 darab
B csúcsot helyeztem el a gráfokban, a többi A. A leggyorsabban a kék, vagyis a
teljes gráfhoz tartozó görbe kezd el csökkenni, hiszen ezen a hálózaton semmi sem
9
gátolja az információ terjedését. Ahol viszont ez a leginkább akadályozva van, az
a K30,70,30-as gráf (rózsaszín). Ez a leglassabban csökken® görbe, hiszen mind a 20
darab B csúcs a 30-as teljes gráfban van, ezeknek pedig átlagosan 11 darab A szom-
szédja van (a hálózat felépítése miatt) szemben a teljes grá�al, ahol a B csúcsok
A szomszédainak száma pontosan 80. Az K50,50,50-es hálózatban valamivel kiegyen-
lítettebb az A szomszédok száma, mint a K30,70,30-as gráf esetében, itt ez a szám
átlagosan 31.
2.3. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon
γ = 1.5 és τ = 1 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.
A τ > γ esetben, a 2.4. Ábrán is jól meg�gyelhet®, hogy a teljes gráfon ter-
jed leggyorsabban a B típusú csúcsok száma, hiszen minden csúcs össze van kötve
mindegyikkel, így akadály nélkül terjedhet az információ. Ez leglassabban aK30,70,30-
as gráfon történik, itt ugyanis a 30-as teljes gráfban van mindhárom B vélemény¶
csúcs, és mivel csupán néhány éllel van összekötve a 70-es teljes grá�al, nehezen tud
ott is növekedni a B csúcsok száma.
10
2.4. ábra. A B csúcsok számának változása az id® függvényében különböz® gráfokon
γ = 1 és τ = 1.5 esetben. K100: kék, K30,70,30: rózsaszín, K50,50,50: zöld, R100,4: piros.
Láttuk tehát, hogy elég nagy hálózatokon a két ráta változtatásával hogyan visel-
kedik a modell. Meg�gyelhet®, hogy a különböz® gráfok mennyiben befolyásolják az
információ terjedését. Felmerülhet bennünk, hogy ennél pontosabb képet szeretnénk
kapni arról, hogy valójában hogyan is zajlik ez a folyamat. A következ® fejezetben
megmutatjuk, mi is történik a rendszerrel az id® függvényében, vagyis felírjuk a
di�erenciálegyenleteket.
11
3. fejezet
Di�erenciálegyenletek felírása
El®ször egy számunkra is átlátható rendszerben kell vizsgálódnunk, hogy megért-
hessük a modell m¶ködését. Ezért nézzük meg, hogyan viselkedik a modell a kett®,
illetve három csúcsú gráfokon. Az izolált csúcsot tartalmazó rendszerek nem hordoz-
nak túl sok információt a di�erenciálegyenletek szempontjából, ugyanis ez három
csúcsú gráfnál egy két csúcsú teljesnek felelne meg.
Most bemutatjuk, hogy egy folytonos idej¶, diszkrét állapotter¶ Markov-folyamat
Kolmogorov-féle di�erenciálegyenleteinek felírása hogyan történik. A továbbiakban
legyen N a gráf csúcsainak száma, S = {a0, a1, . . . , an} pedig a rendszer állapotte-
re. Legyen pij annak a valószín¶sége, hogy a rendszer a j állapotból az i-be megy.
Tegyük fel, hogy a folytonos idej¶ Markov-lánc � {X(t), t ≥ 0} � kielégíti a követ-
kez® feltevést:∑
j 6=i = pij > 0. Ekkor a rendszer Kolmogorov-egyenlete a következ®
alakban adható meg [9] (140− 145, 162− 164):
pij(t) =∑k 6=j
qkjpik(t)− νjpij(t), j ∈ S és t > 0 (3.1)
A továbbiakban a következ® megfeleltetéseket fogom használni: yi(t) = pij(t),
ugyanis j rögzített állapot, valamint nem különböztetem meg egy-egy csúcs ki- illetve
bemen® éleit, így a szakdolgozatban szerepl® di�erenciálegyenleteket a következ®
általános alakban írom fel:
y(t) = Qy(t), (3.2)
ahol Q ∈ R(N+1)×(N+1) egy, még egyel®re ismeretlen átmenetvalószín¶ség-mátrix.
12
3.1. Két csúcsú teljes gráf
A di�erenciálegyenleteket ebben az esetben a legkönnyebb felírni, melyet az egyes
állapotokba való be- illetve kimen® élek alapján fogunk megtenni. Az állapottér egy
2N elem¶ halmaz, S = {AA,AB,BA,BB}. Jelölje ezen állapotok valószín¶ségét a
t id®pontban (x0(t), x1(t), x2(t), x3(t)).
3.1. ábra. Lehetséges állapotok és állapotváltozások a két csúcsú teljes gráf esetében.
Az ábrán látható rátákat a (2.1) és (2.2) képletek alapján lehet kiszámítani. Az
AB → AA ráta: egy B csúcsból A lesz, tehát a paraméter γ. Ennek együtthatója
pedig 1, hiszen a B csúcsnak egyetlen más vélemény¶ szomszédja van, ami megegye-
zik az összes szomszédjának számával (11
= 1). A BA→ BB rátát is hasonlóképpen
számoljuk, itt egy A csúcsból lesz B, amely változáshoz tartozó paraméter τ , és
ugyanúgy indokolható, hogy ennek is 1 lesz az együtthatója, mint az el®z® esetben.
Nézzük tehát a di�erenciálegyenleteket, amelyeket a (3.1) képlet alapján írtam
fel.
x0(t) = γ(x1(t) + x2(t)) (3.3)
x1(t) = −(γ + τ)x1(t) (3.4)
x2(t) = −(γ + τ)x1(t) (3.5)
x3(t) = τ(x1(t) + x2(t)) (3.6)
A 3.1 Ábrán és az egyenleteken is észrevehet® a szimmetria. Bevezetve az x0 = y0,
x1 + x2 = y1 és y2 = x3 függvényeket, a di�erenciálegyenleteket a következ®, egysze-
13
r¶bb alakban írhatjuk fel:
y0(t) = γy1(t) (3.7)
y1(t) = −(γ + τ)y1(t) (3.8)
y2(t) = τy1(t) (3.9)
Ezt az egyenletrendszert egyszer¶sége miatt könny¶ megoldani. A második egyenlet-
b®l kapjuk, hogy y1(t) = e−t(τ+γ)c1, ebb®l pedig következik, hogy y0(t) = −γτ+γ
e−t(τ+γ)c0
és y2(t) = −ττ+γ
e−t(τ+γ)c2, ahol c0 = 0, c1 = 1 és c2 = 0 a kezdeti feltételek. Ez azt
jelenti, hogy az egy A és egy B kezdeti állapotból indítottuk a megoldásokat.
A 3.2 Ábrán az egyenletek megoldásait láthatjuk.
3.2. ábra. A (3.7) − (3.9) di�erenciálegyenletek megoldása két csúcsú teljes gráfon,
különböz® paraméterek esetén. y0 � piros, y1 � zöld, y2 � kék.
A két fels® képen a görbék ugyanúgy helyezkednek el, ám az egyik ábrán a piros,
a másikon pedig a kék van felül. Ennek oka, hogy a két rátát megcseréltük, így az
14
els® gra�konon nagyobb eséllyel nyer a B vélemény, míg a másodikon az A. Az alsó
képen a két ráta megegyezik, ezért a kék és a piros görbe ugyanazt az ívet járja be
(az ábrán piros vonallal jelölve). Mindhárom esetben a zöld görbe ábrázolja az AB
állapot valószín¶ségének változását az id® függvényében.
3.2. Kett® hosszú út
Tekintsünk egy N = 3 csúcsú vonalgráfot, amelyben a középs® csúcs van összekötve
a két mellette lév®vel. A rendszer állapottere, vagyis a lehetséges el®forduló állapo-
tok halmaza a következ®: S = {AAA,BAA,ABA,AAB,BBA,BAB,ABB,BBB}.Ezek valószín¶ségét a t id®pontban jelölje
(x0(t), x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), x5(t), x6(t), x7(t)).
A 3.3 Ábra az átmeneti rátákat adja meg az egyes állapotok között:
3.3. ábra. Az állapottér és a lehetséges állapotváltozások a három csúcsú vonalgráf
esetében.
Nézzük meg, hogy a 3.3 Ábrán például a BAB → BAA változás rátáját ho-
gyan lehet kiszámítani. Egy B csúcs A-ra vált, tehát a paraméter γ lesz, melynek
együtthatója a (2.2) képlet szerint 11, így jön ki a γ. A BAA → BBA váltásnál a
(2.1) képletet kell alkalmaznunk, hiszen egy A csúcs vált B-re. Ennek az A csúcsnak
egy-egy eltér® és azonos vélemény¶ szomszédja van, tehát a ráta 12τ .
15
A (3.1) képlet és a 3.3 Ábra alapján tekintsük a rendszerhez tartozó egyenleteket:
x0(t) = γ(x1(t) + x2(t) + x3(t)) (3.10)
x1(t) =1
2γx4(t) + γx5(t)− (
1
2τ + γ)x1(t) (3.11)
x2(t) = −(2τ + γ)x2(t) (3.12)
x3(t) = γx5(t) +1
2γx6(t)− (
1
2τ + γ)x3(t) (3.13)
x4(t) =1
2τx1(t) + τx2(t)− (
1
2γ + τ)x4(t) (3.14)
x5(t) = −(2γ + τ)x5(t) (3.15)
x6(t) = τx2(t) +1
2τx3(t)− (
1
2γ + τ)x6(t) (3.16)
x7(t) = τ(x4(t) + x5(t) + x6(t)) (3.17)
Az egyenletrendszer numerikus megoldását a Matlab ode45 függvényével állítot-
tam el®. Az eredményeket a következ® néhány ábra mutatja be.
3.4. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ = τ esetben. Baloldalon:
x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7
� alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � alsó kék,
x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � fels® kék.
16
3.5. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ < τ esetben. Baloldalon:
x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7
� alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � alsó kék,
x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � fels® kék.
3.6. ábra. A (3.10)− (3.17) egyenletrendszer megoldása a γ > τ esetben. Baloldalon:
x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1 kezdeti állapot, x0 � fels® kék, x1 � zöld, x4 � lila, x7 �
alsó kék. Jobboldalon: x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 kezdeti feltétel, x0 � fels® kék,
x1 = x3 � világoskék, x4 = x6 � fekete, x5 � zöld, x7 � alsó kék.
Mindhárom baloldali ábrán a megoldáskor az x1(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 1
kezdeti feltétellel indítottam a modellt, azaz a BAA állapotból. A 3.3 Ábra alapján
könny¶ belátni, miért csak négy görbét látunk. Ebb®l az állapotból nem tudunk
17
eljutni ABA,BAB,AAB és ABB egyikébe sem, így azok azonosan nullák lesznek.
Tehát annak a valószín¶sége, hogy a rendszer ezekben az állapotokban ér véget, 0.
Mindegyik képen (a baloldaliakon) a két kék görbe tartozik a két végállapothoz. A
3.4 Ábrán � ahol τ = γ � a két kék görbe közti különbség nem meglep®, hiszen
annak nagyobb az esélye, hogy egyetlen B csúcsból A lesz, mint hogy két A csúcs
vált B-re. A 3.5 Ábrán a baloldali gra�konon τ hiába nagyobb, mint γ, mégis az
AAA végállapotnak lesz nagyobb a valószín¶sége, hiszen a rendszer nagyobb eséllyel
mozdul el AAA felé, mint a BBA állapothoz. Ezzel magyarázható a 3.6 Ábrán az
x0 és x7 görbék közötti nagy távolság.
A jobboldali képeken az x5(0) = 1, xk = 0, ha k 6= 5 állapotból indítottam a
modellt, azaz a BAB állapotból. Szintén a két kék görbe a két végállapot, hiszen
a rendszer törekszik az egyensúlyi helyzetre. Mindhárom jobboldali ábrán már hét
görbének kellene lennie, hiszen csak a ABA állapotba nem tud eljutni a rendszer.
Mégis csupán öt görbe látszik mindenhol, aminek oka a lehetséges állapotváltozá-
sokat bemutató 3.3 Ábra szimmetrikussága miatt könnyen belátható. Az x1 és x3,
valamint az x4 és x6 állapotokhoz tartozó valószín¶ségek megegyeznek, hiszen lát-
hatjuk, hogy a BAB állapotból ugyanakkora valószín¶séggel mozdul el a rendszer
a BBA és az ABB irányába. Ugyancsak a szimmetriával magyarázható a BBA és
ABB állapotok valószín¶ségének egyezése is. A három jobboldali kép közül talán a
legérdekesebb a γ = τ eset (3.4 Ábra), ahol a két végállapot valószín¶sége megegye-
zik. Itt is a 3.3 Ábra alapján végiggondolható, hogy ha a rendszer az ABB vagy
a BBA állapotba jut, és onnan BAA vagy AAB valamelyikébe, akkor a két el®bb
említett állapotból BBB-be és a két utóbbiból AAA-ba az eljutások valószín¶sége
megegyezik.
3.3. Három csúcsú teljes gráf
Ebben a fejezetben az N = 3 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásainak
di�erenciálegyenleteit fogjuk vizsgálni. Itt is 23 állapot lehetséges, az állapottér S =
{AAA,BAA,ABA,AAB,BBA,BAB,ABB,BBB}, melyet a 3.7 Ábra szemléltet.
Az egyes állapotok valószín¶ségét a t id®pontban jelölje
(x0(t), x1(t), x2(t), x3(t), x4(t), x5(t), x6(t), x7(t)).
18
3.7. ábra. A három csúcsú teljes gráf lehetséges állapotai és állapotváltozásai.
A 3.7 Ábrán a középs® sávban a felfelé mutató nyilak γ2, a lefelé mutató nyilak
pedig τ2rátákat jelentenek. A két végállapot kivételével minden csúcsból eljuthatunk
mindenhova, az állapotváltozásokat szemléltet® ábra szimmetrikus.
Nézzük meg, hogyan történik az x1 → x4 ráta kiszámítása. Egy B csúcsból lesz
A, ebb®l adódik a γ paraméter, tehát a (2.2) képletet kell alkalmaznunk. A változó
csúcsnak egy eltér® és egy azonos nézeteket valló szomszédja van, így γ együtthatója12. Az x5 → x7 változás rátája is hasonlóképpen számítható, itt azonban egy A
csúcsból lesz B, így a (2.2) képletet kell használnunk. Mivel mindkét szomszédja
t®le eltér® vélemény¶, így τ együtthatója 11
= 1 lesz.
A (3.1) képlet és a 3.7 Ábra alapján írjuk fel a di�erenciálegyenleteket.
x0(t) = γ(x1(t) + x2(t) + x3(t)) (3.18)
x1(t) =γ
2(x4(t) + x5(t))− (γ + τ)x1(t) (3.19)
x2(t) =γ
2(x5(t) + x6(t))− (γ + τ)x2(t) (3.20)
x3(t) =γ
2(x4(t) + x6(t))− (γ + τ)x3(t) (3.21)
19
x4(t) =τ
2(x1(t) + x3(t))− (γ + τ)x4(t) (3.22)
x5(t) =τ
2(x1(t) + x2(t))− (γ + τ)x5(t) (3.23)
x6(t) =τ
2(x2(t) + x3(t))− (γ + τ)x6(t) (3.24)
x7(t) = τ(x4(t) + x5(t) + x6(t)) (3.25)
Ahogyan a két csúcsú teljes gráfnál, itt is szimmetrikus a di�erenciálegyenlet-
rendszer. Vonjuk össze a (3.18)−(3.25) egyenleteket a következ®képpen: legyen y1 =
x1 +x2 +x3 és y2 = x4 +x5 +x6. Nézzük meg, hogyan alakul a rendszer az egyesítés
közben. Az els® és utolsó egyenlettel könny¶ dolgunk van, ezek a következ®k: y0 =
γy1, y3 = τy2. Most vizsgáljuk meg a (3.19)− (3.21) és (3.22)− (3.24) egyenleteket.
Ezeket összeadva kapjuk, hogy
x1 + x2 + x3 =γ(2 · x4 + 2 · x5 + 2 · x6)
2− (γ + τ) · (x1 + x2 + x3), valamint
x4 + x5 + x6 =τ(2 · x1 + 2 · x2 + 2 · x3)
2− (γ + τ) · (x4 + x5 + x6).
Elvégezve az egyszer¶sítést és alkalmazva a fent megadott megfeleltetéseket kapjuk
az alábbi lehetséges állapotváltozásokat és egyenletrendszert.
3.8. ábra. Lehetséges állapotváltozások három csúcsú teljes gráf esetén. A középs®
két állapotnál az összevonás miatt nem vesszük �gyelembe az A illetve B csúcsok
sorrendjét.
y0(t) = γy1(t) (3.26)
y1(t) = γy2(t)− (γ + τ)y1(t) (3.27)
y2(t) = τy1(t)− (γ + τ)y2(t) (3.28)
y3(t) = τy2(t) (3.29)
A di�erenciálegyenlet-rendszer egyszer¶sége miatt ez könnyen megoldható, ám
már N = 4-re is sokkal nehezebb dolgunk lenne. Az egyszer¶sítéssel viszont sikerült
lecsökkenteni az egyenletek számát N + 1-re, ami lényegesen kevesebb, mint a fent
20
említett 2N . Fontos megjegyezni, hogy összevonni csak teljes gráfoknál lehet, a kett®
hosszú útnál ezért nem tudtuk leegyszer¶síteni az egyenletrendszert.
Most nézzük meg, hogyan viselkednek a megoldások az id® függvényében, és a
két paraméter (τ és γ) különböz® megválasztásai esetén. A rendszert az y1(0) = 1,
yk = 0, ha k 6= 1 (AAB állapot), illetve y2(0) = 1, yk = 0, ha k 6= 2 (ABB állapot)
kezdeti feltételek mellett érdemes indítani, hiszen ha a két végállapot valamelyikéb®l
tennénk ezt, akkor nem tudna kimozdulni onnan.
Az alábbi három ábra mindegyikén annak valószín¶ségét, hogy a rendszer az
adott állapotban van, a következ® megfeleltetések jelölik: y0 � sötétkék, y1 � zöld,
y2 � piros és y3 � világoskék.
Legyen τ = γ = 1. Vizsgáljuk meg, hogy mi történik, amikor az y1 illetve az y2
kezdeti állapotokból indítjuk a di�erenciálegyenleteket.
3.9. ábra. A (3.26) − (3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = γ esetén,
bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1 � zöld,
y2 � piros és y3 � világoskék)
A két ábra látszólag ugyanaz, ám ha jobban megvizsgáljuk, a világoskék és sö-
tétkék, valamint a piros és zöld görbék felcserél®dtek. Mindkét gra�konon a sötétkék
függvény mutatja az AAA , a világoskék pedig BBB végállapot valószín¶ségét. Fel-
cserél®désük nem meglep®, hiszen ha a kezdeti állapotban két A és egy B csúcs van,
akkor τ = γ esetén a csupa A gráfnak nagyobb az esélye.
Tekintsük a τ = 1.5 és γ = 1 esetet. A 3.10 Ábrákon a sötétebb kék görbe tar-
tozik a csupa A végállapothoz, a világoskék pedig a csupa B-hez. Amikor az AAB
21
állapotból indítjuk a feladatot, annak ellenére, hogy az A-ról B-re történ® váltás
valószín¶bb, mégis a csupa A végállapot esélye a nagyobb. Ez azzal magyarázha-
tó, hogy egy B csúcs könnyebben vált A-ra (mivel mindkét szomszédja hat rá),
mint a két A csúcs B-re. Hasonlóképpen magyarázható az ABB állapotból indí-
tott di�erenciálegyenlet-rendszer megoldásának gra�konja. Itt éppen amiatt, hogy
a τ > γ, a csupa B végállapot valószín¶sége sokkal nagyobb, mint a másiké.
3.10. ábra. A (3.26)−(3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = 1.5 és γ = 1
esetén, bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1
� zöld, y2 � piros és y3 � világoskék)
Nézzük meg, mi történik τ = 1, illetve γ = 1.5 esetén. Logikusan végiggondolva
azt várhatjuk, hogy ugyanaz fog történni, mint a 3.10 Ábrán, csak éppen fordítva.
22
3.11. ábra. A (3.26)−(3.29) di�erenciálegyenlet-rendszer megoldása τ = 1 és γ = 1.5
esetén, bal oldalon y1-b®l, jobb oldalon y2-b®l indítva a modellt. (y0 � sötétkék, y1
� zöld, y2 � piros és y3 � világoskék)
Ha összehasonlítjuk a 3.10 és 3.11 ábrákat, minden görbe felcserél®dött.
3.4. Di�erenciálegyenletek általánosítása a négy csú-
csú teljes gráfból
A három csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásainak di�erenciálegyenlet-rend-
szerének felírása ((3.26) − (3.29)) még közel sem olyan bonyolult, hogy ne lehetne
akár papíron is megoldani. Ám ez már a négy csúcsú gráfnál is sokkal id®igényesebb.
Felmerülhet bennünk, hogy általánosítani kellene a di�erenciálegyenleteket.
A 3.12 Ábrán a 4 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotváltozásait �gyelhetjük meg
az összevonás után:
3.12. ábra. A 4 csúcsú teljes gráf lehetséges állapotai és állapotváltozásai.
Hosszas számolás után a négy csúcsú teljes gráfhoz tartozó egyenletek a (3.1)
23
képlet alapján a következ®k:
y0(t) = γy1(t) (3.30)
y1(t) =4
3γy2(t)− (γ + τ)y1(t) (3.31)
y2(t) = τy1 + γy3(t)−4
3(γ + τ)y2(t) (3.32)
y3(t) =4
3τy2(t)− (γ + τ)y3(t) (3.33)
y4(t) = τy3(t) (3.34)
Egy-egy állapot csak az eggyel el®tte, illetve eggyel utána lév®t®l, valamint önma-
gától függhet. Tehát ha az éppen aktuális gráfban két A és két B csúcs van, akkor
az nem függhet például a csupa A állapottól, vagyis az egyes di�erenciálegyenle-
tek változói adottak. A kérdés az, hogy milyen együtthatóval fognak szerepelni az
egyenletben.
Mind a három, mind a négy csúcsú teljes gráfokhoz tartozó egyenleteken észreve-
het® a szimmetria, tehát egyQ ∈ R(N+1)×(N+1) tridiagonális mátrixot keresünk, ame-
lyet jobbról megszorozva y = (y0, y2, . . . , yN) vektorral megkapjuk a di�erenciálegyenlet-
rendszert. Feladatunk tehát Q meghatározása.
Vegyük észre, hogy y0 mindig csak y1-t®l, yN pedig csak yN−1-t®l függ, termé-
szetesen a megfelel® rátákkal megszorozva. Az együttható mindig 1 lesz. Nézzük
aB A
A A⇒
A A
A A
állapotváltozást. Itt egy B csúcsból lesz A, így a ráta γ. A B csúcshoz tartozó d
érték ebben az esetben 33
= 1, mivel három darab t®le eltér® érdekeltség¶ szomszédja
van, ami éppen megegyezik az összes szomszédjának számával. Ugyanígy belátható
aA B
B B⇒
B B
B B
változás is.
Most tekintsük aB A
A A⇒
B B
A A
változást. Mivel A csúcsból lesz B, a ráta τ . A megváltozott A csúcshoz tartozó d
24
érték 13, ugyanis a három szomszédja közül egyetlen olyan van, amelyik vele ellentétes
típusú.
A négy csúcsú teljes gráfhoz tartozó Q mátrix tehát a (3.1) Kolmogorov di�e-
renciálegyenletének képlete és a (3.2) képlet alapján
Q =
0 γ 0 0 0
0 −(τ + γ) 43τ 0 0
0 τ −43(τ + γ) γ 0
0 0 43τ −(τ + γ) 0
0 0 0 τ 0
alakban írható fel. (Ennek meghatározásához még az összevonás el®tti összes lehetsé-
ges állapotot tartalmazó ábrát használtam, amelyet bonyolultsága és átláthatatlan-
sága miatt nem tettem bele a szakdolgozatba.) Ezt a mátrixot jobbról megszorozva
y(t) = (y0(t), y2(t), y3(t), y4(t)) vektorral megkapjuk a di�erenciálegyenlet-rendszert
az y(t) baloldallal.
A továbbiakban rátérünk az általános, N csúcsú teljes gráfokhoz tartozó fo-
lyamat di�erenciálegyenleteinek felírására. Jelölje k a B csúcsok számát az adott
állapotban, valamint N továbbra is az összes csúcs számát. Ekkor az általános kép-
let a di�erenciálegyenletre: yk = ?τyk−1 + ?γyk+1 − ?(γ + τ)yk, ahol ?-gal jelöltem
az egyel®re ismeretlen együtthatókat. Vizsgáljuk meg a k = 2, N = 4 esetet, vagyis
y2 = τy1 + γy3 − 43(γ + τ)y2.
1. y1 együtthatója: ez jelen esetben 1. Nézzük meg, mib®l adódik ez a szám. Az
y1 → y2 változásnál egy A csúcsból B lesz (ebb®l kapjuk a τ szorzót). Az y1
állapotnál 3 darab A van, melyek mindegyike 13valószín¶séggel átválthat B-re.
Általánosan: 13
= k−1N−1 . A 3 pedig a vele ellentétes típusú szomszédok számából
jön ki, ami N − (k − 1).
2. y3 együtthatója: ez szintén 1, a változás pedig y3 → y2. Itt, az el®z®ekt®l
eltér®en egy B csúcsból lesz A, tehát a ráta γ. Az y3 állapotban 3 darab B
van, melyek valamelyike vált, mindegyik 13eséllyel. Általánosan: 1
3= N−(k+1)
N−1
és 3 = k + 1, hiszen mindhárom B csúcs válthat.
3. y2 együtthatója: itt az y2 állapotból kifelé vezet® nyilakat kell megvizsgálni.
Ezekb®l kétféle lehet: y1 és y3 felé mutatók. y2 → y1 állapotváltozás: egy B
25
csúcsból A lesz, így a ráta γ. A váltás valószín¶sége 23, hiszen két eltér® prefe-
renciájú és összesen három szomszédja van mindkét B-nek, és mivel két csúcs
válthat, az együtthatót meg kell szorozni még 2-vel. Az y2 → y3 állapotválto-
zásnál ugyanez a levezetés és az együttható, csak ott a ráta τ . Általánosan:k
N−1 , és ez szorozva annyival, ahány csúcs válthat, vagyis (N − k)-val.
Összefoglalva: legyen
ak =N − (k − 1)
N − 1(k − 1)τ , k = 1, 2, . . . , N , (3.35)
bk =N − kN − 1
k(τ + γ), k = 0, 1, . . . , N és (3.36)
ck =N − (k + 1)
N − 1(k + 1)γ, k = 0, 1, . . . , N − 1 (3.37)
Ekkor az Q mátrix a következ®:
Q =
−b0 c0 0 0 · · ·a1 −b1 c1 0 · · ·0 a2 −b2 c2 · · ·...
. . .
0 · · · 0 aN −bN
.
Ez a mátrix éppen a megfelel® helyeken fogja beszorozni az y(t) vektort. Vegyük
észre, hogy a Q mátrix oszlopösszege minden esetben nulla:
N − kN − 1
kτ +N − kN − 1
kγ − N − kN − 1
k(τ + γ) = 0,
azaz bk = ak+1 + ck−1. Ezt és a fenti ak, bk és ck együtthatókat felhasználva kapjuk,
hogy y(t) = Qy(t) egyenletrendszer az alábbi általános alakban írható fel:
y0 = c0 · y1(t)
yk = ak · yk−1 − (ak+1 + ck−1) · yk + ck · yk+1
yN = aN · yN−1.
26
4. fejezet
A di�erenciálegyenletek és a
szimuláció összehasonlítása
Az el®z® két fejezetben külön-külön foglalkoztam a szimulációval és a di�erenciál-
egyenletekkel. Most vizsgáljuk meg, hogyan is tudnánk összehasonlítani ezeket. A
di�erenciálegyenletek valószín¶ségeket határoznak meg, a szimuláció pedig a B csú-
csok számát, mindkett® az id® függvényében. Alakítsuk át tehát az egyenleteket úgy,
hogy immár használható információt kapjunk a B csúcsok számáról.
Mint azt már említettem, a di�erenciálegyenleteket Matlab segítségével oldottam
meg (ode45). A megoldó eredménye egy A ∈ Rm×(N+1) mátrix, ahol N a gráf csúcs-
száma, m = tmax
hpedig a numerikus módszer lépésszáma. aij annak a valószín¶sége,
hogy a rendszer az i. id®pillanatban a j. állapotban van, vagyis j darab B csúcs van
a gráfban (a többi A). Ha ezt a mátrixot megszorozzuk jobbról egy q = (0, 1, . . . , N)
oszlopvektorral, akkor megkapjuk a B csúcsok számának várható értékét. És éppen
ez volt a célunk, most már össze tudjuk hasonlítani a pontos megoldást a szimuláció
eredményével.
A di�erenciálegyenleteket teljes gráfokra tudjuk csak általánosítani, így az össze-
hasonlításban a szimulációt is erre kell futtatnunk. A 4.1 Ábrán a τ > γ illetve a
τ < γ eseteket fogjuk látni, feketével a pontos megoldást, szürkével pedig a szimu-
lációt.
El®ször nézzük meg a 3.3. Fejezetben szerepl® három csúcsú teljes gráfot.
27
4.1. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása három
csúcsú gráf esetén. A baloldali ábrán τ = 1.5, γ = 1, a jobboldalin τ = 1 és γ = 1.5
A tesztelés során 300 szimuláció átlagát ábrázoltam, tmax = 6, ∆t = 0.00001. A
kezd®állapot AAB, y1(0) = 1, y0(0) = y2(0) = y3(0) = 0. Szimuláció: szürke,
di�erenciálegyenlet: fekete.
Mindkét ábrán látszik, hogy a szimuláció és a di�erenciálegyenlet megoldása
közötti eltérés nagyon kicsi (a legnagyobb is körülbelül 0.1).
Most tekintsük meg a 100 csúcsú teljes gráfon, hogy mennyiben tér el egymástól
a szimuláció és a di�erenciálegyenlet. A 4.2 Ábrán látszik, hogy kezdetben csupán
három darab B csúcs volt.
4.2. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása 100 csúcsú
teljes gráfon τ = 1.5 és γ = 1 esetben. Kezdeti állapot: 3 darab B csúcs, 97 darab A.
A szürke vastag görbe a szimuláció, a fekete pedig a di�erenciálegyenlet megoldása.
A szürke, szimulációhoz tartozó görbe szépen követi a di�erenciálegyenlet fekete
görbéjét, amely beáll a B csúcsok számának várható értékére. A modellt tmax =
28
30, ∆t = 0.0001 valamint a fent említett γ és τ paraméterekkel futtattam, 300
szimulációt átlagoltam.
A 4.3 Ábrán a ráták felcserél®dése, vagyis τ < γ miatt azt várjuk, hogy a kez-
detben megadott B csúcsok száma csökkenni fog, így érdemes nagyobb értéket adni
neki. Itt 97 darab B csúcs a kezdeti érték.
4.3. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása 100 csúcsú
teljes gráfon τ = 1 és γ = 1.5 esetben. Kezd®állapot: 97 darab B és 3 darab A csúcs.
A szürke vastag görbe a szimuláció, a fekete pedig a di�erenciálegyenlet megoldása.
A B csúcsok száma csökken, és szintén a várható értékre áll be végül. A szimulá-
ciót ebben az összehasonlításban is a fenti paraméterek mellett teszteltem. Mindkét
esetben közel van egymáshoz a szimuláció és a pontos megoldás görbéje.
Az 4.4 Ábrán a két ráta egyenl®, τ = γ. Ekkor a szimuláció gra�konja �rezeg�,
mivel egy sztochasztikus folyamatot ábrázolunk, amelynek van ingadozása.
29
4.4. ábra. A szimuláció és a di�erenciálegyenlet-rendszer összehasonlítása a τ = γ =
1 esetben.
A kitérése mégsem számottev®, 2.5 és 3.3 között mozog, ami igen jó eredménynek
mondható.
30
5. fejezet
Összefoglalás
Szakdolgozatom célja az volt, hogy bemutassam, hogyan terjed az információ kü-
lönböz® hálózatokon, és ezek hogyan befolyásolják a rendszer lefolyását. Ezt a voter
modellel tettem, mely kétféle vélemény terjedését vizsgálja. Erre írt szimulációm-
mal közelít® eredményeket kaptunk. Ezeket négy különböz® gráfon teszteltem, és
megvizsgáltam, hogy a hálózat szerkezete hogyan befolyásolja az információ vagy
vélemény terjedését. A di�erenciálegyenletek felírásával, amelyek az id® függvényé-
ben mutatják be a modellt, pontos eredményeket kaptunk. A sok ismeretlenes rend-
szerek kiküszöbölésére � a hálózat szimmetrikusságát kihasználva � a teljes gráfo-
kon alkalmazott összevonásokkal egyszer¶bb alakra hoztuk az egyenletrendszereket,
amely állapotterének elemszáma így 2N -r®l N + 1-re csökkent. Ez persze csupán
teljes gráfokon tehet® meg. Ezek átalakítása után már össze tudtuk hasonlítani az
egyenletek numerikus megoldását a szimulációval. Láttuk, hogy egy alkalmas ∆t
megválasztással a szimulációval is közel pontos eredményt érhetünk el. Következ®
célnak megfogalmazható, hogy valahogyan a véletlen gráfokon is csökkenteni lehes-
sen a rendszerben szerepl® di�erenciálegyenletek számát.
31
Irodalomjegyzék
[1] Assar Lindbeck, Jörgen Weibull, "Balanced-budget redistribution as the outco-
me of political competition", Public Choice 52.3, 1987, 273-297
[2] Samuel Karlin, Howard M. Taylor, Sztochasztikus folyamatok, Gondolat Kiadó,
Budapest, 1985 (1., 2. és 4. fejezet)
[3] Csiszár Vill®, Diszkrét és folytonos paraméter¶ Markov láncok
(http://www.cs.elte.hu/ villo/ml/ML.pdf)
[4] Michelberger Pál, Szeidl László, Várlaki Péter, Alkalmazott folyamatstatisztika
és id®sor-analízis, Typotex Kiadó, Budapest, 2001
[5] Krzysztof Suchecki, Víctor M. Eguíluz, Maxi San Miguel, "Voter model dyna-
mics in complex networks: Role of dimensionality, disorder, and degree distri-
bution." Physical Review E 72.3 (2005): 036132.
[6] Vishal Sood, Sidney Redner, "Voter model on heterogeneous graphs." Physical
Review Letters 94.17 (2005): 178701.
[7] https://en.wikipedia.org/wiki/Probabilistic_voting_model
[8] David Easley and Jon Kleinberg, Networks, crowds, and markets: Reasoning
about a highly connected world, Cambridge University Press, 2010, 650-658
[9] Henk C.Tijms, A First Course In Stochastic Models, Wiley 2003
[10] http://www.cs.elte.hu/ aaadrian/notes/stochproc.pdf
32