FUNGSI

9/2/2018

9/2/2018

Outline:

❑Sistem Koordinat

❑ Jarak

❑Garis

❑Fungsi

The RectanguLar Coordinate system (Sistem Koordinat Persegipanjang)

Distance Formula(Rumus Jarak)

Lingkaran

Titik Tengah

Kemiringan

Various SLope

Persamaan Garis

Vertical Line: x k=

Horizontal Line: y k=

Hubungan dua garis

Grafik dari Persamaan

Bagaimana dengan persamaan berikut: ,y x=| x | .y =

2y ,x=,y x= − 2 1,y x= +

BASIC QUADRATIC AND CUBIC

GRAPHS

Fungsi dan Grafik

Rx Ry

Definisi : Fungsi dari R (bilangan real) ke R adalah suatu aturan yang mengaitkan

(memadankan) setiap dengan tepat satu

Notasi : f : R ⎯→ R

)(xfyx =

x disebut peubah bebas, y peubah tak bebas

Contoh :

42)( 2 ++= xxxf

xxf +=1)(

2( ) , 2 3f x x x= −

1.

2.

3.

9/2/2018

R R

f

f suatu fungsi

R R

f

f bukan fungsi

9/2/2018

})(|{ RxfRxDf =

}|)({ ff DxRxfR =

Domain / daerah asal dari f(x), notasi Df , yaitu

Daerah nilai / Range dari f(x) , notasi Rf, yaitu

R R

Df Rf

f

9/2/2018

11)( += xxf

Contoh: Tentukan daerah asal dan daerah nilai dari

42)( 2 ++= xxxf

xxf +=1)(

1.

2.

Jawab :

1. Karena fungsi selalu terdefinisi untuk setiap x, maka

),(}{ −== RxD f

3)1(42)( 22 ++=++= xxxxf

0

),3[ =fR

2. { | 0} [0, )fD x R x= =

Karena 0untuk0 xx ),1[ =fR

42)( 2 ++= xxxf

9/2/2018

Latihan

Tentukan domain dan range dari fungsi berikut:

21. ( ) 1f x x= −

12. ( )

3

xf x

x

−=

+23. ( ) 4f x x= −

4. ( ) 1 4f x x= − −

2

15. ( )f x

x=

9/2/2018

Grafik FungsiMisal y = f(x), himpunan titik

},|),{( ff RyDxyx

disebut grafik fungsi f

Grafik fungsi sederhana

a. Fungsi linear

baxxf +=)(

Grafik berupa garis lurus

Cara menggambar : tentukan titikpotong dgn sumbu x dan sumbu y

-1

1

y=x+1

Contoh:Gambarkan grafik y = x + 1

Titik potong dgn sumbu x

y = 0 x = -1 (-1,0)

Titik potong dgn sumbu y

x = 0 y=1 (0,1)

9/2/2018

cbxaxxf ++= 2)(

acbD 42 −=

b. Fungsi Kuadrat

Grafik berupa parabola.

a>0, D>0 a>0, D=0 a>0, D<0

Misal

abx

2−=

aD

4−

9/2/2018

a<0, D>0 a<0, D=0 a<0, D<0

9/2/2018

Fungsi Barudari FungsiLama

❑Translasi

❑Operasi Fungsi

Menggambar Grafik Fungsi dengan Pergeseran

Jika diketahui grafik fungsi y = f(x), maka :

Grafik y=f(x-h)+k diperoleh dengan cara menggeser grafik

y = f(x)

• sejauh h satuan ke kanan jika h positif dan k satuan ke atasjika k positif

• sejauh h satuan ke kiri jika h negatif dan k satuan ke bawahjika k negatif.

9/2/2018

Contoh Pergeseran

( ) 542 +−= xxxf

( ) 54442 +−+−= xx

( ) 122+−= x

2xy =

( )22−= xy

digeser sejauh 2 ke kanan

1. Gambarkan grafik fungsi

→2

42xy = ( ) 2

2−= xy

9/2/2018

( )22−= xy

( ) 122+−= xy

Kemudian digeser sejauh 1 ke atas

maka akan terbentuk

2

4

( ) 22−= xy

( ) 122 +−= xy

9/2/2018

+

=

1,2

10,

0,

)(2

2

xx

xx

xx

xf

c. Fungsi Banyak Aturan

Bentuk umum

=

)(

.

.

)(

)(

1

xg

xg

xf

n

Contoh Gambarkan grafik

9/2/2018

22)( xxf +=

Untuk 0x

2)( xxf =

Grafik: parabola

Untuk 0<x<1

f(x)=x

Grafik:garis lurus

Untuk 1x

Grafik: parabola

1

3

º

9/2/2018

Berbagai Jenis Fungsi

f x a a x a x a xnn

( ) ...= + + + +0 1 22

f xp x

q x( )

( )

( )=

4

1)(

2

2

−

+=

x

xxf

}2,2{ −−= RD f

1. Fungsi polinom (suku banyak)

Fungsi suku banyak terdefinisi dimana-mana (R)

2. Fungsi Rasional :

dengan p(x) dan q(x) merupakan fungsi polinom , dan q(x) ≠0.

Fungsi rasional terdefinisi dimana-mana kecuali dipembuat nol q(x)

terdefinisi di mana2 , kecuali di x = 2, dan x = -2

contoh

9/2/2018

3. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Fungsi f disebut fungsi ganjil jika f(-x) = - f(x)Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal

Fungsi f disebut fungsi genap jika f(-x) = f(x)Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y

contoh

3)( xxf = ganjil karena )()()( 33 xfxxxf −=−=−=−

contoh2)( xxf = )()()( 22 xfxxxf ==−=−genap karena

9/2/2018

4. Fungsi periodik

Fungsi f(x) disebut periodik jika terdapat sebuah bilangan positifkonstan p sehingga f(x+p) = f(x). Jika p bilangan terkecil,maka disebut p periode dari f(x)

Contoh :f(x) = sinx fungsi periodik dengan perioda 2п karena

f(x+2п) = sin(x+2п) = sinx cos(2п) + cosx sin(2п)

= sinx = f(x)

9/2/2018

||||)( xxf =

xxf =)(

5. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

yaitu bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

Notasi lain :

9/2/2018

Example ||5,9|| = 5||1||=1||-2,6|| = -3||-0,9|| = -1

6. Fungsi Bernilai Mutlak

xxf =)(

Contoh

9/2/2018

Operasi Fungsi

A. Operasi aljabar

Definisi: Misalkan fungsi f(x) dan g(x) mempunyai daerah asal Df dan Dg , maka

•

•

•

gfgf DDD =,)()())(( xgxfxgf =

,)().())(.( xgxfxgf =gfgf DDD =.

,0)(,)(

)())(( = xg

xg

xfx

g

f /

{ | ( ) 0}

f g

f g

D

D D x g x

=

− =

9/2/2018

))(())(( xgfxgf =

fg DR

B. Fungsi Komposisi

Definisi: Komposisi dari fungsi f(x) dengan g(x) didefinisikan sebagaiSyarat yang harus dipenuhi agar f o g ada (terdefinisi) adalah

R R Rg f

f○g

DgRg Rf

Df

Sifat-sifat fungsi komposisi :

• f o g g o f

• .

Contoh:

Diketahui

Tentukan (jika ada),

1)(dan)( 2 −== xxgxxf

dan f gf g D

})(|{ fggf DxgDxD =

9/2/2018

xxf =)(

1)( 2 −= xxg

)= ,0fD )= ,0, fR

Jawab :

RDg = )−= ,1, gR

) ) ) =−= ,0,0,1fg DR

maka f o g ada (terdefinisi), dan

1)1())(())(( 22 −=−== xxfxgfxgf

Karena

9/2/2018

0)1)(1(|01| 2 +−=−= xxRxxRx

).,1[]1,( −−=

fggf DxgDxD = )(|

) −= ,01| 2xRx

9/2/2018

+−

=

2,6

20,

0,0

)( 2

xx

xx

x

xg

2 2. ( ) 1 ; ( )a f x x g x

x= − = 2. ( ) ; ( )

1

xc f x g x x

x= =

+

2. ( ) 4 ; ( ) 1b f x x x g x x= − = +

1. Gambarkan grafik dari

a. b.

3. Tentukan (jika ada) ( )( ), , ( )( ),f g g ff g x D g f x D dari :

2. ( ) 4 ; ( )

1d f x x g x

x= − =

+

( ) , 4 4f x x x x= − −

2. Tentukan apakah fungsi-fungsi dibawah ini merupakan fungsi genap atauganjil atau tidak keduannya?

5 3

2

. 3

. 3 2 1

a x x

b x x

+

+ −

. tan

. cos

c x

d x

9/2/2018

Fungsi Trigonometri

Grafik Trigonometri

Beberapa Sifat

SIFAT FUNGSI TRIGONOMETRI

Bandingkan grafik antara