INTRODUCTION

La Relativit gnrale est exemplaire en de nombreux aspects : -Elle montre quel point une thorie mme rvolutionnaire napparat pas spontanment mais est le fruit dun lent mrissement travers des gnrations de physiciens. En ce sens la Relativit est tributaire des premires interrogations des Grecs sur le mouvement. -La Relativit gnrale, comme la Relativit restreinte, est construite partir dun principe unique, ici le principe dquivalence. De plus, elle ne laisse pas le choix de paramtres ajustables. Un seul principe conduit un dveloppement de mathmatiques et de lois physiques prodigieux ouvrant la possibilit de nombreux tests exprimentaux. En ce sens, cest une thorie prenant beaucoup de risques donc fortement falsifiable au sens du philosophe Karl Popper. Deux traits caractristiques dune thorie fconde sont lextension et lunification. Lextension veut dire que lon tend les thories prcdentes de nouvelles chelles et de nouvelles situations. Tel est le cas pour la Relativit gnrale qui tend la Gravitation newtonienne des corps anims de vitesses proches de celle de la lumire, ou constitus de masses tellement grandes que la thorie newtonienne ne sapplique plus (trous noirs par exemple). Lunification veut dire que la thorie prend en compte dune manire unifie des phnomnes qui semblaient de prime abord ne rien avoir en commun, qui semblaient faire partie de domaines disjoints de la physique. Tel est principalement le cas de lunification de linertie et de la gravitation par la Relativit gnrale. Tout ceci, alli la trs grande cohrence interne (absence de contradictions internes, de difficults mathmatiques comme les infinis en Electrodynamique quantique, prcision des concepts de base), en font le prototype de ce que doit tre une bonne thorie physique.- La Relativit restreinte et la Relativit gnrale, montrent la puissance de la physique : en partant dune rflexion approfondie sur le mouvement, on dbouche entre autres sur lquivalence entre la masse et lnergie, sur la prdiction de lexistence des antiparticules (Relativit restreinte et Mcanique quantique) et sur le calcul de lge de lunivers. -La Relativit gnrale est galement remarquable par le temps qui sest coul entre beaucoup de ses prdictions et leurs vrifications exprimentales : ainsi lexpansion de lunivers fut tout de suite dduite des quations de la Relativit gnrale. Ce rsultat parut tellement surprenant Einstein quil modifia ses quations en introduisant une constante dite cosmologique qui permettait lunivers dtre statique. Une fois la confirmation exprimentale de lexpansion faite par Hubble en 1929 (dcalage vers le rouge de la lumire reue des galaxies lointaines) il reconnut que lintroduction de cette constante fut la plus grande erreur de sa vie. Le rayonnement cosmologique 3 K prvu par Gamow en 1948 ne fut dcouvert fortuitement quen 1964 par Penzias et Wilson. Leffet Einstein de dcalage vers le rouge dun rayonnement dans la traverse dun champ de gravitation, prvu ds le dpart par Einstein lui-mme, ne fut vrifi exprimentalement avec une grande prcision grce leffet M ssbauer quen 1960 par Pound et Rebka. Ces dcalages ont contribu marginaliser la Relativit gnrale qui au dbut avait peu de vrifications exprimentales et peu dapplications. Jusquen 1960 deux vrifications seulement taient disponibles : lavance du prihlie de Mercure et la dviation de la lumire des toiles au passage prs du Soleil. Ainsi, la Relativit gnrale d subir une vritable traverse du dsert jusqu ces annes 1960. Pourtant ceci est une preuve de lextraordinaire pouvoir prdictif de cette thorie et de

limmense avance quont pris ce moment les concepts thoriques sur lexprience. Le peu de vrifications exprimentales de la Relativit gnrale tenait la difficult de ces vrifications faisant pour la plupart appel lastrophysique qui tait une science ltat dbauche au moment du dveloppement de cette thorie. Des moyens technologiques perfectionns non disponibles lpoque sont galement utiliss dans beaucoup dexpriences modernes. Insistons sur le fait que la Relativit gnrale a une trs grande richesse de contenu. Le nombre de rsultats prdits dans des situations varies est prodigieux. Actuellement on assiste un vritable renouveau. Les applications en astrophysique sont nombreuses, en liaison souvent avec la physique des particules. Cela contribue obtenir de plus en plus de vrifications exprimentales. Or, jusqu prsent, chaque fois quun nouveau test exprimental est effectu, le rsultat prdit par la Relativit gnrale se trouve confirm. La Relativit gnrale, qui fut conue presque entirement comme une pure abstraction de pense au dbut de ce sicle, savre donc finalement totalement juste. Indpendamment de ce renouveau exprimental, un regain dintrt apparat galement de la part des thoriciens. Des liens trs troits existent en effet entre cette thorie et les thories modernes des interactions en physique des particules. Ces thories comme la Relativit gnrale sont des thories de jauges. Un demi-sicle lavance, cette thorie trouvait donc une structure qui allait savrer tre la structure gnrale de toutes les interactions. Le but ultime est bien sr dunifier les quatre interactions (forte, faible, lectromagntique et gravitationnelle) dans une thorie unique. Cet ouvrage sadresse un public du niveau du DEUG ou des Classes Prparatoires aux Grandes Ecoles scientifiques. La Relativit restreinte est reprise dans ses grandes lignes. LElectromagntisme classique est suppos connu. Le Calcul tensoriel ncessaire pour les dveloppements mathmatiques de la thorie est introduit, aucune connaissance pralable ntant ncessaire. Les connaissances de base en Algbre linaire sont cependant supposes connues. Cet ouvrage na pas pour but dtre exhaustif sur tous les aspects de la Relativit gnrale. Ainsi la thorie des ondes gravitationnelles assez technique nest pas dveloppe. Par contre, jai essay dtre complet en ce qui concerne tous les aspects conceptuels de la Relativit gnrale. Jai rserv dans ce livre beaucoup de place des expriences de pense. Ce sont des expriences idalises mais faisables et que la thorie prend compltement en compte. Cependant on ne se soucie pas de leur ralisation pratique. Le but est par ce moyen dexplorer la cohrence dune thorie, ses limites et les concepts nouveaux quelle introduit. Elles ont galement un rle pdagogique. Ltude de cas particuliers concrets permet de poser les problmes cruciaux, de faire ressortir les paradoxes apparents et de faire avancer ainsi la thorie. Elles permettent galement travers ces cas particuliers de mmoriser les formules et les concepts. Ce livre tant pdagogique, les calculs ont t compltement dvelopps. Sagissant dune initiation la Relativit gnrale, je me suis efforc de donner des explications dtailles et compltes. Quelques exercices et problmes sont donns la fin de chaque chapitre. Les corrigs sont rassembls la fin du livre. Jaurai atteint mon but si je russis mettre en lumire le cheminement des ides, les principes de beaut, de simplicit, de cohrence et de gnralisation qui guident le physicien dans la construction dune thorie nouvelle. Pierre BOUTELOUP, le dimanche 17 octobre 1993

Chapitre premier

LA MECANIQUE NEWTONIENNE

1. Les rfrentiels galilens. -Un rfrentiel est un repre (point origine et trois directions daxes) li un corps solide suppos stendre indfiniment. La Mcanique newtonienne (Newton : 1642-1727) suppose lexistence dun ensemble de rfrentiels appels rfrentiels galilens en translations rectilignes uniformes les uns par rapport aux autres dans lesquels la loi fondamentale de la dynamique est la plus simple :

Nous notons les vecteurs de lespace trois dimensions dont les symboles sont des lettres latines en caractre gras. Pour une lettre grecque, nous emploierons le mme symbole, que ce soit un scalaire ou un vecteur. D'une manire gnrale nous utiliserons galement des flches au dessus; ainsi lorsque le vecteur sera obtenu partir dun bipoint comme dans lquation (1,1), nous utiliserons une flche. Le vecteur nul sera not en caractre gras : 0. Le Rfrentiel de Copernic, dont lorigine du repre est le centre de gravit du systme solaire et les axes trois directions dtoiles lointaines est suppos tre un tel rfrentiel avec une bonne approximation.

Le symbole Cte signifie un vecteur constant quelconque. Nous obtenons la loi de linertie : une particule libre se dplace en ligne droite vitesse constante dans un rfrentiel galilen (ou rfrentiel non acclr).

2 La transformation de Galile, le Principe de relativit de Galile. -A chaque rfrentiel galilen est associ un systme de coordonnes (x,y,z,t). Nous dirons alors parfois, par abus de language, systme au lieu de rfrentiel. La transformation de Galile entre les deux rfrentiels R et (fig. 1.1) dont les vecteurs unitaires sont gaux, tant sur laxe des x, sexprime alors par les quations :

V est la vitesse de par rapport R, parallle et de mme sens que laxe des x. La dernire quation exprime lexistence dun temps absolu. La transformation de Galile correspond bien au fait que tous les rfrentiels galilens sont en mouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. On le voit sur la loi reliant x , les autres coordonnes tant identiques. On obtient ensuite :

Soit : v = + V. Cest la loi de composition des vitesses. Il vient ensuite :

En particulier, une particule libre ayant une acclration nulle par rapport un rfrentiel galilen a bien une acclration nulle par rapport tous les rfrentiels galilens. Une telle particule libre, en translation rectiligne uniforme par rapport tout rfrentiel galilen, dfinit elle mme un rfrentiel galilen et un seul dans lequel elle est immobile. Nous appellerons ce rfrentiel, le rfrentiel ou systme au repos R0 (sous entendu de la particule). Par abus de language, on peut dire que la particule est elle mme ce rfrentiel galilen R0 Puisquune particule libre obissant la loi de linertie, donc ayant un mouvement dit inertiel, dfini un tel rfrentiel R0, et puisque tout rfrentiel galilen peut tre considr comme un tel rfrentiel, nous appellerons galement les rfrentiels galilens des rfrentiel ou systmes inertiels. Ainsi, pour trouver un rfrentiel galilen, il suffit de suivre le mouvement dune particule libre, et de prendre le rfrentiel R0 de cette particule. Tout le problme consiste vrifier quune particule est bien libre. Nous verrons la difficult de cela au 7 du chapitre 6 m tant suppose invariante, on arrive :

La force est un invariant.

Fig. 1.1

Deux observateurs situs dans deux rfrentiels dilirents seront daccord quant la force applique une particule; ils trouveront la mme valeur. Ce que traduit le principe de relativit de Galile : Les lois de la mcanique sont les mmes dans deux rfrentiels galilens. Il est donc impossible par des expriences de mcanique de privilgier un rfrentiel galilen particulier dont on dirait quil est immobile. Nous verrons dans ltude de la Relativit restreinte quaucune loi de la physique ne permet de privilgier un rfrentiel galilen par rapport un autre. Le mouvement a donc un caractre relatif : Si, dans le vide interstellaire, deux objets bougent lun par rapport lautre, il est impossible de dire lequel est immobile, lequel est en mouvement; cest une pure affaire de convention. Il en rsulte que la phrase : Je suis revenu au mme endroit un autre momentna pas de sens si lon ne prcise pas le rfrentiel choisi. Cette relativit du mouvement qui soppose la conception aristotlicienne du mouvement considr comme absolu fut correctement comprise par Galile (Galile: 1564-1642). Cela lui permit daffirmer que le mouvement de translation dun objet sur la surface de la Terre d la rotation de la Terre sur elle mme est indcelable. Il en est de mme du mouvement de la Terre (30 km/s) dans sa course autour du Soleil. Notons que cela correspond une ncessit de simplicit : On voit mal les lois de la mcanique sur Terre changer entre le mois de janvier et le mois de juillet (priode pendant laquelle le mouvement de la Terre par rapport au rfrentiel de Copernic sinverse), ou entre midi et minuit.

3. Mesure de la masse et de la force. -Toute grandeur physique doit tre dfinie par un procd exprimental prcis de sa mesure, au moins dans une exprience de pense; quen est-il de F et ? Effectuons maintenant la dmarche inverse de celle du 1. Le point de dpart est le principe de linertie et lexistence des rfrentiels galilens. Une particule isole a un mouvement rectiligne uniforme dans un tel rfrentiel. Ensuite, ce principe est gnralis un ensemble de particules. Cela correspond une exigence de simplicit et dautocohrence de la thorie : Une particule considre comme lmentaire (atome dhydrogne, proton ...) peut se rvler compose dun assemblage de particules plus lmentaires (proton et lectron, quarks ...). La thorie ne doit pas distinguer ces deux cas (lmentaire, compos) vis--vis du comportement externe. Considrons N particules en interaction ou non entre elles, mais sans interaction avec le reste de lunivers (nous verrons la difficult que prsente cette dernire notion au 13 du chapitre 6 ). On suppose alors lexistence dun point G (centre de gravit) obissant encore au principe de linertie. On suppose lexistence de N paramtres m1 ,...,mN lis aux N particules de manire intrinsque tels que : Equation (1,1)

Tout ceci est susceptible de vrifications exprimentales prcises : Pour mesurer la masse dun corps A, il suffit de le faire interagir avec le corps B de masse unit; le point G de la droite AB tel que GA/GB = Cte qui dcrit une ligne droite dans un rfrentiel galilen donne la masse de A par : mA/1 = GB/GA. Les masses mi tant ainsi dtermines, la relation (1,1) peut alors tre vrifie. Notons que la donne fondamentale est lexistence de rfrentiels galilens; nous reviendrons sur le problme de leur dtermination exprimentale prcise au 13 du chapitre 6. (1,1) donne : Equation (1,2)

PG est la quantit de mouvement ou impulsion totale du systme de particules. Ce vecteur se conserve donc. Pi est la quantit de mouvement ou impulsion de la iem particule. En drivant (1,2) nous

obtenons : Equation (1,3)

On dfinit alors les forces par : Equation (1,4)

et on a : Equation (1,5)

Ce qui est le principe de laction et de la raction. Ainsi (1,2) (1,5) ; cest dire que le principe de laction et de la raction est quivalent la loi de la conservation de limpulsion.

4. Addition des forces. -La loi daddition des forces est susceptible dune vrification exprimentale. En faisant agir la particule M, dabord avec M1 seule, puis avec M2 seule, puis avec M1 et M2, les positions de chaque particule restant les mmes. Les forces usuelles tant de type lectromagntique, la loi daddition correspond la linarit de cette interaction. Prenant lexemple de E (idem avec B), nous avons :

5. Interprtation de la loi daddition des forces. -En physique moderne (Thorie quantique relativiste), on interprte les interactions qui se traduisent ici par des forces, comme des changes de particules virtuelles. Le mot virtuel vient du fait que ces particules ne sont pas dtectes. Elles correspondent des tats quantiques intermdiaires entre les tats initiaux et finaux et servant aux calculs de diffusions ou de dures de vies. Elles permettent de vhiculer limpulsion change par deux particules en interaction. Pour linteraction lectromagntique, la particule de champ est le photon. Pour la gravitation, il sagit du graviton. Pour linteraction faible, il y a trois bosons (un boson est une particule de spin entier avec comme unit h/2 pi; toutes les particules dinteraction sont des bosons): W+, W- et Z0. Linteraction forte correspond huit gluons. Une force correspond au dbit dimpulsion F = dP/dt , limpulsion dP tant vhicule par les particules de champ frappant lobjet considr soumis la force. Une force F1 agissant sur lobjet considr, correspond un dbit de particules de type 1avec F1= dP 1 /dt. Une force F2 agissant sur

le mme objet correspond un dbit de particules de type 2avec 2 = d 2/dt . Supposons maintenant que les particules de type 1soient sans interaction avec les particules de type 2(et rciproquement cause du principe de laction et de la raction), cest dire, intuitivement, que les deux types de particules ne se voient pas. Lorsque les deux interactions 1et 2sont en prsence simultanment, nous aurons :

La prsence des particules de type 2ne modifie en effet en rien la nature et la frquence des chocs entre lobjet et les particules de type 1(et rciproquement); ces chocs correspondent au dbit

dimpulsion d 1/dt (et rciproquement). Dautre part les dbits dimpulsion sajoutent comme lindique la drive de lquation (1,2) qui correspond :

dP est la variation dimpulsion subie par la particule matrielle; les variations dimpulsion subies par les particules dinteraction sont -dP1 et -dP 2 .

Ainsi, la linarit de linteraction correspond au fait que les particules dinteraction sont sans interaction entre elles. Tel est le cas de linteraction lectromagntique : dans linterprtation de cette interaction en termes dchange de photons, cela correspond au fait que le photon ne porte pas de charge lectrique. Les photons sont donc sans action lectrique les uns sur les autres. Il faut remarquer que, en lectrodynamique quantique, un photon peut crer une paire virtuelle lectron-positon. Par cette intermdiaire, les photons peuvent agir trs faiblement entre eux. Ce qui est dit ci-dessus nest donc vrai quen premire approximation. Dans le cadre de llectromagntisme classique, la linarit delinteraction se traduit par la linarit des quations de Maxwell laquelle correspond le principe de superposition des tats dquilibre. Nous voyons donc que le lien entre une loi, mcanique : laddition des forces, et une loi de type

gomtrique : laddition des vecteurs correspondant vient de la loi F = dP/dt avec P= mv = m /dt. Le lien entre gomtrie et mcanique vient ainsi de la loi dfinissant F et P partir des points M de lespace, cest dire du principe de linertie pour le mouvement du centre de gravit dun ensemble de corps.

EXERCICES

1.1 Une particule fait des allers et retours dans la chambre dun piston. Les chocs contre les parois sont parfaitement lastiques. vx = V ; V > 0; vy = 0 Le piston avance lentement vers la droite la vitesse constante v V .

Montrez que le produit V l est constant. Cest un invariant adiabatique.

1.2 Dviation dune particule au passage prs dun astre.

1. Ecrire lexpression de la vitesse en coordonnes polaires r et .

2. Pour un point matriel de masse m soumis une force centrale due lattraction gravitationnelle dun corps de masse M ( Fr = -GmM/r2), crire la conservation de lnergie E et du moment cintique J.

3. En dduire les expressions de dr/dt; d /dt puis d /dr.

4. Une particule arrive de linfini. La droite trajectoire est la distance b du point 0 centre attractif

(paramtre dimpact b). On prend comme axe des x laxe passant par 0 parallle la droite prcdente et dirig vers lendroit do vient la particule. Langle polaire de la particule est toujours positif. Exprimer langle de dviation D en fonction de la valeur prise par lorsque la distance 0 est minimale; on note cette valeur (rmin); (r = + ; t = - ) = 0

5. Exprimer (rmin) par une intgrale en r.

6. Dans lintgrale prcdente, exprimez E et J en fonction du paramtre dimpact b et de la vitesse linfini v .

7. Calculez lintgrale obtenue. On rappelle que :

8. En dduire cos (rmin) puis tan (rmin)

9. En dduire tan en fonction de G,M,b,v

Le calcul prcdent permet de connatre la dviation de la lumire au passage prs du Soleil. On considre alors quelle est constitue de particules ponctuelles : les photons, obissant la Mcanique newtonienne et allant la vitesse de la lumire : v = C. On trouve la moiti de la valeur exacte donne par la Relativit gnrale.

Chapitre Deux

DIFFICULTES DE LA MECANIQUE NEWTONIENNE

1. Vitesse des particules. -La Mecanique newtonienne implique lexistencede vitesses aussi grandes quon veut pour les particules de matiere. En effet,

quelle que soit la vitesse v > 0 consideree pour une particule dans le referentielR, elle sera plus grande dans le referentiel R : v = v + V ; or les lois de lamecanique etant les memes dans R et dans R, une particule peut donc sedeplacer a la vitesse v > v dans R . Cependant lexperience montre aussi bienen ce qui concerne les accelerateurs de particules que les rayons cosmiques

quaucune particule de matiere ne peut aller plus vite que la vitesse de lalumiere.

2. Le probleme de lelectromagnetisme. -Les lois de la mecanique sont

covariantes par la transformation de Galilee; cela veut dire que les equationssont les meme dans deux referentiels differents, meme si les variables peuventprendre des valeurs differentes. Ainsi lequation v = cte pour une particule

libre dans R secrit v = cte dans R; v 6= v mais les deux equations sontidentiques. Les equations de Maxwell ne sont pas covariantes par la trans-

formation de Galilee; si elle sont vraies dans un referentiel elles sont faussesdans un autre. Cela se voit tout de suite lorsque lon sait quelles impliquent

lexistence dondes dont la lumiere fait partie se propageant a la vitesse :

C =1

00

0 et 0 etant mesures par des experiences delectrostatique et de magnetostatique.Cela implique en particulier que la vitesse de la lumiere est la meme dans

toutes les directions. Mais si cela est vrai dans R, cela ne peut etre vrai dansR avec C = C+V . Lexperience de Michelson et Morley a verifie que la vitessede la lumiere est une constante universelle et ne depend pas du referentiel. Re-

marquons que la covariance des lois de lelectromagnetisme correspond a unenecessite de simplicite : on voit mal les appareils electriques sur Terre fonc-

1

tionner differemment en janvier et en juillet, ou midi et minuit ( voir 1 duchapitre 3 ).

3. Experience des deux barres. -Pour illustrer sur un exemple concret la

non covariance des equations de lelectromagnetisme, envisageons lexperiencede pensee suivante (fig. 2.1) : deux barres paralleles infinies (1) et (2) chargees

delectricite statique avec la densite lineique > 0 a la distance r lune delautre, sont immobiles dans R. Calculons la force subie par un element delongueur l de la barre (2) (nous notons ici v la vitesse de R par rapport a R) :

l

FB B

FEE

v

(1)

(2)r

Fig. 2.1

Soit E le champ electrique cree par la barre (1) en un point de la barre (2)(idem B). Le theoreme de Gauss donne :

2rlE =l

0 E =

20r

FR = FE = qE =2l

20r

FE est une force repulsive. Dans R, FE reste la meme, mais les charges enmouvement correspondent un courant I = vS = v car = S; le theoremedAmpere donne :

2rB = 0I B =0v

2r

FB = IBl =v0vl

2r=

02v2l

2r

FB est attractive. La force totale vaut :

FR =2l

20r 0

2v2l

2r

FR 6= FR, en contradiction avec linvariance de la force en mecanique new-tonienne.

2

Ainsi, nous avons suppose que les equations de lelectromagnetisme sont

vraies dans R et dans R et nous sommes arrive a une contradiction avec laMecanique newtonienne.

3

Chapitre Trois

LA RELATIVITE RESTREINTE : CINEMATIQUE

1. Le Principe de Relativite restreinte. - Puisque les equations deMaxwell supposees justes ne sont pas covariantes par la transformation de

Galilee, celle-ci doit etre fausse. Nous allons donc chercher a la modifier. Nousne nous limitons pas a lelectromagnetisme et supposons que toutes les lois dela physique sont les meme dans tous les referentiel galileens. Nous arrivons

ainsi au Principe de relativite restreinte dEinstein, plus simplement appeleprincipe de relativite, qui generalise le principe de relativite de Galilee : Les

lois de la physique sont identiques dans tous les referentiels galileens. Aucuneexperience de physique ne permet donc de mesurer dune maniere absolue le

mouvement puisque tous les referentiels sont equivalents. La vitesse de lalumiere qui se deduit des lois de lelectromagnetisme est donc la meme dans

tous les referentiels galileens. Le mot restreintvient du fait que le Principede relativite est limite aux mouvements de translations rectilignes uniformeset ne sapplique pas aux mouvements acceleres, en particulier aux mouvements

de rotation. Ainsi, par exemple, un referentiel en rotation est non galileen; ilsy developpe des forces centrifuges : une particule libre ne sy deplace pas en

ligne droite.Nous pouvons reprendre ici la remarque de la fin du 2 du chapitre 1 et

celle de la fin du 2 du chapitre 2 en les appliquant a toutes les lois de laphysique et en particulier aux lois de lelectromagnetisme : il nous parat touta fait naturel que tous nos appareils electriques et electroniques fonctionnent

exactement de la meme maniere quelle que soit la periode de lannee ou de lajournee. Et pourtant, compte tenu des mouvements differents de ces appareils

par rapport au referentiel de Copernic a ces differents moments, cela supposela covariance des equations de Maxwell.

Plus encore, la constitution des corps solides est dorigine electromagnetique.La modification des lois de lelectromagnetisme pourrait entraner une deformation

des solides qui serait a priori variable suivant la matiere dont ils sont con-stitues. Le changement de vitesse de la Terre suivant les periodes de lannee

1

casserait, par deformations differentes des parties, les solides non homogenes!

2. Coordonnees dun evenement. - Nous allons voir par la suite quil

ny a pas de temps absolu. Il faut donc definir avec precision comment le tempsest mesure. Dans chaque referentiel galileen il y aura un reseau dhorlogesimmobiles synchronisees, aussi proches quon veut les unes des autres, appelees

horloges etalons. Nous omettrons souvent, quand il ny aura pas dambigute,et pour raison de simplicite, ce dernier adjectif.

Le mot etalon precise que le temps donne par lhorloge est le temps exact,compte tenu de lunite choisie. Lhorloge etalon ne presente ni avance ni retard

par rapport a ce temps exact. Le fonctionnement dune horloge etalon est basesur un phenomene regulier permettant de mesurer le temps qui secoule. Pour

plus de precision, voir 10 du chapitre 7 .Pour synchroniser ces horloges, nous disposons de deux methodes equivalentes.

Nous pouvons transporter une horloge etalon a une vitesse faible devant celle

de la lumiere. Nous supposons que la Mecanique newtonienne sapplique pourde tels objets se deplacant lentement dans un referentiel galileen. Dans ce cas,

lhorloge indique constamment le temps absolu du referentiel. Elle permettrade mettre a lheure toutes les horloges quelle rencontrera. Une autre methode

est dutiliser la lumiere. A linstant t(1) nous envoyons, de lhorloge etalon (1)une impulsion lumineuse vers lhorloge (2). Elle arrive a linstant t(2) et elle

est renvoyee par un miroir vers lhorloge (1) ou elle arrive a linstant , t(1)

. Leprincipe de relativite restreinte implique que la lumiere va a la meme vitessedans les deux sens. Nous avons donc :

t(2) =t(1) + t

(1)

2

Il suffit alors de retarder ou davancer lhorloge (2) du decalage quelle avaitavec le temps theorique t(2) au moment de larrivee du rayon lumineux sur le

miroir, pour la mettre a lheure.Nous supposons alors que les horloges dun referentiel galileen restent syn-

chronisees; elles mesurent le temps du referentiel.

Un evenement E : desintegration dune particule etc, definit un lieu danslespace a un moment donne. Un tel evenement est un point de lespace-

temps; Il sera repere par les trois coordonnees x, y, z du lieu ou il se produitet le temps t indique par lhorloge du referentiel situee a cet endroit. Le lieu

a un instant donne est un point de lespace geometrique a trois dimensionsappele simplement espace lorsquil ny a pas dambigute. Les quatre nombres

2

notes :

t

x

y

z

=

x0

x1

x2

x3

= (x)

sont les coordonnees de levenement E dans le referentiel choisi. Un indice ecriten lettres grecques ira de 0 a 3 et correspondra aux variables despace-temps.un indice ecrit en lettres latines ira de 1 a 3 et correspondra aux variables

despace :

(x) =

x0

xi

3. La transformation speciale de Lorentz. - Il nous faut maintenant

voir le lien entre les coordonnees (x) de levenement E dans R et (x) dansR; la barre au dessus dun indice signifie que la coordonnee correspondanteest dans R. Les referentiels R et R sont disposes comme sur la figure 1.1 .Nous reglons les horloges de R et R de facon a ce que lorsque 0 et 0 sontconfondus, les deux horloges respectivement liees a 0 et 0 indiquent toutes lesdeux le temps 0 : t = t = 0 , comme cela a ete fait implicitement au 2 duchapitre 1 .

Les variables t, x, y, z doivent etre des fonctions lineaires de t, x, y, z,pour quune particule libre ayant un mouvement rectiligne uniforme dans Rait egalement un mouvement rectiligne uniforme dans R.

De plus y = y et z = z pour tout evenement, sinon on pourrait distinguer

un sens absolu sur la droite des x : le sens de la vitesse du referentiel quicorrespondrait a la coordonnee la plus petite par exemple (si on avait y < y

cela impliquerait egalement z < z par symetrie de rotation autour de laxedes x). Lespace etant suppose isotrope cela est impossible.

Considerons un rayon lumineux emis en O au moment de la rencontre avec

O. Levenement E est ici larrivee du rayon lumineux en un point. Le rayonse propage a la vitesse C dans R et dans R. Sa direction est quelconque. Lesreperes despace etant supposes orthonormes, nous avons :

s2 = C2t2 x2 y2 z2 = 0 et s2 = C2t2 x2 y2 z2 = 0

Les symboles 2 de s2 et de s2 viennent du fait que ces nombres seront in-terpretes comme les carres scalaires de vecteurs. Donc s2 = 0 s2 = 0;t, x, y, z etant des fonctions lineaires de t, x, y, z, cela implique s2 = ks2 pourtout evenement qui nannule pas ces nombres. Par raison de symetrie entreR et R, necessairement k = 1 : s2 = s2. Il vient : C2t2 x2 = C2t2 x2.Puisque cette relation doit etre vraie quels que soient y et z, y et z, x et t

3

etant fixes ainsi que x et t, cela implique que x et t sont fonctions lineairesuniquement de x et t :

x = a x + b t

t = c x + d t

Les coordonnees de O verifient x = 0 soit :

x = bt =bt

d= vt

La vitesse de R etant ainsi maintenant notee par un petit v nous avons pourO :

x = 0x

t= b

a= v

Il vient :

b = d v = a v a = d

x = ax + avt

t = cx + at

C2t2 x2 = C2c2x2 + 2C2caxt+C2a2t2 a2x2 2a2vxt a2v2t2 =

C2t2 x2

Il vient :

C2ca a2v = 0

c =av

C2; C2a2 a2v2 = C2 a2 = C

2

C2 v2On sait que a > 0 de facon a retrouver la transformation de Galilee pourv C; donc :

a =1

1 v2C2

c =v

C2

1 v2C2

La transformation des coordonnees correspondant a la situation particuliereenvisagee sappelle la transformation speciale de Lorentz. Elle secrit donc :

x =1

1 v2C2

x +v

1 v2C2

t

t =v

C2

1 v2C2

x +1

1 v2C2

t

(3, 1)

4

Soit tanh la tangente hyperbolique de ; posons tanh = vC; on sait que

cosh2 sinh2 = 1

1 tanh2 = 1cosh2

; cosh =1

1 tanh2=

1

1 v2C2

sinh = tanh cosh =v

C

1 v2C2

On arrive a

x = cosh x + sinh Ct

C t = sinh x + cosh Ct(3, 2)

Ces equations sont tres symetriques; lutilisation de C t et C t permet cettesymetrie en ayant la meme unite pour toutes les coordonnees.

Nous noterons desormais les coordonnees dun evenement :

C t

x

y

z

=

x0

x1

x2

x3

= (x) (3, 3)

Remarquons la grande analogie de la transformation speciale de Lorentzavec les equations dun changement daxes par une rotation dangle en

geometrie euclidienne :

x = cos x sin yy = sin x + cos y

Le passage des fonctions trigonometriques aux fonctions hyperboliques vientdu fait que linvariant nest plus la distance usuelle : x2+y2; mais lintervalle :C2t2 x2 avec lapparition dun signe moins.

4. Relativite de la simultaneite. - Nous voyons tout de suite que deux

evenements simultanes dans R (meme t) ne le sont pas dans R des quils seproduisent en deux endroits differents (x different). La Relativite restreinte

etablit ainsi une symetrie entre lespace et le temps : la phrase Ces deuxevenements se sont produits en meme temps en deux endroits differentsna

5

pas de sens si on ne precise pas le referentiel; de meme que la phrase Ces deux

evenements se sont produits au meme endroit a deux instants differents( voir 2 du chapitre 1 ).

5. Dilatation des temps. - Considerons une horlge etalon fixee en O .Ses coordonnees sont : x = y = z = 0 ; la transformation de Lorentz donne

Ct = cosh Ct ; soit :

t =1

1 v2C2

t (3, 4)

Le temps t crot donc plus vite que le temps t. Il semble donc, vu dureferentiel R, que lhorloge fixee en 0 retarde, indiquant ainsi un temps pluspetit que celui de R. Autrement dit, le temps de R, vu de R, semble dilate;cest a dire quil secoule plus lentement.

Il faut insister sur le fait que ce phenomene correspond a une propriete

physique de lespace-temps et affecte de la meme maniere tous les processusphysiques reguliers pouvant servir dhorloges (voir 10 du chapitre 7 ).

Le fait que les horloges de R, vues de R, retardent semble contredire lasymetrie parfaite qui doit exister entre tous les referentiels galileens, comptetenu du principe de relativite. Il semble impossible que les horloges de Rpuissent egalement retarder, vues de R. Le paradoxe est resolu lorsquon serend compte que la dissymetrie est introduite par le processus de mesure.

En effet, une seule horloge de R mesure le temps t, tandis quune multitudedhorloges de R donnent le temps t, les horloges concidant avec les differentespositions dans R de lhorloge de R etudiee.

Les instant origines etant maintenant quelconques, le point O ne concide

pas avec O a t = 0, la relation (3,4) nest plus valable. Cependant, nouspouvons toujours ecrire, utilisant les differentielles :

dt =

1 v2

C2dt (3, 5)

6. Temps propre. - Considerons maintenant une horloge etalon ayant

un mouvement quelconque, cest a dire ayant une acceleration non nulle parrapport aux referentiels galileens. Cette acceleration peut etre elle meme

variable.Nous faisons ici lhypothese que la relation (3,5) est toujours valable. Ainsi,

nous supposons que lacceleration dune horloge etalon par rapport a un

systeme inertiel na aucune influence sur le fonctionnement de cette horloge(voir 10 du chapitre 7). Laccroissement du temps de cette horloge donnepar lequation (3,5) est ainsi egal a laccroissement de temps dans le referentiel

6

inertiel R0 dans lequel lhorloge est immobile a linstant considere. Cet ac-croissement de temps sera appele accroissement du temps propre de lhorlogeet note d . Nous arrivons donc a :

d =

1 v2

C2dt (3, 6)

Pour un mouvement quelconque de lhorloge entre les evenements (1) et (2),laccroissement de temps propre de lhorloge sera alors :

2 1 =

t2

t1

1 v2

C2dt (3, 7)

Bien sur, le mouvement complet entre les evenements (1) et (2) doit etre repere

toujours avec le meme referentiel inertiel.Nous devons insister sur le fait que lhypothese que nous venons de faire

a une tres grande importance et represente un saut dans linconnu. La Rel-ativite restreinte traite des mouvements des referentiels galileens les uns par

rapport aux autres, donc elle ne traite que les mouvements de translation rec-tilignes uniformes. Nous venons ici de passer aux referentiels acceleres, donc

de quitter la Relativite restreinte proprement dite. Nous verrons dans letudede la Relativite generale, que laction dune acceleration est la meme quuneaction gravitationnelle. Donc, avec cette hypothese, nous venons en fait de

faire un premier pas dans la Relativite generale.

7. Contraction des longueurs. - Cherchons quelle est la longueur l dansR dune barre rigide de longueur l dans R. Pour mesurer sa longueur dansun referentiel, il faut considerer ses deux extremites au meme instant suivantle temps du refentiel. Les extremites sont par exemple x = 0 et x = l dansR; supposons que a t = t = 0 , lextremite gauche soit en x = 0 ; lextremitedroite est en x = cosh x + sinh Ct avec :

0 = Ct = sinh x + cosh Ct

x = cosh l + sinh

(

sinh cosh

)

l

=(

cosh2 sinh2) l

cosh =

l

cosh< l

l =l

cosh (3, 8)

Ainsi, l < l. Dans ce phenomene de contraction des longueurs, il sagit encoredune propriete physique, geometrique, de lespace-temps et non pas dune

compression de la barre qui est supposee parfaitement rigide (voir 10 du

7

chapitre 7) Ainsi un solide anime dune grande vitesse tient moins de placequimmobile.

Nous faisons maintenant ici une hypothese analogue a celle du paragrapheprecedent. Nous supposons que lacceleration dun corps na pas deffet sur les

longueurs. Ainsi, pour connatre la longueur dun petit objet en acceleration,il suffit de connatre la longueur quaurait le meme objet fixe dans son systeme

dinertie R0 (donc avec la meme vitesse, mais sans acceleration) au momentconsidere. Pour un objet etendu, la longueur sera mesuree par integration deslongueurs elementaires obtenues grace a lhypothese ci-dessus.

8. Les quadrivecteurs. - La transformation speciale de Lorentz peut

secrire, avec un produit de matrices, de la maniere suivante :

Ct

x

y

z

=

cosh sinh 0 0

sinh cosh 0 00 0 1 0

0 0 0 1

Ct

x

y

z

(3, 9)

Soit : (x) = (x)

ou

|x

|

=

|x

|

= () que nous appellerons matrice de Lorentz est la matrice delement

general ecrite en (3,9). On ecrit :

x =

x = x

(3, 10)

avec la convention dEinstein : la sommation est sous entendue quand le

meme indice apparat une fois en position haute, une fois en position basse.On appelle un tel indice : indice muet, car on peut changer sa notation sans

changer le sens de lexpression mathematique ecrite. Pour la matrice (),lindice en position haute est un indice de ligne, lindice en position basse estun indice de colonne. Cest egalement le cas pour les matrices colonnes (x)

et (x); elles ont bien des indices en position haute (indices de lignes). Nousverrons que, une fois la position haute choisie pour lindice des composantes

dun vecteur, la convention dEinstein impose la position de tous les indices quiinterviendront. Ce qui est remarquable, cest quil y aura toujours une solution

et une seule pour cette position. Ainsi, nous devrons mettre les indices desvecteurs de base de lespace en position basse de facon a pouvoir ecrire :

V = V iei (3, 11)

8

pour tout vecteur V. Les nombres V i sont les composantes de V, la base

etant notee {ei}.Lequation (3,11) peut secrire matriciellement comme produit dune ma-

trice ligne par une matrice colonne placee a sa droite :

V = (....ei....)

|xj

|

= (ei) (xj)

Nous avons pose : ei xi = xi ei (ssi). (ssi) veut dire : sans sommation sur

lindice i.Dans ce dernier cas, la matrice ligne a bien encore des indices en position

basse (indices de colonnes). Nous verrons cependant au chapitre 5 (calcul

tensoriel), que cette convention de la position des indices des lignes et descolonnes pour une matrice nest pas generale.

Si les axes de R ne sont plus paralleles aux axes de R, les origines destemps et des coordonnees etant egalement quelconques, la transformation des

coordonnees sappelle simplement la transformation de Lorentz. Pour unetelle transformation, nous avons :

x = x + c (3, 12)

Les c sont des constantes quelconques. est le produit de la matrice de latransformation speciale de Lorentz (3,9) par une matrice de la forme (3,13) :

1 0 0 0

00

0

(3,13)

U

U est une matrice inversible quelconque. U est une matrice orthogonale dansle cas ou les axes de R sont orthonormes.

Supposons dans ce qui suit que les axes de R soient quelconques :Soient deux evenements A et B de coordonnes a et b dans R et a et b

dans R :

a = a + c ; b = b

+ c

x = b a (3, 14)

= b a = (b a) = x

x = x (3, 15)

9

Revenons aux vecteurs du chapitre 1, le vecteur force par exemple. Ce vecteur

etait visualise geometriquement par une fleche dans lespace a trois dimensions,mais pour des calculs numeriques on utilise les composantes qui sont un en-

semble de trois nombres se transformant suivant : (3,16) dans le changementde repere defini par (3,17) :

F i = U ijFj (3, 16)

ej = Ui

jei (3, 17)

On dit quun vecteur est contravariant car la loi de transformation (3,16)est opposee dune certaine maniere a la loi definissant le changement de base

(3,17). Cette derniere loi est dite covariante. La matrice U donne la nouvellebase (ej) en fonction de lancienne (ei), mais donne les anciennes composantes

en fonction des nouvelles; de plus dans (3,16) il y a sommation sur les colonneset dans (3,17) sur les lignes. Remarquons que la convention dEinstein permet

decrire automatiquement les formules (3,16) et (3,17) sans aucune ambigute.Nous noterons egalement :

F j = U j iFi et ei = U

jiej

Ainsi :

(U j i) = (Ui

j)1

(3, 18)

Les deux matrices (U j i) et (Uij) sont inverses lune de lautre. Aucune am-

bigute nexiste avec cette notation entre U et U1. Nous pouvons ecrire :

U ikUkj =

ij

ij est le symbole de Kronecker. Il vaut 1 lorsque i = j et 0 lorsque i 6= j.Suivant les cas, et pour avoir la meme position des indices non muets dans lesdeux membres dune equation, nous noterons egalement ce symbole :

ij ou ij

Remarquons que dans toutes les formules ci-dessus, nous pouvons remplacer

sans ambigute j par i, en ayant ainsi les indices j et i (idem par ). Nousutiliserons parfois cette notation par la suite. La structure mathematique

representee par la loi de transformation (3,15) est la meme que celle de la loi(3,16) sauf quil y a un nombre en plus. On peut donc considerer lensemble

des quatre nombres x dans un referentiel muni de la loi de transforma-tion (3,15) comme un vecteur dun espace a quatre dimensions que nous ap-pellerons lespace de Minkowski. On dit quon a un quadrivecteur; cest ici

le quadrivecteur deplacement. On a bien une structure despace vectoriel. Lasomme consiste a ajouter terme a terme les composantes, le produit externe

par un nombre consiste a multiplier toutes les composantes par ce nombre.

10

Ces operations peuvent etre effectuees dans nimporte quel referentiel. On

peut dire quun vecteur est la classe dequivalence des couples (Referentiels,Composantes) munis de la relation dequivalence definie par (3,15). Cette

relation dequivalence est bien stable pour laddition interne, et la multipli-cation externe par un scalaire. La stabilite pour laddition est detaillee dansles equations (4,1). Dorenavant tout ensemble de quatre nombres se trans-

formant suivant (3,15) dans un changement de referentiel representera unquadrivecteur. Les quadrivecteurs seront symbolises par une lettre surmontee

dune fleche. Le referentiel auquel correspond les composantes sera mis enindice lorsque nous ecrirons le quadrivecteur comme vecteur colonne de ses

composantes; nous omettrons cet indice lorsquil ny aura pas dambigute.On ecrit :

~x = (x)R = (x)R

Posons :

~e0 =

10

00

R

;~e1 =

01

00

R

;~e2 =

00

10

R

;~e3 =

00

01

R

; (3, 19)

Ces quatre vecteurs forment une base de lespace de Minkowski. On a :

~x = x~e (3, 20)

Avec la meme convention pour les vecteurs de base obtenus au moyen de R,nous avons :

~x = x~e =

x~e = x

~e

~e = ~e (3, 21)Cette derniere equation est lanalogue dans lespace de Minkowski de (3,17).

Resumons nous : un referentiel galileen est muni dun repere orthonorme delespace a trois dimensions et dun reseau dhorloges donnant le temps du

referentiel. Il lui correspond un repere de lespace-temps constitue de quatrevecteurs de base de lespace de Minkowski et dune origine, levenement quiconsiste en lexistence du point 0 au temps t = 0. Cet evenement est note O

9. Le produit scalaire. - Dans ce paragraphe, nous supposons les axes

despace de R orthonormes. Posons :

~a2 = (a0)2 (a1)2 (a2)2 (a3)2 (3, 22)

Cette quantite est invariante par changement de referentiel. En effet (3,15)

appliquee a ~a donne :a = a

(3, 23)

11

ce qui implique que nous avons egalement :

~a2 = (a0)2 (a1)2 (a2)2 (a3)2

En effet, la matrice de la transformation (3,23) est le produit de la matrice

(3,13) ecrite avec U orthogonale, par la matrice ecrite en (3,9). Les deuxtransformations correspondantes laissent dune maniere evidente la quantite(3,22) invariante.

On a donc bien un nombre associe dune maniere intrinseque au quadrivecteur~a. Posons maintenant :

~a ~b = 12

[

(~a +~b)2 ~a2 ~b2

]

On a bien une quantite invariante, tous les termes du membre de droite etantinvariants. Un calcul simple montre que :

~a ~b = a0b0 a1b1 a2b2 a3b3 (3, 24)~a ~b = a0b0 ab (3, 25)

avec :

a =

a1

a2

a3

= (ai)

La relation (3,25) permet de definir le produit scalaire lorsque le repere despacenest pas orthonorme.

Il est facile de verifier que ~a ~b verifie les axiomes dun produit scalaire :~a (~b) = (~a) ~b = (~a ~b) (3, 26)

~a ~b = ~b ~a (3, 27)~a (~c + ~d) = ~a ~c + ~a ~d (3, 28)

La seule diference avec un espace euclidien est que ~a2 = ~a ~a peut etre negatifou nul avec ~a 6= ~0, en particulier ~e2

i= 1 (dans un espace euclidien, un tel

nombre est strictement positif pour un vecteur non nul); on dit quon a unespace pseudo-euclidien.

~a2 est le carre scalaire de ~a; dou la justification du symbole 2 dans s2 car :s2 = (~x)2; avec B = E et A = O. Nous appellerons, comme dans le cas desespaces euclidiens produit scalaire des deux vecteurs ~a et ~b le nombre ~a ~b.

La base {~e} est telle que :~e ~e = (3, 29)

Cest ce que les mathematiciens appellent une base type dans un espace pseudo-euclidien. Cette notion generalise celle de base orthonormee en espace eucli-

dien.

12

La mesure du temps dans un referentiel galileen donne automatiquement

un axe des temps dans lespace de Minkowski de vecteur de base norme(~e0 ~e0 = 1) et perpendiculaire aux axes despace.

10. Conclusion. - Nous avons donc construit un espace vectoriel a quatredimensions, lespace de Minkowski muni dun produit scalaire, et ayant ainsi

la structure despace pseudo-euclidien. A deux evenements quelconques A etB de lespace-temps de coordonnees a et b on associe un vecteur unique delespace de Minkowski, le vecteur deplacement :

AB = (b a)~e (3, 30)AB = x ~e = ~x (3, 31)

Dautre part, il est facile de verifier queAB = BA et que AB + BC = AC;

enfin, quel que soit le quadrivecteur ~V , il existe un evenement unique M telque

OM = ~V . Ces relations correspondent aux axiomes dun espace affinesur un espace vectoriel.

AB2

= ~x2 = s2 est appele lintervalle entre les deux evenements A etB. Lintervalle generalise la notion de distance d entre deux points de lespace(espace affine euclidien).

~x = (x) =

x0 = Ct

x1 = xx2 = y

x3 = z

(3, 32)

Il vient donc, lorsque le repere despace est orthonorme :

~x2 = C2t2 x2 y2 z2 (3, 33)

Si il est quelconque, on a encore :

~x2 = C2t2 d2 (3, 34)

d est la distance spatiale des deux evenements.Lorsque s2 > 0 on parle dintervalle du genre temps; lorsque s2 < 0,on

parle dintervalle du genre espace; et lorsque s2 = 0 on parle dintervalle

du genre lumiere. Le meme language est utilise pour le carre scalaire ~a2 :~a2 > 0 ~a quadrivecteur du genre temps. Cette notion est intrinseque.Lorsque lintervalle est du genre espace, il existe un referentiel galileen danslequel les deux evenements sont simultanes en deux endroits differents. Lorsque

lintervalle est du genre temps, il existe un rerentiel galileen dans lequel lesdeux evenements ont lieu au meme endroit a des instants differents.

13

En conclusion, lespace-temps a la structure dun espace affine sur un es-pace vectoriel pseudo-euclidien a quatre dimensions, lespace vectoriel des

quadrivecteurs, ou espace de Minkowski . La Relativite restreinte, qui cor-respond a cette structure, lie ainsi physiquement lespace et le temps.

Precisons maintenant la terminologie que nous utiliserons par la suite :Un referentiel ga1i1een, donnee dun repere despace (a priori quelconque,

non necessairement orthonorme) et dun temps correspond a la donnee dunrepere de lespace-temps. Les coordonnees correspondantes sont appe1ees coor-

donnees galileennes. Lorsque le repere despace est orthonorme, et lorsquonmesure le temps avec la coordonnee : x0 = Ct, Les equations (3,29) sont

verifiees; on a un repere type de lespace-temps. Nous dirons alors quon ades coordonnees galileennes type. Ceci generalise les reperes orthonormes delespace euclidien et les coordonnees correspondantes au cas de lespace-temps

de la Relativite restreinte.Les coordonnees galileennes sont ce quon appelle dune maniere generale

des coordonnees rectilignes ou cartesiennes (voir 3 chapitre 9 ). Les coor-donnees galileennes types sont ce quon appelle des oordonnees rectilignes ou

cartesiennes types, ou coordonnees types. Elles ont pour equivalent en espaceeuclidien les coordonnees orthonormees (obtenues avec un repere orthonorme).

Notons, dapres (3,34) .ue laxe des temps est toujours orthogonal aux axesdespace (voir egalement la derniere remarque du 8 ).

Lespace-temps de la Relativite restreinte, espace affine sur lespace deMinkowski sera appele lespace-temps plat. ou espace-temps plat pseudo-

euclidien. Nous verrons en effet au 8 du chapitre 11 quun tel espace a unecourbure nulle, donc est plat, comme le plan, en opposition a la surface dune

sphere par exemple.Ceci sera egalement en opposition avec lespace-temps de la Relativite generale

dont nous verrons quil possede une courbure non nulle. Dans la Theorie de

la relativite restreinte, nous avons un espace-temps plat global. En relativitegenerale, nous verrons que nous avons des espaces-temps plats locaux dans

des regions suffisamment petites de lespace-temps, dans lesquelles la Rela-tivite restreinte sapplique (voir 2 chapitre 12).

EXERCICE

3.1 R est anime de la vitesse vr par rapport a R, et R est anime de lavitesse ve par rapport a R. ve et vr sont paralleles aux axes x, x, et x.

14

1. Exprimez la formule de composition de ces vitesses colineaires en utilisant

lequation (3,2) mise sous la forme matricielle correspondant a (3,9).2. Que donne la formule pour vr C et ve C; et pour ve ' C?

15

Chapitre Quatre

LA RELATIVITE RESTREINTE : MECANIQUE

1. Abandon de limpulsion newtonienne. - Maintenant que nous avonschange la loi de transformation des coordonnees dans un changement de

referentiel, il nous faut voir si les lois de la mecanique sont encore covariantes.Nous allons examiner la covariance de la loi de conservation de limpulsion(1,2) : Pi = Cte, avec lexpression newtonienne de limpulsion P = mv ,

donnee par cette meme equation (1,2). Supposant cette loi vraie dans R, nousallons voir si elle est vraie dans R.

Envisageons deux particules, M1 de masse m1 et M2 de masse m2. Laparticule M1 est animee de la vitesse v C vers la droite par rapport a R,tandis que M2 est animee de la vitesse C vers la gauche, par rapport a R(fig. 4.1) :

M1 M2O

v CR

Fig. 4.1

Nous supposons que m1v = m2C de telle sorte que limpulsion totale soitnulle. Une situation envisageable est donc que les deux particules se lient en

O puis restent immobiles.Vue dans R, la situation finale consiste en deux particules animees de la

meme vitesse V , vitesse de R par rapport a R. Nous savons quune particuleanimee de la vitesse C dans un referentiel a cette vitesse par rapport a tout

referentiel (nous avons construit la transformation de Lorentz pour quil ensoit ainsi). Dautre part, les vitesses v et V etant supposees faibles devantcelle de la lumiere, la loi newtonienne de composition des vitesses joue pour

la particule M1. Nous pouvons maintenant examiner les impulsions vues deR :

1

Avant le choc, nous avons :

Pi = m1(v + V) m2C = m1V

Apres le choc :

Pi = (m1 +m2)V

La loi de conservation de limpulsion supposee vraie dans R est donc faussedans R! Cette loi nest pas covariante. Nous avons maintenant le choix delabandonner ou de modifier de maniere adequate lexpression mathematiquede limpulsion, de facon a rendre la loi covariante.

Rappelons nous que cette loi vient directement du principe de linertie quenous avons generalise a un ensemble de plusieurs particules. Nous avons fait

cela de facon a ne pas distinguer les particules elementaires de celles qui ne lesont pas vis-a-vis du comportement externe. Il sagit dune telle exigence desimplicite et dautocoherence de la theorie que nous allons essayer de conserver

cette loi tout en la rendant covariante.Il nous faut preciser ici que nous ne nous servons plus de la notion de centre

de gravite, car elle nest pas intrinseque : pour determiner la position de G, ilnous faut envisager les differents points Mi simultanement, et cela depend du

referentiel choisi. G depend donc du referentiel et na plus dutilite.

2. Limpulsion relativiste. - Essayons dutiliser la nouvelle structure

decouverte en relativite : les quadrivecteurs. Supposons donc quon arrivea definir un quadrivecteur impulsion. Une egalite entre quadrivecteurs est

automatiquement covariante, et cela vient de lexistence meme de lespace deMinkowski; cependant nous allons le detailler ici avec les composantes. Nous

avons alors, pour lexemple des deux particules considere au 1, dans R :

P1 + P2

= Q1 +Q2

~P1 et ~P2 sont les impulsions des particules M1 et M2 avant le choc, ~Q1 et ~Q2apres le choc. Dans R :

P1 + P2

= P1 + P2

=

(

P1 + P2

)

=

(

Q1 +Q2

)

(4, 1)

= Q1 + Q2

= Q1 +Q2

La loi est donc vraie egalement dans R, donc covariante. La suite degalitesque nous venons decrire correspond tout simplement a lecriture a laller (Rvers R) et au retour (R vers R) de la stabilite de la relation dequivalence(3,15) pour laddition (a la base, avec la stabilite pour la loi externe, de

2

lexistence de lespace de Minkowski), et au milieu, a lecriture dans R de laconservation de limpulsion.

Il nous reste a trouver un quadrivecteur, le plus simple possible, redonnantlimpulsion newtonienne pour les vitesses faibles.

m est un invariant ainsi que le temps propre ; nous avons alors un quadrivecteurpar :

~P = md~x

d(4, 2)

Detaillons les termes de cette formule : on considere deux evenements infin-iment proches qui sont lexistence de la particule a deux instants voisins. Il

suffit, pour avoir une image mentale de cela, dimaginer que la particule clig-note. Les deux evenements sont deux allumages successifs du clignotant fixe

sur la particule. d est alors la duree separant ces deux allumages, telle quelleest indiquee par lhorloge etalon fixee sur la particule; cest laccroissement in-finitesimal de temps propre. d~x est le quadrivecteur deplacement de la partic-

ule entre ces deux evenements. ~P , produit du quadrivecteur d~x par le scalairem

dest bien egalement un quadrivecteur. Ecrivons ses composantes :

~P =

m Cdtd

m dxd

m dyd

m dzd

=

m C cosh

m v cosh

= mC~U (4, 3)

~U =

coshvC

cosh

=

dt / d

dx / Cd

dy / Cd

dz / Cd

=1

C

(

dx

d

)

(4, 4)

~U est appellee quadrivitesse de la particule. Ses trois composantes despaceont pour limite v

Cquand v C.

On notera egalement :

U =v

Ccosh ; ~U =

U0

U

~U2 =C2dt2 dx2 dy2 dz2

C2d 2=

1 v2C2

d2

dt2

(3,6) donne alors :~U2 = 1 (4, 5)

et nous pouvon ecrire :

ds2 = d~x2 = C2d 2 = C2dt2 dx2 dy2 dz2 (4, 6)

3

ds2, intervalle infinitesimal est appele element lineaire ou element metrique.

Il generalise a lespace de Minkowski lelement de longueur de lespace dlverifiant :

dl2 = dx2 + dy2 + dz2

Les signes moins dans lelement lineaire viennent du fait quon a affaire a unespace pseudo-euclidien. On voit sur la formule (4,6) que lorsque lelement

lineaire est du genre temps, il est egal au produit du carre de la vitesse de lalumiere par laccroissement infinitesimal du temps propre d .

Rappelons ( 6 chapitre 3 ) que cette duree d est laccroissement du tempsdans le referentiel galileen R0 de la particule au moment considere, referentieldans lequel les deux evenements (deux allumages successifs, du clignotant)ont lieu au meme endroit. Ce qui vient detre dit secrit : C 2d 2 = C2dt2 pourdx = dy = dz = 0. A partir de la, et de linvariance de lelement lineaire, on

retrouve lexpression donnee en (4,6) de d 2, puis en divisant (4,6) par C2dt2,on retrouve (3,6). Enfin, en divisant (4,6) par C2d 2 , on retrouve ~U2 = 1.

Pour les vitesses faibles devant C, nous avons :

~P '

mC

P

(4, 7)

Nous retrouvons bien la loi de conservation de limpulsion newtonienne (1,2)

aux faibles vitesses, si nous supposons que le quadrivecteur ~P total dun en-semble de particules isolees du reste de lunivers se conserve. Nous ferons donc

cette hypothese que lexperience confirme.La loi de conservation correspondant a la premiere composante de ~P traduit

une autre loi : la conservation de lenergie. En effet :

mC cosh ' mC

1 +2

2

' mC

1 +v2

2C2

=1

C

(

mC2 +1

2mv2

)

=E

Cavec :

E ' mC2 + 12mv2 (4, 8)

1

2mv2 est lenergie cinetique newtonienne; mais il apparat un terme denergie

au repos lie directement a la masse, dou la celebre formule : E = mC 2.

Cela permet denvisager, lors dun choc, la creation ou la destruction de par-ticules, lenergie de masse mC2 etant convertie en vitesse des autres particules.Cela a couramment lieu dans les accelerateurs de particules; la Mecanique

newtonienne etait incapable de prendre en compte de telles experiences.Remarquons cependant que la Mecanique newtonienne prend en compte la

desintegration dun systeme compose comme lionisation de latome dhydrogene

4

par exemple. La relativite permet de ne pas faire de distinction entre les par-

ticules elementaires et celles qui ne le sont pas dans ce genre de reaction; voir ace sujet le 3. Ainsi, une experience de desintegration ne permet pas de savoirsi les particules en jeu sont elementaires ou non. Cette idee de comportementexterieur commun pour les particules elementaires et composees existait dejaen Mecanique newtonienne ( 3 , chapitre 1 ). Elle est etendue grace a larelativite au cas ou le systeme nest plus invariable (desintegration). Cetteidee est egalement reprise en Mecanique quantique. En Mecanique quantique

classique, on parle de letat quantique dun electron dans latome dhydrogene;latome dhydrogene est alors decrit par les nombres quantiques correspondant

(orbitales). En Mecanique quantique relativiste, lelectron lui-meme, pourtantconsidere comme rigoureusement elementaire est un etat quantique.

La Relativite restreinte nous permet dunifier deux lois distinctes de laMecanique newtonienne, la conservation de limpulsion et la conservation delenergie. De plus, nous avons approfondi la connaissance de cette derniere

en decouvrant un nouveau type denergie, lenergie dun corps immobile lieedirectement a sa masse.

Dorenavant, nous ecrirons :

~P =

E

C

P

(4, 9)

Le vecteur de lespace P est la generalisation de limpulsion newtonienne que

nous ecrirons avec la meme lettre.

E = mC2 cosh =mC2

1 v2C2

(4, 10)

P = mv cosh =mv

1 v2C2

(4, 11)

Nous appellerons dorenavant le quadrivecteur ~P : quadrivecteur impulsion-

energie.

~P 2 = m2C2~U2 = m2C2 =E2

C2 P2

Dou la formule :

E2 P2C2 = m2C4 (4, 12)qui remplace la formule newtonienne :

E =P2

2m

LenergieE de la particule se compose donc de deux termes : mC 2 est lenergie

de masse ou energie de repos, PC est lenergie cinetique liee au mouvement

5

(P = P =

P2 est la norme de P; la norme dun vecteur note en caracteregras sera toujours notee en caractere non gras).

3. Creation dune particule massique avec des particules de masses

nulles. - Lorsque m 0, (4,3) montre que ~P 0 (nous verrons au 7 quenecessairement v C; v est bornee) sauf si cosh +. Envisageons lecas limite obtenu quand m cosh a une limite finie : E

C2. Nous avons une par-

ticule de masse nulle dont le quadrivecteur impulsion-energie est donne par

(4,9) avec E = PC. Cela correspond bien a la formule (4,12) avec m = 0.Toute lenergie est sous forme cinetique. Il existe en effet de telles particules.Ainsi, le photon est de masse nulle avec E = h, donc P = h

C.

Considerons maintenant lexperience de pensee suivante : dans R, une botede masse nulle (fig. 4.2) aux parois parfaitement reflechissantes contient deux

photons de meme energie faisant des allers et retours le long de laxe des y enayant toujours des vitesses opposees. Calculons le quadrivecteur impulsion-

energie total, tout dabord avec ses composantes dans R :

y

Fig. 4.2

P =

h C

0h

C

0

+

h C

0h

C

0

=

2h C

00

0

+

mC

00

0

m = 2hC2

= EC2

; E = 2h. E est lenergie totale contenue dans la bote. Ainsi,

lensemble se comporte comme une particule massique immobile. Dans R, eten supposant v C :

P =

m C cosh

m C sinh00

6

et la seule composante non nulle de P est P x = mC sinh ' mC vC

= mv.

On a bien encore le comportement dune particule de massem en Mecaniquenewtonienne. Si la bote est toute petite, elle a lapparence dune telle partic-

ule. Si la bote libere les deux photons, cela correspond a la desintegration decette particule fictive. Le referentiel R dans lequel le systeme constitue de labote et des deux photons verifie P i = 0 sera appele referentiel ou systeme du

centre dinertie, et cette denomination sera utilisee pour tout systeme com-pose, pour le referentiel dans lequel les composantes despace de limpulsion-

energie totale sont nulles. Le referentiel du centre dinertie est le referentielR0 dune particule elementaire qui aurait le meme quadrivecteur impulsion-energie. Nous continuerons demployer la notation R0. Dans le cadre delapproximation newtonienne (particules de masses non nulles et de vitesse

faible devant C), R0 serait le referentiel dans lequel le centre de gravite delensemble est immobile. Le referentiel R pourra etre appele systeme du lab-oratoire.

Cet exemple que nous appellerons experience de la bote aux deux pho-tons pourrait etre reproduit avec un systeme comportant un nombre quel-

conque de particules. Nous arrivons a la conclusion quen ce qui concerne lequadrivecteur impulsion-energie total, qui gouverne le comportement mecanique

de lensemble vu de lexterieur, on peut considerer que cest celui dune par-ticule unique de masse P

0

Cdans le referentiel ou P i = 0; cest a dire dans le

referentiel R0 de cette particule fictive. La masse de cette particule fictiveest egale a la somme des energies dans ce referentiel divisee par C 2. La loiE = mC2 sapplique donc pour un ensemble de particules considere comme

un tout.La masse de lensemble est superieure a la somme des masses des particules

constituantes a moins que celles-ci soient toutes au repos. Ainsi, en mecaniquerelativiste la loi daddition des masses ne joue pas.

Prolongeant ce qui a ete dit au 5 du chapitre 1, rappelons quen Mecaniquequantique relativiste, dans lespace-temps, il ny a que des particules, partic-ules de matiere ou particules de champ assurant les interactions. Ce qui vient

detre dit est donc vrai pour tout systeme. Ainsi, la masse dun systemecompose est egal a la somme des energies quil contient divisee par C 2 dans

R0 : energie de masse des particules de matiere, energie cinetique de cesdernieres, et energies potentielles dinteraction correspondant aux energies des

particules de champ que contient le systeme. Si le systeme est contenu dansun petit volume, il se comportera comme une particule elementaire en ce

qui concerne son comportement mecanique vu de lexterieur, comportementcaracterise par le quadrivecteur impulsion-energie totale; et ceci tant que la

7

masse totale du systeme (energie dans R0 au facteur C2 pres) restera con-stante. Aucune experience de mecanique ne permettra de savoir si le systemeest elementaire ou compose, tant quil se comportera comme un tout invari-able dans les experiences. Tel est le cas du proton par exemple, qui est en

fait constitue de quarks et de gluons et dont la masse provient pour partie delenergie cinetique de ces quarks et gluons.

Nous avons donc bien realise le programme que nous nous etions fixe aux 1 et 2, a savoir garder en Mecanique relativiste le meme comportementexterieur pour les particules elementaires et celles qui ne le sont pas.

La masse m de la particule fictive, egale a EC2

, sera parfois appelee masse-

energie pour rappeler son origine (somme des energies) et son comportement(comme la masse dune particule elementaire). On prendra au choix, lunitedune masse, dune impulsion, ou dune energie.

Par extension, on appellera parfois masse-energie, la composante de tempsP 0 du quadrivecteur impulsion-energie dun systeme compose, sans que les

composantes despace P i soient nulles; ceci car nous verrons que ce terme estdoue de la capacite dattirer gravitationnellement comme une masse (voir 4du chapitre 6).

4. La force en Mecanique relativiste. - La force a ete definie grace

a legalite (1,2) permettant darriver par derivation a (1,5) : Fi = 0. Il estnaturel de vouloir conserver cette egalite. Il est alors necessaire de deriver

lequation Pi = Cte par rapport a un parametre commun a toutes les par-ticules. Ce ne peut etre un temps propre. Le plus simple est de prendre le

temps du referentiel galileen considere. On pose donc :

F =dP

dt(4, 13)

Il y a la une certaine subtilite, car pour la definition de limpulsion, on utilisaitle temps propre et non pas t (en utilisant la notation x =

OM ) :

P = mdx

d

Essayons de nous convaincre que la formule (4,13) est la bonne solution. Con-siderons une plaque immobile dans R (fig. 4.3), bombardee par un flux departicules venant de la gauche dimpulsions P1, et par un flux de particulesvenant de la droite dimpulsions P2. La plaque absorbe les particules et reste

immobile. Il est naturel de dire quelle est soumise a deux forces egales envaleurs absolues et opposees. Ceci correspond a notre besoin dutiliser (1,5).

8

P1 P2

n1 n2

. .. . . . ..

.. . ... . . ..

. . .. .

Fig. 4.3

Soit n1 le nombre de particules arrivant par unite de temps de la gauche,

et n2 de la droite. En comptant les impulsions qui arrivent de la droite et dela gauche pendant le temps dt, et qui doivent etre egales, nous arrivons a :

n1dtP1 = n2dtP2

Posons :

dP1 = n1dtP1 et dP2 = n2dtP2

dP1 = dP2 dP1

dt=dP2

dtLes particules venant de la gauche par exemple, peuvent etre relativistes, tan-dis que celles venant de la droite ne le sont pas. Pour P2, on peut alors prendre

lexpression classique, tandis que pour P1, on prend lexpression relativiste.

F2 =dP2

dtsidentifie donc a la force newtonienne, tandis que F1 =

dP1

dtresulte

de notre volonte davoir F1 = F2 lorsque la plaque est en equilibre, sans nous

preoccuper du type de particules en jeu.Prenons un exemple concret : on peut avoir une plaque noire exposee a

la lumiere et subissant la pression de radiation des photons du cote gauche,tandis que du cote droit elle est maintenue immobile grace a un ressort ou au

choc mou de particules non relativistes. Lorsque la plaque est a lequilibre, onecrit bien F1 = F2. Les egalites :

dP1

dt=dP2

dt= F2

impliquent alors :

F1 =dP1

dtRemarquons que toutes les forces usuelles autres que la gravitation sont denature electromagnetique. Elles peuvent donc sinterpreter comme dues a un

flux de photons virtuels relativistes; elles sont egales au flux dimpulsion deces photons.

9

En conclusion, la force est donc egale au flux dimpulsion.

Lexperience montre dailleurs que cest cette force qui est utilisee en electromagnetisme

dans la formule :

F =dP

dt= qE + qv B (4, 14)

5. Quadrivecteur force. - Le quadrivecteur :

~ =d~P

d=

1

C

dE

d

F dtd

=

1

C

dE

dtcosh

F cosh

(4, 15)

est appele le quadrivecteur force. Utilisons le pour voir quelle est la loi de

transformation de la force dans le passage de R a R. Considerons une particuleimmobile dans R, de masse invariable m.

0 = 0 ; = donne :

1 = F x cosh = 1 cosh = F x cosh

car 1 = F x . Il vient : F x = F x.

2 = F y cosh = 2 = F y

de meme avec laxe des z. Ainsi :

F y =F y

cosh= F y

1 v2

C2

Finalement :

FR = F,R + F,R

1 v2

C2(4, 16)

Les symboles et signifiant parallele et perpendiculaire au mouvement dela particule. La force nest donc pas un invariant en mecanique relativiste.

6. Travail de la force. - Considerons une particule de masse invariablem (m peut etre nulle) et dont lenergie varie continuement sous laction dune

force F :E2 = P2C2 +m2C4 donne E dE = P dPC2

Soit : dE =P

E

dP

dtC2 dt

or :P

E=m cosh v

mC2 cosh=

v

C2(4, 17)

dE = vC2

dP

dtdt C2

10

dE = F dl (4, 18)

La variation denergie est egale au produit scalaire de la force exterieure ap-

pliquee a la particule par le vecteur deplacement elementaire, cest a dire autravail de la force. Ainsi, lexpression newtonienne du travail de la force estencore valable. Cela est naturel : en effet les forces classiques de la Mecanique

newtonienne sont causees par des particules de champ pouvant aller a la vitessede la lumiere (photons, gravitons). Si lon suppose quil y a conservation

denergie entre les particules de matiere obeissant a la Mecanique newtoni-enne et ces particules de champ, la formule (4,18) doit etre retrouvee dans

le cadre de la physique relativiste. Notons que la conservation de lenergie,ajoutee au fait que le dl subi par un systeme est egal a celui subi par le

systeme complementaire, impose que lon doit avoir le principe de laction etde la reaction, si lon veut que le travail soit donne toujours par la formule(4,18). Cela justifie encore la definition de la force du 4 :

dE1 = F2/1 dl1 = dE2 = F2/1 dl2= F1/2 dl2 F2/1 = F1/2

En conclusion, la formule (4,18) sapplique des que lon a une particule in-variable dont lenergie varie continuement sous laction dun flux de partic-

ules. Bien sur, elle ne sapplique plus lors des desintegrations de particuleselementaires, la particule suivie devant garder un certain temps son identite.(4,15) donne 0 = Fvcosh

C.

7. Vitesse limite des particules materielles. - Montrons quaucune

particule massique ne peut depasser la vitesse de la lumiere : (4,11) impliqueen effet que P quand v C.

Pour que v atteigne C en un temps fini, cela necessiterait que P atteigneune valeur infinie en un temps fini, donc cela necessiterait une force F = dP

dt

infinie, ce qui est impossible.

8. Vitesse limite de toutes les interactions. - Aucune interaction

ayant un effet physique ne peut se propager plus vite que la lumiere. Celaentre en effet en contradiction avec la causalite qui implique que la cause dun

phenomene doit toujours preceder son effet.Considerons un signal partant de O = O a t = t = 0 et arrivant en A

(x > 0) au temps t > 0 avec v = xt> C. Utilisons la transformation de

Lorentz.

Ct = x sinh+Ct cosh < 0; a condition que soit negatif donc V = sinh cosh

11

egalement, et que :sinh

cosh< C t

x= C

v

soit :|V |C

>C

v

Ce qui est possible, car Cv< 1.

Dans R le signal est emis en A avant detre recu en O, alors que dans R,cest linverse, il est emis en O et recu en A. Notons que R se deplace versla gauche, vu de R. La vitesse C nest donc pas seulement la vitesse de lalumiere, mais egalement la vitesse limite de toute interaction ayant un effetphysique. Ce resultat est interessant, car nous avons construit la Relativiterestreinte en faisant jouer un role particulier a la vitesse de la lumiere, donc

a linteraction electromagnetique. Nous aurions pu construire cette theoriesans faire jouer ce role particulier a cette interaction, en postulant que toutes

les interactions ont une vitesse limite commune : C, la meme dans tous lesreferentiels.

Il est important de noter que la propriete precedente de vitesse finie Cpour toutes les interactions entre en contradiction avec la notion de corpssolide. En effet, un ebranlement a une extremite dun corps solide, cest a dire

un deplacement de cette extremite, doit se repercuter instantanement danstout le solide, donc se propager a une vitesse infinie, toutes les parties du

solide restant a distance constante les unes des autres. Or la notion de corpssolide est pour nous fondamentale, puisque nous nous en sommes servi au 1du chapitre 1 pour definir les referentiels galileens. Nous pouvons sauver lasituation dans la mesure ou un corps deformable se comporte comme un corps

solide tant quil nest soumis a aucune contrainte.Il est interessant de remarquer que la Mecanique quantique reintroduit la

notion de solide parfait ayant une extension spatiale precise. Ainsi, un atome

dhydrogene dans son etat quantique fondamental a une extension spatialedecrite par lorbital de lelectron bien precise et invariable. De meme, dans

leffet Mossbauer, le cristal de fer recule en bloc lors de lemission dun photon.

La contradiction avec la Relativite restreinte est levee grace au principedincertitude qui assure le flou necessaire quant aux positions geometriques

dun solide. Lors de la reduction du paquet donde, il y a mise en placeinstantanee de lemplacement du solide dans son ensemble. Cela corresponda la meme non localite que celle observee dans les experiences de correlation

de deux photons par exemple (inegalites de Bell, experience dAspect). Il ya correlation entre les deux bouts du solide. Mais cette correlation ne permet

12

pas de transporter de linformation dun bout a un autre. Ce nest quapres

la reduction du paquet donde effectuee, que lon peut verifier que le solide ala bonne longueur.

9. Les antiparticules. - Lexistence des antiparticules se deduit de la priseen compte conjointe de la Relativite restreinte et de la Mecanique quantique.

Nous allons le montrer par un raisonnement intuitif.Nous avons vu au 5 du chapitre 1 quen Theorie quantique des champs, les

interactions sinterpretent comme des echanges de particules virtuelles entreles particules de matiere (diagrammes de Feynman). On peut montrer que

ces particules virtuelles ne sont pas tenues a ne pas depasser la vitesse dela lumiere. Intuitivement, cela vient du principe dincertitude qui offre une

telle possibilite, compte tenu des incertitudes sur les variables classiques, enparticulier sur la vitesse. Nous avons vu au 8 que si x2x1

t2t1 > C dans un

referentielR, on peut avoir t2 > t1 dans R et t2 < t1 dans R, pour une certainevitesse V de R par rapport a R. En consequence une particule virtuelle allantde O vers A dans R, peut etre vue comme allant de A vers O dans R. Mais si,dans R, on voit une particule chargee positivement allant dans un sens, dansR on verra une particule chargee negativement allant dans lautre sens. Il fautetre en effet daccord sur le transport effectif de charge entre O et A dans leprocessus. Nous verrons en effet au 11 que la charge electrique est invariantedans un changement de referentiel. Tous les observateurs doivent donc etredaccord sur le transfert de charge observe. Si on voit une particule virtuelle

echangee dans R, dans R on voit donc son antiparticule. A toute particule estdonc associee une antiparticule de meme masse mais de charge opposee. Ceci

setend aux particules de matiere et aux particules neutres. Enfin certainesparticules sont identiques a leurs antiparticules.

Construisons par exemple le diagramme de Feynman du processus dinteraction

faible transformant un proton en neutron, tandis quun electron est transformeen neutrino. La particule virtuelle echangee est un boson W + dans un cas W

dans lautre (fig. 4.4) :

13

e

e

W+

p

n

e

e

W

p

n

Fig. 4.4

Dune maniere generale, on peut effectuer les transformations suivantes surun diagramme :

-On peut changer toutes les particules en leurs antiparticules, avec change-ment de la parite donc de lhelicite. Cela correspond a linvariance globale

sous la symetrie CP : C transformation generale de toutes les charges enleurs opposees, ou conjuguaison de charge, donc passage aux antiparticules,

et P changement de la parite donc de lhelicite.-On peut changer le sens de toutes les fleches. Cela correspond a linvariance

globale sous la symetrie T , changement de sens de lecoulement du temps.

Notons quon a decouvert quelques reactions, dont en particulier une reactionfaisant intervenir le systeme K0 K0, nobeissant pas separement a la symetrie

CP . Puisque la symetrie CPT est toujours verifiee, dapres le theoreme

14

celebre CPT de la Theorie quantique des champs, cette reaction nobeit pas

non plus a la symetrie T seule.-On peut inverser une fleche a la condition de changer la particule correspon-

dante en son antiparticule, et de changer egalement la parite, donc lhelicitede cette particule. Cela sappelle la symetrie croisee. (crossing symmetry).Cela revient a faire subir a la particule concernee, la symetrie locale CPT . En

utilisant ces trois procedes, des diagrammes precedents, on peut deduire celuicorrespondant a la desintegration du neutron (fig. 4.5) :

e

e

W

p

n

Fig. 4.5

10. Le Probleme des deux barres : invariance de la force par unite

de longueur. - Considerons une particule dune barre, soumise a la force

appliquee par lautre barre. Cette force est perpendiculaire au mouvement et(4,16) donne :

FR = F,R = F,R

1 v2

C2

Mais le nombre de particules chargees par unite de longueur dans R est plusgrand que dans R dun facteur 1

1 v2C2

a cause de la contraction des longueurs.

Il en resulte que :FRl

=FRl

Nous devons donc retrouver dans les deux reperes la meme force par unite de

longueur. Nous pouvons dailleurs donner une interpretation imagee de cettepropriete : imaginons que les barres soient maintenues immobiles dans R graceaux forces de pression de pistons regulierement espaces le long des barres. Vude R, a cause de la contraction des longueurs, lespacement de ces pistons est

15

reduit du facteur :

1 v2C2

; mais les phenomenes se produisant dans R sontvus dans R ralentis de ce meme facteur; il en est ainsi du mouvement desmolecules frappant les parois des pistons et y delivrant leurs impulsions qui

elles, restent inchangees etant perpendiculaires au mouvement. Leurs debits,donc finalement les forces appliquees, sont donc reduits de ce facteur. Les

forces sont plus faibles, les longueurs plus petites, les deux phenomenes secompensent exactement. Nous allons verifier dans le paragraphe suivant que

les lois de lelectromagnetisme sont bien en accord avec cette loi de transfor-mation de la force, donc que cet ensemble de la physique est bien globalement

covariant.

11 Calcul de la force electromagnetique dans les deux referentiels.

- Dans R :FR = FE =

2l

20r

Dans R : remarquons tout dabord la propriete fondamentale dinvariance de lacharge electrique; la charge dune particule est la meme vue de nimporte

quel referentiel. Ainsi la charge de lelectron de latome dhydrogene annuleparfaitement la charge du proton quelle que soit la vitesse de lelectron, doncquel que soit letat dexcitation de latome.

Ajoutons a cela le fait que la charge electrique est quantifiee, multiple decelle de lelectron, ou de celle des quarks les moins charges (charge 1

3), si lon

tient compte de ces derniers. Ces deux faits, allies a lexistence de chargespositives et negatives permettent bien a linteraction electrostatique de dis-

paratre completement pour un atome neutre, vu de lexterieur, quel que soitson etat, et de maniere generale pour toute matiere dans lunivers, a grande

echelle, les charges positives annulant rigoureusement les charges negatives.Ainsi seule la gravitation intervient a lechelle de lunivers.

Il resulte de cette propriete dinvariance de la charge et de la contraction

des longeurs que :

=

1 v2C2

FR = FE + FB =2l

20r 0

2v2l

2ror

00C2 = 1

donc :

FR =2l

20r

1 v2

C2

=2l

20r

16

ainsi :FRl

=FRl

comme prevu au paragraphe precedent.

EXERCICES

4.1 Les ondes de matiere de de Broglie

De Broglie suppose qua une particule ponctuelle de masse m, immobile

dans le referentiel R0 = R, est associee une onde stationnaire dans ce memereferentiel. Stationnaire signifie que, dans toute letendue de londe, les vibra-

tions seront en concordance de phase. La pulsation 0 de cette onde dans Rest supposee verifier la relation de de Broglie : h0 = mC

2. Lexpression dela fonction donde est alors, en chaque point de lespace :

(x, t) = Aei0t

1. Exprimez la meme fonction donde, vue dans le referentiel du laboratoireR, ou la vitesse du corpuscule est v.

2. Montrez que dans le referentiel du laboratoire, la pulsation vue est :

=0

1 v2C2

3. Montrez que, dans le referentiel du laboratoire, le phenomene devient

une onde progressive ou une meme phase arrive successivement en des pointsdifferents. Quelle est la vitesse de phase V de londe?

4. Montrez que, dans R, on a la relation de de Broglie = hP, P etant

limpulsion relativiste de la particule.

5. Montrez que lensemble des composantes :

~k =

C

kx

ky

kz

avec k = 2

, se transforme comme un quadrivecteur dans un changement

de referentiel. A quel autre quadrivecteur est-il proportionnel?6. Quobtient-on pour v C, 0 0 avec 0 cosh , etant une

limite finie?,

17

4.2 Etude de laberration de la lumiere

Dans R, un rayon lumineux arrive depuis les x positifs en O en faisantlangle

2 avec laxe des x.

x

2

1. Calculez langle de ce rayon, vu de R.2. Montrez que lon retrouve la valeur newtonienne pour v C; quelle est

la valeur de quand v = C.3. Application numerique pour la lumiere venant des etoiles sur la Terre,

quand = 0. On donne : v = 30km/s.

4.3 Interpretez la relation : F,R = F,R en prenant lexempledune force de pression longitudinale obtenue par le choc des molecules dun

gaz dans la chambre dun piston.

4.4 Leffet Doppler : Un rayonnement se deplacant dans le sens

des x positifs est vu avec la frequence dans le referentiel R. Il est vu avecla frequence dans le referentiel R anime de la vitesse v par rapport a R.

1. En exprimant le quadrivecteur impulsion-energie dun photon dans R etdans R, calculez en fonction de .

2. En deduire le decalage vers le rouge z = ()

.3. .Donnez la formule approchee quand v C.4. Quelle est la limite de z quand v C?

4.5 Le mouvement hyperbolique

Cet exercice etudie le mouvement dun objet de masse m soumis a la force

constante F = mg a partir de linstant t = 0, instant ou lobjet est immobile.1. Exprimez la vitesse v en fonction du temps du referentiel fixe : t.

2. En deduire la fonction x(t).3. Montrez que la courbe x(t) est une hyperbole.

18

4. Exprimez le temps propre du mobile en fonction de t.

5. Calculez le temps propre necessaire pour que lobjet franchisse ladistance de 50 000 annees lumiere (on prendra g = 9, 81m/s2).

6. On suppose que le diametre de notre galaxie, la Voie Lactee, fait ap-proximativement 100 000 annees lumiere.

Une fusee part de la Terre et accelere avec lacceleration constante g = 9, 81m/s2

jusquau centre de notre galaxie. Ensuite, elle freine de la meme maniere, apresun retournement, pour simmobiliser a lautre bout de la galaxie.

Calculez la duree totale du voyage aller et retour pour un observateur ter-restre, et pour un passager. Conclusion?

19

Chapitre Cinq

ELECTROMAGNETISME RELATIVISTE

CALCUL TENSORIEL

1. Introduction. - Nous supposons connue lalgebre lineaire au programmedes Classes Preparatoires aux Grandes Ecoles et des DEUG scientifiques. Nousen rappellerons quelques-unes des proprietes, ceci de facon a introduire les

tenseurs qui jouent un role capital en Relativite generale. Lelectromagnetismeservira de premier exemple dutilisation de cette structure en physique

2. Le tenseur electromagnetique. - Lenergie sera notee ici E , pour

eviter la confusion avec le champ electrique E. Les indices des quadrivecteursseront notes : 0, 1, 2, 3; tandis que les composantes de E et B seront notees

avec les indices x,y,z. Les equations (4,14) (4,15) et (4,18) donnent :

0 =1

C

dE

d=

1

C

Fdl

d=q

C

Edl

d

0 = q(

ExU 1 + EyU 2 +EzU 3)

(5, 1)

1

2

3

= Fdt

d= qEU 0 + qC

U 1

U 2

U 3

Bx

By

Bz

(5, 2)

(5,1) et (5,2) se regroupent dans (5,3) :

0

1

2

3

= qC

0 Ex

CEy

CEz

CEx

C0 Bz By

Ey

CBz 0 Bx

Ez

CBy Bx 0

U 0

U 1

U 2

U 3

(5, 3)

Soit : = qCF U (5, 4)

ou : ~ = qCF (~U) (5, 5)

1

F est lapplication lineaire de matrice : F ; indice en position basse a

droite etant lindice de colonne, et indice en position haute a gauche etantlindice de ligne.

Voyons quelle est la loi de transformation des coefficients F dans unchangement de referentiel :

= = qCF