Matemática Inicial

Profesor Marcelo L. Aranda

2014

Introducción al concepto de Función

Función Lineal

En las actividades que se proponen a continuación, a partir de su resolución, abordaremos conceptos como linealidad, pendiente, variación uniforme y no uniforme, crecimiento.

Además retomaremos el concepto de función desarrollado en el material de lectura y sus formas de representación como ser tablas, gráficas y expresiones simbólicas.

A partir de representaciones gráficas podremos analizar el comportamiento de las variables involucradas en la situación planteada, elaborar el concepto de variable dependiente e independiente, dominio e imagen de una función, representacionesdel tipo discretas y continuas. Veremos además algunas convenciones utilizadas en matemática.

A modo de introducción

Las funciones y el lenguaje gráfico

1) Entre las gráficas siguientes, indicar la que corresponde a la situación: “Ana sale de su casa, camina durante 3horas y se detiene en una plaza durante 1 hora. Luego vuelve a su casa en colectivo.”

Sabiendo que Ana camina 3km/h, indica sobre la gráfica elegida la graduación de los ejes “x” e “y”.

2) Los siguientes recipientes se llenan mediante un caudal constante de agua.

Decidir que gráfica representa la relación tiempo-altura del agua en el recipiente en cada caso

En cada caso argumentar porque se acepta o descarta la representación grafica

3) Antonio va a jugar un partido de futbol con los amigos. Sale de su casa y espera a sus amigos en la plaza. Llegan los amigos y se van todos juntos al club a jugar elpartido de futbol. Luego de jugar Antonio se va para su casa acompañado de unosamigos, pero por el camino. Se detienen en un kiosco a tomar una gaseosa, luegosiguen viaje a la casa de Antonio.

La representación grafica de la situación es la siguiente:

a)¿Qué distancia hay entre la casa de Antonio y la plaza? ¿Y entre la casa y el club?

b) ¿Cuánto tiempo esta esperando a sus amigos?

c) ¿Cuánto tardan en tomar la gaseosa?

d) ¿Cuánto tiempo están en el club?

e) Si entran al club a las 18hs, ¿Dónde se encuentra Antonio a las 19:40hs?

f) ¿A que hora salió Antonio de su casa?

g) ¿A que hora Antonio regresa a su casa?

h) Si dividimos el recorrido de Antonio en 4 etapas: Casa-Plaza, Plaza-Club, Club-Kiosco y Kiosco-Casa:

¿En que etapa camino mas rápido? Explicar

Observar la gráfica y responder:

4) El siguiente gráfico corresponde al registro de 3 autos en una carrera.

a) ¿Cuántos Km recorrió Luis Antúnez y Pedro Peralta en la primera hora de carrera?

b) ¿Qué conclusiones podemos sacar a partir de los resultados anteriores?

c) ¿Cuántos Km recorrió José Morales en la primera hora y media de carrera? ¿Fue más lento o más rápido que Luis Antúnez en la primera hora de carrera?

c) ¿Cuántas horas le llevó a Pedro Peralta recorrer los primeros 250 km? ¿Y a José Morales?

d) ¿Cuántas horas les llevó a cada uno para llegar a la meta?

e) ¿Cuáles son las posiciones de llegada a la meta de esta carrera? ¿Por qué?

f) ¿Que corredor fue más rápido en la primera hora de carrera? ¿y el mas lento?

Observar la gráfica y responder:

La variación uniforme: Función Lineal

1) Un tanque de agua que posee el día de hoy un contenido de 300 litros, tieneuna fisura que le origina una pérdida constante de 30 litros de agua por día. Si la fisura no se repara:

a) ¿Cuántos días deben pasar para que el tanque posea solo 180 litros de agua?

b) ¿Cuántos días tardará en vaciarse?

c) Escribí una fórmula que permita calcular la cantidad de litros que posee el tanque en función de los días transcurridos.

d) Representa la situación en un sistema de ejes cartesianos. ¿La representacióngrafica será una línea recta u una curva? ¿Por qué?

Ver simulación CLIC

2) La siguiente tabla de valores muestra como aumenta la temperatura de un hornoindustrial a medida que pasa el tiempo:

Minutos Temperatura (Grados)

15 115

25 175

30 205

50 325

a) ¿Cuál era la temperatura del horno al encenderlo?

b) ¿Cuál será la temperatura del mismo luego de estar una hora encendido?

c) ¿Corresponde a una variación uniforme? Explicar por qué

d) Hallar una fórmula que permita calcular la temperatura del horno a medida que pasa el tiempo.

Ver simulaciónCLIC

En estas primeras dos actividades, podemos ver con claridad la idea de variación uniforme:

“A variaciones constantes de una magnitud se obtienen variaciones constantes en laotra magnitud.”

Esto es lo que caracteriza a una “Función Lineal” y a su representación grafica como una línea recta en lugar de una curva. Vimos además que la misma puede ser de dos tipos, en función del comportamiento de una variable con respecto a la otra:

Función creciente: En este caso mientras una magnitud, la independiente, aumenta en valorLa otra magnitud, la dependiente, también aumenta. Es un ejemplo el problema del hornoindustrial que a medida que aumentaban los minutos, aumentaba la temperatura.

Función decreciente: En este caso mientras una magnitud, la independiente, aumenta la otramagnitud, la dependiente, disminuye. Es un ejemplo el problema del tanque de agua que por cada día que pasa pierde una cierta cantidad de agua.

Algunos conceptos importantes

Pendiente: Es el valor, que por cada unidad que aumenta la variable independiente, aumenta o disminuye la variable dependiente. En el problema del horno, por cada minuto la temperatura aumenta 6º C. La pendiente en este caso será 6. En el problema del tanque por cada día el tanque pierde 30 litros de agua. La pendiente en este caso será -30.

Función Creciente Función Decreciente

A modo de cierre

En torno a lo trabajado, les dejo un problema adicional:

3) Suponer que una empresa que elabora lapiceras tiene unos costos fijos diarios de $1200. Cada lapicera que fabrica tiene un costo unitario de $0,80 y su valor de venta es de $2.

a) Simboliza las funciones que permiten obtener el costo total (C) diario de producir q lapiceras y el ingreso (I) diario de vender q lapiceras.

b) Grafica ambas funciones en un mismo sistema de ejes cartesianos.

c) ¿Qué cantidad de lapiceras se deben producir y vender para que el beneficio sea igual a cero? ¿Cuánto valdrían los costos y los ingresos en ese caso?

Ver simulación CLIC

BIBLIOGRAFIAMiguel de Guzmán, Jose Colera, Adela Salvador. Matemáticas, Bachillerato 1. Editorial Anaya. José A. Villella, Rosa A. Ferragina, Leonardo J. Lupinacci, Fernando J. Bifano, Alejandra Almirón. Encuentros matemáticos de tipos múltiples. Editorial Universidad Nacional Arturo Jauretche. 2014

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