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LFvestigagión'de

OperacionesTransporte yAsignaciónLicda. Patr ic ia de León

=f,

E

ñ=

U

\ L 1 iPc\ón

\u _'*.-*l.Descr

2. Elaborar una tabla de.transporte que resuma conveniente yconcisamente todos los datos pertinentes y de esta formaseguir la pista de los cálculos del algoritmo.Utilizar el Método de aproximación de Voguel (MAV) para en-contrar una solución inicial.Utilizar el Método de la Distribución Modificada (MODI) paramejorar la solución inicialy encontrar la solución óptima.Resolver casos especiales: (a) oferta y demanda desiguales,{b} rutas inaceptables, y (c) maximización para un problema

. Desarrollo de una solución inicial: método deaproximación de Voguel (MAV)

3.

4.

5.

. Optimización de un problema de transporte: distribuciónmodificada (MODI)

. Variantes del problema de transporte- Problemasdesbalanceados- Rutas inaceptables o prohibidas- Maximización

. ¿Qué es un problema de asignación?

de transporte, ;;,6. ldentificar las caiacterfstiiihs

. r l l l

asignación, ', ,,Éi,

. Tabla de asignación

7. Elaborar una tab{a deconcisamente todos los

8. Resolver casos esoeci(b) rutas inaceptables, y (c)i

de un problema de

conveniente y

desiguales,

. Desarrollo de un problema de asiqnación

Variantes del problema de asignación- Problemasdesbalanceados- Asignación prohibida- Maximización

de asignación.un problema

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# , x

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g#

4.1 TransporteModelo que busca la minimización (costo) o maximización luti l idades) de transportar una mercancía desde unnúmero de fuentes (origen u oferta) hacia varios destinos (demanda). Se conoce el abastecimiento en cadaorigen y la demanda en cada destino. Se puede usar para: transportar cualquier t ipo de mercadería, como enviarbienes terminados, cuanto puede producir por hora una fábrica,

En el curso se trabajará con problemas de transportación equilibrado o balanceado (que la oferta sea igual a lademanda),

Métodos para calcular la solución inicial:a. Método de la esquina noroesteb. Método del costo mínimoc, Método de aproximación de Voguel (MAV)

Para efectos del curso únicamente vamos a utilizar el método de aproximación de Voguel (MAV)

Método para encontrar la solución óptimaa. Método de distribución modificada

Definición del modelo. supone que exiten M orígenes y N destinos. Sea a.l el número de unidades dis-ponibles para ofrecerse en cada origen i ( i=1,2,..., m) y sea bj el número de unidades requeridas en eldest ino i t ¡=1,2 , . . , ,n ) . SeaCiT e l costode l t ranspor teporun idadenlaru ta ( i , . j )queuneel or igen ¡ yel destino / . El objetivo es determinar el número de unidades transportadas del origen i al destino ¡ detal manera que se minimicen los costos totales del transporte.

4' Resurnen yej emplos

Destino

¡r j2 j3 Oferta

Origen i l Xn Xn Xn a 1

i2 Xtt Xzt Xzt a)

Demanda b1 b2 b3

{ X i¡ = número de unidades franspo rtadas

Método de aproximación de Voguel (MAV)

Para poder realizar el bosquejo inicial por medio del MAV debemos seguir los siguientes pasos:

Verificar que sea un problema equilibrado (oferta=demanda).

Elaborar la tabla con los datos del problema original.

Se buscan los costos mínimos en cada fila y se resta el elemento de costo más pequeño del siguiente ele-mento de costo en todas la filas. Se colocan las diferencias.

Luego se hace lo mismo con las columnas.

ldentificar el renglón o columna con la penalización (diferencia) más alta y asignar tanto como sea posible ala variable con el costo mínimo en el renglón o columna seleccionado,

Después se vuelve a penalizar y se repiten los pasos anteriores hasta que la demanda y la oferta esténsatisfechas.

@@@

@@

@

ej emplo:Tres fábricas (en Chimaltenango, Escuintla y El Progreso) producen materia prima que desean transportar hacia4 plantas procesadoras de la misma empresa (2 en la ciudad de Guatemala y 2 en Antigua Guatemala). Cadauna de las fábricas productoras de materia prima pueden producir semanalmente 1 5,25 y 5 toneladas de materiaprima respectivamente. Las plantas procesadoras del producto requieren semanalmente 5, 15, 15 y 10 toneladasde materia prima respectivamente.

Calcule el costo óptimo de transporte utilizando los costos de la siguiente matriz (costos en quetzales por tonelada):

Destino

Ciudad 1 Ciudad 2 Antigua 1 Antigua 2 Oferta

Origen Chimaltenango 10 U 20 11 15

Escuintla 12 7 o 20 25

Progreso 0 14 16 1 8 5

Demanda o 15 4tr,| \,, 10

I( Resolución:

',, 1. Verificar que sea un problema equilibrado (oferta=demanda),

Qferta = 15+25+5=45Demanda = 5+15+15+10 = 45

Oferta = Demanda, el problema está equilibrado.

Destino

C 1 C2 A1 A2 Oferta

0rigen

CIq ts trq I1

15

ElL lt_ l q

t " t425

P LL t!_ Iq L_ts5

Demanda 6 15 1 5 10

2. Elaborar la tabla con los datos del problema

Se buscan los costos mínimos en cada fila ysiguiente elemento de costo en todas las filas.

Penalización filas

se restan, el elemento de costo más pequeño delSe colocan las diferencias o penalizaciones.

3,

4. Luego se hace lo mismo con las columnas.

Penalización columnas

t"fi i¡:( - ¡ .¿,

* r : 1 . :

i i

! - l . :

l - ¡ , . ¡ .

. : : t l

* . ¡ , 1r i : ! : :- : t I

i ¡ : : : : :ñ', ' : , :¿ t )

4¿ : : : . : , :' J l : : ' t :¡ I : l r :r :

) : ¡ . . rt- 1:, :* i : i

; : i : ,r . i l i l

:i 1: l:r:

'< ;.i.,:\ : r a L :

- t t t t

i i : ; : : :

Filas 1ra. oenalización 2da. penalización 3ra, oenalización 4ta. penalización

1ra. 10-0=10 1JS.tt, X X

Zda.. 9-7=2 9-7=2 9-7=2 20-9=11

3ra. 1#0=J4 16-14=2 16-14=2 18-16=2

Columnas 1ra. 2da. 3ra. 4ta.

1ra. oenalización 10-0=10 7-0=7 16-9=7 18-11=7

2da. penalización X 7-0=7 16-9=7 18-11=7

3ra. penalización X 14:7;T' 1 6-9=7 20-18=2

4ta. penalización X X 16-9=7 20-18=2

5. ldentificar el renglÓn o columna con la penalización (diferencia) más alta y asignar tanto como seaposible a la variable con el costo mínimo en el renglón o columna seleccionado.

La penalizaciÓn más alta corresponde a la tercera fila o renglón, en esa fila busco el costo menorque en este caso es "0" y ahí asigno la máxima cantidad posible que en este caso es 5 (debido aque Progreso ofrece 5 y Ciudad 1 requiere 5).

Destino

C 1 C 2 A 1 A2 Oferta

0rigen

CIq

X

t ^

l " Ég 111 5

EIL

Xu_ l 0

l " 12025

P tq5

LÍ I9 tlg-{

Demanda -{ 1 5 1 5 100

Al momento de asignar 5 automáticamente quedan eliminadas la fila y la columna, pero no puedo elimi-nar ambas al mismo tiempo, por lo que eli jo alguna de las dos, en este caso eliminamos únicamente laprimera columna.

6' Después se vuelve a penalizar y se repiten los pasos anteriores hasta que la demanda y la ofertaestén satisfechas. Ver 2da. Penalización en paso 3 y 4, sin tomar en cuenta la primera columnapara penalizar.

La penalizaciÓn más alta corresponde a la primera fila o renglón, en esa fila busco el costo menorque en este caso es "0" y ahí asigno la máxima cantidad posible que en este caso es 15 (debido aque Chimaltenango ofrece 15 y Ciudad 2 requiere 15).

Destino

C 1 C2 A 1 A2 Oferta

Origen

c Ll_qX

Lq15

120X

LtlX .tr

E t12X

u_ Ls 12025

P Lq5

¡1 Ltg rc.8',

Demanda .{ lt 15 10

Al momento de asignar 15 automáticamente qgedan eliminadas nuevamente la f i la y la columna,pero no puedo eliminar ambas al mismo tiempo, por lo que eli jo alguna de las dos, en este casoeliminamos únicamente la primera fila.

6.1 Se vuelve a penalizar y se repiten los pasos anteriores hasta que la demanda y la oferta esténsatisfechas. Ver 3ra. penalización en paso 3 y 4, sin tomar en cuenta la primera columna yprimera fila para penalizar,

Existen dos penalizaciones con el mismo valor, busco cuál contiene el costo menor y elijo dichacelda, corresponde a la segunda columna, en ésta busco el costo menor que en este caso es"7" y ahí asigno la máxima cantidad posible que en este caso es "0" (debido a que Escuintlaofrece 25 y Ciudad2ya no requiere nada), por lo que debo colocar un 0 en la celda.

Destino

C 1 C2 A 1 A2 Oferta

0rigen

nIq

X

Lq15

L?qX

11X lry

E| , t ^

l t ¿

XLl

0

l q t425

P Lq I tX

L16 !q-r

Demanda .{ JI 1 5 10

Al momento de colocar "0" en esa celda automáticamente se elimina la columna 2.

6.2 Se vuelve a penalizar y se repiten los pasos anteriores hasta que la demanda y la oferta esténsatisfechas. Ver 4ta, penalización en paso 3 y 4, sin tomar en cuenta la primera y segundacolumna, primera fila para penalizar.

La penalización más alta corresponde a la segunda fila o renglón, en esa fila busco el costomenor que en este caso es "9" y ahí asigno la máxima cantidad posible que en este caso es 15(debido a que Escuintia ofrece 25 y Antigua 1 requiere 15).

vl ! : t i ; :a l r l , : ¡ i :

a * : . : :

I r,::.i w i , ¡ ; iÍ t i ; ! ¡ : l :ü| ^ :

: t : i l l i :

r " j j : r t l t ! ! 1-7:

i!; :i i !t

F : : : ' ' t ' : :

' l ' 1 ; ¡ , i i i i !

F ñ r : : i r a l

& ' :1 i i . i :1 !tJl a.ij:,,:.a

. ' ! , ¡ r ¡ ¡ ri t ; t u ' ¡ ;L i i ; ; i r i ,

r ; i ; : i i r . ¡

< j:¡;i\ -

: ; : ; ; ,n i )

¿ ' t t ' ) : j' ü , ! i1 , :r:rv:r::

r,!tltr¡r a!

Destino

C 1 C2 A1 A2 Oferta

0rigen

CIq

X

Lq1 5

L4X

L1X JI

E }LX

ll_t l

l ol "

t c

pq23'

P Lq5

JtX

IqX

Ltq.r

Demanda .r *r )5 10

Al momento de colocar "15" en esa celda automáticamente se elimina la columna 3.

6.3 En este momento que solamente queda una columna, ya no continúo penalizando, sino observocuál es el costo menor y asigno en esa celda.

En este caso correspondería asignar en la tercera fila y cuarta columna que tiene un costo de 18,sin embargo, El Progreso ya no tiene disponible para surtir, por lo que coloco nuevamente unu0u ,

La única celda que queda es la que tiene un costo de "20" por lo que asigno en la misma y ahíasigno la máxima cantidad posible que en este caso es 10 (debido a que Escuintla sólo le quedapor ofrecer 10 y Antigua 2 requiere 10).

10

':14!.!

Destino

c1 C2 A 1 A2 Oferta

Origen

CLlq

X

Lg1 5

tlqX

Lt1X 1r

E 112X

L10

Lr1 5

Eq10 2r

PLL

5

I tX

!qX

Llg0 .r

Demanda -r kr *r Jry

0

t {0

0

Para revisar que se asignó correctamente, se realiza la siguiente verificacrón.

i du r r . l cJas as iqn . r r la : , , . í i l . r : . r - t o lu r i l r i¿s 1

¡ de , e i c i . t s ¡s iqnat l ¡ ¡ , . . I . .1 -1

; t le r r ' l r las as iqn , t t i , t s = { ,

Al realizar la verificación podemos observar que la asignación del bosquejo inicial se realizó correctarnente. ISe procede a calcular el Costo Total (CT) del bosquejo inicial, multiplicando la cantidad asignada por su respec- o

t,tivo costo y sumando todos los resultados.

'J

cr = (ts, o)+ (o " z)+ (ts

" l)+ (to " :o)+ (s, o)+ (o " t s)

CT ¡o,q,u,o,n¡ . ¡ur = Q. 335.00

Método de distribución modificada (MODI)

Después de determinar la solución de inicio con el Método de Aproximación de Voguel (MAV) se uii l iza el mé-todo de distribución modificada para deternninar la soiución óptima:

1. Para cada una de las celdas asignadas se debe formar una ecuación de la srguiente forma:. \ * ) ' . .c

2. Se resuelven las ecuaciones para todos las variables, en forma arbitraria se coloca que -\. .. 0

3. Se evalúan todas las celdas que no están asignadas con la siguiente fórmula: (-.,-.\' ),

4. Se busca en los resultados de la evaluación anterior (inciso 3), y se procede de la siguiente forma:

4.,1Sitodos|osreSu|tadosfueranpoSit¡Vos|aasignacióninic ia|eS|aópt ima'

4.2 Si existen resultados negativos, se busca el más negativo; la celda que corresponda a este valor ;es la celda de entrada.

.

Para determinar la celda de salida, debo realizar lo siouiente: :

:

5. U n circuito cerrado que comienza y termina en la celda de la variable de entrada (el circuito consiste .sólo en segmentos horizontales y verticales conectados, no se permiten diagonales), excepto para Ila celda de la variable de entrada, cada esquina del circuito cerrado debe coincidir con una celda Iasignada. ;

6 .En t re |asce |dasce rcanaSa |ava r i ab ledeen t rada ( | asqueeS ténenho r i zon ta |oenve r t i ca | ) seelige la menor cantidad para restarla y sumarla de cada una de las celdas que están en el circuito =alternadamente, iniciando con una suma en la variable de entrada.

ii; i;

É!i!litil

::l!:::l

7. Con la reasignación de las cantidades, se inicia nuevamente el proceso para verificar si ésta es laasignación óptima, de lo contrario el proceso se repite hasta que todos los valores después de unareasignación sean positivos.

Asignación del Bosquejo inicial:

Destinoc1 c2 A1 A2

Origen

c10 l0

1520 11

E12 l7

0L_9

15L_4

10

P l05

14 16 L_t0

Elaborar el MODI:

1. Para cada una de las celdas asignadas se debe formar una ecuación de la siguiente forma:X, + Y, = c,,, soñ seis celdas asignadas, debo elaborar seis ecuaciones.

X , t l t = 0

x z * Y z : 7

x r * l r : 9

x , | \ o : 2 0

X , * ! ' : 0

X , + ! . * : 1 8

2, Se resuelven las ecuaciones para todas las variables, en forma arbitraria se coloca QUe X1 = 0

x r = 0

x 2 : 7

X r : 5

Y t = - 5

Yz : 0

Y t : 2

Y q : 1 3

3. Se evalúan todas las celdas que no están asignadas con la siguiente fórmula: c - x - y

l t = - 5 lz =0 ! ¡ = 2 !¿= 73

X t = 0

irrit#.*ffil0 lo

15

20 Ll'

X ¿ = 7l 12I

7

0Ll_

15L''

10

X s = 5l0

5

I to#ffiHffiffffiffiffiffiffi Lt*

0

4 . Se busca en los resultados de la evaluación anterior (inciso 3), y se procede de la siguiente forma:(Ver paso 4.2) Si existen resultados negativos, se busca el más negativo; la celda que correspondaa este valor es la celda de entrada. En este caso en particular es la celda de la fila uno y la columnacuatro.

l t = - 5 !z =0 l s = 2 l t = l 3

X t = 0 Lrt10-0+5=15

lol 5

Ll20-0-2=18

X z = 7 t:I2-7+5=10

t'0

LJ15

l:l 0

X s = 5lo LI

l4-5-0=9Ltt

16-5-2=9l r*

0

Para determinar la celda de salida, debo rcalizat lo siouiente:

5. Un circuito cerrado que comienzay termina en la celda de la variable de entrada (el circuito consistesólo en segmentos horizontales y verticales conectados, no se permiten diagonales), excepto parala celda de la variable de entrada, cada esquina del circuito cerrado debe coincidir con una celdaasignada,

l t = ' 5 j z = 0 ! 3 = 2 l t = 1 3

X t = 0l0 lo

I

l s+I

t 2 0II l t t

E rft"d*

X z = 7t2 v L-'

0 - -

l eI

- 1 {\

^ ' J+11

-> 10

X r = 5l0

5

t4l16 Ltt

0

Entre las celdas cercanas a la variable de entrada (las que estén en horizontal o en vertical) seelige la menor cantidad para restarla y sumarla de cada una de las celdas que están en el circuito,En este caso las cantidades son 15 y 10, elegimos el 10 para sumarlo y restarlo alternadamente,iniciando con una suma en la variable de entrada.

l t Yt J: l¿

XI

l0 20I t t

ilr :i:

x2t2 LJ

l5l 'o

t*;*a#iiii

x3lo

5

l4 l6 l t*0

(.'Iir'

ir(:-

O

:. :f;

.;if;

!J

!

6.

Tomar en cuenta que el "0" que está en la fila 2, columna 4 no se debe colocar como una celda asig-nada, debido a que sí se coloca, se alteraría la cantidad de celdas asignadas, que debe continuarsiendo seis.

7. Con la reasignación de las cantidades, se inicia nuevamente el proceso para verificar si está es laasignación óptima, de lo contrario el proceso se repite hasta que todos los valores después de unareasignación sean positivos.

Iniciamos nuevamente el procedimiento del MODI:

1. Para cada una de las celdas asignadas se debe formar una ecuación de la siguiente forma.X , + Yj : C,, , son seis celdas asignadas, debo elaborar seis ecuaciones.

X , * ! r : 0

X , t l o : l l

x z * Y z : 7

x r * \ r : 9

X r * ! , : 0

X , * ! , : 1 8

2. Se resuelven las ecuaciones para todos las variables, en forma arbitraria se coloca que: X , : 0

x l = 0

x 2 : 7

x 3 : 7

Y t : - 7

Y z : 0

Y t : 2

Y q : l l

3. Se evalúan todas las celdas que no están asignadas con la siguiente fórmula: Ca - xi -yj

Se busca en los resultados de la evaluación anterior (inciso 3), todos los resultados fueran positivosla reasignación anterior es la óptima.

Se procede a calcular el Costo Total Óptim o (CT),multiplicando la cantidad asignada por su respec-tivo costo y sumando todos los resultados.

c r = ( s ' o )+ ( to ' t t )+ ( tox7 )+ ( t s ' e )+ (s "o )+ (o r r s )

CTóot¡ 'o : O. 315.00

4.

#ryW;F .É @w#.;tr,=,'e@ r.r, rw;.

q& oc.* &

F 6***,$F d

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"f "u1**', ** {.

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#%". . . 4 f . - . u & + n . { É w "

u&**ru"*nw*'."' 4"&_q

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t , . . : . ¡ ¡ ¿ 'W,

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* :i'.m, e* u uu,,,

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&.#

d 'if

. , ¡ | . #E : f * Y

6. Criterio de optimidad, debemos contestar lasiguiente pregunta: ¿el número de líneas es igualal orden de la matriz?

6,1 Si la respuesta es "Sí" el modelo es óptimoy por lo tanto se debe proceder a realizalla asignación y traducir la solución. Laasignación se debe hacer en las casillasdonde haya ceros cuidando que cadarenglón y cada columna tengan una solaasignaciÓn.

6.2 Si la respuesta es "NO" se debe pasar alsiguiente punto,

7. Seleccionar el menor valor no tachado de todala matriz. El valor restarlo de todo elemento notachado y sumar lo a l os e lemen tos de l ainteracción de dos l íneas.

L Después de haber realizado el paso anterior,debemos regresar al paso número cinco yverificar si cumple con el criterio de optimidad.

Procedimiento para Maximización

Seleccionar el mayor elemento de toda la matriz debeneficio. Este valor restarlo de todos los demás,los valores negativos que se obtengan representanlos costos de oportunidad, lo que se deja de ganaro producir. Para el caso de la solución del modeloconsiderar sólo valores absolutos.

Con esta transformación se ha obtenido un modelode minimización y por tanto se utiliza todo elproced imiento anterior.

h* l s'ry

$ J & # , e ¡

iir

. Y

rg

fli

oqi-üC

. i :

71,

'ña ¡

a-

Jf - l

4.2 AsignaciónEl modelo de asignación es un caso especial del modelode transporte, en el que los recursos se asignan a lasactividades en términos de uno a uno, haciendo notarque la matriz correspondiente debe ser cuadrada. Asíentonces cada recurso debe asignarse de modo únicoa una actividad particular o asignación.

Se tiene un costo C i¡ asociado con el recurso quees asignado de modo que el objetivo es determinaren qué forma deben realizarse todas las asignacionespara minimizar los costos totales,

Existen casos de minimización (reduccrón de costos,de tiempos) y de maximización (de uti l idades, deventas), revisaremos el procedimiento en amboscasos:

Procedimiento para Minimización

L Revisar que todas las casillas tengan su costo(beneficio) unitario correspondiente. Si alguna nolo tiene asignarlo en términos del tipo de matriz yproblema considerado.

2. Balancear el modelo, es decir obtener m=n (osea obtener una matriz cuadrada).m = número de renglonesn = número de columnas

Todo renglón ocolumna que utilicemos para balanceartendrá un costo (beneficio) unitano de cero.

3. Para cada renglón escogerelmenorvalory restarlode todos los demás en el mismo renglón.

4. Para cada columna escoger el menor valor yrestarlo de todos los demás en la misma columna.

5. Trazar el mínimo número de líneas verticalesy horizontales de forma tal que todos los cerosqueden tachados.

' t ! aa

ej emplo:Se necesita procesar 4 diferentes tareas para lo cual se cuenta con 4 máquinas, Por diferencias tecnológicasel desperdicio que se produce depende del tipo de tarea y la máquina en la cual se ejecuta, dada la matriz deDesperdicios expresada en quetzales definir la asignación óptima.

como se trata de desperdicios, lo que se busca es minimizarros,

Paso 1:Se verifica que todas las casillas tengan su costo unitario, en este caso se cumple sin ningún problema.

Paso 2:Determinars i la tab laestaba lanceada: reng lones m:4 yco lumnas h :4 ,por loque la tab laestábalanceadá f t t : l t

Paso 3:Elegir el menor valor de cada renglón y restarlo a los demás. En este caso son: 49, 45, 46, 38.

Restamos ese valor a cada uno de los demás del mismo rengrón.

MáquinasTareas I 2 3 4

A 49 86 54 70B 45 79 66 81G 46 58 78 88D 44 3E 66 69

MáquinasTareas 1 2 3 4

A ; 6 : ; : #i. a¡,# 86 54 70

B # 79 66 81c # l i $ i

i:*ifi## 58 78 88

D 44 **# 66 69

MáquinasTareas I 2 3 4

A 49-49=0 86 -49=37 54 -49= 5 70 -49=21B 45 -45=0 79 -45=34 66 -45=21 81 -45=36c 46 -46=0 58 -46=12 78 -46=32 88-46=42D 44-38=6 38-38=0 66 -38=28 69-38=31

Formamos una nueva tabla con los resultados anteriores.

Paso 4:Elegir el menor valor de cada columna y restarlo a los demás de la misma columna. En este caso son: 0, 0, 5, 21.

Restamos ese valor a cada uno de los demás de la misma columna,

Formamos una nueva tabla con los resultados anteriores.

\ -

\\

' , '

\

\

\

\l ' ,l',9

Máquinas

Tareas 1 2 3 4A 0 37 5 21B 0 34 21 36c 0 12 32 42

D 6 0 2E 31

Máquinas

Tareas I 2 3 4A 37B 0 34 21 36c 0 12 32 42D 6 28 31

Máquinas

Tareas I 2 3 4A 0-0=0 37-0=37 5-5=0 21-21=0B 0-0=0 34-0=34 21-5=16 36-21=15c 0-0=0 12-0='12 32-5=27 42-21=21D 6-0=6 0-0=0 28-5=23 31-21=10

Máquinas

Tareas I 2 3 4A 0 37 0 0B 0 34 16 15c 0 12 27 21D 6 0 23 10

Paso 5:Se procede alrazar el menor número de líneas posibles, de modo que todos los ceros queden tachados.

Paso 6:Se contesta la pregunta: ¿el número de líneas es igual al orden de la matriz?

La respuesta es "no" debido a que el número de líneas es 3 y el orden de la matriz es 4 Q I q, por lo que sepasa al siguiente paso.

Paso 7:Se selecciona el menor valor no tachado de toda la matriz. El valor restarlo de todo elemento no tachado y su-marlo a los elementos de la interacción de dos líneas.

MáquinasTarea I 2 3 4

A 0+12=12 37 0 0B 0 34-12=22 16-12=4 15-12=3c 0 12-12=0 27-12=15 21-12=9D 6+12=18 0 23 10

Nos queda la siguiente tabla. Debemos regresar al paso número cinco y verificar si cumple con el criterio deoptimidad.

.a::).

!:t it,a¡ ar¡l.li'::.

MáquinasTareas 2 3 4

A .l ñv̂

B 34 16 15c 12 27 21n ^ aa!

ar) t v

MáquinasTareas 2 3 4

A a ^v̂

B 34 16 15c f;rt 27 21n

v L !

Máquinas

I(

.17 )Paso 6:Se contesta la pregunta. ¿el número de líneas es igual al orden de la matriz?

La respuesta es rrno" debido a que el número de líneas es 3 y el orden de la matriz es 4 Q f 4), por lo que sepasa al siguiente paso.

Paso 7:Se selecciona el menor valor no tachado de toda la matriz. El valor restarlo de todo elemento no tachado v su-marlo a los elementos de la interacción de dos líneas.

MáquinasTareas 1 2 3 4

A 12+3=15 37+3=40 0 0B 0 22 4-3=1 3-3=0c 0 0 15-3=12 9-3=6

D 1E 0 23-3=20 10-3=7

Nos queda la siguiente tabla. Debemos regresar al paso número cinco y verificar si cumple con el criterio deoptimidad.

Máquinas

Tareas 3A A n

B ¿ 1

c 12

D 20

:*

L

;)T

\ ¡ 1. ;

?s,a,*_[

rT

Paso 6:Se contesta la pregunta: ¿el número de líneas es igual al orden de la matriz?

La respuesta es "sí" por lo que el modelo es óptimo y por lo tanto se debe proceder a realizar la asignación ytraducir la solución. La asignación se debe hacer en las casillas donde haya ceros cuidando que cada renglón ycada columna tenga una sola asignación.

Máquinas

Tareas I 2 3 4A 15 40B 22 1 liÍ iiit{iif{tiic rfr qn 12 6D 18 :si:r:iu.!.*rirl::i::€#*i:tii;-1Íi::irr 20 7üf;

Se escoge

Se deshabilita

Se traduce la solución:

Máquinas

Tareas 1 2 3 4A 49 86 54 70B 45 79 66 81

c 46 58 78 88

D 44 38 66 69

Tarea Máquina QuetealesA 3 54

B 4 81

c 1 46D 2 38

Costo total mínimo... Q.219.00

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%,*-%..-.'*

__*_ *,**_-***@-..*"_

Después de la lectura y estudio de los contenidos anteriores, se sugiere que realice las siguientes actividades,las cuales tienen como finalidad ampliar ylo afianzar los elementos principales de esta guía de estudio. *Anoteen su texto paralelo.

rt 1.*)lf l l9_gg*.mpresa de su localidad, investigue la forma en que ellos\- '

deciclen la clistribución cJe Ios productos a sus clientes..TEXTO PARALELO. Es unaopción didáctica para que elestudiante vaya archivandoordenadamente los materialescomplementarios y de apoyo aesta guÍa conforme se va desar-rol lando el curso. Puede incluirlos ejercicios y correcciones.recortes de prensa relaciona-dos con el tema de estudio,anotar dudas y las respuestasa las autoevaluaciones, fotoco-pias de lecturas recomendadas,ilustraciones. etc.

{r. Vis i te una empresa de su local idad, invest igue la forma en que e l losdeciden asignar les terr i tor ios a sus vendedores.

{ n r l

t 3. ! ! lg e-tPresa del inciso uno, l leve a cabo un anál is is de transporte, porff

medio de los métodos MAV y MODI.

[ 4 . En la empresa del inc iso dos, I leve a cabo un anál rs is de as ignación.\ ry

puntos posit ivos y negativos de apl icar los métodos aprendidos en el

curso de Investigación de operaciones.

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5. Actividadegr

E -

ANALiTICOLas

v80

6. CasosAcontinuación se presenta la tabla de costos de transporte de la empresa Envíos, S,A., las unidades quepuede ofrecer son las siguientes i zona 15, 100 unidades; zona 11 ,200 unidades; y zona 18, 300.

sucursales deAntigua, Quetzaltenango, Cobán yZacapa requieren los siguientes pedidos. 150, 150, 120u nidades respectivamente.

Antigua Quetraltenango Cobán Zacapa

Zoná {5 7 3 I I

Zóná ti 5 5 6 I

Zona 18 7 4 I 10

a. Encuentre la solución de inicio.b. Obtenga la solución óptima,

rcadeo Global, S.A. presenta a continuación la tabla de utilidades de la empresa:

GondgminioifAtt

CondominiE"Bu

Condominio,tgtl

C.ondominio*Dn

Planta f 7 11 8 13

Piánta 2 20 17 12 10

Flant¿ S I 18 13 16

ffiMeRN¡linco

Las unidades que puede ofrecer la empresa son las siguientes: planta 1 , 100 unidades; planta 2, 100 unidadesy planta 3, 150.

Los condominios A, B, C y D requieren los siguientes pedidos: 50, 70, 60 y 80 unidades respectivamente.

a. Encuentre la solución de inicio.b. Obtenga la solución óptima.

La compañía Distribudora Exclusiva, S.A. importa bienes en dos puertos: Puerto de San José y PuertoBarrios. Los embarques de uno de los productos, se hacen a clientes en Ciudad Capital, Antigua, Quet-zaltenango y el Petén. Para el siguiente período de planeación, los suministros en cada puerto, las deman-das del cliente y los costos de embarque por caja, de cada puerto a cada cliente son los siguientes:

CLIENTES

Puerto E*HTftI ANNGUAGtjEf'nlTfi{ru*mFEf:$l Suministroen el puerto

$nn José 2 6 6 2 5000

Ba#ut 1 2 5 7 3000

Demanda 1400 3200 2000 1400

a. Encuentre la solución de iniciob. Obtenga la solución óptima

nrllirco

f f iUnacompañ íadeGassumin i s t ragasp ropanoac | i en tesenunáreade t resmun ic ip ios .Lacompañ íadef f igaSpropanocuentacondossucursa|es 'Lospronóst icosdedemandaparae|prÓximosemest reSon.enWe|mun ic ip iodeGua tema |a ,400un idades ;mun ic ip iodeMixco ,200 ,ymun ic ip iodeSan taCa ta r inaP inu |a ,rN¡¡-Írtco 300. Se han redactado contratos para proveer las siguientes cantidades: Sucursal Uno, 500 unidades;

y Sucursal Dos, 400. Los costos de distribución para los municipios varían, dependiendo de la ubicación delas sucursales, Los costos de distribución por unidad (en miles de quetzales) son los siguientes:

Hasta el municipio de

Desde Guatemala Mixco Santa Catarina Pinula

Sucursal t 10 20 15

Sucursal2 12 15 18

a. Describa el plan de distribución y muestre el costo de distribución total.b. El crecimiento residencial e industrial reciente en el municipio de Santa Catarina Pinula tiene el potencial

de incrementar la demanda hasta en 100 unidades. ¿De qué sucursal debería enviar el gas dicha em-presa para suministrar la capacidad adicional?

Avón S.A. está dividido en cuatro territorios de ventas, cada uno de los cuales deberá asignarse a unrepresentante, Encuentre los representantes de ventas para cada territorio que maximicen las ventas. Sepresentan las ventas en miles de quetzales.

Territorio de VentasRepresentante

de ventas A B c D

Norte 24 60 32 30

Occidente 40 36 20 52

Oriente 1 6 40 28 28

\ : : : l

\ ' ' , . ,

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IC,

ffinHnlilco

Proyectos Industriales, S.A. tiene cuatro proyectos dea rln líder de proyecto. Encuentre la asignación queestimados. Proinsa tomó la decisión de no asignarle acon ese proyecto en particular.

ventas, cada uno de los cuales deberá asignarseminimice los tiempos. Se pi'esentan los tiemposGonzálezel proyecto B por su falta de experiencia

ANALITICO

PROYECTOLíder delproyecto

A B c E

González I 1 5 I 20

Finillos 1 4 6 28 12

Sagastume 12 1 5 1 8 I

ANALITICO

El Banco Vizcaya es una institución bancaria fundada en Guatemala en el año 1,970, Cuenta con cuatrocentrales las cuales a su vez coordinan a las agencias de la región, las centrales son Norte, Sur, Este yOeste. Actualmente, posee una alta rotación de personal. La institución requiere normalmente los servi-cios de tres empresas Consultoras para el proceso de Reclutamiento y Selección de nuevo personal. Los

costos por empleado contratado de cada empresa Consultora se dan a continuación:

BANCO VIZCAYA, S. A.(Q/persona contratada)

ffiffif l

l ;1Í l :üi it;,rItlr("

. :.rl ilL: ii'.+.É

"+i.Oferta de

personal/año1400 700 900 1400 3000

+rrlilr*ttffF:Ír.it 'rf

i### 1200 900 1200 1000 7500

ffi1000 1300 1000 l l 00 13500

3000 6000 5000 7000

Pregunta de análisis: ¿Qué cantidad de personal debe ser contratado a cada empresa consultora del serviciode Reclutamiento y Selección?

Resuelva la pregunta, analice y fundamente su respuesta. Dejar constancia de la aplicación de los métodos:a. Método de Aproximación de Vogel (MAV)b. Método de Optimización (MODI).

WallsMart arrendó en fechas recientes una tienda nueva para colocar un Hiper Paiz y está intentandodeterminar dónde deben ubicarse varios departamentos dentro de ella. El gerente tiene cuatro ubicaciones

ffi a las que no se les ha asignado todavía un departamento y está considerando cinco departamentos quepodrían ocupar las cuatro ubicaciones. Los departamentos bajo consideración son zapatería, juguetería,partes automotrices, utensilios domésticos y video. Después de un estudio cuidadoso de la disposición delresto de la tienda, el gerente ha hecho estimaciones de la ganancia esperada (en miles de quetzales) paracada departamento en cada ubicación. Estas estimaciones se presentan en la siguiente tabla:

UBICACION

Departamento 1 2 3 4

Zapatería 10 6 12 I

Juguetería 15 18 5 11

Partes automotrices 17 10 13 16

Utensilios domésticos 14 12 13 10

Video 14 16 6 12

a. Encuentre la asignación de ubicaciones de departamentos que maximice la uti l idad.b. ¿Qué otros factores debería de tomar en cuenta el gerente para tomar la decisión de ubicación de estos

departamentos?

Tomando como referencia el problema anterior. Suponga que el gerente de la tienda cree que eldepartamento de juguetería no debe considerarse para la ubicación 2 y que el departamento de partes

ffiffi automotrices no debe considerarse para la ubicación 4. En esencia, el gerente de la tienda está diciendoque, con base en otras consideraciones como el tamaño del área, los departamentos adyacentes, etc., estasdos asignaciones son alternativas inaceptables.

Encuentre la asignación que maximice la uti l idad, teniendo en cuenta las dos asignaciones que soninaceptables,

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ffiPOLÉMICO

La empresa de Outsourcing, Soluciones, S.A. debe asignar 4 tareas a 4 trabajadores. El costo de realizarun trabajo es funciÓn de los conocimientos de los trabajadores. El trabajador 1 no puede hacer el trabajo3, y el trabajador 3 no puede hacer el trabajo 4. La siguiente tabla resume el costo de las asignaciones enquetzales por hora.

a. Determine la asignación óptima,b, Suponga que queda disponible un quinto trabajador, para desempeñar los cuatro puestos (trabajos), con

los costos respectivos de Q. 60.00, Q. 45.00, Q. 30.00 y Q. 80.00. ¿Será económico reemplazar a unode los cuatro trabajadores actuales con el nuevo?

c. La empresa Soluciones, S.A. acaba de abrir un quinto puesto (trabajo) y los costos respectivos porl lenarlo con los cuatro trabajadores actuales son Q.20.00, Q. 10.00, Q.20.00 y Q.80.00. ¿Debe tenerprioridad el puesto (trabajo) nuevo sobre cualquiera de los cuatro que ya tiene la empresa?

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i+ft \."t-{{" \l i i l : , \

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TRABAJO (puesto)

1 2 3 4

Trabajador

, 50 50 202 70 40 20 30s 90 30 504 70 20 60 70

Es muy importante que después de una lectura comprensivade esta guía de estudio, usted se autoevalúe para comprobarhasta qué punto ha asimilado los principales aspectos. Leacon atención cada uno de los siguientes cuestionamientos yelija la respuesta que considere correcta. Justifique. Ahora,adelante,. .

I1ilII

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r25 )

2t

$ l. El Gerente de Producción de Quesadillas delu Oriente, S.A. en una reunión de Junta Directiva, explicaba:

que en un modelo de transporte, cuando se diceque el problema está balanceado es porque.a. Orígenes = Destinosb. Fi las = Columnasc. Oferta = Demandad , aybsonco r rec tase , aycsonco r rec tas

{i

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nit-1

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T*:g

'ñei

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Aubevaluación

s* -ffi 2. En la empresa Huehueteca, Juguetes Exclusivos, S.A. tienen 4 plantas de producción y requierenñ' llevarla a 5 diferentes centros de distribución, la capacidad de producción de las 4 plantas es de

3,000 y los pedidos de los centros de distribución son por un total de 2,500. Si quiero resolver elproblema de transporte ¿qué debo crear?a. Un origen ficticiob Un destino ficticioc, No debo crear nadad. Debo crear ambos, un origen y un destino

hff 3. El Gerente General de Productos Jalapeños, S.A. decidió no enviar mercaderÍa de la planta 3 alE' destino 2, el cual t iene un costo de transporte de Q. 30.00. Cuando realizamos la penalización en

la fila de la planta 3, ¿qué debo hacer con ese costo?a. Tomarlo en cuenta para penalizar, pero no asignar en esa celda,b. Tomarlo en cuenta para penalizar y asignar en esa celda.c, No tomarlo en cuenta para penalizar, pero si asignar en esa celda.d. No tomarlo en cuenta para penalizar, v no asignar tampoco en esa celda,

h

$ +. El Gerente de Logística de Distribuciones del Occidente, S.A, está resolviendo un caso de trans-' porte con el método de MAV, si dentro de las opciones de penalización se encuentran: para filas, 3,

B y 7 y para columnas 5, 4 y 10, ¿cuál elegiría para asignar?a .3b . 10c . 3y 4d . 8y10

t| 5. La asistente del Gerente de producción del Restaurante Sarita, está ayudando a su jefe en un pro-Tt blema de transporte, al asignar en la celda y,,100 unidades, se termina la producción de la planta

1 y completa lo solicitado por el almacén 4. A la asistente le surge una duda ¿qué debe eliminar?a. Filab. Columnac. Ambas: Fila y columnad. Eli io: Fila o columna

tI 6. En la empresa Asesorías Empresariales Las Verapaces, S.A. se cuenta actualmente con tresI proyectos y contamos con cuatro líderes, para utilizar Asignación debemos de:

a. Eliminar del proceso a un líder,b. Buscar otro proyecto y cuando lo tengamos realizar la asignación.c. Trabajar el proceso con tres proyectos y cuatro líderes.

7. Su jefe, el Gerente General de Proyectos Antigueños, S.A. quiere realizar un bosquejo inicial de unmodelo de transporte, y le consulta qué puede utilizar.a. Método de aproximación de Voguelb. MoDlc. MAVd. aybsoncorrec tase. aycsoncorrec tas

8. Su jefe, el Gerente General de Proyectos Antigueños, S.A. quiere buscar la solución óptima de unmodelo de transporte, y le consulta qué puede utilizar:a. Método de aproximación de Voguel

. b. MOD|c. MAVd. aybsoncorrec tase. Ninguna de las anteriores

9. Usted está resolviendo un problema de transporte, si después de elegir una de las penalizaciones,le corresponde asignar en la celdd xot, la planta 4 tiene 250 disponibles de su producción y la bo-dega 3 requiere 180 unidades, lo que debe asignar en esa celda es:

- a . 180b. 250c. 70d. 430

10. Corporación de Nororiente, S.A. quiere maximizar su facturación por distrito de venta, por lo cualdesea saber qué Gerente de área debe asignar a cada uno de los distritos de venta. ¿Cuál es elprimer paso para empezar el proceso de asignación?a. Elegir la facturación menor en la primera fila y restarla al resto de elementos de toda la fila.b. Elegir la facturación menor en la primera columna y restarla al resto de elementos de toda la co-

lumna.

. c, Elegir el dato mayor de facturación de toda la tabla y restárselo a todos los elementos de la misma.d. Elegir el dato menor de facturación de toda la tabla y restárselo a todos los elementos de la misma.

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III

IIlI!III

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\ .27 )

Destino: ubicación de demanda en un problemade transporte.

Destino ficticio: destino artificial agregado auna tabla de transporte cuando la oferta total esmayor que la demanda total. La demanda seajusta de modo que la oferta y demanda totalessean iguales.

Fila f icticia: f i la adicional agregada para balan-cear un problema de asignación de modo que elnúmero de fi las sea igual al número de colum-nas,

Método de aproximación de Voguel (MAV):algoritmo uti l izado para encontrar una soluciónfactible inicial relativamente eficiente de unproblema de transporte. Con frecuencia, estasolución inicial es la solución óptima.

Método de distribución modificada (MODI):técnica utilizada para evaluar las celdas vacíasen un problema de transporte.

B.Vocabu\ar\oOrigen: ubicación de partida, fuente u oferta enun problema de transporte.

Origen ficticio: origen artificial agregado a unatabla de transporte cuando la demanda total esmayor que la oferta total. La oferta se ajusta demodo que la demanda y oferta totales sean ig-uales,

Problema de asignación balanceado. proble-ma de asignación en el cual el número de fi lases igual al número de columnas (una matrizcuadrada).

Problema de transporte balanceado: condiciónen la cual la demanda total es igual a la oferta to-tal.

Tabla de transporte: tabla que resume todos losdatos de transporte que ayuda a seguir la pistade todos los cálculos del algoritmo, Guarda in-formación sobre demandas, existencias, costosde enví0, unidades enviadas, orígenes y desti-nos.

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g .Ref erenci as Bib\iogr áticas

: r!r:r i!

: f i !Anderson, D., Sweeney, D. y Williams, T, (2004).Métodos Cuantitativos para los negocios. (9'. Edi-ción). México: Thomson Editores, S.A.

Anderson, D., Sweeney, D. y Will iams, T. (1999).Métodos Cuantitativos para los negocios. (7^.Edición). México: Thomson Editores, S.A.

Eppen, G., Gould, F., Schmidth, C., Moore, J. y Weather-ford L. (2000). lnvestigación de operaciones en laciencia administrativa. (5a. Edición). México: Pren-tice Hall Hispanoamericana, S.A.

Krajewski, L. y Ritzman, L. (2000). Administraciónde Operaciones, Estrategia y Análisis. (5'. Edi-ción). México: Prentice Hall Hispanoamericana, S.A.

Mathur, K. y Solow, D.(1996). lnvestigación de Ope-raciones. México: Prentice Hall Hispanoamericana,S.A.

Taha, H. (2004). lnvestigación de Operaciones.(74. Edición). México: Pearson Educación.

Guía de lectura

La lectura es la más poderosa herramienta cognitiva que el estudiante tiene para aprender, De su correcto de-sarrollo y ejercitación depende en mucho su éxito profesional. Por su parte, la escritura es un excelente ejerciciocognitivo que incide en el pensamiento y permite explorar ideas convirtiéndose en una excelente herramientacognitiva para el aprendizaje.

Desarrolle la siguiente lectura siguiendo los pasos que se le sugieren. Los pasos esenciales a realizar son:

1. Antes de la lectura

' ¿Se siente usted motivado a realizar la lectura? Vea el título y los subtítulos y trate de anticiparsea lo que tratará. ¿Qué expectativas desarrolla en usted el saber de qué trata? ¿Cuál es su obje-tivo antes de iniciar la lectura? Esto dará mejor resultado si usted anota las respuestas. Si tienealguna duda, consulte con el facilitador del curso.

' Es conveniente, que usted trate de adelantarse prediciendo de qué tratará la lectura. Un temanunca es totalmente nuevo para el lector. Sus conocimientos previos le ayudarán a comprobarloso desmentirlos con el proceso de lectura.

2. Durante la lectura

' Realice una lectura activa, por ejemplo, haciendo anotaciones o preguntas sobre lo que no entien-de o como reacción a lo que lea. Subraye lo esencial y destaque las palabras que desconozca.

3. Posterior a la lectura

' ldentifique. el tema de la lectura, la idea principal de la misma y haga un resumen de lo leído.

Lectu ra

Win QSB un programa paraIresolver transporte y asignación

Adaptado de www.uv.es/mart inek/mater ia l (Univers idad de Va¡en-cia, Departamento de Estadíst ica e Invest igación de Operaciones.Valencia, España. Elaborado por profesora María del Carmen Mar-t ínez B lázquez ) .

WinQSB es un sistema interactivo de ayudaa la toma de decisiones que contieneherramientas muy útiles para resolverdistintos tipos de problemas en el campo dela investigación operativa. El sistema estáformado por distintos módulos, uno paracada tipo de modelo o problema, Entre ellosdestacaremos el siguiente:

. Network modeling (NET): incluyeprogramas específicos para resolver elproblema del transporte, el de asignación,el problema del transbordo, el problemadel camino más corto, flujo máximo, árbolgenerador, y problema del agente viajero.

Aeste módulos se accede directamente desdela entrada a WinQSB en el menú principal,seleccionando respectivamente la siguienteopción del menú: Network Modeling.

WinQSB utiliza los mecanismos típicos dela interface de Windows, es decir, ventanas,menús desplegables, barras de herramientas,etc, Por lo tanto el manejo del programa essimilar a cualquier otro que utilice el entornoWindows.

Al acceder a cualquiera de los módulos seabre una ventana en la que debemos elegirentre crear un nuevo problema (File > NewProblem) o leer uno ya creado (File > LoadProblem). Las extensiones de los ficheroscon los modelos las pone el programa pordefecto, por lo tanto solamente debemospreocuparnos del nombre, que no deberátener más de 8 caracteres.

Todos los módulos del programa tienen encomún los siguientes menús desplegables:

. File: incluye las opciones típicas de estetipo de menús en Windows, es decir,permite crear y salvar ficheros con nuevosproblemas, leer otros ya existentes oimprimirlos.

. Edit: incluye las utilidades típicas paraeditar problemas, copiar, pegar, cortaro deshacer cambios. También permitecambiar los nombres de los problemas,las variables, y las restricciones. Facilitala eliminación o adición de variables y/orestricciones, y permite cambiar el sentidode la optimización.

. Format: incluye las opciones necesariaspara cambiar la apariencia de las ventanas,colores, fuentes, alineación, anchura deceldas, etc.

. Solve and Analyze: esta opción incluye almenos dos comandos, uno para resolverelproblema y otro para resolverlo siguiendolos pasos del algoritmo,

. Results: incluye las opciones para verlas soluciones del problema y realizar siprocede distintos análisis de la misma.

. Utilities: este menú permite acceder a unacalculadora, a un reloj y a un editor degráficas sencillas.

. Window: permite navegar por las distintasventanas que van apareciendo al operarcon el programa.

. WinQSB: incluye las opciones necesariaspara acceder a otro módulo del progra-ma.

. Help: permite acceder a la ayuda on-linesobre la utilización del programa o las téc-nicas utilizadas para resolver los distintosmodelos, Proporciona información sobrecada una de las ventanas en la que nosencontremos,

Con este programa se pueden resolver todoslos casos presentados dentro de la carpeta.