1INTRODUCTION

LA

RELATIVIT GNRALE

I- LES DIFFICULTS DE LA RELATIVIT RESTREINTE

1- Introduction. Les difficults de la relativit restreinte viennent toutesquand on cherche faire intervenir la gravitation dans le cadre de la relativit.La relativit gnrale qui rpond ces difficults est luvre dun seul homme,Albert Einstein qui construisit cette thorie entre 1905 et 1915.

2- Les imprcisions du concept de rfrentiel galilen. Toute la relati-vit restreinte est base sur le concept de rfrentiel galilen. Quand on en a un,on les a tous, puisquils sont tous en translations rectilignes uniformes les unspar rapport aux autres. On a vu que la surface terrestre en est un bon exemple.Mais on peut considrer aussi un ascenseur en chute libre. Puisque la loi de lachute des corps est la mme pour tous les corps, dans un ascenseur en chutelibre, un caillou qui tombe aura un mouvement rectiligne uniforme. Il suffit doncde dire que dans ce rfrentiel, la force de gravitation est nulle. Cela parat os,mais considrons une fuse moteurs teints dans lespace intersidral. Un caillouimmobile reste immobile dans cette fuse. Est-ce parce que la fuse tant loin detoutes masses gravitationnelles, elle et le caillou ne sont soumis aucune force,ou est-ce parce que tous les deux sont en chutes libres avec les mmes acclra-tions vers une masse de matire noire invisible ? Le fait que rien ne permet dedistinguer clairement les deux cas pose problme.

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http://bouteloup.pierre.free.fr/vulg/anrelge/entree.html

3- Le caractre restreint de la relativit restreinte. Considrons danslespace intersidral deux cailloux relis par une ficelle (voir animation au para-graphe 5). Contrairement au mouvement de translation rectiligne uniforme donton a vu quil est relatif, on a limpression que le mouvement de rotation a uncaractre absolu. En effet, si la ficelle nest pas tendue, cest ncessairement queles deux cailloux ne tournent pas lun autour de lautre, car sils tournent lunautour de lautre, la ficelle sera tendue par la force centrifuge.

4- Lgalit de la masse inerte et de la masse gravitationnelle. Lamasse inerte mi reprsente linertie dun corps,la difficult de le mettre en mouve-ment, comme le montre la vido ci-dessous. On a F = mi a, a tant lacclrationdu corps (v = at, v tant la vitesse).

La masse gravitationnelle mg mesure la capacit dun corps tre attir parla gravitation ou a attirer lui-mme par la gravitation. On la mesure simplementen suspendant un objet au bout dun ressort. On a F = mg g, g caractrisantlattraction gravitationnelle de la plante.

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Le fait que tous les objets tombent avec la mme acclration g prouve queces deux masses sont gales. Cette galit nest pas explique.

a =F

mi= g =

F

mg mi = mg

Remarquons que cela est ncessaire pour quune plante comme la Terre puissese former. Il faut en effet que les objets constitus de matires diffrentes, commelaluminium ou le fer par exemple, donc plus ou moins lourds, orbitent tous la mme vitesse une certaine distance du Soleil. Ils ont ainsi une vitesse nulleles uns par rapport aux autres et peuvent se condenser en plante grce lagravitation.

5- Le principe de Mach. Le fait que la force centrifuge se dveloppe quandun corps tourne par rapport aux toiles lointaines semble indiquer que les toileslointaines jouent un rle dans cette affaire. Le philosophe autrichien Ernst Mach(1838-1916) pensait que la force centrifuge est une force relle correspondant une action gravitationnelle des masses lointaines de lunivers quand un objettourne par rapport ces dernires. On comprend alors le caractre apparent ab-solu du mouvement de rotation. Mais on peut maintenant gnraliser le principede relativit la rotation (do le nom de relativit gnrale) et dire que lon peutconsidrer que cest tout lUnivers qui tourne autour de lobjet et que la forcecentrifuge est alors une action gravitationnelle de toutes ces masses tournantes.Dune manire gnrale, Mach formule en 1893 la conviction selon laquelle lecaractre inertiel ou galilen dun rfrentiel est dtermin par la distributionde lensemble des masses dans lUnivers. Mach a beaucoup influenc Einsteindans sa construction de la relativit gnrale, et lexpression principe de Macha t introduite en 1918 par Einstein.

Prenons dans lespace vide interstellaire deux boules immobiles relies parune ficelle non tendue. Supposons que ces deux boules soient places dans unegrande sphre creuse homogne dans laquelle rgne le vide. Si lon fait tournercette sphre, elle jouera le rle des toiles lointaines, et les deux boules doiventsloigner lune de lautre et la ficelle se tendre, comme le montre lanimationci-dessous :

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Lexprience na pas t faite. Leffet est trs faible, et il nest pas vident delancer dans lespace une telle sphre creuse qui doit tre trs lourde.

Mais il y a un autre effet appel leffet de Lense et Thirring beaucoupplus puissant et testable : un gyroscope (toupie en rotation) en lvitation voitson axe garder une direction fixe par rapport aux toiles lointaines, comme onle voit sur la vido ci-dessous dune toupie en lvitation au-dessus daimantsqui la repoussent. Laxe est cette fois-ci compltement bloqu par rapport auxtoiles. Cest ce mme phnomne qui oblige laxe de rotation de la Terre (axedes ples) toujours pointer vers ltoile polaire. Ce phnomne est loriginedu mcanisme des saisons.

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Considrons un satellite en orbite polaire basse. Selon le principe de Mach, larotation de la Terre influence gravitationnellement lespace vide et joue le mmerle que les toiles lointaines en plus faible.

Quand le gyroscope est au-dessus des ples, il prcesse dans le sens de rotationde la Terre. Quand il est proche de lquateur, cest la surface terrestre la plusproche de lui qui joue le rle des toiles lointaines, et il prcesse dans lautresens. Leffet moyen est une prcession dans le sens de rotation de la Terre. Lecalcul de la relativit gnrale donne une prcession de 0, 065 secondes darc paran.

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Le 20 avril 2004, le satellite Gravity Probe B fut lanc par la navette spatiale,contenant des gyroscopes constitus de sphres en rotations les plus parfaitesjamais construites par lhomme :

Les gyroscopes sont des petites boules de quartz fondues de la taille duneballe de ping pong, revtues dune couche de nobium ( supraconducteur cettetemprature), ils sont les objets les plus ronds et les plus homognes que lontrouve dans lunivers ( lexception peut tre des toiles neutrons). Ils sont enlvitation lectrostatique dans une coquille munie dlectrodes (faible tension)La vitesse de rotation 10 000 tr/mn est communique (en vol par un jet soniquedhlium gazeux ensuite pomp). Compte tenu du vide cette vitesse ne varieraitpas de plus de 1% en 1000 ans.

Le rsultat final de lexprience Gravity Probe B fut annonc Washingtonpar la NASA le 4 mai 2011 et est en accord 19% prs avec la prdictionthorique de la relativit gnrale. Le financement initial de la NASA eu lieu lautomne 1963 ! La relativit gnrale est donc bien machienne.

En conclusion, on comprend alors lgalit entre la masse inerte et la massegravitationnelle. Linertie qui se manifeste par exemple dans la force centrifugeest une action gravitationnelle. Il ny a plus deux aspects, linertie et la gravita-tion. Il ny a quun seul aspect, la gravitation. On apprend aux enfants lcoleprimaire que le mouvement apparent du Soleil dans le ciel est en fait d larotation de la Terre sur elle-mme. La relativit gnrale permet de considrerque la Terre est fixe et que cest le Soleil et tout lUnivers qui font un tour autourde la Terre en une journe. On peut donc considrer que le mouvement du Soleildans le ciel est rel.

6- Prise en compte de la formule de la gravitation newtoniennedans le cadre de la relativit. La formule newtonienne :

F = Gm1m2

r2

implique de connatre la distance des deux objets, ce qui nest pas vident enrelativit du fait de la contraction des longueurs. De plus, laction gravitation-nelle est instantane, donc se propage une vitesse infinie. Mais alors, dans unautre rfrentiel, la force gravitationnelle pourra se manifester avant que lobjetqui attire soit l (paragraphe IV-4 de la confrence sur la relativit restreinte),en contradiction avec le principe de causalit.

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On voit que le moteur atomique fonctionne en permanence ralisant une pe-santeur artificielle lintrieur de la fuse quivalente la pesanteur terrestre.Bien sr, si le moteur tombe en panne, cette gravit artificielle due lacc-lration cesse, et les personnages flottent dans la cabine. Lide est donc degnraliser le principe de relativit restreinte, do le nom de relativit gnrale,en disant que mme lacclration est relative. On a le choix entre dire quunobjet tombe parce que la fuse est acclre ou parce que lintrieur de la fuseest soumis un champ de gravitation.

Autrement dit le principe dquivalence entre linertie et la gravitation stipulequaucune exprience de physique dans un rfrentiel ne permet de distinguerune pesanteur relle dune pesanteur artificielle cause par une acclration. Maisil stipule mme que le choix de dire si cest une acclration ou une gravitationqui cause la chute des corps est arbitraire.

Aucune loi de la physique ne permet de distinguer entre un effet de linertie

et un effet de la gravitation.

On a limpression que ce nest pas arbitraire, que le gravitation terrestre estbien relle. Mais dans un ascenseur en chute libre, on peut dire quil ny a

II- LA RELATIVIT GNRALE

1- Le principe dquivalence entre linertie et la gravitation. Danslanimation du train au paragraphe II-3 de la confrence sur la relativit res-treinte, on a limpression, quand le train acclre, que la boule est attire verslarrire par une force de gravit. Quand le train freine, on a limpression quelleest attire vers lavant. Regardons les personnages dans Tintin : On a marchsur la Lune.

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aucun effet gravitationnel parce que la gravitation des masse lointaines annulecelle de la Terre. Cest dailleurs dfinitivement lascenseur en chute libre le bonrfrentiel galilen dans lequel la relativit restreinte sapplique. Donc dans unefuse pose sur la Terre, on peut dire que les corps sont plaqus sur le plancherpar une force dinertie due lacclration de la fuse par rapport au rfrentielen chute libre.

2- La dviation de la lumire dans un champ de gravitation. Consi-drons une petite lampe qui met de la lumire depuis une paroi verticale dela fuse et perpendiculairement celle-ci. La fuse acclre dans le vide. Sup-posons la fuse immobile au temps t = 0, le photon dcrit une droite. Dans lerfrentiel acclr li la fuse, il dcrit donc une parabole. On en dduit par leprincipe dquivalence, que dans une fuse sur Terre, un photon mis de la mmemanire dcrit aussi une parabole. On en dduit que la lumire est, comme lamatire, sensible la gravit. Le rsultat prcdent correspond la dviation dela lumire que lon obtient en supposant quelle est constitue de photons allant la vitesse C et obissant la mcanique newtonienne.

Leffet rel calcul avec la relativit gnrale est en fait double de celui donnpar le rsultat prcdent, cause dun effet supplmentaire de contraction deslongueurs. Vu de lextrieur du champ de gravit, les longueurs semblent secontracter et rapetissent lorsquon senfonce dans le champ de gravit. La fuseparat alors distordue, ce qui donne la lumire une trajectoire courbe, ind-pendamment de leffet prcdent et sy ajoutant (paragraphe IV 1).

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3- Vrification exprimentale de la dviation de la lumire . Lapremire vrification exprimentale de la dviation de la lumire dans un champde gravitation date de 1919 :

Le Soleil modifie la position apparente des toiles situes dans son voisinagesur la vote cleste. La position des toiles sur la vote cleste nest donc pas lamme prs du disque du Soleil lors dune clipse totale, et un autre momentlorsque le Soleil nest plus l. Ceci fut vrifi lors de lclipse totale du 29 mai 1919par Eddington. Le Soleil se trouva par un hasard extaordinaire juste dans lamasouvert des Hyades le 29 mai jour de cette clipse totale. Le grand nombre dtoilesde lamas, des distances angulaires variables du Soleil facilite normmentlobtention de mesures prcises. Les rsultats numriques furent en accord avecceux prdits par la Relativit gnrale, 20% prs, et liminrent dfinitivementla dviation moiti donne par la mcanique newtonienne. Ce fut une des deuxpremires confirmations exprimentales de cette thorie, lautre tant la rotationde lellipse trajectoire de Mercure.

Le dveloppement des interfromtres radio pendant les annes 1960 alli ladcouverte des quasars apporta une prodigieuse augmentation de la prcision.La technique utilise la variation de lcart angulaire de deux quasars pendantque le Soleil passe devant eux. Bien sr la mesure peut se faire en continu enplein jour. En 1975 une douzaine de mesures de cette sorte avaient apport

Observation autour du Soleil pendant une clipse totale

Position relle de l'toile

Position apparente de l'toile

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une prcision de 1, 5%. La dviation de la lumire considre comme valideexprimentalement a maintenant dimportantes applications en astrophysique.Elle joue le rle dinstrument pour tudier la structure des galaxies et des amasde galaxies qui agissent comme lentilles gravitationnelles donnant de multiplesimages des quasars loigns. Elles sert galement obtenir une valuation de ladistance de ces quasars.

Abell 2218Abell 2218

Photographies prises en 1919 des toiles autour du Soleil

Dviation de la lumire par un amas de galaxies

Anneaux d'Einstein

La lumire provenant du mme objet venant de plusieurs directions diffrentes donne un effetappel anneau d'Einstein

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4- Leffet Doppler. Sur lanimation ci-dessous, on voit que lorsquon est enmouvement par rapport une onde sa frquence est change.

y = A sin(

t x

C

)

si x = vt y = A sin

(

t vt

C

)

= A sin(

1 v

C

)

t

Donc : = (

1 v

c

)

= v

C

=

=

=

v

c

5- Le ralentissement du temps dans un champ de gravitation.

Considrons cette fois une lampe pose sur le plancher de la fuse mettantde la lumire vers le haut. La fuse est encore suppose immobile au temps t = 0et elle a lacclration g . Le photon met le temps t = hC pour arriver en haut,la hauteur de la fuse tant h (cela suppose que la fuse nacclre pas trop).Pendant ce temps, la fuse a acquis la vitesse v = gt = g hC . Le photon est doncreu en haut avec un lger dcalage Doppler de la frquence :

=

v

C=

gh

C2

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Il en est donc de mme pour une fuse pose sur Terre. La lumire montantdans un champ de gravitation est donc progressivement dcale vers le rouge. Siune toile est suffisamment massive, bien que la formule prcdente ne sappliqueplus, on peut en dduire qualitativement que la lumire schappant de la surfacepeut tre tellement dcale vers le rouge quelle devient un rayonnement radio.Ce rayonnement trs faible devient indcelable. On arrive dj une visionintuitive du phnomne des trous noirs.

Ainsi, une lumire mise en bas de la fuse pose sur la Terre avec la frquenceb = 1 par exemple, doit correspondre un battement toutes les secondes battuespar une horloge, et est reue en haut avec la frquence h < 1. Vu den haut, ona limpression que lhorloge constitue par loscillation de la lumire est ralentie.Vu den haut, le temps battu en bas est vu ralenti. Le temps lui-mme scouledonc plus lentement en bas quen haut, et :

T

T=

=

gh

C2

Application numrique, pour un dcalage de une seconde et pour la tour Eiffel :

Le champ de pesanteur g tant suppos uniforme, les conditions physiquesqui rgnent en haut et en bas sont les mmes. Les deux horloges ne voient leurfonctionnement en aucune manire perturb. Toute horloge base sur nimportequel phnomne physique peut servir piloter londe de frquence servant compter les tops depuis le haut. Le raisonnement marche donc pour nimporte

T = 1s ; h = 300m ; T =C2

gh= 1 million dannes

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quel type dhorloge. Il faut donc bien en conclure que cest le temps lui mmequi scoule plus lentement en bas avec :

T

T=

gh

C2

Deux jumeaux spars et placs lun en haut et lautre en bas puis runis denouveau sapercevront quils nont pas vieilli de la mme manire. Lun pourraavoir 50 ans tandis que lautre naura que 20 ans, alors quils avaient 18 ans lorsde leur sparation (dans un champ de gravit trs fort). On peut aussi considrerque cest loscillation dun lectron tournant sur une orbite bien prcise autourdu noyau dun atome qui met londe (approximation classique valable pourles grands nombres quantiques). chaque phase de londe observe en haut,correspond larrive de la vision dune position de llectron sur son orbite. Leralentissement de la vibration de londe correspond au fait quen haut, on voitllectron du bas osciller au ralenti. Le temps scoule plus lentement en bas,en effet la priode de la rotation dun lectron autour dun noyau dun atomedonn, un niveau dnergie bien prcis, est une constante prcise pouvantservir dtalon de temps.

Cet effet Einstein de dcalage vers le rouge dun rayonnement dans la traver-se dun champ de gravitation, prvu ds le dpart par Einstein lui-mme, ne

Remarquons que avec la formule E = h, la diminution de la frquence delonde quand elle slve dans un champ de gravit correspond bien la pertednergie potentielle gravitationnelle pour le photon. Remarquons que ce ralen-tissement du temps quand on senfonce dans un champ de gravit, donc le faitque cela contribue ce que le temps scoule plus lentement sur la surface ter-restre que dans un satellite, est pris en compte dans le fonctionnement du GPS.Il est remarquable quune thorie compltement abstraite formule il y a unsicle soit ncessaire pour sauver des vies humaines, comme par exemple, celledalpinistes perdus en montagne. Cela montre que les retombes pratiques dela science sont totalement imprvisibles, et quil est ncessaire de maintenir unerecherche pure sans aucune vise dapplications pratiques.

Si lobjet est suffisamment massif, et si lon regarde les choses voluer lasurface de lobjet avec un tlescope depuis un point loign, on a limpressionde voir un film au ralenti. Tellement ralenti pour un objet suffisamment massif,quon a limpression que tout est immobile. Mme les lectrons autour des noyauxdes atomes semblent immobiles. Aucune lumire ne semble donc tre mise pardes atomes ainsi figs. On a un trou noir du nom donn ces objets pour lapremire fois par le physicien Wheeler. La vie scoule dans le trou noir, maisune seconde lintrieur peut correspondre un milliard dannes ou plus audehors.

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fut vrifi exprimentalement avec une grande prcision gce leffet Mssbauerquen 1960 par Pound et Rebka.

6- Consquence, la masse volumique gravitationnelle (ou inertielle),fait intervenir la pression. Considrons une bote paralllpipdique de sec-tion horizontale S et de hauteur h. La pression lintrieur de la bote est p.Entre le haut et le bas, on a tt =

ghC2 . Donc le dbit de particules venant frapper

la paroi en bas et assurant la pression est plus grand quen haut, puisque le tempssy coule plus lentement. Cela implique pp =

ghC2 , donc galement

FF =

ghC2 .

Le poids vaut donc : V g+F = Shg+gh

C2F = Shg+

gh

C2pS =

(

+p

C2

)

gV

La masse volumique apparente nest donc plus mais + pC2 , ce qui fait quedans une toile, la pression varie plus vite quand on senfonce dans ltoile quenmcanique newtonienne. Leffet est encore amplifi par le fait que ce nest passeule la masse volumique qui attire, mais + 3pC2 (paragraphe VI-2) ! Donc, cause du ralentissement du temps quand on senfonce dans ltoile, la pressionaugmente beaucoup plus vite. Jusqu devenir infinie au centre, lorsque le tempsne sy coule plus. Plus aucun tat dquilibre nest possible, ltoile est dans untat deffondrement sans fin en trou noir.

III- TUDE DU DISQUE TOURNANT

1- Le temps. Nous allons maintenant utiliser le principe dquivalence pourltude dun disque tournant.

Considrons un disque de rayon r tournant la vitesse angulaire . Le bordest anim de la vitesse v = r.

Des horloges fixes sur le disque retardent par rapport celles dun rfrentiel

galilen avec =

1 v2

C2 t. Les horloges sont synchronises t = = 0. t estle temps du rfrentiel galilen. Ceci est un rsultat de Relativit restreinte.

=

1 2r2

C2t

La force centrifuge vaut :

F = mv2

r

F

m=

v2

r= 2r =

d

dr tant le potentiel centrifuge.

d = 2r dr = 1

22 r2 =

1 +2

C2t

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Nous supposons que la physique est dcrite par des quations locales et quele principe dquivalence nous assure que ces quations locales sont exactementles mmes dans un corps acclr que dans un corps soumis un champ degravitation. Il nous faut alors trouver le bon paramtre local dcrivant leffet deralentissement du temps. Ce ne peut tre la valeur de lacclration de gravitg, car nous avons vu quune horloge en bas dune tour retarde par rapport celle en haut, mme dans un champ de gravit uniforme o g garde partout lamme valeur. Nous avons dailleurs suppos que les acclrations navaient pasdinfluence sur lcoulement du temps. Nous postulons ici dans un cas o il nya plus de vitesses, et en invoquant le principe dquivalence (il doit y avoir uneffet de ralentissement du temps) que cest le potentiel gravitationnel qui estle bon paramtre.

Dans le cas o nous sommes lextrieur dun astre, = GMr la distance rdune toile de masse M (o le temps est ), le temps la distance r de ltoilescoule plus lentement avec :

=

1 2GM

rC2t

t est le temps propre mesur linfini l o lastre na plus aucune action.Avec deux distances r1 et r2 = r1 + dr1, on a :

d

=

d(

1 2GMrC2

)

1 2GMrC2

=12

2GMr2C2

1 2GMrC2dr

GM

r2= g et si 1

2GM

r 1

d

=

g dr

C2=

gh

C2

On retrouve la formule approximative prcdemment trouve quand d taitpetit.

Pour 1 2GM

rC2= 0 r = rs =

2GM

C2

Cest le rayon de Schwarzschild.

Le temps semble ne plus scouler vu de loin de lastre : = 0 t = 0. Sitoute la masse de ltoile est concentre dans une rayon infrieure rs, on a untrou noir.

Considrons pour simplifier, le cas dun objet de masse volumique constante,et supposons que la formule newtonienne donnant la masse M en fonction de donne un bon ordre de grandeur.

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M =4

3r3 le cas limite est avec r =

2GM

C2

M =4

3

8G3M3

C6; M2 =

3

32

C6

G3

Pour une toile neutrons, = 1015 g/cm3 = 1018 kg/m3 et nous obtenonsM 4M (M veut dire masse solaire). qui est un bon ordre de grandeur.

En ralit, il faut faire intervenir laugmentation du ralentissement du tempsquand on senfonce dans ltoile et le fait que ce sont toutes les composantesdu tenseur dimpulsion-nergie qui attirent (VI 2). Mais ce fait est dj pris encompte quand on prend = 1015 g/cm3. On obtient alors comme masse limiteM 3M pour une toile neutrons. Au del, on a un trou noir :

cause de la relativit gnrale, ce nest pas juste la masse-nergie qui attire,mais toutes les composantes du tenseur dimpulsion-nergie (voir paragrapheVI-2. Si la matire est homogne et isotrope, ce sont les seules composantes nonnulles, les 4 composantes diagonales, une de masse-nergie, et trois de pressiondans trois directions perpendiculaires. Donc la pression attire, avec un coefficient3, ce qui fait que le champ de gravit est beaucoup plus intense quen gravitnewtonienne. Or, quand on senfonce dans ce champ de gravit, le temps scoulede plus en plus lentement. Si la masse est telle que le temps ne scoule plus aucentre, la pression y devient infinie, en effet : nimporte quel flux de particulesvenant de linfini, des neutrinos par exemple donneront alors un flux infini aucentre, le temps ne sy coulant plus vu de lextrieur. Ce dbit infini donneune pression infinie. Plus rien ne peut plus jamais soutenir lastre, il est dans uncollapse sans fin. Quand les dernires particules de la surface de ltoile pntrentdans la surface de Schwarzschild, ltoile disparat de la vue en formant untrou noir. La masse limite est donne par M2 < 16 C

6

243G3 , plus contraignante

que la condition M2 < 3 C6

32G3 qui exprime que la surface de ltoile est lintrieur de la surface de Schwarzschild. Cela est vident : le temps cessede scouler au centre de ltoile avant de cesser de scouler sur sa surface. Doncleffondrement invitable survient bien avant que ltoile soit un trou noir. Ilnexiste donc aucun trou noir en quilibre hydrostatique. Ils sont tous dans uncollapse sans fin.

Lapplication numrique donne :

M (x1) z2 > z1

La fuse est vu dform dans le rfrentiel galilen Rqg.

z2

z1

z1

h

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Le bas de la fuse plong plus profondment dans le champ de gravitationsemble plus petit. Oublions un instant la chute libre : la lumire mise linstant0 de la source dans une direction horizontale, se propagerait bien lhorizontalvue par un observateur immobile dans la fuse. Mais repre avec les coordonnesdu rfrentiel quasi-galilen, elle subit un effet de rotation.

Il correspond une rotation : = z2z1h

.

=(x2) (x1)

C2h =

g

C2

Le rayon de courbure du cercle parcouru vaut :

R =

=

C2

g

Il lui correspond pour la lumire, vue dans Rqg, une acclration vers le centrequi vaut :

v2

R=

C2

R= C2

g

C2= g

Dautre part, pendant que la lumire parcourt cette distance, elle chute aveclacclration g. On obtient donc en tout lacclration 2g qui est bien le doublede celle dun corps peu rapide.

Il faut bien voir que tout objet lanc horizontalement subira lacclrationvers le bas correspondant la courbure de lespace et langle = gC2 . Mais,pour un corps anim dune vitesse faible devant celle de la lumire, lacclrationcorrespondant cette courbure sera ngligeable devant lacclration g que lecorps prend dans sa chute libre. Calculons prcisment cette acclration due la courbure de lespace :

=v2

R=

v2g

C2=

g

C2

(

dz

dt

)2

= 1

C2

x

(

dz

dt

)2 (

x< 0

)

En conclusion, vu depuis la fuse, lacclration vers le bas est bien la mmepour tous les corps et la dviation de la lumire moiti de celle calcule avec lescoordonnes x, y, z du rfrentiel quasi-galilen.

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Mais il ny a pas de contradiction. Simplement, les coordonnes utilises nesont pas les mmes. Vu du rfrentiel quasi-galilen, la fuse bien que parfaite-ment rigide, parat dforme. Un chemin qui se produit dans un rfrentiel enligne droite vitesse constante, est vu dans un autre rfrentiel comme un mou-vement circulaire uniforme, donc avec une acclration ! Un observateur loin dela Terre et immobile dans le rfrentiel quasi-galilen (galilen loin de la Terre),verra une courbure de la lumire double de celle donne par la mcanique new-tonienne. Cest bien cette courbure double de celle donne par la mcaniquenewtonienne qui est prendre en compte dans la dviation de la lumire par leSoleil vue depuis la Terre.

Et dailleurs ici, la gravitation est nulle linfini. Par contre, en utilisant leprincipe dquivalence, dans une fuse qui acclre dans le vide intersidral loinde toute gravit, la gravitation (apparente) nest pas nulle linfini. Il est doncnormal de ne pas retrouver la mme dviation de la lumire linfini dans lesdeux cas.

2- Lumire sous forme dondes. La vitesse de la lumire est toujours300 000 km/s dans tout rfrentiel galilen (en chute libre) quel que soit lendroitou il se trouve, donc aussi bien en haut quen bas de la fuse.

Mais une seconde en bas correspond plus de une seconde en haut. Donc,en une seconde du haut, il scoule moins de une seconde en bas, et la lumireavance de moins de 300 000 km. La lumire avance donc moins en bas.

De plus, les rgles talons de un mtre du bas, paraissent plus petites, vu duhaut, par leffet de contraction des longueurs quand on plonge dans un champde gravit. Par consquent cela contribue encore ce que, vu den haut, le plandonde ait moins progress. Les plans dondes progressant moins vite en bas quenhaut, cela contribue les faires tourner, et cela explique dune autre manire ladviation de la lumire, qui est constitue de deux termes gaux. Un premierterme est d au ralentissement de lcoulement du temps donc la dformationdu temps, et correspond la chute classique des corps, le deuxime terme quinapparait que pour les grandes vitesses, est d la contraction des longueurs,donc la dformation de lespace.

O

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V- EFFET SHAPIRO : RETARD DES CHOS RADARS

Considrons maintenant un signal radar mis depuis la Terre et allant surMercure en rasant le Soleil, puis revenant par le chemin inverse.

En passant prs du Soleil, on arrive dans une zone o les rgles units delongueurs sont plus petiteset le temps scoule plus lentement. Un observa-teur dans un rfrentiel galilen utilisant les rgles talons et les horloges talonslocales, trouve la valeur invariante C pour la vitesse de la lumire qui est ga-lement celle des signaux radar. Souvenons nous maintenant que nous supposonsque lacclration na pas dinfluence sur lcoulement du temps et la longueurdes rgles talons. Il en rsulte quun observateur immobile dans le champ degravitation du Soleil, et non pas en chute libre comme le rfrentiel galilen,trouvera toujours C pour la vitesse de la lumire, et ceci quelle que soit sa posi-tion. Lobservateur utilise bien sr, et rptons le, les rgles talons locales et leshorloges talons locales pour cette mesure. La somme des temps locaux talonsmis pour franchir les l rgles talons mises bout bout est donc : = lC

Considrons pour simplifier le calcul que le signal radar fait pratiquementlaller et retour au Soleil. 2r tant la circonfrence de la trajectoire de la Terre,et l tant le nombre de rgles units talons mises bout bout et reliant la Terreau Soleil, nous avons l > r et :

t > =l

C>

r

C; 2t >

2r

C(1) (2)

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do un retard de larrive de lcho par rapport au temps 2rC que donne lamcanique newtonienne. Le retard fait intervenir la fois le ralentissement dutemps (ingalit 1) et la contraction des longueurs (ingalit 2).

Dans lexemple considr, on peut prendre un modle deux dimensions des-pace, la trajectoire de la lumire tant plane. On peut alors donner, pour ex-pliquer le retard d la contraction des longueurs, un modle de lespace noneuclidien dans lequel lcho radar se propage en considrant que cest une surfacenon plane dans un espace euclidien trois dimensions :

Terre

Mars

Mercure

Terre

On comprend alors, en examinant la figure, pourquoi l > r, sans avoir consi-drer que les objets rapetissent prs du Soleil. Ce qui compte, cest la structuredespace non euclidien. On peut prendre ensuite, pour visualiser la structure, lemodle quon veut.

Les observations de leffet Shapiro dbutrent dans les annes 1960 avec deschos radar sur Mercure et sur Vnus. Plus tard, les vaisseaux spatiaux furentutiliss, comme Mariner 6, 7, 9 et les Vikings. Les donnes des Vikings vrifirentla prdiction thorique 0,1% prs.

Le paramtre r tel que la circonfrence de lorbite terrestre soit gale 2r estbien celui qui intervient dans la troisime loi de Kepler T

2

r3 = constante vraieavec une trs grande prcision, mme en relativit gnrale, et donc correspondbien la distance de la Terre au Soleil calcule dans le cadre de la mcaniquenewtonienne. Cest galement cette valeur quon obtient pour la circonfrenceen mesurant la vitesse de la Terre sur son orbite par le dcalage Doppler de

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la lumire des toiles, et en considrant quelle fait un tour en un an. Ainsi ilny a pas dambigut sur le calcul du temps que devrait mettre lcho radar enmcanique newtonienne. Ce calcul oublie simplement les distorsions de lespaceet du temps qui ne sont significatives quau voisinage du Soleil et ninterviennentpratiquement pas ( part une trs faible prcession du prihlie de la Terre) auvoisinage de la Terre. Il y a donc bien la possibilit de mesurer avec prcision etsans ambigit le retard d aux effets de la relativit gnrale. Lcho radar estune sonde allant examiner ces effets de relativit gnrale au voisinage du Soleil.

VI- NERGIE SOMBRE

1- La relativit restreinte. La relativit restreinte dEinstein mlangelespace et le temps. Lespace et le temps ne sont plus spars, mais forment untout, lespace-temps. Quand on voit un objet en mouvement, lcoulement dutemps dans lobjet semble ralenti et les longueurs dans le sens du mouvementcontractes. Quand on passe dun rfrentiel un autre :

Ctxy

z

=

cosh sinh 0 0sinh cosh 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Ctxy

z

Quand on change de rfrentiel, de lespace dans lun est modifi et donne unpeu de temps dans lautre et rciproquement.

De la mme manire, on ne peut plus parler sparment de lnergie E = 12mv2

et de la quantit de mouvementP = m~v.

Lensemble forme le quadrivecteur quantit de mouvement-nergie (ou qua-drivecteur impulsion-nergie) :

~p =

EC

pxpypz

et : ~p 2 =E2

C2 px

2 py2 pz

2 = m2 C2

Une particule de masse nulle comme le photon vrifie ~p 2 = 0 et E = 12mv2 est

remplacer par E = PC. De la mme manire que tout lheure, de lnergiedans un rfrentiel donne un peu de quantit de mouvement dans lautre etrciproquement. Pour un objet immobile :

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~p =

mC

00

0

et E = mC2

2 La relativit gnrale En mcanique newtonienne, cest la masse quiattire, donc en fait lnergie, puisque E = mC2. On passe en relativit g-nrale dEinstein quand on fait intervenir la gravitation dans la relativit.En relativit gnrale, comme on a vu que les composantes du quadrivecteurimpulsion-nergie se mlangent quand on passe dun rfrentiel un autre, cestdonc ncessairement toutes ses composantes qui agissent gravitationnellement.En formulation continue, ce sont les composantes du tenseur dimpulsion-nergiequi agissent toutes dune manire quivalente. Pour un objet au repos :

T =

C2 0 0 00 P 0 0

0 0 P 00 0 0 P

est la masse volumique, masse divise par le volume, C est la vitesse dela lumire, et P est la pression. Du coup, ce qui attire, ce nest plus seulementC2 mais C2 + 3P . Pour un ensemble de particules de masse nulles, comme lephoton, la trace du tenseur dimpulsion-nergie est nulle, soit : C2 3P = 0.

3- Un fluide bizarre. Considrons maintenant un fluide dont lquationdtat est : P = C2, avec > 0 et P < 0.

On sait que le travail des forces donne la variation dnergie du sytme, ainsipar exemple 1

2mv2 = Fd. Si P < 0, il faut tirer sur le piston pour augmenter le

volume et :

F d = (P) S d = (P) V = C2 V = mC2

FS

d

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Le travail de la pression cre la masse-nergie juste ncessaire pour combler levide apparu cause du dplacement du piston vers la droite. Du coup, et P sonttous les deux constants. Mais, ce qui agit gravitationnellement, cest C2+3P =C2 3C2 = 2C2 < 0, et la gravitation est rpulsive. Lexpansion delunivers est acclre, et cette force rpulsive par son travail cre elle-mme lamasse-nergie ncessaire pour combler le vide. On appelle cela le Bootstrap, cequi veut dire tirer sur ses bottes, du nom dune histoire prtendument racontepar la baron Mnchhausen qui se serait sorti de sables mouvants en tirant surses bottes !

4- Ce fluide est lespace-temps lui-mme ! Ce fluide avec cette quationdtat pourrait tre lespace-temps lui-mme. En effet, une fois quon a comprisquen relativit gnrale, la gravitation agit l o lespace-temps a une courbure,lquation du champ qui exprime comment la matire cre la gravitation, doitrelier le tenseur de courbure ou une fonction de ce dernier au tenseur dimpulsion-nergie.

Nous sommes donc tents dcrire lquation du champ dans le cas gnralsous la forme :

R = 4G

C4T

Malheureusement, T ; = 0, la divergence du tenseur dimpulsion-nergieest nulle, ce qui traduit la conservation de lnergie, tandis que R ; 6= 0.Cette quation ne peut donc convenir. Nous sommes donc amen rechercherune autre quation. Nous cherchons un tenseur faisant intervenir le tenseur deRicci et de divergence nulle. Heureusement le tenseur dEinstein vrifie cetteproprit :

G = R 1

2gR ; et G ; = 0

Nous crirons donc lquation du champ :

R 1

2gR = K T

K tant une constante dterminer en cherchant retrouver lquation deNewton dans le cas o elle sapplique. Dans ce cas, on trouve :

R 1

2g R =

8G

C4T

Cest lquation du champ dEinstein.

Cependant le tenseur :

R 1

2g R + g

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est galement de divergence nulle puisque la divergence du tenseur mtrique estnulle.

Nous pourrions donc crire lquation du champ en ajoutant ce dernier terme :

R 1

2g R =

8G

C4

(

T +C4

8G g

)

sappelle la constante cosmologique. Son nom vient du fait que cest Einsteinqui lintroduisit de faon avoir une solution statique pour lunivers dans les mo-dles cosmologiques. Les modles avec = 0 impliquent en effet limpossibilitdun univers stationnaire et amnent donc la thorie du Big Bang. Einsteinaurait donc pu prvoir le Big Bang ds 1916. Mais cette poque, lide dununivers ternel et immobile tait bien ancre dans les mentalits, et lide dunBig Bang impliquant une cration avait un ct religieux assez mal vu.

Einstein appela plus tard lintroduction de cette constante la plus grandeerreur de sa vie.

En dehors de son effet rpulsif lchelle de lunivers, cette constante cosmolo-gique est totalement indtectable. En effet, sa masse volumique vaut + p

C2= 0 !

Dautre part, cette pression ngative est uniforme, et comme seule les diffrencesde pression sont dtectables, cette pression ngative est indtectable localement.

Les thories modernes de physique des particules attribuent au vide des pro-prits intrinsques (cration permanente de particules virtuelles) du fait que cause du principe dincertitude de Heisenberg, aucun objet ne peut avoir unevitesse totalement nulle, et aucun champ tre totalement nul. Il faut donc attri-buer au vide un tenseur dimpulsion-nergie. Dans ce cadre, lexpression C

4

8Gg

correspond au tenseur dimpulsion-nergie du vide. Avec des coordonnes localesdun rfrentiel galilen, on a :

g = =

1 0 0 0

0 1 0 00 0 1 0

0 0 0 1

On voit que le vide correspond un fluide parfait avec C2 = p = C4

8G .Lexpression + 3pC2 est alors ngative et le vide se comporte comme un milieurpulsif du point de vue de la gravitation.

Mais lnergie de point 0 attribue au vide par la mcanique quantique a dansce cadre une valeur immense et aberrante, et en relativit gnrale, rien ne donnela valeur de . Pour linstant, le mystre reste donc entier sur la valeur de cette

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nergie sombre qui acclre lexpansion de lunivers, et sur sa nature exacte.Mais il est amusant de remarquer que ce que Einstein qualifia lui-mme deplus grande erreur de sa vie savra en gros exacte pratiquement un sicle plustard.

En effet lobservation des supernova lointaines montre bien que lexpansionde lunivers sacclre.

VII - CONCLUSION

Pour mathmatiser tous les effets dcrits, il faut dcrire mathmatiquementla structure de lespace-temps (varit diffrentiable dans laquelle existe desgodsiques : plus court chemin, ou plus long chemin, ou chemin stationnaire).La thorie repose alors sur le fait que la matire-nergie dforme lespace-temps,et que les particules libres suivent les godsiques de lespace-temps. Tout celaest dcrit par une seule quation, lquation du champ :

R 1

2gR =

8G

C4T

La dformation de lespace-temps (dont la structure locale est dcrite par letenseur mtrique g ) est caractrise par le tenseur de Ricci (contract dutenseur de courbure) R et son contract la courbure scalaire R, et les massesnergies sont reprsentes par T le tenseur dimpulsion-nergie.

Ce fut luvre solitaire dun travail acharn de 10 ans 1905 1915 dEinstein,aid par le mathmaticien Grossmann.

Depuis, la relativit gnrale na jamais t mise en dfaut par une exprience.

Citons les prix Nobel de physique 1993 Russell Hulse et Joseph Taylorpour la dtection indirecte des ondes gravitationnelles. Cest la premire preuveexprimentale de leur existence, prvue par Einstein en 1916. Ce test 0,5 %prs de la thorie par lexprience met en oeuvre au moins quatre rsultatsdiffrents donns par la relativit gnrale.

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