Ipotesi di riemann

8/7/2019 Ipotesi di riemann

1/66


2/66


3/66

Prefazione

Il presente quaderno racchiude gli argomenti di funzioni analitiche trattati nelcorso di Metodi Matematici per le Applicazioni, tenuto dal sottoscritto nella.a.2008-9 presso il Corso di Studi in Matematica dellUniversit di Torino.

Gli argomenti svolti sono tutti di carattere elementare e i primi tre capitolifanno parte dellinsieme di nozioni che ogni laureato in Matematica dovrebbeconoscere. Nella stesura di questi appunti ho attinto abbondantemente dallosplendido libro di Conway: Functions of one complex variable, Springer-Verlag;come peraltro il lettore pu verificare da s.

Torino, Settembre 2009.

Ernesto Buzano.


4/66


5/66

Indice

1 Definizioni e prime propriet 1

1.1 Richiami sui numeri complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Definizioni e prime propriet delle funzioni analitiche . . . . . . . 2

2 Integrazione in campo complesso e teorema di Cauchy 13

2.1 Integrazione in campo complesso . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2 Indice di avvolgimento di un cammino rispetto ad un punto . . . 182.3 Formula Integrale di Cauchy I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.4 Stima di Cauchy. Teorema di Liouville. . . . . . . . . . . . . . . 252.5 Formula integrale di Cauchy II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3 Singolarit isolate e residui 29

3.1 Sviluppo in serie di Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Zeri e singolarit di una funzione analitica . . . . . . . . . . . . . 323.3 Teorema dei residui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.4 Qualche applicazione del teorema dei residui e del teorema diCauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 Gamma di Eulero e Zeta di Riemann 47

4.1 La funzione Gamma di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2 La funzione Zeta di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53


6/66


7/66

Capitolo 1

Definizioni e prime propriet

1.1 Richiami sui numeri complessi

Ricordiamo che un numero complesso individuato da una coppia dinumeri reali. In notazione cartesiana si scrive

con unit immaginaria tale che

(1.1)

ed sono rispettivamente la parte reale e la parte immaginaria di :

Linsieme dei numeri complessi un campo rispetto alle operazioni disomma:

e prodotto:

Lidentit (1.1) esclude che in vi possa essere una relazione dordine compati-bile con loperazione di somma e prodotto. Infatti se ci fosse possibile, dovrem-

mo avere

, in quanto in un campo ordinato il quadrato di un elemento sempre non-negativo. Daltra parte dovremmo anche avere ,in contraddizione con quanto visto subito prima. uno spazio metrico completo rispetto alla distanza euclidea:

dove

il modulo di .Dunque a parte loperazione di prodotto ed sono la stessa cosa.

1


8/66

2 Definizione e prime propriet

1.2 Definizioni e prime propriet delle funzioni

analitiche

Dato e , indichiamo con

il disco (o intorno) aperto di centro e raggio . Se intendiamo

Indichiamo poi con

il disco bucato e con

il disco chiuso.Considerata una funzione

diciamo che

se per ogni esiste tale che

Diciamo invece che

se per ogni esiste tale che

Infine, se definita sul complementare di , diciamo che

se abbiamo che per ogni esiste tale che

Una funzione definita in continua in se

Quaderni Didattici del Dipartimento di Matematica


9/66

E. Buzano Funzioni Analitiche 3

Proposizione 1.1. Data una funzione continua in un aperto di, per

ogni punto tale che esiste tale che per ogni .Dimostrazione. Consideriamo

. Per la continuit esiste tale che e

. Abbiamo allora che Una funzione derivabile in se

esiste ed finito. (1.2)

Il valore del limite (1.2) detto derivata di in ed indicato con

In particolare abbiamo che una funzione derivabile anche continua:

Problema. Data una funzione definita in poniamo

Provare che derivabile in se e solo se e ammettono derivateparziali rispetto ad ed in soddisfacenti le cosiddette equazioni diCauchy-Riemann:

Definizione 1.2. Una funzione detta analitica (o olomorfa) in un aperto di se possiede derivata prima continua in .

In particolare una funzione analitica continua.

Problema. Provare che nellambito complesso valgono le stesse regole di deriva-zione delle funzioni di variabile reale. In particolare abbiamo che:

la somma e il prodotto di due funzioni analitiche sono ancora funzioni ana-litiche, mentre il rapporto analitico dove non si annulla il denominatore;

la composizione di due funzioni analitica ancora analitica nellaperto incui definita.

Esempi. 1) Per ogni , abbiamo che analitica in .2) I polinomi sono analitici in .

3) Le funzioni razionali sono analitiche dove non si annulla il denominatore.

4) , e non sono analitiche in nessun aperto di .

Universit di Torino


10/66


Un modo molto efficace per definire delle funzioni analitiche quello di

ricorrere agli sviluppi in serie di potenze di cui ricordiamo alcune importantipropriet.Ricordiamo innanzitutto che una serie di funzioni

totalmente

convergente su un sottoinsieme di se posto per ogni , abbiamo che la serie numerica convergente.

Limportanza della convergenza totale data dalla seguente

Proposizione 1.3. Una serie di funzioni

totalmente convergentesu un sottoinsieme di assolutamente ed uniformemente convergente in .

Dimostrazione. Poniamo per ogni . La convergenzaassoluta segue allora dal criterio del confronto, poich la serie

maggiorata dalla serie numerica convergente

.

Proviamo la convergenza uniforme. Dato dobbiamo provare che esiste tale che

Poich

, esiste tale che

per ogni .Ma allora abbiamo pure

e questo completa la dimostrazione.

Limportanza della convergenza uniforme data dal seguente teorema cheriportiamo senza dimostrazione.

Teorema 1.4. La somma di una serie di funzioni

continue, uniformemente convergente in un sottoinsieme di continua in .

Nel caso particolare di una serie di potenze

(1.3)

considerato un numero reale , abbiamo che la (1.3) converge totalmente in se e solo se

Infatti

Definizione 1.5. Data una serie di potenze

, poniamo

converge

La quantit detta raggio di convergenza della serie.



11/66


Teorema 1.6. Data una serie di potenze

(1.4)

con raggio di convergenza, abbiamo che la (1.4) converge totalmente in per ogni e non converge in .

Dimostrazione. In base alla definizione 1.5, la (1.4) non converge per .

Consideriamo . In base alla definizione 1.5 deve esistere tale che e

sia convergente. In particolare

dobbiamo avere che e quindi deve esistere tale che

per ogni . Ma allora

E quindi

poich maggiorata per dalla serie geome-trica

che converge poich .

Osservazioni. 1) Se esiste , allora il raggio di convergenza

della (1.4) dato da (intendendo che se e se ).

Infatti abbiamo

. Dunque per il criteriodel rapporto la (1.4) converge se e non converge se .

E quindi dobbiamo avere .

2) Per la proposizione 1.3 ed i teoremi 1.4 e 1.6, la somma della (1.4) definisceuna funzione continua in tutto il cerchio di convergenza .

Teorema 1.7. Consideriamo

(1.5)

dove la serie di potenze ha raggio di convergenza .

Abbiamo allora che

1) la serie

(1.6)

ha raggio di convergenza eguale ad ;

2) la funzione derivabile in con

(1.7)

Universit di Torino


12/66


Dimostrazione. Dimostriamo il punto (1). Proviamo che la serie (1.6) converge

totalmente in

per ogni e non converge per in

.Considerato un qualunque tale che , abbiamo che

Dunque, esiste tale che

Ma allora

poich per il teorema 1.6 la (1.5) converge totalmente in .In particolare, se indichiamo con il raggio di convergenza della (1.6),

abbiamo che . Daltra parte, se , applicando il teorema 1.6otteniamo che la (1.6) deve convergere assolutamente. Ma allora avremmo

che implica .Proviamo ora il punto (2). Posto

(1.8)

dobbiamo provare che

cio che, dato , esiste tale che (1.9)

La convergenza della serie a secondo membro nella (1.8) garantita dal pun-to (1). Fissato , poniamo



13/66


Abbiamo

Consideriamo tale che . Per ogni abbiamo

Grazie al punto (1) ed al teorema 1.6.

quindi in particolare esiste tale che

Daltra parte, abbiamo pure

Infine osserviamo che analitica in quanto polinomio, dunque

quindi esiste tale che

Questo ci permette di concludere che vale la (1.9).

Corollario 1.8. Una serie di potenze

con raggio di conver-genza , definisce una funzione

analitica in .

Universit di Torino


14/66


Dimostrazione. Grazie al teorema 1.7 la derivabile. Inoltre continua

poich il secondo membro della (1.7) definisce una funzione continua per ilteorema 1.6.

Corollario 1.9. Nelle stesse ipotesi del teorema 1.7 abbiamo che

1) Per ogni la serie

ha raggio di convergenza eguale ad .

2) La funzione possiede derivate di qualunque ordine in date da

per ogni .Dimostrazione. Segue per induzione dal teorema 1.7.

Grazie al Teorema 1.7 possiamo estendere la definizione della funzione espo-nenziale e delle funzioni trigonometriche al campo complesso:

Queste serie di potenze hanno raggio di convergenza , dunque per il Corollario1.8 sono analitiche in .

Esercizi. Provare che

1)

,

2)

.

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,7) ,8) ,9) ,10) ,



15/66


11) ,

12) ,13) ,

Ricordiamo che un numero complesso si pu rappresentare in forma trigo-nometrica o polare:

dove il modulo, mentre largomento di . Poich , abbiamo

coerentemente col nome dato a . Ricavare largomento a partire da pi

complicato. Innanzitutto bisogna osservare che largomento indeterminato se . Se abbiamo che soluzione del sistema:

Questo sistema ovviamente ha infinite soluzioni che differiscono per multipliinteri di . Definiamo come argomento principale la soluzione in , cheindichiamo con . Posto

abbiamo che

Problema. Provare che (1)

(1.10)

e quindi che una funzione continua su .

Estendiamo ora la funzione logaritmo al campo complesso. Dato cerchiamo le soluzioni dellequazione in :

(1.11)

Due numeri complessi sono eguali quando hanno lo stesso modulo e gli argomentidifferiscono di un multiplo intero di ; pertanto dobbiamo avere

Dunque la (1.11) ha infinite soluzioni:

per .(1) Con e indichiamo rispettivamente i numeri reali positivi e negativi.

Universit di Torino


16/66


Ciascuna di queste funzioni chiamata ramo esimo del logaritmo. Il ramo

corrispondente a detto ramo principale del logaritmo ed indicato con

Abbiamo che

continua in ma non in .Proposizione 1.10. Consideriamo due aperti di e due funzioni

tali che

Se continua e derivabile, allora anche lo in tutti i punti taliche

ed in tal caso abbiamo

In particolare, se analitica in , allora analitica nel complementarein dellinsieme degli zeri di

.Dimostrazione. Consideriamo tale che

. Poniamo . Poich , abbiamo che esiste tale che e

e quindi in particolare possiamo scrivere che

Ne segue che

Corollario 1.11. una funzione analitica in tale che

Esercizi. 1) Calcolare

2) Trovare il dominio di analiticit di

.

3) Trovare il dominio di analiticit di .

4) Trovare modulo, parte reale e parte immaginaria di e .

5) Trovare la parte reale e quella immaginaria di .



17/66


6) Determinare largomento principale di e di .7) Dato , definiamo

(1.12)

a) Provare che se allora (2)

volte

se ,

se

volte

se .

b) Dato , provare che

c) Per quali valori di , analitica in ? E per quali si estende ad unafunzione analitica in ?

d) La definizione (1.12) riguarda il ramo principale della potenza . Vi sonoaltri rami dati da

Provare che abbiamo un numero finito di rami se e solo se e che vi un un unico ramo se solo se .

e) Provare che se con , allora gli rami

coincidono con le radici in campo complesso di , cio con le soluzioni dellequazione in :


.9) Determinare sotto quali ipotesi abbiamo

(2) .

Universit di Torino


18/66




19/66

Capitolo 2

Integrazione in campo

complesso e teorema di

Cauchy

2.1 Integrazione in campo complesso

Poich in omeomorfo ad , possiamo trasferire a la teoria delle integra-zione delle forma differenziali in .

Ricordiamo brevemente alcune nozioni riformulandole nel linguaggio deinumeri complessi:

Una curva nel piano complesso una funzione continua definitasu un intervallo non degenere (cio con interno non vuoto). Nel seguitoci limitiamo a considerare il caso in cui compatto e cio , con e quindi la curva ha due estremi (punto iniziale)e (punto finale). Se , la curva chiusa.

Una curva semplice se ogni punto percorso una sola voltae cio implica , con la sola eccezione di nel caso della curva chiusa.

Una curva rettificabile se ha lunghezza finita.

Due curve

sono equivalenti se si verifica uno dei casi

seguenti:

esiste una biiezione crescente tale che ; le due curve sono chiuse e e si estendono alla stessa funzione

periodica di periodo.

Un cammino una classe di equivalenza nellinsieme delle curve conestremi e rettificabili.

chiaro che un cammino eredita le propriet delle curve che lo rappre-sentano, cio delle sue parametrizzazioni. In particolare possiamo parlaredi cammini semplici, chiusi, ecc.

13


20/66

14 Teorema di Cauchy

Esempi. 1) Segmento congiungente due punti : il cammino indicatocon parametrizzato da:

2) Circonferenza di centro e raggio , percorsa in senso positivocio antiorario: il cammino parametrizzato da

3) Semicirconferenza superiore di centro e raggio : il cammino parametrizzato da

4) Semicirconferenza inferiore di centro e raggio : il cammino parametrizzato da

Ricordiamo che tutte le parametrizzazioni di un cammino hanno la stessaimmagine che viene chiamata sostegno di ed indicata con . Dunque, se una parametrizzazione di , abbiamo che .Dato un cammino , parametrizzato da , definiamo il cam-mino opposto come lo stesso cammino ma percorso in senso opposto, cioparametrizzato da:

Infine, dati due cammini , parametrizzati da

e contigui, cio tali che

definiamo il cammino somma , come il cammino parametrizzato da

per , per .

Esempi. 1) la circonferenza di centro e raggio , percorsa in sensoantiorario.

2) .3) , con (1) , la circonfe-renza percorsa volte in senso antiorario se , in senso orario se .(1) .



21/66


4) Un altro esempio dato dal perimetro di un triangolo di vertici :

5) Pi in generale possiamo definire un cammino poligonale di vertici come:

Data una funzione di variabile complessa, possiamo considerare la formadifferenziale

con

Se definita sul sostegno di un cammino , diciamo che integrabilelungo se lo sono e ed in tal caso poniamo per definizione

(2.1)

opportuno ricordare che, come nel caso reale, lintegrale di una formadifferenziale indipendente dalla parametrizzazione scelta.

Riportiamo senza dimostrazione il seguente teorema.

Teorema 2.1. Una forma differenziale continua sul sostegno di un cam-mino integrabile lungo .

La seguente proposizione, di cui omettiamo la dimostrazione, permette diricondurre il calcolo dellintegrale lungo un cammino a quello di funzioni in unavariabile reale.

Proposizione 2.2. Consideriamo una forma differenziale integrabile lungoun cammino . Se ammette una parametrizzazione di classe , abbiamo che

(2.2)

Osservazione. Posto e e tenuto conto della (2.1), abbiamoche la (2.2) si riscrive come

Estendiamo ora la diseguaglianza triangolare al caso complesso.

Universit di Torino


22/66


Proposizione 2.3. Data una funzione integrabile sul supporto di un cammino

abbiamo che

(2.3)

Dimostrazione. Per semplicit ci limitiamo al caso in cui abbia una parame-trizzazione di classe . Abbiamo allora

Riportiamo senza dimostrazione il teorema di integrabilit termine a terminedi una serie uniformemente convergente ed il teorema della continuit e delladerivabilit degli integrali dipendenti da un parametro.

Se il cammino non ha una parametrizzazione di classe risulta utile ilseguente teorema.

Teorema 2.4. Data una serie

di funzioni integrabili ed uniformementeconvergente sul sostegno di un cammino , abbiamo che la somma della seriedefinisce una funzione integrabile su e tale che

Teorema 2.5. Dati un cammino , un aperto e una funzione continua , abbiamo che

continua in .

Se inoltre esiste ed continua su , allora analitica in ed abbiamo

Definizione 2.6. Definiamo come distanza di un punto da un cammino il numero reale

Proposizione 2.7. Dati un cammino ed un punto abbiamo che esiste tale che

(2.4)In particolare



23/66


Dimostrazione. La funzione

continua. Infatti abbiamo che

Daltra parte compatto, in quanto chiuso e limitato. Ma allora per ilteorema di Weierstra abbiamo che che raggiunge il minimo su ecio esiste per cui vale la (2.4).Proposizione 2.8. Dati un cammino ed una funzione continua abbiamo che

analitica di classe in e per ogni abbiamo

(2.5)

Inoltre per ogni , sviluppabile in serie di Taylor nel disco ,con .

Dimostrazione. Che sia analitica di classe e che le sue derivate soddisfinola (2.5) segue facilmente per induzione dal teorema 2.5. Ci limitiamo pertantoa provare la sviluppabilit in serie di Taylor.

Consideriamo e osserviamo che

(2.6)Poich

la serie

converge totalmente in per ogni . Dun-

que, per la proposizione 1.3 ed il teorema 2.4 possiamo integrare termine atermine la (2.6), ottenendo, grazie alla (2.5), che

Esercizi. Calcolare:

1)

,

2)

.

Universit di Torino


24/66


3)

.

4)

.

5)

.

2.2 Indice di avvolgimento di un cammino rispet-

to ad un punto

Proposizione 2.9. Per ogni cammino chiuso ed ogni punto , abbia-mo che

un numero intero.

Dimostrazione. Per semplicit ci limitiamo al caso in cui ammetta una para-metrizzazione di classe . Abbiamo allora che

Poniamo

e proviamo che un multiplo intero di . Posto

abbiamo

e dunque

Questo significa che

costante in e quindi in particolare che

Ma



25/66


e quindi

poich il cammino chiuso. Questultima uguaglianza implica che sia unmultiplo intero di .

Osservazione. Nel caso in cui per ogni , grazie alcorollario 1.11 abbiamo che

e quindi oteniamo immediatamente che

Definizione 2.10. Il numero intero

detto indice di avvolgimento di intorno a .

Proposizione 2.11. Dato un cammino chiuso , abbiamo che costan-te su ogni componente connessa di . In particolare sullacomponente connessa illimitata di .Dimostrazione. In base al Proposizione 2.8 sappiamo che una funzionecontinua su . Daltra parte, per la Proposizione 2.9, a valoriinteri, dunque deve essere costante su ogni componente connessa di poich limmagine continua di un insieme connesso connessa e le componenticonnesse di sono i suoi punti.

Proviamo ora che sulla componente connessa illimitata di che indichiamo con . Poich costante su , sufficiente dimostrareche

(2.7)

Poich compatto e quindi limitato, esiste tale che . chiaro che si ha

e quindi

Per la proposizione 2.3 ne segue che

dove la lunghezza di . Per confronto ne segue immediatamente la (2.7).

Universit di Torino


26/66


Esempio. Dati , e , abbiamo

se se

Infatti, per la propriet di additivit deglintegrali abbiamo che

dunque sufficiente calcolare . Per la proposizione 2.11 sappiamo giche se . Se , sempre per la proposizione2.11 abbiamo che

Esercizi. 1) Consideriamo

Scegliere , e in modo che , per ogni .2) Calcolare

con cammino di equazione parametrica

3) Considerare il cammino di equazione parametrica

per ,

per .

Calcolare

4) Trovare un esempio di cammino chiuso tale che per ogni esiste unpunto

tale che .

Terminiamo il paragrafo con la seguente importante definizione.

Definizione 2.12. Un cammino di Jordan un cammino chiuso e tale che ha esattamente due componenti connesse: una limitata, detta parteinterna di ed indicata con , su cui ha modulo ; ed una illimitata,detta parte esterna di ed indicata con , su cui nullo.

Se su diciamo che il cammino orientato positivamente, mentrese su , diciamo che il cammino orientato negativamente.Osservazione. Non confondere la parte interna di un cammino di Jordan conlinterno di un insieme.



27/66


Riportiamo senza dimostrazione il seguente teorema di Jordan:

Teorema 2.13. Un cammino chiuso di Jordan se e soltanto se semplice,cio privo di punti multipli.

Diamo ora un semplice metodo geometrico per calcolare lorientamento diun cammino di Jordan in un caso particolare, ma ci nonostante abbastanzagenerale.

Proposizione 2.14. Dato un cammino di Jordan, supponiamo ci sia unaparametrizzazione , un punto ed taliche, posto

abbiamo che

Allora orientato positivamente.

Dimostrazione. Per semplicit ci limitiamo al caso in cui sia di classe . Inbase alle ipotesi abbiamo che per ogni ; dunquepossiamo considerare

per ogni . Ma allora abbiamo che

tenuto conto della (1.10) e del fatto che

per

in quanto

per

Possiamo allora concludere che e quindi che orientato positiva-mente.

Universit di Torino


28/66


2.3 Formula Integrale di Cauchy I

Teorema 2.15 (Formula integrale di Cauchy in un aperto convesso). Datiuna funzione analitica su un aperto convesso ed un cammino di Jordan contenuto in ed orientato positivamente, abbiamo che

Dimostrazione. Per semplicit ci limitiamo al caso in cui ammette una para-metrizzazione di classe di modo che

Poich convesso, possiamo considerare

Abbiamo che

Dunque, tenuto conto del fatto che di classe

, ne segue che

poich . Ma allora

costante in e quindi in ,per continuit. In particolare abbiamo che

Corollario 2.16. Nelle ipotesi del teorema 2.15, abbiamo che

(2.8)

per ogni .Dimostrazione. Posto



29/66


per il teorema 2.15 abbiamo che

La (2.8) segue allora dalla (2.5) della proposizione 2.8.

Corollario 2.17. Dato un cammino di Jordan orientato positivamente ab-biamo che

Dimostrazione. Se abbiamo che analitica in equindi per il teorema 2.15 abbiamo che

Se , posto per ogni , per il corollario 2.16 abbiamo

Teorema 2.18. Una funzione analitica in un aperto di classe in ed sviluppabile in serie Taylor in ogni disco .Dimostrazione. Poich convesso, possiamo applicare il teorema 2.15.Ma allora il risultato segue dalla proposizione 2.8.

Proposizione 2.19. La somma

(2.9)

di una serie di potenze con raggio di convergenza analitica in ed ha il secondo membro della (2.9) come sviluppo di Taylor:

(2.10)

con cammino di Jordan positivo e tale che .Dimostrazione. Lanaliticit di in segue dal teorema 1.7.

Proviamo la (2.10). Dato , dividiamo ambo i membri della (2.9) per ed integriamo termine a termine, cosa lecita grazie alla convergenzauniforme del secondo membro in ogni disco con . Grazie alcorollario 2.17 otteniamo allora

La seconda uguaglianza nella (2.10) segue dal corollario 2.16.

Universit di Torino


30/66


In base ai Teoremi 1.7 e 2.18 abbiamo il seguente

Teorema 2.20. Una funzione definita in un aperto di analitica se esolo se sviluppabile in serie di potenze in un intorno di ogni punto di .

Esercizi. 1) Calcolare

per ogni .2) Calcolare

con .3) Calcolare

con .4) Trovare tutti i valori possibili di

per ogni cammino di Jordan tale che .5) Sviluppare

per

per

intorno a e calcolare il raggio di convergenza.

6) Sviluppare intorno a e calcolare il raggio di convergenza.

7) Sviluppare

intorno a e calcolare il raggio di convergenza.


(2.11)

9) Esprimendo in termini di esponenziali, provare che

Questo significa che la (2.11) unestensione al campo complesso dellarcotan-gente. Possiamo pertanto porre per definizione:

10) Sviluppare in un intorno dellorigine e determinare il raggio diconvergenza.



31/66


2.4 Stima di Cauchy. Teorema di Liouville.

Teorema 2.21 (Stima di Cauchy). Se analitica in , con e

allora per ogni abbiamo

Dimostrazione. Grazie al teorema 2.15 e alle proposizioni 2.8 e 2.3, abbiamo

Passando al limite per otteniamo il risultato.

Una funzione analitica in tutto si dice intera.

Teorema 2.22 (Teorema di Liouville). Se intera e limitata, allora co-stante.

Dimostrazione. In base alla diseguaglianza di Cauchy, per ogni , abbiamoche

e quindi (passando al limite per

)

Poich intera abbiamo allora

Corollario 2.23 (Teorema fondamentale dellalgebra). Un polinomio di gradopositivo ha almeno una radice.

Dimostrazione. Per assurdo supponiamo che esista un polinomio

con , e che non si annulli mai.Poich e abbiamo che

(2.12)

Daltra parte,

una funzione intera, poich non si annulla mai e

limitata, grazie alla (2.12). Ma allora per il teorema di Liouville deveessere costante e quindi in particolare nulla, di nuovo per la (2.12); e questo impossibile.

Universit di Torino


32/66


2.5 Formula integrale di Cauchy II

Teorema 2.24 (Formula integrale di Cauchy in un aperto qualsiasi). Conside-riamo una funzione analitica su un aperto . Siano dei camminichiusi contenuti in e tali che

Per ogni abbiamo che

(2.13)

Dimostrazione. Definiamo come segue:

se ,

se .

Abbiamo che analitica separatamente in ciascuna delle due variabili. Infatti, palesemente analitica in ciascuna variabile al di fuori della diagonale ,in quanto lo . Inoltre, grazie al teorema 2.18 possiamo sviluppare inserie di Taylor nel punto ottenendo

(2.14)

con tale che , e quindi

Quindi, grazie al teorema 2.20, analitica nella prima variabile e poich simmetrica ( ), lo pure nella seconda.

Definiamo ora come

se ,

se

.

Verifichiamo che analitica e quindi intera. Per la proposizione 2.8

analitica in . Consideriamo



33/66


Si vede immediatamente che un aperto, perch unione delle componenti

connesse di su cui .Sappiamo che analitica in , proviamo che lo pure in . Osserviamoche in base allipotesi abbiamo

dunque, poich aperto e analitica in , sufficiente mostrare che

Se , abbiamo per definizione. Se , abbiamo

e quindi

Dunque una funzione intera. Daltra parte compatto e quindi

limitato. Dunque esiste tale che . Se dobbiamo avere

che implica (2.15)

Questo ci dice in particolare che limitata e quindi costante, per il Teo-rema di Liouville. Ma allora, usando di nuovo la (2.15), otteniamo che identicamente nulla.

Questo implica in particolare che

cio

Corollario 2.25. Sotto le medesime ipotesi del teorema precedente, per ogni abbiamo che

Universit di Torino


34/66


Dimostrazione. Poich costante sulle componenti connesse di , abbiamo che

(2.16)

La (2.16) segue allora dalla (2.13) e dalla proposizione 2.8.

Corollario 2.26 (Teorema di Cauchy). Sotto le medesime ipotesi del Teorema2.24 abbiamo che

Dimostrazione. Infatti, dato , abbiamo che

Corollario 2.27. Data una funzione analitica su un aperto , abbiamo che

per ogni coppia di cammini di Jordan e orientati nello stesso verso,contenuti in e tali che

Dimostrazione. In base alle ipotesi abbiamo che

Dunque, poich e hanno lo stesso orientamento, abbiamo che su e quindi su . Ma allora il risultatosegue dal corollario 2.26 applicato ai cammini e .



35/66

Capitolo 3

Singolarit isolate e residui

3.1 Sviluppo in serie di Laurent

Iniziamo estendendo la nozione di serie di potenze alle serie doppiamente infi-nite. Poniamo per definizione:

(3.1)

Definiamo come raggi di convergenza della serie a primo membro della (3.1) ledue quantit tali che il raggio ci convergenza della seriedi potenze

e il raggio di convergenza della serie di potenze .Abbiamo che

converge per e non

converge per , mentre

converge per e non converge per . Dunque la serie doppiamente infinita

converge nella corona circolare

e non converge in

. In particolare otteniamo che

linsieme dei punti di convergenza del primo membro della (3.1) non vuoto se , mentre certamente vuoto se . Nel primo caso abbiamo ilseguente corollario del teorema 1.6

Corollario 3.1. Se la serie doppiamente infinita ha raggidi convergenza , allora la serie in questione converge totalmente in ognicorona circolare chiusa

con .

Teorema 3.2. Consideriamo una serie di potenze doppiamente infinita

29


36/66

30 Singolarit isolate e residui

con raggi di convergenza

Per ogni la funzione

(3.2)

analitica nella corona e i coefficienti della serie (3.2) soddisfanolidentit

(3.3)

dove un qualunque cammino di Jordan orientato positivamente e tale che

(3.4)

(Osservare che per il corollario 2.27 lintegrale a secondo membro della (3.3) lo stesso per ogni cammino di Jordan orientato positivamente e soddisfacente la(3.4)).

Viceversa ogni funzione analitica in si sviluppa in serie dipotenze doppiamente infinita (3.2) con i coefficienti dati dalla (3.3) e con raggidi convergenza rispettivamente minore o eguale di e maggiore o eguale di.

Lo sviluppo in serie (3.2) si dice sviluppo in serie di Laurent della funzione.

Dimostrazione. In base alla definizione di serie doppiamente infinita la funzione definita dalla (3.2) si scrive come

con

e

Ora somma di una serie di Taylor con raggio di convergenza e dun-que analitica in . Invece data dalla composizione di

con

e somma di una serie di Taylor con raggio di con-vergenza

. Dunque definisce una funzione analitica in . Pos-

siamo pertanto concludere che analitica nella corona circolare .Proviamo che vale lidentit (3.3). Per questo moltiplichiamo la (3.2) per

ed integriamo termine e termine lungo , cosa ammissibile grazieal corollario 3.1. Grazie al corollario 2.17 otteniamo

da cui segue la (3.3).Viceversa, supponiamo che sia una funzione analitica in e

proviamo che sviluppabile in serie di Laurent in ogni punto .Consideriamo . Poich



37/66


grazie al teorema 2.24 abbiamo che

per ogni .Poniamo

con

e

Per il proposizione 2.8 ed sono analitiche rispettivamente in ed in . Inoltre, sempre per la proposizione 2.8, sviluppabile in serie di Taylor in :

con

Sviluppiamo in . Osserviamo che non possiamo applicare laproposizione 2.8, poich essa ci garantisce solo la sviluppabilit in potenze di con e non in potenze di . Considerati e , abbiamo che

(3.5)

La serie (3.5) converge totalmente per , poich

dunque possiamo integrare termine a termine lungo ottenendo

Ponendo , abbiamo infine

Universit di Torino


38/66


con

Mettendo insieme lo sviluppo di ed otteniamo sviluppabilein serie di potenze doppiamente infinita in .

Ad esempio, cerchiamo lo sviluppo in serie di Laurent di

nella corona . Grazie allo sviluppo in serie geometrica abbiamo per

3.2 Zeri e singolarit di una funzione analitica

Teorema 3.3. Consideriamo un aperto , un punto , ed una funzione analitica in con sviluppo di Laurent

(3.6)

Per ogni le seguenti condizioni sono equivalenti:1) per ogni e ;2)

;

3) , per ogni , con analitica in e taleche .

Dimostrazione. (1) (3). Definiamo

(3.7)

chiaro che e che analitica in . Per completare ladimostrazione dobbiamo allora provare che analitica anche in . Ma questosegue dal fatto che lo sviluppo in serie di Laurent (3.6) diviene:

e quindi dalla (3.7) otteniamo che

Questo implica che sia analitica in e quindi in tutto .

(3) (2). Abbiamo che

.



39/66


(2) (1). Considerato un intero , proviamo che . Utilizzando la(3.3) con , abbiamo che

(3.8)

Poich per il corollario 2.27 il secondo membro della (3.8) non dipende da ,possiamo passare al limite per ottenendo che

Per lipotesi (2), sappiamo in particolare che

Ma allora, dato , esiste tale che

In particolare otteniamo che

e quindi, grazie alla proposizione 2.3,

cio

Poich per ogni , lo sviluppo (3.6) si riduce a

Dividendo ambo i membri per otteniamo allora

che implica

Universit di Torino


40/66


41/66


Corollario 3.7. Gli zeri di una funzione analitica e non identicamente nulla

su un aperto connesso sono tutti isolati e di molteplicit finita.Teorema 3.8. Consideriamo due funzioni e analitiche in un aperto con-nesso . Se su un sottoinsieme compatto e infinito di , allora e coincidono in .

Dimostrazione. Sia il sottoinsieme compatto ed infinito di su cui .Consideriamo . Poich limitato, per il teorema di Bolzano-Weierstra esiste un punto di accumulazione di . Ma chiuso perchcompatto, e quindi . Ma allora linsieme degli zeri di ha un puntodi accumulazione in , e quindi per il teorema 3.6 identicamente nulla.

Naturalmente una funzione analitica pu avere infiniti zeri che per si de-vono accumulare sulla frontiera del suo dominio oppure tendere ad infinito. Adesempio ha infiniti zeri dati da

per ,

che per sono tutti isolati e tendono al punto dove la funzione non definita.

Consideriamo un aperto di , un punto ed una funzione analiticain .

Se definita anche in ed analitica in tutto , diciamo che unpunto regolare di .

Se non definita in , diciamo che un punto singolare isolato di .Nel caso in cui sia una singolarit isolata, consideriamo lo sviluppo in

serie di Laurent di nel punto :

Si presentano tre casi:

1) per ogni . In questo caso la serie di Laurent in realt unaserie di Taylor e definisce una funzione analitica in un intorno di . Se

poniamo per definizione (3.9)

In questo modo otteniamo una funzione analitica in tutto . Questo tipodi singolarit si chiama singolarit eliminabile.

Se non detto esplicitamente il contrario, noi supporremo sempre dieliminare questo tipo di singolarit mediante la definizione (3.9).

Ad esempio, la funzione

ha una singolarit eliminabile in .Infatti,

Universit di Torino


42/66


e quindi

(3.10)

In accordo a quanto detto sopra, noi eliminiamo questa singolarit as-segnandole come valore il coefficiente di ordine della serie a secondomembro della (3.10):

(3.11)

Quindi quando consideriamo

intendiamo sempre che valga la defini-zione (3.11).

2) Esiste tale che e per ogni . Questotipo di singolarit detta polo di ordine . Un polo di ordine dettosemplice.

3) Vi sono infiniti coefficienti non nulli di indice negativo. In questo casodiciamo che c una singolarit essenziale.

Proposizione 3.9. Dati una funzione analitica in un aperto , un punto , ed un numero intero positivo , le seguenti condizioni sono equivalenti:

1) ha ha uno zero di molteplicit in ,

2) ha uno polo di ordine in .

Dimostrazione. Per la proposizione 1.1 ed il teorema 3.5 esiste un intorno bucato

in cui la funzione non si pu annullare; dunque ben definita edanalitica in . Il risultato segue allora dallequivalenza fra i punti (1) e(2) del teorema 3.3.

Proposizione 3.10. Dati un aperto , un punto ed una funzione analitica in con una singolarit isolata in , abbiamo che

1) una singolarit eliminabile se e solo se

esiste finito

ed in tal caso la singolarit si elimina ponendo .

2) un polo se e solo se

(3.12)

3) una singolarit essenziale se e solo se non esiste.

Dimostrazione. Il punto (3) segue per esclusione dai punti (1) e (2).Il punto (1) segue dallequivalenza fra i punti (1) e (2) del teorema 3.3.Dimostriamo il punto (3). Chiaramente per se e solo se

per e questa condizione equivale al fatto che abbia unasingolarit eliminabile in , che eliminata d luogo ad uno zero. Dunque la(3.12) equivalente al fatto che abbia uno zero in . Ma per la proposizione3.10 questo equivale al fatto che abbia un polo in .



43/66


Esempi. 1) ha un polo di ordine 3 in , grazie alla proposizione 3.9.

Infatti

ha uno zero di molteplicit 3 in .

2) ha una singolarit essenziale in poich

Esercizi. 1) Determinare il tipo di singolarit nellorigine delle seguenti funzio-ni:

2) Trovare lo sviluppo in serie di Laurent in , , ,della seguente funzione:

3) Dimostrare che ha solo poli semplici e calcolare il termine di ordinenegativo dello sviluppo di Laurent in ciascun polo.

4) Trovare le singolarit di

Determinare quali sono isolate e quali no. Studiare la natura di quelle isolate.

3.3 Teorema dei residui

Consideriamo una funzione analitica in , con , e con sviluppodi Laurent

Il coefficiente detto residuo di in ed indicato con

Dalla (3.3) abbiamo che

con cammino di Jordan orientato positivamente e tale che e .

Universit di Torino


44/66


Teorema 3.11 (Teorema dei Residui). Dati un aperto di, punti ed una funzione analitica in , abbiamo che

(3.13)

per ogni cammino di Jordan orientato positivamente e tale che

e

Dimostrazione. Procedendo per induzione scegliamo tale che

(3.14)

In effetti, se , poich aperto deve esistere .Supponiamo ora che il risultato sia vero per e proviamolo per

. Consideriamo laperto ed applichiamo lipotesi induttivaa e . Deve allora esistere tale che

Poich , abbiamo che

Ma aperto, quindi esiste tale che e quindi tale che

con

Grazie alla (3.14) abbiamo che

Infatti, se

, tutti gli indici sono nulli in quanto nella componente illimitata

del complementare di ciascun cammino. Se , allora

e

Possiamo allora applicare il corollario 2.26 ed ottenere che



45/66


Proposizione 3.12. Supponiamo che abbia un polo di ordine in, allora,

posto cfr. il teorema 3.3

se se

(3.15)

abbiamo che

(3.16)

In particolare se un polo semplice, cio , allora

(3.17)

Dimostrazione. Dallo sviluppo di Laurent di in :

otteniamo che ha ha il seguente sviluppo di Taylor in :

(3.18)

In particolare il coefficiente di e quindi dalla (3.18) si deduceche

Questo completa la dimostrazione.

Poich ha un polo in , il secondo membro della (3.15) presenta unasingolarit eliminabile in e quindi il calcolo di si pu effettuarecalcolando prima la derivata di ordine di per equindi passando al limite per , come espresso nelle formule (3.16) e(3.17). Illustriamo tutto questo con un esempio:

ha un polo di ordine 3 in , grazie al teorema 3.3. Infatti, poich

abbiamo

Vediamo di calcolare il residuo in . Posto

Universit di Torino


46/66


abbiamo

Per calcolare conviene porre e sviluppare in serie di potenzenellorigine (1):

Dunque

e pertanto

Il calcolo effettuato di solito ridondante (salvo in generale che per le funzionirazionali). Conviene, se possibile, sviluppare subito in serie di Laurent:

Dunque il termine di ordine corrisponde a ed abbiamo

A ulteriore conferma che spesso pi semplice sviluppare in serie di Laurentche applicare la (3.16), consideriamo un altro esempio. Prima per opportunovedere come calcolare lo sviluppo in serie del rapporto di due funzioni analitiche.

(1) Utilizziamo lo sviluppo binomiale:

con e

se

se



47/66


Consideriamo dunque due funzioni analitiche in un intorno dellorigine con

i loro sviluppi in serie di Taylor:

Se , analitica in un intorno dellorigine e si pu svilupparein serie di Taylor in un intorno dellorigine:

(3.19)

Il nostro scopo quello di trovare una procedura ricorrente per il calcolo deicoefficienti in termine dei coefficienti e fino ad un opportuno ordinepreassegnato.

La (3.19) si pu riscrivere come

(3.20)

Poich le serie di potenze convergono assolutamente e quindi indipendentementedallordine in cui si considerano i termini, il prodotto si pu scrivere raccogliendole potenze dello stesso grado:

(3.21)

Confrontando la (3.21) con la (3.20) otteniamo che si deve avere

(3.22)

La (3.22) un sistema in forma triangolare:

che si pu risolvere in modo ricorrente fino allordine desiderato:

Universit di Torino


48/66


Consideriamo ora il seguente esempio. La funzione

ha un polo di ordine 3 in . Il calcolo del residuo mediante la (3.16) piut-tosto elaborato, mentre lo sviluppo di Laurent d quanto segue. Innanzituttosviluppiamo numeratore e denominatore:

Quindi usando la procedura descritta sopra calcoliamo lo sviluppo in serie di fino al terzordine:

Abbiamo

e quindi

che d

cio

e quindi

Ne segue che



49/66


3.4 Qualche applicazione del teorema dei residui

e del teorema di Cauchy

Illustriamo mediante alcuni esempi luso del teorema dei residui e del teoremadi Cauchy nel calcolo di alcuni integrali definiti.

1) Calcoliamo

(3.23)

Consideriamo la funzione di variabile complessa

Questa funzione ha quattro poli semplici negli zeri di , cio in

Scelto un qualunque numero reale , consideriamo il cammino di Jordan

Per la proposizione 2.14 orientato positivamente. Poich , peril Teorema dei Residui abbiamo che

Per la Proposizione 3.12

e

dunque

(3.24)

Se proviamo che

(3.25)

Universit di Torino


50/66


passando al limite per nella (3.24), otteniamo la (3.23). Ma per abbiamo che

che implica la (3.25).

2) Calcoliamo

(3.26)

Consideriamo il cammino chiuso di Jordan

con .La funzione ha un unico polo semplice in , che esterno a ,

dunque per il Teorema di Cauchy abbiamo

(3.27)

Proviamo che

(3.28)

Fissato , abbiamo

Passando al limite per otteniamo

e quindi, passando al limite per , otteniamo la (3.28).Proviamo ora che

(3.29)

Abbiamo

(3.30)



51/66


ed continua per , dunque la (3.30) una funzionecontinua di e pertanto otteniamo

che, insieme alla (3.30), implica la (3.29).Infine

e quindi

Utilizzando le (3.27), (3.28), (3.29) otteniamo allora la (3.26).

3) Calcoliamo

con

Abbiamo

dunque

(3.31)

poich

La funzione ha due poli semplici in

di cui il primo interno al disco mentre il secondo esterno a .Per il Teorema dei Residui abbiamo allora

Confrontando con la (3.31) otteniamo il risultato.

Esercizi. 1) Trovare il residuo di

Universit di Torino


52/66


1)

nei poli , per

(R.:

).

2)

nei poli , per (R.: ).

2) Calcolare

3) Calcolare i seguenti integrali definiti:

1)

,

2)

,

3)

,

4)

,

5)

,

6)

,

4) Calcolare

(Suggerimento: decomporre

ed integrare lungo ).5) Calcolare i seguenti integrali:

1)

,

2)

,

3)

.

6) Calcolare

7) Calcolare

(Suggerimento: integrare lungo il cammino



53/66

Capitolo 4

Gamma di Eulero e Zeta di

Riemann

4.1 La funzione Gamma di Eulero

La funzione Gamma definita come segue

per (4.1)

Lintegrale a secondo membro un integrale improprio, con punti singolarinei due estremi. La sua convergenza assicurata dal criterio del confronto.

Infatti abbiamo Le propriet degli integrali dipendenti da un parametro si possono estendere

agli integrali impropri. In particolare si pu dimostrare la proposizione chesegue.

Proposizione 4.1. La (4.1) definisce una funzione analitica nel semipiano .

Proposizione 4.2. Abbiamo

per (4.2)

Dimostrazione. Osserviamo innanzitutto che lintegrazione per parti si estendeanche agli integrali impropri. Abbiamo allora

Corollario 4.3. Abbiamo

(4.3)

47


54/66

48 Gamma di Eulero e Zeta di Riemann

Dimostrazione. Procediamo per induzione. Per abbiamo

Supponiamo ora la (4.3) verificata per e proviamola per .Grazie alla (4.2) abbiamo

Definizione 4.4. Dati due aperti e due funzione analitiche e , diciamo che un prolungamento analitico di ad , se per ogni .Proposizione 4.5 (Principio del prolungamento analitico). Il prolungamento

analitico ad un aperto connesso unico.

Dimostrazione. Consideriamo due aperti e due prolungamenti analitici ed ad di una stessa funzione analitica . chiaro che dob-biamo avere per ogni . Poich ogni disco chiuso contenutoin un compatto infinito, per il teorema 3.8 otteniamo che su .

Osservazione. Poich il prolungamento analitico da un aperto ad un apertoconnesso pi grande unico, indichiamo con la stessa lettera sia la funzioneoriginaria su che il suo prolungamento ad .

Proposizione 4.6. La funzione Gamma ha un prolungamento analitico a con un polo semplice in per ogni .

Inoltre lidentit (4.2) si estende ad ogni

.

Dimostrazione. Grazie alla (4.2) si verifica immediatamente per induzione che

per (4.4)per ogni . La (4.4) si pu riscrivere come segue

per (4.5)

Poich il secondo membro della (4.5) definito per e , esso definisce un prolungamento analitico del primo membroallaperto connesso .

Procedendo per induzione e sfruttando lunicit del prolungamento analitico,possiamo estendere ad ogni per ogni e quindi a

.

Inoltre grazie al teorema 3.8 abbiamo che la (4.4) e quindi la la (4.5) verificata per ogni e per ogni . Poich

per ogni ed ogni , la (4.5) ci dice che ha un polosemplice in per ogni .

Per finire osserviamo che la (4.2) un caso particolare della (4.4) e quindivale per ogni .



55/66


56/66


Passando infine al limite per otteniamo che

Per completare la dimostrazione dobbiamo solo provare che

Ma questo segue facilmente mediante integrazioni per parti:

Prima di passare allultimo teorema di questo paragrafo, opportuno enun-ciare e dimostrare un lemma che utilizzeremo anche nel prossimo paragrafo.

Lemma 4.8. Per ogni abbiamo che

(4.9)

Dimostrazione. Consideriamo la funzione

con . La ha infiniti poli in semplici dove si annulla il denominatore:

Calcoliamo il residuo in questi punti. Abbiamo



57/66


58/66


59/66


Viceversa, le primitive dei due membri della (4.15) devono differire per una

costante :

(4.16)

Passando al limite per otteniamo che e quindi che la (4.16)coincide con la (4.14).

Dunque la (4.12) equivalente alla (4.15), che stata dimostrata nel lemma4.8.

4.2 La funzione Zeta di Riemann

La funzione Zeta di Riemann definita come segue:

per

C uno stretto legame fra la e i numeri primi, come suggerito dal seguenteteorema.

Teorema 4.10. Data la successione dei numeri primi maggiori di ,abbiamo che

per

Dimostrazione. Indichiamo con linsieme dei numeri interi positivi che nonsono divisibili per . Osserviamo innanzitutto che se si tolgono da i multipli di otteniamo :

(4.17)Ne segue per induzione che

(4.18)

Infatti, grazie alla (4.17) con abbiamo che

Inoltre, se la (4.18) vera per allora lo pure per . Infatti,grazie alla (4.17) con , abbiamo che

Universit di Torino


60/66


Per concludere la dimostrazione, rimane da provare che

I primi due numeri che fanno parte di sono e . Dunque

per

Nel seguito abbiamo bisogno del seguente lemma.

Lemma 4.11. Dato un numero complesso tale che , abbiamo che

(4.19)

Dimostrazione. Grazie al teorema 3.8 possiamo limitarci a considerare il casoin cui reale. Dati

e

consideriamo il cammino di Jordan

di equazioni parametriche

Per la proposizione 2.14, orientato positivamente.La funzione analitica in con due poli

semplici in ; dunque per il Teorema dei Residui abbiamo che

(4.20)

Infatti

e pertanto



61/66


Proviamo che

(4.21)

Infatti abbiamo

Ma

e sono uniformemente continue per ,dunque

e

uniformemente in . Inoltre

implica che

per

uniformemente in . Dunque possiamo passare al limite sotto il segnodi integrale, ottenendo

Analogamente otteniamo

Universit di Torino


62/66


e quindi

Consideriamo ora gli integrali su e . Anche qui per la continuituniforme dellintegrando otteniamo

e

Dalle (4.20) e (4.21) otteniamo pertanto

(4.22)

per ogni .

Daltra parte e quindi

per

tenuto conto che .



63/66


Analogamente e quindi

per

tenuto conto che .Passando al limite per e nella (4.22) otteniamo allora

che implica la (4.19), tenuto conto dellidentit

Teorema 4.12. La funzione ha un prolungamento analitico a con unpolo semplice in e soddisfa alla seguente identit

(4.23)

Osservazione. La (4.23) si chiama equazione funzionale di Riemann.

Dimostrazione. Consideriamo la (4.1) e poniamo , con , nellinte-

grale a secondo membro:

(4.24)

Ripristinando la variabile in luogo di , possiamo riscrivere la (4.24) come

Sommando rispetto ad otteniamo infine che

per (4.25)

La

una serie geometrica di ragione e quindi ne possiamo

calcolare la somma:

Scambiando la somma della serie con lintegrale a secondo membro della (4.25)otteniamo

per (4.26)

Universit di Torino


64/66


Questo passaggio richiede naturalmente qualche commento. Innanzitutto lin-

tegrale (4.26) converge poich lintegrando diverge in come

con per . Sfortunatamente la convergenza della non uniforme, dunque una giustificazione dello scambio della serie con linte-grale nella (4.25) piuttosto laboriosa, a meno di non invocare il teorema dellaconvergenza monotona di Beppo Levi. Per brevit non entriamo nei dettagli.

Calcoliamo ora

Ne segue che ha una discontinuit eliminabile in . Eliminandotale discontinuit otteniamo una funzione continua che si annulla in . Inparticolare questo implica che

converge per , perch lintegrando si comporta in come .Possiamo allora scrivere

per

e quindi

(4.27)

per .Grazie alla (4.11), non si annulla mai. Ne segue che possiamo dividere per

ed ottenere

(4.28)Poich gli integrali a secondo membro della (4.27) convergono per

e ha un polo semplice in , il secondo membro della (4.28) analiticoper , salvo che in dove c un polo semplice. Dunque il secondomembro un prolungamento analitico della a .

Daltra parte per abbiamo che



65/66


e quindi possiamo riscrivere la (4.28) come

per (4.29)

Osserviamo ora che

Dal lemma 4.8 otteniamo che

e quindi

(4.30)

Sostituendo nella (4.29) otteniamo infine che

per (4.31)

La giustificazione dello scambio della serie con lintegrale laboriosa, a meno dinon invocare il teorema della convergenza monotona di Beppo Levi. Per brevitnon entriamo nei dettagli.

Poniamo ora nellintegrale a secondo membro della (4.31):

per

Per il lemma 4.11 e il teorema 4.9 possiamo allora concludere che

per .

Daltra parte analitica per e , dove c un polo semplice e quindi definisce un prolungamento analiticodella a

. Grazie al teorema 3.8 possiamo allora concludere che la (4.23)vale in .Proposizione 4.13. La funzionenon si annulla per , e nel semipiano ha soltanto degli zeri semplici in per ogni .Dimostrazione. Grazie al teorema 4.10, la non si annulla nel semipiano .

Daltra parte gli eventuali zeri di nel semipiano debbono annullareil secondo membro della (4.23). Poich non si annulla nel semipiano , abbiamo che per . Daltra parte anche non siannulla e quindi il secondo membro della (4.23) si annulla nel semipiano solo se si annulla e cio per , con .

Universit di Torino


66/66


Possiamo ora enunciare uno dei pi importanti problemi aperti della mate-

matica al momento in cui sono state scritte queste note (Giugno 2009) e cio see vera o falsa la cosiddetta

Ipotesi di Riemann: gli zeri di appartenenti alla striscia cadono tutti sulla retta

.

Ipotesi di riemann

Documents

Transcript of Ipotesi di riemann