Investigacion_Operaciones NO LINEAL

7/31/2019 Investigacion_Operaciones NO LINEAL

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Contenidos

I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal

Programacin EnteraProgramacin No- lineal

III. Modelos ProbabilsticosProcesos Estocsticos y Cadenas de Markov

Sistemas de Espera

GestindeInvestigacindeOperaciones


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I. Introduccin a la Investigacin deOperaciones

I.1. Introduccin.

El principal objetivo de esta rea de conocimientosconsiste en formular y resolver diversos problemas

orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puedeser determinstica, como en los Modelos deProgramacin Matemtica, donde la teora deprobabilidades no es necesaria, o bien deproblemas donde la presencia de incertidumbretiene un rol preponderante, como en los ModelosProbabilsticos.

Gestinde

InvestigacindeOperaciones


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ii) La funcin objetivo del problema, que permitatener un criterio para decidir entre todas lassoluciones factibles. En el ejemplo, maximizar lautilidad dada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y

Gestinde




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En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y 8

x + 2y 6x,y 0

El ejemplo corresponde a un modelo deProgramacin Lineal. Si adems restringimos losvalores de x e y a nmeros enteros, tendramos un

modelo de Programacin Entera. Por otra parte, sihubiese retornos crecientes a escala, deberamosemplear una funcin objetivo no lineal como f(x,y) =cxa + dybcona,b >1, y tendramos un modelo deProgramacin No Lineal.

Gestinde




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BIBLIOGRFIA EN INVESTIGACIN DE OPERACIONES

1. Introduccin a la Investigacin de Operaciones, F.S.Hillier y G.J. Lieberman, McGraw Hill, Sexta Edicin, 1997.2. Investigacin de Operaciones, una introduccin, H.A.

Taha, Prentice Hall, Mxico, Sexta Edicin, 1998.3.Introduction to Management Science, F. Hillier, M. Hillierand G.J. Lieberman. Irwin McGraw-Hill, 1999.

4. Model Operations Research: A practical Introduction.M.W. Carter and C.C.Price. CRC Press, 2000.

5. Practical Management Science: Spreadsheet Modelingand Applications, Winston, W.L., Albright S.C. y Broadie M.,International Thomson Publishing Company, 1997.

Gestinde




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Contenidos

I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal

Programacin EnteraProgramacin No- lineal

III. Modelos ProbabilsticosProcesos Estocsticos y Cadenas de Markov

Sistemas de Espera

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II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal

Temario:

II.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.

II.2. Resolucin grfica de problemas.II.3. Anlisis de Sensibilidad.

II.4. El Mtodo Simplex.

II.5. Dualidad en Programacin Lineal.

II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal

Gestinde



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II.1 Introduccin y ejemplos de modelamiento.

i) Problema de Transporte. El problema consisteen decidir cuntas unidades trasladar desde ciertospuntos de origen (plantas, ciudades, etc.) a ciertospuntos de destino (centros de distribucin,ciudades, etc..) de modo de minimizar los costos detransporte, dada la oferta y demanda en dichos

puntos.Se suponen conocidos los costos unitarios detransporte, los requerimientos de demanda y laoferta disponible.

Gestinde

InvestigacindeOperaciones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal


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Por ejemplo, suponga que una empresa posee dosplantas que elaboran un determinado producto encantidades de 250 y 450 unidades diarias,respectivamente. Dichas unidades deben sertrasladadas a tres centros de distribucin condemandas diarias de 200, 200 y 250 unidades,

respectivamente. Los costos de transporte (en$/unidad) son:

Gestinde


C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3

Planta 1 21 25 15

Planta 2 28 13 19



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Diagrama:

Gestinde


Planta 1

Planta 2

C.D.2

C.D.1

C.D.3

X11

X12

X21 X22

X13

X23

Orgenes Destinos



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Variables de decisin:

xij = Unidades transportadas desde la planta i(i=1,2), hasta el centro de distribucin j (j=1,2,3)

Funcin Objetivo:

Minimizar el costo total de transporte dado por lafuncin:

21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23Gestinde

Investigaci

ndeOper

aciones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal


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Restricciones del problema:

1) No Negatividad: xij 0

2) Demanda:

CD1 :x11 +x21 = 200CD2 : x12 +x22 = 200CD3 : x13 + x23 = 250

Gestinde

Investigaci

ndeOper


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ii) Problema de la dieta: este consiste en

determinar una dieta de manera eficiente, a partirde un conjunto dado de alimentos, de modo desatisfacer ciertos requerimientos nutricionales.

Supongamos que se tiene la siguiente informacin:

Gestinde

Investigaci

ndeOper

aciones

Leche(galon)

Legumbre(1 porcin)

Naranjas(unidad)

RequerimientosNutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tianina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25



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x1 : galones de leche utilizados en la dieta.x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.

x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.

Funcin Objetivo:

Minimizar el costo total de la dieta, dado por:

2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3Gestinde

Investigaci

ndeOper


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Requerimientos mnimos de los nutrientesconsiderados:

3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 13

1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 1532 x1+ + 9 x3 45

x1 0 ; x2 0 ; x3 0Gestinde

Investigaci

ndeOper


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iii) Problema de dimensionamiento de lotes: este

consiste en hallar una poltica ptima de produccinpara satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo,de modo de minimizar costos de produccin einventario, considerando la disponibilidad dediversos recursos escasos.

Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta150 unidades en cada uno de los 4 periodos en quese ha subdividido el horizonte de planificacin y setiene adicionalmente la siguiente informacin:G

estinde

Investigaci

ndeOper


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xt : nmero de unidades elaboradas en el periodo t.

It : nmero de unidades de inventario al final delperiodo t.

Funcin objetivo:Consiste en minimizar los costos de produccin y elcosto de mantenimiento de inventario.

6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4Gestinde

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ndeOper


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Notar que en el ptimo I4 va a ser 0, as que incluso

podramos no incluirla, pero de todos modos laconsideramos.


1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidadde produccin.

xt 150Gestinde

Investigaci

ndeOper


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2) Restricciones de no negatividad

xt 03) Restricciones de demanda

x1 + I0 I1 = 130 Periodo 1 I0=15

x2 + I1 I2 = 80 Periodo 2

x3 + I2 I3 = 125 Periodo 3

x4 + I3 I4 = 195 Periodo 4Gestinde

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ndeOper


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iv) Problema de planificacin financiera:

Supongamos que un banco dispone de $250millones para destinar a 4 tipo de crditos ofrecidos,los cuales tienen las siguientes, tasas de crdito:

Primer crdito corriente :12%

Segundo crdito corriente :16%

Crdito para el hogar :16%

Crdito personal :10%Gestinde

InvestigacindeOper


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La asignacin de estos crditos, debe satisfacer lasiguiente poltica utilizada por la institucin:

El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,el 55% del monto asignado a los crditoscorrientes, y al menos un 25% del total del dineroprestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total deldinero prestado, por polticas tributarias el intersrecibido por el banco no debe exceder a un retornodel 14% sobre el capital prestado.

Gestinde

InvestigacindeOper


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Cunto asignar a cada tipo de crdito, de la

manera ms eficiente, respetando la poltica delbanco?


x1 :Monto asignado al PCC.

x2 : Monto asignado SCC.

x3 : Monto asignado al crdito para el hogar.

x4 : Monto asignado al crdito personal.Gestinde

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Funcin Objetivo:

Se propone maximizar los retornos recibidos en laasignacin, dados por:

0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4

Gestinde

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x1 0.55 ( x1 + x2 )x1 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )

x2 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )

(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )

Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4 250Gestinde

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v) Problema de mezcla de productos: en este

problema una refinera produce 4 tipos de gasolina(gas 1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos caractersticasimportantes de cada gasolina son su nmero deperformance (NP) y su presin de vapor (RVP), queestn dados por:

Gestinde

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aciones

NP RVP Barriles diarios

gas 1 107 5 3814

gas 2 93 8 2666

gas 3 87 4 4016

gas 4 108 21 1300



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Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente

a un precio de $2483 por barril o bien mezcladaspara obtener gasolinas de aviacin (avgas A yavgas B). La calidad de estas dos ltimas junto consus precios de venta son:

Gestinde

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aciones

NP RV Precio por barril (US$)

avgas A Al menos 100 A lo ms 7 26,45

Avgas B Al menos 91 A lo ms 6 25,91



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El NP y RVP de cada mezcla es un promedio de los

respectivos NP y RVP de las gasolinas empleadas.

Se desea obtener un plan de venta de las distintasgasolinas que maximice los retornos.

Gestinde

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xj: cantidad de barriles del gas j que son vendidossin mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.

xA : cantidad de barriles de avgas A.

xB : cantidad de barriles de avgas B.xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.

xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.Gestinde

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Funcin objetivo:

Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xBRestricciones: x1 + x1A + x1B = 3814

x2 + x2A + x2B = 2666

x3 + x3A + x3B = 4016x4 + x4A + x4B = 1300

x1A + x2A + x3A + x4A = xA

x1B + x2B + x3B + x4B = xBGestinde

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NP, avgas A:

NP, avgas B:

RVP, avgas A:

RVP, avgas B:Gestinde

InvestigacindeOper

aciones

100

x

x108x87x93x107

A

A4A3A2A1

91x

x108x87x93x107

B

B4B3B2B1

7x

x21x4x8x5

A

A4A3A2A1

7

x

x21x4x8x5

B

B4B3B2B1



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vi) Problema de expansin de la capacidad de

un Sistema de Potencia Elctrica:En este problema se desea planificar laexpansin de la capacidad de un sistemaelctrico para los siguientes T aos. La demanda

(estimada) para el ao t corresponde a dt MW parat = 1, 2, ..., T. La capacidad existente del sistemacorresponde a ct MW para el ao t = 1, 2, ..., T.

Gestinde

InvestigacindeOper


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Existen 2 alternativas para la expansin de la

capacidad del sistema: Usar plantas trmicas a petrleo.

Usar plantas trmicas a gas.

Se requiere una inversin pt por MW instalado deuna planta a petrleo que est operativa alcomienzo del ao t, y el correspondiente costo parauna planta a gas es gt.

Gestinde

InvestigacindeOper


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Por razones polticas y de seguridad, se ha

decidido que no ms del 30% de la capacidadinstalada, corresponda a plantas a gas (nuevas).

Cada planta a petrleo tiene una vida de 20 aos yuna planta a gas una vida de 15 aos.

Se desea proponer un plan de expansin al mnimocosto posible.

Gestinde

InvestigacindeOper


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xt : cantidad de MW expandidos en planta apetrleo al inicio del ao t, con t = 1, 2, ..., T.

yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas alinicio del ao t, con t = 1, 2, ..., T.

zt : cantidad total de MW disponible en plantasnuevas a petrleo al inicio del ao t.

wt : cantidad total de MW disponible en plantasnuevas a gas al inicio del ao t.

Gestinde

InvestigacindeOper


Programacin Lineal


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Funcin Objetivo:

Restricciones:

Gestinde

InvestigacindeOper

aciones

T

1ttttt ygxpMin

20txz

20txz

dwzc

t

19tk

kt

t

1kkt

tttt



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Gestinde

InvestigacindeOper

aciones

0w,z,y,x

T...1t30,0wzc

w

15tyw

15tyw

tttt

ttt

t

t

14tkkt

t

1kkt



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Temario:


II.2. Resolucin grfica de problemas.

II.3. Anlisis de Sensibilidad.




Gestinde


Programacin Lineal


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Consideremos el siguiente problema a resolvergrficamente:

Max z = 3x1 + 5x2sa: x1 4

2x2 123x1 + 2x2 18x1,x2 0

Gestinde


Programacin Lineal


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Gestinde


Curvas de Nivel

Regin de puntos factibles

9

6

2

4

4 6

x2

x1

x*

x* Solucin Optima



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En primer lugar, se debe obtener la regin depuntos factibles en el plano, obtenida por medio de

la interseccin de todos los semi - espacios quedeterminan cada una de las inecuacionespresentes en las restricciones del problema.

Gestinde


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Enseguida, con el desplazamiento de las curvas denivel de la funcin objetivo en la direccin de

crecimiento de la funcin (que corresponde a ladireccin del vector gradiente de la funcin,

z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la solucin ptima delproblema en la interseccin de las rectas: 2x2 = 12

y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas). Esto es:

x1* = 2 x2* = 6z* = 3 x1* + 5 x2* = 36G

estinde


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Notar que se pueden dar otras situaciones en labsqueda de una solucin ptima para esta clase

de problemas:1) La solucin ptima exista pero haya msde una. En el ejemplo, considere la nuevafuncin objetivo: z = 6x1+4x2.2) El problema no tenga solucin, dada una regin

de puntos factibles no - acotada. En el ejemplo,reemplace cada desigualdad por una .3) El problema no tenga solucin, porque noexisten puntos factibles. En el ejemplo, suponga

que agregamos la restriccin: x1 5.Gestinde


Programacin Lineal


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II.3. Anlisis de sensibilidad.

Gestinde


3

4

64

y20x15Max

8y2x2:sa

8y2x0y,x



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1) Cul es el intervalo de variacin de algn

coeficiente de la funcin objetivo, de modo que laactual solucin siga siendo la ptima?

Sea z = c1x1+c2x2

La solucin ptima de la nueva funcin, seguir

siendo: x1*= 2 ; x2*= 2 ssi:

Gestinde


2

1

c

c1

2

1


II M d l d P i M t ti


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Tambin podemos estudiar el intervalo de un slocoeficiente, dejando el resto de los parmetros fijos:

Para C1:

Para C2:

Gestinde


20c102

1

20

c1 1

1

30c152

1

c

151 2

2


s II M d l d P i M t ti


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2) Cul es la variacin del actual valor ptimo dela funcin objetivo, si cambamos en una unidadalgn coeficiente del lado derecho de lasrestricciones ?

Estudiaremos por separado las variaciones de cada

uno de los coeficientes del lado derecho de lasrestricciones, de modo preservar la geometra delproblema, esto es, que se conserven las mismasrestricciones activas de la solucin ptima inicial.

Gestinde


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Primera restriccin.

La mayor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en x1 = 0 y x2 = 4, de donde se obtiene:

z(0,4) = 15 x 0 + 20 x 4 = 80 y b1* = 0 + 2 x 4 = 8

La menor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en: x1 = 4 ; x2 = 0, de donde se obtiene:

z(4,0) = 15 x 4 + 20 x 0 = 60 y b1 = 4 + 2 x 0 = 4Gestinde


Programacin Lineal



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De aqu, se calcula el precio sombra 1, queindica la razn o tasa de cambio de la funcinobjetivo con respecto al cambio en una unidad dellado derecho:

Gestinde


548

6080

bb

)0,4(z)4,0(z

1

*

1

1




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Segunda restriccin.

La mayor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en x1 = 6 y x2 = 0, de donde se obtiene:

z(0,4) = 15 x 6 + 20 x 0 = 90 y b1*= 2 x 6 + 2x0 = 12

La menor variacin del coeficiente del lado derechose alcanza en: x1= 0 ; x2= 3, de donde se obtiene:

z(4,0) = 15 x 0 + 20 x 3 = 60 y b1= 2 x 0 + 2 x 3 = 6Gestinde

Investigac

indeOperaciones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal



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De aqu, se calcula el precio sombra P2, queindica la razn o tasa de cambio de la funcinobjetivo con respecto al cambio en una unidad dellado derecho:

Gestinde

Investigac

indeOperaciones

5612

6090

bb

)3,0(z)0,6(z

2

*

2

2


s II Modelos de Programacin Matemtica


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Temario:







Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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En lo que sigue consideremos el siguienteproblema de programacin lineal en su forma

estndar.

Min c1x1 + c2x2 + ... + cnxnsa a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2... ... ...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm

xi 0, i = 1, 2, ..., n y m nGestinde

Investigac


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Matricialmente escrito como:

Min cTxsa Ax = b

x 0

No existe prdida de la generalidad al suponer queun problema viene dado en la forma estndar. Enefecto, si tuvisemos el siguiente problema:

Gestinde

Investigac


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P) Max 9u + 2v + 5zsa 4u + 3v + 6z 50

u + 2v + 3z 82u 4v + z = 5u,v 0

z IR

Es posible reformular de manera equivalente elproblema anterior usando que:

Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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1) Siempre es posible llevar un problema demaximizacin a uno de minimizacin. Si f(x) es la

funcin objetivo a maximizar y x* es la solucinptima:

f(x*) f(x), x factible

- f(x*) - f(x), x factible

x* es tambin mnimo de- f(x)Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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2) Cada restriccin del tipo puede ser llevada auna ecuacin de igualdad usando una (nueva)

variable de holgurano negativa, con un coeficientenulo en la funcin objetivo.

3) De igual modo, cada restriccin del tipo puedeser llevada a una ecuacin de igualdad usando una

variable de exceso no negativa.

4) Siempre es posible escribir una variable libre designo como la diferencia de dos variables no

negativas.Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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En resumen el problema P) puede ser escrito demanera equivalente como:

Min - 9x1 - 2x2 - 5x3 + 5x4 + 0x5 + 0x6sa: 4x1 + 3x2 + 6x3 - 6x4 + x5 =50

x1 + 2x2 - 3x3 + 3x4 - x6 = 8

2x1 - 4x2 + x3 - x4 = 5

xi 0, i=1,2,3,4,5,6.Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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Con u = x1v = x2

z = x3 - x4s1 = x5 (HOLGURA)s2 = x6 (EXCESO)

La bsqueda de la solucin ptima se restringe aencontrar un vrtice ptimo y cada vrtice delconjunto de las restricciones del problema, llamadoregin de puntos factibles, corresponde a unasolucin bsica factible del sistema Ax = b.

Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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Esta solucin bsica factible, corresponde a su veza aquellas soluciones que resultan de resolver el

sistema para exactamente m variables, fijando lasrestantes n-m en cero, llamadas respectivamentevariables bsicas y no-bsicas, que adems debensatisfacer condiciones de no-negatividad.

Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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Teorema Fundamental de la Programacin Lineal:

Si un problema tiene solucin ptima, tiene unasolucin bsica factible ptima.

Dada una matriz B de m x m invertible, esta induce

una particin de las variables y parmetros delmodelo como lo muestra la siguiente diapositiva.

Gestinde

Investigac


Programacin Lineal



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Gestinde

Investigac

indeOperaciones

B D

A = m

n

m n-m

B : es llamada una matriz de base

mn

m

D

B

mn

m

D

B

n

2

1

c

c

c

x

x

x

x

x

x

xB

:variables bsicas.

xD :variables no bsicas.

cB :costos bsicos.

cD :costos no bsicos.




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Criterio de Optimalidad:

Gestinde

Investigac

indeOperaciones

DB1T

DTD

1TB

DTDB

11TB

DDDBTBT

xxDBccbBc

xcxDBbBc

xcxcxc

valor actualde la

funcin obj.

vector decostos

reducidos.




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La ecuacin que define cada uno de los costosreducidos es:

Donde j es el ndice de variable no-bsica y Aj larespectiva columna en A de esa variable.

La actual solucin bsica factible es ptima ssirj j,existe una variable no bsica xp con costoreducido negativo, que entra a la nueva base.

Gestinde

Investigac

indeOperaciones

j1T

Bjj ABccr




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Para decidir quin deja la base, es necesariocalcular el mayor valor que puede tomar la variable

entrante que garantiza la factibilidad de la nuevasolucin bsica, con:

y se debe calcular:

Gestinde

Investigac

indeOperacione

pm

p2

p1

j1

0m

02

01

1

y

y

y

AB

x

x

y

bB

baseladejax0y/y

yMin

y

ykip

ip

0i

kp

0k




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Ejemplo.

Resolver el siguiente problema de P.L.

Max 40x + 60ysa: 2x + y 70

x + y 40x + 3y 90x,y 0

Gestinde

Investigac

indeOperacione


es II. Modelos de Programacin Matemtica


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Se deben agregar 3 variables de holgura ( x1 , x2 ,x3 var.bsicas), y llevar a forma estndar (x4 = x yx5 = y).

Min -40x4 60x5

sa: x1 + 2x4 + x5 = 70

x2 + x4 + x5 = 40

x3 + x4 + 3x5 = 90

xi 0, i = 1, 2, 3, 4, 5Gestinde

Investigac

indeOpe

racione




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Tabla inicial:

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x51 0 0 2 1 70

0 1 0 1 1 40

0 0 1 1 3 90

0 0 0 -40 -60 0




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Usamos como variable entrante a la base x5(puesr5


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Actualizando, queda la siguiente tabla (no ptima),donde la variable entrante a la base es x4 (pues

r4


79/368


Actualizando, queda la siguiente tabla final:

Como todos los costos reducidos son mayores oiguales que cero nos encontramos en la solucinptima.G

estinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x51 -5/2 0 0 15

0 -1/3 -1/2 1 0 15

0 1/3 0 1 25

0 20 10 0 0 2100

gProgramacin Lineal



80/368


z* = - 40 x 15 - 60 x 25 = - 2100

En la formulacin inicial, tenemos como solucinptima x*=15, y *=25, con valor ptimo 2.100.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

0

0

x

x

x2515

15

xx

x

x 3

2

D

5

4

1

B

gProgramacin Lineal



81/368


Resumen del Mtodo Simplex:

Paso 0 : Escribir el problema de programacinlineal en su forma estndar.Paso 1 : Escoger una solucin bsica factibleinicial.

Paso 2 : Escoger una variable no - bsica concosto reducido negativo que determina la variableentrante y seguir al paso tres. Sin embargo, si todoslos costos reducidos son mayores que cero , parar,ya que la actual solucin es la ptima.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

gProgramacin Lineal



82/368


Paso 3 : Calcular el criterio de factibilidad quedetermina que variable deja la base. Si todos los

cuocientes son negativos: problema no - acotado,parar.

Paso 4 :Actualizar la tabla de modo de despejar elvalor de las nuevas variables bsicas, los costosreducidos y el valor de la funcin objetivo. Volver alPaso 2.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

gProgramacin Lineal



83/368


No siempre es fcil obtener una solucin bsicafactible inicial, en las variables originales del

modelo. Para conseguir esto existen variosprocedimientos como son:

Mtodo Simplex de dos fases. Mtodo de la M grande.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

gProgramacin Lineal



84/368


Mtodo Simplex de dos Fases.

Fase 1: Se considera un problema auxiliar queresulta de agregar tantas variables auxiliares a lasrestricciones del problema, de modo de obtener unasolucin bsica factible. Resolver por Simplex un

nuevo problema que considera como funcinobjetivo la suma de las variables auxiliares. Si elvalor ptimo es cero ir a la Fase 2. En casocontrario, no existe solucin factible.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

gProgramacin Lineal



85/368



Fase 2: Resolver por Simplex el problema original apartir de la solucin bsica factible hallada en laFase1.

Ejemplo: Max 2x1

+ x2sa: 10x1 + 10x2 9

10x1 + 5x2 1x1,x2 0

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

gProgramacin Lineal



86/368



Se debe agregar una variable de holgura (x3) y unavariable de exceso (x4), y llevarlo a su formaestndar.

Min -2x1 - x2sa: 10x1 + 10x2 +x3 =9

10x1 + 5x2 - x4 = 1x1,x2, x3, x4 0

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

Programacin Lineal



87/368



Aplicamos Simplex de dos Fases :

Fase 1: Min x5sa: 10x1 + 10x2 +x3 =9

10x1 + 5x2 - x4 + x5 = 1x1,x2, x3, x4, x5 0

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

Programacin Lineal



88/368



Quedando la siguiente tabla:

donde:

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9

10 5 0 -1 1 1

0 0 0 0 1 0

0

0

0

x

x

x

x1

9

x

xx

4

2

1

D

5

3

B

Programacin Lineal



89/368



Luego se hace cero el costo reducido de la variablex5 de la tabla anterior, y queda la siguiente tablainicial.

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9

10 5 0 -1 1 1

-10 -5 0 1 0 -1

Programacin Lineal



90/368



La variable entrante a la base es x1( pues r1 < 0).

Calculamos Min { 9/10, 1/10}= 1/10, por lo tantosale x5.G

estinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x510 10 1 0 0 9

10 5 0 -1 1 1

-10 -5 0 1 0 -1

Programacin Lineal



91/368



Obtenindose la siguiente tabla final:

Gestinde

Investigac

indeOpe

racione

x1 x2 x3 x4 x50 5 1 1 -1 8

1 0 -1/10 1/10 1/10

0 0 0 0 1 0

0

0

0

x

x

x

x8

10/1

x

xx

5

4

2

D

3

1

B

Programacin Lineal



92/368



Donde, al anterior, corresponde a la solucinptima del problema en la Fase 1, con valor ptimo0. De aqu entonces tomamos x1 y x3 comovariables bsicas.

Fase 2:

Gestinde

Investigac

indeOpe

racion

x1 x2 x3 x40 5 1 1 8

1 0 -1/10 1/10

-2 -1 0 0 0

Programacin Lineal



93/368



En la tabla hacemos 0 los costos reducidos devariables bsicas

Luego la variable entrante a la base es x4 (puesr4


94/368



Quedando:

donde la solucin ptima del problema resulta ser:

Gestinde

Investigac

indeOpe

racion

x1 x2 x3 x40 5 1 1 8

1 1 0 1/10 9/10

0 1 1/5 0 9/5

0

0

x

xx

8

10/9

x

xx

3

2

D

4

1

B

Programacin Lineal

nes II. Modelos de Programacin Matemtica


95/368



Algunos casos especiales

1) Problema Infactible. Esta situacin se detectacuando el valor ptimo del problema de la Fase 1

da mayor que cero.2) Mltiples soluciones ptimas. Esta situacinse detecta cuando existen costos reducidos igualesa cero en una o ms de las variables bsicasptimas.G

estinde

Investigac

indeOpe

racion Programacin Lineal


P i Li l


96/368



3) Problema no acotado. Esta situacin se detectacuando al realizar el clculo de la variable que dejala base, todos los elementos ykj de la columna j enla tabla, son negativos para j el ndice de una

variable no bsica con costo reducido negativo.

GestindeInvestigac

indeOpe



P i Li l


97/368

Temario:





II.5. Dualidad en Programacin Lineal.II.6. Anlisis de Sensibilidad o Post-Optimal

GestindeInvestigac

indeOpe



P i Li l


98/368


Consideremos un ejemplo de produccin de 2productos finales que hacen uso de tres recursos

escasos (mquinas), cuyas disponibilidades enhoras corresponden a los lados derechos de lasrestricciones.

P) Max 40x1 + 60x2

sa: 2x1+2x2 70x1 + x2 40x1 + 3x2 90x1, x2 0G

estindeInvestigac

indeOpe



P i Li l


99/368


La solucin ptima y el valor ptimo del problemaP) esta dada por:

x1* = 5x2* = 25

z = v(p) = 2100

GestindeInvestigac

indeOpe



P i Li l


100/368


En lo que sigue, combinaremos las distintasrestricciones del problema, ponderando por los

valores 1, 2 y 3 cada una, respectivamente, demodo de obtener la mejor cota superior del valorptimo del problema P). Vale decir:

1(2x1+2x2) + 2(x1+x2) + 3(x1+3x2) 70 1 +40 2 + 90 3

GestindeInvestigac

indeOpe



P i Li l


101/368


Para garantizar que el lado derecho de esta ltimadesigualdad sea una cota superior de la funcin

objetivo se debe cumplir que :

2 1 + 2 + 3 402 1 + 2 + 3 3 60

GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


102/368


La mejor eleccin de esta cota se obtendra alresolver:

D) Min 70 1 + 40 2 + 90 3sa: 2 1 + 2 + 3 40

2 1 + 2 + 3 3 60

1, 2, 3 0

GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


103/368


Este problema se conoce como el problema Dual

D) asociado al problema Primal P).

Tambin resulta que al formular el problema dualde D) se obtiene el problema primal (o unoequivalente).

Cualquiera de los dos entrega la misma informaciny el valor ptimo alcanzado es el mismo.

GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


104/368


Ms generalmente, si el problema primal es:

P)

GestindeInvestigac

indeOpe

racion

m,...,2,1j0x

n,...,2,1ibxa:sa

xcMax

j

n

1jijij

n

1jjj

Programacin Lineal


Programacin Lineal


105/368


su dual resulta el problema:

D)

GestindeInvestigac

indeOpe

racion

m,...,2,1i0

n,...,2,1jca:sa

bMin

i

m

1ijiij

m

1iii

Programacin Lineal


Programacin Lineal


106/368


Lo que se puede expresar en forma matricial como:

P) Max cTxsa: Ax b

x 0

D) Min bT sa: AT c

0GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


107/368


Si el problema primal corresponde a:

P) Max -cTx

sa: Ax bx 0

Su dual resulta ser:

D) Min -bT sa: AT c

0Es decir, el dual del dual es el problema primal

GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


108/368


Teorema de dualidad dbil:

Si x IRn

, es una solucin factible del problemaprimal P) y IRm, una solucin factible delproblema dual D), entonces:

En particular, si ambas soluciones son los ptimosde sus respectivos problemas, sus valores ptimoscumplen que :

v(P) v(D)GestindeInvestigac

indeOpe

racion

Tn

1j

m

1iiijj

T bbxcxc

Programacin Lineal


Programacin Lineal


109/368


Teorema de dualidad fuerte:

Si x* = (x1*, x2*, ..., xn*)T

, es una solucin ptimaproblema primal P), entonces el problema dual D)tiene solucin ptima * = ( 1*, 2*, ..., m*)T quesatisface:

Adems:

i)Si P) es no-acotado entonces D) es infactible.

ii)Si D) es no-acotado entonces P) es infactible.GestindeInvestigac

indeOpe

racion

)D(vb*b*xc*xc)P(v Tn

1j

m

1iiijj

T

Programacin Lineal


Programacin Lineal


110/368


Ejemplo: P) Min 3x1 + 4x2 + 5x3sa: x1+ 2x2 + 3x3 5

2x1 + 2x2 + x3 6x1, x2, x3 0

D) Max 5 1 + 6 2

sa: 1 + 2 2 32 1 + 2 2 43 1 + 2 5

1, 2 0GestindeInvestigac

indeOpe



Programacin Lineal


111/368


Resolvemos D) por Simplex, en su forma estndar:

Luego la variable entrante a la base es 2 (puesr2


112/368


Luego la variable entrante a la base es 1 (puesr2


113/368


Sol. ptima de D):

1* = 1; 2* = 1; v(D) = 11

Sol. ptima de P):

x1* = 1; x2* = 2; x3* = 0; v(P) = 11GestindeInvestigacindeOpe

racio

1 2 3 4 50 1 1 -1/2 0 1

1 0 -1 1 0 1

0 0 2 -5/2 1 1

0 0 1 2 0 11 0

0x

1

1

1

x

4

3

D

5

2

1

B

Programacin Lineal


Programacin Lineal


114/368


Mtodo Simplex Dual:

La idea de este mtodo consiste en resolver dealguna manera el problema dual asociado a P) enla tabla y variables del problema primal P), segnveremos en su aplicacin a un problema primal(ejercicio anterior).

Min 3x1 + 4x2 + 5x3sa: x1+ 2x2 + 3x3 5

2x1 + 2x2 + x3 6x1, x2, x3 0G

estindeInvestigacindeOpe

racio

Programacin Lineal


Programacin Lineal


115/368


Mtodo Simplex Dual:

Min 3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5sa: x1 + 2x2 + 3x3 - x4 5 x(-1)

2x1 + 2x2 + x3 - x5 6 x(-1)x1, x2, x3, x4, x5 0

GestindeInvestigacindeOpe

racio

x1 x2 x3 x4 x5-1 -2 -3 1 0 -5

-2 -2 -1 0 1 -6

3 4 5 0 0 0

Programacin Lineal

ones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal


116/368


Mtodo Simplex Dual:

En la tabla anterior se toman dos variables deexceso x4 y x5 , y se multiplica por un nmeronegativo con la finalidad de encontrar la matrizidentidad IRn, adems es necesaria la condicin deque los costos reducidos de la tabla sean mayores

que cero ( lo que en este caso se cumple).


racio

Programacin Lineal


Programacin Lineal


117/368


Mtodo Simplex Dual:

En la tabla anterior se escoge, usando el ladoderecho, alguna variable con valor negativo.

Escogemos x5 , variable que dejar la base.Enseguida , se obtiene la variable entrante

calculando:Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2.

De donde resulta que x1 entra a la base.GestindeInvestigacindeOpe

racio

Programacin Lineal


Programacin Lineal


118/368


Mtodo Simplex Dual:

La tabla posee an un lado derecho negativo(costos reducidos negativos del problema dual), porlo cual no es factible en P).


racio

x5x4x3x2x1-2-1/21-5/2-10

1

1

0

1

-93/207/2

3-1/201/2

Programacin Lineal


Programacin Lineal


119/368


Mtodo Simplex Dual:

x4 (=-2) deja la base, luego calculamos :

Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por loque x2 entra a la base.


racio

x1 x2 x3 x4 x50 1 5/2 -1 2

1 0 -2 1 -1 1

0 0 1 1 1 -11

Programacin Lineal


Programacin Lineal


120/368


Mtodo Simplex Dual:

La tabla posee lados derechos no-negativos (costosreducidos positivos del problema dual) y tambinlos costos reducidos de las variables no bsicas x3,x4 y x5son no-negativos , por lo que tenemos unasolucin factible en P) que es la solucin ptima delproblema.


racio

11)P(v

0

2

1

x

x

x

x

3

2

1

Programacin Lineal


121/368


Programacin Lineal


122/368


1) Qu ocurre con las actuales variables bsicassi se cambia algn coeficiente del lado derecho (b)?

Si calculamos: y se cumple:

Las mismas variables bsicas lo son tambin de lanueva solucin ptima, calculada con el nuevo .

Si lo anterior no se cumple, se puede aplicar elMtodo Simplex Dual.


racio

bBx 1B

b

0xB

g


Programacin Lineal


123/368


2) Qu ocurre con la actual solucin ptima si seagrega una nueva variable al problema ?

Para decidir si la actual solucin bsica es ptimapara el nuevo problema, calculamos el costoreducido de la nueva variable mediante la formula:


racio

k1T

Bkk ABccr

g


Programacin Lineal


124/368


donde k es el ndice de la nueva variable y Ak surespectiva columna en la matriz de coeficientes. Si

se cumple que rk 0 se conserva la actual solucinptima. En caso contrario, se sigue con el Simplex.


racio

g


Programacin Lineal


125/368


3) Que ocurre con la actual solucin ptima delproblema P) si se cambian los coeficientes que

definen la funcin objetivo ?

Supongamos que el vector de coeficientes en lafuncin objetivo cambia a un vector

La actual solucin ptima tambin lo es paracon:


racio

nIRc

P

0x

bAx:sa

xcMin)PT

g


Programacin Lineal


126/368


Siempre que los nuevos costos reducidos seanmayores o iguales a cero (notar que tambincambia el valor de la funcin objetivo en la actual

solucin ptima). Es decir se debe cumplir que:

En caso contrario, se aplica el Simplex a partir de latabla final de P) con los nuevos costos reducidos ynuevo valor de la actual solucin bsica.


racio

j0ABccr

ementeequivalento0DBccr

j1T

Bjj

1TBDD

g


Programacin Lineal


127/368


Veamos los cambios que tienen lugar cuando slovara un coeficiente del vectorc de la funcin obj.

a) Cambio de un coeficiente asociado a unavariable no-bsica xJ:Se conserva la misma solucin ptima del problema

P) ssi. para esa variable xJ:

Gestind

eInvestigacindeOperacio

j0ABccr j1T

Bjj

g


Programacin Lineal


128/368


Consideremos :

Por lo tanto se conserva la misma solucin ssi:

Gestind


jcc jj

jjjj rccrj

g


Programacin Lineal


129/368


b) Cambio en un coeficiente de la funcin objetivoasociado a una variable bsica:

En este caso para tener la misma solucin ptima,se debe cumplir que el costo reducido de todas las

variables.a cero.

Gestind


0ABccr j1T

Bjj

iB

0

1

0

BBiiieciccicc


Programacin Lineal


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Si el incremento es cualquiera en el siguienteintervalo, se conserva la misma solucin ptima:

donde rj es el costo reducido de la respectivavariable no bsica en la actual solucin ptima y loscoeficientesyijdenotan las entradas en la tabla finaldel Simplex asociadas a la variable bsicaxi(cuyocosto cambia) y la respectiva variable no bsicaxjG

estind


0y/y

rMini0y/

y

rMax ij

ij

j

ij

ij

j


131/368


Programacin Lineal


132/368


a) Variar los recursos ( lado derecho):Las xB del problema primal no cambian como baseptima, si los valores asociados a estas variables.

Para calcular estos intervalos de recursos, senecesita la matriz inversa asociada a las variablesbsicas del tabla final.

Gestind


0xcumpleseybBx B1

B


Programacin Lineal


133/368


Intervalo recurso 1:

Gestind


75/2150/1

15/115/4B

401

104B 1

04000

b6000x

75/2150/1

15/115/4 1

0150b

150100000

15b4

1520000 11

10000b5000b 11


Programacin Lineal


134/368


Intervalo recurso 2:

Gestind


16000b1000

10000b5000

1

1

0b4000

6000x

75/2150/1

15/115/4

2

24000b1500

20000b2500

2

2


Programacin Lineal


135/368


Variable x1:

Max {0} C1

Min {((20/3)/(7/3)),((10/3)/(5/3))}

0 D1 2 10 C1* 12

Variable x4:

Mx {((20/3)/(-1/30))} D4 Min {((10/3)/(1/30))}

-200 D4 100 -60 C4* 240Gestind

eInvestigacindeOperaci


Programacin Lineal


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Variable x2:

C2*

= C2 + 2 C2 = -202 - r2 C2* - 20 - ( 20/3)

C2* - 80/3

Variable x3:

C3* = C3 + 3 C3 = -18

3 - r3 C3* - 18 - ( 10/3)C3* - 64/3G

estind



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iones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Lineal


138/368

DIRECCIONES ELECTRNICAS EN PROGRAMACIN LINEAL

Preguntas de consulta frecuente en Programacin Lineal:http://www-unix.mcs.anl.gov/otc/Guide/faq/linear-programming-faq.html

Servidor NEOS, gua de software de Programacin Lineal:http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/SoftwareGuide/Categories/linearprog.html

Servidor NEOS, ejemplo problema de la dieta:http://www-fp.mcs.anl.gov/otc/Guide/CaseStudies/diet/index.html

Gua de software de Programacin Lineal en revista OR&MS Today(INFORMS Magazine):http://lionhrtpub.com/software-surveys.shtml

Gestind


Contenidosio

nes
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139/368

I. Introduccin a la Investigacin de OperacionesII. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Lineal

Programacin Entera

Programacin No- linealIII. Modelos Probabilsticos

Procesos Estocsticos y Cadenas de Markov

Sistemas de Espera

Gestind


II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Entera

iones


140/368

Temario:

III.1. Introduccin y ejemplos de modelamiento.

III.2. Resolucin de problemas de P. E.

III.3. Mtodo de Branch and Bound.

Gestind



Programacin Entera


141/368


a) Problema de la mochila.

Una empresa est pensando invertir en cuatroproyectos diferentes, cada proyecto se finaliza a loms en 3 aos. Los flujos de caja requeridos encada ao junto con el Valor Presente Neto de cadaproyecto, concludos los aos de ejecucin, y las

disponibilidades de recursos financieros seresumen en la siguiente tabla:

Gestind



Programacin Entera


142/368


Interesa determinar en cules proyectos invertir demodo de conseguir el mayor V.P.N. de la inversin.

Gestind

eInvestiga

cindeOperaci

Proy 1 Proy 2 Proy 3 Proy 4 Disp. Recursos

Ao 1 10 8 6 12 30

Ao 2 8 15 4 0 15

Ao 3 18 0 16 0 12

V.P.N. 35 18 24 16


Programacin Entera


143/368



Funcin objetivo:

Max 35x1 + 18x2 + 24x3 + 16x4

Gestind

eInvestiga

cindeOperac

4,3,2,1iconosin,0

iproyectoeleninviertesesi,1xi


Programacin Entera


144/368


Restricciones (tres alternativas):

1) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en unperodo:

Ao1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 + s1 = 30

Ao2: 8x1 + 15x2 + 4x3 + s2 = 15 + s1

Ao3: 18x1 + 16x3 12 + s2

xi {0,1} i = 1,2,3,4

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


145/368


2) Sin invertir el dinero no utilizado en un perodo,pero utilizando el retorno de los proyectos

concludos:

Ao1: 10x1 + 8x2 + 6x3 + 12x4 30

Ao2: 8x1 + 15x2 + 4x3 15 + 16x4

Ao3: 18x1 + 16x3 12 + 18x2xi {0,1} i = 1,2,3,4

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


146/368


3) Reinvirtiendo el dinero no utilizado en un perodoy, tambin el retorno de proyectos concludos:

Ao1: 10x1+ 8x2+ 6x3+ 12x4+ s1 = 30

Ao2: 8x1+ 15x2+ 4x3 + s2 = 15 + s1 + 16x4

Ao3: 18x1 + 16x3 12 + s2 + 18x2

xi {0,1} i = 1,2,3,4

Gestind

eInvestiga

cindeOperac

ciones II. Modelos de Programacin Matemtica

Programacin Entera


147/368


Notar que el conjunto de las soluciones factibles esfinito. Esto ocurrir generalmente con losproblemas de Programacin Entera (puros). En elejemplo, el nmero de soluciones factibles nosupera el nmero de las soluciones binarias delproblema (variables restringidas slo a valores 0 o1) que son 24 = 16, dado el nmero de variables

utilizadas, de hecho las soluciones factibles sonmenos de 16 pues en particularxi=1 para i=1,2,3,4no satisface las disponibilidades de capital encualquiera de las tres alternativas.

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


148/368


Supongamos que adicionalmente la inversinefectuada requiera nuevas restricciones.

i) Se debe invertir en al menos 1 de los 3 primerosproyectos:

x1 + x2 + x3 1

i) El proyecto 2 no puede ser tomado a menos queel proyecto 3 si sea tomado:

x2 x3Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


149/368


iii) Se puede tomar el proyecto 3 o 4 pero noambos:

x3 + x4 1

iv) No se puede invertir en ms de dos proyectos:

x1 + x2 + x3 + x4 2

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


150/368


b) Cumplimiento de un subconjunto de lasrestricciones de un problema.

Consideremos un problema que posee lassiguientes restricciones:

12x1 + 24x2 + 18x3 240015x1 + 32x2 + 12x3 1800

20x1 + 15x2 + 20x3 2000Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


151/368


Supongamos adems, que nos basta con obteneralguna solucion ptima que verifique el

cumplimiento de al menos 2 de las 3 restriccionesanteriores.


Gestind

eInvestiga

cindeOperac

osin,0

satisfacesejnrestriccilasi,1y j


Programacin Entera


152/368


Cada inecuacin anterior la reemplazamos por:

12x1

+ 24x2

+ 18x3

2400 + M1

(1- y1

)

15x1 + 32x2 + 12x3 1800 + M2 (1- y2)

20x1 + 15x2 + 20x3 2000 + M3 (1- y3)

Adems, debemos agregar la restriccin quepermita que a lo ms una de las restricciones no secumpla:

y1 + y2 + y3 2 Mi = constante lo suf. grandeGestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


153/368


c) Inclusin de costos fijos.

Supongamos que se desea tener lotes de comprade un producto dado, para satisfacer demandasque fluctan en el tiempo sobre un horizonte deplanificacin dividido en T perodos.

Asumimos conocidos: una estimacin de lademanda dt, con t = 1, 2, ..., T, los costos fijosasociados a la compra de una unidad pt,G

estind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


154/368


los costos asociados al mantenimiento de unaunidad en inventario de cada perodo ht y los

costos fijos asociados a la gestin de compra en elperodo t, st.

Observacin: no se permite unidades de faltante.

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


155/368


Variables de decisin

xt

: nmero de unidades compradas en t.

It : nivel de inventario al final del perodo t.

con t: 1, 2, ..., T

Gestind

eInvestiga

cindeOperac

osin,0

tperiodoelencompraunahacesesi,1yt


Programacin Entera


156/368


Funcin objetivo

Restricciones

xt + It-1 - It = dt t = 1, 2, ..., T

I0 = inventario inicial

xt Mt yt t = 1, 2, ..., T

Mt = cte. grandeGestind

eInvestiga

cindeOperac

tttt

T

1ttt IhxpysMin


Programacin Entera


157/368


d) Problema de cobertura:

Dado un nmero de regiones o zonas, en lascuales se ha subdividido una comuna, cuidad,pas, etc., digamos que un total de m, se deseainstalar un cierto nmero de servidores (escuelas,

centros de atencin primaria de salud, compaasde bomberos, etc.) de entre un conjunto de npotenciales servidores ubicados en alguna de laszonas dadas.

Gestind

eInvestiga

cindeOperac


Programacin Entera


158/368


Se conoce la informacin relativa a que zonaspueden ser atendidas por cada uno de los n

potenciales servidores, es decir, se conoce lamatriz de incidencia A = (aij) donde :

Gestind

eInvestiga

cindeOp

erac

n,...,2,1jym,...,2,1iconosin,0

jservidorelporatendidaserpuedeizonalasi,1aij


Programacin Entera


159/368


Se desea determinar cules son los servidores quedeben ser instalados de modo de dar cobertura a

cada zona, dados los costos de instalacin cj delservidor j.

Variables de desicin:

Gestind

eInvestiga

cindeOp

erac

osin,0jservidorelinstalasesi,1x j


Programacin Entera


160/368


Funcin objetivo:

Restricciones:Para cada zona i

Se agrega la siguiente restriccin, siadicionalmente, hay algn lmite en el nmero deservidores que se pueden instalar (digamos k) :

Gestind

eInvestiga

cindeOp

erac

n

1jjj xcMin

1xan

1jjij

kxm

1jj


161/368


Programacin Entera


162/368


Sean cj los costos asociados a la instalacin de laplanta j , vj el costo unitario de produccin de la

planta j y tij el costo de transporte de una unidaddesde la planta j al cliente i .

Se desea decidir cules plantas abrir y el tamaode cada una de modo de satisfacer las demandas

estimadas.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

erac


Programacin Entera


163/368



xij = el nmero de unidades elaboradas en laplanta j para satisfacer el cliente i, con j = 1,...,n y

i = 1,....,m.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

erac

osin,0

jplantalaabresesi,1y j


Programacin Entera


164/368


Funcin objetivo:

Costo de Costo de Costo de

Instalacin Produccin Transporte

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era

n

1j

m

1iijij

n

1j

m

1iij

n

1jjjj xtxvycMin


Programacin Entera


165/368


Restricciones:

1) Demanda cliente i:

2) Relacionar variables de produccin con lasasociadas a la apertura de plantas (variablesbinarias):

donde Mj es una constante grande (por ejemplo,capacidad mxima de produccin de la planta j),con xij 0 e yj {0,1}.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era

jj

n

1jij yMx

i

m

1i ij

dx


Programacin Entera


166/368

Temario:




Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


167/368


Supongamos que tenemos el siguiente problemade programacin lineal:

PL) Max cT

xs.a. A x = b

x 0

Pero todas o una parte de las variables debenrestringir su valor a nmeros enteros, dando origena un problema de Programacin Entera (puro) ode Programacin Entera- Mixta, respectivamente.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


168/368


Por ejemplo:

PLE) Max cTx

s.a. A x = b

x 0, xj entero

El problema PL) corresponde a la relajacincontinua del problema PLE), que resulta deeliminar las condiciones de integralidad de lasvariables de decisin en PLE).

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


169/368


El valor ptimo de PL) provee slo una cotasuperior del valor ptimo de PLE). Notar sin

embargo, que si la solucin ptima de PL) cumplecon la integralidad de los valores requiridos,entonces esta solucin es tambin solucin ptimade PLE).

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


170/368


Ejemplo

PLE) Max x2s.a. - 2x1 + 2x2 1

2x1 + x2 7x1 0, x2 0 enteros

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era

aciones

II. Modelos de Programacin MatemticaProgramacin Entera


171/368


Gestind

eInvestiga

cindeOp

era

7

3.5

- 2x1 + 2x2 12x1 + x2 7

x1

x2

. .. . .. . . .


172/368


Programacin Entera


173/368


Alternativamente, podemos resolver la relajacincontinua asociada al problema PLE). Si la solucin

ptima de la relajacin continua da una solucinentera, esa es la solucin ptima no solo delproblema lineal sino que tambin lo es delproblema lineal entero.

En el ejemplo, la solucin de la relajacin continua

es:

x1 = 3/2x2 = 2

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


174/368


A partir de esta ltima solucin podemosredondear o truncar los valores que no salieron

enteros, obteniendo respectivamente en elejemplo:

x1 = 2 x1 = 1x2 = 2 x2 = 2

las cuales no son soluciones factibles de PLE), demodo que desde el punto de vista de unaresolucin numrica no es suficiente con resolverla relajacin continua.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


175/368


Todava podran resultar soluciones factibles dePLE), pero no neceasariamente ptimas. Porejemplo:

PLE) Max f(x1, x2) = x1 + 5x2

s.a. x1 + 10x2 10

x1 1x1 0, x2 0 enteros

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


176/368


Programacin Entera


177/368

Temario:




Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


178/368


Consideremos el siguiente problema deprogramacin entera:

PLE) Max 21x1 + 11x2s.a. 7x2 + 4x2 13

x1 0x

2 0

x1, x2 enteros

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


179/368


Consideremos inicialmente la resolucin de la

relajacin continua de PLE), que consiste en

eliminar las condiciones de integralidad.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


180/368


Gestind

eInvestiga

cindeOp

era

x1

x2

1

2

3

21x1+11x2

21x1+11x2=39

7x1+4x2=13

x2 = 3

x2 = 2

x2 = 1

x1 = 1 x1 = 2

13/7 sol. relajada

3/2


Programacin Entera


181/368


Descripcin del mtodo Branch and Bound(maximizacin)

Paso 0

HacerP0), la relajacin continua de PLE)

Fijar la cota inferior del v(PLE) en - .

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


182/368


Paso1

Seleccionar un problema no resuelto, Pi)

Resolver Pi) como problema de programacinlineal.

Agotar este problema, usando:

(i) que se encontr una solucin entera(ii) que el problema resulta infactible

(iii) que el problema no provee un valor mejor quela actual cota del valor ptimo v(PLE).G

estind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


183/368


Si el problema Pi) resulta agotado y da solucinentera, mejorar el valor de la cota inferior de

v(PLE).Si todos los problemas estn agotados, parar.

Solucin ptima de PLE), la solucin enteraasociada a la actual cota inferior de v(PLE), siexiste (si no existe entonces PLE) es infactible)

Si el problema no est agotado pasar al paso 2.

Gestind

eInvestiga

cindeOp

era


Programacin Entera


184/368


Paso 2

Seleccionar una variab

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