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Table des matières

AVANT-PROPOS

1- NOTATIONS

1 Vecteurs Contravariants et vecteurs covariants 1.1-Vecteurs contravariants

1.2-Vecteurs covariants

2- COORDONNÉES CURVILIGNES

2.1- Exemple 1 2.2- Exemple 2 2.3- Exemple 3 2.4- Repère naturel en coordonnées sphériques

3- DEFINITION DES TENSEURS

3.1- Définition du champ de tenseurs 3.2- Cas particuliers de tenseur 3.3- Contraction et opérations sur les tenseurs 3.4- Application 3.5- Dérivées partielles en notation indicielle

4- SYMBOLES DE CHRISTOFFEL

4.1- Définition 1 4.2- Définition 24.3- Expression des symboles de Christoffel en fonction des coefficients de la métrique

5- DIFFERENTIELLE ABSOLUE - DERIVEE COVARIANTE

5.1-Composantes covariantes de la dérivée contravariante d'un vecteur 5.2-Composantes covariantes de la dérivée covariante d'un vecteur5.3- Dérivée covariante d'un tenseur5.4- Dérivée covariante d'un tenseur d'ordre 25.5- Notation tensorielle des opérateurs différentiels

6- ESPACE-TEMPS NON EUCLIDIEN- COORDONNEES DE GAUSS

6.1- Coordonnées de Gauss6.2- Distance entre deux points très proches6.3- Espaces de Riemann de dimension quelconque6.4- Comment distinguer une métrique euclidienne d'une métrique riemannienne ?6.5- Equation des droite en coordonnées curvilignes6.6- Equation des géodésiques.

7- TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL

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7.1- Système de coordonnées normales

8- TENSEUR & EQUATION D'EINSTEIN

9 - LE LAGRANGIEN – EQUATION D'EULER-LAGRANGE

10 - SYSTEME DE COORDONNEES

10.1- Différents systèmes de coordonnées 10.2- Analyse vectoriel

11- LIENS BIBLIOGRAPHIE BIOGRAPHIE

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Avant-propos

Cet ouvrage est surtout destiné à un public d'étudiants ou d'enseignants en physique. C'est une introduction à la théorie d'Einstein de la gravitation. Il expose des outils mathématiques nécessaires, en particulier le calcul tensoriel sur un espace courbe et vous mènera à saisir progressivement le formalisme mathématique indispensable pour maîtriser la théorie de la relativité générale.

Les concepts véhiculés par cette théorie sont souvent obscurs et même ardus pour ceux qui en prennent connaissance pour la première fois, ils rebutent certains étudiants.

L'essentiel des mathématiques utilisé en relativité générale y est exposé. Aucune démonstration rigoureuse d'algèbre linéaire ou de géométrie différentielle n'est développée dans cet ouvrage, les résultats concernant ces parties sont considérés comme acquis.

En relativité générale des notations indicielles sont très souvent utilisées. La notation indicielle est employée pour simplifier l'écriture des formules comportant surtout des sommations (convention d'Einstein.). Il est donc très important de s'y familiariser.

Ce e-book vous permettra de voir comment « fonctionnent » les relations où interviennent des expressions indicées. Ces conventions d'écriture seront expliquées dans le chapitre « NOTATIONS ».

Dans la vie de tous les jours nous évoluons dans un espace à trois dimensions dans lequel on peut déterminer notre position à un instant donné t (temps absolu) et les distances peuvent être simplement mesurées ou calculées. Une règle graduée de 30 cm aura la même longueur à quelque lieu qu'on se place dans cet espace. Cet espace à trois dimensions est dit euclidien. Dans notre espace euclidien, tout ce qui bouge ne va pas aussi vite que la lumière (sauf la lumière bien sûr). Un objet, un point, est donc bien déterminé, à un instant donné t, par trois nombres (x,y,z) qui sont ces coordonnées spatiales dans un repère R donné.

Mais dans l'espace de la relativité restreinte les coordonnées spatiales et le temps sont « mélangés », tout observateur O placé dans un repère R, peut mesurer un temps t grâce à son horloge (sa montre) , pour un observateur O' placé dans un repère R' en mouvement de translation uniforme par rapport au premier à très grande vitesse, sa montre indiquera un temps t' (en supposant les deux montres synchronisées au départ). Contrairement à ce qu'on pourrait penser t est différent de t' . Dans cette espace appelé aussi espace pseudo-euclidien ou espace de Minkowski, le temps n'est plus absolu. Dans ce cas, on parle de temps propre noté τ (au lieu de t). le temps propre mesuré par O est τ , celui mesuré par O' est τ ' . Un point est donc repéré par quatre nombres (c τ , x , y , z ) .Cet espace à quatre dimensions est appelé espace-temps.

Les physiciens modernes ont repris la théorie de la relativité générale en utilisant le concept mathématique de variété. La structure physique d'espace-temps courbe représentant la gravitation est modélisée par une variété pseudo-riemanienne lorentzienne à quatre dimensions,continue, connexe et constituant un espace séparé ou espace de Hausdorff. Les autres grandeurs physiques sont représentées par différents tenseurs (voir plus loin).

Le but de ce choix est donc de pouvoir refléter au mieux les propriétés physiques. Par exemple, dans la théorie des variétés, chaque point P est contenu dans un voisinage muni d'un système de coordonnées appelé carte , et peut être pensé comme une représentation locale de l'espace-temps autour de l'observateur (représenté par le point P ). La carte munie de son système de coordonnées permet de décrire localement l'espace autour du point de la variété. Le principe de covariance de

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Lorentz local, qui affirme que les lois de la relativité restreinte s'appliquent localement en chaque point de l'espace-temps, fournit une raison supplémentaire pour le choix de la variété pour représenter l'espace-temps : on peut préciser ce point en affirmant que localement autour d'un point d'une variété, la région « ressemble » à un espace de Minkowski (espace-temps plat).

L'idée d'une carte munie d'un système de coordonnées comme un observateur local pouvant effectuer des mesures à proximité a aussi un sens du point de vue physique, car cela correspond à la manière de fonctionner pour les mesures expérimentales – effectuées localement. Pour des problèmes cosmologiques, une carte peut être un voisinage relativement grand. En revanche, la description complète de l'espace-temps entier nécessite en général plusieurs cartes, regroupées au sein d'un atlas .

Dans l'espace euclidien (trois dimensions) les composantes des vecteurs seront notés x i

avec i = 1,2 ,3 . x i=(x1 , x2 , x3

)=(x , y , z ) . Nous remarquons que les composantes sont indicées (avec indice en haut, à ne pas confondre avec les exposants !). En dimension trois les indices des composantes sont notées par des lettres latines (i,j,k,l..etc).

Pour l'espace-temps les composantes d'un vecteur (appelé quadrivecteur) sont indicés par des lettres grecques (α ,β ,μ ,ν ,.......... etc) . Par exemple quand on écrit (xμ

) on sous entend l'expression :

xμ=(x0 , x1 , x2 , x3

)=(ct , x , y , z ) indiquant le quadrivecteur position d'un point (ou événement) de l'espace-temps.

La notation indicielle est une convention utilisée par exemple pour pouvoir écrire xμ eμ .

En faisant μ = 0,1,2 ,3 on aura une somme de 4 monômes.

J.M Boyer

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Chapitre 1

NOTATIONS

L'étude des tenseurs que nous allons voir par la suite est soumise à un certains nombres de règles de notations, permettant en pratique de ne pas se tromper dans l'écriture des coordonnées, des changements de base et des matrices. Dans ces règles interviennent par convention des indices astreints à occuper des positions bien précises (par exemple il est convenu de noter les indices des vecteurs en bas pour ceux qui sont covariants ou en haut pour ceux qui sont contravariants).

La notation indicielle intervient conventionnellement lorsque l'on dispose d'une série d'éléments (vecteurs d'une base, coordonnées d'un vecteur). On placera dans certains cas l'indice en haut, dans d'autre cas en bas. Par exemple : ei , x i

Une règle utilisée souvent dans le calcul tensoriel est celle de la la convention d'Einstein consistant à supprimer dans une sommation le signe de sommation . Ainsi

sera remplacé par x i ei , et appelé monôme. L'indice correspondant à la sommation est appelé indice muet, car on peut changer son nom sans conséquence pour l'extérieur du monôme qui le contient. Ainsi les égalités x=x i ei et x=xk ek sont formellement identiques. Un

monôme peut contenir plusieurs sommations simultanées : . Les règles les plus importantes

sont les règles sur le placement des indices : un indice muet doit apparaître exactement deux fois dans un monôme, une fois placé en haut, l'autre fois placé en bas (voir exemples précédents). Ainsi, si l'on trouve un résultat de la forme x=x i ei (indices placés à la même hauteur) ou x=x i y i ei (l'indice apparaît plus de deux fois), celui-ci correspond certainement à une erreur de notation, de raisonnement ou de calcul.

De même, un indice non muet (indice réel) ne doit apparaître qu'une seule fois dans un monôme, et, dans une sommation ou une égalité de monômes, les indices réels doivent être les mêmes (même nom, même hauteur) dans chaque terme. Ainsi, est correct(et est valable pour tout i),

xi=Aikxk correspond certainement à une erreur. On rappelle enfin la définition du symbole de

Kronecker :

Pour les dérivés partielles nous adopterons dans tout ce qui va suivre la convention suivante :

∂V i

∂ x j=∂ j V i (Conv)

1- Vecteurs contravariants et vecteurs covariants

1.1- Vecteurs contravariants

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Soit l'espace vectoriel En munit de deux bases ei et e ' k avec

i=1 ,2 ,3 ,.......n et k =1 ,2 ,3 , ....... n

Tout vecteur de En est une combinaison linéaire de la base en particulier les ei s'exprimeront en fonction des e j ' et vice versa.

Donc : ei= Aij ' e j ' et e j ' =A j '

i ei (1)

Soit maintenant un vecteur x de En nous pouvons écrire :

x=x i ei= x j ' e j '= x j ' A j 'i ei (2)

de l'égalité (b) par identification on tire : x i= A j '

i x j 'en échangeant

les rôles joués par les deux bases on a aussi : x j '= Ai

j ' x i (3)

On voit que les composantes d'un vecteur se transforment de manière contraire de celles des vecteurs de base. Les vecteurs dont les composantes se transforment ainsi sont dits contravariants

1.2- Vecteurs covariants

Base duale - coordonnées covariantes

Nous examinons maintenant les formes linéaires sur l'espace E. Il s'agit des applications linéaires de E dans , qui forment l'espace E*, appelé espace dual, qui est aussi de dimension n.

Une telle application linéaire peut être caractérisée par son action sur une base de E . On peut

ainsi associer à base de E, la base duale de E* définie par l'action de chaque forme

linéaire e*i sur la base : .

Nous allons maintenant nous restreindre au cas euclidien, qui permet d'identifier facilement forme linéaire et vecteur. En effet, étant donné un produit scalaire , on a le résultat suivant :

pour toute forme linéaire : , il existe un unique , tel

que , v*(x)=(v.x)=(x.v). On peut ainsi identifier v* et v, et donc E et E*. Dans la suite, on

se place toujours dans le cas Euclidien, et on omet la distinction entre v* et v.

Donnons nous ainsi une base de E. On lui associe la base duale de E* identifiée à

base de E. On a donc e*i(ej)=(ei.ej), et la définition de la base duale devient :

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Géométriquement on définit la forme linéaire comme étant la projection sur la direction parallèlement aux autres directions .On constate en particulier qu'une base orthonormée est sa propre base duale.

On définit alors les coordonnées covariantes de comme les coordonnées dans cette base :

v=v i ei

v i sont les composantes covariantes de v (indice en bas) Les vecteurs dont les composantes se transforment ainsi sont dits covariants.

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Chapitre 2

COORDONNÉES CURVILIGNES

Le système de coordonnées classiques ( i , j , k ) d'un espace à 3 dimensions peut être généralisé

à des espaces ponctuels à n dimensions. Nous appelons "système de coordonnées" dans En (espace

ponctuel à n dimensions donc), tout mode de définition d'un point M dans le système considéré.

Etant donné un système de coordonnées (cartésiennes, sphériques, cylindriques, polaires...), nous appelons "ligne de coordonnées" le "lieu" des points M lorsqu'une seule coordonnée varie, les autres étant égales à des constantes.

Etudions tout d'abord la généralisation d'un système de coordonnées relatives à un repère fixe.

Soit un espace ponctuel En et un repère de cet espace. Appelons les coordonnées

rectilignes d'un point M de En  par rapport à ce repère. Un système de coordonnées quelconque

, , est obtenu en se donnant n fonctions arbitraires des paramètres , telles que:

. Puisque le choix des est arbitraire, prenons alors pour les x i :

On notera par abus de langage : xi=xi

(u1,u2

,u3, ......... ,un

)

Nous supposerons par la suite que ces n fonctions satisfont aux trois propriétés suivantes :

P1. Elles sont de classe supérieure ou égale (dérivables au moins deux fois pour les besoins de la physique).

Cette hypothèse implique, en tout point où elle est satisfaite, que nous avons la permutabilité des dérivations (Théorème de Schwarz):

∂kl

xi=∂

lkxi

(4)

P2. Ces fonctions sont telles que nous pouvons résoudre le système des n équations de

changement de système de coordonnées par rapport aux variables et les exprimer en fonction

des , soit

uk=uk

( x1, x2

, x3,......... , xn

) avec k =1 , 2 ,3 , ....... n

P3. Lorsque les variables varient dans un domaine Δ , les variables varient dans un

domaine . Le jacobien des fonctions xi=xi

(u1,u2

,u3,......... ,un

) , défini par:

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sera supposé différent de zéro dans le domaine Δ ( ainsi que le jacobien D (∂iuk) des

fonctions uk=uk

( x1, x2

, x3,......... , xn

) )

et est l'inverse du jacobien de uk=uk

( x1, x2

, x3,......... , xn

) . Si les jacobiens existent, ils sont non nuls comme conséquence en premier lieu de la deuxième propriété ci-dessus et implicitement de la première.

Fig.1

Si nous fixons paramètres en faisant varier un seul paramètre, par exemple, nous

obtenons les coordonnées d'un ensemble de points M de En  qui constituent une "ligne de coordonnées".

En général, les lignes de coordonnées ne sont pas des droites mais des courbes; ces coordonnées

sont appelées pour cette raison des "coordonnées curvilignes". En un point M de En se croisent

d'ailleurs n lignes de coordonnées. Les dérivées et les différentielles d'un vecteur de En sont

indépendantes du point O d'un repère donné. En effet soit deux repères de En  (O , ei) et  (O ' , e i) on peut écrire la relation de Chasles OM =OO ' +O ' M ce qui implique que :

∂k(OM )=∂k( OO ' +O ' M ) mais ∂k(OO ')=0 donc ∂k(OM )=∂k( O ' M )=∂k ( M )

Si En est rapporté à un système de coordonnées curvilignes , nous écrivons:

(5)

2.1- Exemple 1:

Un exemple de coordonnées curvilignes , où chaque est une fonction uniforme des

coordonnées rectilignes , les étant de plus des fonctions continues au point courant M, est celui des coordonnées sphériques où nous avons :

Dans un système de coordonnées sphériques, il est facile de montrer que :

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Ainsi, nous voyons bien cette dépendance sous l'expression des relations suivantes:

Dans un espace non-euclidien, nous ne pouvons définir une base valable sur tout l'espace. Ainsi, nous construisons une base en chaque point séparément et pour cela, nous utilisons bien les

coordonnées curvilignes telles qu'en chaque point M, les vecteurs de base sont tangents à la

ligne de coordonnées correspondante via la relation donnée plus haut:

(5)

avec k =1 ,2 ,3 , ....... n

2.2- Exemple 2:

Soient maintenant les coordonnées curvilignes du point M par rapport à un repère cartésien ( i , j , k ) on posera i = e 1

0, j= e 2

0, k =e3

0de façon à appliquer la convention

d'Einstein. Dans ce repère, nous avons bien évidemment :

où les coordonnées cartésiennes sont des fonctions xi=xi

(u1,u2

,u3, ......... ,un

) .

Le vecteur e k a donc pour expression:

A partir des composantes ∂k xidu vecteur , nous pouvons former un déterminant D (∂k xi

)

qui est précisément le jacobien des fonctions que nous avions défini précédemment. Puisque ce

déterminant est différent de zéro (du moins imposé tel quel), il en résulte que les n vecteurs sont linéairement indépendants.

Ces n vecteurs, définis par la relation:

ek=∂k M (6)

sont appelés la "base naturelle" au point M de l'espace vectoriel En . Ils sont colinéaires aux

tangentes des n lignes coordonnées qui se coupent au point M où ils sont définis.

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Nous n'insisterons pas sur le fait évident qu'à tout système de coordonnées curvilignes est associé un repère naturel dont la base est exprimée par ses mêmes coordonnées.

2.3- Exemple 3:

En coordonnées sphériques, les vecteurs de la base naturelle sont orthogonaux mais non orthonormés.

Associons au point M de En un repère formé par le point M et par les vecteurs de la base naturelle.

Ce repère est appelé le "repère naturel" en M du système de coordonnées . Il sera noté:

(M , ek) ou (M ,∂k M )

La différentielle du vecteur s'exprime alors sous la forme:

d M =∂k M d uk=ek d uk

(7)

Les quantités constituent les composantes contravariantes du vecteur dans le repère

naturel du système de coordonnées .

Considérons maintenant deux systèmes quelconques de coordonnées curvilignes et , liées entre elles par les relations:

où les fonctions sont supposées plusieurs fois continument dérivables par

rapport aux et de même pour les fonctions par rapport aux

coordonnées .

Le passage d'un système de coordonnées à un autre constitue ce qu'on appelle un "changement de coordonnées curvilignes".

Mais le carré de la distance entre deux points M etM' infiniment proches est donné par la relation:

ds2=g ij d x i d x j

(8)

où les sont les composantes du vecteur d M =MM ' , rapportées à un repère fixe d'un espace

ponctuel En .Lorsque cet espace est rapporté à un système de coordonnées curvilignes ,

la relation (7) montre que le vecteur d M a pour composantes contravariantes les

quantités par rapport au repère naturel (M , ei) . Le carré de la distance s'écrit alors dans le repère naturel:

ds2= dM . dM =e j d u j . e i d u i

=e j . e i d u j d ui

ou

ds2=g ij d u i d u j

(9)

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où les quantités g ij=ei . e j sont les composantes du tenseur fondamental ou du tenseur métrique définies à l'aide d'une base naturelle. L'expression précédente s'appelle "l'élément linéaire

de l'espace ponctuel" En ou encore la "métrique" de cet espace.

Les vecteurs ei du repère naturel varient en général d'un point un autre. C'est le cas, par exemple,

des coordonnées sphériques dont les quantités g ij sont variables !!

Une courbe de En peut être définie par la donnée des coordonnées curvilignes du lieu des

points en fonction d'un paramètre . La distance élémentaire ds sur cette courbe s'écrit alors:

(10)

2.4- Repère naturel en coordonnées sphériques

Déterminons la base naturelle de l'espace vectorie E3 associé à l'espace ponctuel E3  de la

géométrie ordinaire, en coordonnées sphériques. Ecrivons l'expression des vecteurs par rapport à un repère cartésien ( i , j , k ) on posera i = e 1

0, j= e 2

0, k = e3

0de façon à

appliquer la convention d'Einstein. On a donc :

Les vecteurs de la base naturelle étant donnés par:

Nous avons ainsi:

La dérivée du vecteur OM par rapport à θ donne le vecteur :

La dérivée par rapport à Φ donne le vecteur :

Ces trois vecteurs sont orthogonaux entre eux ainsi que nous le vérifions aisément en effectuant les

produits scalaires . Lorsqu'il en est ainsi, nous disons que les coordonnées sont des "coordonnées curvilignes orthogonales" .

Ces vecteurs ne sont cependant pas tous normés, puisque nous avons:

g11=e1 . e1=1 ; g 22=e2 . e2=r2 ; g 33= e3. e3=r2 sin2θ

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Le repère naturel, en coordonnées sphériques, est donc formé par des vecteurs variables en direction et en module en chaque point de M. Les quantités g ij constituent un exemple de tenseur

métrique attaché à chacun des points M de l'espace  E3 .

L'élément linéaire du plan est donné par :

ds2=dr2

+r2 d θ2+r2 sin 2

θ d Φ2

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Chapitre 3

DEFINITION DES TENSEURS

Un tenseur est un objet mathématique qui généralise la notion de vecteur. Il possède, comme ce dernier, des composantes. Mais par rapport aux vecteurs, il possède des propriétés supplémentaires lors d'un changement de bases . Il garde toujours la même forme lors d'un passage d'une base à une autre. Comme un vecteur un tenseur sera caractérisé par ses composantes. Les tenseurs seront définis à l'aide de leur propriété lors d'un changement de système de coordonnées. Changement de base naturelle d'un espace vectoriel.

Soient deux système de coordonnées liés par les relations suivantes :

les ui et les u ' k sont supposés plusieurs fois continûment dérivables par rapport aux coordonnées curvilignes respectives. Ce changement de système de coordonnées implique la transformation du repère (M , ei) en (M , e ' k ) dont les vecteurs de base sont donnés par :

e i=∂i M ; ek ' =∂k ' M

or ∂k ' M =∂ M

∂u i

∂ui

∂ uk ' avec sommation sur i (convention d'Einstein) i=1 ,2 , 3 ,....... n

ou encore : ∂k ' M =∂k ' ui ei

donc e k ' =∂k ' ui ei (11)

Inversement on obtient aussi : ei=∂i uk ' ek ' (12)

Tout changement de coordonnées curvilignes entraîne un changement de base de l'espace vectoriel

En donné par les égalités (11) et (12). Ces bases sont utilisés comme repères naturels de l'espace ponctuel associé.Or lors de l'étude des vecteurs contravariants nous avons vu l'égalité (3) : ei= Ai

j ' e j ' et e j ' =A j 'i ei

par comparaison avec les égalités (11) et (12) nous avons :

Aik '

=∂i uk ' et Ak '

i=∂k ' u

i (13)

3.1- Définition du champ de tenseurs

Dans un système de n’importe quel ordre (x1 , x2 , x3 ,…, xn), un champ de vecteurs donné

sous la forme :

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T ijk…… (x1 , x2 , x3 ,…, xn) est dit tenseur si et seulement si il vérifie la règle de transformation

des coordonnées suivante :

(Composantes covariantes – indices en bas)

T 'ijk....

( x ' 1 , x ' 2 , x ' 3 ,… ..... , x ' n)=Aim A j

n Ak.......l....... T

mnl....( x1 , x2 , x3 ,… ..... , xn) (14)

(Composantes contravariantes – indices en haut)

T ' ijk....( x ' 1 , x ' 2 , x ' 3 ,… ..... , x ' n)=Am

i Anj Al.......

k....... T mnl....( x1 , x2 , x3 ,… ..... , xn) (15)

(Composantes mixtes)

T 'i....jk....

( x ' 1 , x ' 2 , x ' 3 ,… ..... , x ' n)=Alj Am

k Ar..........i.......... T

i....lm....

(x1 , x2 , x3 ,… ..... , xn) (16)

L’ordre de ce champ de tenseurs est défini en fonction du nombre de ses indices libres.

3.2 Cas particuliers de tenseurs

a) Si dans un système cartésien (x i ) , i=1 ,2 ,3 ,.......n , le champ de tenseurs a un seul

indice libre c’est à dire (Ti ), le tenseur est dit tenseur du premier ordre ou bien vecteur

ayant trois composantes (T1 , T2 , T3 ), et l’équation (14) devient :

T 'i(x '

i)=A

imT

m( x

i) m=1 , 2 ,3 ,.......n

En notation matricielle : [ T'] = [A] [T]

b) Si le champ de tenseurs a deux indices libres c’est à dire (Tij), le tenseur est dit du

deuxième ordre et la relation (14) s’écrit sous la forme :

c)

T 'ij

( x 'i)=A

im A

jnT

mn( x

i) (17)

En notation matricielle : [ T’ ] = [A] [T] [A] T

d) Si le tenseur n’a aucun indice libre, il est dit tenseur d’ordre zéro ou fonction scalaire

Ф(xi) et l’équation (14) s’écrit simplement :

Ф’ (x’ i) = Ф (x i)

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e) Dans le cas inverse où les champs de tenseurs dans le système prime sont connus, les

tenseurs dans le système original peuvent être déterminé comme suit :

Ti( x

i)=A

ij T '

j(x '

i)

En notation matricielle : [ T ] = [A] T [T’]

Tij

( xi)= A

im A

jnT '

mn(x '

i)

En notation matricielle : [T]=[A]T[T’][A]

3.3- Contraction et Opération sur les tenseurs

La contraction sur les tenseurs réduit l’ordre de ce dernier par deux. C’est à dire, si on a

tenseur de deuxième ordre T ij où i et j = 1-3 qui a neuf composantes, sa contraction nous donne un

autre tenseur T ii où i est un indice répétitif variant de 1 à 3 et ayant seulement une seule

composante de la forme :

Tii = T11 + T22 + T33

Qui est un tenseur d’ordre zéro (ou fonction scalaire) qui peut être démontré en utilisant la

définition du tenseur (14)comme suit :

T 'ij

= Aim A

jnT

mn

La contraction nous donne : T 'ii

= Aim A

inT

mn

T’ ii = δn

m T mn = Tmm = T nn = Tii = T11 + T22 + T33

Qui est une quantité invariante par rapport à la transformation des coordonnées.

En général la contraction est une opération sur les tenseurs qui égalise deux de ses indices libres

en indices répétitifs, puis on applique la sommation sur ses indices. En conséquence, si on a un

tenseur d’ordre n, après contraction on obtiendra un autre tenseur d’ordre (n-2).

3.4- Application :

Utilisant cette théorie, démontrer que le champ de tenseur T ijk est un tenseur et justifier de

quel ordre est il ?

Solution :

Considérons un tenseur non nul d’ordre un (V i ) et étudions le champ de tenseur obtenu par

le produit de : T ijk V i=B jk

Dans le système de transformation on a :

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T ' ijk V ' i=B ' jk= A jr Ak

s B rs= A jr Ak

s(T mrs V m)= A j

r Aks T mrs Ai

m V ' i

ou bien:

T ' ijk V ' i−A jr Ak

s T mrs AimV ' i=0

C’est à dire : (T 'ijk− A jr Ak

s T mrs Aim)V ' i=0

Comme V ' i≠0 ; par conséquent :

T ' ijk= A jr Ak

s AimT mrs ou T ' ijk= Ai

m A jr Ak

s T mrs

Qui vérifie absolument la règle de la transformation pour un champ de tenseur d’ordre trois.

3.5- Dérivées Partielles en notation indicielle

Soit un vecteur (tenseur d’ordre un), Vi où i = 1. ; 2 ; 3 , dans un système xi, notre but est

déterminé une relation entre les dérivées partielles après transformation du système à un autre

repère prime :

Comme Vi est un tenseur c’est à dire :

V ' i= Aik V k

∂V ' i

∂ x ' j

= Aik ∂V k

∂ x ' j

= Aik ∂V k

∂ x l

∂ x l

∂ x ' j

(18)

mais x l=Alm x ' m

et ∂ x l

∂ x ' j

= Alm ∂ x ' m

∂ x ' j

= Almδ j

m= Al

j

autrement dit :

∂V ' i

∂ x ' j

=Aik ∂V k

∂ x l

Alj (19)

En multipliant les deux membres de (19) par A jl

inverse de Alj

nous aurons donc :

∂V ' i

∂ x ' j

=Aik A j

l ∂V k

∂ xl

(20)

la relation (20) vérifie la relation des transformation des coordonnées et qui caractérise un tenseur

du deuxième ordre. Par conséquent, la dérivée partielle de n’importe quel tenseur se conduit

comme les composants d’un champ de tenseur cartésien et qui peut être écrite sous la forme :

∂jV '

i=A

ik A

jl∂

lV

ken adoptant la convention (Conv) (cf. NOTATIONS) :

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∂V i

∂ x j=∂ jV i (21)

– Donc un vecteur est un tenseur d'ordre un sa dérivée partielle est aussi un tenseur mais d'ordre deux .

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Chapitre 4

SYMBOLES DE CHRISTOFFEL

A chaque point M d’un espace ponctuel euclidien En faisons correspondre un tenseur défini par ses composantes relatives au repère naturel en M du système de coordonnées curvilignes ( ui ). Cette correspondance définit donc un champ de tenseurs dans le système( ui ). Le

tenseur métrique g ij(uk) fournit un exemple de ce champ de tenseurs.

Le problème fondamental en géométrie différentielle réside dans le fait que le repère naturel, et donc la métrique, dépend du point M de l'espace. Il s'en suit que deux tenseurs définis par leurs composantes par rapport à deux repères différents (ou en deux points distincts de l'espace) ne pourront être comparés que si l'on connaît le lien entre ces deux repères. L'objectif des

symboles de Christoffel est de réaliser le lien entre deux repères naturels infiniment voisins ei et ei+ d ei . Par conséquent pour pouvoir comparer ces tenseurs, il convient d’étudier comment le repère naturel varie quand on passe d’un point M à un autre point infiniment voisin.Cherchons à déterminer, par rapport au repère naturel (M , ei) , le repère naturel

(M + dM , ei+ d ei) infiniment voisin. Autrement dit, cherchons l’expression des vecteurs infinitésimaux dM et d ei .- Le premier de ces vecteurs est donné par la relation

dM =e i dui

Appelons ωj les composantes contravariantes de chaque vecteur d ei on a :

d ei=ωij ei

les ωj sont proportionnelles à l’éloignement du point M, et sont donc des formes linéaires par

rapport au vecteur dM , c’est-à-dire, des combinaisons linéaires des différentielles d uk

ω ji=Γkj

i duk

et par conséquent, d ei=Γkij duk e j

4.1- Définition 1. Les quantités Γki

j duk, fonctions des coordonnées ui du point M, sont appelées symboles de

Christo el de deuxième espèceff .

Nous avons : d ei=Γkij duk e j ou

∂ ei

∂uk duk=Γki

j duk e j ou ∂ ei

∂uk =Γkij e j ou

∂k

ei=Γ

k ij e

j ou e j .∂

ke

i=Γ

k ij e

j. e j

ou Γkij

= e j .∂k ei (22)

De même, appelons ω j les composantes covariantes du vecteur d ei

21

ωij=d ei . e j Les ωij sont aussi des formes linéaires par rapport au vecteur dM :

ωij=Γijk duk

4.2- Définition 2.

Les quantités, Γijk duk

fonctions des coordonnées uidu point M, sont appelées symboles de

Christo el de première espèceff .

Relation entre les symboles de Christoffel.

d g jk=∂ g jk

∂u i d ui

et d g jk=d e j .e k+ e j .d ek=ω jk+ ωkj=(Γikj+ Γijk )d ui

donnent :

∂ g jk

∂u i =Γikj+ Γijk

ou

∂i g jk=Γikj+Γijk (23)

On peut enfin interpréter les symboles de Christoffel de seconde espèce comme les composantes dans le repère naturel des dérivées partielles secondes du vecteur position OM . En effet :

d ei=Γkij duk e j=(Γki

j e j)du k

et d ei=∂ ei

∂uk duk

Γikj e j=

∂ ei

∂uk =∂

2OM

∂ui∂uk

ou ∂

2OM

∂ui ∂uk=Γ

ikj e j (24)

donnent Γki

j e j=∂ ei

∂ uk =∂

2OM

∂uk∂ui

Γik

j e j=∂

2OM

∂ui∂uk =

∂2

OM

∂ uk∂ ui =Γki

j e j

Nous voyons que : Γik

j=Γki

j donc les symboles de Christo el de deuxième espèce sont ff

symétriques par rapport à leurs deux indices inférieurs. De plus :

Γik

j=Γki

j implique

ghjΓihk =ghj

Γkhi implique Γihk=Γkhi

donc les symboles de Christo el de première espèce sont symétriques par rapport à leurs ffdeux indices extrêmes.

4.3- Expression des symboles de Christoffel en fonction des coefficients de la métrique.

En faisant donc une permutation circulaire sur les indices de la relation (23) on obtient les deux autres égalités :

∂ j gki=Γ jik+ Γ jki (25)

22

∂k g ij=Γkji+ Γkij (26)

En faisant (23)+ (25)– (26) donne : Γikj=

12

(∂i g jk+ ∂ j gki−∂k gij) (27)

Ce sont les Symboles de Christoffel de première espèce.

Γij

k=gkl Γilj=

12

gkl (∂i g jl+ ∂ j gli−∂l g ij) (28)

Ce sont les Symboles de Christoffel de seconde espèce.

Exercice

Montrons que la connexion affine n'est pas un tenseur.

Solution

Si on passe d'une base ( ui ) à une nouvelle base ( u ' i )

L'égalité (22) nous donne Γkij

=e j ∂ ek

∂ui et Γ 'kij =e ' j ∂ e ' k

∂u ' i (E)

D'autre part on a les relations entre la base naturelle ei associée aux coordonnées u i et la base

naturelle e ' i associée aux coordonnées u ' i ainsi que la même procédure appliquée aux vecteurs

de la base duale ei :

en=∂u ' j

∂un e ' j (a) et inversement e ' j=∂un

∂u ' jen (b)

en=

∂u j

∂u ' n e ' j (c) et inversement e ' j=

∂u ' j

∂unen

(d)

Par substitution de l'égalité (d) précédente dans l'expression (E) nous pouvons écrire :

Γ 'kij

=∂u ' j

∂unen .( ∂

∂u ' i)

∂ul

∂u ' k el

Γ 'kij

=∂u ' j

∂unen . (

∂ el

∂u ' i

∂u l

∂u ' k+

∂2u l

∂u ' i ∂u ' kel)

23

Γ 'kij

=∂u ' j

∂un

∂ul

∂u ' k

∂um

∂u ' i en.∂ el

∂u 'm+

∂u' j

∂un

∂2 u l

∂u ' i ∂u ' k el . en

Γ 'kij

=∂u ' j

∂un

∂ul

∂u ' j

∂um

∂u ' i en .

∂ el

∂um+

∂u ' j

∂un

∂2 un

∂u ' i∂u ' k mais en .∂ el

∂u 'm=Γ '

lmn donc :

Γ 'kij

=∂u ' j

∂un

∂u l

∂u ' j

∂um

∂u ' i Γ 'lmn

+∂u ' j

∂un

∂2un

∂u ' i ∂u ' k

L'égalité précédente montre que les coefficients de connexion Γkij

ne se transforment pas

comme les composantes d'un tenseur à cause du deuxième terme du membre de droite de cette égalité.

24

Chapitre 5

DIFFERENTIELLE ABSOLUE-DERIVEE COVARIANTE

Considérons un vecteur quelconque v défini par ses composantes contravariantes v idans le repère

naturel des ei au point M . Lorsque l’on va se déplacer d’une quantité infinitésimale sur le système

de coordonnées curvilignes, les composantes de v vont être modifiées d’une quantité d v i, maissize

vec e_i comme le repère naturel change également, un terme (souvent appelé "connexion") va venir s’ajouter à cette variation pour obtenir :

v=v j e j ce qui implique : d v=d v j e j+ v j d e j

Le dernier terme de cette équation est appelé "connexion". Il est dû à la variation du repère naturel

au cours du déplacement dans l’espace. Il est illustré sur la Fig.2, où un vecteur v est simplement transporté dans le système de coordonnées. On n’a donc pas de variation de ses coordonnées dans le

repère initial ( d v i=0 ), mais ses nouvelles composantes (dans le nouveau repère naturel) sont tout

de même modifiées.

Fig.2 Transport d’un vecteur en coordonnées curvilignes

Pour déterminer la différence entre deux vecteurs d'un champ v (M ) et v (M ' ) placés

respectivement en deux points M et M' infiniment voisins de En il faut au préalable transporter

parallèlement à lui-même le vecteur v (M ' ) du point M' au point M. Après cette translation, ou transport parallèle, les composantes du vecteur v (M ') vont être modifiées puisque le repère naturel en M n'est plus le même qu'en M'.Notons v M (M ' ) le vecteur v (M ') transporté parallèlement au point M. La différentielle

absolue du vecteur v est égale à :

dv= vM (M ' )– v (M )

Les composantes de d v dans le repère naturel au point M, ne coïncideront pas, en général, avec les différences des composantes de v (M ') et v (M ) .

25

5.1- Composantes covariantes de la dérivée contravariante d'un vecteur

La décomposition de v dans le repère (M ,e i) s'écrit : v=v i e i . On démontre que l'application

des formules classiques de différentiation en coordonnées curvilignes d'un produit s'applique à la décomposition du vecteur v , soit :

dv=dv i ei+ v i d e i (29)

L'expression de d ei est donnée par , d ei=ωij e j d'où l'expression de la différentielle absolue

en changeant le nom des indices :

dv=dv i ei+ v lωl

i e i

En conséquence, les composantes contravariantes, notées ∇ v i , du vecteur d v ont pour expression :

∇ v i=dv i

+ v lωl

i

On donne à ∇ v i le nom de différentielle absolue de v i . En remplaçant

dv i et ωli par leurs expressions en fonction des différentielles des coordonnées curvilignes uk ,

il vient :

∇ v i=dv i

+ v lωl

i=∂k vi du k

+ v lΓkl

i duk=(∂k v i

+ v lΓkl

i) duk (30)

Cette dernière expression fait apparaître les quantités :

∇k vi=∂k vi

+ vlΓkl

i (31)

qui sont les composantes mixtes d'un tenseur, l'indice k de dérivation apparaissant comme covariant. Ce tenseur est appelé dérivée covariante du vecteur v .

Lorsque la dérivée covariante, ou la différentielle absolue de v i est partout nulle, les différents vecteurs du champ de vecteurs sont équipollents entre eux, dans ce cas le champ est uniforme.

5.2- Composantes covariantes de la dérivée covariante d'un vecteur

Lorsque les vecteurs v du champ sont donnés par leurs composantes covariantes v i , nous allons

déterminer les composantes covariantes du tenseur dérivée covariante du vecteur v . A cet effet,

considérons un champ uniforme quelconque w , de composantes contravariantes w i et formons le produit scalaire :

w . v=wi v i

Le champ étant uniforme, d w est nul. On obtient, en différenciant le produit scalaire :

26

d (w . v )=w i dvi+ v i dwi (32)

La différentielle absolue de w i a pour expression :

∇ wi=dwi

+ ω li wl

=0

De cette dernière relation, en changeant les noms des indices, on obtient :

dw l=−ωi

l w i . Reportant cette dernière expression dans (32), il vient :

d (w . v )=w i dvi−v l ωil wi

=wi(dvi−v l ωi

l) (33)

Comparant avec la définition (33) et puisque l'égalité (36) a lieu quelles soient les w i , on tire :

∇ v i=dv i−v l ωil

On écrit aussi D vi=dv i−v l ωil

ou encore D vi=(∂k v i−v l Γkil

)d uk (34)

On obtient ainsi la différentielle absolue de v i . En développant comme précédemment les

différentielles par rapport aux d uk , il vient :

∇ k vi=∂k v i−v l Γkil

(35)

Les quantités ∇ k vi sont les composantes covariantes du tenseur dérivée covariante du vecteur

v .

5.3- Dérivée covariante d'un tenseur

les formules (31) pour les composantes contravariantes d'un vecteur et (35) pour ses composantes covariantes se généralisent aux composantes des tenseurs.

Considérons un tenseur T de composantes mixtes t ij . Avec deux champs uniformes quelconques de

vecteurs a et b , formons le scalaire t ij ai b j .

Puisque les champs sont uniformes, la différentielle de ce scalaire lorsqu'on passe d'un point M à un autre point M' infiniment proche est donnée par la différence :

(t ij+ ∇ t i

j)ai b j−t i

j a i b j=∇ t ij a i b j

La différentielle a donc pour expression :

27

d (t ij a ib j)=∇ t i

j a i b j (36)

Puisque la quantité t ij ai b j est un scalaire, la formule générale de différentiation d'un produit

s'écrit : d (t i

j ai b j)=d t ij a i b j+ t i

j d ai b j+ t ij ai d b j (37)

Les champs a et b étant uniforme , on a :

∇ a i=da i

+ a lωl

i et ∇ b i=dbi−b l ωil

Or ∇ a i=0 , ∇ b j=0 , donc : d a i

=−ωki ak ; d b j=ω j

k bk

En reportant ces dernières égalités dans (37) et compte tenue de (36) tout en échangeant les noms des indices de sommation, on obtient :

∇ t ij a i b j=(d t i

j−t l

jωi

l+ t i

lωl

j)a i b j (38)

Cette dernière égalité est vérifiée pour des champs uniformes arbitraires a et b .

∇ t ij=d t i

j−t l

jωi

l+ t i

lωl

j

La différentielle absolue de la composante t ij est une forme différentielle linéaire par rapport aux

différentielles d uk des coordonnées curvilignes. Les quantités ωij sont

donnés par la formule d ei=ωij e j=Γki

j d uk e j soit : ωij=Γ ki

j d uk .

La formule ∇ t ij=d t i

j−t l

jωi

l+ t i

lωl

j devient

∇ t ij=(∂k t i

j−t l

jΓki

l+ t i

lΓkl

j) d uk

Les quantités entre parenthèses apparaissent comme les composantes d'un tenseur appelé dérivée

covariante du tenseur T . Ces composantes sont notées ∇ k t ij et ont pour expression :

∇ k t ij=∂k t i

j−t l

jΓki

l+ t i

lΓ kl

j . (39)

Cette dernière relation montre la règle générale de formation des composantes d'un tenseur. A la

dérivée partielle classique d'une composante t ij on soustrait un terme de la forme t l

jΓki

l

pour chaque indice covariant de la composante, la sommation s'effectuant sur l'indice considéré.

Pour chaque indice contravariant, on ajoute un terme t ilΓkl

j où la sommation s'effectue également

sur cet indice. On démontre que les règles de dérivation classique s'applique aussi en ce qui concerne la somme et le produit de tenseurs. D'autre part, la dérivation covariante et la contraction sont deux opérations permutables, le résultat final ne dépendant pas de l'ordre dans lequel ces deux opérations sont

28

effectuées.

5.4- Dérivée covariante d’un Tenseur d’ordre 2

Considérons les expressions de l'égalité (34) en changeant les indices on a :

D vs=(∂r v s – vi Γsri

)d yr

qui sont par définition les différentielles absolues des composantes covariantes du vecteur v .

Nous définissons également la "dérivée covariante" (appelée également "connexion") par la relation :

∇rv s=∂r vs – vi Γsr

i (40)

Puisque la dérivée du produit de deux fonctions est la somme des dérivées partielles, nous avons alors aussi en utilisant I-7.1 :

∇a (t b rc )=r c ∇a tb+ t b ∇ a r c=rc(∂a tb−t l Γabl

)+ tb(∂a rc−r l Γacl

)

ou

∇a (t b rc )=r c ∂a tb−rc t l Γabl

+ tb∂a rc−tb rl Γacl

ou

∇a (t b rc )=r c ∂a tb+ tb∂a rc−rc t l Γabl

−tb rl Γacl

finalement

∇a (t b rc )=∂a(tb r c)−rc t l Γabl

−tbr l Γacl

Si nous remplaçons dans l'égalité ci-dessus tb par vi et r c par ∇r et en changeant

l'indice a en s alors nous avons (résultat que nous utiliserons après avoir démontré le

théorème de Ricci pour déterminer le tenseur d'Einstein nécessaire à la relativité générale ) :

∇ s(∇r vi)=∂s(∇r vi)−(∇r vl )Γisl

−( ∇ l vi)Γrsl

(41)

C'est la d érivée covariante d’un Tenseur d’ordre 2

En coordonnées curvilignes, pour que la différentielle d'un vecteur soit un vecteur , il faut que les deux vecteurs dont nous prenons la différence se trouvent en un même point de l'espace. En d'autres termes, il faut transporter, d'une manière ou d'une autre, l'un des deux vecteurs infiniment voisins au point où se trouve le second et , seulement après faire la différence des deux vecteurs qui se

29

trouvent maintenant en un seul et même point de l'espace. L'opération de transport parallèle doit être définie de telle sorte qu'en coordonnées cartésiennes , la différence des composantes coïncide

avec la différence ordinaire d v k . Ainsi, nous avons bien en coordonnées cartésiennes :

D vk=(∂ j vk – vi Γkji

)d y j=d vk (42)

puisque dans ce système : Γkji

=0 .

Mais en coordonnées curvilignes la différence des composantes d'un vecteur v après le transport

d'un point à un autre vont être différentes par suite de la variation des repères naturels. Soit δv kla variation des composantes du vecteur v lors de son transport parallèle entre deux points

infiniment voisins.

La formule (vue plus haut) D vk=(∂ j v k – vi Γkji

)d y j nous montre que le premier terme

de celle-ci représente la dérivée ordinaire d vk=∂ j v k d y j et que le second terme correspond

à la variation considérée δv k=vi Γkji d y j

Mais aussi à écrire la différentielle absolue qui exprime le principe de moindre action ( principe variationnel ) sous la forme tensorielle :

D vk=dvk – δv k=0 (43)

Considérons maintenant un tenseur d'ordre deux vi j= Ai B j , produit de deux tenseurs

d'ordre un tel que δ vi j=δ( Ai B j) . On peut écrire :

δ vi j=δ( Ai B j)=Ai δ B j+ B j δ Aiou

δ vi j= Ai Bk Γ j hk dyh

+ B j Ak Γi hk dyh

ou

δ vi j=(v i k Γ j hk + v j k Γi h

k)dyh

ou

δv i j

dyh=∂h v i j=v ik Γ j h

k+ v j k Γi h

k

Des égalités ci-dessus nous tirons δvi j=vi k Γ j hk dyh

+ v j k Γihk dyh

et ∂h vij=vik Γ jhk

+ v jk Γihk

(44)

Ce qui nous amène à utiliser ces deux dernières égalités pour pouvoir écrire la métrique sous sa forme variationnelle appelée "identité de Ricci" et démontrer le théorème de Ricci.

30

∂h gij=gik Γ jhk

+ g jk Γihk

Identité de Ricci (45)

Mais nous avons aussi puisque g ij=ei∘ e j :

dg ij=ei∘d e j+ d ei∘e j mais d e j=ω jk ek et d ei=ωi

k ek

donc :

dg ij=e i∘d e j+ d ei∘e j=ei ∘ω jk ek+ ωi

k ek ∘e j=ω jk

( ei ∘ek )+ ωik( ek ∘e j)

ou dg ij=ω jk

( ei ∘ek )+ ωik( ek ∘e j)

d'où l'identité :

dg ij=ω jk g ik+ ωi

k g jk (46)

Avec les deux relations :

dg ij=ω jk g ik+ ωi

k g jk et δ gi j=g i k Γ j hk dyh

+ g j k Γihk dyh

et la différentielle absolue (qui se généralise simplement pour un tenseur d'ordre deux) :

D gij=dgij−δ g ij nous obtiendrons :

Dg ij=ω jk gik+ ωi

k g jk−g i k Γ j hk dy h

−g j k Γi hk dyh

(47)

Or, rappelons que nous avons par définition : ωik=Γhi

k dyk et ω jk=Γih

k dyk

Nous avons donc :

Dg ij=ω jk gik+ ωi

k g jk−ω jk gik −ωi

k g jk

D gij=0 (48)

La différentielle absolue sur une trajectoire (géodésique )dans l'approximation d'un transport infinitésimal du tenseur fondamental est donc (comme nous pouvions nous y attendre) nulle. C'est le "Théorème de Ricci". Certains physiciens théoriciens disent dès lors que "la dérivée covariante tue la métrique" dans le sens où la métrique ne change pas sur un différentiel d'espace.Finalement, nous voyons aussi que pour un tenseur d'ordre deux (la métrique en particulier) nous

31

avons :

D gij=d gij−δ gij=∂h gij dyh−gik Γ jh

k dyh−g jk Γih

k dyh

Nous pouvons donc écrire la différentielle absolue qui dans ce cas particulier est nul :

D gij=(∂h g ij−g ik Γ jhk

−g jk Γihk

)dyh=0 (49)

et donc :

∇h

gij=∂h g ij−gik Γ jhk

−g jk Γihk

=0

Remarque: Il faudra se rappeler lors de la définition du tenseur d'Einstein que :

∇h

gij=0 et ∇h

gij=∂h g ij−g ik Γ jhk

−g jk Γihk

(50)

et qu'il s'agit d'une autre manière d'exprimer qu'une variation infinitésimale sur une géodésiqueselon le principe de moindre action tue la métrique. Nous allons donc travailler à partir de maintenant (comme avant déjà) avec des équations différentielles non nécessairement linéaires qu'il faudra intégrer pour trouver le comportement de la matière dans un espace donné. Déterminons maintenant une expression qui nous sera très utile en relativité générale lorsque nous déterminerons l'équation d'Einstein des champs (une autre manière d'exprimer que la dérivée

covariante de la métrique est nulle): g i j

Effectuons la multiplication contractée de l'avant dernière expression par g i j , il vient en

utilisant la relation g i j g j l=δil (que nous avions démontrée beaucoup plus haut que) :

d'où la relation :

d'après (35) on sait que :

∂h gij−gik Γ jhk

− g jk Γihk

=0

Or g ik Γ jhk

=Γijh et g jk Γihk

=Γ jih

Nous déduisons l'égalité qui permet d'exprimer les composantes de la métrique à l'aide des coefficients de la connexion :

∂h gij=Γijh+Γ jih (51)

5.5- Notation tensorielle des opérateurs différentiels

32

gradient d'une fonction scalaire f.

Soit un espace ponctuel à n dimensions dans lequel est défini un champ scalaire au moyen d'une

fonction f (u0 , u1 , u2 , u3 , .........un) .

Les dérivées ∂k f se transforment, pour de nouvelles coordonnées u j ' ,selon les formules

classiques de dérivation partielle : ∂k f =∂ j ' f ∂k u j' or les formules de transformation des composantes contravariantes et covariantes d'un vecteur lors d'un changement de base montrent que les ∂k f se transforment lors d'un changement de coordonnées comme les composantes covariantes d'un vecteur.Ces quantités covariantes ∂k f forment les composantes d'un vecteur appelé gradient de la

fonction f ( grad f )ses composantes sont notées :

grad k f =∂k f (52)

ses composantes contravariantes seront notées :

grad k f =g kj ∂ j f (53)

Rotationnel d'un champ de vecteurs

Nous étudierons plus bas les quantités ∇k v i qui sont les composantes covariantes du tenseur

dérivée covariante du vecteur v exprimées par :

∇k v i=∂k v i−v l Γkil (54)

étant donné que les symboles de Christoffel de 2ème espèce Γkil

sont symétriques par rapport à leurs deux indices inférieurs. Nous pouvons écrire en changeant les indices k et i dans l'égalité précédente, on obtient :

∇ i vk=∂i vk−v l Γikl (55)

en faisant (54) – (55) on a :

∇k v i−∇ i vk=∂k v i−∂i vk

les quantités ∂k v i−∂i vk sont les composantes covariantes d'un tenseur appelé tenseur rotationnel du vecteur v. Ces composantes seront notées :

rot ik v=∂k v i−∂i vk (56)

Lorsque i = k alors rot ik v=0 par ailleurs ce tenseur est antisymétrique.

33

Divergence d'un champ de vecteurs

Soit un champ de vecteurs v de composantes contravariantes

v i . On apelle divergence du vecteur v la quantité scalaire :

div. v=∇kv k

l'expression de la dérivée covariante de ce vecteur permet d'obtenir la

divergence sous la forme :

div. v=∂i vi+ Γik

i v k. (57)

34

Chapitre 6

ESPACE-TEMPS NON EUCLIDIEN. COORDONNEES DE GAUSS

Les éléments de base de la géométrie plane, tels le point, la droite, les triangles, le cercle, etc...ont été définis par les Grecs antiques notamment par Euclide, Pythagore et ThalèsIls ont brillamment établi les propriétés mathématiques des différentes figures géométriques.Par la suite, la nécessité pratique de définir chaque point d'une surface plane pardes numéros, a conduit à définir des axes de coordonnées perpendiculaires, surchacun de ces axes, à un point correspond un nombre à partir du point zéro choisi comme origine qui est l'intersection des deux axes. En quadrillant ainsi une surface plane, on peut caractériser n'importe quel point de la surface par deux nombres (coordonnées) qui ne sont autres que le nombre d'unités parallèlement à chaque axe, pour y arriver depuis le point zéro. On dénomme cela, lescoordonnées cartésiennes. Einstein avait réalisé en élaborant la théorie de la relativité que ce système decoordonnées généralement utilisé, ne pouvait décrire la réalité de l'espace-temps.Par exemple, si on imagine que l'on se trouve sur un disque plan en rotation. Si lavitesse de rotation est suffisamment élevée ou si le disque est suffisammentgigantesque, la vitesse angulaire (la vitesse du bord du disque) deviendra trèsgrande relativement au centre, immobile . En particulier, l'unité de mesure denotre quadrillage de coordonnées va se distordre, se déformer, en direction de lapériphérie, d'autant plus que la vitesse sera grande. D'où, l'inadéquation descoordonnés cartésiennes pour définir les points du disque dans cette situation.On peut démontrer qu'il en va de même pour les accélérations ou les champs degravitation.Un nouveau système de coordonnées a été adopté c'est celui de Gauss, cesystème peut être utilisé quel que soit le mouvement relatif. Ces axes decoordonnées supportent des déformations et distorsions importantes etpermettant encore de définir avec précision, chaque point du plan avec deuxnombres qui leur sont propres. Einstein aimait utiliser le terme de "mollusques deréférence", en lieu et place des axes de références rigides auxquels la géométriecartésienne nous avait habitués. On peut imaginer des coordonnées de Gausspour 3, 4 ou plus de dimensions. L'expérience a montré que cette caractérisationgéométrique des propriétés de l'espace- temps qui se déforme selon lemouvement relatif ou le champ de gravitation, était correcte. C'est cette base decalcul géométrique, valable quel que soit le mouvement relatif, le champ degravitation, qui est utilisée dans les calculs de la relativité générale. Nous verons plus loin la généralisation de ce nouveau système de coordonnées par B. Riemann, élève de F. Gauss.

6.1- Coordonnées de Gauss

Comment repérer un lieu sur la terre ?

Depuis longtemps les géographes ont résolu ce problème. Ils ont tracé sur la sphère terrestre une famille de cercles pararallèles au grand cercle équatorial, à chacun de ces cercles correspond un numèro appelé latitude du lieu. Des grands cercles passant par les pôles ont été également traçés, l'un d'eux passe par un

35

faubourg de Londres, à l'emplacement de l'ancien observatoire de Greenwich correspondant au numéro 0. il en existe un qui passera par notre lieu et son numéro sera appelé longitude du lieu.La surface de notre planète est une sphère, c'est un espace de Riemann de dimension 2. Un point M de cette surface est donc repéré par le couple de nombres ( latitude,longitude ) Cette méthode de repérage sur la sphère inspirera le repérage d'un point sur une surface courbe quelconque.Cette technique consiste donc à traçer sur la surface envisagée une première famille de courbes qui

ne se coupent pas entre elles, puis de leur affecter un nom de coordonnées, u par exemple. A partir

de l'une de ces courbes, on peut les numéroter arbitrairement : ui ( i= 1 à 6 par exemple) ( voir

Fig.3). Entre deux courbes u1 et u2 , il faut imaginer que passe une infinité d'autres courbes qui

correspondent à tous les nombres entre 1 et 2. Nous obtenons ainsi un système de courbes u qui couvrent toute la surface considérée. En chaque point de la surface passe une seule courbe. On

obtient ainsi une première coordonnée u continue.

Fig.3

Une deuxième famille de courbes, notées v, également non concourantes, est ensuite traçée, et ces

courbes coupent la première famille de courbes u. Les courbes v vérifient les mêmes propriétés

que les courbes u, et couvrent la totalité de la surface.

Finalement, chaque point de cette surface est repérable par deux coordonnées u, v. Ce sont les coordonnées de la surface étudiée. Ce système de coordonnées a été inventé par Friedrich Gauss et elles sont appelées coordonnées de Gauss.Les coordonnées de Gauss introduisent un numérotage fait de telle sorte que deux points infiniment voisins sont numérotés par des nombres infiniment peu différents. La surface forme un continuum à deux dimensions. Les coordonnées de Gauss sont des coordonnées curvilignes . On a l’habitude de mesurer les longueurs sur des règles droites. Pourtant, lorsqu’un tailleur prend vos mensurations, il utilise un mètre de couturière, ruban souple gradué qui s’adapte à la forme du corps pour en obtenir les mesures. Les coordonnées de Gauss sont basées sur ce principe : elles sont mesurées le long de lignes pouvant être courbes.

6.2 Distance entre deux points très proches

Considérons dans un plan euclidien deux points M et M' très proches l'un de l'autre ( Fig.7 ). Considérons les coordonnées cartésiennes x , y. Soit alors M ( x , y ) et M' ( x+dx , y+dy ) où dx

36

et dy sont des quantités très petites.

Fig.4

Dans le cas du plan euclidien, les courbes de Gauss x et y sont simplement des droites orthogonales entre elles donnant les coordonnées cartésiennes. Le carré de la distance ds entre les points M et M' est selon le théorème de Pythagore :

ds²=dx²+dy².Considérons maintenant deux points très proches P et P' d'une surface quelconque. Ils ont pour coordonnées : P (u,v), P' ( u+du , v+dv ), où du et dv sont des nombres très petits. Gauss a montré de manière générale que la distance ds mesurée sur cette surface est une expression telle que :

ds2= g11 du2

+ g12 du dv+ g21 dv du+ g 22 dv2 , où les coefficients g11 , g12 , g21 , g22 sont

des fonctions qui dépendent de u et de v de manière définie selon la surface considérée. De plus, Gauss a démontré que g12=g 21 . Les fonctions g11 , g12 , g21 , g22 sont notées de manière

générale g i j , où i, j prennent les valeurs 1 et 2.

Pour le cas particulier de l'espace euclidien on a :g11=1 , g12=g21=0 , g22=1 .

Remarquons que la formule de Pythagore est valable dans un espace euclidien quelle que soit la distance M et M' considérés. Il n'en est plus de même pour une surface courbe quelconque. La formule de Gauss ne s'applique que pour des points proches. Ce n'est pas le cas, par exemple, si l'on considère sur la Fig.3 des points de coordonnées (u3 , v1) et (u2 ,v2) , trop éloignés l'un de

l'autre. Puisque la mesure des distances peut être calculée à partir des fonctions g i j , on dit que les

g i j définissent la métrique de l'espace considéré. Ces fonctions déterminent toutes les

propriétés géométriques de l'espace de Riemann.

6.3- Espaces de Riemann de dimension quelconque

La méthode des coordonnées de Gauss peut se généraliser pour un espace de dimension quelconque. Considérons, par exemple, un ensemble de points auxquels on coordonne à chacun quatre nombres u1 ,u2 ,u3 ,u4 qu'on appelle ses « coordonnées ». A des points voisins

correspondent des valeurs voisines des coordonnées. L'ensemble ainsi conçu est un espace continu à

37

quatre dimensions. On dit qu'on a fabriqué une variété de dimension quatre.

Définition d'un espace de Riemann

Pour avoir un espace de Riemann, il faut d'abord se donner une variété ayant une certaine dimension. Prenons toujours le cas d'une variété à quatre dimensions dont les coordonnées

sont notées. u1 ,u2 ,u3 ,u4 Nous verrons qu'il est plus pratique de prendre des notations avec des

indices plutôt que des lettres quelconques x , y , z , t par exemple. Ensuite il faut définir une métrique particulière pour cette variété. Autrement dit, on se donne un ensemble de fonctions g i j dépendant des coordonnées. Ces fonctions g i j ne doivent pas

être entièrement arbitraires mais vérifier, entre autres, la condition de symétrie g i j=g j i .

Pour une variété de dimension quatre, le nombre de fonctions g i j différentes se réduit donc de

seize à dix. On peut alors fabriquer la quantité :

ds2= g11(du1

)2+ 2 g12 du1 du2

+ 2 g13 du1 du3+ 2 g14 du1du4

+g22(du2

)2+ 2 g23 du2 du3

+ 2 g 24 du2 du4+ g33(du3

)2+ 2 g34 du3du4

+ g4 4(du4)2

ou en utilisant la notation d'Einstein : ds2=gi j

dui du j (58)

qui constitue la métrique de l'espace de Riemann.

6.4- Comment distinguer une métrique euclidienne d'une métrique riemannienne ?

Définissons d'abord plus précisément ce que l'on entend par métrique euclidienne.

On sait que tout espace euclidien admet des bases orthonormées telles que g ij=δij . Par définition, on dira qu'une métrique d'un espace est euclidienne lorsque tout tenseur fondamental de cet espace peut être ramené, par un changement approprié de coordonnées, à une forme telle que g ij=δij . Ainsi les tenseurs fondamentaux définis par les éléments

linéaires (58) , ne peuvent être ramenés à un tenseur euclidien. On va voir par la suite les conditions nécessaires que doivent vérifier les g ij pour constituer les composantes d'un tenseur fondamental euclidien.

La définition des espaces riemanniens montre que l'espace euclidien est un cas très particulier de ces espaces. Il n'existe donc qu'un seul espace euclidien alors qu'on peut inventer une infinité d'espaces riemanniens.

6.5- Equation des droites en coordonnées curvilignes

Dans un espace ponctuel , En  une ligne droite D est un sous-espace de En défini par un point A et

un vecteur fixe v de En . L'ensemble des points M de cette droite sont tels que : AM =λ v ,

où λ est un scalaire ayant des valeurs dépendant de M. Les coordonnées xi d'un point M de

38

D sont données par l'équation : xi=a i

+ λv i , où les a i sont les coordonnées du point A et

les v i les composantes de v .

Nous allons déterminer l'équation d'une droite en, coordonnées curvilignes u i en utilisant une

méthode physique inspirée du déplacement d'un point M dont les coordonnées curvilignes u i

sont des fonctions du temps t. Le vecteur vitesse de M (t ) , v=dMdt

, a pour composantes

contravariantes : v i=

dui

dt (59)

Le vecteur accélération du point M est le vecteur dérivé de v , soit γ=d vdt

Le vecteur d v ayant pour composantes contravariantes les différentielles absolues

∇ v i , le vecteur accélération a pour composantes contravariantes :

γi=

∇ vi

dt=

dv i

dt+ Γkj

i v j duk

dt (60)

Compte tenu de l'expression v i=

dui

dt , l'équation précédent s'écrit :

γi=

d 2 u i

dt2+ Γkj

i v j du j

dtduk

dt (61)

Lorsque l'accélération γ d'un mobile est constamment nulle, sa trajectoire est une droite de

En . En conséquence, les droites de En sont représentées dans un système de n coordonnées

curvilignes u i par le système d'équations différentielles :

d 2 ui

dt2+ Γkj

i v j du j

dtduk

dt=0 . (62)

Au lieu de la variable t, il peut être intéressant d'utiliser l'abscisse s d'un point de la droite comptée à partir d'une origine donnée. Les coordonnées curvilignes sont alors des fonctions u i

(s) qui

satisfont, le long d'une droite de En , au système d'équations différentielles :

d 2u i

ds2+ Γkj

i v j du j

dsduk

ds=0 . (63)

Le vecteur de composantes du i

ds est un vecteur unitaire porté par la droite.

6.6- Equation des géodésiques :

39

Etant donnée la variété V 4 rapportée à des coordonnées quelconques ( yα) , on appelle

vecteur vitesse unitaire d'univers d'un point M ( yα) le vecteur uα=

dyα

ds(où ds2

=gαβdxαβ ).

C'est encore le vecteur tangent à la courbe d'univers C décrite par le point M ( yα) . On appelle

vecteur accélération d'univers de M, le vecteur dérivée abso lue de uα(M ) : γα=

∇ uα

ds(soit

encore γα=

d uα

ds+ Γβσ

α uβuσ). On peut écrire aussi en faisant intervenir la différentielle absolue :

γα=d yσ

ds∇σuα=uσ ∇σ uα

γα=uσ ∇σuα

Propriétés.

uα uα=+ 1 et uα est donc du genre temps (facile avec les définitions de ds2 et uα ) ;

uα γα=0 (utiliser le résultat précédent et observer que uα ∇σ uα=uα ∇σuα grâce au théorème

de Ricci).

Définition. Si l'accélération d'univers de M est nulle, sa trajectoire d'univers C est dite une géodésique de V 4 d'équations:

uσ ∇σ uα=0 (ou

∇ uα

ds=0 ),

ou encore (quel que soit le paramètre s utilisé)

d 2 yα

ds2+ Γβσ

α dyβ

dsdyσ

ds=0 (64)

Le point M ( yα) décrira une trajectoire appelée géodésique de l'espace de Riemann ici V 4

dont l'équation est celle de (64)

40

Chapitre 7

TENSEUR DE RIEMANN-CHRISTOFFEL

Reprenons l'égalité (41) démontrée plus haut :

∇ s(∇r vi)=∂s(∇r vi)−(∇r vl )Γisl

−( ∇ l vi)Γrsl

(65)

En y substituant :

∇r vi=∂r vi−vl Γirl

∇r vl=∂r vl−vk Γlrk

∇ l vi=∂l vi−v k Γilk

Nous avons :

∇ s(∇ r vi)=∂s (∂r v i – Γirl vl)−(∂r vl – Γlr

k vk )Γisl

−(∂l vi – Γilk vk )Γrs

l

ou

∇ s(∇ r vi)=∂sr vi−∂s Γirl v l−Γis

l∂r vl+ Γlr

kΓis

l v k−∂l Γrsl vi+ Γil

kΓrs

l v k(66)

En permutant s et r :

∇r ( ∇s vi)=∂rs vi−∂r Γisl vl−Γir

l∂s vl+ Γls

kΓir

l v k−∂l Γsrl vi+ Γil

kΓsr

l v k(67)

en faisant (66) - (67) on a :

∇ s(∇ r vi)−∇ r(∇ s vi) =

(∂r Γisl −∂ s Γir

l )vl+ (Γirl ∂ s−Γ is

l ∂r)vl+ (Γ lrk Γ is

l −Γlsk Γir

l )vk+ (∂l Γsrl −∂l Γrs

l )vi+ (Γilk Γrs

l −Γilk Γsr

l )vk

or (∂l Γsrl

−∂l Γrsl

)vi+ (ΓilkΓrs

l−Γil

kΓsr

l)v k = 0 puisque Γsr

l=Γrs

l(symétrie)

il reste :

41

∇ s(∇ r v i)−∇ r (∇ sv i)=(∂r Γ isl−∂s Γir

l)v l+ (Γir

l ∂s−Γisl ∂r )v l+ (Γlr

k Γ isl−Γ ls

k Γirl

)vken changeant k en l on obtient :

∇ s(∇ r v i)−∇ r (∇ sv i)=(∂r Γ isl

−∂s Γirl

)v l+ (Γirl ∂s−Γis

l ∂r )v l+ (Γkrl Γis

k−Γks

l Γirk

)v l (68)

Comme le transport parallèle se fait sur des chemins de géodésiques infiniment proches, nous prenons la limite :

∂r vl →0 et ∂s v l →0

le 2ème terme du deuxième membre de l'égalité tend aussi vers 0 . On obtient alors :

∇ s(∇r vi)−∇r(∇ s vi)=(∂r Γsil

−∂s Γril+ Γnr

lΓis

n−Γns

lΓir

n)v l

(69)

(on a remplacé l'indice k par n)

1 - Le tenseur de Riemann-Christoffel apparaît dans la relation précédente en posant :

Rirsl

=∂r Γsil

−∂sΓril

+ Γnrl

Γisn

−Γnsl

Γirn

(70)

En contractant par multiplication des 2 membres par g jl on aura la forme covariante de ce

tenseur :

g jl Rirsl

=g jl ∂r Γsil

−g jl ∂s Γril

+ g jl Γnrl

Γisn

−g jl Γnsl

Γirn

(71) soit finalement :

Or par exemple ∂r (g jl Γsil

)=(∂r g jl )Γsil

+ g jl ∂r (Γsil

) en utilisant cette formule les deux

premiers termes s'écrivent donc :

g jl ∂r (Γsil

)=∂r ( g jl Γsil

)−(∂r g jl )Γsil

et

g jl ∂s (Γril

)=∂s ( g jl Γril

)−(∂s g jl )Γril

En remplaçant dans l'expression (71) nous aurons :

g jl Rirsl =∂r( g jl Γsi

l )−(∂r g jl)Γsil −∂s(g jl Γri

l )+ (∂s g jl)Γril + g jl Γnr

l Γisn −g jl Γns

l Γirn

Rijrs=∂r Γsji−(∂r g jl )Γsil

−∂s Γrji+(∂s g jl )Γril

+Γnjr Γisn

−Γnjs Γirn

(72)

42

Or l'égalité (51) donne : ∂r g jl=Γ jlr+Γljh et ∂s g jl=Γ jls+Γljh

En reportant ces deux dernières égalités dans l'égalité (72) nous aurons :

Rijrs=∂r Γsji−(Γ jlr+Γljh)Γsil

−∂sΓrji+(Γ jls+Γljh)Γril

+Γnjr Γisn

−Γnjs Γirn

Soit en développant et en simplifiant (en changeant l'indice n en l) :

Rijrs=∂r Γsji−2Γ jlr Γsil

−∂s Γrji+ 2Γ jls Γril

+ Γljr Γisl

−ΓljsΓirl (73)

On a finalement :

Rijrs=∂r Γsji−∂s Γrji+ Γril

Γ jls−Γsil

Γ jlr (74)

C'est le tenseur covariant de Riemann-Christoffel

Il est facile de montrer les propriétés de symétrie et d' antisymétrie du tenseur de Riemann :

R jirs=g jk Rirsk

Rijrs=−Rijsr

Rijrs=−R jirs

Rijrs=Rrsij

2 - La contraction du tenseur de Riemann-Christoffel Rirsl

par rapport aux indices l et r

conduit au tenseur :

Ris= Rilsl

=∂l Γsil

−∂s Γlil

+ Γnll

Γisn

−Γnsl

Γiln

(75)

Le tenseur Ris est appelé tenseur de Ricci donc :

Ris=Rilsl

(76)

3 - En contractant 2 fois le tenseur de Ricci on a le scalaire de Ricci :

43

R=gis Ris=gis g jk R jiks (77)

Il n'est pas difficile de trouver la première identité de Bianchi :

en faisant une permutation circulaire l , i, r et s de l'égalité (76) et par addition on a :

Rirsl

+ Rrsli

+ Rslir

=0 ⇒ Rilrs+ Rlrsi+ Rrsil=0 (78)

7.1- Système de coordonnées normales.

Introduisons un système de coordonnées locales particulières, appelées coordonnées normales, qui permettent de simplifier considérablement la démonstration de certaines propriétés du tenseur de Riemann-Christoffel.Soit P0 d'un espace riemannien, de coordonnées yi . Donnons-nous en ce point un vecteur

unitaire n de direction arbitraire, de composantes ni . Pour chaque point P situé au

voisinage de P0 , on démontre qu'il existe un seul choix de direction n en P0 de telle sorte

qu'une géodésique z i(s) , solution des équations des géodésiques vues plus haut, passe par P .

Prenons pour chaque point P du voisinage de P0 , les coordonnées suivantes :

z i=s ni

(79)

où s est la distance le long de la géodésique de P0 en P . Les coordonnées z i sont

appelées les coordonnées normales du point P .

La propriété essentielle des coordonnées normales réside dans le fait que, au point P0 , les symboles de Christoffel du système de coordonnées sont tous nuls, de même que les dérivées

∂k g ij en ce point. Démontrons qu'il en est bien ainsi. Selon l'égalité (79) , on obtient pour ni

fixé :

dzi

ds=ni ;

d 2zi

ds2 =0 (80)

L'équation des géodésiques écrite en coordonnées z idevient alors, compte tenu de (80) , pour

toutes les directions en P0 :

Γ jki ni nk=0

Puisque Γ jki est symétrique par rapport aux indices j , k, on a pour tout i :

Γikj=g k r Γijr =0 ; Γikj+ Γ jik =∂k gij (81)

d'où ∂k g ij=0 en P0 . D'autre part, puisqu'on a : g i j g j r=δir , la dérivée des produits

conduits à ∂k g ij=0 en P0 .

L'utilisation des coordonnées normales va nous permettre de trouver la seconde identité de

44

Bianchi et de démontrer plus aisément les propriétés de symétrie du tenseur de Riemann-Christoffel,

Soit le tenseur de Riemann-Christoffel Rirsl

=∂r Γsil

−∂sΓril

+ Γnrl

Γisn

−Γnsl

Γirn (82)

La seconde identité de Bianchi sera obtenue par dérivation covariante de Rirsl

en coordonnées

normales. Dans ce système les symboles de Christoffel sont tous nuls sauf leurs dérivées :

(82) s'écrit alors Rirsl

=∂r Γsil

−∂sΓril

donc ∇k Rirsl

=∇ k (∂r Γsil

)−∇k (∂s Γril

) ou

∇k Rirsl

=(∂rk Γsil

−Γsjl

Γkrj

)−(∂sk Γril

−Γrjl

Γksj

) comme Γsjl

Γkrj

=Γrjl

Γksj

=0

Il nous reste alors

∇k Rirsl

=∂rk Γsil

−∂sk Γril

(83)

Une permutation sur les indices k, r ,s de la relation précédente donne en plus de l'égalité ci-dessus :

∇k Rirsl

=∂rk Γsil

−∂sk Γril

(84)

∇r Riskl

=∂sr Γkil

−∂kr Γsil

(85)

∇ s Rikrl

=∂ksΓril

−∂rs Γkil

(86)

En ajoutant (85) + (86) + (87) on a :

∇k Rirsl

+ ∇r Riskl

+ ∇s Rikrl

=0 (87)

C'est la seconde identité de Bianchi .

45

Chapitre 8

TENSEUR & EQUATION D'EINSTEIN

Contractons la seconde identité de Bianchi (87) en faisant k = l nous aurons donc :

∇ l Rirsl

+ ∇r Risll

+ ∇ s Rilrl

=0 (88)

mais Risll

=−Rilsl

et le tenseur de Ricci donne : Ris=Rilsl

donc on a :

∇ l Rirsl

−∇r Rilsl

+ ∇ s Rilrl

=0 ou ∇ l Rirsl

−∇r Ris+ ∇ s Rir=0 (89)

Le changement de variance au moyen des g ik étant permutable avec la dérivation covariante,

on a :

∇ l gik Rirsl

−∇ r gik Ris+ ∇ s gik Rir=0

∇ l Rrskl

−∇r R sk+ ∇s Rr

k=0 (90)

Effectuons une seconde contraction par rapport aux indices k et s :

∇ l Rrkkl

−∇r Rkk+ ∇ k Rr

k=0 (91)

Après contraction du premier terme de l'égalité précédente changeons l'indice de sommation l en indice k, on a :

∇k Rrk−∇r Rk

k+ ∇k Rr

k=0 ou 2 ∇

kRr

k−∇r Rk

k=0 ou

∇k Rrk−

12

∇ r R=0 (92)

On peut écrire encore :

ou ∇k (Rrk−

12

δrk R)=0 ou ∇k (g ik Rr

k−

12

gik δrk R)=0

ou ∇k ( Rir−12

gir R)=0 (93)

46

On pose : Gir=Rir−12

g ir R ou avec des lettres grecques utilisées traditionnellement :

Gμ ν=Rμ ν−12

gμ ν R (94)

C'est le fameux tenseur d'Einstein. On a :

∇μ Gμ ν=0 (95)

Rμ ν−12

gμν R=χTμ ν (96)

En déterminant χ par une approche newtonienne on obtient

L'équation complète d'Einstein :

Rμ ν−12

gμ ν R+ ∧ gμ ν=−8πG

c4T μ ν (97)

Λ est appelée constante cosmologique .

47

Chapitre 9

LAGRANGIEN – EQUATION D'EULER LAGRANGE

Dans la nature l'évolution d'un système correspond toujours à la minimisation d'une certaine quantité. Ainsi :- un objet posé sur un support a tendance à rouler jusqu'au point le plus bas (altitude minimale, énergie potentielle de pesanteur minimale)- un rayon de lumière traversant le dioptre formé par la surface d'un liquide se réfracte de façon à ce que son temps de parcours entre un point A situé dans l'air et un point B situé dans le liquide soit le plus petit possible. Etc.En 1744 Pierre-Louis Moreau de Maupertuis pressentit intuitivement que les phénomènes physiques répondaient à un principe premier, fondamental, selon lequel la nature choisissait toujours, entre toutes les possibilités qui s’offraient à elle, celle qui était la « plus efficace ». En l’occurrence, dans le cas du mouvement, cette efficacité s’exprimait par un minimum de vitesse pour un minimum de chemin parcouru. Il baptisa ce principe, le principe de moindre action. C'est un principe, c'est à dire qu'il n'a jamais été démontré ni jamais été remis en cause, mais il est systématiquement vérifié expérimentalement. Il fait partie des règles profondes de fonctionnement du monde. Il explique aussi bien les lois de l'optique que celle de la mécanique classique, relativiste ou quantique. Il s'exprime sous différentes formes mathématiques décrivant le déplacement des éléments observables. Il sert à prédire comment va se comporter un phénomène. En 1788 Lagrange mit en place une formulation générale encore en vigueur aujourd'hui. Dans le cas particulier d'un corps soumis à un potentiel (la gravité, les forces électromagnétiques par exemple), la quantité que la trajectoire réelle minimise à intervalle de temps donné, est la moyenne de la différence entre énergie cinétique (T) et énergie potentielle (U). Dans le cas du mouvement d'une particule M on stipule qu'elle est caractérisée par une fonction L(x,v) (au lieu de E et p ) nommée le lagrangien de M . Par définition le module de l’impulsion de M est :

p=∂v L (98) et son énergie :

E= v. p− L (99) on a donc unifié p et E en une seule grandeur L.A la particule M on associe une action S définie par :

S =∫ L(x ,v)dt

Parmi les trajectoires possibles faisant passer de A à B la particule choisit celle qui a la moindre action c-à-d δS = 0.

Fig.2

48

A partir du principe de moindre action, nous allons déduire les équations de Lagrange.

Si S =∫a

b

L(x , v)dt alors δ S =∫a

b

δ L(x ,v)dt

δ S =∫a

b

(∂ L∂ x

δ x+∂ L∂ v

δ v)dt (100)

Mais ∂ L∂v

δ v=∂ L∂v

d (δ x )

dt

c’est δx qu’on va faire varier pour trouver l’équation du mouvement (c’est logique puisque M

bouge donc δx varie de plus on impose aux bords a,b δx(a)=δx(b)=0). Intégrons par partie le

2ème terme de l’intégral δS. On pose :

u=∂ L∂ v

et dw=d (δ x )

dt⇒ du=d (

∂ L∂ v

) et w=δ x

∫a

b

(∂ L∂v

δv)dt=∫a

b

(∂ L∂v

.d (δ x )

dt)dt=[

∂ L∂ v

.δ x ]a

b−∫

a

b

δ x .d (∂ L∂ v

)dt

comme [∂ L∂ v

.δ x ]a

b=0 l'équation (100) devient :

δ S =∫a

b

(∂ L∂ x

δ x)dt+∫a

b

(∂ L∂ v

δ v)dt=∫a

b

(∂ L∂ x

δ x)dt−∫a

b

δ x .d (∂ L∂v

)dt ou

δ S =∫a

b

(∂ L∂ x

−d (∂ L∂v

))δ x dt

Remarque : [∂ L∂ v

.δ x ]a

b=0 car δx(a)=δx(b)= 0 d’autre part l’égalité est vraie pour tous les

chemins c-à-d vraie pour quelque soit δx donc :

ddt

(∂ L∂ v

)−∂ L∂ x

=0

ou encore

ddt

(∂ L∂ v

)=∂ L∂ x c’est l’équation de Lagrange. (101)

Finalement une particule M ayant un lagrangien L son équation de mouvement est :

49

d t (∂v L)=∂ x L (102)Cette formulation L caractérise le mouvement de M.

L’expérience montre que, pour une particule libre (ne subissant aucune force) le lagrangien vaut :

L=12

m v2 d’où p=∂v L

p=∂v(mv2

2)=m v

et

E= v . p – L=m v . v−12

m v2=mv2

−mv2

2=

mv2

2

Une force F est caractérisée par un potentiel U(x,y,z,t) avec F =− grad U . Alors pour une particule M plongée dans un champ de potentiel U(x,y,z,t) son lagrangien dans ce cas vaut :

L=mv²/2 - U(x,y,z,t) et l’équation de mouvement donne : d t (∂v L)=∂ x L

d t ( p)=∂x (m v2

2−U )=−∂x U

d t ( p)=− grad U

m d t v=F ou m γ=F

Quelques commentaires :

1. Pour retrouver l’équation de Newton, on a supposé que la force F dérive d’un potentiel U. Presque que toutes les forces de la nature dérive d’un potentiel , il existe rarement des forces qui ne proviennent pas d’un potentiel, et ça ne nous intéresse pas ces forces !

50

Chapitre 10

SYSTEMES DE COORDONNEES

10.1-Différents systèmes de coordonnées

On considère un point M étudié dans un référentielℜ . Le repère d’espace lié au solide de référence est d'origine O et d'axes orthogonaux Ox, Oy, Oz.

f) Base cartésienne.

Les coordonnées de M sont x, y, z dans la base cartésienne (ux , uy , u z) .

Les vecteurs de cette base sont fixes par rapport au référentielℜ .Le vecteur position s’écrit :

OM =x ux+ y u y+ z uz Un déplacement élémentaire du point M s’écrit d M ou d OM :

d OM =dx ux+dy u y+dz uz (103)

Surfaces élémentaires : d d d , d d d , d d dS x y S x z S y z= = =Volume élémentaire : d d d dx y zτ = (104)

g) Base cylindrique.Cette base est obtenue par rotation de la base cartésienne (u x , u y , u z) d’un angle θ autour de l’axe Oz :

51

Les coordonnées de M sont , ,r zθ dans la base cylindrique (ur , uθ , u z) . Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étudeℜ .Le vecteur position s’écrit :

OM =r ur + z u z Un déplacement élémentaire du point M s’écrit :

d OM =dr u r+rd θ uθ+dz u z (105)

Surfaces élémentaires : d d d , d d d , d d dS r r S r z S r zθ θ= = =Volume élémentaire : d rdrd dzτ θ= (106)

h) Base sphérique.

Les coordonnées de M sont , ,r θ ϕ dans la base cylindrique (ur , uθ , uϕ) . Cette base est associé au point M, elle est donc en mouvement dans le référentiel d’étudeℜ .Le vecteur position s’écrit :

OM =r ur

Un déplacement élémentaire du point M s’écrit :

d OM =dr u r+rd θ uθ+r sin θd ϕ uϕ (107)

52

Surfaces élémentaires : 2d sin d d , d d d ,d d sin dS r S r r S r rθ θ ϕ θ θ ϕ= = = (108)

Volume élémentaire : 2d d sin d dr rτ θ θ ϕ=

10.2- Analyse vectorielle ( Source Wikipédia )

L'analyse vectorielle est une branche des mathématiques qui étudie les champs de scalaires et de vecteurs suffisamment réguliers des espaces euclidiens, c'est-à-dire les applications différentiables d'un ouvert d'un espace euclidien E à valeurs respectivement dans et dans E .

Du point de vue du mathématicien, l'analyse vectorielle est donc une branche de la géométrie différentielle. Cette dernière inclut l'analyse tensorielle qui apporte des outils plus puissants et

une analyse plus concise entre autres des champs vectoriels.

Mais l'importance de l'analyse vectorielle provient de son utilisation intensive en physique et dans les sciences de l'ingénieur. C'est de ce point de vue que nous la présenterons, et c'est pourquoi nous nous limiterons le plus souvent au cas où E 3 est l'espace usuel à trois dimensions. Dans ce cadre,

un champ de vecteurs associe à chaque point de l'espace un vecteur (à trois composantes réelles), tandis qu'un champ de scalaires y associe un réel. Imaginons par exemple l'eau d'un lac. La donnée de sa température en chaque point forme un champ de scalaires, celle de sa vitesse en chaque point, un champ de vecteurs. (Pour une approche plus théorique, voir géométrie différentielle)

Principaux opérateurs différentiels linéaires de tri

Le gradient, la divergence et le rotationnel sont les trois principaux opérateurs différentiels linéaires du premier ordre. Cela signifie qu'ils ne font intervenir que des dérivées partielles (ou différentielles) premières des champs, à la différence, par exemple, du laplacien qui fait intervenir des dérivées partielles du second ordre.

• On les rencontre en particulier en mécanique des fluides (équations de Navier-Stokes).

• Et aussi en électromagnétisme, où ils permettent d'exprimer les propriétés du champ

électromagnétique. La formulation moderne des équations de Maxwell utilise ces opérateurs.

• Ainsi que dans toute la physique mathématique (propagation, diffusion, résistance des

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matériaux,...).

L' opérateur formel nabla

L'opérateur nabla ∇ tire son nom d'une lyre antique qui avait la même forme de triangle pointant

vers le bas. Il s'agit d'un opérateur formel de défini en coordonnées cartésiennes par :

On écrit aussi ∇ pour souligner que formellement, l'opérateur nabla a les caractéristiques d'un vecteur. On le qualifie d'ailleurs de pseudo vecteur. Il ne contient certes pas de valeurs scalaires, mais on va utiliser ses éléments constitutifs (que l'on peut voir comme des opérations en attente d'argument) très exactement comme on aurait utilisé les valeurs scalaires composant un vecteur.

La notation nabla fournit un moyen commode pour exprimer les opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes.

Le gradient

Le gradient est un opérateur qui s'applique à un champ de scalaires et le transforme en champ de vecteurs. Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l'intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l'altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente.

En mathématiques, le gradient du champ f, supposé continûment différentiable, au point a, est défini par la relation :

où df (a ).h désigne la valeur sur le vecteur h de la différentielle de la fonction f au point a.

C'est donc tout simplement la définition de l'application linéaire tangente du champ scalaire f(M)= f(x, y, z) en M = a . De plus, pour une surface d'équation f(x,y,z) = 0, le vecteur normal à la surface au point a = (xa,ya,za) est donné par , ce qui se déduit facilement de ce qui précède.

Il en résulte immédiatement que la dérivée de la fonction en a par rapport au vecteur v est donnée

par : grad a f .v .

En dimension 3 et coordonnées cartésiennes, le champ de gradients vérifie :

Cette relation peut servir, dans le cas particulier où elle s'applique, de définition du gradient. Elle se généralise naturellement en dimension quelconque en ajoutant des composantes au nabla.

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Application linéaire tangente d'un champ de vecteurs :

Soit M' le point translaté de M de ; alors :

définit l'opérateur linéaire noté par un chapeau pour signifier que sa représentation dans une base est

une matrice carrée [3-3], application linéaire tangente du champ vectoriel F (M ) .

Le déterminant de cet opérateur est le Jacobien de la transformation qui à M associe F (M ) .

Sa trace définira ( voir ci-après) la divergence du champ vectoriel F (M ) .

Cela permettra de donner du rotationnel du champ vectoriel F (M ) une définition intrinsèque.

On pourra vérifier que symboliquement :

La divergence

La divergence s'applique à un champ de tenseurs d'ordre n et le transforme en un champ de tenseurs d'ordre n-1. Pratiquement, la divergence d'un champ vectoriel exprime sa tendance à fluer localement hors d'un petit volume entourant le point M où est calculée la divergence.

En dimension 3 et en coordonnées cartésiennes, si F est un tenseur d'ordre 1, alors c'est un vecteur et on peut définir la divergence par la relation :

où F =(F x , F y , F z ) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur divergence. La divergence peut être vue, formellement, comme le produit scalaire de l'opérateur nabla par le

vecteur " générique " du champ auquel elle est appliquée, ce qui justifie la notation ∇ . Bien entendu, cette définition se généralise naturellement en dimension quelconque.

La définition indépendante du choix de la base est :

Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir la divergence d'un champ de vecteurs en un point comme le flux local du champ autour de ce point.

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Le rotationnel

Le rotationnel transforme un champ de vecteurs en un autre champ de vecteurs. Plus difficile à se représenter aussi précisément que le gradient et la divergence, il exprime la tendance qu'a un champ à tourner autour d'un point : sa circulation locale sur un petit lacet entourant le point M est non nulle. Par exemple :

• dans une tornade, le vent tourne autour de l'œil du cyclone et le champ vectoriel vitesse du

vent a un rotationnel non nul autour de l'œil. Le rotationnel de ce champ de vitesse (autrement dit le champ de vorticité ou encore champ tourbillon) est d'autant plus intense que l'on est proche de l'oeil.

• le rotationnel du champ des vitesses V (M )=Ω0∧OM d'un solide qui tourne à vitesse

constante Ω0 est constant, dirigé selon l'axe de rotation et orienté de telle sorte que la

rotation ait lieu, par rapport à lui, dans le sens direct et vaut simplement 2.Ω0

Dans un espace à 3 dimension et en coordonnées cartésiennes, on peut définir le rotationnel par la relation :

où F =(F x , F y , F z ) désigne le champ vectoriel auquel est appliqué l'opérateur rotationnel.

L'analogie formelle avec un produit vectoriel justifie la notation ∇∧ .

Cela peut aussi s'écrire, par abus de notation, à l'aide d'un déterminant :

où ( i , j , k ) désigne la base canonique. Cette dernière expression est un peu plus compliquée que la précédente, mais elle se généralise facilement à d'autres systèmes de coordonnées.

• Une définition intrinsèque (parmi d'autres) du rotationnel est la suivante :

A partir du champ F , on peut construire le champ X 0∧F (où X 0 est un vecteur uniforme) dont

la divergence est une forme linéaire de X 0 et donc exprimable par un produit scalaire K . X 0 , oùK est l'opposé du rotationnel de F :

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Une autre définition possible, plus générale mais plus difficile à formaliser, consiste à définir le rotationnel d'un champ de vecteurs en un point comme la circulation locale du champ autour de ce point (voir rotationnel en physique).

Opérateurs d'ordre supérieur

Le laplacien

Le plus utilisé des opérateurs d'ordre 2 est le laplacien, du nom du mathématicien Pierre-Simon Laplace. Le laplacien d'un champ est égal à la somme des dérivées secondes de ce champ par rapport à chacune des variables.

En dimension 3, il s'écrit :

Cette définition a un sens aussi bien pour un champ de scalaires que pour un champ de vecteurs. On parle respectivement de laplacien scalaire et de laplacien vectoriel. Le laplacien scalaire d'un champ de scalaires est un champ de scalaires alors que le laplacien vectoriel d'un champ de vecteurs est un champ de vecteurs. Pour distinguer ce dernier, on le

note parfois .

L'autre notation du laplacien qui apparaît ci-dessus , ∇2, invite à le considérer, formellement,

comme le carré scalaire de l'opérateur nabla " ∇ ".

Le laplacien apparaît dans l'écriture de plusieurs équations aux dérivées partielles qui jouent un rôle fondamental en physique.

• La plus simple est l'équation de Laplace Δf = 0. Ses solutions (de classe ) sont les fonctions harmoniques, dont l'étude est appelée théorie du potentiel. Ce nom provient du potentiel électrique, dont le comportement (de même que celui d'autres potentiels en physique) est régi, sous certaines conditions, par cette équation.

Le laplacien sert aussi à écrire l'équation de Poisson:

∇2 φ= f

ou encore l'équation des cordes vibrantes :

Le laplacien vectoriel

Le Laplacien d'un champ vectoriel A est un vecteur défini par le Laplacien scalaire de chacune des composantes du champ vectoriel, ainsi en coordonnées cartésiennes, il est défini par :

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Le Laplacien vectoriel est présent :

• dans l'Équation de Poisson pour les versions vectorielles

• en mécanique des fluides visqueux où il apparait dans les Équations de Navier-Stokes

Quelques formules différentielles

Composition des opérateurs

Notation classique Notation avec l'opérateur nabla

Formules pour les produits (dites de Leibniz)

(symétrique en U et V)

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Intégration

Théorème du rotationnel :

Pour toute surface S, délimitée par le contour fermé C, pour tout champ vectoriel , on a :

Théorème du gradient :

Soit un champ scalaire. Soit V un volume de l'espace, délimité par sa surface fermée S. Alors :

Théorème de la divergence (Green-Ostrogradski)

Soit un champ vectoriel. Soit V un volume de l'espace, délimité par sa surface fermée S. Alors :

VOICI QUELQUES LIENS DE MATHEMATIQUES

Pour aller plus loin :

Université en ligne.

http://www.uel-pcsm.education.fr/consultation/reference/mathematiques/index.htm

Elèments essentiels de mathématiques.

http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/mel/pe/node2.html

Qu'est-ce qu'une variété ?

http://images.math.cnrs.fr/Varietes.html

Formalisme mathématique de Joseph-Louis Lagrange.

http://physique.coursgratuits.net/mecanique-analytique/formalisme-lagrangien.php

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BIBLIOGRAPHIE

Références

[1] INTRODUCTION AU CALCUL TENSORIEL(Applications à la physique), [2] Relativité générale HOBSON & EFSTAHIOU & LASENBY : de boeck [3] Mathématiques pour la physique et les physiciens ! Walter APPEL : H & K Editions [4] Mathématiques ( Tout-en-un pour la Licence NIVEAU L1 ) Sous la direction de : Jean-Pierre RAMIS & André WARUSFEL : DUNOD

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BIOGRAPHIE

Né en 1943 à Saint-Denis (île de La REUNION), Jean-Marie Boyer a

été principalement, durant toute sa vie active, professeur de

mathématiques (au collège « Les Alizés » à Sainte-Clotilde) après des

études de mathématiques à la faculté des sciences de Toulouse. A la

retraite (2003), grâce à internet, il devient autodidacte et décide de

compléter ses connaissances notamment en mathématiques et en physique

.

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