Introduzione elaborazione segnali

8/3/2019 Introduzione elaborazione segnali

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Indice

1 Segnali e Sistemi 1

1.1 Segnali e Informazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Classificazione dei Segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Esempi di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Sistemi per lElaborazione dei Segnali Deterministici . . . . . . . . . . . . . 10

1.4.1 Composizionalita nei Sistemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.5 Spazi vettoriali di segnali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.6 Sistemi Lineari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.6.1 Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI) . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.6.2 Sistemi Causali e Stabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici 27

2.1 Numeri Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.2 Segnali Periodici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.3 Serie di Fourier complessa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.4 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4.1 Esistenza della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4.2 Trasformata di Fourier di Funzioni Reali . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.4.3 Proprieta della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.4.4 Coppie Base di Trasformate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.5 Energia di un Segnale e Relazione di Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Filtri Analogici e Modulazione di Ampiezza 47

3.1 Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Invarianti . . . . . . . . . 483.1.1 Filtri Ideali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Caratteristiche dei Filtri Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3 Famiglie di Filtri Causali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.1 Filtri di Butterworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.3.2 Realizzazione di Filtri Analogici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.4 Modulazione e Demodulazione in Ampiezza (AM) . . . . . . . . . . . . . . 57

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ii Indice

4 Conversione Analogico-Digitale 634.1 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.1.1 Spettro del segnale campionato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.1.2 Aliasing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.2 Quantizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

4.2.1 Quantizzatore Uniforme e Rumore di Quantizzazione . . . . . . . . . 714.2.2 Quantizzatore Non Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.3 Convertitore Analogico-Digitale (ADC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5 Analisi in frequenza di sistemi a tempo discreto 795.1 Frequenza e Tempo Normalizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2 Trasformata Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2.1 Proprieta della trasformata Zeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 Analisi di Sistemi LTI a Tempo Discreto: filtri FIR e IIR . . . . . . . . . . 84

5.3.1 Filtri FIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845.4 Filtri IIR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86


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Capitolo 1

Segnali e Sistemi

I concetti di segnale e di sistema sono presenti in unampia gamma di discipline e campiapplicativi. Le idee e i metodi sviluppati attorno ai concetti di segnale e sistema giocanoun ruolo importante in diverse aree scientifiche e tecnologiche come le telecomunicazioni,la progettazione di circuiti, il controllo di processi industriali, lacustica, lelaborazione delparlato, lelaborazione di immagini.

I segnali sono grandezze dipendenti da una o piu variabili temporali o spaziali e con-tengono informazione riguardo lo stato di qualche fenomeno, mentre i sistemi rispondonoa sollecitazioni dovute a qualche segnale producendo a loro volta segnali o qualche com-

portamento desiderato. Le tensioni o le correnti (funzioni del tempo) in ingresso e inuscita a un circuito elettrico sono esempi di segnali, mentre il circuito stesso e un esempiodi sistema, cos come un sistema e la telecamera che cattura la luce riflessa dagli oggettiinquadrati e impressiona la pellicola o una matrice di sensori.

Le principali problematiche che si affrontano nello studio dei sistemi sono quelle dianalisi e di disegno o progettazione. Lanalisi riguarda lo studio di caratteristiche delcomportamento di un dato sistema, il disegno si propone di identificare, se esiste, un

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2 Segnali e Sistemi

sistema che esibisca un dato comportamento. Un esempio e costituito dalla progettazionedi sistemi per estrarre o ripristinare informazione danneggiata: il caso tipico e quellodella comunicazione affetta da rumore in cui e richiesto lo sviluppo di sistemi in grado di

correggere eventuali errori.In questo capitolo vengono introdotte le nozioni di base riguardanti segnali e sis-

temi. Viene presentata una semplice tassonomia dei tipi di segnale: continui/discreti,deterministici/probabilistici.

Viene introdotto poi il concetto di sistema visto come apparato in grado di trasformareun segnale in ingresso in un segnale in uscita: il comportamento del sistema viene cosdescritto dalla relazione ingresso-uscita.

Si osserva che la somma di segnali e ancora un segnale, cos come la moltiplicazionedi un segnale per uno scalare. Questo porta a studiare gli spazi di segnali come spazivettoriali; viene introdotta limportante nozione di base in uno spazio e, attraverso lanozione di prodotto interno, quella di base ortogonale. Questi concetti sono centrali per

lintroduzione di nuove rappresentazioni di segnali, oggetto di analisi nel capitolo 2.Vengono poi introdotte due importanti classi di sistemi: sistemi lineari e sistemi tempo-

invarianti. In particolare, si mostra che il comportamento di un sistema lineare tempo-invariante (LTI) e univocamente individuato dalla risposta del sistema al segnale impulsivo.

Limitatamente ai sistemi LTI, vengono infine discusse le nozioni di causalita e stabilita.

1.1 Segnali e Informazione

Un segnale e costituito da una entita contenente qualche tipo di informazione che puo essereestratta, trasmessa o elaborata. In un segnale e generalmente distinguibile un supportofisico dallinformazione veicolata. Ad esempio, e noto che il gatto usa marcare il territoriocon particolari secrezioni: il supporto fisico e costituito da molecole, e linformazione chesi vuol comunicare e il possesso del territorio. Segnali di particolare interesse nella vitaquotidiana sono:

segnali del parlato, che si incontrano anche in telefonia e radio;segnali video e immagini;suoni e musica, riproducibili ad esempio da un lettore di CD;

segnali biomedici, come elettrocardiogrammi e radiografie.

Un segnale e rappresentato da una funzione g = f(c), dove:

g denota una variabile (dipendente) sui valori di una grandezza fisica o chimica(corrente, tensione, pressione, concentrazione di molecole e cos via).

c denota una o piu variabili indipendenti generalmente coordinate spaziali o tempo-rali.

f denota la relazione funzionale che associa ad ogni valore di c il corrispondentevalore della grandezza fisica g.

In Figura 1.1 e mostrato un esempio di segnale acustico. Esso e identificato dalla


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1.1. Segnali e Informazione 3

t

p

Figura 1.1 Segnale acustico.

complicata funzione p(t) il cui grafico da la pressione acustica, in un punto dello spazio,

in funzione del tempo. Segnali che hanno il tempo come variabile indipendente si diconosegnali temporali, e ad essi e dedicata gran parte di questo corso.

Un secondo esempio ci viene offerto dallimmagine monocromatica di Figura 1.2, iden-tificata dalla funzione L(x, y), che da la luminosita in funzione delle due coordinate spaziali(x, y).

Figura 1.2 Immagine monocromatica.

I metodi per lelaborazione dei segnali assumono oggi grande rilievo, poiche la capacita

di elaborare o trasmettere informazioni per via automatica e una caratteristica importantedellattuale societa. Lelaborazione dei segnali trova feconde applicazioni nelle due areeprincipali:

1. trasmissione, ricezione e memorizzazione efficiente ed affidabile dei segnali nelletelecomunicazioni;

2. estrazione di informazione da segnali rumorosi con tecniche di riconoscimento diforme, per previsione e controllo.


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4 Segnali e Sistemi

1.2 Classificazione dei Segnali

Il mondo che ci circonda e in gran parte basato su segnali analogici: il tempo, le coor-

dinate spaziali, grandezze fisiche come lintensita della luce e del suono assumono valoricontinui. I nostri organi sensori traducono i segnali analogici in segnali elettrici; questivengono analizzati dal cervello che prende decisioni estraendo le informazioni veicolate. Vasegnalato che in questo processo la maggior parte dei segnali ambientali viene riconosciutacome rumore di fondo e filtrata.

Daltro lato, la tecnologia digitale assume oggi grande rilievo per la sua flessibilitanelle applicazioni; e dunque ragionevole pensare di utilizzare questa tecnologia per le-laborazione dei segnali. Il mondo analogico e tuttavia distante da quello digitale: unelaboratore lavora su una scala di tempi discreta, scandita dal clock, ed inoltre i valori chepuo assumere una grandezza trattata digitalmente sono finiti. La trattazione digitale deisegnali richiede dunque la soluzione di due problemi di rilievo:

1. interfacciare il mondo analogico con quello digitale;

2. dotarsi di strumenti per trattare numericamente segnali digitali che, a causa delleapprossimazioni, sono intrinsicamente rumorosi.

A questo riguardo, e utile introdurre la seguente semplice classificazione di segnalitemporali. Un segnale temporale e rappresentato da una funzione y = f(t), dove t e unavariabile che identifica il tempo, y il corrispondente valore di una opportuna grandezza,quale la pressione, tensione, corrente.

Segnali Continui e Discreti

Abbiamo i seguenti casi:

1. La variabile t assume valori reali oppure valori in un sottoinsieme discreto di numerireali (ad esempio i n multipli interi di un intervallo temporale ).

Nel primo caso il segnale sara detto a tempo continuo, nel secondo a tempo discreto.Ad esempio, campionando il segnale a tempo continuo f(t) agli istanti n si ottieneil segnale a tempo discreto f(n).

2. La variabile y assume valori reali oppure valori in un sottoinsieme finito di numerireali (ad esempio i 2m numeri interi tra 0 e 2m

1 codificabili in notazione binaria

con m bit).

Nel primo caso il segnale sara detto a valori continui, nel secondo a valori finiti. Adesempio, indicando con sgn(x) la funzione segno (sgn(x) = 1 se x > 0, sgn(x) = 1se x < 0) il segnale sgn(f(t)) risulta essere a valori finiti.

Potremo di conseguenza classificare i segnali in segnali a valori continui e tempo con-tinuo, segnali a valori continui e tempo discreto, segnali a valori finiti e tempo continuo,


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1.2. Classificazione dei Segnali 5

t

f(t)

t

f(t)

n

f(n)

n

f(n)

(a) (b)

(d)(c)

Figura 1.3 (a) Segnale a valori finiti e tempo continuo. (b) Segnale continuo a tempocontinuo. (c) Segnale a valori finiti e tempo discreto. (d) Segnale continuoa tempo discreto.

segnali a valori finiti e tempo discreto. In Figura 1.3 sono illustrati vari tipi di segnale.

I segnali discreti a tempo discreto sono detti anche segnali digitali, come opposto aisegnali continui a tempo continuo detti segnali analogici.Osserviamo che un segnale digitale di durata temporale limitata puo essere memoriz-

zato su un supporto digitale, venendo rappresentato da una quantita finita di bit.Sia infatti f(t) un segnale tale che f(t) = 0 per t 0 e per t > T, e quindi di durata

T. Supponiamo che f(t) sia a valori finiti, diciamo a N valori, e sia campionato ai tempin. Il segnale digitale f(n) e perfettamente descritto dal vettore:

f(), f(2), f(3), . . . , f (T

)

Ogni componente del vettore e codificabile con un numero di bit pari al primo intero

maggiore o uguale di log2 (N) , quindi il segnale digitale puo essere memorizzato con Mbit, dove:

M =T

log2 (N)

Segnali Deterministici e Probabilistici

Supponiamo di avere una sorgente, cioe una scatola nera che, opportunamente sollecita-ta, produca un segnale f(t). Questo ci permette di riprodurre il segnale f(t) in modo


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6 Segnali e Sistemi

deterministico: una sollecitazione alla sorgente produrra sempre lo stesso segnale.

Per questi segnali vale la seguente importante proprieta. Date M sorgenti determinis-tiche 1, 2, . . . , M che generano i segnali f1(t), . . . , f M(t), supponiamo che i segnali veicolino

rispettivamente le informazioni distinte I1, I2, . . . , I M. Dal segnale generato dalla sorgentek e in linea di principio sempre possibile ricostruire linformazione Ik.

Esistono tuttavia situazioni in cui il precedente modello non risulta adeguato. Peresempio in molti casi non ce un modo univoco per rappresentare una informazione conun segnale: la stessa parola w sara realizzata in diversi modi da diverse persone o ad-dirittura dalla stessa persona in diverse circostanze. Analogamente, il rumore prodottodal passaggio di automobili su una strada pubblica non e modellabile da una sorgentedeterministica.

In questi casi potremo solo costruire una sorgente che, sollecitata, produce una real-izzazione r scelta arbitrariamente in un insieme di realizzazioni possibili R, dando luogoal segnale f(t, r) (non determinismo): va da se che il trattamento di segnali prodotti da

sorgenti non-deterministiche e soggetto a pesanti margini di incertezza. Fortunatamente,e spesso possibile assegnare la probabilita che la scatola, sollecitata, produca una datarealizzazione: parleremo in questi casi di segnali probabilistici. In questa situazione, imargini di incertezza permangono, ma almeno e possibile darne una quantificazione.

I segnali probabilistici, di grande importanza nella modellazione del rumore, nonsaranno trattati in questo testo.

1.3 Esempi di segnali

Si vogliono introdurre alcuni esempi di segnali frequentemente utilizzati nelle applicazioni.

Segnale sinusoidale

Si consideri il cerchio goniometrico, ossia il cerchio unitario di 2 centrato nellorigine.Dato un angolo di ampiezza , lo si trasporta in modo che il vertice coincida con O eil primo lato coincida con il semiasse positivo delle ascisse. Il secondo lato dellangolotagliera la circonferenza in un punto P avente per ascissa il coseno di e per ordinata ilseno di (figura 1.4).

Le funzioni seno e coseno sono continue, definite su tutto lasse reale a valori nellin-tervallo [1, 1].

Un segnale sinusoidale si ottiene per dilatazione e/o traslazione di una funzione seno

ed e definito dalla seguente espressione:

f(t) = A sin (2 t + )

Dove:

A e lampiezza e indica il modulo del valore massimo e del valore minimo assuntodal segnale


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1.3. Esempi di segnali 7

Figura 1.4 Definizione di Seno e coseno di un angolo

e la frequenza e indica il numero di oscillazioni effettuate in una unita di tempo,misurata in Hertz o in rad/sec se si considera nella forma 2, inoltre si definisce ilperiodo del segnale come T = 1/.

e la fase iniziale e indica la fase al tempo t = 0 (traslazione)

Nella figura 1.5 si mostra come varia un segnale sinusoidale al variare dei suoi parametriAmpiezza, Frequenza e Fase iniziale rispettivamente.

Figura 1.5 Funzioni sinusoidali di differenti frequenze, ampiezze e fasi iniziali


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Segnale cosinusoidale

Per la nota formula trigonometrica:

cos() = sin ( + /2)

si puo affermare che un segnale cosinusoidale e semplicemente un segnale sinusoidaletraslato a sinistra di /2.

Segnale sinc

La funzione sinc (x) e definita come segue:

sinc (x) =sin(x)

x.

Essa e continua, limitata e definita su tutto lasse reale.

Un segnale sinc si ottiene dilatando e/o amplificando la funzione sinc attraverso i dueparametri: lampiezza A della sinc, e la frequenza K della sinc.

Il segnale sinc di ampiezza A e frequenza K e dato da A sinc(kt).

Nella figura 1.6 viene mostrato il comportamento di un segnale sinc al variare dei suoidue parametri A e K.

Figura 1.6 Segnali sinc di diversa ampiezza e frequenza

Segnali rettangolariLa funzione Rettangolo e definita come segue:

rect (x) =

1 |x| 1/20 |x| > 1/2

Essa e una funzione limitata e definita su tutto lasse reale. Rappresenta lo scalinounitario ed ha due punti di discontinuita in x = 12 .


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1.3. Esempi di segnali 9

Un segnale rettangolare si ottiene dilatando e/o amplificando la funzione rettangoloattraverso i due parametri: lampiezza A dello scalino, e il periodo o durata T delloscalino.

Il segnale rettangolare di ampiezza A e di durata T e dato da A rect( xT).Nella figura 1.7 sono rappresentati segnali rettangolari di diversa ampiezza e durata.

Figura 1.7 Segnali Rettangolari di diversa ampiezza e durata

Delta di Dirac

La funzione impulso (o delta di Dirac) (t) puo essere intuitivamente pensata come unrettangolo di base infinitesima e di altezza infinita 1 , in modo che larea sottostante+ (t)dt sia 1. Essa non e quindi una funzione nel senso di Dirichelet, e sara dettafunzione generalizzata: infatti, mentre ha senso dire che (t) = 0 se t = 0, non ha senso

dire che (0) = + poiche non e un numero.Intuitivamente (t) puo essere pensata come limite (per 0) di una sequenza di

funzioni non negative p(t), dove p(t) e nulla al di fuori dellintervallo [/2, /2] etale che

+ p(x)dx = 1. Un esempio e mostrato in Figura 1.8: qui la funzione impulso

e definita come il limite di un impulso rettangolare,

(t) = lim0

1

rect

t

.

Fissato un reale x, la funzione generalizzata (t x) e interpretabile come impulso altempo x e per essa valgono le seguenti proprieta:

(t x) = 0 se t = x,

(t x)dx = 1.


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1/

p(t)

/2 /2 t

Figura 1.8 Impulso per la generazione della funzione delta di Dirac.

1.4 Sistemi per lElaborazione dei Segnali Deterministici

Date due famiglie F1 ed F2 di segnali, un sistema e un apparato in grado di trasformareun qualsiasi segnale di F1 in un segnale di F2. Il sistema puo allora essere visto comeuna scatola nera il cui comportamento e la legge di trasformazione

S : F1 F2.

In Figura 1.9 e data una rappresentazione grafica di un sistema che, avendo in ingresso ilsegnale f(t), da in uscita il segnale g(t); si dice anche che g(t) e la risposta del sistema Sallingresso f(t) e si scrive g = S(f).

g(t)Ingresso

Sistema

f(t) SUscita

Figura 1.9 Rappresentazione grafica di un sistema.

Esempio 1.4.1

Semplici esempi di sistemi sono quelli che permettono di ottenere la traslazione tem-porale (ritardo), ed il cambio di scala di segnali dati (Figura 1.10).

1. La traslazione (o ritardo) trasforma il segnale f(t) nel segnale f(t t0) cherappresenta lo stesso segnale ritardato di t0.

2. Il cambio di scala nel tempo (o scalatura) trasforma il segnale f(t) nel segnalef(at). Leffetto che si ottiene in questo caso e quello di una compressione lineare(se |a| > 1) o di un allungamento o rilassamento lineare (se |a| < 1).


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1.4. Sistemi per lElaborazione dei Segnali Deterministici 11

x(tt0)

(a)

(b

t0 t 0

t 0

x(at)

0 t

x(t)

0 t

x(t)

t0

Scalatura

a

1/a1

Ritardo

Figura 1.10 (a) Ritardo. (b) Scalatura.

Esempio 1.4.2

Un importante esempio di sistema e il Campionatore a periodo (o equivalentementea frequenza di campionamento Fs = 1/), illustrato in Figura 1.11.

f(t)

t n

f(n )

Campionatore

0

Figura 1.11 Campionatore.

Esso trasforma il segnale a tempo continuo f(t) nel segnale a tempo discreto f(n).In seguito sara affrontato limportante problema di determinare condizioni per cui ilsegnale f(t) e ricostruibile a partire dal segnale campionato f(n).

Esempio 1.4.3

Dato un insieme finito V = {x1, . . . , xm} di numeri, consideriamo la funzione Q chead ogni reale x associa lelemento in V piu vicino ad x, cioe:

Q(x) = argmin

xkV|x xk|

Il sistema quantizzatore associa al segnale f(t) il segnaleQ(f(t)). Tale sistema ricevein ingresso un segnale continuo e restituisce un segnale a valori finiti. Un esempio diquantizzatore a 2 valori {1, 1} e dato in Figura 1.12.

In questo caso:

Q (x) =

1 se x > 0

1 se x 0


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f(t)

t t

Q(f(t))

Quantizzatore

a 1 bit

Figura 1.12 Quantizzatore.

Esso coincide con la funzione Signum (x).

1.4.1 Composizionalita nei Sistemi

I sistemi complessi sono quelli costituiti da un gran numero di sistemi semplici; per

poter trattare con sistemi complessi, e di grande importanza riuscire a comprenderne ilcomportamento a partire da quello delle loro componenti principali. Un approccio cherende agevole questo obbiettivo e quello modulare: si introducono esplicitamente oper-azioni che trasformano due o piu sistemi in un nuovo sistema, e la costruzione di unsistema complesso viene ottenuta applicando queste operazioni a sistemi semplici.

Senza pretesa di voler essere nemmeno lontanamente esaurienti, introduciamo in questasezione le operazioni di composizione sequenziale (o cascata), composizione parallela eretroazione, mostrando su esempi la capacita di astrazione fornita dallapproccio modulare.

Composizione sequenziale o cascata. Dati due sistemi S1 : F1 F2 e S2 : F2 F3, la loro composizione e il sistema S3 : F1 F3, tale che S3(f(t)) = S2(S1(f(t)))ottenuta ponendo in ingresso a S2 la risposta di S1.

Composizione parallela. Dati due sistemi S1 : F1 F2 e S2 : F1 F2, la lorocomposizione parallela e il sistema che ha come risposta la somma delle risposte diS1 e S2.

Le operazioni introdotte sono illustrate in Figura 1.13.

Esempio 1.4.4

Conversione analogico-digitale. Dalla composizione sequenziale di un campionatore edi un quantizzatore si ottiene un convertitore analogico digitale (ADC), che trasforma

un segnale analogico in un segnale digitale (vedi Figura 1.14).

Esempio 1.4.5

Elaborazione digitale di segnali analogici e trasmissione di segnali digitali. Un conver-titore analogico-digitale (ADC) e un sistema che trasforma, in modo approssimativa-mente fedele, segnali analogici in segnali digitali.


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1.5. Spazi vettoriali di segnali 13

Figura 1.13 (a) Cascata. (b) Composizione parallela.

Campionatore Quantizzatore x(n)f(t)

ADC

Figura 1.14 Conversione analogico-digitale.

Loperazione inversa e compiuta dal convertitore digitale-analogico (DAC): esso trasfor-ma un segnale digitale in un segnale analogico. Gli ADC e i DAC realizzano dunquelinterfaccia tra il mondo analogico e quello digitale. La composizione sequenzialepresentata in Figura 1.15 modella il trattamento di segnali analogici con programmieseguiti da un elaboratore digitale, mentre quella presentata in Figura 1.16 modellala trasmissione a distanza di segnali digitali utilizzando un supporto analogico.

f(t) g(t)ADC

Programma

Elaboratore DAC

Figura 1.15 Elaborazione digitale dei segnali analogici.

1.5 Spazi vettoriali di segnali

Dati due segnali f1(t) e f2(t), la loro somma e il segnale f(t) ottenuto dalla sovrappo-sizione di f1(t) e f2(t) cos definito:


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Figura 1.16 Trasmissione di segnali digitali su supporto analogico.

f(t) = f1(t) + f2(t)

Dato il segnale f1(t) e un numero reale a, il prodotto di f1(t) per lo scalare a e ilsegnale f(t) ottenuto amplificando f(t) di un fattore a, cioe:

f(t) = af1(t)

Loperazione di somma e commutativa e associativa; il segnale ovunque nullo 0 e tale

che:

f(t) + 0 = f(t)

ed inoltre per il segnale f(t) esiste il segnale opposto f(t) tale chef(t) f(t) = 0

Vale inoltre che

a(bf(t)) = abf(t) (a e b sono scalari)a(f1(t) + f2(t)) = af1(t) + af2(t)

Ne segue che linsieme dei segnali, dotato delle operazioni sopra definite, forma unospazio vettoriale.

Data una famiglia {f1(t), . . . , f r(t)} di segnali, la somma pesata

f(t) = a1f1(t) + a2f2(t) + ... + arfr(t) =r

k=1

akfk(t)

e detta combinazione lineare; essa rappresenta la sovrapposizione (pesata) dei segnalif1(t), . . . , f r(t).

Introducendo opportune nozioni di limite, questa operazione puo essere estesa ad infiniti

segnali, dando senso a espressioni del tipo:

+k=

akfk(t)

Data una famiglia di segnali {f1(t),...,fr(t)}, diremo che un segnale f(t) e linear-mente dipendente dalla famiglia {f1(t),...,fr(t)} se esso puo essere ottenuto come combi-nazione lineare dei segnali della famiglia; altrimenti e detto linearmente indipendente da


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{f1(t),...,fr(t)}.

Sia F un sottospazio vettoriale di segnali contenente la famiglia

{f1(t),...,fr(t)

}; se

ogni segnale f(t) F si puo ottenere come combinazione lineare di segnali della famiglia{f1(t),...,fr(t)}, cioe se:f(t) =

rk=1

akfk(t)

allora {f1(t),...,fr(t)} e detto insieme di generatori di F.Inoltre, se succede che togliendo alla famiglia {f1(t),...,fr(t)} un qualsiasi suo elemen-

to, il nuovo insieme non e piu in grado di generare F, allora diremo che {f1(t),...,fr(t)}e una base. Questo e equivalente a richiedere che ogni elemento di fk(t) sia linearmenteindipendente dai restanti.

Se {fk(t)} e una base per F si puo dimostrare che per ogni f(t) F esiste una solasequenza di coefficienti ak tali che:

f(t) =r

k=1

akfk(t)

Dato un segnale f(t) F e una base {fk(t)} per F risulta allora che f(t) e biunivocamenteindividuato dalla sequenza dei coefficenti ak.

Introducendo opportune nozioni di limite, la nozione di base puo essere estesa a basicon infiniti elementi. Questo porta allimportante problema di analisi.

Problema di analisi: Data una base {f1(t),...,fk(t),...} per uno spazio di segnaliF, e un segnale f(t) F, determinare i coefficienti a1,...,ak,... tali che:

f(t) =k

akfk(t)

Si osservi che i coefficienti a1,...,ak ,... permettono di ottenere una rappresentazionealternativa di f(t).

Come puo essere calcolata la sequenza di coefficienti ak?Una soluzione semplice ed efficace al problema di analisi esiste nel caso di basi ortogonali.

Per introdurre tale nozione supponiamo che sia definito un prodotto interno (prodottoscalare) tra segnali, cioe una operazione che ad ogni coppia di segnali f1(t) e f2(t) associaun numero reale (f1(t), f2(t)) in modo che:

1. se f(t) non e il segnale nullo, allora (f(t), f(t)) > 0

2. (af1(t) + bf2(t), g(t)) = a(f1(t), g(t)) + b(f2(t), g(t))


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Esempio 1.5.1

Consideriamo lo spazio n formato da n-uple di numeri reali, cioen = {(x1 . . . , xn), xk },con le operazioni:

(x1,...,xn) + (y1,...,yn) = (x1 + y1,...,xn + yn)

a(x1,...,xn) = (ax1,...,axn)

Questo spazio e uno spazio vettoriale, e, posto x = (x1,...,xn) ey = (y1,...,yn),loperazione

(x, y) =ni=1

xiyi

e un prodotto interno.Osserviamo che x =

(x, x) e la lunghezza del vettore x ed e possibile mostrare

che:

(x, y) = x y cos

dove e langolo tra il vettore x e y.

Esempio 1.5.2

Per segnali continui definiti sullintervallo [0, 1] la seguente operazione e un prodottointerno:

(f(t), g(t)) =

10

f(t)g(t)dt

Esempio 1.5.3

Per i segnali a tempo discreto (con opportune condizioni che garantiscono la conver-genza) la seguente operazione e un prodotto interno

(f(n), g(n)) =+

k=f(k)g(k)

Una base {f1(t),...,fk(t),...} e detta ortogonale se i = j risulta :(fi(t), fj(t)) = 0

Da esempio 1.5.1, infatti il prodotto interno e 0 se langolo tra i vettori e tale checos = 0, cioe i vettori sono perpendicolari.Possiamo a questo punto enunciare limportante


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Fatto 1: se {f1(t),...,fk(t), . . .} e una base ortogonale per uno spazio di segnali F, alloraogni segnale f(t) F e tale che:

f(t) =k

akfk(t)

dove

aj =(f(t), fj(t))

(fj(t), fj(t))

Dim:

(f(t), fj(t)) =k

akfk(t), fj(t) =k

ak(fk(t), fj(t)) = aj(fj(t), fj(t))

Ricavando aj, si ottiene il risultato.

Se in una base ortogonale {f1(t),...,fk(t),...} vale ulteriormente che (fj(t), fj(t) ) = 1per ogni j, la base viene detta ortonormale.Per basi ortonormali, il Fatto 1 si specializza come segue:

Fatto 2: se {f1(t),...,fk(t),...} e una base ortonormale per uno spazio di segnali F,allora ogni segnale f(t) F e tale che:

f(t) =k

akfk(t)

doveaj = (f(t), fj(t))

Esempio 1.5.4

Consideriamo lo spazio dei segnali x(n) a tempo discreto (con la condizione aggiuntivache

+n= x

2(n) < ). Il segnale impulso unitario (n) e il segnale che vale 1 pern = 0 e 0 altrimenti, cioe:

(n) =

1, n= 0;0, n= 0.

Si puo osservare che la famiglia dei segnali

{...,(n + k),...(n + 1), (n), (n 1), (n 2), ...(n k),...}

cioe {(n k)|k Z}, e una base per lo spazio dei segnali a tempo discreto. Si osserviinfatti che (n k) = 1 se n = k, altrimenti (n k) = 0. Preso allora un qualsiasisegnale x(n), vale:

x(n) =

k=x(k)(n k)


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Ne segue che ogni segnale e esprimibile come combinazione lineare dei segnali(n k) ( < k < ). Per i segnali a tempo discreto unutile nozione di prodottointerno e la seguente:

(x(n), y(n)) =

n=x(n)y(n)

Si osserva immediatamente che la base{(nk)|k Z} e una base ortogonale. Infatti:

((n k), (n k)) =

n=2(n k) = 1

se invece k = j, vale che:

((n k), (n j)) =

n=(n k)(n j) = 0

Esempio 1.5.5

Nello spazio dei segnali a tempo continuo, linsieme delle funzioni impulso (delta diDirac) {(t x) : x R}, presentatata nella sezione 1.3, rappresenta una base per i segnali a tempo continuo. Infatti ogni segnale f(t) puo essere espresso comecombinazione lineare generalizzata di impulsi dove il coefficiente moltiplicativo di(t x) e proprio f(x), ovvero:

f(t) =

f(x)(t x)dx.

Quanto detto si puo dimostrare osservando per prima cosa chef(t)(tx) = f(x)(tx), poiche (t x) = 0 per x = t. Allora:+

f(x)(t x)dx =

+

f(t)(t x)dx = f(t)

+

(t x)dx = f(t).

1.6 Sistemi Lineari

Consideriamo due spazi vettoriali di segnali F1 e F2. Questo significa che per segnalif, g F1(F2) la somma (f + g) F1(F2) e la moltiplicazione per uno scalare af F

1(F

2).Consideriamo ora un sistema, il cui comportamento e dato da

S : F1 F2Se succede che la risposta a una somma di segnali e la somma delle risposte, e che la rispostaalla moltiplicazione di un segnale per uno scalare e la moltiplicazione della risposta per loscalare, allora il sistema e detto lineare.

Formalmente:


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1.6. Sistemi Lineari 19

Definizione 1.1 Siano F1 e F2 due spazi lineari di segnali. Un sistema S : F1 F2 elineare se

S(f(t) + g(t)) = S(f(t)) + S(g(t)),S(af(t)) = aS(f(t)).

Esempio 1.6.1

La modulazione di ampiezzaMA di un segnalef(t) e realizzata moltiplicando f(t) perA cos t, cioe:

MA(f(t)) = A cos t f(t).

Essa e descritta da un sistema lineare, infatti:

MA(af(t) + bg(t)) = A cos t (af(t) + bg(t))

= aA cos t f(t) + bA cos t g(t)= a MA(f(t)) + b MA(g(t))

Esempio 1.6.2

La modulazione di fase MF di un segnale f(t) e descritta dal sistema

MF(f(t)) = cos(t + f(t)).

Poiche in generale cos(t + (f+ g)) = cos(t + f)+cos(t + g), MF non e un sistemalineare.

Ogni sistema lineare S possiede limportante proprieta di sovrapposizione : se lingressof(t) consiste in una sovrapposizione di segnali f1(t),...,fm(t) (cioe f(t) =

mk=1 ak fk(t))

allora la risposta g(t) ad f(t) e la sovrapposizione pesata delle risposte del sistema ad ognisingola componente S(f1(t)),...,S(fm(t)) vale a dire:

S

mk=1

ak fk(t)

=

mk=1

ak S(fk(t))

Una nozione importante relativa agli spazi lineari e quella di base: una base e uninsieme di vettori

{f1

, . . . , f n}

tale che ogni altro vettore f puo essere ottenuto comecombinazione lineare f =

i ifi di elementi della base, e contemporaneamente nessun

elemento della base puo essere ottenuto come combinazione lineare dei rimanenti.Un sistema lineare S e univocamente definito conoscendo le risposte del sistema sugli

elementi di una base. Infatti, per ogni ingresso f, f e ottenuto come combinazione linearef =

i ifi e vale:

S(f) = S

i

ifi

=i

iS(fi).


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Conoscendo quindi S(fi) per ogni i, riusciamo a conoscere S(f) per tutti i segnali f dellospazio.

Queste considerazioni, introdotte per spazi a base finita, possono essere estese (con

qualche precauzione) a spazi piu generali. Il seguente importante esempio introduce unabase indiciata su un continuo, per segnali a tempo continuo, e una base numerabile persegnali a tempo discreto.

Esempio 1.6.3

Richiamiamo la funzione impulso (o delta di Dirac) (t). Essa possiede le seguentiproprieta:

(t x) = 0 se t = x,

+

(t x)dx = 1.

Limportanza della funzione impulso nasce dal fatto che linsieme degli impulsi{(t x) : x R} rappresenta una base per i segnali a tempo continuo. Infatti:

Fatto 1.1 Ogni segnale f(t) puo essere espresso come combinazione lineare general-izzata di impulsi, ovvero

f(t) =

+

f(x)(t x)dx.

Il segnale f(t) e ottenibile quindi da una combinazione lineare generalizzata diimpulsi (t x), dove il coefficiente moltiplicativo di (t x) e proprio f(x).

Una giustificazione di Fatto 1.1 puo essere ottenuta osservando che f(t)(t x) =f(x)(t x), poiche (t x) = 0 per x = t. Allora:+

f(x)(t x)dx =

+

f(t)(t x)dx = f(t)

+

(t x)dx = f(t).

Analogamente una base per segnali x(n) a tempo discreto puo essere ottenuta con-siderando limpulso unitario (n):

(n) =

1 se n = 0

0 altrimenti.

Poiche (n k) = 1 se n = k e (n k) = 0 se n = k, si verifica direttamente che per

ogni segnale x(n) vale:

Fatto 1.2

x(n) =+

k=x(k)(n k).

Di conseguenza {(n k) : k Z} risulta una base per segnali a tempo discreto.


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1.6.1 Sistemi Lineari Tempo-Invarianti (LTI)

Intuitivamente, un sistema e tempo-invariante se le sue caratteristiche non si modificano

nel tempo. Questo significa che la risposta del sistema a un segnale ritardato e la rispostaritardata del sistema al segnale.

Definizione 1.2 Un sistema S : F1 F2 e tempo-invariante quando per ogni ingressof(t), se g(t) = S(f(t)) allora g(t t0) = S(f(t t0)), per ogni t0.

Ad esempio, il pianoforte puo essere visto come un sistema che trasforma la pressionedelle dita in suono. Medesime esecuzioni in tempi diversi portano agli stessi suoni, natural-mente in tempi diversi. In questo senso il pianoforte e un sistema tempo-invariante. Tuttocio e subordinato al fatto che le caratteristiche meccaniche del pianoforte non si modifichi-no nel tempo: quando questo accade, il pianoforte diventa un sistema tempo-variante ede necessario lintervento dellaccordatore.

Esempio 1.6.4

Il sistema g(t) = a f(t), che amplifica lingresso di un fattore a, e tempo-invariante.Infatti la risposta al segnale ritardato f(t t0) eaf(t t0), che coincide con g(t t0).Si osservi che tale sistema e sia lineare che tempo-invariante.

Esempio 1.6.5

La modulazione di ampiezza MA data da:

g(t) = MA(f(t)) = cos(t) f(t).

risulta essere un sistema lineare ma non tempo invariante. Infatti la risposta al segnaleritardato f(t t0) e cos(t) f(t t0), diversa dag(t t0) = cos((t t0)) f(t t0).

Esempio 1.6.6

Si consideri la funzione gradino unitario u(x) definita da

u(x) = 1 se x 0

0 altrimenti.

Il circuito sogliatore e descritto dal sistema S(f(t)) = u(f(t)). Tale sistema e tempo-invariante ma non lineare, come si verifica immediatamente.

Di grande interesse risultano i sistemi che sono contemporaneamente lineari e tempo-invarianti, e che chiameremo con lacronimo LTI. Da un lato, e infatti disponibile unabuona teoria su tali sistemi, di grande aiuto allanalisi e alla progettazione; dallaltro,


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spesso lanalisi di sistemi non lineari puo in prima approssimazione richiamare metodiusati per i sistemi LTI.

Se S e un sistema lineare tempo-invariante (LTI) per segnali a tempo continuo, il suo

comportamento e completamente individuato dalla sua risposta alla funzione impulsiva(t).

Infatti:

Fatto 1.3 Se S e un sistema lineare tempo-invariante, allora

S(f(t)) =

f(x)h(t x)dx =

h(y)f(t y)dy,

dove h(t) e la risposta S((t)) del sistema allimpulso (t).

Dimostrazione. Poiche il sistema e lineare vale:

S(f(t)) = S

f(x)(t x)dx =

f(x)S((t x))dx.

Essendo inoltre tempo-invariante, se h(t) = S((t)) allora h(t x) = S((t x)), e quindi

S(f(t)) =

f(x)h(t x)dx.

Col cambio di variabile y = t x, e quindi x = t y, si ottiene

f(x)h(t x)dx =

h(y)f(t y)dy

Un risultato analogo vale per sistemi a tempo discreto:

Fatto 1.4 Se S e un sistema lineare tempo-invariante, allora

S(x(n)) =

k=

x(k)h(n k) =

s=

h(s)x(n s),

dove h(n) e la risposta S((n)) del sistema allimpulso unitario.

La legge che associa a due segnali a tempo continuo f e h il segnale

+

f(x)h(t x)dx (1.1)

e detta prodotto di convoluzione di f e h, e si denota f h.Analogamente per segnali a tempo discreto x(n) e y(n) la convoluzione e definita da:

(x y)(n) =

k=

x(k)y(n k).


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I precedenti risultati (Fatto 1.3 e Fatto 1.4), espressi in termini di convoluzione, as-seriscono che la risposta di un sistema LTI a un dato segnale dingresso e ottenuta dallaconvoluzione del segnale dingresso con la risposta del sistema allimpulso.

Esempio 1.6.7

Sia dato un sistema LTI che ha come risposta allimpulso (t) il gradino unitario u(t).Si vuole determinare la risposta g(t) del sistema allingresso f(t), dove:

f(t) = eatu(t) a > 0,

Per il Fatto 1.3 si ha:

g(t) =

+

f(x)u(tx)dx =

+

eaxu(x)u(tx)dx =t0

eatdt =1

a(1eat)u(t).

In Figura 1.17 e mostrato il grafico di y(t).

y(t)

1/a

0 t

Figura 1.17 Risposta del sistema con input x(t) = eatu(t).

1.6.2 Sistemi Causali e Stabili

Nel mondo fisico vige, fino a prova contraria, il cosiddetto principio di causalita: leffettonon puo precedere la causa che lo ha generato. Unimportante condizione per la realiz-zabilita fisica di un sistema per il trattamento di segnali temporali e quindi che esso siacausale :

Definizione 1.3 Un sistema si dice causale se ad ogni istante di tempo luscita dipendeunicamente dai valori dellingresso al tempo presente e ai tempi passati.


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Per questo motivo un sistema causale viene anche detto nonanticipativo, nel senso cheil valore della risposta al tempo t non richiede la conoscenza dei valori dellingresso a tempit > t. Come conseguenza, se due ingressi del sistema sono identici fino ad un certo istante

t0, le corrispondenti uscite devono essere uguali fino a quellistante.Nei sistemi LTI il comportamento del sistema e univocamente individuato dalla sua

risposta allimpulso (t). Per questi sistemi la nozione di casualita puo essere semplificata:

Definizione 1.4 Un sistema S e causale se la sua risposta h(t) allimpulso e nulla pervalori di t negativi, cioe quando h(t) = 0 per t < 0.

Se un sistema LTI e causale, allora si puo porre:

1. caso continuo:

S(f(t)) =

0h(x)f(t x)dx.

2. caso discreto:

S(x(n)) =k=0

h(k)x(n k).

Se in aggiunta la risposta allimpulso e finita, cioe h(n) = 0 per n > q per unopportuno intero q si ha:

S(x(n)) =

qk=0

h(k)x(n k).

Sistemi del tipo sopra definito sono detti anche filtri FIR (Finite Impulse Response)e sono essenzialmente descritti dal vettore [h(0), . . . , h(q)]. Infatti, detto y(n) ilsegnale di uscita su ingresso x(n), la relazione ingresso-uscita e data da:

y(n) = h(0)x(n) + h(1)x(n 1) + . . . + h(q)x(n q)

Si osservi che luscita al tempo n e la combinazione lineare degli ingressi ai tem-pi n, n 1,...,n q avente come coefficienti i valori non nulli della risposta allimpulsoh(0), h(1),...,h(q).

Unaltra nozione di interesse pratico e quella di stabilita. Ricordiamo che un segnalea tempo continuo f(t) e detto limitato se esiste M > 0 tale che

|f(t)

|< M per ogni t.

Analogamente, un segnale a tempo discreto x(n) e detto limitato se esiste M > 0 tale che|x(n)| < M per ogni n. Allora diremo che

Definizione 1.5 Un sistema S e stabile (o BIBO, cioe Bounded Input Bounded Output)se trasforma segnali limitati in segnali limitati.

I sistemi lineari tempo-invarianti stabili sono caratterizzati da una semplice proprietadella risposta allimpulso:


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Fatto 1.5 Un sistema lineare tempo-invariante S e stabile sse, detta h(t) la risposta di Sallimpulso, vale che:

+ |

h(t)|dt < +

.

Dimostrazione. Supponiamo, per prima cosa, che+ |h(t)|dt < + e dimostriamo che

il sistema e stabile. Se f(t) e limitata, cioe esiste M > 0 tale che |f(t)| < M per ogni t,allora luscita del sistema su ingresso f(t) e il segnale g(t) tale che:

|g(t)| =+

h()f(t )d

+

|h()||f(t )|d M+

|h()|d.

Questo implica che g(t) e limitato e quindi il sistema e stabile.

Supponiamo ora che + |

h(t)|dt = +

e dimostriamo che il sistema non e stabile.

Se poniamo infatti in ingresso al sistema il segnale f(t) = sgn(h(t)) chiaramentelimitato, luscita g(t) e tale che:

g(0) =

+

h()f()d =+

h()sgn(h())d =

+

|h()|d = +.

Il sistema non risulta quindi stabile.

Per sistemi LTI che operano su segnali a tempo discreto vale un risultato analogo:

Fatto 1.6 Un sistema LTI e stabile sse la risposta h(n) allimpulso unitario e tale che

+n= |h(n)| < +.Poiche la risposta allimpulso h(n) di un filtro FIR causale e tale che h(n) = 0 se n < 0 en > q risulta:

+n=

|h(n)| =q1n=0

|h(n)| < +,

si puo concludere che i filtri FIR sono sistemi sempre stabili.


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Capitolo 2

Analisi in Frequenza di Segnali

Analogici

Per lo studio dei sistemi lineari puo essere utile un cambiamento di rappresentazionedel segnale: invece di esprimere il segnale f(t) come sovrapposizione di impulsi (f(t) =+ f(x)(t x)dx) lo si rappresenta come sovrapposizione di altri segnali-base (f(t) =+ a(x)H(t, x)dx, dove H(t, x) sono da scegliere in modo opportuno).

Una base particolarmente interessante e quella introdotta e studiata da Jean Baptiste

Joseph Baron de Fourier, governatore del Basso Egitto sotto Napoleone e autore di unmonumentale trattato sulla propagazione del calore pubblicato nel 1822. In questo lavoroveniva introdotto il concetto di serie di Fourier; la trasformata di Fourier (o integrale diFourier) e una semplice estensione della serie che si applica a segnali arbitrari, mentre laserie si applica solo a segnali periodici.

Per lintroduzione della trasformata di Fourier e opportuno considerare segnali a valoricomplessi: poiche i numeri reali sono un sottocampo dei complessi, potremo trattare isegnali reali come opportune restrizioni.

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2.1. Numeri Complessi 29

La relazione tra coordinate polari (r, ) e coordinate cartesiane (a, b) e data dalla seguentecoppia di equazioni:

r =

a2 + b2 =

(Re {z})2 + (Im {z})2, = arctan ba

= arctan

Im {z}Re {z}

,

r e chiamato modulo di z mentre e la sua fase; scriveremo r = |z| e = ph z. Unaltrautile rappresentazione di un numero complesso e la cosidetta forma esponenziale o polare:

z = rei,

che si ottiene applicando alla forma trigonometrica la relazione di Eulero:

ei = cos + i sin .

Questultima rappresentazione e utile specialmente riguardo alla moltiplicazione e alladivisione di numeri complessi. Il prodotto di due numeri complessi e il numero complessoche ha come modulo il prodotto dei due moduli e come fase la somma delle due fasi:

|z1 z2| = |z1| |z2|; ph(z1 z2) = ph(z1) + ph(z2).

Infatti, se z1 = r1ei e z2 = r2e

i, si ha:

z1z2 = r1(cos + i sin ) r2(cos + i sin )= r1r2[cos cos sin sin + i(sin cos + cos sin )]= r1r2[cos( + ) + i sin( + )] = r1r2e

i(+)

La potenza ennesima di z = rei si ottiene facilmente applicando ripetutatmente la formulaprecedente:

zn = rnein = rn(cos n + i sin n).

La radice n-esima di un numero complesso z e un numero x tale che xn = z. Sez = ei e x = rei, vale allora:

ei = rnein

Ricordando che due numeri complessi sono uguali se hanno lo stesso modulo e la differenzafra le fasi e multipla intera di un angolo giro, otteniamo:

rn = n

= 2k (k

Z).

Si conclude allora che un numero complesso ei ha n radici complesse tutte con lo stessomodulo r = 1/n e fasi = n +

2kn (k = 0, . . . , n 1).

Se z = a + ib, il complesso coniugato di z e il numero complesso z = a ib. Geo-metricamente z rappresenta il simmetrico di z rispetto allasse reale. La definizione diconiugato implica che:

z1 + z2 = z1 + z2, z1z2 = z1z2, z1/z2 = z1/z2.


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30 Analisi in Frequenza di Segnali Analogici

Risulta inoltre che la somma e il prodotto di numeri complessi coniugati sono semprenumeri reali; in particolare:

z + z = 2 Re {z} , zz = |z|2

.

Riassumendo, la notazione precedentemente introdotta ci consente di:

1. esprimere un numero complesso in forma esponenziale z = rei,

2. esprimere le funzioni trigonometriche mediante quella esponenziale, piu semplice damanipolare:

ei = cos + i sin , ei = cos i sin

cos = 12

ei + ei

, sin = 12i

ei ei .2.2 Segnali Periodici

Unimportante classe di segnali e quella dei segnali che si ripetono periodicamente neltempo. Piu precisamente, diremo che un segnale f(t) e periodico di periodo T se, perogni t, vale che f(t) = f(t + T).

Se un segnale f(t) e periodico di periodo T allora, per ogni k intero, f(t) = f(t + kT);la funzione f(t) periodica di periodo T risulta pertanto univocamente individuata dallasua restrizione allintervallo T2 t T2 , come mostrato in Figura 2.2.

. . . . . .

T/2 3T/2 t

f(t)

-3T/2 -T/2

Figura 2.2 Funzione periodica di periodo T.

Esempio 2.2.1

Poiche sin(t + 2) = sin t e cos(t + 2) = cos t per ogni t, le funzioni sinusoidali sin te cos t sono funzioni periodiche di periodo 2.

E facile verificare che la combinazione lineare di funzioni periodiche di periodo T euna funzione periodica dello stesso periodo; la funzione esponenziale complessa ei =


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2.3. Serie di Fourier complessa. 31

cos t + i sin t e allora periodica di periodo 2. Si osservi inoltre che se f(t) e periodica diperiodo T, allora f(t) e periodica di periodo T /.

Dato un segnale periodico f(t), con frequenza del segnale si intende il numero diripetizioni del periodo nellunita di tempo. Se lunita di misura del tempo e il secondo(sec), la frequenza puo essere misurata in Hertz (Hz) oppure radianti al secondo (rad/sec).Piu precisamente, un segnale f(t) di periodo T ha frequenza f = 1T Hz oppure =

2T

rad/sec.

Esempio 2.2.2

Il segnale cos t ha una frequenza di rad/sec oppure di 2 Hz; analogamente unsegnale di 6 kHz ha una frequenza di circa 38.000 rad/sec.

Esempio 2.2.3

Nei sistemi di comunicazione e usuale dividere le frequenze in bande. Una convenzionespesso usata e quella di identificare le bande con numeri, cos che la banda N e datada tutte le frequenze:

0.3 10N Hz < banda N < 3 10N.

Ad esempio, la banda 6 va da 300 kHz a 3 MHz.

Per quanto riguarda la classifcazione sono state individuate le seguenti bande:

le frequenze audio occupano le bande 2,3,4 (30 Hz 30 kHz);

le frequenze video occupano le bande 1,2,3,4,5,6,7 (fino a 30 MHz);

le microonde occupano le bande 8,9,10,11 (30 MHz 300 GHz).

La banda 5 e anche detta LF (bassa frequenza), la banda 6 e detta MF (media fre-quenza), la banda 7 e detta HF (alta frequenza), la banda 8 e detta VHF e la banda9 e detta UHF. Le usuali trasmissioni radio in modulazione di ampiezza avvengononella banda MF(6), quelle in modulazione di frequenza nella banda VHF (8).

2.3 Serie di Fourier complessa.

Consideriamo ora segnali a tempo continuo e a valori complessi.Il segnale f(t) e pertanto individuato dal suo modulo |f(t)| 0 e dalla sua fase ph(f(t)).

I segnali periodici di periodo T, cioe quei segnali f(t) tale che f(t) = f(t + T) per ognit, formano uno spazio lineare: la combinazione lineare di segnali periodici di periodo Te sempre un segnale periodico di periodo T. In questo spazio e possibile introdurre ilseguente prodotto interno:

(f(t), g(t)) =

T0

f(t)g(t)dt

Le due proprieta del prodotto interno sono infatti verificate:


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Proprieta 1 Se f(t) = 0, allora

(f(t), f(t)) = T

0

f(t)f(t)dt = T

0 |f(t)

|2dt > 0

Proprieta 2

(c1f1(t) + c2f2(t), g) =

T0

(c1f1(t) + c2f2(t))g(t)dt =

= c1

T0

f1(t)g(t)dt + c2

T0

f2(t)g(t)dt =

= c1(f1(t), g(t)) + c2(f2(t), g(t))

Il nucleo dei risultati di Fourier puo essere riassunto come segue:

Fatto 1: I segnali {e2i nT t| < n < +} formano una base ortogonale nello spazio disegnali periodici di periodo T.

Verifichiamo qui che tali vettori sono a coppie ortogonali. Infatti:

(e2in

Tt, e2i

k

Tt) =

T0

e2in

Tte2i

k

Ttdt =

T0

e2ink

Ttdt

Distinguiamo i due casi:

Caso 1: Se n = k, allora

(e2i

T nt, e2i

T nt) =T0

1dt = T

Caso 2: Se n = k, allora

(e2in

Tt, e2i

k

Tt) =

T0

e2ink

Ttdt =

= [T

2i(n k) e2i nk

Tt]T0 =

=T

2i(n k) (e2i(nk) 1) = 0

La teoria precedentemente esposta, particolarizzata alla base di Fourier, ci permettedi risolvere il problema di analisi. In particolare vale:

1. Ogni segnale f(t) di periodo T puo essere espresso come sovrapposizione dei segnalie2i

n

Tt( < n < +) con coefficienti cn, cioe:

f(t) =+

n=

cne2i n

Tt


37/93

2.3. Serie di Fourier complessa. 33

2. Il generico coefficiente cn e ottenuto dal prodotto interno:

cn =1

T T

0

f(t)e2in

Tt

Fissata quindi la base di Fourier, dato il segnale f(t) posso ottenere i coefficienti cn,dati i coefficienti cn posso ricostruire il segnale f(t). Essi sono detti essere la rappresen-tazione in frequenza del segnale o spettro del segnale.

I coefficienti cn offrono dunque una rappresentazione alternativa del segnale f(t).

Osserviamo ora che il segnale e2in

Tt e un segnale periodico con frequenza nT: infatti

e2i

Tn(t+T

n) = e2i

n

Tt+2i = e2i

n

Tte2i = e2i

n

Tt.

Tale segnale e detto ennesima armonica; la piu bassa frequenza delle armoniche e 1T, cioequella della prima armonica. Tutte le altre frequenze sono multipli interi della frequenza

della prima armonica: nT = n1T. Il coefficiente cn da il peso dellarmonica e

2iT nt nel segnale

f(t). Il coefficiente c0 rappresenta la componente continua (o valor medio) di f(t).Osserviamo infine che i coefficienti cn sono usualmente numeri complessi, anche quandof(t) e a valori reali. Essi sono quindi individuati da |cn|, ph(cn) dove:

1. |cn| = Modulo del peso dellarmonica di frequenza nT2. ph(cn) = Fase del peso dellarmonica di frequenza

nT.

Un problema interessante che si pone a questo punto, con ricaduta in particolare sulpiano applicativo, e quello di approssimare una funzione periodica f(t) con un numerofinito di componenti armoniche, cioe con la somma parziale:

SN(t) =N

n=N

cnein 2

Tt,

dove i cn sono coefficienti dellespansione in serie di Fourier di f(t). Lo studio della qualitadellapprossimazione e ridotto allora allo studio della convergenza nelle serie di Fourier.

Senza fare una trattazione matematica rigorosa, diremo semplicemente che un fenomenostudiato in questa teoria (noto come fenomeno di Gibbs) e quello per cui in certi casi (pre-senza di discontinuita), la successione delle somme parziali converge in ogni punto, manon uniformemente. Ad esempio, nella Figura 2.3 viene illustrata la convergenza alla serieS(t) =

+n= rne

int, dove S(t) e una funzione periodica di periodo 2 definita come:

S(t) =1, se |t| < 10, se 1 < |t| < .

Come si nota dalla figura, esiste un valore > 0 tale che, per ogni N:

sup


38/93


S (t)25

S (t) S (t)3 7

t

S (t)201

t1-1

1-1

1

1-1

-1

1

11

1

t t

Figura 2.3 Convergenza delle somme parziali SN(t) =NX

n=N

rneint.

2.4 Trasformata di Fourier

Abbiamo visto che i segnali periodici di periodo T sono ottenibili come sovrapposizione diuna componente continua e di armoniche ei2

n

Tt, le cui frequenze (positive) sono 1T,

2T,

nT,

n+1T ,.... Tuttavia gran parte dei segnali di interesse non sono periodici e quindi la teoria

precedentemente esposta non si applica direttamente. Questa sezione e dedicata ad intro-durre lo strumento base per lanalisi in frequenza di segnali non periodici: la trasformatadi Fourier.Giustifichiamo lintroduzione della trasformata a partire dalla serie di Fourier. Lidea prin-cipale e la seguente: dato un segnale non periodico f(t), fissato T, si considera il segnale,fT(t), periodico di periodo T e coincidente con f(t) nellintervallo [ T2 , T2 ].

Possiamo allora pensare che:

f(t) = limT

fT(t)

Poiche fT(t) e di periodo T, puo essere sviluppata in serie di Fourier:

fT(t) =

n=

cnei 2

Tnt,

cn =1

T

T2

T2

fT(t)ei2

Tntdt.


39/93

2.4. Trasformata di Fourier 35

Chiamando n =nT la frequenza dellennesima armonica, = n+1

n =

1T, lin-

cremento tra una frequenza e la successiva F(n) = cnT, le precedenti espressioni siscrivono:

fT(t) =

n=

F(n)ei2nt,

F(n) =

T2

T2

fT(t)ei2ntdt.

Per T vale che fT(t) coincide con f(t) e 0 e quindi la serie precedente siriduce ad un integrale definito, ottenendo:

f(t) =

F()ei2td,

F() =

f(t)ei2tdt.

La funzione F() e detta trasformata di Fourier della funzione f(t) e puo essere vistacome la rappresentazione in frequenza del segnale f(t). F() e essenzialmente il peso dellacomponente armonica ei2t , e generalmente un segnale non periodico e ottenuto come la

sovrapposizione di componenti armoniche ei2t , per valori reali di .

La coppia di funzioni F() e f(t) vengono chiamate rispettivamente trasformata di Fouri-er e antitrasformata di Fourier (o trasformata inversa di Fourier, e vengono denotaterispettivamente con F{f(t)} e F1{F()}. Inoltre si puo notare che la corrispondenzaf(t) F() e una corrispondenza biunivoca e lineare.La trasformata di Fourier F() viene anche chiamata spettro del segnale f(t): lo spettrodel segnale e quindi individuato dal suo modulo |F()| e della sua fase ph(F()).

Il supporto dello spettro F() e dato dallinsieme { : F() = 0}. Risultano di parti-colare interesse i segnali a supporto limitato, detti anche a banda limitata: un segnale f(t)

e detto a banda limitata dalla frequenza W se per || > W risulta F() = 0. In Figura2.4 e mostrato il modulo di un tipico spettro V() della voce umana.

Lindustria telefonica si avvantaggia della forma dello spettro della voce per ridurre ladimensione della banda di frequenza necessaria alla trasmissione troncandone le compo-nenti oltre i 3000 Hz, come mostrato in Figura 2.5.

La trasformata di Fourier gioca per i segnali aperiodici un ruolo analogo a quello dellaserie di Fourier per i segnali periodici, poiche entrambe esprimono il segnale come com-binazione lineare di esponenziali complessi. Per i segnali periodici, questi esponenziali


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-3000 -300 300 3000

V()|

Figura 2.4 Tipico spettro (modulo) della voce umana.

-300 300

V()|

3000-3000

Figura 2.5 Tipico spettro troncato della voce umana.

complessi sono definiti per frequenze discrete n 1T ( < n < +) e sono pesati conampiezze cn.

Per segnali aperiodici, gli esponenziali complessi sono definiti su un continuo di fre-quenze ( < < +) e sono pesati con ampiezze pari a F()d.

Esempio 2.4.1

Si consideri il segnale

f(t) = eatu(t), a > 0.

La trasformata di Fourier di f(t) e

F() = +

0

eatei2tdt = 1

a + i2e(a+i2)t

0

=1

a + i2, a > 0.

Poiche questa trasformata e a valori complessi, F() puo essere rappresentata mediantedue grafici, rispettivamente del suo modulo e della sua fase, (Figura 2.6), in cui moduloe fase sono dati da:

|F()| =1

a2 + (2)2, ph(F()) = arctan

2

a.


41/93


aa

a a

/4

/2

/2

1/a|F()| phF()

/4

Figura 2.6 Modulo e fase della trasformata di Fourier di f(t) = eatu(t), a > 0.

Esempio 2.4.2

Si consideri il segnale impulso rettangolare

rect(t) =

1 se |t| 1

2

0 se |t| > 12

La trasformata di Fourier di questo segnale e la funzione reale

F() =

12

12ei2tdt = sinc().

In Figura 2.7 e rappresentato il segnale impulso rettangolare e la sua trasformata diFourier.

11

111/2 1/2

rect(t) F()

t

Figura 2.7 Il segnale impulso rettangolare e la sua trasformata di Fourier.


42/93


2.4.1 Esistenza della Trasformata di Fourier

Nella sezione precedente abbiamo ottenuto lequazione generale della trasformata di Fouri-

er e della sua inversa; qui ci proponiamo di discutere brevemente sotto quali condizionitale trasformata esiste.In generale, perche la trasformata di una data funzione f(t) esista, deve esistere ed

essere finito per ogni t il valore: +

f(t)e2tdt.

Un insieme di condizioni sufficienti per lesistenza della trasformata di Fourier e datodalle cosiddette condizioni di Dirichlet, elencate di seguito:

1. f(t) deve essere assolutamente integrabile, cioe

+

|f(t)|dt < ;

2. f(t) deve avere un numero finito di minimi e di massimi in ogni intervallo finito;

3. f(t) deve avere un numero finito di discontinuita in ogni intervallo finito.

In particolare, per quanto riguarda lultima condizione si deve aggiungere che nei punti didiscontinuita in cui il limite destro ed il limite sinistro della f(t) sono diversi, la trasformatainversa converge al valore medio dei due limiti stessi.

Tutte le funzioni di interesse pratico che considereremo di seguito soddisfano le con-dizioni 2. e 3. sopra citate. Utilizzeremo invece spesso funzioni (o funzioni generaliz-

zate) che non verificano la prima condizione, pur avendo trasformata di Fourier. Alcuniimportanti esempi sono elencati di seguito.

Esempio 2.4.3

In questo esempio calcoliamo la trasformata di Fourier della delta di Dirac (t) e latrasformata di Fourier della funzione costante 1. Si osservi che in questultimo caso laprima condizione di Dirichlet non e verificata.

Ricordando che, se f(t) e una funzione continua in 0, allora vale:+

f(t)(t)dt = f(0),

possiamo concludere che:

F{(t)} =

+

(t)e2tdt = e2tt=0

= 1.

Usando il fatto che la trasformata di Fourier e unica, dalla precedente espressionesegue immediatamente che:

F1 {1} =

+

1 e2td = (t). (2.1)


43/93


Possiamo quindi concludere che la trasformata di Fourier della funzione costantef(t) =1, e (t).

Esempio 2.4.4

Un importante esempio di funzione usata nei sistemi di comunicazione e la funzionesignum o sgn, definita come segue:

sgn(t) =

1, per t > 0

0, per t = 0

1, per t < 0

.

Anche in questo caso la funzione non e assolutamente integrabile, quindi occorretrovare un diverso metodo di integrazione per calcolarne la trasformata. A tal riguardo

si consideri la seguente uguaglianza di facile verifica:

sgn(t) = lima0

ea|t| sgn(t).

La sua trasformata di Fourier risulta pertanto essere:

F {sgn(t)} = F

lima0

ea|t| sgn(t)

= lima0

F

ea|t| sgn(t)

,

in cui loperazione di limite e di integrazione sono stati scambiati senza dare unagiustificazione matematica precisa. Poiche:

F

ea|t| sgn(t)

=

0

e(ai2)tdt +0

e(a+i2)tdt = 1

a i2+

1

a + i2,

possiamo concludere che:

F{sgn(t)} = lima0

1

a i2+

1

a + i2=

1

i. (2.2)

Esempio 2.4.5

Unaltra importante funzione, legata alla funzione signum da una semplice trasfor-mazione, e la funzione gradino unitario u(t), definita nellEsempio 1.6.6. Infatti essapuo essere scritta come:

u(t) =

1

2 +

1

2 sgn(t),da cui otteniamo la sua trasformata di Fourier:

F{u(t)} =1

2F{1} +

1

2F{sgn(t)} (per la linearita)

=1

2() +

1

i2.


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2.4.2 Trasformata di Fourier di Funzioni Reali

La trasformata di Fourier F() di un segnale reale f(t) e in generale una funzione a valori

complessi. Per visualizzare graficamente F() e allora necessario considerare separata-mente il modulo |F()| e la fase phF() della trasformata, le cui espressioni analitichesono mostrate di seguito:

|F()| =

(Re {F()})2 + (Im {F()})2,

phF() = arctan

Im {F()}Re {F()}

.

Dato un segnale reale f(t) che ammette F() come trasformata, a causa dellidentitaei2t = cos(2t)+i sin(2t), la parte reale Re {F()} e la parte immaginaria Im {F()}sono rispettivamente:

Re {F()} = +

f(t) cos(2t)dt, Im {F()} = +

f(t) sin(2t)dt.

Poiche la funzione coseno e pari e la funzione seno e dispari, si ha che:

Re {F()} = Re {F()} , Im {F()} = Im {F()} .Vale di conseguenza che:

|F()| = |F()|, phF () = phF().Ne consegue che per funzioni reali il modulo della trasformata |F()| e una funzione

pari e la fase phF() e una funzione dispari. In Figura 2.8 e mostrato un tipico esempiodel modulo e della fase della trasformata di una funzione reale (si veda anche lEsempio2.4.1).

|F()|

phF()

Figura 2.8 Modulo e fase della trasformata di Fourier di un segnale f(t) reale.

|F()| e phF() (e quindi F()) sono quindi ricostruibili a partire da valori di |F()|e phF() per 0. In questo senso linformazione dello spettro di un segnale reale eportata dai valori positivi di .


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Tabella 2.1 Proprieta delle Trasformate di Fourier.

Proprieta f(t)

F(

)Linearita af(t) + bg(t) aF() + bG()

Dualita (simmetria) F(t) f()Traslazione (tempo) f(t t0) ei2t0F()Traslazione (frequenza) ei20tf(t) F( 0)Convoluzione (tempo)

+ f(x)g(t x)dx F()G()

Convoluzione (frequenza) f(t)g(t)+ F(y)G( y)dy

Modulazione f(t) cos(20t)12 [F(+ 0) + F(

0)]

Scalatura f(at) 1|a|Fa

Differenziazione d

n

dtn f(t) (i2)nF()

2.4.3 Proprieta della Trasformata di Fourier

Nella Tabella 2.1 vengono riportate (senza dimostrazione) le principali proprieta delletrasformate di Fourier il cui contributo principale, oltre a favorire in molti casi la sem-

plificazione dellanalisi di sistemi complessi, e quello di aiutare a comprendere meglio larelazione tra dominio del tempo e dominio delle frequenze dei segnali.

Di seguito viene proposta la giustificazione di alcune proprieta delle trasformate e neviene mostrato limpiego in alcuni esempi, rimandando a una letteratura piu specializzatale dimostrazioni matematiche formali.

Linearita

F{af(t) + bg(t)} =+

(af(t) + bg(t))ei2tdt

= a

+

f(t)ei2tdt + b

+

g(t)ei2tdt

= aF{f(t)} + bF{g(t)}


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Dualita (simmetria)

Ricordando che:

F{f(t)} = F() = +

f(t)ei2tdt, (2.3)

F1 {F()} = f(t) =

+

F()ei2td, (2.4)

ed osservando la simmetria esistente tra la trasformata (equazione (2.3)) e la sua inversa(equazione (2.4)) rispettivamente nella variabile t e nella variabile , vale allora:

F{F(t)} =+

F(t)ei2tdt

= +

F(t)ei2()tdt

= f().

Traslazione nel tempo e in frequenza

Riguardo la traslazione nel tempo si ha che:

F{f(t t0)} =+

f(t t0)ei2tdt

=

+

f()ei2(+t0)d (con = t t0, da cui dt = d)

= ei2t0F(). (2.5)

La proprieta di traslazione in frequenza si verifica facilmente combinando la proprietadi dualita e quella di traslazione nel tempo.

Convoluzione nel tempo e in frequenza

Per la proprieta di convoluzione nel tempo si ha:

F

+

f()g(t )d

=

+

+

f()g(t )d

ei2tdt (per la (1.1))

=

+

f()

+

g(t )ei2tdt

d

=+

f()ei2G()d (per la traslaz. nel tempo (2.5))

= G()

+

f()ei2d

= G()F()

La convoluzione in frequenza si giustifica applicando la proprieta di dualita a quella diconvoluzione nel tempo.


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Modulazione

F{f(t)cos(20t)} =

+

f(t)cos(20t)e

i2t

dt

=

+

f(t)ei20t + ei20t

2ei2tdt

=1

2

+

f(t)ei2(+0)tdt +1

2

+

f(t)ei2(0)tdt

=1

2[F(+ 0) + F( 0)].

Scalatura

Se a e un reale positivo si ha che:

F{f(at)} =+

f(at)ei2tdt

=1

a

+

f()ei2

ad (con = at, da cui dt = d/a)

=1

aF

a

.

Analogamente, se a e un reale negativo si ha che F{f(at)} = 1aFa

.

Differenziazione

Differenziando entrambi i membri della (2.4) si ha:

d

dtf(t) =

+

i2F()ei2td,

da cui

F

d

dtf(t)

= i2F().

Esempio 2.4.6

La proprieta di linearita e in molti casi utile per trovare la trasformata di Fourier dialcuni tipi di forme donda. Si consideri ad esempio

f(t) = B cos(20t).

Usando la relazione di Eulero,

cos =ei + ei

2


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possiamo riscrivere lespressione perf(t) come

f(t) =B

2 ei20t + ei20t =

B

2ei20t +

B

2ei20t.

Sapendo che la trasformata dellesponenziale complesso ei20t e un impulso traslatoin 0, per la linearita abbiamo che

F{B cos(20t)} =B

2F{ei20t} +

B

2F{ei20t} =

B

2( 0) +

B

2(+ 0),

od anche

B cos(20t)F

B

2[( 0) + ( + 0)] .

Esempio 2.4.7

La trasformata inversa della funzione impulso rettangolare e definita nel dominio dellefrequenze, puo essere ottenuta applicando alla coppia di trasformate dellEsempio 2.4.2la proprieta di dualita:

f(t) = sinct

F

F() = ||rect( ).

2.4.4 Coppie Base di Trasformate

Nella Tabella 2.2 vengono riportate alcune coppie base trasformata-antitrasformata diFourier che spesso si incontrano nella pratica. Queste coppie sono particolarmente utili

per il fatto che in molti casi i sistemi complessi possono essere descritti come combinazionidi sistemi piu semplici dei quali sono note le coppie di trasformate.

2.5 Energia di un Segnale e Relazione di Parseval

In un circuito elettrico composto da una resitenza R e attraversato da una corrente i(t),la tensione ai capi della resistenza e data da V(t) = Ri(t). la potenza P(t) dissipata da

tale sistema e P(t) = V(t) i(t) = V2(t)R .Generalizzando, diremo che la potenza di un segnale f(t) e f2(t). Ne segue che lenergia

E(f) di un segnale f(t) su un intervallo finito t1 t t2 e definita come

E(f) =t2t1

|f(t)|2dt,

Nel caso in cui limT+TT|f(t)|2dt < +, possiamo concludere che lenergia com-

plessiva del segnale e

E(f) =

+

|f(t)|2dt.

Unimportante proprieta della trasformata di Fourier e data dal seguente:


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2.5. Energia di un Segnale e Relazione di Parseval 45

Tabella 2.2 Alcune coppie base di trasformata-antitrasformata (a, dove compare, e unnumero reale positivo).

f(t) F()

rect(t) =

1 |t| 1/20 |t| > 1/2 sinc()

sinc(t) rect()

(t) 1

(t t0) ei2t0

1 ()

ei20t ( 0)

cos(20t)12 [( 0) + ( + 0)]

sin(20t)i2 [( + 0) ( 0)]

eatu(t)1

a + i2

sgn(t)1

i

u(t)1

2() +

1

i2

Fatto 2.1 (Teorema di Parseval) Se f(t) e un segnale continuo e F() la sua trasfor-mata di Fourier, allora: +

|f(t)|2dt =

+

|F()|2d. (2.6)

A causa della relazione di Parseval, enunciata senza dimostrazione, risulta dunque:

E(f) =+ |F()|

2

d.

Possiamo allora attribuire al quadrato del modulo della trasformata di Fourier il seguentesignificato: |F()|2d e il contributo allenergia del segnale offerto dalle sue componenticon frequenza compresa tra e + d.


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Capitolo 3

Filtri Analogici e Modulazione di

Ampiezza

In questo capitolo viene esemplificata la potenza dellanalisi in rappresentazione di fre-quenza su due solidi esempi: i filtri analogici e la modulazione di ampiezza.

Viene ripreso lo studio dei sistemi lineari tempo-invarianti a tempo continuo. Comee noto, luscita e ottenuta dalla convoluzione dellingresso con la risposta del sistemaallimpulso. Data la funzione di trasferimento del sistema, ovvero la trasformata di Fourier

della risposta del sistema allimpulso, si osserva che lo spettro delluscita e il prodotto dellospettro dellingresso per la funzione di trasferimento.

Si analizzano in particolare i filtri ideali, introducendo la terminologia relativa, essi sonocaratterizzati da funzioni di trasferimento a modulo costante in banda passante, nullo inbanda proibita e aventi fase lineare. Poiche tali filtri non sono causali, essi possono esseresoltanto approssimati da filtri fisicamente realizzabili. Il problema della realizzazione difiltri per una data applicazione non e quindi banale, e richiede almeno tre passi per la suasoluzione:

47


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48 Filtri Analogici e Modulazione di Ampiezza

Individuazione delle specifiche del filtro data la particolare applicazione. Determinazione della funzione di trasferimento di un filtro soddisfacente le specifiche

individuate. Realizzazione fisica di un sistema la cui funzione di trasferimento coincide con quella

determinata.

La determinazione di specifiche sufficientemente precise e il primo passo per ottenereun filtro da adottare per una data applicazione. Al fine di descrivere le specifiche delfiltro che si intende realizzare, e necessaria la conoscenza dei parametri che permettanodi valutare la qualita dellapprossimazione a un filtro ideale, quali la frequenza di taglio a3dB, la frequenza di stop, lampiezza della banda di transizione, lattenuazione, la linearitadella fase.

Lindividuazione del filtro viene poi ottenuta selezionando la funzione di trasferimen-to di un filtro causale che soddisfa le specifiche assegnate; in questo capitolo ci limiti-amo a richiamare la soluzione di questo problema allinterno della famiglia dei filtri diButterworth.

Lultima fase consiste nella realizzazione fisica del sistema di cui e nota la funzione ditrasferimento. Le realizzazioni fisiche p ossono essere classificate sulla base delle compo-nenti costituenti il sistema: filtri a elementi RLC passivi, filtri a elementi RC attivi, filtria microonde, filtri a cristallo, filtri elettromeccanici. In questo capitolo accenniamo alletecniche di analisi per circuiti RLC passivi, richiamando i principi di Kirkoff, e alla pro-gettazione di filtri di Butterworth mediante circuiti a elementi attivi come gli amplificatorioperazionali.

3.1 Risposta in Frequenza dei Sistemi Lineari Tempo-Inva-rianti

I sistemi lineari a tempo invarianti (LTI), studiati in Capitolo 1, sono sistemi le cui carat-teristiche non cambiano nel tempo e in cui la risposta a una combinazione lineare di segnalie la combinazione lineare delle risposte ai singoli segnali. In tali sistemi il comportamentoe completamente individuato dalla risposta del sistema alla funzione impulsiva (t).

Infatti se S e un sistema lineare tempo-invariante, h(t) e la risposta S((t)) del sistemaallimpulso (t) e g(t) e la risposta S(f(t)) del sistema allingresso f(t), allora

g(t) =

f(x)h(t x)dx.

In altri termini, luscita g(t) del sistema S e la convoluzione dellingresso f(t) con larisposta allimpulso h(t). A causa della proprieta di convoluzione riportata in Tabella 2.1,denotando con F(), H() e G() rispettivamente le trasformate di Fourier di f(t), h(t)e g(t), si ottiene:

G() = H()F().


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una certa frequenza di taglio c, ed elimina quelle con frequenza superiore a questa soglia.Tale filtro ha quindi la seguente funzione di trasferimento:

H() =

Ae2it0 , || < c0, || > c

,

il cui modulo e la cui fase sono mostrati in Figura 3.1.

A

0c

|H()|

c

ph H()

Figura 3.1 Risposta in frequenza di un filtro passa-basso ideale.

Un filtro passa-alto, viceversa, elimina le componenti in frequenza basse e passa quelle

alte (superiori a c); il filtro passa-banda infine, passa una banda o intervallo di compo-nenti in frequenza (a < < b) ed elimina quelle inferiori o superiori ad essa. Le bandeevidenziate in questi esempi sono quindi due: la banda che interessa preservare effettiva-mente (banda passante) e la banda nella quale si richiede leliminazione (banda proibita).Modulo e fase di filtri passa-alto e passa-banda sono mostrati in Figura 3.2.

0

ph H() ph H()

0c c 2 1 1 2

|H()||H()|

Figura 3.2 Risposta in frequenza di filtri passa-alto e passa-banda.


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3.2. Caratteristiche dei Filtri Analogici 51

Esempio 3.1.1

Ricostruzione di due segnali a partire dalla loro somma.

Fissati due segnali f1(t) e f2(t), si vuole ricostruire f1(t) o f2(t) conoscendo la lorosomma f(t) = f1(t) + f2(t). Questo non e in generale possibile, poiche la conoscenzadella somma non permette di individuare univocamente gli addendi. La ricostruzionee tuttavia possibile in certi casi particolari.

Supponiamo qui che i supporti delle trasformate F1() e F2() dei segnali f1(t) ef2(t) siano disgiunti. Per esempio, consideriamo il caso in cui F1() = 0 per > W1e F2() = 0 per < W2, con W1 < W2 (considerando solo valori non negatividelle frequenze). Applicando al segnale somma f(t) un filtro ideale passa-basso confrequenza di taglio W1, si ottiene in uscita il segnale f1(t). Infatti, se la funzione ditrasferimento del filtro e

H() =

1, || < W1

0, || > W1,

la trasformata di Fourier G() delluscita e tale che:

G() = H()F().

Ricordando che per W1 risulta F() = F1() e H() = 1, mentre per > W1risulta H() = 0 si ottiene:

G() = F1().

Antitrasformando, concludiamo che il filtro produce il segnale f1(t).

3.2 Caratteristiche dei Filtri AnalogiciNella sezione precedente, abbiamo introdotto la nozione di filtro ideale e delineato le princi-pali tipologie: filtro passa-basso, passa-alto e passa-banda. In questo paragrafo studiamola realizzazione pratica di filtri ideali; faremo riferimento esclusivamente a filtri passa-basso, poiche le considerazioni riportate di seguito possono essere estese senza difficoltaagli altri casi.

La funzione di trasferimento tipica di un filtro ideale passa-basso e rect( 2c ). Perstudiare il comportamento di tale sistema nel dominio del tempo, basta determinarnela risposta h(t) allimpulso; essendo essa lantitrasformata di Fourier della funzione ditrasferimento, sara:

h(t) = F1

rect( 2c

)

= 2c sinc(2ct).

Si osserva che h(t) e in generale diversa da zero per t < 0 e quindi il filtro ideale e unsistema lineare tempo-invariante ma non causale. Questo significa che un filtro ideale nonpuo essere realizzato in pratica se si intende mantenere un qualche principio di causalit a.

La funzione di trasferimento H di un filtro ideale passa-basso possiede dunque leseguenti caratteristiche:


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1. |H| e costante nella banda passante ed e identicamente nullo nella banda proibita;2. la banda passante e la banda proibita sono confinanti (separate dalla frequenza di

taglio);3. la risposta in fase ph H e lineare; questo significa che le varie componenti armoniche

nella banda passante hanno tutte lo stesso ritardo temporale.

Tale sistema non e causale poiche la sua risposta allimpulso assume valori differentida 0 per t < 0. Questo significa che ogni sistema realizzabile non potra mai verificarecontemporaneamente le caratteristiche 1., 2. e 3.; di seguito introduciamo alcuni parametriche descrivono il grado di approssimazione di un filtro ideale mediante un filtro fisicamenterealizzabile.

Indicando con H() la funzione di trasferimento di un eventuale filtro passa-bassorealizzabile, sappiamo che H() e completamente specificata dal suo modulo

|H()

|e

dalla sua fase ph H(). La Figura 3.3 mostra la tipica forma di |H()| e ph H() per unfiltro passa-basso realizzabile.

Freq.

taglio 3dB

Transizione

Banda

Passante

Banda Proibita

Banda

1

|H()|

c s

1 1

2

phH()

Figura 3.3 Modulo e fase di un filtro passa-basso realizzabile.

Rispetto a un filtro ideale possiamo rilevare le seguenti differenze:

1.

|H()

|non e costante nella banda passante e non e identicamente nullo nella banda

proibita; si possono rilevare inoltre oscillazioni (ripple) di ampiezza non trascurabilesia nella banda passante che in quella proibita. Un parametro importante e lampiez-za della massima oscillazione in banda proibita 2, o equivalentemente, lattenuazione20 log10 2 dB.

2. la banda passante e la banda proibita non confinano, ma sono separate da una bandadetta banda di transizione. Parametri importanti sono la frequenza di taglio a 3 dBc, la frequenza di stop s e la dimensione della banda di transizione s c.


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3.2. Caratteristiche dei Filtri Analogici 53

3. la fase ph H() non risulta essere lineare.

Analizziamo ora separatamente il significato fisico del modulo e della fase della funzione

di trasferimento di un filtro realizzabile. Gli elementi principali che specificano un filtro(passa-basso) sono:

1. la frequenza di taglio c che identifica la fine della banda passante, e la frequenza distop s che identifica linizio della banda proibita;

2. le dimensioni massime 1 e 2 permesse alle oscillazioni rispettivamente in bandapassante e in banda proibita.

Con frequenza di taglio c sintende usualmente la frequenza per la quale di ha unguadagno del 50% di quello in banda passante. Se quindi |H()| 1 in banda passante,c e la frequenza per cui

H(c) = 12 .

La frequenza c e detta frequenza di taglio a 3 dB poiche 10 log(12) 3 dB.

Esempio 3.2.1

Determinare la frequenza di taglio a 3 dB del filtro passa-basso con guadagno |H()|2 =1

(1+2/100) .

Il guadagno in banda passante e 1 e la frequenza di taglio c e quella per cui1

(1+2/100) =

1/2. Risolvendo lequazione si ottiene c = 10 Hz.

Usualmente la massima oscillazione 2 permessa in banda proibita viene espressa indB attraverso lattenuazione Rp, dove

Rp = 10log(22).

La banda proibita e data dallinsieme delle frequenze per le quali il guadagno e inferiorea una opportuna soglia di attenuazione che normalmente viene stabilita in funzione dellaparticolare applicazione. Se indichiamo con s, come in Figura 3.3, la frequenza di stop,cioe la frequenza di inizio della banda proibita, le frequenze tra c ed s costituiscono labanda di transizione.

Esempio 3.2.2

Si consideri il filtro con funzione di trasferimento |H()|2 = 11+(/100)8 . Determinare

lampiezza della banda di transizione sapendo che la frequenza di stop corrisponde adunattenuazione di 40 dB.

La frequenza di taglio a 3 dB e di 100 Hz. La frequenza di stop s verifica per ipotesi40 = 20 log10 |H(s)|. Risolvendo tale equazione si ottiene s 316 Hz.

La dimensione della banda di transizione risulta 316 100 = 216 Hz.


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Discutiamo ora leffetto prodotto dalla non linearita della fase della funzione di trasfer-imento del filtro. A tal riguardo, consideriamo per semplicita un sistema che ammette unafunzione di trasferimento con modulo

|H()

|= G() e fase ph H() = (), cos che:

H() = G()ei().

Il segnale (complesso) e2i1t di frequenza 1 viene trasformato dal sistema nel segnaleG(1)e

i(21t+(1)).

Se la fase e lineare, cioe () = 2t0 per unopportuna costante t0, il segnale diuscita e

G(1)e2i1(tt0).

Il segnale di uscita risulta allora essere lo stesso segnale di ingresso ritardato di untempo t0, qualsiasi sia la frequenza 1: una fase lineare comporta un ritardo temporaleuguale per tutte le componenti armoniche.

Una fase non lineare crea invece ritardi differenti per le componenti a diversa frequenza,creando una distorsione complessiva del segnale. Per certe applicazioni (ad esempio neimodem) le distorsioni create dalla non linearita della fase devono essere il piu possibileeliminate; in altre applicazioni la non linearita puo essere utilizzata per dar luogo a effettispeciali.

3.3 Famiglie di Filtri Causali

Abbiamo visto che un filtro ideale non e causale e quindi puo essere soltanto approssimato

con filtri realizzabili fisicamente. A questo riguardo abbiamo introdotto parametri chedenotano la bonta nellapprossimarne il guadagno (dimensione della banda di transizione,attenuazione, oscillazioni) o la fase (linear

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