Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai...
Transcript of Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai...
![Page 1: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/1.jpg)
Kalkulus I
Fungsi Dan Grafik Fungsi
Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.
081 2278 3991
eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 2: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi
Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan daerah hasil )
Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif danInvers
Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi
Grafik Fungsi Dalam Sistem KoordinatKartesius
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 3: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/3.jpg)
Hubungan atau Relasi
Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakanmenjadi variabel ) sering terjadi.
Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikanoleh relasi
Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabilasetiap berelasi R dengan tepat satu
maka R disebut fungsi dari A ke B.
3
3
4rV
Ax
By
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 4: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi
Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.
Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A B
Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 5: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/5.jpg)
Daerah Asal dan Nilai
Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah nilai fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
)ikanterdefinis(ada)(: xfxDf R
fR
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 6: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/6.jpg)
Fungsi : Daerah Asal dan Nilai
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 7: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/7.jpg)
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A B , sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.
• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 8: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/8.jpg)
Daerah Asal dan Nilai
Daerah asal (Df)
Daerah nilai (Rf)
RxfRxDf )(:
)ikanterdefinis(ada)(xfxDf sehingga R
ff DxRxfR :)(
ff DxsemuauntukRxfberapaR )(Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 9: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/9.jpg)
Mencari daerah asal dan daerah nilai
1)( dan1)( 2 xxgxxf
]1,(,0
1)(
11
1011
0
0),1[
01
),(0akarbawah Di
2
2
2
2
gf
f
gf
RR
xg
x
x
x
xD
xx
DD
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Contoh 1
![Page 10: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/10.jpg)
Hubungan Df dan Rf dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 11: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/11.jpg)
Hubungan Dg dan Rg dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi g
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 12: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi Surjektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 13: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi Injektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 14: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi Bijektif
Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.
Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 15: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/15.jpg)
Fungsi Invers
Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga merupakan fungsi.
Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1f
)()(1 xfyyfx
ffffDRRD 11 dan
dengan
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 16: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/16.jpg)
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :
,
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 17: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/17.jpg)
Operasi Pada Fungsi
,
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisandomain f dan domain g, kecuali untuk gf
0)(: xgDDxD gfgf
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 18: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/18.jpg)
Operasi Pada Fungsi
,
Contoh 2
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 19: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/19.jpg)
Fungsi Komposisi
foggof
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 20: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/20.jpg)
Syarat Fungsi Komposisi
gof gf DR
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 21: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/21.jpg)
Syarat Fungsi Komposisi
fog fg DR
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
fog
g f
f(g(x))
![Page 22: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/22.jpg)
Daerah asal dan daerah nilaiFungsi Komposisi
gffg DxfDxD )(:
fgfg RttgyRyR ),(:
gof
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
fggf DxgDxD )(:
gfgf RttfyRyR ),(:
fog
![Page 23: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/23.jpg)
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Diberikan fungsi berikut
Tentukan
1)(dan 1)( 2 xxgxxf
gfgf RDa dan .
fgfg RDb dan .
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Contoh 3
![Page 24: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/24.jpg)
gfgf RDa dan .
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan RgLihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg
![Page 25: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/25.jpg)
gfgf RDa dan .
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
![Page 26: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/26.jpg)
fgfg RDb dan .
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
![Page 27: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/27.jpg)
fgfg RDb dan .
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
![Page 28: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/28.jpg)
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
Fungsi Aljabar
Fungsi Transenden
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 29: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/29.jpg)
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Contoh fungsi aljabar :
Fungsi yang bukan fungsi aljabardisebut fungsi transenden.
Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.
1
)1(3)(
2
322
x
xxxxf
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 30: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/30.jpg)
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Fungsi Aljabar meliputi :
Fungsi rasional :
Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
Fungsi pecah.
Fungsi irasional.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 31: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/31.jpg)
Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius
Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an 0.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 32: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/32.jpg)
Grafik Fungsi Suku Banyak
a. Fungsi konstan cxf )(
b. Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 acbxaxxf
d. Fungsi kubik 0,)( 3012
23
3 aaxaxaxaxf
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 33: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/33.jpg)
Grafik Fungsi Pecah
Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
disebut fungsi pecah.
mm
nn
xbxbb
xaxaaxf
...
...)(
10
10
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 34: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/34.jpg)
Grafik Fungsi Pecah
Contoh grafik f(x) = 1
)(dan1
x
xxf
x
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 35: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/35.jpg)
Grafik Fungsi Irasional
Contoh
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 36: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/36.jpg)
Grafik Transenden ( Fungsi Trigonometri )
Contoh
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 37: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/37.jpg)
Grafik Transenden ( Fungsi Trigonometri )
Pelajari hubungan fungsi trigonometri
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
![Page 38: Kalkulus I - eko.staff.uns.ac.id · • Jika pada fungsi f : A B, sebarang elemen x A mempunyai kawan y B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).](https://reader037.fdocuments.net/reader037/viewer/2022100223/5c83b9ba09d3f291698bf0d4/html5/thumbnails/38.jpg)
Kata inspirasi pertemuan ini
Berfikir
Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak
seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua
fikiran, harus diikuti oleh tindakan.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret