İŞLEMTANIM : A ≠ ∅ ve A ⊂ B olsun. Her, f: AXA →B fonksiyonuna, A da bir ikili işlem veya işlem denir.

İşlemi tanımlarken; “∗ , ∆, � , O , •, ...” gibi semboller kullanılır.

A X A → B ye “*” işlemi verildiğinde , her (x,y)∈AXA

sıralı çifti, bir tek Z ∈ B ye eşlenecektir.

Bunu (x,y) → x * y = z biçiminde gösterir, “x işlem y eşit z “ diye okuruz.

ÖRNEKA={0,1,2,3,4,5} kümesi verilsin x,y ∈ A için x*y = x.y+2 işlemi veriliyor. “*” işlemine göre 0 * 1 = ? , 1*2 = ? , 3 * 3 = ? , 3*4 = ? ikililerinin sonuçlarını bulunuz.

ÇÖZÜM:

0*1 = 0 . 1 + 2 = 2 1*2 = 1 . 2 + 2 = 4

3*3 = 3 . 3 + 2 = 11 3*4 = 3 . 4 + 2 = 14

A= { -1, 0, 1, 2 } veriliyor. A x A nın

B= { (-1, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, -1), (1, 0) } alt kümesini alalım.

* : B A , x * y = x + y + 1 işlemi tanımlanıyor.

A) İşlemi şema ile gösteriniz.

B) İşlemi tablo ile gösteriniz.

ÖRNEK

B A x A A

*

( -1,-1 ) -1

A) Önce * işlemi altında B ’ nin her elemanının görüntüsünü bulalım:

(-1) * (-1) = (-1) + (-1) + 1 = -1

(-1) * 0 = (-1) + 0 + 1 = 0

0 * (-1) = 0 + (-1) + 1 = 0

1 * (-1) = 1 + (-1) + 1 = 1

1 * 0 = 1 + 0 + 1 = 2

Çözüm:

( -1, 0 )

( 0, -1 )

( -1,-1 )

( 1, 0 )

0

1

2

* -1 0 1 2-1 -1 00 01 1 22

Tabloyu hazırlarken A kümesinin elemanlarını sırasıyla birinci satır ve birinci sütun olarak yazarız. İşlemde

(-1) * 0 = 0 olduğunu tabloda şöyle işaretleriz:

Birinci bileşen olan (-1) in bulunduğu satır ile ikinci bileşen olan 0 ın bulunduğu sütunun kesiştiği yere 0 yazarız.

Yani, x * y =z ise, x elemanının bulunduğu satır ile y elemanının bulunduğu sütunun kesim yerine z yazılır.

B)

1. KAPALILIK ÖZELLİĞİ:

A kümesi üzerinde tanımlanan bir * işlemi verilsin.

∀ x, y ∈ A için , x*y ∈ A ise A kümesi “*” işlemine göre kapalidır denir. .

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

2. DEĞİŞME ÖZELLİĞİ:

A kümesi üzerinde tanımlanan bir “*” işlemi verilsin.

∀ x, y ∈ A için , x*y = y*x oluyorsa ; “*” işleminin değişme özelliği vardır denir. .

3. BİRLEŞME ÖZELLİĞİ:

A kümesi üzerinde tanımlanan bir “ * ” işlemi verilsin.

∀ x , y , z ∈ A için , ( x * y ) * z = x * ( y * z ) oluyorsa * işleminin birleşme özelliği vardır denir. .

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ

4. DAĞILMA ÖZELLİĞİ:

A kümesi üzerinde tanımlanan iki işlem * ve olsun.

∀ x, y , z ∈ A için , x * ( y ∆ z ) = ( x * y ) ∆ (x * z ) ve

( y ∆ z )*x = ( y * x ) ∆ (z*x)

oluyorsa “ * ”işleminin “∆ ”işlemi üzerine soldan ve sağdan da- ğılma özelliği vardır denir. .

İŞLEMİN ÖZELLİKLERİ5. BİRİM ( ETKİSİZ ) ELEMAN ÖZELLİĞİ:

A kümesi üzerinde bir “*” işlemi tanımlansın.

∀ x ∈ A için, x * e = e * x = x koşulunu gerçekleyen bir e ∈ A

varsa; e ye “ * “ işleminin birim (etkisiz)elemanı denir.. .

6. BİR ELEMANIN TERSİ:

A kümesi üzerinde tanımlanan “* ” işleminin birim elemanı e

olmak üzere , ∀ x ∈ A için, x * y = y * x = e koşulunu

gerçekleyen bir y ∈ A varsa, y ye “* ” işlemine göre x in tersi

denir ve y= x-1 biçiminde gösterilir.

Reel sayılar kümesinde tanımlanan, “ x y = xy + y ” işleminin birim elemanını ( varsa ) bulunuz .

1. YOL : işleminin birim elemanı (e) varsa;

∀ a ∈ R için. a e = e a = a olmalıdır.

a e = ae + ee a = ea + a } olduğundan a e ≠ e a dır.

işleminin değişme özelliği olmadığından, birim elemanını bulamayız.

ÖRNEK

Çözüm:

2. YOL: işleminin birim elemanı (e) varsa,

∀ a ∈ R için. a e = a olmalıdır.

O halde, a e = a

ae + e = a

e (a+1) = a ⇒ e =a

a + 1dir.

e =a

a + 1

ifadesinde, a ya vereceğimiz her farklı değer için, farklı bir e bulunur.

Ayrıca , a = -1 için , e tanımsızdır. Bir işlemin birim elemanı varsa,

en çok bir tane olacağından, reel sayılar kümesinde tanımlanan * iş-

leminin birim elemanı yoktur.

Rasyonel sayılar kümesinde,x� y=x+y+ xy işlemi tanimlanıyor.Bu işleme göre,5 in tersini bulunuz.Önce “� ”işleminin birim elemanını bulalım.” � ”işleminin değişme özelliği oldugundan,sagdan birim elemanı bulmak yeterlidir.

a≠-1 ve ∀ a∈ Q için, a � e=a olmalıdır.

a +e +ea=a

e (1+a)=0

e= 0/1+a ⇒ e=0 dır.

Şimdi, � işlemine göre, 5 in tersini bulalım.( 5-1=y olsun.)

“� ”işleminin birim elemanı 0 dır.

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şimdi, � işlemine göre, 5 in tersini bulalım.( 5-1=y olsun.)

5� y=e olmalıdır.

5+y+5y=0

6y = -5⇒y= -5/6 dır.

“� ”işlemine göre, 5 in tersi -5/6 dır.

a b c d e

a c d e a b

b d e a b c

c e a b c d

d a b c d e

e b c d e a

A={a,b,c,d,e} kümesi üzerinde tanımlanan“” işlemi alttaki tablo ile

veriliyor. “” işleminin “ birim “ elemanını bulalım.

a b = a , b d = b ,

c d = c , d d = d ,

e d = e olduğundan

““ işleminin birim

elemanı d dir.

Tablodan birim elemanı bulurken; değişmeyen satır ile değişmeyen

sütunun kesiştiği elemanı, birim eleman olarak alırız

ÖRNEK

ÇÖZÜM

UYARI

x y z tx x y z ty y z t xx z t x yt t x y z

Tabloda , A = { x , y , z , t }

kümesi üzerinde bir “ • ”işlemi-

tanımlanıyor, “•” işlemine göre, A kümesindeki elemanların tersini bulunuz ;

Tabloda , A = { x , y , z , t }

kümesi üzerinde bir “ • ”işlemi-

tanımlanıyor, “•” işlemine göre, A kümesindeki elemanların tersini bulunuz ;

ÖRNEK

x y z tx x y z ty y z t xz z t x yt t x y z

“•” işleminin birim elemanı x tir.

Şimdi elemanların tersini bula-

lım.

“•” işleminin birim elemanı x tir.

Şimdi elemanların tersini bula-

lım.

x • x = x olduğundan , x -1 = x

y • t = x olduğundan , y -1 = t

z • z = x olduğundan , z -1 = z

t • y = x olduğundan , t -1 = y

dir.

Çözüm: