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Corso di Elaborazione di Segnali MultimedialiElaborazione Morfologica delle Immagini

Raffaele Gaetano

3 Giugno 2014

L’analisi di immagini

Tra le discipline informatiche, l’analisi di immagini ha come scopol’estrazione, la caratterizzazione e l’identificazione delle informazionisignificative a partire da immagini digitali.

Spesso, le tecniche di analisi partono da una etichettatura dei pixeldell’immagine, per permettere l’estrazione di informazioni di piu altolivello (forme, oggetti, strutture, ...)

Raffaele Gaetano Morfologia Matematica 3 Giugno 2014 2 / 35

La morfologia matematica

La morfologia matematica offre una serie di strumenti di base perl’elaborazione di immagini binarie:

Operatori di manipolazione di forme (denoising, smoothing, etc.)Descrittori di forma (contorni, scheletri, inviluppi convessi, ...)

Alcuni esempi...

Come eliminare rumore o oggetti indesiderati?Come separare componenti sovrapposte?Come riconoscere forme simili?


Definizioni preliminari

Il linguaggio della morfologia matematica e quello della teoria degli insiemi.

Per una immagine binaria f , che assume cioe 2 valori possibili (0 e 1), ci siconcentra tipicamente sugli insiemi di pixel di foreground:

Z2 ⊇ A = {w : f (w) = 1} con w = (m, n)

Le classiche espressioni insiemistiche sono allora ben definite:

Appartenenza: w ∈ A, w /∈ AInclusione: A ⊆ BUnione: A ∪ BIntersezione: A ∩ BComplemento: (A)c = {w : w /∈ A}Differenza: A− B = {w : w ∈ A,w /∈ B}...



Due definizioni aggiuntive tipiche della morfologia matematica...

La traslazione: (A)z = {w : w = a + z , for a ∈ A, z = (z1, z2)}La riflessione: B = {w : w = −b, for b ∈ B}

L’origine di un insieme e il punto di coordinate (0,0) (il punto nero in figura).


L’elemento strutturante

Tutti gli operatori di morfologia matematica si basano sul confronto localedelle forme e strutture dell’immagine con una forma di riferimento:l’elemento strutturante.

La scelta dell’elemento strutturante (forma e dimensione) dipende dal tipo diinformazione che si vuole mettere in evidenza.

Tipicamente, ma non necessariamente, l’elemento strutturante esimmetrico, connesso e convesso:


Operatori morfologici

Gli operatori morfologici di base consistono in una “ispezione” di unaimmagine A guidata dall’elemento strutturante B (tipicamente piu piccolo).

Si stabilisce una regola di confronto locale (ad. es. B ∩ A 6= ∅).Si fa scorrere l’elemento strutturante sull’immagine, sovrapponendo irisultati del confronto.

Analogie con la convoluzione spaziale.

Sono definiti cinque operatori principali: dilatazione, erosione, apertura,chiusura, trasformazione hit-or-miss......di cui due sono elementari (erosione e dilatazione). Operatori piucomplessi sono definiti come combinazione di questi ultimi.


La dilatazione morfologica

La dilatazione morfologica ha come effetto l’allargamento dei contorni diun oggetto (insieme di pixel) di foreground.

Crescita dell’area dell’oggetto.Riduzione dei “vuoti” dell’oggetto.

La dilatazione di A con l’elemento strutturante B e definita come:

A⊕ B = {z : (B)z ∩ A 6= ∅}

In pratica, l’oggetto risultante conterra tutte le posizioni z in cui ilriflesso di B traslato in z (relativamente alla sua origine) e A sisovrappongono in almeno un punto.

B

A

A⊕ B


La dilatazione morfologica

Immagine originaleDilatazione con

disco di raggio 1Dilatazione con

disco di raggio 2Dilatazione con

disco di raggio 4


L’erosione morfologica

L’erosione morfologica ha come effetto la contrazione dei contorni di unoggetto (insieme di pixel) di foreground.

Riduzione dell’area dell’oggetto.Allargamento dei buchi dell’oggetto.

L’erosione di A con l’elemento strutturante B e definita come:

A B = {z : (B)z ⊆ A}

In pratica, l’oggetto risultante conterra tutte le posizioni z in cui latraslazione di B (relativamente alla sua origine) e interamentecontenuta in A.

B

A B

A


L’erosione morfologica

Immagine originaleErosione con

disco di raggio 1Erosione con

disco di raggio 2Erosione con

disco di raggio 4


Dilatazione e erosione: proprieta

Dilatazione ed erosione hanno una proprieta notevole:

A B ⊆ A ⊆ A⊕ B, ∀B

Dilatazione →gap bridging

Riempie i buchi di dimensione piupiccola dell’elemento strutturanteAllarga le estremita delle formeRiempie i passaggi strettiSalda oggetti a distanza inferiore allataglia dell’e.s.

Erosione →elimina dettagli irrilevanti

Elimina le componenti connesse didimensione piu piccola dell’elementostrutturanteCancella le estremita sottiliAllarga buchi e passaggiSepara oggetti connessi da un ponte“stretto”

Altre proprieta:Dualita: (A B)c = (A)c ⊕ B


Filtraggio morfologico: apertura e chiusura

Gli operatori elementari hanno proprieta interessanti, ma modificanosignificativamente l’informazione rilevante.

La dilatazione ricostruisce gli oggetti disconnessi ma ne compromette laforma esterna.L’erosione rimuove efficacemente rumore e dettagli ma rischia discomporre gli oggetti.

La combinazione di questi due operatori da’ luogo a operatori complessidalle proprieta ancora piu interessanti.


L’apertura morfologica (Morphological Opening)

L’apertura morfologica e costituita da un’erosione seguita da unadilatazione effettuata mediante lo stesso elemento strutturante.

A ◦ B = (A B)⊕ B

L’effetto dell’apertura e di preservare il piu possibile le regioni di formasimile all’elemento strutturante, eliminando quelle differenti.

Si tratta di un filtro di smoothing morfologico, il cui effetto e determinatoda forma e dimensioni dell’elemento strutturante.


L’apertura morfologica

Immagine originaleApertura cone.s. circolare

Apertura cone.s. romboidale

Apertura cone.s. a stella


Filtraggio morfologico: l’apertura

L’apertura morfologica “seleziona” le forme d’interesse:


La chiusura morfologica (Morphological Closing)

La chiusura morfologica e costituita da una dilatazione seguita daun’erosione effettuata mediante lo stesso elemento strutturante.

A • B = (A⊕ B) B

L’effetto della chiusura e speculare a quello dell’apertura: le cavitadell’immagine sono riempite in accordo all’elemento strutturante scelto.

Si tratta ancora di un filtro di smoothing morfologico.


La chiusura morfologica

Immagine originaleChiusura cone.s. circolare

Chiusura cone.s. romboidale

Chiusura cone.s. a stella


Filtraggio morfologico: la chiusura

Comportamento duale rispetto all’apertura:


Apertura e chiusura: proprieta

Apertura e chiusura hanno due proprieta notevoli:

Ordine: A ◦ B ⊆ A ⊆ A • B, ∀BIdempotenza: (A ◦ B) ◦ B = A ◦ B, (A • B) • B = (A • B)

Apertura →smoothing interno

Regolarizza le formeElimina le componenti connesse didimensioni inferiori all’e.s.Conserva spesso la taglia e la formaPuo alterare la topologia

Chiusura →smoothing esterno

Salda le forme vicineRiempie i “buchi” di dimensioniinferiori all’e.s.Conserva spesso la taglia e la formaPuo alterare la topologia

Altre proprieta:Dualita: (A • B)c = (A)c ◦ B


Filtraggio morfologico: combinazione di operatori


Trasformazione Hit-or-Miss

La trasformazione Hit-or-Miss e una operazione generale della morfologiabinaria, usata per cercare pattern di pixel del foreground e del background.

E uno strumento di base per il riconoscimento di forme complesse.

Basato sulla costruzione di una o piu maschere (analoghe agli elementistrutturanti) a 3 valori: foreground (1), background (-1) e don’t care (0).

La maschera scorre l’immagine, e se intercetta un pattern corrispondente, laposizione corrispondente alla sua origine e marcata come hit (1),altrimenti come miss (0).

Implementazione efficiente tramite doppia erosione...


Trasformazione Hit-or-Miss

Per ogni maschera B, si costruisce un pattern di foreground B1 e unpattern di background B2 (elementi strutturanti)

B =-1 1 -11 1 1-1 1 0

⇒ B1 =0 1 01 1 10 1 0

e B2 =1 0 10 0 01 0 0

Si erode l’immagine A tramite e.s. B1 e il suo complemento Ac tramite B2.

Il risultato finale della hit-or-miss e dunque:

A ~ B = (A B1) ∩ (Ac B2)


Trasformazione Hit-or-Miss: esempi

Estrazione di angoli (corners) con 4 maschere:

0 1 0-1 1 1-1 -1 0

0 1 01 1 -10 -1 -1

0 -1 -11 1 -10 1 0

-1 -1 0-1 1 10 1 0

Estrazione di punti isolati, endpoints di linee, giunzioni, ...

-1 -1 -1-1 1 -1-1 -1 -1

0 0 0-1 1 -1-1 -1 -1

0 1 00 1 01 0 1

1 0 00 1 01 0 1

Molto utile per l’analisi dei contorni e gli scheletri di forme.


Algoritmi di elaborazione morfologica

La combinazione degli operatori visti finora consente di eseguire numeroseoperazioni complesse:

Estrazione dei contorni delle formeRiempimento delle regioniEtichettatura delle componenti connesseInviluppo convessoAssottigliamento (thinning) e skeletonizationInspessimento (thickening)Pruning...


Estrazione dei contorni

Il contorno di una forma binaria A, indicato con β(A), si puo otteneremolto semplicemente tramite:

l’erosione di A attraverso un elemento strutturante B: A B,l’insieme differenza tra A e A B: β(A) = A− (A B)

Lo spessore del contorno dipendera dalla dimensione dell’elementostrutturante.


Riempimento di regioni

E un primo esempio di applicazione iterativa di operatori morfologici:

Si parte da una immagine dei contorni A e si seleziona un punto interno p.Iterativamente, si dilata la parte interna con un elemento strutturanteappropriato, sopprimendo ad ogni passo i punti che toccano il contorno A:

X k = (X k−1 ⊕ B) ∩ Ac .

L’algoritmo si interrompe quando X k = X k−1.


Assottigliamento di forme (thinning)

Altra procedura iterativa, basata sulla trasformazione hit-or-miss,finalizzata a ottenere un descrittore “sottile” di forma.

Basato sulla ricerca e l’eliminazione iterativa di configurazioni elementarispesse. Si usa un appropriato set di maschere ruotate:

Formalmente:

Operazione base A⊗ B = A− (A ~ B)

Thinning 1-pass A⊗ {B} = ((. . . ((A⊗ B1)⊗ B2) . . .)⊗ B8)

Thinning completo X k = X k−1 ⊗ {B}, fino a convergenza



Thinning, passo 1 Thinning, passo 10



Thinning, passo 50 Thinning, passo ∞


Nota sulla skeletonization

Si tratta di un’operazione analoga al thinning, ma meglio definita dalpunto di vista geometrico (anche se esistono piu definizioni).

E finalizzata all’estrazione di descrittori di forma particolarmente precisi.

Una possibile definizione: luogo geometrico dei centri dei cerchibi-tangenti inscritti nella regione di foreground.

In pratica, la skeletonization e spesso approssimata tramite thinning.


Estensione alle immagini in scala di grigi

Gli operatori inizialmente definiti su immagini binarie possono esserefacilmente estesi per operare su immagini a scala di grigi.

In principio, dal confronto logico del caso binario si passa a un confrontonumerico sulla scala di valori “catturati” dall’elemento strutturante.

Operatori elementari (x immagine, b elemento strutturante):

Dilatazione [x ⊕ b](m, n) = max(s,t)∈b{x(m − s, n − t)}(allarga i dettagli chiari e sopprime quelli scuri di dimensione ridotta)

Erosione [x b](m, n) = min(s,t)∈b{x(m + s, n + t)}(comportamento duale rispetto alla dilatazione)

Apertura [x ◦ b] = [x b]⊕ b(sopprime i dettagli piu brillanti)

Chiusura [x • b] = [x ⊕ b] b(comportamento duale rispetto all’apertura)


Estensione alle immagini in scala di grigi

Immagine sorgente

Dilatazione Erosione

Apertura Chiusura


Altre applicazioni alle immagini in scala di grigi

Lo smoothing morfologico e ottenuto dalla sequenza di apertura echiusura con lo stesso elemento strutturante.

Il gradiente morfologico si ottiene analogamente all’estrazione dei contorniper il caso binario, cioe come differenza tra una versione dilatata e unaerosa dell’immagine (stesso elemento strutturante):


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