19. Quelques éléments de Relativité Générale. Ce chapitre n’a pas pour but de présenter la théorie de la gravitation d’Einstein appelée Relativité Générale, ceci est fait dans de nombreux ouvrages, citons par exemple [Landau Lifshitz] qui apporte l’essentiel sous une forme claire et concise. Le nom de Relativité Générale vient de la prise en compte des systèmes accélérés, alors que la Relativité dite restreinte, ou Relativité tout court, considère des systèmes en vitesse relative constante. Nous n’aborderons que le choix du lagrangien, et essaierons de rester pratique avec quelques formules sur les perturbations. 1. Choix du lagrangien. En Relativité Générale les champs décrivant la gravitation sont les composantes du tenseur métrique

g! " de l’espace-temps. Le lagrangien d’Einstein-Hilbert pour le champ de gravitation est la courbure scalaire de l’espace-temps, et l’action du champ de gravitation est donc :

S = R g d nx! auquel il faut

ajouter un terme exprimant le couplage du champ de gravitation à la matière. Si la matière est décrite par un champ scalaire, par exemple, le couplage sera inclus dans un terme du genre (16.23). En écrivant les équations d’Euler-Lagrange on obtient les équations d’Einstein : G

! " = R! " # 12 R g! " ! T ! "

où T ! " est le tenseur d’énergie-impulsion de la matière, source de champ gravitationnel, et G! " est le tenseur d’Einstein. Si nous nous reportons à ce qui a été dit aux chapitres 10 et 16 (voir aussi le chapitre 7), on serait plutôt tenté de construire le lagrangien avec des termes du genre

! .b

a " #! .ab ou bien ,

dans le cas d’espace-temps à 4 dimensions ! .b

a "! .ab . Ces lagrangiens sont quadratiques

dans la courbure, alors que celui d’Einstein-Hilbert est linéaire dans cette dernière. Pour retrouver l’action de la Relativité Générale il faut prendre dans le cas à 4 dimensions :

R g d nx = 1

2 !ab " #abcd $

c "$ d = L (1) Dans la suite on se réfère à une famille de repères mobiles orthonormés. 2. Variation de l’action pour le lagrangien d’Einstein-Hilbert. Nous allons étudier la variation de (1) par rapport à des variations infinitésimales des !

a et de la connexion

! .b

a , que nous écrirons dans les deux cas avec le symbole ! . On a donc :

L + ! L = 1

2 ( d(" .ba + !" .b

a ) + (" .ea + !" .e

a ) # (" .be + !" .b

e ) ) # $abcd %bb (" c + !" c ) # (" d + !" d )

soit au premier ordre dans les variations :

! L = 12 ( d!" .b

a +" .ea #!" .b

e + !" .ea #" .b

e ) # $abcd %bb" c #" d

+ 12 & .b

a # $abcd %bb (" c #!" d + !" c #" d )

(2)

Nous allons séparer cette expression en 3 termes que nous étudierons séparément.

L2 =12 !" .e

a #" eb # $abcd "c #" d + 1

2 " .ea #!" eb # $abcd "

c #" d

= 12 !" .e

a #" eb # $abcd "c #" d % 1

2 !"eb #" ae # $abcd &

aa" c #" d

et avec ! ab = "!ba et en changeant le nom des indices a ! b dans le second terme, on a :

L2 = !" .e

a #" eb # $abcd "c #" d (3)

De la même manière le dernier terme de (2) se simplifie en :

L3 =

12 ! .b

a " #abcd $bb (% c "&% d + &% c "% d ) = !ab " #abcd %

c "&% d Enfin considérons le terme de (2) impliquant la différentielle : L1 =

12 d!" ab # $abcd "

c #" d = 12 d(!" ab # $abcd "

c #" d ) + 12 !"

ab # $abcd d(" c #" d ) et en utilisant les équations de structure (10.2) pour exprimer le dernier terme :

L1 = !"# ab $ %abcd #c $ (& e f

d # e $# f ) + "# ab $ %abcd #c $# .e

d $# e

+ d( 12 "#

ab $ %abcd #c $# d )

considérons la deuxième partie de L1 , pour que ce terme soit non nul, il faut e ! c , et puisqu’on a choisi des repères mobiles orthonormés, le terme de connexion est non nul si d ! e , d’où e = a ou e = b , et cette partie devient :

!" ab # $abcd "

c #" .ad #" a + !" ab # $abcd "

c #" .bd #" b

et par échange des indices a ! b dans le deuxième terme de droite on a finalement :

L1 = !"# ab $ %abcd #c $ (& e f

d # e $# f ) + 2 "# ab $ %abcd #c $# .a

d $# a

+ d( 12 "#

ab $ %abcd #c $# d )

(4)

Appliquons les mêmes considérations à L2 (relation (3)). Pour avoir une contribution non nulle il faut e ! a,b donc nécessairement e = c ou e = d , et donc :

L2 = !" .c

a #" cb # $abcd "c #" d + !" .d

a #" d b # $abcd "c #" d

et par c ! d sur la deuxième partie : L2 = 2!" .c

a #" cb # $abcd "c #" d .

Ce terme ressemble au second terme de L1 dans (4). Faisons la substitution : a ! b , c ! a , b! d , d ! c il devient :

L2 = 2!" .a

b #" ad # $bd ac"a #" c = 2!" ab # $bd ac"

c #" .ad #" a

or !bd ac = "!abcd , donc on peut finalement écrire :

! L = "!# ab $ %abcd #c $ (& e f

d # e $# f )

+'ab $ %abcd #c $!# d + d( 1

2 !#ab $ %abcd #

c $# d ) (5)

Pour retrouver les équations d’Einstein, il reste à exprimer ce résultat sous forme tensorielle.

Commençons par la variation par rapport aux champs ha

!"! (second terme de (5)). Avec (10.3)

on a : !h L = 1

2 R . . e fab "# e "# f " $abcd #

c "!# d

Or : !" d = !h#

d dx# = (hb#!h#

d )" b

Donc : !h L = 1

2 R . . e fab "abcd #$ e #$ f #$ c #$ g (hg

%!h%d ) = 1

2 R . . e fab "abcd "

e f c g(hg

%!h%d ) g d 4x

avec : !abcd !

efcg= !abcd !

cgef= "cr!abcd !r stu"

sg" te"uf " où ! = det(!ab ) et le résultat de l’exercice 4 du chapitre 3, et en utilisant les relations d’ anti-symétrie du tenseur de courbure sur la première paire et la seconde paire d’indices, on obtient :

!h L = (R! d

g " 2R .dg ) (hg

#!h#d ) g d 4x (6a)

où

G .b

a = R .ba ! 1

2 R" ba est le tenseur d’Einstein.

La plupart des exposés de Relativité générale considèrent la variation de l’action par rapport à la métrique. Pour faire le lien avec cette façon de faire, re exprimons (6a) en fonction des coordonnées :

! 1

2 "h L= G .ba (ha

#"h#b ) g d 4x = Gac$bc ha

#"h#b g d 4x = G#"$bc h"

c "h#b g d 4x

Donc : ! "h L = (G#"$bc h"

c "h#b + G"#$bc h#

c "h"b ) g d 4x

! "h L = (G#"$bc (h"

c "h#b + h#

c "h"b ) + (G"# ! G#" )$bc h#

c "h"b ) g d 4x

et donc : !h L = " (G#! !g#! + (G!# " G#! )$bc h#

c !h!b ) g d 4x

Si la torsion est nulle, le tenseur de Ricci est symétrique, et le tenseur d’Einstein l’est également, (6a) devient alors :

!h L = "G# $ !g# $ g d 4x (6b)

Donc, en l’absence de torsion, la variation de l’action par rapport aux vecteurs des repères mobiles est équivalente à la variation de l’action par rapport à la métrique. Si à L on ajoute un lagrangien pour décrire la matière, la variation de ce dernier par rapport aux

ha! (ou aux

g! " ) introduira le tenseur d’énergie-impulsion T ! " , et mènera aux équations d’Einstein citées au début de ce chapitre. Notons que la conservation de l’énergie impulsion, qui s’écrit D!T ! " = 0 en l’absence de torsion et de spin, implique, dans ce cas, D!G! " = 0 . Cette dernière relation est une conséquence directe des identités de Bianchi de seconde espèce. Maintenant intéressons nous à la variation de l’action par rapport la connexion, c’est à dire au premier terme de (5) :

!" L = #!" ab $ %abcd "

c $ (& e fd " e $" f )

Ceci se re écrit :

! L!" . .#

ab= $abcd S .%&

' hµc h'

d $#µ%&

d 4x

D’après la section 9 du chapitre 3 on a : !abcd h"

a h#b h$

c h%d =!"#$ % g , donc :

!abcd =ha

" hb# hc

$ hd% !" #$ % g et par conséquent :

! L!" . .#

ab= $ha

% hb& S .'(

! )% &! µ )#'( µ

g d 4x .

Après réduction on obtient finalement en posant S! = S .!"

" :

! L!" . .#

ab= $2( ha

# hb% S% $ hb

# ha% S% + ha

% hb& S .%&

# ) g d 4x (7)

Si à (1) on ajoute un lagrangien représentant la matière, la variation de l’action par rapport à la connexion entraîne un couplage direct de la torsion au spin. Ce résultat est vrai pour le lagrangien d’Einstein-Hilbert mais pas dans le cas général. 3. Autres lagrangiens. Comme noté dans la première section il existe, a priori, une infinité de lagrangiens possibles. La seule restriction est que les combinaisons du tenseur de courbure et de la torsion soient invariantes par changement de coordonnées et par changement des repères mobiles. Par exemple rien n’empêche de considérer des termes du genre :

! .b

a " #! .ab $ Rab% & Rab% & , ou

des termes du genre R !

" R"! , etc.

On peut imposer d’autres restrictions. Le lecteur intéressé peut consulter par exemple [Mardonnes, Zanelli]. Une classe particulière de théories de la gravitation est formée par les théories dite en « f (R) », où le lagrangien est une fonction de la courbure scalaire, par exemple un

polynôme. Ces théories se ramènent par une transformation conforme au cas L = R g d 4x , la transformation conforme introduisant un champ scalaire couplé à la gravitation (voir par exemple [Faraoni et al.] , [Sotiriou, Faraoni] ). Dans la suite de cette section nous discuterons un autre exemple. Si nous ne connaissions pas le lagrangien de Einstein-Hilbert, et si on avait voulu un lagrangien linéaire dans la courbure, on aurait plutôt essayé de démarrer avec un terme du genre :

L ' = !ab "#

a "# b (8) mais ce terme qui fait apparaître les premières identités de Bianchi (10.4) est nul si la torsion est nulle. Dans le cadre de la Relativité Générale proprement dite ce terme n’existe donc pas. Cependant étudions sa variation par rapport à des variations infinitésimales des !

a et de la connexion

! .b

a :

L ' + ! L ' = ( d(" ab + !" ab ) + (" ac + !" ac ) # (" .b

c + !" .bc ) ) # (" a + !" a ) # (" b + !" b )

soit au premier ordre dans les variations :

! L ' = d!" ab #"a #" b + !" ac #" .b

c #" a #" b +" ac #!" .bc #" a #" b

+$ab #!"a #" b +$ab #"

a #!" b

Dans le dernier terme on échange le nom des indices, et le troisième terme est, aussi en échangeant a ! b :

!" ca #$" .bc #" a #" b = !" cb #$" .a

c #" b #" a = !$" .ac #" cb #"

a #" b

= $" ac #" .bc #" a #" b

et donc : ! L ' = d!" ab #"

a #" b + 2!" ac #" .bc #" a #" b + 2$ab #!" a #" b

! L ' = d(!" ab #"

a #" b ) + !" ab # d(" a #" b ) + 2!" ac #" .bc #" a #" b + 2$ab #!"

a #" b

où : d(! a "! b ) = d! a "! b #! a " d! b et :

!"# ab $#a $ d# b = !"# ab $ d# b $# a = "#ba $ d# b $# a

et par a ! b on a :

! L ' = d(!" ab #"

a #" b ) + 2!" ab # d" a #" b + 2!" ac #" .bc #" a #" b + 2$ab #!"

a #" b

le troisième terme est : !" ac #" .b

c #" a #" b = !" ca #" .bc #" b #" a et par : c ! a , a ! b ,

b! d :

! L ' = d(!" ab #"

a #" b ) + 2!" ab # (d" a +" .da #" d ) #" b + 2$ab #!" a #" b

et avec les équations de structure la variation de l’action devient :

! L ' = d(!" ab #"

a #" b ) + 2!" ab # $ .e fa " e #" f #" b % 2(&ab #"

b ) #!" a (9) Le dernier terme fait apparaître les premières identités de Bianchi, et si la torsion est nulle, la variation de l’action se réduit à une différentielle exacte, et donc n’intervient pas dans les équations du mouvement comme cela a été dit au début de cette section. On peut d’ailleurs se poser la question : en quoi L ' diffère d’une différentielle exacte ?

L ' = !ab "#a "# b = (d# ab +# ac "# .b

c ) "# a "# b

= d# ab "#a "# b $ (# ac "#

a ) " (# .bc "# b )

et compte tenu des équations de structure et de ! ac = "! ca :

L ' = d! ab "!

a "! b + (#c $ d! c ) " (#c $ d! c )

donc : !ab "#

a "# b $ %c " %c = d# ab "#a "# b $ d# c " %c $ %c " d# c + d# c " d# c

le premier terme du membre de droite est :

d! ab "!

a "! b = d(! ab "!a "! b ) +! ab "d! a "! b #! ab "!

a " d! b et avec les équations de structure, il se transforme en :

d! ab "!

a "! b = #d(($a # d! a ) "! a ) +! ab "d! a "! b #! ab "!a " d! b

en regroupant tous les termes, et sans oublier que !a est de degré 2 et ! ab = "!ba , on

obtient :

!ab "#

a "# b $ %c " %c = $d(# a " %a ) + 2(d# a " d# a +# ab "#b " d# a $ %a " d# a )

et donc :

!ab "#

a "# b $ %c " %c = $d(# a " %a ) (10)

N = !c " !c # $ab "%

a "% b est la 4-forme de Nieh-Yan qui est localement exacte.

N

V 4! est un invariant topologique, d’après l’expression (10), lié à la torsion.

4. Perturbations au premier ordre. La Relativité Générale est une théorie non linéaire donc de traitement difficile. Un certain nombre de solutions exactes sont connues, qui en général correspondent à un certain degré de symétrie (par exemple la symétrie sphérique pour la métrique de Schwarzchild). Une approche possible est d’étudier les fluctuations infinitésimales par rapport aux solutions connues. C’est le cas, par exemple, dans l’étude du fond diffus cosmologique (rayonnement électromagnétique fossile à 2.7 K) où l’on considère des petites fluctuations par rapport à une métrique spatio-temporelle représentant un univers en évolution dont la partie spatiale est isotrope. Dans tout le reste de cette section on suppose qu’il n’y a pas de torsion. Soit une perturbation

h! " de la métrique g! " :

g! " = g! " + h! " , S ."#

! = 0 (11)

où h! " !1 et où le signe « barre » représentera toujours les quantités se référant à la

métrique non perturbée. Comme dans cette section il ne sera pas fait référence aux repères mobiles, il n’y aura pas de confusion possible entre la perturbation

h! " et les ha! .

Nous aurons besoin du tenseur métrique inverse que nous écrirons sous la forme :

g! " = g

! "+ l! " . Au premier ordre on déduit :

l! " = # g!$

g"%

h$ % .

Dans la suite les indices seront montés ou descendus avec les tenseurs g! "

et g! "

respectivement, par exemple nous écrirons : h!" = g

" #h#! et l

! " = # h! " . La première étape consiste à calculer les symboles de Christoffel perturbés :

! ."#

$ = g$%

& h$%'()

*+, "# ,%{ } + h"% ,# + h#% ," & h"# ,%

2

'

()

*

+,

où la virgule, dans les termes en h! " , désigne la dérivation partielle. Au premier ordre on a :

! ."#

$ = ! ."#$

+ g$%

12 (h"% ,# + h#% ," & h"# ,% ) & h$% "# ,%{ }

d’autre part nous avons, après simplification :

D! h"# + D"h!# $ D#h"! = h"# ,! + h!# ," $ h"! ,# $ 2 % ."!

&h&#

d’où, au premier ordre :

! ."#

$ = ! ."#$

+ 12 g

$%( D# h"% + D"h#% & D%h"# ) , S ."#

$ = 0 (12) Ensuite on calcule directement le tenseur de courbure par la relation :

R .! " #

$ = %" & .!#$ ' %# & .!"

$ + & .("$ & .!#

( ' & .(#$ & .!"

(

On pose : ! ."#

$ = ! ."#$

+ T ."#$ où

T .!"

# est un tenseur d’après (12), et T .!"

# = T ." !# . Au premier

ordre on déduit :

R .! " #

$ = R .! " #$

+ D" T.!#$ % D# T.!"

$ (13) Cette expression peut être transformée de manière à bien faire apparaître l’anti-symétrie par rapport aux deux premiers indices :

R! "# $ = ( g!% + h!% ) R ." # $

% = R! "# $ + h!% R ." # $%

+ g!% ( D# T."$% & D$ T."#

% )

et en faisant entrer g!" dans les dérivées covariantes :

R! "# $ = R! "# $ + h!% R ." # $%

+ 12 ( D# D"h!$ + D# D$h! " & D# D!h"$ ) + 1

2 (& D$ D"h!# & D$ D# h! " + D$ D!h"# )

et en utilisant (9.24) pour le commutateur

D! , D"#$

%&h' ( on obtient finalement (

S .!"# = 0 ) :

R! "# $ = R! "# $ + 12 h!% R ." # $

%& h"% R .! # $

%'()

*+,

+ 12 ( D# D"h!$ & D# D!h"$ & D$ D"h!# + D$ D!h"# )

(14)

qui met bien en évidence l’anti-symétrie sur les indices ! ," . Lorsqu’on applique une perturbation au tenseur métrique, il faut s’assurer qu’il s’agit bien d’une perturbation, et non d’un changement de variables déguisé. Soit donc un changement de variables infinitésimal :

y! = x! + "! , "! !1

On peut calculer directement l’effet de ce changement de variable sur le tenseur de courbure en utilisant la matrice de passage :

A!µ = "! yµ = #!

µ + "!$µ , ou bien appliquer la relation (13)

avec, d’après (8.17) : h '! " (x) = g '! " (x) # g! " (x) = #( D!$" + D"$! ) (15)

Si on reste au premier ordre, cette « perturbation » s’ajoutera à h! " .

De l’équation (13) nous pouvons déduire le tenseur d’Einstein perturbé :

2 R .! " #

$ % R .! " #$&

'()*+ = g

$,( D" ! h,# + D" # h, ! % D" , h!# % D# ! h," % D# " h, ! + D# , h!" )

d’où : 2(R!" # R!" ) = D$ ! h"

$ + D$" h !$ # D$

$h!" # D" ! h$

$ (16)

qui est bien symétrique dans les indices ! ," car dans le dernier terme de droite h!! est un

scalaire, et la torsion est nulle par hypothèse. La courbure scalaire est donc, au premier ordre :

R = g! " R! " = (g

! "# h! " ) R! " $ R # R = g

! "( R! " # R! " ) # h! " R! "

d’où l’on obtient : R ! R = D" # h" # ! D"

"h ! h" # R" # , h = h"

" (17) et le tenseur d’Einstein est :

2(G!" # G!" ) = D$ ! h"$ + D$" h !

$ # D$$

h!" # D" ! h$$ # g!" D$% h$%

+ g!" D$$

h + h$% R$% g!" # h!" R

nous allons modifier cette équation en utilisant le nouveau tenseur :

h! !" = h!" #

12 g!" h , h! !

$= h!

$ # 12"!

$ h , h = h$$ (18)

on a : D!" h! #

!= D!"h#

! $ 12 D#"h et de même : D! " h!#

!= D! "h#

! $ 12 D# "h et puisque h est un

scalaire D! "h = D"!h et donc : D!" h! #

!+ D! # h!"

!= D!"h#

! + D! #h"! $D" #h

par ailleurs : D! " h!! "

= D! " h! " # 12 D!

!h et finalement :

2(G!" # G!" ) = D$ ! h! "

$+ D$" h! !

$# D$

$h! !" # g!" D$ ! h!

$ !+ h$ ! R$ ! g!" # h!" R

et en faisant apparaître des termes du genre : D! h! "!

grâce aux commutateurs

D! , D"#$

%&h! '

! ,

on obtient :

2(G!" # G!" ) = D! D$ h! "$%

&'( + D" D$ h! !

$%&

'( # D$

$h! !" # g!" D$) h!

$)

+ R$" h! !$+ R$ ! h!"

$# R ."$ !

*h! *$# R .!$"

*h! *$+ h$) R$) g!" # h!" R

S .!)$ = 0

(19)

Cette équation se simplifie beaucoup si l’on peut, par un changement de coordonnées, écrire

D! h! "!= 0 . Dans ce cas toutes les dérivées de h

!! " disparaissent, sauf le terme D!

!h! "# en

forme de Laplacien. Comme au premier ordre les perturbations s’ajoutent dans les équations ci dessus, on peut ajouter aux

h! " un terme correspondant à un changement de coordonnées infinitésimal (15) et

imposer : D! h!

! "+ h '"

! "#$%

&'( = 0 . On obtient la condition :

D! h!! "

# D!!$" # D! .

"$! + g

! "D! D% $% = 0

Soit : D! h!

! "# D!

!$" # g

"%D! , D%&'

()$

! = 0 , c’est à dire :

D! h!

! "# D!

!$" # R %

" $% = 0 (20) Les équations (20) forment un système d’équations différentielles linéaires du second degré

qui permettent de déterminer un système de coordonnées pour lequel on ait D! h! "!= 0 . On

peut y ajouter n’importe quelle solution de l’équation homogène : D!

!"# + R $

# "$ = 0 .

En cherchant à écrire D! h! "!= 0 on cherche un système de coordonnées particulier qui

permette de simplifier les équations du mouvement. Dans le cas du traitement en perturbations d’une métrique cosmologique, on cherche plutôt une formulation de ces dernières qui soit indépendante du choix des coordonnées (voir par exemple [Mukhanov et al.]).